1.- LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números números naturales Pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa ue su valor absoluto es un número entero al cual se le !a eliminado el signo" /-5/ # 5 /+5/ # 5 Si dos números enteros tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo se les llama opuestos" (-$) # $
(+$) # (-$)
%a suma de un número entero y su opuesto siempre es &"
1.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Para saber si un numero es divisible divisible por otro, basta efectuar la operaci'n operaci'n y ver si es o no eacta, pero es mas c'modo tener criterios ue nos permitan con un solo golpe de vista o por medio de un breve calculo, saber si un numero es divisible por otro UN NUMERO ES DIVISIBLE POR 2 3 9 5 10 11
SI %a cifra de las unidades es par Si la suma de sus cifras es múltiplo de $ Si la suma de sus cifras es múltiplo de Si la cifra de sus unidades es & o 5 Si la cifra de las unidades es & Se suman las cifras del lugar par por un lado y las del lugar impar por otro* si la diferencia es &, , o múltiplo de , es múltiplo de 5 # (5 + ) . ( + ) # & luego luego es múltiplo de de
2.- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS %os números son los los números positivos positivos y los números negativos negativos Primer Primero o !ay reali realiar ar las opera operacio ciones nes ue est0n est0n entre entre par1nt par1ntesi esis, s, a contin continuac uaci'n i'n las multiplicaciones, luego las divisiones, despu1s las sumas y por último las restas" Si no se sigue este orden los resultados pueden ser err'neos" 2.1.- SUMAR Y RESTAR Para sumar un número positivo y otro negativo el resultado es el mismo ue si restamos del número positivo el negativo" (+5) + (-) es lo mismo ue 5 . # " Para restar un número negativo es la operaci'n inversa, es decir, se suma (+2) - (-$) # 2 + $" A.- Suma: - Nm!"#$ %#& '(ua) $'(&#: $'(&#: 3l resultado es la suma de los valores absolutos de los dos números, con el mismo signo" (+5) + (+) # (+)
(-$) + (-4) # (-)
- Nm!"#$ %#& *'$+'&+# $'(&#: $'(&#: 3l resultado es la resta de sus valores absolutos y el signo correspondiente al número con mayor valor absoluto" (+) + (-$) # (+) (-5) + (+2) # (-$)
(+5) . (- ) # (-$) (-5) + (+$5) # - &&
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 1
B.- R!$+a: 7n signo delante de un par1ntesis cambia el signo de lo ue !ay dentro de este" Se suma al minuendo el opuesto del sustraendo" (+$) . (+) # (-) (+$) . (- ) # (+)
(-$) . (-) # (+) (-$) . (+) # (-)
2. 2.- MULTIPLICACI,N 3l signo de multiplicar se puede escribir de varias formas: con un aspa (5 2), con un punto (5 " 2), últimamente por utiliaci'n en inform0tica con un asterisco (5 8 2) Se multiplican los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado" 3l signo viene dado por las tablas siguiente" 39emplo: (+) (-2) (- ) # (+) %a multiplicaci'n de un número positivo y otro negativo, el resultado siempre ser0 negativo" m0s
por menos # menos
menos por m0s # menos
/ /-2 -1. %a multiplicaci'n de un número negativo y otro negativo, el resultado siempre ser0 positivo" m0s
por
m0s
# m0s
menos por menos # m0s
/-1 /-1 /1 3.- DIVISI,N Se dividen los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado" 3l signo viene dado por las tablas siguientes" 39emplo" (+2&) : (-2) : (-5) # (+2) %a divisi'n de un número positivo entre otro negativo o a la inversa siempre es negativo* es decir ue la divisi'n entre números de distinto signo siempre ser0 negativo m0s
: entre menos # menos
: menos entre m0s # menos
/20: /-2 /-10 Si dividimos un número negativo y otro negativo, el resultado siempre ser0 positivo" %a ivisi'n entre números del mismo signo siempre ser0 positivo m0s
: entre m0s
#
+ m0s
: + menos entre menos # m0s
/-10: /-5 /2. (+5) (+) # (+&) (+5) (-) # (-&) (-5) (+) # (-&) (-5) (-) # (+&)
(+&) : (+5) # (+) (+&) : (-5) # (+) (-&) : (+5) # (-) (-&) : (-5) # (+)
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 2
2.- LOS NUMEROS DECIMALES %os números decimales tienen dos partes: 4a"+! !&+!"a y 4a"+! *!%'ma), separadas por una coma" a) 4a"+! !&+!"a o números enteros los ue uedan a la iuierda de la comal b) 4a"+! *!%'ma): o números decimales los ue uedan a la derec!a de la coma OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES: Suma R!$+a *! &m!"#$ *!%'ma)!$: %os números decimales se suman y se restan como los enteros, manteniendo la coma en la misma posici'n para todos los sumandos y el resultado" &,&$ 5 , + 4,$4 5,&4
4,& - ,$ ,;4
A.- SUMA: Se colocan las comas deba9o de las comas, uedando en la misma columna las unidades del mismo orden" Se suman igual ue los números naturales" &, + &,2 # ,4
,5 + 5, + &,4 # 4,44
B.- RESTA:
" 4,(&) . 5,$5 # ,&5
&,25 . &, # &"
C.- MULTIPLICACI,N: 3n la suma y resta de número decimales !ay ue cuidar de ue las comas ue separan los enteros de los decimales y las unidades de un mismo orden vengan unas deba9o de otras* esto en la multiplicaci'n no es necesario Se multiplican como si fueran enteros y en el resultado se coloca la coma tantos lugares !acia la iuierda, como cifras tiene la parte decimal de ambos números" $,4 2,4 # 5,&
5,25 5 # 4,25
?ultiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: Se desplaa la coma tantos lugares !acia la derec!a como ceros tenga la unidad (si no !ay suficientes cifras se a@aden ceros)" &,$$ &&& # $$& $, ,$ 52 4,$
&,25 & # 2,5
%os números decimales se multiplican como si fueran enteros y terminada la operaci'n se separaran tantas cifras decimales en el resultado como tengan el multiplicando mas el multiplicador" 3l multiplicando $; tiene un solo decimal y el multiplicador ;$ tiene tambi1n decimal" Por lo tanto, el numero resultante debe tener + #2 decimales"
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 3
D.- DIVISI,N:
%a$#$
1.- D'6'*'" u& &m!"# *!%'ma) !&+"! u& !&+!"# : Se dividen igual ue si los dos números fueran enteros, separando despu1s en el cociente tantas cifras decimales como tiene el dividendo" A dic!o de otra forma: al ba9ar la primera cifra decimal se pondr0 una coma en el cociente &,5 : $ # $,5$
4,2 : # 4,&$
2.- D'6'*'" u& &m!"# !&+!"# !&+"! u& *!%'ma) : Se trasforma el decimal en entero* se a@ade al entero tantos ceros como cifras tenga el número decimal y asB desaparecen las comas" & : $,2 # && : $2 # 2,5
2& : &,5 # 2&&: &"5 # &
$25 : &; # $25& 666 &5 2;5 & 2& Cntes de comenar la operaci'n convertimos en entero el divisor, poniendo en el dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor y uitamos la coma de este" espu1s es una divisi'n de números enteros" Por lo tanto, la divisi'n $25 : &; es la misma ue $25& : " ya ue !emos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: &" 3.- D'6'*'" u& &m!"# *!%'ma) !&+"! #+"# *!%'ma) : Se a@ade tanto al dividendo como al divisor tantos ceros como sean necesarios, para igualar el número de cifras decimales, se elimina la coma y se opera como si fueran enteros" , : &,&2 # ,& : &,&2 # 2&
5,$5 : $,2 # 5,$5 : $,2&& # ,4
Denemos ue igualar con ceros las cifras decimales y despu1s uitar la coma decimal, operando como si se tratara de números enteros" 3l dividendo 2;$ tiene decimal y el divisor tiene decimales" 2;$ : &;&&$$ # 2$&&& : $$ Para ue el divisor resulte un número entero desplaamos la coma del dividendo y del divisor veces" Cl número 2;$ desplaamos la coma un lugar y le a@adimos $ ceros, resultando 2$&&&" 3l divisor resulta $$" 3n realidad, !emos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: &"&&&" .- D'6'*'" 4#" )a u&'*a* $!(u'*a *! %!"#$: esplaamos la coma tantos lugares !acia la iuierda como ceros tenga la unidad ( si no !ay suficientes cifras se a@aden ceros)" 2,$5 : &&& # &,&&2$5
$2,5 : && # ,$25
4;&5 : && # &;&4&5
Si dividimos un número decimal por la unidad seguida de ceros el resultado es el número decimal con la coma trasladada !acia la iuierda tantos lugares como ceros tenga el divisor" &;&4&5 resulta de trasladar 2 lugares la coma, ya ue && contiene dos ceros
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 4
3.- NUMEROS MI7TOS Son la suma de un número natural y una fracci'n (ser0 sobreentendido el signo de la suma ra'n por la ue se prescinde de 1l )" $/ # $+/ Si se uiere epresar como fracci'n se multiplicar0 el denominador por la parte entera y se le sumar0 el numerador" $ E # $/ C la inversa, si se uiere epresar un número racional en forma de número mito" Fastar0 con dividir el numerador entre el denominador e indicarlo asB: 25/ # 25: # $(cociente) y de resto # 3n forma de número mito: $ / 8a))a"
13 2
3l primer t1rmino de esta suma es un número mito" Gonsiste en la suma de un número natural y una fracci'n, 4 + H Para pasarlo a fraccionario se aplica la definici'n de suma, asB 4 # 4 + # 4 + # ( 4 2 ) + # $ 2 2 2 2 2 A multiplicamos el número entero por el denominador y al resultado se le suma el numerador" 3l denominador se mantiene" 4 # 4 2 + # $ 2 2 2 3l resto de la suma se realia como la suma de fracciones ue es $ + $ # ($ 2 ) + $ 2
#
2/
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 5
.- NUMEROS RACCIONARIOS Iúmero fraccionario es el ue epresa una o varias partes de la unidad dividida en cierto número de partes iguales" 3l número fraccionario tiene dos partes: Num!"a*#" (número de partes ue contiene una fracci'n) y *!&#m'&a*#" (número de partes iguales en ue se divide la unidad) "
• •
R!()a 1 : LAS DISTINTAS RACCIONES DE UN TODO DEBEN DE SUMAR 1 Si un negocio es de $ socios y dos de ellos poseen $/5 y /&, respectivamente, entre estos dos poseen $/5 + /& # /& Por lo tanto el tercer socio tiene los $/& ue faltan REPARTOS PROPORCIONALES 3n los repartos proporcionales, las distintas fracciones en ue se parte el total , adem0s de ser proporcionales a los valores ue se se@ale, deben de sumar Jalores a, b, c """"" Kracciones
Suma a + b + c +"""""" # S
a/S , b/S, c/S """""
Suma
a S
; S
% ... S 1 S S
OPERACIONES CON RACCIONES: A.- SUMA Y RESTA : Suma # "!$+a *! "a%'#&a)!$ %#& '(ua) *!&#m'&a*#": Se suma o restan los numeradores y se de9a el mismo denominador"
•
/ + 4/ # /
/ . $/ # /
Se $uma& los numeradores y se de9a el mismo denominador:
$ 5
$ + # 5 5
+
5
#
$+ 5
#
5
Se "!$+a& los numeradores y se de9a el mismo denominador:
5
-
$
# 5 5
-
$ 5
#
-$ 5
#
5
Guando !ay ue sumar o restar m0s de dos uebrados con el mismo denominador, se de9a el mismo denominador y se suman o restan todos los numeradores" numerador 5+$-+ 2# denominador 3n este caso se trata de sumar y restar fracciones de igual denominador" %a fracci'n resultante de esta operaci'n tendr0 el mismo denominador, siendo su numerador el resultado de sumar y restar los numeradores de las cuatro fracciones dadas" Iumerador # 5+$-+2 3l denominador ser0 el mismo ue en las fracciones anteriores" " 3n consecuencia, el resultado de la operaci'n ser0: 4/
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 6
%a Suma o restas de fracciones cuyos denominadores sean primos entre sB: Se multiplican los denominadores para !allar un denominador común y luego, se multiplica el n umerador de la primera fracci'n por el denominador de la segunda y se suma y resta a la multiplicaci'n del denominador de la primera fracci'n por el de la segunda" $/5 + / # ($$+$5) / 55 # 4/55 5/$ . 2/5 # (25 . 4) / 5 # /5 •
Suma "!$+a *! <"a%%'#&!$ %#& *'$+'&+# *!&#m'&a*#"
Para $uma" # "!$+a" uebrados, si tienen distinto denominador, !ay ue conseguir un mismo denominador" Para ello !ay ue conseguir un número ue sea múltiplo común todos los denominadores, a ser posible el m0s peue@o" (3l mBnimo común múltiplo, es el número m0s peue@o ue es la ve divisible por los números a los ue nos referimos)"
3 5
2
20 10 10
3l mBnimo común múltiplo es el &, por ello lo ponemos de denominador"
L ya tenemos la suma de uebrados con el mismo denominador"
10
20 10
666 + 666 & &
#
20 2 10 10
3l denominador común por medio del mBnimo común múltiplo (m" c" m"), ue son los factores comunes al mayor eponente y los no comunes, y luego se suman o restan" $/4 + /2 # (4+)/ 2 # $/2 4#$2 2 # $ 22
/$ . /4 # (2-)/4 # -2/4
m%m. # 22 $ 2
39emplo:
$#$ 4 3 2
m%m 3 2 # 4
21 5-3 3 2
%as fracciones a sumar y restar tienen distinto denominador, por lo ue !ay ue reducirlas, primero a común denominador "- Mallamos el mBnimo común múltiplo de los denominadores ( de $, , 2 y 4)" 3stos números poseen infinitos múltiplos comunes, pero !emos de !allar el menor, el m0s peue@o de los comunes" 3n esta ocasi'n es 2" 2"- Mallamos fracciones euivalentes a las del problema con denominador 2" ( Se !alla una fracci'n euivalente a la primera si se multiplican o dividen numerador y denominador por el mismo número) " %a fracci'n euivalente a 2/$ ue presente 2 en el denominador, ser0 /2 %a fracci'n euivalente a / , con denominador 2 ser0 $/ 2 %a euivalente a 5/2 ser0 $&/2 y la euivalente a $/4 ser0 4/ 2 + $ + $& . 4 # $5 2 2 2 2 2
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 7
B.- MULTIPLICACI,N : Se multiplican numeradores por un lado y denominadores por otro" %os uebrados se mu)+'4)'%a& multiplicando en paralelo:
$ 5
2
#
$ 5
2
#
$
#
52
2
# ,2
&
Para multiplicar cuando !ay m0s de dos uebrados, no !ay problema ya ue al ser en paralelo se pueden realiar todos de una ve" 39emplo: 3 2 5 3 2 Se multiplicar los numeradotes entre si y los denominadores entre sB" $ 2 5 # $&, y $ 2 # 2" 3l resultado es $&/2 # 5/ Se divide numerador y denominador por (4), para reducir al m0imo la fracci'n" C.- DIVISI,N: Se multiplican en cru" 3: 5 3 %a divisi'n es la operaci'n inversa a la multiplicaci'n" Para resolverla se multiplicar0 la primera fracci'n por la inversa de la segunda 3s decir,
$/5 $ / y el resultado es /2&
%os uebrados se *'6'*!& multiplicando en aspa:
$ 5
:
2
#
$ 5
:
2
#
$2 5
#
4 2&
# &,$
4/ : /5 # $&/ Guando !ay ue dividir m0s de dos conviene dividir los dos primeros y luego el resultado dividirlo por el tercero, el resultado dividirlo por el cuarto y asB sucesivamente" Kracci'n decimal: Kracci'n cuyo denominador es la unidad seguida de ceros" $/& /&&& 7na fracci'n decimal se puede escribir como un número decimal" &, # /&
/&&&& # &,&
/&&& # &,&&
e a!B ue cuando tengamos ue realiar una operaci'n como: 23:0=01 # 2$: /&& # 23 100
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 8
5.- POTENCIAS %lamamos potencia de base =a> y eponente =n> al producto de =n> factores iguales a =a>" ;a$!
E4#&!&+!
53 555 - Si una potencia tiene base negativa el resultado podr0 ser: 22 #
2$ #
Positiva si el eponente es par: (-2) 2 # Iegativa si el eponente es impar: (-2)$ # - - Dener en cuenta ue .$2 # -($$)# - no es igual a (-$)2 # (-$) (-$)# a >& 1? a&
a m . a & a m&
/a . ; & a& . ;&
/ am & a m.&
/a . ; . % & a & . ; & . % & a ;@
a& ;&
a0 1
a
&
am a m - &
/a?; & a & ? ; & / a : ; & a & : ; &
/ a ; 2 a2 ;2 2a;
/a ; . /a > ; a2 - ;2
OPERACIONES CON POTENCIAS A.- SUMA Y RESTA: Se calcula cada una de ellas por separado - 22 +5$-$2 # +25- # 2& 22 23 22 20 %a suma de potencias, al igual ue la resta, no presenta ninguna propiedad" Por esto se deben de !allar las potencias independientemente y luego sumarlas o, en su caso" restarlas" Gualuier número, positivo o negativo, elevado a la potencia cero dar0 como resultado uno" 20 1. B.- MULTIPLICACI,N CON IUAL BASE 3s otra potencia con la misma base y el eponente igual a la suma de los eponentes" 33 32 35 35 32 33
/-22 /-23 /-223 /-25
310
C.- DIVISI,N DE IUAL BASE Potencia con igual base y eponente la diferencia de los eponentes" : 3 1
/-33 : /-32 /-31 /-3
: 2: 5
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 9
Si las bases son distintas !ay ue operar con cada una de forma independiente 22 $2 : 42 # 4 : $4 # : $4 # D.- POTENCIA DE UN PRODUCTO: 3s igual al producto de dic!os factores elevados al eponente dado" ?ultiplica primero los factores y luego eleva a la potencia" ($2) $ # $ $$ 2$ # 2$ E.- POTENCIA DE UN COCIENTE: ividimos los números de dic!o cociente y el resultado lo elevamos a la potencia dada" (:2) 2 # 22 # .- POTENCIA DE OTRA POTENCIA: E$ una potencia de la misma base cuyo eponente es el producto de los eponentes" N($) O # $ # $2 .- POTENCIA ELEVADA A UNA RACCI,N: E$ una raB ue tiene como radicando la base elevada al numerador de la fracci'n y como Bndice el denominador de dic!a fracci'n" $5/$ #
$
$5
C/2 #
C
2
8.- POTENCIA CON E7PONENTE NEATIVO: Son fracciones con numerador y cuyo denominador es la misma potencia con eponente positivo" $-2 # /$2
C-/2 # /
2
C
- 7na potencia con eponente & siempre es igual a : $& # - 7na potencia cuya base es siempre ser0 : $ # - 7na potencia cuyo eponente es ser0 igual a la base: # - 7na potencia cuya base es & siempre es igual a &" NUMEROS
CUADRADOS
& # &
CUBOS
1
1
1
2
4
8
3
9
27
4
16
64
5
25
125
6
36
216
7
49
343
8
64
512
9
81
729
10
100
1000
11
121
1331
12
144
1728
13
169
2197
14
196
2744
15
225
3375
16
256
4096
17
289
4913
18
324
5832
19
361
6859
20
400
8000
.- RAICES
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.- RAICES de un número =a> ser0 otro número =b> ue elevado a =n> es igual a =a>" &*'%!
&
RaF a
#
;
;& a
Ra*'%a&*#
SINO DE UNA RAG 1.- Ra*'%a&*# 4#$'+'6#
ndice par
dos soluciones
ndice impar
raB positiva
2.- Ra*'%a&*# &!(a+'6#
55 (-5) (-5)
ndice par: no tiene soluci'n ndice impar raB negativa
A.- RAG DE UNA RAG: Se multiplican los Bndices y el radical ser0 en mismo" B.- POTENCIA DE RACES: Se eleva el radicando a dic!a potencia C.- MULTIPLICACI,N DE UN NÚMERO POR UNA RAG: 3s otra raB con el mismo Bndice y el radicando ser0 el producto del radicando y el número ue multiplica elevado al Bndice D.- PRODUCTO DE RACES: Si tienen igual Bndice se mantiene el Bndice y se multiplican los radicandos E.- DIVISI,N DE RACES: Gon igual Bndice se mantiene el Bndice y se dividen los radicandos .- SIMPLIICAR UNA RAG: Poner la raB en forma potencial .- RAG DE NÚMEROS DECIMALES: La raB de un número decimal, se etrae como si el número fuera entero y en el número ue se obtiene, se separan tantas cifras !acia la derec!a, como indiue el cociente entre la cantidad de cifras decimales ue tenBa el número dado y el Bndice de la raB %a
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 11
.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES May $ m1todos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc'gnitas 1.- MHTODO DE SUSTITUCI,N ?uy útil cuando una de las inc'gnitas tiene coeficiente o . en alguna de las ecuaciones S! *!$4!a u&a '&%J(&'+a !& u&a *! )a$ !%ua%'#&!$ $! $u$+'+u! !& )a #+"a Se obtiene asB una ecuaci'n con una inc'gnita" 3 > 5 1 15 > 2
$( 5 . 2y) . 5y #
y# * #
2.- METODO DE IUALACI,N Se utilia cuando ya aparece despe9ada una misma inc'gnita en ambas ecuaciones" S! *!$4!a )a m'$ma '&%J(&'+a !& )a$ *#$ !%ua%'#&!$ $! '(ua)a& )#$ "!$u)+a*#$ 3 > 5 1 @ 1 5 3
1 5 15 > 2 3
2 15 * # 5 . 2y
@ @
3.- METODO DE REDUCCION Se Cplica cuando una inc'gnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números ue convenga), para ue una de las dos inc'gnitas tenga el mismo coeficiente en ambas* CsB al restarlas desaparece esa inc'gnita $ + 5y # 4
* ( )
*
2 + 2&y # $&
. 2y # 4
* ( $)
* 2 - 4y #
restando """""""""""""""""""""""""""
24 y # 24 *
L # *
#
7na ecuaci'n es una operaci'n en la ue !ay una parte o dato ue desconocemos, ue viene epresado por una letra o incognita" 3l planteamiento de la ecuaci'n siempre es a modo de igualdad: - 2 5 Q"- Poner todos los números ue acompa@an a la inc'gnita al mismo lado de la igualdad y el resto al otro 7n número para cambiar de lado en la igualdad, pasa con el mismo valor absoluto pero cambi0ndole el signo a"- Si esta sumando en un lado pasa restando al otro b"- Si esta multiplicando en un lado de la igualdad pasa dividiendo y al reves - 2 5 2Q"- 7na ve agrupados se realian las operaciones"
12
$Q"- espe9ar la inc'gnita, pasar ue est0 multiplicando al otro lado, y pasarlo dividiendo # 2
por tanto # $
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 12
Si repartimos 2& Euros entre dos amigos de forma que uno de ellos recibe triple cantidad que la otra, mas 8 Euros . ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
Gantidad de uno -R al otro -R $ +
%a suma de las dos cantidades tiene ue ser el valor a repartir" "- 2 3uros + $ + # 2& 2"- 2 3uros + $ # 2 # 2 # 2/ # 2
SISTEMAS DE ECUACIONES. 7n sistema de ecuaciones es un con9unto de ecuaciones en el ue !ay mas de una inc'gnita, es decir, mas de un valor desconocido" $ + 5y # 2 - $y - & Q"- espe9ar en una ecuacion una inc'gnita y sustituir esa inc'gnita en la otra ecuaci'n # & + $y $ + 5y # 2
------------ $( & + $y) + 5y # 2
$& + y +5y # 2
y + 5y # 2 - $&
y # - 2
y # - 2 y # -2
7na ve obtenido uno de los valores volvemos al valor de y sustituimos la y por su valor num1rico obteniendo asB el valor de " # & + $ " (-2)
# & - 4 -R #
39emplo: %os $2& empleados de una fabrica traba9an en tres secciones* 3n la secci'n !ay tantos traba9adores como en la suma de los otras dos y la $T tiene & traba9adores menos ue la 2T UGu0ntos traba9adores !ay en cada secci'nV" # T secci'n*
y # 2T secci'n
# $T secci'n
%a T tiene tantos como las otras dos 9untas: # y + %a $T tiene & menos ue la 2T : Si todos son $2&:
# y - &
+ y + # $2&
Denemos tres ecuaciones con tres inc'gnitas" + y + # $2&
#y+
# y . &
3n la $T ecuaci'n tengo el valor de , por lo ue sustituyo ese valor en la 2T ecuaci'n y en la primera, uedando asB: # y + y - &*
+ y + y . & # $2&
# 2 y . &
+ 2 y # $4&
C!ora !ay dos ecuaciones con dos inc'gnitas como en el e9emplo anterior" + 2y # $4& # 2y - &
Sustituyo de nuevo el valor de # 2y - & en la T ecuaci'n, uedando asB2y . & + 2y # $4& 2y + 2y # $4& + &
y # && ----- y # && Si y # 5&" entonces # 2 " && - & -R # 4& Si + y + # 4&, entonces & + 5& + # 4&* # 4&
66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 13
1.- RELA DE TRES %a regla de tres simple resuelve los problemas en los cuales se dan dos cantidades de magnitudes distintas y ue guardan entre sB una proporci'n directa o indirecta" 1.1..- RELA DE TRES DIRECTA ) Gompro 5 compactos por 2 euros ,Guanto cuestan 2 masV" %a relaci'n entre el nQ de compactos y el precio total guarda una relaci'n directa, es decir, es directamente proporcional, ya ue a mayor número de compactos , mayor ser0 el precio a pagar" Planteamiento del problema: 5 compactos -------- 2 3uros 2 compactos ------UV
# 2 2 # 5,4 3uros 5 D!;!"K 4a(a" 5= Eu"#$.
2) 7n alba@il 5& 3uros al mes por su traba9o" UGu0nto recibe si solo !a traba9ado 2 dBasV %a relaci'n entre lo ue cobra y los dBas ue traba9a es directamente proporcional ya ue si traba9a menos dBas cobra menos dinero" $& dBas -R 5& 3uros " 2 dBas -R
# 5& 2 # $&& 3uros" $& P!"%';'"K 300 Eu"#$
1.2.- RELA DE TRES INVERSA Para realiar un traba9o 2 especialistas tardan 2 dBas" UGu0nto tardar0n especialistasV %a relaci'n entre el número de especialistas y el tiempo empleado es inversamente proporcional porue a menos especialistas m0s tiempo tenemos ue emplear en !acer el traba9o 2 especialistas --------- 2 dBas especialistas ---------
# 2 2 # $ Dardar0n $ dBas
2.- PORCENTAES 3l tanto por ciento • •
Se representa con el sBmbolo W Se calcula aplicando el concepto de regla de tres directa del apartado anterior"
$"- Supuestos : C) Mallar el W de una cantidad Si compro una moto por "$5& 3uros y me realian un descuento del 2W UGu0nto !e de pagarV && - R "$5& 2
# "$5& 2 # Dotal del precio # "$5& 4 && $5& . 4 # 54&&* 3s lo ue tengo ue abonar
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F) Ios dan el W de una cantidad, calcular dic!a cantidad $$ !ombres de un pueblo, est0n solteros y son el 4 W de los !ombres del pueblo" UGu0ntos !ombres !ay en totalV 4 -R && -R
$$ !ombres
# && $$ 4
# 55&
May 55& !ombres en el pueblo
G) ada una cantidad ue es un W de otra dada, calcular dic!o W Una clase tiene una matrícula de 2! alumnos. "i faltan a clase #!, ¿Qué tanto por ciento falt$ a clase?
25& alumnos -R && & alumnos -R
# && # 4 25
Kalt' el 4 W de los alumnos
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