teoria de circuitos

Índice ÍNDICE ....................................... ........................................................... ........................................ ........................................ ........................................ .......................... ......11 TEMA 1

CIRCUITOS CIRCUIT OS RESISTIVOS RESISTI VOS Y FUE FUENTE NTES.. S....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 5

Apartado 1.1

Magnitudes y unidades básicas ................................................................................................5

Sub-Apartado 1.1.1 Sub-Apartado 1.1.2

Corriente.............................................................................................................................5 Tensión...............................................................................................................................5

Apartado 1.2

Ley de Ohm....................................................................................................................................5

Apartado 1.3

Leyes de Kirchhoff.......................................................................................................................6

Sub-Apartado 1.3.1 Ley de Corrientes de Kirchhoff......................................................................................6 Apunte 1.3.1.1 Conven Con venio io sobre sobr e corrient corr ientee .................................................................................................... 6 Sub-Apartado 1.3.2 Ley de Tensiones Tensione s de Kirchhoff Kirchho ff ............ ................... ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............7 ......7 Apartado 1.4

Fuentes ideales de Tensión y Corriente..................................................................................7

Sub-Apartado 1.4.1 Fuente ideal de Tensión o Voltaje ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ .......7 .7 Apunte Apu nte 1.4.1.1 1.4.1.1 Comportamiento Comportam iento de la fuente de voltaje ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ .......7 .7 Sub-Apartado 1.4.2 Fuente Ideal de Corriente................................................................................................8 Apunte 1.4.2.1 Comportamiento Comporta miento de d e la Fuente Ideal de Corriente C orriente ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ..........8 ....8 Apartado 1.5

Asociación serie y paralelo de elementos ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ...........8 .....8

Apartado 1.6

Fuentes Fuen tes Reales Real es de tensión tens ión y corriente corr iente .....................................................................................8


Fuente Fue nte Real Rea l de Tensión Ten sión ................................................................................................... 8 Fuente Real de Corriente.................................................................................................9

Apartado 1.7

Conversión entre fuentes reales ...............................................................................................9

Apartado 1.8

Asociació n de elementos ideales y reales................. reales....................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ........... ..... 10

Sub-Apartado 1.8.1 Sub-Apartado 1.8.2 Sub-Apartado 1.8.3 Sub-Apartado 1.8.4 Sub-Apartado 1.8.5 Sub-Apartado 1.8.6 Sub-Apartado 1.8.7 Sub-Apartado 1.8.8 Sub-Apartado 1.8.9 Sub-Apartado 1.8.10 Apartado 1.9

Asociación en serie de resistencias. Divisor de tensión...........................................10 Asociación en paralelo de resistencias. Divisor de corriente..................................11 Asociación Asocia ción en e n serie seri e de fuentes de tensión ten sión ideales........... i deales................. ............ ............. ............. ............ ............ ...........12 .....12 Asociación Asocia ción en paralelo de fuentes fue ntes de tensión ideales................. ideales........................ ............. ............ ............ ...........12 .....12 Asociación Asociac ión en serie de d e fuentes fuen tes de corriente ideales ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............ .......12 .12 Asociación Asociac ión en paralelo de fuentes fuent es de corriente c orriente ideales ............ ................... ............. ............ ............ ............ .......12 .12 Asociación Asociac ión en serie s erie de fuentes de voltaje volta je reales ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............13 ......13 Asociación Asoci ación en paralel p araleloo de fuentes fuent es de intensidad inte nsidad reales ............ ................... ............. ............ ............ ............13 ......13 Asociación Asociac ión en paralelo par alelo de fuentes fu entes de voltaje v oltaje reales rea les ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............14 ......14 Asociación en serie d e fuentes fuent es de intensidad in tensidad reales ............ ................... ............. ............ ............ ............ ..........15 ....15

Métodos de mallas ..................................................................................................................... 15

Sub-Apartado 1.9.1 Escritura Escr itura directa direc ta .............................................................................................................. 16 Apunte 1.9.1.1 Fuentes Fuen tes dependien depe ndientes tes ......................................................................................................... 16 Apartado 1.10

Método Métod o de los nudos ................................................................................................................ 16

Sub-Apartado Sub-Apartado 1.10.1 1.10. 1 Escritura directa............................................................................................................17 Sub-Apartado 1.10.2 Fuentes de tensión........................................................................................................17 Apunte 1.10.2.1 Entre un nudo y el de referencia ............ ................... ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ..........18 ....18 Apunte 1.10.2.2 Entre Ent re dos nudos nud os ................................................................................................................ 18

TEMA 2 Apartado 2.1

TEOREMAS BÁSICOS BÁSICOS PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ......18 ......18 Teorema Teor ema de superpos supe rposició ición n ...................................................................................................... 18

1

Sub-Apartado 2.1.1 Sub-Apartado 2.1.2 Sub-Apartado 2.1.3 Apartado 2.2

Teorema Teore ma de Thevenin................................................................................... Theve nin................................................................................... ............................ 19

Sub-Apartado 2.2.1 Sub-Apartado 2.2.2 Apartado 2.3

Eliminación Elimin ación fuentes fuente s de tensión tensió n ............ ................... ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ..........18 ....18 Eliminación de fuentes fuente s de corriente corrie nte ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ........18 ..18 Uso del teorema .............................................................................................................. 18 Uso del teorema .............................................................................................................. 19 Tensión e Impedancia de Thevenin ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ .........19 ...19

Teorema Teorem a de Millman ................................................................................................................ 19

Sub-Apartado 2.3.1

Aplicaci Apli caciones ones de Millman Millm an .............................................................................................. 20

Apartado 2.4

Teorema de máxima transferencia de Potencia................ Potencia...................... ............ ............ ............. ............. ............ ............ ........... ..... 20

Apartado 2.5

Teorema de Rossen. Conversión

TEMA 3 Apartado 3.1

Formas de onda no periódicas ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ......... ... 23

Apartado 4.1

Condensad Cond ensador. or. Expresio Expr esiones nes ..................................................................................................... 26

Asociación de condensadores.......................................................................................27

Bobina. Bobin a. Expresiones Expre siones ................................................................................................................. 27

Sub-Apartado 4.2.1

TEMA 5

Valores asociados...........................................................................................................25 Función senoidal.............................................................................................................26

CONDENSADORES Y BOBINAS........................................................26

Sub-Apartado 4.1.1 Apartado 4.2

Escalón Esca lón ............................................................................................................................. 23 Rampa...............................................................................................................................23 Parábola ............................................................................................................................ 24 Exponencial.....................................................................................................................24 Impulso Impu lso de Dirac Dira c ............................................................................................................ 25

Formas de onda on da periódicas. p eriódicas. Valores asociados ............ .................. ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ .......... .... 25


TEMA 4

↔ ∆ . ........................................................................ 21

FORMAS DE ONDA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS.......................23

Sub-Apartado 3.1.1 Sub-Apartado 3.1.2 Sub-Apartado 3.1.3 Sub-Apartado 3.1.4 Sub-Apartado 3.1.5 Apartado 3.2

λ

Asociac Aso ciación ión ....................................................................................................................... 28

RESOLUCIÓN RESOLUCI ÓN DE CIRCUITOS. C IRCUITOS. NOTACIÓN NOTACIÓN OPERACIONAL OPERACIONAL ......28 ......28

Apartado 5.1

Con fuentes fuen tes de tensión tens ión ............................................................................................................. 29

Apartado 5.2

Con fuentes fuent es de corriente corri ente ......................................................................................................... 29

TEMA 6

RÉGIMEN RÉ GIMEN ESTACIONARIO ESTACIO NARIO SENOIDAL .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .........30 ....30

Apartado 6.1

Concepto de Fasor .................................................................................................................... 30

Apartado 6.2

Comportamiento de los elementos pasivos en Corriente Al terna ............. ................... ............ ............ ........ 30


Circuitos R-L-C en serie. s erie. Impedancia Impedan cia compleja co mpleja ............ .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ........ 32


Resistenci Resis tenciaa ....................................................................................................................... 30 Bobina Bobin a .............................................................................................................................. 31 Condensador....................................................................................................................31 Caso 1 ............................................................................................................................... 33 Caso 2 ............................................................................................................................... 33 Caso 3 ............................................................................................................................... 33

Circuitos R-L-C Paralelo. Pa ralelo. Admitancia Admitanci a Compleja C ompleja ............ .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ........... ..... 33

2


Teorema Teore ma de Thevenin................................................................................... Theve nin................................................................................... ............................ 19


Eliminación Elimin ación fuentes fuente s de tensión tensió n ............ ................... ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ..........18 ....18 Eliminación de fuentes fuente s de corriente corrie nte ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ........18 ..18 Uso del teorema .............................................................................................................. 18 Uso del teorema .............................................................................................................. 19 Tensión e Impedancia de Thevenin ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ .........19 ...19

Teorema Teorem a de Millman ................................................................................................................ 19

Sub-Apartado 2.3.1

Aplicaci Apli caciones ones de Millman Millm an .............................................................................................. 20

Apartado 2.4

Teorema de máxima transferencia de Potencia................ Potencia...................... ............ ............ ............. ............. ............ ............ ........... ..... 20

Apartado 2.5

Teorema de Rossen. Conversión

TEMA 3 Apartado 3.1

Formas de onda no periódicas ............ .................. ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ......... ... 23

Apartado 4.1

Condensad Cond ensador. or. Expresio Expr esiones nes ..................................................................................................... 26

Asociación de condensadores.......................................................................................27

Bobina. Bobin a. Expresiones Expre siones ................................................................................................................. 27

Sub-Apartado 4.2.1

TEMA 5

Valores asociados...........................................................................................................25 Función senoidal.............................................................................................................26

CONDENSADORES Y BOBINAS........................................................26

Sub-Apartado 4.1.1 Apartado 4.2

Escalón Esca lón ............................................................................................................................. 23 Rampa...............................................................................................................................23 Parábola ............................................................................................................................ 24 Exponencial.....................................................................................................................24 Impulso Impu lso de Dirac Dira c ............................................................................................................ 25

Formas de onda on da periódicas. p eriódicas. Valores asociados ............ .................. ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ .......... .... 25


TEMA 4

↔ ∆ . ........................................................................ 21

FORMAS DE ONDA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS.......................23

Sub-Apartado 3.1.1 Sub-Apartado 3.1.2 Sub-Apartado 3.1.3 Sub-Apartado 3.1.4 Sub-Apartado 3.1.5 Apartado 3.2

λ

Asociac Aso ciación ión ....................................................................................................................... 28

RESOLUCIÓN RESOLUCI ÓN DE CIRCUITOS. C IRCUITOS. NOTACIÓN NOTACIÓN OPERACIONAL OPERACIONAL ......28 ......28

Apartado 5.1

Con fuentes fuen tes de tensión tens ión ............................................................................................................. 29

Apartado 5.2

Con fuentes fuent es de corriente corri ente ......................................................................................................... 29

TEMA 6

RÉGIMEN RÉ GIMEN ESTACIONARIO ESTACIO NARIO SENOIDAL .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .........30 ....30

Apartado 6.1

Concepto de Fasor .................................................................................................................... 30

Apartado 6.2

Comportamiento de los elementos pasivos en Corriente Al terna ............. ................... ............ ............ ........ 30


Circuitos R-L-C en serie. s erie. Impedancia Impedan cia compleja co mpleja ............ .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ........ 32


Resistenci Resis tenciaa ....................................................................................................................... 30 Bobina Bobin a .............................................................................................................................. 31 Condensador....................................................................................................................31 Caso 1 ............................................................................................................................... 33 Caso 2 ............................................................................................................................... 33 Caso 3 ............................................................................................................................... 33

Circuitos R-L-C Paralelo. Pa ralelo. Admitancia Admitanci a Compleja C ompleja ............ .................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ........... ..... 33

2

Apartado 6.5

Plano Plan o posición posi ción admitanc admi tancia.......................................................................... ia.......................................................................... ............................ 34

Apartado 6.6

Potencia en Corriente Corrien te Alterna...... Alterna ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ......... ... 35

Sub-Apartado 6.6.1 Sub-Apartado 6.6.2 Sub-Apartado 6.6.3

TEMA 7

Expresiones para la Potencia ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ........35 ..35 Corrección del factor de potencia ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............36 ......36 Teorema de Boucherot...................................................................................................36

CIRCUITOS TRANSITORIOS DE PRIMER ORDEN........................36

Apartado 7.1

Introducció Introd ucción n ............................................................................................................................... 36

Apartado 7.2

Circuito Circui to R -L ............................................................................................................................... 37


Carga y descarga descar ga de la bobina ............ ................... ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............37 ......37 Complicaci Comp licación ón .................................................................................................................. 38

Circuito Circui to R -C ............................................................................................................................... 39

Sub-Apartado 7.3.1

Carga y descarga des carga del Condensado Conde nsadorr............. ................... ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ..........39 ....39

Apartado 7.4

Similitudes Simili tudes ................................................................................................................................... 40

Apartado 7.5

Truco operacional operaci onal ..................................................................................................................... 41

3

4

Tema 1 Circuitos resistivos y Fuentes Apartado 1.1

Magnitudes y unidades básicas Magnitud

Símbolo V, U I P W

Unidad

Nombre Tensión Corriente eléctrica Potencia eléctrica Energía eléctrica

Símbolo V A W J

Nombre Voltio Amperio Watio Julio

En los símbolos de las magnitudes se emplearán mayúsculas tan solo si no varían con el tiempo.

Sub-Apartado 1.1.1

Corriente

Se entiende como la variación de carga con respecto al tiempo. Para que esta magnitud exista se necesita un soporte físico, como un cable. Ese soporte físico debe tener cierta capacidad, pues si no se quema. Veamos un enchufe. Antes de enchufar, con los bornes cercanos al enchufe, no hay corriente, pues no hay soporte físico. En el momento en que se enchufa sí hay soporte y corriente. A esta magnitud también se le llama intensidad eléctrica.

Sub-Apartado 1.1.2

Tensión

Es el trabajo necesario para mover una carga entre 2 puntos. Nosotros consideraremos cables ideales a través de los cuales para mover una carga no es necesario hacer ningún trabajo. Esta magnitud tiene varios nombres. Algunos autores la denominan diferencia de potencial, aunque otros prefieren referirse a ella como fuerza electromotriz.

Apartado 1.2

Ley de Ohm

Esta ley nos da la relación entre la tensión y la corriente ( I ) que recorre una resistencia. En la siguiente situación: a

R

b

V La ley de Ohm nos dice: v(t) = R * i(t) La grafica V/I ideal sería: v(t)

α i(t) 5

Si de la ley de Ohm despejamos la R tendremos: R=

V (t ) I (t )

La unidad será: Voltio Amperio

= Ohmio (Ω).

A la inversa de la resistencia se le denomina conductancia, que se escribe como G. Sus unidades serán la inversa del Ohmio. Se llaman Siemens y se simboliza con el signo del Ohmio dado la vuelta. La potencia eléctrica siempre suele ser el producto de la tensión y la intensidad, por lo que mediante esta ley podemos sacar otras fórmulas para relacionarlo con la resistencia y la conductancia despejando la tensión y la corriente. Las fórmulas deducidas son: P(t) = R * I2(t) P(t) = G * V2 (t) La resistencia siempre es positiva, luego la potencia también debe serlo, en una resistencia. Por ello, la energía en una resistencia siempre es positiva y creciente. Esto se deja ver como una emisión de calor. La resistencia es, entonces, un receptor. Por ello se calienta y suelta el calor.

Apartado 1.3

Leyes de Kirchhoff

Son 2 leyes básicas: Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) y la Ley de Tensiones de Kirchhoff (LTK).

Sub-Apartado 1.3.1

Ley de Corrientes de Kirchhoff

“ La sumatoria de corrientes entrantes en un nudo es igual a la sumatoria de las corrientes salientes del mismo .” Por nudo entendemos aquel punto donde concurren 2 o más elementos eléctricos. Un ejemplo es el enchufe que vimos antes, donde concurren la línea eléctrica y el cable del enchufe. Ésta es una ley bastante intuitiva.

Apunte 1.3.1.1

Convenio sobre corriente

La dirección de la corriente se señala sobre el misma cable, y además se indicará su valor. A

5A

B

Esto significa que circulan 5 amperios de A a B. Pero esto equivaldría a decir que circulan -5 amperios de B a A. Lo cual se representaría:

A

-5A

B

6

Sub-Apartado 1.3.2

Ley de Tensiones de Kirchhoff

“ La sumatoria, extendida a lo largo de un recinto cerrado de tensiones, recorrido a izquierda o derecha, es igual a 0.” Obsérvese que en el enunciado de la ley dice “recinto cerrado de tensiones”. Esto conlleva que no se requiere la presencia de un circuito físico de elementos. Las tensiones que vayan en la misma dirección del recorrido serán positivas. Las que vayan en sentido contrario serán negativas.

Apartado 1.4

Fuentes ideales de Tensión y Corriente

Sub-Apartado 1.4.1

Fuente ideal de Tensión o Voltaje

El término ideal que marca a estas fuentes indica un comportamiento bastante anormal. La fuente ideal de tensión ya no se representará con el símbolo:

+ Sino que pasa a ser: +

Dentro del círculo puede representarse la corriente, alterna si se representa una curva senoidal y continua si se ponen dos lineas paralelas o se deja en blanco. Que la corriente sea continua significa que la tensión siempre será constante, sin importar el valor de la intensidad. Aunque que la intensidad sea positiva o negativa influirá en su carácter generador o receptor. El valor de la fuente se mantiene constante, independientemente del valor de la intensidad debido a que es una fuente ideal.

Apunte 1.4.1.1

Comportamiento de la fuente de voltaje

Tenemos una fuente ideal de voltaje. Hay 3 casos: +

I

+

I

+

I=0

En el primer caso la fuente será generadora. En el segundo caso es receptora, mientras que en el último no será nada. La potencia será la misma en cualquier caso, aunque puede resultar negativa. Si dec imos que una fuente es receptora de una potencia negativa equivaldrá a decir que es generadora de la misma potencia pero positiva.

7

Sub-Apartado 1.4.2

Fuente Ideal de Corriente

Este es un concepto que aparece para dar solución al comportamiento de motores, etc… Esta fuente se representa:

I(t) B

A VAB

A diferencia de las fuentes de voltaje aquí no se indicará si la corriente es continua o alterna. Esto lo indicará el valor de la fuente. Si es senoidal sabremos que la fuente es de corriente alterna. De manera análoga a como ocurría en las fuentes ideales de voltaje, la fuente ideal de corriente siempre generará la misma intensidad, sin importar el valor de VAB . No obstante, debemos entender que solo dará corriente si está conectado a algo.

Apunte 1.4.2.1

Comportamiento de la Fuente Ideal de Corriente

I(t) B

A VAB

I(t) B

A VAB

I(t) B

A VAB

La situación 1 simboliza un generador, la 2 un receptor y el 3 es un caso muy anormal, en el cual la fuente no es ni generador ni receptora.

Apartado 1.5

Asociación serie y paralelo de elementos

Los elementos no están siempre aislados en los circuitos. Normalmente se encuentran asociados entre sí. Las asociaciones pueden ser de 2 tipos: en serie y en paralelo. 2 o más elementos están asociados en serie cuando están recorridos por la misma intensidad. 2 o más elementos estarán asociados en paralelo cuando están sometidos a la misma tensión. Comúnmente se suele asociar la idea de asociación en serie o en paralelo con unos elementos situados sobre la misma línea o en líneas paralelas, respectivamente. Esto no siempre es cierto y puede haber asociaciones que a simp le vista parezcan asociados en serie y en realidad lo estén en paralelo.

Apartado 1.6

Fuentes Reales de tensión y corriente

Normalmente en los circuitos nunca nos encontraremos con fuentes ideales, sino con fuentes reales. Las fuentes reales consistirán en una asociación, en serie o en paralelo, entre una fuente y una resistencia.

Sub-Apartado 1.6.1

Fuente Real de Tensión

8

Es la asociación en serie de una fuente de voltaje ideal y un elemento pasivo. De momento solo conocemos la resistencia como elementos pasivos, pero veremos que también está el condensador y la bobina. +

R

En esta fuente la tensión sí que dependerá de la intensidad a la que se someta el conjunto, pues parte del voltaje de la fuente ideal se pierde en la resistencia, o elemento pasivo. A partir de la Ley de Ohm se puede deducir que la perdida de voltaje es tanto mayor cuanto mayor sea la intensidad.

Sub-Apartado 1.6.2

Fuente Real de Corriente

Es la asociación en paralelo de una fuente de corriente y un elemento pa sivo. I(t) B

A R

En esta fuente la intensidad dependerá de la tensión a la que se sometan tanto la fuente como la resistencia, de la misma manera que en la fuente de voltaje la tensión dependía de la intensidad. Estas 2 asociaciones son fundamentales.

Apartado 1.7

Conversión entre fuentes reales

Debemos tener claro que esta conversión solo es válida desde el punto de vista exterior, es decir, el comportamiento que estas fuentes tienen con respecto a otros elementos. Su funcionamiento interno es muy distinto. Veremos ahora las condiciones que deben cumplir las fuentes reales para ser equivalentes. Para ello las asociaremos a dos elementos muy peculiares, una resistencia nula y una resistencia infinita. El comportamiento de las fuentes será: FV Real FI Real

VAB 0 0 R=0

IAB VFTE IFTE

/r

VAB FTE

IFTE * r’

V R=

∞

IAB 0 0

La resistencia nula (unas tijeras en un enchufe, por ejemplo) genera un cortocircuito, como se ve en los siguientes gráficos: Según la ley de tensiones de Kirchhoff, en el circuito de la izquierda, tenemos: VFTE – Vr – VAB = 0 => VFTE = Vr => VFTE = r * I => I = V FTE / r En el circuito de la derecha toda la corriente se va por el camino de la resistencia 0. Una resistencia infinita se traduce en la ausencia de hilo, solo estarían las fuentes reales.. En ese caso la corriente no puede atravesar el aire.

9

VFTE

Vr +

VFTE

r

I(t) B

A Vr’

VAB = 0

I’ = 0

r’

R =0

VAB = 0

R =0 El caso de la fuente de voltaje no presenta problemas, pero la fuente de intensidad tendrá un conflicto, la corriente no podrá salir del circuito. Por ello toda la corriente se concentrará en la resistencia de la fuente de intensidad, lo que generará un potencial. VFTE I(t) B

A Vr’

I’=IFTE

r’ VAB = I’ * r’ = VFTE

Por lo tanto, para que dos fuentes reales sean equivalentes se deben cumplir 3 condiciones :

• • •

r = r’ VFTE / r = IFTE IFTE * r’= VFTE

Esto nos permite convertir una fuente de voltaje real en una fu ente de intensidad real.

Apartado 1.8

Asociación de elementos ideales y reales

Sub-Apartado 1.8.1 de tensión

Asociación en serie de resistencias. Divisor

La asociación en serie de resistencias tiene la siguiente forma: R1

V1

R2

R3

V2

V3 10

Por la ley de tensiones de Kirchhoff sabemos que la tensión total es la suma de las tensiones. Si aplicamos la ley de Ohm obtendremos: V = (R1 + R2 + … + RN ) * I Si quisiéramos construir una resistencia equivalente tendríamos: Req

V Donde Req = R1 + R2 + … + RN. La tensión en cada resistencia será: VK = R * I =>

V K V

=

Rk ∗ I Req * I

=> VK =

R K Req

*V

El cociente de la ecuación tomará valores entre 0 y 1. Por eso a esta asociación se le denomina divisor de tensión.

Sub-Apartado 1.8.2 Asociación en paralelo de resistencias. Divisor de corriente R1 La asociación en paralelo de resistencias tiene la forma que se ve en la figura adjunta. Por la ley de corrientes de Kirchhoff sabemos que la corriente I que entra en el nodo será igual a la suma de las corrientes que salen. Por tanto: I=(

1

+

R 1

1 R2

+

1 R3

1 Req

=

1 R 1

+

R2

I

I

V R3

)* V

Si quisiéramos sustituir esa asociación por una resistencia tendríamos: Donde:

V

1 R2

+

1 R3

V Re

V

.

Si comparamos la corriente de cada rama con la corriente total que llega al nodo: I K =

1 R K

* V =>

I K I

=

Req ∗V R k *V

=> I K =

Req R k

* I

Se ve que a mayor resistencia menor corriente pasa por ella, por eso a esta asociación se le llama divisor de corriente.

11

Sub-Apartado 1.8.3 ideales

Asociación en serie de fuentes de tensión

Una asociación en serie de fuentes de tensión ideales tiene el siguiente aspecto: +

+

+

Si seguimos la ley de tensiones de Kirchhoff entonces obtenemos que la tensión resultante de esta asociación es la suma de las tensiones de cada fuente individual, pero teniendo en cuenta la polaridad de la fuente.


Asociación en paralelo de fuentes de tensión

Una asociación en serie de fuentes de tensión ideales tiene el siguiente aspecto: +

+

+

Ésta es una de las asociaciones problemáticas. Al estar en paralelo todas las fuentes están sometidas al mismo potencial, pero éste es el que fijan las fuentes, con lo que solo se podrán asociar así si todas tienen el mismo potencial, teniendo en cuenta la polaridad. El potencial que generan así es el mismo que generarían por separado.


Asociación en serie de fuentes de corriente

La asociación en serie de fuentes de corriente ideales tiene la siguiente forma: I(t) I(t) I(t)

Ésta es otra asociación problemática. Por estar en serie las recorre la misma corriente, pero esa corriente es la que ellas mismas dictan, por lo que solo se pueden situar en serie si generan la misma intensidad.

Sub-Apartado 1.8.6 Asociación en corriente ideales Esta asociación tiene el siguiente aspecto:

12

paralelo

de fuentes

de

I1 (t)

I(t)

I2 (t)

I3 (t)

En esta asociación la intensidad total generada es la suma de las intensidades que genera cada fuente, teniendo en cuenta la dirección de la intensidad.

Sub-Apartado 1.8.7 reales

Asociación en serie de fuentes de voltaje

Esta asociación tiene el siguiente aspecto: +

R1

+

R2

+

R3

En realidad esta asociación funciona como dos asociaciones de elementos, una de resistencias y otra de fuentes de voltaje ideales. Estas asociaciones son en serie. Por lo tanto la fuente de voltaje equivalente tiene las mismas cualidades que las vistas anteriormente para cada elemento por separado.

Sub-Apartado 1.8.8 Asociación intensidad reales

en paralelo

de

fuentes de

La asociación en paralelo de fuentes de intensidad reales tiene el siguiente aspecto: Esta asociación, al igual que la anterior, equivale a otras dos asociaciones, una de resistencias y la otra de fuentes de intensidad, pero esta vez en paralelo. Al igual que en el caso anterior se aplicaban las reglas ya vistas para encontrar la fuente equivalente, aquí se hará lo mismo.

I1(t) R1 I(t)

I2(t) R2 I3(t) R3

13


Asociación en paralelo de fuentes de voltaje

Una asociación en paralelo de fuentes de voltaje reales tendría el siguiente aspecto: V1 (t )

V2 (t )

V3 (t )

+

R1

+

R2

+

R3

Esta asociación no se podrá resolver como el otro caso de asociación en paralelo de fuentes de voltaje, ya que las resistencias causan una caída de tensión que complica el problema. Para encontrar la fuente equivalente tendremos que convertir las fuentes de voltaje reales en fuentes de intensidad reales, cuya asociación en paralelo sabemos calcular, para finalmente volver a transformar la fuente resultante en una fuente de voltaje equivalente.

V 1 R1

R1

I(t)

V 2 R2

R2

V 3 R3

R3

Tras esa conversión ya sabemos tratar el circuito y obtener una fuente de intensidad real equivalente: Las características de esta nueva fuente son:

• •

I(t) =

1 R

V 1 R1

=

1

+

V 2 R2

1

+

I(t)

V 3 R3

R

1

+ + R 1 R2 R3

Ahora convertiremos esta fuente a una fuente de voltaje real para obtener la fuente buscad a. Las características de la fuente final son:

14

• •

V(t) =

1 R

=

R

*V 1 +

R1

1

R R 2

1

R 1

*V 2 +

R

*V 3

R3

+

R

V

1

+ + R2 R3


Asociación en serie de fuentes de intensidad

La asociación en serie de fuentes de intensidad reales tiene el siguiente aspecto: I1 (t)

I2(t)

R1

I3 (t)

R2

R3

El procedimiento a seguir en este caso es exactamente el mismo que en el anterior. Convertimos estas fuentes en fuentes de voltaje reales. +

R1

R1*I1

+

R2

R2*I2

+

R3

R3 *I3

Hallamos la fuente de voltaje real equivalente: Las características de esta fuente son:

• •

+

V = R1*I1 + R2*I2 + R3*I3 R = R1 + R2 + R3

R

V

Finalmente convertimos esta fuente en su fuente de intensidad real equivalente. Las características de esta fuente son:

• •

I = V(t) =

R1

* I 1 +

R R = R1 + R2 + R3

Apartado 1.9

R 2 R

* I 2 +

I(t) R3 R

* I 3 R

Métodos de mallas

El método de las mallas es un potente método para resolver circuitos y hallar tensiones y corrientes. Los pasos a seguir en este método son los siguientes:

15

1. Asignar las mallas. 2. Establecer las corrientes de malla.

El sentido de la corriente no importa, aunque elegirlas todas en el mismo sentido facilita la escritura directa. 3. Aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla, en el sentido de la corriente de malla. 4. El paso anterior da lugar a un sistema de “m” ecuaciones con “n” incógnitas, compatible y determinado, que admite solución única. Las incógnitas son las corrientes de malla. Resolver el sistema. 5.

Pasar de corrientes de malla a corrientes de rama.

Sub-Apartado 1.9.1

Escritura directa

Se nombra, en los pasos del método, la escritura directa. La escritura directa corresponde a la escritura matricial del problema y que en ocasiones facilita su comprensión, desarrollo y resolución. Las ecuaciones resultantes del método de las mallas pasa a ser una igualdad entre matrices de la siguiente manera: Matriz de términos independientes = Matriz de coeficientes reales* Incógnitas

La matriz de términos independientes es una matriz columna, orden (m,1), cuyos elementos son las tensiones que afectan a cada malla. De esta manera, el elemento (j,1) es la suma de las tensiones que afectan a la malla “j”. En la suma se tiene en cuenta el sentido de las tensiones. La matriz de coeficientes reales es una matriz simétrica cuyos elementos son sumas de resistencias. Los elementos de esta matriz tienen un significado distinto según la posición que ocupen, pero se puede decir, de manera general, que el elemento (i,j) de la matriz es la suma de las resistencias que comparten las mallas “i” y “j”. Si “i” y “j” son iguales entonces el elemento será la suma de las resistencias presentes en la malla “i”. Cuando “i” y “j” son distintos la suma de resistencias tendrá signo negativo. Esto se debe a escoger todas las corrientes en el mismo sentido como se indica en el paso 2 del método. Si hubiese 2 mallas cuyo sentido de corriente fuese distinto entonces el signo sería positivo. La matriz de incógnitas es una matriz columna cuyos elementos son las intensidad es de cada malla.

Apunte 1.9.1.1

Fuentes dependientes

El problema se puede complicar si en alguna malla hay una fuente dependiente. Una fuente dependiente es aquella cuyo valor depende de alguna variable del circuito donde está situada. Las variables siempre son tensiones o intensidades marcadas por una fuente independiente. Para eliminar la dependencia se ha de buscar una relación entre la variable de quien depende y las incógnitas del método. En el 95% de los casos bastará aplicar la Ley de Ohm. Después de eliminar la dependencia resolvemos el problema de manera normal.

Apartado 1.10 Método de los nudos Este circuito simplifica mucho los problemas con respecto al método de las mallas. Observemos el siguiente circuito:

16

V3

A

VCA V1

D VCD

V2

V5

V6

VCB B

V4

C

En este circuito hay 6 ramas, cuyos elementos no conocemos, y sin embargo habrá 4 nudos. Calculando las 3 tensiones de nudos podríamos sacar las 6 tensiones de rama, con lo que se ven las ventajas de este método. Los pasos a resolver en este método son los sigui entes: 1. Elección de nudos. Este paso es el más complicado. Debe tenerse en cuenta que si entre dos nudos hay potencial 0, entonces es el mismo nudo. 2. Elección de nudo de referencia. Este paso es totalmente libre, aunque se suele escoger el nudo en el que concurren más ramas, y, para facilitar la escritura directa, la polaridad de todas las tensiones igual, convirtiendo el nudo de referencia en el inicio. 3. Aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff a todos los nudos, excepto el de referencia. 4. Se obtiene un sistema de “n – 1” ecuaciones con “n – 1” incógnitas, siendo n el número de nudos. Resolver el sistema. 5. Si se desea, obtener las tensiones de cada ra ma en función de los nudos.

Sub-Apartado 1.10.1

Escritura directa

Al igual que en los métodos de las mallas aquí también hay una escritura directa, consistente en una escritura matricial del problema. La forma de la igualdad volverá a ser: Matriz de términos independientes = Matriz de coeficientes reales* Incógnitas

Pero la diferencia está en el significado de las matrices. La matriz de términos independientes positivas si entran, negativas si salen.

serán las intensidades que concurren en los nodos,

La matriz de coeficientes se dividirá, de nuevo, entre los elementos de la diagonal principal y los que están fuera de ella. El elemento (j,j) de esta matriz simboliza el sumatorio de las inversas de las resistencias que concurren en el nodo”j”. El elemento (i,j) simboliza el sumatorio de las inversas de las resistencias comunes a ambos nudos, “i” y “j”. El signo aquí será positivo si la polaridad de los nudos es la misma y negativa en caso contrario. La matriz de incógnitas aquí está formada por tensiones, incógnitas de este método.

Sub-Apartado 1.10.2

Fuentes de tensión

Hay varios casos al existir una fuente de tensión en el circuito y ap licar este método.

17

Apunte 1.10.2.1 Entre un nudo y el de referencia En este caso, la tensión de ese nudo será la tensión de la fuente. Esto implica una incógnita menos y un nudo menos al que aplicar nudos.

Apunte 1.10.2.2 Entre dos nudos En este caso tendremos la tensión entre dos nudos y podremos relacionar la tensión de esos dos nudos. Normalmente estas fuentes se usan para obtener ecuaciones que rellenen los sistemas de ecuaciones.

Tema 2 Teoremas básicos para el Análisis de circuitos Apartado 2.1

Teorema de superposición

“La respuesta de un circuito cerrado a varias fuentes es igual a la suma de las respuestas de cada fuente actuando individualmente”.

Pero las fuentes han de actuar solas, y por ello hemos de aprender a eliminarlas fuentes colocando otros elementos.

Sub-Apartado 2.1.1

Eliminación fuentes de tensión

Para eliminar una fuente de tensión hemos de anular su valor. Este proceso es lo que se llama cortocircuitar una fuente. Consiste en: +

Sub-Apartado 2.1.2

Eliminación de fuentes de corriente

Para eliminar esta fuente también anularemos su valor. Éste proceso se consigue borrando la fuente del circuito y sustituyéndola por un circuito abierto. Así la corriente será 0. Así, una fuente normal se convierte en:

Sub-Apartado 2.1.3

Uso del teorema

La principal aplicación de este teorema es en los casos en que un circuito posee fuentes de distinto tipo. En ese caso eliminaríamos 1 a 1 todas las fuentes para ver como se comporta el circuito y luego sumariamos todos los comportamientos.

18

Apartado 2.2

Teorema de Thevenin

“Un circuito lineal y activo, que solo contenga fuentes independientes, con respecto a dos terminales, A y B, puede ser sustituido por:

RTH A + VTH

B A este nuevo circuito se le denomina equivalente Thevenin. Este teorema no impone ninguna restricción al contenido del circuito, excepto la independencia de las fuentes.

Sub-Apartado 2.2.1

Uso del teorema

Este teorema tiene 2 usos bien diferenciados que no se deben confundir. El primer uso es la aplicación del teorema al cálculo de una tensión o una corriente. Para ello eliminaremos el componente donde está situada la tensión o corriente, calcularemos el equivalente Thevenin del resto del circuito. Una vez lo tengamos colocaremos el componente eliminado en los extremos del equivalente Thevenin. El segundo de los usos es el cálculo directo del equivalente Thevenin de un circuito entre dos puntos. La diferencia más importante entre los 2 usos es que en el primero se eliminan componentes, pero no en el segundo.

Sub-Apartado 2.2.2

Tensión e Impedancia de Thevenin

La tensión de Thevenin es la tensión que hay entre los puntos en los que se quiere hacer el equivalente. Esta tensión se calculará por el método que se quiera, sin inclinación especial hacia ninguno. La impedancia de Thevenin es el valor óhmico que se ve desde los terminales en los que se quiere hacer el equivalente, una vez eliminadas del circuito las fuentes de independientes.

Apartado 2.3

Teorema de Millman

El teorema no tiene enunciado escrito, sino que consiste enana fórmula: V AB

V γ ∑ = ∑ γ

Donde γ simboliza la admitancia. La admitancia es

1

, donde Z es la impedancia. Como la Z única impedancia que conocemos por el momento es la resistencia esa fórmula se podría enunciar:

19

V AB

=

∑ VG ∑G

Donde G es la conductancia. Este teorema está pensado para estructuras como:

A + 1

+ 2

R1

+ 3

R2

R3

B Para determinar la tensión entre el punto A y el B se deberá conocer la impedancia entre un terminal (en este caso B) y los puntos (1, 2 y 3) intermedios de cada rama, y la tensión entre dichos puntos intermedios y el otro terminal (en este caso A). Es muy importante tener en cuenta la polaridad de las fuentes en el circuito, para el signo de las tensiones.

Sub-Apartado 2.3.1

Aplicaciones de Millman

Si tan solo se pudiese aplicar en situaciones como la anterior, Millman no serviría de mucho. En los ejercicios se ven casos especiales, en los que aparecen fuentes de corriente, no aparecen fuentes en alguna rama…

Apartado 2.4

Teorema de máxima transferencia de Potencia

Para este teorema existen 7 casos, pero solo veremos 1. La finalidad de este teorema es ver que características debe tener la carga, para que el circuito transfiera la máxima potencia. Véase el siguiente circuito:

CLA

CARGA

El caso que veremos será aquel en el que la carga es una resistencia. Es lo que se llama carga resistiva.

20

CLA

Para resolver este problema deberemos hallar el equivalente Thevenin entre los extremos de la resistencia para obtener un circuito más senillo con el que trabajar y a partir del cual poder calcular la potencia transferida. Así obtendremos: RTH A + VTH

R

B En este circuito la intensidad será: I =

V TH RTH + R

Y recordando la fórmula de la potencia tendremos que: 2

P = R * I

(V TH ) 2 ⇒ P = R * ( RTH + R )2

Derivando e igualando a 0 tendremos la condición de máximo de esa función, de donde obtendremos el valor de la carga (R) para el cual la potencia transferida es máxima. El resultado al derivar es que la R necesaria es la propia RTH, así que el problema se facilita, al no ser necesario calcular la VTH.

Apartado 2.5

Teorema de Rossen. Conversión λ ↔ ∆ .

Este teorema tratará de convertir circuitos de la forma: A R2 R1

B R3 C 21

En circuitos de la forma: A R1 ’

R3 ’

R2’

B C La razón es que en el circuito segundo es más fácil ver el va lor óhmico que hay entre dos puntos, ya que en el primer circuito las resistencias no están en serie ni en paralelo. En cambio en el segundo las resistencias están en serie. Nosotros veremos cambios de circuitos con la forma de polígonos de 3 lados a estrellas de 3 puntas.

A A RA

R1 R3 RC

C

R2

B

C

Veremos el cambio en las dos direcciones:

∆ →λ ) Rλ =

R A

=

R B

=

RC

=

∏( ladosdelvertice) ∑ (ladosdeltr iangulo) R1 * R3 R1 + R2 + R3 R1 * R 2 R1 + R2 + R3 R 2 * R3 R1 + R 2 + R3

22

RB

B

λ

→∆)

R ∆=

∑ (resistenciasquetoman parte) +

∏( resistenciasquetoman parte) ∑ (resistenciasquenotomanparte)

R A * R B

R1

= R A + R B +

R2

= R A + RC +

R1 = R A

+ R B +

RC R A * RC R B R A * R B RC

Tema 3 Formas de onda en circuitos eléctricos En este tema se van a ver las distintas formas que pueden tomar distintas funciones en un circuito.

Apartado 3.1

Formas de onda no periódicas

Sub-Apartado 3.1.1

Escalón

Esta función tiene la forma:

Y corresponde a una función del tipo: 0

t=0

F(t) K*u(t) t = 0 U(t) no es una tensión, sino un escalón unitario. Esta función se asemeja bastante a la continua.

Sub-Apartado 3.1.2

Rampa


23

Corresponde a una función de la forma: 0

t=0

K*t

t=0

F(t) Vemos que de rampa a escalón se pasa derivando. El paso inverso se realiza integrand o.

Sub-Apartado 3.1.3

Parábola


Corresponde a una función de la forma: F(t)

0

t =0

α*t 2 + β*t + γ = 0

t =0

Sub-Apartado 3.1.4

Exponencial

Tanto esta función como la siguiente tienen una gran importancia para el régimen transitorio, que veremos en el último tema. Esta función puede tener dos formas diferentes.

La forma de la izquierda corresponde a una función de la forma:

24

F(t)

0

t =0

K*e-α*t

t=0

La segunda gráfica corresponde a una función del tipo: 0 F(t)

t =0

K - K*e-α*t

Sub-Apartado 3.1.5

t=0

Impulso de Dirac

Esta es una función que tiene el siguiente aspe cto.

-E

E


F(t)

0

t?0

∞

t=0

Además esta función cumple que: E

∫ F (t ) = 1 y E → 0 .

− E

Apartado 3.2

Formas de onda periódicas. Valores asociados

Una función es periódica si secumple: F(t)= F(t + nT) Siendo “n” un número natural cualquier y T el periodo de la función. Hay 2 tipos de ondas periódicas: simétricas y asimétricas. La simetría se dará segúen el eje de abscisas.

Sub-Apartado 3.2.1

Valores asociados

Hay dos valores asociados principales: el valor medio y el valor eficaz. El valor medio se define:

25

F m

=

1

T

∫ F (t )dt

T 0

El valor medio de una función periódica simétrica siempre será 0. El valor eficaz se define: 2

F

=

1 T

F (t ) dt T ∫ 2

0

Este valor es el que miden todos los aparatos no gráficos.

Sub-Apartado 3.2.2

Función senoidal

La función senoidal tiene la forma senoidal ya conocida. Su definición matemática es: F(t)= F0sen(ω*t + ϕ ) Donde F0 es la amplitud, ω es la pulsación, “t” es el tiempo y ϕ es la fase inicial, que indica el valor de la función en “t = 0”. El valor eficaz de una función senoidal es siempre: F =

F 0

2

Tema 4 Condensadores y Bobinas En este tema veremos los otros dos elementos pasivos, los condensadores y las bobinas.

Apartado 4.1

Condensador. Expresiones

El condensador es un elemento pasivo, igual que la resistencia, pero se diferencia de ésta en que no solo recibe, sino que también puede dar. Su representación en el circuito es: I C

V

C es la capacidad del condensador y se mide en Faradios. Las relaciones entre intensidad y corriente son lago distintas que en el caso de las resistencias. I ( t ) = C *

dV dt

26

1

V (t ) =

t

∫ I (t )dt

C 0

La fórmula para la potencia es igual, en principio, ya que al sustituir la intensidad por la tensión, ya no queda lo mismo. dV (t ) P(t ) = V (t ) * I (t ) = V (t ) * C * dt La energía también será la misma en principio, pero al desarrollar la fórmula queda algo diferente. t

W (t )

=

∫

P(t )dt =

−∞

1 * C *V ( t ) 2 2

De aquí se deduce que la energía en un condensador siempre es positiva, ya que la capacidad siempre es positiva. Este elemento tiene distintos comportamientos según las caídas de potencial que sufra:

• • •

Si su tensión cae entonces se comporta como un generador y cede energía. Si su tensión crece se comporta como una resistencia y capta energía. Si su tensión se mantiene entonces no hay absorción ni cese de energía.

De todas las fórmulas anteriores se extrae dos conclusiones importantes: 1. Un condensador en corriente continua y régimen permanente se comporta como un circuito abierto, es decir, su corriente es igual a 0. 2. La tensión de un condensador no debería variar bruscamente. Si lo hiciese se crearía un Impulso de Dirac.

Sub-Apartado 4.1.1

Asociación de condensadores

Para razonar las asociaciones de los condensadores usamos el mismo razonamiento usado en las resistencias, pero el resultado aquí es diferente. Así pues, obtenemos que en una asociación en serie:

1 C eq

=

1 C 1

+

1 C 2

+ ... +

1 C N

Mientras que en una asociación en paralelo: Ceq = C1 + C2 + … + CN . Se puede comprobar que el resultado es el inverso al que se obtuvo en el caso de las asociaciones de resistencias Pero se mantiene el concepto de divisor de tensión y divisor de corriente. Una asociación de condensadores en serie es, igual que una asociación en serie de resistencias, un divisor de tensión. Si la asociación es en paralelo, estaremos ante un divisor de corriente.

Apartado 4.2

Bobina. Expresiones

La bobina es el elemento dual del condensador, es decir, es su exactamente igual, pero lo que uno es tensión en el otro es corriente, y viceversa, y donde aparece la capacidad del condensador aparecerá el coeficiente de autoinducción de la bobina.

27

La bobina se representa: V

I L La L es el coeficiente de autoinducción de la bobina y se mide en Herbios. Las fórmulas para la bobina son: V ( t ) = L *

I (t ) =

1 L

dI dt

t

∫ V (t )dt 0

P(t ) = I ( t ) *V (t ) = I (t ) * L * t

W (t )

=

∫

P(t )dt =

−∞

dI (t ) dt

1 * L * I (t ) 2 2

Al igual que en el condensador, la energía de la bobina siempre será positiva, pues su coeficiente de autoinducción también lo será. Se puede ver la dualidad de la que hablábamos al principio en todas estas fórmulas. El comportamiento de la bobina también se puede dividir en 3 casos, según las variaciones de la corriente que le llega:

• • •

Si la corriente que le llega decrece entonces cede energía, actuando como un generador. Si la corriente que le llega es creciente, entonces almacenará energía, actuando como un receptor. Si en cambio no hay variaciones en la corriente que le llega, entonces la energía no variará en ella.

También podremos sacar unas conclusione s en la bobina: 1. Una bobina recorrida por corriente continua y en régimen permanente se comporta como un cortocircuito, es decir, la tensión en sus extremos vale 0. 2. La corriente en una bobina no debería variar bruscamente. Si esto se produce se crea en extremos de la bobina una tensión que tiende a infinito.

Sub-Apartado 4.2.1

Asociación

Las asociaciones, en serie o en paralelo, de las bobinas se comportan de igual manera que las asociaciones de resistencias.

Tema 5 Resolución de circuitos. Notación operacional Hay un método de dar ciertos datos del problema, en forma matemática, conocida como notación operacional.

28

En la notación operacional nos darán la llamada Impedancia Operacional o la Admitancia Operacional, como una suma de productos en los que aparecerán las operaciones derivada e integral, simbolizados como D y

1 D

respectivamente.

La notación operacional será distinta según estemos frente a una fuente de tensión o de corriente.

Apartado 5.1

Con fuentes de tensión

En el circuito: R

+

VR

V

VL

C

VC

L Aplicando la LTK:

1 1 1 1  * I (t ) ⇒ V ( t ) =  R + L * D + *  I (t ) ⇒ C D C D   V (t )  1 1 ⇒ =  R + L * D + *  = Z I (t )  C D 

V (t ) = I (t ) * R + L * DI ( t ) +

Esa Z es la Impedancia Operacional. Así, si nos dicen que en un circuito con una única fuente, de tensión, la impedancia operacional

1

vale Z = 2 + 3 D + 0.5 , nos están diciendo que el circuito consiste en una resistencia de 2 Ω , D una bobina de 3H y un condensador de 2F.

Apartado 5.2

Con fuentes de corriente

En el circuito:

R

L

C

29

Aplicando la LCK:

1 1 1 1 1 + * V (t ) + C * DV (t ) ⇒ V (t ) =  + * + C * D  I ( t ) ⇒ R L D  R L D  I (t )  1 1 1 ⇒ =  + * + C * D = γ V (t )  R L D 

I (t ) =

V (t )

Esto es lo que se llama admitancia operacional.

Tema 6 Régimen Estacionario Senoidal Hasta ahora habíamos estudiado circuitos en un régimen sometido a corriente continua. Vamos a estudiar ahora los circuitos sometidos a una intensidad que varía con el tiempo.

Apartado 6.1

Concepto de Fasor

Tenemos la función F(t)= F0*sen(ω*t + ϕ ) En el plano temporal se representa como una función senoidal normal y corriente, pero nosotros abandonaremos el plano temporal para ir a trabajar al plano complejo. El plano complejo consiste en dos ejes, uno real y otro imaginario, que representa a los números complejos. El cambio lo haremos creando un vector de módulo F 0, cuya proyección sobre el eje imaginario sea el valor de F(t) en cada momento. Así obtenemos un vector que irá “girando”, pero cuyo módulo será constante. A ese vector lo llamamos Fasor y se dice que es un vector animado de rotación. La velocidad con la que rota es ω. En nuestro caso si V(t) es sinusoidal, entonces también lo serán el resto de tensiones y corrientes del circuito y a ellos también se les asignan fasores. Pero el hecho de que esos fasores estén siempre en movimiento dificulta su estudio, así que los pararemos. Esto ni implica ninguna dificultad, puesto que si un Fasor está adelantado unos ciertos grados con respecto a otro lo estará en cualquier momento. Por ello simplemente deberemos escoger el sistema de referencia más sencillo y trabajar sobre él. Así pues ya tenemos escogida la posición de los fasores. Para obtener su módulo simplemente deberemos dividir F 0 entre

2 para trabajar con valores eficaces.

Apartado 6.2 Comportamiento de los elementos pasivos en Corriente Alterna Sub-Apartado 6.2.1

Resistencia

En este elemento si la corriente es de tipo senoidal también lo será la tensión. Se puede comprobar fácilmente. Al multiplicar la corriente por la resistencia solo cambia el módulo, nunca la dirección, por lo que la intensidad y la tensión estarán, en el plano complejo, en fase. No obstante un fasor puede tener más módulo que otro.

30

La resistencia en sí no será ningún fasor. Al dividir el fasor tensión y el fasor intensidad los ángulos que forman ambos se deben restar y el resultado será 0, siempre. Por tanto la resistencia tendrá una posición fija, en el eje real y por ello no será fasor.

V(t) I(t)

Sub-Apartado 6.2.2

Bobina

En este elemento si la intensidad es de tipo senoidal entonces la tensión será de tipo cosenoidal. La demostración es muy sencilla. I (t ) = I 0

* senωt

V (t ) = L *

dI

= L * I 0 * ω * cos ωt = L * I 0 * ω * sen(ωt + 90 º ) dt Se comprueba entonces que la tensión irá 90º adelantada respecto a la corriente. XL

V(t)

I(t)

Si, al igual que ficimos en la resistencia, dividimos tensión entre corriente no podemos esperar encontrarnos con el coeficiente de autoinducción. En su lugar nos encontraremos con lo que se denomina Reactancia Inductiva, XL . Esta reactancia es la que causa que tensión y corriente vayan 9 0º separados.

X L

= ω * L 90º

Su posición siempre será fija, pero no así su módulo, como ocurría en la resistencia, sino que dependerá de la frecuencia. Debemos notar que si la frecuencia fuese 0 (corriente continua), la bobina se comportaría como un cortocircuito, con una reactancia igual a 0.

Sub-Apartado 6.2.3

Condensador

En este elemento si la tensión es de tipo senoidal entonces la intensidad será de tipo cosenoidal. Simplemente debemos recordar el comportamiento dual de la bobina y el condensador para comprenderlo. Entonces en este caso, será la corriente la que vaya 90º adelantada con respecto a la tensión, al revés que en la bobina. Al igual que en el caso de la bobina, ese adelanto de 90º lo causa una reactancia, en este caso la reactancia capacitiva, XC. Como en el caso de la bobina la hallamos al dividir la tensión entre la corriente, ambos fasores.

31

X C

=

1 ω*C −

90 º

La posición de esta reactancia también será fija en el eje imaginario negativo.

I(t)

V(t)

XC

La reactancia capacitiva también depende de la frecuencia, y con frecuencia igual a 0 comprobamos que el condensador se convierte en un circuito abierto con una reactancia infinita.

Apartado 6.3

Circuitos R-L-C en serie. Impedancia compleja

Un circuito R-L-C tiene la forma: R

V C

L Para resolver el circuito lo pasamos a fasores. R

V X C

X L

=−

j

ω * C

= j *ω * L

En este caso tenemos: V = ( R * X L * X C ) * I ⇒ V = ( R * j (ω * L −

32

1 )) * I ⇒ ω * C

⇒

V I

= ( R * j(ω * L −

1 )) ω * C

A ese cociente se le denomina Impedancia Compleja y se representa como Z . Tendrá una posición fija, al igual que R, X L y X C . En esta impedancia ocurrirán 3 casos:

1 >0 ω * C 1 2. ω * L − <0 ω * C 1 3. ω * L − =0 ω * C 1.

ω * L −

Sub-Apartado 6.3.1

Caso 1

En este caso el circuito corresponde a un circuito parcialmente inductivo. La razón es que la reactancia inductiva será mayor que la reactancia capacitiva y lo mismo ocurrirá con las tensiones de la bobina y el condensador, respectivamente. El plano fasorial lo escogemos con la I en el eje real. Los demás fasores tendrán una posición única con respecto a esta referencia. La tensión irá ϕ º adelantada con respecto a la corriente, y esto se deberá a la impedancia compleja, que será Z ϕ º . El ángulo que se retrasa la corriente viene dado por las operaciones entre los complejos a la hora de calcular la impedancia compleja.

Sub-Apartado 6.3.2

Caso 2

En este caso el circuito será parcialmente capacitivo. La razón es que la reactancia inductiva será menor, en este caso, que la reactancia capacitiva y lo mismo ocurrirá con las tensiones de la bobina y el condensador, respectivamente. El plano fasorial lo escogemos con la I en el eje real, como antes. La tensión irá entonces ϕ º retrasada con respecto a la corriente, y esto lo fijará la impedancia compleja Z ϕ º .

Sub-Apartado 6.3.3

Caso 3

En este caso el circuito será totalmente resistivo y está en situación de resonancia-serie. La razón es que la reactancia inductiva será igual a la reactancia capacitiva. La tensión irá entonces en fase con la corriente, y esto lo fijará la impedancia compleja Z ϕ º .

Apartado 6.4

Circuitos R-L-C Paralelo. Admitancia Compleja

Un circuito R-L-C paralelo tiene la forma:

33

V R

X L = j*ω* L X C

=−

j

ω * C

La variable normalmente en este caso es la tensión, así que la consideraremos como nuestro eje real positivo. En este caso, para hallar cada corriente de rama, multiplicaremos la tensión por las inversas de las reactancias, que llamaremos susceptancias. Así tendremos:

1

1

I = ( G * B L * BC ) * V ⇒ I = ( * j ( ω * L R

⇒

− ω * C )) * V ⇒

1 1 = ( * j ( − ω * C )) ω * L V R

I

A ese cociente se le llama admitancia compleja, será la inversa de la impedancia compleja del mismo circuito y determinará las posiciones relativas de corriente y tensión. En este circuito también hay 3 casos básicos: 1.

BC > B L

2.

BC < B L

3.

BC = B L

Estos casos son semejantes a los casos de los circuitos R-L-C serie, correspondiendo el primer caso a un circuito parcialmente capacitivo, el segundo caso a uno parcialmente inductivo y el último a una situación de resonancia en paralelo.

Apartado 6.5

Plano posición admitancia

La posición de la admitancia, o de la impedancia, en el plano complejo, determina el carácter del circuito. En el caso de la admitancia será: C uro P. Ca acitivo R ura P. Inductivo L ura Para la impedancia será, en cambio:

34

L pura P. Inductivo R pura P. Capacitivo C puro

Apartado 6.6

Potencia en Corriente Alterna

Trabajamos con 3 elementos tan solo, la resistencia, el condensador y la b obina. A la hora de modelizar cualquier equipo con estos elementos debemos tener en cuenta el siguiente esquema:

R Trabajo (W) Potencia Total Aparente (VA)

C Principios de funcionamiento (VA Reactivos)

El equipo ideal será aquel que consuma un menor número de V.A.R y un mayor número de W. En un circuito el valor medio de la potencia es lo que se denomina Potencia Activa. Los efectos que produce esa potencia son, básicamente, el trabaj o y el calor. La bobina y el condensador no hacen trabajo, aparentemente, pero aún así consumen corriente, lo que no consumen es potencia activa. Sin embargo, lo que sí consumen es potencia, energía, reactiva cuyas unidades son VAR’s, se representa por Q. Esta potencia sirve para crear un campo magnético en la bobina y un campo eléctrico en el condensador. Estos campos hacen que los motores que consumen la potencia activa funcionen.

Sub-Apartado 6.6.1

Expresiones para la Potencia

La expresión para las potencias son:

P = V * I * cos α

35

Q

= V * I * senα

Al coseno se le denomina, en el mundo empresarial, el factor de potencia. Hay otra clase de potencia, la potencia aparentemente compleja, que corresponde con la tensión por el conjugado de la corriente. Esta potencia es importante porque se cumple que coincide con la uma de las potencias activas y reactivas. Se representa por (S). 2

2

Otras expresiones para la potencia reactiva son: X L * I ó X C * I , según trabajemos con la bobina o el condensador.

Sub-Apartado 6.6.2

Corrección del factor de potencia

Nos interesa que el factor de potencia sea mínimo, para que se consuma la menor potencia reactiva posible. Lo que debemos hacer es colocar, en paralelo al circuito cuya Q q ueramos corregir, unos condensadores. Esos condensadores no consumirán potencia activa, pero permitirán reducir la Q. Con esa inserción conseguimos reducir la Q, pero nunca tanto como para hacerla negativa. La capacidad necesaria en esa asociación de condensadores nos viene dada por la fórmula: P * (TgQF − TgQ I )

C =

ω * V 2

Donde las unidades deben ser:

• • • •

V en voltios. P en watios. C en Faradios. ω en rad/s.

Sub-Apartado 6.6.3

Teorema de Boucherot

El teorema de Boucherot establece que:

∑S

Cedida

= ∑ S Recibida

El significado de este teorema es simple. Toda la potencia aparente que ceden los elementos de un circuito la reciben y utilizan otros elementos del propio circuito. Además:

∑P ∑Q

Cedida Cedida

= ∑ P Re cibida

= ∑ Q Re cibida

En el caso de la potencia aparente en las fuentes, el resultado suele tener la forma Este resultado indica que la fuente genera lo p ositivo y recibe lo negativo.

± P ± Qj .

Tema 7 Circuitos transitorios de Primer Orden Apartado 7.1

Introducción

Lógicamente, desde que se ejerce una acción sobre un circuito, cerra r un interruptor, hasta que se alcanza una situación estacionaria transcurre un cierto tiempo. Ese tiempo es característico de cada circuito y depende de R, L y C.

36

Ese tiempo que transcurre hasta llegar al régimen estacionario es lo que se llama el régimen transitorio y se verá en este tema. El estudio de régimen transitorio se lleva a cabo mediante ecuaciones diferenciales, de las que solo veremos de primer orden.

Apartado 7.2

Circuito R-L

El circuito R-L tiene la siguiente forma: R

+ V

VR (t)

VL (t )

L

En este circuito la bobina es el elemento capaz de almacenar potencial, así que deberemos tener en cuenta sus condiciones iniciales. La razón se ve en el tema dedicado a las bobinas: “La corriente en una bobina no debería variar bruscamente. Si esto se produce se crea en extremos de la bobina una tensión que tiende a infinito.” En este circuito trataremos de calcular la intensidad que circula por la bobina, y por todo el circuito en general, pero para ello deberemos resolver una ecuación diferencial. En primer lugar aplicaremo s la LTK y sustituiremos, en la ecuación resultante, las tensiones de resistencia y bobina por sus valores. O btenemos así: V

= V R ( t ) + V L ( t ) ⇒

V

= R * I ( t ) + L *

d ( I ( t )) dt

Ahora dividimos entre L la ecuación y nos quedará la ecuación lista para ser resuelta: V L

=

R * I (t )

+

L

d ( I ( t )) dt

⇒ DI ( t ) +

R * I (t ) L

=

V L

La solución a esta ecuación es la suma de otras dos soluciones, llamadas homogénea y particular. La solución homogénea consiste en hacer 0 lo que hay a la derecha del igual, mientras que la respuesta particular dependerá de lo que hay a la derecha del igual. Ejemplos de resolución de estas ecuaciones hay en los ejercicios, por lo que no me extenderé aquí sobre el tema. Solo indicaré el valor final de la intensidad: I (t )

=−

V R

R

e

−

L

t

+

V R

Sub-Apartado 7.2.1

Carga y descarga de la bobina

Una ecuación del tipo anterior da como resultado una gráfica de este tipo:

37

I V R

t

τ

Observemos que para un tiempo lo suficientemente grande el circuito se comportaría como ya sabemos, la bobina se comportaría como un cortocircuito, la resistencia soportaría todo el potencial de la fuente y se cumpliría la Ley de Ohm. Este proceso se conoce como carga de la b obina. Si ahora conectásemos esa bobina, ya cargada, a una resistencia y lo desconectásemos del resto del circuito observaríamos el efecto contrario. Todo el potencial se iría a la resistencia. Lógicamente volvemos a estar ante un circuito en régimen transitorio y deberíamos aplicar el cálculo por ecuaciones diferenciales. El resultado que obtendríamos sería: I ( t )

=

V R

R1

e

−

L

t

Esto da lugar a una gráfica del tipo:

V I R

t

Este proceso se conoce como proceso de descarga de la bobina. El proceso total quedaría: I V R

t

τ

Sub-Apartado 7.2.2

Complicación

38

El problema que se nos presenta ahora es que los circuitos nunca son tan sencillos como un R-L, sino que serán mucho más comple jos. La solución será calcular el equivalente Thevenin del circuito que nos den y llevar a él la bobina. Además nosotros solo damos circuitos que se puedan resolver con ecuaciones diferenciales de Primer Orden, pero no siempre se pueden resolver así los circuitos. Los posibles casos que se nos pueden presentar en un circuito en régimen transitorio son:

• • •

1 sólo elemento almacenador: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. 2 o más elementos almacenadores distintos: Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. 2 o más elementos almacenadores iguales: o Posible asociación: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. No asociación posible: Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. o

Si aparecen dos elementos asociables calcularemos su equivalente y operaremos con él.

Apartado 7.3

Circuito R-C

Un circuito R-C tiene la siguiente forma: R

+ V

VR (t)

VC (t)

C

Nos volvemos a encontrar ante un circuito en régimen transitorio y actuaremos igual que lo hicimos en el circuito R-L, resolviendo la correspondiente ecuación diferencial. Sin embargo esta vez la incógnita no será la corriente sino la tensión que soporta el con densador. El resultado obtenido será: V C (t )

= V − V * e

−

1

t R * C

Sub-Apartado 7.3.1

Carga y descarga del Condensador

Podemos volver a observar que el circuito cuando hubiese transcurrido un tiempo suficientemente grande se comportaría como ya vimos en el caso de régimen permanente. La gráfica que se obtiene es la misma que en el caso de la intensidad en la bobina. Aquí tenemos otra manifestación de la dualidad corriente-bobina y tensión -condensador. VC V t

τ

39

Este proceso se conoce como carga del condensador y es totalmente análogo a la carga de la bobina. Tal como hicimos con la bobina, colocaremos ahora al condensador cargado en un circuito con una resistencia. De nuevo tenemos un circuito en régimen transitorio y usaremos cálculo diferencial. La nueva tensión del condensador será: V C (t ) = V * e

−

t

R *C

De nuevo nos encontramos ante un proceso de descarga, pero en este caso del condensador. Lo que provocará este circuito es que toda la tensión del condensador vaya a parar a la resistencia a la que está conectado el condensador. De nuevo el proceso de descarga genera un gráfico como el que sigue: V V

t

Y el proceso global: V V t

Apartado 7.4

Similitudes

A lo largo de la explicación de los circuitos R-L y R-C se han observado ciertas similitudes entre ambos tipos de circuito. Se observa también que las fórmulas matemáticas que describen ambos circuitos son, en esencia, iguales. Esa igualdad se hace más patente con la explicación q ue se hace a continuación. En las gráficas de carga de ambos circuitos aparece un tiempo a partir del cual el circuito es estacionario, que se simboliza con la letra τ. Ese tiempo es denominado constante de tiempo, y es diferente en cada circuito. Viene dado por las siguientes fórmulas, dependiendo en que tipo de circuito estemos.

τ=

L R

τ

= R * C

40

teoria de circuitos

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