Termodinamica Para Ingenieria

Bibian Alonso Hoyos Marta Cecilia Mejía

Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería

Colección Facultad Facultad de Minas 120 años Fundamentos Fundame ntos de termodinámica clásica para ingeniería © Bibian Alonso Hoyos • Marta Cecilia Mejía © Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Colección Facultad Facultad de Minas 120 años ISBN: 978-958-7 978-958-728020-3 28020-3 Primera edición:

Coordinación Editorial Oficina de Comunicaciones Facultad de Minas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Carrera 80 n.º 65-223 Bloque M1-107 Teléfono: 425 50 48 [email protected] Corrección de estilo, corrección de prueba y diagramación: Proyectos editoriales Teléfono: 311 630 94 37

Contenido

1. Conceptos básicos........................................................................ básicos........................................................................ 1.1 Ingeniería ................... ........................................ .......................................... ..................................... ................ 1.2 Termodinám ermodinámica ica ................... ........................................ .......................................... ............................. ........ 1.3 Método de la termodinám termodinámica ica .................... ......................................... ............................ ....... 1.4 Dimensione Dimensioness y unidades .................... ......................................... ................................... .............. 1.4.1 Sistema internacional de unidades .................. ........................... ......... 1.4.2 Sistema inglés de unidades (americano de ingeniería)............................................................ ingeniería)............................................................ 1.5 Sistemas termodinám termodinámicos icos ..................... .......................................... ............................... .......... 1.6 Pro Propiedades piedades termodinám termodinámicas icas y sustancia de trabajo ............. 1.7 Equilibrio y proceso procesoss termodinám termodinámicos icos ................................. ................................. Problemas Pro blemas propu propuestos estos ................... ........................................ ......................................... ............................. .........

1 1 2 4 5 6 7 11 12 13 16

2. Pro Propiedades piedades termodinám termodinámicas icas .................... ......................................... ................................... .............. 2.1 Masa y peso .................... ......................................... .......................................... ................................. ............ 2.2 Volumen Volumen y densidad .................... ........................................ ......................................... ....................... 2.3 Temperatura .................. ....................................... .......................................... ................................. ............ 2.3.1 Ley cero de la termodinám termodinámica ica .................. .................................. ................ 2.3.2 Concepto de temperatu temperatura ra ..................... ......................................... .................... 2.3.3 Medida de la temperatur temperaturaa ..................... ......................................... .................... 2.3.4 Escalas de temperatur temperaturaa .................. ....................................... ........................... ...... 2.4 Presió Presión n .................... ........................................ ......................................... ......................................... .................... 2.5 Ener Energía gía ................... ....................................... ......................................... ......................................... .................... 2.5.1 Ener Energía gía cinética ..................... .......................................... ................................... .............. 2.5.2 Ener Energía gía potencial ................... ........................................ ................................... .............. 2.5.3 Ener Energía gía interna .................. ....................................... ....................................... .................. 2.6 Entropía .................... ......................................... .......................................... ..................................... ................ Problemas Pro blemas propu propuestos estos ................... ........................................ ......................................... ............................. .........

20 20 21 23 23 24 24 25 28 32 32 33 33 34 35

3. Ecuaciones de balance .................. ....................................... .......................................... .......................... ..... 3.1 Calor .................... ......................................... .......................................... ......................................... ...................... 3.2 Trabajo ..................... .......................................... .......................................... ...................................... ................. 3.2.1 Trabajo para vencer fuerzas de fricción ................... ....................... 3.2.2 Trabajo para levantar un peso .................. ................................... ................. 3.2.3 Trabajo para acelerar un sistema .................... .............................. .......... 3.2.4 Trabajo en procesos con resortes .................... .............................. .......... 3.2.5 Trabajo en procesos eléctricos .................... .................................. .............. 3.2.6 Trabajo de expansión o compresión para procesoss en sistema cerrado ................... proceso ..................................... .................. 3.2.7 Trabajo de flujo ..................... .......................................... .................................... ............... 3.2.8 Trabajo en el eje .................... ......................................... .................................... ............... 3.3 Ecuaciones de balance ..................... ......................................... .................................... ................ 3.3.1 Balance de masa ................... ........................................ .................................... ............... 3.3.2 Balance de ener energía gía .................... ......................................... ................................ ........... 3.3.3 Balance de entropía ..................... .......................................... ............................. ........ Problemas Pr oblemas propue propuestos stos ..................... .......................................... .......................................... ........................... ......

40 40 41 41 42 42 42 43

4. Consecuen Consecuencias cias de la segunda ley de la termodinám termodinámica ica ................ 4.1 Postulados Postulados de la segunda ley de la termodinám termodinámica ica .............. 4.2 Máquinas térmicas .................. ....................................... .......................................... ......................... 4.3 Refrigerador Refrigeradores es y bombas de calor ................... ........................................ ..................... Problemas Pr oblemas propue propuestos stos ..................... .......................................... .......................................... ........................... ......

84 84 85 87 89

5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras mediante diagramas y tablas ................... ........................................ .......................................... .............................. ......... 5.1 Reglas Reglas de las fases de Gibbs .................... ......................................... ............................. ........ 5.2 Relaciones fundame fundamentales ntales para una sustancia pura.............. 5.3 Superficie P-vP-v-T T y diagramas de propiedades ........ ................. ................. ........ 5.3.1 Diagrama presión temperatu temperatura ra (diagrama de fases) .................... ......................................... .......................................... ........................... ...... 5.3.2 Diagrama presión volumen específico ..................... ......................... 5.3.3 Diagrama temperatu temperatura ra volumen específico............... 5.3.4 Diagrama temperatu temperatura ra entropía ..................... ............................... .......... 5.3.5 Diagrama entalpía entropía ..................... ...................................... ................. 5.3.6 Diagrama presión entalpía ................... ........................................ ..................... 5.4 Calidad y humedad .................................... ......................................................... .......................... ..... 5.5 Tablas Tablas de propied propiedades ades ............................ ................................................. .............................. ......... vi

43 45 45 52 52 57 66 76

93 93 93 95 95 97 99 99 100 100 101 105

5.5.1 Interpolaci Interpolación ón de propie propiedades dades tabuladas................... ..................... 107 5.6 Capacidad Capacidad calorífica ...................................... ........................................................... ....................... 110 Problemas Pro blemas propu propuestos estos .............................................. ................................................................... ......................... 112 6. Cálculo de las propied propiedades ades de los gases ideales .................. ........................... ......... 6.1 Propiedades Propiedades de los gases ideales ....................................... .......................................... ... 6.1.1 Relaciones P-vP-v-T T para gases ideales ........ ................. ................. ........... ... 6.2.2 Relaciones para calcular energía interna (u), entalpía (h) (h) y entropía entropía (s) de gases ideales ideales ............... 6.2 Datos tabulados tabulados de propieda propiedades des de de gases gases ideales ideales ................. 6.2.1 Tabulación de la energía interna, la entalpía y la entrop entropía ía de gases ideales ideales .................... .................................... ................ 6.2.2 Presió Presión n relativa y volumen relativo................... ............................ ......... 6.3 Procesos reversibles con gases ideales ................................. ................................. Problemas Pro blemas propue propuestos stos .................... ......................................... ......................................... ............................. ......... 7. Cálculo de las propiedades de sustanci sustancias as puras por medio de relaciones ..................... .......................................... .......................................... ..................................... ................ 7.1 Relacion Relaciones es P-vP-v-T T .................. ....................................... .......................................... ............................. ........ 7.1.1 Ecuaciones de estado cúbicas ................... ................................... ................ 7.1.2 Ecuación virial ................... ........................................ ....................................... .................. 7.1.3 Relaciones P-vP-v-T T mediante correlaciones generalizadas generalizad as ..................... .......................................... ....................................... .................. 7.1.4 Propiedades P-vP-v-T T para líquidos ........ ................ ................. ................. ........ 7.2 Cálculo de otras propiedades de sustancias puras en una sola fase ..................... .......................................... ......................................... ......................... ..... 7.2.1 Relacion Relaciones es de Maxwell................... ........................................ ............................ ....... 7.2.2 Cálculo de propiedades de sustanci sustancias as puras por correlacione correlacioness generalizadas generalizadas .................... ................................ ............ 7.2.3 La propie propiedad dad fugacidad, su función y su cálculo .................... ......................................... .......................................... ....................... 7.3 Cálculo de de propie propiedades dades en sistemas difásicos ...................... ...................... Problemas Pro blemas propu propuestos estos .............................................. ................................................................... ......................... 8. Energía Energía disponible. disponible. Análisis termodinámico termodinámico de de procesos procesos ............. 8.1 Ener Energía gía disponible y energía energía no disponible disponible.................. ........................... ......... 8.1.1 Ener Energía gía disponible ..................... ......................................... ............................... ........... 8.1.2 Disponibilidad de la ener energía gía en tránsito................... ..................... 8.1.3 Pérdida de disponibilidad ..................... ......................................... .................... vii

117 117 118 120 121 122 123 125 131 134 134 134 139 142 146 147 148 153 161 164 169 173 174 174 177 179

8.2 Balance de disponibilidad disponibilidad.................... ......................................... ................................. ............ 8.3 Eficiencia exergética exergética .................... ......................................... ........................................ ................... 8.3.1 Eficiencia de una máquina térmica..................... ........................... ...... 8.3.2 Eficiencia de un refrigerad refrigerador or ................... .................................... ................. 8.3.3 Eficiencia de una bomba de calor ................... ............................. .......... 8.3.4 Eficiencias de bombas y compresor compresores es ..................... ......................... 8.3.5 Eficiencia de una turbina .................... ......................................... ..................... 8.3.6 Eficiencia de un intercam intercambiador biador de calor ................. 8.3.7 Eficiencia de toberas.................... ......................................... ............................. ........ 8.4 Análisis termodinám termodinámico ico de proceso procesoss .................. .................................... .................. Problemas Pr oblemas propue propuestos stos ................... ....................................... ......................................... ............................... ..........

180 182 183 183 183 184 184 184 184 187 191

9. Aplicaciones Aplicaciones termodinámic termodinámicas as del flujo de fluidos fluidos .................. ........................ ...... 9.1 Balance de de ener energía gía mecánica .................. ....................................... ............................. ........ 9.1.1 El trabajo perdid perdidoo en el flujo de fluidos .................... 9.1.2 Aplicacione Aplicacioness del balance de ener energía gía mecánica .......... 9.2 Flujo a través de toberas y difusores .................................... .................................... 9.2.1 La velocidad del sonido .................... ......................................... ......................... .... 9.2.2 Pr Propiedade opiedadess de estancamiento .................... .................................. .............. 9.2.3 Flujo adiabático reversible en conductos de sección sección transversal variable .................... .................................. .............. 9.2.4 Eficiencia de toberas..................... ......................................... ............................ ........ 9.3 Pr Procesos ocesos de compresión y expansión expansión en flujo estable ........... 9.3.1 Expansión en turbinas................... ....................................... ............................ ........ 9.3.2 Flujo en compresore compresoress .................... ........................................ ............................ ........ Problemas Pr oblemas propue propuestos stos ................................................. ..................................................................... ....................

195 195 196 197 201 202 204

10. Aplicaciones Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración refrigeración ................... ....................... 10.1 Ciclos de potencia..................... .......................................... ........................................ ................... 10.2 Ciclos de potencia de gas ........................ ............................................. ......................... .... 10.2.1 Ciclo de Brayton o ciclo de turbina de gas básico ................... ........................................ ......................................... .......................... ...... 10.2.2 Ciclos para modelar máquinas de combustión interna .................... ......................................... .......................................... ......................... 10.3 Ciclos de potencia de vapor .................... ......................................... ......................... .... 10.3.1 Ciclo de Carnot ................... ....................................... ................................ ............ 10.3.2 Ciclo de Rankine .................... ......................................... ............................. ........ 10.3.3 Regene Regeneración ración en plantas de potencia de vapor....

215 215 216

viii

205 207 209 209 210 212

216 225 230 230 231 234

10.3.4 Recalentamiento Recalentamiento en las plantas de potencia de vapor vapor..................... ......................................... ......................................... ....................... 10.4 Cogeneració Cogeneración: n: produ producción cción de potencia y calor ................ 10.5 Ciclos de refrigeració refrigeración n .................. ....................................... ................................... .............. 10.5.1 Sistema de refrigeració refrigeración n de gas ..................... .......................... ..... 10.5.2 Sistemas de refrigeració refrigeración n de vapor .................... ...................... Problemas Pro blemas propu propuestos estos .............................................. ................................................................... .........................

238 241 241 242 244 246

11. Referencias Referencias bibliográficas ................... ........................................ ....................................... .................. 251

ix

Introducción El esfuerzo realizado para presentar este trabajo, obedece principalmente a la necesidad de tener un texto de principios de termodinámica clásica que enfatice en los balances de materia, energía, entropía y disponibilidad disponib ilidad y en el cual estos temas se presenten de una manera ordenada, integrada y global. Contrario a la gran mayoría de textos que tratan t ratan el tema (en los cuales se presentan los balances en forma segmentada o particularizada para diversos casos y donde parece primar la idea de que lo importante es el cálculo de propiedades en sí mismo), este libro nace de la convicción de que los estudiantes estudiant es pueden adquirir una mayor comprensión de la termodinámica conociendo su panorama global para simplificar luego las relaciones más generales a las situaciones particulares ante las que se encuentre. Con este objetivo, se presenta una descripción macroscópica de la materia en forma de los balances generales de masa, energía, entropía y disponibilidad con aplicaciones a diversos procesos y dispositivos. Es importante resaltar aquí también, el esfuerzo realizado para lograr una presentación presentació n ordenada del balance de energía, que permita a los estudiantes enlazar este nuevo concepto al de los balances previamente estudiados. estudiados. Como este libro está escrito escrit o con la intención de que pueda utilizarse utiliza rse en el primer curso de termodinám termodinámica ica para estudiantes de ingeniería, creemos que no es necesario abrumarlos con una gran cantidad de conceptos y nuevas técnicas de cálculo; por tanto, estimamos que es suficiente con aplicar los conceptos de los balances a procesos en los cuales solo están involucradas sustancias puras; dejamos pues el cálculo de propiedades de mezclas y de sistemas con reacción química a cursos posteriores, cuando el concepto de balance tenga madurez. El hecho de enfatizar en los balances no implica descuidar la presentació presentación n del cálculo de propiedades de sustancias puras. Es por esto que presentamos este tema en tres capítulos consecutivos intentando inten tando recopilar en ellos las técnicas de cálculo de más amplio uso en la actualidad y que, además, sean un compromiso satisfactorio entre una descripción correcta de las sustancias y la complejidad del cálculo.

1. Conceptos básicos 1.1 Ingeniería Es difícil dar una explicación de ingeniería en pocas palabras, pues se puede decir que la ingeniería ingenier ía comenzó con el hombre mismo, pero se puede intentar dar un bosquejo general de la ingeniería como una profesión. La definición dada por el Accreditation Board for Engineering and Technology es: La ingeniería es la profesión mediante la cual se aplican racionalmente los conocimientos de las matemáticas y de las ciencias naturales, adquiridos por el estudio, la experiencia y la práctica, al desarrollo de métodos económicos de utilización utilización de los materiales y las fuerzas fuerzas de la natu n atural raleza eza par paraa beneficio de la humanidad.

Se puede ampliar un poco más la definición y decir que los conocimientos que un ingeniero necesita aplicar racionalmente racionalmen te en la actualidad, para llevar a cabo un buen desempeño, abarcan muy diversas áreas (además de las matemáticas y las ciencias naturales); podemos mencionar las ciencias de ingeniería (termodinámica, fenómenos de transporte, cinética), las ciencias sociales y humanas (economía, historia, sociología), sociología), la legislación y la ética, entre otras. Pero como lo menciona la cita anterior, estos conocimientos adquiridos por el estudio alcanzarán alcanzar án su máxima utilidad en el ingeniero a medida que este se enfrente a problemas cada vez más complejos, para cuya solución es necesario recurrir al conocimiento adquirido por medio de la experiencia; y esto requiere a menudo hacer gala de sentido común y creatividad. Con estos conocimientos anteriormente mencionados (y por supuesto, con nuevos descubrimientos desc ubrimientos o teorías en esas áreas ár eas del conocimiento) conoc imiento),, y siempre teniendo en cuenta los recursos disponibles, el ingeniero puede crear, diseñar, operar y optimizar procesos que transformen dichos recursos con miras a obtener un producto (bien o servicio) que satisfaga alguna necesidad de la sociedad. El ingeniero deberá por tanto estar atento, no solo a encontrar soluciones tecnológicamente factibles, sino también a preguntarse si esa solución satisface las necesidades de la sociedad. Esto implica, por supuesto, que el ingeniero debe cuidar al máximo los recursos ambientales y, en la medida de sus posibilidades, posibilida des, que el proceso para llegar a un producto final los afecte en la menor medida.


En la figura 1.1 se presenta un esquema que resume la anterior exposición de la ingeniería como una profesión.

Figura 1.1 Esquema de la ingeniería como profesión

1.2 Termodinámica Como se mencionó, la termodinámica hace parte de las herramientas que debe tener un buen ingeniero para su desempeño eficiente, y puede considerarse dentro de esa perspectiva como un puente entre los conocimientos de las ciencias naturales y los conocimientos de las ciencias de ingeniería. La termodinámica nació como una forma de estudiar y comprender mejor dispositivos que producen energía mecánica a partir del calor (de allí su nombre, el cual significa: potencia obtenida a partir del calor) y no es extraño encontrar en los primeros libros sobre el tema definiciones como “Termodinámica es la ciencia que trata de las relaciones entre calor y trabajo”. En la actualidad, se considera a la termodinámica como un área con un mayor alcance y que se podría definir como “El estudio de las transformaciones energéticas y las restricciones a estas transformaciones mediante la obser vación y la medición de propiedades macroscópicas de las sustancias en condiciones de equilibrio o cerca de este”. Algunas de las palabras claves de esta definición como energía, propiedad, sustancia y equilibrio, se explicarán y definirán con mayor detalle. Por ahora se puede decir que el análisis de estas transformaciones descansa en unos postulados o leyes (llamadas las leyes de la termodinámica) que no se han demostrado matemáticamente; matemáticamente; su validez se basa en la experiencia recogida por la humanidad durante años de observación de la naturaleza. Dentro de las restricciones que impone la termodinám termodinámica ica no se ha encontrado ningún proceso que incumpla con los postulados, y es claro que ellos serán válidos 2

1. Conceptos básicos

mientras no se hallen procesos o situaciones que los contradigan (momento (momento en el cual será la hora de desarrollar una nueva teoría). En la última definición también se habla de un enfoque macroscópico (a gran escala) de la naturaleza. Este enfoque, llamado termodinámica clásica, no considera por tanto los cambios ni procesos que ocurren a escala microscópica o molecular. Por ello, al estudiar los efectos globales, no es necesario tener un modelo de la estructura atómica de las sustancias, de allí que los nuevos descubrimientos o teorías en este campo no modifican la validez de los postulados de la termodinámica. La estructura de la termoditermodi námica clásica es relativamente simple debido a que sus conceptos son más fácilmente aceptables intuitivamente intuitiva mente y a que las matemáticas involucradas en su estudio no contienen mayor complejidad o nivel de abstracción; abstracci ón; esta estructura simple involucra alguna desventaja: aunque por medio de la termodinámica clásica se pueden predecir las relaciones entre las propiedades de las sustancias, no puede mostrar por qué tales relaciones tienen una forma particular. Afortunadamente, en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, es más importante conocer los efectos globales que tener un conocimiento detallado de lo que ocurre a nivel atómico. En situaciones donde el enfoque macroscópico no es adecuado (como, por ejemplo, cuando se hacen estudios de sustancias a alta temperatura y presión en procesos de generación de energía magnetohidrodinámica), se debe emplear un estudio basado en el comportami comportamiento ento estadístico de gran número de partículas (grupos (grup os del orden de 10 20 o superiores). Este enfoque, llamado termodinámica termodinámica estadística, requiere un modelo de la estructura de las sustancias, y combina técnicas de cálculo estadístico y teoría de probabilidades con conocimientos de teoría cuántica. Por esto, las matemáticas requeridas por la termodinámica estadística son bastante más complejas que las requeridas por la termodinámica clásica, pero esta complejidad es recompensada por la posibilidad de predecir y explicar el comportamiento macroscópico macroscóp ico de la materia. Como se mencionó, la mayoría de los problemas de ingeniería solamente requieren un análisis del efecto global de los procesos sobre las sustancias; es por eso que la presentación de la termodinámica termodinámic a en este libro tendrá esencialmente un enfoque clásico, el cual permite soluciones a menudo más simples y una más fácil comprensió comprensión n e interpretación de los resultados obtenidos. En la definición de termodinámica se dice que los estudios se hacen entre estados de equilibrio (o cerca del equilibrio). Esto quiere decir que solo se consideran las características o propiedades de las sustancias antes y después de un proceso de cambio y no durante dicho proceso, ni se estudia el mecanismo o la velocidad a la cual se lleva a cabo la transformació transformación. n. O en otras palabras, la termodinámica puede predecir lo que va a ocurrir en un caso determinado, pero no dirá nada acerca de la velocidad a la que ocurrirá ni cuál es el mecanismo involucrado. 3


1.3 Método de la termodinámica Para el estudio de procesos de transformación energética, la termodinámica ha desarrollado un método claro y un modo de obrar que permite, como ya se dijo, soluciones relativamente simples a problemas reales de ingeniería. Este método de análisis termodinámico se puede resumir en lo siguiente: 1. Análisis de las diferentes formas de energía que pueden estar involucradas en un proceso particular. 2. Conocimiento de las propiedades propiedades de las sustancias que están relacionadas con los procesos de transformación energética. 3. Determinaci Determinación ón de la forma de medir estas propiedades y búsqueda de las relaciones que permitan asociar propiedades de difícil medición con otras cuya medición pueda ser más directa o sencilla. 4. Evaluación de la eficiencia de la transformación transformación energética energética que ha tenido lugar. Para ilustrar este método con un ejemplo, considérese el dispositivo mostrado en la figura 1.2 (una máquina térmica).

Figura 1.2 Máquina térmica para la producción de energía eléctrica

El principal objetivo de esta máquina térmica es transformar energía química del combustible (petróleo, carbón, gas, etc.) en la cámara de combustión en energía eléctrica. Por esta máquina circula una sustancia (llamada comúnmente sustancia de trabajo) que será la encargada de recibir y entregar los flujos energéticos involucrados y sufrirá cambios en sus propiedades a medida que pasa por cada uno de los equipos. Por medio de la determinación de las propiedades de la sustancia en los puntos 1, 2, 3 y 4 (condiciones anteriores y posteriores de la sustancia en cada uno de los equipos) y un análisis termodinámico, se puede establecer cuánta de la energía entregada a la sustancia de trabajo en la cámara de combustión 4


se convirtió realmente en energía eléctrica, así como la magnitud de los diferentes flujos energéticos involucrados en todo el proceso. Cabe resaltar que la cuantificación de los flujos energéticos dependerá solo del valor de las propiedades de la sustancia de trabajo en cada punto y no de la naturaleza de la sustancia utilizada (esta característica tan importante, será explicada con mayor detalle en capítulos posteriores). Por último, cabe anotar que los resultados resulta dos que se pueden obtener de un análisis termodinámico de una situación en particular, dependen dependen en gran medida de la “confiabilidad” de los datos que están está n disponibles. Es decir, que a medida que los datos de las propiedades de las sustancias se determinen con mayor exactitud, se obtendrán resultados (por medio de análisis termodinám termodinámicos) icos) más ajustados a la realidad. real idad. Por Por esto en la actualidad actualida d la consecución de datos más confiables de las propiedades y la búsqueda de mejores relaciones entre entr e ellas es uno de los campos de mayor actividad investigativa.

1.4 Dimensiones y unidades Cualquier medida física tiene dimensiones y debe ser expresada en las unidades correspondientes a estas dimensiones de acuerdo con un sistema de unidades particular. Dimensión es el nombre que se le da a las cantidades físicas: longitud, masa, tiempo, etc. Unidad es la medida de la dimensión; por ejemplo, pie, metro, y milla son unidades de la dimensión longitud. Expresar una aceleración como 9,8 no tiene sentido; si se agrega la unidad correspondiente de un determinado sistema y se dice por ejemplo que la aceleración es 9,8 m/s 2, esta información adquiere sentido. Para trabajos científicos y de ingeniería, deben usarse las unidades de medida del Sistema internacional de unidades (S.I.). El gobierno colombiano colombia no expidió el decreto ley 2416 de diciembre de 1971 por medio del cual se adopta el S.I. como sistema métrico oficial. Sin embargo, debido a que en la bibliografía poco reciente, así como en la calibración de algunos instrumentos, se utilizan unidades de otros sistemas, es indispensable saber trabajar e interpretar información de ellos (en especial el inglés de ingeniería) y saber convertir unidades de un sistema a otro otro.. Cada sistema escoge un grupo de dimensiones fundamentales (de acuerdo con un patrón estricto y reproducible) y las unidades asignadas asi gnadas a estas dimensiones son unidades básicas. Las unidades asignadas a aquellas dimensiones dimensiones que no pertenezcan al grupo escogido recibirán el nombre de unidades derivadas. Por ejemplo, si un sistema escoge la longitud como dimensión fundamental, el área será una cantidad física derivada. Los sistemas de unidades se clasifican en: — Absolutos: aquellos donde las unidades de fuerza fuerza y energía son derivadas, como el S. I. 5


— Gravitacionales: Gravitacionales: los que no cumplen la condición anterior; para ellos la fuerza es una dimensión fundamental definida con base en la fuerza de atracción gravitacional al nivel del mar, un ejemplo es el sistema inglés.

1.4.1 Sistema internacional de unidades Está sustentado en siete unidades básicas y dos suplementarias como se indica en la tabla 1.1. Tabla 1.1 Unidades básicas del sistema internacional de unidades Dimensión física

Símbolo

Unidad

Longitud Masa Tiempo Intensidad eléctrica Temperatura Intensidad luminosa

L M θ

metro kilogramo segundo amperio kelvin candela

Cantidad de sustancia Ángulo plano Ángulo sólido

N

I T C

mole radián estereorradián

Símbolo

m kg s A K cd mol rad sr

En este sistema algunas definiciones de unidades son: — Metro: longitud igual a 1.650.763, 1.650.763,73 73 veces la longitud de onda en el vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de kriptón 86. — Segundo: duración de 9,192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Las ventajas del S. I. son: 1. El producto o el cociente de dos o más de sus dimensiones da como resultado la unidad derivada correspondiente, por ejemplo, área: L × L, (m × m) = m2; fuerza M × L / θ2, (kg × m/s2) = N (newton). 2. La unidad de fuerza fuerza es es independiente de la aceleración debida al campo gravitatorio terrestre y por tanto será unidad derivada, en cambio, en sistemas gravitacionales, la fuerza es una cantidad física fundamen fundamental tal y su unidad estará definida estrictamente. 6


3. Los factores de proporcionalidad para obtener unidades derivadas de las básicas son siempre si empre la unidad: un idad: 1 J ( j oule) = 1 N × 1 m = 1 W × 1 s. s. 1 kg × 1 m 1N = 1 s2 4. Se utiliza exclusivame exclusivamente nte el sistema arábigo de numeración numeración con con base 10 y se usan prefijos para facilitar el trabajo (véase tabla 1.2). Tabla 1.2 Prefijos para formar los múltiplos y submúltiplos del sistema inter-

nacional de unidades

Múltiplos Prefijo

Símbolo

Factor de multiplicación

Exa Penta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca

E P T G M k h da

1018 1015 1012 109 106 10 3 102 101 Submúltiplos

Prefijo

Símbolo

Factor de multiplicación

Deci Centi Mili Micro Nano Pico Femto Atto

d c m µ n p f a

10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18

1.4.2 Sistema inglés de unidades (americano de ingeniería) Tiene las dimensiones fundamentales con sus unidades básicas (véase tabla 1.3). La libra fuerza está definida como: La fuerza necesaria para acelerar una masa de 1 lbm a 32,174 pies/s 2 siendo esta la aceleración del campo gra vitatorio terrestre en el ecuador, a nivel del mar. La ley de Newton puede emplearse para ver cual es la situación con respecto a la conversión de unidades dentro de un mismo sistema. 7


Tabla 1.3 Dimensiones fundamentales y unidades básicas del sistema inglés Dimensión física

Símbolo

Unidad

Longitud Masa Tiempo Fuerza Temperatura Corriente eléctrica Intensidad luminosa

L M θ F T I C

pie libra masa segundo libra fuerza grado ranking ampere candela

F ∞ Μ × a, F =

M×a gc

Símbolo

ft lbm s lbf 0R A cd

(1.1)

En la cual F : Fuerza. M : Masa. a : Aceleración. gc : Constante, cuyo valor numérico y unidades dependen del sistema de unidades elegido y tiene dimensiones de (M × L / F × θ2). En el S.I. el newton está definido como la fuerza necesaria para acelerar 1 kg, con una aceleración de 1 m/s 2: 1 N = 1 kg2 × 1 m s × gc M×a 1 kg × 1 m/s2 kg × m gc = = = F 1N N × s2 En el sistema gravitatorio inglés como se mencionó pie 1 lbf = 1 lbm × 32,174 s2 × gc luego lbm × pie gc = 32,174 s2 × gc Puesto que en la mayoría de los campos científicos se trabaja con unidades del S. I., la omisión del gc no causa problemas; es casi universal la práctica de no incluir gc en las ecuaciones donde aparece conversión de unidades de masa a fuerza. Sin embargo, la omisión del g c en el sistema inglés es desastrosa. Por otra parte, en ingeniería ingen iería es muy importante important e comprobar la homogeneidad dimensional de cualquier ecuación, o sea que las dimensiones del lado derecho de la ecuación deben ser las mismas que las del lado izquierdo. 8

1. Conceptos básicos Ejemplo 1.1

Establecer si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea

En la cual P : Presión. V : Volumen que fluye por unidad de tiempo. g : Aceleración de la gravedad. d1 y d2 : Diámetros de boquillas. A : Área de descarga de boquilla. ρ : Densidad del fluido. c : Constante. Solución

Para que sea consistente en cuanto a dimensiones debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea

De acuerdo con el análisis dimensional, c no puede ser una constante adimensional, debe tener dimensiones de [ θ/L1/2]. Ejemplo 1.2

La pérdida de presión total a través de un plato de una columna de destilación es

Para ht [pulg], ρL, ρ v [lbm/pie 3], g [pie/s2], V d [lbm/h], A d y A E [pie2]. Se desea transformar la ecuación para que pueda aplicarse directamente con h't [cm], ρL′, ρϖ′ [kg/m3], g′ [m/s2], V d′ [kg/h], A d′ y A E′ [cm2]. ¿Por qué la presión está dada en unidades de longitud? 9


Solución

Para transformar la relación original que tiene validez en unas unidades determinadas, en una relación similar pero expresada en otras unidades, es necesario relacionar cada una de las variables expresadas en las dos unidades mediante factores de conversión, así ht [pulg] = h't [cm]

1 pulg 2,54 cm

Luego ht = 0,394 h't De la misma manera para las otras variables

luego ρ v = 0,0623 × ρ′ v En la misma forma se tiene que ρL = 0,0623 × ρ′L además por tanto g = 3.281 × g′ luego V d = 2,2 × V ′d A d

[pie2]

= A'd = A'

[cm2]

1 pie2 × 929 cm2

luego A d = 1,08 × 10-3 A ′d De la misma forma A E = 1,08 × 10-3 A ′E Reemplazando en la ecuación original

por tanto 10


1.5 Sistemas termodinámic termodinámicos os Sistema, en termodinámica, se puede definir como toda aquella parte del universo que se separa para su estudio. Esta separación se hace por medio de superficies que pueden ser reales, como las paredes de un equipo (tanque, compresor, etc.), o pueden ser imaginarias, como la delimitación de una determinada cantidad de fluido que circula a través de una tubería. El resto del universo y por supuesto, todos los otros sistemas termodinámicos que estén por fuera de esta frontera, se llamarán alrededores o ambiente. Dependiendo del tipo de interacciones entre el sistema y los alrededores permitidas por la frontera, los sistemas se pueden clasificar como abiertos, abiert os, cerrados o aislados. En un sistema abierto, abiert o, la frontera permite el intercambio de materia entre él y los alrededores, a lrededores, además podrá también permitir el flujo de energía. Sistema cerrado cerra do es aquel en el cual la frontera permite el flujo de energía (como calor o trabajo), pero es impermeable al paso de la materia y por tanto este tipo de sistemas sist emas mantienen su masa constante. En un sistema aislado la frontera no permite el flujo de materia ni de energía entre el sistema y los alrededores. Siempre que se consideren un sistema y sus alrededor alrededores es juntos, estos constituirán un sistema aislado. Se puede observar de la clasificación anterior, que un sistema termodinámico puede presentar interacción con los alrededores como: flujo o intercambio de materia y flujo o intercambio de energía (el cual se divide en flujo de calor y flujo de trabajo). En la figura 1.3 se presentan diferentes diferent es tipos de sistemas. La frontera puede también recibir un nombre específico dependiendo de sus características: una frontera rígida es aquella que no permite que el volumen del sistema cambie; una frontera fronter a diatérmica es la que permite el flujo de energía en forma forma de calor calor hacia o desde el sistema (cuando dos o más si sist stema emass est e stán án conectados por medio de una frontera diatérmica se dice que están en contacto térmico); una frontera adiabática es aquella que no permite el intercambio de energía térmica entre el sistema y los alrededores. Las fronteras reales que se encuentran en la naturaleza son generalmente diatérmicas y aunque una frontera adiabática es una situación ideal, puede suponerse que existe una frontera adiabática entre un sistema y sus alrededores si la cantidad de energía térmica transmitida es muy pequeña comparada con las cantidades de otros tipos de interacción energética. En años recientes se han desarrollado materiales llamados súperaislantes que pueden ser considerados para todos los propósitos como una frontera diabática. 11


Figura 1.3 Ejemplo de varios tipos de sistemas. a. Sistema cerrado: el fluido. b. Sistema abierto: la sustancia que está en la bomba. c. Sistema aislado:

bloques A y B.

1.6 Propiedades termodinámicas y sustancia de trabajo La sustancia que constituye el sistema y que permite las diferentes transformaciones energéticas mediante la variación de algunas de sus características característic as macroscópicas macroscó picas distintivas es llamada la sustancia de trabajo, la cual puede ser una sustancia pura o una mezcla de sustancias puras. Las L as características distintivas de la sustancia de trabajo reciben el nombre de propiedades propiedades y son las cantidades que se pueden especificar para dar una descripción macroscópica de la sustancia. Estas propiedades pueden ser de medición directa (por ejemplo masa, volumen, temperatura, presión, etc.) o pueden ser medidas indirectamente o calculadas por medio de relaciones matemáticas (como entropía). Cualquier tipo de combinación entre propiedades, como por ejemplo el producto o suma de varias propiedades, es también una propiedad, o en otras palabras, se pueden obtener nuevas propiedades mediante una relación matemática de otras propiedades, esta es una característica que será de gran utilidad en estudios termodinámicos. 12


Para describir completamente la condición física de una sustancia en un instante dado es necesario caracterizarla por medio del conocimiento de la magnitud de sus propiedades observables y el conocimiento de la fase (o fases) en que se encuentra la sustancia. Una descripción de este tipo es llamada el estado termodinámico de una sustancia. Por ejemplo, el estado termodinámicoo de una sustancia en un momento dado puede ser: una masa termodinámic de 60 kg la cual ocupa un volumen de 80 l y que está en fase líquida y vapor (dos fases) cuando se mantiene a la temperatura y presión del ambiente. El valor de las propie propiedades dades que caracterizan a una sustancia debe ser independiente de la forma como se llegó a ese estado. Es decir, si un sistema está cambiando sus propiedades (su estado termodinámico) el valor que ellas alcancen no dependerá de cómo se realice este cambio. Las propiedades que cumplen la anterior condición condición son llamadas propiedades de estado o propiedades de punto. Las propiedades que toman diferentes valores dependiendo de la forma en que se han efectuado estos cambios son llamadas funciones de línea o de trayectoria. Considere, por ejemplo, la figura 1.4 en la cual la propiedad h puede cambiar entre los estados 1 y 2 por tres trayectorias diferentes, h será una propiedad termodinámica de estado si el cambio en su valor es independiente de la trayectoria seguida Cambio en la propiedad =

(1.2)

Las propiedades se pueden clasificar también como intensivas o extensivas. Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad canti dad de sustancia que hace parte del sistema (como presión, temperatura, concentración). Las propiedades extensivas son las que dependen de la masa del sistema, algunas de estas propiedades son la masa, el volumen, la energía, etc. Las L as propiedades extensivas pueden transformarse a propiedades intensivas mediante su división divi sión por la masa o por la cantidad de sustancia (moles) del sistema, este tipo de propiedades son llamadas propiedades específicas. Considerando nuevamente la propiedad h anteriormente mencionada en la figura 1.4 se puede decir que el valor específico (h) de la propiedad extensiva (H) se puede obtener de la siguiente manera h = H/M o se puede obtener el valor específico molar (h) como = H/Número de moles

1.7 Equilibrio y procesos termodinámicos Se dice que una sustancia está en equilibrio termodinámico con sus alrededores si es incapaz de experimentar espontáneamente algún cambio en su estado cuando está sometido a las condiciones que le imponen los alrededores. Se dice que cualquier sistema aislado alcanzará el equilibrio termodi13


Figura 1.4 Función de estado

námico después de permanecer un tiempo prolongado sin estar sometido a interacciones. Si en un sistema todas las fuerzas dentro de él se contrarrestan exactamente y a su vez contrarrestan a las fuerzas externas, se dice que el sistema y los alrededores están en equilibrio mecánico. Si la temperatura dentro del sistema es uniforme e igual a la temperatura de los alrededores, se tendrá entonces un equilibrio térmico. Cuando la composición química del sistema no sufre ningún cambio entonces se dice que el sistema está en equilibrio químico. El equilibrio termodinámico implica que los equilibrios mecánico, térmico y químico deben cumplirse al mismo tiempo. Cuando un sistema está cambiando de un estado termodinámico a otro, se dice que está experimentando experimentan do un proceso, y el conjunto de todos los estados por los que pasa un sistema durante un proceso es denominado la trayectoria del proceso. Las características particulares de una trayectoria son utilizadas muchas veces para dar nombre a los procesos: 1. Proceso isométrico: es aquel que se da por medio de una trayectoria a volumen constante. 2. Proceso isobáric isobárico: o: es el proceso que se realiza a presión constante. 3. Proceso isotérmico: se realiza mediante una trayectori trayectoriaa a temperatura constante. 4. Proceso adiabátic adiabático: o: es el que se lleva a cabo por una trayector trayectoria ia en la cual no hay transferencia transfer encia de energía en forma térmica (no hay flujo de calor). 5. Pro Proceso ceso cíclico: muchas veces veces llamado simplemente ciclo, es un proceso mediante el cual la sustancia de trabajo, traba jo, después de sufrir una serie de transformaciones, siempre regresa a sus condiciones iniciales. O sea que el cambio neto de las propiedades del sistema es cero cuando se lleva a cabo un proceso de esta naturaleza. 6. Proceso reversib reversible le e irreversi irreversible: ble: un proceso reversibl reversiblee puede ser definido como aquel que ocurre de tal manera que es posible de algún modo re14


gresar el sistema y los alrededores a sus estados iniciales. Un proceso que no cumpla con esta condición es un proceso irreversible. Considere, por ejemplo, ejemplo, el dispositivo mostrado en la figura 1.5. Si el bloque B (el sistema) se puede deslizar lentamente sin fricción por el plano inclinado y si tampoco hay fricción cuando la cuerda se desliza por la polea, entonces el bloque B levantará al bloque A hasta el punto L (aumentando su energía potencial). Si posteriormente se permite que el bloque A descienda, este regresará al bloque B hasta su posición inicial. En el límite, si el proceso se lleva a cabo a una velocidad infinitesimal, el sistema y los alrededores regresarán a sus condiciones iniciales, lo cual constituye un proceso reversible. Si se considera ahora que en el dispositivo anterior hay fricción cuando el desplazamiento tiene lugar, entonces el sistema (bloque B) levantará al bloque A hasta un punto por debajo del nivel L (el resto de la energía potencial se ha disipado como calor debido a la fricción). Cuando el bloque A descienda nuevamente nuevamente no podrá llevar al bloque B hasta su posición inicial y sería necesaria la intervención de una fuerza externa para lograrlo. Este proceso es entonces irreversible. El análisis de los procesos irreversibles no es una tarea fácil (tal como ocurre la mayoría de las veces en procesos reversibles) y una parte importante de un estudio termodinámico termodinámi co es conocer y determinar los factores que generan irre versibilidades para así diseñar nuevos procesos que las eviten. Las fuentes de irreversibilidades irrevers ibilidades aparecen aparec en en procesos procesos en los cuales hay fricción de cualquier clase (mecánica, de flujo viscoso o de resistencia eléctrica), siempre que se encuentre un desequilibrio térmico, mecánico o químico dentro del sistema y cuando hay deformación de sustancias sólidas. Como se dijo anteriormente, una de las condiciones para que un proceso sea reversible es que se debe llevar a cabo a una velocidad infinitamente pequeña. Sin embargo, muchas transformaciones pueden ocurrir a una velocidad finita pero de tal manera que el sistema alcanza el equilibrio en cada instante y sus propiedades solo cambian infinitesimalmente de un estado de equilibrio a otro. Este tipo de proceso es llamado también proceso internamente reversible. La trayectoria seguida por el sistema en un proceso de estas características se puede representar como una serie de estados de equilibrio separados solo infinitesimalmente infinitesimalm ente entre sí. En termodinámica clásica clás ica se supone que cualquier transformación transformaci ón irreversible que ocurra en la naturaleza, también puede lograrse con un proceso reversible entre los mismos estados. Ejemplo 1.3

Extraer la información concerniente al tipo de sistema, de proceso y de frontera en los siguientes casos: a. Una taza de café café a 65 65 °C que se enfría hasta hasta 25 °C, mediante mediante intercambio intercambio de calor con la atmósfera. 15


Figura 1.5 Proceso reversible e irreversible

b. Un tanque aislado térmicamente con 1 kg de líquido con una densidad determinada al cual se adicionan 2 kg de un fluido diferente. c. Un kilogramo de un fluido que viaja entre dos puntos en una tubería aislada térmicamen térmicamente. te. d. El flujo flujo a través través de una bomba. Solución

a. Al considerar como sistema el café contenido en una taza, se puede decir que se trata de un sistema abierto (debido a la evaporación de la sustancia). El proceso es un enfriamiento isobárico (a presión atmosférica) y la frontera es real y diatérmica. b. Si el sistema sistema es el tanque y su contenido, contenido, entonces entonces se trata de un un sistema abierto (entra masa al sistema), el proceso es un llenado adiabático de un tanque y la frontera del sistema es real, rígida y adiabática. c. Escogiendo como sistema solamente un kilogramo de fluido (el cual está rodeado por el resto del fluido), entonces se tratará tra tará de un sistema cerrado en un proceso de flujo a través de una tubería con una frontera imaginaria, móvil y diatérmica (puede existir flujo de calor entre el sistema y el resto de fluido que lo rodea). d. En este caso se puede escoger como sistema al fluido que está en la bomba en cada instante y entonces se tendrá un sistema abierto con frontera rígida, real y diatérmica.

Problemas propuestos 1.1 La distancia entre la tierra y la estrella Alfa-Centau Alfa-Centauro ro es de de 4,3 años luz. Calcular el número de pasos que tomaría recorrer esta distancia (con un paso normal). 1.2 La constante universal de los gases gases  R , en unidades S. I. es 8,3144 kJ/kmol K. 16


a. Calcular el valor de  R en Btu/l Btu/lbmol° bmol°R. R. b. Hallar el valor de  R en Cal/gmol K. 1.3 El consumo de energía en Colombia es de aproximadamente 46 × 10 15 Btu al año. ¿Cuál es el consumo en GJ? ¿Cuál es el equivalente en barriles de petróleo? (La energía contenida en un barril de petróleo es aproximadamente 5,8 × 106 Btu). 1.4 El consumo de energía en el mundo es cerca de 78 GJ por persona al año. Para una población mundial de 5.500 millones de personas, ¿cuál es el consumo anual total de energía equivalente en barriles de petróleo crudo? 1.5 El coeficiente de convección externa en una coraza de un intercambiador de calor se puede calcular como

donde h0: Coeficiente de convección externo, Btu/spie 2 °R. kL: Conductividad térmica del líquido, Btu/spie °R. ρL: Densidad molar del líquido, lb mol/pie 3. PML: Peso molecular, molecular, lbm/lb mol. g: Aceleración de la gravedad, pie/s 2. µL: Viscosidad del líquido, centipoises. Re: Número de Reynolds, adimensional. Escribir la ecuación anterior en unidades del S.I. 1.6 La caída de presión a través de las las ranuras de de un plato plato de campanas campanas en una torre de destilación es

en la cual K 1: Pérdida de presión a través de las ranuras, pulg. ρL, ρ v : Densidad del líquido y del vapor respectivamente, lb/pie 3. hsh: Claridad bajo el borde de las campanas, pulg. V: Caudal de vapor a través del plato, pie 3/s. A: Área perforada total del plato, pie 2. Hallar la expresión equivalente en unidades del S.I. 1.7 El acero inoxidabl inoxidablee 306 tiene una conductividad k = 16,2 Btu/hpie°F. Btu/hpie°F. Convertir este valor a unidades del S.I. 1.8 El coeficiente de transferencia de calor para un gas que fluye en forma turbulenta dentro de un tubo es 17


16,6 × Cp × G0,8 h= D0,2 donde h: Coeficiente de transferencia de calor, Btu/hpie 2 ºF ºF.. Cp: Capacidad calorífica, Btu/lbm ºF. D: Diámetro interno del tubo, pulg. G: Velocidad de masa, lbm / spie 2. Transformar la ecuación con h en kJ / hm 2 ºC Cp en Cal/g ºC D en cm. G en kg / sm 2 1.9 La velocidad mínima de una hélice de cuatro aspas en un tanque de agitación, sin resistencia, para mezclar dos líquidos inmiscibles, es

con N: Velocidad del impulsor, h –1. T: Diámetro del tanque, pie. µ: Viscosidad, lbm / pieh. ρ: Densidad, lbm/pie3. ∆ρ: Diferencia de densidades, lbm/pie 3. Convertir la ecuación anterior para obtener: N en s –1, T en m, µ en kg/m s, ρ en kg/m3 y ∆ρ en kg/m3. 1.10 En un experimento de la expansión de un gas se determinó que la siguiente relación es válida Log P = 14,6 log V + 12,3 con P: Presión, kPa y V: Volumen, m 3/kg. Transformar la ecuación para obtener P en lbf/pulg 2 y V en pie 3/lb. 1.11 El número de Reynolds es un grupo adimensional definido, para un fluido que se desplaza en un tubo como

donde D: Diámetro del tubo. : Velocidad del fluido. 18


ρ: Densidad del fluido. µ: Viscosidad del fluido. Cuando el valor del número de Reynolds es menor que 2.100, el flujo es laminar (el fluido se mueve en corrientes suaves). Para números de Reynolds por arriba de 2.100, el flujo es turbulento (existe una fuerte agitación interna). La metil etil cetona (MEC) fluye a través de un tubo de 2.067 pulg de diámetro interno a 20 °C, temperatura a la que su densidad es 0,805 g/cm3 y su viscosidad es 0,43 centipoises. La velocidad promedio del fluido es 0,048 pie/s. Determinar si el flujo es laminar o turbulento. 1.12 Afirmar Afirmar para cada uno de los siguientes procesos si es reversible, irre versible o cuasiestático cuasiestático.. a. Enfriamient Enfriamientoo de un tanque de almacenamiento desde una temperatura inicial de 250 °C hasta 25 °C mediante intercambio de calor con la atmósfera (la cual está a 25 °C). b. Se añade calor, muy despacio desde una fuente a 100 °C hasta una mezcla de hielo y agua en equilibrio a 0 °C. c. Una bola metálica que reposa encima de una mesa, alguien empuja la bola y la deja caer de la mesa. d. Se agrega azúcar a una taza de café y este se disuelve lentamente. e. Una bola metálica que rueda sin fricción por el interior de un riel en forma de anillo circular. 1.13 Para cada uno de los siguientes procesos seleccionar un sistema y especificar de qué tipo es (abierto, cerrado etc.) y además decir de qué tipo es el proceso y el contorno. a. Inflar una llanta de bicicleta con una bomba manual. b. Enfriar la fuente de poder de una computadora personal. c. El cambio en la presión dentro de un paquete sellado conforme cambia T. d. El enfriamiento de un transformador de energía eléctrica, pasando aire frío. e. El enfriamiento de una manzana dentro de un refrigerador. f. Bombear agua de un lago hacia una cisterna de almacenamiento elevada. g. Un gas en un cilindro que se expande contra un pistón para comprimir un resorte. h. El calentamien calentamiento to de un freno de disco conforme el automóvil se detiene. i. Mezclar alimentos en una licuadora eléctrica.

19

2. Propiedades termodinámicas 2.1 Masa y peso La masa, representada por M, es una medida de la cantidad de sustancia, por tanto es proporcional al número de moléculas que posee el cuerpo. Se determina comparándola con masas patrón en una balanza. Es necesario tener claro la diferencia entre masa y peso; para ello hay que recurrir a la segunda ley de Newton (véase ecuación 1.1), según esta, el peso es la fuerza de atracción gravitacional que actúa sobre un cuerpo de masa M. Peso =

M×g gc

(2.1)

El procedimiento de comparar masas en una balanza se ha llamado pesar y frecuentemente se hace referencia a la masa con la palabra peso, por esto es necesario estar atento para evitar confusiones. La unidad de masa en el sistema S.I. es el kilogramo (kg) y la de peso en el mismo sistema es el newton (N). Ejemplo 2.1

Una balanza de resorte está calibrada para leer lbm en un sitio donde la aceleración es 32,35 pie/s2, es decir: una lbm colocada en dicha balanza dará una lectura de 1,00. Si la balanza se lleva a un sitio donde g = 32,00 pie/s2, ¿a cuántas lbm equivale una lectura de 15,5? Solución

Si: L → Lectura de la balanza F→ Fuerza de atracción (o sea el peso) entonces L∝F Tomando el primer sitio como 1 g 1 = 32,35 pie/s2 El segundo sitio como 2, g 2 = 32,00 pie/s2 L1 = Constante × F1 = constante × (M × g1) / gc L2 = Constante × F2 = constante × (M × g2) / gc Si L1 = 1 entonces

2. Propiedades termodinámicas

constante × 1 lbm × 32,35 pie/s2 1= 32,174 lbmpie/lfbs2 32,174 lbmpie/lfbs2 constante = 32,35 lbmpie/s2 para el segundo sitio M × 32,00 pie/s2 L2 = 15,5 = cte × 32,174 lbmpie/lbfs2 y la masa puesta en la balanza es 15,5 × 32,174 lbmpie/lbfs 2 M= constante × 32 pie/s2 15,5 × 32,174 lbmpie/lbfs 2 × 32,35 lbmpie/s2 M= 32,174 lbmpie/lfbs2 × 32 pie/s2 M = 15,67 lbm Una lectura de 15,5 en la balanza equivale a 15,67 lbm, lo que da una desviación aproximada del 1%.

2.2 Volumen y densidad El volumen (V) puede definirse como el espacio ocupado ocupa do por una cantidad de masa, por esto es el producto de tres longitudes, la unidad fundamental en el S.I. es el m 3. La relación entre el volumen y la masa de una sustancia recibe el nombre de volumen específico, específi co, se representa por v = V/M y la relación entre el volumen y la cantidad de sustancia en moles recibe el nombre de volumen molar y se representa por v = V/N, el inverso de los volúmenes específico o molar es la densidad específica o molar y se representa por ρ oρ respectivamente. Es común reportar para muchas sustancias su densidad relativa que es la relación entre la densidad de esa sustancia y una densidad de referencia conocida; para gases la densidad de referencia es generalmente la del aire a condiciones normales (0,957 kg/m 3) y para líquidos es el agua a 1 atm y 4 °C (1.000 kg/m3); o su peso específico que es la relación entre el peso de la sustancia y el volumen que esta ocupa Peso específico γ =

M×g g =ρ V × gc gc

(2.2) 21


Ejemplo 2.2

El peso de 1 l de gasolina extra es 7 N (a 25 °C) en un lugar donde la aceleración de la gravedad es 9,8 m/s 2. Determinar: a. La densidad de la gasolina en kg/m3 y lbm/pie3. b. La densidad relativa en las unidades anteriores. c. El peso específico. Solución

a. El primer paso es calcular la masa de la gasolina: De la ley de Newton M=

Peso × gc g

7,0 N × 1 kgm/Ns2 M= = 0,714 kg 9,8 m/s2 Y la densidad se puede calcular como ρ= V

M

0,714 kg 0,714 kg 3 = = = 714 kg/m 1 lt 1 × 10 –3 m–3

Para obtener el valor de la densidad en el sistema inglés, se utilizan los factores de conversión apropiados 3 1 1lbm/pie ρ = 714 kg/m3 16,018 kg/m3

o sea que ρ = 44,6 lbm/pie3 b. Calculando la densidad relativa con respeto al agua a 4 °C. Usando unidades S.I. 714 kg/m3 ρ (25/4) = = 0,714 1.000 kg/m3 Si se usan unidades del sistema inglés 44,6 lbm/pie3 ρ (77/39,4) = = 0,714 62,43 lbm/pie3 c. El peso específico se puede calcular como Peso 7 kgm/s2 γ= = V × gc 1 × 10–3 m3 × 1 kgm/Ns2 22


y por tanto, γ = 7.000 kg/m2 s2, γ = 7.000 N/m3 Ejemplo 2.3

4 m3 de argón a 27 °C y 85 kPa tienen una masa de 7,13 kg. a. Indicar tres propiedades propiedades intensivas y dos extensivas. b. Si g = 9,6 m/s2 calcular el peso específico. Solución

a. En ese caso tres propiedades que no dependen de la cantidad de masa (son intensivas): Temperatura: 27 °C. Presión: 85 kPa. Concentración: 100% argón. Y las propiedades extensivas son en este caso: Volumen: 4 m3. Masa: 7,13 kg. b. Para el peso específico M×g 7,13 kg × 9,6 m/s2 γ= = V × gc 4 m3 × 1 kgm/Ns2 O sea que γ = 17,112 N/m3

2.3 Temperatur emperatura a Antes de dar un concepto de temperatura es bueno comprender lo que significa el equilibrio térmico mediante la ley cero de la termodinámica.

2.3.1 Ley cero de la termodinámica Recibe este nombre debido a que en un desarrollo lógico debe preceder a la primera y la segunda ley, que fueron formuladas mucho antes. Cuando un sistema A cuya temperatura es Ta se pone en contacto prolongado con un sistema B cuya temperatura es Tb a través de una superficie diatérmica como muestra la figura 2.1 se dice que los sistemas están en contacto térmico.

Figura 2.1 Sistemas en contacto térmico

23


Si Ta Ta > Tb se establece establec e una transferencia transferenc ia de energía térmica de A hacia B, las propiedades termodinámicas de ambos sistemas se modifican espontáneamente hasta cuando esta evolución se detiene, alcanzado el equilibrio térmico. Cuando los dos sistemas sis temas A y B se ponen cada uno en contacto con un sistema C a través de superficies diatérmicas, diatérmicas, como muestra la figura 2.2, A y B por separado alcanzan equilibrio térmico con C y entonces A y B estarán en equilibrio térmico entre sí. Estos resultados constituyen la ley cero de la termodinámica, que puede enunciarse así: “Dos sistemas A y B puestos en contacto prolongado alcanzan equilibrio térmico. Si estos sistemas separadamente están en equilibrio térmico con un tercer t ercer sistema, entonces están en equilibrio térmico entre sí”.

Figura 2.2 Sistemas en contacto térmico

De acuerdo con lo anterior, todos los sistemas en equilibrio equi librio térmico con un sistema de referencia (este tercer t ercer sistema es generalmente el termómetro) poseen en común una propiedad que es la temperatura.

2.3.2 Concepto de temperatura La temperatura puede interpretarse int erpretarse como una medida de la capacidad que tiene un sistema para intercambiar energía térmica. Este intercambio se da hasta cuando se alcanza el equilibrio térmico. 2.3.3 Medida de la temperatura La variación de temperatura de un cuerpo generalmente es acompañada por la variación de alguna propiedad observable como: longitud, volumen, resistencia eléctrica o fuerza electromotriz. Establecer una escala de temperatura consiste en adoptar una de estas propiedades de la sustancia termométrica como medida de la variación de temperatura y relacionar la temperatura con esta propiedad mediante una función ojalá lineal, así: Si T (que representa temperatura) es función lineal de X, siendo X la propiedad observable, entonces T = aX + b (2.3) 24


Para obtener a y b se pueden definir arbitrariamente dos puntos o elegir b = 0 y un punto y se tendrán escalas empíricas, por ejemplo: si se escoge como sustancia termométrica un gas que se comporte como ideal (véase figura 2.3), se tiene que: T = P × V/R, V/R , si además se mantiene constante el volumen del termómetro,, entonces la temperatura será función únicamente de la presión: termómetro T = f (P). Adicionalmente Adicionalmente si se elige en forma arbitraria b = 0 entonces T=a×P Para obtener el valor de la constante a se escoge como referencia el punto triple del agua: P(Punto triple) = 0,6113 kPa. T (Punto triple) = 273,16 K Y por tanto T(punto triple) 273,16 a= = P(punto triple) P(punto triple) Lo cual conduce a la escala empírica T = 273,16 P/P(punto triple) Con la temperatura en Kelvin. Siendo P la presión medida cuando el bulbo del termómetro se sumerge en un sistema de temperatura T, la experiencia demuestra que el valor de la relación P/P (punto triple) depende del tipo y de la cantidad de gas en el bulbo. Sin embargo, cuando el procedimiento se repite utilizando cada vez menos gas, el valor límite del cociente P/P (punto triple) y por tanto el valor de T se hace independiente del gas utilizado.

Figura 2.3 Relación presión temperatura para un termómetro de gas ideal

2.3.4 Escalas de temperatura La medida de la temperatura se puede representar representar mediante dos tipos de escalas: relativas y absolutas. Las dos escalas relativas son Fahrenheit y Celsius. Hasta 1954 las escalas eran construidas basándose en dos puntos fijos: el punto del hielo que es aquel en el que están en equilibrio el agua líquida y el agua sólida a 1 atm de presión, este se marcó con 32 °F en la 25


escala Fahreheit y 0 °C en la escala Celsius; y el punto del vapor donde están en equilibrio agua líquida y vapor de agua a 1 atm, este se marcó con 212 °F y 100 °C. A partir de 1954 la base de las escalas es el punto triple del agua (0,01 °C y 0,6113 kPa) y una definición de la magnitud de grado. Las escalas absolutas están está n definidas a partir de la segunda ley de la termodinámica y son independientes de cualquier sustancia termométrica termométr ica y se denominan escala Kelvin (K) en S.I. y escala Rankine ( °R) en sistema inglés, asociadas respectivamente con la Celsius y la Fahrenheit. Las equivalencias son: T (°R) = 1,8 T (K) t (°F) = T (°R) − 459,67 t (°C) = T (K) – 273,15 t (°F) = 1,8 t (°C) + 32 La escala práctica internacional de temperatura se adoptó en 1968 por el Comité Internacional de Pesas y Medidas, revisada en 1975, para facilitar la calibración de los termómetros científicos e industriales, y coincide prácticamente con la escala absoluta. Esta escala está basada en una serie de puntos fijos y reproducibles, algunos de los cuales se especifican en la tabla 2.1. Como puede verse, esta escala no está definida por debajo de 13,81 K, donde se utilizan métodos experimentales basados en propiedades magnéticas para la medición de la temperatura. Por encima de 1.064,43 ºC se emplean pirómetros de radiación monocromática. Una comparación entre las escalas absolutas y relativas puede verse en la figura 2.4. Ejemplo 2.4

Un termómetro de gas a volumen constante muestra una lectura de 0 °C cuando la presión es 85 kPa y 100 °C cuando la presión es 110 kPa. ¿Qué temperatura tendrá un recinto en el cual el gas dentro del termómetro está a 100 kPa, considerando que la temperatura y la presión están relacionadas linealmente linealmente?? Solución

t=a×P+b Para la primera condición 0 = a × 85 + b Para la segunda condición 100 = a × 110 + b b = –5a y reemplazando 100 = 110 × a − 85 × a Luego a = 100/25 = 4 ºC/kpa y b = −340 °C 26

2. Propiedades termodinámicas Tabla 2.1 Puntos fijos de la escala práctica de temperatura Puntos fijos

T (K)

t (°C)

Punto triple de H2 Punto triple de O2 Punto de rocío de O2 Punto triple de H2O

13,81 54,36 90,19 293,16

− 259,34 − 218,79 − 182,96

Punto de ebullición de H2O Punto solidificación, Zn Punto solidificación, Sb Punto solidificación, Ag Punto solidificación, Au

373,15 692,73 903,90 1.235,08 1.337,58

0,01 100,00 419,58 630,75 691,93 1.064,43

Termómetro utilizado

Resistencia de platino

Par termoeléctrico

Pt / Pt (10%) Rh

Figura 2.4 Comparación de escalas

Conociendo a y b se puede calcular la temperatura de la relación t = 4 × P − 340 Y para 100 kPa t = 4 × 100 − 340 = 60 °C Ejemplo 2.5

Dos termómetros uno con lectura en °C y otro en K están en equilibrio térmico con un sistema. ¿Cuál es la temperatura del sistema si los termómetros marcan − A °C y A K respectivamente? Solución

De la relación de escalas se tiene K = °C + 273,15 Reemplazando en esta relación la lectura de los termómetros se tiene A = − A + 273,15 27


la lectura es entonces 273,15 A = = 136,57 2 A = 136,57 K y A = −136,57 °C. Ejemplo 2.6

La capacidad calorífica del tolueno líquido en kJ/kmol K está dada por la relación: C p = 8.314 (15.133 + 6,79 × 10−3 T +16,35 × 10−6 T2), en la cual T es la temperatura en K. Transformar la ecuación para obtener una relación válida para C ′p en Btu/lbm oF y T en oF. El peso molecular del tolueno es 92 kg/kmol. Solución

De la misma forma como se procedió en el ejemplo 2.2, se relacionan las variables en las distintas unidades mediante los factores de conversión

luego Cp = 384,36 CP′ T[K] = [t (ºC) + 273,15]=[t (ºF) –32) × 5/9 + 273,15] luego t (ºF) + 459,67 1,8 Reemplazando en la ecuación original se tiene Cp = 125,8 + 56,45 × 10 –3 T + 13,59 × 10–5 T2 T[K] =

Simplificando se obtiene 384,36 C′p = 149,04 + 0,07 t(ºF) + 4,17 × 10-5 [t(ºF)]2 Entonces la nueva relación es C′p = 0,388 + 1,85 × 10-4t(ºF) + 1,1 × 10-7 [t(ºF)]2

2.4 Presión La presión se define como la fuerza total normal por unidad de área ejercida sobre la superficie del sistema (sea esta real o imaginaria). La unidad de presión en el S.I. es el pascal (Pa), que se define como la fuerza de un newton ejercida sobre un área de 1 m 2 1 Pa = 1N/1m2 28


En el sistema inglés la unidad de presión es el psi y es la fuerza ejercida por una libra fuerza sobre una pulgada cuadrada 1 psi = 1 lbf/1 pul 2 Otras unidades de presión usadas usada s ampliamente en ingeniería son el bar, la atmósfera (atm) y los milímetros de mercurio (mm Hg) 1 bar = 105 N/m2 1 atmósfera = 101.325 N/m2 = 760 mm de Hg ≈ 105 N/m2 La presión, así como la temperatura, se puede medir o expresar de dos maneras diferentes, en una escala relativa (llamada (lla mada escala manométrica) o en una escala absoluta. La presión absoluta es la presión total a la que está sometido un sistema en un momento determinado y toma como punto de referencia el cero absoluto de presión. La escala manométrica expresa las presiones tomando como referencia la presión ejercida por la atmósfera terrestre, o en otras palabras Pman = Pabs − Patm

(2.4)

La presión de vacío es una presión manométrica negativa y es utilizada para expresar presiones totales inferiores a la presión atmosférica P vac = Patm − Pabs (2.5) En la figura 2.5 se muestra una representación esquemática esquemática de la relación entre las escalas de presión. Los compartimentos de los tanques de dicha figura se cierran y se llenan con aire.

Figura 2.5 Relación entre presión atmosférica, manométrica y absoluta a. Presión absoluta mayor que la presión atmosférica. b. Presión absoluta

menor que la presión atmosférica. Los dispositivos mecánicos típicos para las mediciones de las presiones absoluta y manométrica son el barómetro aneroide y el manómetro de Bourdon respectivamente (véase figura 2.6). 29


Figura 2.6 Medidores de presión mecánicos. a. Barómetro aneroide. b.

Manómetro de Bourdon. El barómetro aneroide (véase figura 2.6 a), consta de un cilindro corto cerrado, dentro del cual se ha hecho un vacío de manera que la presión es cercana al cero absoluto. El cilindro tiene un diafragma elástico que se deforma hacia adentro por la presión impuesta desde el exterior y esta deformación se puede convertir en una medida de presión por medio de una escala. Aunque el cilindro aneroide se utiliza convencionalmente para medir un pequeño intervalo de presiones, el mismo principio se puede utilizar para medidores de presión absoluta de uso más general. Cuando el manómetro de Bourdon (véase figura 2.6 b) se conecta al sistema al cual se le desea medir la presión, el tubo elíptico tiende a enderezarse y mueve el indicador sobre una escala graduada. g raduada. Si el manómetro está adecuadamente ajustado, el indicador se encontrará en el cero de la escala cuando el manómetro está desconectado. Existen también tamb ién medidores de presión en los cuales se pueden hacer mediciones por medio de la altura de una columna de líquido (véase figura 2.7); estos medidores son el tubo abierto en forma de u (para mediciones manométricas) manométrica s) y el barómetro de mercurio (para mediciones de presión absoluta).

Figura 2.7 Medidores de presión por medio de columna de líquido. a. Manómetro de tubo en U abierto. b. Barómetro.

30


En el manómetro de tubo en forma de U un tubo abierto en dicha forma se llena de un cierto líquido el cual se denomina fluido manométrico. En este medidor la fuerza total que actúa hacia abajo en el punto Y es igual a la fuerza que actúa al otro lado del tubo en el punto Y*, lo cual mediante una relación de equilibrio de fuerzas se puede escribir como P × A = Patm × A + peso de la columna de líquido sobre Y* en la cual A es el área transversal del tubo del manómetro Pt × A = Patm × A + M × g/gc

(2.6)

Pt × A = P × A + ρ × V × g/gc en la cual ρ es la densidad, V es el volumen del fluido manométrico y V = A × z siendo z la altura del liquido sobre el plano Y − Y* Psist × A = Patm × A + A × ρ × z × g/gc y reemplazando en la ecuación 2.4 se obtiene Pman = ρ × g × z/gc

(2.7)

La presión atmosférica (llamada también presión barométrica) se puede medir con un dispositivo inventado por Torricelli en 1643, el cual es mostrado en la figura 2.7. Este medidor se construye llenando el tubo con mercurio libre de aire, e invirtiéndolo con el extremo abierto debajo de la superficie s uperficie del mercurio contenido en el recipiente. Si se desprecia la cantidad de mercurio en forma de vapor que puede pasar al espacio sobre la columna de mercurio (a condiciones normales la presión de vapor del mercurio es 1,7 ×10−4 kPa), entonces la presión en ese espacio es cero absoluto y nuevamente P Bar = ρ × g × z/gc siendo en ese caso z una medida directa de la presión absoluta. La presión barométrica puede variar con el clima, con la posición que ocupe el dispositivo sobre la tierra (longitud y latitud) y con el tiempo. Para hacer diseño de ingeniería que no dependa de estas fluctuaciones y que pueda ser analizado en cualquier parte del planeta, se define un nivel de referencia para la presión atmosférica, llamado atmósfera normal, que es la presión que produce una columna de mercurio de 760 mm de altura a 273,15 K bajo la aceleración normal de la gravedad. Para distinguir entre presión manométrica y presión absoluta absolut a con frecuencia se agrega a los símbolos de las unidades las letras a (por absoluta) o g (por manométrica): 50 psia (absoluta). 30 psig (manométrica). En las unidades del S.I. todas las presiones son absolutas, a menos que se indique lo contrario. En este libro se mantendrá la misma convención. Ejemplo 2.7

Calcular la presión que soporta un buzo cuando ha descendido 30 m bajo la superficie del mar si la presión barométrica barométrica al nivel del mar es 0,95 bar y la densidad relativa del agua de mar es 1,03. 31


Solución

De la ecuación 2.4 se obtiene Pabs = Pman + Patm En la cual Patm = Pbar = 0,95 bar = 95 kPa y la presión manométrica debida a la columna de agua de mar que está sobre el buzo Pman = ρ × g × z Pman = 1,030 kg/m3 × 9,8 m/s2 × 30 m Pman = 302,820 Pa = 302,82 kPa y entonces Pabs = 95 + 302,82 = 397,82 kPa

2.5 Energía Durante años los científicos e ingenieros han descrito el comportamiento de la naturaleza basándose en unos conceptos básicos o abstracciones que se aceptan como realidades científicas. Uno de esos conceptos básicos es la energía y es tal vez uno de los conceptos físicos más importantes. En términos de su uso cotidiano, se relaciona a la energía con la cantidad de combustible necesario para el transporte o el calentamiento de alguna sustancia, la electricidad para la iluminación o para los aparatos domésticos, con los alimentos consumidos, cons umidos, etc. Pero estas apreciaciones aprecia ciones no definen de una manera formal la energía. En muchos textos se encuentra la energía definida como la capacidad de efectuar un trabajo. Sin embargo, esta definición es incompleta, por lo cual es más conveniente tratar de definirla mediante una relación matemática (balance de energía), como se verá en el capítulo 3. La energía tiene las mismas unidades del producto de fuerza por longitud. En el S.I. la unidad de energía es el Joule (J) 1J = 1N × 1m En el sistema inglés la unidad de energía es la lbf × pie. La energía puede tomar múltiples formas, entre las que se incluyen la energía mecánica, electromagnética, electromagnética, química, térmica, nuclear y superficial. No obstante, la energía total almacenada en un cuerpo se puede dividir (solo por motivos de conveniencia para su presentación) en dos clases: la ener energía gía que no está determinada por las interacciones microscópicas de la materia y que puede ser mensurable con respecto a un marco de referencia externo (energía externa) y las energías que son función de la estructura molecular y de las interacciones que ocurren a escala atómica (energía interna).

2.5.1 Energía cinética Es posible concebir la energ energía ía cinética como aquella energía asociada con el movimiento de un cuerpo con respecto a un marco de referencia (general32


mente, otro cuerpo en reposo). En la mayoría de los cálculos de ingeniería se toma en forma conveniente a la Tierra como marco de referencia y se considera que su velocidad es cero. La energía cinética se define como el producto de la mitad de la masa por el cuadrado de la velocidad, es decir (2.8) con representando la velocidad. Esta expresión expresión es válida válida en en el el límite límite no no relativista, relativista, o sea, sea, cuando cuando << C, siendo C la velocidad de la luz.

2.5.2 Energía potencial La energía potencial es la energía que posee un cuerpo debido a su posición en un campo potencial (gravitatorio, electromagnético, etc.). Según esta definición, existe energía potencial entre las moléculas de una sustancia, pero en termodinámica, este tipo de energías potenciales serán contabilizadas como de energía interna. Es decir que en estudios termodinámicos cuando se habla de energía potencial se está haciendo referencia a la energía potencial gravitatoria. La energía potencial se define como el producto del campo potencial por la distancia distanci a que separa al cuerpo de un marco de referencia, que en el caso de un campo gravitacional es (2.9) Ejemplo 2.8

Calcula la velocidad teórica con la que debe salir el agua de la boquilla de una manguera de bombero para que pueda alcanzar 12 metros de altura. Solución

Como se debe recordar de los estudios de mecánica, la energía cinética y la energía potencial son totalmente intercambiables intercambiabl es en ausencia de fricción. En otras palabras, para este caso, la energía potencial que alcanza el agua debe ser igual a la energía cinética con la que sale de la boquilla

y para la altura de 12 metros

2.5.3 Energía interna Es la energía asociada a la materia misma e incluye todas aquellas formas energéticas diferentes a la cinética, potencial, eléctrica, magnética, de 33


superficie y de distorsión de sólidos. En la energía interna se contabilizan las energías de rotación, translación y vibración molecular, el espín nuclear, el momento dipolar magnético, la energía electrónica dentro del átomo, etc. En termodinámica no se requiere conocer el valor absoluto de la energía interna de un sistema en un estado determinado, sino que se requiere conocer el cambio efectuado en la energía durante el proceso y se puede por tanto seleccionar un estado de referencia arbitrario para calcular la energía interna de todos los otros estados. (De la misma forma en que se asigna el valor de cero a la energía potencial de un cuerpo en un plano horizontal apropiado). En ausencia de efectos eléctricos, magnéticos, de distorsión de sólidos y de tensión superficial, el contenido total de energía de un sistema es el debido a la suma de las energías interna y externa Etotal = U + Ecinética + Epotencial (2.10a) Y el cambio en la energía durante el proceso se puede escribir como

∫ dE = E2 – E1 = ∆E = ∆U + ∆Ecinética + ∆Epotencial

(2.10b)

2.6 Entropía Es una propiedad extensiva de la sustancia de trabajo y se representa por S. Desde el punto de vista de la estructura estr uctura atómica, la entropía es una medida de la organización estructural de la sustancia: a mayor desorganización mayor entropía. De acuerdo con este criterio, si se tiene una cantidad fija de una sustancia a una presión determinada (por ejemplo: 1 kg de agua a 1 bar) la cual puede estar como vapor vapo r, como líquido o como sólido, dependiendo de la temperatura, la entropía será mayor en la fase de vapor que en la fase líquida y esta a su vez mayor que en la fase sólida. Si se tiene una cantidad fija de una sustancia pura en fase gaseosa y se enfría mediante extracción de energía, alcanzará unas condiciones condic iones a las cuales puede pasar a la fase líquida, cuando toda se ha convertido en líquido, continúa el enfriamiento, hasta obtener las condiciones para pasar a la fase sólida, en este punto todo el líquido se convierte convi erte en sólido y luego puede seguir enfriándose hasta llegar a convertirse en sólido cristalino, donde prácticamente desaparecen las energías de traslación, traslaci ón, vibración y rotación de partícula partícul a y se logra la máxima organización, condición en la cual se tiene el cero absoluto de temperatura, a este estado est ado de máxima organización se le asigna el valor de cero entropía y en cualquier otro estado la entropía será mayor. Un estudio más detallado de esta propiedad puede hacerse mediante la termodinámica estadística, este tópico está por fuera del alcance de la termodinámica clásica y por tanto no se trata en este libro. 34


Como se verá más adelante la entropía es una medida de la degradación (pérdida de calidad) de la energía, pero sin ser energía. Las dimensiones para la entropía son energía sobre temperatura; en el S.I. se expresan en J/K y en sistema inglés en Btu/ºR. El porqué de estas unidades se comprenderá más adelante. Entropía específica es la entropía dividida por la masa y se simboliza por S = S/M y la entropía molar es la relación entre la entropía y la cantidad de sustancia y se simboliza por  s = S/N.

Problemas propuestos 2.1 Un gas cumple la siguiente siguiente ecuación ecuación de estado con a = 0,24203 Jm3/mol2. b = 2,0956 ×10−5 m3/mol. c = 9,9106 × 10−6 m3/mol. T en K, R: Constante universal de los gases y P: Presión. a. ¿Cuáles son las unidades de P,  R, v en esta ecuación? Hallar los valores de a, b, c si se desea transformar. b. La relación entre la la capacidad capacidad calorífica calorífica y la temperatura temperatura a ecuación para obtener P en lbf/pulg 2, T en °R y  v en pie 3/lbmol?. 2.2 El poder emisor de un cuerpo se puede expresar por W = A × T2 donde W: Poder emisor, Btu/pie 2h A: Constante = 0,171 × 10−8 T: Temperatura en °R. a. ¿Cuáles deben ser las unidades de A? b. ¿Cuál será la relación si W debe estar expresado expresado en J/m J/m 2s y T en °C? 2.3 Se ha propuesto propuesto la siguiente relación relación para calcular calcular la viscosidad viscosidad de gases

donde µ : Viscosidad del gas, centipoises. T : Temperatura, °R. M : Peso molecular, lbm/lbmol. P : Presión, lbf/pulg 2. Escribir la relación anterior en unidades S.I. 35


2.4 El fern se define como la unidad de fuerza requerida para acelerar la unidad de masa llamada beng con la aceleración gravitacional de la superficie lunar en m/s 2 (la cual equivale a 1/6 de la acción gravitacional de la tierra). a. ¿Cuánto vale gc en este sistema? b. ¿Cuál es el peso en fern de 3 bengs sobre la superficie terrestre? 2.5 Una balanza es calibrada en La Costa para que la lectura sea igual a la masa que se coloca sobre ella en kg. Si un hombre en La Costa se sube a la balanza y la lectura es de 82 kg calcular: a. El peso del hombre en Medellín (1.600 m/snm). b. El peso del hombre en Bogotá (2.600 msnm). c. La altura sobre el nivel del mar mar en la cual el peso del hombre desciende un 1%. (La aceleración de la gravedad en función de la elevación sobre el nivel del mar es g = 9,807 – 3,32 ×10−6 z, con g en m/s2 y z en m). 2.6 Calcular la densidad de una mezcla formada por 32 litros de nitrobenceno (densidad relativa = 1,2) y 4,5 pie3 de benceno (densidad relativa = 0,879) suponiendo que el volumen de la mezcla es la suma de los volúmenes de los componentes puros. 2.7 Un bloque rectangula rectangularr de grafito flota en la interfase de dos líquidos inmiscibles. El líquido inferior es un aceite lubricante y el líquido superior es agua, el 54% del volumen total tot al del bloque está sumergido en el aceite y el resto en agua. ¿Cuál es la densidad relativa del aceite? 2.8 Se mezclan 2 litros de agua a 25 °C con un líquido desconocido para formar una mezcla líquida. El volumen y la masa de la mezcla total son 4.000 cm3 y 4 kg respectivamente. Si el volumen de la mezcla es la suma de los volúmenes iniciales, determinar la densidad del líquido desconocido. 2.9 Un tanque con volumen de 0,85 m 3 contiene 16 kg de gas. a. Determinar el volumen específico. b. Calcular el volumen específico y la densidad del gas que queda en el tanque después de que se escapan 12 kg de gas. 2.10 En un termómetro de gas de volumen constante, se halla experimentalmente que con independencia del gas usado, el siguiente resultado es correcto Ts / Ti = 1,3661 En la cual Ts es la temperatura de ebullición a presión atmosférica y Ti es el punto de congelamiento (a presión atmosférica). Demostrar que si Ts − Ti =100, Ts y T i son exactamente el punto de ebullición y el punto de congelamiento del agua en la escala Kelvin. 36


2.11 El químico austriaco Johann Sebastian Farblunget, formuló una escala de temperaturas que nunca se popularizó. Los puntos de referencia de esta escala eran 0 °FB (4 °C) (la temperatura por debajo de la cual la nariz de Farblunget comenzaba a gotear y a molestarle) y 1.000 °FB (98 °C) el punto de ebullición de la cerveza. cer veza. a. Encontrar una ecuación para T(°C) en función de T( °FB). b. Encontrar una ecuación para T(°FB) en función de T( °R). c. ¿Cuál es es la equivalencia equivalencia de un intervalo de temperatura temperatura 10 °FB en °C, K, °F, °R? 2.12 Un termostato con escala de 0 a 100 se utiliza para regular la temperatura de un proceso. Una curva de calibración de la temperatura (en °C) en función de la posición de la escala (R) es una línea recta en un papel logarítmico que pasa a través de los puntos (R 1 = 20, T1 = 220) y (R 2 = 40, T2 = 150). a. Encontrar la ecuación para T(°C) en función de R. b. Estimar la posición de la escala del termostato termostato necesaria necesaria para obtener una temperatura de 346 °F. 2.13 La temperatura de un fluido se mide con un termómetro Celsius y con uno Fahrenheit. Si la lectura N es la misma numéricamente en los dos termómetros, ¿cuál es la temperatura del fluido en K y °R? 2.14 Suponiendo una escala lineal de temperatura definida de modo que los puntos de fusión y ebullición del agua a 1 bar de presión son respectivamente 100 y 400, hallar la relación entre la temperatura medida en dicha escala y la correspondiente en °C. 2.15 En un vacuómetro se lee 10 pulg de Hg. La presión barométrica es 29,9 pulg de Hg. Calcula la presión absoluta en bar. 2.16 La presión barométrica al nivel del mar es 762 mm de Hg cuando en la cima de una montaña es 737 mm de Hg. Si se supone que el peso específico del aire es constante y de 11,8 N/m 3, calcular la altura de la montaña. 2.17 El peso específico del agua de mar se puede calcular a partir de la relación empírica En la cual γ es el peso específico y h es la profundidad bajo la superficie del océano. Derivar una expresión para calcular la presión en cualquier punto h y calcular el peso específico y la presión a una profundidad de 3,22 km suponiendo que γ0 = 10,3 kN/m3 y K = 7,98 N/m7/2. 2.18 Un manómetro de Bourdon montado en un tanque cerrado lleno de aire indica 141,1 kPa cuando el barómetro se encuentra en 775 mm 37


de Hg. Si la presión barométrica desciende a 741,2 mm de Hg, ¿qué lectura indica el manómetro? 2.19 La ventana de observación de un antiguo traje de buzo mide aproximadamente 65 cm2 de área. Si se intenta mantener una presión de 1 atm en el interior del traje, ¿qué fuerza tendría que soportar la ventana si el buzo descendiera a una profundidad de 150 m? 2.20 El depósito de la figura 2.8 contiene aceite de densidad relativa 0,75. a. Determinar la lectura del manómetro A en psi. b. ¿Cuál es la diferencia de presión entre M y N en psi y en Pa?

Figura 2.8 Depósito para el problema 2.20

2.21 Un sistema de alimentació alimentación n por gravedad se utiliza para suministrar agua a un intercambiador de calor. Se necesita una presión de agua mínima de 30 psig a la entrada del intercambiador. a. ¿Cuál es la elevación mínima del nivel del agua por encima del intercambiador? b. ¿Qué elevación se requeriría requeriría si el fluido fluido fuera fuera etanol? etanol? 2.22 Se lanza en dirección vertical un chorro chor ro de agua por una boquilla con una velocidad de 82 pie/s en un lugar donde g = 32,174 pie/s 2. ¿Cuál es la velocidad teórica del chorro en un punto que está 72 pies arriba de la boquilla? 2.23 Una turbina hidráulica recibe agua de un depósito que se encuentra a 100 m por encima de ella. ¿Cuál es el flujo mínimo de agua, en kg/s, para producir una salida permanente en la turbina de 50.000 kW? 2.24 Un fluido en el interior de un cilindro vertical provisto con un pistón sin fricción, como se muestra en la figura 2.9, está en equilibrio mecánico. La presión atmosférica es 101.325 kPa. El área del pistón es de 3.000 mm 2. El resorte lineal que tiene una constante de 1.500 N/m, se comprime 250 mm respecto a su elongación libre. ¿Cuál es la masa del pistón si la presión absoluta del fluido es de 400 kpa? 38


Figura 2.9 Fluido en el interior de un cilindro vertical provisto de un pistón

sin fricción, problema 2.24

2.25 Los compartimientos de los tanques de la figura 2.10 se cierran y se llenan con aire. El manómetro A indica 207 kPa, el manómetro B registra un vacío de 254 mm de Hg. ¿Qué indica el manómetro C si se conecta al compartimiento 1, pero está dentro del compartimiento 2? La presión barométrica es de 101 kPa.

Figura 2.10 Compartimientos llenos de aire para el problema 2.25

2.26 En una cascada el agua fluye a razón de 4,5 × 106 galones/h y cae desde una altura de 170 pies. Determinar la potencia teórica teóric a (en kW) que podría ser generada por una planta de energía instalada al final de la caída de agua.

39

3. Ecuaciones de balance Hasta ahora se han estudiado algunas de las propiedades termodinámicas de la sustancia de trabajo, entre ellas una de particular importancia, la energía. Este capítulo presenta present a la energía no como propiedad sino como transferencia durante un proceso, clasificándola como calor o como trabajo dependiendo de la causa de la transferencia. Además, se siguen cuidadosamente cuidadosa mente los cambios que experimenta el sistema mediante un esquema tradicional de contabilidad, que conduce a la formulación de las ecuaciones de balance de masa, energía y entropía y su aplicación en diversos casos.

3.1 Calor Es el flujo de energía a través de los límites del sistema en virtud de una diferencia de temperatura entre el sistema y los alrededores. Una vez que la energía térmica ha cruzado la frontera ya no se considera como calor sino que pasa a ser parte de la componente térmica de la energía interna del sistema o de los alrededores y por tanto no afecta la energía cinética o potencial del sistema. Como se puede concluir de la definición anterior, un flujo de energía debida a un gradiente de temperatura dentro del sistema no puede ser llamado calor. El calor se simboliza por Q, sus unidades en S.I. son Joules (J) y en el sistema inglés Btu; se puede expresar la cantidad de energía en forma de calor por unidad de masa como q = Q/M y el flujo de calor por unidad de tiempo . Teniendo en cuenta que el calor es una energía en tránsito, es importante saber cuál es la dirección, si la energía entra al sistema se representa por Q e y si lo abandona, por Q s y son siempre cantidades positivas; otra con vención muy utilizada es considerar el calor como positivo cuando entra al sistema y negativo cuando lo abandona, en otras palabras Q neto = Q e − Q s

3. Ecuaciones de balance

3.2 Trabajo Es el flujo de energía mecánica, debido a fuerzas motrices distintas al gradiente de temperatura, que atraviesa los límites del sistema y que puede ser convertido completamente (por lo menos en teoría) por un dispositivo apropiado, al equivalente de una fuerza que se mueve a través de una distancia. Considerando el esquema mostrado en la figura 3.1, el trabajo hecho por el sistema al expandirse, debido a una diferencia de presión entre el sistema y sus alrededores es equivalente al trabajo para levantar el peso una distancia z.

Figura 3.1 Esquema del trabajo hecho por un sistema

En otras palabras, δ W = F × dz Al igual que con el calor, es importante conocer la dirección del flujo de trabajo y se puede representar W e trabajo hecho sobre el sistema y W s trabajo realizado por el sistema. Arbitrariamente muchos muchos autores consideran un trabajo neto W = W s − W e, el cual es positivo si es hecho por el sistema sobre los alrededores y negativo en caso contrario. Se puede expresar la cantidad de trabajo por unidad de masa como w = W/M y la cantidad de trabajo por unidad de tiempo por .

3.2.1 Trabajo Trabajo para vencer fuerzas de fricción En la figura 3.2, la fuerza que causa el desplazamiento es la componente horizontal de la fuerza F, de tal manera que la ecuación 3.1a se convierte en δ W = F cos θ dx Si F y θ son constantes entonces W e = F cos θ ∆x

(3.1 a) 41

(3.1)


Figura 3.2 Trabajo realizado para vencer fuerzas de fricción

3.2.2 Trabajo Trabajo para levantar un peso En la figura 3.1 el trabajo para levantar un cuerpo de masa M a una altura dz se puede escribir como y por tanto (3.1 b) El trabajo realizado sobre el sistema causa un aumento en su energía potencial.

3.2.3 Trabajo Trabajo para acelerar un sistema La ecuación 3.1 para el trabajo hecho sobre un sistema de masa M que se somete a una aceleración a constante se transforma en entonces luego

(3.1 c) El trabajo realizado sobre el sistema causa un aumento en su energía cinética.

3.2.4 Trabajo en procesos con resortes Si se considera como sistema un resorte ideal, sin peso ni rozamiento y que cumple la ley de Hooke F = kx (véase figura 3.3), la ecuación 3.1 se convierte en 42


Figura 3.3 Esquema del trabajo realizado sobre un resorte

δ W e = kdx y

(3.1 d) Este trabajo aumenta la ener energía gía interna del sistema.

3.2.5 Trabajo en procesos eléctricos El trabajo para cargar una partícula neutra que se encuentra sometida a un campo eléctrico ε, hasta adquirir una carga −q, está dado por pero dq = I dθ donde I es la intensidad de corriente y θ es el tiempo, luego δ W e = ε I dθ y W e = ε I (θ2 − θ1)

(3.1 e)

3.2.6 Trabajo de expansión o compresión para procesos en sistema cerrado Para ilustrar este tipo de trabajo se puede considerar el gas contenido en un cilindro con un émbolo que se desplaza sin si n rozamiento, sometido a una fuerza Fres como se muestra en la figura 3.4. Si el cambio se lleva a cabo mediante un proceso de cuasi equilibrio Fres = Pres A donde Pres es la presión ejercida por el gas sobre el área transversal del pistón, A, entonces δ W = Fres dx = Pres A dx pero 43


Figura 3.4 Trabajo en sistemas cerrados

A dx = dV luego δ W = Pres dV (3.2) P y V son respectivamente presión y volumen del sistema. Si V 2 > V 1, se trata de un trabajo hecho por el sistema, si V 2 < V 1, será un trabajo realizado sobre el sistema. La evaluación del trabajo se puede hacer analíticamente si se conoce la relación entre en tre P y V, por ejemplo, P × V n = constante; o gráficamente mediante la evaluación del área bajo la curva en un diagrama P − V, la cual puede hacerse utilizando métodos numéricos como el trapezoidal o el de Simpson entre otros. Considerando la figura 3.5 se ve claramente que el trabajo de expansión para llevar el sistema desde el estado 1 al estado 2, depende de la trayectoria seguida durante el proceso, proceso, ya que el área bajo la curva cambia si la trayectoria cambia.

Figura 3.5 Representación del trabajo de expansión o de compresión en un

sistema cerrado

44


3.2.7 Trabajo Trabajo de flujo flu jo Es el trabajo que una cantidad de sustancia realiza para salir del volumen de control, venciendo la presión de oposición del fluido que lo precede; o el trabajo hecho sobre la sustancia por el fluido que le sigue para entrar al volumen de control.

Figura 3.6 Trabajo de flujo

De acuerdo con la figura 3.6 el trabajo de flujo en e es pero si se considera un diferencial de masa con volumen específico dV = v e dM y (3.3a) De la misma forma, el trabajo de flujo en s es (3.3b)

3.2.8 Trabajo en el eje El trabajo en el eje es la máxima cantidad de trabajo que se puede obtener del flujo de un fluido a través de algún componente del equipo donde se realiza trabajo (es también la mínima cantidad de trabajo que tendría que ser suministrada a un fluido cuando pasa por un dispositivo donde se realiza trabajo). La máxima cantidad de trabajo que puede obtenerse del sistema se logra solo mediante un proceso internamente reversible, cualquier proceso real entre los mismos dos estados producirá una cantidad menor. O en forma análoga, la mínima cantidad de trabajo que se debe suministrar a un cuerpo se obtiene mediante un proceso cuasi estático. Considérese la figura 3.7, 3.7 , en la cual un fluido fluye a través de una turbina o de un compresor. Si se escoge como sistema una masa fija de fluido (sis(s istema cerrado) y se estudia durante su paso a través del volumen de control, entonces para este sistema existen tres formas de trabajo: a) el trabajo de flujo que hace sobre el sistema el fluido que le sigue para llevarlo a lo largo de la tubería, dado por Pent, V ent, b) el trabajo que es transmitido al eje, W eje y c) el trabajo que hace el sistema sobre el fluido que le precede, Psal, V sal. Por tanto, el trabajo neto que sale del sistema es 45


(3.4) y despejando el trabajo realizado en el eje (3.5) Ahora bien, si se considera que entonces que al ser sustituida en la ecuación 3.5 da (3.6) Debe recordarse aquí que W eje es el trabajo neto transferido al eje y por tanto será una cantidad positiva si el fluido realiza trabajo sobre el eje o, en caso contrario, será una cantidad negativa.

Figura 3.7 Trabajo en el eje en un sistema abierto

De la misma manera que para sistemas cerrados, la ecuación 3.6 se puede evaluar analíticamente si se conoce la relación entre el volumen y la presión o gráficamente mediante la evaluación del área comprendida entre la curva y el eje de presión en un diagrama presión volumen (véase figura 3.8)

Figura 3.8 Evaluación gráfica del trabajo en el eje

46

3. Ecuaciones de balance Ejemplo 3.1

Un gas dentro un cilindro con un pistón de 18 kg (véase la figura 3.4) a una presión de 2,5 bar ocupa un volumen de 0,1 m 3 y se mantiene en esa posición mediante un pasador. Al retirarse el pasador, pasador, el gas se expande (sin fricción en el pistón) siguiendo una trayectoria en la cual PV = constante, hasta que su volumen es cuatro veces el volumen inicial. Calcula: a. El trabajo total hecho por el gas. b. El trabajo hecho por el gas contra la atmósfera. c. La velocidad final del pistón. Solución

a. Si se escoge como sistema el gas confinado en el arreglo cilindro pistón entonces este sistema realiza trabajo contra la atmósfera (para comprimirla) y contra el pistón (para acelerarlo) W total sistema = W atm + W pistón y el trabajo total se puede calcular en este caso como pero como P V = constante, entonces W total = constante × ln V 2/V 1 = constante × ln 4 El valor de la constante se puede encontrar de las condiciones iniciales constante = 2,5 bar × 0,1 m 3 = 0,25 bar m3 = 25 kJ y por tanto W total = 25 × ln 4 W total = 34,66 kJ b. Para Para calcular el trabajo hecho contra la atmósfera at mósfera se considera que esta opone una fuerza constante y el trabajo en este caso se puede calcular por en la cual Po es la presión atmosférica constante. Por tanto W atm = Po ∆V = 101.325 kPa × 0,3 m3 =30,4 kJ c. El trabajo hecho sobre el pistón es entonces W pistón = 34,66 – 30,4 = 4,26 kJ y de la ecuación 3.1c con se obtiene

Ejemplo 3.2

Durante la experiencia que se esquematiza en la figura 3.9 se obtuvo la tabla de datos 3.1. Se logró que el agua pasara de un estado de equilibrio 47


a 5,0 MPa y 40 °C hasta un nuevo estado a 7,0 MPa y 400 °C suministrando suministr ando calor desde una fuente a 773 K.

Figura 3.9 Esquema ilustrativo del ejemplo 3.2

Tabla 3.1 Datos obtenidos luego de efectuar el ciclo que se esquematiza

en la figura 3.9 P(MPa)

V (l )

t(°C)

5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0

1,01 4,85 8,62 12,5 16,49 20,47 24,42 28,51 32,20 36,12 39,93

40 76 115 156 178 200 220 245 294 347 400

El trabajo realizado sobre el resorte ideal fue de 37,87 kJ que se observa en el medidor W acoplado al resorte. Evaluar: a. El trabajo que efectúa el agua. b. El trabajo perdido por fricción. c. La relación k/A 2, donde k es la constante constant e del resorte ideal y A es el área transversal del pistón. 48


Solución Tomando como sistema el kilogramo de agua dentro del tanque, se trata de un sistema cerrado que recibe una cantidad de calor y realiza un trabajo contra el pistón, contra el resorte y para vencer la fricción entre el émbolo y la pared del tanque. Considerando que este proceso se realiza cuasiestáticamente, o de una manera internamente reversible a. El trabajo que efectúa el agua será no se conoce la ecuación que relaciona P con V para efectuar la integración integrac ión analítica, pero se tiene una tabla que reporta las medidas del volumen a diferentes presiones desde el estado inicial inic ial de 5 MPa MPa y 40 °C hasta el estado final de 7 MPa y 400 °C. Representando Represen tando estos datos en un diagrama P–V (véase figura 3.10), prácticamente todos los puntos están sobre una línea recta cuyas coordenadas coordenadas iniciales son (5,0, 1,01) y las finales son (7,0, 39,93).

Figura 3.10 Diagrama P–V del ejemplo 3.2

Entonces el trabajo hecho por el agua será igual al área bajo la curva cur va que se representa. Esa área corresponde corr esponde al área de un trapecio con base menor = 5,0, base mayor = 7,0 y altura (39,93 − 1,01), y por tanto área = (base menor + base mayor)/2 × altura. reemplazando

luego W = 233,52 kJ es el trabajo total hecho por el agua. 49


b. Para calcular la energía gastada en vencer la fricción se usa la relación W fricción = W hecho por el sistema − W para mover el pistón − W para comprimir el resorte Ya se conoce el trabajo hecho por el sistema. El trabajo para mover el pistón donde P es la presión debida al peso del pistón que es constante e igual a 5.0 MPa (puesto que inicialmente el agua solo está soportando el pistón y el resorte no está ofreciendo ninguna resistencia) y ∆V es el cambio de volumen experimentado por el agua. W pistón = P × ∆V = 5,0 × 103 kPa × (39,93 − 1,01) × 10−3 m3 W pistón = 194,6 kJ El trabajo para comprimir el resorte W resorte = 37,87 kJ de acuerdo con la información disponible. W fricción = W agua − W pistón − W resorte W fricción = 233,52 − 194,60 − 37,87 = 1,05 kJ c. Para hallar el valor de la relación k/A 2, considerando nuevamente el trabajo hecho sobre el resorte Expresando x (longitud (longit ud que se comprime el resorte) en términos del cambio del volumen del sistema y el área del pistón se tiene

Ejemplo 3.3

Se desea comprimir 0,685 kg/s de aire mediante un compresor centrífugo desde una presión de 0,8 bar y una temperatura de 298 K hasta una presión de 3,2 bar. La densidad del aire a la entrada del compresor es 0,935 kg/m 3. Estimar la potencia requerida para impulsar el compresor, suponiendo que durante el proceso de compresión compresió n no hay que vencer fricciones y que la presión y el volumen del aire en cada momento están relacionados mediante la ecuación P × v 1,4 = constante. Solución

Se trata de un proceso que ocurre en sistema abierto, donde la frontera la constituyen las paredes del compresor, y la sustancia de trabajo es el aire sobre el cual se está realizando un trabajo de eje para aumentar su presión. Como no hay que vencer fricciones, la potencia para impulsar el 50


compresor es recibida totalmente por el aire el cual sufre un proceso de transformación transformació n cuasi estático.

se puede evaluar analíticamente pues se conoce la relación entre P y v, y las condiciones de presión a la entrada y a la salida, P × 1,4v = constante. Si se toma n = 1,4, entonces P × v n = k1 y P1/n × v =k2 k1 y k2 son constantes. Reemplazando v en términos de P

k2 = v s × Ps1/n = v e × Pe1/n Reemplazando k2 en términos de las condiciones de entrada o salida, dependiendo de lo que más convenga

pero

Al reemplazar n = 1,4 Pe = 0,8 bar = 80 kPa, Ps = 3,2 bar = 320 kPa y se obtiene

w eje = – 145.604 kJ/kg 51


o sea trabajo hecho sobre el sistema. suministrados al sistema.

3.3 Ecuaciones de balance El comportamiento de un sistema se puede estudiar siguiendo los cambios de estado que experimenta durante un proceso y los flujos de masa, energía y entropía que atraviesan los límites del sistema, por ello al enfrentar el análisis de un proceso es importante el concepto de contabilidad de una cantidad física extensiva. Esta contabilidad puede representarse representarse mediante una relación que se conoce como ecuación de balance:

(3.7)

3.3.1 Balance de masa En todo proceso donde no se presentan reacciones nucleares nucleare s la masa total se conserva y en ese caso no existe generación ni consumo y la ecuación 3.7 para el balance de masa de un sistema que sufre un proceso durante un tiempo dθ se transforma, véase figura 3.11.

Figura 3.11 Esquema del balance de masa

(3.8) En la cual dM/d θ representa la variación de la masa con el tiempo dentro del sistema y y representan la cantidad diferencial de flujo de masa que entra y sale del sistema respectivamente. 52


Integrando la ecuación 3.8 entre dos límites de tiempo (3.9) 1. Balance de masa en un sistema cerrado. Teniendo en cuenta que en un sistema cerrado no hay flujo de masa entonces La ecuación 3.8 queda (3.10) 2. Balance de masa en un sistema abierto. abierto. Considerando Considerando que el sistema abierto permite flujo de masa se pueden presentar dos casos: a. Flujo estable: quiere decir que en el interior interior del sistema no se presenta acumulación de masa y por tanto la ecuación 3.8 queda y la ecuación 3.9 se convierte en la cual se puede transformar si se escribe la masa en términos de la densidad y del volumen, para producir en la cual representa el caudal (volumen por unidad de tiempo) de la i-ésima corriente. El caudal se puede escribir también en términos de la velocidad del fluido y del área transversal de flujo así (3.11) Esta ecuación es llamada la ecuación de continuidad y es válida para flujo unidireccional a través de una porción de un tubo de corriente. Para estudios de flujo bi y tridimensionales deben usarse expresiones diferenciales de la ecuación de continuidad. b. Flujo uniforme: es cuando se presenta variación de masa en el interior del sistema a velocidad constante y Ejemplo 3.4

Se alimenta metano de una densidad de 0,52 kg/m 3 a un quemador (véase figura 3.12). El metano entra a 30 m/s a través de una tubería con sección transversal de 8,2 cm2. Al quemador también entra aire con una densidad densida d de 3 1,2 kg/m de tal manera que la relación masa de aire/combustible sea 21 por una tubería de 6 pulgadas de diámetro. Los gases de la combustión ( ρ=0,68 kg/m3) escapan por medio de una tubería de 6 pulgadas de diámetro. Calcular la velocidad de entrada del aire al quemador, el flujo másico y la velocidad de salida de los gases de combustión. 53


Solución

Figura 3.12 Ilustración del proceso indicado en el ejemplo 3.4

Si se considera que el quemador opera con un flujo estable entonces el balance de masa queda así pero

El área de la tubería de entrada del aire es y por tanto

Reemplazando con los datos suministrados en las unidades apropiadas

El flujo másico de salida de los gases se calcula

y la velocidad de salida de los gases obtenida es

54

3. Ecuaciones de balance Ejemplo 3.5

Un radiador contiene 3 kg de una mezcla anticongelante de etilen glicol agua al 30% en peso de etilen glicol. Se desea elevar la concentración del etilen glicol al 50%. a. ¿Cuánto etilen glicol puro se debe añadir si no se saca líquido del radiador? b. ¿Cuánto etilen glicol se debe añadir, añadir, si al comienzo dentro del radiador hay una cantidad tal que al final queden quede n 3 kg de mezcla sin sacar nada de material del radiador? Solución

Si se considera como sistema el radiador que contiene una cantidad de anticongelante y se le va adicionando sustancia para aumentar su concentración, el balance total de masa es ∆M dentro del sistema = M f – Mi = Me El balance para el etilen glicol es 0,5Mf – 0,3 Mi = Me El balance para el agua 0,5Mf – 0,7 M1 = 0 siendo: Mi = masa total dentro del radiador al comienzo. Mf = masa total dentro del radiador al final. Me = masa total que entra al radiador y que es etilen glicol puro. a. En este caso Mi = 3 kg, Mf y Me son incógnitas. Tomando dos de las tres ecuaciones de balance de material planteadas se pueden conocer Mf y Me. Del balance total Mf – 3 kg = Me Mf = Me + 3 kg y reemplazando en el balance para etilen glicol 0,5(Me + 3 kg) – 0,3 × 3 kg = Me luego Me = 1,2 kg es la cantidad de etilen glicol puro que debe añadirse. Mf = 1,2 kg + 3 kg Mf = 4,2 kg es la cantidad total de anticongelante anticongela nte al 50% en peso de etilen glicol en el radiador. b. En este caso Mf = 3 kg, Mi y Me son las incógnitas. incógn itas. Tomando dos de las tres ecuaciones de balance de materia planteadas se pueden conocer Mi y Me. 55


Del balance total 3 kg – M i = Me Del balance de agua 0,5 × 3 kg = 0,7 M i luego

Me = (3 – 2,14 ) kg = 0,86 kg La masa de etilen glicol puro que se añade es 0,86 kg para obtener una solución anticongelante anticongelante al 50% en peso; en el radiador había inicialmente 2,14 kg de una solución al 30% de etilen glicol. En procesos en los cuales se da reacción química se puede realizar un balance de masa total o balances por componentes. En estos últimos, los términos generación o consumo pueden aparecer en la ecuación. Ejemplo 3.6

Un proceso antiguo para la producción de ácido clorhídrico requiere calentar una mezcla de NaHSO4 y NaCl en un horno especial. Si la reacción estequiométrica estequiomé trica es NaHSO4 (s) + NaCl (s) → Na2SO4 (s) + HCl (g) y ocurre en su totalidad, establecer el balance para cada uno de los componentes y el balance total de materia, si se alimentan al horno 140 kg de NaHSO4, 58,5 kg de NaCl y 10 kg de Na 2SO4 cada hora. Solución

Tomando como sistema el horno (véase figura 3.13).

Figura 3.13 Ilustración del proceso indicado en el ejemplo 3.6

Teniendo como referencia la ecuación 3.7, si se considera que dentro del horno no se da acumulación de masa, pues al mismo ritmo se alimenta y se extrae el producto, el término de variación en el interior del sistema es cero para todos los componentes. De acuerdo con la estequiometría de la reacción, 1 mol de NaHSO 4 reacciona con un mol de NaCl, o sea que 120 kg de NaHSO 4 reaccionan con 58,5 kg de NaCl, y en este caso el reactivo límite es el NaCl, luego — Balance de masa para el NaHSO 4: 0 = Entrada – Salida – Consumo 0 = 140 kg/h – Salida – 120 kg/h La cantidad de NaHSO4 que sale sin reaccionar es 20 kg/h. 56


— Balance de masa para el NaCl: 0 = Entrada – Consumo 0 = 58,5 kg/h – 58,5 kg/h — Balance de masa para el Na 2SO4 0 = Entrada – Salida + Generación 0 = 10 kg/h – Salida + 142 kg/h La cantidad de Na2SO4 que se retira del horno es 152 kg/h. — Balance de masa para el HCl 0 = – Salida + Generación 0 = – Salida + 36,5 kg/h La cantidad de HCl que se retira del horno es 36,5 kg/h. — Balance total de masa 0 = Entrada – Salida Entrada = 140 kg/h NaHSO4 + 10 kg/h Na2SO4 + 58,5 kg/h NaCl Entrada = 208,5 kg/h Salida = 20 kg/h NaHSO 4 + 36,5 kg/h HCl + 152 kg/h Na 2SO4 Salida = 208,5 kg/h Estos resultados están de acuerdo con lo planteado en la ecuación de balance de masa.

3.3.2 Balance de energía Hasta mediados del siglo XIX se consideraba al calor y al trabajo como magnitudes de distinta naturaleza. Fue James Prescot Joule quien entre 1840 y 1849 llevó a cabo cuidadosos experimentos experimentos acerca de la naturaleza del calor y el trabajo. Básicamente se trataba de experiencias sencillas en las cuales una cantidad medida de agua se ponía dentro de un recipiente aislado (véase ( véase figura 3.14) y se agitaba por medio de un agitador rotatorio.

Figura 3.14 Experimento de Joule

57


A medida que el peso baja una distancia determinada, se realiza una cantidad de trabajo sobre el agitador que a su vez lo transmite al agua produciendo un aumento de temperatura y esa energía mecánica transmitida incrementa la energía interna del agua. Midiendo cuidadosamente el incremento de temperatura, Joule calculó el incremento en la energía interna. Por otra parte, calculó también el trabajo hecho por el peso en su descenso dándose cuenta que cuando se suministraba una cantidad de trabajo mecánico el efecto era equivalente al causado por el suministro de una cantidad de calor, estableciéndose así el equivalente mecánico del calor. El mejor valor obtenido por Joule fue 1 Btu = 772,5 lbf pie 1 cal = 4.155 J mediciones posteriores han fijado estos valores más exactamente en 1 Btu = 777,647 lbf pie 1 cal = 4.184 J Estos resultados llevan a la conclusión de que la energía es una cantidad conservativa y que puede manifestarse de diversas formas. Si para un sistema cualquiera que sufre un proceso se realiza un balance de energía, teniendo en cuenta que esta es una cantidad conservativa conser vativa y por tanto no existe generación ni consumo, entonces la ecuación 3.7 queda reducida a

Si se plantea el balance de energía entre un tiempo θ y un tiempo θ + dθ se tiene dEsist/dθ representa la variación de la energía total dentro del sistema con respecto al tiempo. Y, en ausencia de efectos eléctricos, magnéticos, de tensión superficial y de distorsión de sólidos, tenemos

La entrada de energía al sistema puede darse de diversas formas: — Con el flujo másico

— Con el flujo de calor — Con el flujo de trabajo La salida de energía del sistema puede darse de las mismas tres formas

58


El término W(total) representa todas las formas de trabajo (eléctricas, magnéticas, de eje, de expansión o compresión de los límites del sistema, de flujo, etc.), y puede representarse como: W (total) = W flujo + W mecánico En la cual W mecánico representa todas las formas de trabajo excepto el trabajo de flujo. Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación anterior se obtiene W (total) = M P v + W mecánico La ecuación general de balance de energía queda

factorizando

El término u + P v (propiedades de la sustancia) aparece en repetidas ocasiones en desarrollos termodinámicos y por conveniencia se s e ha definido como una nueva propiedad termodinámica llamada entalpía h=u+Pv (3.12) Reemplazando en la ecuación general del balance de energía (3.13)

La ecuación 3.13 permite contabilizar la energía teniendo en cuenta que es una cantidad conservativa, quiere decir que la energía total se conserva aunque adopte diferentes formas. Cuando desaparece una forma de energía surge simultáneamente otra y esto se aplica al sistema y a sus alrededores durante un proceso, luego: variación de energía del sistema + variación de energía de los alrededores = 0, es decir, d (E)sistema + d (E)alrededores = d (E)Universo = 0 (3.14) Esta relación constituye la formulación de la primera ley de la termodinámica, es una ley empírica que se basa en inducciones a partir de observaciones experimentales, aún no ha sido demostrada. 59


Es bueno recalcar que la energía interna representa la energía almacenada en el sistema pero el producto Pv no tiene este significado, luego la entalpía es una propiedad útil pero no representa la energía almacenada. 1. Balance de energía en un sistema cerrado

Un sistema cerrado que no permite transferencia de masa a través de la frontera, tampoco puede transferir energía con la masa, entonces la ecuación 3.13 se simplifica

Por lo general, solo se da un determinado flujo de energía que entra al sistes istema en forma de calor o en forma de trabajo y lo mismo mis mo ocurre con respecto a la salida, además el sistema no se desplaza ni cambia de posición con respecto a un plano de referencia durante durant e un proceso, entonces la relación puede simplificarse en ese caso y presentarse de diferentes formas (3.15 a) (3.15 b) integrando M ∆u = Q neto – W neto

(3.16 a) (3.16 b)

Ejemplo 3.7

Un gas contenido dentro de un cilindro con pistón cumple un proceso cíclico en tres etapas. Primero se expande a presión constante con una adición de calor de 50 kJ y la realización de un trabajo de 25 kJ. Luego se enfría a volumen constante con remoción de 30 kJ de calor. Finalmente mediante un proceso adiabático regresa a sus condiciones iniciales. a. Representar el proceso en un diagrama PP-V V. b. Determinar el trabajo del proceso adiabático. c. Determinar el trabajo neto del ciclo. d. Determinar la energía interna de gas en cada uno de los estados intermedios si se le asigna un valor de cero a la energía interna inicial. Solución

Tomando como sistema la l a cantidad de gas en el cilindro, es un sistema sist ema cerrado sometido a un proceso cíclico en tres etapas: 1 →2 a P = constante; 2→3 a V = constante y 3 →1 con Q = 0. a. La representación en un diagrama P-V de este proceso se indica en la figura 3.15. 60


Figura 3.15 Diagrama P-V del proceso indicado en el ejemplo 3.7

b. Haciendo un balance de masa y de energía para la etapa adiabática, considerando que el sistema permanece fijo con respecto a un punto de referencia, luego no experimenta cambios en su energía potencial ni cinética, se tiene M1 – M3 = 0 U1 – U3 = W e Para calcular W e es necesario conocer la variación de la energía interna U1 – U3 = – (U3 – U1) = – ∆U1→3 ∆U1→3 = ∆U1→2 + ∆U2→3 La variación de energía interna de 1 a 2 puede calcularse a partir de un balance de energía para ese proceso así U2 – U1 = Q e 1→ 1→2 – W s 1→ 1→2 = (50 – 25) kJ ∆U1→2 = 25 kJ La variación de energía interna de 2 a 3 puede calcularse a partir de un balance de energía para ese proceso así U3 – U2 = – Q s 2→ 2→3 = – 30 kJ luego reemplazando, se tiene ∆U1→3 = 25 –30 = – 5 kJ ∆U3→1 = – ∆U1→3 = 5 kJ de la relación anterior W e = 5 kJ. c. Para determinar el trabajo tr abajo neto del ciclo, se hace un balance ba lance de energía global; teniendo en cuenta que no hay variación de energía dentro del sistema Q neto= W neto Q e 1→ 1→2 – Q s 2→ 2→3 = W neto 50 – 30 = 20 kJ es el trabajo neto. 61


d. Si se toma como referencia la energía interna en el estado 1 igual a cero U2 – U1 = 25 kJ; U2 = 25 kJ. U3 – U2 = – 30 kJ; U 3 = – 5 kJ. 2. Balance de energía en un sistema abierto

En general el ingeniero trata de diseñar equipos y procesos que operen en régimen permanente o estacionario durante largos periodos de tiempo, estos procesos son de operación y mantenimiento más sencillos que los no estacionarios. De acuerdo con esto se pueden adoptar dos modelos para el estudio de los sistemas abiertos. — Modelo de estado estable, es table, flujo estable: e stable: es un modelo en el cual las propiedades de la sustancia de trabajo en un punto dado no cambian con el tiempo y se consideran las siguientes suposiciones: • El volumen de control no tiene un movimiento relativo a un eje coordenado. • El estado de la masa en cada punto en el interior del volumen de control no varía con el tiempo. • La masa que fluye a través través de los límites límites del sistema (frontera) (frontera) conserva su estado termodinámico con el paso del tiempo y no se acumula. • La velocidad a la cual el calor y el el trabajo fluyen a través través de los límites del sistema permanece constante. Teniendo en cuenta estas suposiciones, se analizan nuevamente todos los términos de la ecuación 3.13. Con respecto a la variación de energía dentro del sistema, esta solo puede presentarse si existe variación de masa, pero la condición del modelo es que no hay acumulación de masa, luego este término siempre es cero. Con respecto a la energía que entra o sale con la masa, se debe tener presente que no varía con el tiempo, lo mismo para los flujos de calor y trabajo, y la ecuación 3.13 se convierte en (3.17)

Ejemplo 3.8

Se comprime aire en un proceso de estado estable flujo estable y sin fricción desde 90 kPa, 15 °C y v = 0,918 m 3/kg hasta 130 kPa de tal manera que P (v + 0,25) = constante. La velocidad a la entrada del compresor puede despreciarse, a la salida es de 110 m/s.

62


Cuál es el trabajo requerido para la compresión por kilogramo de aire y la cantidad de calor asociada con el proceso, si la entalpía a la entrada es 290 kJ/kg y a la salida 295 kJ/kg. Solución

De acuerdo con el enunciado (véase figura 3.16), puede considerarse que no hay variación en la ener energía gía potencial de la sustancia que sale con respecto a la sustancia que entra, además, el volumen de control permanece fijo con respecto a un punto de referencia.

Figura 3.16 Representación esquemática del proceso de compresión

El balance de masa, teniendo en cuenta que no hay acumulación en el interior del sistema, es pero no se conoce cuál es el flujo másico. El balance de energía es

como no se conoce el flujo másico se puede plantear el balance ba lance por unidad de masa y la relación se transforma así

en la cual w e y q s son incógnitas, es necesario disponer de otra relación para resolver el problema. Se sabe que y se conoce cómo está relacionado v con P

quiere decir que es necesario suministrar suministra r en forma de trabajo 28,65 kJ por cada kg de aire que se vaya a comprimir.

63


Conociendo este trabajo se puede reemplazar en la ecuación del balance de energía para saber la cantidad de calor asociada con el proceso.

En este proceso es necesario suministrar una energía en forma de trabajo de 28,65 kJ por kg de aire que se comprime y se liberan 17,6 kJ de calor por kg de aire. — Modelo de estado uniforme, un iforme, flujo uniforme: a este modelo corresponde corresponden n por ejemplo, los procesos que ocurren cuando se llenan o vacían tanques. En él se consideran las siguientes suposiciones: • El volumen de control permanece en una posición relativa constante con respecto a un eje coordenado. • El estado de la masa dentro del volumen de control puede cambiar con el tiempo, pero este cambio es a velocidad constante. • El estado de la masa masa que fluye a través través de los límites del del sistema no varía con el tiempo. • Los flujos de calor y trabajo si los hay, hay, son constantes en el tiempo. En este caso habrá que entrar a considerar si tienen o no validez todos los términos de la ecuación 3.13. Ejemplo 3.9

Vapor de agua a una presión de 1,4 MPa y 300 °C fluye por una tubería que está conectada, por medio de una válvula, con un tanque vacío. La válvula se se abre y el tanque se llena hasta cuando la presión llega a 1,4 MPa, en ese momento la válvula se cierra. El proceso es adiabático y los cambios de energía cinética y potencial se pueden considerar despreciables, además se cuenta con la información de la tabla 3.2 acerca de las propiedades AP = 1,4 MPa. Tabla 3.2 Datos para el ejemplo 3.2 t (°C)

u (kJ/kg)

h (kJ/kg)

300 350 400 500

2.785,2 2.869,2 2.952,5 3.121,1

3.040,4 3.149,5 3.257,5 5.474,1

Determinar la temperatura final del vapor en el tanque. Solución

La figura 3.17 presenta un esquema del proceso. 64


Figura 3.17 Esquema del proceso indicado en el ejemplo 3.9

Si se escoge como límite del sistema el tanque que inicialmente inici almente está vacío, entonces los balances de masa y de energía son

o en forma integrada

pero Mi = 0 (el tanque estaba inicialmente vacío) Balance de energía integrando nuevamente con M i = 0 la cual conduce a

Con los datos proporcionados por el problema se puede encontrar la entalpía a la entrada he = 3.040,4 kJ/kg (a 1,4 MP MPaa y 300 °C) y por tanto u f = 3.040,4 kJ/kg. Con este valor se puede mirar, en la tabla de propiedades, a qué valor de temperatura corresponde corres ponde el valor encontrado de energía interna. Se puede observar que el valor de energía interna en el estado final está entre los dos últimos valores reportados en la tabla de propiedades. Si se supone que la temperatura y la energía interna se 65


comportan linealmente para intervalos pequeños de temperatura (esto es, suponiendo que entre valores contiguos de la tabla de propiedades se puede utilizar interpolación interpolaci ón lineal) entonces utilizando la ecuación de una línea recta entre dos puntos en la cual los subíndices 1 y 2 representan dos valores contiguos en la tabla de propiedades y el subíndice ∗ el punto en el cual se quiere hallar una de las propiedades. Despejando

Se dice que un sistema que experimenta un proceso se encuentra en condición transitoria (estado no estacionario), si el valor de cualquiera de las variables termodinámicas del sistema cambia con el tiempo. Cuando se arranca o se para un proceso de estado estable, flujo estable, se presentan cambios en las condiciones normales de operación y se tiene entonces un modelo transitorio, que no se estudiará en el presente libro.

3.3.3 Balance de entropía La primera ley es una herramienta útil y versátil en el análisis de transformaciones energéticas. Sin Si n embargo, hay fenómenos de conversión de energía que no pueden explicarse utilizando únicamente la primera ley, pues esta no permite predecir a qué grado habrá conversión de energía, ni tampoco indica si un proceso ideado para la conversión de energía es posible o no. El concepto de entropía fue sugerido originalmente por el físico Clausius como una medida de la capacidad que tendrá te ndrá el universo en el futuro para producir trabajo, como resultado de los procesos actuales o pasados, mostrando cómo cada vez se pierde esa capacidad de hacer trabajo y cómo la entropía del universo aumenta. Teniendo en cuenta que la primera ley de la termodinámica dice que a escala macroscópica la energía se conserva, entonces para comprender el concepto de balance de entropía es necesario considerar que la energía puede tener calidades y que a medida que se realizan los procesos la energía se va trasformando de una forma más útil (trabajo) a una menos útil (calor). La entropía entonces está relacionada con la energía sin ser energía. La ecuación general de balance de entropía para un sistema sometido a un proceso es 66


La variación de entropía con el tiempo dentro dentro del sistema se representa por

El flujo de entropía que entra es debido a los flujos de masa, de trabajo y de calor ca lor.. — El flujo de entropía que entra con la masa puede representar representarse se como . 1. Flujo de entropía que entra con el trabajo

Para determinar el aporte del flujo de trabajo a la variación de entropía, se puede considerar el siguiente proceso proceso ilustrativo: si se tiene una cantidad fija de una sustancia dentro de un arreglo cilindro pistón de paredes adiabáticas y se ejerce sobre él un trabajo de tal manera que el pistón se desplaza sin fricción, con un desplazamiento infinitesimalmente lento, el proceso de compresión es adiabático y es internamente reversible, aumenta la energía cinética de las partículas que chocan con el pistón, aumentando aument ando por ello su temperatura, produciendo mayor desorganización y aumento de entropía. Como también aumenta la presión y disminuye dismin uye el volumen, se tiene por ello mayor organización (al estar más empacadas las partículas) y por tanto disminuye la entropía. Se puede demostrar mediante herramientas de termodinámica estadística estadístic a que estos dos efectos se compensan exactamente exacta mente y la variación de entropía neta para el sistema por efecto de este trabajo traba jo hecho sobre él, es cero. Luego, un flujo de energía en forma de trabajo no conlleva flujo de entropía. 2. Flujo de entropía que entra con el calor

Como consta en la definición de entropía (véase sección 2.6), si se coloca una cantidad de gas en un recipiente r ecipiente rígido y se le suministra suminist ra calor, calor, aumenta el grado de desorganización y por tanto la entropía, o sea que el flujo de energía en forma de calor va acompañado de un flujo de entropía, esto puede representarse mediante la relación ds ∝δQ. La entropía del sistema varía si se recibe o libera calor durante un proceso (independiente de que este sea reversible o no). La variación de entropía por flujo de calor será: . Para calcular cuál es la constante de proporcionalidad, considérese una cantidad de sustancia sujeta a un proceso cíclico reversible en cuatro etapas: 67


Dos isotermas A B y C D y dos adiabáticas B C y D A como se muestra en la figura 3.18. El proceso comienza en A y regresa al mismo punto y no hay variación en las propiedades de la sustancia. t1 y t2 representan trayectorias isotermas, t 1 > t2 y S1 y S2 representan las trayectorias adiabáticas. De A a B se adiciona calor a temperatur temperaturaa constante (t 1), de B a C hay una expansión adiabática, de C a D se extrae calor a temperatura constante (t2), de D a A hay una compresión adiabática. adiabática.

Figura 3.18 Proceso reversible en cuatro etapas

El trabajo neto está representado por el área dentro de la curva A B C D y como puede observarse es un trabajo realizado por el sistema. Durante el proceso cíclico se obtuvo energía mecánica a partir de energía térmica y el ciclo reversible propuesto se conoce como ciclo de Carnot. Si se quiere aumentar el trabajo producido por el ciclo, lo que equivaldría a aumentar el área encerrada por la curva del proceso, se puede entregar calor en la tercera etapa a una temperatura menor t 3, y en este caso el ciclo es A B E F W neto = Q 1 – Q 3 y t1 > t2 > t3 Considerandoo valores absolutos Considerand Q 1 > Q 2 > Q 3 Puede observarse entonces que en general Q i es una función de t i. La variación de entropía en los dos ciclos (por ser reversibles) ocurre solo en las trayectorias isotermas y para el ciclo A B C D se puede escribir como como el proceso es cíclico entonces, ∆S ABCD = 0 luego 68


y (3.18) La función f(t) puede escogerse arbitrariamente, arbitrariamente, para que no dependa de las propiedades de la sustancia de trabajo traba jo de la máquina térmica si no de la temperatura a la cual se transfiere calor reversiblemente, como lo propuso Lord Kelvin: f (t) = T, esta temperatura T se conoce como temperatura termodinámica y coincide con la escala absoluta de temperatura que se había presentado anteriormente luego

En resumen, el flujo de entropía que entra al sistema se representa por

De forma análoga, el flujo de entropía que sale del sistema se representa por

siendo TQe y TQs las temperaturas a las cuales se da la transferencia de calor. 3. Entropía generada y entropía consumida

Para ilustrar ilustra r el concepto de generación o consumo cons umo de entropía considerar el siguiente arreglo: se tiene confinado un gas en parte de un recipiente rígido y aislado térmicamente, separado del resto rest o del recipiente que se encuentra vacío, mediante una membrana impermeable (véase figura 3.19a), si se rompe la membrana, el gas llena todo el recipiente (véase figura 3.19b), este proceso es irreversible irrevers ible y no se da transferencia transferenci a de energía ni en forma de calor ni en forma de trabajo. Cualquiera que sea el sistema escogido, la desorganización aumenta y nunca se podrá obtener un sistema más organizado espontáneamente, luego la entropía aumenta y ese aumento va asociado a la irreversibilidad. Se puede afirmar que la irreversibilidad de un proceso genera entropía pero nunca la consume. Este proceso se pudo haber realizado entre los mismos estados inicial y final en forma tal que el sistema hiciera trabajo, esa energía que no se aprovechó como trabajo se gastó en vencer las irreversibilidades, por eso se conoce como trabajo perdido (LW por el término en inglés lost work), y puede decirse que la entropía generada . 69


Figura 3.19 Ilustración del concepto de generación o consumo de entropía. a. Estado inicial del proceso irreversible. b. Estado final del proceso irreversible.

Se acaba de mostrar que la constante que relaciona el flujo de calor y el flujo de entropía es 1/T, de la misma manera se puede establecer que la constante para la generación de entropía es de igual forma, siendo en este caso T la temperatura absoluta a la cual se produ producen cen las irreversibilidades. Entonces

En la cual TLW es la temperatura a la cual se da la irreversibilidad. Esta temperatura es en general variable y diferente de T Qe y TQs. Esta entropía generada también da cuenta de los flujos energéticos en el interior del sistema que no pueden ser llamados calor ni trabajo. En resumen, la ecuación general del balance de entropía queda (3.19a) 4. Balance de entropía en un sistema aislado

En el caso de un sistema aislado en el cual no se da transferencia de materia ni de energía, la ecuación 3.19a se transforma en (3.19b) Para el caso particular en el cual se trata de un proceso reversible entonces (3.19c) Las dos ecuaciones anteriores llevan a la conclusión de que (3.20a) En la cual la igualdad se cumple en el caso de un proceso reversible. La ecuación 3.20a establece que la entropía de un sistema aislado nunca puede disminuir y se conoce como principio de aumento de la entropía. 70


Debido a que un sistema aislado es aquel que no interactúa en forma alguna con sus alrededores, este principio puede parecer muy limitado en sus aplicaciones. Sin embargo, una selección apropiada de las fronteras con frecuencia hace posible trabajar con sistemas aislados. En particular, siempre puede formarse un sistema aislado si se incluyen el sistema y sus alrededores dentro de una misma frontera y puesto que el conjunto de un sistema y sus alrededores se ha definido como el universo, entonces (3.20 b) en la cual (3.21) Se debe recordar en este punto que la entropía de un sistema puede aumentar, disminuir o permanecer constante (véase ecuación 3.19a). Es solo la entropía del universo (o la de cualquier sistema aislado) la que no puede disminuir. El principio de aumento de entropía proporciona un criterio de reversibilidad para cualquier proceso: 1) si la entropía del universo permanece constante, entonces el proceso es reversible, 2) si la entropía del universo aumenta, el proceso es irreversible y 3) si la entropía del universo disminuye, entonces el proceso es imposible. (La entropía del universo no puede disminuir). Es importante notar que, así como el principio de conservación conser vación de la energía en el universo (véase ecuación 3.14) es llamado la primera ley de la termodinámica, el principio de aumento de la entropía (véase ecuación 3.20a) es postulado generalmente como la segunda ley de la termodinámica. 5. Balance de entropía en sistema cerrado

En un sistema cerrado la ecuación 3.19 se reduce a (3.22 a) En términos de la transferencia neta de calor la ecuación se puede escribir como (3.22 b) Integrando (3.22 c) Cuando se trata de un proceso reversible la ecuación 3.22b queda T dS)sist = δQ N integrando 71


Q N = ∫ T dSsist (3.23) En la cual es claro que la variable independiente es el tiempo. La integral del lado derecho de la ecuación 3.23 puede evaluarse como el área bajo la curva en un diagrama T-S (véase la figura 3.20), o analíticamente si se conoce la ecuación que relaciona la temperatura y la entropía durante el proceso.

Figura 3.20 Evaluación gráfica de la transferencia de calor en procesos re-

versibles

De la figura 3.20 puede concluirse que la cantidad de calor transferida durante el proceso, al igual que el trabajo, depende de la trayectoria. Ejemplo 3.10

Dos kilogramos de oxígeno se comprimen isotérmicamente en un arreglo cilindro pistón de 95 kPa y 20 °C a 300 kPa. Determina la transferencia de calor si a. El proceso es reversible. b. Si las irreversibilidades incrementan el trabajo requerido en un 80% comparado con el trabajo necesario para la compresión reversible. reversible. Las variaciones de ener energía gía interna, entalpía y entropía son respectivamente: respectivamente: 5 kJ/kg, 7 kJ/kg, –0,3 kJ/kg K. Solución

Si se escoge como sistema los dos kilogramos de oxígeno dentro del arreglo cilindro pistón, se trata entonces de un sistema cerrado. Se considera que no hay variaciones de energía cinética y potencial en el interior del sistema sist ema para determinar la transferencia de calor. a. En el proceso reversible e isotérmico: Balance de masa Mi = Mf = M Balance de energía ∆U = Q N – W N M(∆u) = Q N – W N Balance de entropía 72


Directamente del balance de entropía se puede calcular el calor transferido. Q N = MT∆s = 2 kg × 293 K (–0,3) kJ/kg K = – 175,8 kJ Como se trata de una cantidad cantida d neta de calor, calor, el hecho de que sea negativo significa que el calor se libera del sistema. b. En el proceso irreversible e isotérmico: Balance de masa Mi = Mf = M Balance de energía M(∆u) = Q N – W N Balance de entropía

equivale a la entropía generada por irreversibilidades, irreversibilidades, en este caso T LW = TQN. Para calcular Q N mediante el balance de entropía es necesario conocer LW. De acuerdo con el enunciado, el trabajo perdido por irreversibilidades es el 80% del trabajo requerido para la compresión en el proceso reversible, este trabajo se puede calcular del balance de energía en la parte a) conociendo el Q N así W N(rev) = Q N – M(∆u) = –175,8 kJ – 2 kg × 5 kJ/kg W N(rev) = –185,8 kJ trabajo que se suministra al sistema. Entonces LW = 0,8 × W N(rev) = 0,8 × 185,8 = 148,64 kJ Q N = MT∆s – LW = –2 kg × 293 K × 0,3 kJ/kg K – 148,64 kJ = –324,44 kJ Es un calor que fluye del sistema a los alrededores. 6. Balance de entropía en sistemas abiertos.

Al igual que para el balance de energía se pueden presentar dos casos: —Modelo de estado estable, flujo estable: teniendo en cuenta las restricciones mencionadas anteriormente, para este modelo, la ecuación general del balance de entropía se convierte en (3.24) En el caso especial de un proceso adiabático con una sola entrada y una salida, la ecuación anterior se transforma en

la cual conduce a que (3.25) en la igualdad anterior se cumple solo en el caso reversible. 73


De la ecuación 3.25 se puede concluir que en el flujo adiabático a través de cualquier sistema abierto el fluido no puede disminuir su entropía. Ejemplo 3.11

Por una válvula de expansión fluyen 2,3 kg/s de refrigerante 12. A la entrada de la válvula el refrigerante tiene las siguientes condiciones: P = 2,7 MPa, h = 212,614 kJ/kg, s = 0,6585 kJ/kg K. Escribirr los balances de masa, energía y entropía si se desea que el proceso Escribi sea: a. Adiabático. b. Isentrópico. Solución

a. Si se considera como sistema el refrigerante refrigerant e que fluye en todo momento momento por la válvula en estado estable y se desprecian los cambios en la energía cinética y potencial entonces Balance de masa Balance de energía Como el refrigerante no mueve ningún eje en la válvula ni tampoco se mueven los límites del sistema, entonces y Si además, se considera que el flujo a través de una válvula se da a una velocidad tal que no hay tiempo para establecer estab lecer una transferencia de calor, entonces y el balance de energía se reduce a lo cual conduce a he = hs El balance de energía lleva entonces a la conclusión de que el flujo adiabático a través de una válvula es isoentálpico. Balance de entropía: para el proceso sin transferencia de calor el balance de entropía queda y b. Un proceso isentrópico se puede dar de dos maneras: • Proceso adiabático reversible 74


En este caso los balances de masa y energía están representados por las ecuaciones y he = hs y el balance de entropía queda se = ss • Proceso irreversible con transferencia de calor El balance de masa es nuevamente la ecuación el balance de energía es ahora la ecuación y el balance de entropía queda como se requiere que el proceso sea isentrópico, entonces

—Modelo de estado uniforme, flujo uniforme: de acuerdo con las restricciones para este modelo presentadas present adas en el balance de energía, la ecuación que se aplica es la ecuación general del balance (3.19a). Ejemplo 3.12

Un tanque aislado cuyo volumen es 1 m 3 contiene aire a 800 kPa y 25 °C con una densidad de 9,35 kg/m 3, como muestra la figura 3.21. Se abre la válvula para entregar el aire a la presión atmosférica y a 20 °C. La L a presión dentro del tanque cae hasta 150 kPa y la densidad dentro del tanque alcanza un valor de 2,83 kg/m 3. La diferencia de entropía entropía entre el aire que escapa y el que permanece dentro del tanque es 0,58 kJ/kg K. Asumiendo que el aire que permanece dentro del tanque experimenta una expansión adiabática reversible, calcular la entropía generada generada durante el proceso. Solución

Se trata de un sistema abierto que cumple el modelo de estado uniforme, flujo uniforme. De acuerdo con el enunciado del problema, el aire que permanece dentro del tanque no sufre cambio en su entropía. Mque permanece (sf – si) = 0 Luego, sf = si dentro del tanque. 75


Figura 3.21 Ilustración de un tanque aislado

Para el sistema considerado, cuya superficie de control se muestra con las líneas punteadas (véase figura 3.22).

Figura 3.22 Ilustración de un sistema abierto

Balance de masa: M f – Mi = –Ms Balance de entropía M f sf – Mi si = –Ms ss + Sgenerada Reemplazando, y recordando que s i = sf se tiene que Ms (ss – si) = Sgenerada por otra parte Mi = ρi V i = 9,35 kg/m3 × 1 m3 = 9,35 kg Mf = ρf V f = 2,83 kg/m3 × 1 m3 = 2,83 kg Ms = Mi – Mf = (9,35 – 2,83) kg = 6,52 kg y de los datos del problema (ss – si) = 0,58 kJ/kg K Reemplazando los valores de M s y (ss – si) se tiene Sgenerada = 6,52 kg × 0,58 kJ/kg K = 3,78 kJ/K Las irreversibilidades en este proceso se generan en el paso a través de la válvula.

Problemas propuestos 3.1

76

Una masa de 25 kg en reposo cae desde una altura de 5 m hasta que golpea un resorte lineal que está en ese momento en posición de equilibrio. Si toda la energía del cuerpo al caer se destina a compri-


3.2

3.3

3.4

3.5

3.6 3.7

3.8 3.9

mir el resorte, ¿cuánto se acortará este si la constante del resorte es de 500 N/m? En función de la altura sobre el nivel del mar mar,, la aceleració aceleración n de la –6 2 gravedad es g = 9,807 – 3,32 × 10 Z; con g en m/s y Z en metros. ¿Qué cantidad de trabajo será necesario realizar para elevar un satélite que en La Costa pesa 2.350 N, desde la cuidad de Medellín (1.500 msnm) hasta una altura de 450 km sobre la superficie de la tierra? Calcular la potencia necesaria para acelerar un cuerpo de 3.400 N de una velocidad de 40 m/s hasta 100 m/s: a. En 1 segundo. b. En 1 minuto. Se tiene argón en un tanque rígido de 0,6 m 3 a una presión de 1.500 kPa. El argón se enfría para así reducir la presión hasta 950 kPa. ¿Cuánto trabajo se realiza? Dibujar un diagrama P-V para la trayectoria de este proceso. Un gas sufre un proceso mediante una trayectori trayectoriaa que se puede escribir como P×V n = C donde n y C son constantes. Halla la ecuación ecua ción general para el trabajo realizado, cuando el gas se expande de una presión absoluta y un volumen inicial de P 1, V 1 hasta una presión y un volumen final de P 2, V 2 respectivamente. a. Suponiendo un sistema cerrado con trabajo debido a la expansión. b. Suponiendo un sistema abierto con trabajo hecho por un eje. Calcular la potencia necesaria para bombear 3,4 m 3/h de agua ( ρ = 999,1 kg/m3) desde un lago hasta un tanque abierto ubicado 3 metros por encima del nivel del lago. Un fabricante de ventiladore ventiladoress presenta los siguientes datos de su producto cuando opera con aire a 20 °C: Presión del aire a la entrada del ventilador = 101,325 kPa. Diferencia de presión entre la entrada y la salida del aire = 0,80 kPa. Gasto volumétrico = 870 m 3/h. Calcular la potencia mínima que se debe suministrar al ventilador de estas características para que opere en estado estable. Un gas ideal es sometido a una compresión reversible isotérmica en un conjunto cilindro pistón sin fricción. Hallar la ecuación del trabajo. Un dispositi dispositivo vo cilindro pistón contiene un gas que sufre un proceso de expansión cuasiestático para el cual la relación entre P y V es

77


con P en bar y V en m 3. Si la expansión se realiza entre 4 y 5 bar, determinar a. Las unidades de la constante 10,8. b. La relación entre P y V en unidades S.I. c. El trabajo desarrollado en el proceso. 3.10 En un experimento de la expansión de un gas en un sistema cerrado se tomaron los datos indicados en la tabla 3.3. Tabla 3.3 Datos para el ejemplo 3.10 (m3/kg)

0 79 98

08 027

0 87 0 0

09 890

1097 6

P (k (kPa)

2.139,5

2.128,7

1.901,8

1.589,3

1.373,6

(m3/kg) (kPa)

0,12010 210,9

0,13014 082,2

0,13998 977,2

0,15930 815,4

0,17832 96,3

a. Hallar el valor del volumen específico para los siguientes valores de presión: 600 kPa, 1.100 kPa, 2.500 kPa y 3.000 kPa. b. Calcular el trabajo realizado por el gas entre 2.100 kPa y 700 kPa. 3.11 Oxígeno gaseoso es mantenido en un dispositivo cilindro cilindro pistón a 5 atm de presión por medio de un pistón que pesa 65 kg f y que es mantenido en una posición inicial dentro del cilindro mediante un pasador. El cilindro, que tiene un área transversal transver sal de 652 cm 2 y mide 4 metros de altura, está abierto al ambiente. El volumen inicial del gas es de 32 litros y la temperatura es de 25 °C (la cual puede ser considerada constante durante todo el proceso). En un momento dado, el pistón se libera y el gas se expande mediante una trayectoria que se puede escribir

Con: a = 0,24203 Jm3/mol2, b = 2,0956 × 10–5 m3/mol, c = 9,9106 × 10–6 m3/mol. Si el pistón asciende sin rozamiento, determinar: a. ¿El pistón abandona el cilindro? b. ¿Qué altura alcanza el pistón? c. Si el pistón sale fuera del cilindro, ¿cuál es la velocidad velocida d con la que lo abandona? 3.12 En un conjunto cilindro pistón sin fricción se tiene 1 kg de gas a 5 bar y ocupando un volumen de 100 litros. Este gas puede pasar a un estado 2 a 1 bar y 263 litros por la trayectoria A o por la B. El 78


3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

proceso por la trayectoria A es adiabático y la relación entre P y V es V 5/3 × P = constante. El proceso por la trayectoria B se caracteriza porque la presión depende linealmente del volumen y hay transferencia de calor. Determinar el trabajo que realiza el gas por cada trayectoria. El proceso proceso de bombeo de agua se lleva a cabo en una planta industrial mediante una bomba a la cual entra el agua a 14,7 psia y sale a una presión de 500 psig. Se puede considerar consi derar que el proceso de bombeo es adiabático y que los cambios de energía cinética y potencial son despreciables. Determinar la potencia mínima requerida para operar la bomba con un gasto másico de 100 kg/s. En un proceso de cuasiequili cuasiequilibrio brio en un sistema abierto, un gas se expande en un eje desde un volumen de 0,150 m 3/kg y una presión de 120 kPa a la entrada hasta un volumen de 0,25 m 3/kg a la salida mediante una trayectoria tal que P (v + 0,028) = constante Calcular el trabajo realizado por el gas en el eje. Un combustible de avión con un peso específico de 8.232 N/m 3 debe bombearse a una velocidad veloci dad de 5,2 kg/s desde una presión de 40 kPa kPa hasta una presión de 800 kPa. La temperatura del combustible es aproximadamente de 5 °C y el cambio de velocidad a través de la bomba es pequeño. Se calcula que la potencia necesaria de entrada a la bomba es del 140% de la requerida para realizar el bombeo sin fricción. Describir las suposiciones que se hagan y determinar la potencia de entrada requerida. Una mezcla benceno tolueno contiene 50% en masa de benceno. Una porción de la mezcla se vaporiza para dar un vapor que contiene conti ene 85% en masa de benceno y un líquido residual que contiene 10,6% en masa de benceno. Si el proceso es continuo en régimen permanente y la alimentación de la mezcla es de 100,0 kg/h, calcular cuántos kg/h se obtienen de vapor y cuántos kg/h de líquido residual. Entra agua a un tanque de 2 litros con un flujo másico de 3 g/s y sale con un flujo másico de 5 g/s. Inicialmente el tanque está a la mitad de su capacidad. Escribir el balance de masa para este proceso. Resolver la ecuación para determinar en cuánto tiempo se descarga el tanque. Por una línea de conducción de 2 pulgadas de diámetro fluye CO 2 a 40 psia y 20 °F ° F, con una densidad dens idad de 0,052 lb/pie lb /pie 3 y a una velocidad de 2.000 pies/s. En una sección que está corriente abajo la tubería se reduce a una de 0,5 pulgadas de diámetro, por la cual el CO 2 fluye 79


3.19

3.20

3.21

3.22

con una densidad de 0,124 lb/pie 3. Determinar la velocidad del fluido después de la reducción. En una unidad unidad de aire acondicionado acondicionado entra entra aire atmosférico atmosférico a 32 3 °C, con una densidad de 1,24 kg/m a través de un área de sección transversal de 0,058 m2 con una velocidad de 11,2 m/s. Se elimina el agua del aire y sale del sistema de aire acondicionado como un líquido a un ritmo de 45,8 kg/h. El aire que sale de la unidad está a 15 °C con una densidad de 1,32 kg/m 3. El área de la sección trans versal de descarga es de 0,077 m 2. Determinar la velocidad del aire que sale. El sistema de flujo flujo de un motor de avión de de propulsión a chorro se debe diseñar de tal manera que entre aire con una densidad de 0,041 lb/pie3 a una velocidad de 400 millas/h a través trav és de una sección 2 transversal con un área de 9,22 pie . Del aire que ingresa, se deben retirar 6 lb/s de aire a través de un compresor, para la ventilación de la cabina. Al aire que va al motor se le añade combustible a una razón de masa de aire/combustible de 38 y se quema. Los gases de escape tendrán una densidad de 0,021 lb/pie 3 y una velocidad de 1.180 pie/s. Determinar el área de la sección transversal de escape. Un sistema cerrado experimen experimenta ta un cambio cambio de 1 a 2 en el cual se añaden 450 kJ de calor y realiza un trabajo equivalente a 150 kJ. Durante el proceso inverso 2-1, se suministran 100 kJ en forma de trabajo. Determinar la transferencia de calor durante el proceso 2-1. Para cada uno de los procesos siguientes que se llevan a cabo en sistema cerrado, llene los espacios en blanco de la tabla 3.4 donde sea posible. Tabla 3.4 Datos para el ejemplo 3.22

a b c d e

Qneto (kJ)

Wneto (kJ)

E1 (kJ)

40 40 –55 –15

16 –16 –30 20 10

10

E2 (kJ)

∆E (kJ)

60 10 0 30

3.23 En un tanque rígido se encuentran almacenados 1,5 kg de gas, los cuales se agitan mediante un impulsor que suministra 50 kJ/kg de gas de trabajo. La energía del gas se incrementa de 120,0 a 160.000 kJ/kg. Determinar la transferencia total de calor. 3.24 En un compresor se comprimen 129 kg/h de aire. Se sabe que durante la compresión aumenta la entalpía del aire en 19.000 kJ/kg 80


3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

y la entalpía del agua que enfría el compresor aumenta en 10.000 kJ/h. Despreciando los cambios en energía cinética y potencial y conociendo que 1 kWh de energía cuesta $45, calcula el costo de operación del compresor. Una batería de plomo plomo de 12 voltios se requiere requiere para suministrar 1,8 amperios. La caída de energía interna de la batería debe ser 954 kJ (máximo). En este proceso la batería baterí a se calienta y debe disipar 90 kJ de calor al aire que la rodea. Calcular el tiempo que se puede usar la batería antes de que se deba recargar. Un cilindro cuyo volumen es 2 pie 3 contiene 1,5 lb de un gas a 20 psia y 60 °F. el gas se comprime en un proceso de cuasiequilibrio hasta 120 psia de forma tal que P (en psia) = constante – 100 V donde V está expresado en pie 3. Su temperatura final es de 30 °F. La energía interna del gas está dada por: u (en Btu/lb) = 0,20 t con t en grados Fahrenheit. Dibujar un diagrama P-V y calcular: a. La transferencia de calor. b. El cambio de la entalpía por libra de gas. A través de un aparato que que opera en condiciones condiciones de estado estable estable flujo estable se realizan 70 kJ de trabajo por cada kilogramo de fluido que pasa a través de él. La tubería de entrada está localizada 20 m sobre el piso y en este punto el volumen específico de la sustancia es 3 m3/kg, su presión es 300 kPa y la velocidad con que se desplaza es 50 m/s. La tubería de descarga está localizada 15 m bajo el piso y en este punto la sustancia tiene un volumen específico de 9 m 3/kg, una presión de 60 kPa y una velocidad de 150 m/s. La pérdida de calor del fluido es de 3 kJ/kg. Determinar el cambio en la energía interna que experimenta la sustancia. En un tanque aislado se encuentran almacenados 0,50 kg de gas con una energía interna de 260 kJ/kg. Por medio de una válvula se le suministra gas con una energía interna de 260 kJ/kg y una entalpía de 350 kJ/kg, hasta cuando la masa total dentro del tanque sea de 1,0 kg. Calcular la energía interna final del gas dentro del tanque. Un fluido se expande en una turbina en condiciones de estado y flujo permanentes. El fluido ingresa a la turbina por una tubería de 10 pulgadas de diámetro a 13 m/s. En el punto de entrada, la entalpía del fluido es de 2.400 kJ/kg y el volumen específico de 0,34 m 3/kg. En el punto de salida, la tubería tiene 5 pulgadas de diámetro y el fluido sale con una entalpía de 2.100 2.10 0 kJ/kg y con un caudal de 22,62 l/s. Despreciando la transferencia de calor: 81


3.30

3.31

3.32

3.33 3.34

3.35

82

a. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del trabajo involucrado en este proceso? b. ¿Cuál es la densidad del flujo a la salida? c. ¿Cuál es el error que se comete si se considera que el cambio en la energía cinética es despreciable? Se desea producir 40 l/s de vapor de agua a 350 °C en un evaporador provisto de una resistencia eléctrica. Al evaporador se alimentan 8,5 kg/s de agua líquida en la siguiente condición: t = 350 °C, P = 16,13 MPa, u = 1.641,9 kJ/kg, s = 3,7777 kJ/kg K. El agua entra al evaporador con una velocidad de 4,2 m/s por una tubería de 2 pulgadas de diámetro. Al evaporador se entregan ent regan 2.500 kW de energía eléctrica y este disipa 420 kW de calor al ambiente. El vapor sale por una tubería de 6 pulgadas, ubicada 8 metros por arriba de la tubería de entrada. La eficiencia del evaporador es del 78%. Calcular la entalpía, la entropía y el volumen específico a la salida del evaporador. El trabajo realizado por un sistema cerrado que experimenta un proceso de transformación reversible es de 15 kJ, y el calor que se le agrega es de 5 kJ. Determinar si el cambio de entropía para el sistema es: a. Positivo. b. Negativo. c. Puede ser positivo o negativo. Un sistema cerrado efectúa un proceso durante el cual el cambio de entropía entrop ía para el sistema es 18 kJ/K. El sistema recibe 6.000 kJ de un depósito de calor a 300 K. Determinar si el proceso es reversible, rev ersible, irreversible o imposible. Un sistema cerrado efectúa un proceso mediante el cual elimina calor. ¿Se puede regresar el sistema a su estado inicial mediante un proceso adiabático? Justificar la respuesta. En un arreglo cilindro pistón se realiza un proceso isotérmico re versible a 25 °C en el cual el volumen del sistema se duplica sin que cambie su energía interna. Determinar el trabajo desarrollado por el sistema en kJ/kg si la relación que existe entre la entropía y el volumen para un sistema cerrado se puede expresar como s = so + 0,29 × ln v donde s queda expresado en kJ/kg K si v está dado en m 3/kg y so es una constante. Se efectúa un proceso en un disposit dispositivo ivo que opera de acuerdo con el modelo de estado estable flujo estable. El trabajo desarrollado es


de 50 Btu y la cantidad de calor cedido es de 10 Btu. Determinar si el cambio de entropía del fluido es: a. Positivo. b. Negativo. c. Puede ser positivo o negativo. 3.36 Un gas se expande expande reversible reversible e isotérmicamente isotérmicamente a 25 °C, sin que que cambie su entalpía, en un dispositivo que opera en estado permanente. La presión del gas a la salida es igual a la tercera parte de la presión a la entrada. Los cambios en energía cinética y potencial son despreciables. ¿Qué potencia en kW desarrolla el dispositivo si el flujo másico es de 50 kg/s? La relación relació n entre la entropía y la presión del gas es: s = s o + 0,29 × ln P donde s está dada en kJ/kg K, P está dada en kPa. 3.37 Se enfría un fluido en un intercambiador de calor que opera en flujo permanente y que elimina calor al ambiente a 25 °C. El fluido entra con una entalpía de 2.326,1 kJ/kg y una entropía de 7.508 kJ/kg K. A la salida los valores de estas propied propiedades ades son respectivamente 162,5 kJ/kg y 0,555 kJ/kg K. Demostrar que este proceso de transferencia de calor es irreversible. 3.38 En un sistema sistema cerrado cerrado a temperatura temperatura constante constante hay vapor de agua con las siguientes siguiente s propiedades: P = 16 bar, bar, t = 350 °C, v = 0,17456 3 m /kg, h = 3.145,4 kJ/kg. Durante el proceso se realiza un trabajo tr abajo de 100 kJ/kg sobre el vapor por medio de una rueda de paletas dentro del tanque. En un instante dado se transfieren 12,7 kJ/kg de calor a los alrededores. Si la eficiencia es del 72% calcular: a. La energía interna al final del proceso. b. El cambio de entropía del vapor de agua. c. El trabajo perdido.

83

4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica El balance de materia y de energía no es suficiente para analizar muchos sistemas y procesos termodinámicos, debido a que la naturaleza ha impuesto sobre la conversión y la transferencia de energía ciertas restricciones adicionales. El tratamiento de estas restricciones se ha facilitado por la introducción del concepto de entropía y la segunda ley de la termodinámica, que permiten establecer si un proceso puede realizarse o no y con qué eficiencia se lleva a cabo la transformación energética.

4.1 Postulados de la segunda ley de la termodinámica Las observaciones obser vaciones de las transformaciones en la naturaleza, referidas a la unidireccionalidad unidireccional idad de los procesos procesos que en ella ocurren, están incorporadas en el enunciado de que todos los procesos espontáneos se desarrollan de tal forma que la entropía del universo nunca disminuye. Las consecuencias de este enunciado son conocidas con el nombre de segunda ley de la termodinámica. Esta ley se ha postulado en formas muy diversas, diversa s, pero todas son equivalentes entre sí. Sin embargo, ninguna de las formulaciones puede derivarse de ninguna otra ley de la naturaleza. Por tanto, la segunda ley de la termodinámica (al igual que la primera) mantendrá su validez hasta el momento en el cual se descubran procesos que no puedan ser explicados por estas leyes. Los numerosos enunciados de la segunda ley pueden ser considerados como variaciones de dos premisas básicas: — Ningún dispositi dispositivo vo puede operar continuament continuamentee en forma tal que su único efecto sea la conversión completa de calor en trabajo. Este es conocido como el enunciado Kelvin Planck de la segunda ley. — Es imposible imposible la transferencia espontánea de calor desde un cuerpo a una temperatura dada hacia otro de temperatura superior. Este constituye el enunciado de Clausius.

4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica

Si se acepta uno de los postulados, todos los demás pueden demostrarse a partir de él. Aunque los postulados anteriores muestran la imposibilidad de transformar completamente en forma continua energía térmica en mecánica, en la práctica esta transformación puede llevarse a cabo, al menos parcialm parcialmente, ente, mediante un dispositivo conocido como máquina térmica. De la misma manera se puede transferir calor de un cuerpo a baja temperatura a otro a temperatura alta con la intervención de un dispositivo conocido como refrigerador, el cual requiere para operar el suministro de un trabajo mecánico.

4.2 Máquinas térmicas Una máquina térmica es un arreglo de equipos que operando en forma cíclica y continua transforma parte de la energía térmica que recibe en energía mecánica. La representación esquemática de una máquina térmica operando entre una temperatura alta (Tc) y una temperatura baja (T F) constantes, puede verse en la figura 4.1, y algunos ejemplos de máquinas térmicas son la planta de generación termoeléctrica (véase figura 1.2) y los motores de combustión interna (ciclos de Otto y de Diesel).

Figura 4.1 Representación esquemática de una máquina térmica

Para medir la calidad del funcionamiento de una máquina térmica se utiliza el concepto de eficiencia térmica definida como la relación entre el trabajo trab ajo neto producido y la cantidad de calor suministrado (4.1) Si se realiza un balance de energía a la máquina térmica de la figura 4.1 se obtiene luego

85


y reemplazando en la ecuación 4.1 (4.2) Este resultado es aplicable a cualquier máquina térmica sea esta reversible o no. En el caso particular de una máquina completamente reversible, el balance de entropía (teniendo en cuenta que la temperatura de los focos permanece constante) lleva al siguiente resultado

luego y remplazando esta última relación en la ecuación 4.2 se obtiene (4.3) La ecuación 4.3 establece que la eficiencia de una máquina térmica re versible depende solamente de la temperatura de los focos con los cuales intercambia calor y no depende de las características de la sustancia de trabajo que opera en el interior de la máquina. Como puede observarse la eficiencia térmica nunca puede ser del 100%, porque esto implicaría o entregar calor a un foco a temperatura de cero absoluto o recibir calor de un foco a temperatur temperaturaa infinita. Vale la pena resaltar que los focos con los cuales la máquina intercambia calor son cuerpos cuya temperatura permanece perma nece constante a medida que se da el intercambio de calor y además, el proceso de transferencia de calor se considera consi dera reversible. rever sible. En la naturaleza los cuerpos cuerpos que más se aproximan aproximan a estas características deben ser de gran tamaño como: la atmósfera, el océano y los grandes ríos. Ejemplo 4.1

Una planta termoeléctrica que opera entre una fuente de calor a 850 °C y una descarga (depósito) de calor a 110 °C opera con una eficiencia de solo el 48% de la eficiencia ideal. a. ¿Cuál debe ser la velocidad de transferencia de calor hacia la planta si se quiere generar una potencia de 1000 MW? ¿Cuál debe ser la velocidad a la cual se descarga calor de la planta? b. Realizar el mismo cálculo anterior considerando una máquina ideal. Solución

a. La L a eficiencia térmica ideal se puede calcular como

86


La eficiencia real de la planta será y por definición

y por tanto El calor que sale de la planta se puede calcular como

b. Si la máquina térmica es ideal y

4.3 Refrigeradores y bombas de calor Los refrigeradores y las bombas de calor son dispositivos que operan en sentido inverso al de las máquinas térmicas y por tanto pueden, mediante el suministro de trabajo, extraer calor de un foco de baja temperatura y transmitir calor a un foco de alta temperatu temperatura. ra. Cuando el propósito del dispositivo es mantener un espacio a baja temperatura mediante mediant e la extracción de calor recibe rec ibe el nombre de refrigerador. Si el objetivo es mantener un espacio a alta temperatura se tiene una bomba de calor. Una representación esquemática puede verse en la figura 4.2. Aunque la representación y el principio de funcionamiento son el mismo para un refrigerador y una bomba de calor, el diseño mecánico y estructural es diferente debido a que los objetivos son diferentes. Teniendo en cuenta el objetivo objet ivo del refrigerador, se define el coeficiente de operación como la relación entre el calor extraído del depósito frío y el trabajo suministrado (4.4) Al igual que en una máquina térmica, si se reemplaza y de acuerdo con el balance de energía, entonces

en términos de (4.5) 87


Figura 4.2 Representación esquemática de un refrigerador y de una bomba

de calor

Si se trata de un refrigerador reversible (4.6) Ejemplo 4.2

Se desea que un refrigerador elimine 8,4×10 5 kJ/h de calor de un cuerpo frío. Si el coeficiente de funcionamiento del refrigerador es de 3,5, ¿cuál es la potencia con que se debe alimentar el refrigerador? ¿Cuál es la velocidad a la cual el refrigerador debe entregar calor al ambiente? Solución

De la definición de coeficiente de funcionamiento para un refrigerador (véase la ecuación 4.4)

Del balance de energía

La bomba de calor tiene como propósito mantener un depósito a alta temperatura, luego su coeficiente de operación está definido como la relación entre el calor suministrado al depósito y el trabajo neto (4.7) y de acuerdo con el balance de energía se obtiene (4.8) 88


Si la bomba de calor es reversible (4.9) Ejemplo 4.3

Una bomba de calor proporciona 14 kJ/s para mantener una habitación a 25 °C y recibe calor del exterior a –8 °C. Si el coeficiente real de funcionamiento es 50% del correspondiente a una bomba de calor ideal que opera entre las mismas temperaturas, ¿cuál es la potencia real necesaria para operar la bomba? Solución

El coeficiente de funcionamiento funcionamiento ideal de la bomba de calor está dado por

El coeficiente de funcionamiento real es entonces (COP)real = 0,5 (COP)ideal = 4,515 y de la ecuación 4.7

Contrario a la eficiencia de una máquina térmica que nunca puede ser igual o mayor que uno, en una bomba de calor o en un refrigerador el coeficiente de operación puede ser mayor que uno, sin embargo, el coeficiente de operación del dispositivo reversible siempre será mayor que el real, funcionando entre los mismos focos de temperatura.

Problemas propuestos 4.1 Una máquina térmica que opera en un ciclo reversible recibe energía de un depósito de calor a 1.500 °C y cede calor a un depósito a 40 °C. Calcular el cambio de entropía de los depósitos y del universo si por cada ciclo la máquina realiza un trabajo de 5.000 kJ. 4.2 Una máquina térmica que opera en un ciclo recibe calor de un depósito a 2.000 K y cede calor a un depósito a 300 K. Determina si la máquina es reversible, irreversible, o imposible para cada uno de los siguientes casos a. Q f = 50 J, W s = 1.500 J b. Q c = 2.000 J, Q f = 300 J c. Q c = 1.000 J, W s = 900 J 4.3 Dos refrigeradores refrigeradores reversibles están conectados conectados en serie. El primero toma calor de un depósito frío a T F y descarga calor a 10 °C. El se89


4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

90

gundo refrigerador absorbe el calor eliminado por el primero a 10 °C y descarga al medio ambiente que se encuentra a 25 °C. a. Si se desea que ambos refrigeradores tengan el mismo coeficiente de funcionamiento, ¿cuánto debe valer T F? b. Si se desea que ambos refrigeradores consuman la misma cantidad de trabajo, ¿cuánto debe valer T F? Dos máquinas térmicas térmicas que operan operan en ciclos ciclos de Carnot Carnot están colocolocadas en serie. La máquina A, recibe calor a 1.200°F y descarga a un depósito con una temperatura T. La máquina B, recibe el calor que descarga la primera y a su vez descarga calor a un depósito que está a 60 °F. Calcular la temperatura T para el caso en que a. Los trabajos de las dos máquinas máquinas sean iguales. b. Las eficiencias de las dos máquinas máquinas sean iguales. iguales. Durante mucho tiempo se ha propuesto generar potencia eléctrica aprovechando la diferencia de temperatura que se presenta en ciertas partes del mar. Si la máxima temperatura disponible cerca de la superficie del océano es de 30 °C y la mínima, cerca del fondo, es de 5 °C, ¿cuál es la eficiencia máxima que puede tener una máquina de esta naturaleza? Una persona asegura haber desarrollado desarrollado una máquina máquina térmica que aprovecha la diferencia de temperatura temperat ura que se da en el océano (30 °C y 5 °C) y dice que puede producir 100 kJ de trabajo a partir de 1.000 kJ de calor que se agreguen en cada ciclo. Verificar si puede ser verdad. Una máquina térmica reversib reversible le que toma energía de un depósito de alta temperatura TC y elimina calor a los alrededores a T O, se utiliza para operar un refrigerado refrigeradorr (también reversible). El refrigerador toma calor de un cuerpo frío a T F y elimina calor a los mismos alrededores a TO. Demostrar que el cociente del calor eliminado del cuerpo frío (Q F) y el calor proporcionado a la máquina térmica (Q C) se aproxima a TF /(To–TF) si TC es un valor mucho mayor que T O. Una máquina máquina térmica reversible intercambi intercambiaa calor con con tres depósitos depósitos y produce una cantidad de trabajo de 400 Btu. El depósito A tiene una temperatura de 800 °R y suministra 1.200 Btu a la máquina; si los depósitos B y C tienen temperaturas de 600 y 400 °R respectivame respectivamente. nte. ¿qué cantidad de calor en Btu intercambia cada uno con la máquina? ¿Cuál es la dirección de los intercambios de calor con respecto a la máquina? Si para hacer funcionar un refrigerador cuyo coeficiente de operación es 4, se emplea una máquina térmica con c on una eficiencia del 40%, ¿qué cantidad de calor se debe proveer a la máquina térmica por cada kilo joule que se sustrae del cuerpo frío mediante el refrigerador?


4.10 El arreglo mostrado en la figura 4.3 se puede utilizar para producir calor del proceso a alta temperatura. Si la eficiencia térmica de la máquina real es el 60% de la eficiencia de la máquina reversible y el coeficiente de funcionamiento real de la bomba de calor es el 60% del coeficiente de la bomba de calor reversible. Determinar la cantidad de calor que se requiere de la fuente a 373 K para producir cada unidad de calor a 425 K.

Figura 4.3 Obtención de calor mediante una fuente de baja temperatura,

para el problema 4.10

4.11 Para mantener un edificio a 22 °C se requiere suministrar 85.000 kJ/h de calor. Cuánta potencia requiere una bomba de calor de Carnot si absorbe calor de a. La atmósfera a –5 °C. b. Agua de un pozo a 8 °C. 4.12 Una máquina térmica recibe 250 kJ de calor reversiblemente de un depósito de calor a 1.200 K. Luego, mediante un proceso adiabático reversible de expansión se reduce la temperatura del sistema a 300 K. Posteriormente se transfieren en forma reversible 180 kJ de calor a un sumidero que se encuentra a 300 K. El ciclo se completa mediante un proceso adiabático de compresión. Determinar si la compresión adiabática es reversible, irreversible o imposible. 4.13 Se hace pasar una corriente eléctrica de 20 A por una resistencia de 50 ohmios que se mantiene a 100 °C. la energía disipada por la resistencia la recibe el aire de los alrededores, que permanece a 25 °C. Si el proceso transcurre durante 2 horas. ¿Cuánta entropía se produce (en kJ/kg K)? 4.14 Una máquina térmica y un refrigerador están conectados como se muestra en la figura 4.4. La máquina térmica tiene una eficiencia de solo el 81% de la eficiencia ideal y el refrigerador tiene ti ene un coeficiente de funcionamiento de solo el 86% del coeficiente de funcionamiento de un refrigerador ideal. Calcula: 91


a. El trabajo que sale de la máquina máquina térmica. térmica. b. El flujo de calor del depósito de alta temperatura hacia la máquina térmica. c. El flujo de calor y la temperatura de descarga del refrigerador.

Figura 4.4 Conexión entre una máquina térmica y un refrigerador, para el

problema 4.14

4.15 Se desea mantener refrigerado un depósito a –30 °C mediante la extracción de 1.500 kW de calor. Para esta operación se utiliza un refrigerador que descarga calor al ambiente (el cual está a 25 °C) y que tiene un coeficiente de funcionamiento de solo el 62% del coeficiente de funcionamiento del refrigerador ideal que opera entre las mismas temperaturas. El refrigerador recibe trabajo de una máquina térmica reversible que recibe calor de un depósito de alta temperatura y deposita 500 kW de calor al ambiente. Calcular: a. El flujo de calor descargado del refrigerador. b. El flujo de calor y la temperatura del depósito de alta temperatura hacia la máquina térmica. c. Si en lugar de una una máquina térmica térmica reversible se tiene una con una eficiencia del 71% de la eficiencia máxima, ¿cuál debe ser el flujo de calor de la fuente de alta temperatura hacia la máquina térmica?

92

5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras mediante diagramas y tablas En este texto solo se presentan procesos en los cuales la sustancia de trabajo es una sustancia sustanci a pura, es decir, decir, que tiene una composición química quí mica definida la cual no varía durante la transformación. Algunos ejemplos son: agua, dióxido de carbono, amoníaco, oxígeno y aire seco. En este último caso se considera como una sustancia pura porque siempre tendrá una composición fija de 21% de oxígeno y de 79% de nitrógeno. En el análisis de procesos es necesario determinar deter minar el estado termodinámico de las sustancias y esto se logra mediante el conocimiento de un cierto númer númeroo de propiedades. En este punto es indispensable conocer, en cada caso, cuál es el mínimo número de propiedades que determinan el estado termodinámico, esto se logra mediante la aplicación de la regla de las fases.

5.1 Reglas de las fases de Gibbs Esta regla establece que el número de propiedades intensivas independientes que deben especificarse arbitrariamente para fijar el estado termodinámico de un sistema en equilibrio se llama grados de libertad y es la diferencia entre el número total de variables que se tiene y el número de ecuaciones independientes que relacionan estas variables. J. W. Gibbs dedujo mediante racionamiento teórico la siguiente relación L=2–F+C–r (5.1) en la cual L es el número de grados de libertad, F es el número de fases en equilibrio, C es el número de componentes y r indica las restricciones (generalmente asociado al número de reacciones químicas presentes). Para el caso de una sustancia pura C = 1 y r = 0, luego L=3–F (5.2) De la ecuación 5.2 se puede deducir que para una sustancia pura el número máximo de fases que pueden coexistir en equilibrio es tres. En este caso no hay grados de libertad y las condicione condicioness son únicas.

5.2 Relaciones fundamentales para una sustancia pura De acuerdo con la regla de las fases el estado termodinámico de una sustancia pura en una fase queda determinado conociendo dos variables intensivas,


esto significa que cualquier propiedad puede evaluarse como una función de las dos propiedades conocidas. Esto es Z = f (X, Y) (5.3) En la cual X, Y, Z representan propiedades. En particular para las propiedades que ya se conocen u = f (T, v) s = f (u, P) (5.4) h = f (s, T) Estas relaciones definen estados esta dos de equilibrio y se conocen como ecuaciones de estado. Para una cantidad fija de una sustancia pura que experimenta un cambio de estado reversiblemente, el balance de energía en forma diferencial es du = δqneto – δ w neto y el balance de entropía es y reemplazando en el balance de energía du = T ds – δ w neto y con δ w de la ecuación 4.2 queda du = T ds – P dv (5.5) Además, por definición h = u + Pv y entonces dh = du + P dv + v dP por tanto dh = T ds + v dP (5.6) Aunque las ecuaciones 5.5 y 5.6 fueron deducidas para el caso de un proceso reversible, el resultado muestra una relación entre propiedades de estado, y por tanto son válidas también para procesos irreversibles y se pueden aplicar siempre que se requiera evaluar la variación de la energía interna o de la entalpía conociendo las variaciones de la entropía y el volumen o de la entropía y de la presión respectivamente. Se pueden definir otras propiedades útiles (como se verá más adelante), llamadas energía libre de Gibbs (G) y energía libre de Helmholtz (A), así g=h–Ts (5.7) a=u–Ts (5.8) y en forma diferencial dg = dh – T ds – s dT da = du – T ds – s dT reemplazando las ecuaciones 5.5 y 5.6 94

5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...

dg = v dP – s dT (5.9) da = –P dv – s dT (5.10) Las ecuaciones 5.5, 5.6, 5.9 y 5.10 se conocen como ecuaciones fundamentales de la termodinámica porque a partir de ellas se puede generar cualquier relación termodinám termodinámica. ica.

5.3 Superficie P-v-T y diagramas de propiedades Como se dijo anteriormente, la presión, el volumen y la temperatura son propiedades propied ades de medición directa y por tanto se pueden realizar una serie de experiencias que permiten establecer cómo están relacionadas estas propiedades en las distintas fases y en equilibrio entre ellas. Los L os resultados obtenidos se pueden representar en coordenadas rectangulares obteniendo lo que se conoce como superficie P-v-T. Las condiciones bajo las cuales dos o más fases de una sustancia pura pueden coexistir en equilibrio reciben el nombre de condiciones de saturación. En estos puntos la presión y la temperatura se conocen como presión de saturación y temperatura de saturación. Es importante recordar, de la regla de las fases, que al especificar la presión (o la temperatura) y la condición de saturación se determinan las otras propiedades intensivas de las fases involucradas. Cualquier fase de una sustancia que exista bajo estas condiciones se conoce como fase saturada. Por Por ejemplo, en el equilibrio de un líquido con vapor de una sustancia, a estas fases se les llama líquido saturado y vapor saturado respectivamente. Mucho más útiles que la superficie P-v-T en tres dimensiones son los diagramas bidimensionales que se pueden obtener como proyecciones de la superficie P-v-T sobre cada uno de los planos.

5.3.1 Diagrama presión temperatura (diagrama de fases) En este diagrama se pueden apreciar varias características de las sustancias puras (véase figura 5.1). Aunque para la mayoría de las sustancias la temperatura de congelación aumenta a medida que aumenta la presión, de forma que la curva de saturación sólido líquido (línea de fusión) tiene pendiente positiva, para el agua y otras para sustancias que se expanden al congelarse, el incremento en la presión disminuye la temperatura de congelación de modo que la línea de fusión tiene una pendiente negativa (véase figura 5.2). Para la mayoría de las sustancias hay cierta presión por debajo de la cual no puede existir el líquido. lí quido. Por Por debajo de esta presión las la s fases sólida y de vapor coexisten en equilibrio y la línea de saturación sólido vapor en un diagrama P-T se conoce como línea lí nea de sublimación. sublimac ión. Para todas las sustancias, sust ancias, a mayor ma yor presión, mayor es la temperatura de sublimación (o en otras palabras, la línea de sublimación siempre tiene pendiente positiva). 95


Figura 5.1 Diagrama de fase para una sustancia que se contrae al congelarse

Figura 5.2 Diagrama de fase de una sustancia que se expande al congelarse

La curva que sep separa ara la fase líquida de la fase vapor recibe el nombre de curva curv a de vaporización o curva del punto de ebullición. La pendiente de la curva de vaporización es positiva para todas las sustancias simples compresibles, compresibles, lo cual significa que la temperatura a la cual el líquido líq uido alcanza la ebullición aumenta al incrementarse la presión. El líquido que existe a una temperatura inferior a su temperatura de saturación (o a una presión superior a su presión de saturación) se conoce como líquido comprimido o líquido sub-enfriado; por consiguiente, todos los puntos de la región líquida que no están en la línea de saturación líquido vapor o sólido líquido, representan estados de líquido comprimido. De igual forma, un sólido a una temperatura menor que la temperatura 96


de saturación se llama sólido comprimido, y un vapor con una temperatura por encima de la temperatura de saturación se conoce como vapor sobrecalentado. El punto en el cual se interceptan las líneas de vaporización, de sublimación y de fusión representa las condiciones a las cuales las tres fases pueden coexistir en equilibrio y recibe el nombre de punto triple. Esta condición está representada por un punto solamente en el diagrama P-T, pero en otros diagramas de propiedades está representado por una línea o por un área. Si una sustancia puede existir en más de tres fases, tiene más de un punto triple.

5.3.2 Diagrama presión volumen específico Un diagrama P-v de una sustancia pura se muestra en la figura 5.3. De la misma manera que en el diagrama P-T, los estados sólido, líquido y vapor están representados represent ados por distintas distinta s regiones en un diagrama P-v. P-v. Sin embargo, a diferencia del diagrama P-T el equilibrio de dos fases está representado por un área y el equilibrio de tres fases está representado por una línea. En este diagrama se puede observar que a medida que aumenta la presión, el volumen específico del líquido saturado se incrementa y el del vapor saturado disminuye, de tal forma que al final de la línea de vaporización se hacen iguales y el líquido y el vapor no se pueden diferenciar entre sí. Este punto se conoce como punto crítico. A presiones y temperaturas mayores que la presión y la temperatura crítica las fases líquida y vapor no son distinguibles.

Figura 5.3 Diagrama presión volumen específico

97


El área bajo el domo formado por las líneas de líquido saturado y de vapor saturado representa mezclas de líquido y vapor y se conoce en ocasiones como la región de vapor húmedo (esta región se representa, en el diagrama P-T PT, como la línea de vaporización va porización entre en tre el punto triple tri ple y el punto crítico). crít ico). La línea a-b representa los estados de volumen específico mínimo para el sólido a diferentes presiones, o en otras palabras, el sólido no puede comprimirse más allá de esta línea. El área delimitada por los puntos a-b-c-d representa la región sólida y el área delimitada por los puntos c-d-e-f representa mezcla de sólido y líquido. lí quido. De acuerdo con la definición de las condiciones de saturación, el líquido a la temperatura de congelación (e-f) podría llamarse líquido saturado, pero esto puede producir confusión con la línea de líquido a temperatura de ebullición. Por tanto, la línea e-f se conoce como línea de líquido en congelación. Por debajo de la presión de tres fases no pueden existir líquidos, el área encerrada por los puntos a-c-e-g-h a-c-e-g- h representa mezclas de sólido y vapor (la línea a-c representa el sólido saturado y la línea g-h representa estados de vapor saturado). La línea c-e-g representa los estados en los que pueden coexistir las tres fases. Debido a la compresibilidad compresib ilidad menor del líquido, comparado compar ado con el vapor, la pendiente de las líneas de temperatura constante en la región del líquido es mucho mayor que las mismas líneas en la región del vapor (véase figura 5.4). Por otra parte, dado que la vaporización a temperatura constante se efectúa también a presión constante, una línea de temperatura constante dentro de la región de vapor húmedo constituye también una línea de presión constante.

Figura 5.4 Domo de vapor en un diagrama P-v con líneas de temperatura

constante

98


5.3.3 Diagrama temperatura volumen específico La figura 5.5 constituye un diagrama T-v donde se muestra la curva de saturación. El comportamiento de la sustancia en la región de líquido vapor es muy semejante al examinado en el diagrama P-v.

Figura 5.5 Diagrama T-v

El espaciamiento de las líneas de presión constante en la región del líquido es mucho más pequeño que q ue en la región de vapor v apor.. Por esta razón, un estado de líquido comprimido se puede aproximar como un estado de líquido saturado a la misma temperatura y se puede observar también que el cambio de volumen a temperatura constante, debido a un cambio de presión, es mucho mayor para un vapor que para un líquido. Esto es debido a que el vapor es mucho más compresible que el líquido.

5.3.4 Diagrama temperatura entropía Además de la superficie P-v-T y de sus proyecciones a cada uno de los planos, se pueden establecer diagramas de otras propiedades que son útiles en aplicaciones específicas de ingeniería. Uno de estos es el diagrama T-s (véase figura 5.6). Por lo general, en estos diagramas se indican las líneas de presión constante y las líneas de entalpía constante lo cual hace que este diagrama sea sumamente útil. Dado que, como se explicó antes, el área bajo la trayectoria que representa un proceso cuasi estático en un diagrama T-s constituye la cantidad de calor suministrada durante el proceso, en el caso de un ciclo reversible (formado por varios procesos reversibles), la transferencia de calor neta durante el ciclo está dada entonces por el área encerrada por los procesos y de acuerdo con el balance de energía, esta área representa también el trabajo neto desarrollado desarrolla do durante el ciclo. Es por esta razón que el diagrama T-s adquiere gran valor para el estudio de ciclos. 99


Figura 5.6 Esquema de un diagrama T-s para una sustancia pura

5.3.5 Diagrama entalpía entropía Un esquema de un diagrama h-s (también llamado diagrama de Mollier en honor a su creador) se muestra en la figura 5.7. Dado que el diagrama de Mollier contiene información información de utilidad para la mayoría de los análisis de ingeniería, su uso es bastante común. En especial, se facilita mucho el estudio de dispositivos tales como toberas, difusores, compresores, turbinas e intercambiadores de calor.

Figura 5.7 Diagrama h-s o diagrama de Mollier

5.3.6 Diagrama presión entalpía En la figura 5.8 se muestra un diagrama P-h. Este diagrama es de gran utilidad en el estudio de ciclos de refrigeración, ya que en él, varios de los procesos ideales que forman tales ciclos quedan representados por líneas rectas. Las líneas de temperatura constante en la región del líquido son prácticamente verticales dado que el efecto de la presión en la entalpía es despreciable para un líquido. En la región de vapor, las líneas de temperatura constante tienen una pendiente muy pronunciada, acercándose a la vertical 100


Figura 5.8 Domo de vapor en un diagrama P-h

en la región de baja presión. Esto se debe a que en un vapor a baja presión esta no afecta a la entalpía. (Este aspecto se estudiará con mayor detalle cuando se muestre el comportamiento de los gases ideales).

5.4 Calidad y humedad Como lo define la regla de las fases para una sustancia pura, si se establece una propiedad y la condición de saturación entonces las otras propiedades de las fases involucradas quedan determinadas. Pero las propiedades de la mezcla total no pueden ser especificadas a menos que se conozcan las cantidades de cada una de las fases presentes. En efecto, suponga que el volumen ocupado por el vapor saturado en una mezcla sea V g y que el volumen ocupado por el líquido saturado satur ado sea V f , entonces el volumen total de la mezcla está dado por V = V f + V g (5.11) y en términos de volúmenes específicos específicos V = Mf v f + Mg v g (5.12) en la cual Mf y M g son la masa del líquido saturado y del vapor saturado respectivamente. Es claro que se necesita conocer M f y Mg (además de v f y v g) para determinar el valor del volumen de la mezcla. La ecuación 5.12 se puede escribir como (5.13) en la cual v es el volumen específico de la mezcla y M es su masa. El cociente de la masa del vapor entre la masa total recibe el nombre de calidad de la mezcla x. 101


(5.14) combinando las ecuaciones ecuaciones 5.13 y 5.14 se obtiene v = v f (1 – x) + v g x (5.15a) o bien v = v f +( v g – v f ) x = v f + x v fg (5.15b) en la cual, v fg = v g – v f La relación entre la masa del líquido y la masa total se llama humedad de la mezcla (Y) (5.16) Un líquido saturado que no esté en presencia de vapor tiene entonces x = 0 y Y = 1. De igual manera, un vapor saturado sin presencia de líquido se caracteriza porque x = 1, Y = 0 (a esta condición se le llama en ocasiones vapor saturado seco). Se ve claramente entonces, que el valor mínimo de la calidad y de la humedad es cero. Los conceptos de calidad y humedad no tienen sentido por fuera de la región de equilibrio de fases líquido vapor. De forma similar a la ecuación 5.12 se pueden escribir las otras propiedades de una mezcla de dos fases de una sustancia pura U = Mf uf + Mg ug (5.17a) H = Mf hf + Mg hg (5.17b) S = Mf sf + Mg sg (5.17c) y en términos de la calidad u = uf (1 – x) + ug x = uf + ufg x (5.18a) h = hf (1 – x) + hg x = hf + hfg x (5.18b) s = sf (1 – x) + sg x = sf + sfg x

(5.18c)

Ejemplo 5.1

En un arreglo cilindro pistón se expanden adiabática y reversiblemente 10 kg de refrigerante R 134a desde una presión de 1 MPa hasta una presión de 0,2 MPa y una temperatura de 12 °C. ¿Cuál es la temperatura inicial del sistema y cuál el trabajo realizado por el refrigerante sobre el pistón y la atmósfera? Solución

Se trata de un proceso que ocurre en sistema cerrado sin experimentar cambios en su energía cinética y potencial. Luego el balance de masa es ∆M = M2 – M1 = 0 El balance de energía para esta situación es ∆U = M (u2 – u1) = – W s 102


Balance de entropía ∆S = M (s2 – s1) = 0 Con las condiciones del estado 2 P2 = 0,2 MPa y t2 = 12 °C. En el diagrama P-h del R 134a se pueden leer las otras propiedades: v 2 = 0,12 m3/kg, h2 = 262 kJ/kg, s2 = 1 kJ/kg K. Para calcular u2 se debe recordar que u2 = h2 – P2 v 2 = 262 – 200 × 0,12 = 238 kJ/kg como s2 = s1, entonces con s1 y P1 = 1 MPa queda determinado el estado 1 y se puede leer v 1 = 0,024 m3/kg, h1 = 298 kJ/kg, t 1 = 67 °C y calcular u 1 = h1 – P1 v 1 = 298 – 1.000 × 0,024 = 274 kJ/kg y del balance de energía W s = 10 kg (274 – 238) kJ/kg = 360 kJ La temperatura al comienzo de la expansión es de 67 °C y el trabajo hecho por el sistema es 360 kJ. Ejemplo 5.2

En la línea de una estación de bombeo de gas, el metano se comprime adiabáticamente desde 500 psia y 77 °F hasta 725 psia, a razón de 2,5 lbm/s. Calcular la potencia potenci a requerida en kW y la temperatura del metano a la salida sal ida del compresor, si el proceso es reversible. Solución

Limitando el volumen de control como se muestra en la figura 5.9, se trata de un sistema abierto que experimenta un proceso de compresión adiabático adiab ático en estado estable flujo estable.

Figura 5.9 Limitación del volumen de control, ejemplo 5.2

Las bases del análisis son: 1) que las variaciones de energía energía cinética y potencial de la masa que fluye pueden considerarse despreciables y 2) que el proceso es adiabático y reversible. El balance de masa es

103


Balance de energía:

he puede conocerse pues el estado termodinámico a la entrada está determinado con Pe = 500 psia y te = 77 °F. Para determinar determin ar hs es necesario determinar primero el estado termodinámico a la salida, del cual aparentemente aparentement e se conoce una propiedad, la presión Ps = 725 psia. Un balance de entropía para ese sistema es luego Se = Ss Se tiene entonces la otra propiedad s s que define completamente el estado. Con ayuda del diagrama P-h para el metano con Pe = 500 psia y te = 77 °F se lee he = 390 Btu/lbm y s e = 1.23 Btu/lbm °R con ss = 1.23 Btu/lbm °R y Ps = 725 psia: hs = 418 Btu/lbm y ts = 120 °F = 48,9 °C. La potencia requerida es de 70,38 kW y la temperatura con la cual sale el metano del compresor es 48,9 °C. Ejemplo 5.3

Un recipiente rígido cuyo volumen es de 0,5 m 3 contiene 80% en volumen de agua líquida y 20% en volumen de vapor a 200 °C. En esas condiciones se bombea agua de tal modo que se introducen al recipiente 140 kg. Si la temperatura final fin al del fluido en el recipiente es de 80 °C, ¿cuál es la presión final en kPa? Solución

Si se selecciona como volumen de control las paredes del tanque rígido como se aprecia en la figura 5.10, se trata de un sistema abierto, sometido a un proceso de llenado.

Figura 5.10 Volumen de control para el ejemplo 5.3

Para determinar la presión final es necesario, conocer el estado termodinámico mediante dos propiedades intensivas independientes que son la temperatura y el volumen específico que puede calcularse a partir de la información suministrada. 104


Temperatura final del agua dentro del recipiente tf = 80 °C. Volumen específico final del agua para conocer la masa final, se hace un balance de masa Mf – Mi = Me, Mf = Mi + Me además se sabe que Mi v i = V recipiente v i se puede conocer, se trata de una mezcla líquido vapor con calidad

V líquido = 0,8 V recipiente = 0,8 × 0,5 m3 = 0,4 m3 V vapor = 0,2 V recipiente = 0,2 × 0,5 m3 = 0,1 m3 a 200 °C en el diagrama T-s para el agua v f = 2 cm3/g = 2 × 10–3 m3/kg v g = 140 cm3/g = 14 × 10–2 m3/kg Con esto se obtiene x = 0,0036 v i = (1 – x) v f + v g x = 2,5 × 10–3 m3/kg Mi = 200 kg Entonces Mf = 200 + 140 = 340 kg v final = 0,5/340 = 1,47 × 10–3 m3/kg con tf = 80 °C y v final = 1,47 × 10–3 m3/kg en el diagrama dia grama T-s T-s se puede ver v er que P es la presión de saturación: 0,5 bar.

5.5 Tablas de propiedades La misma información que reportan los diagramas se puede obtener en forma de tablas de datos. Tanto los diagramas como las tablas de propiedades se construyen a partir de una serie de mediciones experimentales de las variables de medición directa y la ayuda de relaciones entre propiedades (como las ecuaciones 5.5 a 5.10). Debido a que los datos experime experimentales ntales son (en general) escasos, se pueden generar valores para otros estados termodinámicos por medio de interpolaciones con la ayuda de métodos numéricos apropiados. apropiados . La ventaja de las tablas frente a los diagramas es su precisión a costa de un mayor consumo de tiempo para obtener la información. El valor reportado para aquellas propiedades que no se pueden medir en forma directa se obtiene 105


escogiendo un estado de referencia referencia arbitrario para el cual se asigna un valor de cero (generalmente a la energía interna y a la entropía). ent ropía). Por esto, se debe tener cuidado de no mezclar datos de una sustancia obtenidos de distintas fuentes. A diferencia de los diagramas, donde toda la información aparece en ellos, en las tablas la información se muestra sectorizada. — Tabla de saturación: donde aparecen reportadas la temperatura y la presión de saturación, el valor de las propiedades específicas del líquido saturado (subíndice f) y las del vapor saturado (subíndice g). Esta tabla reporta valores entre el punto triple y el punto crítico. Teniendo en cuenta que en equilibrio de fases la temperatura y la presión son dependientes entre sí, esta tabla puede presentarse teniendo la temperatura o la presión como argumento. — Tablas de vapor sobrecalentado y líquido comprimido: de acuerdo con la regla de las fases, en esta zona se requiere del conocimiento de dos propiedades independientes entre sí, es por eso que estas tablas son de dos argumentos (temperatura y presión). Conviene recordar que las propiedades del líquido comprimido cambian muy poco con la presión. Solo para altas presiones. A bajas presiones las propiedades se pueden calcular de manera aproximada, suponiéndolas iguales a los valores correspondientes correspond ientes de la saturación a la misma temperatura. temperatura. Puesto que la información en las tablas de datos se encuentra dividida por fases, es necesario determinar la fase en que se encuentra una sustancia para así utilizar la tabla apropiada. Para esto se presentan generalmente dos casos: 1. Se conocen la temperatura y la presión. a. En la tabla de saturación se lee la presión de saturación (P sat) a la temperatura conocida, conocida, y si Pconocida>Psat ⇒ Líquido comprimido Pconocida=Psat ⇒ Líquido + vapor Pconocida Tsat ⇒ Vapor sobrecalentado 2. Se conocen la temperatura (o la presión) y una propiedad intensiva π (u, h, v, o s). En la tabla de saturación a la temperatura (o presión) conocida se lee πf y πg (aquí π representa a cualquiera de las propiedades u, h, v, o s) y si π < πf ⇒ Líquido comprimido π = πf ⇒ Líquido saturado 106


πg > π > πf ⇒ Líquido + vapor π = πg ⇒ Vapor saturado π > πg ⇒ Vapor sobrecalentado

5.5.1 Interpolación de propiedades tabuladas Muy a menudo, en la solución de problemas, se requiere hacer interpolaciones entre valores tabulados con c on el fin de obtener el valor de las propiedades para condiciones que no aparecen en la tabla de datos. Si los incrementos en variables independientes (temperatura y presión generalmente) son pequeños, se puede emplear la interpolación lineal para obtener datos aceptables (como en el ejemplo 4.9), es decir, si x es la propiedad que se quiere determinar, entonces (5.19) En la cual los subíndices 1 y 2 representan dos datos consecutivos de la tabla de datos. Para los casos en los cuales los intervalos no son lo suficientemente pequeños (como en algunas tablas de vapor sobrecalentado), el cálculo de algunas propiedades (en especial el volumen y la entropía) no arroja buenos resultados si se realiza mediante una interpolación lineal. Para el caso del volumen, se sabe que este es inversamente proporcional a la presión y por tanto, una expresión de interpolación que da mejores resultados que la ecuación 5.19 es (5.20) Para el caso de la entropía las expresiones de interpolación que dan mejores resultados son (5.21) (5.22) Ejemplo 5.4

En un arreglo cilindro pistón se comprimen 50 kg de amoniaco en forma isotérmica. Al principio de la compresión el amoniaco está a 18 °C y 250 kPaa y la presión kP presi ón al final es de 1.200 kPa. Para Para la compresión compres ión se necesitaron neces itaron 18,5 MJ de trabajo mecánico. Calcular la transferencia de calor y el trabajo perdido durante el proceso. Solución

Si se escoge como sistema el amoniaco atrapado en el arreglo cilindro pistón, entonces se pueden escribir los balances de la siguiente manera. 107


Balance de masa ∆Msist = 0; Me = 0; Ms = 0 Balance de energía ∆U = M (uf – ui) = W e – Q s Balance de entropía

e integrando M T (sf –si) = Lw – Q s Para calcular el trabajo tra bajo perdido se debe determinar primero pri mero el trabajo que se hubiera requerido si el proceso se realiza en forma reversible entre los mismos estados inicial y final. Balance de energía del proceso reversible M (uf – ui) = W e, rev – Q s, rev Balance de entropía del proceso reversible M T (sf –si) = – Q s, rev Se requiere conocer entonces el cambio camb io en la energía interna y la entropía durante la compresión y se requiere primero que todo establecer la fase en la que está el amoniaco en las condiciones inicial in icial y final. Para la condición inicial (de la tabla de saturación) ti = 18 °C ⇒ Psat = 803,66 kPa por tanto se trata de un vapor sobrecalentado. De la misma manera, se puede establecer que al final el amoniaco es un líquido comprimido. Las propiedades al comienzo de la compresión se pueden encontrar en la tabla de vapor sobrecalentado del amoniaco (mediante interpolaciones) v i = 0,5525 m3/kg, hi = 1.503,0 kJ/kg, si = 5,8043 kJ/kg K y se puede calcular ui = 1.503 – 250 × 0,5525 = 1.364,9 kJ/kg. Las propiedades al final de la compresión se pueden evaluar como aproximadamente iguales a las del líquido saturado a 18 °C. v f = 0,001631 m3/kg, hf = 265,4 kJ/kg, sf = 1,0112 kJ/kg k J/kg K y, uf = 265,4 – 1.200 × 0,001631 = 263,4 kJ/kg. Se puede obtener Q s, rev = M T (si –sf ) = 50 × 291,15 (5,8043 – 1,0112) = 69,77 MJ W e, rev = Q s, rev + M (uf – ui) = 69.770 + 50 (263,4 – 1.364,9) = 14.695 kJ por tanto Lw = W total – W rev = 3.805 MJ y la transferencia de calor del proceso no reversible se calcula así Q s, no rev = Q rev + Lw = 69,77 + 3.805 = 73,58 MJ 108


Figura 5.11 Volumen de control para el ejemplo 5.5 Ejemplo 5.5

A una válvula de expansión fluyen 6 kg/s de freón-12 a 20 °C y 0,8 MPa y salen a presión atmosférica. Calcular la temperatura y la densidad del freón–12 a la salida de la válvula. Solución

En forma esquemática el proceso se puede representar como se indica en la figura 5.11. Para este caso de sistema abierto en estado estable y suponiendo que los cambios en energía cinética y potencial no son apreciables, entonces Balance de masa Balance de energía. Como se explicó en el ejemplo 3.11 si se considera que el flujo es lo suficientemente rápido y puesto que no se mueve ningún eje, ni los límites del sistema

Balance de entropía. Al igual que en el ejemplo 3.11 Las propiedades de salida se pueden conocer con P s = 0,1 MPa y he = hs. Por otra parte, de la tabla de saturación del freón–12 se obtiene que a 20 °C Psat = 0,5673 MPa o sea que a la entrada se trata de un líquido comprimido y he ≈ hf = 54.828 kJ/kg. Con estos datos se puede establecer que a la salida de la válvula P s = 0,1 MPa y hs = 54.828 kJ/kg y de la tabla de saturación se puede leer t = –30 °C y h f = 8.854 kJ/kg y h g = 174.076 kJ/kg (hg > hs > hf ). En este punto se puede decir que a la salida el freón-12 es una mezcla de líquido vapor con una temperatura de –30 °C. Para calcular la densidad de salida es necesario necesar io conocer primero la calidad en ese punto con este valor y tomando de la tabla de saturación v f = 6,72 × 10–4 m3/kg 3 3 y v fg fg = 0,158703 m /kg entonces v = v f + v fg x = 0,0451 m /kg y ρ = 1/v = 22,17 kg/m3. 109


5.6 Capacidad calorífica Es una propiedad termodinámica de gran utilidad utili dad cuando se quieren conocer la energía interna u o la entalpía h de las sustancias simples. Recordando que una propiedad cualquiera de una sustancia pura en una fase es función de dos propiedades intensivas independientes; u = u (T, v) y h = h (T, P), se puede escribir la diferencial total para cada una de las propiedades anteriores (5.23) (5.24) En este punto se pueden definir dos nuevas propiedades termodinámicas (5.25) en la cual C v se llama capacidad calorífica a volumen constante y (5.26) donde CP es la capacidad calorífica a presión constante. Las unidades de C v y CP serán unidades de energía por unidad de masa y diferencia de temperatura y se trata de cantidades específicas. También se puede hacer referencia a las capacidades caloríficas por cantidad molar de sustancia y en ese caso se representa con los simbolismos y y las unidades serán energía sobre cantidad de sustancia en moles y diferencia de temperatura. Cuando se tienen dos o tres fases en equilibrio para una sustancia pura P y T no son propiedades independientes y entonces enton ces no pueden evaluarse C v y CP.. Para sustancias puras en fase sólida o líquida la variación de las propiedades por variación de volumen o presión es menos significativa que por variación de la temperatura, entonces C v = CP = C y es solo función de temperatura. Dado que la capacidad calorífica es una propiedad termodinámica, es por tanto función de dos propiedades intensivas independientes. En fase gaseosa gaseos a se acostumbra representarla como función de T y P. Físicamente esta propiedad representa la cantidad de energía que es necesario suministrar o retirar a una cantidad determinada de sustancia para variar en un grado su temperatura. A esta cantidad de energía se le denominaba antiguamente “calor sensible”, porque se pensaba que esa energía solo podía suministrarse o retirarse en forma de calor, lo cual no es cierto porque también puede ser en forma de trabajo; el término sensible se refiere a que ese intercambio de energía causa un sensible efecto en la temperatura. 110


En condiciones de saturación cualquier suministro de energía a presión constante produce un cambio de fase sin cambiar la temperatura, es por eso que a esta energía se le llamaba “calor latente” dando la idea de que el efecto quedaba oculto. Ejemplo 5.6

Un tanque de calentamiento se alimenta continuamente con hielo picado a –10 °C y 100 kPa. Si se desea obtener vapor a 200 °C y la misma presión, calcular la cantidad de calor que se debe suministrar al agua. Adicionalmente se sabe que la capacidad calorífica del agua sólida es 2,03 J/gK, que la capacidad calorífica del agua líquida es C L = 4,19 J/gK y que el calor latente de fusión del agua es 335 J/g. Solución

Los balances de masa y de energía para este sistema abierto en estado estable son (considerando cambios insignificantes en la energía cinética y potencial). Me = Ms 0 = M (he – hs) + Q e y por tanto qe = hs – he = h vapor – hhielo = ∆h Se puede entonces conocer la cantidad de calor necesaria si se conoce el cambio de entalpía de todo el proceso, para lo cual este se debe dividir en varias etapas: a. Suministro de calor para pasar de hielo a –10 °C hasta hielo a 0 °C. b. Suministro de energía para el cambio de fase (hasta líquido a 0 °C). c. Aumento de la temperatura del líquido desde 0 °C hasta la temperatura de saturación a 100 kPa (99,63 °C). d. Cambio de líquido saturado hasta vapor saturado a 100 kPa y 99,63 °C. e. Aumento de la temperatura del vapor desde 99,63 °C hasta 200 °C. O sea que qe = ∆ha + ∆hb + ∆hc + ∆hd + ∆he donde los subíndices representan cada una de las etapas. La primera etapa se puede calcular utilizando la ecuación 5.24 que para un proceso a presión constante se puede escribir como dh= CP dT y en forma integrada con la capacidad calorífica del sólido constante ∆ha = C (T2 – T1) = 2,03 × (0 + 10) = 20,3 J/g La etapa b es el cambio de entalpía para el cambio de fase y es conocido como el calor latente de fusión ∆hb = ∆hfusión = 335 J/g 111


La parte c se puede calcular utilizando dh= C P dT con la capacidad calorífica del líquido constante ∆hc = CL (Tsat – Tcongelación) = 4,19 × (99,63 – 0) = 417,4 J/g El cambio de entalpía del proceso d es el calor latente de vaporización vapori zación que se puede encontrar en la tabla de saturación del agua a 100 kPa ∆hd = hg – hf = hfg = 2.258 J/g Por último, la etapa e se puede hallar de las tablas del vapor de agua sobrecalentado que a 100 kPa ∆h e = h200 °C – hsat = 2.875,3 – 2.675,5 = 199,8 J/g. En conclusión, la cantidad de calor necesaria para llevar a cabo el proceso es qe = 20,3 + 335 + 417,4 + 2.258 + 199,8 = 3.230,5 J/g.

Problemas propuestos 5.1 Se tiene agua en un sistema cerrado a 300 °C con un volumen específico de 0,015 m3/kg y se expande reversiblemente a presión constante hasta que v f = 2 v i. a. Hacer un esquema del proceso en el diagrama T-s. b. Calcular la temperatura final. c. Calcular el trabajo y el calor involucrados en el proceso. 5.2 Agua con una calidad de 0,5 se expande reversiblemente a temperatura constante de 200 °C en un arreglo cilindro pistón hasta que su volumen sea 4,67 veces el volumen inicial. a. Hacer un esquema del proceso en los diagramas P-v, P-T y T-s. b. Calcular el trabajo y el calor para realizar el proceso. 5.3 Encontrar los valores de entalpía específica del agua para los siguientes estados: a. P = 0,2 MPa, x = 1. b. P = 0,2 MPa, x = 0,59. c. P = 2,0 MPa, u = 2.900 kJ/kg. d. P = 25 MPa, t = 100 °C. e. P = 25 MPa, t = 110 °C. f. P = 0,1 MP MPa, a, t = 25 °C. 5.4 Determinar la energ energía ía interna del freón–12 para cada uno de los siguientes casos: a. t = –5 °C, P = 50 kPa. b. t = 25 °C, s = 0,5 kJ/kg K. c. P = 1,0 MPa, h = 220 kJ/kg. 112


5.5 Determinar, para cada uno de los siguientes casos, la densidad del amoníaco: a. t = –40 °C, P = 98 kPa. b. P = 300 kPa, h = 1.290 kJ/kg. c. P = 240 kPa, s = 6.230 kJ/kg K. 5.6 Por un ciclo reversible de cuatro etapas fluye freón–12 de la siguiente manera: freón–12 a –80 °C y una calidad desconocida se hace pasar por un evaporador hasta obtener una calidad de 0,9, luego el freón se comprime en forma adiabática reversible hasta vapor saturado. En una tercera etapa el freón se condensa hasta líquido saturado. Por último, se expande en forma adiabática reversible hasta llegar al estado inicial. a. Hacer un esquema del ciclo en un diagrama T-s. b. Calcular la temperatura, la calidad y la entropía en cada punto del ciclo. c. Calcular la transferencia transferencia de calor en el evaporador y en el condensador. d. Calcular el trabajo del proceso y el coeficiente de funcionamiento del refrigerador. 5.7 Una máquina térmica que utiliza agua como fluido de trabajo opera como sigue: el líquido saturado recibe calor a 310 °C hasta alcanzar vapor saturado. Luego el agua sufre una expansión adiabática reversible hasta que la calidad sea del 80%. Luego de lo cual, el agua cede calor hasta alcanzar alcanz ar el valor de entropía del estado inicial. inici al. Por Por último, el agua se comprime a entropía constante hasta alcanzar nuevamente nueva mente el estado inicial. a. Hacer un esquema del proceso en el diagrama T-s. b. Calcular Q C, Q F, W neto y η de la máquina térmica. 5.8 Un compresor enfriado por agua cambia el estado del freón–12 desde vapor saturado a 1 bar hasta una presión de 8 bar y 62 °C. El flujo másico de freón–12 al compresor es de 0,9 kg/min y el agua de enfriamiento absorbe calor a razón de 140 kJ/min. Calcular: a. La potencia que debe ser suministrada en el compresor. b. Si la velocidad del freón-12 no debe cambiar entre la entrada y la salida del compresor, ¿cuál debe ser la relación entre los diámetros diámet ros de la tubería de salida y tubería de entrada (d s/de)? c. Si el agua de enfriamiento disponible está a 25 °C y 85 kPa kPa y debe salir de la camisa de refrigeración como vapor saturado a la misma presión, calcular el flujo másico y el caudal de agua que se necesita. d. Calcular el costo por hora de operación del compresor teniendo en cuenta que un kWh de energía eléctrica cuesta $50 y un metro cúbico de agua cuesta $540. 113


e. ¿Cuál es la eficiencia del compresor si se le compara con un compresor adiabático reversible que opera entre las mismas condiciones de entrada y la misma presión de salida? 5.9 Amoniaco a 250 kPa kPa y 10 °C fluye por una tubería que está conectada, por medio de una válvula, con un tanque vacío. La válvula v álvula se abre y el tanque se llena hasta que la presión alcanza 250 kPa. kPa. En ese momento la válvula se cierra. Si el proceso es adiabático adiabá tico y se pueden despreciar los cambios en la energía cinética y potencial, calcular la temperatura final del amoniaco dentro del tanque. 5.10 Un cilindro con pistón contiene 10 kg de nitrógeno a 0,5 MPa MPa y –163 °C. El pistón se desplaza de tal manera que comprime el nitrógeno a temperatura constante hasta obtener nitrógeno líquido saturado y retirando 2.200 kJ de calor. Calcular: a. El trabajo necesario para la compresión. b. La eficiencia de la compresión si se compara con una compresión isotérmica reversible entre los mismos estados. 5.11 Se desea comprimir amoniaco de –18 °C y con una calidad del 85% hasta 500 kPa y 60 °C. Para Para realizar este est e proceso se utilizan un evaporador y un compresor acoplados en serie. El calentador descarga amoniaco como vapor saturado a una velocidad de 15 m/s a través de una tubería de 10 cm2 de área de sección transversal. El compresor es adiabático y descarga desca rga el amoniaco a través de un área de sección transversal de 3,65 cm 2. El flujo es estable y se puede despreciar el cambio en la energía cinética en el evaporador pero no en el compresor. compresor. Calcular: a. El flujo másico y la velocidad de descarga del compresor. b. El flujo de calor de todo el proceso. c. El trabajo necesario para la compresión. d. La eficiencia de la compresión y la temperatura de salida si se utiliza un compresor adiabático reversible. e. Si en lugar de un evaporador y un compresor en serie se pudiera utilizar un solo compresor ideal. ¿Cuál sería el trabajo hecho en ese compresor hipotético? 5.12 En una planta de refrigeración el amoniaco líquido entra a la válvula de expansión a 200 psi y 80 °F. La presión a la salida de la válvula es de 40 psi y los cambios en la energía cinética son despreciables. a. Mostrar el proceso en un diagrama T-s. b. Calcular el incremento en la entropía por kilogramo de amoniaco. 5.13 Una turbina recibe vapor de agua a 7,04 kgf/cm 2 y 260 °C. El vapor sale a 0,141 kgf/cm2. El trabajo medido en la salida es de 95,5 kcal/ kg de vapor. Hallar la eficiencia de la turbina si se compara con una turbina adiabática reversible. 114


5.14 Entra vapor de agua a una tobera adiabática a 10 bar y 200 °C con una velocidad de 20 m/s. Las condiciones de salida son 7 bar y 180 °C. Determinar la relación entre los diámetros de tubería de entrada y de salida. (de/ds). 5.15 Se hace pasar agua por un estrangulamiento de tal manera que el agua entra a 40 bar y sale a 0,35 bar y 120 °C. a. Calcular la calidad del vapor que entra al dispositivo de estrangulación. b. Si las velocidades de entrada y de salida son prácticamente iguales, iguales, calcular la relación entre área de salida y área de entrada al dispositivo de estrangulación estrangulación.. 5.16 Un bloque de 1 lbm de aluminio a 200 °C se pone en contacto con un bloque de 2 lbm de cobre a 1.000 °C y se les aísla del ambiente, permitiendo que lleguen en forma reversible reversib le a un equilibrio térmico. Si para el aluminio C P = 4,8 + 0,00322 T y para el cobre C P = 5,44 + 0,01462 T ( con CP en cal/mol K y T en kelvin), calcular: a. La L a temperatura final de los bloques. b. El cambio de entropía de cada bloque. 5.17 En un sistema cerrado hay vapor de agua a 16 bar con una densidad de 5,7287 kg/m3. Durante el proceso proceso se realiza un trabajo de de 100 kJ/kg de vav apor por medio de una rueda de paletas dentro del tanque y se transfieren 12,7 kJ/kg de calor a los alrededores de tal manera que la temperatura permanece constante. Calcular la presión final en el tanque 5.18 Si se considera que el refrigerante más apropiado es aquel que muestra una mayor caída de temperatura para una caída de presión dada en una estrangulación, escoger el mejor refrigerante entre freón–134a, freón–12 y amoniaco si se tiene una caída de presión de 0,5 MPa a través de una válvula aislada y la temperatura de entrada a la válvula es de 25 °C (Considere que las sustancias a la entrada están como líquido saturado y que los cambios en la energía cinética y potencial son despreciables despreciables)) 5.19 Utiliza Utilizando ndo los datos de tablas de propiedades para el oxígeno y la definición , determinar de manera aproxima aproximada da la capacidad calorífica a presión constante para el oxígeno en los siguientes estados: a. 101.325 kPa y 180 K. b. 101.325 kPa y 300 K. c. 10 MPa y 180 K. d. 10 MPa y 300 K. 5.20 La presión de saturación (presión de vapor) del agua para una temperatura dada se puede determinar con gran precisión en el intervalo de temperaturas de 0 °C a 200 °C mediante la siguiente expresión 115


en la cual T está en kelvin y P sat es la presión de vapor en atmósferas. Escribir un programa de computadora con esta expresión para calcular la presión de vapor (hasta tres cifras decimales) en kPa, desde 10 °C hasta 200 °C con incrementos de 10 °C y que calcule los porcentajes de desviación con respecto a los datos de las tablas.

116

6. Cálculo de las propiedades de los gases ideales Como se vio anteriormente, se puede expresar una propiedad para una sustancia pura en función funci ón de otras dos. Para regiones donde existe una fase simple, la l a relación relaci ón entre P, v y T puede expresarse como f (P ( P, v, T) = 0. 0 . Esta relación es conocida como ecuación de estado y permite encontrar una de las propiedades en función de las otras dos, por ejemplo v = v (P,T) y (6.1) En esta ecuación las derivadas parciales tienen un significado significa do determinado y pueden medirse experimentalmente. La ecuación 6.1 se puede transformar transformar si se definen (6.2) en la cual β es el coeficiente de expansión térmica (6.3) siendo k el coeficiente de compresibilidad isotérmica. En consecuenc consecuencia ia (6.4) Esta ecuación constituye una ecuación de estado. De entre todas las fases, la gaseosa permite una descripción cuantitativa relativamente sencilla y en especial aquellos gases que son llamados ideales se pueden modelar mediante relaciones simples. En este capítulo se presenta el cálculo de las propiedades y algunos procesos con gases ideales.

6.1 Propiedades de los gases ideales Los gases que se encuentran a bajas presiones y altas temperaturas (puede considerarsee que cumplen esta condición las sustancias que se encuentran a considerars presiones por debajo de dos atmósferas y temperaturas inferiores a dos veces


Tc o a presiones por encima de dos atmósferas y temperaturas superiores a dos veces la Tc, o sea, que se encuentren alejadas alejadas de las condiciones de saturación), se pueden modelar como sustancias que tienen el siguiente comportamiento: — El volumen de las partículas se considera despreciable con respecto al volumen del recipiente que contiene al gas debido a que la distancia entre ellas es apreciable. — Las colisiones de las partículas son elásticas entre sí y con las paredes del recipiente. — No hay atracción o repulsión interna. A estos gases se les denomina gases ideales.

6.1.1 Relaciones P-v-T para gases ideales En 1662 Boyle realizó las primeras medidas cuantitativas del comportamiento P-v de una cantidad fija de un gas a una temperatura constante y encontró que el volumen y la presión están relacionados inversamente , o sea que P v)T = constante La representación de esta relación en un diagrama P-v (véase figura 6.1) correspondee a una hipérbola equilátera en la cual cada una de las curvas correspond es una isoterma y T 1 < T2 < T3.

Figura 6.1 Experimento de Boyle: relación entre presión y volumen a tempe-

ratura constante

118

6. Propiedades de los gases ideales

Por tanto (6.5) En 1687 Charles y Gay Lussac cada ca da uno trabajando independiente del otro, estudiaron el comportamiento comportamiento de una cantidad fija de gas a una presión baja que permanecía constante consta nte y encontraron que la temperatura y el volumen tienen una relación directamente proporcional (6.6) Reemplazando las ecuaciones 6.5 y 6.6 en la ecuación 6.1 se obtiene Integrando Ln v = Ln T − Ln P + Ln R donde R es la constante de integración. Luego vP=RT (6.7a) Si se considera que la cantidad fija de gas es una mole, entonces se trata no de volumen específico sino de volumen molar entonces (6.7b) Se puede determinar  R si se considera que cuando T = T 0 = 273,15 K y P = P0 = 1 atm, entonces V 0 = 22,415 × 10−3 m3 y (del principio de Avogadro); en consecuencia:

se conoce con el nombre de constante universal de los gases. Las ecuaciones 6.7a y 6.7b, representan distintas formas de la ecuación de estado del gas ideal y de ellas se puede deducir que (6.8) = R × PM donde PM es el peso molecular del gas y R es la constante particular del gas. Otras formas de expresar la ecuación de gas ideal son PV=MRT PV=N T en las cuales M y N representan la cantidad de masa y el número de moles respectivamente. La ecuación de estado de gas ideal también puede obtenerse a partir de la mecánica cuántica. 119


6.2.2 Relaciones para calcular energía interna (u), (u), entalpía (h) y entropía (s) de gases ideales De acuerdo con la regla de las fases, la energía interna de una sustancia pura se puede escribir como una función de presión y temperatura. La dependencia de la presión se debe a la existencia de fuerzas intermoleculares y si la sustancia se comporta como gas ideal estas fuerzas no existen y no se requiere ninguna energía para alterar la distancia distanci a molecular promedio y por consiguiente tampoco para producir cambios en el volumen y la presión de un gas a temperatura constante. De esto se concluye que la energía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura temperatur a y por tanto la ecuación 6.25 puede escribirse como y du = C v dT

(6.9)

como h = u + Pv y para gases ideales Pv = RT entonces h = u + RT. Por tanto, la entalpía de gases ideales también depende solo de la temperatura y la ecuación 6.26 puede escribirse y dh = Cp dT

(6.10)

Por otra parte, dh = du + R dT y entonces C p dT = C v dT + R dT y por tanto Cp = C v + R

(6.11)

Para calcular la variación de entropía se tienen dos relaciones obtenidas a partir de las ecuaciones 6.5 y 6.6. De la ecuación 6.5 y reemplazando du de acuerdo con la ecuación 6.9 y P/T por R/v entonces (6.12) de la misma manera, de la ecuación 6.6 se obtiene (6.13) Para integrar las ecuaciones 6.9 a 6.13 es necesario necesa rio tener en cuenta que las capacidades caloríficas son función de la temperatura y por tanto se debe conocer la expresión de la función para hacer una integración analítica. En general, si el cambio de temperatura tempera tura no es de gran magnitud, se puede 120


hacer un cálculo aproximado de las integrales considerando que C p y C v son constantes en el intervalo de temperatura de interés. Ejemplo 6.1

Un recipiente cerrado, rígido y aislado está ocupado por un gas ideal que tiene una masa molecular de 46 kg/kmol. El gas, que inicialmente se encuentra a 50 kPa y 25 °C, recibe trabajo de un motor externo a través de un impulsor montado dentro del recipiente hasta que la presión es de 100 kP kPa. a. Se conoce también que para este gas C p = 0,84 + 0,0075 T con Cp en kJ/kg K y T en kelvin. Calcular la temperatura final del gas y el trabajo realizado sobre él. Solución

Se trata de un sistema cerrado en un proceso a volumen constante. En este caso los balances de masa y energía son dusist = δ w e pero en procesos a volumen constante du = dh − v dP y por tanto w e = ∆h − v ∆P Para calcular ∆h es necesario conocer la temperatura final, que para un gas ideal en un proceso a volumen constante es y por tanto por otra parte y el trabajo realizado sobre el gas resulta w e = 1.250,5 − 53,89 = 1.196,61 kJ/kg

6.2 Datos tabulados de propiedades de gases ideales Teniendo en cuenta el comportamiento particular de los gases ideales (para los cuales la energía interna y la entalpía son s on solo función de la temperatura) y utilizando relaciones termodinámicas apropiadas se pueden presentar las propiedades propied ades termodinámicas termodinámicas de estos gases en forma de tablas de datos. Esto es útil, por ejemplo, en el caso del aire seco a bajas presiones (en las 121


cuales se puede considerar un gas ideal) por ser esa una sustancia de uso común en procesos químicos. Evidentemente no es necesario tabular la información de las propiedades P-v-T P-vT de gases ideales puesto pu esto que estas propiedades propie dades están relacionadas relac ionadas por medio de la ecuación de estado.

6.2.1 Tabulación de la energía interna, la entalpía y la entropía de gases ideales Las tablas de estas propiedades para gases ideales se construyen con respecto a un estado de referencia Tref y Pref al cual se le asigna arbitrariamente y por tanto se cumple que h ref ≈ 0 Se puede calcular entonces la energía interna y la entalpía de un gas ideal con respecto al estado de referencia escogido por medio de las ecuaciones 6.9 y 6.10

Si se conocen C p y C v en función de la temperatura se pueden evaluar las integrales del lado derecho de las ecuaciones anteriores y se puede por tanto tabular u y h utilizando la temperatura como argumento. De la ecuación 6.13 se puede obtener el cambio de entropía entre dos estados para un gas ideal la cual se puede escribir también como (6.14) y si se define la propiedad s°

Es evidente que s° es solo función de la temperatura y se puede entonces tabular junto a la energía interna y la entalpía. La ecuación 6.14 se puede escribir como (6.15) De esta manera se puede evaluar el cambio de entropía empleando la tabla tab la (para encontrar s°) y la ecuación 6.15. 122


6.2.2 Presión relativa y volumen relativo De la ecuación 6.15 para un gas ideal que efectúa un cambio de estado isentrópico o bien (6.16) se puede definir presión relativa mediante (6.17) como s° es solo función de la temperatura, P r es función únicamente de la temperatura y se puede tabular. Combinando las ecuaciones 6.16 y 6.17 se obtiene para un proceso isentrópico o sea que (6.18) en la cual Pr2 corresponde a T 2 y Pr1 corresponde a T1. De manera parecida, si se define el volumen relativo como (6.19) el cual evidentemente es solo función de la temperatura, se puede demostrar que para un proceso isentrópico resulta (6.20) En las tablas de gases aparece también tabulado el volumen relativo con la temperatura como argumento. Ejemplo 6.2

Un tanque rígido de 0,6 m 3 de capacidad contiene contien e aire a 700 kPa y 20 °C. El tanque está provisto provis to de una válvula de alivio que se abre cuando la presión presi ón es de 850 kPa y se cierra cuando la presión es de 810 kPa. Si un incendio ocasiona que la válvula se abra, calcular la temperatura del aire cuando se abre la válvula, la cantidad de aire que se pierde durante el incendio y cuánta energía en forma de calor ha recibido el tanque en el momento en que ésta se abre. 123


Solución

Inicialmente el tanque permanece cerrado y a medida que recibe energía en forma de calor aumenta su temperatura y su presión mientras su volumen específico se mantiene constante. Esta primera parte del proceso ocurre en sistema cerrado. Cuando la presión llega a 850 kPa se abre la válvula y sale aire hasta cuando la presión cae a 810 kPa, momento en el cual se cierra. Se trata de un proceso de vaciado y el sistema es abierto. — Considerando que el aire tiene un comportamiento de gas ideal, se puede calcular la temperatura en el momento en que se abre la válvula mediante Con P = 850 kPa, V = 0,6 m3, R = 0,287 kJ/kgK y M es la masa de aire dentro del tanque, que se puede calcular de las condiciones a las que este se encuentra inicialmente

Luego,

— El aire que se pierde durante el incendio puede calcularse por un balance de masa para el sistema durante el tiempo que permanece abierta la válvula Mf − Mi = − Ms Mi es la masa dentro del tanque a las condiciones de 700 kPa y 20 °C que es la misma a las condiciones de 850 kPa y 82,78 °C.

Mf es la masa dentro del tanque cuando se cierra cier ra la válvula a 810 kPa. Si se puede considerar que el vaciado del tanque se lleva a cabo de tal manera que la temperatura dentro de él permanece constante a 82,78 °C,

Ms = Mi − Mf = 0,24 kg. — Hasta el momento en que se abre la válvula se trata de un proceso en sistema cerrado. O sea, bala balance nce de masa masa,, Me = Ms = 0 ⇒ Mi = Mf , balance de energía M ∆u = Q N. Como se trata de un gas ideal, la energía interna es 124


función solo de la temperatura y utilizando la información de la tabla de aire a baja presión ∆u = u2 (355,78 K) − u1 (293 K) como los valores de temperatura no se encuentran directamente en la tabla es necesario hacer una interpolación lineal ∆u = 254,2 – 209,07 = 45,13 kJ/kg Q N = 5 × 45,13 = 225,64 kJ

6.3 Procesos reversibles con gases ideales Para una cantidad cantida d de gas ideal que experimenta una transformaci t ransformación ón reversible, se pueden estudiar diversos casos. — Procesos a presión constante. El balance de energía es du = δq − δ w reemplazando δ w de la ecuación 3.2 du = δq − P dv ⇒ δq = du + P dv = dh, luego q = ∆h = ∫ Cp dT (6.21) — Si el proceso ocurre a volumen constante entonces du = δq, luego q = ∆u = ∫ C v dT (6.22) — En proceso procesoss reversibles a temperatu temperatura ra constante no hay variación de energía interna ni de entalpía y del balance de energía se tiene

(6.23) — Si el proceso es adiabático reversible, el balance de energía es du = − δ w reemplazando du y δ w de acuerdo con las ecuaciones 6.9 y 4.2 y teniendo en cuenta la ecuación de estado de gas ideal

(6.24) Si a la relación Cp/C v se le denomina γ y de acuerdo con la ecuación 6.11 (6.25) luego 125


reemplazando en la ecuación 6.24

reordenando (6.26) Si se reemplazan los volúmenes en función de la temperatura y la presión en la ecuación 6.26 se llega a (6.27) y P1 v 1γ = P2 v 2γ (6.28) entonces para un proceso adiabático reversible de un gas ideal P v γ = constante y (6.29) En general los procesos internamente internamente reversibles de gases ideales se pueden representar mediante la relación P v n = constante (6.30) La ecuación 6.30 constituye constit uye la representación de un proceso politrópico, el exponente politrópico n toma diferentes valores dependiendo del proceso particular; así: n = 0, proceso a presión constante; n = ∞, proceso a volumen constante; n = 1, proceso a temperatura constante; n = γ, proceso isentrópico de un gas ideal cuyas capacidades caloríficas son constantes. En las figuras 6.2a y 6.2b se muestran esquemáticamente estos procesos en diagramas P-v y T-s. Combinando la ecuación 6.30 con la ecuación de estado de gas ideal se obtienen las siguientes relaciones para proceso politrópicos (6.31)

(6.32)

126


Figura 6.2 Representaci Representación ón esquemática de procesos politrópicos. a. Diagrama P-v. b. Diagrama T-s. Ejemplo 6.3

Se alimentan 2,4 kg/s de aire a un compresor compreso r adiabático a 20 m/s con una presión de 1 bar y una temperatura de 27 °C. El aire en la descarga está a 307 °C, 8 bares y con una velocidad de 60 m/s. a. Hallar la potencia necesaria para la compresión. b. Calcular la potencia que se requiere si se utiliza un compresor ideal y se quiere la misma presión de salida del compresor real. Solución

a. Escogiendo como sistema el aire que está en cada momento en el compresor, los balances de masa, energía y entropía se pueden escribir

127


Con las temperaturas a la entrada y a la salida se puede encontrar en las tablas de aire el valor que corresponde a la entalpía y con el balance de energía se puede calcular la potencia necesaria para la compresión. De las tablas de aire A Te ≈ 300 K ⇒ he = 300,19 kJ/kg, a Ts ≈ 580 K ⇒ hs = 586,04 kJ/kg y por tanto b. Si el aire se comprime ahora en un compresor adiabático reversible, reversible, los balances de energía y entropía son:

Para encontrar la potencia potenci a del compresor ideal se debe primero calcular la temperatura a la cual saldría el aire en ese compresor (T s, ideal) y después hallar la entalpía de salida del compresor ideal (h s, ideal). El cálculo de la temperatura de salida del compresor ideal se puede hacer de tres maneras: — De la ecuación 6.15 y por tanto con R = 0,287 kJ/kgK y so300K = 2,5133 kJ/kgK soT = 3,11 kJ/kgK s

y de la tabla del aire se puede encontrar (interpolando) (interpolando) que Ts, ideal = 538,8 K — De la ecuación 6.18, 6.18, para un proceso proceso adiabático reversible reversible y con Pr, 300 = 1,3860, entonces Pr, Ts =1,088 de la tabla del aire Ts, ideal = 539,8 K. — Si se supone que C P y C v son constantes en el intervalo inter valo de temperatura, se puede utilizar la relación entre temperatura y presión para procesoss politrópicos con n = γ = CP/C V (véase ecuación 6.27). proceso

y como para el aire γ = 1,4, entonces Ts, ideal = 543,4 K. 128


Es evidente que los tres métodos producen resultados resul tados muy cercanos entre sí. Si se toma Ts, ideal ≈ 540 K se puede encontrar que h s, ideal = 544,35 kJ/kg y por tanto Definiendo eficiencia adiabática de un compresor ( ηc) como entonces, para este caso η = 85,5%. Ejemplo 6.4

Por medio de un compresor reversible reversib le se comprime aire permanentemente desde 100 kPa y 300 K hasta una presión de 900 kPa. Determinar el trabajo trab ajo de la compresión por kilogramo de aire para: a. Una compresión isoentrópica. b. Una compresión politrópica politrópica con n = 1,3. c. Una compresión isotérmica. Comparar los resultados. Solución

El proceso de compresión obedece al modelo de sistema abierto, flujo estable estado estable, se puede considerar que la sustancia de trabajo (aire) a esas condiciones de presión se comporta como gas ideal y su capacidad calorífica es función de la temperatura. Las condiciones de entrada al volumen de control y la presión de salida del volumen de control son las mismas para las tres compresiones propuestas y las variaciones de ener energía gía cinética y potencial pueden considerarse despreciables. despreciables. a. Compresor isentrópico: Balance de masa Balance de energía Balance de entropía Del balance de energía W N = he − hs = −∆h Para calcular la variación de entalpía es necesario conocer la temperatura a la salida. Por tratarse tratarse de un gas ideal sometido a un proceso isentrópico isentrópi co la ecuación 6.14 queda

Con ayuda de la tabla de aire se puede obtener s°300 K = 2,5153 kJ/kgK y entonces con este valor y nuevamente con el uso de la tabla (interpolando) se encuentra 129


Ts = 557,72 K y por tanto Es necesario suministrar sumini strar 262,6 kJ de energía en forma de trabajo por cada kilogramo de aire que se comprima. b. Compresor politrópico: Balance de masa Balance de energía Balance de entropía Durante el proceso hay transferencia de calor a temperatura que varía entre la entrada y la salida, luego este calor no puede calcularse directamente del balance de entropía. En este caso se cumplen las ecuaciones 6.31 y 6.32. Con n = 1,3 se obtiene

w N = −245,34 kJ/kg Para calcular la cantidad de calor liberada durante el proceso, de acuerdo con el balance de energía qN = hs − he + w N Utilizando las tablas del aire para calcular la variación de entalpía qN = 500,21 – 300,19 – 245,34 qN = − 45,32 kJ/kg Es necesario durante la compresió compresión n politrópica suministrar 245,24 kJ por cada kilogramo de aire que se comprima y se liberan 45,32 kJ en form a de calor. c. Compresor isotérmico: Balance de masa Balance de energía Balance de entropía Como la transferencia de calor ocurre a temperatura constante, del balance de entropía 130


pero y por tanto qN = − 300 × 0,287 Ln 9 = − 189,18 kJ/kg luego de la ecuación 6.23 w N = qN = − 189,18 kJ/kg El compresor isotérmico requiere 189,18 kJ de energía en forma de trabajo para comprimir un kilogramo de aire liberando la misma energía en forma de calor; esto está de acuerdo con la consideración de gas ideal que dice que si no se varía la temperatura no existe variación en energía energía para la sustancia. Si solo se tiene en cuenta el consumo cons umo de potencia del compresor para un flu jo másico determinado, es más recomendable el compresor isotérmico.

Problemas propuestos 6.1 Se expande aire en un arreglo cilindro pistón sin fricción. Al principio de la expansión el aire se encuentra a 40 °C y 1,5 MPa. El estado final es 62 °C y 1,5 MPa. Calcular el trabajo y el calor involucrados. 6.2 Aire a 350 kPa kPa y 90 °C con una velocidad de 5 m/s se hace pasar por una tobera con el fin de acelerarlo. acele rarlo. El aire sale de la tobera tober a a 340 kPa kPa y 50 °C. Calcular la velocidad de salida del gas. 6.3 En un sistema cilindro pistón se comprime comprime aire adiabáticamente adiabáticamente desde 1 bar y 16 °C hasta 10 bares y 350 °C. a. Calcular el trabajo necesario para la compresión. b. Calcular el trabajo si la compresión se realiza en forma adiabática reversible. 6.4 Se comprime aire mediante un proceso con un coeficiente politrópico de 1,3 en un sistema cerrado. El aire air e inicialmente está est á a 17 °C y 1 bar y la presión final es de 5 bares. Calcular: a. La L a temperatura final del aire. b. El trabajo efectuado sobre el gas. c. La L a cantidad de calor transferida. d. El trabajo necesario para una compresión adiabática reversible. reversible. 6.5 Un recipiente cerrado no rígido está ocupado por un gas ideal de un peso molecular de 46 g/mol a una presión de 50 kPa y una temperatura de 25 °C. Se realiza trabajo sobre el gas (mediante un motor externo acoplado a un impulsor montado dentro del recipiente) hasta que la presión alcanza alcan za 120 kPa. Se sabe que el proceso es reversible y se cumple que T v 0,36 = constante y que para el intervalo de temperaturas involucradas CP = 0,84 + 0,0075 T con T en kelvin y C P en kJ/kgK. 131


Calcular: a. El trabajo neto realizado sobre el gas. b. La transferencia de calor. 6.6 Demostrar que para un gas ideal, el coeficiente de expansión β (véase ecuación 6.2) es solo función de la temperatura. 6.7 Demostrar que la compresibilidad isotérmica k (véase ecuación 6.3) es solo función de la presión para un gas ideal. 6.8 A un compreso compresorr adiabático entran 32 32 kg/s de gas metano a 1 atm y 135 °C. El metano sale del compresor a 25 MPa y 935 °C. Calcula: a. La potencia necesaria para operar el compresor. b. La potencia requerida si la compresión de realiza en forma forma reversible. 6.9 Se tiene metano en un recipiente cerrado no no rígido el cual, mediante un proceso politrópico, sufre una compresión desde 100 kPa y 27 °C hasta 300 kPa y 73,07 °C. Calcular: a. El coeficiente politrópico. b. El cambio de entropía del metano. c. El trabajo hecho en la compresión y el el calor transferido. 6.10 Un vendedor está ofreciendo ofreciendo una turbina para para generar 2.500 kW de energía energía eléctrica. Las características de la turbina son: turbina adiabática para operar con 35 kg/s de aire. La línea de alimentación a la turbina debe estar a 6 MPa y 400 °C. Las condiciones de salida serán 1 MPa y 400 °C para una eficiencia global del 93,2 %. Verificar la veracidad de la oferta. 6.11 Dentro de un tanque no rígido se encuentran 10 kg de etileno (C 2H4) a 10,23 MPa MPa y 68 °C. El sistema sufre un proceso adiabático reversible reversib le hasta alcanzar una presión de 1.023 MPa. Si se considera el etileno como un gas ideal: a. Calcular el trabajo involucrado en el proceso. b. Hallar el cambio en la entalpía del etileno. 6.12 Por una tubería horizontal aislada de 2 pulgadas de diámetro fluye nitrógeno en estado estable. El nitrógeno pasa por una válvula parcialmente abierta en la cual experimenta una caída en la presión. Las condiciones justo antes de la válvula son: 80 psia, 100 °F y 15 pie/s. Si la presión justo después de la válvula es de 20 psia, calcular la temperatura después de la válvula (considerar el nitrógeno como un gas ideal con C v = 5/2 R y CP = 7/2 R). 6.13 Se expande aire en una tobera para acelerarlo desde una velocidad de 2 m/s hasta 350 m/s. Calcula el descenso en la temperatura del aire. 6.14 El aire contenido en un cilindro con pistón se comprime en un proceso reversible. Durante el proceso de compresión la relación entre la presión y el volumen es P v 1,25 = constante. La masa de aire en el 132


cilindro es 0,1 kg, la presión y la temperatura inicial son respectivamente 100 kPa kPa y 20 °C, el volumen final es la octava parte del volumen inicial. Determinar el trabajo y el calor transferido. 6.15 Fluye aire por una tubería a 500 kPa y 25 °C, un tanque inicialmente vacío se conecta mediante una válvula. Cuando la válvula se abre el aire fluye al tanque hasta cuando la presión dentro del tanque es 500 kPa. a. Si el proceso ocurre adiabáticamente, cuál es la temperatura final del aire dentro del tanque. b. Determinar una expresión expresió n general que dé la relación entre la temperatura del gas que entra al recipiente y la temperatura final del gas dentro del tanque en términos de las propiedades termodinámicas del gas. 6.16 Un tanque cuyo volumen volumen es 1 m 3 está conectado a un tanque cuyo volumen es 0,3 m3 mediante una válvula. Inicialmente, el tanque grande contiene aire a 700 kP kPaa y 20 °C y el pequeño está vacío. Se abre la válvula y permanece abierta hasta cuando se alcanza una presión de equilibrio. Puede asumirse que el aire que permanece en el tanque grande sufre un proceso adiabático reversible y además que el proceso global es adiabático. ¿Cuál es la masa de aire al final en el tanque pequeño? ¿Cuál es la temperatura final del aire en el tanque pequeño? 6.17 Fluye nitrógeno a través de una tobera a razón de 1 kg/s. A la entrada se encuentra a 400 kPa y 200 °C y su velocidad es de 30 m/s, a la salida la presión es 100 kPa. Asumiendo que el proceso es reversible y adiabático, encontrar la velocidad de salida y el área transversal de la tobera a la salida. 6.18 Se comprime aire en un proceso reversible de estado estable flujo estable desde 100 kPa y 27 °C hasta 800 kPa. Calcular el trabajo de compresión, el cambio de entropía y el calor transferido t ransferido por kilogramo de aire comprimido, asumiendo los siguientes procesos: a. Isotérmico. b. Politrópico con n = 1,25. c. Adiabático. Representar todos estos procesos en diagramas P-v y T-s.

133

7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras por medio de relaciones En el capítulo cinco se presentó la forma de cálculo de propiedades para sustancias de las cuales se dispone de información en forma de diagramas o tablas. En el capítulo seis se mostraron los procesos con gases ideales y la manera de calcular las propiedades de este tipo de sustancias. Para completar la presentación del cálculo de propiedades de sustancias puras se estudiarán en este capítulo formas de cálculo para sustancias que no se pueden considerar como gases ideales ni de las cuales se dispone de tablas tabla s de datos. El cálculo de las propiedades para estas sustancias se realiza principalmente por relaciones matemáticas.

7.1 Relaciones P-v-v-T T En la literatura pueden encontrarse un gran número de ecuaciones de estado para diversas aplicaciones. Estas Est as ecuaciones tienen un grado de complejidad que va desde las expresiones más simples si mples (gas ideal), pasando por ecuaciones de dos o tres constantes, hasta las más complicadas formas que contienen cincuenta o más constantes. Las ecuaciones de muchas constantes se han empleado para la presentación precisa de datos volumétricos; estas ecuaciones por lo general no son utilizadas para el cálculo de equilibrio de fases o en estudios de simulación de procesos, principalmente debido a que requieren excesivo tiempo de computador y a que es difícil obtener formas generalizadas de ellas que puedan aplicarse a cálculos de mezclas multicomponentes, por tanto, en la mayoría de las situaciones, el uso de las ecuaciones de estado cúbicas representa un compromiso compro miso satisfactorio entre exactitud y velocidad de cálculo.

7.1.1 Ecuaciones de estado cúbicas Para la descripción descr ipción precisa preci sa del comportamiento comporta miento P-v-T P-v-T de los fluidos dentro de un amplio intervalo de presión y temperatura se requiere una ecuación más general que la de gas ideal. La primera relación con esta est a característica caracterí stica la propuso J.D. J. D. Van Van der Waals Waals en 1873 1 873,, en la cual trata de corregir la ecuación de gas ideal ideal en cuanto a considerar el volumen de las partículas y la pérdida de presión por colisiones


(7.1) donde el término a c/v 2 es la corrección por presión y b la corrección por volumen, ac y b son constantes características para cada sustancia. Aunque la ecuación de Van der Waals tiene un reconocido valor histórico, no describe en forma precisa el comportamiento termodinámico de muchas sustancias y por esto desde su aparición se han propuesto cientos de variaciones variaci ones a la ecuación semiempírica original. Una de las modificaciones más exitosa fue la realizada por Redlich y Kwong (en 1949) quienes propusieron una ecuación que se puede escribir (7.2) En la cual α es llamada la función de atracción at racción y depende de la temperatura reducida (Tr = T/Tc) para cada componente. Para la ecuación de Redlich-Kwong (7.3) Las constantes de las ecuaciones de estado se deben evaluar experimentalmente a partir de datos disponibles de presión, volumen y temperatura. O en caso de que no se tenga esa información, se pueden evaluar para ecuaciones de dos constantes teniendo en cuenta que la isoterma Tc tiene un punto de inflexión en el punto crítico (véase figura 7.1) y por tanto, matemáticamente se cumple que

Al diferenciar las ecuaciones 7.1 y 7.2 se obtienen expresiones para las dos derivadas,, que son iguales a cero cuando P=P c, v = v c y T = Tc. La ecuación derivadas de estado se escribe para las condiciones críticas y de las tres relaciones se pueden obtener ecuaciones que permiten calcular a c y b conociendo las propiedades propied ades críticas de la sustancia. Para la ecuación de Van der Waals (7.4a) (7.4b) Para la ecuación de Redlich-Kwong (7.5a) 135


(7.5b) En este punto se debe mencionar que aunque las ecuaciones 7.4 y 7.5 proporcionan resultados aceptables en la cercanía del punto crítico, los resultados que se obtengan en condiciones alejadas de este punto deben tomarse con reserva. Además, cabe decir que los coeficientes numéricos de las constantes ac y b, en esas expresiones, son adimensionales, adimensionales , de tal manera que se pueden utilizar con cualquier conjunto consistente de unidades.

Figura 7.1 Isotermas que se obtienen con una ecuación ecuac ión de estado cúbica

En los últimos años la principal línea de desarrollo en las modificaciones propuestas para mejorar la ecuación de Redlich-Kwong está basada en nuevas formas de la función de atracción ( α). Una de las modificaciones más aceptadas es la hecha por Soave (en 1972) quien postuló (sin utilizar datos experimentales) la siguiente relación entre α y Tr α = [1 + m (1 − Tr0,5)]2 con

(7.6)

m = 0,48 + 1,574 ω − 0,176 ω2 (7.7) en la cual ω es el factor acéntrico. En 1976 Peng y Robinson propusieron una modificación que ha tenido gran acogida internacional y para la cual se basaron en las propiedades de una gran cantidad de sustancias (7.8) con 136


(7.9a) (7.9b) y α se debe evaluar con la ecuación 7.6 pero ahora m = 0,37464 + 1,54226 ω − 0,26992 ω2

(7.10)

En resumen, las ecuaciones de estado cúbicas presentadas en este texto tienen la forma general (7.11a) con (7.11b) (7.11c) y los valores de k 1, k2, Ωa, Ωb, α y m para las cuatro ecuaciones ecuaciones de estado están en la tabla 7.1. La solución de las ecuaciones cúbicas produce tres raíces, las cuales pueden ser reales o imaginarias. En la región de una sola fase, bien sea de líquido comprimido,, vapor sobrecalentado o por encima de las condiciones críticas, comprimido la solución de la ecuación conduce a una sola raíz real para el volumen. En la región de saturación la solución de la ecuación conduce a tres raíces reales, el menor valor corresponde c orresponde al volumen de líquido saturado, el mayor al volumen de vapor saturado y el valor intermedio no tiene significado físico. En el punto crítico la ecuación de estado produce tres raíces reales iguales que corresponden al volumen crítico (véase figura 7.1). Tabla 7.1 Valores de los parámetros para las ecuaciones de estado cúbicas

consideradas en este texto Ecuación

Van der Waals

k1

0

k2

0

Ωa 0,421875

Ωb 0,125

α 1

m

0

Redlich-Kwong

1

0

0,42747

008664

Ec. 7.3

-

Redlich-Kwong-Soave

1

0

0,42747

0,08664

Ec. 7.6

Ec. 7.7

Peng-Robinson

2

−1

0,45724

0,0778

Ec. 7.6

Ec. 7.10

Las raíces de una ecuación de estado cúbica pueden encontrarse analíticamente o se pueden emplear técnicas iterativas que resultan prácticas 137


solamente si convergen en la raíz deseada. Por ejemplo, la forma general de las ecuaciones de estado cúbicas presentadas en este texto (véase la ecuación 7.11a) se puede escribir como

la cual puede ser usada para calcular el volumen del vapor mediante la relación de iteración (7.12) El valor indicado del volumen para iniciar la iteración es el de gas ideal a las condiciones dadas de presión y temperatu temperatura. ra. Para calcular el volumen del líquido con la misma ecuación, esta se puede representar en forma polinomial de la siguiente manera

la cual se puede iterar para el líquido mediante (7.13) en la que Como valor inicial para el volumen se toma v 0 = b. La solución de las ecuaciones de estado cúbicas mediante las técnicas iterativas de las ecuaciones 7.12 y 7.13 puede presentar problemas de convergencia (especialmente para la ecuación de Peng-Robinson), es por eso que en los últimos años se han desarrollado métodos que sistematizan sistematiz an adecuadamente el proceso iterativo. Entre estas técnicas, el método de Bairstow tiene gran aceptación porque con este procedimiento la determinación de las raíces tiene lugar secuencialmente de menor a mayor, lo que favorece la convergencia. Ejemplo 7.1

Calcular el volumen específico del líquido y del vapor saturado del propano a 70 °C, (cuya presión de saturación a esta temperatura es 25,94 bar) mediante las ecuaciones de Van der Waals, Redlich-Kwong, Soave y PengRobinson. Comparar con los valores experimentales v f (70 °C) = 2,73 × 10−3 m3/kg v g (70 °C) = 11,23 × 10−3 m3/kg.

138

7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras... Solución

Para calcular el volumen específico del vapor, se puede utilizar la ecuación 7.12. El valor inicial para el volumen es el calculado por la ecuación de gas ideal

y además se tiene para el propano Pc = 4.306 kP kPa, a, Tc = 369,8 K Para la ecuación de Van der Waals ac = 0,04763 kPa m6/kg2 b = 0,002 m3/kg k1 = 0 k2 = 0 α=1 y por tanto la ecuación 7.12 queda

y

ω = 0,152

Después de realizar las iteraciones se llega a v g = 17,83 × 10−3 m3/kg Para calcular el volumen específico del líquido se puede utilizar la ecuación 7.13 con un valor inicial v 0 = b = 0,002 m3/kg se llega después de varias iteraciones a v f = 4,22× 10−3 m3/kg Los porcentajes porcent ajes de error para la ecuación ec uación de Van Van der Waals Waals son 54,6% 54, 6% para el líquido y 58,8% para el vapor. Igual procedimiento se puede seguir para las ecuaciones de RedlichKwong y de Soave. Para la ecuación de Peng-Robinson las ecuaciones 7.12 y 7.13 no convergen y por tanto se debe utilizar el método de Bairstow. En la tabla 7.2 se presentan los resultados para el volumen (el valor entre paréntesis corresponde al porcentaje de desviación con respecto al valor experimental).

7.1.2 Ecuación virial Para la fase gaseosa las ecuaciones P-v-T pueden ser más simples que para líquidos; siempre a temperatura constante cuando P aumenta v disminuye para una cantidad fija de sustancia, pero el producto P v se mantiene más o menos constante. En la figura 7.2 se representa este comportamiento para un gas ideal y para otros gases. 139


n o s n i b o R g n e P

s e n o i c a u c e s a t n i t s i d o d n a s u 1 . 7 o l p m e j e l e d o s a c l e n e o c i f í c e p s e n e m u l o v e d o l u c l á C

2 . 7 a l b a T

140

e v a o S

g n o w K h c i l d e R

s l a a W r e d n a V

w o t s r i a B

) 4 % 4 1 5 . 8 , 2 6 (

8 ) 5 % 5 5 , . 8 5 3 1 (

n ó i c a r e t I

e g r e v n o c o N

e g r e v n o c o N

w o t s r i a B

) 4 % 7 7 8 . 2 , 2 5 (

3 ) 2 % 6 1 , . 3 6 4 1 (

n ó i c a r e t I

) 2 % 5 7 8 . 4 , 2 4 (

0 ) 3 % 6 1 , . 3 6 4 1 (

w o t s r i a B

) 0 % 9 2 9 . 5 , 2 9 (

1 ) 2 % 2 4 . , 6 6 1 4 (

n ó i c a r e t I

) 9 % 5 9 9 . 3 , 2 8 (

0 ) 3 % 3 4 , . 6 6 4 1 (

w o t s r i a B

) 6 % 6 3 , 5 . 7 4 6 (

2 ) 2 % 7 8 , . 8 7 5 1 (

3 1 . 7 ó 2 1 . 7 n ó i c a u c e n ó i c a r e t I

) 8 % 1 6 , 2 . 4 4 5 (

9 ) 5 % 8 8 , . 8 7 5 1 (

) 0 g 1 k / 3 × f m v (

3

3

) 0 g 1 k / 3 × g m ( v


Figura 7.2 Comportamiento de los gases a temperatura constante

Por tanto se puede decir que (7.14) En la cual a es el mismo para todos los gases y depende solo de la temperatura T; a = a(T). Considerando este comportamiento se sugiere una expansión expansi ón en serie para las relaciones P, v y T P v = a + b P + c P 2 + d P3 + ... (7.15a) P v = a (1 + B′ P + C′ P2 + D′ P3 +...) (7.15b) En la cual a, B′, C ′, D ′ son los coeficientes viriales y solo dependen de la temperatura para un componente dado. Remplazando la ecuación 7.14 en la 7.15b (7.16a) (7.16b) donde (7.17) La ecuación de estado virial se puede deducir utilizando la termodinámica estadística. Se puede demostrar que los coeficientes viriales están relacionados con las fuerzas que existen entre grupos de moléculas. Desde un punto de vista microscópico B ′ representa las interacciones entre pares 141


de moléculas, C ′ describe interacciones entre grupos de tres moléculas y así sucesivamente sucesivamente.. El número de términos que deben utilizarse en las ecuaciones 7.15 y 7.16 depende de la precisión que se desee, pero dado que la probabilidad probabili dad de las interacciones de cuatro moléculas es mucho menor que la de las interacciones entre pares de moléculas, es frecuente despreciar el cuarto coeficiente virial (D). De igual manera, a bajas presiones el tercer coeficiente virial (C) se puede eliminar.

7.1.3 Relaciones P-v-T mediante correlaciones generalizadas Para el cálculo de propiedades P-v-T es de mucha utilidad disponer de una relación que se aplique de una manera general a cualquier gas. Una relación de estas características se puede obtener por ejemplo a partir de la ecuación 7.11a. Si esta ecuación se multiplica por v/RT se tiene definiendo el factor de compresibilidad Z como (7.18) El valor de Z es una medida de cuánto se desvía de la idealidad el comportamiento real de la sustancia (para el caso de una sustancia que cumpla el modelo de gas ideal es igual a uno). Entonces (7.19) en la cual Si se reemplazan a c y b en términos de las condiciones críticas crít icas del gas en la ecuación para Z y además se definen las propiedades temperatura reducida como la relación entre la temperatur temperaturaa y la temperatura crítica (7.20) presión reducida como la relación entre la presión y la presión crítica (7.21) y volumen reducido como la relación entre el volumen y el volumen crítico (7.22) se obtiene 142


(7.23) con (7.24) La ecuación 7.23 facilita la solución iterativa para un gas a cualquier condición de Tr y Pr (desafortunad (desafortunadamente amente no converge cuando se usan las constantes de la ecuación de Van der Waals ni para la mayoría de los cálculos de líquidos). De acuerdo con lo anterior se puede enunciar el principio de los estados correspondientes correspondient es de dos parámetros que establece: todos los gases comparados a las mismas condiciones de temperatura temperat ura y presión reducidas tienen aproximadamente el mismo factor de compresibilidad Z y se desvían del comportamiento ideal en el mismo grado. En realidad, para algunas sustancias este principio no tiene suficiente precisión. Para ilustrar esta inexactitud considérese la ecuación 7.22 que puede escribirse como

en la cual Z c es el factor de compresibilidad en el punto crítico (7.25) y por tanto z/z c = f (Tr, Pr). Esto implica que para los mismos valores de Pr y Tr todos los gases deberían tener la misma relación z/z c y como a valores muy bajos de presión, Z = 1 para todos los gases, entonces Z c debería ser igual para todos. Los experimento experimentoss muestran que esto no es cierto (por ejemplo, ejemplo, para el agua Zc = 0,299, para el bióxido de carbono Z c = 0,274 y para el hidrógeno Zc = 0,305) por tanto, la relación generalizada para Z es imprecisa a bajas presiones y se comporta mejor en las cercanías al punto crítico. Las únicas sustancias que no presentan desviación son argón, criptón y xenón. Es necesario entonces modificar la relación introduciendo un tercer parámetro (adicional a Tr y Pr) característico de la estructura molecular para obtener un mejor comportamiento para gases reales. El más conocido de estos parámetros es el factor acéntrico ω, introducido por Pitzer y colaboradores. El factor acéntrico muestra la desviación del comportamiento de las sustancias reales con respecto a los fluidos simples (FS) Xe, Ar y Kr. en la cual Prsat y Trsat son la presión de saturación reducida y la temperatura de saturación reducida. Pitzer notó que para todos los fluidos simples a T rsat = 0,7 se cumplía que log Prsat = −1 y por tanto 143


(7.26) La relación para Z desarrollada por Pitzer y colaboradores introduciendo el tercer parámetro ω es Z = Z(0) + ω Z(1) (7.27) en la cual Z (0) y Z(1) son funciones de Tr y Pr Z(0) y Z(1) son funciones complejas de Tr y Pr por lo cual se dificultan los cálculos analíticos. Si se quiere evitar el cálculo por tablas de Z se puede utilizar la ecuación virial con dos términos

reemplazando P en términos de P c y Pr y T en términos de Tc y Tr, entonces

considerando que la relación BPc /RTc puede ser de la forma B (0) + ω B(1) considerando (similar a la relación para Z en términos de Z (0) y Z(1)) se tiene que Comparando esta relación con la ecuación 7.27, entonces (7.28) Y (7.29) Los segundos coeficientes viriales son solo función de la temperatu temperatura ra y en forma similar, B(°) y B(1) son únicamente función de la temperatura reducida y quedan bien representados por las ecuaciones sencillas propuestas por M.M. Abbott (7.30) (7.31) luego, Z puede calcularse analíticamente solo conociendo la condición de T r y Pr para el gas real. Esta forma de calcular Z solo tiene validez a presiones reducidas bajas y moderadas donde Z es lineal con la presión. Ejemplo 7.2

Calcular el volumen específico del vapor saturado de propano a 70 °C y 25,94 bar mediante a. La ecuación 7.23. 144


b. La ecuación 7.27 y las tablas. c. Las ecuaciones 7.27 a 7.31. Solución

Como para el propano se tiene que Tc = 369,8 K y P c = 4.306 kP kPa, a, entonces, Tr = 0,928 y Pr = 0,61, además se tiene que ω = 0,152. a. Utilizando las constantes de la ecuación de Peng-Robinson (véase tabla 7.1) en las ecuaciones 7.23 y 7.24 se obtiene

Se puede empezar el proceso iterativo con Z 0 = 1 y hallar h. Con este valor se halla el nuevo valor de Z Z = 1 ⇒ h = 0,05114 ⇒ Z = 0,7320 Z = 0,732 ⇒ h = 0,06986 ⇒ Z = 0,6430 después de algunas iteraciones se llega a Z = 0,501 y utilizando la ecuación 7.18

este valor tiene una desviación del 9,62% con respecto al valor experimental. b. La ecuación 7.27 es, para este caso Z = Z(0) + 0,152 Z(1) De las tablas con Tr = 0,928 y Pr = 0,61 Z(0) = 0,6635 Z(1) = −0,1662 y por tanto Z = 0,6382 y de la ecuación 8,18 v g = 16,33 × 10−3 m3/kg (la desviación es 39,89%). Si no se hubiera utilizado la corrección por factor acéntrico entonces Z = 0,6635 y v g = 16,33 × 10−3 m3/kg con una desviación del 45,41% respecto al valor experimental. c. Utilizando las ecuaciones 7.30 y 7.31 se obtiene

y las ecuaciones 7.28 y 7.29 producen 145


Por tanto de la ecuación 7.27 Z = 0,7419 – 0,152 × 0,06337 = 0,7323 y v g = 18,03 × 10−3 m3/kg con una desviación de 60,6%.

7.1.4 Propiedades P-v-T para líquidos El volumen específico de líquidos es una propiedad relativamente fácil de medir y hay un gran número de referencias bibliográficas en las cuales se pueden encontrar datos experimentales tabulados de volúmenes (o densidades) o en las cuales se proporcionan constantes para el cálculo rápido por medio de ecuaciones empíricas. Sin embargo, si no se dispone de datos experimentales, se puede estimar el volumen específico de líquidos mediante correlaciones. Una ecuación para estimar el volumen de líquidos saturados desarrollada desar rollada por Rackett (en 1970) y luego modificada por Spencer y Danner (en 1972) es (7.32) en la cual ZRA es el factor de compresibilidad de Rackett que puede ser calculado por ZRA = 0,29056 – 0,08775 ω (7.33) Si se dispone de un dato experimental de volumen saturado a una temperatura de referencia (T ref ), la forma recomendada de la ecuación de Rackett es (7.34) con Aunque de las ecuaciones de estado cúbicas se pueden obtener valores de volumen específico de líquidos saturados o subenfriados, los resultados obtenidos con estas ecuaciones no son muy buenos y se han propuesto numerosas modificaciones para mejorarlos. Una de las modificaciones más aceptadas es la de Peneloux y Rauzy (propuesta en 1982) quienes recomendaron que la siguiente corrección sea restada del volumen obtenido de la ecuación de Soave-Redlich-Kwong c = 0,4076(0,29441 – ZRA ) RTc / Pc 146

(7.35)

7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras... Ejemplo 7.3

Calcular el volumen específico del líquido saturado de propano a 70 °C y 25,94 bar mediante a. La ecuación 7.32. b. La ecuación 7.34 utilizando como volumen de referencia el volumen crítico v c = 4,61 × 10−3 m3/kg. c. La corrección de la ecuación ecuación 7.35. Solución

a. Mediante la ecuación 7.32 para este caso se obtiene y de la ecuación 7.33 ZRA = 0,277222 esto lleva a que v f = 2,45 × 10−3 m3/kg (desviación de −10,26%). b. Utilizando v f ref = v c = 4,61 × 10−3 m3/kg, entonces T ref = Tc y por tanto Trref = 1 y la ecuación 7.34 queda v f = 4,61 × 10−3 × 0,27222 (0.471545) v f = 2,52 × 10−3 m3/kg (la desviación es – 7,69%) c. La corrección de la ecuación ecuación 7.35 es c = 1,1343 × 10−4 m3/kg y del ejemplo 7.1 el valor hallado por la ecuación de Soave es v = 2,852 × 10−3 m3/kg, por tanto v f = 2,852 × 10−3 – 1,1343 × 10−4 = 2,74 × 10−3 m3/kg con una des viación de 0,37%.

7.2 Cálculo de otras propiedades de sustancias puras en una sola fase En esta sección se mostrará la manera de calcular propiedades como la entalpía, la entropía y la energía interna para sustancias puras de las cuales cua les no se dispone de información en forma de tablas o gráficas. Como estas propiedades no son de medición directa, es necesario obtener relaciones termodinámicas entre las propiedades que se desean calcular y las propiedades de medición directa (P, v, T, C P , C v ). Antes de establecer la relación entre propiedades se recordarán algunas características matemáticas de estas relaciones. En el capítulo cinco se establecióó que, según la regla de las fases, toda propiedad de una sustancia estableci 147


pura se puede expresar unívocamente en función de otras dos propiedades (véase ecuación 5.3). Z = f (X, Y ) (6.3) y por tanto, según las leyes del cálculo se puede escribir (7.36) y si por simplicidad se escribe (7.37) entonces dZ = M dX + N dY se puede ver también que

(7.38)

Pero las reglas del cálculo para derivadas establecen estab lecen que la secuencia en la diferenciación de una propiedad de estado no puede cambiar el resultado de las derivadas. O sea que (7.39) Otra propiedad de las derivadas de funciones exactas que es de gran utilidad es la llamada relación del triple producto (7.40) Esta relación permite quitar de las derivadas restricciones (condiciones) (condiciones) desfavorabless (tales como s, g, a, h o u). desfavorable

7.2.1 Relaciones de Maxwell En el capítulo cinco se obtuvieron las relaciones fundamentales para una sustancia pura (véanse ecuaciones 5.5, 5.6, 5.9 y 5.10) du = T ds − P dv (6.5) dh = T ds + v dP (6.6) dg = v dP − s dT (6.9) da =−P dv − s dT (6.10) Aplicando el resultado de la ecuación 7.39 resulta (7.41) (7.42) 148


(7.43) (7.44) (Las formas recíprocas recíprocas de estas relaciones también son válidas). Las ecuaciones 7.41 a 7.44 son llamadas relaciones de Maxwell y son de gran utilidad (en unión con las ecuaciones fundamentales) a la hora de deducir expresiones para la evaluación de variaciones de propiedades en función de las variables de medición directa. Una técnica para obtener relaciones termodinámicas en función de las propiedades de medición directa (P, T, v, C P, y C v ) y de relaciones entre ellas consiste en lo siguiente: — Si la ecuación diferencial que se va a transformar contiene u, h, a o g, llevar estas funciones al numerador para luego eliminarlas por medio de la relación de propiedad adecuada y con ayuda de la relación del triple producto. — Eliminar la entropía llevándola al numerador (el triple producto puede ser usado para eliminar la entropía como restricción) y reemplazando las diferenciales de entropía por medio de las relaciones de Maxwell. Si todavía aparecen derivadas de entropía introducir 1/dT en el numerador y en el denominador de la derivada y eliminar luego las derivadas de la entropía con respecto a la temperatura por medio de las ecuaciones de C P y C v desarrolladas de las ecuaciones 5.5 y 5.6.

1. Evaluación de variaciones de entalpía, energía interna y entropía

La entalpía se puede expresar en función de T y P o v, o en función de v y P, pero la función más sencilla y cómoda para evaluar es la que se expresa en función de T y P. Sea entonces h = h (T, P) y la diferencial total es

pero de la ecuación 5.6

y 149


y por tanto

Utilizando la definición de C P y la relación de Maxwell (véase la ecuación 7.43) queda (7.45) De igual manera se puede expresar la energía interna como (6.23) pero utilizando la definición de la ecuación 5.25 resulta

el término ∂u/∂ v )T puede deducirse empleando la ecuación 5.5

y de la ecuación 7.44 de Maxwell

Reemplazando estos resultados en la ecuación 5.23 resulta (7.46) Por último, se puede encontrar la variación v ariación de entropía siguiendo sigui endo el mismo procedimiento. Si s = s (T, P) se llega a (7.47) o si, por otra parte se expresa s = s (T, v) el resultado es (7.48) 150


Se debe observar que cuando se aplican las ecuaciones 7.45 a 7.48 a un gas ideal se obtienen las ecuaciones 7.9, 7.10, 7.12 y 7.13. Se debe anotar también que para integrar las ecuaciones 7.45 a 7.48 (y así obtener los cambios en entalpía, entalpía , energía interna o entropía) se deben conocer, conocer, además de las relaciones entre C P o C v con la temperatura, la ecuación de estado apropiada para la sustancia o disponer de datos experimentales de presión, volumen y temperatura que permitan realizar una integración gráfica. Ejemplo 7.4

Determinar el coeficiente de expansión volumétrica a 27 °C para un gas que obed obedece ece la ecua ecuación ción de estad estadoo P( − b) b) = T don donde de b = 20 cm 3/mol, si el volumen molar es = 1.500 cm3/mol. Solución

Se definió el coeficiente de expansión volumétrica. De acuerdo con la información suministrada, se obtiene de la ecuación de estado

luego

Reemplazando por sus respectivos valores β = 3,29 × 10−3 K −1 Ejemplo 7.5

Para cierto tipo de cálculos en toberas es necesario conocer la rapidez de variación de la entalpía de la sustancia con respecto a la densidad, puesto que el proceso en la tobera puede considerarse isentrópico, isentrópi co, lo que se necesita conocer es ∂h /∂ρ)s en términos de P, v, T, C p, C v . Obtener la expresión particular en caso de gas ideal. Solución

La relación entre volumen y densidad es ρ = 1/v y por tanto

entonces

derivando la ecuación 5.6 con respecto al volumen a entropía constante

aplicando el triple producto 151


a partir de la ecuación de estado se puede obtener ∂T /∂ v)P y ∂T /∂P) v , y de las ecuaciones 5.5 y 5.6 de acuerdo con la definición de C p y C v cuando se trata de gas ideal

Ejemplo 7.6

Se comprime helio en un compresor isotérmico reversible. El helio entra al compresor a 300 K y 12 bar y se comprime continuamente hasta 180 bar. Calcula el trabajo por mol de helio requerido para operar el compresor y la cantidad de calor que debe extraerse del compresor si a. El helio se comporta como gas ideal. b. Si obedece a la ecuación de estado P = T − aP/T + b P, con a = 0,385 m3K/kmol y b = 0,0152 m3/kmol Solución

Se trata de un proceso que ocurre en estado estable flujo estable (véase figura 7.3) donde pueden despreciarse las variaciones de energía cinética y potencial.

Figura 7.3 Proceso descrito en el ejemplo 7.6

Las ecuaciones de balance de masa, energía y entropía son 0 = he + W e − hs − qs ⇒ w e − qs = ∆h 0 = se − ss − qs /T ⇒ qs = −T ∆s Los estados de entrada y de salida del compresor están completamente determinados, y del balance de entropía se puede calcular la cantidad de calor 152


que fluye por mol de helio, reemplazando este valor en el balance de energía se puede calcular la cantidad de trabajo para comprimir cada mol de helio. a. Cuando la sustancia se comporta como gas ideal y como el proceso es isotérmico del balance de energía w e = qs + ∆h como se trata de un proceso isotérmico con gas ideal entonces ∆h = 0 y w e = qs = 6754,74 J/mol b. Cuando Cuando la la sustancia sustancia obedece la ecuación ecuación de estado P = T − aP/T + bP, entonces de la ecuación 7.47 para un proceso isotérmico y por tanto Para calcular el trabajo por medio del balance de energía se debe conocer el cambio en la entalpía de la ecuación 7.45 para este caso pero

y por tanto

por último w e = 6.988,54 J/mol

7.2.2 Cálculo de propiedades de sustancias puras por correlaciones generalizadas En la sección anterior se mencionó que para evaluar cambios en la entalpía, la energía interna y la entropía por medio de las ecuaciones ecuaci ones 7.45 a 7.48 se debe conocer la ecuación de estado para las sustancias. En esta sección se desarrollaran aún más estas ecuaciones para sustancias que cumplan el principio de los estados correspondientes. correspondientes. 153


Si se considera que una sustancia pura experimenta un cambio entre los estados 1 y 2 como se muestra en la figura 7.4a en estas condiciones es poco probable que la ecuación de gas ideal se aplique y se debe utilizar una ecuación de estado apropiada. Ya que el cambio de una propiedad de estado es independiente del camino elegido para su cálculo se puede evaluar este cambio mediante la ruta 1-1° -2°-2 de la figura 7.4b.

Figura 7.4 Sustancia pura que experimenta un cambio entre los estados 1 y 2. a. Proceso de un gas real. b. Trayectoria 1-1°-2°-2 para evaluar h2−h1.

Esta trayectoria consiste en un proceso a temperatura constante del estado 1 al 1°, un proceso a presión constante del estado 1° al 2° y un proceso a temperatura constante desde 2° hasta 2. Los L os estados 1° y 2° son a presiones tan bajas que se puede considerar considerar que las sustancias se comportan como gases ideales. Por tanto el cambio de entalpía entre los estados 1 y 2 se puede escribir como: 154


h2 − h1 = (h2 − h°2 ) + (h°2 − h°1) + (h°1 − h1) (7.49) Cada uno de los términos del lado derecho de la ecuación 7.49 se puede evaluar mediante la ecuación 7.45. Si se generaliza, para un proceso a temperatura constante desde una presión P (en la cual la sustancia no se puede considerar como un gas ideal), hasta una presión P° →0, la ecuación 7.45 queda

si además se cumple que v = ZRT/P entonces

y por tanto Recordando que T = Tc Tr y P = Pc Pr y que dT = Tc dTr y dP = Pc dPr, entonces (7.50) En la cual h° es la entalpía de la sustancia a presión muy baja (cuando se comporta como gas ideal). Si se define la propiedad residual de una sustancia pura como la diferencia entre la propiedad de la sustancia si esta se comporta como un gas ideal y la propiedad a la misma temperatura pero a una presión a la cual no es un gas ideal, entonces hR = h° −h (7.51) es la entalpía residual residua l y según la ecuación 7.50 se puede escribir como una función de Tr y Pr únicamente. Derivando la ecuación 7.27 con respecto a Tr y manteniendo Pr constante se obtiene

reemplazando ese resultado y la ecuación 7.51 en la ecuación 7.50 se obtiene

y por analogía con la ecuación 7.27 (7.52) 155


en la cual (7.53) y (7.54) Las integrales de las ecuaciones 7.53 y 7.54 se han calculado para distintos valores de Pr y Tr y se han llevado a diagramas y tablas. Con los resultados obtenidos hasta ahora se puede rescribir la ecuación 7.49 como h2 − h1 = hR 1 − hR 2 + h°2 − h°1 pero el cambio entre los estados 1° y 2° es el de un gas ideal a presión constante y por tanto (7.55) Si además se reemplaza el resultado de la ecuación 7.52 resulta

(7.56)

Para evaluar el cambio cambi o de entropía entre los estados esta dos 1 y 2 se se puede suponer una ruta hipotética semejante al caso del cambio de entalpía: un proceso a temperatura constante hasta una presión lo suficientemente baja para que el gas sea s ea considerado gas ideal (no necesariamente la presión en el punto 2), luego un cambio desde el estado 1° hasta el estado 2° de gas ideal pero a la temperatura del estado 2. Finalmente, un cambio a temperatura constante const ante desde el estado 2° hasta el estado 2. (Los estados est ados 1° y 2° pueden no existir, existir, son solamente estados hipotéticos donde la sustancia se comporta como gas ideal). El cambio de entropía entre dos estados se puede escribir como s2 − s1 = (s2 − s°2) + (s°2 − s°1) + ( s°1 − s1) (7.57) y si se define la entropía residual sR = s° − s (7.58) entonces s2 − s1 = sR 1 − sR 2 + s°2 − s°1 Los valores de entropía residual se pueden evaluar considerando consideran do que estos son procesos a temperatura constante y por tanto de la ecuación 7.47 resulta 156


y si la sustancia cumple que v = ZRT/P entonces

e integrando para un proceso entre una presión P y una presión muy baja P°→ 0, entonces

Reemplazando la temperatura y la presión en términos de P c, Tr, Tc y Tr y siguiendo un desarrollo similar al hecho para la entalpía residual se obtiene (7.59) en la cual (7.60) (7.61) De la misma manera que para la entalpía residual, se pueden presentar los resultados de las ecuaciones 7.60 y 7.61 en forma de diagramas o de tablas de datos para distintos valores de Tr y Pr. El término s°2 − s°1 en la ecuación 7.57 es un cambio de estado para un gas ideal y por tanto se puede escribir (7.62) en la cual las entropías residuales se pueden evaluar mediante la ecuación 7.59 y las tablas. Para evaluar la capacidad calorífica de gases reales se puede definir una capacidad calorífica residual como (7.63) en la cual es la capacidad calorífica del gas a una presión lo suficientemente baja para ser considerado como un gas ideal. De una manera similar que para la entalpía se puede evaluar mediante (7.64) y por tanto de la ecuación 7.63 157


(7.65) Datos de y se reportan generalm generalmente ente en tablas. Para evaluar el cambio de otras propiedades (como energía interna, energía libre de Gibbs y energía libre de Helmothz) se utilizan las definiciones de estas propiedades en términos de entalpía y entropía. Por ejemplo, el cambio en la energía interna se puede evaluar fácilmente como ∆u = ∆h − ∆Pv o ∆u = (h2 − h1) − (P2 v 2 − P1 v 1) = (h2 − h1) − R (Z2 T2 − Z1 T1) (7.66) en la cual (h2 − h1) se evalúa mediante la ecuación 7.56. Ejemplo 7.7

Utilizando las tablas de correlaciones generalizadas, generalizadas, determinar el cambio de entalpía, entropía y energía interna para el nitrógeno que experimenta un cambio de estado desde 100 kPa y 300 K hasta 20 MPa y 200 K. Solución

Las propiedades del nitrógeno son Tc = 126,2 K Pc = 33,9 bar = 1,0416 kJ/kgK, R = 0,2968 kJ/kgK ω = 0,04 Como el valor del factor acéntrico es pequeño, se puede despreciar su corrección en el cálculo de las propiedades. Luego Z = Z(0), hR = (hR )(0), sR = (sR )(0) Además, como en la condición inicial la presión es baja, se puede considerar que su comportamiento prácticamente no se desvía del ideal. Entonces Z1 = 1, , y por tanto, de acuerdo con las ecuaciones 7.55 y 7.62

las condiciones reducidas al final son Utilizando las tablas de h R y sR con estas condiciones reducidas

158


Figura 7.5 Turbina isotérmica reversible, proceso descrito en el ejemplo 7.8

por tanto

y Para calcular la variación de energía interna se puede utilizar la ecuación 7.66 ∆u = ∆h − R (Z2 T2 − Z1 T1) para el estado final Z 2 = = 0,902 ∆u = −181,96 – 0,2968 (0,902 × 200 − 300) ∆u = −146,46 kJ/kg Si se hacen los cálculos de la variación de estas propiedades por medio de las tablas particulare particularess del nitrógeno los valores obtenidos son ∆h = −180,86 kJ/kg ∆s = −2,292 kJ/kg K ∆u = −149,54 kJ/kg Ejemplo 7.8

A través de una turbina isotérmica reversible se expande metano desde 70 bar y 27 °C hasta 20 bar (véase figura 7.5), parte del trabajo obtenido de la turbina se usa para impulsar un compresor isentrópico isentrópico en el cual todo el gas descargado por la turbina es recomprimido parcialmente y sale del compresor a 93 °C. a. ¿Cuál es la presión del gas a la salida del compresor? b. ¿Qué fracción del trabajo total entregado por la turbina debe ser suministrada al compresor? Solución

Considerando que el metano cumple el principio de los estados corresponcorrespon dientes y que las propiedades pueden calcularse por correlaciones generalizadas, teniendo en cuenta que una fracción del trabajo total entregado 159


por la turbina se gasta gast a para accionar el compresor compreso r, la presión de salida del compresor debe ser menor que la de entrada a la turbina. a. Considerando la capacidad calorífica C P para el CH4 constante e igual a 2,2537 kJ/kg K y además Tc = 190,6 K, Pc = 46 bar, ω = 0,008 (se puede despreciar la corrección por factor acéntrico). Del cálculo de las condiciones reducidas se obtiene

Por otra parte, de acuerdo con la condición de operación del compresor, el balance de entropía para ese sistema es s4 = s3 y por tanto la ecuación 7.62 queda con las condiciones reducidas y las tablas de s R se obtiene y por tanto Para calcular el valor de P 4 se debe utilizar un proceso iterativo que se puede explicar como — Suponer una P4. — Calcular Pr4. — Con Pr4, Tr4 y las tablas, calcular sR 4. — Con sR 4 calcular la nueva P4. El valor apropiado para empezar la iteración iteraci ón debe ser mayor que la presión a la entrada del compresor (P 4 > 20 bar) pero menor que la presión de entrada a la turbina (P 4 < 70 bar). Para este caso se puede comenzar la iteración con P4 = 40 bar. Luego de tres iteraciones se llega a que P 4 = 46,31 bar. b. Un balance bala nce de energía para el compresor permite calcular el trabajo que recibe de la turbina y de las tablas por tanto w c = 2,2537 × (93 − 27) + 21,21 – 29,52 160


w c = 140,43 kJ/kg Para calcular el trabajo total tota l que se obtiene de la turbina se deben plantear los balances de energía y de entropía en ella w T = h1 − h2 +qe = qe − ∆h qe = T (s2 − s1) = T∆s Las condiciones reducidas para los estados 1 y 2 son

de las cuales se obtiene

luego

qe = 233,21 kJ/kg y w T = 188,32 kJ/kg La fracción del trabajo de la turbina que se debe emplear en el compresor es

7.2.3 La propiedad fugacidad, su función y su cálculo Para ilustrar la utilidad de la propiedad fugacidad considerar primero el caso de un proceso isotérmico reversible reversibl e de producción de trabajo en estado estable. Se tiene del balance de energía dh = δqe − δ w s y del balance de entropía para un proceso reversible δqe = T ds combinando estas dos ecuaciones resulta δ w s = T ds − dh pero dado que dg) T = dh − T ds entonces el trabajo de salida se puede expresar también como δ W s = − dg)T (7.67) pero la ecuación 6.9 para un proceso a temperatura constante produce dg)T = v dP)T (7.68) que para un gas ideal se transforma en 161


(7.69) En 1901 G. N. Lewis definió una nueva propiedad para preservar, preservar, para gases reales, la misma forma de la ecuación 7.69 dg)T = R T d(Ln f) (7.70) en la cual f recibe el nombre de fugacidad del gas real. (La fugacidad es también una propiedad sumamente útil en el estudio de equilibrio de fases y equilibrio químico, temas que no se tratarán en este texto). Esta nueva propiedad debe cumplir que (7.71) así que cuando la presión tiende a cero entonces f →P y la ecuación 7.70 se reduce a la ecuación 7.69. De la definición de propiedad residual dg° − dg = dg R = R T d(Ln P/f) integrando a temperatura constante, desde una P cualquiera hasta una P→0, y teniendo en cuenta la ecuación 7.71 se obtiene (7.72) Si se define el coeficiente de fugacidad como (7.73) entonces la ecuación 7.72 queda gR = − R T Lnφ (7.74) la evaluación del coeficiente de fugacidad puede llevarse a cabo combinando las ecuaciones 7.70 y 7.68 y en términos del factor de compresibilidad y como entonces y d(Ln f) T – d(Ln P)T = Z d(Ln Pr)T – d(Ln Pr)T es decir que e integrando, desde P = 0 hasta una presión cualquiera 162


(7.75) e introduciendo la ecuación 7.27 se llega a Ln φ = Ln φ(0) + ω Ln φ(1) y por tanto φ = φ(0) φ(1) ω (7.76) en la cual φ(0) es el coeficiente de fugacidad del fluido simple y φ(1) es la función de desviación del coeficiente de fugacidad. Los valores de Lnφ(0) Ln φ(1) se pueden presentar en forma de diagramas o de tablas a diferentes condiciones condiciones de Tr y Pr. Para evaluar la fugacidad en las fases líquida y sólida se debe tener en cuenta que según la regla de las fases de Gibbs, para dos fases α y β en equilibrio se debe cumplir que gα = gβ y por tanto, según la ecuación 7.70 f α = f β (7.77) Se puede entonces conocer la fugacidad del líquido o del sólido saturado conociendo la fugacidad del vapor en equilibrio con ellos. Cuando se trata de sólidos o líquidos que se encuentran alejados de la condición de saturación se puede utilizar la relación (7.78) O si se dispone de tablas o diagramas particulares de la sustancia para las fases condensadas, la fugacidad se puede estimar por (7.79) en esta ecuación P* es el menor valor reportado para la presión a una temperatura dada y a esas condiciones se evalúan h* y s*. Ejemplo 7.9

Mediante las tablas del coeficiente de fugacidad, calcular el trabajo que se obtiene en la turbina isotérmica reversible del ejemplo 7.8. Solución

La turbina turbi na del ejemplo 7.8 opera a 27 °C con una presión de entrada de 70 bar y una presión de salida de 20 bar. De las ecuaciones 7.67 y 7.70 y utilizando el coeficiente de fugacidad

163


que se puede escribir como w = –RT[Ln φs – Ln φs + L Ps /Pe] las condiciones de reducción son Pr,e = 1,52, Pr,s = 0,43, Tr,e = 1,57, Tr,s = 1,57. Despreciando la corrección por factor acéntrico, de las tablas de coeficiente de fugacidad se obtiene Ln φe = −0,050 × 2,302 y Ln φs = −0,0143 × 2,302 y por tanto w = –0,51835 × 300 [–0,0329 + 0,1151 + Ln 2/7] w = 182,03 kJ/kg Que es muy cercano al resultado obtenido por el método del ejemplo 7.8.

7.3 Cálculo de propiedades en sistemas difásicos Como se explicó anteriormente la transición de una fase α a otra fase β de una sustancia pura, ocurre a presión y temperatura constante. Se puede verificar, con ayuda de las tablas de propiedades, que para cualquier sustancia pura la energía libre de Gibbs también permanece constante para cualquier cambio de fase y por tanto se puede verificar que gα = gβ (7.80) en la cual los subíndices representan dos fases saturadas diferentes. La igualdad de la ecuación 7.80 se conoce como criterio de equilibrio y de ella se puede concluir que para cambios en la presión y la temperatura a lo largo de la curva de saturación dgα = dgβ (7.81) o v αdPsat – sαdTsat = v βdPsat – sβdTsat y por tanto (7.82) Utilizando el criterio de equilibrio gα = hα – Tsatsα = hβ – TsatSβ = gβ o sea (7.83) y con esta ecuación se puede eliminar la entropía en la ecuación 7.82 (7.84) La ecuación 7.84 se conoce como ecuación de Clapeyron y proporciona información sobre la pendiente de la curva de saturación del diagrama presión temperatura temperatura.. 164


Para el equilibrio sólido líquido sβ – sα = sf – ssol = ∆sfusión v β – v α = v f – v sol = ∆sfusión ∆sfusión es positivo para todas las sustancias y ya que ∆v fusión puede ser positivo o negativo (según que la densidad del sólido sea mayor o menor que la del líquido) entonces (dPsat /dTsat )sol-liq puede ser positiva o negativa. En el equilibrio líquido gas ∆sαβ – sgas = sliq = ∆s vap ∆v αβ – v gas = v liq = ∆ v vap en este caso ∆s vap y ∆v vap son siempre positivos y en consecuencia (dP sat /dTsat )1 – g siempre será positivo. En el equilibrio sólido gas ∆sαβ – sgas = ssol = ∆ssublimación ∆v αβ – v gas = v sol = ∆ v sublimación ∆ssubl ∆v subl son siempre positivos y (dPsat /dTsat )s – g siempre será positivo. Esto corrobora lo que se había discutido cuando se trató el diagrama de fases para una sustancia pura. Para integrar la ecuación de Clapeyron en el equilibrio sólido líquido

∆hfusión y ∆v fusión son casi independientes de T y P y por tanto

(7.85) Para el equilibrio de una fase condensada, condensa da, ya sea sólida o líquida, con vapor se tiene (7.86) donde ∆h es la variación de entalpía por vaporización del líquido o por sublimación del sólido (según (se gún sea el caso); en la mayoría de los casos cas os v g − v c ≈ v g y suponiendo que el gas se comporta según v g = ZRT/P, la ecuación se transforma en (7.87) o (7.88) 165


La ecuación 7.88 se conoce con el nombre de ecuación de Clausius Clapeyron y relaciona la presión de vapor de líquido o sólido con la variación var iación de entalpía (de vaporización o sublimación) y con la temperatura. Para el caso específico del equilibrio líquido vapor, la ecuación 7.88 se puede escribir como (7.89) La ecuación 7.89 se puede integrar considerando que, excepto en las cercanías del punto crítico, ∆h vap y Z son funciones débiles de la temperatur temperaturaa y como ambos decrecen con el incremento de esta, resulta un efecto compensatorio y la relación ∆h vap /Z se puede considerar constante. La forma integrada de la ecuación 7.89 queda (7.90) en la cual A es una constante de integración y B = ∆h vap /ZR. La ecuación 7.90 es sorprendentemente buena para calcular presiones de vapor en intervalos pequeños de temperatura a baja presión, pero se obtienen malos resultados si se utiliza en las cercanías del punto crítico o a intervalos de temperatura grandes. Para mejorar los datos de presión de saturación saturaci ón obtenidos con la ecuación 7.90, Antoine (en 1888) propuso una modificación sencilla que se emplea ampliamente (7.91) los valores de A, B y C están publicados para una gran cantidad de sustancias. Aunque la ecuación 7.91 es una mejora de la ecuación original, no es utilizable para intervalos amplios de temperatura y no se debe utilizar para presiones superiores a 2 bar. Extrapolaciones más allá de este límite pueden producir resultados absurdos. Por otra parte, las constantes A, B y C forman un conjunto unificado (nunca usar constantes obtenidas de tablas diferentes en la misma ecuación). Se han propuesto una gran cantidad de ecuaciones para estimar con mayor precisión las presiones de saturación para grandes intervalos de temperatura, entre ellas la ecuación de Riedel (7.92) y la ecuación de Wagner (7.93) 166


en la cual τ = 1 − Tr La ecuación de Wagner es una de las mejores ecuaciones para predecir presiones de saturación, pero tiene el inconveniente de requerir cuatro constantes para cada sustancia, lo que hace que su aplicación sea limitada. Cuando no se dispone de información suficiente para calcular ∆h vap mediante las ecuaciones de Clapeyron o de Clausius Clapeyron, se pueden utilizar métodos empíricos aproximados para hacer estimaciones. Riedel propuso la siguiente ecuación para predecir el cambio de entalpía por vaporización a una atmósfera de presión (llamado también el punto de ebullición normal) (7.94) donde Tn = Temperatura de ebullición a P = 1 atm (punto de ebullición normal). ∆hn = Entalpía de vaporización a T n. Pc = Presión crítica en bar. Tr n = Temperatura reducida a T n. R = Constante universal. universal. Los errores cometidos al utilizar esta ecuación rara vez exceden el 3%. Las estimaciones de la entalpía de vaporización para líquidos puros a cualquier temperatura a partir de un valor conocido a una sola temperatura, pueden hacerse mediante media nte el método propuesto por K. M. Watson Watson de acuerdo con la relación (7.95) esta ecuación es simple y confiable pues aunque se han sugerido ecuaciones más complejas, ellas no representan mejoras significativas en los errores promedio reportados. Ejemplo 7.10

En cierto proceso de fabricación de sales de mercurio se requiere condensar vapor de mercurio (Hg) desde 920 °F y 40 psia hasta obtener líquido saturado a la misma presión. Calcular la transferencia de calor necesaria para realizar la condensació condensación n con el uso de la siguiente información: información: 1. Temperaturas de ebullición a diferentes presiones (véase tabla 7.3). 167


Tabla 7.3 Datos de presión y temperatura para el ejemplo 7.10

Presión (psia) Temperatura (°F)

10 637,0

20 706,0

40 784,4

60 835,7

80 874,8

2. Peso molecular: PM = 200,59. 3. Capacidad calorífica del vapor de mercurio . 4. A 40 psi la densidad del mercurio líquido saturado es 787,4 lb/pie 3 y el volumen específico del vapor saturado es 1,648 pie 3/lb. Solución

El balance de energía para este proceso de condensación resulta: qs = he − hs = −∆h Si se realiza la evaluación termodinámica al estado inicial, se llega a la conclusión de que el mercurio a la entrada está en fase gaseosa (T sat < Te) y el proceso se puede representar en un diagrama T-s T-s de la manera indicada indica da en la figura 7.6.

Figura 7.6 Representación del proceso indicado en el ejemplo 7.10

El cambio de entalpía para el proceso que va desde vapor de mercurio a la entrada (punto e) y vapor saturado a la misma presión (punto I) (véase figura 7.7) es El cambio de entalpía en el cambio de fase se puede calcular mediante la ecuación 7.86

168


Figura 7.7 Cambio de entalpía en el cambio de fase, ejemplo 7.10

en la cual se calcula como la pendiente de la figura 7.7 de los datos de presión y temperatura de saturación a 40 psi. Y gráficamente se puede calcular que

y por tanto ∆h vap = 0,35 × (784,4 + 459,67) (1,648 – 1/787,4) ∆h vap = 717,0 psi × pie3/lb = 33,43 kcal/lb y como ∆h2 = hs − hI = −∆h vap entonces ∆h2 = −33,43 kcal/lb en conclusión qs = 33,43 + 0,846 = 34,276 kcal/lb


Se va a transport transportar ar gas desde el yacimiento hasta el mercado de consumidores. El gas es esencialmente metano que entra a la tubería a razón de 32 kg/s, a una presión de 210 bar y a una temperatura de 20 °C. El diámetro interno de la tubería es de 30 cm. Calcular, a la entrada de la tubería, la densidad en kg/m 3 y la velocidad en m/s considerando que el gas cumple: 169


7.2

7.3

7.4

a. La ecuación de Van Van der Waals. Waals. b. La ecuación de Redlich Kwong. c. El principio de estados correspondientes y se pueden utilizar correlacioness generalizada correlacione generalizadas. s. Comparar los resultados obtenidos con aquellos que se obtienen utilizando tablas para el metano. Mediante la ecuación de estado de Van der Waals, graficar dos isotermas para el nitrógeno en coordenadas P-v, una para 0 °C y otra para 100 °C; ambas en un intervalo que se extiende a 300 atm. Mostrar los puntos que se obtendrían mediante la ecuación de estado de gas ideal y mediante los factores de compresibilidad. Se ha sugerido que la temperatura de un líquido orgánico orgánico puede reducirse expandiéndolo adiabáticamente adiabáti camente en una turbina reversible, el coeficiente de expansión térmica β es 4,0 × 10−3 (°R)−1, el líquido tiene una densidad relativa de 0,8, una capacidad calorífica de 0,09 Btu/lbm ºR. Determinar ∂T/∂P)s a 200 ºF. Demostrar las siguientes igualdades a. b. c.

7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11

170

Encontrar una expresión para el cambio de entalpía de un gas que que obedece a la ecuación de estado P (v −b) = RT RT.. Determinar ∂ Cp /∂P)T para un gas que cumple la ecuación de Van der Waals. Demostrar que las líneas líneas de presión constante en la región región de dos fases de un diagrama entalpía entropía son rectas pero no paralelas entre sí. Demostrar que para un gas ideal las líneas de temperatura constante del diagrama entalpía entropía son horizontales. Demostrar que para cualquier sustanci sustancia, a, en un proceso isentrópi isentrópico, co, la entalpía disminuye si la presión disminuye. La velocidad del sonido sonido en una una sustancia se puede definir como como C 2 = ∂P /∂P)s. Demostrar que para un gas ideal la velocidad del sonido es solo función de la temperatura. Se expande isoentrópi isoentrópicamente camente CO2 por medio de una tobera aislada y de diseño adecuado. El CO 2 se entrega a la tobera a 54 bar y a 40 °C y con velocidad despreciable. La presión de descarga será de 34 bar.


A una presión de 1 bar, para el CO 2 Cp/R = 5.457 + 1.045 × 10−3 T, donde T se expresa en K. Determinar la velocidad de salida de la tobera: a. Suponiendo que el CO 2 es un gas ideal. b. Suponiendo que el CO 2 es un gas que cumple la ecuación de estado P (v − b) = R T con b = 0,043 m3/kmol. c. Mediante correlacione correlacioness generalizadas. generalizadas. 7.12 Determinar la potencia requerida requerida para comprimir 0,3 kg/s de etileno en un proceso en estado estable, reversible e isotérmico de 10 MPa y 10 °C a 40 MPa. También También determinar determina r la velocidad de extracción ext racción de calor y el área de la línea de descarga si la velocidad media a la salida no excede 20 m/s. 7.13 Demostrar que el cambio de entalpía para un gas de Van der Waals, Waals, está dado por

C v para un gas de Van der 7.14 Demostrar que la diferencia entre Cp y  Waals, está dada por

7.15 La entalpía de vaporización vaporización del del agua a 212 °F °F y 1 atm es 970,3 Btu/lbm. Btu/lbm. Estimar la presión de vapor a 220 °F basándose únicamente en la información proporcionada. 7.16 Se bombea butano líquido líquido saturado a un vaporizador vaporizador a una una presión de 16,2 atm, el butano sale del vaporizador como vapor húmedo con 90% de calidad y a la misma presión con que entró. Estimar la cantidad de calor suministrada por mol de butano. Para el butano but ano Pc = 37,48 atm, tc = 305,3 °F, Ln Psat = −4.840/T + 9,92, donde P está en atm y T en °R. 7.17 El punto de ebullición normal del Hg es 357 °C y su calor latente de vaporización es 68 cal/g, se requiere destilar el líquido a 100 °C. Estima la presión a la cual debe realizarse la destilación. 7.18 Las presiones de saturación saturación de vapor vapor para el benceno benceno y el tolueno tolueno vienen dadas por la relación donde A y B tienen los valores indicados en la tabla 7.4. Tabla 7.4 Datos de A y B para el problema 7.18 A (K)

Benceno Tolueno

32.290 39.200

B

9.779 10.455

171


Calcular la variación de entalpía de vaporización para cada uno de esos valores a 85 kPa. 7.19 Se comprime CO 2 en el compresor de una unidad de desasfaltado de una planta productora de parafinas. El compresor utiliza propano líquido saturado a 1 atm como refrigerante. El propano sale a la misma presión y a 50 °C; el CO 2 a comprimir entra a 42 °C y 1,5 atm y sale como vapor saturado a 15,2 bar. Se ha estimado que del CO2 se deben retirar 2.170 kW de calor en el compresor. Calcular el flujo másico de propano propano necesario para realizar realizar la operación. Nota: Not a: la temperatura de ebullición normal del propano es 231,1K. 7.20 Determinar la fugacidad del hidrógeno a 0 °C y 2 atm, utilizando correlacioness generalizada correlacione generalizadas. s. 7.21 A partir de los datos del factor de compresibil compresibilidad idad para el H 2 (véase tabla 7.5), determinar su fugacidad a 1.000 atm. Tabla 7.5 Datos del factor de compresibilidad para el problema 7.21 P (atm)

Z

P (atm)

Z

100 200 300

1.069 1.138 1.209

600 700 800

1.431 1.504 1.577

400 500

1.283 1.356

900 1.000

1.649 1.720

7.22 Estimar la fugacidad fugacidad de la la acetona líquida líquida a 110 °C y 275 bar. bar. A 110 °C la presión de vapor de la acetona es de 4.360 bar y el volumen molar del líquido saturado es igual a 73 cm 3 mol−1. 7.23 Se comprime comprime nitrógeno reversible e isotérmicamente en un compresor que trabaja en estado estable desde 300 K y 101 kPa hasta 20 MPa. Determinar el trabajo requerido. 7.24 En una turbina bien aislada térmicamente térmicamente se expanden 0,087 0,087 kg/s de metano de 14 MPa y 13,5 °C hasta 0,5 MPa y −45 °C. Si los cambios de energía cinética y potencial son despreciables, calcular: a. La potencia que se obtiene de la turbina. b. La eficiencia si se la compara con una turbina adiabática reversible que descarga a la misma presión del proceso real. 7.25 Dietil éter a 853 kPa kPa y 100 °C se expande isotérmica y reversiblemente en una turbina hasta la presión atmosférica. atmosférica. a. Calcular el trabajo obtenido en la turbina. b. Calcular la transferencia de calor. 172

8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos El objetivo de un análisis termodinámico es determinar con cuánta eficiencia se emplea o produce la energía y mostrar cuantitativamente cuantitat ivamente el efecto de las ineficiencias ineficienc ias en cada etapa del proceso. A partir del estudio de la primera y de la segunda ley y del cálculo de las propiedades de las sustancias puras se sabe que una cantidad fija de aire a 100 kPa y 50 °C contiene la misma cantidad de energía que si se encuentra enc uentra a 200 kPa a la misma temperatura. Sin embargo, el aire que se encuentra a mayor presión puede realizar más trabajo y por tanto es más valioso. De este análisis surgen las preguntas: de toda la energía con que se cuenta en un momento dado, ¿cuánta realmente puede utilizarse? O sea, ¿cuánta es la disponible? La disponibilidad de la energía depende de las condiciones a las cuales se encuentra el sistema y de las condiciones del medio en el cual interactúa. En capítulos previos, la referencia a la eficiencia se hacía en términos de un equipo en particular (por ejemplo, de una tobera, de una turbina, de un compresor) o de la eficiencia térmica de una máquina que transforma energía en forma de calor en energía en forma de trabajo. En este capítulo se pretende dar respuesta a las preguntas planteadas y además analizar la eficiencia de un proceso real comparada con la de un proceso completamente reversible que logre la misma transformación del proceso real. Por tanto, es necesario establecer una relación que permita calcular el trabajo para este proceso hipotético de comparación. Es necesario tener en cuenta que el sistema sólo puede transformarse transformarse hasta cuando alcance equilibrio termodinámico (esto es: mecánico, térmico y químico) con el ambiente, en ese momento ya no puede sufrir ningún cambio espontáneo, las condiciones finales de presión y de temperatura son las del ambiente, su velocidad es cero, su energía potencial es mínima y no puede reaccionar químicamente. Por tanto, es necesario conocer las condiciones del ambiente, en el cual, al considerarse muy grandes en comparación con el sistema, la presión y la temperatura no son afectadas por los procesos que ocurren en este y se representan por P 0 y T0.


8.1 Energía disponible y energía no disponible Energía disponible es aquella parte del contenido energético total que potencialmente potencialm ente puede transformarse en trabajo útil.

8.1.1 Energía disponible Esta energía puede calcularse permitiendo que la sustancia efectúe un cambio de estado reversible hasta alcanzar equilibrio termodinámico con el medio ambiente que se encuentra a P 0 y T0. En la práctica, al medio ambiente se le designa como depósito estándar estánda r para determinar la energía disponible del sistema. — Cuando el cambio de estado reversible se lleva a cabo en sistema cerrado, de la primera ley se tiene que δq = du + δ w de la segunda ley se sabe que ds(sistema) + ds(alrededores) = 0 ⇒ ds(alrededores) = – ds(sistema) – ds(sistema) ds(alrededores) = T(alrededores) combinando las ecuaciones anteriores se tiene que T(alred) ds(stma) = du + δ w (máx) (8.1) se trata de δ w (máx) por ser un proceso reversible, luego δ w (máx) = T(alred) ds – du si los alrededores son el medio ambiente δ w (máx) = T0 ds – du (8.2) entonces el trabajo máximo queda dado por w (máx) = (u – T0 s) – (u0 – T0 s0) (8.3) donde T0, s0, u 0 son las propiedades del sistema cuando se encuentra en equilibrio con el medio ambiente y w (máx) es el máximo trabajo que puede realizar un sistema hasta alcanzar equilibrio con el ambiente. Se debe tener en cuenta que parte de este trabajo máximo se realiza contra el medio ambiente y por tanto no resulta útil. Este trabajo contra el ambiente está dado por P 0 (v 0 – v), entonces el trabajo máximo útil es w (máx, útil) = w (máx) – P0 (v 0 – v) w (máx, útil) = (u + P0 v – T0 s) – (u0 + P0 v 0 – T0 s0) (8.4) El trabajo máximo útil se conoce como disponibilidad disponibi lidad o energía disponible en sistema cerrado o exergía sin flujo. Para Para representar esta disponibilidad dis ponibilidad por unidad de masa se utiliza el símbolo φ φ = (u + P0 v – T0 s) – (u0 + P0 v 0 – T0 s0) (8.5) 174

8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos

La disponibilidad es función de las propiedades del sistema y del medio ambiente. Cuando un sistema cerrado efectúa un cambio del estado 1 al estado 2, se puede decir que el máximo trabajo útil es la diferencia entre la disponibilidad al comienzo y la disponibilidad al final del proceso: w (máx, útil) = φ1 – φ2 (8.6) w (máx, útil) = T0 (s2 – s1) – (u2 – u1) – P0 (v 2 – v 1) (8.7) La visualización de cómo determinar la disponibilidad disponibili dad y lo que ello significa puede verse en la figura 8.1.

Figura 8.1 Arreglo conceptual para determinar la disponibilidad

Todos los procesos involucrados deben ser reversibles, luego, la transferencia de calor es reversible, la máquina térmica es reversible y parte del trabajo hecho por el sistema es contra el medio ambiente ambient e que se encuentra a una presión P 0. Ejemplo 8.1

A un recipiente cerrado y rígido que contiene amoníaco saturado seco a 10 °C se añade calor hasta que la presión pres ión alcanza 800 kPa. ¿En cuánto aumenta la energía disponible del amoníaco si la temperatura del ambiente es 25 °C? Solución

Se trata de calcular la variación de la disponibilidad para una cantidad fija de amoníaco que sufre una transformación en sistema cerrado a volumen constante. El aumento de la energía disponible por unidad de masa es ∆φ = φ2 – φ1 de acuerdo con la ecuación 8.5 φ2 – φ1 = (u2 – T0 s2) – (u1 – T0 s1) en el estado 1, vapor saturado seco a 10 °C 175


u1 = h1 – P1 v 1 = 1.453,3 – 614,95 × 0,2056 = 1.326,87 kJ/kg s1 = 5,2104 kJ/kg K En el estado 2, vapor sobrecalentado a 800 kPa y v 2 = v 1 = 0,2056 m3/kg u2 = h2 – P2 v 2 = 1.621,68 – 800 × 0,2056 = 1.457,20 kJ/kg s2 = 5,6227 kJ/kgK φ2 – φ1 = (1.457,2 – 298 × 5,6227) – ( 1.326,87 – 298 × 5,2104) φ2 – φ1 = 7,465 kJ/kg La disponibilidad aumenta en 7,465 kJ por cada kilogramo de amoníaco, sin embargo, el calor añadido es Q e = u2 – u1 = (1.457,20 – 1.326,87) Q e = 130,33 kJ/kg — Cuando el cambio de estado reversible se lleva a cabo en sistema abierto en un proceso de flujo en estado estable, el balance de energía es 0 = (h + ec + ep)e + qN – (h + ec + ep)s – w N donde w N es el trabajo de eje que en su totalidad es trabajo útil y máximo. De la segunda ley para proceso reversible ∆s(stma) + ∆s(alred) = 0 q(alred) – qN = ∆s(alred)= T(alred) T(alred) Combinando las ecuaciones anteriores resulta 0 = (h + ec + ep)e + T(alred) (ss – se) – (h + ec + ep )s – w (máx,útil) Si la transformación se da hasta alcanzar el equilibrio con el ambiente donde la energía cinética y la potencial se anulan y la temperatura de la sustancia llega a T 0, entonces w (máx, útil) = T0 (s0 – s) – (h0 – h) + (ec + ep )e (8.8) donde T0, s0 y h0 son las propiedades de la corriente en la descarga del dispositivo que está en equilibrio con el medio ambiente. El trabajo máximo útil expresado por la ecuación 8.8 se conoce como disponibilidad o energía disponible en sistema abierto o la exergía del flujo. Esta disponibilidad por unidad de masa se representa con el símbolo ψ ψ = (h + ec + ep – T0 s) – (h0 – T0 s0) (8.9) y es función tanto de las propiedades del fluido como del medio ambiente. El máximo trabajo útil que puede obtenerse obteners e de una corriente de fluido que sufre un cambio al pasar a través de un dispositivo que opera en estado estable flujo estable es w (máx,útil) = ψe – ψs = (h + ec + ep – T0 s)e – (h + ec + ep – T0 s)s (8.10) Si las contribuciones de la energía cinética y potencial se pueden considerar despreciables, despreciable s, la ecuación 8.10 queda 176


Figura 8.2 Arreglo conceptual para determinar la disponibilidad de flujo (la

máquina térmica opera reversiblemente, el trabajo entregado por el volumen de control y por la máquina es en su totalidad trabajo útil).

w (máx,útil) = T0 (ss – se) – (hs – he) (8.11) La visualización del significado de la disponibilida disponibilidadd de flujo está representada en la figura 8.2. Ejemplo 8.2

Vapor de agua saturado Vapor sat urado a 100 °C se s e condensa reversiblemente rever siblemente en un intercambiador de calor hasta alcanzar líquido saturado a la misma temperatura. Calcular el trabajo máximo útil que se podría obtener de esta operación. Solución

El trabajo útil es en este caso (despreciando los cambios de energía cinética y potencial) w (máx,útil) = (h1 – T0 s1) – (h2 – T0 s2) w (máx,útil) = T0 ∆s – ∆h De las tablas de vapor de agua se obtiene h1 = hg (100 °C) = 2.676,0 kJ/kg, s1 = sg = 7,3554 kJ/kg K, h 2 = hf = 419, 419,06 06 kJ/kg, s2 = sf = 1,3069 kJ/kg K y suponiendo que T 0 = 25 °C = 298,15 K, entonces w (máx,útil) = 453,5 kJ/kg.

8.1.2 Disponibilidad de la energía en tránsito 1. Calor y energía disponible

Cuando la energía en tránsito se está dando en forma de calor es muy importante tener en cuenta cuál es la condición de temperatura a la que el depósito está entregando ese calor porque de ello depende la disponibilidad que se tenga. 177


La parte disponible del calor añadido o extraído de un sistema es aquella que podría convertirse en trabajo mediante una máquina térmica reversible, revers ible, el resto será la energía no disponible. Si se utilizan los símbolos Q dis y Q no dis para las partes disponible y no disponible de la energía en forma de calor y Q la cantidad total de calor, entonces Q = Q dis + Q no dis (8.12) La máquina de Carnot entonces recibe una cantidad de calor Q de un depósito que se encuentra a una temperatura T (que puede ser variable), parte lo transforma en trabajo y el resto lo entrega al ambiente a una temperatura T0. La adición de calor al sistema en un proceso reversible reversible se puede representar como en la figura 8.3. T δqdis = (T – T0) ds

Figura 8.3 Representación de qdis y qno dis

La parte disponible disponib le de la energía energía que recibe el sistema se determina imaginando que cada fracción de calor se añade a una máquina de Carnot a una temperatura T. T. El proceso global, para el cual la temperatura cambia cambi a desde T1 hasta T2, se puede pensar como una serie de máquinas de Carnot que reciben la energía a una temperatura constante y descargan a T 0. Luego, las porciones disponibles y las no disponibles están representadas por las áreas (T – T0) ds y T0 ds respectivamente, por consiguiente

(8.13) 178


(8.14) 2. Trabajo y energía disponible

Cuando la energía en tránsito se está dando en forma de trabajo, trab ajo, se debe tener en cuenta que en un proceso de expansión o compresión la parte del trabajo que se realiza contra los alrededores no resulta verdaderamente útil w (útil, expansión) = w total – w alred (8.15) Por otra parte, cuando el trabajo se realiza en un eje, no hay desplazamiento de las fronteras del sistema y por tanto no está haciendo trabajo contra los alrededores. De esto se concluye que todo el trabajo en el eje útil es w (útil, eje) = w total (8.16)

8.1.3 Pérdida de disponibilidad Es aquella energía que potencialmente pudo aprovecharse como trabajo, pero debido a las irreversibilidades del proceso se perdió. Esto puede ilustrarse mediante el proceso representado en la figura 8.4.

Figura 8.4 Representación de un proceso con la mayor pérdida de disponibilidad

Se trata de una sustancia gaseosa confinada a unas condiciones P i y Ti, separada por medio de una membrana de una cámara de vacío, cuando la membrana se rompe el sistema se expande ocupando ocupando todo el espacio sin realizar trabajo. Es claro entonces que el trabajo máximo que se pudo obtener, se perdió. Este trabajo perdido se conoce como irreversibilidad o disponibilidad disponibili dad perdida y se puede expresar a partir de la ecuación 8.2 δ w máx = T0 ds – du en la cual δ w máx es todo el trabajo perdido. Por otra parte, como no hay transferencia de energía, la energía interna permanece constante durante el proceso y por tanto δlw = T0 ds además, del balance de entropía para este caso ds = δsgen reemplazando reemplazan do se tiene δ lw = T0 δsgen (8.17) 179


como se mencionó anteriormente este trabajo perdido también puede llamarse irreversibilidad irreversibilidad y se representa por δi = T0 δsgen (8.18)

8.2 Balance de disponibilidad Teniendo en cuenta que q ue la energía puede estar conformada por una porción de energía que es disponible y otra que no lo es, la l a ecuación de balance balanc e de disponibilidad puede plantearse como

Entonces, variación de disponibilidad en el interior del sistema: Entrada de energía disponible al volumen de control — Con la masa: . — Con el calor: . — Con el trabajo: . Salida de energía disponible del volumen de control — Con la masa: . — Con el calor: . — Con el trabajo: . Consumo de disponibilidad La ecuación general de balance queda entonces (8.19) este balance de disponibilidad equivale a un balance de trabajo útil. Ejemplo 8.3

En un arreglo cilindro pistón se comprimen 50 kg de amoníaco en forma isotérmica. Al principio de la compresión el amoníaco está a 18 °C y 250 kPa y la presión final es de 1.200 kPa. Para la compresión se necesitaron 18,5 MJ de trabajo mecánico. Calcular la irreversibilidad del proceso. Solución

El balance de energía disponible para este caso es

180


Como el proceso es a temperatura constante, la integral del lado derecho se puede calcular fácilmente La transferencia de calor se puede calcular por medio de un balance de energía Q s = W e(total) – M (uf – ui) y de las tablas del amoníaco Q s = 18.500 + 50 (263,4 – 1.364,9) = 73.575 kJ El cambio en la disponibilidad del sistema se puede calcular (despreciando los cambios en energía cinética y potencial) como φ2 – φ1 = (u2 – u1) + P0 (v 2 – v 1) – T0 (s2 – s1) si se supone que T 0 = 25 °C y P0 = 85 kPa y con la ayuda de las tablas del amoníaco resulta φ2 – φ1 = (263,4 – 1.364,9) + 85 (0,001631 – 0,5525) – 298,15 (1,0112 – 5,8043) φ2 – φ1 = 280,74 kJ/kg Para calcular el trabajo traba jo útil que entra al sistema, se debe restar del trabajo trab ajo total el trabajo hecho por la atmósfera (ecuación 8.15) w e(útil) = w e,total – w atm w e(útil) = 18.500 – M P0 (v 1 – v 2) w e(útil) = 18.500 – 50×85 (0,5525 – 0,001631) w e(útil) = 16.158,8 kJ y por tanto la irreversibilidad es I = 3.890,7 kJ = 3,89 MJ Ejemplo 8.4

Se estrangula vapor saturado seco a 2,0 MPa hasta 600 kPa, haciéndolo pasar a través de una válvula. El flujo de vapor es de 360 kg/h. Para una temperatura ambiente de 5 °C, dibujar el diagrama T-s para el proceso y calcular la pérdida de disponibilidad. Solución

Se trata de un proceso en estado estable flujo estable donde no se realiza trabajo, se pueden despreciar los cambios cambio s de energía cinética y potencial. Del balance de energía se concluye que se trata de un cambio isoentálpico. Estado termodinámico a la entrada Pe = 2,0 MPa, he = 2.799,5 kJ/kg, te = 212,42 °C, se = 6,3409 kJ/kg K. Estado termodinámico a la salida Ps =600 MPa, hs = 2.799,5 kJ/kg, t s = 177,68 °C, ss = 6,8545 kJ/kg K. En un diagrama T-s el proceso se representa como se indica en la figura 8.5. 181


Figura 8.5 Representación del proceso del ejemplo 8.4

El balance de disponibilidad es corresponde a la pérdida de disponibilidad. Pérdida de disponibilidad =

Aunque durante el proceso no se da ningún tipo de transferencia de energía al ambiente, se pierde disponibilidad debido a la irreversibilidad irreversibilidad..

8.3 Eficiencia exergética Hasta el momento, al hacer referencia a la eficiencia siempre ha sido en términos energéticos, sin hacer distinción de la calidad de la energía producida o consumida. Una forma más apropiada de evaluar los procesos es en términos de la energía disponible consumida o producida ya que es la energía verdaderamente aprovechable. En esta sección se presentará la eficiencia exergética de procesos la cual se conoce también t ambién como eficiencia de segunda ley. En general, la eficiencia se puede definir como lo que se obtiene sobre lo que se paga ηexergética= lo que se obtiene (8.20) lo que se paga A diferencia de la eficiencia energética, la eficiencia exergética puede ser del ciento por ciento si el proceso de transformación trans formación al que se refiere se realiza de una manera completamente reversible (sin destrucción de exergía).

182


8.3.1 Eficiencia de una máquina térmica De acuerdo con el objetivo de una máquina térmica, que es obtener trabajo a partir de calor suministrado, y ya que todo el trabajo producido es, en este caso, energía disponible, mientras que la fracción disponible disponib le del calor es Q c (1 – T0 /Tc), tenemos ηt W = (8.21) Q c (1 – T0 /Tc) (1 – T0 /Tc) La ηexerg siempre es mayor que la ηt debido a que sólo se contabiliza la fracción de calor que efectivamente se puede convertir en trabajo. ηexergética =

8.3.2 Eficiencia de un refrigerador El objetivo de un refrigerado refrigeradorr es extraer calor para lograr una baja temperatura por medio de una máquina que consume trabajo. trab ajo. Al extraer calor de un depósito, este queda en capacidad de permitir permiti r la producción de trabajo mediante una máquina térmica reversible que recibe calor del ambiente y descarga en el depósito; luego, la eficiencia exergética es ηref, exerg=

W M.T rev W real

(8.22)

Pero W M.T rev = Q c ηT de acuerdo con la primera ley W M.T rev = (W M.T, rev + Q F) ηT Q F ηT W M.T rev = 1 – ηT Reemplazando en la ecuación 8.22 se obtiene ηT Q F ηref, exerg = 1 – ηT W real y de acuerdo con la ecuación 5.4 (8.23)

8.3.3 Eficiencia de una bomba de calor En este caso se desea mantener un recinto a una temperatura alta suministrándole calor extraído de un foco que se encuentra a menor temperatura mediante el empleo de trabajo mecánico. Al obtener un depósito caliente, cali ente, se está en capacidad de producir trabajo mediante una máquina térmica reversible conectada entre este depósito y el ambiente. W ηB. C, exergia = M.T rev W real real 183


Q c ηT ηB. C, exergia = W real real de acuerdo con las ecuaciones 5.7 y 5.9 (8.24)

8.3.4 Eficiencias de bombas y compresores En estos equipos la sustancia recibe energía mecánica para aumentar su exergía (representada en alta presión o incremento de energía potencial) ηexergia =

incremento de exergia trabajo real suministrado

ψs – ψe ηexerg = W e

(8.25)

8.3.5 Eficiencia de una turbina En estos equipos se obtiene trabajo a expensas de una disminución de la exergía de la sustancia, luego ηexerg = ηexerg =

trabajo real obtenido disminución de la exergia W s ψE – ψs

(8.26)

8.3.6 Eficiencia de un intercambiador de calor De acuerdo con el criterio de eficiencia exergética se podría definir para un intercambiador de calor exergia ganada por el fluido que se calienta ηI. C, exerg = exergia perdida por el fluido que se calienta (8.27) En la práctica esta eficiencia no tiene mucho sentido, pues lo que interesa es la transferencia de calor para aumentar la energía de una sustancia. Sería más útil hacer referencia a una eficiencia energética.

8.3.7 Eficiencia de toberas En estos dispositivos se logra aumentar la velocidad del fluido a expensas de una disminución de la presión 184


ψ ηtob, exerg = ψ s (8.28) e donde la disponibilidad en la salida es debida principalmente a la velocidad, y en la entrada, a la presión. Ejemplo 8.5

Una máquina térmica que opera entre dos depósitos de calor a 2.000 y 200 °C, produce un trabajo neto de 2.000 kJ. Si la máquina tiene una eficiencia térmica del 51% de la eficiencia de Carnot entre las mismas temperaturas, calcular la eficiencia exergética de la máquina (suponer que la temperatura ambiente es 300 K). Solución

Un esquema que representa la máquina térmica se indica en la figura 8.6. La eficiencia exergética de la máquina es ηT (real) ηexergetica = (1 – T0 /Tc) para este caso, ηT (real) = 0,51 × ηCarnot = 0,51 × (1 – T /T ) f c ηT (real) = 0,51 × (1 – 473 /2.273)= 0,40 y por tanto 0,40 ηexergetica = =0,46 (1 – 300/2.273) La eficiencia eficienc ia exergética es mayor que la eficiencia térmica porque se calcula con base únicamente en la energía disponible del calor.

Figura 8.6 Esquema que representa la máquina térmica del ejemplo 8.5 Ejemplo 8.6

Una turbina aislada térmicamente se alimenta con 10 kg/s de agua a 600 °C y 3.500 kPa. De la turbina salen dos corrientes: la corriente 2 está a 500 °C y 400 kPa y la corriente 3 es agua con 80% de calidad a 70 kPa. Si la potencia que se obtiene de esta turbina es 7 MW, calcular la irreversibilidad y la eficiencia exergética de la turbina. 185


Solución

El proceso se puede esquematizar como se indica en la figura 8.7.

Figura 8.7 Esquema que representa una turbina aislada térmicamente,

ejemplo 8.6

Para calcular la irreversibilidad y la eficiencia de la turbina se deben calcular primero los flujos másicos de las corrientes 2 y 3. Estos se pueden calcular de los balances de masa y de energía Balance de masa ; balance de energía resolviendo para las incógnitas y se obtiene =5,51 kg/s y =4,49 kg/s. Para calcular la irreversibilidad, el balance de energía disponible se puede escribir como o en términos de las propiedades

De las tablas de propiedades del agua se obtiene h1 = 3.678,4 kJ/kg, h2 = 3.484,9 kJ/kg, h3 = 2.203,46 kJ/kg, s1 = 7,4339 kJ/kg K, s2 = 8,1913 kJ/kg K, s3 = 6,2218 kJ/kg K y si se toma T 0 = 298,15 K y P0 = 101,3 kPa entonces h0 = 104,89 kJ/kg, s 0 = 0,3674 kJ/kgK y por tanto . La eficiencia se puede calcular como y con los valores ya encontrados

186


8.4 Análisis termodinámico de procesos Un análisis comprend comprendee — La evaluación del estado termodinámico en cada uno de los puntos del proceso. — Determinaci Determinación ón de los flujos másicos de cada corriente . — El cálculo de las transferencia transferenciass de calor y trabajo real para cada una de las etapas. — El cálculo de la energía disponible en cada punto. — El cálculo de la irreversibilidad en cada etapa y a qué porcentaje de la irreversibilidadd total correspond irreversibilida corresponde. e. — El cálculo de la eficiencia termodinámica de cada etapa y del proceso global. Este análisis se puede ilustrar en el ejemplo 8.7. Ejemplo 8.7

La figura 8.8 muestra un proceso que enfría 0,5 kg/s de agua de 25 a 5 °C. El agua actúa como su propio refrigerante por medio de un ciclo de recirculación. El compresor (bomba de vacío) mantiene una presión de succión en el punto (4), de forma tal que la temperatura de saturación en el separador sea 5 °C y descarga al punto (5) a 10 kPa. El compresor opera con una eficiencia adiabática del 75% y el condensador descarga agua líquida saturada a 10 kPa. Realizar un análisis termodinámico completo.

Figura 8.8 Proceso que enfría 0,5 kg/s de agua de 25 a 5 °C, ejemplo 8.7

187


Solución

Para este problema y teniendo en cuenta cuent a los datos proporcionados, se s e considera que todos los procesos, excepto en el condensador, condensador, son adiabáticos, adiabáticos , las bombas operan en forma reversible y la corriente de alimentación y de producto produc to están a presión atmosférica. El análisis termodinám termodinámico ico se realiza siguiendo los pasos que se indican a continuación. 1. Determinación del estado termodinámico de todos los puntos y los flujos másicos de cada corriente. De los datos del ejemplo: punto 1, P = 101,325 kPa, t = 25 °C; punto 2, P = 101,325 kPa; punto 3, vapor húmedo a 5 °C; punto 4, vapor saturado a 5 °C; punto 5, P = 10 kPa; punto 6, líquido saturado a 10 kPa; punto 7, P = 101,325 kPa; punto 8, líquido saturado a 5 °C; punto 9, P = 101,325 kPa. Queda entonces por determinar completamente el estado termodinámico termodinámico de los puntos 2, 3, 5, 7 y 9. Para calcular otra propiedad en 7 se realiza un balance de energía en la bomba 1 wb1 = h7 – h6 pero como la bomba es reversible y teniendo en cuenta que el volumen específico del líquido no cambia apreciablemente con la presión wb1 = v 6 (P7 – P6) por tanto h7 = v 6 (P7 – P6) + h6 = 191,92 kJ/kg. La entalpía en el punto 9 se puede evaluar de la misma manera, mediante un balance en la bomba 2 h 9 = v 8 (P9 – P8) + h8 = 21,08 kJ/kg. Los estados 2 y 3 se pueden encontrar encontrar de la siguiente manera — Balance de energía en la unión de 1 y 7 — Balance de energía en la válvula entre 2 y 3 — Balance de energía en el separador Combinando estas tres ecuaciones se obtiene y como entonces un balance de masa en la unión de 1 y 7 produce reemplazando

188


y h3 = 107,91 kJ/kg El estado 5 se puede determinar det erminar del proceso en el compresor. co mpresor. Si el compresor fuera reversible w c, rev = h5, rev – h4, rev y del balance de entropía para el caso reversible s 4 = s5, rev = 9,0257 kJ/ kgK con s5, rev y P5 se encuentran de las tablas, h 5, rev = 2.940,2 kJ/kg y la ecuación produce w c, rev = 429,6 kJ/kg de la ecuación de eficiencia adiabática y del balance de energía para el compresor real rea l h 5 = h4 + w c,real = 3.083,4 kJ/kg. Hasta aquí se han encontrado, encontra do, al menos, dos propiedades para cada punto y por tanto todas las otras propied propiedades ades pueden ser especificadas. En la tabla 8.1 se resumen las condiciones de todos los puntos 2. Energía en forma de trabajo en cada etapa. Es claro que en este caso sólo hay trabajo en el compresor y en las bombas — En el compresor — En la bomba 1 — En la bomba 2 Se puede concluir que la potencia consumida en las bombas es prácticamente despreciable comparada con la potencia consumida en el compresor. 3. Transferencia en forma de calor en cada etapa. El único sitio donde se intercambia calor es en el condensador 4. Irreversibilidade Irreversibilidadess en cada etapa. Mediante balances de energía disponible se puede calcular la irreversibilidad de las etapas. — En la unión de las corrientes 1 y 7 — En la válvula — En el separador — En el compresor

189

Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería o r p s a r t o s a l r e e l n e t i m r e p e u q s o l n o s s o d a t l a s e r s e r o l a v s o l ( 7 . 8 o l p m e j e l e a r a p s o t n u p s o l s o d o t e d s ) e s a n l o i b a c t i d s a n l o C n e 1 . s e 8 d a a l b d e a i T p

190

) g k / J k (

0

0 4 0 1 , 0

4 2 , 3 –

ψ

6 7 , 5 7 1 –

2 5 , 7 1 3

) g k / 3 m ( v

9 8 , 2

8 9 , 2

4 9 , 2

4 0 , 3

1 0 1 0 0 , 0

1 0 1 0 0 , 0

1 0 0 , 0

1 0 0 , 0

) K g k / J k ( s

4 7 6 3 , 0

8 1 7 7 3 , 0

4 8 8 3 , 0

7 5 2 0 , 9

4 2 9 2 , 9

3 9 4 6 , 0

3 9 4 6 , 0

1 6 7 0 , 0

1 6 7 0 , 0

) g k / J k ( h

9 8 , 4 0 1

1 9 , 7 0 1

1 9 , 7 0 1

6 , 0 1 5 . 2

4 , 3 8 0 . 3

3 8 , 1 9 1

2 9 , 1 9 1

8 9 , 0 2

8 0 , 1 2

) C ° ( t

5 2

7 , 5 2

5

5

4 , 3 0 3

1 8 , 5 4

3 8 , 5 4

5

2 0 , 5

) a P k ( P

5 2 3 , 1 0 1

5 2 3 , 1 0 1

1 2 7 8 , 0

1 2 7 8 , 0

0 1

0 1

5 2 3 , 1 0 1

1 2 7 8 , 0

5 2 3 , 1 0 1

) s / g k (

5 , 0

8 1 5 , 0

8 1 5 , 0

8 1 0 , 0

8 1 0 , 0

8 1 0 , 0

8 1 0 , 0

5 , 0

5 , 0

M

e s a f

o t n u P

o o 9 d d i i o 4 o o d m d m r i i i i o d e 3 0 , u r u r p m a p p q q 0 í í ú L m L m V h = o o X c c

1

2

3

o o o d d o o o d o o i i o d o a d d d r d r t d d m m a o a o i i i i i i n u r u r u a r p r p u e q u q p q u q r u a l a t t í í t í p V a V a í a a c L s L m L s L m s o o e r c c

4

5

6

7

8

9


— En el condensador y qdisp = q– qno dis, pero qno disp = T0 (s5 – s6) = 2.576,94 kJ/kg, qdisp = 314,63 kJ/kg con estos resultados — En la bomba 1 — En la bomba 2 5. Irreversibilidad total y porcentajes de contribución de cada etapa. La irreversibilidadd total es irreversibilida Otra forma de cálculo es con un balance de energía disponible de toda la planta = 3,18 kJ/s 6. Eficiencia exergética de cada etapa — Para la mezcla de 1 y 7 — Para el separador — Para el compresor — En el condensador — En la bomba 1 — En la bomba 2


8.2

Un tanque rígido contiene vapor de agua saturado a 90 °C. Se agrega calor al agua hasta que la presión en el tanque alcanza un valor de 1,5 bar. La temperatura del ambiente es 10 °C. Calcular cuánto del calor agregado es energía disponible. Se enfría aire a 15 lbf/pul 2 y a presión constante desde 340 °F hasta 80 °F, todo el calor que cede el sistema aparece en los alrededores que tienen una temperatura de 60 °F. Determinar, del calor que se sustrae, qué cantidad es energía disponible para el sistema cerrado en Btu/h. 191


8.3 8.4

8.5 8.6

8.7

8.8

Determinar la cantidad máxima de trabajo que se puede obtener en un proceso de flujo de un kilogramo de vapor de agua a 200 kPa y 400 °C, si las condiciones del ambiente son 101,33 kPa y 300 K. Agua a 300 K y 10.000 kPa kPa fluye fluye por una caldera a razón de 10 kg/s, allí se vaporiza produciendo vapor saturado sa turado a 10.000 kPa. ¿Cuál es la fracción máxima del calor agregado al agua en la caldera que puede convertirse converti rse en trabajo en un proceso cuyo producto terminal es agua a las condiciones iniciales, si T0 = 300 K? ¿Qué pasa con el calor restante? Un gas ideal a 2.000 kP kPaa se estrangula adiabáticamente hasta 200 kP kPa. a. Determinar el trabajo perdido durante este proceso si T 0 = 300 K. Considere la transferencia de calor directa desde un recipiente térmico a T1 hasta otro recipiente térmico a T 2, donde T1 > T2 >T0. No es obvio por qué el trabajo perdido de este proceso depende de T 0, puesto que los alrededores no intervienen intervi enen en la transferencia de calor real. Mediante el empleo adecuado de la fórmula para la máquina de Carnot, demostrar que para la transferencia de una cantidad de calor Q se cumple

En un tanque rígido con un volumen de 0,10 m 3 hay freón-12 a 2 bar con una calidad del 50%. Se agrega calor de un depósito a 100 °C hasta que la presión alcanza 5 bar. Determinar la irreversibilidad del proceso. Considerar la temperatura ambiente 24 °C. El arreglo arreglo de la figura figura 8.9 se puede emplear para producir vapor a 1.000 1.000 kPa, si se dispone de dos fuentes de vapor una a 2.500 kPa y otra a 300 kPa. Suponiendo que tanto el compresor como la turbina operan isoentrópicamente y en estado y flujo permanente, determinar: a. La razón de flujos másicos másicos que hay entre entre las fuentes fuentes de vapor de alta y de baja presión. b. La temperatura del vapor de 1.000 kPa kPa que se obtiene mediante la descarga de la turbina y el compresor. c. La irreversibilidad irreversibilidad del proceso por cada kilogramo de vapor a 300 kPa, kPa, suponer que todo el proceso es adiabático, P 0 = 101,32 kPa, T0

Figura 8.9 Descripción del proceso para el problema 8.8

192


8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

Un refrigerador opera entre un depósito de calor de baja temperatura a 5 °C y un depósito de calor de alta temperatura a 20 °C. Si se requiere proporcionar 1.000 kJ de trabajo traba jo para producir 4.000 kJ de refrigeración, ¿cuál es su eficiencia exergética? t 0 = 20 °C. Un flujo permanente de agua se calienta en un intercambiad intercambiador or de calor de 25 a 50 °C mediante el calor proveniente de un depósito a 250 °C. Si el flujo de agua es de 0,5 kg/s, determinar la irreversibilidad del proceso. Un tanque tanque rígido de 1 m3 de volumen contiene inicialmente aire a 700 kPa y 40 °C. Al extraer aire del tanque se proporciona calor al mismo de tal manera que su temperatura se mantenga a 40 °C. Determinar para cuando la presión del aire dentro del tanque haya caído a 175 kPa: a. La cantidad total de calor que fue necesario proporcionar proporcionar al tanque. b. La irreversibilidad del proceso. T 0 = 300 K, P0 = 101,325 kPa. Se comprime comprime aire isotérmicamente mediante un compresor compresor que opera en estado permanente desde 100 kPa y 300 K hasta una presión final de 500 kPa. ¿Cuál es la eficiencia exergética del proceso? Para un flujo másico de 2,0 kg/s, ¿cuál es la potencia reversible? P 0 = 101,25 kPa, T0 = 300 K. Se comprime aire adiabáticamente mediante un compresor que opera en estado permanente, desde 100 kPa y 300 K hasta una presión final de 500 kPa. ¿Cuál es la eficiencia exergética del proceso? Para un flujo másico de 2,0 kg/s, ¿cuál es la potencia reversible? P 0 = 101,325 kPa, T0 = 300 K. Un reactor nuclear opera una planta elemental de potencia de turbina de gas, como se muestra la figura 8.10. El aire entra en el punto 1 y se comprime adiabáticamente hasta el punto 2, se calienta a presión constante entre los puntos 2 y 3 y se expande adiabáticamente del punto 3 al punto 4. Las L as condiciones específicas son: punto 1, 20 °C, 1 bar; punto 2, 4 bar; punto 3, 540 °C, 4 bar; punto 4, 1 bar. El trabajo para operar el compresor W c proviene de la turbina y el trabajo adicional de la turbina es el trabajo neto W s que entrega la planta. Las eficiencias del compresor y la turbina se indican en la figura 8.10. Realizar un análisis termodinámico del proceso, inclu yendo el reactor nuclear como parte del sistema y tratándolo como un depósito de calor a 650 °C, T 0 = 293,15 K. Se usa agua como sustancia de trabajo en una planta de potencia que utiliza un reactor nuclear. El diagrama de esta planta se muestra en la figura 8.11. El líquido comprimido que sale del reactor entra al evaporador instantáneo, donde se reduce la presión. Aquella fracción de agua que se evapora fluye hacia la turbina, mientras que el líquido 193


Figura 8.10 Descripción del proceso para el problema 8.14

que permanece va hacia la cámara de mezcla; la turbina es adiabática reversible, igual que las bombas. Realizar un análisis termodinámico del proceso.

Figura 8.11 Diagrama de una planta para el problema 8.15

194

9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos En este capítulo se aplican los conceptos presentados en capítulos previos al estudio del flujo de fluidos a través de equipos. En este tipo de aplicaciones (y por supuesto en las presentadas en el capítulo diez) se requiere de un uso global de los conceptos y herramientas de cálculo estudiadas anteriormente. Se presentará primero el flujo de fluidos a través de tuberías (para mostrar la utilización utilizaci ón de la ecuación del balance de energía mecánica), posteriormente posteri ormente se analizarán los flujos a través de toberas y difusores, para concluir el capítulo con el estudio de los procesos de compresión y expansión en turbinas.

9.1 Balance de energí energía a mecánica Para deducir el balance de energía mecánica se puede considerar el flujo a través de un equipo, como se muestra en la figura 9.1. El volumen de control para este caso será infinitesimal, de tal manera que los cambios en las propiedades se puedan considerar como diferenciales.

Figura 9.1 Sistema diferencial para determinar la ecuación de Bernoulli

Si se considera que el flujo es de estado estable, entonces el balance de energía es 0 = δMe (h + ec + ep)e + δQ − δMs (h + ec + ep)s − δ W s y si los cambios en la entalpía, la energía cinética y la energía potencial, se pueden considerar como diferenciales, entonces el balance por unidad de masa es 0 = δq − δ w s − d(h + ec + ep) (9.1)


El balance de entropía para este caso es y por unidad de masa (9.2) en la cual ds representa la diferencia en la entropía entre los puntos de salida y de entrada. Si se considera que el sistema diferencial se mantiene a temperatura constante, entonces T ds = δq + δlw (9.3) combinando las ecuaciones 9.1 y 9.3 para eliminar el flujo de calor, se obtiene 0 = T ds − δlw − δ w s − d(h + ec + ep) (9.4) la cual se puede reescribir como 0 = T ds − dh − δlw − δ w s − d(ec + ep) (9.5) y utilizando la ecuación 5.6 (ecuaciones fundamentales) fundamentales) se transforma en 0 = − v dP − δlw − δ w s − d(ec + ep) (9.6) La ecuación 9.6 es el balance de energía mecánica para un sistema diferencial. La integración de esta ecuación sobre todo el proceso (o en otras palabras, la suma de los cambios a través de todos los elementos diferenciales que componen un proceso) produce (9.7) la únicas restricciones en la deducción de esta ecuación fueron las consideraciones de un estado estable y que el proceso ocurre por una serie de estados de equilibrio (esto está implícito en la utilización de la ecuación 5.6). La consideración de que el sistema diferencial sea isotérmico no implica que el proceso global tenga esta restricción, simplemente significa que cada estado de equilibrio mantiene la misma temperatura.

9.1.1 El trabajo perdido en el flujo de fluidos El trabajo perdido en estos casos es debido principalmente al rozamiento en la tubería, a cambios en la dirección del fluido y a turbulencias. En el caso de flujo por el interior de tuberías, las pérdidas se pueden expresar en función del factor de fricción de fanning (f) (9.8) en la cual D es el diámetro de la tubería y L la longitud. El factor de fricción es función funci ón del régimen de flujo (turbulento o laminar) representado por el número de Reynolds 196

9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos

la rugosidad relativa de la tubería ( ε/D) y la relación longitud/diámetro f = f (NRE, ε/D, L/D) (9.9) En muchos casos de interés práctico, en el cual el régimen se puede considerar turbulento, el factor de fricción se hace prácticamente independiente del número de Reynolds (especialmente (especialment e en las tuberías de mayor rugosidad) y por tanto se puede considerar constante durante todo el flujo. En esos casos la ecuación 9.8 se puede integrar para producir (9.10) si el diámetro de la tubería es constante, la ecuación 9.10 queda (9.11) la cual se puede evaluar si se conoce la variación de la velocidad a lo largo de toda la tubería. Para el flujo de fluidos a través de accesorios (como codos, válvulas, uniones, etc.) el trabajo perdido se evalúa usualmente mediante el coeficiente de pérdidas del accesorio (k accesorio). (9.12) Para la gran mayoría de aplicaciones prácticas, se ha encontrado que el coeficiente de pérdidas es constante y las tablas para gran número de accesorios se pueden encontrar en la bibliografía sobre el tema.

9.1.2 Aplicaciones del balance de energía mecánica El balance de energía mecánica (véase ecuación 9.6) se puede simplificar a formas más útiles en algunos casos especiales. 1. Fluidos incompresibles En este caso, el volumen específico de la sustancia no cambia apreciablemente durante el proceso y por tanto la ecuación 9.6 queda

(9.13) Si se trata de flujo unidireccional y no hay equipos en los cuales se intercambie trabajo, el trabajo perdido se deberá solo a las rugosidades y por tanto usando la ecuación 9.10 (9.14) y si el flujo es ideal (sin trabajo perdido) entonces 197


(9.15) o en otras palabras (9.16) Ejemplo 9.1

Se utiliza una bomba para llevar agua de enfriamiento a un intercambiador de calor, el agua de alimentación a la bomba se mantiene en un tanque abierto y llega al intercambiador por una tubería de 0,6 pulgadas (véase figura 9.2). El intercambiador requiere 0,3 m 3/min de agua a 3 atm. La tubería que mide 27,5 m y que tiene una diferencia de altura entre la bomba y el intercambiador de 15,5 m, tiene un factor de fricción que se puede considerar considerar constante ƒ = 0,003, los accesorios en la tubería son 4 codos de 90° (k = 0,75) y una válvula de globo (k = 6,4). Si el motor de la bomba consume 77 kW, ¿cuál es su eficiencia? Solución

Figura 9.2 Esquema de bombeo para el ejemplo 9.1

Para resolver este problema se puede utilizar la ecuación 9.13, ya que se puede considerar que el volumen específico del agua no cambia durante el proceso y que el trabajo mecánico entra en la bomba si se considera que la diferencia de velocidad entre los puntos 1 y 2 es despreciable el primer término del lado derecho se puede evaluar suponiendo que el agua de alimentación está a condicione condicioness atmosféricas y por tanto v = 0,001 m3/kg w e = lw + 0,35455 kJ/kg El término lw se puede dividir en tres contribuciones — Trabajo perdido en la tubería por fricción lw tub. — Trabajo perdido en los accesorios ac cesorios lw accesorios. — Trabajo perdido en la bomba b omba lw l w bomba. 198


Para calcular la eficiencia de la bomba se debe encontrar primero el trabajo que haría una bomba reversible. ( con lw bomba = 0) w e (rev) = lw tub + lw accesorios + 0,35455 kJ/kg el trabajo perdido por fricción fricci ón en la tubería se puede hallar de la ecuación 9.8 9. 8 con velocidad constante

y en la cual la velocidad es caudal volumétrico = Área transversal de tubería Caudal = 0,3 m3/min = 0,005 m3/s Área tubería = y entonces El trabajo perdido en la tubería es lw tub = 8,134 kJ/kg Para calcular el trabajo perdido en accesorios se utiliza la ecuación 9.12

y kaccesorio = 4 × kcodo + 1 × k válvula kaccesorio = 4 × 0,75 + 6,4 = 9,4 por tanto El trabajo requerido por la bomba reversible es w e (rev) = 8,134 + 3,513 + 0,35455 = 12,00 kJ/kg y la potencia consumida

La eficiencia de la bomba es por tanto

η = 77,9% 2. Fluidos compresibles a través de tuberías largas Para el caso de flujo a través de grandes longitudes de tubería en los cuales se pueda despreciar el cambio en la energía potencial y donde no haya dispositivos que intercambien trabajo, la ecuación 9.6 se reduce a

199


que con la ecuación 9.8 queda (9.17) En estos casos, la velocidad cambia a lo largo de la tubería y por tanto la evaluación de la ecuación 9.17 requiere el conocimiento de la relación entre y L. Una forma de evitar este problem problemaa es mediante la siguiente manipulación matemática: dividiendo la ecuación 9.17 por se llega a (9.18) que se puede transformar en (9.19) Por otra parte, la ecuación de continuida continuidadd establece que = /A, que en el caso de estado estable en una tubería de área constante produ produce ce = constante y en consecuenc consecuencia, ia, multiplican multiplicando do la ecuación 9.19 por se llega a (9.20) pero y por tanto la ecuación 9.20 queda (9.21) la cual puede ser integrada fácilmente, produciendo (9.22) o (9.23) En resumen, las ecuaciones 9.22 y 9.23 son aplicables al caso de flujo de fluidos a través de tuberías de diámetr diámetroo constante, en estado estable, sin dispositivos que intercambien trabajo y en los cuales el cambio en la energía potencial no sea apreciable. Para su evaluación se requiere conocimiento de la relación entre la presión y la densidad durante todo el proceso. Esta puede expresarse en una forma sencilla en el caso de una sustancia que se pueda modelar como un gas ideal; pero produce expresiones extremadamente complicadas para el 200


caso de ecuaciones de estado no ideales con las cuales se debe recurrir a métodos numéricos apropiados. Ejemplo 9.2

Se desea bombear etano entre dos estaciones de un gasoducto por una tubería de 12,3 km de longitud con un factor de fricción constante de 0,0025. La presión en la estación de bombeo inicial y final debe ser de 5 atm y 2 atm respectivamente. respectiv amente. Si por el gasoducto deben fluir 1,2 kg/s de etano en forma isotérmica a 20 °C, calcular el diámetro del gasoducto a utilizar. Solución

Considerando al etano que fluye por el gasoducto gasoduc to como un gas ideal entonces ρ = P/RT y la ecuación 9.23 queda (considerando flujo isotérmico)

con A = π D 2 /4 e integrand integrando, o, se obtiene obtiene

reemplazando los valores reorganizando D = 620.416,1 D5 – 67,1 y resolviendo por tanteo D = 0,161 m

9.2 Flujo a través de toberas y difusores En esta sección se presentará la aplicación de los conceptos estudiados del flujo mediante dispositivos de área variable. Una tobera es un dispositivo que aumenta la velocidad de la sustancia mediante una disminución en la presión. En un difusor, la presión de la sustancia aumenta, disminuyendo la velocidad. Debido a que el flujo a través de toberas y difusores es, en general, a altas velocidades, no hay tiempo para que se establezca la transferencia de calor y por tanto se puede considerar que estos dispositivos son adiabáticos. Por otra parte, los equipos estudiados en esta sección no requieren de ningún dispositivo para el intercambio de trabajo. Antes de plantear las ecuaciones que describen el comportamiento de las sustancias en las toberas y los difusores se deben presentar dos conceptos previos: la velocidad del sonido y las propiedades de estancamiento. 201


9.2.1 La velocidad del sonido Para encontrar la expresión para la velocidad con la que viaja una onda de sonido (la cual puede ser considerada como una pequeña perturbación perturba ción de presión) en un fluido, se examinará el fenómeno desde el punto de vista de un observador situado en la onda, como se muestra en la figura 9.3.

Figura 9.3 Movimiento de una onda de sonido, el observador se mueve con

la onda

Desde el punto de vista del observador, está en una onda estacionaria, con el fluido viajando hacia hac ia él con una velocidad C y sale del volumen vo lumen de control con una veloci velocidad dad C−d . Debido Debido a que la onda onda de sonido sonido es infinitesi infinitesimal, mal, los cambios en la presión, densidad y entalpía durante el paso de la onda están dados por dP, dρ y dh respectivame respectivamente. nte. Para el observador, obser vador, se tiene un estado estable estab le en flujo estable y puesto que el proceso se puede considerar adiabático, sin cambios en la energía potencial y no se tiene intercambio de trabajo, el balance de energía para el volumen de control de la figura 9.3 es (9.24) la cual, despreciando las diferenciales de segundo orden, queda (9.25) Por otra parte, la ecuación de continuidad para este caso puede escribirse en la forma ρ C A = (ρ + dρ) (C−d ) A que, despreciando nuevamente las diferenciales de segundo orden, se reduce a C dρ = ρ d que al reemplazarse en la ecuación 9.25 produce (9.26) Si se utiliza la ecuación 5.6 para eliminar la entalpía, la ecuación 9.26 queda (9.27) 202


Como la onda sonora se puede considerar como una onda de presión infinitesimal, se puede suponer que el proceso es reversible. Por tanto, como el flujo es también adiabático, resulta que ds = 0 y la ecuación 9.27 se reduce a

es decir deci r, (9.28) Como la derivada del lado derecho de la ecuación 9.28 se debe evaluar a entropía constante, se puede escribir más correctamente como (9.29) ya que la relación del lado derecho de la ecuación 9.29 es una propiedad termodinámica, entonces la velocidad del sonido también es una propiedad termodinámica y tiene un solo valor para cada estado. Para el caso particular de un gas ideal, se puede demostrar que que en un proceso isentrópico queda o en otras palabras (9.30) Al reemplazar en la ecuación 9.29 se obtiene que para un gas ideal (9.31) es decir que la velocidad del sonido en un gas ideal es función únicamente de la temperatura. En el estudio de flujo de fluidos es conveniente utilizar un parámetro adicional conocido como el número de Mach (M *) que se define como la relación entre la velocidad del fluido y la velocidad con la que se propaga el sonido dentro de este (9.32) Empleando el número de Mach se pueden clasificar los regímenes de flujo de la siguiente manera: Flujo subsónico, cuando M * < 1. Flujo sónico, cuando M * = 1. Flujo supersónico, cuando M * > 1. 203


Ejemplo 9.3

Calcular el número de Mach en la estación inicial y final del etano que fluye por el gasoducto del ejemplo 9.2. Solución

La velocidad del etano se puede calcular en cualquier punto con la ecuación de continuidad y considerando al etano como un gas ideal con los datos del problema 9.2

se obtiene para la estación de bombeo inicial en la estación de bombeo final la velocidad es la velocidad del sonido, en este caso, se mantiene constante

La velocidad del sonido es entonces C = 310,33 m/s y el número de Mach en cada punto

9.2.2 Propiedades de estancamiento Este es un concepto que muchas veces simplifica el análisis de problemas de flujo compresible. Se define como estado de estancamiento isentrópico al estado que alcanza un fluido en movimiento si se llevara al reposo en un dispositivo operando en estado estable, mediante un proceso reversible sin interacciones de calor ni de trabajo. El balance de energía para este proceso hipotético es (9.33) en el cual simboliza la entalpía del fluido en reposo. Por otra parte, como la entropía de estancamien estancamiento to es la misma que la del fluido en movimiento, todas las propiedades quedan especificadas mediante el conocimient conocimientoo de y . 204

9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos Ejemplo 9.4

Determinar la temperatura y la presión de estancamiento isentrópico isentrópico de un avión que viaja a Mach 0,9 bajo unas condiciones atmosféricas de 50 kPa y −12 °C. Solución

Para el aire a −12 °C se tiene que y por tanto la velocidad del avión es De la ecuación 9.33, la entalpía de estancamiento es y

si se considera un gas ideal con C p constante

Para un proceso isentrópico de gas ideal y considerando capacidades caloríficas constantes

y

reemplazando los valores

9.2.3 Flujo adiabático reversible en conductos de sección transversal variable Para el estudio de flujo a través de toberas y difusores (dispositivos con área de flujo variable), se puede realizar un análisis similar al mostrado en el desarrollo del balance de energía mecánica. 205


Figura 9.4 Sistema diferencial para flujo en conductos de área variable

La aplicación de la ecuación 9.6 al proceso mostrado en la figura 9.4 en el cual el flujo es adiabático, reversible sin intercambio de trabajo y con cambios insignificantes en la energía potencial, produce o (9.34) Por otra parte, la ecuación de continuidad es renciada logarítmicamente logarítmicamente se transforma en

= constante que dife(9.35)

combinando las ecuaciones ecuaciones 9.34 y 9.35 se obtiene

que utilizando el resultado de la ecuación 9.29 se transforma en (9.36) Utilizando el concepto de número de Mach la ecuación se convierte en (9.37) o (9.38) reemplazando reemplaza ndo la ecuación 9.34 en la 9.38 resulta (9.39) El análisis de las ecuaciones 9.38 y 9.39 conduce a conclusiones importantes 206


1. Cuando M* < 1 Esto significa que si se desea acelerar un fluido subsónico el área de la sección transversal debe disminuir en la dirección en que aumenta la velocidad y disminuye la presión. De la misma forma, se puede concluir que un difusor subsónico debe tener forma divergente. 2. Cuando M* > 1 En este caso, una tobera supersónica debe ser divergente, mientras que un difusor supersónico debe ser convergente. 3. Cuando M* = 1 El área de flujo se mantiene constante en este caso. Se debe notar, de estas conclusiones, que una vez que el fluido alcanza la velocidad del sonido, una aceleración posterior solo puede ocurrir en una sección divergente. Las conclusiones se pueden resumir esquemáticamente en la figura 9.5.

Figura 9.5 Relación de velocidad, área y presión para flujo isentrópico en

toberas y difusores

9.2.4 Eficiencia de toberas Cuando el flujo a través de una tobera no es reversible, reversib le, se puede utilizar la ecuación 9.40 para calcular la magnitud de las irreversibilidades 207


(9.40) Las irreversibilidades en una tobera se deben principalmente a la fricción. En la actualidad, mediante diseños mejorados mejorados y la escogencia de materiales apropiados, los efectos de la fricción se han minimizado y es por eso que las eficiencias de toberas son generalmente muy altas (del orden de 92 a 97%). Un balance de exergía en una tobera real produce que reemplazando en la ecuación 9.40 da Es claro entonces que cuando la tobera funciona sin irreversibilida irreversibilidades, des, la eficiencia exergética es la máxima. Algunos autores postulan que el objeto de una tobera no es obtener una exergía alta en la salida, sino específicamente específicament e un aumento en la velocidad y por tanto definen una eficiencia eficienc ia energética como la relación entre la energía cinética real obtenida y la que se obtendría si el flujo fuera isentrópico entre las mismas condiciones iniciales y la misma presión final. (9.41) y utilizando las propied propiedades ades de estancamiento (véase ecuación 9.33) (9.42) en la cual es la entalpía de estancamient estancamientoo en la entrada y h si es la entalpía de salida si el flujo fuera reversible. Ejemplo 9.5

Por una tobera entran 1,5 kg/s de aire a 160 kPa y 67 °C con una velocidad de 90 m/s. El área de la sección transversal de la salida de la tobera es de 0,018 m2 y el fluido sale por ella a 350 m/s. Calcular: a. La temperatura a la salida. b. La presión en la salida. b. La eficiencia energética. energética. Solución

a. El balance de energía es

y considerando gas ideal con C p constante

208


y por tanto

b. Para un gas ideal P = ρ R T y de la ecuación de continuidad o sea que

c. Para calcular la velocidad de salida del proceso adiabático reversible se debe encontrar primero la temperatura de salida ideal. Del balance de entropía para el flujo adiabático reversible de un gas ideal

y por tanto Tsi = 185,9 K La velocidad de salida ideal se puede calcular del balance de energía y entonces

la eficiencia es

9.3 Procesos de compresión y expansión en flujo estable Antes de presentar el funcionamiento de las máquinas térmicas y de los refrigeradores se estudiarán un poco más de cerca dos de los equipos más importantes de estos ciclos: las turbinas y los compresor compresores. es.

9.3.1 Expansión en turbinas El propósito de una turbina es producir trabajo tr abajo llevando al fluido desde unas condiciones de entrada hasta una presión final específica. Por tanto, es útil 209


investigar diferentes tipos de procesos reversibles entre el estado inicial y alguna presión final dada para determinar cuál representa la mayor cantidad cantida d de trabajo. En la figura 9.6 se muestran tres trayectorias reversibles de expansión para un gas entre un mismo estado inicial y una presión final dada. Del diagrama presión volumen mostrado, es claro que el proceso isotérmico es el que produce la mayor cantidad de trabajo, pero en la práctica, la cantidad cantida d de calor que puede transmitirse durante la expansión en una turbina está limitada por una pequeña superficie disponible para la transferencia tra nsferencia de calor y por el poco tiempo que el gas permanece en la turbina. En consecuencia, muchas veces no es deseable el calentamiento durante la expansión propiamente dicha, sino que se obtiene trabajo adicional con una etapa intermedia inter media de recalentamiento: el gas se saca de la turbina a una presión intermedia entre las presiones de entrada y salida, se calienta a presión constante (véase figura 9.7) y entonces reingresa a la turbina o entra a otra turbina para expandirse hasta la presión de salida.

Figura 9.6 Trayectorias de expansión reversible

De la figura 9.7 es claro que el trabajo se incrementa (con respecto a la expansión adiabática) mediante el recalentamiento recalentamiento.. También También se puede observar que para valores dados de P E y Ps existe una presión óptima para el recalentamiento (esto se puede intuir analizando los casos extremos: si se selecciona una presión intermedia muy cercana a la presión de entrada o de salida, el aumento del trabajo obtenido es pequeño comparado con el aumento obtenido de una etapa intermedia como la mostrada en la figura 9.7). Se ha demostrado que si el recalentam recalentamiento iento lleva al gas a su temperatura inicial, se obtiene el máximo trabajo cuando el trabajo es el mismo para las dos etapas. Se puede también concluir, de un análisis posterior, que cuando se tienen más de dos etapas, el trabajo óptimo se obtiene cuando las etapas aportan por partes iguales al total obtenido.

9.3.2 Flujo en compresor compresores es Un análisis similar al realizado para las turbinas se puede hacer con el flujo estable en compresores. En este caso se desea obtener una presión 210


Figura 9.7 Recalentamiento en turbina de gas

de salida alta con un mínimo de trabajo invertido en ello. En la figura 9.8 se muestran tres procesos reversibles para realizar la compresió compresión. n.

Figura 9.8 Trayectorias de compresión reversible

En el caso de los compresores se aplican restricciones similares al caso de las turbinas para la transferencia de calor y es por tanto preferible, en muchos casos, tener etapas de enfriamiento intermedio. En este caso, la experiencia ha mostrado que si se tienen más de dos etapas, el mínimo trabajo de entrada se requiere cuando el trabajo total se divide en partes iguales entre las etapas (véase figura 9.9).

Figura 9.9 Compresión en tres etapas con enfriamientos intermedios a Pi1 y Pi

211


Problemas propuestos 9.1 Se desea bombear gas metano entre dos estaciones de un gasoducto por por una tubería de 20 cm de diámetro, 12,3 km de longitud y un factor de fricción constante de 0,0025. A la estación final deben llegar 1,5 kg/s de metano a 4 atm. Calcular cuál debe ser la presión en la estación de partida si el flujo es considerado isotérmico a 20 °C. 9.2 Calcular la transferenci transferenciaa de calor involucrada en el problema 9.1. 9.3 Por un tubo horizontal, perfectamente liso y aislado térmicamente de diámetro constante (D = 4 pulgadas) fluye aire en estado estable. El aire entra a 150 kPa y 35 °C con una velocidad de 58 m/s y sale a 140 kPa y 240 °C. Determinar: a. La velocidad del aire a la salida. b. El flujo másico. 9.4 Por una tubería horizontal con un factor de fricción de 0,008 fluye agua a 78 °F. La caída de presión debida a la fricción es de 1,1 psi por cada 100 pies de tubería. ¿Cuál es el flujo másico que se puede conducir por una tubería de 6 pulgadas? 9.5 En un conducto conducto horizontal horizontal fluye fluye helio en forma forma adiabática reversible, reversible, desde 750 kPa y 60 °C hasta 150 kPa. kPa. Si la velocidad veloci dad inicial es de 60 m/s, m/s , determinar la velocidad al final del ducto. 9.6 A un tubo de 4 cm de diámetro entra agua a 2.000 kPa kPa y 30 °C con una velocidad de 2 m/s. La salida del tubo está a 25 m por arriba de la entrada. Si la caída de presión presi ón por fricción es de 15 kPa, kPa, determinar la presión a la salida. 9.7 Entre dos estaciones de bombeo de un gasoducto fluye propano propano por una tubería que se puede considerar horizontal de 32 cm de diámetro y de 38 km de largo. La presión del gas en la estación de bombeo inicial es de 62 atm y la presión de entrada a la estación de bombeo final es de 30,5 atm. Se puede suponer que el factor de fanning es de 0,0042 en toda la tubería. Si se considera que el flujo es isotérmico a 25 °C y que el propano obedece a la ecuación de estado

con Pc en kPa calcular: a. El flujo másico. b. Las velocidades al comienzo y al final de la tubería. c. La transferencia de calor. 9.8 Se bombea gas natural (metano) a través de una tubería horizontal de 0,305 m de diámetro y de 56 km de largo. Las presiones al comienzo y la final de la tubería son respectivamente de 51 atm y 27 atm. Se 212


puede suponer un factor de fricción de Fanning de 0,004. Si el metano obedece la ecuación de estado calcular el caudal y la transferencia de calor si el flujo es isotérmico a 15,6 °C. 9.9 La central de una hidroel hidroeléctrica éctrica tiene tiene una turbina que recibe 400 400 kg/s de agua de un lago artificial a través de una tubería t ubería de cemento de 0,915 m de diámetro y 0,8 km de longitud y que se extiende hasta el lecho de un río 75 m más abajo. La tubería tiene una válvula de compuerta 50% abierta (con un coeficiente de pérdidas de 4,5) y para todos los caudales prácticos se s e tiene un flujo turbulento con un factor de Fanning de 0,005. Si la turbina tiene un rendimiento del 85%, calcular: calcular: a. El trabajo que se obtiene de la turbina. b. La presión justo antes de entrar a la turbina. 9.10 Suponiendo un comportamiento de gas ideal, determinar la velocidad del sonido en cada uno de los siguientes casos: a. Aire a 25 °C. b. Monóxido de carbono a 25 °C. c. Argón a 25 °C. d. Agua a 0,2 MPa y 250 °C. 9.11 A través de un conducto fluye oxígeno isoentrópicamente en estado estable. En el punto de entrada donde el área de la sección transversal transvers al 2 es de 0,2 m el oxígeno está a 70 7 0 kPa kPa y 50 °C y tiene una velocidad veloci dad de 600 m/s. En la sección de salida el gas está a 340 kPa. Determinar: a. El área de la sección transversal de salida. b. El número de Mach en la salida. 9.12 En una tobera con una eficiencia energética del 93% se expande CO 2 desde 3,2 MPa y 180 °C hasta 0,8 MPa. Suponiendo que el CO 2 es un gas ideal, calcular: a. La velocidad de salida. salida. b. La temperatura de salida. 9.13 En una tobera con una eficiencia efici encia energética del 95% se expande vapor de agua desde 6,0 MPa y 400 °C hasta 3,0 MPa. Si el área se salida es de 6,5 cm2, determinar el flujo másico del agua. 9.14 En una tobera se expande nitrógeno en forma adiabática reversible desde 1.500 kPa y 100 °C. Se desea obtener una velocidad de salida de 600 m/s. Despreciando la velocidad de entrada determinar: a. El número de Mach a la salida. b. La presión a la salida. c. La eficiencia energética en la tobera. 213


9.15 Demostrar que la presión de estancamiento incompresible, se puede expresar mediante

, para un fluido

9.16 Determinar la presión de estancamiento para el agua a 100 °C y 200 kPa, que fluye con una velocidad de 50 m/s. 9.17 Determinar la presión y la temperatura de estancamiento correspondiente correspondien te a un avión de propulsión a chorro que viaja a 500 m/s a través de aire atmosférico a 12 kPa y −20 °C. 9.18 Vapor Vapor de agua que se encuentra a 200 psia tiene una entalpía de estanestan camiento de 1.270,8 Btu/lb y su velocidad es de 300 pies/s. Calcula la temperatura y la entropía de estancamiento. 9.19 Demostrar que para el flujo de un gas ideal con capacidades caloríficas constantes se cumple a. b. 9.20 Mediante una tobera se expande vapor de agua desde unas condiciones de estancamiento de 200 psia y 800 °F hasta otras condiciones de 40 psia y 450 °F. Determinar la eficiencia energética de la tobera. 9.21 Desde una caldera donde la presión es de 1,0 MPa y la temperatura es de 500 °C fluye vapor de agua. Determinar la velocidad en un punto de una tobera donde la presión es de 100 kPa, si el proceso es reversible. 9.22 Un gas ideal con calores específicos constantes constantes entra a una tobera a 500 kPa y 300 K, y sale de la tobera a 100 kPa. Si el proceso es isentrópico en estado estable, calcular el número de Mach a la salida de la tobera si el gas es: a. Aire. b. Dióxido de carbono. c. Helio.

214

10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refriger refrigeración ación Una sociedad industrializada consume grandes cantidades de energía. Además se caracteriza por su creciente dependencia de la electricidad, tendencia que tiene efectos directos en el consumo global de energía e indirectos en el medio ambiente. Como consecuencia de ello, las decisiones que se deben tomar en relación con co n el diseño de un sistema de conversión conversi ón de energía, están ligadas al comportamiento de la economía y a la calidad de vida en el ambiente. La generación de potencia involucra innumerables aplicaciones de la termodinámica, por ejemplo a la propulsión de automóviles, aviones o barcos, para suministro de electricidad o para aplicación directa en la operación de bombas, compresores, equipos de procesamiento de materiales y refrigeración. Un ingeniero debe esforzarse por incrementar la eficiencia térmica de un sistema de generación de potencia o por reducir el consumo de potencia en un proceso de refrigeración, tratando de minimizar irreversibilidades. El diseño de un buen proceso es aquel que tenga una eficiencia razonablemente alta y cumpla con los requisitos técnicos, económicos y de protección del ambiente.

10.1Ciclos de potencia En general el equipo generador de potencia se clasifica en: sistemas de potencia de gas y sistemas de potencia de vapor. Los sistemas de potencia de gas incluyen las turbinas de gas y los motores de combustión interna. En ambos la sustancia de trabajo, durante el proceso, no cambia de fase, permanece como gas. En los sistemas de potencia de vapor la fase de la sustancia de trabajo cambia y este cambio permite que se alcance más energía que la que se puede almacenar por solo calentamiento en una fase. Aquí la sustancia de trabajo se expande como vapor pero se comprime como líquido con un volumen específico pequeño, por ello muy poco del trabajo obtenido en la expansión tiene que usarse en la compresión.


De todos los sistemas de potencia de gas, se tratarán en este texto las plantas de turbina de gas que operan de acuerdo con el ciclo de Brayton y las máquinas de combustión interna que operan de acuerdo con el ciclo de Otto y el ciclo de Diesel. Existen otros sistemas de potencia de gas modelados mediante otros ciclos o por combinación entre ellos, cuyo análisis análi sis se hace en la misma forma de los antes mencionados. El modelado de las plantas de potencia de vapor se hace de acuerdo con el ciclo de Rankine.

10.2 Ciclos de potencia de gas 10.2.1 Ciclo de Brayton o ciclo de turbina de gas básico En una turbina de gas simple el aire atmosférico entra a un compresor donde se comprime hasta una presión y una temperatura más alta, luego pasa a una cámara de combustión donde se le inyecta el combustible y los productos calientes de la combustión se expanden luego en una turbina para producir trabajo. Parte del trabajo de la turbina se usa para impulsar el compresor, una pequeña cantidad se utiliza para operar dispositivos auxiliares y el resto es la salida neta de trabajo de la planta. El modelo más simple para estudiar la turbina de gas es el modelo estándar estánda r de aire, con las siguientes características: — La sustancia de trabajo es aire, que se comporta como gas ideal a lo largo del ciclo. — El proceso de combustión se reemplaza por un proceso de adición de calor a presión constante. — El escape real de los productos de combustión combus tión de la turbina y el aspirado a spirado del aire atmosférico por el compresor se reemplazan por un proceso de liberación de calor a presión constante. Para el cálculo de propiedades del aire puede también suponerse que las capacidades caloríficas caloríficas son constantes y sus valores corresponden a los de la temperatura ambiente. El ciclo de Brayton es un modelo de aire estándar de un ciclo de turbina de gas simple. La L a figura 10.1 muestra un diagrama de flujo, un diagrama P-v y un diagrama T-s para este ciclo. Los procesos de compresión y expansión son isentrópicos y la adición y liberación de calor ocurren de una manera reversible a presión constante. En el diagrama T-s se ve claramente la divergencia de las líneas de presión constante con entropía, lo cual asegura que la variación de entalpía en la turbina es mayor en magnitud que la variación de entalpía en el compresor. De otra manera la turbina no puede impulsar el compresor y entregar trabajo a los alrededo alrededores. res. 216

10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración

Figura 10.1 Ciclo de Brayton que simula una operación simple de una turbina

de gas. a. a . Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. P-v. c. Diagrama T-s. T-s.

Mediante los balances de energía en la turbina, en el compresor y en la cámara de combustión, despreciando variaciones de energía cinética y potencial se tiene w turbina = h3 − h4 (10.1) w compresor = h2 − h1 (10.2) w neto = w turbina − w compresor = (h3 − h4) − (h2 − h1) (10.3) (10.4) Para el caso especial de capacidades caloríficas constantes con la temperatura (10.5) Esta eficiencia también podría expresarse en términos de las presiones. La eficiencia eficienci a del ciclo de Brayton es significa significativamente tivamente menor que la de un ciclo de Carnot que opera dentro de los mismos límites de temperatura, como se muestra en la figura 10.2 En algunas aplicaciones de turbinas de gas se pueden utilizar otras sustancias de trabajo. Las bajas eficiencias de las turbinas y los compresores retrasaron el desarrollo de plantas de turbinas de gas, pues los procesos reales en estos 217


Figura 10.2 Superposición de un ciclo Brayton y un ciclo de Carnot para

comparar las eficiencias

equipos ocurren irreversiblemente generando pérdidas de disponibilidad, como puede apreciarse en el diagrama de la figura 10.3

Figura 10.3 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con compresión y expan-

sión irreversibles Ejemplo 10.1

El aire entra al compresor de una planta de turbina de gas simple a 100 kPa, kP a, 20 °C, a razón de 2,20 kg/s. La eficiencia eficien cia adiabática adiabáti ca del compresor es 60%. La presión de descarga es de 450 kPa. Calcular la cantidad de calor en kJ/s, que debe agregarse para proporcionar una temperatura de entrada a la turbina de 650 °C. Solución

Se trata de un proceso en estado estable, flujo estable como se representa en la figura 10.4. 218


Figura 10.4 Pr Proceso oceso en estado estable, flujo estable, ejemplo 10.1

El calor se agrega en el proceso proces o de 2 a 3 que se realiza a presión constante cons tante (reemplaza la combustión en el proceso real). El aire se va a considerar como un gas ideal, suponiendo capacidades caloríficas constantes con la temperatura. Un balance de energía en el intercambiador de calor da q2→3 = h3 − h2 real determina r el real estado 2, esto puede hacerse Para calcular calcula r h2 es necesario determinar mediante un análisis en el compresor. Si el compresor trabaja de una manera adiabática reversible se cumple que

y para este caso con γ para el aire igual a 1,4

sería la temperatura a la salida del proceso reversible y el trabajo suministrado a este compresor de acuerdo con el balance de energía es w c, rev = h2, rev − h1 = Cp, 0 (T2, rev − T1) w c, rev = 1,0035 (450,5 −293) = 158,05 kJ/kg Como la eficiencia del compresor real es del 60%, se tiene ηc =

w c, rev w c, real

luego w c, real = 158,05/0,6 = 263,42 kJ/kg Un balance de energía para el compresor real permite calcular T 2 real así w c, real = h2, real − h1 = Cp, 0 (T2, real − T1) 219


Figura 10.5 Ciclo de turbina de gas regenerativa. a. Diagrama de flujo. b. Diagra-

ma T-s.

luego w T2, real= c, real + T1 w p, 0

T2, real = 263,42/1,0035 + 293 = 555,5 K = 282,5 °C De la ecuación a q2→3 = Cp, 0 (T3 − T2, real) = 1,0035 (650 – 282,5) = 368,79 kJ/kg El flujo de calor en el intercambiador será

1. Regeneración en turbinas de gas Como la temperatura de escape de la turbina de gas es bastante mayor que la temperatura del aire que sale del compresor, se puede instalar un intercambiador de calor que recibe el nombre de regenerador, donde el gas de escape de la turbina calienta el aire que sale del compresor antes

220


de entrar a la cámara de combustión reduciendo así el consumo de combustible. Este ciclo regenerativo se muestra en la figura 10.6. Aplicando el balance de energía al regenerador suponiendo cambios de energía cinética y potencial despreciables y sin pérdida de calor a los alrededores se tiene que h3 − h2 = h5 − h6 porque q2 → 3 = q5 → 6 Las dos áreas que representan transferencia transferencia de calor en la figura 10.6 son iguales. Para una eficiencia térmica tér mica máxima de un ciclo regenerativo, T 3 en la figura 10.6, debería ser tan alta como fuera posible, siendo su valor límite T 5, por tanto puede definirse la efectividad del regenerador como (10.6)

Figura 10.6 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con inter-enfriamiento.

a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

221


Incrementar la efectividad de un regenerador exige una mayor área de superficie de transferencia de calor, lo cual incrementa tanto el costo como los requerimientos de espacio, entonces regeneradores con alta efectividad pueden no justificarse económicamente. En consecuencia los valores de efectividad raramente raramente exceden el 0,7 en las plantas reales. 2. Inter-enfriamiento en turbinas de gas El trabajo neto del ciclo puede incrementarse disminuyendo el trabajo necesario en la compresión o aumentando el de la turbina. Esos son los propósitos del inter-enfriamiento y del recalentamiento respectivamente, como puede apreciarse en las figuras 10.7 y 10.8. 3. Propulsión a chorro con turbinas de gas Los aviones son impulsados acelerando aire hacia atrás y ejerciendo una fuerza sobre estos. La fuerza de igual magnitud y dirección opuesta del fluido sobre el avión es lo que lo impulsa. Qe Qe, rec 4

C.C. 2

Recalentador

5

3 T

T

W

C 6

1 a.

T 3 5

4 6 2 Recalentamiento a presión constante 1

S b.

Figura 10.7 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con recalentamiento. a.

Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

222


2

3

C.C.

C

T

1

X5

X1 5

4

Tobera a.

T

P

3 2

3

4

Trabajo de la turbina 2

5

4 1 Trabajo del compresor 1

5 S

V b.

c.

Figura 10.8 Motor turborreactor. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c.

Diagrama T-s.

De los diferentes motores de propulsión el turborreactor es el que mejor ilustra el principio de funcionamiento como puede apreciarse en la figura 10.8. La potencia producida por la turbina es solamente la necesaria para impulsar el compresor, el gas solo se expande hasta una presión P 4 la cual es mayor que la presión ambiente. Luego el gas a alta presión se expande isoentrópicamente en la tobera del estado 4 al estado 5 adquiriendo una velocidad considerab considerablemente lemente mayor que y en consecuencia se desarrolla un empuje. Ejemplo 10.2

Una turbina de gas de aire estándar opera en un ciclo regenerativo con una efectividad del regenerador regenerador del 70%. La L a compresión y la expansión son isentrópicas. La temperatura de entrada al compresor es de 15 °C. Calcular la eficiencia del ciclo si la temperatura de entrada a la turbina es de 635 °C y la razón de presión es 5. Solución

Los diagramas de flujo y T-s para este proceso se representan según la figura 10.9. 223


T 4

5

6

C.C. 2

3

3 2

5

4 6 1

T WN

C

P= Constante

1

S .

a.

b.

.

Figura 10.9 Diagramas para una turbina de gas de aire. a. Diagrama de flujo.

b. Diagrama T-s.

Eficiencia del regenerador = Razón de presión = Se considera que el aire que entra al compresor se encuentra a la presión del ambiente supuesta como 100 kPa. Durante todo el proceso se comporta como gas ideal. La eficiencia del ciclo se calcula mediante la relación De acuerdo con los balances de energía en el compresor la turbina y el intercambiador de calor, tenemos w c = h2 − h1 w T = h4 − h5 q3→4 = h4 − h3 porque en todas las etapas las variaciones de energía cinética y potencial se pueden despreciar. Para calcular la entalpía en cada punto, el estado tiene que estar completamente determinado así Estado 1: P1 = 100 kPa, T1 = 288 K. Estado 2: P2 = 5 P1 = 500 kPa. Para encontrar otra propiedad que lo determine, se hace un balance de entropía en el compresor s2 = s1 o sea que para el aire 224


Esta relación permite calcular y en las tablas para el aire a ese valor de se puede calcular T 2. Estado 3: P3= P2 = 500 kPa es necesario conocer la temperatura T 3 que se puede calcular de la relación de la eficiencia del regenerador, siempre que se conozca T 5. T3 = 0,7 (T5 − T2) + T2 Estado 4: P4 = P3 = 500 kPa, T4 = 908 K. Estado 5: P5 = P1 = 100 kPa. para determinar T5 se hace un balance de entropía en la turbina s4 = s5 luego se calcula y con este valor y con ayuda de la tabla de propiedades para el aire se calcula T 5. Después de conocer T 5 se puede calcular T 3. Con los estados 1, 2, 3, 4 y 5 determinados se calculan (con ayuda de las tablas) las entalpías (véase tabla 10.1). Tabla 10.1 Entalpías para el ejemplo 10.2. Estado

P (kPa)

T (K)

h (kJ/kg)

1 2 3 4 5

100 500 500 500 100

288 455 551,6 908 593

288,6 457,19 556,41 941,9 599,68

w c = 168,59 kJ/kg w T = 342,22 kJ/kg q3 → 4 = 385,49 kJ/kg La eficiencia del ciclo será ηter = 0,45 ó 45% Si se quiere saber cuál es la temperatura T6, se hace un balance balan ce de energía en el regenerador adiabático h5 + h2 = h6 + h3 h6 = h5 + h2 − h3 = 500,46 kJ/kg T6 ≈ 500 K 225


10.2.2 Ciclos para modelar máquinas de combustión interna Para motores de ignición por chispa chis pa que se usan en la mayoría de los automó viles, una mezcla de aire combustible se aspira a un cilindro y se comprime, una chispa enciende la mezcla elevando la temperatura y el gas se expande, realizando trabajo tra bajo sobre un pistón que hace girar el árbol del motor. Al final de la carrera del pistón los gases de escape son expelidos para completar el ciclo de operación. La secuencia s ecuencia de procesos que ocurren dentro del cilindro es compleja y se dan variaciones químicas importantes. Los procesos de las máquinas de ignición por compresión son iguales de complejos a los de las máquinas de ignición por chispa pero difieren en que solo aire (y no una mezcla de aire combustible), es aspirado dentro del cilindro y comprimido, la compresión eleva la temperatura del aire por encima de la temperatura de ignición del combustible. Cerca del final de la carrera de compresión se inyecta el combustible y rápidamente se enciende. El gas se expande conforme procede la combustión y continúa expandiéndose hasta que inicia el proceso de escape. Los modelos más simples para máquinas de ignición por chispa e ignición por combustión son los de aire ai re estándar, estándar, donde se consideran las siguientes bases de análisis: análisis : el sistema es cerrado por lo que el fluido se usa repetidamente; el fluido de trabajo siempre es aire comportándose como gas ideal; los procesos de compresión y expansión son reversibles y adiabáticos; el proceso de combustión se reemplaza por un proceso reversible de transferencia de calor; como el sistema es cerrado, el proceso de escape de la máquina real es reemplazado por eliminación de calor reversiblemente y a volumen constante para regresar el fluido a su condición inicial antes de la compresión. 1. Ciclo de Otto de aire estándar Este ciclo se compone de cuatro procesos procesos reversibles en un sistema cerrado: compresión adiabática, adición de calor a volumen constante, expansión adiabática y liberación de calor a volumen constante, como se muestra en la figura 10.10 La razón de compresió compresión n r para el ciclo está definida por

Es una relación de volumen fijada por la geometría del motor. El balance de energía para este ciclo en cada etapa del proceso es ∆U = Q N − W N Se debe tener en cuenta que en las etapas adiabáticas Q N = 0 y en las etapas a volumen constante W N = 0. 226


T P

3 3

s = C o n s t a n t e

v

e t e a n a n s t o =C

2

4

4

2


v

1

e e a n t t a n s o =C

1

v

S

a.

b.

Figura 10.10 Ciclo de Otto de aire estándar. a. Diagrama P-v P-v.. b. Diagrama T-s. T-s.

Cuando de consideran las capacidades caloríficas calorífi cas del aire constantes con la temperatura y teniendo en cuenta las relaciones para gases ideales, se llega a que la eficiencia térmica para la máquina es (10.7) este resultado muestra que la eficiencia térmica del ciclo de Otto de aire (cuando las capacidades se consideran constantes con la temperatur temperatura) a) depende solo de la razón de compresión. En caso contrario depende también de los límites de temperatura. T P

3

2

3


2

p

e e a n t s t a n o =C

4

4


1

v

e e a n t t a t o n s C =

1

v

a.

S

b.

Figura 10.11 Ciclo de Diesel de aire estándar. a. Diagrama P-v P-v.. b. Diagrama T-s. T-s.

227


2. Ciclo de Diesel de aire estándar Se compone también de cuatro etapas reversibles en sistema cerrado: 1-2 compresión adiabática, 2-3 adición de calor a presión constante, 3-4 expansión adiabática hasta el volumen inicial y 4-1 liberación de calor a volumen constante, como puede apreciarse en la figura 10.11. La razón de corte o razón de fin de inyección r c está definida por

el porcentaje de corte se define por Porcentaje de corte = es decir, esta es la fracción de la carrera durante la cual se agrega calor. La eficiencia térmica, cuando se consideran constantes las capacidades caloríficas del aire con la temperatura, es solo una función de la razón de compresión y la razón de corte. (10.8) Las máquinas Diesel reales son máquinas de ignición por compresión, lo que las distingue de las de ignición por chispa, como son las máquinas Otto reales. Las comparaciones de rendimiento entre los ciclos de Otto y de Diesel de aire estándar, se realiza al determinar cuál tiene la eficiencia térmica más alta con la misma razón de compresión y la misma entrada de calor. Esta comparación está representada representada en la figura 10.12. T 3O 3D

v

2

=

O Ot Otto to

t e n t a s n C o

P

e t e a n a t s o n =C

D Diese Diesell 4D

4O

e a n t e o n s t a v = C 1

S

Figura 10.12 Comparación de los ciclos de Otto y de Diesel.

De acuerdo con la localización relativa de los puntos 4O y 4D en el diagrama T-s se muestra que el ciclo de Otto elimina menos calor que el Diesel, 228


en consecuencia tiene una eficiencia térmica más alta. Se pueden hacer comparaciones comparacion es de manera similar para diversas condiciones. Ejemplo 10.3

Un ciclo de Otto de aire estándar tiene una razón de compresión de 8 y una temperatura máxima de 1.097 °C. Al inicio de la carrera de compresión, el aire está a 100 kPa y 25 °C. Determinar la presión máxima en el ciclo, cic lo, la cantidad de calor agregado en kJ/kg y la fracción disponible del calor agregado. Solución

La representación del proceso en los diagramas P-v y T-s se indica en la figura 10.13. T

P

3

3


v

e e a n t a n s t o =C

2

4

4

2

s = C o n s t ta n t e

1

v

e t e a n a n s t o =C

1

S

v

a.

b.

Figura 10.13 Representación del proceso indicado en el ejemplo 10.3 en los

diagramas diagra mas a. P-v P-v.. b. T-s. T-s.

De acuerdo con los diagramas se debe determinar la presión máxima que corresponde a P 3, la cantidad de calor agregado que corresponde a q 2→3 y de este la fracción que es disponible. Se considera que T0 = 298 K que es también la temperatura del aire al inicio de la carrera de compresión. Durante el proceso cíclico la temperatura y la presión varían pero se puede considerar que el aire se comporta como gas ideal y que su capacidad calorífica no varía con la temperatura y es la capacidad calorífica a 300 K. — Para calcular P3 se debe tener determinado el estado 3, o sea conocer T3 que corresponde a la temperatura máxima 1.097 °C o 1.370 K y v 3 que es igual a v 2, como

229


—Un balance de energía en la etapa de 2 a 3 determina que q2 → 3 = u3 − u2 Se debe entonces conocer la temperatura en 2. Haciendo un balance balanc e de entropía en la etapa de 1 a 2 s2 − s1 = 0 por tanto se puede aplicar la relación

con γ = 1,4 y T2 = 298 (8)0,4 = 684,62 K q2 → 3 = 0,7165 (1.370 − 684,62) = 491 kJ/kg. —Para calcular la fracción disponible del calor agregado, el proceso de 2 a 3 se puede representar como se indica en la figura 10.14. T

3

3

2 684,62 K

T0=298 K

e a n t e a o n s t C = v

Energía disponible

1

Energía no disponible

S

Figura 10.14 Cálculo de la fracción disponible del calor agregado, para el

ejemplo 10.3

de acuerdo con la definición de disponibilidad (véase ecuación 9.5), el cambio de esta durante un proceso que se lleva a cabo en un sistema cerrado y con v 3 = v 2 es

Fracción disponible del calor agregado = 342,89/491 = 70%. 230


10.3 Ciclos de potencia de vapor Las plantas de potencia de vapor generan la fracción principal de la potencia eléctrica producida en el mundo. El ciclo de potencia de vapor es esencialmente el mismo si el suministro de calor a la sustancia de trabajo es una caldera en la que se quema combustible o mediante un reactor nuclear en el que ocurre la fisión. La sustancia de trabajo más común es el agua, pero existen plantas que operan con otras sustancias.

10.3.1 Ciclo de Carnot Cuando se piensa en un ciclo de potencia para máxima eficiencia, de inmediato se piensa en el ciclo de Carnot, ya que para límites de temperatura específicos, ningún ciclo puede tener una eficiencia más alta y esa eficiencia es independiente de la sustancia de trabajo, en la práctica las características de la sustancia de trabajo limitan los alcances. En la figura 10.15 se muestra un diagrama T-s para el agua y dos propuestas diferentes de ciclo de Carnot. La figura 10.15a 10.15 a muestra un ciclo que opera por completo con vapor húmedo. La temperatura del vapor durante los procesos 1-2 y 3-4 puede mantenerse constante, manteniendo constante la presión. En la práctica este ciclo es difícil de operar porque es difícil hacer que el proceso de liberación de calor termine en el estado 4 que está a la misma entropía que 1, también la temperatura crítica del vapor (374 °C) limita la temperatura máxima en el ciclo a un valor muy bajo. T 2

1

2

1

3

4 3

4

S

a.

b.

Figura 10.15 Ciclos de Carnot con agua como sustancia de trabajo. a. Ciclo

que opera por completo con vapor húmedo. b. Ciclo donde la temperatura t emperatura de adición de calor es mucho más alta que el anterior.

La figura 10.15b muestra un ciclo donde la temperatura de adición de calor es mucho más alta, pero se necesitan unas presiones muy altas para alcanzar la máxima temperatura al comprimir el líquido desde el estado 231


4 y el proceso isotérmico isotérmico de 1 a 2 debe realizarse con una continua variación de presión que significa un problema de control. En otras palabras el ciclo de Carnot es un modelo inadecuado para el diseño de plantas de potencia de vapor.

10.3.2 Ciclo de Rankine La figura figur a 10.16 muestra muest ra los diagramas diagra mas de flujo, P-v y T-s T-s de un ciclo Rankine, Rank ine, el cual sirve para modelar plantas de potencia de vapor simples. V.S.S 1

WT

T

Caldera Qe 4 2 Wb

3 QS Condensador

a.

T

P

4

1

1

4 3

2 3

2

S

v b.

Figura 10.16 Ciclo de Rankine. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c.

Diagrama T-s.

Vapor saturado seco entra en 1 a la turbina donde se expande isoentrópica Vapor isoen trópicamente hasta el estado 2. El vapor se condensa luego a presión y temperatura constante hasta líquido saturado en 3 y durante este proceso se transfiere calor a los alrededores. El líquido saturado que sale del condensador se bombea isoentrópicamente hacia una caldera donde a presión constante P4 se calienta hasta la temperatura de saturación y luego se evapora para salir nuevamente en el estado 1 y completar así el ciclo. Para usar temperaturas más altas sin incrementar la presión máxima del ciclo, el vapor después de salir de la caldera se puede sobrecalentar a presión constante en un sobrecalentador. La combinación de la caldera y el sobre232


calentador se llama generador genera dor de vapor. vapor. En la figura 10.17 se muestran los diagramas de flujo y T-s de un ciclo de Rankine con sobrecalentamiento. La comparación de los diagramas T-s de las figuras 10.16 y 10.17 muestra que para ciertos límites de presión, la eficiencia térmica se incrementa mediante el sobre-calentamiento. T

Adición de calor a P=constante en el sobrecalentador

1

1 Qe

Generador de vapor

T W

4 4 2 Wb

2 3

3

2

QS Condensador

a.

S

b.

Figura 10.17 Ciclo de Rankine con sobrecalentamiento. a. Diagrama de flujo.

b. Diagrama T-s.

Para límites de temperatura dados, dados , la eficiencia del ciclo de Rankine siempre es menor que la eficiencia de Carnot ya que no se agrega todo el calor a la temperatura más alta. Mediante balances de energía en las distintas etapas del proceso en estado estable y despreciando variaciones de energía cinética y potencial se tiene Generador de vapor q 4→1 = h1 − h4, (P1 = P4) Turbina w T = h1 − h2, (s1 = s2) Condensador q2→3 = h3 − h2, (P3 = P2, h3 = hf ) Bomba w b = h4 − h3, (s4 = s3) La eficiencia térmica del ciclo es (10.9) Para las condiciones en el estado 4, las tablas, gráficos y programas de computador generalmente no permiten calcular h 4. Pero para una bomba que ∫ y por tratarse de un líquido se puede consiopera reversiblemente w = vdP derar que el volumen durante la compresión permanece aproximadamente constante y es igual al del líquido saturado en las condiciones 3, luego w b = v 3 (P4 − P3) (10.10) h4 = h3 + v 3 (P4 − P3) (10.11) Una ventaja del ciclo de Rankine sobre todos los otros ciclos de potencia discutidos hasta aquí, es la baja razón de trabajo consumido w Razón de trabajo consumido = bomba w turbina 233


Ejemplo 10.4

Determinar la eficiencia y la razón de trabajo consumido en un ciclo de Rankine que opera entre 5,0 MPa y 10 kPa con una temperatura máxima de 400 °C. Solución

De acuerdo con el enunciado se s e trata de un ciclo cicl o de Rankine sencillo sencil lo y reversible, su representación en un diagrama T-s se indica en la figura 10.18. T

1

5 Mpa

4

10 Mpa 3

2

S

Figura 10.18 Representación en un diagrama T-s del ciclo de Rankine sencillo

y reversible

La eficiencia térmica es los balances de energía en la turbina, la bomba y el generador de vapor, llevan a las relaciones w T = h1 − h2 w b = h4 − h3 q4→1 = h1 − h4 Por balance s de entropía en la turbina y en la bomba s 1 = s2 y s3 = s4. O sea que los estados termodinámicos de todos los puntos están determinados. La razón de trabajo consumido = W b/W T

234


Con ayuda de las tablas de propiedades termodinámicas para el agua, se calculan las propiedades que aparecen en la tabla 10.2. Tabla 10.2 Entalpías para el ejemplo 10.2 Estado

P (kPa)

t (°C)

h (kJ/kg)

s (kJ/kg K)

1 2 3 4

5.000 10 10 5.000

400 45,81 45,81 46,11

3.195,7 2.106,04 191,83 207,49

6,6459 6,6459 0,6493 0,6493

Entonces η = 0,36 ó 36%, r.w.c = 0,014 ó 1,4%.

10.3.3 Regeneración en plantas de potencia de vapor Para mejorar la eficiencia del ciclo disminuyendo irreversibilidades en la transferencia transferen cia de calor en el generador de vapor, se precalienta el agua que fluye al generador de vapor. Esto se hace extrayendo o “sangrando” vapor desde varios puntos de la turbina, después de que esta ha realizado algún trabajo al expandirse y usando este vapor para calentar el agua que fluye de la bomba al generador de vapor. Esta transferencia de energía ocurre en los calentadores de agua de alimentación. En la figura 10.6 se muestran los diagramas de flujo y T-s de un ciclo de potencia de vapor que usa un calentador de agua de alimentación abierto, llamado también de contacto directo, donde se mezclan el vapor sangrado y el condensado. El calentador opera a la presión del punto de sangrado, por lo que se necesita otra bomba para forzar el agua hacia el generador de vapor. Para los balances de masa y energía en ciclos regenerativos regenerat ivos es conveniente convenient e definir la razón de masa M´ para cualquier punto a como

donde es el flujo másico en cualquier punto y es el flujo másico a la entrada a la turbina. Un balance de energía en el calentador abierto es

que también puede escribirse (10.12) Si se conocen los estados del fluido en los puntos 2, 5 y 6 (véase figura 10.19), esta ecuación puede resolverse para , la fracción de flujo de vapor que entra al calentador. 235


El diagrama T-s de la figura 10.19 muestra correctamente la localización de todos los puntos; pero la masa de fluido no es la misma en cada punto, por tanto el área bajo la curva de la trayectoria reversible representa la transferencia de calor por unidad de masa de fluido que experimenta ese proceso, y deben tenerse en cuenta las variaciones de flujos másicos cuando se comparen áreas. T 1

1 M´1 = 1

Qe

T W

Generador de vapor

7

2 M´2

6 M´7 = M´1=1

5

7 5 Calentador

4

2 3

4

3 QS

M´5 = 1M´2

C S a.

b.

Figura 10.19 Ciclo regenerativo con calentador de agua de alimentación

abierto. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

Cuando se usa un calentador de agua de alimentación cerrado, el agua de alimentación se bombea a través de varios tubos al calentador y el vapor sangrado se condensa en el exterior de los tubos, las dos corrientes de fluido no se mezclan. En la figura 10.20 aparecen los diagramas de flujo y T-s para este ciclo. 1

T

2 7 Qe

Generador de vapor

6

1

TW

3 Calentador cerrado

5

6

7

9 8

Trampa C

8

QS

2 4

4

3

10

5

Wb

S a.

b.

Figura 10.20 Ciclo regenerativo con un calentador de agua de alimentación

cerrado. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

En el caso ideal, el condensado que sale del estado 8 es un líquido saturado, y el agua que sale en el estado 6 está a una temperatura solo un poco más baja que T8, en la práctica es generalmente del orden de 5 °C. 236


Un balance de energía en el calentador de agua de alimentación cerrado da

(10.13) Ejemplo 10.5

Un ciclo ideal regenerativo opera con condiciones de entrada de 25 bar y 400 °C, un calentador de agua de alimentación abierto a 2,5 bar y una presión del condensador de 15 kPa. Comparar su eficiencia con la de un ciclo de Rankine simple que tenga las mismas condiciones de entrada y presión de escape. Solución

Los diagramas T-s para ambos ciclos se indican en la figura 10.21. T

T

1

2,5 Mpa

1

2,5 Mpa

7 0,25 Mpa

4

5

2

6

0,015 Mpa 3

0,015 Mpa 4

2

3

S

S

a.

b.

Figura 10.21 Diagramas T-s T-s para un ciclo ideal regenerativo a. y para un ciclo

de Rankine simple b.

La eficiencia para el ciclo Rankine simple es Como se trata de un ciclo reversible, las propiedades para cada uno de los estados, calculados con ayuda de las tablas de vapor se indican en la tabla 10.3. Tabla 10.3 Prop Propiedades iedades para cada uno de los estados para el ejemplo 10.5 Estado

P (MPa)

t (°C)

h (kJ/kg)

s (kJ/kg K)

1 2 3 4

2,5 0,015 0,015 2,5

400 53,97 53,97 54,57

3.239,3 2.273,92 225,94 228,46

7,0148 7,0148 0,7549 0,7549

Para calcular h4, se tiene en cuenta que h 4 = h3 + w b 237


como el proceso en la bomba es reversible donde v es el volumen del líquido saturado en el estado 3 y no varía apreciablemente por tratarse de la compresión de un líquido. w b = − 0,001014 (2.500 − 15) = − 2,52 kJ/kg es un trabajo suministrado a la bomba. ηR. S = 0,32 ó 32% Para el ciclo regenerativo que también se considera reversible, la eficiencia se calcula teniendo en cuenta las 2 etapas en la turbina, cada una con distinto flujo másico y el trabajo de las 2 bombas también con diferentes flujos másicos (véase figura 10.20). Por ello es necesario conocer las razones de flujo másico , puede hallarse mediante un balance de energía en el calentador, de acuerdo con la ecuación 10.12 las propiedades para los diferentes estados, calculadas con ayuda de las tablas de vapor, se indican en la tabla 10.4. Tabla 10.4 Prop Propiedades iedades para cada uno de los estados para el ejemplo 10.5 para

el ciclo regenerativo Estado

P (kPa)

t (°C)

h (kJ/kg)

(kJ/kg K)

1

2.500

400

3.239,3

70.148

2 3 4 5 6 7

250 15 15 250 250 2.500

127,44 53,97 53,97 54,00 127,44 128,00

2.716,9 2.273,92 225,94 226,18 535,37 537,77

70.148 70.148 0,7549 0,7549 1,6072 1,6072

El vapor que se extrae para el calentador en las condiciones 2 está prácticamente saturado pues la calidad es del 99,3%. Para el cálculo cál culo de h 5 y h7 se procede en la misma forma que para el cálculo de la entalpía h 4 en el ciclo de Rankine simple. Entonces

238


Realizando balances de energía para las dos etapas de la turbina, las bombas y el generador de vapor, considerando que de todo el flujo másico que circula por el generador de vapor y que entra a la turbina parte se extrae al calentador y el resto continúa al condensador ηC, reg = 0,336 ó 33,6% Por efecto de la regeneración la eficiencia aumentó 1,6%. El trabajo por kilogramo de sustancia que hay que suministrarle a las bombas es muy pequeño con respecto al trabajo realizado por la turbina y puede despreciarse, en ese caso ηR.S = 32,06% ηreg = 33,7% Prácticamente se tienen los mismos resultados.

10.3.4 Recalent Recalentamiento amiento en las plantas de potencia de vapor La eficiencia térmica de un ciclo de Rankine se incrementa aumentando la presión en el generador de vapor o la temperatura máxima. Para una temperatura máxima dada, que está limitada por las características de los materiales de construcción, el incrementar la presión del generador hace que disminuya la calidad del vapor a la salida de la turbina, esto no es deseable, ya que una humedad mayor del 10% o 12% ocasiona erosión severa en los alabes de la turbina. Una forma de prevenir esta humedad es recalentar el vapor en el generador de vapor, una vez se haya expandido un poco en la turbina, para llevarlo nuevamente alrededor de la temperatura máxima, regresando nuevamente a la turbina para que continúe expandiéndose. Este procedimiento puede realizarse varias veces. El efecto del recalentamiento en la eficiencia térmica depende de las condiciones del ciclo. Entre más alta sea la presión de recalentamiento y más alta sea la temperatura después del recalentamiento, más alta será la eficiencia. En la figura 10.22 pueden apreciarse los diagramas de flujo y T-s para un ciclo con recalentamiento. Ejemplo 10.6

Determinar la eficiencia y la velocidad de flujo requerida de un ciclo ideal de recalentamiento que debe producir 150.000 kW en el acoplamiento de la turbina, si las condiciones con diciones de entrada son 15,0 MPa y 600 °C; el recalentamiento es de 1,4 MPa a 600 °C y la presión del condensador es 5 kPa. Solución

El proceso cíclico puede representarse mediante un diagrama de flujo y un diagrama T-s como se indica en la figura 10.23. 239


1

T 1

2T1 W

3

Qe 6 2 3

5

6

4

5

T2 W

4

QS

S

b.

a.

Figura 10.22 Ciclo de Rankine con recalentamiento. a. Diagrama de flujo. b.

Diagrama T-s.

1

T 15.000 kPa 1 1.400 kPa 3 6 2

Qe

2

5 kPa 3

T W=150.000 kW 4

5

6

4 Wb

5

S

QS b.

a.

Figura 10.23 Ciclo ideal de recalentamiento para el ejemplo 10.6. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

Las propiedades del agua en cada uno de los estados, calculados calcul ados con ayuda de las tablas de vapor, se indican en la tabla 10.5. Tabla 10.5 Pro Propiedades piedades del agua en cada uno de los estados

240

Estado

P (kPa)

t (°C)

h (kJ/kg)

(kJ/kg K)

1 2 3 4 5

15.000 1.400 1.400 5 5

600 236,13 600 32,88 32,88

3.582,3 2.855,99 3.694,8 2.401,7 137,82

6,6776 6,6776 7,8710 7,8710 0,4764

6

15.000

33,4

153,42

0,4764


Haciendo balances de energía en la turbina, la bomba y el generador de vapor

El ciclo regenerativo funciona con una eficiencia del 46,95% y un flujo másico de 7,43 kg/s.

10.4 Cogeneración: producción de potencia y calor En los ciclos discutidos hasta has ta ahora se ha considerado que el calor liberado durante el proceso no tiene ningún valor, debido a que la mayor parte de su energía es no disponible. Hay muchas circunstancias en las cuales se necesita energía en forma de calor y la potencia que se debe generar no es muy alta. En muchos procesos industriales las funciones funcion es de calentamiento y producción de potencia frecuentemente pueden combinarse de manera efectiva. Esta combinación se llama cogeneración. La cogeneración puede darse de dos formas diferentes dependiendo de las necesidades, como puede apreciarse en la figura 10.24. En la figura 10.24a el mismo flujo de masa circula por la turbina y el sistema de calentamiento. Tal ciclo es satisfactorio donde el flujo de vapor puede ser controlado solo por las necesidades de calentamiento y cualquier potencia producida puede usarse como complemento a la potencia producida por otras fuentes. 1

Qe

Qe G.V

TW

G.V

6

2T W

7

Qs1

10

9

8

3

Qe

3 10

Qs1

4 2

2

Wb

QS

5 wb

a.

4 Q s2

b.

Figura 10.24 Ciclo de vapor para calentamiento y potencia. a. Flujo de masa

que circula por la turbina y el sistema de calentamiento. b. Ciclo para cargas de calor y potencia variable.

241


Donde las cargas de calor y potencia variable varia ble deben ser proporcionadas por una sola planta, se usa un ciclo como el de la figura 10.24b. Cuando la carga de potencia es cero, todo el vapor pasa a través tra vés de la válvula y nada a través trav és de la turbina. Cuando la carga de calentamiento es cero, la totalidad del vapor se expande a través tr avés de la turbina y el condensador. con densador. Para Para hacer frente a las demandas de calentamiento y de potencia, la distribución de flujo de vapor se determina de acuerdo con los requerimientos de calor y potencia y mediante balances de energía en el calentador y en la turbina.

10.5 Ciclos de refrigeración Un sistema de refrigeración elimina calor de una parte de los alrededores y descarga calor a una más caliente. El coeficiente de operación o rendimiento de un refrigerador se definió de acuerdo con la ecuación 4.4 como

El ciclo de Carnot inverso se utiliza como un estándar de comparación para los ciclos de refrigeración refrigera ción ya que su eficiencia es la máxima para unos límites de temperatura dados. La figura 10.25 muestra los diagramas T-s para diferentes sustancias de trabajo. T

T

T

4

Tc

3

1

Tr

2

4

Tc

3

4

1

Tr

2

1

3

Tr

b.

2

S

S

S

a.

Tc

c.

Figura 10.25 Diagramas T-s de un ciclo de Carnot inverso para a. Cualquier

sustanc ia de trabajo. b. Vapor sustancia Vapor saturado. saturad o. c. Vapor Vapor algunas alguna s veces saturado y otras sobrecalentado.

10.5.1 Sistema de refrigeración de gas Los ciclos de refrigeración reales con sustancia de trabajo gaseosa no están basados en el ciclo de Carnot debido a sus dificultades prácticas. Se modelan con base en un ciclo de Brayton inverso. La figura 10.26 muestra los diagramas de flujo, P-v y T-s para este ciclo. T c y TF son las temperaturas de aquellas partes part es de los alrededores a los que el calor será liberado o de las que el calor será eliminado respectivamente. 242


Liberación de calor a presión constante

QS

3

2 W TC

W

4 1

Qe

Adición de calor a presión constante

a.

P 3

T

2

TL

2 3

TF

1 4

4

1

V b.

S c.

Figura 10.26 Ciclo de Brayton inverso. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. P-v.

c. Diagrama T-s.

La sustancia de trabajo más común en este ciclo es el aire, este se comprime isoentrópicamente a una temperatura por encima de Tc y luego se enfría de manera reversible a presión constante hasta que su temperatura es Tc o ligeramente mayor. mayor. En seguida se expande isoentrópicamente a través de una máquina expansora (turbina) que suministra algo de la potencia requerida por el compresor. La temperatura del aire a la salida de la máquina cae ca e a un valor menor que T F. Por Por tanto el calor puede ser absorbido abs orbido de los alrededores que están a TF a medida que el aire fluye a presión constante a través de un intercambiador de calor para alcanzar el estado 1 y completar el ciclo. Mediante balances de energía a cada uno de los procesos y considerando variaciones de energía cinética y potencial despreciables se tiene w c = h2 − h1 qsalida, 2→ 2→3 = h2 − h3 w máq = h3 − h4 243


qentra, 4→ 4→1 = h1 − h4 Hay entrada de trabajo, porque el trabajo producido por la máquina no es suficiente para accionar el compresor. La máquina no puede ser reemplazada, con buenos resultados, por una válvula de estrangulamiento porque si el aire se comporta como gas ideal no se logrará la caída de temperatura. Un inconveniente de un sistema de refrigeración de aire es que su baja densidad a presiones moderadas requiere ya sea de presiones muy altas o razones de flujo de volumen muy altas con c on el fin de obtener una capacidad capaci dad de refrigeración moderada.

10.5.2 Sistemas de refrigeración de vapor La figura 10.27 muestra los diagramas de flujo, T-s y P-h de un sistema de refrigeración por compresión de vapor convencional. Este ciclo propuesto como modelo está constituido por cuatro procesos, tres de los cuales son reversibles, pues el paso a través de la válvula no lo es, dos adiabáticos y dos a presión constante, alternados. Se habla de compresión seca, cuando al compresor llega vapor va por saturado seco, como es el caso representado en la figura 10.27, o sobrecalentado. La compresión es húmeda cuando al compresor llega una mezcla líquido vapor. Son posibles muchas modificaciones modificaciones al ciclo de compresión básico con el propósito de incrementar el coeficiente de operación. Cuando se trabaja con unidades inglesas, una unidad de capacidad de refrigeración ampliamente usada es la tonelada de refrigeración, la cual se define como un flujo de absorción de calor de 200 Btu/min. El nombre de esta unidad se deriva del hecho de que en 24 horas este flujo de calor eliminado congelará aproximadamente una tonelada de agua a 32 °F a hielo a 32 °F. Ejemplo 10.7

En un sistema de refrigeración por compresión compres ión de vapor, vapor, la temperatura del condensador es de 25 °C y la temperatura te mperatura del evaporador evapor ador es de −10 °C. A la válvula de expansión entra líquido saturado y al compresor vapor saturado seco. El compresor opera de manera adiabática reversible. Para un efecto de refrigeración de 3,5 kJ/s, determinar la velocidad de flujo y la potencia de entrada si el refrigerante es amoniaco. Solución

Este sistema de refrigeración puede representarse mediante los siguientes diagramas de flujo y T-s. El efecto de refrigeración corresponde a la cantidad de calor que es necesario retirar retira r en la unidad de tiempo para mantener un espacio refrigerado, en este caso es de 3,5 kg/s que llegan al evaporador. 244


QS 2

3

Condensador

Compresión W

4

Evaporador

1

Qe a.

T

P 2 3

2

3

1

4

4

1

S b.

h c.

Figura 10.27 Ciclo de refrigeración por compresión de vapor: compresión

seca. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s. T-s. c. Diagrama P-h.

Para calcular la velocidad de flujo , se hace un balance de energía en el evaporador.

La potencia de entrada al compresor se puede calcular mediante un balance de energía luego es necesario conocer las entalpías de los estados 1, 2, 4 para el amoniaco, que es el refrigerante. El estado 4 está localizado a la salida de la válvula, y teniendo en cuenta que esta es adiabática y no realiza trabajo, un balance de energía lleva a concluir que h3 = h4. 245


QS 2

3

T

Condensador 25 ºC

2 3 W 1

10 ºC Evaporador 10 ºC

4

4

1

S

Qe=3,5 kg/s b.

a.

Figura 10.28 Sistema de refrigeración por compresión de vapor para pa ra el ejemplo

10.7. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s. T-s.

Con ayuda de las tablas de propiedades para el amoniaco se obtienen los resultados indicados indicados en la tabla 10.6. Tabla 10.6 Tablas de propiedades para el amoniaco Estado

P (kPa)

t (°C)

h (kJ/kg)

s (kJ/kg K)

1 2 3

290,85 1.003,00 1.003,00

− 10 76 25

1.432 1.605,5 298,8

5,4730 5,4730 1,1234

entonces

Problemas propuestos 10.1 La relación de presión presión para para un ciclo de de Brayton Brayton estándar estándar de de aire es de 4 a 1. La presión pres ión del aire en la entrada ent rada al compresor es 100 kPa y la temperatura máxima del ciclo es 850 °C. La velocidad de flujo es 10 kg/s. Asumiendo que la capacidad calorífica del aire permanece constante con la temperatura, determinar: a. La potencia para accionar el compresor. b. La potencia entregada entregada por la turbina. c. La potencia neta. d. La eficiencia térmica del ciclo. ciclo. 246


10.2 Repetir el problema 10.1 asumiendo que la capacidad calorífica del aire varía con la temperatura. 10.3 Una turbina turbina de gas se utiliza para para bombear bombear gas natural a través de un gaseoducto. La potencia requerida para impulsar el compresor es 1.000 kW y se ha decidido utilizar una turbina de gas para que provea esta potencia. Se usará un ciclo simple abierto, con un regenerador con 50% de rendimiento. r endimiento. Ya Ya que es fácil el suministro s uministro de combustible y puesto que algunas de estas unidades pueden estar en lugares relativamente aislados, el bajo costo de mantenimiento es más importante que el rendimiento alto. Seleccionar un ciclo realizando las suposiciones suposici ones apropiadas para los rendimientos de la turbina y el compresor y determinar la potencia de salida de la turbina, la potencia de entrada al compresor y el rendimiento del ciclo. 10.4 Considere un ciclo ciclo de turbina de gas gas con dos etapas etapas de compresión. compresión. La relación relaci ón de presión en cada etapa del compresor es de 2. La temperatura de entrada a cada compresor es 15 °C y la temperatura de entrada a la turbina es 900 °C. Un regenerador ideal idea l se incorpora al ciclo. Determinar el trabajo tr abajo del compresor, el trabajo de la turbina y la eficiencia térmica. La presión a la entrada del primer compresor es P1 = 100 kPa. 10.5 Un ciclo de Diesel Diesel de de aire estándar tiene una relación relación de compresión compresión de 17. La presión pres ión al comienzo de la carrera ca rrera de compresión compresió n es 100 kPa y la temperatura es 15 °C. La máxima temperatura temperatura alcanzada durante el ciclo es de 2.500 K. Determinar la eficiencia efici encia térmica y la presión media efectiva, que se define como la presión que si actuara sobre el émbolo durante toda la carrera, proporcionaría un trabajo igual al ejecutado sobre el émbolo real: w neto / volumen desplazado en el cilindro 10.6 Un ciclo de Otto Otto de aire estándar estándar opera con una una razón de compresión compresión de 8. Al inicio de la compresión, el aire se encuentra a 14,7 psia y 80 °F. La presión se triplica durante el proceso de calentamiento. Determinar: a. La eficiencia térmica del ciclo. ciclo. b. La cantidad de calor agregado en Btu/lbm. c. La presión media efectiva. 10.7 Trazar en un diagrama T-s T-s un ciclo de aire estándar de Otto y un ciclo de Diesel, con las mismas condiciones a la entrada, la misma cantidad de calor agregada y la misma razón de compresión. Mostrar mediante la comparación de áreas en dicho diagrama que el ciclo de Otto posee una mayor eficiencia que el de Diesel. 10.8 Se desean diseñar dos ciclos Diesel (A y B) con la misma temperatura, la misma presión al a l inicio del proceso de compresión y la misma 247


razón de compresión. Sin embargo, el ciclo A debe tener una mayor razón de fin de la inyección que el ciclo B: a. ¿Cuál de los dos ciclos tendrá una mayor eficiencia? b. ¿Cuál de los dos ciclos tendrá una mayor presión media efectiva? Sustentar las condiciones con razonamientos lógicos. Utilizar los diagramas T-s y P-v. 10.9 Determinar la eficiencia y la razón de trabajo consumido de un ciclo Rankine que opera con condiciones de entrada a la turbina de 5,0 MPa y 400 °C y una presión del condensador de: a. 100 kPa. b. 50 kPa. c. 10 kPa. 10.10 Para un ciclo Rankine con temperatura de entrada a la turbina de 500 °C y una presión de escape de 5 kPa, graficar la eficiencia térmica contra la presión de entrada en el intervalo de 100 kPa a 5,0 MPa. Indicar la parte de la curva que incluye al vapor de escape sobrecalentado. 10.11 Comparar las eficiencias térmicas térmica s de dos plantas ideales de potencia de vapor cada una operando con límites de presión de 400 psia y 1,5 pulgadas de mercurio, una en un ciclo de Carnot, la otra en un ciclo de Rankine sin sobrecalentamiento. En cada caso el vapor al final de la adición de calor está seco y saturado. 10.12 El vapor entra a una turbina a 1,5 MPa y 300 °C y sale a 100 kPa. Suponer un flujo adiabático reversible. ¿A qué presión debe estrangularse el vapor entrante para reducir el trabajo por unidad de masa a dos tercios del que se obtiene sin estrangulamiento? estrangulami ento? Suponer que el flujo a través de la turbina permanece reversible y adiabático y que la presión de escape no cambia 10.13 Un ciclo ideal de vapor regenerativo tiene condiciones de entrada a la turbina de 3.000 kPa y 400 °C, un calentador de agua de alimentación abierto a 250 kPa y a una presión del condensador de 30 mm de mercurio absoluta. Comparar su eficiencia con la de un ciclo Rankine simple que tenga las mismas condiciones de entrada y la misma presión de escape. 10.14 Un ciclo ideal de recalentamiento sin regeneración tiene condiciones de entrada de 14,0 MPa y 450 °C y se recalienta a 3,8 3 ,8 MPa a 480 °C. La presión de salida es 5 kPa. Calcular la eficiencia térmica del ciclo. ¿Cuánta energía no disponible es liberada por kilogramo de vapor de entrada si la temperatura del ambiente es de 25 °C? 10.15 Determina la eficiencia efici encia y la velocidad de flujo del generador de vapor para un ciclo ideal regenerativo con recalentamiento que debe pro248


ducir 150.000 kW en el acoplamiento de la turbina si las condiciones de entrada son 15,0 MPa y 600 °C; el recalentamiento es a 1,4 MPa y 600 °C, hay un calentador de agua de alimentación alimentación abierto a 150 kPa y la presión del condensador es de 7 kPa. 10.16 En una planta de energía nuclear se transmite calor al sodio líquido en el reactor; el sodio líquido se bombea a un intercambiador de calor, donde se transmite el calor al agua; de este intercambiador el agua sale como vapor saturado sa turado a 5 MPa y después se recalienta recali enta en un sobrecalentador con hogar propio hasta 600 °C. Enseguida el vapor entra a la turbina, la cual tiene una extracción a 0,4 MPa que fluye a un calentador de agua de alimentación de contacto directo. La L a eficiencia de la turbina es del 75% y la presión del condensador de 7,5 kPa. Determinar el calor transferido en el reactor y en el sobrecalentador para producir una potencia en la turbina de 80.000 kW. 10.17 En un ciclo ideal de refrigeración la temperatura del condensador es 45 °C y la temperatura durante la evaporación es −15 °C. Determina el coeficiente de operación de este ciclo si el refrigerante es freón134 o si es amoniaco. 10.18 Un ciclo de refrigeración real utiliza freón-12 como fluido de trabajo. El refrigerante entra al compresor a 0,15 MPa, −10 °C y sale a 1,2 MPa, 75 °C. La potencia para accionar el compresor es 1,9 kW. A la entrada de la válvula de expansión las condiciones son 1,15 MPa, 40 °C y a la salida del evaporador evapora dor las condiciones son s on 0,175 MPa, −15 °C. Si el flujo másico es 0,04 kg/s, determinar: determinar: a. La irreversibilidad durante el proceso de compresión. b. La capacidad de refrigeración. refrigeración. c. El coeficiente de operación para el ciclo. 10.19 Una pista de patinaje tiene un área de 550 m 2. Tres centímetros de agua se encuentran en una capa de hielo a 0 °C. Si el agua se congelara toda en cuatro horas, determinar la mínima potencia de entrada posible para la unidad refrigeradora. 10.20 Una máquina refrigeradora de aire denso elimina 2.000 kJ/min de un cuarto frío de almacenamiento mientras opera entre presiones de 350 kPa y 1.400 kPa. Las temperaturas del aire que entra al compresor y a los cilindros de expansión son de 0 y 35 °C respecti vamente. La expansión es reversible y adiabática, la compresión es politrópica con n = 1,35. Determinar la potencia de entrada y el coeficiente de operación.

249

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Termodinamica Para Ingenieria

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