MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT DOSEN : USEP RAHMAT M.Si
Kelompok VIII Arif Winarso Dewi Sartika Nesti Elvia Yurina Selfiyanah
FAKULTAS KEGURUAN ILMU DAN PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG 2012/2013
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kita haturkan kepada Allah SWT, Yang Esa yang menciptakan alam semesta.Sholawat dan salam selalu dilimpahkan kepada panutan kita Nabi Muhammad Saw beserta keluarga dan sahabatnya.
Alhamdulilah, penyusunan penyusunan makalah makalah ini sebagai tugas tugas kelompok yang diberikan diberikan dosen antara kuliah Matematika Diskrit
pada semester kelimapada tahun
akademik 2012/2013 telah selesai pada waktunya yang sudah ditetapkan.Ucapan terimakasih kepada yth : 1.
Drs.Usep rahmat ,Mpd sebagai dosen matakuliah Matematika Diskrit di
Universitas Muhammadiyah Tangerang yang kami hormati. 2.
Teman-teman FKIP Prodi Matematika B1 Universitas Muhammmadiyah Muhammmadiyah
Tangerang Atas segala bantuannya baik moril dan spiritual sehingga dapat terselesaikan makalah ini.
Atas ada saran dan segenap kritikan bagi kami demi lebih baiknya makalah ini. Kami ucapkan terimakasih.Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya menambah wawasan bagi kita.
Tangerang,Desember Tangerang,Desember 2012 Penyusun
Kelompok VIII
2
DAFTAR ISI I.
Kata Pengantar............................................................................ 2
II.
Daftar Isi.................................................................................... 3
III.
Teori Dasar Graf.......................................................................... 4 a. Kelahiran Teori Graf............................................................ 4 b. Problema dan Model Graf..................................................... 5 c. Graf Secara Formal............................................................... 7 d. Sub Graf................................................................................ 9 e. Graf Berlabel....................................................................... 10 f. Homomorfis.......................................................................... 11 g. Operasi Pada Graf................................................................. 12
IV.
Teori Dasar Graf Lanjutan.......................................................... 14 a. Matriks dan Graf................................................................... 14 b. Graf Planar............................................................................ 15 c. Pewarnaan Graf..................................................................... 16
V.
Terminologi Dasar..................................................................... 17 a. Graf Isomorfik...................................................................... 17 b. Alogaritma Pewarnaan Graf................................................. 18
VI.
Penutup....................................................................................... 27
VII.
Daftar Pustaka............................................................................ 28
3
Teori Dasar Graf
Kelahiran Teori Graf Teori Graf mulai dikenal pada saat seorang matematikawan bangsa Swiss, bernama Leonhard Euler, berhasil mengungkapkan Misteri Jembatan Konigsberg pada tahun 1736. Di Kota Konigsberg (sekarang bernama Kalilingrad, di Uni Soviet) mengalir sebuah sungai bernama sungai Pregel. Di tengah sungai tersebut terdapat dua buah pulau. Dari kedua pulau tersebut terdapat jembatan yang menghubungi ke tepian sungai dan diantara kedua pulau. Jumlah jembatan tersebut adalah 7 buah seperti gambar berikut :
A
Sungai Pregel di Kalilingrad (Uni Soviet)
C
D
B
Konon kabarnya, penduduk kota Konigsberg sering berjalan-jalan ke tempat tersebut pada hari-hari libur. Kemudian muncul suatu keinginan untuk dapat menikmati daerah tersebut dengan melalui ketujuh jambatan tepat satu kali, yakni bermula dari satu tempat (A, B, C atau D) dan kembali ke tempat semula. Mereka berusaha untuk memperoleh rute yang sesuai dengan keinginan tersebut, dengan selalu mencoba menjalaninya. Setelah mencoba berkali-kali dan karena sudah cukup lama tidak diperoleh rutenya, akhirnya penduduk tersebut mengirim surat kepada Euler. Euler dapat memecahkan masalah tersebut, yakni bahwa perjalanan 4
/ rute yang diinginkan (yakni berawal dari suatu tempat, melalui ketujuh jembatan tepat satu kali, dan kembali ke tempat semula) tidak mungkin dicapai.
Secara singkat, dalam tulisannya, Euler menyajikan keadaan jembatan Konigsberg tersebut seperti gambar berikut :
A
C
D
B
Dalam masalah di atas, daratan (tepian A dan B, serta pulau C dan D) disajikan sebagai titik dan jembatan disajikan sebagai ruas garis. Euler mengemukakan teoremanya yang mengatakan bahwa perjalanan yang diinginkan di atas (yang kemudian dikenal sebagai perjalanan Euler) akan ada apabila graf terhubung dan banyaknya garis yang datang pada setiap titik ( derajat simpul) adalah genap.
Problema & Model Graf Secara umum, langkah-langkah yang perlu dilalui dalam penyelesaian suatu masalah dengan bantuan komputer adalah sebagai berikut : Problema Model Yang Tepat
Algoritma Program Komputer
Contoh problema graf : 1. Petugas kantor telepon yang ingin mengumpulkan koin-koin dari telepon umum. Berangkat dari kantor & kembali ke kantornya lagi. Yang diharapkan
suatu rute perjalanan dengan waktu minimal. 5
Masalah di atas dikenal sebagai Travelling Salesman Problem Sebagai contoh :
1 12
8 11
11 9 9
5 11
4
2
7
10
* waktu dalam menit
8
3
1
= Kantor
Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Tetangga Terdekat (yakni menggunakan Metode Greedy)
6
2. Perancangan Lampu Lalu Lintas. Yang diharapkan
pola lampu lalu lintas dengan jumlah fase minimal.
Sebagai contoh :
C
D
B
E
F A A
B
A
C
B
C D
A
E
B
E D
F
B
C
F
C
E
F
E
Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Pewarnaan Graf (juga dikenal sebagai Graph Coloring, yakni menggunakan Metode Greedy)
Graf Secara Formal Sebuah Graf G mengandung 2 himpunan : (1). Himp. V, yang elemennya disebut simpul
Vertex / point / titik / node
(2). Himp. E, yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul-simpul, disebut ruas
Edge / rusuk / sisi
7
Sehingga sebuah graf dinotasikan sebagai G ( V, E )
Contoh : G ( V, E ) V = { A, B, C, D } E = { ( A, B ), ( B, C ), ( C, D ), ( D, A ), ( B, D ) }
Secara Geometri :
A
e2
e1
e3
e5
D
B
C
e4
terdiri dari 4 simpul dan 5 ruas
Tidak ada ketentuan khusus dalam penyajian graf secara geometri, seperti dimana dan bagaimana menyajikan simpul dan ruas. Berikut contoh penyajian Graf yang sama, tetapi disajikan berbeda.
A
A
A D
B
D
C
B
C
B
D
C
Beberapa istilah lain dalam graf :
Berdampingan
8
simpul U dan V disebut berdampingan bila terdapat ruas (U,V)
Order
banyaknya simpul
Size
banyaknya ruas
Self-loop (loop) / Gelung
ruas yang menghubungkan simpul yang sama ( sebuah simpul )
Ruas sejajar / berganda
ruas-ruas yang menghubungkan 2 simpul yang sama
Sebuah graf dikatakan multigraf bila graf tersebut mengandung ruas sejajar atau gelung. Sedangkan graf yang tidak mengandung ruas sejajar atau gelung dikenal sebagai graf sederhana, atau yang disebut graf. Adapun contoh multigraf adalah sebagai berikut.
e2 A
e3
e1 A
e5
A
e4
Multigraf
A
e6
Subgraf
G„(V„, E„) adalah Subgraf dari G (V, E) bila : V„ V dan E„ E Apabila E„ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V„ , maka G„ adalah Subgraf yang dibentuk oleh V„ (Spanning Subgraph) Contoh :
9
G:
A
e2
e1
B e3
e5
D
C
e4
G’ :
G’ :
A
e2
A
B
e1
e1
e5
e5 D
D
B
G’ spanning subgrapf dari G
G’ subgraf dari G
Graf berlabel
Graf berlabel/ berbobot adalah graf yang setiap ruasnya mempunyai nilai/bobot berupa bilangan non negatif. Contoh :
B
D
3
12
F
3
8 2
A
2
6
2
H
3 19
4 C
13
E
3
G
10
Homomorfis
Jika G* dan G** diperoleh dari G dengan membagi beberapa ruas dari G oleh penambahan beberapa simpul pada ruas tersebut, maka kedua graf G* dan G** disebut homomorfis Contoh :
G
G*
G**
Operasi pada Graf
Berdasarkan definisi graf (yang terdiri dari 2 himpunan) dan operasi pada himpunan, maka pada graf juga dapat dilakukan operasi-operasi. Bila diketahui 2 buah graf : G1(V1,E1) dan G2(V2,E2), maka : 1. Gabungan G 1
G2 adalah graf dengan himpunan V nya = V 1 himpunan E nya = E 1
2. Irisan G1
E2
G2 adalah graf dengan himpunan V nya = V 1 E nya = E1
V2 dan
V2 dan himpunan
E2
3. Selisih G1 - G2 adalah graf dengan himpunan V nya = V 1 dan himpunan E nya = E1 - E2 Sedangkan Selisih G 2 – G1 adalah graf dengan himpunan V nya = V 2 dan himpunan E nya = E 2 – E1 4. Penjumlahan Ring G1 G2 adalah graf yang dihasilkan dari (G1
G2) – (G1
G2) atau (G1 - G2)
(G2 - G1)
11
Contoh :
G1 A
G2
e1
e8
D
A
e2
e4
e1
B
e6
e5 e4
B
e2
e7
E e3
D
C
e3
C
e10
e9 F
G1
G2
A
B
e1 e5
e4
G1
e8
D
e1
A
B
e6 e2
e4
e7
E e3
C
e10
e2
D
e3
C
e9
G1
G2
A
B e5 e8
E
e6 e7
D
C e10
e9
G1 - G2
G2 – G1
A
B e5 e8
D
G2
E
e6
D
C e10
e7
e9
C
12
Teori Dasar Graf (Lanjutan)
Matriks dan Graf Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. Matriks-matriks yang dapat menyajikan model graf tersebut antara lain :
Matriks Ruas
Matriks Adjacency
Matriks Incidence
Sebagai contoh, untuk graf seperti di bawah ini : e5 e4
V1 e1
V4
e8
e6
e7
e2
V2
e3
V5
V3
Maka, Matriks Ruas : nx2 1
2
1
3
1
4
1
5
2
3
3
4
3
5
4
5
Atau : 2 xn 1
1
1
1
2
3
3
4
2
3
4
5
3
4
5
5
13
Matriks Adjacency : V1
V2
V3
V4
V5
V1
0
1
1
1
1
V2
1
0
1
0
0
V3
1
1
0
1
1
V4
1
0
1
0
1
V5
1
0
1
1
0
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
V1
1
1
0
1
1
0
0
0
V2
1
0
1
0
0
0
0
0
V3
0
1
1
0
0
1
1
0
V4
0
0
0
1
0
1
0
1
V5
0
0
0
0
1
0
1
1
Matriks Incidence :
Graf Planar Sebuah graf dikatakan graf planar bila graf tersebut dapat disajikan (secara geometri) tanpa adanya ruas yang berpotongan. Sebuah graf yang disajikan tanpa adanya ruas yang berpotongan disebut dengan penyajian planar/map/peta.
Contoh :
K4
Graf Planar
Penyajian Planar
14
Pewarnaan Graf Pewarnaan graf adalah pemberian warna terhadap simpul-simpul graf dimana 2 buah simpul yang berdampingan tidak boleh mempunyai warna yang sama. G berwarna n artinya graf tersebut menggunakan n warna. Bilangan kromatis dari G = K(G) adalah jumlah minimum warna yang dibutuhkan.
Algoritma yang dapat digunakan untuk mendapatkan bilangan kromatis dari sebuah graf adalah Algoritma Welch-Powell. Adapun langkah-langkahnya adalah : 1. Urutkan simpul-simpul berdasarkan derajatnya. Dari besar ke kecil. 2. Warnai.
Contoh :
B
A
C
D
F
E H G
Langkah 1 : urutan simpulnya dari besar ke kecil adalah : E, C, G, A, B, D, F, H
Langkah 2 : mewarnai : warna Merah : E, A warna Putih : C, D, H
15
warna Biru : G, B, F
Sehingga bilangan kromatis graf di atas adalah 3.
Teorema : Pernyataan berikut adalah ekivalen : (1) G berwarna 2 (2) G adalah bipartisi (3) Setiap sirkuit dalam G mempunyai panjang genap
Graf Lengkap k dengan n simpul membutuhkan n warna Teorema : Suatu graf planar G adalah berwarna 5
Terminologi Dasar 8.6 Beberapa Graf Sederhana Khusus
A. Graf Lengkap (Complete Graph) Ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya.Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn.Setiap simpul pada Kn berderajat n -1. B. Graf Lingkaran Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1,v2,…,vn,maka sisi-sisinya adalah (v1,v2),(v2,v3),…(vn-1,vn), dan (vn,v1). C. Graf Teratur (Regular Graph) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur.
16
Contoh : Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang 3 ? Penyelesaian: Tiap simpul berderajat sama,berarti graf teratur. Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2.Jadi, n = 2e/r =(2)(12)/r = 24/r Untuk r = 3,jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum, yaitu n = 24/3 =8 Untuk r yang lain (r 3 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari 24).
r= 4 maka n = 24/4 = 6 r=6 maka n = 24/6 = 4 maka tidak mungkin membentuk graf sederhana r=8 maka n = 24/8 = 3 maka tidak mungkin membentuk graf sederhana r=12 maka n = 24/12 = 2 maka tidak mungkin membentuk graf sederhana r=24 maka n = 24/24 = 1 maka tidak mungkin membentuk graf sederhana Jadi, jumlah simpul paling sedikit 6 buah dan paling banyak 8 buah.
D. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2,sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1,V2)
Graf Isomorfik (Isomorphic Graph) Definisi Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika te rdapat korespondensi satu – satu antara simpul – simpul keduanya dan antara sisi – sisi keduanya sede
17
mikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1,maka sisi e” yang berkorespon di G2 juga harus bersisian dengan simpul u” dan v” di G2.
8.13. Lintasan Terpendek Lintasan pendek dalam graf merupakan salah satu persoalan optimasi. Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot ( weighted graph ), yaitu graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Contoh-contoh terapan pencarian lintasan terpendek misalnya 1. Misalkan simpul pada graf dapat merupakan kota, sedangkan sisi menyatakan jalan yang menghubungkan dua buah kota. Bobot sisi graf dapat menyatakan jarak antara dua buah kota atau rata-rata waktu tempuh antara dua buah kota. Apabila terdapat lebih dari satu lintasan dari kota A ke kota B, maka persoalan lintasan terpendek disini adalah menentukan jarak terpendek atau waktu tersingkat dari kota A ke B. 2.
Misalkan simpul pada graf dapat merupakan terminal komputer atau simpul komunikasi dalam suatu jaringan, sedangkan sisi menyatakan saluran komunikasi yang menghubungkan dua buah terminal. Bobot pada graf dapat menyatakan biaya pemakaian saluran komunikasi antara dua buah terminal,jarak antara dua buah terminal, atau waktu pengiriman pesan
( message ) antara dua buah terminal. Persoalan
lintasan terpendek di sini adalah menentukan jalur komunikasi terpendek antara dua buah terminal komputer. Lintasan terpendek akan menghemat waktu pengiriman pesan dan biaya komunikasi. Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek, antara lain: a. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu. b. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul. c. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain. d. Lintasan terpendek antara dua buah simpulyang melalui beberapa simpul tertentu. Pada dasarnya, jenis persoalan a. Mirip dengan jenis persoalan c, karena pencarian lntasan terpendek pada jenis persoalan c dapat dihentikan bila simpul tujuan yang dikehendaki sudah ditemukan
18
lintasan terpendeknya. Di dalam buku ini kita akan hanya membahas jenis persoalan c. Deskripsi persoalan lintasan terpendek pada jenis persoalan c adalah sebagai berikut : Diberikan graf berbobot G = ( V , E ) dan sebuah simpul awal a. Tentukan lintasan terpendek dari a ke setiap simpul lainnya di dalam G ? Sebagai ilustrasi, tinjau graf berarah pada gambar 8.64. litasan terpendek dari simpul 1 ke semua simpul lain pada tabel dibawah ini ( di urut dari lintasan terpendek pertama,kedua,ketiga dst.) Simpul Asal
Simpul Tujuan Lintasan
Jarak
Terpendek 1
3
1,3
10
1
4
1,3,4
25
1
2
1,3,4,2
45
1
5
1,5
45
1
6
Tidak ada
_
Dari tabel diatas, bahwa lintasan terpendek dari 1 ke 2 berarti juga melalui lintasan terpendek dari 1 ke 3 dan dari 1 ke 4. Sampai saat ini sudah banyak algoritma mencari lintasan terpendek yang pernah ditulis orang. Algoritma lintasan terpendek yang paling terkenal adalah algoritma dijkstra ( sesuai dengan nama penemunya, Edsger W. Dijkstra ). Dalam naskah aslinya, algoritma dijkstra diterapkan pada untuk mencari lintasan terpendek pada graf berarah. Namun, algoritma ini juga benar untuk graf tak berarah. Algoritma
dijkstra mencari lintasan terpendek dalam sejumlah
langkah. Algoritma ini menggunakan prinsip greedy. Prinsip greedy pada algoritma dijkstra menyatakan bahwa pada setiap langkah
kita
memilih
sisi
yang
berbobot
minimum
dan
memasukkannya ke dalam himpunan solusi.
19
Ada beberapa versi algoritma dijkstra yang ditulis pada berbagai pustaka. Algoritma yang dibahas di bawah ini adalah salah satu versinya. Misalkan sebuah graf berbobot dengan n buah simpul dinyatakan dengan matriks Ketetanggaan M = ( mij ) yang dalam hal ini, mij = bobot sisi ( i, j ) ( pada graf tak berarah mij = mij ) mij = 0 mij =∞, jika tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j. Selain matrik M, Kita juga menggunakan tabel S = [ s ᵢ ] yang dalam hal ini, sᵢ = 1 , jika simpul i termasuk ke dalam lintasan terpendek. sᵢ = 0, jika simpul i tidak termasuk ke dalam lintasan terpendek. Dan tabel D = [di ] yang dalam hal ini di = panjang lintasan dari simpul awal a ke simpul i
Algoritma Pewarnaan Graf
Algoritma Welch-powell dapat digunakan untuk mewarnai sebuah graf G secara mangkus. Algoritma ini hanya memberikan batas atas untuk x(G ), yaitu bahwa algoritma tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai G
[ LIP92]. Algoritma Welch-powell adalah sebagai berikut:
Algoritma Welch-powell
1. Urutkan simpu-simpul dari G dalam derajat yang menurun ( urutan seperti ini mungkin tidak unik karena beberapa simpul mungkin berderajat sama ). 2. Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama ( yang mempunyai derajat tertinggi ) dan simpul-simpul lain ( dalam urutan yang berurut ) yang tidak bertetangga dengan simpul pertama ini. 3. Mulai lagi dengan simpul derajat tertinggi berikutnya didalam daftar
20
terurut yang belum diwarnai dan ulangi proses pewarnaan simpul dengan menggunakan warna kedua. 4. ulangi penambahan warna-warna sampai semua simpul telah diwarnai. Contoh Gunakan algoritma Welch-powell untuk mewarnai graf di bawah ini. Penyelesaian : Urutkan simpul-simpul di dalam graf berdasarkan drajat yang menurun. Warnai simpul 1 dengan warna a. Simpul yang tidak bertetangga dengan 1 adalah simpul 5, warnai simpul 5 ini dengan warna a. Simpul berikutnya di dalam daftar yang belum diwarnai adalah simpul 3. warnai simpul 3 dengan warna b, dan simpul yang tidak bertetangga dengan 3 adalah simpul 6, warna simpul 6 ini juga dengan warna b. simpul berikutnya yang belum diwarnai adalah simpul 4. warnai simpul 4 dengan warna c, begitu juga simpul yang tidak bertetangga dengan simpul 4 diberi warna c. sekarang semua simpul sudah diwarnai.
Simpul
1
3
6
4
2
5
Derajat
4
4
3
3
2
2
Warna
a
b
b
c
c
a
8.17. Ragam Soal dan Penyelesaian. Contoh 8.46 Dapatkah kita menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul ? mengapa ? Penyelesaian : Tidak, karena menurut aturan lemma jabat tangan, jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu 2 kali jumlah sisi di dalam graf tersebut. Pada graf tersebut : Ҽ = nr/2 ↔ 2ҽ = nr ↔ 2ҽ = 3.7 21
↔ 2ҽ = 21 jelas tidak memenuhi syarat karena 2 kali jumlah sisi pada graf tersebut ganjil. Pendekatan lain : ҽ = 21/2
jelas bahwa jumlah sisi dari suatu graf tidak mungkin berupa pecahan, maka tidak mungkin menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul.
Contoh 8.47. Tentukan jumlah simpul pada graf sederhana bila mempunyai 20 buah sisi dan tiap simpul berderajat sama. Penyelesaian: Pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul, jumlah sisinya adalah ҽ = nr/2 sehingga ҽ = 2e/r = 2.20/r = 40/r tinjau kasus-kasus nilai r sebagai berikut : a. Untuk r = 1, maka n = 40, akan terbentuk graf tidak terhubung yang masing-masing simpulnya berderajat 1, jumlah sisinya adalah 40/2 = 20 memenuhi. b. Untuk r = 2, maka n = 20, akan terbentuk graf lingkaran dengan sisi 20 ( memenuhi ). c. Untuk r = 3.6.7.9 tidak mungkin sebab hasil pembagian 40/r tidak bulat. d. Untuk r yang lebih besar lagi tidak akan mungkin lagi terbentuk graf sederhana sebab jumlah simpulnya akan lebih kecil sehingga maksimum sisi yang diizinkan juga semakin kecil. Jadi r yang memenuhi adalah ( 1,2,4,5 ), dan jumlah simpul di dalam graf adalah ( 40,20,10,8 ). Contoh 8.48 Berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan agar sebuah graf dengan 6 buah sisi menjadi planar ? ulangi soal yang sama untuk 11 buah sisi. Penyelesaian:
22
Gunakan ketidaksamaan euler e≤3n-6 Untuk e = 6, e≤3n-6 6 ≤3n-6 12≤3n 4 ≤n Berarti jumlah minimum simpul adalah 4. Untuk e = 11, e≤3n-6 11≤3n-6 17≤3n 17/3≤3n Berarti jumlah minimum simpul adalah 6. Contoh 8.50 Berapa bilangan kromatis graf pada soal 8.49 diatas? Penyelesaian: Bilangan kromatis graf tersebut adalah 4. Sebagai contoh simpul dapat dibagi menjadi 4 warna berbeda (D,A,H ),(C, E ),(B,G ),( F )
8.14 Persoalan Pedagang Keliling
Persoalan pedagang keliling (Travelling Salesperson Problem -TSP) termasuk kedalam persoalan yang sangat terkenal didalam teori graf. Nama persoalan ini diilhami dari masalah seorang pedagang yang berkeliling mengunjungi sejumlah kota. Deskripsi persoalannya adalah sebagai berikut : misalkan diberikan sejumlah kota dan jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan ia harus menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan. Ini merupakan masalah menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.
Contoh 1 :
23
Pak Pos akan mengambil surat di bis surat yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota.
Contoh 2 (Munir, 2012) :
Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: ( n - 1)!/2.
Graf di atas memiliki (4-1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu: S1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) dengan panjang rute = 10 + 12 + 8 + 15 = 45 S2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a) dengan panjang rute = 12 + 5 + 9 + 15 = 41 S3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32
8.15 Persoalan Tukang Pos Cina (chinese Postman Problem)
Permasalahan ini, pertama kali dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun1962, yaitu “Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat – alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan. Permasalahan tersebut merupakan masalah menentukan sirkuit Eulerdi dalam suatu graf. Contoh (Munir, 2012)
24
Lintasan yang dilalui tukang pos adalah A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A.
8.16 Pewarnaan Graf
Ada tiga macam persoalan pewarnaan graf (graph colouring), yaitu pewarnaan simpul, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah (region). Definisi 8.20 Pewarnaan simpul adalah memberi warna pada simpul-simpul di dalam graf sedemikian sehingga setiap dua simpul bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Didalam persoalan mewarnai graf, kita tidak hanya sekedar mewarnai simpulsimpul dengan warna berbeda dari warna simpul tetangganya saja, namun kita juga menginginkan jumlah macam warna yang digunakan sedikit mungkin. Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai simpul disebut bilangan kromatik graf G, disimbolkan dengan x(G) yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan x(G) = k.
8.17 Ragam soal dan penyelesaian
Contoh 1 : Dapat kah kita menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul? Mengapa? Jawab : tidak karena menurut aturan Lemma jabat tangan, jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu 2 kali jumlah sisi di dalam graf tersebut. Pada graf tersebut:
25
jelas tidak memenuhi syarat karena 2 kali jumlah sisi pada graf tersebut
ganjil.
Contoh 2 : Berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan agar sebuah graf dengan 6 buah sisi menjadi planar? Jawab :
Contoh 3 : Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul. Jawab : Jawaban untuk soal ini tidak unik. Ada banyak graf teratur dengan 8 simpul yang saling isomorfiksatu sama lain. Sepasang diantaranya adalah seperti berikut ini:
26
PENUTUP Tugas Matematika Diskrit Apabila dalam penyusunan tugas ini masih banyak kesalahan dan kekurangan, saya mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca, agar saya dapat membuat tugas selanjutnya yang lebih baik lagi. Dan dapat berguna bagi kita semua khususnya dan yang lain pada umumnya.
27
DAFTAR PUSTAKA Doerr, Alan & Kenneth Levasseur, Applied Discrete Structures for Computer Science, SRA Associates, 1985
28
