Problemas de modelos de colas. C1. La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. Los clientes llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial determinar! "a# Porcenta$e de tiempo ocioso del ca$ero. "b# %iempo medio de estancia de los clientes en la cola. "c# &racci'n de clientes que deben esperar en cola. C2. (na tienda de alimentaci'n es atendida por una persona. )parentemente el patr'n de llegadas de clientes durante los s*bados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegada de 10 personas por hora. ) los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo &+&, y debido al prestigio de la tienda una vez que llegan est*n dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente con un tiempo medio de - minutos. eterminar! "a# La probabilidad de que haya l/nea de espera. "b# "b# La longitud media de la l/nea de espera. "c# "c# l tiempo medio que un cliente permanece en cola. C. Los clientes llegan a una peluquer/a con una tasa media de por hora y con los tiempos entre llegadas consecutivas distribuidos exponencialmente. 3ay un peluquero disponible en todo momento y - sillas para los clientes que llegan cuando el peluquero este ocupado. l reglamento del local de prevenci'n de incendios limita el n4mero total de clientes dentro dela tienda en todo momento a un m*ximo de . ) los clientes que llegan cuando la peluquer/a est* llena se les niega la entrada. l tiempo de servicio se distribuye exponencialmente con media que cambia seg4n el n4mero de clientes. eterminar! "a# 54mero medio de clientes en la cola. "b# %iempo estimado que un cliente espera su servicio "c# Porcenta$ede tiempo que el peluquero permanece ocioso. 54mero de clie ntes en la tienda 1 2 - %iempo medio de atenci'npor cliente 6 10 10 1 20 Pista! %enemos los 7n. C-. n una 8*brica existe una o9cina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante las horas de traba$o. l $e8e de personal que ha observado la ausencia de obreros a la ventanilla ha solicitado que se haga un estudio relativo al 8uncionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine el tiempo medio de espera delos obreros en la cola y la duraci'n media de la conversaci'n que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. ste analista llega a la conclusi'n de que durante la primera y la 4ltima media hora de la $ornada la ausencia es muy reducida y :uctuante pero que durante el resto de la $ornada el 8en'meno se puede considerar estacionario. el an*lisis de 100periodos de minutos sucesivos o no pero situados en la 8ase estacionaria se dedu$o que el n4mero medio de obreros que acud/an a la ventanilla era de 1;2 por periodo y que el tiempo entre llegadas segu/a una distribuci'n exponencial. (n estudio similar sobre la duraci'n de Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
"a# 54mero medio de obreros en cola. "b# %iempo medio de espera en cola. C. Supongamos que en la :ota de +beria hay - aviones del tipo >umbo ?-?. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 16?1 y en especial los 8allos en las turbinas. Los datos indican que los 8allos en cualquier turbina de cualquier avi'n es una variable aleatoria y que el tiempo promedio entre dos 8allos consecutivos de cualquier avi'n es de un a@o. l tiempo medio de revisi'n y arreglo del 8allo de la turbina es de - d/as "una octava parte del a@o#. Solamente se tiene un equipo humano de expertos para dar servicio y se proporciona servicio ba$o la pol/tica de Aprimero que entra en taller primero que se reparaA. urante el periodo de mantenimiento el avi'n no vuela. escribir cuantitativamente el sistema de espera. CB. (na entidad bancaria considera la posibilidad de instalar una red de ca$eros en una de sus o9cinas. ado que se desconoce la a:uencia de p4blico que demandar dicho servicio coloca un 4nico ca$ero durante un mes. iariamente se recogen datos sobre los tiempos de llegadas de los clientes as/ como de los tiempos de servicio. Suponiendo que la sucursal se encuentra emplazada en un barrio donde no existe otro servicio seme$ante el cliente que llega pre9ere esperar a poder utilizar el ca$ero cuando este ocupado. %ras el oportuno an*lisis de los datos recogidos se estima que! el cuadro de llegadas es un proceso de PoissonD la distribuci'n del tiempo de servicio es exponencial! el tiempo medio transcurrido entre dos llegadas consecutivas es de ?; minutosD el tiempo medio de servicio es de minutos por cliente. Se pide calcular! "a# %iempo medio de espera que debe su8rir cada cliente en cola. "b# Probabilidad de que al acudir al ca$ero ya haya alguna persona en la cola. "c# 54mero medio de clientes en la cola. C?. n un taller caben cuatro m*quinas que son reparadas por dos mec*nicos. Las m*quinas llegan al taller una vez cada tres horas por tErmino medio y el tiempo medio de reparaci'n es de - minutos. Suponiendo que se trata con distribuciones exponenciales de los tiempos Fcu*l es el n4mero medio de m*quinas estropeadas en el taller en estado estacionarioG CH. (na sucursal bancaria tiene dos ca$eros igualmente e9cientes y capaces de atender un promedio de B0 operaciones por hora con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso de Poisson con una tasa media de 100 por hora. eterm/nese! "a# La probabilidad de que haya m*s de tres clientes simult*neamente en el banco."b# La probabilidad de que al menos uno de los ca$eros estE ocioso. C6. (n autoservicio de lavado de coches tiene cuatro secciones. n cada una los clientes pueden lavar y encerar sus autos. Por otro lado se tiene
espacio para un m*ximo de tres autom'viles adicionales cuando las secciones de lavado est*n ocupadas. Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
C1. l 8abricante de un conductor elEctrico muy especializado tiene un gran volumen de producci'n. l conductor su8re una 4nica manipulaci'n mec*nica mediante una m*quina especializada. ado el volumen de ventas la Compa@/a pone un gran n4mero de m*quinas iguales 8uncionando todo el tiempo "supongamos que la poblaci'n de m*quinas es in9nita#.Las m*quinas se aver/an de acuerdo con un proceso de Poisson con una media de por hora. La Compa@/a tiene un 4nico Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
C1?. n una aerol/nea se debe revisar cada pasa$ero as/ como su equipa$e para ver si trae armas. Suponga que al )+L)llega un promedio de 10 pasa$erosNminutos. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasa$eros el aeropuerto debe tener dos estaciones que consisten en un detector de metales y una m*quina de rayos O cada una para el equipa$e. Cuando est*n traba$ando las estaciones se necesitan dos empleados. Se pueden revisar un promedio de 12pasa$eros por minutos. l tiempo para revisar un pasa$ero es exponencial. etermine! "a# FCual es la probabilidad de que un pasa$ero que llegue encuentre personas en colaG "b# Fn promedio cuantos pasa$eros esperan en colaG "c# Fn promedio cuanto tiempo pasara el pasa$ero en la estaci'n de veri9caci'nG Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
de secretarias a los mime'gra8os sigue una distribuci'n Poisson con media de - Nhora. l tiempo de servicio sigue una distribuci'n exponencial con media de Nhora. Se desea determinar! "a# La probabilidad de que los mime'gra8os estEn ociososG "b# la probabilidad de que tres secretarias necesiten usar los mime'gra8os al mismo tiempoG "c# l tiempo promedio que una secretaria pasa en los mime'gra8osG C21. (n sistema de colas tiene tres canales de servicio. Las llegadas de los clientes sigue una distribuci'n poisson con media de 0.H clientes por minutos. l tiempo de servicio de cada canal es exponencial con media de 0.-0 clientes por minuto. "a# Calcule el n4mero esperado de clientes en colaG Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
ii# (na llamada se pase a la l/nea de espera iii# (na llamada reciba se@al de ocupado. C2. (na tienda en la que se realizan 8otocopias est* abierta d/as a la semana. isponen de m*quinas idEnticas pero solamente hay 2 operadores traba$ando con ellas de 8orma que la m*quina s'lo se usa cuando alguna de las otras dos se estropea. Cuando una m*quina est* en servicio el tiempo hasta que se estropea sigue una distribuci'n exponencial demedia 2 semanas. Si la m*quina se estropea mientras las otras 2 est*n operativas se llama a un tEcnico para su reparaci'n cuyo tiempo medio hasta que se repara sigue una distribuci'n exponencial de tasa media 0.2 semanas. Sin Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
de servicio tiene una distribuci'n exponencial de media 1 minutos. Cada operador atiende 4nicamente tres m*quinas y no ayuda ni recibe ayuda de los otros operadores. Para que el departamento alcance la tasa de producci'n necesaria las m*quinas deben 8uncionar por lo menos el H6 T del tiempo en media. a# FCu*l es el m*ximo nR de m*quinas que puede asignarse a cada operador manteniendo la tasa de producci'nG Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
a# FQuE modelo permite estudiar el comportamiento de la centralitaG. ibu$ ar el diagrama de tasas b# FCual es el tiempo medio de espera hasta que se atiende una llamadaG c# FCon quE probabilidad se rechaza una llamadaG d# )ctualmente se est* considerando la posibilidad de ampliar el servicio de la centralita para reducir la probabilidad de rechazar una llamada. Las posibilidades que se est*n estudiando son! 1# Conectar a la centralitaotras - lineas nuevas manteniendo una 4nica tele8onista Proble mas de )mpliaci'n de stad/stica.
"c# L V 2 Lq V -N &racci'n en cola V 2N. l BB;B?T de los clientes que est*n en el sistema est*n en cola. C2."a# P"l/nea de espera#V1 = p0 = p1 V -N6 "b# Lq V -N personas en cola. "c# q V 2N1 horas V H minutos de media en cola. C. "a# Lq V 1;0B1H2 person as. "b# q V 0;0-11B horas V 2-;B6 minutos. "c# l peluquero est* ocioso el 22;?2T del tiempo. C-. "a# Lq V -;01BB? obreros. "b# q V 1B;BBB? minutos. C. p0 V 0;?-B p1 V 0;2H? p2 V 0;10?? p V 0;02B6 p- V 0;00- p V pB V... V0 Lq V 0;1?1? aviones en espera a ser reparados y q V 0;00 a@osV 1H;- d/as. CB."a# q V 001BBBB? horas V 10 min. "b# la probabilidad de que haya al menos dos personas en el sistema es 0;----. "c# Lq V 1; clientes. C?. L V 0;2? m*quinas en el taller CH. "a# 1 ="p0 X p1 X p2 X p# V 0;2B1. "b# P"al menos un ca$ero ocioso# V 0;2-2-2-
C6. "a# L V ;2H. "b# 0;0B es el n4mero medio de veh/culos que no pueden entrar al servicio. C10. "a# p0 V 0;12B Lq V 0;02H L V 1;60 q V 0;0016horas V ?seg. V 0;12B6horas V ?min.Bseg."b# p0 V 0;022B Lq V 1;B1 L V 1;-6 q V 0;60?horas V -;--min. V1;0horas V B1;Hmin. C11. "a# LV2;- empleados en el departamento de control de calidad. "b# LV1;-??H empleados en el departamento de control d calidad. C12."a# mpleado actual! L V clientes V 0 minutos mpleado con cursillo! L V H;B2 clientes V 1;?0 minutos. Los resultados son m*s sensibles al tiempo medio de servicios que a su variaci'n."b# La varianza saldr/a negativa es decir no es posible compensarlo de ninguna 8orma. C1. LV2;6- m*quinas. C1-.Problemas de )mpliaci'n de stad/stica.
