Se consideră o piaţă de capital pe care cotează n active cu risc şi un activ fără risc. Fiecare activ cu risc e caracterizat prin rentabilitatea sa, notată cu µ i , riscul său, notat cu σ (implicit varianţa este pătratul pătratul riscului riscului σ ii = σ i2 ) şi covarianţa sa cu celel celelela elalte lte active active,, notată cu σ ij unde i ≠ j . Trebuie reţinut fapt faptul ul că rela relaţi ţiaa dint dintre re covarianţă şi coefici coeficien entul tul de corela corelaţie ţie dintre dintre două
i
Frontiera ar/o0itz
3
4
f
active este corr ij =
σ ij σ iσ j
∈ [ −1 +1] (1)
!ent !entru ru a caract racteeriz riza pia piaţa de cap capital ital "n ansam samblul lul său său vom nota ota vectorul T rentabilităţilor activelor cu ris risc cu µ = ( µ1 µ 2 K µ n ) , iar iar vari varian anţe ţele le şi covarianţele sunt #rupate "ntr$o matrice de varianţă covarianţă %
σ 12 σ Ω = 21 K σ 1n
σ 12
K
σ 1n
σ 22
K
σ 2 n÷
K
K
K
σ 2n
K
÷
÷ . &n matricea de varianţă covarianţă, pe dia#onală re#ăsim ÷÷ σ n2
pătratul riscului fiecărui activ activ "n parte (adică varianţa), varianţa), iar "n afara dia#onalei dia#onalei principalele covarianţele. covarianţele. 'vident σ ij = σ ji , ceea ce "nseamnă că matricea Ω este simetrică, deci ΩT = Ω . Folosind relaţia dintre covarianţe şi coeficienţii de corelaţie de la (1) putem scrie matricea Ω astfel% σ 12 corr σ σ Ω = 21 2 1 K corr1nσ 1σ n
σ 1 ÷ ( σ 22 K corr2 nσ 2σ n÷ = K K K K ÷ ÷÷ 2 σ n ( corr2 nσ 2σ n K cti ctivu vull fără fără risc risc,, are are evid eviden entt σ = , rentabilitatea sa o vom nota cu R f . corr12σ 1σ 2
K
corr1n σ 1σ n
K
(
σ2
K
K
K
(
K
1 ÷ corr ( 21 ÷ K÷ K ÷ σ n corr1n (
corr12
K
1
K
K
K
corr2 n
K
corr1n
÷ corr2 n ÷ K ÷ ÷ 1
σ 1 ( K (
(
K
σ 2
K
K
K
(
K
÷ ( ÷ = S × M × S K ÷ ÷ σ n (
core corela laţi ţiaa cu oric oricar aree acti activv cu risc risc , iar iar
1. Fron Fronti tier era a Mark Markow owit itz z
!resupunem că un investitor doreşte să "şi investească capitalul doar "n cele n active cu risc. *otăm cu x porto portofo foli liul ul său. său. cest cestaa va fi un vect vector or cu n elem elemen ente te T x = ( x1 x2 K xn ) , unde xi repr reprez ezin intă tă pond ponder erea ea acti activu vulu luii i "n port portof ofol oliu iull investitorului. Suma tuturor ponderilor trebuie să fie 1, pentru că presupunem că n
investitorul "şi investeşte tot capitalul "n cele n active cu risc. +eci,
∑ =
i 1
se scrie vectorial
xT e = eT x = 1
( 2)
, unde
e = (1
1 K 1) 1 42 43 n
T
ori
entabilitatea portofoliului cu structura x se scrie% n
ρ
= ∑ xi µ i = xT µ = µ T x i =1
(-) , "n timp ce varianţa acestuia se scrie%
xi
= 1 , ceea ce
n
σ
2
n
= ∑∑ xi x jσ ij = xT Ω x
(5) 1
i =1 j =1
e combinaţie din cele n active va ale#e6 'vident posibilităţile sunt infinite, pentru că xi ∈ ( −∞, ∞ ) $ ponderile activelor "n portofoliu pot fi ne#ative, semnific7nd o operaţiune de s8ort sellin# (v7nzare descoperită). +eoarece investitorul este raţional, ale#e acel portofoliu care "i aduce cea mai mare rentabilitatea la un anumit risc pe care şi$l asumă sau acel portofoliu care implică cel mai mic risc la o anumită rentabilitate pe care o ale#e (adică un portofoliu eficient ). Se demonstrează că problemele sunt ec8ivalente 9 "n #eneral se preferă rezolvarea celei de minim% min σ 2 = xT Ωx
x ρ = xT e − fixat T 1 = x e
!rin rezolvarea acestei probleme se obţine frontiera portofoliilor eficiente formate doar din cele n active cu risc. Se demonstrează că pentru orice portofoliu eficient ! relaţia dintre rentabilitate şi risc este% σ P2
=
1
( Aρ − 2 Bρ + C ) $ Frontiera Markowitz (vezi graficul de mai sus) D
A = eT Ωe
2 P
P
B = µ T Ωe = eT Ω µ
C
= µ T Ωµ
D = AC − B 2
!e frontiera ar/o0itz identificăm 2 portofolii remarcabile% 4 9 portofoliul de varianţă minimă absolută (dintre toate portofoliile eficiente de pe ar/o0itz acesta are cel mai mic risc, dar, evident, si cea mai mică rentabilitate) şi 3 9 acel portofoliu care se obţine duc7nd o tan#entă din ori#ine la frontiera ar/o0itz. ρV
=
σ V2
=
xV
1
B A 1 A
= Ω −1e A
ρ W
=
σ W 2
=
xW
C B C B2
1
= Ω −1 µ B
Se demonstrează că orice portofoliu ! de pe frontiera ar/o0itz poate fi scris ca o combinaţie conve:ă "ntre 4 şi 3, adică% x P
ρ P − ρ W ρV − ρ W
= λ xV + (1 − λ ) xW ⇒ ρ P = λρV + (1− λ ) ρ W ⇒ λ =
2. CML (Capital Market Line)
!resupunem că un investitor doreşte să "şi investească capitalul "n cele n active cu risc şi "n activul fără risc. *otăm cu : portofoliul format din activele cu risc, iar cu x &n mod similar, covarianţa dintre două portofolii se scrie σ PQ
1
= xT P ΩxQ
ponderea "n activul fără risc. cum suma elementelor din : nu mai este 1, ci trebuie să n
adău#ăm şi pe
x
⇒ ∑ xi = 1 ⇒ x + xT e = 1 . i =
entabilitatea investiţiei este% n
ρ
= x R f + ∑ xi µ i = x R f + xT µ . i =1
'vident riscul investiţiei *; se modifică prin adău#area unui activ fără risc. n
σ2
n
= ∑∑ xi x jσ ij = xT Ωx i =1 j =1
!roblema de optimizare se transformă astfel% min σ 2 = xT Ωx
x ,x ρ = x R f + xT e − fixat 1 = x + xT e
+in optimizare reiese o nouă frontieră de portofolii eficiente (apital ar/et ine) care este o dreaptă tan#entă din R f la frontiera ar/o0itz. şi frontiera ar/o0itz au un sin#ur punct "n comun, acel portofoliu eficient de pe format doar din active cu risc x = ( . cest punct este portofoliul pieţei . fl7ndu$se pe ar/o0itz putem să "i aplicăm formulele specifice% (
σ
2 M
=
1 D
( Aρ − 2 Bρ + C ) , 2 M
M
x M
= λM xV + (1 − λ M ) xW , iar ρ M =
C − BR f B − AR f
elaţia risc rentabilitate pe se scrie "n funcţie de % ρ P − R f σ P
=
ρM
− Rf
= ct.∀P ∈ CML ⇒ ρ P = R f + σ P
σM
ρ M
− R f
σ M
şa cum orice portofoliu de pe frontiera ar/o0itz se scria ca o combinaţie de 4 şi 3, aşa orice portofoliu ! de pe se scrie ca o combinaţie de şi activ fără risc. !onderile sunt%
x p = 1 − σ P σ M
σ P x M σ M pondere in activul fara risc
!ortofoliul (portofoliul pieţei) este e:trem de important, este sin#urul portofoliu format doar din active cu risc care răm7ne eficient atunci c7nd e:istă şi activ fără risc pe piaţă. cest portofoliu eficient format din toate activele cu risc de pe piaţă este utilizat "n evaluarea tuturor activelor de pe piaţa şi a tuturor celorlalte portofolii, indiferent dacă sunt eficiente sau nu. Se poate calcula volatilitatea unui activ sau a unui portofoliu, "n relaţie cu portofoliul pieţei. !entru toate activele cu risc de pe piaţă, coeficientul de volatiliatate se poate determina astfel%
β ÷ Ω x BETA = K = ÷ σ sau folosind modelul CAPM β ÷ 1
M
2
M
n
!entru portofolii, eficiente sau nu, coeficientul de volatiliate se poate determina astfel%
β Q
=
xQT ΩxM 2 σ M
sau folosind modelul CAPM
+acă β > 1 , activul, respectiv portofoliul, este mai a#resiv dec7t piaţa sau reacţionează mai puternic dec7t piaţa $ adică la o modificare a rentabilităţii pieţei cu o unitate, rentabilitatea activului, respectiv a portofoliului, se modifică cu mai mult de o unitate. +acă β < 1 , activul, respectiv portofoliul, este mai puţin a#resiv dec7t piaţa sau reacţionează mai slab dec7t piaţa $ adică la o modificare a rentabilităţii pieţei cu o unitate, rentabilitatea activului, respectiv a portofoliului, se modifică cu mai puţin de o unitate. CAPM 9 este un
model de evaluare a activelor de pe piaţă şi a portofoliilor de active care lea#ă e:cesul de rentabilitate al portofoliului pieţei peste rentabilitatea fără risc ( ρ M − R f ) şi volatilitatea activului sau al portofoliului β i de e:cesul de rentabilitate al activului sau portofoliului peste rentabiliatea fără risc ( ρ i − R f ) % ρi
= R f + βi ( ρ M − R f )
