BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Berdasarkan contoh-contoh yang sudah didapatkan pada pembahasan sebelumnya, hanya sedikit sistem fisis yang dapat diselesaikan secara eksak yaitu sumur potensial takhingga, atom hidrogen dan osilator harmonik. Dalam banyak kasus, solusi hanya dapat dapat diperoleh menggunakan menggunakan pendekatan. pendekatan. Salah satu solusi pendekatan pendekatan tersebut adalah teori gangguan. gangguan.
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, beberapa rumusan masalah yang dapat diberikan diantaranya : 1.
Bagaimanakah solusi pendekatan menggunakan teori gangguan dalam keadaan nondegenerasi?
2.
Bagaimanakah solusi pendekatan menggunakan teori gangguan dalam keadaan degenerasi?
3.
Bagaimanakah solusi pendekatan menggunakan teori gangguan bergantung waktu?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan perumusan masalah di atas, maka tujuan dari penulisan makalah ini diantaranya : 1.
Mengetahui solusi pendekatan menggunakan teori gangguan dalam keadaan nondegenerasi.
2.
Mengetahui solusi pendekatan menggunakan teori gangguan dalam keadaan degenerasi.
3.
Mengetahui solusi pendekatan menggunakan teori gangguan bergantung waktu.
1
D. Manfaat Penulisan
Materi makalah ini diharapkan dapat bermanfaat untuk: 1. Menambah pengetahuan bagi penulis maupun pembaca pada umumnya mengenai materi fisika kuantum khususnya khususnya pada bab teori gangguan. 2. Menjadi bahan masukan (referensi) untuk mata kuliah Fisika Kuantum bagi Mahasiswa P. Fisika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan UNS.
2
BAB II PEMBAHASAN
TEORI GANGGUAN A. 1.
GANGGUAN STASIONER
Keadaan Nondegenerasi
Di dalam teori gangguan, Hamiltonian sistem diuraikan menjadi dua bagian utama yaitu tanpa gangguan dan bagian atau suku pengganggu. Suku pengganggu masih diklasifikasikan menjadi dua yaitu gangguan stasioner atau tak tergantung waktu dan gangguan yang berubah terhadap waktu. Pertama akan dibahas gangguan yang tak bergantung waktu. Hamiltonian
⟨|⟩ ∑ sistem dapat dituliskan dalam bentuk umum
Hamiltonian yang telah dipisah bagian pengganggu harus diketahui
solusi eigennya, misalkan
Dengan fungsi eigen memenuhi ortonormalitas
Pada pembahasan sekarang kita batasi pada kasus kondegenerasi kondegenerasi yaitu untuk
Sekarang, dimisalkan Hamiltonian memenuhi persamaan eigen
Maka dalam limit
persamaan (1.4) mereduksi menjadi
persamaan (1.2) dengan
Fungsi eigen yang memenuhi sifat tersebut dapat berbentuk
Kondisi (1.5)
dipenuhi oleh
3
∑ ∑ ∑ Ambil
dan
Sehingga
Serupa dengan fungsi eigen, nilai eigen yang memenuhi kondisi (1.5)
diuraikan dalam deret
Substisusi ekspansi (1.9) dan (1.10) ke dalam persamaan (1.4)
diperoleh
∑ ∑ ∑ ( ) ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ⟨||⟩ ∑ ∑ ⟨ | | ⟩ Persamaan di atas akan dipenuhi jika semua komponen dari
sama.
Pengalian masing-masing suku memberikan, untuk komponen
yang konsisten dengan persamaan (1.2). sedangkan untuk komponen
atau dengan menerapkan pers (1.2) menjadi
Selanjutnya lakukan kali scalar dengan
ortonormalitas (1.3) diperoleh, ruas kiri
4
dan
menggunakan
dan ruas kanan
∑ . / ∑ ⟨|⟩ ⟨||⟩ ⟨||⟩ ∑ ∑ ⟨||⟩ ∑ . / ∑ ⟨|⟩ ⟨||⟩ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Sehingga
Inilah energi koreksi orde pertama dari energy keadaan ke-n.
Selanjutnya, lakukan perkalian scalar pada persamaan (1.13a) dengan
untuk
. Ruas kiri
dan ruas kanannya
dari dua persamaan terakhir ini diperoleh
Selanjutnya komponen dari
atau
Seperti proses sebelumnya, lakukan perkalian skalar dengan
ruas kiri diperoleh
5
, dari
⟨||⟩ ∑ ∑ ⟨||⟩ ⟨||⟩ ∑ ⟨|⟩∑ ⟨ | | ⟩⟨ | | ⟩ ∑ ∑ ⟨|⟩ ∑⟨||⟩ () ∑ ∑ ∑ ⟨ | | ⟩ ∑ ruas kanan memberikan
Sehingga didapatkan energy koreksi orde dua dari tingkat energi ke-n
Koreksi untuk orde lebih tinggi dapat dilakukan dengan prosedur
serupa. Contoh 1.1. Model Matriks.
+
Hamiltonian suatu sistem diberikan oleh matriks berikut:
Tentukan :
a. Solusi eigen tanpa gangguan b. Koreksi energi orde pertama c. Koreksi energy orde dua Penyelesaian:
a.
+ + + + Hamiltonian dapat diuraikan menjadi
maka
Nilai eigen dari
, diperoleh dari persamaan secular
6
| | | 〉 √ + |〉+ |〉 √ + ⟨||⟩ ++ ⟨⟨||||⟩⟩ ∑ ⟨⟩ | ⟨||⟩| |⟨||⟩| |⟨||⟩| |⟨||⟩| |⟨||⟩| |⟨||⟩| Jadi, energi eigen tanpa gangguan
Fungsi energi bersangkutan
b.
koreksi energi orde pertama, dari pers (1.14)
Dengan cara yang sama
c.
koreksi energi orde kedua, dari pers (1.17)
Dengan cara yang sama
Dari hasil-hasil perhitungan di depan, energi sistem sampai koreksi orde dua
7
2
1
0
Gambar 1.1. Spektrum Energi Contoh 1.2. Sumur Potensial Dasar Tidak Rata.
Partikel bermassa m terperangkap dalam sumur potensial sebagai berikut:
V0 V=0 x=0
L /2
L
Gambar1.2 Sumur Potensial Dasar Tidak Rata Tentukan energi potensial partikel sampai orde pertama tonjolan dasar sumur. Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan persoalan di atas kita gunakan sumur potensial satu dimensi dengan gangguan dasar sumur miring.
8
{ . / ⟨||⟩ . / 2. /3 . /} ./ Hamiltonian diberikan oleh
yang dapat dipisahkan menjadi
dengan
Solusi untuk sumur potensial rata
dan fungsi eigen
Koreksi energi orde pertama
9
./*
Jadi, energi tingkat ke-n partikel di dalam sumur
2.
Kasus Degenarasi
Berikut kita bahas system fisis yang mengalami degenerasi, yaitu untuk
.
Bila hal ini terjadi, maka penyebut pada persamaan (1.15) dan (1.17)
menjadi nol. Karena itu, perumusan di depan menjadi tidak terdefinisi dan perlu dimodifikasi. Misalkan energi tingkat ke-n mempunyai derajat degenerasi g dan keadaan degenerasi kita label ortonormalitas
. Keadaan ini mempunyai
Langkah modifikasi sederhana dilakukan dengan megubah ekspansi
(1.9) menjadi
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Selanjutnya, substitusi ekspansi ini dan uraian energy (1.10) ke dalam
pers. (1.4) diperoleh komponen untuk suku ,
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Seperti kasus nondegenerasi, lakukan kali scalar dengan
Tuliskan
10
didapatkan
maka
∑ ,, ,
Persamaan ini tidak lain
atau
Jelas, koreksi energi orde pertama keadaan terdegenerasi merupakan
nilai eigen dari Hamiltonian gangguan dalam basis ortogonal baru. Contoh 1.3
+
Model Matriks. Hamiltonian system fisis diberikan oleh
Tentukan energi system sampai koreksi orde pertama. Penyelesaian : a.
⏟ + ⏟ + | | Hamoltonian
Hamiltonian
memberi persamaan sekular
11
| 〉 √ + |〉 √ + |〉 + ⟨||⟩ ++ ⟨||⟩ ++ ⟨||⟩ √ ++√ ⟨||⟩ √ + +√ ⟨||⟩ ++ 4 5 √ √ / . √ *. / √ Solusinya
dan fungsi eigen bersangkutan
b.
Energy koreksi orde pertama dibagi menjadi dua bagian. Pertama, keadaan nondegenerasi dengan
. Untuk kasus ini digunakan hubungan (1.14)
Kedua, keadaan degenerasi dengan
Energi koreksi orde satu adalah eigen dari
yaitu
Didapatkan
. Untuk
12
√ |〉 :√ + +;+ √ + Dipenuhi oleh
. Sehingga
Jadi, energi eigen setelah dikoreksi
Spektrum energi diberikan oleh Gambar 1.3
5
1 Gambar 1.3 Pemisahan Energi Terdegenerasi
Contoh 1.4 Efek Stark.
Atom hidrogen ditempatkan dalam ruang yang ada medan listrik lemah dan homogen. Tentukan spectrum energi atom hidrogen. Penyelesaian :
Medan listrik menimbulkan beda potensial listrik pada titik-titik yang berlainan di dalam ruang. Misalkan, arah medan diambil sebagai arah sumbu z maka
⁄
Hamiltonian gangguan diberikan oleh
Hamiltonian atom hidrogen tanpa medan luar,
Persamaan eigen bersangkutan
13
Dengan bilangan kuantum
dan energi eigen
Sebagai catatan, untuk tingkat untuk tingkat energi ke-n tertentu ada
keadaan
eigen yang berbeda. Dengan demikian semua keadaan atom hidrogen merupakan keadaan degenerasi kecuali keadaan dasar yang keadaan dengan Energi koreksi. Energi koreksi untuk tingkat dasar.
.
|⟩⟩ ⟨ ⟨||| | | : ; ∫ |〉 Karena integral
Energi koreksi untuk keadaan eksitasi pertama
.
Energi hidrogen bebas keadaan ini
dan keadaan degenerasi dalam notasi Dirac
adalah
. Tuliskan
. Energy koreksi orde pertama keadaan
degenerasi lipat empat ini merupakan nilai eigen dari
⟨ ⟨||||⟩⟩ ⟨⟨||||⟩⟩ ⟨⟨|||| ⟩⟩ ⟨⟨||||⟩⟩ ,:; :; ⟨⟨||||⟩⟩ ⟨⟨||||⟩⟩ ⟨⟨||||⟩⟩ ⟨⟨||||⟩⟩
*
Untuk menghitung persamaan eigen di atas, tinjaun terlbih dahulu operator momentum sudut
,
14
- - ⟨||⟩
Jelas, operator ini komut dengan z,
Mengingat bentuk (1.25) maka
Dengan demikian,
Jadi
tidak mengubah nilai eigen
, yaitu m.
dan akibatnya
Dengan demikian, sepuluh elemen matriks dalam pers. (1.26) menjadi nol
⟨ ||⟩ ⟨||⟩ ⟨||⟩,:; :; ⟨||⟩ ⟨ || ⟩ ⟨||⟩ Tabel 1.1. Fungsi Radial
⁄⁄ ⁄⁄⁄ ((⁄⁄√ √ ))⁄⁄⁄ ⁄⁄ ⁄ ((⁄⁄√ √ ))⁄⁄ ⁄ ⁄ ⁄ (⁄√ )⁄ ⁄ ⁄ 1
0
2
0
2
1
3
0
3
1
3
2
Tabel 1.2. Fungsi Harmonik Bola
15
Selanjutnya, menggunakan Tabel 1.1. dan Tabel 1.2, evaluasi komponenkomponen di atas
⟨||⟩⟨||⟩ ⟨||⟩ ⟨||⟩ ⟨ || ⟩ ⟨||⟩ ⟨||⟩ ⟨||⟩
Pada evaluasi di atas konstribusi jarak dapat diabaikan karena apa pun kontribusinya
dilenyapkan
kontribusi
oleh
sudut
.
Dengan
demikian
persamaannya menjadi
⟨||⟩,:; :; ⟨||⟩ ⟨||⟩ ⟨||⟩ *./ ./ ⟨ | | ⟩ ⟨| |⟩ . / |⟨||⟩|
Dan secara efektif merupakan persamaan matriks orde dua
Persamaan di atas memberikan persamaan sekular
Solusinya
|⟨||⟩|
Selanjutnya, evaluasi komponen nondiagonal memberikan
⟨||⟩⟨| |⟩ ⁄ 5 ⁄ ⁄ ( ) ⁄ 4 5 4 ⁄√ ⁄ √ ⁄ √ * 16
⁄ * ⏟ ⁄ ⁄ 4 5 4 5*
*. / . / √ |〉 √ √ |〉 √
Dengan demikian, energi koreksi
Untuk
Diperoleh
. Artinya, keadaan terpisah dengan
merupakan kombinasi linier
Dengan cara yang sama, untuk
diperoleh
, sehingga
Contoh 6.5. Rotator Tegar.
Sistem rotator tegar diungkapkan oleh Hamiltonian
dengan L adalah operator momentum sudut dan I adalah momentum kelembaman 2
I = mr . Tentukan
̂
a.
Spektrum nilai eigen system
b.
Koreksi efek Stark kedua.
terhadap energy eigen rotator sampai orde
Penyelesaian :
a.
Persamaan eigen tanpa gangguan
17
| 〉 |〉 |〉 | 〉 ̂ ⟨||⟩ ⟨|̂|⟩ ⟨| |⟩ Mengingat bentuk Hamiltonian dan persamaan eigen momentum sudut tanpa pembahasan atom hidrogen maka
dan
Jadi, spektrum nilai eigen rotator
dengan fungsi eigen degenerasi lipat
,
dengan
.
b.
Koreksi energi oleh potensial untuk nilai
untuk kasus degenerasi dapat dicek
tertentu dan m berbeda (dalam subruang degenerasi).
Menggunakan
hubungan
pengulangan
( recurrence
relation )
polinom
Legendre terasosiasi
atau
Maka
|〉 } | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 dengan
18
| 〉 ⟨|⟩ ⟨||⟩⟨⟨ | | ⟩ | ⟩ ⟨| ⟩ ⟨||⟩ ∑ |⟨|| ⟩| ⟨ ||⟩ ⟨ ||⟩ ⟨ ||⟩ || || * * 8 9 8 9 8 9 Ortonormalitas
memberikan
Karena itu, koreksi orde pertama
Sedangkan koreksi orde dua
Gunakan hubungan yang diperoleh di depan Hasil ini member kaidah seleksi yaitu dan
Untuk dan
Substitusi hasil-hasil di atas pada energi koreksi orde dua
19
B. GANGGUAN BERGANTUNG WAKTU 1.
Perumusan Umum
Perhatikan kehadiran gangguan kecil yang berubah terhadap waktu dan
⟨|⟩ ∑ ⁄ ⁄ ∑ 8 9 ∑ ⁄ ∑ ⁄ ∑ ⁄ ∑ ⁄ persamaan Schrodinger dapat dituliskan sebagai
Seperti dalam kasus takbergantung waktu, kita mempunyai solusi
lengkap
dengan
Selanjutnya,
diekspansi dalam suku-suku solusi lengkap ini.
Substitusi uraian (1.46) ke dalam persamaan pers. (1.43) memberikan
Tampak jika
, dan dari pers (1.44) didapatkan
harus
konstan. Pers. (1.47) memberikan
Lakukan perkalian scalar dengan
diperoleh
dan gunakan ortonormalitas (1.45)
∑ ⁄⟨|⟩ ⁄ ∑ ⁄⟨||⟩ ∑ ()⁄ ⟨||⟩ atau
20
()⁄⟨||⟩ ∑ ∑∑ ∑ ()⁄⟨||⟩ ()⁄⟨||⟩ ∑ ⟨||⟩ ()⁄ |⟨|⟩| || ()⁄ ⟨||⟩ Selanjutnya, koefisien
diekspansi dalam
Substitusi (1.49) ke dalam (1.48) diperoleh
Jelas,
Karena suku
ruas kanan paling rendah adalah orde satu. Syarat awal,
yakni pada
, dan
memberikan
Suku orde pertama
dan orde ke-k
Kembali ke pers (1.46), persamaan ini dapat ditafsirkan bahwa pada
waktu t keadaan terdiri dari kombinasi semua keadaan Dengan demikian, probabilitas keadaan eigen dari
dengan energy
dengan koefisien
.
pada waktu t berada dalam keadaan
, terapkan ortogonalitas (1.45), adalah
Untuk orde pertama, dari pers (1.54) diperoleh
2.
Interaksi Elektromagnetik
⃗⃗
Atom berada di dalam ruang dengan medan elektromagnetik yang dinyatakan dalam potensial vektor
.⃗ ⃗/
oleh
21
. Hamiltonian atom tersebut diberikan
.⃗ ⃗/ ⃗ (⃗⃗ ⃗) ⃗ (⃗ ) (⃗) ⃗ ⃗ (⃗ ) ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 4 5⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Untuk suku kinetiknya
Dalam gauge Coulomb
maka Hamiltonian (1.57) menjadi
Misalkan, potensial vektor dapat diekspansi sebagai
Dari persamaan Maxwell dapat diturunkan persamaan gelombang bagi
potensial vektor
maka
Kebergantungan potensial vektor terhadap ruang dapat dinyatakan
Karena itu,
Gauge Coulomb memberikan
Dari elektromagnetisme, hubungan antara medan listrik, medan magnet
dan potensial vektor dinyatakan oleh bentuk
22
Dari bentuk eksplisit medan vektor didapatkan
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ( ) ̅ ( ) .⃗(⃗) ⃗(⃗)/.⃗(⃗) (⃗)/ .⃗(⃗) ⃗(⃗) ⃗ ⃗/ Kerapatan energy elektromagnetik per satuan volume
Evaluasinya memberikan
dan
2 . ⃗(⃗⃗) ⃗(⃗⃗(⃗)⃗)/3 2.⃗(⃗⃗)(⃗⃗⃗)(⃗⃗) /3 2( ⃗)(⃗(⃗)⃗) (⃗⃗() ⃗)( ⃗) ( ⃗)( ⃗)3 .⃗ ⃗ ⃗ ⃗/
⃗
Perata-rataan terhadap waktu akan membuat suku osilasi lenyap sehingga
⃗ ̅ ⃗ ⃗ ̅ ⃗ ⃗ ̅ ̅ ̅̅̅
suku yang member kontribusi terhadap kerapatan energi hanya suku silang . Karena itu,
Misalkan energy ini ditimbulkan oleh N foton di dalam kotak V, maka
Hubungan ini memberikan bentuk,
Dengan vector polarisasi
memenuhi
23
,
Dengan demikian, bagian potensial yang memberikan proses emisi
⃗ ⃗ ̅(⃗) ̅⃗ (⃗) ̅⃗ ⃗ ̅⃗ ⃗ 6 7 [] []( ) ⃗ ̅ ∑ ⃗ * * Karena itu, energy satu foton
Koefisien ekspansi orde satu diberikan oleh
Maka probabilitasnya
Evaluasi bagian temporal menghasilkan
Untuk limit
, fungsi di atas akan menjadi fungsi delta
Probabilitas transisi persatuan waktu didefinisikan
Sedangkan laju transisi didefinisikan
Untuk mengevaluasi integral ini, perhatikan integran berikut
24
Maka
̅ ⃗ * * ̅ ⃗ ̅⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗) ⃗ ⃗ ̅⃗ ⃗ |⟨|̅⃗|⟩| * * 4 5 6 7 ⃗⃗ ⃗⃗-
Aproksimasi Dipol. Untuk menghitung laju transisi terlebih dahulu kita
evaluasi
Ekspansi suku eksponensial
Untuk
Maka
Sehingga
Pendekatan ini dikenal sebagai pendekatan dipol.
Kaidah seleksi . Untuk mengevaluasi lebih lanjut, perhatikan dua operator
Atau
Dalam tiga dimensi
Karena
Dan
25
⃗ ⃗⟨|̅⃗|⟩ ̅ ⟨| -|⟩ ̅ 0 1 . ̅⃗/̅ ⟨|⃗|⟩ ⟨||⟩ ̅ ⃗ Maka, dari hubungan operator
diperoleh
Sehingga
Substitusi kembali ke dalam ungkapan laju transmisi, diperoleh
Bentuk eksplisit perkalian scalar
̅ ⟨|⃗|⟩∬ ̅⃗ ̅⃗ ̅⃗ ̅⃗ ( ) 4 5 Di dalam koordinat bola
Gunakan
Maka
26
√ √ * Karena itu
Bentuk ini merupakan kaidah seleksi transisi yakni transisi diijinkan jika
dipenuhi
Contoh 6.6
⃗ ̅ ⟨|⃗|⟩̅ ⟨|⃗|⟩
Atom hidrogen berada di dalam ruang dengan medan elektromagnetik yang dinyatakan oleh potensial vector
. Tentukan laju transisi keadaan
.
Penyelesaian :
Keadaan
dan
, maka
∬ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ √ √ * √ √ * Integral fungsi harmoniknya memberikan
27
√ √ * ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ * * * √ √ ⁄ * * √ * ⁄ * ** √ ̅ ⟨|⃗|⟩45 √ √ √ * |̅ ⟨|⃗|⟩| 45 6 ( )( ) 7 * [ ( )( ) ] ∑ * ∑ [ ( )( ) ] * ⏟ * Sedangkan bagian radialnya
Sehingga
Dan kuadrat mutlaknya
Substitusi persamaan (1.92) diperoleh
Untuk integrasi anguler dipilih kondisi sederhana yakni keadaan awal p dapat
berada dalam tiga keadaan-m yang mungkin dengan probabilitas yang sama.
28
Selanjutnya, mengingat ada dua polarisasi maka laju transisi harus dikalikan faktor dua
* 45 45
29