TESIS-ALUMNO

“MATERIAL DE APOYO DIDÁCTICO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA DE HORMIGÓN ARMADO (CIV-210)” “Texto Alumno”

Trabajo Dirigido Por Adscripción, Presentado, Para Optar al Diploma Académico de

Licenciatura en Ingeniería Civil.

Presentado por:

Felipe Chambi Correa Miguel Angel Vargas Panozo Tutor:

Ing. Ramiro Saavedra Antezana

COCHABAMBA – BOLIVIA Junio de 2007

DEDICATORIAS

Dedicado a: A mis papás Anselmo Chambi y Margarita Correa por apoyarme y haber confiado en mí siempre. A mis hermanos Rosa, Francisco y Antonia, por su comprensión y por brindarme su apoyo incondicional. A mis tíos y tías que siempre confiaron en mí.

Felipe Chambi Correa

Sin lugar a dudas a mis padres, Fernando y Florcita. Quienes han sido mis primeros maestros y ante todo mis amigos, me enseńaron a dar los primeros pasos e inculcaron en mí la perseverancia para cumplir mis metas e ideales. ¡Padres como ellos merecen ser honrados!, ¡Los honro!.

Miguel Angel Vargas Panozo

AGRADECIMIENTOS A Dios por darme la luz y guía espiritual para mí crecimiento tanto intelectual como moral. A mis padres por su inmenso apoyo, carińo y comprensión. A mis hermanos Rosa, Pancho y Antonia, por la ayuda que me dieron. Al Ing. Ramiro Saavedra por ayudarme a que sea posible este proyecto. A los docentes por sus consejos y enseńanzas, haciendo de mí una persona de bien. A la universidad por abrirme las puertas y cobijarme hasta la culminación mis estudios. Y a todos mis amigos que me ayudaron y me apoyaron. ¡Muchas Gracias!

Felipe Chambi Correa

Toda la vida a mí Seńor Jesús quien es mí inspiración y mí refugio una y otra vez. También me embarga un sentimiento de profunda gratitud para con mis padres Fernando Vargas y Flora Panozo, nadie me ha enseńado tanto a lo largo de tanto tiempo como ustedes, con su ejemplo de amor y paciencia, pude aprender muchas cosas que ahora son una parte fundamental de mí diario vivir. Muchas gracias mí Ruthie hermosa, un poco de paciencia y otro poco de la “milla extra” me han ayudado mucho para terminar este proyecto. Al Ingeniero Ramiro Saavedra, gracias por creer en nosotros, por su disposición de tiempo y ayudarnos a entender lo fácil que fue este proyecto.

Miguel Angel Vargas Panozo

FICHA RESUMEN La asignatura de Hormigón Armado CIV – 210 corresponde al octavo semestre de la Carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Mayor de San Simón. En los últimos tiempos, la Universidad Mayor de San Simón ha establecido la necesidad de mejorar el proceso de aprendizaje, a través de la realización de textos que permitan mejorar y apoyar el desempeńo del alumno. Esto por razón, que la elaboración de este texto referido a la materia de hormigón armado surge como respuesta a la necesidad del estudiante de poder disponer de un texto adecuado, en leguaje simple y que cumpla cabalmente con las exigencias del contenido de la materia.

El presente documento es el producto de la investigación de abundante bibliografía sintetizada en un volumen que engloba lo más importante y útil para el aprendizaje de la materia.

El texto se divide en ocho capítulos. El primer capítulo desarrolla la introducción a hormigón y hormigón armado. En el segundo capítulo se desarrolla las cargas sobre las estructuras y principios generales del diseńo unificado. El tercer capítulo desarrolla análisis y diseńo a flexión a vigas. El cuarto capítulo desarrolla análisis y diseńo de vigas a corte. El quinto capitulo desarrolla análisis y diseńo de vigas a torsión. El sexto capítulo desarrolla longitud de desarrollo, empalme y puntos de corte del refuerzo. El séptimo capitulo desarrolla análisis y diseńo de columnas. Finalmente en el octavo capitulo desarrolla análisis y diseńo de losas en dos direcciones.

ÍNDICE GENERAL

1. INTRODUCCION AL HORMIGON ARMA DO

1

1.1. BREVE RESEÑA HISTORICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Objetivos de este capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. HORMIGON Y HORMIGON ARMADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. El Hormigón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2

1.2.2. Hormigón Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.3. Ventajas del Hormigón Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. EL CEMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.1. Cemento Pórtland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.2. Clasificación de los cementos fabricados en Bolivia . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Designación de los cementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. LOS AGREGADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4.1. Clasificación de los agregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4.2. Agregado fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4.3. Agregado Grueso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5. AGUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5.1. Calidad del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6. EL ACERO DE REFUERZO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6

1.6.2. Características físicas y mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. Detalles del acero de efuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

3

4

6 9

Hormigón Armado U.M.S.S.-Ing.Civil

Capítulo0

1.6.4. Limites para el espaciamiento del acero de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.5. Protección del Hormigón para el acero de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7. LOS ADITIVOS . . . . . . . . . . . .

.............

1.7.1. Tipos de aditivos . . . . . . . . . . .

.............

............

10

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11

1.8. PROPIEDADES DEL HORMIGÓN FRESCO Y ENDURECIDO . . . . . . . . . . 12 1.8.1. Propiedades del hormigón fresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.8.2. Propiedades del hormigón endurecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9. Preguntas propuestas . . . . . . . . . . . . .

............

...........

14

2. CARGAS SOBRE LAS ESTRUCTURAS Y PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO UNIFICADO 15 2.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . .

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15


15

2.2. TIPOS DE CARGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1. De acuerdo al area de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.2. De acuerdo al modo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.3. De acuerdo a la naturaleza y su origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. CARGAS MUERTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. CARGAS VIVAS . . . . . . . .

.............

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2.4.1. Cargas vivas debidas al uso y ocupación . . . . . .

.....

21

. . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2. Reducción de Cargas Vivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.3. Ejercicio resuelto . . . . . . . . . . . . .

............

.........

25

2.4.4. Disposición de la carga viva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4.5. Carga viva de techo, L r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .

............

.......

30

2.5. CARGA DE VIENTO, W . . . . . . . . . . . . . .

............

.......

31

2.5.1. Velocidad básica del viento, V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.2. Factor de direccionalidad, K d . . . . . .

.... .... .... ..... ....

2.5.3. Factor de importancia, I . . . . . . . . . . . . . . .

.............

2.5.4. Exposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

. . 32 33

2.5.5. Coeficientes de exposición de la presión de velocidad, K z o Kh . . . . . . . . 33 2.5.6. Efectos Topográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 34 2.5.7. Presión de velocidad del viento, qz o qh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.8. Factor de efecto de ráfaga, G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

ii


Capítulo0

2.5.9. Coeficientes de presión interna, GCpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.10. Coeficientes de presión externa, C p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.11. Presión de diseño del viento, p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.12. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .

............

.......

38

2.6. CARGA DE NIEVE, S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Carga de nieve en el suelo, p g . . . . . .

38 47

.... .... .... ..... ....

47

2.6.2. Carga de nieve en techos planos, p f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.3. Cargas de nieve sobre cubiertas en pendiente, p s . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6.4. Ejercios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 50 2.7. CONSIDERACIONES GENERALES DE DISEÑO POR RESISTENCIA ULTIMA . 53 2.7.1. Diseño por resistencia última . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.7.2. Ventajas del diseño por resistencia última . . . . . . .

.... ..... ....

53

2.8. PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO UNIFICADO . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.8.1. Conceptos claves . . . . . . . . . . . . .

............

.........

53

2.8.2. Requisitos del diseño unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3. Resistencia de diseño, R . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4. Determinación del factor, φ . . . . . . . 2.8.5. Resistencia requerida, U . . . . . .

.............

53

. . 54

.... .... .... ..... ....

55

.... .... .... .... .... ....

56

2.9. ANALISIS ESTRUCTURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.9.1. Análisis elástico . . . . . . . . . . . .

............

...........

58

2.9.2. Análisis aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.9.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . .

............

2.9.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . .

.......

.............

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61 73

3. ANALISIS Y DISEÑO A FLEXION EN VIGAS 3.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . .

.............

77 .............


77 77

3.2. TEORIA BASICA DE FLEXION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.1. Teoria de flexión en vigas elásticas y homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.2. Teoría de flexión en vigas de hormigón armado . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3. SUPOSICIONES NOMINAL A FLEXIONDE. . DISEÑO . . . . . . . . PARA . . . .DETERMINAR .......... . LA . . . .RESISTENCIA ........ 81 3.3.1. Suposición de diseño No 1 . . . . . . . . . .

............

.......

81

3.3.2. Suposición de diseño No 2 . . . . . . . . . .

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c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

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Capítulo0


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81


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82


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82


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82

3.4. REQUERIMIENTOS DE DUCTILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.4.1. Cuantia geométrica por tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.4.2. Cuantia mecánica por tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.4.3. Armadura máxima en elementos solicitados a flexión . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4.4. Armadura mínima en elementos solicitados a flexión . . . . . . . . . . . . . . 86 3.5. FACTORES GENERALES QUE AFECTAN EL DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . 86 3.5.1. Deflexiones excesivas . . . . . . .

............

.............

86

3.5.2. Ancho de fisuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5.3. Formas típicas de ubicación y colocado del refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.6. ANALISIS Y DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES QUE SOLO TIENEN ARMADURA DE TRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.6.1. Ecuaciones de Mn y φM n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.6.2. Ecuaciones adimensionales del M n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.6.3. Cálculo del área de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.6.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . ............ ....... 93 3.7. ANALISIS Y DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES CON REFUERZO DE COMPRESION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . 110 3.7.1. Análisis de vigas con refuerzo de tracción y compresión . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............

...........

3.8. DISEÑO A FLEXION DE VIGAS T y L . . . . . . . . . . . .

110

. 115

...........

. 131

3.8.1. Ancho efectivo del ala . . . . . . . . . . .

............

........

131

3.8.2. Análisis de vigas T y L . . . . . . . . . .

............

........

133

3.8.3. Armadura mínima en vigas T y L . . . . . . . . . . .

.............

136

3.8.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

. . . 137


...........

. . . 153

4. ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS A COR TE 4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . ........... 4.1.1. Objetivos de este capítulo . . . . . . .

............

4.2. TEORIA BASICA DE CORTE . . . . . . . . . . . . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

iv

........... ...........

. . . 157

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157

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158

157


Capítulo0

4.2.1. Teoria de corte en vigas elásticas, homogéneas y no fisuradas . . . . . . . . . 4.2.2. Esfuerzo de corte promedio entre fisuras . . . . . . . . . 4.2.3. Refuerzo de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

...........

158

. 159

. . . 160

4.3. PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.3.1. Resistencia al Corte . . . . . . . . . .

............

..........

161

4.3.2. Cálculo de la fuerza máxima de corte mayorada, V u . . . . . . . . . . . . 4.4. ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS AL CORTE . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 162 . . . 163

4.4.1. Estado limite de falla por corte en vigas sin refuerzo en el alma . . . . . . . . 163 4.4.2. Estado limite de falla por corte en vigas con refuerzo en el alma . . . . . . . 164 4.4.3. Falla por ancho excesivo de las fisuras bajo cargas de se rvicio . . . . . . . . . 167 4.4.4. Falla por corte debido al aplastamiento del alma . . . . . . . . . . . .

. . . . 167

4.4.5. Falla por corte iniciada por el anclaje de las barr as de tracción . . . . . . . . 4.4.6. Refuerzo mínimo de cortante, Av,min . . . . . . . . . . .

...........

167

167

4.4.7. Limitaciones para el espaciamiento del refuerzo de cortante . . . . . . . . . . 4.4.8. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............


........... ...........

168

. 169 . . . 179

5. ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS A TORSIÓN 5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . .

182

...........

...........

. . . 182

5.1.1. Objetivos de este capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 5.2. TEORIA BASICA DE TORSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 5.2.1. Torsión pura en elementos de hormigón simple . . . . . . . . . . 5.2.2. Torsión en elementos de hormigón armado . . . . . . . .

182 183

.......

183

. . . . . . . . . . . . 185

5.3. METODO DE LA ANALOGÍA DE LA CERCHA ESPACIAL . . . . . . . . . . . 5.3.1. Torsión crítica en secciones no fisuradas . . . . . . . . . . . 5.3.2. Área de estribos de torsión . . . . . . . . . .

. 186

..........

............

186

......

187

5.3.3. Área del refuerzo longitudinal de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Combinación de torsión y corte . . . . . . . . . .

...........

. . . . . 189

5.3.5. Máxima fuerza de corte y momento torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6. Torsión de equilibrio y de compatibilidad . . . . . . . . . . . .

. 189 . . . 189

........

190

5.4. ANALISIS Y DISEÑO A TORSION, CORTE Y MOMENTO . . . . . . . . . . . . . 191 5.4.1. Localización de la sección critica de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.4.2. Momento torsor mínimo . . . . . . . .

............

..........

192

5.4.3. Momento torsor de equilibrio o de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 192 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

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Capítulo0

5.4.4. Dimensiones de la sección transversal . . . . . . . . . . . 5.4.5. Refuerzo de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6. Refuerzo de torsión . . . . . . . . . . .

...........

...........

............

. . . 193

..........

5.4.7. Combinación de refuerzo de corte y torsión . . . . . . . . . . .

193

194

........

195

5.4.8. Espaciamiento máximo de refuerzo de corte y torsión . . . . . . . . . . . . . . 195 5.4.9. Refuerzo mínimo para torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............

........

...........

195

. 196

5.4.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . 213 6. LONGITUD DE DESARROLLO, EMPALME Y PUNTOS DE CORTE DEL REFUERZO 215 6.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . .

...........

6.1.1. Objetivos de este capítulo . . . . . . .

...........

............

6.2. ESFUERZO DE ADHERENCIA . . . . . . . . . . . . .

. . . 215

..........

............

215

. . . . 216

6.2.1. Esfuerzo de adherencia promedio en una viga . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 216

6.3. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE LA ADHERENCIA . . . . . . . . . . . 217 6.4. LONGITUD DE DESARROLLO . . . . . . . . . . . . .

............

. . . . 219

6.4.1. Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción . . . . . . . 6.4.2.

. . . . . . 219

Longitud de desarrollo de barras corrugadas a compresión . . . . . . . . . .

220

6.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . 221 6.4.4. Longitud de desarrollo de ganchos estándar en tracción . . . . . . . . . . . .

225

6.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . 6.5. EMPALMES . . . . . . . . . . .

............

...........

...........

............

. 226

......

229

6.5.1. Empalmes de barras corrugadas a tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.5.2. Empalmes de barras corrugadas a compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. PUNTOS DE CORTE Y DOBLADO . . . . . . . . . .

...........

. 231

. . . . . 231

6.6.1.

Longitud de desarrollo del refuerzo por flexión . . . . . . . . . . . .

6.6.2.

Longitud de desarrollo del refuerzo para momento positivo . . . . . . . . . .

6.6.3.

Longitud de desarrollo del refuerzo para momento negativo . . . . . . . . . . 232

6.6.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............


. . . . . 231

........... ...........

. 233 . . . 243

7. ANALISIS Y DISEÑO DE COLUM NAS 7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . .


245

...........

7.1.1. Objetivos de este capítulo . . . . . . . vi

231

...........

............

. . . 245

..........

245


Capítulo0

7.2. TIPOS DE COLUMNAS . . . . . . . . . . .

............

..........

7.2.1. Posición de la carga en la sección transversal . . . . . . . . . . . .

246

......

246

7.2.2. Longitud de la columna en relación a sus dimensiones laterales . . . . . . . .

246

7.3. RESISTENCIA DE COLUMNAS CORTAS CON POCA EXCENTRICIDAD . . . . 247 7.4. REQUISITOS DEL CODIGO ACI 318 PARA COLUMNAS . . . . . . . . . . . . . . 248 7.4.1. Refuerzo principal (longitudinal) . . . . . . . . . . .

...........

. . . 248

7.4.2. Requerimiento de espaciamiento y construcción de estribos . . . . . . . . . .

248

7.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . 249 7.5. RESISTENCIA DE COLUMNAS CORTAS DE GRAN EXCENTRICIDAD: CARGA AXIAL Y MOMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 253 7.5.1. Relación carga axial y momento . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Consideraciones de resistencia . . . . . . . . . . . 7.5.3. Diagramas de interacción . . . . . . . . . . .

.............

........... ............

253

. . . . . 254 ......

254

7.5.4. Diagramas de interacción para columnas de hormigón . . . . . . . . . . 7.5.5. Resistencia con interacción biaxial . . . . . . . . . . . .

...........

7.5.6. Superficies de falla . . . . . . . . . . .

..........

7.5.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............ ............

7.6. COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS . . . . . . . . 7.6.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . .

. 256 257

...........

...........

. . . 255

. 262

.......

............

......

269 269

7.6.2. Comportamiento de columnas articuladas en sus extremos . . . . . . . . . . . 270 7.6.3. Limites de esbeltez para columnas esbeltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.6.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............

...........

. 277

7.6.5. Diseño de columna esbeltas en porticos desplazables . . . . . . . . . . . 7.6.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............


........... ...........

. . . 284 . 286

. . . 295

8. ANALISIS Y DISEÑO DE LOSAS EN DOS DIREC CIONES 8.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . .

...........

8.1.1. Objetivos de este capítulo . . . . . . .

297

...........

............

. . . 297

..........

8.2. ANÁLISIS DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. METODO DE DISEÑO DIRECTO . . . . . . . . . . .

...........

8.3.1. Limitaciones de uso del método directo . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Relación de rigidez de viga-a-losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

. 299

. . . . . 299

......... ......

8.3.3. Espesor mínimo de una losa y requisitos de rigidez . . . . . . . . . . . . . . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

298

299 299 . 301


Capítulo0

8.3.4. Determinación de momentos en los paneles de losas . . . . . . . . . . . . . . . 303 8.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............

...........

. 306

8.4. DIMENSIONAMIENTO Y CARGAS EN ESCALERAS . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Dimensinamiento . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Cargas en escaleras . . . . . . . . . . .

............ ............

. . . . 332

........

332

..........

333

8.4.3. Clasificación de escaleras según su apoyo longitudinal . . . . . . . . . . . . . 8.4.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .

............

...........

8.4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... A. AYUDAS PARA EL ANALISIS Y DISEÑO DE COLUMNAS A.1. Diagramas de interacción . . . . . . . . . . .

............

A.1.1. Diagramas de interacción uniaxiales . . . . . . . . . . . A.1.2. Diagramas de interacción biaxiales . . . . . . . . . . . . . . A.2. Constantes de diseño biaxial . . . . . . . . . .

B. BIBLIOGRAFIA


............

333

. 334 . . . 338

.......... ........... .......... ..........

340 340 . 340 340 340

359

viii

ÍNDICE DE TABLAS

1.1. Clasificación de cementos según su composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Influencia de materiales nocivos en los agregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Requisitos del agua de amasado y curado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Resumen de requisitos mínimos de la resisten cia en barras corru gadas de refuerzo de la ASTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5a. Planilla de aceros de vigas

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

8

1.5b. Planilla de aceros de losas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. Medidas mínimas doblado para barras con gan chos normales doblados a 90 y 180 . ◦

◦

1.7. Medidas mínimas doblado para Estribos Nor males y Ganchos de Amarre con dobl ez a 90 y 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . 10 ◦

◦

1.8. Recubrimientos mínimos del acero de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1a. Cargas muertas mínimas de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1b. Cargas muertas mínimas de diseño, continuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2a. Pesos específicos de materiales para cargas de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2b. Pesos específicos de materiales para cargas de diseño, continuación . . . . . . . . . . 20 2.2c. Pesos específicos de materiales para cargas de diseño, continuación . . . . . . . . . . 21 2.3a. Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas mínimas , Lo, y cagas vivas mínimas concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3b. Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas mínimas , Lo, y cagas vivas mínimas concentradas, continuación . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . 23 2.3c. Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas mínimas , Lo, y cagas vivas mínimas concentradas, continuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ix

9


Capítulo0

2.4. Factor de carga viva del elemento . . . . . .

............

...........

25

2.5. Factor de direccionalidad del viento, K d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.6. Clasificación de los edific ios para cargas ambientales y factor de importan cia I , para cargas de viento y nieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7. Constantes de exposición del terreno . . . . . . .

.... .... .... .... ....

33

2.8. Parámetros para determinar el factor topográfico, K zt . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.9. Coeficiente de Presión interna GCpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.10. Coeficiente de presión externa, C p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.11. Factor de exposición, Ce . . . . . . . . . . . . . . . . .

.............

....

2.12. Factor térmico, C t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 49

2.13. Factores de reducción de la resistencia para el método de diseño por resistencia

. . . 55

2.14. Resistencia requerida en combinaciones de cargas simplificadas . . . . . . . . . . . . 57 3.1. Parametros de diseño, en el limite de la deformación de t = 0,005, en secciones controladas por la tracción . . . . . . . . . . . . ............ ......... 85 3.2. Alturas o espesores mínim os de vigas o losas reforzad as en una dirección cu ando no se calculan las deflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 M

M

u n 3.3. Resistencia a flexión o de secciones rectangulares solo con arφ · fc · b · d2 fc · b · d2 madura a tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 



6.1. Tipos de empalme por traslape en tracción . . . . . . . . . . . . 8.1. Espesores mínimos de losas sin vigas interiores . . . . . . . . . . .

...........

230

..........

302

8.2. Distribución del momento estático último total, Mo para un tramo exterior . . . . . 304 8.3. Porcentaje de momento negativo último de un apoyo interior a ser resistido por la franja de columna . . . . . . . . . . . . ........... ........... . . . 305 8.4. Porcentaje de momento negat ivo último de un apoyo exteri or a ser resistido por la franja de columna . . . . . . . . . . . . ........... ........... . . . 305 8.5. Porcentaje de momento positiv o último a ser resistido por la franja de columna . . . 306 8.6a. Cálculo de momentos en la franja de losa 1 del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . . .

. . 313

8.6b. Cálculo de momentos en la franj a de losa 2 del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . . .

. . 313

8.6c. Cálculo de momentos en la franja de losa A del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . .

. . . 313

8.6d. Cálculo de momentos en la franj a de losa B del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . .

. . . 314

8.7a. Cálculo de refuerzo en la franja columna 1 de E-O del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . 8.7b. Cálculo de refuerzo en la franja central 1 de E-O del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . .

316 316

8.7c. Cálculo de refuerzo en la franja columna 2 de E-O del ejemplo

316


x

8.1 . . . . . . . . . .


Capítulo0

8.7d. Cálculo de refuerzo en la franja central 2 de E-O del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . . 8.7e. Cálculo de refuerzo en la franja columna A de N-S del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . 8.7f. Cálculo de refuerzo en la franja central A de N-S del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . .

316 317 . 317

8.7g. Cálculo de refuerzo en la franja columna B de N-S del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . 8.7h. Cálculo de refuerzo en la franja central B de N-S del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . .

317 . 317

8.8a. Cálculo de momentos en la franja de losa 1 del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . . .

. . 326

8.8b. Cálculo de momentos en la franj a de losa 2 del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . . .

. . 326

8.8c. Cálculo de momentos en la franja de losa A del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . . 8.8d. Cálculo de momentos en la franj a de losa B del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . .

. . . 326 . . . 327

8.9a. Cálculo de refuerzo en la franja columna 1 de E-O del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . .

329

8.9b. Cálculo de refuerzo en la franja central 1 de E-O del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . .

329

8.9c. Cálculo de refuerzo en la franja columna 2 de E-O del ejemplo

8.2 . . . . . . . . . .

329

8.9d. Cálculo de refuerzo en la franja central 2 de E-O del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . .

330

8.9e. Cálculo de refuerzo en la franja columna A de N-S del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . .

330

8.9f. Cálculo de refuerzo en la franja central A de N-S del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . 8.9g. Cálculo de refuerzo en la franja columna B de N-S del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . 8.9h. Cálculo de refuerzo en la franja central B de N-S del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . .


xi

. 330 331 . 331

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Ejemplo de viga sin y con armadu ras sometidas a cargas. . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Tipos de barras corrugadas aprobadas por la ASTM . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Sistema de marcas estándar de barras corrugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Curvas de esfuerzo - deformación unitaria de barras de ref uerzo . . . . . . . . . . . .

7

1.5. Medidas de los ganchos de 180 (a) y 90 (b) estandarizadas . . . . . . . . . . . . . . o

9

o

1.6. Formas típicas de doblado de estribos cer rados y abiertos . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7. Estribos y Ganchos para uso general izqui erda, para uso sísm ico derecha . . . . . . . 10 1.8. Espaciamiento mínimo del refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9. Curvas esfuerzo-deformación unitaria a la compresión típica para hormigones de Peso específico normal 2400 kg/m 3 . . . . . . . . . . . . ............. . . . . . . 14 2.1. Areas de influencia típicas de columnas del edificio de 36 × 18 m . . . . . . . . . . . 26 2.2. Patrones de disposición de carga viva . . . . . . . . . . . .

.............

. . 29

2.3. Techo de dos aguas del ejemplo de 13,60 × 3,8 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Topografía de colinas aisladas, crestas, y taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Coeficiente de presión externa, C p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6. Estructura con carga de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.7. Distribución de la presión de dis eño del viento del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8. Estructura aporticada del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9. Estructura con carga de nieve del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.10. Distribución de la carga de diseño de nieve del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

52


Capítulo0

2.11. Condiciones de deformación del diseño unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.12. Variación de φ en función de  t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.13. Diagramas y ecuaciones de momentos y cortantes en vigas . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.14. Condiciones de análisis por coeficientes (ACI 8.3.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.15. Coeficientes de Momentos y cortantes (ACI 8.3.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.16. Edificio con entrepiso de viguetas del ejemplo 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.17. Longitud n del edificio del ejemplo 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.18. Vista en planta del edificio del ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.19. Distribución de cargas sobre vigas del ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.20. Cargas vivas y muertas totales sobre vigas del ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.21. Cargas últimas sobre vigas del ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.22. Vu sobre vigas A-2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis aproximado . . . . . . . . . . 70 2.23. Cargas vivas y muertas totales sobre viga A2-E2 del ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . 70 2.24. Vu sobre vigas A-2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis elástico . . . . . . . . . . . . . 70 2.25. M u sobre vigas A2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis aproximado . . . . . . . . . . 71 2.26. Mu sobre vigas A2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis elástico . . . . . . . . . . . . . 71 2.27. Emvolvente de M u sobre vigas A2-E2 del ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.28. ejercicio 2.1 . . . . . . . . . . .

.............

.............

....

73

2.29. ejercicio 2.2 . . . . . . . . . . .

.............

.............

....

74

2.30. ejercicio 2.3 . . . . . . . . . . .

.............

.............

....

75

2.31. Edicifio con entrepiso de viguetas del ejercicio 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1. Estatica de viga simplemente apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.2. Etapa de esfuerzos elásticos y hormigón no agr ietado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3. Etapa de esfuerzos elásticos y hormigón no agr ietado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4. Etapa de resistencia última . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5. Distribución de deformaciones y modos de falla en elemen tos flexionados . . . . . . . 80 3.6. Variación de la deformación unitaria,  (ACI 10.2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.7. Relación Esfuerzo - deformación real y de diseño del acero (AC I 10.2.4) . . . . . . . 82 3.8. Condiciones reales del Esfuerzo- deformación para resisten cia nominal en elementos solicitados a flexión (ACI 10.2.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.9. Distribución real y rectangular equivalente de esfuerzos para carga última del hormigón (ACI 10.2.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . 83 3.10. Deformación unitaria limite en secciones controladas por la tracción (ACI 10.3.4) . . 84 3.11. Relación entre la deformación y la tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

xiii


Capítulo0

3.12. Localización del acero de refuerzo en vigas simplemente apoyadas . . . . . . . . . . . 88 3.13. Localización del acero de refuerzo en vigas en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.14. Localización del acero de refuerzo en vigas continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.15. Fuerzas y Esfuerzos en viga rectangular con armadura solo a tracción . . . . . . . . 89 3.16. Viga simplemente apoyada de  n = 6,5 m del ejemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.17. Diagrama de momento flector y carga última del ejemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . 94 3.18. Distribución de deformaciones y esfuerzos 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.19. Detalle de armado de la viga del ejemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.20. Detalle de armado del ejemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.21. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.2 . . . . . . . . . .

. . . . . 100

3.22. Datos de la viga continua de  = 7,5 m del ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . .

. . . . . 101

3.23. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.3 . . . . . . . . . .

. . . . . 105

3.24. Detalle de armado de la viga del ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . 3.25. Datos de la losa maciza en 1 dirección del ejemplo 3.4 3.26. Ancho de diseño de losas en 1 dirección

...........

..........

...........

105

.......

...........

106

. . . 107

3.27. Momentos ultimos en la losa en 1 dirección del ejemplo 3.4 . . . . . . . . . . . .

. . 108

3.28. Detalle de armado de la losa en 1 dirección del ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . .

. . 110

3.29. Deformaciones y esfuerzos internos en viga con refuerzo de compresión . . . . . . . . 110 3.30. Fuerzas internas en las vigas imaginarias 1 y 2 . . . . . . . . . . . .

.........

3.31. Datos de ejemplo 3.5: detalle de armado . . . . . . . . . . . . . . . . .

........

111 115

3.32. Fuerzas internas en las vigas imaginarias 1 y 2 del ejemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . 116 3.33. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.5 . . . . . . . . . .

. . . . . 117


. . . . . 118

3.35. Datos de ejemplo 3.6: detalle de armado . . . . . . . . . . . . . . . . .

........

120

3.36. Fuerzas internas en las vigas imaginarias 1 y 2 del ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . 120 3.37. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . 3.38. Distribución de deformaciones y esfuerzos . . . . . . . . . . . .

...........

. . . . . 122 . 123

3.39. Fuerzas internas en las vigas imaginarias 1 y 2 del ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . 123 3.40. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.6 . . . . . . . . . .

. . . . . 125


. . . . . 126

3.42. Esquema del ejercicio 3.7 . . . . . . . . . . . ............ .......... 127 3.43. Detalle de armado de la viga de 30 × 80 cm del ejemplo 3.7 . . . . . . . . . . . . . . 131 3.44. Distribución del máximo esfuerzo de compresión por flexión . . . . . . . . . . . . . .


xiv

131


Capítulo0

3.45. Distribución del máximo esfuerzo de compresión por flexión . . . . . . . . . . . . . . 3.46. Geometría de viga interior de un entrepiso con vigas . . . . . . . . . . . . 3.47. Geometría de viga de borde de un entrepiso con vigas

..........

3.48. Fuerzas y esfuerzos internas en la viga-T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.49. Fuerzas y esfuerzos internas en la viga-F . . . . . . . . . . . . . . .

......

132

.......

133

......

134

..........

3.50. Fuerzas y esfuerzos internas en la viga-W . . . . . . . . . . . .

...........

3.51. Esquema del ejercicio 3.8 . . . . . . . . . . .

..........

............

132

134 . 135 137

3.52. Detalle de armado de la viga-T del ejemplo 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.53. Detalle de armado de la viga-T del ejercicio 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.54. Esquema del ejercicio 3.10 . . . . . . . . . . .

............

3.55. Predimensiones de la losa nervada 3.10 . . . . . . . . . .

..........

...........

3.56. Momentos ultimos en la losa nervada del ejemplo 3.10 . . . . . . . . . . 3.57. Detalle de armado la losa nervada del ejemplo 3.10 . . . . . . .

144

. . . . . 145 .......

147

...........

3.58. Momentos ultimos en las viguetas del ejemplo 3.10 . . . . . . . . . . . . . 3.59. Detalle de armado la vigueta del ejemplo 3.10 . . . . . . . . . . . . . . .

. 148

......

149

.......

153

3.60. Ejercicio propuesto 3.1 . . . . . . . . . . . . .

............

..........

154


............

..........

155


............

..........

155


............

..........

155


............

..........

156


............

..........

156

4.1. Fuerzas internas en una viga simplemente apoyada . . . . . . . . . . .

........

158

4.2. Cálculo del esfuerzo promedio entre fisuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.3. Fisura por flexión . . . . . . . . . . .

...........

............

4.4. Fisura inclinada . . . . . . . . . . . .

...........

...........

. . . . 160 . . . . . 160

4.5. Refuerzo de corte inclinado . . . . . . . . . .

............

..........

160

4.6. Refuerzo de corte vertical . . . . . . . . . . .

............

..........

161

4.7. Condiciones tipicas del apoyo para localizar la fue rza Vu . . . . . . . . . . . . .

. . . 162

4.8. Condiciones de apoyo para localizar la fuerza Vu que no cumplen con ACI 11.1.3 . . 163 4.9. Tipos y disposiciones de refuerzo de corte . . . . . . . . . . . .

...........

4.10. Resistencia al corte con estribos verticales . . . . . . . . . . . . . . . .

........

. 164 165

4.11. Resistencia al corte con estribos inclinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.12. Requerimiento de resistencia al corte . . . . . . . . . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

xv

............

......

169


Capítulo0

4.13. Viga simplemente apoyada de  = 8 m . . . . . . . . . . . . 4.14. Diagrama de fuerzas cortantes y carga última

...........

............

. . . 169

.........

4.15. Detalle de armado al corte de la viga simplemente apoyada

...........

4.16. Viga continua de  = 7,20 m . . . . . . . . . .

..........

............

4.17. Diagrama de fuerzas cortantes y carga última

............

171 . . . 174

174

.........

175

4.18. Detalle de armado al corte de la viga continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.19. Ejercicio propuesto 4.2 . . . . . . . . . . . . .

............

..........

180

4.20. Ejercicio propuesto 4.3 . . . . . . . . . . . . . 4.21. Ejercicio propuesto 4.4 . . . . . . . . . . . . .

............ ............

.......... ..........

180 180


............

..........

181

5.1. Distribución del esfuerzo de corte debido a la torsión . . . . . . . . . .

........

5.2. Elementos tubulares de pared delgada y espesor v ariable . . . . . . . . . . . . . . .

183 . 184

5.3. Área encerrada por la trayectoria de q en tubos de pared delgada . . . . . . . . . . . 185 5.4. Esfuerzos de tracción principales y fisuración debida a la torsión pura . . . . . . . .

185

5.5. Esfuerzos de corte y fisur ación debido al torsor combinado . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.6. Analogía del tubo de pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.7. Analogía de la cercha espacial . . . . . . . . . . . . . . .

...........

5.8. Equilibrio de fuerzas verticales con estribos . . . . . . . . . . .

. . . . . 187

...........

. 188

5.9. Parámetros geométricos torsionales . . . . . . . . . . ............ . . . . . . 189 5.10. Equilibrio de las fuerzas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.11. Adición de los esfuerzos cortantes y de torsionales en secciones huecas . . . . . . . .

190

5.12. Adición de los esfuerzos cortantes y de torsionales en secciones sólidas . . . . . . . .

190

5.13. Torsión de equilibrio en una losa en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.14. Torsión de compatibilidad en una viga de borde . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 191

5.15. Planta y elevación de la losa en voladizo del ejemplo 5.1 . . . . . . . . . . . . 5.16. Esquema de armado de la viga del ejemplo 5.1 . . . . . . . . . . . . 5.17. Planta de la viga C1-E1 a torsión del ejemplo 5.2 . . . . . . . . . . . .

. . . . 197

.........

204

........

204

5.18. Redistribución de momentos en la viga D1-D2 del ejemplo 5.2 . . . . . .

. . . . . . . 208

5.19. DCL de viga D1-D2 después de la redistribución de momentos, ejemplo 5.2 . . . . . 208 5.20. Diagrama de Fuerza cortante en la viga C1-E1, ejemplo 5.2 . . . . . . . . . . . 5.21. Esquema de armado de la viga del ejemplo 5.2 . . . . . . . . . . . .

. . . 209

.........


............

..........

213


............

..........

214


xvi

213


Capítulo0


............

..........

6.1. Fuerzas internas en una viga simplemente apoyada . . . . . . . . . . .

214

........

6.2. Fuerzas y esfuerzos de adhe rencia en una barra de refuerz o . . . . . . . . . . . .

216 . . 216

6.3. Relación entre los cambios de esfuerzos en una barra y los esfuerz os de adherencia . 216 6.4. Esfuerzo de adherencia promedio en vigas . . . . . . . . . . . .

...........

. 217

6.5. Fuerzas internas del mecanismo de transfe rencia de la adherencia . . . . . . . . . . . 218 6.6. Fuerzas del hormigón como mecanism o de transferencia de la adherencia . . . . . . . 218 6.7. Típicas fallas de hendimiento en la superficie de hor migón . . . . . . . 6.8. Esquema del ejemplo 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 6.9. Esquema del ejemplo 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

........ . . . 221

...........

218

. . . 223

6.10. Detalles de barras dobladas para desarrollar el gancho estándar . . . . . . .

. . . . . 225

6.11. Factor de recubrimiento de hormigón (ACI 12.5.3(a)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.12. Estribos perpendicularmente a la barra en desarrollo, con gancho a 90 o (ACI 12.5.3(b))226 6.13. Estribos perpendicularmente a la barra en desarrollo, con gancho a 180 o (ACI 12.5.3(c))226 6.14. Esquema del ejemplo 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15. Detalle de armado del ejemplo 6.3 . . . . . . . . . .

........... ............

. . . 227 ......

229

6.16. Espaciamiento libre en barras desalineadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.17. Espaciamiento libre en barras escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . .

........

230

+

6.18. Puntos de corte de acero para momento positivo, M u . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.19. Desarrollo del refuerzo por momento negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.20. Puntos de corte de acero para momento negativo, M u . . . . . . . . . . . . .

. . . . 232

−

6.21. Esquema del ejemplo 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

. . . 233

6.22. Resistencia última a la fuerza de corte, Vu , del portico del ejemplo 6.4 . . . . . . . .

233

6.23. Resistencia última al momento flector, Mu , del portico del ejemplo 6.4 . . . . . . . . 234 6.24. Esquema de trabajo del portico del ejemplo 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 237

6.25. Puntos de corte para M u y M u del portico del ejemplo 6.4 . . . . . . . . . . .

. . . 238

6.26. Detalle de armado del ejemplo 6.4 . . . . . . . . . .

242

−

+

............

......


...........

. . . 243


...........

. . . 243


...........

. . . 244


...........

. . . 244

7.1. Columna con carga axial . . . . . . . . . . . . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

xvii

............

.........

246


Capítulo0

7.2. Columnas con cargas excéntricas . . . . . . . . . . .

............

......

246

7.3. Resistencia de una columna cargada axialmente . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 247

7.4. Configuraciones típicas de estribos (ACI 7.10.5.3) . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 249

7.5. Sección transversal de la columna del ejemplo 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Detalle de armado de la columna del ejemplo 7.2 . . . . . . . . . . . .

. . . . . 249 ........

253

7.7. Columna sometida a carga con excentr icidades cada vez mayores . . . . . . . . . .

. 253

7.8. Relación entre carga axial-momento-excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.9. Diagrama de interacción de una columna elá stica, |fcu | = |ftu | . . . . . . . . . . . . . 254 7.10. Diagrama de interacción de resistencias (columnas con estribos cerrados) . . . . . . . 255 7.11. Calculo de P n y M n para una distribución de deformaciones dada . . . . . . . . . . . 255 7.12. Distribuciones de deformaciones correspondientes a los puntos del diagrama de interacción . . . . . . . . . . . ........... ............ .......... 256 7.13. Superficie de interacción de falla biaxial tri-dimensional . . . . . . . . . . .

. . . . . 256

7.14. Flexión biaxial con respecto a eje diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 257

7.15. Superficie de interacción con ángulo y carga constante . . . . . . . . . .

.......

7.16. Superficies de falla . . . . . . . . . . . .

. . . 258

...........

...........

7.17. Método de las cargas recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

257

. 258

7.18. Contornos de carga de Bresler para P n en la superficie de falla S 3 . . . . . . . . . . . 259 7.19. Contorno de cargas de la superficie de falla S 3 sobre un plano de P n constante . . . 260 7.20. Contorno de cargas adimensional para Pn constante . . . . . . . . . . . 7.21. Superficie de falla generada es S4



Pn Mnx Mny , , Po Mnox Mnoy



..........

.......

260

.......

261

7.22. Contorno de interacción modificado de una P n constante para una columna cargada biaxialmente. . . . . . . . . . . . ........... ............ . . . . . . 262 7.23. Detalle de armado de la columna del ejemplo 7.3 . . . . . . . . . . . . 7.24. Fuerzas en una columna deflectada . . . . . . . . . . . . . .

........

...........

268

. . . 269

7.25. Diagrama de cuerdo libre de una columna deflectada . . . . . . . .

..........

269

7.26. Diagrama de cuerdo libre de una columna deflectada . . . . . . . .

..........

270

7.27. Fallas en una columna por material y estabilidad . . . . . . . . . . . .

........

7.28. Construcción de diagramas de interacción de columnas esbeltas . . . . . . . . . . . .

271 271

7.29. Desarrollo de los momentos de segundo orden en una columna deflectada . . . . . . 272 7.30. Diagrama de momentos equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.31. Convención de signos para la relación M1 /M2 en columnas esbeltas . . . . . . . . . . 274 7.32. Propiedades de las secciones para el análisis de pórticos


xviii

............

. . . . 275


Capítulo0

7.33. Consideración de la esbeltez de columnas . . . . . . . . . . . . 7.34. Radio de giro, r . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

............

7.35. Longitud no apoyada, u . . . . . . . . . . . .

............

7.36. Geometria del edificio del ejemplo 7.4 . . . . . . . . . .

. 275

........

276

..........

...........

276

. . . . . 278

7.37. Diagrama de interacción de la columna D1 de 55 × 55 cm del ejemplo 7.4 incluyendo la esbeltez . . . . . . . . . . . . . ........... ............ . . . . . . 282 7.38. Detalle de armado de la columna D1 del ejemplo 7.4 . . . . . . . . . . . .

......

7.39. Geometria del edificio del ejemplo 7.5 . . . . . . . . . .

. . . . . 287

...........

284

7.40. Diagrama de interacción de la columna D3 de 55 × 55 cm del ejemplo 7.5 incluyendo la esbeltez . . . . . . . . . . . . . ........... ............ . . . . . . 293 7.41. Detalle de armado de la columna D3 del ejemplo 7.5 . . . . . . . . . . . .

......

295


............

..........

295


............

..........

296

8.1. Placa plana . . . . . . . . . . . .

...........

8.2. Losa encasetonada . . . . . . . . . . . . 8.3. Losa plana . . . . . . . . . . .

............

...........

...........

............

8.4. Losa en dos direcciones sobre vigas . . . . . .

......

........... ........

............

297

. . . 297 298

..........

8.5. Condiciones para la aplicación del análisis por coefici entes . . . . . . .

298

........

8.6. Secciones transversales de viga y losa para el cálcul o de α f . . . . . . . . . . . .

299

. . 300

8.7. Secciones efectivas de viga y de losa para el cálculo de la relaci ón de rigidez α f (ACI 13.2.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ ........... . 300 8.8. Calculo de la rigidez αf en vigas . . . . . . . . . . .

............

......

301

8.9. Secciones críticas para determinar los momentos nega tivos de diseño . . . . . . . . . 8.10. Definición de las franjas de diseño . . . . . . . . . .

............

......

303

8.11. Asignación del M o a las regiones de momentos positivos y negativos . . . . . . . . . 8.12. Elementos torsionales . . . . . . . . . . .

............

...........

8.13. División de los elementos de borde para el cálculo de C . . . . . . . . . . . 8.14. Geometria del edificio del ejemplo 8.1 . . . . . . . . . .

...........

303 304

. 305 . . . . . 306 . . . . . 307

8.15. División de la losa en franjas de diseño, ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.16. Secciones efectivas de viga y losa, ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 308

8.17. Detalle de armado de losa sobre vigas dirección E-O, ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . . 319 8.18. Detalle de armado de losa sobre vigas dirección N-S, ejemplo 8.1 . . . . . . . . . . . 319 8.19. Geometria del edificio del ejemplo 8.2 . . . . . . . . . .

...........

. . . . . 320

8.20. División de la losa en franjas de diseño, ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

xix


Capítulo0

8.21. Area y perímetro crítico de corte de las columnas B1 y B2 del ejemplo

8.2 . . . . . . 323

8.22. Detalle de armado de losa sobre vigas dirección E-O, ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . .

331

8.23. Detalle de armado de losa sobre vigas dirección N-S, ejemplo 8.2 . . . . . . . . . . 8.24. Huella y contrahuella en escaleras . . . . . . . . . . . 8.25. Escaleras de un tramo . . . . . . . . . . . 8.26. Escaleras de dos o más tramos

............

............

..........

............

8.27. Geometria de la escalera del ejemplo 8.3 . . . . . . .

......

...........

332

. 333

........

............

. 332

333

......

334

8.28. Espesor equivalente de la escalera del ejemplo 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 8.29. Calculo de acero del refuerzo del ejemplo 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.30. Detalle de armado de la escalera del ejemplo 8.3 . . . . . . . . . . .

.........

338


............

..........

338


............

..........

339



A.1a.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 25×25 para fc = 210 kg/cm 2 341 A.1b.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 25×30 para fc = 210 kg/cm 2 342 

A.1c.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 30×30 para fc = 210 kg/cm 2 343 

A.1d.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 30×40 para fc = 210 kg/cm 2 344 

A.1e.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 35×50 para fc = 210 kg/cm 2 345 



A.1f. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 40×50 para fc = 210 kg/cm 2 346 

2

A.2a.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 25×25 para fc = 250 kg/cm 347 A.2b.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 25×30 para fc = 250 kg/cm 2 348 

A.2c.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 30×30 para fc = 250 kg/cm 2 349 

A.2d.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 30×40 para fc = 250 kg/cm 2 350 

A.2e.Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 35×50 para fc = 250 kg/cm 2 351 



A.2f. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 40×50 para fc = 250 kg/cm 2 352 A.3a.Diagrama de interacción biaxial, φMnx y φMny de columna rectagular de 25 × 25 para f c = 210 kg/cm 2 . . . . . . . . . . . ............ ........... . 353 

A.3b.Diagrama de interacción biaxial, φMnx y φMny de columna rectagular de 30 × 30 para f c = 210 kg/cm 2 . . . . . . . . . . . ............ ........... . 354 

A.3c.Diagrama de interacción biaxial, φMnx de columna rectagular de 30 × 40 para fc = 210 kg/cm 2 . . . . . . . . . . . . ........... ............ . . . . . . 355 



2 A.3d.Diagrama para fc = 210 kg/cm de .interacción . . . . . . . . . .biaxial, . . . .φM . . .ny. . de . . .columna . . . . .rectagular . . . . . . . de. .30 ..× . . 40 356

A.4a.Constantes de diseño biaxial para disposición de 4 barras . . . . . . . . . . . . .

. . 357

A.4b.Constantes de diseño biaxial para disposición de 8 barras . . . . . . . . . . . . .

. . 357


xx


Capítulo0

A.4c.Constantes de diseño biaxial para disposición de 12 o más barras

. ..........

A.4d.Constantes de diseño biaxial para disposición de 6, 8 y 12 barras

..........


xxi

358 . 358

CAPÍTULO

1

INTRODUCCION AL HORMIGON ARMADO

1.1 BREVE RESEÑA HISTORICA De los materiales de construcción de interés estructural, el hormigón armado es de historia mas reciente y progreso rápido. A continuación se presenta el desarrollo histórico del cemento y del hormigón armado. Aunque ciertos tipos de cementos de srcen mineral eran conocidos desde la antigüedad, solo han sido empleados como cementos hidráulicos a partir de mediados del siglo XVIII. En el año 1824 un albañil inglés, Joseph Aspdin , consiguió fabricar un material cementicio por trituración y calcinación de piedra calcárea y arcilla. A este producto Aspdin le dio el nombre de Cemento Pórtland , por tener la dureza y color semejante a las piedras de las canteras de Pórtland en Inglaterra. Los hĳos de Joseph Aspdin, james y William, desarrollaron y perfeccionaron la fabricación del cemento. En 1801 el Ing. F. Coignet publico su tratado de los principios de la construcción . En 1850 J. L. Lambot descubre el aumento de resistencia del hormigón al armarlo con acero. En 1875 el Ing. Hennebicq estudia científicamente este nuevo tipo de construcción y llega así a ejecutar obras de cierta importancia y magnitud. En 1884 una Empresa constructora Alemana adquiere los derechos de la patente de Monier para aplicar el hormigón armado en ese país. Más o menos en esta misma época el Ing. Emperger de la Universidad de Viena se interesa por el hormigón armado y lo estudia, aplicándo las leyes y reglas de la Mecánica aplicada .

Koenen en 1886 publico el primer manuscrito sobre el diseño y construcción de estructuras de hormigón . El año 1875 en E.E.U.U. inicia la vida del hormigón armado con la aplicación de este nuevo material en la construcción de entrepisos de edificios. Las teorías de resistencia última se plantearon en la Unión Soviética en 1938 y en Inglaterra 1


Capítulo1

y los Estados Unidos en 1956. En la actualidad este material ha llegado a ser de empleo preferente en numerosas aplicaciones, por su facilidad a adaptarse a cualquier forma de acuerdo al molde o encofrado que lo contiene, que con frecuencia podemos ver las maravillosas obras estructurales en el mundo.

1.1.1 Objetivos de este capítulo Al terminar el presente capítulo el estudiante: 1. Conocerá el transfondo historico que dio srcen al surgimiento del hormigón armado como material de construcción. 2. Definirá y diferenciará el término hormigón y hormigón armado. 3. Reconocerá las ventajas del empleo del hormigón armado. 4. Aprenderá a definir y clasificar el término cemen to según las especificaciones del código ACI. 5. Aprenderá a definir y clasificar el término agregado según las especifica ciones del código ACI. 6. Aprenderá a definir, clasificar y detallar el armado del acero de refuerzo según las especificaciones del código ACI. 7. Aprenderá a definir y clasificar el término aditivo según las especificaci ones del código ACI. 8. Aprenderá a definir y clasificar propiedades del hormigón fresco y endurecido según las especificaciones del código ACI.

1.2 HORMIGON Y HORMIGON ARMADO 1.2.1 El Hormigón

El hormigón es una mezcla formada por cemento Pórtland o cualquier otro cemento hidráulico, agregado fino, agregado grueso, agua limpia, con o sin aditivos, que al fraguar y endurecer adquiere resistencia. Los agregados generalmente se dividen en dos grupos: finos y gruesos . La pasta está compuesta de cemento Portland, agua y aire atrapado o aire incluido intencionalmente.

1.2.2 Hormigón Armado Se define como hormigón armado al material compuesto por hormigón y las armaduras o barras de acero de refuerzo, combinados de tal forma que constituyan un elemento sólido, monolítico y único desde el punto de vista de sus características físicas, para aprovechar así las cualidades individuales que presentan ambos materiales. Ver Figura 1.1. En consecuencia, po demos decir que, en general, las compresiones son resistidas por el hormigón, y las tracciones y flexiones por el acero.

1.2.3 Ventajas del Hormigón Armado Tiene las siguientes ventajas: Comportamiento elástico. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

2


Capítulo1

Figura 1.1. Ejemplo de viga sin y con armaduras som etidas a cargas. La gran adaptabilidad, por tratarse de un material moldeado, es posible darle las formas mas variadas. El monolitismo por el cual todo el conjunto se comporta como una sola unidad . Es resistente al fuego debido a que la superficie exterior del hormigón que recubre proporciona el aislamiento térmico al refuerzo embebido. Finalmente el hormigón armado tiene bajo costo de mantenimiento.

1.3 EL CEMENTO El cemento se presenta en forma de un polvo finísimo, de color gris que, mezclado con agua, forma una pasta que endurece tanto bajo agua como al aire.

1.3.1 Cemento Pórtland Esencialmente es un clinker finamente pulverizado, producido por la cocción a elevadas temperaturas, de mezclas que contiene cal, alúmina, hierro y sílice en proporciones, previamente establecidas, para lograr las propiedades deseadas.

1.3.2 Clasificación de los cementos fabricados en Bolivia Los cementos nacionales según su composición y resistencia se clasifican en la forma como se indica en la Tabla 1.1: Tabla 1.1. Clasificación de cementos según su composición CLASIFICACIÓN DE CEMENTOS SEGÚN SU COMPOSICIÓN Componentes Principales Designación Tipo Puzolana Filler Co mponentes Clinker Natural Calizo Adicionales Cemento Portland

I

95-100%

0-5%

Cemento Pórtland con puzolana

IP

70-94%

6-30%

Cemento Pórtland con filler calizo Cemento Puzolanico

IF P

80-94% >60%

<40%


3

0-5% 6-15%

0-5% 0-5%


Capítulo1

1.3.3 Designación de los cementos Para poder distinguir a los diferentes tipos de cementos, estos se designan con letras alfanuméricas. Por ejemplo tenemos: I-40, IP-40, I-30, IP-30 . Por ejemplo en el cemento IP-40, el código IP hace referencia al cemento Pórtland con Puzolana, el numero cuarenta indica una capacidad a compresión de 40 Mpa o 400 Kg/cm2.

1.4 LOS AGREGADOS Un Agregado es un material granular, inerte, resultante de la desintegración natural y desgaste de las rocas o que se obtiene de la trituración de ellas, u otros materiales suficientemente duros que permiten obtener partículas de forma y tamaño estables.

1.4.1 Clasificación de los agregados Los agregados generalmente se dividen en dos grupos: finos y gruesos.

1.4.2 Agregado fino Agregado que atraviesa un tamiz de 4,75 mm (No. 4) en un 95 % mientras que es totalmente retenido sobre el tamiz de 75 µ m (No. 200). Se clasifica en arenas finas y gruesas .

Requisitos de Utilización Los agregados finos deben cumplir ciertas reglas para darles un uso ingenieríl óptimo: deben consistir en partículas durables, limpias, duras, resistentes y libres de productos químicos absorbidos. En la Tabla 1.2 se ilustra el efecto de los materiales nocivos en el hormigón. Tabla 1.2. Influencia de materiales nocivos en los agregados MATERIALES NOCIVOS EN LOS AGREGADOS Sustancia

Impurezas orgánicas Material más fino que la malla No.200 (80 micras) Carbón, lignito u otros materiales de peso ligero Partículas suaves Terrones de arcilla y partículas deleznables Horsteno de densidad relativa inferior a 2.40 Agregados reactivos con los álcalis

Efectoenelhormigón

Designación

Afectan el fraguado y el endurecimiento, pueden causar deterioros Afecta a la adherencia, aumenta la cantidad de agua requerida Afectan a la durabilidad, pueden ser causa de manchas y erupciones Afectan a la durabilidad Afectan a la trabajabilidad y a la durabilidad, pueden provocar erupciones Afecta a la durabilidad, puede provocar erupciones Expansión anormal, agrietamientos en forma de mapa, erupciones

ASTM C 40 ASTM C 87 ASTM C 117 ASTM C 123

ASTM C 142 ASTM ASTM ASTM ASTM ASTM ASTM ASTM

C C C C C C C

123 295 227 289 295 342 586

1.4.3 Agregado Grueso Los agregados gruesos consisten en una grava o una combinación de gravas o agregado triturado cuyas partículas sean predominantemente mayores que 4.75 mm , y generalmente entre 9.5 mm y 38 mm, pudiendo variar hasta 152 mm. Se Clasifican en Gravas y piedra. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

4


Capítulo1

Requisitos de Utilización Los agregados gruesos deben cumplir ciertas reglas para darles un uso ingenieril óptimo: deben consistir en partículas durables, limpias, duras, resistentes y libres de productos químicos absorbidos, recubrimientos de arcilla y de otros materiales finos que pudieran afectar la hidratación y la adherencia de la pasta de cemento. Las partículas de agregado que sean desmenuzables o susceptibles de resquebrajarse son indeseables. El tamaño máximo del agregado no debe sobrepasar: 1/5 de la separación menor entre los lados del encofrado. 1/3 del espesor de la losa. 3/4 del espaciamiento mínimo libre entre las barras de refuerzo.

1.5 AGUA La cantidad de agua en el hormigón es muy importante, tanto en el amasado tanto como en el curado.

El Agua de amasado cumple doble función en el hormigón, participa en la reacciones de hidratación del cemento y confiere al hormigón la trabajabilidad necesaria para una correcta puesta en obra. El Agua de curado tiene por finalidad mantener un ambiente saturado que evita el escape de agua del interior del hormigón durante el proceso de fraguado y primer endurecimiento del hormigón, además tiene por objeto evitar la desecación, mejorar la hidratación del cemento e impedir una retracción prematura.

1.5.1 Calidad del agua

No debe utilizarse agua que no sea potable, deberán rechazarse las que no cumplan una o varias de las características de la Tabla 1.3. Tabla 1.3. Requisitos del agua de amasad o y curado REQUISITOS DE AGUA DE AMASADO Y CURADO Limitación

Determinacion

IBNORCA

Exponente de hidrogeno PH Sustancia disueltas totales Sulfatos (SO4) Cloruros expresados en ion Hidratos de carbono Sustancias orgánicas

5 ≤ 15 g/L ≤ 1 g/L ≤ 6 g/L 0 ≤ 15 g/L

ASTM

≥

≥

≤

4

3 g/L

0

1.6El EL DE REFUERZO aceroACERO de refuerzo o armadura representa a las barras, alambres, cables u otros elementos esbeltos que se empotran en el hormigón de manera tal que estos elementos y el hormigón conjuntamente para resistir los esfuerzos. La Figura 1.2 muestra diferentes tipos de barras corrugadas aprobadas por la ASTM. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

5

actúan


Capítulo1

Figura 1.2. Tipos de barras corrugadas aprobadas por la ASTM

1.6.1 Identificación El sistema de marca de identificación de barras tiene el orden siguiente: 1. Taller de laminación o identificación del fabricante que la produjo (por lo común una letra o símbolo) 2. Número de tamaño de barra (6 hasta 55 mm) 3. Tipo de materia prima y especificación ASTM

S para acero de lingote que satisfaga los requerimi entos de la ASTM A615 I para acero de riel y satisfacer los requerimientos de la ASTM A616 R para acero de riel que satisfaga los Supplementary Requirements S1 A616. A para acero de eje y satisfacer los requerimientos de la ASTM A617. W para acero de baja aleación y satisfacer los requerimi entos de la ASTM A706. 4. Designación del grado o punto mínimo de fluencia. En la Figura 1.3 se ilustra ejemplos del sistema de marcas estándar en barras corrugadas.

Figura 1.3. Sistema de marcas estándar de barras corrugadas

1.6.2 Características físicas y mecánicas Las características mecánicas más importantes para la definición de un acero son: c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

6


Capítulo1

Resistencia y Módulo de elasticidad Las dos características numéricaspara aceros de grado 40, 60 y 70 se ilustran en la Figura 1.4.

Figura 1.4. Curvas de esfuerzo - deformación unitaria de barras de refue rzo

Modulo de elasticidad Es Se toma como Es = 2,0 × 106 kg/cm 2 .

Resistencia de las barras de refuerzo se define a través del punto de fluencia , las barras comercialmente disponibles tienen una resistencia la fluencia de 2800(40), 3500(50), 4200 (60), 5000(75) Kg/cm 2 (Ksi). Como al acero se reconoce según el grado y la resistencia de fluencia que ofrece, en la Tabla 1.4 se presenta los aceros actualmente disponibles, su grado, la resistencia a la fluencia mínima y máxima. Tabla 1.4. Resumen de requisitos mínimos de la resistencia en barras corrugadas de refuerzo de la ASTM REQUISITOS MÍNIMOS DE RESISTENCIA SEGUN LA ASTM Especificaciones Grado Resistencia mínima Resistencia máximas ASTM otipo a la fluencia a la fluencia Klb/pulg2 Kg/cm2 Klb/pug2 Kg/cm2 A615 Grado 40 40000 2800 70000 4900 Grado 60 60000 4200 90000 6300 Grado 75 75000 5250 100000 7000 Grado 50 50000 3500 80000 5600 A616 Grado 60 60000 4200 90000 6300 Grado 40 40000 2800 70000 4900 A617 Grado 60 60000 90000 4200 6300 Grado 60 60000 4200 80000 5600 A706 78000 5460 máximo


7


Capítulo1

Tamaño estándar, área y peso de barras Los tamaños de las barras se denominan mediante números y diámetros en [mm] y deben ajustarse a la siguiente serie de diámetros nominales, expresados en milímetros: 6, 8, 10, 12, 16, 20, 25, 32, 40. Tabla 1.5a. Planilla de aceros de vigas PLANILLA DE ACEROS PARA VIGAS - COLUMNAS MASA NÚMERO DE BARRAS

No Diámetro de real nom. 1 barras [in] [mm] [Kg./m] 1/4 #3 #4 #5 #6 #7 #8 #9 #10 #11 #14 #18

6

0.22

5/16 8 3/8. 10 1/2. 12 5/8. 16 3/4. 20 7/8. 22 1 25 11/8. 28 11/4. 32 13/8. 36 11/4. 45 21/4. 55

2

3

0.28 0 .57

4 5 0.85

6 7 8 9 1 0 SECCION TRANSVERSAL As (cm2) 1.13 1.41 1.70 1.98 2.26 2.54

0.4 0.50 1 .01 1.51 2.01 0.62 0.79 1 .57 2.36 3.14 0.89 1.13 2.26 3.39 4.52 1.58 2.01 4.02 6.03 8.04 2.47 3.14 6.28 9.42 12.57 2.98 3.80 7.60 11 .40 15.21 3.85 4.91 9.82 14.73 19.63 4.83 6.16 12 .32 18.47 24.63 6.31 8.04 16 .08 24.13 32.17 7.99 10.18 20.36 30.54 40.72 12.48 15.90 31.81 47.71 63.62 20.23 23.76 47.52 71. 27 95. 03

2.51 3.93 5.65 10.05 15.71 19.01 2 4.54 30.79 40.21 50.89 79.52 118 .79

2.83

3.02 3.52 4.02 4.52 5.03 4.71 5.50 6.28 7.07 7.85 6.79 7.92 9.05 10.18 11.31 12.06 14.07 16.08 18.10 20.11 18.85 21.99 25.13 28.27 31.42 22.81 26.61 30.41 34.21 38.01 29.45 34.36 39.27 44.18 49.09 36.95 43.10 49.26 55.42 61.58 48.25 56.30 64.34 72.38 80.42 61.07 71.25 81.43 91.61 101.79 95.43 111.33 127.23 143.14 159.04 142.55 166 .31 190 .07 213.82 237.58

Tabla 1.5b. Planilla de aceros de losas PLANILLA DE ACEROS PARA LOSAS No Diámetro Área SEPARACION [cm] de real nom. barras 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 barra [in] [mm] [cm2] SECCION TRANSVERSAL As (cm2)

#3 #4

# # 3/8. 1/2.

#5 5/8. #6 3/4. #7 7/8. #8 1

6 8 10 12 14 16 20 22 25

0.28 0.50 0.79 1.13 1.54 2.01 3.14 3.80 4.91

2.83 5.03 7.85 11.31 15.40 20.11 31.42 38.01 49.09

2.69 4.79 7.48 10.77 14.67 19 .15 29 .92 36 .20 46.75

2.57 4.57 7.14 10.28 14.00 18 .28 28 .56 34 .56 44.62

2.46 2.36 2.26 2.17 2.09 2.02 1.95 4.37 4.19 4.02 3.87 3.72 3.59 3.47 6.83 6.54 6.28 6.04 5.82 5.61 5.42 9.83 9.42 9.05 8.70 8.38 8.08 7.80 13.39 12.83 12.32 11.85 11.41 11.00 10.62 17 .48 16 .76 1 6.08 15 .47 14 .89 14 .36 13 .87 27 .32 26 .18 2 5.13 24 .17 23 .27 22 .44 21 .67 33 .05 31 .68 3 0.41 29 .24 28 .16 27 .15 26 .22 42.68 40.91 39.27 37.76 36.36 35.06 33.85

PLANILLA DE ACEROS PARA LOSAS continuación No Diámetro Área SEPARACION [cm] de real nom. barras 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 barra [in] [mm] [cm2] SECCION TRANSVERSAL As (cm2)

#3 #4

# # 3/8. 1/2.

#5 5/8. #6 3/4. #7 7/8. #8 1

14.5

20

6 8 10 12

0.28 0.50 0.79 1.13

1.88 3.35 5.24 7.54

1.82 3.24 5.07 7.30

1.77 3.14 4.91 7.07

1.71 3.05 4.76 6.85

1.66 2.96 4.62 6.65

1.62 2.87 4.49 6.46

1.57 2.79 4.36 6.28

1.53 2.72 4.25 6.11

1.49 2.65 4.13 5.95

1.41 2.51 3.93 5.65

14 16 20 22 25

1.54 2.01 3.14 3.80 4.91

10.27 13.40 20.94 25.34 32.72

9.94 12 .97 20 .27 24 .52 31.67

9.63 12 .57 19 .63 23 .76 30.68

9.33 12 .19 19 .04 23 .04 29.75

9.06 11 .83 18 .48 22 .36 28.87

18.80 1.49 1 7.95 2 1.72 28.05

8.56 11 .17 17 .45 21 .12 27.27

8.32 10 .87 16 .98 20 .55 26.53

8.11 10 .58 16 .53 20 .01 25.84

7.70 10 .05 15 .71 19 .01 24.54


8


Capítulo1

1.6.3 Detalles del acero de efuerzo Detallar correctamente las armaduras es fundamental para que las estructuras de hormigón armado se comporten satisfactoriamente.

Medidas mínimas para barras con ganchos normales en barras longitudinales Las medidas mínimas del gancho normal empleado en el Código de ACI 318 se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5. Medidas de los ganchos de 180 o (a) y 90 o (b) estandarizadas

Diámetro mínimo de doblado Según el Código ACI 318, no deben ser menores que los valores indicados en la Tabla 1.6. Tabla 1.6. Medidas mínimas doblado para barra s con ganchos normales doblados a 90 y 180 ◦

◦

GANCHOS DE EXTREMO RECOMENDADOS Todos los grados, en cm No de Diametro Ganchos a 180° Ganchos a 90° J GoA barra D GoA 3

5.7

12.7

7.6

15.2

4

7.6

15.2

10.2

20.3

5

9.5

17.8

12.7

25.4

6

11.4

20.3

15.2

30.5

7

13.3

25.4

17.8

35.6

8

15.2

27.9

20.3

40.6

9

24.1

38.1

29.8

48.3

10

27.3

43.2

33.7

55.9

11

30.5

48.3

37.5

61.0

14

46.4

68.6

55.2

78.7

18

61.0

91.4

72.4

104.1

Formas típicas de doblado en estribos El estribo es la armadura que se usa para resistir tensiones de corte y tracción diagonal en un elemento estructural. Ver Figura 1.6.

Medidas mínimas para barras con estribos normales y ganchos de amarre

Las medidas mínimas de ganchos para uso general y sismico con referencia a la Figura 1.7 se presenta en la Tabla 1.7.


9


Capítulo1

Figura 1.6. Formas típicas de doblado de estri bos cerrados y abierto s

Figura 1.7. Estribos y Ganchos para uso general izquie rda, para uso sísmico derec ha Tabla 1.7. Medidas mínimas doblado para Estribos Normal es y Ganchos de Amarre con doblez a 90 y 135 ◦

No de barra

◦

DIMENSIONES DE ESTRIBOS Y GANCHOS DE AMARRE Todos los grados, en cm Uso General Uso sismico Diametro Ganchos a 90° Ganchos a 135° Ganchos a 135° AoG H, aprox. Ao G H, aprox. de AoG

3

3.8

10.2

10.2

6.4

10.8

7.6

4

5.1

11.4

11.4

7.6

11.4

7.6

5

6.4

15.2

14.0

9.5

14.0

9.5

6

11.4

30.5

20.3

11.4

20.3

11.4

7

13.3

35.6

22.9

13.3

22.9

13.3

8

15.2

40.6

26.7

15.2

26.7

15.2

1.6.4 Limites para el espaciamiento del acero de refuerzo La Figura 1.8 resume las separaciones mínimas y máximas entre las barras de armadura.

1.6.5 Protección del Hormigón para el acero de refuerzo Los recubrimientos mínimos de protección para armaduras de losas, vigas, columnas y otros elementos expuestos a ambientes muy corrosivos, se muestran en la Tabla 1.8.

1.7 LOS ADITIVOS Un aditivo es el material distinto al agua, al cemento y al agregado, utilizado como cuarto componente del hormigón, que se añade antes o durante el mezclado a fin de modificar alguna c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

10


Capítulo1

r(armadura principal)

r(estribos) ⎧ 2.5 cm (ACI 7.6.1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ s ≥⎨ ⎪

db (ACI 7.6.1)

⎪ 1.33Dmax_agregado (ACI3.3.2) ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ 3h (ACI 7.6.5) ⎪ ⎪ ⎩45 cm (ACI 7.6.5)

s ≥⎨ ⎪

s≥

⎧ 1.5 d b (ACI 7.6.3) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4 cm (ACI 7.6.3) ⎨1.33D ⎪ ⎪ max_agregado (ACI3.3.2) ⎪ ⎩

Figura 1.8. Espaciamiento mínimo del refuerz o Tabla 1.8. Recubrimientos mínimos del acero de refuerzo Recubrimiento mínimo, en cm Hormigón vaciado directamente sobre el terreno y expuesto permanentemente a él

7.5

Todos los diámetros de barras

Hormigón en contacto con el terreno o expuesto a la intemperie

20 16

Barras > φ Barras ≤ φ

5.0 3.8

Hormigón no expuesto a la intemperie ni en contacto con el terreno

Losas, muros y viguetas: 3.8 2.0

Barrasφ 43 y φ 57 Barras ≤ φ 36

Vigas y Columnas Armadura principal Estribos espirales y

3.8 2.5

(Véase en Building code ACI 318-05, American Concrete Institute, 2004, pagina 83-84)

de sus propiedades y hacerlo mejor para el fin que se destine.

1.7.1 Tipos de aditivos Aceleradores Son productos que aumentan la velocidad de hidratación del cemento hidráulico y por lo tanto acortan el tiempo de fraguado, es decir adelantan el inicio de fraguado y aceleran el endurecimiento, permitiendo el desarrollo de resistencia del hormigón a edades tempranas.

Retardadores Este aditivo se emplea para aminorar o retardar la velocidad de fraguado del concreto.

Plastificantes Son esencialmente reductores de agua de amasado para producir un hormigón de una consistencia dada.

Un reductor de agua es un ingrediente que aumenta el asentamiento del hormigón fresco sin c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

11


Capítulo1

aumentar el contenido de humedad o que mantiene el asentamiento con una cantidad reducida de agua, debiéndose el efecto a factores diferentes a la incorporación de aire.

Incorporadores de aire Se utilizan para retener intencionalmente burbujas microscópicas de aire en el hormigón. Los aditivos inclusores de aire se agregan directamente a los componentes del hormigón antes y durante el mezclado.

Reductores de la permeabilidad Son aditivos que reducen la razón a la cual el agua bajo presión es

transmitida a través del

hormigón, a través de la incorporación de un gel que obtura los poros y capilares del hormigón. Cuando un hormigón es correctamente dosificado, confeccionado y colocado es casi impermeable, no se puede impermeabilizar un hormigón malo.

1.8 PROPIEDADES DEL HORMIGÓN FRESCO Y ENDURECIDO 1.8.1 Propiedades del hormigón fresco Las particularidades que presenta el hormigón en estado fresco o plástico son:

Moldeabilidad Por esta cualidad es posible dar al hormigón las formas más variables y extraordinarias, adaptándose fácilmente al molde, o encofrado que lo contendrá.

Consistencia Es una medida de la menor o mayor facilidad del hormigón para deformarse o la capacidad de fluir de un hormigón o mortero fresco.

Docilidad o trabajabilidad Es una propiedad del hormigón o mortero fresco que determina la facilidad y homogeneidad con que se puede mezclar, colocar, compactar y acabar al hormigón en obra.

Homogeneidad Cualidad por la cual los diferentes componentes del hormigón aparecen igualmente distribuidos en toda la masa. La homogeneidad se consigue con un buen amasado . Puede perderse por segregación y decantación.

1.8.2 Propiedades del hormigón endurecido Se conoce como hormigón endurecido, al hormigón que resulta del proceso de endurecimiento progresivo, o de transformación de estado plástico a sólido .

Peso específico El peso específico del hormigón se define como el siguientes tipos de hormigones:

peso por unidad de volumen . Se tienen los

Hormigón de peso normal hormigón cuyo peso unitario es de aproximadamente 2400 kg/m 3 (150 lb/ft 3 ) que se fabrica con agregados de peso normal. Hormigón estructural liviano hormigón estructural que se prepara con agregados livianos; su peso unitario secado al aire no es superior a 1850 kg/m 3 (115 lb/ft 3 ) y su resistencia a la c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

12


Capítulo1

compresión a 28 días es superior a 175 Kg/m (2500 psi). 3

Hormigones pesados hormigón cuya densidad es sustancialmente mayor que la densidad del hormigón preparado usando agregados de peso normal, generalmente obtenido usando agregados pesados y usado especialmente como blindaje contra las radiaciones. El peso unitario es de aproximadamente 2880 (180 lb/ft 3 ) a 5600 (350 Lb/f t3 ) kg/m 3 .

Compacidad Ligada al peso especifico y al método de compactación empleado. Una buena compacidad no solo proporciona resistencia mecánica, sino mayor resistencia física. Cuando menor sea su red capilar, mayor su compacidad.

Permeabilidad del hormigón El hormigón es un material permeable , es decir que, al estar sometido a presión de agua exteriormente, se produce escurrimiento a través de su masa, o puede penetrar por capilaridad.

Durabilidad del hormigón Durante toda su vida útil, el hormigón está permanentemente expuesto a las acciones provenientes de agentes externos e internos , que pueden afectar su durabilidad si no se les tiene debidamente en cuenta. De acuerdo a su srcen, estas acciones pueden ser producidas por agentes físicos o químicos. El dosificación.

50 % de la durabilidad de un hormigón depende de la

Resistencia del hormigón Es capacidad que tiene el hormigón para resistir la deformación o rotura inducida por fuerzas externas. ciónLa . resistencia del hormigón endurecido puede clasificarse en resistencia en compresión y trac-

Resistencia a la compresión Es la resistencia medida o determinada en el ensayo de probetas de hormigón bajo carga de compresión uniaxial. Los ensayos para medir los esfuerzos de compresión uniaxial se realizan sobre especimenes cilíndricos estándar de 6 pulgadas de diametro por 12 pulgadas de altura, los moldes son llenados con hormigón tal como lo especifica la norma ASTM C172. En ningún caso se permiten hormigones con f c menor a 175 Kg/cm 2 . La Figura 1.9 muestra un conjunto típico de estas curvas para hormigón de Peso específico normal y de 28 días de edad. 

Debe mencionarse que en la estructura real la resistencia del hormión puede del cilindro debido a la diferencia en la compactación y curado.

no ser la misma

Resistencia a la tracción Se refiere a la máxima resistencia bajo carga axial de tracción que puede resistir el hormigón. El código ACI 9.5.2.3 recomie nda usar un modulo de rotura para hormigones de peso especifico normal de:





fr = 2 fc c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

13

(1.1)


Figura 1.9.

Capítulo1

Curvas esfuerzo-deformación unitaria a la compresión típica para hormigones de Peso específico normal 2400 kg/m 3

1.9 Preguntas propuestas Pregunta 1.1 Cual es la diferencia entre hormigón y hormigón armado?



Pregunta 1.2 Cómo se clasifican los sementos según su composición quimica?



Pregunta 1.3 Cuales son los limites que definen el tamaño máximo del agregado grueso?



Pregunta 1.4 Cuales son los requisitos que deben cumplir tanto el agua de amasado como el agua de curado?



Pregunta 1.5 Cual es el sistema de identificación de las barras que utiliza la norma ASTM?



Pregunta 1.6 Cual es el limite de espaciamiento máximo de las barras de refuerzo que se utiliza en losas?



Pregunta 1.7 Cuales son los tipos de aditivos que existen?, describa brevemente cada uno de ellos. 

Pregunta 1.8 Que aplicación tiene el aditivo plastificante?



Pregunta 1.9 Cómo se pierde la homogeneidad en el hormigón?



Pregunta 1.10 Cuales son los factores que afectan la durabilidad del hormigón?



Pregunta 1.11 Cual es el ensayo que se utiliza para determinar la resistencia a compresión del hormigón? c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo



14

CAPÍTULO

2

CARGAS SOBRE LAS ESTRUCTURAS Y PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO UNIFICADO

2.1 INTRODUCCION Una estructura debe concebirse como un sistema o conjunto de elementos que se combinan ordenadamente para cumplir una función dada. Para predecir el comportamiento, la resistencia y las deformaciones, de estos elementos estructurales es necesario describir los diferentes tipos de carga que actúan sobre la estructura. Las cargas son fuerzas externas que actuan sobre una estructura.

2.1.1 Objetivos de este capítulo Al terminar este capítulo, el alumno: 1. Reconocerá los tipos de cargas que actúan sobre las estructuras. 2. Definirá y determinará la carga muerta que actua sobre una estructura según la norma ASCE7. 3. Definirá y reconocerá los tipos de carga srcinadas por el uso y la ocupación de la estructura según la norma ASCE 7. 4. Reconocerá cuando es posible realizar la reducción de la carga viva. 5. Identificará las situaciones de distribución de la carga viva. 6. Definirá la carga viva de techo y utilizará la formula de carga de viento para el cálculo de la carga de viento según la norma ASCE 7. 7. Aplicará el procedimiento de diseño de la carga de viento para la determinación de la carga de nieve sobre las estructuras. 8. Definirá la carga norma ASCE 7. de nieve y conocerá los parámetros usados para su determinación según la 9. Aplicará el concepto de carga de nieve para la determinación de la carga de nieve sobre techos. 10. Entenderá y conocerá la evolución de las dos filosofías de diseño en hormigón armado. 15


Capítulo2

11. Entenderá las ventajas de diseño del método de resistenci a última. 12. Identificará y describirá los parámetr os del diseño por resistencia última según el codigo ACI. 13. Conocerá el alcance del diseño estructural mediante el análisis elástico y aproxim ado.

2.2 TIPOS DE CARGAS Las cargas que actúan sobre las estructuras comunes de la ingeniería civil son:

2.2.1 De acuerdo al area de aplicación Cargas concentradas Son fuerzas que tienen superficies de contac to tan pequeñas que resultan insignificantes en comparación con toda el área de superficie del elemento de soporte. Cargas lineales Son fuerzas que pueden ser considerad as para fines practicos, constantes sobre una franja del elemento de soporte . Cargas en superficie Son fuerzas consideradas constantes sobre una superficie del elemento de soporte.

2.2.2 De acuerdo al modo de aplicación Carga axial Es aquella cuya resultante pasa por el centroide de una sección en conside ración y es perpendicular al plano de aplicación Carga excéntrica Es una fuerza perpendicular al plano de la sección en consideración pero que no pasa por el centroide la sección . Carga torsional Fuerzas que no pasan por el centro de cortante de la sección en consideración y están inclinadas en relación al plano de la sección o en ese plano.

2.2.3 De acuerdo a la naturaleza y su origen Cargas muertas Debidas al peso del propio sistema estructural y cualquier otro material que esté sujeto a él de manera permanente. Cargas vivas Son aquellas cuyas magnitudes o posiciones, o ambos aspectos, varían a causa del uso de la estructura. Cargas ambientales Las cuales son causadas por efectos del medio ambiente, son debidas a la nieve, el viento, y los temblores de tierra.

2.3 CARGAS MUERTAS Son aquellas que se mantienen constantes en magnitud o las variaciones a lo largo del tiempo son raras o de pequeña magnitud, están fijas en posición durante la vida de la estructura y tienen un tiempo de aplicación prolongado. Las cargas muertas se obtendrán multiplicando los volúmenes o superficies considerados en cada caso, por los correspondientes pesos unitarios que se indican en la Tablas 2.1a, 2.1b para


16


Capítulo2

los materiales y conjuntos funcionales de construcción; y en la Tablas 2.2a, 2.2b, 2.2c para otros materiales de construcción y almacenables diversos . Tabla 2.1a. Cargas muertas mínimas de diseño Carga Lb/ft² Kg/m²

Componente CIELO RASO Cartón de Fibra Acústica FibradeYeso(porcada3mmdeespesor) Conductomecánicopermisible Revoquedeyesoentejasoenhormigón

1 0,55

5 2,75 4

20

5

Revoquedeyesoenlistonesdemadera Sistemasdeperfilescanaldeacerosuspendidos Varillas metálicas suspendidas y revoque de cemento Varillasmetálicassuspendidas yrevoque deyeso Sistemasdesuspensióncon maderascepilladas CUBIERTAS, TECHOS Y MUROS Tablillasdelgadasdeasbesto-cemento Tablillasdelgadasdeasfalto Tejas cemento de Tejas de arcilla (con mortero a ñadir 50 Kg/m²) Bloques detierra cocida enforma d e libro, 5cm. Bloques de tierra cocida en forma d e libro, 7.5 cm. Ludowici Romana Española Composición : Trescapasdetechosprearmadosopreparados Cuatrocapasdefiltroygrava Cincocapasdefiltro grava y Tonelero o estaño Techosdeasbestocementocorrugado Cubiertadetablerometálico,20grados Cubiertadetablerometálico,18grados Tablerodemadera,5cm.(Pinoabeto) Tablerodemadera,7.5cm.(Pinoabeto) Fibra decartón, 2.5 cm. Revestido con yeso Aislador de tableros de techo Vidrio celular Vidrio fibroso Cartón fibra de Perlita Espuma de poliestireno Espumadepoliuretanoconrevestimiento Maderasencapas(porcada3mmdeespesor) Aislamientorígido(de2.5cm.) Cielo ligero, vigas metálicas, vidrio armado de 9 mm. Pizarra, mm. 4.7 Pizarra, 6.3 mm.

25

8

40

2 15 10 2,5 4

10 75 50 12,5

20 10 80

2 16

0 12 20

60 100 10 12 19

1 5,5 6 4 2,5 3 5 8 0,75 2

50 60 95

0 5 27,5 30 1 5 20 12,5 15 25 40 3,75 10

0,7 1,1

3,5 5,5

1,5

7,5 0,8

0,2 0,5 0,4 0,75 8 7 10

4 1 2,5 2 3,75 40 35 50

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Design loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, paginas 262-263)


17


Capítulo2

Tabla 2.1b. Cargas muertas mínimas de diseño, cont inuación Carga Lb/ft² Kg/m²

Componente Techo de membranas de agua Bituminosos,recubiertoscongrava Bituminosos,superficiesuave Líquidos aplicados Laminas de capa simple Maderaentablada(por2.5deespesor) madera Teja de PISOS LLENOS Hormigóndecenizas,por2.5cm. Hormigónliviano,por2.5cm. Arena, por 2.5 cm. Hormigondepiedra,por2.5cm. PISOS Y PISOS TERMINADOS BloquesdeAsfalto(5cm.),morterode2.5cm. Acabado de cemento (2.5 cm.) con relleno de hormigón Piso de cerámica o baldosa (7.5 cm.), en mortero de 2.5 cm. Piso de cerámica o baldosa (7.5 cm.), en mortero de 5 cm. Acabadodeconcreto(por2.5cm.deespesor) Piso madera de dura Pisodeasfaltoolinoleum,6.25mm Mármol y mortero en relleno de concreto de piedra Pizarra(porcadammdeespesor) Piso plana sólido de 2.5 cm., con base de mortero Contrapiso, mm. 19 Terrazo(38mm)directamentesobrelosa Terrazo (25 mm) en relleno de concreto de piedra Terrazo(25mm)enconcretodepiedrade5cm B loquesdemadera(7.5cm.)sobremasilla B loques de madera (7.5 cm.) en base de mortero 13 mm PISOS DE VIGUETAS DE MADERA (SIN REVOQUE) Pisos de madera doble 30 cm. 40 cm. 60 cm. Tamaño de vigueta Espaciado Espaciado Espaciado (cm x cm) Kg/m ² Kg/m² Kg/m² 5 x 15 30 25 25 5 x 15 30 30 25 5 x 15 35 30 30 5 x 15 40 35 30 PARTICIONES CON BASTIDOR Particionesconacerosmóviles Travesaños de madera o acero, yeso de 13 mm cada lado Travesañosdemadera,5x10,norevocado Travesañosdemadera,5x10,revocadoenunlado Travesañosde madera, 5x 10, revocadoen doslados

5,5 1,5 1

27,5 7,5 5 3,5 15

0,7 3 3

15

9 8

45 40

8

40 12

60

30

150 160 80 115 70

32 16 23 14 4 1

20 5 33

15

165 75

23 3 19 32 32 10 16

4 8 4 12 20

115 15 95 160 160 50 80

20 40 20 60 100

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Design loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, paginas 262-263)


18


Capítulo2

Tabla 2.2a. Pesos específicos de materiales para cargas de diseñ o Peso Especifico Lb/ft3 Kg/m3 170 2720

Material Aluminio Bituminosos Asfalto Grafito Parafina Petróleo crudo Petróleo refinado Petróleo Petróleo, gasolina de Betún Alquitrán Latón Bronce Murodepiedrapuesta CementoPórtlandsuelto Cerámica, teja de Carbón vegetal o de le ña Ceniza llena Ceniza, seca, en masa Carbón Antracita apilada Bituminoso apilado Lignito apilado Turba, seca, apilada Hormigón simple Ceniza Agregadodeescoriaexpandida

81 135 56

1296 2160 896 55 880 50 800 46 736 42 672 69 1104 75 1200 526 8416 552 8832 144 2304 90 1440 150 2400 121 92 57 912 45 720

Haydite Escoria Piedra(inclusograva) Vermiculite,perliteagregados Otro agregado liviano, con capacidad de carga Hormigón armado Ceniza Escoria Piedra(inclusograva) Tonelero Corcho comprimido Tierra (no sumergida) Arcilla seca Arcilla, polvo Arcilla grava y seca Limo mojado, suelto Limomojado,compacto Lama liquida Arenaygrava,seca,suelta Arenaygrava,seca,compacta Arenaygrava,húmeda

52 47 47 23

832 752 752 368

108 100

1728 1600

90 132 144 25-50 70-105

1440 2112 2304 400-800 1120-1680

111 138 150 556 14

1776 2208 2400 8896 224

63 110 100 78 96 108 100

1008 1760 1600 1248 1536 1728 1600

110 120

1760 1920

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Design loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, pagina 266)


19


Capítulo2

Tabla 2.2b. Pesos específicos de materiale s para cargas de diseño, conti nuación Peso Especifico Lb/ft3 Kg/m3

Material Tierra (sumergida) Arcilla Suelo Lodo fango o de río Arena grava o Arcillaconarenaograva Vidrio Grava seca

80 1280 70 1120 90 1440 60 960 65 1040 160 2560 104 1664

Yeso Cartón yeso de Hielo Hierro Fundido Forjado Plomo Cal Hidratada, suelta Hidratada, compacta Mampostería, de piedra labrada Granito Piedracaliza,cristalina Piedra caliza, de masa de granos redondos Mármol Arenisca Mampostería de ladrillo Duro(bajaabsorción) Intermedio(absorciónmedia) Suave(altaabsorción) Mampostería de hormigón Liviano,depesounitario Intermedio,depesounitario Normal,depesounitario Mamposteríadelechadadecemento Mampostería de piedra no labrada Granito Piedracaliza,cristalina Piedra caliza, de masa de granos redondos Mármol Arenisca Morterodecementoolimo Particleboard Madera contraplacada Revestido de piedra (no sumergida) Caliza Arenisca

70 50

1120 800

57

912

450 480 710

7200 7680 11360

32 45

512 720

165 165 135 173 144

2640 2640 2160 2768 2304

130 115 100

2080 1840 1600

105 125 135 140

1680 2000 2160 2240

153 2448 147 2352 138 2208 156 2496 137 2192 130 2080 45 720 36 576 83 90

1328 1440



20


Capítulo2

Tabla 2.2c. Pesos específicos de materiales para cargas de diseño, continuación Peso Especifico Lb/ft3 Kg/m3

Material Piedra bruta o sin labrar Basalto,granito,gneiss Caliza,mármol,cuarzo Lutita Pizarra Rocaverde,hornablenda Barro Cocido arquitectónico Espaciosvacíosllenos

96 95 82 92 107 120

Espaciosvacíosnollenos Estaño Agua Fresca Mar Madera Cenizablancacomercial Ciprés sureño Pino abeto, pino oregon, de la región costera Pino dobladillo Roble,comercialblancoyrojo Pino, amarillo de la región sure ña PinogigantescoodeCalifornia Pinoabeto,rojo,blanco Pinoabetooccidental Zincenpapelenrollado Arena Limpia seca y río, de seca Escorias Cantera Canterazarandeada Maquina Arena Pizarra Acerolaminadoenfrío

72

1536 1520 1312 1472 1712 1920

459

1152 7344

62 64

992 1024

41 34 34 28 47 37 28 29 32 449 90 106 70 108 96 52 172 492

656 544 544 448 752 592 448 464 512 7184 1440 1696 1120 1728 1536 832 2752 7872


2.4 CARGAS VIVAS Las cargas vivas son cargas movibles o en movimiento , es decir varían con el tiempo en magnitud o posición, o en ambos aspectos, varían a causa del uso de la estructura. La magnitud y distribución son inciertas en un momento, y sus máximas intensidades a lo largo de la vida de la estructura no se conocen con precisión .

2.4.1 Cargas vivas debidas al uso y ocupación Son aquellas cargas srcinadas por el uso y la ocupación de un edificio u otra estructura. En la tablas 2.3a, 2.3b, 2.3c, se presenta las cargas vivas mínimas típicas que surten efecto en las


21


Capítulo2

estructuras de edificios. Estas cargas que están tomadas de la Tabla 4-1 de la norma ASCE 7-05. Tabla 2.3a. Cargas vivas mínimas uniform emente distribuidas mínimas , Lo, y cagas vivas mínimas concentradas Uniforme Concentrada psf Kg/m ² Lb Kg

Ocupación o uso Accesos a sistemas de pisos Uso de oficinas Uso de computadoras Cuartelesysalasdeadiestramiento Areas de reunion y teatros

50 100 150

250 500 750

2000 2000

900 900

Sillas fijas(aseguradasalpiso) 60 100 300 500 Pasillos Sillas moviles 100 500 Plataformas(dereunion) 100 500 Escenarios 150 750 Balcones (exteriores) 100 500 Unicamente en residencia uni o bi-familiares, y que excedan los 60 300 100 ft (9,3 m ) Boliches, piscinas y areas de recreacion similares 75 375 Pasillosdeaccesosdemantenimiento 40 200 300 Corredores Primer piso 100 500 100 500 se indica otra cosa Salasdebaileysalonesdefiesta 100 500 Cubiertas (patio y techo) Similares areas de servicio, o para el tipo de ocupacion acomodada Comedoresyrestaurantes 100 500 ²

²

Viviendas (ver residenciales) Rejilla del cuarto de maquinas de los ascensores (En un area de 4 in [2,58 mm ]) Construcciondepisoplacaligeraterminada Salidas de incendio 100 Solamenteenviviendasdeunasolafamilia 40 Escaleras de mano fijas Garajes (unicamente para autos de pasajeros), ver a,b 40 Camiones y buses Tribunas (ver estadios y plazas de toros, graderias) Gimnasios,pisosprincipalesybalcones 100 Pasamanos, barandillas, y las barras de agarre Hospitales Salasdecirugia,laboratorios 60 Salas de pacientes 40 Corredoresporencimadelprimerpiso 80 Hoteles (ver residencial) Bibliotecas ²

135

300

135

²

Salas de lectura Salasdeestantes ver ,c Corredoresporencimadelprimerpiso

200 90 500 200 Ver seccion 4.4 200

500 Ver seccion 4.4 300 200 400

60 150

450 450 450

300 750

80

1000 1000 1000

1000 450 1000 450 400 1000 450

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Design loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, paginas 12,13)


22


Capítulo2

Tabla 2.3b. Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas mínimas , Lo, y cagas vivas mínimas concentradas, continuación Uniforme psf

Ocupación o uso Fabricacion Liviana Pesada Marquesina Edificios de oficinas

125 250 75

Concentrada Kg/m ² Lb Kg 625 1250 375

2000 3000

900 1350

Salas de archivos y computadoras seran dise ñadas paracargas basadas en la ocupacion anticipada Pasillosycorredoresdelprimerpiso 100 500 2000 900 Oficinas 50 250 2000 900 Corredoresporencimadelprimerpiso 80 400 2000 Instituciones Penales Bloques de celdas 40 200 Corredores 100 500 Residenciales Viviendas (de una y dos familias) Aticosinhabitablessindepositos 10 50 Aticosinhabitablescondepositos 20 100 Aticoshabitablesydormitorios 30 150 Todas las demas areas con excepcion de las escaleras y los 40 200 balcones Hoteles y edificios multifamiliares Habitaciones privadas y c orredores que le sirvan 40 200 Habitaciones publicas y c orredores que le sirvan 100 500 Tribunas, graderias de estadios y coliseos, ver d 100 500 Techos Techos simples planos, inclinados y curvos, ver h 20 100 Techos destinados al uso en cubiertas de paseo 60 300 Techos destinados al uso en techos de jardin o convenciones 100 500 Techos destinados al uso en otros propositos especiales i i Toldos y canopies Construccion de tejido apoyada en una estructura de armazonrigidodepesoliviano 5 25 Cualquierotraconstruccion 20 100 Miembros primarios de techos, expuesto a un trabajo de piso Nodos simples de la cuerda inferior de entramados o cualquier otro punto de apoyo de miembros estructurales primarios de techos de fabricas, bodegas de almacenamiento, y talleres mecanicos Todaslasdemasocupaciones Todas las superficies de techos expuestas a trabajos de mantenimiento

900

2000

300

900

135 300

135

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Design loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, paginas 12,13)


23


Capítulo2

Tabla 2.3c. Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas mínimas , Lo, y cagas vivas mínimas concentradas, continuación Uniforme psf

Ocupación o uso Colegios Aulas Corredoresporencimadelprimerpiso Corredoresdelprimerpiso Escotillas,tragaluces,yaccesosacielosrasos Aceras, caminos de acceso vehicular, y patios sometidos al transporte de camiones

Concentrada Kg/m ² Lb Kg

40 80 100

400 500 250 vere

2001 0004 50 1000 450 1000 450 200 90 1250 8000 3600 verf

Estadiosyplazasdetoros verd Graderias 100 500 Asientosfijos(sujetosalpiso) 60 300 Escalerasysalidasdeemergencia 100 500 verg solamente en residencias de una y dos familias 40 200 Areas de almacenamiento por encima del cielo raso 20 100 Bodegas de almacenamiento (seran dise ñadas para las cargas mas Liviana 1256 25 Pesada 250 1250 Almacenes De venta al por menor Primer piso 100 500 1000 Plantas superiores Deventamayorista,entodoslospisos Barreras vehiculares Pasillos y plataformas elevadas (aparte de otras salidas) Patiosyterrazaspeatonales

75 125 60 100

375 625

450

1000 450 1000 450

300 500

[a] Los Pisos de garajes o porciones de una edificación usadas en el almacenamiento de vehículos automotores serán diseñadas para las cargas vivas uniformemente distribuidas dadas en la tabla 4-1 o para las siguientes cargas concentradas: (1) En garajes restring idos al alojamiento de vehículos de pasajeros y no mas de nueve pasajeros, actúan 1350 Kgf en una área de 11.25 cm por 11.25 cm de huella de una gata hidráulica. y (2) En estructuras de parqueo mecánico sin losa o tablero que sean usado únicamente en el almacenamiento de vehículos, 1000 Kgf por rueda. [b] Garajes de Alojamiento de camiones y buses serán diseñados en conformidad de un método aprobado, el cual contenga provisiones de cargas de camiones y buses. [c] Cargas aplicadas en pisos de salas de estantes con apoyos no móviles, estantes de libros de bibliotecas de doble cara sujetas a las siguientes limitaciones: (1) El altura unitaria nominal del estante de libros no deberá exceder los 225 cm; (2) La profundidad nominal del estante no deberá exceder 30 cm en cada lado; y (3) las filas paralelas de estantes de libros de doble cara estarán separadas es pasillos de no menos de 90 cm de ancho. [d] Además de las cargas vivas verticales, el diseño incluirá fuerzas horizontales de ladeo aplicadas a cada fila de asientos como sigue: 35 Kgf por cada metro lineal de sillas aplicadas en una dirección paralela a cada fila de sillas y 15 Kgf por cada metro lineal de silla aplicada en una dirección perpendicular a cada fila de sillas. Las fuerzas horizontales de ladeo horizontales y verticales no deberán ser aplicadas simultáneamente. [e] Otras cargas uniformes en conformidad de un método aprobado, el cual contenga provisiones de carga de camiones, serán consideradas cuando sean oportuno. [f] La carga de rueda concentrada será aplicada en una área de 11.25 cm por 11.25 cm de pisada de un gato hidráulico. [g] La carga concentrada mínima en la huella de gradas ( 25 cm2 ) es 135 Kgf. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

24


Capítulo2

[h] Donde las cargas vivas uniformes de techos son reducidas en menos de 10 Kgf/m 2 en conformidad con la sección 4.9.1 y son aplicados al diseño de miembros estructurales dispuestos para crear continuidad, la carga viva reducida de techo será aplicada en vanos o en vanos alternados, el cual produzcan el efecto mas desfavorable. [i] Techos usados en otros propósitos especiales serán diseñados para cargas apropiadas tal como lo apruebe la autoridad de su jurisdicción.

2.4.2 Reducción de Cargas Vivas Con excepción de las cargas vivas uniformes de techo , todas las cargas vivas uniformemente distribuidas minimas, Lo de la Tablas 2.3a, 2.3b, 2.3c, pueden ser reducidas de acuerdo a las siguientes provisiones. Los elementos estructurales que tengan un valor de KLLAT igual a 37,16 m2 (400 pies2 ) diseñar para una carga viva o más, según la norma ACSE 7-05 en el artículo 4.8. se permite reducida utilizando la ecuación: L = L 0 (0,25 +

·

√K4,57A LL

(2.1)

) T

Donde: L = Carga viva de diseño reducida por m2 de area apoyada por el elemento. Lo = Carga viva de diseño no reducida por m2 de area apoyada en el elemento (ver Tablas 2.3a, 2.3b, 2.3c). KLL = Factor de carga viva del elemento. Ver Tabla 2.4. AT = Area tributaria en m2 . L no debe ser menos de 0,50 · L en elementos apoyados en un piso y L no debe ser menos de 0,40 · L en elementos apoyados en dos o más pisos . Tabla 2.4. Factor de carga viva del elemen to Elemento

Columnas Interiores Columnas exteriores sin losas en voladizo Columnas de borde con losas en voladizo Columnas de esquina con losas en voladizo Vigasdeborde sinlosasenvoladizo Vigas Interiores Todos los miembros no identificados incluyendo: vigas de borde con losas en voladizo Vigas en voladizo Losas en una direccion Losas en dos direcciones Miembros sin provision de transferencia continua de corte en sus vanos

KLL

4 4 3 2 2 2 1

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Desgin loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, pagina 13)

2.4.3 Ejercicio resuelto

Ejemplo 2.1 En la Figura 2.1, se muestra las áreas de influencia de las columnas interior, de borde y de esquina de la planta tipo correspondiente a un edificio de 5 pisos destinado al uso de oficinas en los pisos 3 y 4, y los pisos 1 y 2 a la venta de indumentaria deportiva. Determinesé la carga viva reducida en caso de ser posible por m 2 de área apoyada en las columnas. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

25


Capítulo2

Figura 2.1. Areas de influencia típicas de columnas del edificio de 36 × 18 m Solución 2.1

Objetivo Calcular la carga viva reducida de las columnas interiores, de borde y de esquina en cada uno de los cuatro pisos. Datos de diseño Son los siguientes: Areas tributarias Cargas Columnas interiores, AT = 7,20 × 6,0 m 2 Carga viva (pisos 3 y 4), LL = 200 Kg/m 2 2

2

T = 7,20 × 3,0 m 2 Carga viva (1 y 2), LL = 375 Kg/m Columnas de borde, esquina,AA T = 3,60 × 3,0 m

Resultados Paso 1: Verificar si es posible reducir la carga viva uniformente distribuida, Lo . La reducción es posible realizar si: KLL AT > 37,60 m 2

En columnas interiores:

−→

KLL AT (4 piso ) = 4

reducir Lo !

× 7,20 × 6 = 172 ,80 m > 37,60 m −→ reducir L o ! KLL AT (3 piso ) = 4 × 7,20 × 6 × 2 = 345 ,60 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! KLL AT (2 piso ) = 4 × 7,20 × 6 × 3 = 518 ,40 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! KLL AT (2 piso ) = 4 × 7,20 × 6 × 4 = 691 ,20 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! 2

2

2

2

2

2

2

2

En columnas de borde:

2

KLL AT (4 piso ) = 4 KLL AT (3 piso ) = 4

2

× 7,20 × 3 = 86 ,40 m > 37,60 m −→ reducir L o ! × 7,20 × 3 × 2 = 172 ,80 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! KLL AT (2 piso ) = 4 × 7,20 × 3 × 3 = 259 ,20 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! KLL AT (2 piso ) = 4 × 7,20 × 3 × 4 = 345 ,60 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

26

2

2

2

2

2

2


Capítulo2

En columnas de esquina : KLL AT (4 piso ) = 4

× 3,60 × 3 = 43 ,20 m > 37,60 m −→ reducir L o ! × 3,60 × 3 × 2 = 86 ,40 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! KLL AT (2 piso ) = 4 × 3,60 × 3 × 3 = 129 ,60 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! KLL AT (2 piso ) = 4 × 3,60 × 3 × 4 = 172 ,80 m > 37,60 m −→ reducir Lo ! 2

2

KLL AT (3 piso ) = 4

2

2

2

2

2

2

Paso 2: Determinar el multiplicador de reducción de carga viva , RM . 4,57

RM = 0,25 +

√KLLAT

En columnas interiores:

RM = 0,25 +

√K4,57A LL

T

RM (4 piso ) = 0,25 +

4,57 √172,80 = 0,59

RM (3 piso ) = 0,25 +

4,57 √345,60 = 0,49

RM (2 piso ) = 0,25 +

4,57 √518,40 = 0,45

RM (1 piso ) = 0,25 +

4,57 √691,20 = 0,42

En columnas de borde: 4,57

RM = 0,25 + RM (4 piso ) = 0,25 +

√4,57 KLL AT √86,40 = 0,74

RM (3 piso ) = 0,25 +

4,57 √172,80 = 0,59

RM (2 piso ) = 0,25 +

4,57 √292,20 = 0,53

RM (1 piso ) = 0,25 +

4,57 √345,60 = 0,49

En columnas de esquina : RM = 0,25 +

√K4,57A LL

RM (4 piso ) = 0,25 + RM (3 piso ) = 0,25 +

√

RM (2 piso ) = 0,25 +

√ √

RM (1 piso ) = 0,25 +

√


27

T

4,57 = 0,94 43,20 4,57 = 0,74 86,40 4,57 = 0,65 129,60 4,57 = 0,59 172,80


Capítulo2

Paso 3: Cálculo de carga viva reducida, L L = LL RM

·

En columnas interiores: L(4 piso ) = 200

× 0,59 = 118 kg/m L(3 piso ) = 200 × 0,49 = 98 kg/m L(2 piso ) = 375 × 0,45 = 169 kg/m L(1 piso ) = 375 × 0,42 = 158 kg/m

2

L(4 piso ) = 200

2

2

2 2

En columnas de borde:

× 0,74 = 148 kg/m L(3 piso ) = 200 × 0,59 = 118 kg/m L(2 piso ) = 375 × 0,53 = 199 kg/m L(1 piso ) = 375 × 0,49 = 184 kg/m

2 2 2

En columnas de esquina : L(4 piso ) = 200

2

L(3 piso ) = 200

2

× 0,94 = 188 kg/m × 0,74 = 148 kg/m L(2 piso ) = 375 × 0,65 = 244 kg/m L(1 piso ) = 375 × 0,59 = 222 kg/m

2 2



2.4.4 Disposición de la carga viva Para cubrir los diferentes escenarios de cargado , es necesario generar casos de carga viva basados en los siguientes patrones de carga :

Patrón de carga No.1 Todos los tramos cargados con la carga muerta y viva . Ver Figura 2.2(a). Patrón de carga No.2 Todos los tramos cargados con la carga muerta y los tramos alternos impares cargados con carga viva. Ver Figura 2.2(b). Patrón de carga No.3 Todos los tramos cargados con la carga muerta y los tramos alternos pares cargados con carga viva. Ver Figura 2.2(c). Patrón de carga No.4 Todos los tramos cargados con la carga muerta y dos tramos adyacentes cargados con carga viva. Ver Figura 2.2(d).


28


Capítulo2

Figura 2.2. Patrones de disposición de carga viva

2.4.5 Carga viva de techo, Lr Según la norma ASCE 7-05 en el artículo 4.9.1 el valor mínimo de carga 60 Kg/m 2 (12 psf ).

Reducción de cargas vivas de techo Lr = L o R1 R2 siendo 60

· ·

(2.2)

≤ Lr ≤ 100

Donde: L r = Carga viva de techo reducida por m de proyección horizontal en Kg/m . 2

2

Los factores de reducción serán determinados como sigue: R1 =

 

1 1,2 0,6

− 0,011 · At


para A t ≤ 18,58 m 2 para 18,58 m2 < A t < 55,74 m 2 para A t ≥ 55,74 m 2 29

(2.3)


Capítulo2

Donde: A T = Area tributaria en m de apoyo de cualquier elemento estructural y 2

R2 =

 

1 1,2 0,6

para F ≤ 4 para 4 < F < 12 para F ≥ 12

− 0,05 · F

(2.4)

Donde: Factor F en techos inclinados se calcula con: F = 0,12

× pendiente

(2.5a)

La pendiente debe estar expresada en porcentaje.

2.4.6 Ejercicios resueltos

Ejemplo 2.2 En la Figura 2.3, se muestra la geometría de una cercha de ancho

13,60 m y una

longitud de 6 m. Determinesé en caso de ser posible la carga viva de techo reducida.

θ

=

29.20



Figura 2.3. Techo de dos aguas del ejemp lo de 13,60

3,8 m

×

Solución 2.2

Objetivo Calcular la carga viva de techo reducida de las sobre las correas de la cercha. Datos de diseño Son los siguientes: Geometria Cargas Altura de la cercha, h = 3,80 m Carga viva de techo, Lo = 100 Kg/m 2 Ancho de cercha, b = 13,60 Distancia entre verticales, 1,70 m Resultados Paso 1: Determinar el área tributaria, At de la correa central. 1,70 = 11,68 m 2 tan(29,2)

At = 6

×

Paso 2: Determinar los factores de reducción , R 1 , F y R2 . Factor de reducción R1 : Como At = 11,68 m 2 < At = 18,58 m 2 −→ R1 = 1,0 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

30


Capítulo2

Factor F en techos inclinados: F = 0,12 pendiente F = 0,12(55,90) = 6 ,7

×

Factor de reducción R2 Como 4 < F = 6,7 < 12 entonces: R2 = 1,2 R2

− 0,05F = 1,2 − 0,05(6,7) = 0 ,87

Paso 3: Cálculo de la carga viva de techo reducida , L r : Lr = L o

×R ×R × 1,0 × 0,87 = 87 kg/m 1

2

Lr = 100

2



2.5 CARGA DE VIENTO, W Las cargas de viento se producen por el flujo del viento alrededor de la estructura.

2.5.1 Velocidad básica del viento, V La velocidad básica del viento, V , se obtiene del mapa de zonificación de viento básico nacional de cada país.

2.5.2 Factor de direccionalidad, Kd

Será determinado a partir de la Tabla 2.5. Tabla 2.5. Factor de direccionalidad del viento, Kd Factor de direccionalidad Kd

Tipo de estructura

Edificios Sistema principal resistente a la fuerza de viento Componentes y revestimientos Cubiertas abovedadas Chimeneas, tanques y estructuras similares Cuadradas Hexagonales Redondas Carteles llenos Carteles abiertos y estructura reticulada Torres reticuladas Triangular, cuadrada, rectangular Toda otra sección transversal

0.85 0.85 0.85 0.9 0.95 0.95 0.85 0.85 0.85 0.95

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Design loads for Buildings and other Structures”, American Society of civil Engineers, 2006, pagina 80)


31


Capítulo2

2.5.3 Factor de importancia, I Las edificaciones u otras estructuras están clasificadas en cuatro categorías de importancia, tal como se muestra en la Tabla 2.6. Tabla 2.6. Clasificación de los edificios para cargas ambientales y factor de importancia I , para cargas de viento y nieve Factor de importancia, I

Naturaleza de la ocupacion

Edificaciones u otras estructuras que representan un bajo riesgo para la vida humana en la eventualidad de fallo, incluyendo pero no limitadas a: Instalaciones agricolas Ciertas instalciones temporales Instalaciones menores de almacenamiento Todos los edificios que no se enlisten en las categorias I, II y IV Edificaciones y otras estructuras que representan un riesgo sustancial para la vida humana en la eventualidad de fallo incluyendo, pero no limitadas a: Edificaciones y otras estructuras donde más de 300 personas se congregan. Edificaciones y otras estructuras con instalaciones de cuidado con capacidad para más más de 150 personas. Edificaciones y otras estructuras con escuelas primarias, escuelas secundarias e instalaciones con capacidad para más de 250 personas. Edificaciones y otras estructuras para capacidad de más de 500 personas para colegios o instalaciones de educación de adultos. Instalaciones para el cuidado de la Salud con capacidad de 50 o más pacientes residentes pero que no tienen instalaciones de de cirugía o tratamiento de emerg. Edificaciones y otras estructuras, no incluidas en la categoria IV, con potencial daño sustancial de impacto economico o desbaratamiento a la vida civil en caso de un evento de falla, incluyendo, pero no limitado a : Estaciones de generacion de energia Instalaciones de tratamiento de agua Instalaciones de tratamiento de aguas residuales Centros de telecomunicacion Edificaciones y otras estructuras, no incluidas en la categoria IV, (inlcuyendo pero no limitadas, a instalaciones de manofactura, proceso, manejo, uso, almacenamiento, o disposicion de sustancias como combustibles inflamables, contaminantes quimicos sustancias toxicas, o explosivos) con conteniendo suficiente de cantidades de toxicos o sustancias explosivas peligrosas para el publico en caso de derrame. Edificaciones y otras estructuras, conteniendo toxicos o sustancia explosivas seran seleccionadas para clasificarlas como estructuras con categoriaII, si se demuestra con satisfaccion ante la autoridad coreespondiante a la jurisdiccion que el daño por asentamiento a causa del derrame de la sustancia no afectara la salud del publico. Edificaciones y otras estructuras designadas como instalaciones esenciales incluyendo, pero no limitadas a: Hospitales y otras facilidades para el cuidado de la salud que tienen instalaciones de cirugía o tratamiento de emergencia. Estaciones de bomberos, rescate y policía y garajes para vehículos de emergencia Centros de control de sismos, huracanes u tros centros de emergencia. Centros de emergencia y prevencion, de telecomuncaciones, y de operacion u otras otras instalaciones requeridas en caso de emergencia. Estaciones de generacion de energia electrica y similares instalaciones publicas requeridas en caso de emergencia. Estructuras auxiliaresnecesarias para la operacion de la categoria IV en emergen. Torres de contro de aviacion, centros de control de trafico aereo, y angares ▪

Categoria

Carga de v ie nt o ni ev e

I

0.87

0.8

II

1

1

III

1.15

1.1

IV

1.15

1.2

▪

▪

▪ ▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

▪

Instalaciones de almacenamiento de agua y estructuras de bombeo requeridas para mantener la presion de agua para combatir incendios. cac ones y estructuras con unc ones cr t cas e e ensa nac ona . (Véase en ASCE 7-05, “Minimun Desgin loads for Buildings and other Structures”, 2006, pagina 3)


32


Capítulo2

2.5.4 Exposición Categorías de rugosidad superficial de terreno Rugosidad superficial B Áreas urbanas y suburbanas, áreas boscosas , o terrenos con obstrucciones numerosas cercanamente espaciadas que tienen el tamaño de viviendas familiares sencillas o más grandes. Rugosidad superficial C Terrenos abiertos con obstrucciones dispersas, con alturas generalmente menores que 9,1 m (30 f t). Rugosidad superficial D Áreas planas no obstruidas y superficies acuáticas fuera de regiones propensas a huracán.

Categorías de exposición Exposición B El uso de esta categoría de exposición esta limitado a aquellas áreas para las cuales la categoría de rugosidad superficial de terreno representativo de la exposición es B. Exposición C La exposición C se usa en todos aquellos casos en la que exposición B ni D .

no se puede aplicar la

Exposición D Esta exposición se debe apli car a aquellas áreas para las cuales la categoría de rugosidad superficial de terreno representativo de la exposición es D.

2.5.5 Coeficientes de exposición de la presión de velocidad, Kz o Kh El Coeficientes de exposición de la presión de velocidad, K z o Kh , se calculan con: 2

2,01 Kz =

z

α

para 4,5 m

zg

    2,01

15 zg

2

α

z

zg

≤ ≤

(2.6)

para z < 4,5 m

En la cual: z = altura arriba del suelo, en metros. zg = altura del gradiente, en metros. α = coeficiente de la ley de potencias.

Las constantes de α y zg pueden obtenerse de la Tabla 2.7. Tabla 2.7. Constantes de exposición del terreno Exposicion

α

B C D

7 9.5 11.5

zg (pies) zg (metros) zmin (pies) zmin (metros) 1200 900 700

365.76 274.32 213.36

30 15 7

9.14 4.57 2.13

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Desgin loads for Buildings and other Structures”, American Society of civil Engineers, 2006, pagina 78)

Notas

zmin (metros) altura mínima utilizada para asegurar que la altura equivalente es mayor que 0,6h ó z min.

Para edificios con h ≤ zmin, se debe tomar como z min. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

33


Capítulo2

2.5.6 Efectos Topográficos Incremento de la Velocidad del Viento sobre Colinas, Crestas y Taludes Las colinas aisladas, crestas, y taludes, ver Figura 2.4, constituyen cambios abruptos en la topografía general, estos efectos deberán ser inlcuidos como incrementos en la velocidad del viento.

Figura 2.4. Topografía de colinas aisl adas, crestas, y taludes

Factor Topográfico El efecto de incremento de la velocidad del viento será incluido en el cálculo de las cargas de viento de diseño utilizando el factor Kzt : Kzt = (1 + K1 K2 K3 )2

·

(2.7)

·

Donde: Factor K1 : Factor para representar la forma de la característica topográfica y el efecto de máximo incremento de velocidad , es determina a partir de la Tabla 2.8. Tabla 2.8. Parámetros para determinar el factor topográfico, Kzt Parametros para el incremento de la velocidad sobre colinas y taludes µ

K1/(H/Lh) Exposicion

Forma de la colina

Crestas bi-dimensionales (o valles con H negativa en K1/(H/Lh) ) Taludes 2-dimensionales Colinas 3-dimensinales axisimetricas

γ

Barlovento

Sotavento

B

C

D

1.3

1.45

1.55

3

1.5

1.5

0.75 0.95

0.85 1.05

0.95 1.15

2.5 4

1.5 1.5

4 1.5

delaCresta delaCresta


Notas

H : Altura de la colina o talud relativa al terreno de barlovento, en metros. Lh : Distancia a barlovento de la cresta hasta donde la diferencia en la elevación del terreno es la mitad

de la altura de la colina o talud, en metros. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

34


Capítulo2

Factor K2 : es el factor para representar la reducción en el incremento de velocidad con la distancia a barlovento o sotavento de la cresta, se determina a partir de la siguiente expresión: K2 =

− ||  x µ Lh

1

2

(2.8)

·

Donde: x : Distancia (a barlovento o sotavento) desde la cresta hasta el sitio de la edificación , en metros (pies). µ: Factor de atenuación horizontal . L : Distancia a barlovento de la cresta hasta donde la diferencia en la elevación del terreno es la h mitad de la altura de la colina o talud , en metros.

Factor K3 : es el factor para representar la reducción en el incremento de velocidad con altura por encima del terreno local. K3 = e

γ z Lh

·

(2.9)

Donde: γ : Factor de atenuación de la altura. z : Altura por encima del terreno local, en metros. Lh : Distancia a barlovento de la cresta hasta donde la diferencia en la elevación del terreno es la mitad de la altura de la colina o talud, en metros. Kzt será tomado como 1,0 si la ubicación de la estructura de se encuentra en ninguna de la condiciones especificadas en la sección Incremento de la Velocidad del Viento sobre Colinas, Crestas y Taludes.

2.5.7 Presión de velocidad del viento, qz o qh La cual se expresa como: q=

1 ρ V2 2

(2.10)

· ·

La ASCE 7 Standard modifica la ecuación ?? y la expresa por: qz = 0,0613 Kz Kzt Kd V 2 I

·

·

·

· ·

(

kg ) m2

En la cual: qz = Es la presión de velocidad del viento evaluada a la altura z , en kg/m 2 . Kz = Coeficiente de exposición a la presión de velocidad , a partir de la ecuación 2.6. Kzt = Es el factor topográfico dado por la ecuación 2.7 Kd = es el factor de direccionalidad del viento determinado a partir de la Tabla 2.5 V = es la velocidad basica del viento , en m/s . I = Factor de importancia determinado a partir de la Tabla 2.6

2.5.8 Factor de efecto de ráfaga, G El factor de efecto de ráfaga será tomado como 0,85.


35

(2.11)


Capítulo2

2.5.9 Coeficientes de presión interna, GCpi Serán determinados a partir de la Tabla 2.9. Tabla 2.9. Coeficiente de Presión interna GCpi Clasificación del encerramiento

GCpi 0.00 +0.55 -0.55 +0.18 -0.18

Edificaciones abiertas Edificaciones parcialmente cerradas Edificaciones cerradas


2.5.10 Coeficientes de presión externa, Cp Serán tomados de la Figura 2.5 y la Tabla 2.10.

θ

θ

θ

θ

Figura 2.5. Coeficiente de presión externa, Cp c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

36


Capítulo2

Tabla 2.10. Coeficiente de presión externa, Cp Superficie

Coeficiente de presión del muro, Cp L/B Utilizarcon Cp

Muro barlovento

Todos los valores 0-1 2

Muro sotavento

≥

Muro lateral

h/L

Normal al caballete para θ < 10° y paralelo al caballete para todo θ

4

Todos los valores

qh qh

Coeficiente de presión de techo, Cp para ser utilizados con qh Barlovento Sotavento Angulo , θ (grados) Angulo, θ (grados)

Dirección del viento Normal al caballete ara θ ≥1 0°

qz

0.8 -0.5 -0.3 -0.2 -0.7

0.25

≤

0.5 ≥

1.0

≤

0.5

≥

1.0

10

15

-0.7 -0.5 -0.18 0.0* -0.9 -0.7 -0.18 -0.18 -1.3** -1 -0.18 -0.18

20

25

30

35

Distancia horizontal a partir del eje de

Cp

0 a h/2 h/2 a h h a 2h > 2h

-0.9, -0.18 -0.9, -0.18 -0.5, -0.18 -0.3, -0.18

0 a h/2

-1.3**, -0.18

> h/2

-0.7, -0.18

≥ 60#

45

-0.3 -0.2 -0.2 0.0* 0.2 0.3 0.3 0.4 -0.4 -0.3 -0.2 -0.2 0.0* 0.2 0.2 0.3 -0.7 -0.5 -0.3 -0.2 -0.18 0.0* 0.2 0.2

0.4 0.0* 0.4 0.0* 0.3

0.01

θ

0.01

θ

0.01

θ

10

15

≥

20

-0.3

-0.5

-0.6

-0.5

-0.5

-0.6

-0.7

-0.6

-0.6

* Se provee el valor para propósitos de interpolación. ** El valor puede reducirse linealmente con el área sobre la cual es aplicable como si ue.

rea m

≤ ≤ ≥

Factor de reducción

²

9.3 (100 pies ) 23.2 (200 pies ) 92.9 (1000 pies ) ²

²

²

1.0 0.9 0.8

(Vase en ASCE 7-05, “Minimum Design loads for Buildings and other Structures”, American Society of civil Engineers, 2006, pagina 47)

Notas

signos más y menos significan presiones haciay yθ desde las superficies, respectivamente. 21 Los Se permite interpolación lineal para valoresque de actúan L/B , h/L diferentes a los que se muestran. La interpolación será llevada a cabo únicamente entre valores del mismo signo. Donde no se da valor del mismo signo, asuma 0,0 para propósitos de interpolación. 3 Cuando dos valores de Cp están listados, esto indica que la pendiente de techo de barlovento está sujeta ya sea a presiones positivas o negativas y la estructura del techo será diseñada para ambas condiciones. La interpolación para razones intermedias de h/L en este caso se llevará a cabo únicamente entre valores de C p del mismo signo. 4 Para techos de una sola pendiente , la superficie total del techo es una superficie de barlovento o de sotavento. 5 Para edificaciones flexibles utilice la Gf apropiada según lo determinado. 7 Notación : B : Dimensión horizontal de la edificación , en metros (pies), medida normal a la dirección del viento. L: Dimensión horizontal de la edificación , en metros (pies), medida paralela a la dirección del viento. h: Altura media del techo en metros (pies), con excepción de que la altura del alero se utilizará para θ ≤ 10 . z : Altura por encima del terreno , en en metros (pies). G: Factor de efecto de ráfaga . qz , qh : Presión de la velocidad del viento, en Kg/m 2 o (libras por pie 2 ), evaluada a la altura respectiva. θ : Ángulo del plano del techo desde la horizontal, en grados. 8 En techos tipo mansarda, la superficie horizon tal superior y la superficie inclinada de sotavento serán tratadas como las superficies de sotavento de la Tabla. 9 Excepto para los SPRFV en el techo compuestos por pórticos resistentes a momento, el cortante horizontal total no será menor que el determinado cuando se descartan las fuerzas de viento sobre las superficies del techo. # Para pendientes de techo mayores que 80 , utilice C p = 0,8. ◦

◦


37


Capítulo2

2.5.11 Presión de diseño del viento, p Serán determinadas mediante la siguiente ecuación: p = q G Cp

· · − qi(GCpi)

en Kg/m

2

(2.12)

Donde: q = q z para muros de barlovento evaluados a la altura z por encima del terreno. q = q h para muros de sotavento, muros laterales y techos evaluados a la altura h . qi = qh para muros de barlovento, muros laterales, muros de sotavento , y techos de edificaciones cerradas y para evaluación de la presión interna negativa en edificaciones parcialmente cerradas. qlai = q z para de la elpresión interna positiva enalta edificaciones parcialmente cerradas donde altura z esevaluación definida como nivel de la abertura más en la edificación que podría afectar

la presión interna positiva. Para la evaluación de la presión interna positiva, q i puede ser evaluada conservadoramente a la altura h(qi = q h ). G = Factor de efecto de ráfaga. Cp = Coeficiente de presión externa de la Figura 2.5 y la Tabla 2.10 GCpi = Coeficiente de presión interna de la Figura 2.9. q y qi serán evaluadas utilizando la exposición definida en la sección categoría de exposición. La presión será aplicada simultáneamente sobre los muros de barlovento y sotavento y sobre las superficies de techo según lo definido en la Figura 2.5 y la Tabla 2.10.

Considérese que el convenio de signos es para la presión positiva actuando hacia la superficie y para la presión negativa actúa alejándose de la superficie.

2.5.12 Ejercicios resueltos Ejemplo 2.3 Determinar la presión dinámica del viento sobre la cubierta de dos aguas correspondiente a un edificio no industrial no esencial, mostrado en la Figura 2.6, si la zona presenta una velocidad de viento de V = 150 Km/h, la topografia es llana, el terreno se halla en una zona suburbana.

θ = 21.14

o

Figura 2.6. Estructura con carga de viento

Solución 2.3 Objetivo Calcular la presión de la velocidad del viento de diseño para las condiciones de barlovento y sotavento. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

38


Capítulo2

Datos de diseño Son los siguientes: Dimensiones Ancho, 12 m Altura de techo, 2,20 m Altura de columnas, 4,50 m

Localización: Tipo de estructuración Ubicación: Cbba Cerchas en dirección N-S Ocupación:edificio no esencial SPRFV Velocidad basica del viento: 150 km/h Rugosidad de terreno: área suburbana Topografía: planicie Encerramiento:parcialmente cerrada Tipo de cubierta: dos aguas

Resultados Paso 1: Determinar la pendiente y la altura media del tejado de la figura, se obtiene: 2 o bién = 0,37 θ = 20,14 6 2,20 h = 4,5 + = 5,10 m 2 h 5,60 = = 0,47 L 12

tan θ =

−−−−→

◦

Paso 2: Determinar la velocidad básica del viento : V = 150

Km 1h 1000 m = 41,67 m/s h 3600 s 1 K m

·

·

Paso 3: Determinar la categoria de ocupación Según la Tabla 2.6 la ocupación es de: categoria II Paso 4: Determinar la exposición de la estructura Al ubicarse en una área suburbana la rugosidad superficial del terreno es de: rugosidad superficial B La categoria de exposición es de: exposición B Paso 5: Determinar el factor de direccionalidad del viento , K d Según la Tabla 2.5, el factor de direccionalidad de viento para el sistema principal resistente a la fuerza del viento, es: Kd = 0,85

Paso 6: Determinar el factor de importancia , I . Según la Tabla 2.6 puede verse que el factor de importancia para cargas de viento en estructuras no esenciales, con categoria de ocupación II , es: I = 1,0


39


Capítulo2

Paso 7: Determinar el coeficiente de presión de la velocidad del viento, Kz El coeficiente de la ley de potencias , α, según la 2.7 para la exposición B es: α = 7,0

La altura del gradiente, z g , según la 2.7 para la exposición B es: zg = 365,76 m

Con el uso de la ecuación 2.6, se determina el coeficiente de exposición para la presión de velocidad Para una altura por encima del terreno de z = 5,60 m se tiene: Kz = 2,01 Kz = 2,01

   h zg

2/α

5,6 365,76

2/7

= 0,61

Paso 8: Determinación del factor topográfico , K zt Como la ubicación de la estructura no es ni en colina ni talud , el factor: Kzt = 1,0

Paso 9: Determinación de la presión de velocidad del viento , qh La presion de la velocidad del viento a la altura h, se calcula aplicando la ecuación 2.11: qh = 0,0613 Kz Kzt Kd V 2 I

· · · · · qh = 0,0613 × 0,61 × 1,0 × 0,85 × (41,67) × 1,0 2

qh = 52,48 Kg/m

2

Paso 10: Determinación del efecto de ráfaga , G El factor de ráfaga es igual a: G = 0,85

Paso 11: Determinación del coeficiente de presión interna, GCpi Según la Tabla 2.9 en edificaciones parcialmente cerradas: El coeficiente de presión interna positiva : GC pi = +0,55 El coeficiente de presión interna negativa : GC pi = −0,55 Paso 12: Determinación del coeficiente de presión externa o coeficiente de fuerza, Cp o GCpf del techo , la dirección del viento es perpendicular a la pendiente de la cubierta. Para el lado de barlovento ◦

◦

θ = 21,14 h = 0,425, se observa que el ángulo θ = 21,14 Al ingresar a lalosTabla 2.10 con se halla entre ángulos θ = 20 y θ =y25 , segundo la relación h = 0,425 está entre h = 0,25 y h = 0,5, por lo que, es necesario interpolar valores de θ y h para hallar Cp : Caso 1: Calcular C p para h/L = 0,425 cuando θ = 20 : ◦

◦

◦


40


Capítulo2 h/L 0,25 0,425 0,5

Cp

−0,3 −→ x −0,4

Cp =



0,425 0,25 0,5 0,25

− −

× −

− (−0,3)] − 0,3 = −0,37

× −

− (−0,2)] − 0,2 = −0,27

[ 0,4

Calcular C p para h/L = 0,425 cuando θ = 25 : ◦

h/L 0,25 0,425 0,5

Cp

−0,2 −→ x

Cp =

0,3

−



0,425 0,25 0,5 0,25



21,14 20 25 20

− −

[ 0,3

Calcular C p cuando θ = 21,14 : θ 20 21,14 25

◦

Cp

−0,37 −→ x −0,27

◦

◦

◦

Cp =

− −

× −

[ 0,27

− (−0,37)] − 0,37 = −0,35

×

− (0,2)] + 0,2 = 0,06

Caso 2: Calcular C p para h/L = 0,425 cuando θ = 20 : ◦

h/L C p 0,25 0,2 0,425 x 0,5 0

−→

Cp =



0,425 0,25 0,5 0,25

− −

[0

Calcular C p para h/L = 0,425 cuando θ = 25 : ◦

h/L C p 0,25 0,3 0,425 x 0,5 0,2

−→

Cp =



0,425 0,25 0,5 0,25



21,14 20 25 20

− −

×

[0,2

− (0,3)] + 0,3 = 0,23

Calcular C p cuando θ = 21,14 : ◦

θ 20 21,14 25 ◦

◦

◦

Cp 0,06 x 0,23

−→

Cp =

− −

×

[0,23

− (0,06)] + 0,06 = 0 ,10

Para el lado de sotavento Al ingresar a la Tabla 2.10 con θ = 21,14 y h = 0,425 se obtiene que: ◦

Cp =


41

−0,6


Capítulo2

Paso 13: Calcular las presión de diseño del viento, p Sustituyendo los valores de q , G, Cp y GCpi en la ecuación 2.12, se obtiene las cargas de la presión de la velocidad del viento de diseño. Caso 1: Para el lado de barlovento se tiene: p = q h G Cp

· · − qh (±GCpi) × 0,85 × (−0,35) − 52,48(+0,55) = −44,42 Kg/m −−−→GCpi+ p = 52,48 × 0,85 × (−0,35) − 52,48(−0,55) = +13 ,20 Kg/m −−−→GCpi − p = 52,48

2

para

2

para

Para el lado de sotavento se tiene: p = q h G Cp

· · − qh (±GCpi) p = 52,48 × 0,85 × (−0,6) − 52,48(+0,55) = −55,63 Kg/m −−−→GCpi + p = 52,48 × 0,85 × (−0,6) − 52,48(−0,55) = +2,10 Kg/m −−−→GCpi − 2

para

para

2

Caso 2: Para el lado de barlovento se tiene: p = 52,48

2

para

2

para

× 0,85 × (−0,10) − 52,48(+0,55) = −24,40 Kg/m −−−→GCpi+ p = 52,48 × 0,85 × (−0,10) − 52,48(−0,55) = +33 ,33 Kg/m −−−→GCpi − Para el lado de sotavento se tiene: 2

p = 52,48 p = 52,48

para

× 0,85 × (−0,6) − 52,48(+0,55) = −55,63 Kg/m −−−→GCpi+ × 0,85 × (−0,6) − 52,48(−0,55) = +2,10 Kg/m −−−→GCpi− para

2

La Figura 2.7 muestra la aplicación de la carga de viento sobre la cubierta.

θ = 21.14

o

21.14 θ =

GC pi

θ = 21.14

o

o

θ =21.14

GC pi

+

o

−

Figura 2.7. Distribución de la presión de diseño del vien to del ejemplo 


42


Capítulo2

Ejemplo 2.4 Determinar la fuerza de diseño del viento sobre el sistema principal de resistencia de fuerza-viento del edificio de la Figura 2.8, la edificación es cerrada, la zona presenta una velocidad de viento de V = 145 Km/h, la topografia es homogénea, la estructura está localizada en una zona abierta.

Figura 2.8. Estructura aporticada del ejemplo

Solución 2.4 Objetivo Calcular la carga de diseño del viento en dirección N-S. Datos de diseño Son los siguientes:


43


Dimensiones En planta, 18 × 36 m Altura de pisos, 3,60 m Altura del edificio, 18,90 m

Capítulo2

Localización: Tipo de estructuración Ubicación: Cbba Porticos de HoAo en ambas Ocupación:edificio no esencial direcciones con losas de Velocidad basica del viento: 145 km/h entrepiso se comportan Rugosidad de terreno:abierto rigidas en su plano Topografía: plana Encerramiento: cerrada Tipo de cubierta: dos aguas

Resultados Paso 1: Determinar la velocidad básica del viento : V = 145

Km 1h 1000 m = 40,28 m/s h 3600 s 1 K m

·

·

Paso 2: Determinar la categoria de ocupación Según la Tabla 2.6 la ocupación es de: categoria II Paso 3: Determinar la exposición de la estructura Al ubicarse en un terreno abierto la rugosidad superficial del terreno es de: rugosidad superficial C La categoria de exposición es de: exposición C Paso 4: Determinar el factor de direccionalidad del viento , K d Según la Tabla 2.5, el factor de direccionalidad de viento para el sistema principal resistente a la fuerza del viento, es: Kd = 0,85

Paso 5: Determinar el factor de importancia , I . Según la Tabla 2.6 puede verse que el factor de importancia para cargas de viento en estructuras no esenciales, con categoria de ocupación II , es: I = 1,0

Paso 6: Determinar el coeficiente de presión de la velocidad del viento, Kz El coeficiente de la ley de potencias , α, según la 2.7 para la exposición B es: α = 9,5

La altura del gradiente, z g , según la 2.7 para la exposición B es: zg = 274,32 m

Con el uso de la ecuación 2.6, se determina el coeficiente de exposición para la presión de velocidad


44


Capítulo2

Para las alturas por encima del terreno de z = 4,5, 8,1, 11,7, 15,3, 18,9 m se tiene:

          

Kz = 2,01

Kz (piso 1) = 2,01 Kz (piso 2) = 2,01 Kz (piso 3) = 2,01 Kz (piso 4) = 2,01 Kz (techo) = 2,01

h zg

2/α

4,5 274,32

2/9,5

8,1 274,32

2/9,5

= 0,846 = 0,957 2 95

11,7 274,32

/ ,

15,3 274,32

2/9,5

18,9 274,32

2/9,5

= 1,035 = 1,095 = 1,145

Paso 7: Determinación del factor topográfico , K zt Como la ubicación de la estructura no es ni en colina ni talud , el factor: Kzt = 1,0

Paso 8: Determinación de la presión de velocidad del viento , qh La presion de la velocidad del viento a la altura h, se calcula aplicando la ecuación 2.11: qz = 0,0613 Kz Kzt Kd V 2 I

· · · · · × 0,846 × 1,0 × 0,85 × (40,28) qz (piso 2) = 0,0613 × 0,957 × 1,0 × 0,85 × (40,28) qz (piso 3) = 0,0613 × 1,035 × 1,0 × 0,85 × (40,28) qz (piso 4) = 0,0613 × 1,095 × 1,0 × 0,85 × (40,28) qz (piso techo) = 0,0613 × 1,145 × 1,0 × 0,85 × (40,28) qz (piso 1) = 0,0613

2 2 2 2 2

× 1,0 = 71 ,52 Kg/m × 1,0 = 80 ,90 Kg/m × 1,0 = 87 ,50 Kg/m × 1,0 = 92 ,57 Kg/m × 1,0 = 96 ,80 Kg/m

Paso 9: Determinación del efecto de ráfaga , G El factor de ráfaga es igual a: G = 0,85

Paso 10: Determinación del coeficiente de presión interna, GCpi Según la Tabla 2.9 en edificaciones cerradas: El coeficiente de presión interna positiva : GC pi = +0,18 El coeficiente de presión interna negativa : GC pi = −0,18


45

2 2 2 2 2


Capítulo2

Paso 11: Determinación del coeficiente de presión externa o coeficiente de fuerza, GCpf del muro , la dirección del viento es de N-S. Para el lado de barlovento Al ingresar a la Tabla 2.10 con L/B = 18/36 = 0 ,5:

Cp o

Cp = 0,8

Para el lado de sotavento Al ingresar a la Tabla 2.10 con L/B = 18/36 = 0 ,5: Cp =

−0,5

Paso 12: Calcular las presión de diseño del viento, p Sustituyendo los valores de q , G, Cp y GCpi en la ecuación 2.12, se obtiene las cargas de la presión de la velocidad del viento de diseño. Para el lado de barlovento se tiene: p = q z G Cp

· · − qh (±GCpi) p(piso 1) = 71,52 × 0,85 × (0,8) − 96,80(+0,18) = +31 ,21 Kg/m p(piso 1) = 71,52 × 0,85 × (0,8) − 96,80(−0,18) = +66 ,06 Kg/m p(piso 2) = 80,90 × 0,85 × (0,8) − 96,80(+0,18) = +37 ,59 Kg/m p(piso 2) = 80,90 × 0,85 × (0,8) − 96,80(−0,18) = +72 ,44 Kg/m p(piso 3) = 87,50 × 0,85 × (0,8) − 96,80(+0,18) = +40 ,04 Kg/m p(piso 3) = 87,50 × 0,85 × (0,8) − 96,80(−0,18) = +74 ,88 Kg/m p(piso 4) = 92,57 × 0,85 × (0,8) − 96,80(+0,18) = +45 ,52 Kg/m p(piso 4) = 92,57 × 0,85 × (0,8) − 96,80(−0,18) = +80 ,37 Kg/m p(piso techo) = 96,80 × 0,85 × (0,8) − 96,80(+0,18) = +48 ,40 Kg/m p(piso techo) = 96,80 × 0,85 × (0,8) − 96,80(−0,18) = +83 ,25 Kg/m

Para el lado de sotavento se tiene:

· · − qh (±GCpi) p(piso 1) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(+0,18) = −58,56 Kg/m p(piso 1) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(−0,18) = −23,72 Kg/m p(piso 2) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(+0,18) = −58,56 Kg/m p(piso 2) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(−0,18) = −23,72 Kg/m p(piso 3) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(+0,18) = −58,56 Kg/m p(piso 3) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(−0,18) = −23,72 Kg/m p(piso 4) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(+0,18) = −58,56 Kg/m p(piso 4) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(−0,18) = −23,72 Kg/m

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

para

−−−→GCpi+ −−−→GCpi− −−−→GCpi+ −−−→GCpi− −−−→GCpi+ −−−→GCpi− −−−→GCpi+ −−−→GCpi− −−−→GCpi+ −−−→GCpi− para para para para para para para para para

p = q h G Cp


46

2 2 2 2 2 2 2 2

para

−−−→GCpi+ −−−→GCpi− −−−→GCpi+ −−−→GCpi− −−−→GCpi+ −−−→GCpi− −−−→GCpi+ −−−→GCpi− para para para para para para para


Capítulo2

p(piso techo) = 96,80

2

para

2

para

× 0,85 × (−0,5) − 96,80(+0,18) = −58,56 Kg/m −−−→GCpi+ p(piso techo) = 96,80 × 0,85 × (−0,5) − 96,80(−0,18) = −23,72 Kg/m −−−→GCpi − Paso 13: Calcular la presión de diseño de viento total, P P = (Pbarlovento + Psotavento) P (piso 1) = 31,21 + 58,56 = 89 ,77 kg/m 2 P (piso 2) = 37,59 + 58,56 = 96 ,15 kg/m 2 P (piso 3) = 40,04 + 58,56 = 89 ,60 kg/m 2 2

P (piso 4) = 45,52 + 58,56 = 104,08 kg/m P (techo) = 48,40 + 58,56 = 106,96 kg/m 2

Paso 14: Calcular la carga de diseño de viento total, F F =P

× AT × 7,20 × 4,05 = 2618 kg F (piso 2) = 96,15 × 7,20 × 3,60 = 2493 kg F (piso 3) = 89,60 × 7,20 × 3,60 = 2556 kg F (piso 4) = 104,08 × 7,20 × 3,60 = 2698 kg F (techo) = 106,96 × 7,20 × 1,80 = 1387 kg F (piso 1) = 89,77



2.6 CARGA DE NIEVE, S Para diseñar techos se usa cargas de nieve de 50 a 200 kg/m 2 , la magnitud depende principalmente de la pendiente del techo y en menor grado de su tipo de superficie.

2.6.1 Carga de nieve en el suelo, pg Esta carga es usada en la determinación de la carga de nieve de diseño , la carga de nieve puede tomarse conservatoriamente mayor igual al valor mínimo de 50 kg/m 2 .

2.6.2 Carga de nieve en techos planos, pf En la ASCE 7 Standard, recomienda que la carga de nieve, pf en techos con pendientes menores a 5 deberá calcularse en kg/m 2 utilizando la siguiente expresión: ◦

pf = 0,7 Ce Ct I Pg

· · · ·

(2.13)

El valor de pf debe ser mayor o igual que los siguientes valores mínimos de techos de pendiente baja : Cuando p g es menor a 100 Kg/m 2 , usar pf = I pg

(2.14)

pf = 100 I

(2.15)

·

Cuando p g es mayor a 100 Kg/m 2 , usar

·


47


Capítulo2

Donde: pf = Carga de nieve en techos planos en Kg/m 2 . pg = Carga de nieve en el suelo en Kg/m 2 . Ce = Factor de exposición, se determina según la Tabla 2.11. Ct = Factor térmico, se determina según la Tabla 2.12. I = Factor de importancia, se determina según Tabla 2.6.

Valores mínimos de pf en techos de pendiente baja El mínimo valor de p f a aplicarse en: 1. Techos de pendiente única con pendientes < a 15 . ◦

2. Techos con dos y cuatro aguas con pendientes ≤ a 2,38 y 21,3/W + 0,5 con W en metros, en techos curvos donde el ángulo vertical del alero a la corona es menor a 10 ; W es la distancia horizontal del alero a la cumbrera, en metros. ◦

◦

Factor de exposición, Ce El valor de C e se debe obtener de la Tabla 2.11. Tabla 2.11. Factor de exposición, Ce Exposición del techo Totalmente Parcialmente protegida expuesto expuesto

Categoría de terreno

B (ver sección categorías de exposición) C(verseccióncategoríasdeexposición) D (ver sección categorías de exposición) Encima de la línea de arboles en áreas montañosas

0.9 0.9

1.0 1.0

0.8 0.7

1.2 1.1

0.9 0.8

1.0 N/A

Áreas donde no existe arboles en un radio de 3 Km. 0.7 0.8 N/A La categoría de terreno y las condiciones de exposición de la cubierta elegidas deben ser representativa de las condiciones previstas durante la vida de la estructura. Se debe determinar un factor de exposición para cada techo de una estructura. (Véase en ASCE 7-05, “Minimun Design loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, pagina 92) Definiciones Cubiertas parcialmente expuestas

Son todos los techos excepto las que se indican a continuación: Son los techos expuestos en todos sus lados sin la protección (**) aportada por el terreno, por estructuras más altas o por árboles. Los techos que contienen varias piezas grandes de equipo mecánico, parapetos que se extienden por encima de la altura de la carga balanceada de nieve hb, u otras obstrucciones, no se incluyen en esta categoría. Cubiertas protegidas Son los techos ubicados muy cerca o entre árboles tipo coníferas que califican como obstrucciones. Cubiertas totalmente expuestas

(**)Las obstrucciones, comprendidas en una distancia de 10 h o brindan protección, siendo ho la altura de la obstrucción por encima del nivel del techo. Si las únicas obstrucciones son unos pocos árboles de hojas caducas que están hojas en invierno, deberá utilizar la categoría “techo totalmente expuesto“ excepto para terreno de sin categoría “A“. Se hacesenotar que éstas son alturas por encima de la cubierta. Las alturas utilizadas para establecer las Categorías de Terreno en el Apéndice A son alturas por encima del suelo. N/A no aplicable


48


Capítulo2

Factor térmico, Ct El valor de C t se determina de la Tabla 2.12. Tabla 2.12. Factor térmico, Ct Condición térmica

a

Ct

Todas las estructuras excepto las que se indican a continuación Estructuras mantenidas justo por encima del congelamiento y otras con cubiertas frías ventiladas en las cuales la resistencia térmica, R, entre el espacio ventilado y el espacio calefaccionado sea > 4,4 Kxm2/W (Kelvin metro cuadrado por watt) Estructuras no calefaccionadas y estructuras intencionalmente manatenidas bajo el punto de

1 1.1

congelamiento Invernaderos continuamente calefaccionados b con una cubierta con resistencia térmica, R , < 0,4 Kx m /W (Kelvin metro cuadrado por watt)

0.85

1.2

(Véase en ASCE 7-05, “Minimun Desgin loads for Buildings and other Structures” , American Society of civil Engineers, 2006, pagina 93)

Notas a Estas condiciones deben ser representativas de aquellas condiciones

previstas para los inviernos durante la vida de la estructura. b Los invernaderos continuamente calefaccionados son aquellos con una temperatura interior constantemente mantenida de 10 C ó más, en cualquier punto a 1 m sobre el nivel de piso durante los inviernos y que tengan un asistente de mantenimiento constante, o un sistema de alarma de temperaturas para avisar en caso de falla de la calefacción. ◦

Factor de importancia, I Los valores de I que deben usarse se obtendrán de la Tabla 2.6.

2.6.3 Cargas de nieve sobre cubiertas en pendiente, p s

La carga de nieve sobre una cubierta con pendiente, ps , se obtiene multiplicando la carga de nieve sobre la cubierta plana, pf , por el factor de pendiente de la cubierta, Cs : (2.16)

ps = C s pf [Kg/m 2 ]

·

Los valores de Cs en cubiertas cálidas como en cubiertas frías, están determinados de la siguiente manera:

Factor de pendiente en cubiertas cálidas, Cs Las cubiertas cálidas son aquellas que tienen un factor térmico , Ct

≤ 1,0.

1. En superficies lisas, sin obstrucciones , se debe determinar mediante:

Cs =

 

para 0

1,0

pendiente − 5

◦

◦

1,0 0,0 −

para 5

◦

65

≤ pendiente < 5

◦

≤ para pendiente

pendiente

◦

70

◦

(2.17)

> 70 ≤ ◦

2. Todas las superficies que no verifiquen las condiciones establecidas , se deberá deter-


49


Capítulo2

minar mediante:

Cs =

  

para 0

1,0

pendiente − 30

◦

1,0

−

≤ pendiente < 30 para 30 ≤ pendiente ≤ 70 ◦

◦

◦

40

◦

para pendiente

0,0

(2.18)

◦

> 70

◦

Factor de pendiente cubiertas frías, Cs Las cubiertas frías son aquellas con un coeficiente térmico Ct > 1,0. En cubiertas frías con un coeficiente Ct = 1,1 1. En Superficies lisas, sin obstrucciones ,se debe determinar utilizando:

Cs =

  

para 0

1,0

− 10 − pendiente 60

◦

1,0


◦

◦

◦

para pendiente

0,0

(2.19)

◦

> 70

◦

2. Sobre todas las otras cubiertas frías con un coeficiente Ct = 1,1, se debe determinar utilizando:

Cs =

 

para 0

1,0

pendiente − 37,5

◦

1,0

−

◦

◦

32,5

◦

para pendiente

0,0

      

≤ pendiente < 37,5 para 37,5 ≤ pendiente ≤ 70 ◦

◦

> 70

(2.20)

◦

En cubiertas frías con un coeficiente Ct = 1,2 1. En Superficies lisas sin obstrucciones , se debe determinar utilizando:

Cs =

para 0

1,0


◦

1,0


◦

◦

◦

para pendiente

0,0

◦

> 70

(2.21)

◦

2. Sobre todas las otras cubiertas frías con C t = 1,2, se debe determinar utilizando:

Cs =

para 0

1,0


◦

1,0 0,0


◦

◦

◦

para pendiente

◦

> 70

(2.22)

◦

2.6.4 Ejercios resueltos Ejemplo 2.5 Determinar la carga de diseño de la nieve para la cubierta del aramzón de dos aguas de un edificio de escuela primaria, mostrado en la Figura 2.9, la carga de nieve a nivel del terreno es 125 kg/m 2 , el terreno presenta varios arboles dispersos . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

50


Capítulo2

θ =10.0

Solución 2.5

o

Figura 2.9. Estructura con carga de nie ve del ejemplo

Objetivo Calcular la carga de diseño de la nieve sobre toda la cubierta. Datos de diseño Son los siguientes: Dimensiones Ancho, 12 m Altura de techo, 1,05 m Altura de columnas, 4,50 m

Localización: Tipo de estructuración Ubicación: El alto Cerchas en dirección N-S Ocupación: escuela primaria SPRFV Rugosidad de terreno: árboles dispersos Carga de nieve en el suelo: 125 kg/m 2 Tipo de cubierta: dos aguas

Resultados Paso 1: Determinar la categoria de ocupación Según la Tabla 2.6 la ocupación es de: categoria III Paso 2: Determinar la exposición de la estructura Al ubicarse en una área con obstrucciones dispersas la rugosidad superficial del terreno es de: rugosidad superficial B La categoria de exposición es de: exposición C Paso 3: Determinar la exposición del techo Los arboles dispersos proporcionan una exposición del tipo: parcialmente expuesto Paso 4: Determinar el factor de exposición, Ce Al ingresar en la Tabla 2.11 con la categoria de terreno C y exposición del techo como parcialmente expuesto se encuentra: Ce = 1,0

Paso 5: Determinar el factor térmico La estructura es calentada, según la Tabla 2.12 el factor térmico resulta ser: Ct = 1,0 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

51


Capítulo2

Paso 6: Determinar el factor de importancia , I . Según la Tabla 2.6 puede verse que el factor de importancia para cargas de nieve en escuelas primarias, con categoria de ocupación III , es: I = 1,1

Paso 7: Determinación de la carga de nieve sobre techo plano , P f La carga de nieve sobre techo plano , se calcula aplicando la ecuación 2.13: pf = 0,7 Ce Ct I Pg pf = 0,7

· · · · × 1,0 × 1,0 × 1,1 × 125 2

pf = 96,25 kg/m

Verificación de la carga de nieve mínima en techos planos Como la pendiente de θ = 10 es menor que θ = 15 , resulta la necesidad del cálculo del valor mínimo de la carga de nieve . Como Pg = 125 kg/m 2 > 100 kg/m 2 entonces: ◦

◦

pf,min = 100

×I × 1,1 = 110 kg/m

(gobierna) La carga de nieve de diseño en techos planos resulta ser el mayor de las dos cargas: pf (diseño) = 110 kg/m 2 pf,min = 100

2

Paso 8: Determinación del factor de pendiente , Cs El factor de pendiente en cubiertas cálidas con pendiente comprendida entre 10 < 30 es: ◦

0 < θ = ◦

◦

C = 1,0 s

Paso 9: Determinación de la carga de nieve de diseño en la cubierta inclinada : ps = C s pf ps = 1,0

θ =10.0

· × 110 = 110 kg/m

o

θ =10.0

2

o

Figura 2.10. Distribución de la carga de diseño de nieve del ejemp lo 


52


Capítulo2

2.7 CONSIDERACIONES GENERALES DE DISEÑO POR RESISTENCIA ULTIMA Existen dos filosofías de diseño de estructuras de hormigón armado que han sido prevalentes por mucho tiempo. El diseño por esfuerzos de trabajo frecuentemente llamado WSD (working stress design), fué el método más usado desde principios de siglo hasta principios de los años 60. Después de más de 50 años de utilización del método WSD y de mucha investigación sobre el comportamiento no lineal e inelástico del hormigón y del acero, en 1956 el método de la resistencia última hace su aparición en el código ACI como un método alternativo.

2.7.1 Diseño por resistencia última El criterio que debe satisfacer la elección del elemento es: Resistencia de Diseño (R) ≥ Resistencia Requerida (U )

(2.23)

Donde: Resistencia de diseño (R) = Factor de reducción de la resistencia (φ)× resistencia nominal. Resistencia requerida (U ) = (Factores de mayoración de carga × cargas de servicio).



2.7.2 Ventajas del diseño por resistencia última

Algunas de las principales razones por las cuales se debe utilizar el método de diseño por resistencia sobre el método de esfuerzos de trabajo son las siguientes: 1. La teoría elástica no puede predecir con exactitud la resistencia última de secciones de hormigón armado. 2. En el diseño por resistencia se usa un factor de seguridad más realista . 3. La curva tensión - deformación del hormigón es no lineal y depende del tiempo. 4. El diseño por el método de la resistencia última hace uso más eficiente del acero de alta resistencia. 5. El método de resistencia permite diseños más flexibles que el método elástico, de modo que el diseñador puede estimar la ductilidad de la estructura en el rango postelástico.

2.8 PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO UNIFICADO 2.8.1 Conceptos claves El método de diseño unificado es similar al método de diseno por resistencia en que para dimensionar los elementos emplea cargas mayoradas y factores de reduccion de la resistencia . La principal diferencia es que, los requisitos de diseño del diseño unificado, define a una seccion de hormigón ya sea como controlada por compresióno como controlada por tracción, dependiendo de la magnitud de la deformación unitaria neta de traccion en la armadura mas proxima a la cara traccionada de un elemento .

2.8.2 Requisitos del diseño unificado El criterio básico del diseño unificado es: R c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

≥U 53

(2.24a)


Capítulo2

φ Rn

·

≥

Donde: R = Resistencia de diseño. φ = Factor de reducción de resistencia . Rn = Resistencia nominal. U = Resistencia requerida. γ = Factor de mayoración de carga de servicio. Un = Carga de servicio.



(2.24b)

(γ Un )

·

2.8.3 Resistencia de diseño, R

La resistencia de diseño , R, denominada resistencia reducida o útil , proporcionada por un elemento estructural, en términos de flexión, carga axial, corte y torsión, es decir: Resistencia de Diseño(R) = Factor de Reducción de la Resistencia (φ)

× Resistencia Nominal

Resistencia Nominal, Rn La resistencia nominal de un elemento o sección transversal es una resistencia teórica, y es calculada por medio las hipótesis y ecuaciones de resistencia del método de diseño por resistencia, antes de aplicar cualquier factor de reducción de la resistencia.

Factor de reducción de resistencia, φ Es un valor usualmente menor que la unidad . El proposito por lo cual en el diseño por resistencia se requieren factores de reducción de la resistencia , es debido a: 1. La probabilidad de que la resistencia de un elemento sea menor que la supuesta debido a las variaciones en las resistencias de los materiales y sus dimensiones , esta diferencia en el diseño es por las siguientes razones: Variabilidad de las resistencias de los materiales . Efecto de la velocidad de ensayo . Resistencia in situ vs. resistencia de una probeta . Efecto de la variabilidad de las tensiones de contracción o las tensiones residuales.

2. Las dimensiones de los elementos pueden diferir de las supuestas, ya sea por errores constructivos o de fabricación. 3. La importancia del elemento dentro de la estructura. 4. Las hipótesis, simplificaciones e imprecisiones usadas en las ecuaciones de diseño 5. El grado de ductilidad y la confiabilidad requerida del elemento cargado.


54


Capítulo2

2.8.4 Determinación del factor, φ El factor de reducción de resistencia φ, depende de la deformación unitaria neta de tracción máxima ,  t y de la resistencia nominal , Mn . La Figura 2.11 muestra las condiciones de deformación para secciones controladas por compresión, transición y secciones controladas por tracción . ε c

=

0.003

ε c

=

0.003

ε c

=

0.003

dt

ε

0.002 < εt

t

<0.005

c ≥ 0.6d t

ε t

≥ 0.005

c ≤ 0.375d t

ε

t

dt

Figura 2.11. Condiciones de deformación del diseño unificado En la Tabla 2.13 se muestran los factores de reducción de la resistencia φ para el método de diseño por resistencia. Tabla 2.13. Factores de reducción de la resistencia para el método de diseño por resistencia Cargas

Factorφ

Secciones controladas por tracción Secciones controladas por la compresion Elementos con armadura en espiral Elementos con otro tipo de armadura Corte y torsión Aplastamiento del hormigon Zonas de anclaje postensado Modelos de bielas

0,90 0.70 0.65 0,75 0.65 0.85 0,75

(Véase en Building code ACI 318-05, American Concrete Institute, 2004, pagina 83-84)

Variación del factor de reducción de la resistencia, φ La variación del factor φ es encuentra en función de d t , la cual se ilustra en la Figura 2.12.


55


Capítulo2

ε

t

=

c dt

=

0.002

ε

t

=

c

0.600

dt

=

0.005 0.375

Figura 2.12. Variación de φ en función de t La ecuación de interpolación en función de t es:

 

En espiral : φ = 0,70 + (t − 0,002) ·

200 3

En estribos : φ = 0,65 + (t − 0,002) ·

 

250 3

(2.25a) (2.25b)

y la ecuación interpolación en función de c/d t es: En espiral : φ = 0,70 + 0,20

 

En estribos : φ = 0,65 + 0,25

 − 

1 (c/dt)

− 53

(2.25c)

1 (c/dt)

5 3

(2.25d)

2.8.5 Resistencia requerida, U Llamada también capacidad U de carga última requerida, es la resistencia que un elemento o sección transversal debe tener para resistir las cargas mayoradas o cargas últimas.

Combinaciones de cargas Las estructuras serán diseñadas de tal manera que sus resistencias de diseño igualen o excedan los efectos de las cargas ponderadas, de las siguientes ecuaciones de combinación de cargas propuestas por la ASCE 7 Standard: U U

= 1,4(D + F ) = 1,2(D + F + T ) + 1,6(L + H ) + 0,5(Lr o S R)

U

= 1,2D + 1,6(Lr o S o R ) + (1,0L o 0,8W )

U U

= 1,2D + 1,6W + 1,0L + 0,5(Lr o S o R ) = 1,2D + 1,0E + 1,0L + 0,2S

U

= 0,9D + 1,6W + 1,6H

U

= 0,9D + 1,0E + 1,6H


56

(2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32)


Capítulo2

Donde: D = cargas muertas, o las solicitaciones correspondientes. E = Efectos de carga de las fuerzas sísmicas , o las solicitaciones correspondientes. F = Cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas máximas controlables, o las solicitaciones correspondientes. H = Cargas debidas al peso y presión lateral del suelo , del agua en el suelo, u otros materiales, o las solicitaciones correspondientes. L = Cargas vivas, o las solicitaciones correspondientes. Lr = Cargas vivas en las cubiertas , o las solicitaciones correspondientes. R = Cargas provenientes de la lluvia , o las solicitaciones correspondientes. S = Carga de nieve , o las solicitaciones correspondientes. T = Efectos acumulativos de la contracción o expansión resultante de las variaciones de temperatura, la fluencia lenta, la contracción y el hormigón de contracción compensada. W = Cargas de viento, o las solicitaciones correspondientes. U = Resistencia requerida para resistir las cargas mayoradas o las solicitaciones correspondientes. Para muchos elementos, las cargas consideradas son muerta, viva y viento. Cuando no se consideran las cargas F, H, R, S y T , las siete ecuaciones se simplifican , obteniéndose las ecuaciones indicadas a continuación en la Tabla 2.14. Tabla 2.14. Resistencia requerida en combinaciones de cargas simplificadas Cargas Carga muerta (D) y carga viva (L)

Carga muerta (D), viva (L) y viento (W)

ResistenciarequeridaU 1,4D 1,2D + 1,6L + 0.5Lr 1,2D + 1,6Lr + 1.0L 1,2D + 1,6L ± 0,8W 1.2D ± 1.6W + 1.0L + 0.5Lr 0,9D ± 1,6W

Ecuación ACI

ec ec ec ec ec ec

(9-1) (9-2) (9-3) (9-3) (9-4) (9-6)

(Véase en Notes on ACI 318-05, Portland cement association, 2005, pagina 5-8)

Importancia de la combinación de cargas 1. Las magnitudes de las cargas pueden diferir de las supuestas. En el caso de las cargas muertas pueden presentarse: Variaciones en el tamaño de los elementos. Variaciones del peso especifico de los materiales. Modificaciones estructurales y no estructurales.

2. Por la existencia de incertidumbres en el cálculo de las solicitaciones - las suposiciones de las rigideces, longitudes de tramo , etc.

2.9 ANALISIS ESTRUCTURAL Sin importar el método de diseño que se utilice, la determinación de las solicitaciones en los elementos se realiza asumiendo un comportamiento lineal y elástico de la estructura hasta su carga última. Existen dos procedimientos para el cálculo de los momentos y cortantes en los elementos de estas estructuras: c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

57


Capítulo2

Análisis elástico Análisis aproximado

2.9.1 Análisis elástico Es un método de análisis analítico de elementos de pórticos, y estructuras continuas y no continuas, para la determinación de la resistencia (momentos, cortantes y reacciones) y las deformaciones de las estructuras sometidas a varios tipos de cargas. En las Figura 2.13 se muestran las ecuaciones y las condiciones para la determinación de la resistencia (momentos y cortantes) bajo condiciones de carga diversas.


58


Capítulo2

wu

wu





Mmax

1

Mmax =

8

Mmax

2

wu

Mmax

=

1 2

wu 

2

Vmax

Vmax

Vmax

=

wu  Pu

Vmax

Vmax

=

wu





2 Mmax

Pu

Mmax

=

PU × l

Vmax



Vmax

Mmax

=

Pu

wu2 w

Mmax

=

1 4

u1

wu 



Vmax Vmax

Vmax

=

Mmax

Mmax

=

(2wu1 + wu2 )



2

6

wu

2

Vmax

Vmax

=

( wu1 + wu 2 )



2

Figura 2.13. Diagramas y ecuaciones de momentos y cortantes en vigas

2.9.2 Análisis aproximado Es un método de análisis de elementos de pórticos y estructuras continuas mediante el uso de coeficientes de momento y cortante. Los coeficientes aproximadospueden ser utilizados en las condiciones mostradas en la Figura 2.14. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

59


Capítulo2 L D

≤ 1.2



n

≤3

n

Figura 2.14. Condiciones de análisis por coeficien tes (ACI 8.3.3) Estos coeficientes se muestran en Figura 2.15. 



n

2



n

2

n

2

wu  n

wu  n

wu  n

11

16

14





n

2

wu n

*

10



n

2

2

wu  n

wu n

11

11

2

wu n

n

2

wu  n

*

24

10

2

2



wu n

wu  n

9

16



n

2



2

2

n

2

2

wu  n

wu  n

wu  n

wu  n

wu  n

12

12

12

12

12



n

2



n



2

n

n

2

2

2

2

wu  n

wu  n

wu  n

wu  n

wu  n

wu  n

12

12

12

12

12

12





n



n

n

wu  n

1.15wu n

wu  n

wu  n

1.15wu n

wu  n

2

2

2

2

2

2

Figura 2.15. Coeficientes de Momentos y cortan tes (ACI 8.3.3) c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

60


Capítulo2

2.9.3 Ejercicios resueltos Ejemplo 2.6 Determinar los momentos y fuerzas de corte mayoradas de las viguetas del sistema de entrepiso nervurado del edificio de la Figura 2.16, utilizando el método de los coeficientes aproximados de momentos y corte. Las sección de las columnas interiores son de 45 45 cm, las exteriores son de 40 40 cm, el ancho de la vigas de borde es 50 cm, de las vigas interiores es 90 cm, la carga muerta de en los pisos es 650 Kg/m 2 e inlcuye el peso propio de los elementos, la carga viva es 300 kg/m 2 .

×

×

Figura 2.16. Edificio con entrepiso de viguetas del ejemplo 2.6

Solución 2.6 Objetivo Determinar el momento último y fuerza de corte última en las viguetas. Datos de diseño Son los siguientes: Tamaños preliminares Columnas interiores: 45 × 45 Columnas exteriores: 40 × 40 Vigas de borde, ancho: 50 cm Vigas interiores, ancho: 90 cm Espaciamiento de viguetas: 65 cm

Materiales hormigón: peso normal, 

fc = 210 Kg/cm 2 Acero: f y = 4200 Kg/cm 2

Resultados


61

Cargas Carga viva, LL = 300 Kg/m 2 Carga muerta, LD = 650 Kg/m 2


Capítulo2

Paso 1: Calcular la carga última , w u wu = 1,4D wu = 1,4

× 650 = 910 kg/m

2

wu = 1,2D + 1,6L

wu = 1,2(650) + 1,6(300) = 1260

× 0,65 m = 819 kg/m

Paso 2: Determinación de la longitud libre de cada tramo,  n Tramo exterior A-B, E-F n =  ejes n = 9

−

bborde b interior 2 2 0,50 0,90 = 8,30 m 2 2

−

−

−

Tramo interior B-C, D-E n =  ejes n = 9

−

− 2b

interior

2 0,90 2 = 8,10 m 2

n (izq) + n (der) 2 8,30 + 8,10 n (promedio) = = 8,20 m 2 n (promedio) =

Tramo interior C-D n =  ejes n = 9

− 2b

interior

2

− 2 0,90 = 8,10 m 2

Figura 2.17. Longitud n del edificio del ejemplo 2.6

Paso 3: Determinación de la carga de corte última mayorada , Vu Tramo exterior A-B, E-F 1 wu n 2 1 Vu (izq) = 819 8,30 = 3400 kg 2 Vu (izq) =


· · × × 62


Capítulo2 1,15 wu n 2 1,15 Vu (der) = 819 8,30 = 3910 kg 2 Vu (der) =

· · × ×

Tramo interior B-C, D-E 1 wu n 2 1 Vu (izq) = 819 8,10 = 3317 kg 2 Vu (izq) =

· · × ×

1 wu n 2 1 Vu (der) = 819 8,10 = 3317 kg 2 Vu (der) =

· · × ×

Tramo interior C-D 1 wu n 2 1 Vu (izq) = 819 8,10 = 3317 kg 2 Vu (izq) =

· · × ×

1 wu n 2 1 Vu (der) = 819 8,10 = 3317 kg 2 Vu (der) =

· · × ×

Paso 4: Determinación del momento último positivo , M u Tramo exterior A-B, E-F wu 2n 14 819 8,32 Mu+(centro) = = 4031 kg m 14

·

Mu+(centro) =

×

·

Tramo interior B-C, D-E wu 2n 16 819 8,12 + Mu (centro) = = 3359 kg m 16

·

Mu+(centro) =

×

·

Tramo interior C-D wu 2n 16 819 8,12 Mu+(centro) = = 3359 kg m 16

·

Mu+(centro) =

×


63

·


Capítulo2

Paso 5: Determinación del momento último negativo , Mu Tramo exterior A-B, E-F wu 2n 24 819 8,32 Mu (izq) = = 2351 kg m 24 Mu (izq) = −

·

×

−

Mu (der) = −

Mu (der) = −

·

wu 2n

·

10 8,22 819 = 5507 kg m 10

×

·

Tramo interior B-C, D-E wu 2n 11 819 8,22 Mu (izq) = = 5007 kg m 11 Mu (izq) = −

·

×

−

·

wu 2n 11 1260 8,12 Mu (der) = = 4885 kg m 11 Mu (der) = −

·

×

−

·

Tramo interior C-D wu 2n 11 819 8,12 Mu (izq) = = 4885 kg m 11 Mu (izq) = −

·

×

−

·

wu 2n 11 819 8,12 Mu (der) = = 4885 kg m 11 Mu (der) = −

·

×

−

·



Ejemplo 2.7 Determinar los momentos y fuerzas de corte mayoradas de las vigas del del edificio de oficinas la Figura 2.18, utilizando el método de los coeficientes aproximados de momentos y corte, y el método de análisis elástico (mediante el uso de software). Las sección de las columnas es cm, Las sección de las vigas es 25 50 cm

×


64

30

× 30


Capítulo2

Figura 2.18. Vista en planta del edificio del ejemplo 2.7

Solución 2.7 Objetivo Determinar el momento último y fuerza de corte última en las vigas A1-E1 y A2-E2. Datos de diseño Son los siguientes: Tamaños preliminares Materiales Cargas Columnas : 30 × 30 hormigón: peso normal, Carga viva, LL = Vigas: 25 × 50 fc = 210 Kg/cm 2 Altura planta baja; h piso1 = 3,20 m Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 Altura plantas superiores: hpiso = 2,8 m recubrimiento: r = 3 cm

250 Kg/m 2



γH o Ao = 2400 kg/m 3 γH o = 2304 kg/m 3 γyeso = 1120 kg/m 3 γladrilloh = 1200 kg/m 3

Resultados Paso 1: Análisis de cargas gravitacionales Revisión de las dimensiones de vigas Determinar la altura de viga , utilizando la viga de mayor longitud , según el código ACI 318-05 en el artículo 9.5.2.1:  Un extremo continuo hmin = 18,5 600 hmin = = 33 cm < 50 cm 18,5 h 50 b= = = 25 cm 2 2

−−−−−−−−−−−−−→ −→ Cumple !!


65


Capítulo2

Usar viga de 25 × 50 cm. Determinar la relación de luces de la losa L1-L6 , por ser la losa de mayor dimensión ∴

l <2 s

diseñar como

−−−−−−−−→ Losa en 2 direcciones 6,0 = 1,33 < 2 −→ Cumple !! 4,5 Diseñar como losa en dos direcciones. Establecer el espesor de las losas L1-L6 , según el código ACI 318-05 en el artículo 9.5.3.3, se utiliza la expresión: ∴





fy 14000 hmin = l 36 + 9 s 4200 600 0,8 + 14000 hmin = 600 36 + 9 450 n 0,8 +





 



= 13,75 cm

Usar en todo el sistema de entrepiso losas de espesor Determinación de cargas superficiales en las losas Carga muerta wD,losa = γH o Ao · hlosa = 2400 × 0,14 wD,ceramica = = 80 wD,contrapiso = γH o · ecp = 2304 × 0,03 ∴

wD,cielofalsoyeso wD,luminarias

γyeso · ecf = =

h losa = 14 cm .

= 336 kg/m 2 = 80 kg/m 2 = 70 kg/m 2 2

1120 × 0,02 = 23 kg/m 2 = = 15 = 15 kg/m wD = 524 kg/m 2

Cargas vivas = 75 kg/m 2 = 250 kg/m 2 = 325 kg/m 2 Determinación de cargas lineales sobre vigas Cargas muertas wD,viga = γH o Ao · bw · h = 2400 × 0,25 × 0,50 = 300 kg/m wL,particionprovisional wL,ocupacional wL

wD,muro = γladrilloh wladrilloh (hpiso hviga ) + (γyeso revint + γcemento revext )hmuro wD,muro = 1200 0,10 (2,80 0,50) + (1120 0,02 + 2080 0,02) 2,3 = 424 kg/m

×

·

·

×

−

−

·

×

×

Distribución de cargas superficiales sobre vigas Losa L1-L4 Cargas muertas:

×

·

Tramo corto wD

viga,s

→

= wD · s = 524 × 4,5 = 786 kg/m 3

Tramo largo wD

viga,l

→

=

wD s 3

· ·

3

−


3

(s /l )2 2

66



=

524



× 4,5 × 3 − (4,5/6) 3

2

2



= 958 kg/m


Capítulo2

Cargas vivas: Tramo corto wD

viga,s

→

=

wL s 325 4,5 = = 488 kg/m 3 3

=

wL s 3

Tramo largo wD

viga,l

→

·

×



2

· · 3 − (s /l ) 2



=

325



2

× 4,5 × 3 − (4,5/6) 3

2



= 595 kg/m



= 893 kg/m

Losa L2-L3 Cargas muertas: Tramo corto wD s 524 4 3 3 = = 699 kg/m

wD viga,s = Tramo largo →

wD

viga,l

→

· × wD · s · 3 − (s /l )

=



3

2

2





524 4 3

× × 3 − (4/6) 2

=

2


viga,s

→

=

wL s 325 4 = = 434 kg/m 3 3

=

wL s 3

Tramo largo wD

viga,l

→

·

×



2

· · 3 − (s /l ) 2



=

325 4 3



2

× × 3 − (4/6) 2



= 554 kg/m

Losa L5-L8-L9-L12 Cargas muertas: Tramo corto wD

viga,s

=

wD s 524 4,5 = = 786 kg/m 3 3

viga,l

=

wD s 3

→

·

×

Tramo largo wD

→



2

· · 3 − (s /l ) 2



=

524



× 4,5 × 3 − (4,5/5) 3

2

2



= 861 kg/m


viga,s

→

=

wL s 325 4,5 = = 488 kg/m 3 3

=

wL s 3

Tramo largo wD

viga,l

→

·

×



2

· · 3 − (s /l ) 2



=

325



2

× 4,5 × 3 − (4,5/5) 3

2



= 534 kg/m

Losa L6-L7-L10-L11 Cargas muertas: Tramo corto wD

·

=

viga,l

= wD · s

Tramo largo wD

wD s 524 4 = = 699 kg/m 3 3

viga,s

→

→

3


×

2

· 3 − (2s/l )



67



2 = 524 × 4 × 3 − (4/5) = 825 kg/m

3



2




Capítulo2


viga,s

→

=

wL s 325 4 = = 434 kg/m 3 3

=

wL s 3

Tramo largo wD

viga,l

→

·

×



2

· · 3 − (s /l ) 2



=

325 4 3



2

× × 3 − (4/5) 2



= 512 kg/m

La Figura 2.19 muestra el resumen gráfico de la distribución de cargas muertas y vivas de losas sobre vigas. wD

=

786

w L =488

wD

=

786

w L =488 wD

=

786

w L =488

wD

=

786

w L =488 wD

=

786

w L =488

wD

=

786

w L =488

wD

=

wD

69 9

w L =434

wD

=

w L=434

wD

69 9

w L =434

wD

=

=

wD

69 9

=

wD

69 9

=

69 9

=

w L=434

wD

69 9

w L =434

wD

69 9

=

w L=434

w L =434

wD

69 9

=

w L=434

w L =434

wD

69 9

=

69 9

w L =434

69 9

=

wD

=

786

w L=488

wD

=

786

w L =488 wD

=

786

w L =488

wD

=

786

w L =488 wD

=

786

w L=434

w L =488

wD

wD

69 9

=

w L=434

=

786

w L=488

Figura 2.19. Distribución de cargas sobre vig as del ejemplo 2.7 Establecer las cargas totales sobre la viga Cargas muertas wLD = w Li,D

viga

→

+ wD,viga + wD,muro

Cargas vivas wLL = w Li,L

viga

→

La Figura 2.20 muestra el resumen gráfico de cargas muertas y vivas totales sobre vigas.


68


Capítulo2

wD

=

1510

wD

=

wD

1423

=

1423

wD

1510

=

w L =488

w L =434

w L=434

w L=488

w D =2296

w D =2122

w D=2122

w D=2296

wL

wL

wL

=

97 6

w D =2296 wL

=

wD

=

97 6

1510

w L =488

=

86 8

=

86 8

w D =2122

w D=2122

wL

86 8

wL

=

1423

wD

=

wD

=

=

w L =434

wL

97 6

w D=2296

86 8

wL

1423

wD

w L=434

=

=

97 6

=

1510

w L=488

Figura 2.20. Cargas vivas y muertas totales sobre vigas del ejempl o 2.7

Paso 2: Determinar las carga últimas sobre las vigas La Figura 2.21 muestra la mayoración de cargas corresopondiente a la expresión 1,2 · wLD + 1,6 · wLL . wu

=

2593

w u =4317

w u =4317

wu

=

2593

wu

=

2402

w u=3936

=

=

2402

w u=3936

w u=3936

wu

wu

w u =3936

2402

wu

=

2402

wu

=

2593

w u=4317

w u=4317

wu

=

2593

Figura 2.21. Cargas últimas sobre vigas del ejemplo 2.7 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

69

wu =


Capítulo2

Paso 3: Determinar el cortante último, V u Los cálculos utilizando el método de coeficientes del ACI 8.3.3 se muestra en la Figura 2.22. wu  n =9714 kg 2

 n =4.5

1.15 w u n =7872 kg 2

 n =4

m

1.15

w u n =7872 k g 2

 n =4

m

m

 n =4.5

m

w u n =7872 kg 2

wu n =7872 kg 2

w u n =11171 kg 2

wun =11171 kg 2

w u n =9714 kg 2

Figura 2.22. Vu sobre vigas A-2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis aproximado Análisis elástico Definir las cargas muertas y vivas sobre la viga A2-E2 para establecer la disposición de carga viva como se definio en la sección 2.4.4

wD =2 29 6 kg /m

w D =2 12 2 k g/ m

wD =2 12 2 kg /m

w D =2 29 6 k g/ m

wL =9 76 kg /m

w L =8 68 kg /m

wL =8 68 kg /m

w L =9 76 kg /m

 n =4.5

m

 n =4

m

 n= 4

m

 n =4.5 m

Figura 2.23. Cargas vivas y muertas totales sobre viga A2-E2 del ejempl o 2.7 Los resultados utilizando un análisis elástico mediante software se muestra en la Figura 2.24.

 n =4.5 m

 n =4 m

 n =4 m

 n =4.5 m

Figura 2.24. Vu sobre vigas A-2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis elástico

Paso 4: Determinación de los momentos últimos, Mu Los cálculos utilizando el método de coeficientes del ACI 8.3.3 se muestra en la Figura 2.25. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

70


Capítulo2 2

2

wu n =8742 kg ⋅m 10

w u  2n =5726 kg ⋅m 11

w u  2n =5726 kg ⋅m 11

w u 2n =5726 kg ⋅m 11

w u  2n =5464 kg ⋅m 16

 n =4.5

m

wu n =8742 kg ⋅m 10 w u  2n =5464 kg ⋅m 16

 n =4

 n =4

m

w u 2n =3936 kg ⋅m 16

m

w u  2n =3936 kg ⋅m 16

w u  2n =6445 kg ⋅m 14

 n =4.5

m

w u  2n =6445 kg ⋅m 14

Figura 2.25. M u sobre vigas A2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis aproximado Los resultados utilizando un análisis elástico mediante software se muestra en la Figura 2.26 están basados en los patrones de disposición de carga viva de la sección 2.4.4. 79 42 kg ⋅ m 702 9 k g ⋅m 5598 kg ⋅m

702 9 k g ⋅m 570 5 k g ⋅m

 n =4.5

m

 n =4

794 2 k g ⋅m

57 05 k g ⋅m

559 8 k g ⋅m

 n =4

m

m

 n =4.5

m

34 49 kg ⋅ m

34 49 kg ⋅ m

59 64 kg ⋅ m

59 64 k g ⋅m

Figura 2.26. Mu sobre vigas A2-E2 del ejemplo 2.7 usando análisis elástico Los momentos mostrados en la Figura 2.27 corresponden a la envolvente generada por los patrones de disposición de carga viva. 79 42 kg ⋅ m 702 9 k g ⋅m 5598 kg ⋅m

 n =4.5

702 9 k g ⋅m 570 5 k g ⋅m

m

 n =4

794 2 k g ⋅m

57 05 k g ⋅m

m

 n =4

559 8 k g ⋅m

m

 n =4.5

m

34 49 kg ⋅ m

34 49 kg ⋅m 59 64 kg ⋅ m

59 64 k g ⋅m

Figura 2.27. Emvolvente de Mu sobre vigas A2-E2 del ejemplo 2.7 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

71


Capítulo2

Paso 5: Establecer la redistribución de momentos del análisis elástico , a fin reducir el reducir el refuerzo requerido. La sección de columnas usada será 30 × 30 y de las vigas 20 × 40. Para lo cual se determina el máximo porcentaje admisible de disminución o aumento de momentos negativos y positivos. Para el caso de MA = 5598 kg · m: Determinar el refuerzo de acero , As : −



0,85 fc b As = fy

· ·

As = 0,85

×4200 210

  ·  − − · · · ×  −  − ×× × 2 Mu φ 0,85 fc b

d2

d

20



352

35

2

0,9

5598(100) 0,85 210 20

Establecer la profundidad del bloque de compresión , a: a=

×



= 4,58 cm 2

As fy 4,58 4200 = = 5,39 cm 0,85 210 20 0,85 fc b

· · · 

×

×

Calcular la profundidad del eje neutro , c: c=

×

a 5,39 = = 6,34 cm β1 0,85

Determinar la deformación unitaria de tracción del acero en la fibra más alejada ,εt : εt = 0,003

− d

c

c

= 0,003



35

− 6,34

6,34



= 0,0135

El deformación unitaria neta de tracción del acero más traccionado para las demás secciones se obtiene de manera similar. El código ACI 318-05 en el artículo 8.4.1 especifica εt ≤ 20 % y no menor a 7,5 %. que esta permitido reducirlos el momento en 1000 La siguiente tabla resume resultadosnegativo del porcentaje de· redistribución.

Momentos negativos, Mu : −

Localización Apoyo Apoyo Apoyo Apoyo Apoyo

A B C D E

Mu [kg m]

5598 7942 5705 7942 5598

·

As [cm2 ]

a

c

[cm]

[cm]

εt [cm/cm]

4.58 5.39 6.34 0.0135 6.77 7.97 9.37 0 .0082 4.68 5.51 6.48 0.0132 6.77 7.97 9.37 0 .0082 4.58 5.39 6.34 0.0135

1000εt

13.5 8.2 13.2 8.2 13.5

% redistribución [ %]

13.5 8.2 13.2 8.2 13.5

Momentos positivos, Mu+:

Localización Tramo Tramo Tramo Tramo

Mu [kg m]

A-B 5964· B-C 3449 C-D 3449 D-E 9564

As [cm2 ]

4.91 2.73 2.73 4.91

a

c

[cm]

[cm]

5 .78 3 .21 3 .21 5 .78


6 .8 3.78 3.78 6 .8 72

εt [cm/cm]

0.0124 0.0247 0.0247 0.0124

1000εt

12.4 24.7 24.7 12.4

% redistribución [ %]

12.4 20 20 12.4


Capítulo2

Determinar el momento de diseño redistribuido

Localización Apoyo A 5598 5964 Tramo A-B Apoyo B 7942 Tramo B-C 3449 Apoyo C 5705 Tramo C-D 3449

Reducción o aumento Mu [kg m] [ %]

·

Apoyo D 7942 5964 Tramo D-E Apoyo E 5598

Momento de diseño [

-13.5 +12.4 -8.2 +20 -13.2 +20

4842 6704 7291 4139 4652 4139

-8.2 +12.4 -13.5

7291 6704 4842

kg m]

·



2.9.4 Ejercicios propuestos Ejercicio 2.1 En la Figura 2.28, se muestra las áreas de influencia de las columnas interior, de borde y de esquina de la planta tipo correspondiente a un edificio de 4 pisos destinado al uso de oficinas los pisos 3 y 4, y los pisos 1 y 2 serán para el uso de un gimnasio. Determinesé la carga viva reducida en caso de ser posible por m 2 de área apoyada en las columnas.

Figura 2.28. ejercicio 2.1 x 

Ejercicio 2.2 Determinar la fuerza de diseño del viento sobre el sistema principal de resistencia de fuerza-viento del edificio en las dos direcciones de los porticos de la Figura 2.29, la edificación es cerrada, la zona presenta una velocidad de viento de V = 170 km/h, la topografia presenta caracteristicas de una colina aislada, el desnivel del tereno H = 32 m, la distancia a barlovento c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

73


Capítulo2

de la cresta hasta donde la diferencia en la elevación del terreno es la mitad de la altura de de la colina es L h = 60 m, la distancia de la cresta hasta la edificación es de x = 15 m la estructura está localizada en una zona abierta.


la presión dinámica externa del viento sobre la cubierta de dos aguas Ejercicio 2.3 Determinar correspondiente, de ancho 20 m, la altura de las columnas es de 11 , la altura de la cubierta es 4,5 m el edificio está destinado para un centro esencial para operaciones en desastres, si la zona presenta una velocidad de viento de V = 120 km/h, la topografia es escarpada, el terreno se halla en una zona suburbana, la dirección del viento es normal a la guarnición. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

74


Capítulo2


Ejercicio 2.4 Determinar la presión dinámica externa del viento sobre la cubierta de dos aguas del ejercicio 2.3 sobre los muros de barlovento y sotavento si las dimensiones en planta son x 

20

× 15 m.

Ejercicio 2.5 Determine las cargas de diseño de la nieve para el techo del ejercicio

2.3. Considere que la carga de nieve a nivel del suelo es de 130 kg/m 2 , debido a la existencia de árboles cerca del x edificio, supóngase que el factor de exposición es de C e = 1. 

Ejercicio 2.6 Determine las cargas de diseño de la nieve para el techo del ejercicio

2.2. Considere que la carga de nieve a nivel del suelo es de 80 kg/m 2 , supóngase que el factor de exposición es de x Ce = 1,1. 

Ejercicio 2.7 Determinar las carga de nieve de diseño para una cubierta plano de un edificio con una carga de nieve a nivel del suelo de 90 kg/m 2 . La cubierta alta de no ventilada de 25,8 m de ancho y 18 m de ancho está calefaccionada. El edificio está en campo abierto y plano, sin árboles u x otras estructuras que ofrezcan protección. 

Ejercicio 2.8 Determinar la carga de nieve de diseño para un auditorio de 200 personas. Grandes áarboles de hojas caducas están ubicados en un área cerca de la entrada. La cubierta de dos aguas no ventilada tiene una pendiente de 32 , revestida con tejas coloniales. La longitud del edificio es x de 27 m  ◦

Ejercicio 2.9 Una columna de un edificio está sometido a las siguientes cargas: carga muerta de compresión de 24500 kg, la carga viva de compresión de piso es 10340 g, la carga viva de techo en compresión es de 4270 kg, la carga de nieve en compresión es de 4500 kg. Determinar la combinación de cargas gobernante, y la correspondiente carga mayorada. Asi mismo, si el factor de reducción de x resistencia φ es de 0.65, Cuál es la resistencia nominal requerida?. 

Ejercicio 2.10 Una viga es parte de un sistema estructural del entrepiso de un edificio de oficinas

públicas. El entrepiso está sometido a cargas muertas y cargas vivas. El momento máximo causado por la carga muerta de servicio es de 7200 kg m, el momento máximo por carga viva de servicio es de 9350 kg m (estos momentos se presentan en la misma posición sobre la viga y por ello pueden combinarse). Determine el momento máximo flexionante mayorado. Cuál es la combinación

·


·

75


Capítulo2

de cargas que gobierna?. Si el factor de reducción de resistencia por momento nominal requerida?.

φ es de 0,9. Cuál es la resistencia x 

Ejercicio 2.11 Determinar los momentos y fuerzas de corte mayoradas de las viguetas del sistema de entrepiso nervurado del edificio de la Figura 2.31, utilizando el método de los coeficientes aproximados de momentos y corte. Las sección de las columnas interiores son de 40 40 cm, las exteriores son de 30 30 cm, el ancho de la vigas de borde es 40 cm, de las vigas interiores es 70 cm, la carga muerta de en los pisos es 300 Kg/m 2 e inlcuye el peso propio de los elementos, la carga viva es 250 kg/m 2 .

×

×

Figura 2.31. Edicifio con entrepiso de viguetas del ejercicio 2.11 x 


76

CAPÍTULO

3

ANALISIS Y DISEÑO A FLEXION EN VIGAS

3.1 INTRODUCCION Las cargas que actúan, en una estructura, ya sean cargas vivas de gravedad o de otro tipos, tales como cargas horizontales de viento o las debidas a contracción y temperatura, generan flexión y deformación de los elementos estructurales que la constítuyen. La flexión del elemento viga es el resultado de la deformación causada por los esfuerzos de flexión debida a cargas externas que actúan perpendiculares a su eje mayor.

3.1.1 Objetivos de este capítulo Despues de terminar el presente capítulo, el estudiante podrá: 1. Identificar la diferencia de comportamiento entre las vigas homogeneas y las de hormigón armado. 2. Definir los tipos de falla que se presentan en las vigas de hormigon armado. 3. Entender las condiciones para el uso de la formula de flexión en la determinación de la resistencia nominal. 4. Definir y diferenciar las tres condiciones de falla que se presentan en el estado limite de resistencia: condición de deformación balanceada, secciones controladas por la compresión y secciones controladas por la tracción. 5. Conocer y aplicar el concepto de vigas con solo armadura de tracción en la solución de problemas de diseño y análisis de vigas que soporten con seguridad una cierta carga. 6. Entender las cuatro razones que motiv an el empleo del refuerzo de compresión . 7. Comprender que existe dos casos de análisis y diseño de vigas con armadura de compresión , el primero cuando el acero de compresión fluye y el otro cuando el acero no fluye. 8. Conocer y aplicar el concepto de vigas con armadura de compresión en la solución de problemas de diseño y análisis de vigas que soporten con seguridad una cierta carga. 77


Capítulo3

9. Conocer y aplicar el concepto de vigas T, L en la solución de problemas de diseño y análisis de vigas que soporten con seguridad una cierta carga.

3.2 TEORIA BASICA DE FLEXION 3.2.1 Teoria de flexión en vigas elásticas y homogéneas Una viga es un elemento estructural que soporta cargas transversales (es decir, perpendiculares a su eje) y su peso propio por medio de momentos y fuerzas cortantes internas. La figura 3.1(a) muestra un viga simplemente apoyada que soporta su peso propio, w , por unidad de longitud, y la aplicación de una carga concentrada, P .

Figura 3.1. Estatica de viga simplem ente apoyada El esfuerzo de flexión máximo ocurre en las fibras exteriores y es igual a: σmax =

M c M = I S

·

(3.1)

Donde: c = distancia desde el eje neutro hasta la fibra exterior. S = I /c = modulo elástico de la sección transversal.

3.2.2 Teoría de flexión en vigas de hormigón armado Etapa de esfuerzos elásticos y hormigón no agrietado El primer estado se define bajo cargas pequeñas , cuando los esfuerzos solicitantes de tracción en el hormigón son inferiores a la resistencia del hormigón según su modulo de rotura, la sección transversal total de la viga resiste la flexión, con tracción en su parte inferior y compresión en su parte.


78


Capítulo3

fc

ε

c

ε

s

fs fct

ε

t

Figura 3.2. Etapa de esfuerzos elásticos y hormigón no agriet ado

Etapa de esfuerzos elásticos y hormigón agrietado Las grietas se presentan en aquellos lugares a lo largo de la vida, donde el momento actual es mayor que el momento de agrietamiento tal como se muestra en la Figura 3.3(a).

ε

c

fc

ε

s

fs ε

t

Figura 3.3. Etapa de esfuerzos elásticos y hormigón no agriet ado

Etapa de resistencia última Al continuar incrementando la carga aún más , de manera que los esfuerzos de compresión resultan mayores que 0,5fc , las grietas de tracción se desplazan aún más hacia arriba , al igual que lo hace el eje neutro, la relación de esfuerzos en el hormigón ya no es lineal y se supondrá que las barras de refuerzo han fluido , la variación de los esfuerzos es parecida a la que se muestra en la Figura 3.4, finalmente se produce la falla del elemento. 


79


Capítulo3

fc

εc

> εy

ε

fs εt

Figura 3.4. Etapa de resistencia última Modos de falla La Figura 3.5 muestra la relación entre la deformación del acero y la máxima deformación del hormigón . ε

ε

c

=

0.003

y

Figura 3.5. Distribución de deformaciones y modos de falla en elementos flexionados Los modos de falla que se presentan de la sección de una viga de hormigón armado son:

Falla balanceada La falla ocurre cuando: s =  y y fs = f y

(3.2)

s < y y fs < fy

(3.3)

s > y y fs > fy

(3.4)

Falla frágil La falla ocurre cuando: Falla dúctil La falla ocurre cuando: Donde:  y es el valor de la deformación para el cual se inicia la fluencia del acero. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

80


Capítulo3

3.3 SUPOSICIONES DE DISEÑO PARA DETERMINAR LA RESISTENCIA NOMINAL A FLEXION El cálculo de la resistencia de un elemento o de una sección transversal mediante el método de diseño por resistencia exige que se satisfagan dos condiciones básicas : (1) equilibrio estático y (2) compatibilidad de las deformaciones.

3.3.1 Suposición de diseño No 1 Las deformaciones unitarias en la armadura y en el hormigón deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro . ver Figura 3.6. ε

u

,

ε

'

s

A

ε

s

Figura 3.6. Variación de la deformación unitaria,  (ACI 10.2.2)

3.3.2 Suposición de diseño No 2 La máxima deformación utilizable en la fibra extrema sometida compresión del hormigón se supone igual a 0,003.

3.3.3 Suposición de diseño No 3 

Cuando  s < y : 



fs = E s s

· As · fs = A s · Es · s 



(3.5a) (3.5b)

Cuando  s ≥ y : f s = E s y fs = f y

·

As fs = A s fy

·

·

La relación Esfuerzo- deformación real del acero se muestra en la Figura 3.7.


81

(3.6a) (3.6b) (3.6c)


Capítulo3

fs

fy

Es

ε

y

ε

s

Figura 3.7. Relación Esfuerzo - deformación real y de diseño del acero (AC I 10.2.4)

3.3.4 Suposición de diseño No 4 La resistencia a la tracción del hormigón es nula y no debe considerarse en el cálculo de elementos de hormigón armado sometidos a flexión.

3.3.5 Suposición de diseño No 5 La relación entre la distribución de los esfuerzos de compresión en el hormigón y la deformación unitaria del hormigón se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que de srcen a una predicción de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos representativos, tal como se ilustra en la Figura 3.8. ε

u

f

`

Cc

T

ε

=

As fsu

u

Figura 3.8. Condiciones reales del Esfuerzo-deformación para resistencia nominal en elementos solicitados a flexión (ACI 10.2.6)

3.3.6 Suposición de diseño No 6 La distribución real de los esfuerzos en la sección tiene una forma parabólica Whitney propuso que esta forma real sea asumida como un bloque rectangular cuyas características se muestran en la Figura 3.9.


82


Capítulo3 εu

=

0.003

f`

f` Cc

a/2 a = β1c

Cc

⎛ a⎞ ⎜⎜⎜d − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ T

=

T

As fy

=

A fy

εs > εy

Figura 3.9. Distribución real y rectangular equivalente de esfuerzos para carga última del hormigón (ACI 10.2.7) Según el código ACI 318-05 en el artículo 10.2.7 los requisitos de la hipótesis No 5 se satisfacen con una distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el hormigón, definida como sigue: 1. La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima al eje neutro, c, se debe medir en dirección perpendicula r al eje neutro. 2. La relación de a y c es: (3.7)

a = β1 c

·

3. El valor de β 1 es igual a: 

para 0 < fc ≤ 280 Kg/cm 2

0,85 β1 =

 



0,85

− 0,05 fc −70280

para 280 Kg/cm 2 < fc ≤ 560 Kg/cm 2 

(3.8)

para f c ≥ 560 Kg/cm 2 

0,65

3.4 REQUERIMIENTOS DE DUCTILIDAD El código ACI 318-05 en el artículo 10.3.4 define a una sección como controlada por la tracción cuando la deformación neta de tracción,  t , en el acero extremo a tracción es igual o es mayor a la deformación de 0,005, y cuando el hormigón a compresión alcanza la deformación límite asumida de 0,003, es decir: c = 0,003 ,y  t ≥ 0,005 (3.9) La Figura 3.10 ilustra las condiciones de traccióny deformación en el limite correspondiente a secciones controladas por la tracción .

3.4.1 Cuantia geométrica por tracción Por semejanza de triangulos se tiene: ct = =


u dt u + t 0,003 dt 0,003 + 0,005

83


Capítulo3 εu

ct

=

=

0.003

f`

3 dt 8

at

=

at

β1ct

Ct

=

/2

' fba 0.85 c

t

dt

T=A sf y εt

=

0.005

Figura 3.10. Deformación unitaria limite en secciones controladas por la tracción (ACI 10.3.4) Simplificando y realizando operaciones se tiene: 

3 f 0,85 c β1 8 fy

ρt =

(3.10)

3.4.2 Cuantia mecánica por tracción Sustituyendo la ecuación 3.10 en la ecuación de cuantia mecánica ωt = ρ t 

ωt

=

El coeficiente de Resistencia nominal, Rn :



3 f 8 0,85 fyc β1



fy fc 

Mn b d2

Rn =

(3.11a)

·

φ Rn =

·



fy , resulta: fc

φ Mn b d2

· ·

(3.11b)

El coeficiente de resistencia nominal para secciones contr oladas por la tracción, Rn,t: Rn,t = ω t (1



φ Rn,t = φ ωt (1

·

·

84



− 0,59ωt) · fc

En la Tabla 3.1 se indican los valores de ρ t , ωt , y R nt .


(3.11c)

− 0,59ωt) · fc

(3.11d)


Capítulo3

Tabla 3.1. Parametros de diseño, en el limite de la deformación de t = 0,005, en secciones controladas por la tracción ’

fc

210 Kg/cm 250 Kg/cm 280 Kg/cm 350 Kg/cm 420 Kg/cm 560 Kg/cm 700 Kg/cm

β1

0. 85 .02032 .01355 .01094 .2709 48 43

²

2,800 Kg/cm ρt 4,200 Kg/cm 5,200 Kg/cm ωt

² ² ²

Rnt= [Kg/cm²] φRnt= [Kg/cm²]

²

0.85 .02419 .01613 .01303 .2709 57 51

²

0. 85 .02709 .01806 .01459 .2709 64 58

²

²

²

²

0.80 0. 75 0.65 0. 65 .03188 .03586 .04144 .05180 .02125 .02391 .02763 .03453 .01716 .01931 .02231 .02789 .2550 .2391 .2072 .2072 76 86 102 127 68 77 92 114


3.4.3 Armadura máxima en elementos solicitados a flexión El codigo ACI 318-05 controla el limite de la cantidad de armadura en terminos de la deformacion unitaria neta de traccion ,  t , y no en terminos de la relacion balanceada ρ/ρ b como ocurria antiguamente.

Relación entre t y ρ Con referencia a la Figura 3.11 ,por semenjanza de triangulos la relación entre el eje neutro c y la profundidad del acero más traccionado es: εu

=

0.003

f`

a

=

β1c

C

' 0.85 fba c

=

T=As fy εt

Figura 3.11. Relación entre la deformación y la tracción c 0,003 = d 0,003 + t

(3.12)

Realizando operaciones, se tiene: 

0,003 f 0,85β1 c 0,003 + t fy

ρ=

(3.13)

Cuantia máxima útil de tracción, ρt Según el codigo ACI 318-05 10.3.4, el limite de la deformación unitaria neta de tracción , t , en elementos solicitados a flexión para secciones controladas por tracciónes: t

≥ 0,005 → φ = 0,9


85

(3.14)


Capítulo3

La armadura máxima útil: 

As,t =

3 f 0,85β1 c b d 8 fy

· ·

(3.15)

Cuantia máxima, ρmax El codigo ACI 318-05 10.3.5, permite porcentajes de armadura más elevados que producen tambien deformaciones unitarias netas a tracción , definiendo como limite de la armadura máxima en un elemento para la resistencia nominal un valor de t mayor a 0,004, en estas condiciones φ se reduce a 0,812. Es decir: t,max

La relación de armadura máxima :

≥ 0,004 → φ = 0,812

(3.16)



As,max =

3 f 0,85β1 c b d 7 fy

· ·

(3.17)

3.4.4 Armadura mínima en elementos solicitados a flexión El codigo ACI 318-05 10.5.1 permite dos formas de satisfacer el limite inferior de armadura:

As,min

  ≥  ·



0,8 fc bw d fy 14 bw d fy

·

(3.18)

As,provista, noaeslaaplicable consideración el area Excepción de armadura de La tracción es mayordeencarga 30 %mínima respecto armaduracuando, necesaria por adoptada cálculo A s,requerida ACI 318-05 10.5.3,es decir: As,provista ≥ 1,3As,requerida (3.19)

3.5 FACTORES GENERALES QUE AFECTAN EL DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES 3.5.1 Deflexiones excesivas Los elementos de hormigón armado sometidos a flexión deben diseñarse para que tengan una rigidez adecuada, limitando las deflexiones de los diferentes elementos.

Alturas mínimas La Tabla 3.2 presenta un conjunto de recomendaciones para hallar la altura mínima de vigas y losas armadas en una dirección dependiendo de sus condiciones de apoyo y corresponde a la Tabla 9.5(a) del código ACI 318-05.


86


Capítulo3

Tabla 3.2. Alturas o espesores mínimos de vigas o losas reforzadas en una dirección cuando no se calculan las deflexiones Simplemente apoyado

Un extremo Ambos Extremos En voladizo continuo continuos

Elementos que no soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de da ñarse debido a deflexiones grandes

Tipo de elemento

Losas macizas en una dirección Vigas o losas nervadas en una dirección









20

24

28

10









16

18.5

21

8

(Véase en Building Code Requierements for Structural Concrete (ACI318-05) and Comentary (ACI 318R-05),

NOTAAmerican concrete Institute, 2004, pagina 112)

Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal wc = 2400 Kg/cm 2 y refuerzo con fy = 4200 Kg/cm 2 . Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue: Para concreto liviano estructural de peso unitario w c dentro del rango de 1500 a 2000 kg/m 3 los valores de la tabla deben multiplicarse por 1,65 − 0,0003wc , pero no menos de 1,09. Para f y distinto de 4200 Kg/cm 2 , los valores de esta tabla deben multiplicarse por 0,4 + f y/7000.

3.5.2 Ancho de fisuración Una fisura es una separación completa o incompleta entre dos o más rotura o agrietamiento del hormigón.

partes provocada por

Control del ancho de fisuras El control de las fisuras por flexión en vigas y losas en una dirección segú el código ACI 318-05 en el artículo 10.6.4 para evitar el anchoaexcesivo las fisuras, espaciamiento s del refuerzo más cercano la cara dede tracción .

maneja en términos de

El espaciamiento del refuerzo más cercano a una superficie en tracción, s , no debe ser mayor que el dado por: s = 38

·

 − 2800 fs

2,5cc

≤ 30 ·

  2800 fs

(3.20)

Donde: cc = Recubrimiento efectivo medido desde la cara del elemento en tracción hasta la superficie del refuerzo a flexión en cm. fs = Esfuerzo de servicio (calculado) en el acero de refuerzo en Kg/cm 2 . Según el ACI 318-05 el esfuerzo fs es igual a: fs =

2 fy 3

(3.21)

3.5.3 Formas típicas de ubicación y colocado del refuerzo La armadura debe ser colocada donde la flexión, las cargas axiales, los esfuerzo de retracción, etc, causan tsesfuerzos de tracción para que de esta manera se puedan resistir las fuerzas que actúan sobre la estructura o el elemento considerado. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

87


Capítulo3

En la Figura 3.12 se da el caso de una viga simplemente apoyada , que de acuerdo al diagrama de momentos flectores se evidencia que el refuerzo debe ser localizado lo mas cerca de la fibra inferior. wu

Mmax

Figura 3.12. Localización del acero de refuerzo en vigas simpleme nte apoyadas En la Figura 3.13 se da el caso de una viga en voladizo , que de acuerdo al diagrama de momentos flectores se evidencia que el refuerzo debe ser localizado lo mas cerca de la fibra superior. wu

Mmax

Figura 3.13. Localización del acero de refuerzo en viga s en voladizo En la Figura 3.14 se da el caso de una viga continua, que de acuerdo al diagrama de momentos flectores se evidencia que el refuerzo debe ser localizado lo mas cerca de la fibra superior en la parte central y lo mas cerca de la fibra inferior en los apoyos.


88


Capítulo3

n

n

n

wu

Figura 3.14. Localización del acero de refuer zo en vigas continuas

3.6 ANALISIS Y DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES QUE SOLO TIENEN ARMADURA DE TRACCIÓN Usando la viga de la figura 3.15, la resistencia nominal al momento Mn se puede calcular en base a la condicion de equilibrio de fuerzas y momentos . εu

=

0.003

f` a/2 a = β1c

Cc

⎛ a⎞ jd=⎜⎜d- ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎠

T

=

As fy

εs > εy

Figura 3.15. Fuerzas y Esfuerzos en viga rectangu lar con armadura solo a tracción


89


Capítulo3

3.6.1 Ecuaciones de Mn y φMn Condición de equilibrio de fuerzas La profundidad a, del bloque rectangular equivalente de esfuerzos es: As fy 0,85fc b

·

a=



(3.22)

·

Condición de equilibrio de momentos Ecuación de momento Mn basado en Mn = T jd La sumatoria de momentos alrededor de la línea ·de acción de la fuerza de compresión, figura 3.15 resulta:

C en la

Mn = A s fy

(3.23a)

  · · −  · ·  −  a 2

d

φMn = φ As fy

a 2

d

(3.23b)

Ecuación de momento Mn basado en Mn = C · jd

 

Sustituyendo C = (0,85 · fc ) · b · a y j d = d − a2 se tiene: 

 

(3.24a)

· · · d − a2

(3.24b)

· · · d − a2



Mn = (0,85 fc ) b a

·



φMn = φ (0,85 fc ) b a

·



 

Equilibrio de fuerzas y momentos Considerando, que:

a=



Mn = As fy

·

As fy 0,85fc b

·

(3.22)



· − · d

a 2

(3.23b)

Y reemplazando a de la condición de equilibrio de fuerzas, ecuación 3.22 en la ecuación 3.23b de momento nominal, se tiene:

−

φ Mn = φ As fy d

·

· ·

0,59

As fy fc b 

· ·



(3.26)

3.6.2 Ecuaciones adimensionales del Mn La razón de refuerzo mecánico se define como: ω= c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

ρ fy fc

·

90



(3.27)


Capítulo3

Reemplazando la relación de cuantia mecánica ω = ρ 

Mn = ωfc b d2 (1

· ·

fy , se obtiene: fc 

(3.28)

− 0,59 · ω)

Realizando operaciones, resulta: Mn = ω(1 fc b d2 

(3.29)

− 0,59 · ω)

·

Reemplazando M u = φM n en la ecuación 3.29, se tiene: Mu = ω(1 φ fc b d2 

· · ·

(3.30)

− 0,59 · ω)

Resistencia a flexión de secciones rectangulares solo con armadura a tracción La Tabla 3.3, la cual se basa en la ecuaciónes 3.29 y 3.30, ayuda al diseño o la investigación de secciones que solamente tienen armadura de tracción en las cuales se conocen los valores b y d. M

M

u n Tabla 3.3. Resistencia a flexión o de secciones rectangulares solo φ · f c · b · d2 fc · b · d2 con armadura a tracción 

ω

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31



0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

.0000 .0099 .0198 .0295 .0391 .0485 .0579 .0671 .0762 .0852 .0941 .1029 .1115 .1200 .1284 .1367 .1449 .1529 .1609 .1687 .1764 .1840 .1914 .1988 .2060 .2131 .2201 .2270 .2337 .2404 .2469 .2533

.0010 .0109 .0207 .0304 .0400 .0495 .0588 .0680 .0771 .0861 .0950 .1037 .1124 .1209 .1293 .1375 1457 . .1537 .1617 .1695 .1772 .1847 .1922 .1995 .2067 .2138 .2208 .2277 .2344 .2410 .2475 .2539

.0020 .0119 .0217 .0314 .0410 .0504 .0597 .0689 .0780 .0870 .0959 .1046 .1132 .1217 .1301 .1384 .1465 .1545 .1625 .1703 .1779 .1855 .1929 .2002 .2074 .2145 .2215 .2283 .2351 .2417 .2482 .2546

.0030 .0129 .0227 .0324 .0419 .0513 .0607 .0699 .0789 .0879 .0967 .1055 .1141 .1226 .1309 .1392 .1473 .1553 .1632 .1710 .1787 .1862 .1937 .2010 .2082 .2152 .2222 .2290 .2357 .2423 .2488 .2552

.0040 .0139 .0237 .0333 .0429 .0523 .0616 .0708 .0798 .0888 .0976 .1063 .1149 .1234 .1318 .1400 .14 81 .1561 .1640 .1718 .1794 .1870 .1944 .2017 .2089 .2159 .2229 .2297 .2364 .2430 .2495 .2558

.0050 .0149 .0246 .0343 .0438 .0532 .0625 .0717 .0807 .0897 .0985 .1072 .1158 .1242 .1326 .1408 .1489 .1569 .1648 .1726 .1802 .1877 .1951 .2024 .2096 .2166 .2236 .2304 .2371 .2437 .2501 .2565

.0060 .0158 .0256 .0352 .0448 .0541 .0634 .0726 .0816 .0906 .0994 .1081 .1166 .1251 .1334 .1416 1497 . .1577 .1656 .1733 .1810 .1885 .1959 .2031 .2103 .2173 .2243 .2311 .2377 .2443 .2508 .2571

.0070 .0168 .0266 .0362 .0457 .0551 .0644 .0735 .0825 .0914 .1002 .1089 .1175 .1259 .1343 .1425 .1505 .1585 .1664 .1741 .1817 .1892 .1966 .2039 .2110 .2180 .2249 .2317 .2384 .2450 .2514 .2577

.0080 .0178 .0275 .0371 .0466 .0560 .0653 .0744 .0834 .0923 .1011 .1098 .1183 .1268 .1351 .1433 .1513 .1593 .1671 .1749 .1825 .1900 .1973 .2046 .2117 .2187 .2256 .2324 .2391 .2456 .2520 .2583

.0090 .0188 .0285 .0381 .0476 .0569 .0662 .0753 .0843 .0932 .1020 .1106 .1192 .1276 .1359 .1441 .1521 .1601 .1679 .1756 .1832 .1907 .1981 .2053 .2124 .2194 .2263 .2331 .2397 .2463 .2527 .2590



91


Capítulo3

NOTAS Mu  φ·fc ·b·d2

fy

= ω(1 − 0,59ω), siendo ω = ρ f



c

Para el diseño: Usando el momento mayorado M u , ingresar a la tabla con 

Mu  φ·fc ·b·d2

; hallar ω y calcular

fc fy

el porcentaje de acero ρ = ω . Para la investigación: Ingresar a la tabla con resistencia nominal, M n .

fy

ω = ρ f ; hallar el valor de

Mn  fc ·b·d2



c

y resolver para la

3.6.3 Cálculo del área de refuerzo 

Una vez conocido la resistencia de hormigón a flexión simple fc , la resistencia de fluencia del fy , el momento ultimo requerido M u , las dimensiones de la sección transversal b y d, el cálculo acero del área de refuerzo se realiza:

Por proceso iterativo de la ecuación general de flexión simple Reemplazando en la ecuación ?? :

−

Mn = A s fy d

·

As fy 2 0,85 fc b

·

·



· ·



Multiplicando a ambos lados de la relación por φ y sustituyendo la relación φM n = M u , se obtiene la ecuación general de flexión simple:

−

As fy 2 0,85 fc b

Mu = φ As fy d

· ·

·

·



· ·



(3.32)

Paso 1: Se reemplaza los valores fc , f y , Mu , d y b en la ecuación 3.32. 

Paso 2: El calculo de As se realiza resolviendo la ecuación 3.32, por procedimentos numericos manuales (Newton Raphson, método de muller,etc), utilizando calculadoras avanzadas manuales con sistemas CAS (TI-92 de Texas Instruments, HP-49GX, IPAQ 5220 de Hewlett Packard, etc) o usando computadoras personales con sistemas CAS (Mathematica, Matlab, Maple, Derive, Mathcad, etc).

Por resolución directa de la ecuación general de flexión simple Utilizando la ecuación 3.32:

−

Mu = φ As fy d

· ·

As fy 2 0,85 fc b





·

·

·



· ·

Factorizando terminos, se obtiene: Mu = φ As fy d

· · · − φ · As · fy

As fy 2 0,85 fc b

·



· ·



Realizando operaciones y simplificando, el refuerzo puede ser calculado con:

· ·

 


92



0,85 fc b As = fy

d

−

d

2

2 Mu φ 0,85 fc b

− ·

·



· ·



(3.34)


Capítulo3

Utilizando la cuantia mecánica La cantidad de acero se calcula utilizando la expresión: Mu = ω(1 φ fc b d2 

· · ·

Paso 1: Reemplazar el M u , φ , f c , b y d en 

− 0,59ω)

Mu . φ fc b d2 

· · ·

Paso 2: Ingresar con este valor a la Tabla 3.3 y determinar el valor ω . 

Paso 3: Hallar el porcentaje de acero ρ = ω ·

fc . fy

Paso 4: Calcular el area de acero con: A s = ρ · b · d.

3.6.4 Ejercicios resueltos Ejemplo 3.1 Una viga simplemente apoyada de 6,5 metros de luz, sección rectangular de 20x40 cm, soporta su peso propio, una carga muerta de 150 Kg/m 2 , carga viva correspondiente a una habitación pública de un edifcio multifamiliar y con un area tributaria de 6,5 m 2 Ver Figura 3.16 Considerando el estado de carga mas desfavorable calcular la armadura necesaria en su area crítica. LL= 500 Kg/m2

LD= 150 Kg/m2

Figura 3.16. Viga simplemente apoyada de n = 6,5 m del ejemplo 3.1

Solución 3.1 Objetivo Determinar el número y diametro de las barras de acero. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Base, b = 20 cm hormigón: peso normal, Carga viva, LL = 500 Kg/m 2 fc = 250 Kg/cm 2 Altura, h = 40 cm Carga muerta, LD = 150 Kg/m 2 Luz,  = 6,5 m Acero: Grado 60 ( f y = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento 3,8 cm φest = 0,8 (Asumir) ≥ 

Resultados


93


Capítulo3

Paso 1: Analisis de cargas gravitacionales Carga muerta Peso de viga: wD,viga = 2400 · 0,2 · 0,4 = 192 Kg/m LD · Atributaria 150 · 6,5 Carga muerta adicional: w D,adicional = = = 150 Kg/m  6,5 Carga muerta total = wD,total = wD,viga + wD,adicional = 192 + 150 = 342 Kg/m Carga viva LL · Atributaria 500 · 6,5 Peso de carga viva: w LL,viga = = L viga = = 500 Kg/m 

6,5

Paso 2: Calcular la carga última , w u wu = 1,4 wLD wu = 1,4(342) = 479 kg/m wu = 1,2 wLD + 1,6 wLL

· ·

·

wu = 1,2(342) + 1,6(500) = 1211 kg/m

Paso 3: Calcular la resistencia última al momento flector , M u requerida 1 wu 2 8 1 Mu = 1211(6,5)2 = 6395,6 K g m 8 Mu =

·

·

wu = 1211 Kg/m

Mu = 6395 .6 kg⋅ m

Figura 3.17. Diagrama de momento flector y carga última del ejemplo

Paso 4: Diseño por flexión

d=h

− r − φest − φ long = 40 − 3,0 − 0,8 − 1,6/2 2

d = 35,4 cm

El calculo de acero , A s , se realiza utilizando: (a)La solución directa de la ecuación de segundo grado , ecuación 3.60. 

As =

0,85 fc b

· ·

fy =

d

0,85 250 20 4200

·

2 Mu

·

d2 35,4

−

As = 5,15 cm 2 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo



φ 0,85 fc b

 −  − · · 94

35,42



· · − 0,92 ·· 6395,6(100) 0,85 · 250 · 20



3.1


Capítulo3

(b)La cuantia mecánica Mu 6395,6(100) Calular = = 0,1134 0,9 · 250 · 20 · (35,4)2 φ · f c · b · d2 Ingresando al cuerpo principal de la Tabla 3.3 se tiene: 

Mu φ fc b d2

ω



· · ·

0.1132 0.1134 0.1141



0,123 0,1141 ω = 0,1222 ω=

− 0,122 − 0,1132



0.122 ω

0.123

(0,1134

− 0,1132) + 0,122



ρ=ω

fc 250 = 0,1222 fy 4200

·

ρ = 0,00727 As = ρ b d = 0,00727 20 35,4

· ·

As (requerida) = 5,15 cm 2

· ·

As (provista) > As (requerida) 7φ10

2

cumple !

2

cumple !

2

cumple !

−→ As (provista) = 5,50 > As (requerida) = 5,15 cm −→ 5φ12 −→ As (provista) = 5,65 > As (requerida) = 5,15 cm −→ 3φ16 −→ As (provista) = 6,03 > As (requerida) = 5,15 cm −→

Paso 5: Revision de limites de acero de refuerzo máximo, máximo útil, mínimo 

β1 = 0,85 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2



ρmax =

3 f 3 250 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0184 7 7 4200 fy

ρt =

3 f 3 250 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0161 8 fy 8 4200



ρmin

  ≥ 

√



0,8 fc 0,8 250 = = 0,0030 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200


95


Capítulo3 As,max = 0,0184 20 35,4 = 13 ,03 cm

· · · · As,min = 0,0033 · 20 · 35,4 = 2,34 cm

2

As,t = 0,0161 20 35,4 = 11 ,40 cm 2 2

As,min < As < As,t < As,max

para 7φ10 −→ 2,34 < As = 5,50 < 11,40 cm2 −→ cumple ! para 5φ12 −→ 2,34 < As = 5,65 < 11,40 cm 2 −→ cumple ! para 3φ16 −→ 2,34 < As = 6,03 < 11,40 cm 2 −→ cumple !

Paso 6: Determinacion del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo. fs =

2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

cc = r + φe = 3 + 0 ,8 = 3,8 cm

smax

 ≤ 

smin

2800 2800 2,5 cc = 38 2,5(3,8) = 28 ,5 cm (gobierna) fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30,0 cm fs 2800 38

 ≥ 

−

·

−

2,5 cm (gobierna) db = 1, 1,2, 1,6 cm 1,33 Tmax.agr = 1,33(3/4) 2,5 = 2,5 cm (gobierna)

·

·

sprovisto =

1 n

−1

para 7φ10 −→ sprovisto =



bw 1

7 1

−1


5

−1


3

−1

1



− 2(r + φe + φ long ) 2

 



  

− 2(3 + 0,8 + 12 )

= 1,9 cm

20

− 2(3 + 0,8 + 1,2 ) 2

= 2,8 cm

20

− 2(3 + 0,8 + 1,6 ) 2

= 5,4 cm

20

smin < sprovisto < smax

para 7φ10 −→ 2,5 ≮ sprovisto = 1,9 < 28,5 cm −→ no cumple !

−→ 2,5 < sprovisto = 2,8 < 28,5 cm −→ cumple !! para 3φ16 −→ 2,5 < sprovisto = 5,4 < 28,5 cm −→ cumple para 5φ12 El numero y diametro de barra que se selecciona es 3φ16 con un espaciamiento de 5,4 cm . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

96


Capítulo3

Paso 7: Definir la distribución rectangular de esfuerzo en el hormigón d = 35,4 cm As = 5,15 cm 2 T = A s fy = 5,15(4200) = 216300 K g

·

a=

As fy = 5,09 cm 0,85 fc b

· · · 

Paso 8: Revisión de la deformación unitaria neta de tracción , t y el factor de reducción de la resistencia , φ . 

β1 = 0,85 para 0 < fc c=

≤ 280 Kg/cm

2

a 5,09 = = 5,99 cm β1 0,85

−  − 

c c 35,4 5,99 s = 0,003 = 0,0147 5,99 s = 0,0147 > t = 0,005 cumple ! s = 0,003

Como s > t

 −→  

d

La sección es controlada por la tracción φ = 0,9 fs = f y (el acero fluye)

s = 0,0147 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión

Paso 9: Revisión de la resistencia de diseño , φMn y la resistencia última, Mu al momento flector correspondientemente

 ·  −   ·  − 

φMn = φ As fy d

a 2

= 0,9 5,15 4200 35,4

5,09 2

φMn = 6395,9 K g m

· Mu = 6395,6 K g m

·

Mu (requerido) = 6395,6 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

≤ φMn (provisto) = 6395,9 K g · m 97


Capítulo3 ε

u

ε

s

=

0.003

0.85fc'

2

=212.5 Kg/cm

0.0147

=

Figura 3.18. Distribución de deformaciones y esfuerzos 3.1 Paso 10: Detalle de Armado

Figura 3.19. Detalle de armado de la viga del ejem plo 3.1 

Ejemplo 3.2 Dada la sección de 25x40 cm2 de una viga rectangular simplemente apoyada, la misma tiene armadura de tracción de As = 3φ20 y armadura de construcción, A s = 2φ12 tal como se muestra en la Figura 3.20. Si la resistencia caracterstica del hormigón es fc = 280 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es fy = 4200 Kg /cm2 . Se pide determinar la resistencia nominal y último al momento flector. 

Figura 3.20. Detalle de armado del ejemplo 3.2

Solución 3.2 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

98


Capítulo3

Objetivo Calcular la resistencia nominal al momento flector, M n y la resitencia última al momento flector, M u que puede soportar la viga. Datos de análisis Son los siguientes: Sección transversal Materiales Base, b = 25 cm hormigón: peso normal, Altura, h = 40 cm fc = 280 Kg/cm 2 Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento acero principal ≥ 3,8cm φest = 0,8 (Asumir) As = 3φ20 = 9 ,42 cm 2 (de tracción) As = 2φ12 = 2 ,26 cm 2 (por construcción) 

Resultados Paso 1: Revisión de la armadura solo a tracción

− r − φe − φ long 2 2,0 d = 40 − 3 − 0,8 − = 35,2 cm 2 d=h



β1 = 0,85 para 0 < fc

≤ 280 Kg/cm

2



As,min

0,8 fc b d = 0,8 280 25 35,2 = 2,81 cm 2 fy 4200 14 14 b d= 25 35,2 = 2,93 cm 2 (gobierna) fy 4200

  · · ≥  ··

√ · ·

· ·



3 fc β1 b d 8 fy 3 280 As,t = 0,85(0,85) 25 35,2 = 15 ,90 cm 2 8 4200 As,t =

· ·

· ·



3 fc β1 b d 7 fy 3 280 25 35,2 = 18 ,17 cm 2 As,max = 0,85(0,85) 7 4200 As,max =

· ·

· ·


para 3φ20 −→ 2,93 < As = 9,42 < 15,90 cm 2 −→ cumple!


99


Capítulo3

Paso 2: Revisión si la sección es controlada por tracción Definir la distribución rectangular de esfuerzo en el hormigón T = A s fy = 9,42(4200) = 39564 K g

·

As fy 0,85 fc b 9,42 4200 a= = 6,65 0,85 280 25

· · · · · ·

a=



Definir la deformación unitaria neta de tracción ,  t y el factor de reducción de la resistencia , φ. 

β1 = 0,85 para 0 < fc

c=

≤ 280 Kg/cm

2

a 6,65 = = 7,82 cm β1 0,85

−  − 

c c 35,2 7,82 s = 0,003 = 0,0105 7,82 s = 0,0105 > t = 0,005 cumple ! s = 0,003

d

La sección es controlada por la tracción

 

Como s > t −→ φ = 0,9 fs = f y (el acero fluye)

s = 0,0105 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión ε

u

ε

s

=

=

0.003

0.85fc' =238 Kg/cm2

0.0105

Figura 3.21. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.2


100


Capítulo3

Paso 3: Calculo de la resistencia de diseño , φMn y la resistencia última , Mu al momento flector correspondientemente.

−   −  · a 2

Mn = A s f y d

·

= 9,42 4200 35,2

6,65 2

Mn = 12,61 ton m

·

Mu = φM n = φ As fy d

a 2

 ·  − 

= 0,9(12,61)

Mu = 11,35 ton m

·



Ejemplo 3.3 Seleccionar un tamaño de viga rectangular correspondiente al tramo de un portico de 7.5 m de luz y la armadura requerida As para soportar los momentos bajo carga de servicio de 7993 Kg m por carga muerta y 4745 Kg m por carga viva, la resistencia caracteristica del hormigón es 280 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 .

·

·

ML =4745 Kg ⋅ m

MD =7593 Kg ⋅m

Figura 3.22. Datos de la viga continua de  = 7,5 m del ejemplo 3.3

Solución 3.3 Objetivo Calcular la altura requerida de viga para soportar los momentos M D y M L , el número y cantidad de barras de acero, revisar el espaciamiento de la armadura para evitar la fisuración y revisar si la sección es controlada por la tracción. Datos de diseño Son los siguientes:


101


Capítulo3

Sección transversal Materiales Base, b = 25 cm hormigón: peso normal, fc = 280 Kg/cm 2 Luz,  = 7,5 m Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento acero principal φest = 8 mm (Asumido)

Cargas Carga viva, M L = 4745 K g · m Carga muerta, MD = 7593 K g · m



≥ 3,8cm

Resultados Paso 1: Calcular la altura de viga, h 

β1 = 0,85 para 0 < fc ωt =

≤ 280 Kg/cm

2

3 0,85 β1 8

·

·

3 ωt = 0,85 0,85 = 0 ,2709 8

·

·

Mu = 1,2MD + 1,6ML Mu = 1,2(7993) + 1,6(4745) = 17183 ,6 K g m

·

Mu = ω t (1 φ f c b d2 

· · ·

d=

Mu φ fc b ωt (1

· 



· ·

− 0,59ωt)

− 0,59ωt)

17183,6(100) 0,9 280 25 0,2709(1 0,59 0,2709)

d=

·

d(requerido) = 34 ,61 cm

· ·

−

·

φlong 2 2,0 h = 34,61 + 3 + 0 ,8 + 2 h(requerida) = 39 ,41 cm h = d + r + φe +

 21 750 hmin = 21 = 35,7 cm hmin =

h(provista) >

 

h(requerida) = 39 ,41 cm (gobierna) hmin = 35,7 cm


102


Capítulo3 h(provista) = 40 cm

d = 40

− 3 − 0,8 − 1,8 = 35,3 cm 2

Paso 2: El calculo de acero , A s , se realiza utilizando: La solución directa de la ecuación de segundo grado , ecuación 3.60. 

  − − · ·  −

0,85 fc b As = fy

· ·

=

d

0,85 280 25 4200

·

2

d

35,3

2 Mu φ 0,85 fc b

·

35,32

As = 15,183 cm 2





· · − 0,92 ··17183,6(100) 0,85 · 280 · 25




2

−→ As(provista) = 15 ,26 > As (requerida) = 15 ,18 cm −→

cumple !


β1 = 0,85 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2



ρmax =

3 f 3 280 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0206 7 fy 7 4200

ρt =

3 f 3 280 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0181 8 fy 8 4200



ρmin

  ≥ 

√



0,8 fc 0,8 280 = = 0,0032 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

As,max = 0,0206 25 35,3 = 18 ,18 cm 2

· · · · As,min = 0,0033 · 25 · 35,3 = 2,91 cm

As,t = 0,0181 25 35,3 = 15 ,97 cm 2 2


para 6φ18 −→ 2,91 < As = 15,26 < 15,97 cm 2 −→ cumple ! c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

103


Capítulo3

Paso 4: Determinacion del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo. 2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

fs =

cc = r + φe = 3 + 0 ,8 = 3,8 cm

smax

 ≤ 

smin

38 30

2800 fs 2800

  ≥ 

− 2,5 · cc = 38 2800 − 2,5(3,8) = 28 ,5 cm (gobierna) 2800 = 30

fs

2800

= 30,0 cm

2800

2,5 cm (gobierna) db = 1,8 cm 1,33 Tmax.agr = 1,33(3/4) 2,5 = 2,5 cm (gobierna)

·

·

sprovisto =

1 n

−1




bw

1 6

−1





− 2(r + φe + φ long ) 2 25

− 2(3 + 0,8 + 1,8 ) 2



= 3,12 cm


para 6φ18 −→ 2,5 < sprovisto = 3,12 < 28,5 cm −→ cumple ! El espaciamiento provisto por 6φ18 es de 3,12 cm .

Paso 5: Definir la distribución rectangular de esfuerzo en el hormigón T = A s fy = 15,183(4200) = 63768,6 K g

·

As fy 0,85 fc b 63768,6 a= = 10,717 cm 0,85 280 25 a=

· · · 

·

·

Paso 6: Revisión de la deformación unitaria neta de tracción , t y el factor de reducción de la resistencia , φ . 

β1 = 0,85 para 0 < fc

c= c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

≤ 280 Kg/cm

a 10,717 = = 12,61 cm β1 0,85

104

2


Capítulo3

−  − 

c c 35,3 12,61 s = 0,003 = 0,0054 12,61 s = 0,0054 > t = 0,005 cumple ! s = 0,003

Como s > t

  −→ 

d


s = 0,0147 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión ε

u

ε

s

=

=

0.85fc' =238 Kg/cm2

0.003

0.0054


Paso 7: Revisión de la resistencia de diseño , φMn y la resistencia última, Mu al momento flector correspondientemente

 ·  −   · 

φMn = φ As fy d

a 2

= 0,9 15,183 4200 35,3

− 10,717 2

φMn = 17184 K g m

·



Mu = 17183,6 K g m

·

Mu (requerido) = 17183,6

≤ φMn (provisto) = 17184 K g · m

Paso 8: Detalle de Armado

Figura 3.24. Detalle de armado de la viga del ejem plo 3.3 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

105


Capítulo3 

Ejemplo 3.4 Diseñar las losas en una dirección mostradas en la Figura

3.25, la carga viva ocupacional corresponde a un establecimiento educativo. La resistencia caracteristica del hormigón es 210 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 , el recubrimiento de la losa es 2 cm.

Solución 3.4 Objetivo Calcular el número y cantidad de barras de acerode la losa en 1 dirección. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Luz larga:  l = 8 m hormigón: peso normal, Carga viva, Luz corta de losa 1:  n1 = 5,5 m fc = 210 Kg/cm 2 Luz corta de losa 2:  n2 = 6,0 m Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 Recubrimiento: r = 2 cm

LL = 400 kg/m 2



γH o Ao = 2400 kg/m 3 γH o = 2304 kg/m 3 γyeso = 1120 kg/m 3

Figura 3.25. Datos de la losa maciza en 1 dirección del ejemplo 3.4

Resultados Paso 1: Análisis de cargas gravitacionales Losa L1 n Un extremo continuo! 24 550 hmin = = 22,92 cm  23 cm 24 hmin =


−→

106


Capítulo3

Losa L2 n Dos extremos continuos! 28 600 = = 21,43 cm  22 cm 28

hmin = hmin ∴

−→

Por consideraciones constructivas usar en todo el sistema de entrepiso losas de espesor

hlosa = 23 cm .

Determinación de cargas superficiales en las losas Carga muerta wD,losa = γH o Ao · hlosa = 2400 × 0,23 = 552 kg/m 2 2

wD,ceramica wD,contrapiso wD,cielofalsoyeso wD,luminarias

= = γH o · ecp = γyeso · ecf =

= = = =

80 2304 1120 15

× 0,03 == × 0,02 = = wD =

80 kg/m 2 70 kg/m 23 kg/m 2 15 kg/m 2 740 kg/m 2

Cargas vivas wL,ocupacional wL

= 250 kg/m 2 = 250 kg/m 2

Paso 2: Determinar las carga últimas sobre las losas wu = 1,4 wLD

·

wu = 1,4(740) = 1036 kg/m 2 wu = 1,2 wLD + 1,6 wLL

·

·

wu = 1,2(740) + 1,6(400) = 1528 kg/m 2 (gobierna)

Las losas en una dirección se diseñan como si estuvierá compuesta por segmentos de 1 m de ancho colocados lado a lado con una altura igual al espesor de la losa, ver Figura 3.26. ∴ La carga última a utilizarse es wu = 1528 kg/m 2 × 1 m = 1528 kg/m .

Figura 3.26. Ancho de diseño de losas en 1 dirección

Paso 3: Determinar la resistencia última al monento flector requerida , Mu Determinación del momento último en el tramo A-B Mu =

wu 2n1 1528 5,52 = = 24 24

Mu+ =

wu 2n1 1528 5,52 = = +3302 kg m 14 14

−

·


×

·

×

107

−1926 kg · m ·


Capítulo3 Mu = −

2

2

wu n1+n2 1528 5,75 = = 10 10

·

×

−5052 kg · m

Determinación del momento último en el tramo B-C Mu = −

wu 2n1+n2 1528 5,752 = = 11 11

·

×

−3438 kg · m

Mu+ =

wu 2n2 1528 62 = = +3438 kg m 16 16

Mu =

wu 2n2 1528 62 = = 11 11

−

·

×

·

·

×

w u  2n =-5052kg ⋅ m 10

−5001 kg · m

w u  2n =-4593 kg ⋅ m 11

w u  2n =-5001 kg ⋅m 11

w u 2n =-1926 k g ⋅m 24  n1=5.5

w u  2n

 n 2 =6

m

w u  2n

=+3302 kg ⋅m

m

=+3438 k g ⋅m

16

14

Figura 3.27. Momentos ultimos en la losa en 1 dirección del ejemplo 3.4

Paso 4: Determinar el área mínima de acero por contracción y temperatura, según el código ACI 318-05 en el artículo 7.12.2.1, se tiene: As,min = 0,0018 b h = 0,0018

· ·

× 100 × 23 = 4 ,14 cm

2

Usar barras φ = 10c/18 cm. Notar que según el artículo 7.12.2.2 el espaciamiento máximo debe ser menor a 5 × h = 5 × 23 = 115 cm y a 45 cm, por lo que se cumple también la limitación del espaciamiento. ∴

Paso 5: Determinar el área de refuerzo por flexión utilizando el concepto de cuantia mecánica b = 100 cm

− r − φlong 2 1,6 d = 23 − 2 − = 20,2 cm 2 d=h


108


Capítulo3

Calular

5052(100) Mu = = 0,0655 φ fc b d2 0,9 210 100 (20,2)2 

· · ·

·

·

ω = 0,0682 < ωt = 0,2709 ∴

·

−→ Cumple !!

La sección es controlada por la tracción y se verifica que φ = 0,9. 

As = ω ∴

fc 210 b d = 0,0682 fy 4200

·

·

× 100 × 20,2 = 6,89 cm

2

Asumiendo barras φ = 12 mm con una separación de 16 cm se tiene una A s (provista) =

7,03 cm .

Paso 6: Verificación del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo.

smin

  ≥ 


·

·

smax

 · ≤

3 h= 3

× 23 = 69 cm

45 cm (gobierna)

2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

fs =

cc = r = 2 cm

smax,fisuracion

 ≤ 

2800 2800 2,5 cc = 38 2,5(2) = 33 cm fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30,0 cm (gobierna) fs 2800 38

− ·

−


Para φ12c/16 cm −→ 2,5 < sprovisto = 16 < 30 cm −→ Cumple !! Usar barras φ = 12c/16 cm. La siguiente tabla resume el diseño a flexión de la losa en 1 dirección como resultado de los cálculos adicionales. ∴

Tramo A-B

Mu [kg m] M = 1926 Muu+ = +3302 Mu = 5052 Mu = 4593 Mu+ = +3438 Mu = 5001 −

−

A-B

−

−

· − − − −

As,req [cm2 ]

2.58 4.44 6.89 6.25 4.63 6.82


As,min [cm2 ]

4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 109

smin [cm] 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5

smax [cm] 45 45 45 45 45 45

Barras db c/sprov φ10c/18 φ10c/17,5 φ12c/16 φ12c/18 φ10c/16,5 φ12c/16,5

As,prov [cm2 ]

4.25 4.49 7.07 6.28 4.76 6.85


Capítulo3

Paso 7: Detalle de Armado Los detalles típicos de puntos de corte en losas en una dirección fueron tomados del ACI Committee 315, ACI detailing Manual, pag 22. 0 .2 5  n 1

=

1 .4m

0 .3  n 2

=

2 .0m

0 .3  n 2

=

2 .0m

0 .3  n 2

=

2 .0m

 n2= 6 m

 n1=5.5 m

Figura 3.28. Detalle de armado de la losa en 1 direcció n del ejemplo 3.3 

3.7 ANALISIS Y DISEÑO DE SECC IONES RECTANGULARES CON REFUERZO DE COMPRESION 3.7.1 Análisis de vigas con refuerzo de tracción y compresión En la Figura 3.29 se muestra una viga con refuerzo de tracción y compresión. εu

'

=

0.003

f`

d

Cs a/2 '

'

εs

As

a=β1c

fs'

Cc

As

fs

ε

=

fy

T

Figura 3.29. Deformaciones y esfuerzos internos en viga con refuerzo de compresión Para el análisis de vigas con refuerzo de tracción y compresión se imagina que la en teoria compuesta de dos partes, como se muestra en la Figura 3.30. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

110

sección está


Capítulo3 0.85f c'

d'

a/2

a=β1c

Cs=A 'sf s'

A 's

Cc

d-d'

A s2

As T= 1 As1yf

T2=As2yf

Figura 3.30. Fuerzas internas en las vigas imagina rias 1 y 2 La viga 1 , esta compuesta por acero de refuerzo en la cara de compresión y suficiente acero de refuerzo en la cara de tracción, de manera que T 1 = C c . La viga 2 , esta compuesta por hormigon con una distribución de rectangular equivalente de esfuerzos en la cara de compresión y por acero de refuerzo en la cara de tracción.

Relación limite de fluencia del acero de refuerzo de compresión La Figura 3.29 muestra la distribución de deformaciones de una viga con acero de compresión. Por semejanza de triangulos, se tiene: 

s =

−  c

d



c

(3.35)

0,003

Realizando operaciones: 

s =

− ·  β1 d a

1



(3.36)

0,003

Si el valor de  s es más grande que este valor, el acero de compresión fluye. En resumen 



fs = f y

únicamente cuando



únicamente cuando



−−−−−−−−−−−−→ s ≥ y fs = E s · s < fy −−−−−−−−−−−−→ s < y 



Caso 1: El acero de compresión fluye Si el acero de compresión fluye en una viga en particular, el análisis es directo, debido a que fs es conocido. Se asume que la viga puede ser dividida en dos vigas imaginarias. 

Viga 1 Formada unicamente por acero de refuerzo en las caras de tracción y compresión.

Condición de equilibrio de fuerzas 

As = A s1

(3.37)

Condición de equilibrio de momentos Con referencia a la Figura 3.30(a), la sumatoria de momentos alrededor de la linea de acción de la c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

111


Capítulo3

fuerza de compresión, C s resulta: 

Mn1 = A s1 fy (d

(3.38)

−d )

·

Reemplazando la ecuación 3.37 se tiene: 

Mn1 = A s fy (d

·



(3.39)

−d)

Viga 2 Consiste de hormigon en la cara de compresión y el acero remanente en la cara de tracción. El acero de refuerzo en la cara de tracción es: As2 = A s

− As

(3.40)

1

De manera que, al ser f s = f y entonces A s1 = A s ver la ecuación . 



A s2 = A s



(3.41)

− As

Condición de equilibrio de fuerzas La profundidad del bloque de esfuerzos de compresión, a , es: a=



(As As ) fy 0,85fc b

−



·

·

(3.42)

Condición de equilibrio de momentos Con referencia a la Figura 3.30(b), la sumatoria de momentos alrededor de la linea de acción de la fuerza de compresión, Cc resulta:

−  a 2

Mn 2 = A s 2 f y d

·

Reemplazando la ecuación 3.41se tiene: Mn2 = (As

 

− As) · fy d − a2 

(3.43a)

(3.43b)

Con referencia a la Figura 3.30(b), la sumatoria de momentos alrededor de la linea de acción de la fuerza de tracción, T 2 resulta: 

−  a 2

Mn2 = 0,85fc b a d

· ·

(3.43c)

Resistencia nominal al momento flector total, Mn Resistencia nominal al momento flector total de la viga con acero a compresión es igual a: (3.44)

Mn = M n 1 + Mn 2

Reemplazando las ecuaciones 3.39 y 3.43b se obtiene: 

Mn = A s fy (d

·


− d ) + (As − As) · fy (d − a2 ) 



112

(3.45a)


Capítulo3





φMn = φ As fy (d

·





Reemplazando las ecuaciones 3.39 y 3.43c se obtiene: 

Mn = A s fy (d



· 





− d ) + 0,85fc

φMn = φ As fy (d

·

    · · −   · · −

− d ) + (As − As ) · fy d − a2



b a d



− d ) + 0,85fc

b a d

(3.45b)

a 2

(3.46a)

a 2

(3.46b)

Revisión de fs = f y en el acero de compresión y tracción En la determinación de φM n se asume que tanto el acero de compresión y tracción fluyen. Por lo tanto, es necesario verificar si esto es verdad. 

fy E fy y = E

Acero de compresión: Si  s ≥ y = Acero de tracción : Si  s ≥

el acero de compresión fluye !



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y −−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y el acero de tracción fluye !

(3.47) (3.48)

Caso 2: El acero de compresión no fluye Si el acero de compresión no fluye en una viga en particular, el análisis no es directo, debido a que fs es desconocido. En este caso tambien se asume que la viga puede ser dividida en dos vigas imaginarias. 

Viga 1 Formada unicamente por acero de refuerzo en las caras de tracción y compresión. Condición de equilibrio de fuerzas 

As Es As1 =

·

− ·  β1 d a

1



0,003

(3.49a)

fy

Alternativamente puede expresarse tambien como:

 



As1 = A s

fs fy

(3.49b)

Condición de equilibrio de momentos Con referencia a la Figura 3.30(a), la sumatoria de momentos alrededor de la linea de acción de la fuerza de compresión, C s resulta: Mn1 = A s1 · fy (d − d ) (3.50a) Reemplazando la ecuación 3.49a se tiene: 

β1 d



 

1

φMn = φ 0,003 As Es



1

a

− ·   · − 

· ·

(d

−d)



(3.50b)

Alternativamente sustituyendo la ecuación 3.49b en la ecuación 3.50a resulta: 



φMn1 = φ As fs (d c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

113



d)

(3.50c)


Capítulo3

Viga 2 Consiste de hormigon en la cara de compresión y el acero remanente en la cara de tracción. El acero de refuerzo en la cara de tracción es: As2 = A s

− As

(3.51a)

1

Al sustituir la ecuación 3.49a resulta:

 · − ·    −   β1 d a



As Es 1

As2 = A s



0,003

(3.51b)

fy

Alternativamente se obtiene:



As2 = A s

fs fy



− As

(3.51c)

Condición de equilibrio de fuerzas Dando la forma de la ecuación general de segundo grado, ax 2 + bx + c = 0, resulta: 





(0,85fc b) a2 + (0,003 As Es



· · − As · fy ) · a − 0,003 · As · Es · β · d

· ·

1

(3.52)

=0

La profundidad del bloque de esfuerzos de compresión , a, se encuantra resolviendo la ecuación cuadrática 3.52. La profundidad del bloque de esfuerzos de compresión, a es: 



a = As fy As fs 0,85fc b

(3.53)

· −· · 

Condición de equilibrio de momentos φMn2 = φ





As fy

· − As · Es





1

− β a· d 1

    · − 0,003

a 2

d

(3.54)

Resistencia nominal al momento flector total, Mn Resistencia nominal al momento flector total de la viga con acero a compresión es igual a: (3.55)

Mn = M n 1 + Mn 2

Reemplazando operaciones se obtiene: 

Mn = 0,003 As Es 1



· ·

β1 d

·



(d



d ) + As fy

a

 −  −  

· − ·

Cs

Mn = C s (d c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo



As Es 1



− d ) + Cc 114

− d

a 2

β1 d

·

a



0,003

d

a 2

 −    ·  −  Cc

(3.56a)

(3.56b)


Capítulo3



φMn = φ





0,003 As Es

· ·



1

− β a· d 1





(d

 

− d ) + Cc d − a2 

φMn = φ Cs (d



−d )+





As fy

· − As · Es

(3.56c)



1

− β a· d



1

    · − 0,003

d

a 2

(3.56d)

Revisión de fs = f y en el acero de compresión y tracción En la determinación de φMn se asume que el acero tracción fluye. Por lo tanto, es necesario verificar si esto es verdad. f Acero de compresión: Si s < y = y

el acero de compresión no fluye !



Acero de tracción : Si s ≥

Es fy y = E





−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ f s = E s · s el acero de tracción fluye !

−−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y

(3.57) (3.58)

3.7.2 Ejercicios resueltos Ejemplo 3.5 La viga mostrada en la Figura 3.31 el hormigón tiene una resistencia caracteristica de 210 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 . Calcular la capacidad nominal al momento flector.

Figura 3.31. Datos de ejemplo 3.5: detalle de armado

Solución 3.5 Objetivo Determinar la resistenc ia última al momento flector de la viga. Datos de Análisis Son los siguientes: Sección transversal Materiales Base, b = 25 cm Hormigón: peso normal, Altura, h = 60 cm f = 210 Kg/cm 2 c Canto útil del acero de compresión, d = 5,25 cm Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 ) As = 2φ25 = 9 ,82 cm Canto útil del acero de tracción, d = 52,25 cm 





As = 6φ25 = 29 ,45 cm Recubrimiento: r = 3,0 cm φest = 10 mm (Asumido) c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

115


Capítulo3

Resultados Paso 1: Determinar el acero de tracción de la viga 2 , As2 La viga es dividida en dos vigas componentes como se muestra en la Figura 3.32. A 's

=

9.8 2 c m2

d'

C s = A 's fs'

=

0 . 8 5fc'

41 244 kg

=

1 7 8 . 5 k g / c m2

a/2=9.238 cm

a=18.475

Cc '

( d -d)

=

=

8 2 4 4 4 .7 k g

47 cm

As2

As

=

9.8 2 cm2

T= 1 A s 1 fy

=

T= A s 2 fy 2

4 124 4kg

=

82446kg

Figura 3.32. Fuerzas internas en las vigas imagina rias 1 y 2 del ejemplo 3.5



fs = f y fs = f y 

As1 = A s A s2 = A s A s2

− As = 29,45 − 9,82 = 19 ,63 cm 1

2

Paso 2: Determinar la profundidad del bloque de esfuerzos de compresión de la viga 2, a

del hormigon



(As As ) fy 0,85 fc b (19,63) a= 4200 = 18 ,475 cm 0,85 210 25

− · ·

a=



·

·

Paso 3: Revisión de la fluencia del acero de compresión y tracción fluyen de la viga 1 Revisión de la fluencia del acero de compresión , fs = fy 

fy Es 4200 y = = 0,0021 2000000 y =



s = 

s =

− ·  − ·  

1

β1 d a

1

0,85 5,25 18,475


116

0,003 0,003 = 0 ,00227


Capítulo3 fy As fluye ! fs = f y E 0,0021 cumple ! 





Acero de compresión: Si  s ≥ y = 0,00227

−−−−−−−→

≥

Como s = 0,00227 es mayor que el valor limite de 0.0021, el acero de compresión fluye. Revisión de la fluencia del acero de tracción , f s = f y 



s =  s

−  d

c



−1 

β1 (d



s =  s

d

d)

a 1 0,85(49,5) s = 0,00227 18,475

 − −   −

Acero de tracción : Si  s ≥ y = 0,00290

≥

1 = 0,00290

fy el acero de tracción fluye ! E 0,0021 cumple !



−−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y

Como s = 0,00264 es mayor que el valor limite de 0.0021, el acero de tracción fluye. Los resultados se muestran en la Figura 3.33. A 's

=

9. 82 cm 2

d'

=

5.25 cm

ε

' s

=

0.00227

'

fs

fs

A s'

=

9.82 cm 2

ε

s

=

=

=

4200 kg/cm

fy

=

Cs

2

4200 kg/cm

2

=

41244 kg

T=41244 kg

0.00290


Paso 4: Revisión de la fluencia del acero de tracción de la viga 2 .

− r − φe − φ long 2 2,5 dt = 60 − 3 − 1 − = 54,75 cm 2 dt = h

β1 = 0,85 para 0 < fc 

c=


≤ 280 Kg/cm

a 18,475 = = 21,735 cm β1 0,85

117

2


Capítulo3

−  − 

c c 54,75 21,735 s = 0,003 = 0,00456 21,735 s = 0,00456 > t = 0,005 no cumple ! s = 0,003

Como s < t

 −→  

d

La sección no es controlada por la tracción φ = 0,9

s = 0,00456 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión c 21,735 = = 0,3969 dt 54,75

φ = 0,65 + 0,25 φ = 0,65 + 0,25

 



1 5 c/dt 3 1 5 0,3969 3

−

−



= 0,863

Los resultados se muestran en la Figura 3.34. Verificación del limite del esfuerzo de fluεu

=

0.003

0.85 fc'

=

178.5 kg/cm 2

a/2=9.238 cm

a=18.475

Cc

fs

A 's

=

19 .63 cm 2

ε

s

=

=

fy

=

4200 kg/cm

2

=

82446 kg

T1=82446 kg

0.00456

Figura 3.34. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.5 encia del acero de tracción el acero tracción fluye ! Al ser s = 0,00456 > 0,0021 −−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y = 4200 kg/cm 2 .


β1 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2

Las cuantias máxima, maxima útil, mínima son: 

ρmax =

3 fc 3 210 β1 = 0,85(0,85) = 0,01821 7 fy 7 4200

ρt =

3 fc 3 210 β1 = 0,85(0,85) = 0,01594 8 fy 7 4200




118


Capítulo3

ρmin

  ≥ 

√ 0,8 210



0,8 fc = = 0,0028 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

As,max = 0,01821 25 52,25 = 23 ,79 cm 2

· · · · As,min = 0,0033 · 25 · 52,25 = 4 ,31 cm

As,t = 0,01594 25 52,25 = 20 ,82 cm 2 2


para 6φ25 −→ 4,31 < As = 29,45 < 20,82 < 23,79 cm 2 −→ no cumple ! Se comprueba que la sección requiere armadura de tracción, debido a que el area de refuerzo requerida de 29,45 cm 2 supera el limite de 29,45 cm 2 requerido de secciones controladas por la tracción y el valor maximo de 23,79 cm2 .

Paso 6: Calculo de la resistencia de diseño , φMn , y la resistencia última , M u , al momento flector respectivamente.





φMn1 = φ As fy (d

·





−d )

φMn1 = 0,863[9 ,82 4200(52,25

φMn2 = φ (As

 −

·



As ) fy d

φMn2 = 0,863 (29,45

− 5,25)] = 16729 K g · m

a

2 9,82) 4200 52,25

·  −   − ·

− 18,475 2



= 30604 kg m

·

φMn = φM n1 + φMn2 φMn = 16729 + 30604 φMn = 47333 kg m

·

φMu = 47,33 ton m

·



Ejemplo 3.6 La viga mostrada en la Figura 3.35 el hormigón tiene una resistencia caracteristica de 210 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 . La viga es similar a la viga del ejemplo anterior con la diferencia de tener mayor acero de compresión. Se pide calcular la resistencia de última, φM u , al momento flector.


119


Capítulo3

Figura 3.35. Datos de ejemplo 3.6: detalle de armado

Solución 3.6 Objetivo Determinar la resistenc ia última al momento flector de la viga. Datos de Análisis Son los siguientes: Sección transversal Materiales Base, b = 25 cm Hormigón: peso normal, Altura, h = 60 cm fc = 210 Kg/cm 2 Canto útil del acero de compresión, d = 5,25 cm Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 ) Canto útil del acero de tracción, d = 52,25 cm As = 3φ25 = 14 ,73 cm 





As = 6φ25 = 29 ,45 cm

≥ 3,8cm

Recubrimiento acero principal φ est = 10 mm (Asumido)

Resultados Paso 1: Determinar el acero de tracción de la viga 2 , As2 La viga es dividida en dos vigas componentes como se muestra en la Figura 3.36. A 's

=

14 .73 cm2

C s = A 's fs'

d'

=

0 . 8 5fc'

61866 kg

=

a=13.854

1 7 8 . 5 k g / c m2

a/2=6.927 cm Cc

'

( d -d)

=

=

14. 73 cm2

1

61 8 24kg

47 cm

T= A f A s1

=

=

T= A s 2 fy 2

61866 kg

s1 y

A s2

=

=

6 1 8 2 4k g

14 .72 cm2

Figura 3.36. Fuerzas internas en las vigas imagina rias 1 y 2 del ejemplo 3.6


120


Capítulo3 

fs = f y fs = f y 

As1 = A s As2 = A s

− As − 14,73 = 14 ,72 cm 1

As2 = 29,45

2

Paso 2: Determinar la profundidad del bloque de esfuerzos de compresión de la viga 2, a

del hormigon



(As As ) fy 0,85 fc b (14,72) a= 4200 = 13 ,854 cm 0,85 210 25

− · ·

a=



·

·

Paso 3: Revisión de la fluencia del acero de compresión y tracción fluyen de la viga 1 Revisión de la fluencia del acero de compresión , fs = fy 

fy Es 4200 y = = 0,00210 2000000 y =



s = 

s =

β1 d

·

1



0,003 a 0,85 5,25 0,003 = 0 ,00203 13,854

 − ·   − 1

fy el A s fluye ! fs = f y E 0,00210 no cumple ! 



Acero de compresión: Si  s ≥ y = 0,00203

≥



−−−−−−−−→



Como  s = 0,00203 es menor que el valor limite de 0.0021, el acero de compresión no fluye . Como consecuencia de ello, el valor de a del paso dos es incorrecto, y debera ser reevaluado utilizando la ecuación 3.52. Revisión de la fluencia del acero de tracción , f s = f y 

s =  s

−  −  − −  − d

d



1

c





s =  s

β1 (d d ) a

s = 0,00203 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

1

0,85(49,5) 13,854

121

1 = 0,00414


Capítulo3

Acero de tracción : Si  s ≥ y = 0,00414

≥

fy el acero de tracción fluye ! E 0,0021 cumple !



−−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y

Como s = 0,00382 es mayor que el valor limite de 0,0021, el acero de tracción fluye. Los resultados se muestran en la Figura 3.37. A 's

=

14 .73 cm 2

d'

=

5.25 cm

ε

' s

=

0.00203

fs'

fs

A s'

=

14. 73 cm 2

εs

=

=

=

4200 kg/cm

fy

=

Cs

2

4200 kg/cm

2

=

61866 kg

T=61866 kg

0.00414






β1 = 0,85 para 0 < fc c=

≤ 280 Kg/cm

2

a 13,854 = = 16,299 cm β1 0,85

−  − 

c c 54,75 16,299 s = 0,003 = 0,00708 16,299 s = 0,00708 > t = 0,005 cumple ! s = 0,003

Como s > t

 −→ 

d

La sección es controlada por la tracción φ = 0,9


Como la  s = 0,00708 es mayor que los limites mínimo y maximo de deformación del acero en vigas 0,004 y 0,005, la sección es controlada por la tracción y el valor de φ es 0,9. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

122


Capítulo3

Verificación del limite del esfuerzo de fluencia del acero de tracción el acero tracción fluye ! Al ser s = 0,00708 > 0,0021 −−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y = 4200 kg/cm 2 . Los resultados se muestran en la Figura 3.38. εu

=

0.003

0.85 fc'

=

178.5 kg/cm 2

a/2=6.927 cm

a=13.854

Cc

fs

A 's

=

14 .72 cm 2

ε

s

=

=

fy

=

4200 kg/cm

=

61824kg

T1=618 24 kg

2

0.00708

Figura 3.38. Distribución de deformaciones y esfuerzos

Paso 5: Recalculo de a , debido a que el acero de compresión no fluye 





(0,85fc b ) a2 + (0,003 As Es



· · − As · fy ) · a − 0,003 · As · Es · β · d = 0 (0,85(210)·25)·a +(0,003·14,72·2000000−29,45·4200)·a−0,003·14,72·2000000·0,85·5,25 = 0 4462,5 · a − 35370 · a − 394128 = 0 ···

1

2

2

a=

35370

353702 + 4 4462,5 394128

±

·



a = 14,162 cm

·

2 4462,5

·

Paso 6: Determinar el acero de tracción de la viga 2 , As2 La viga es dividida en dos vigas componentes como se muestra en la Figura 3.39. A 's

=

14 .73 cm2

C s = A 's fs'

d'

=

0 . 8 5fc'

6 0 5 3 1 . 1 2k g

=

a=14.162

1 7 8 . 5 k g / c m2

a/2=7.081 cm Cc

'

( d - d)

A s1

=

14.4 1 cm2

=

=

6319 8kg

47 cm

T= 1 A s 1 fy

=

T= A s 2 fy 2

6 0 5 3 1 .1 2 k g A s2

=

=

6 3 1 9 8k g

15 .04 cm2

Figura 3.39. Fuerzas internas en las vigas imagina rias 1 y 2 del ejemplo 3.6 

fs = f y



fs = f y c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

123


Capítulo3 

fs = 6000 

 ·  −− ·     β1 d a

1



0,85 5,25 14,162

fs = 6000 1

= 4109,377 kg

fs fy



A s1 = A s

4109,377 4200

As1 = 14,73 As2 = A s

= 14,41 cm 2

− As − 14,41 = 15 ,04 cm 1

As2 = 29,45

2

Paso 7: Revisión de la fluencia del acero de compresión y tracción fluyen de la viga 1 Revisión de la fluencia del acero de compresión , fs = fy . 

fy Es 4200 y = = 0,00210 2000000 y =



s = 

s =

 ·  −− ·  

1

β1 d a

1

0,85 5,25 14,162

0,003



Acero de compresión: Si s ≥ y = 0,00205

≥

0,003 = 0 ,00205

fy el acero de comresión fluye ! E 0,00210 no cumple !



−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y

Como s = 0,00205 es menor que el valor limite de 0.0021, se verifica que el compresión no fluye. Revisión de la fluencia del acero de tracción , f s = f y . 



s =  s

acero de

−   −−   − − d

d



1

c





s =  s

β1 (d d ) a

s = 0,00205

1

0,85(49,5) 14,162

Acero de tracción : Si  s ≥ y = fEy 0,00404

1 = 0,00404

−−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y el acero de tracción fluye !



≥ 0,0021 cumple !

Como s = 0,00373 es mayor que el valor limite de 0,00210, el acero de tracción fluye. Los resultados se muestran en la Figura 3.40. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

124

Hormigón Armado U.M.S.S.-Ing.Civil A s'

=

Capítulo3

14 .73 cm 2

d'

=

5.25 cm

' ε s

=

0.00205

fs'

fs

A s'

=

14.4 1 cm 2

ε

s

=

=

=

2

4109.377 kg/cm

fy

=

4200 kg/cm

2

Cs

=

60531.12 kg

T=60531.12 kg

0.00404






β1 = 0,85 para 0 < fc

c=

≤ 280 Kg/cm

2

a 14,162 = = 16,661 cm β1 0,85

s = 0,003

c c 54,75 16,661 s = 0,003 = 0,00686 16,661 s = 0,00686 > t = 0,00500 cumple !

Como s > t

 −→ 

d

−  − 



Como la  s = 0,00686 es mayor que los limites mínimo y maximo de deformación del acero en vigas 0,004 y 0,005, la sección es controlada por la tracción y el valor de φ es 0,9. el acero tracción fluye !

2

s = 0,00565 > 0,0021 fs = f y = 4200 kg/cm Al ser Los resultados se muestran en−−−−−−−−−−−−−−−→ la Figura 3.41.


β1 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

125


Capítulo3 ε

u

=

0.003

0.85 fc'

=

178.5 kg/cm 2

a/2=7.081 cm

a=14.162

Cc

fs

A 's

=

14 .72 cm 2

εs

=

=

fy

=

4200 kg/cm

=

63168 kg

T1=63168 kg

2

0.00686

Figura 3.41. Distribución de deformaciones y esfuerzos del ejemplo 3.6 

ρmax =

3 fc 3 210 β1 = 0,85(0,85) = 0,01821 7 fy 7 4200

ρt =

3 fc 3 210 β1 = 0,85(0,85) = 0,01594 8 fy 7 4200



ρmin

  ≥ 

√



0,8 fc 0,8 210 = = 0,0028 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

As,max = 0,01821 25 52,25 = 23 ,79 cm 2

· · As,t = 0,01594 · 25 · 52,25 = 20 ,82 cm As,min = 0,0033 · 25 · 52,25 = 4 ,31 cm

2 2


para 6φ25 −→ 4,31 < As = 29,45 < 20,82 < 23,79 cm 2 −→ no cumple ! Se comprueba que la sección requiere armadura de tracción, debido a que el area de refuerzo requerida de 29,45 cm2 supera el limite de 29,45 cm2 requerido de secciones controladas por la tracción y el valor maximo de 23,79 cm2 .

Paso 10: Calculo de la resistencia de diseño , φMn , y la resistencia última , M u , al momento flector respectivamente.







φMn1 = φ 0,003 As fy (d φMn1





· · −d ) = 0,863[9 ,82 · 4200(52,25 − 5,25)] = 16729 kg · m

 

· · − a2 0,85 · 210 · 25 · 14,162 

φMn2 = φ 0,85fc b a d φMn2 = 0,863




126



52,25

− 14,162 2



= 25691 kg m

·


Capítulo3 φMn = φM n1 + φMn2 φMn = 25605 + 25691 φMn = 51296 kg m

·

φMu = 51,30 ton m

·



Ejemplo 3.7 Las dimensiones de la sección transversal de una viga, Figura

3.42,son 30 80 cm, el momento por carga muerta de servicio es 58300 kg m, el momento por carga viva de servicio es 23700 kg m, el hormigón tiene una resistencia caracteristica de 280 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 . Determinar el área de refuerzo requerido.

×

·

·

d'

dt

Figura 3.42. Esquema del ejercicio 3.7

Solución 3.7

Objetivo Determinar el número y el diametro de las barras de acero y revisar el espaciamiento del refuerzo para evitar la fisuración. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Base, b = 30 cm Hormigón: peso normal, Altura, h = 80 cm fc = 280 Kg/cm 2 Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 Recubrimiento acero principal φest = 10 mm (Asumido) 

Cargas Carga viva, M L = 23700 kg · m Carga muerta, MD = 58300 kg · m

≥ 3,8cm

Resultados Paso 1: Establecer la resistencia última al momento flector requerida, M u Mu = 1,2MD + 1,6ML Mu = 1,2(58300) + 1,6(23700) = 107880 kg m

·


127


Capítulo3

Paso 2: Asumir el canto útil , d , posiblemente este en dos filas de acero.

− r − φe − 3 × 2φlong 3 × 2,5 d = 80 − 3 − 1 − = 71,25 cm 2 d=h

Paso 3: Verificar si la viga requiere refuerzo de compresión dt = h

− r − φe − φ long 2

dt = 80

−3−1−

2,5 2 = 72,75 cm 

β1 = 0,85 para 0 < fc 3 β 1 dt 8 3 at = 0,85 8 at =

≤ 280 Kg/cm

2

·

×

× 74,75 = 23 ,827 cm

 

· · · · d − a2t φMn (máximo) = 0,85 × 280 × 30 × 23,827 × 

φMn2 (máximo) = 0,85 fc b at 2



72,25

− 23,827 2



= 102647,34 kg m

·

diseñar como

Si: M u > φM n2 −−−−−−−−→ viga con refuerzo de compresión 107880 > 102647,34 kg · m −→ cumple !

Paso 4: Calcular el refuerzo de tracción de la viga ficticia 2 , de la sección controlada por la tracción. 

3 f 0,85 c b dt β1 8 fy 3 280 0,85 30 As2 = 8 4200 As2 =

·

· · · ·

×

×

× × 74,75 × 0,85 = 40 ,51 cm

2

Paso 5: Encontrar el momento de diseño remanente que debe resistir la viga 1 fictica de acero-acero φMn1 = M u

− φMn − 102647,34 = 5232 ,66 kg · m 2

φMn1 = 107880

Paso 6: Revisión de la fluencia del acero de compresión y tracción fluyen de la viga 1 φlong 2 2,0 d =3+1+ = 4,6 cm 2 

d = r + φe + 


128


Capítulo3 

β1 = 0,85 para 0 < fc

≤ 280 Kg/cm

2

fy Es 4200 y = = 0,00210 2000000 y =



s = 

s =



s

 · − − ·  

1

β1 d a

1

0,85 4,6 23,827

0,003 0,003 = 0 ,00251

≥ y = fEy −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y el acero de compresión fluye !



0,00251 > 0,00210 cumple !



s =  s

−   −−  −  − d

d



1

c





s =  s

β1 (d d ) a

1

0,85(74,75 4,6) 23,827

s = 0,00251

−1



= 0,00488



s

≥ y = fEy −−−−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y el acero de tracción fluye !

0,00488 > 0,00210 cumple !





β1 = 0,85 para 0 < fc c=

≤ 280 Kg/cm

2

a 23,827 = = 28,032 cm β1 0,85

s = 0,003

dc c 74,75 28,032 s = 0,003 = 0,005 28,032 s = 0,005 =  t = 0,005 cumple ! c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

 −   − 129


Capítulo3

Como s > t

 −→ 


s = 0,005 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión el acero tracción fluye !

Al ser s = 0,005 > 0,0021 −−−−−−−−−−−−−−−→ fs = f y = 4200 kg/cm 2

Paso 8: Determinación del acero de compresión : φMn1 As = φfs (d d ) 5232,66(100) As = = 2,05 cm 2 0,9 4200 (72,25 4,6) 

−







·

·

−

Paso 9: Determinar el acero de refuerzo requerido en la viga 1 de acero-acero .

   



As1 = A s

fs fy

As1 = 2,05

4200 4200

= 2,05 cm 2

Paso 10: Determinar el área total de refuerzo a tracción requerido As (requerido) = A s1 + As2 As (requerido) = 2,05 + 40,51 = 42 ,56 cm 2

Paso 11: Seleccionar el número y el diámetro de barras de acero de refuerzo de compresión y tracción As (provisto) > As (requerido) 2φ12 10φ25





−→ As (provista) = 2,26 > As (requerida) = 2,05 cm −→ cumple ! 2


Paso 12: Determinacion del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo. fs =

2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

cc = r + φe = 3 + 1 ,0 = 4,0 cm

smax

 ≤ 

2800 2800 2,5 cc = 38 fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30 cm fs 2800 38

−

·


130

− 2,5(4,0) = 28 cm (gobierna)


Capítulo3

smin

  ≥ 


·

·

sprovisto =

1 n

−1




bw

1





− 2(r + φe + φ long ) 2 30

) − 2(3 + 1,0 + 2,5 2

5 1 smin < sprovisto < smax

−



= 4,87 cm

para 5φ25 (dos filas de acero) −→ 2,5 < sprovisto = 4,87 < 28 cm −→ cumple ! El epaciamiento provisto por 5φ25 en dos filas de acero es de 4,87 cm .

Paso 13: Detalle de armado

d'=4.6cm

d dt

=

7 4 .7 5

=

72 .25

cm

cm

Figura 3.43. Detalle de armado de la viga de 30 × 80 cm del ejemplo 3.7 

3.8 DISEÑO A FLEXION DE VIGAS T y L 3.8.1 Ancho efectivo del ala

Figura 3.44. Distribución del máximo esfue rzo de compresión por flexión c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

131


Capítulo3

La comprensión de la distribución del esfuerzo de compresión por flexión en las alas de un conjunto de vigas paralelas, Figura 3.44, permite ver que para la estimación del ancho efectivo del ala de la viga , b , para propósitos de diseño, puede asumirse a partir de una distribución de esfuerzos rectangular equivalente, ver Figura 3.45, si esta proporciona una fuerza de compresión igual a la fuerza desarrollada por la distribución real de esfuerzos de compresión con ancho bo .

Figura 3.45. Distribución del máximo esfue rzo de compresión por flexión El código ACI 318-05 en la sección 8.10.2, 8.10.3 y 8.10.4 presenta reglas para la estimación del ancho efectivo b.

Ancho efectivo b de losa usada como ala de vigas T b b

 4

− bw  8 · hf −→ b  16 · hf + bw 2

b

bw

−2



s 2

hf



−→ b

s + bw

bW



hf

bW

Figura 3.46. Geometría de viga interior de un entrepiso con vigas c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

132


Capítulo3

Ancho efectivo b de losa usada como ala de vigas L

− bw  12 −→ b  12 + bw b − bw  6 · hf −→ b  6 · hf + bw s s b − bw  −→ b  + bw 2 2 b

bW



hf

bW

Figura 3.47. Geometría de viga de borde de un ent repiso con vigas

Ancho efectivo b en vigas T aisladas bw 2 b  4 bw

hf 

·

3.8.2 Análisis de vigas T y L Se presentan dos casos: a < hf Si la profundidad del bloque de compresión pasa por las alas.

Se analiza como una viga de sección rectangular de ancho b, es decir, la resistencia de diseño al momento flector es calculada con: Mu = φ As fy d

· ·



·



  ·


d

−

133

·

·

El cálculo del área de refuerzo se realiza con: 0,85 fc b As = fy

As fy 0,85 fc b

−2 d

2

(3.59)



·

· 

2 Mu φ 0,85 fc b

− ·

·



· ·



(3.60)


Capítulo3

a > hf Si la profundidad del bloque de compresión es mayor al espesor del ala .

Para el análisis de vigas cuyas zona de compresión tiene forma de T, ver Figura 3.48, la viga-T es dividida en dos vigas hipotéticas, una llamada viga F (flange), por que considera en compresión el ala (web) de la viga-T, ver Figura 3.49; la otra denominada viga-W por que solo considera la parte del alma que está en compresión , ver Figura 3.50. εu

hf

=

0.003

f` a/2

a

a=β1c

C

As ε

fs

bw

=

T=A fs

fy

y

Figura 3.48. Fuerzas y esfuerzos internas en la viga-T

Viga F: ecuaciones de Mn y φMn f` hf /2

hf

a

Cf

=

0.85f c'bh

f

hf

df

A sf

fs

=

fy

Tf=A sf yf

bw

Figura 3.49. Fuerzas y esfuerzos internas en la viga-F Condición de equilibrio de fuerzas 

Asf =

0,85fc b hf

· ·

fy

Condición de equilibrio de momentos

Ecuación de momento Mnf basado en Mnf = T f · jd c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

134

(3.61)


Capítulo3

La sumatoria de momentos alrededor de la línea de acción de la fuerza de compresión, figura 3.49 resulta:



 

· · d − h2

φMnf = φ Asf fy

C f en la

(3.62)

Ecuación de momento Mnf basado en Mnf = C f · jd

Alternativamente, uno podría sumar los momentos alrededor de la línea de acción de la fuerza de tracción, T w en la figura 3.49 resulta: 

φMn = φ (0,85 fc ) b hf



hf

d

(3.63)

2

 

· · · · −

Viga W: ecuaciones de Mn y φMn

f`

hf

a aw

hw

' C w=0.85f b a cw w

a w /2

dw A sw

fs

=

Tw= A swfy

fy

bw

Figura 3.50. Fuerzas y esfuerzos internas en la viga-W Condición de equilibrio de fuerzas aw =

Asw fy 0,85 Fc bw

· · ·

(3.64)



Condición de equilibrio de momentos

Ecuación de momento Mnw basado en Mnw = T w · jd

La sumatoria de momentos alrede dor de la línea de acción de la fuerza de compresión, C w en la figura 3.50 resulta:



φMnw = φ Asw fy



· · d − hf −

 −  a

hf

2

(3.65)

Ecuación de momento Mnf basado en Mnf = C f · jd Alternativamente, uno podría sumar los momentos alrededor de la línea de acción de la fuerza de tracción, T w en la figura 3.50 resulta:







φMn = φ (0,85 fc ) bw (a

·

· · − hf ) · d − hf −


135

 −  a

hf

2

(3.66)


Capítulo3

Viga T El momento nominal al momento flector de la viga-T, es igual a la suma de los momentos nominales de las vigas F y W. Viga-T = Viga-F Viga-W +

a=

(3.67)

a = a w + af

(3.68)

Asw fy + hf 0,85 fc bw

(3.69)

·



Para encontrar el momento nominal de la viga-F,· se ·reemplaza las ecuaciones ?? y ?? en la ecuación 3.67

    · −

· · d − h2f

Mn = A sf fy



φMn = φ Asf fy

·

hf 2

d



+ Asw fy

 −     · − − −

· · d − hf −

+ Asw fy

·

d

a

hf

a

hf

(3.70)

2

hf

(3.71)

2

Alternativamente, reemplazando las ecuaciones ?? y ?? en la ecuación 3.67 se obtiene: 

    · · · −

· · · d − h2f

Mn = (0,85 fc ) b hf

·





φMn = φ (0,85 fc ) b hf

·

d



+ (0,85 fc ) bw (a

hf 2

·



 −     · − − −

· · − hf ) · d − hf − 

+ (0,85 fc ) bw (a

·

· · − hf )

d

hf

a

hf

(3.72)

2

a

hf

2

(3.73)

3.8.3 Armadura mínima en vigas T y L

Vigas-T y L,con regiones de momento positivo con el ala en compresión y regiones de momento negativo donde el ala está en tracción, según el artículo 10.5.1 del código ACI 318-05, se debe revisar que As = Asf + Asw exceda al As,min dado por:

As,min

de:

   ≥  ·



0,8 fc bw d fy

·

14 bw d fy

(3.74)

En vigas-T y L isostáticas, con el ala en tracción, el refuerzo A s = Asf + Asw debe ser el mayor

    ≥   ·



1,6 fc bw d fy

As,min

·



0,8 fc b d fy 14 bw d fy


136

·

(3.75)


Capítulo3

3.8.4 Ejercicios propuestos Ejemplo 3.8 Las dimensiones de la sección transversal de una viga-T, Figura 3.51,son: ancho del alma 30; cm, espesor del ala 10 cm, altura de la viga 55; cm, la longitud de la viga es 7,50 m, la separación de las vigas es 70 cm, el momento de diseño es 50100 kg m, el hormigón tiene una resistencia caracteristica de 210 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 . Se pide diseñar la viga-T.

·

h f =10 cm

As

bw

=

3 0c m


Solución 3.8 Objetivo Determinar el número y el diametro de las barras de acero y revisar el espaciamiento del refuerzo para evitar la fisuración. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal bw

Ancho alma, = 30 cm Espesor alma, hf = 10 cm Longitud viga,  = 5,40 m Separación, = 70 cm

Materiales

Cargas

Hormigón: peso normal, 2

Momento último, M u = 50100 kg · m



fc = 210 Kg/cm Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 Recubrimiento: r = 3 cm φest = 10 mm (Asumido)

Resultados Paso 1: Establecer la resistencia última al momento flector requerida , Mu Mu = 50100 kg m

·

Paso 2: Establecer el ancho efectivo del alma , b

b<

  

 540 = = 135 cm 4 4 16

× hf + bw = 16 × 10 + 30 = 190 cm

s + bw = 40 + 30 = 70 cm (gobierna)


137

(3.76)


Capítulo3

Paso 3: Asumir el canto útil , d , posiblemente este en dos filas de acero.

− r − φe − 3 × 2φlong 3 × 2,2 d = 55 − 3 − 1 − = 47,7 cm 2 d=h

Paso 4: Establecer el tipo de análisis de la viga-T como viga-T o viga-rectangular 

− 

φMnf (máximo) = φ(0,85 fc ) b hf

·

φMnf (máximo) = 0,9

d

· ·

hf 2

× (0,85 × 210) × 70 × 10



47,70

− 102



= 48018,28 kg m

·

diseñar como

Si: Mu > φMnf

−−−−−−−−→ viga-T 50100 > 48018,28 kg · m −→ cumple !

∴

Analisar como viga T-verdadera. φMnw = M u

− φMnf − 48018,28 = 2081 ,72 kg · m

φMn1 = 50100

Paso 5: Calcular el área de refuerzo total . 

Asf =

0,85fc b hf fy

Asf = 0,85

· ·

× 210 × 70 × 10 = 29,75 cm 4200

hw = h

2

− hf − 10 = 45 cm

hw = 55

− r − φe − 3 φlong 2 2,2 d = 45 − 3 − 1 − 3 = 37,70 cm 2 d=h

0,85 fc bw fy

 

0,85

30



Asw = A sw

=

· ·

210

×4200 ×

dw

−

d2w

· φMnw − φ · 20,85 · f · bw 

c

37,702

37,70



−



2

 2081,72(100)

− φ ××0,85 × 210 × 30

As = A sf + Asw As = 29,75 + 1,48 = 31 ,23 cm 2


138

= 1,48 cm 2




Capítulo3


β1 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2 

ρmax =

3 f 3 210 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0155 7 fy 7 4200

ρt =

3 f 3 210 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0135 8 fy 8 4200





ρmin

0,8 fc = 0,8 210 = 0,0028 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

  ≥ 

√

As,max = 0,0155

× 70 × 47,7 = 51 ,75 cm As,t = 0,0135 × 70 × 47,7 = 45 ,08 cm As,min = 0,0033 × 30 × 47,7 = 4,72 cm

2 2 2


para 6φ18 −→ 4,72 < As = 31,23 < 45,08 < 51,75 cm 2 −→ cumple !

Paso 7: Seleccionar el número y el diámetro de barras de acero de refuerzo de tracción As (provista) = 34,87 > As (requerida) = 31,23 cm 2

6φ22 + 6φ16

−→

cumple !

−→

Paso 8: Determinación del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo. fs =

2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

cc = r + φe = 3 + 1 ,0 = 4,0 cm

 ≤    ≥

2800 2800 2,5 cc = 38 fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30 cm fs 2800 38

smax

smin

−

·

− 2,5(4,0) = 28 cm (gobierna)


·

sprovisto = c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

·

1 n

−1



bw

139



− 2(r + φe + φ long ) 2


Capítulo3

para la fila de 6φ22 −→ sprovisto =

1 6

−1



30



− 2(3 + 1,0 + 2,2 ) 2

= 3,96 cm


para la fila de 6φ22 (dos filas de acero)

−→ 2,5 < sprovisto = 3,96 < 28 cm −→

El espaciamiento provisto por 6φ22 en dos filas de acero es de 3,96 cm .

Paso 9: Revisión de la fluencia del acero de tracción , f s = f y T = A s fy

· × 4200 = 131166 kg

T = 31,23 

Cf = 0,85 fc b hf

· · · Cf = 0,85 × 210 × 70 × 10 = 124950 kg Cw = T

− Cf

Cw = 131166

− 124950 = 6216 kg

cw + hf 0,85 fc bw 6216 a= + 10 = 11 ,161 cm 0,85 210 30 a=



· · ×

×




β1 = 0,85 para 0 < fc

c=

≤ 280 Kg/cm

2

a 11,161 = = 13,131 cm β1 0,85

s = 0,003 s = 0,003

−  −  d

c c 49,90 13,131 13,131

= 0,00840

s = 0,00840 > t = 0,005 cumple !

Como s > t

 −→ 



140

cumple !


Capítulo3

s = 0,00840 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión fy Es 4200 y = = 0,00210 2000000 y =



s




0,00840 > 0,00210 cumple !

Paso 10: Detalle de armado h f =10 cm

b w = 30 cm

Figura 3.52. Detalle de armado de la viga-T del ejemplo 3.8 

Ejemplo 3.9 Las dimensiones de la sección transversal de una viga-T se muestra en la Figura 3.53, la cual es parte de un sistema de entrepiso, ancho del alma 25; cm, espesor del ala 5 cm, altura de la viga 35; cm, la longitud de la viga es 6,20 m, la luz libre entre vigas paralelas es 55 cm, el hormigón tiene una resistencia caracteristica de 210 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 . Determinese el momento resistente

h f =5 c m

bw

=

2 5c m

Figura 3.53. Detalle de armado de la viga-T de l ejercicio 3.9

Solución 3.9 Objetivo Determinar la resistenc ia última al momento flector de la viga T c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

141


Capítulo3

Datos de Análisis Son los siguientes: Sección transversal Ancho alma, b w = 25 cm Espesor alma, h f = 5 cm Longitud viga,  = 6,40 m

Materiales Hormigón: peso normal, 

fc = 210 Kg/cm 2 Acero: f y = 4200 Kg/cm 2

Cargas Momento último, M u =? kg · m

Resultados Paso 1: Establecer el ancho efectivo del alma , b

b<

  

 620 = = 155 cm 4 4 16

× hf + bw = 16 × 5 + 25 = 105 cm

s + bw = 55 + 25 = 80 cm (gobierna)

Paso 2: Determinar el canto útil , d:

− r − φ long 2 2,8 d = 35 − 2,5 − 1 − = 31,1 cm 2 d=h


β1 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2 

ρmax =

3 f 3 210 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0155 7 7 4200 fy

ρt =

3 f 3 210 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0135 8 fy 8 4200



ρmin

  ≥ 

√



0,8 fc 0,8 210 = = 0,0028 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

As,max = 0,0155

× 80 × 31,1 = 38 ,564 cm As,t = 0,0135 × 80 × 31,1 = 33 ,59 cm

As,min = 0,0033

25

2 2

31,1 = 2,57 cm 2

× ×


para 3φ25 −→ 2,57 < As = 18,47 < 33,59 < 38,564 cm 2 −→ cumple ! c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

142


Capítulo3

Paso 4: Establecer el tipo de análisis de la viga-T como viga-T o viga-rectangular T = A s fy

·

T = 18,47

× 4200 = 77574 kg



Cf = 0,85 fc b hf Cf = 0,85 210 80

· · · × × × 5 = 71400 kg

Si: T > Cf

diseñar como

viga-T

77574 > 71400 kg

−−−−−−−−→ −→ cumple !

Cw = T Cf Cw = 77574 71400 = 6174 kg

−

−

cw + hf 0,85 fc bw 6174 a= + 5 = 6 ,384 cm 0,85 210 25 a=



· · ×

×

Paso 5: Revisión de la deformación unitaria neta de tracción t , el factor de reducción de la resistencia φ y fluencia del acero de tracción , fs = fy . dt = h

− r − φe − φ long 2

dt = 35

− 2,5 − 2,8 2 = 31,1 cm 

β1 = 0,85 para 0 < fc c=

≤ 280 Kg/cm

2

a 6,384 = = 7,511 cm β1 0,85

−  − 

c c 31,1 7,511 s = 0,003 = 0,00942 7,511 s = 0,00942 > t = 0,005 cumple ! s = 0,003

d

Como s > t −→ La sección es controlada por la tracción



φ = 0,9

s = 0,00942 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

143


Capítulo3 fy Es 4200 y = = 0,00210 2000000 y =



s




0,00942 > 0,00210 cumple !

Paso 6: Calcular la resistencia de diseño, φMn al momento flector



 

· · · · d − h2f 

φMn = φ (0,85 fc ) b hf



φMn = 0,9 (0,85



× 210) × 80 × 5 ×

+ 0,9 (0,85





+ (0,85 fc ) bw (a

·



31,10

·

  ×

 −  a

hf

2

− 52

× 210) × 25 × (6,384 − 5)

Mu = 17,79 ton m

· · − hf ) · d − hf −

31,10

−5−



6,384 2

−5

 

Ejemplo 3.10 En la Figura 3.54 se muestra un losa nervada en una dirección, se pide diseñar las viguetas de dicho entrepiso, el aligeramiento será realizado con plastoformo de 40 cm de ancho, el hormigón tiene una resistencia caracteristica de 210 Kg/cm 2 y la resistencia de fluencia del acero es 4200 Kg/cm 2 .


Solución 3.10 Objetivo Determinar el número y el diámetro de las barras de acero del nervio y losa de la vigueta. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

144


Capítulo3

Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Luz larga:  l = 8 m hormigón: peso normal, Carga viva, Luz corta de losa 1:  n1 = 5,5 m fc = 210 Kg/cm 2 Luz corta de losa 2:  n2 = 6,0 m Acero: f y = 4200 Kg/cm 2 Recubrimiento: r = 2 cm

LL = 400 kg/m 2



γH o Ao = 2400 kg/m 3 γH o = 2304 kg/m 3 γyeso = 1120 kg/m 3

Resultados Paso 1: Realizar el predimensionamiento de la vigueta en losa nervada. n Un extremo continuo! 18,5 550 hmin = = 29,73 cm  30 cm 18,5 hmin =

−→

Losa L2 n Dos extremos continuos! 21 600 = = 28,57 cm  29 cm 21

hmin = hmin

−→

∴ Por consideraciones constructivas usar en todo el sistema de entrepiso viguetas de altura

hnervio = 30 cm . 1

hf

 ≥

1

40 = 3 ,33 cm 12 12 4 cm (gobierna)

∴

Usar espesor de losa hf = 5 cm.

∴

Probar un b w = 10 cm.

bw

S=

≥ 10 cm ACI 8.11.2

h < 3,5 bw ACI 8.11.2 10 = 35 cm

30 cm < 3,5

· ×

S < 75 cm ACI 8.11.3

−→

Cumple!!

Cumple!! Las dimensiones preliminares de la vigueta se muestran en la Figura 40 cm < 75 cm

−→

3.55. h f =5 cm

b w = 10 cm

b w = 10 cm

b w = 10 cm

Figura 3.55. Predimensiones de la losa nervada 3.10 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

145


Capítulo3

Paso 2: Análisis de cargas gravitacionales Determinación de cargas superficiales en las losas Carga muerta wD,ceramica = = 80 wD,contrapiso = γH o · ecp = 2304 × 0,03 wD,cielofalsoyeso = γyeso · ecf = 1120 × 0,02 wD,luminarias = = 15 wD,losa

= γH o Ao · h f

= = = = wD,adicional = = 2400 × 0,05 = wD =

80 kg/m 2 70 kg/m 2 23 kg/m 2 15 kg/m 2 188 kg/m 2 120 kg/m 2 308 kg/m 2

Cargas vivas = 400 kg/m 2 = 400 kg/m 2 Determinación de cargas lineales sobre las viguetas wD,peso propio =γH o Ao · [bw (h − hf ) + hf · b] w =2400 × [0,10(0,30 − 0,05) + 0,05 × 0,50] = 120 kg/m Cargas muertas D,peso propio wD,adicional =188 × 0,5 = 94 kg/m wD,vigueta =214 kg/m Cargas vivas wL,ocupacional = LL · b = 400 × 0,5 Cargas vivas wL,vigueta = 200 kg/m 2 wL,ocupacional wL

a) Diseño de la losa superior Paso 1: Determinar las carga últimas sobre la losa wu = 1,4 wD wu = 1,4(308) = 432 kg/m 2

·

wu = 1,2 wD + 1,6 wL

·

·

wu = 1,2(308) + 1,6(400) = 1010 kg/m 2 (gobierna) ∴

La carga última a utilizarse es wu = 1010 kg/m 2 × 1 m = 1010 kg/m .

Paso 2: Determinar la resistencia última al monento flector requerida , Mu Mu =

wu 2n 1010 0,42 = = 24 24

Mu+ =

wu 2n 1528 0,42 = = +11 ,54 kg m 14 14

−

Mu = −

·

×

·

wu 2n

·

×

=

1528

10

·

2

× 0,4

10

Determinación del momento último en el tramo Mu = −

=

·

×

146

16,16 kg m

− 2 −3

wu 2n 1010 0,42 = = 11 11


−6,73 kg · m





·

−14,69 kg · m


Capítulo3 2

Mu+ =

wu n 1010 0,4 = = +10 ,1 kg m 16 16

Mu =

wu 2n 1010 0,42 = = 11 11

−

1`

2

·

×

·

·

×

w u l 2n =-1 6. 16 kg× m 10

−14,69 kg · m

2`

3`

wul2 =-14.69 kg m 11 n

×

wul2 =- 6. 73 k g× m 24 n

h f =5 cm

w ul2 =+1 0. 10 k g× m 16 n

w u l2n =+1 1. 54 kg× m 14 bw = 10 cm

bw =10 cm

Figura 3.56. Momentos ultimos en la losa nervada del ejemplo 3.10

Paso 3: Determinar el área mínima de acero por contracción y temperatura, según el código ACI 318-05 en el artículo 7.12.2.1, se tiene: As,min = 0,0018 b h = 0,0018

· ·

∴

× 100 × 5 = 0,9 cm

2

Usar barras φ = 6c/32 cm. Notar que el artículo 7.12.2.2 exige que el espaciamiento

×25h cm = ,5 el×A5s,provisto = 25 y= a1,13 45 cm cm2,. por lo que se modifica el máximo debe ser menorφa= 56c/ espaciamiento a barras Paso 4: Determinar el área de refuerzo por flexión utilizando el concepto de cuantia mecánica Definir el ancho de losa, b : b = 100 cm d=

Calular

h 5 = = 2,5 cm 2 2

Mu 16,16(100) = = 0,0138 0,9 210 100 (2,5)2 φ fc b d2 

· · ω = 0,0138 < ωt = 0,2709 −→ Cumple !!

∴

·

· · ·


As = ω fc b d = 0,0138 210 4200 fy

·

∴

·

× 100 × 2,5 = 0,172 cm

2

Asumiendo barras φ = 6 mm con una separación de 25 cm se tiene una As (provista) =

1,13 cm .


147


Capítulo3

Paso 5: Verificación del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo. smin

  ≥ 


·

smax

·

 · ≤ 

5 h=5

× 5 = 25 cm (gobierna)

45 cm

fs = 2 fy = 2 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

cc =

smax,fisuracion

 ≤ 

h 2

5 0,6 − φ long = − = 2,2 cm 2 2 2

2800 2800 2,5 cc = 38 2,5(2,2) = 32 ,5 cm fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30,0 cm (gobierna) fs 2800 smin < sprovisto < smax 38

−

·

−

Para φ6c/25 cm −→ 2,5 < sprovisto = 25  25 cm −→ Cumple !!

Usar barras φ = 6c/25 cm . El refuerzo para las demás secciones se obtiene de manera similar. La siguiente tabla resume los resultados de diseño a flexión. ∴

Tramo 1





−2

Mu [kg m] Mu = 6,73 Mu+ = +11,54 Mu = 16,16 Mu = 14,69 Mu+ = +10,10 Mu = 14,69 −

−

2





−3

−

−

·

− − − −

As,req [cm2 ]

0.072 0.123 0.172 0.157 0.107 0.157

As,min [cm2 ]

0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

smin [cm] 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5

smax [cm] 25 25 25 25 25 25

Barras

db c/sprov φ6c/25 φ6c/25 φ6c/25 φ6c/25 φ6c/25 φ6c/25

As,prov [cm2 ]


h f =5 cm

b w =10 cm

b w = 10 cm

Figura 3.57. Detalle de armado la losa nervada del ejemplo 3.10 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

148

1.13 1.13 1.13 1.13 1.13 1.13


Capítulo3

(b) Diseño de vigueta Paso 1: Determinar las carga últimas sobre la losa wu = 1,4 wD,vigueta

·

wu = 1,4(214) = 300 kg/m 2 wu = 1,2 wD,vigueta + 1,6 wL,vigueta wu = 1,2(214) + 1,6(200) = 576 ,8 kg/m (gobierna)

·

·

la resistencia Paso 2: Determinar del momento − B flector requerida , Mu Determinación último en elúltima tramoal Amonento 



Mu =

576,8 5,52 wu 2n1 = = 24 24

Mu+ =

wu 2n1 576,8 5,52 = = +1246 kg m 14 14

·

−

Mu =

×

·

−727 kg · m

×

·

wu 2n1+n2 576,8 5,752 = = 10 10

·

×

−16,16 kg · m Determinación del momento último en el tramo B − C wu · n n 576,8 × 5,75 Mu = = = −1734 kg · m 11 11 −



2



2

1+ 2

−

wu 2n2

+

Mu

=

16

· wu · n =

=

2

Mu

−

A`

× = +1299 kg · m 576,8 × 6 = = −1888 kg · m

16

11

B`

w u  2n =-1907 kg ⋅m 10

62

2

2

11

576,8

w u  2n =-1734 kg ⋅m 11

w u 2n =-1888 kg ⋅m 11

w u  2n =-727 kg ⋅ m 24  n1=5.5

m

 n 2 =6

w u 2n =+1246 k g ⋅m 14

m

w u 2n =+1299 kg ⋅m 16

Figura 3.58. Momentos ultimos en las vigue tas del ejemplo 3.10 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

149

C`


Capítulo3

Paso 3: Determinar el área de refuerzo por flexión utilizando el concepto de cuantia mecánica b = 100 cm

− r − φ2 1,2 d = 30 − 2 − = 27,4 cm 2 d=h

Calular

Mu 1907(100) = = 0,1344 φ fc b d2 0,9 210 10 (27,4)2 

· · ·

·

· ·

ω = 0,1475 < ωt = 0,2709 ∴

−→ Cumple !!


fc 210 b d = 0,1475 fy 4200

As = ω

·

·

× 10 × 27,4 = 2,02 cm

2

Asumiendo 2 barras φ = 12 mm se tiene una A s (provista) = 2,26 cm2 . Revision de limites de acero de refuerzo máximo, máximo útil, mínimo ∴



β1 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2 

ρmax

3 fc 3 210 = 7 0,85β1 fy = 7 0,85(0,85) 4200 = 0,0155 

ρt =

ρmin

3 3 210 f 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0135 8 fy 8 4200

  ≥ 

√



0,8 fc 0,8 210 = = 0,0028 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

As,max = 0,0155

2

× 10 × 27,4 = 4,25cm As,t = 0,0135 × 10 × 27,4 = 3,70 cm As,min = 0,0033 × 10 × 27,4 = 0,91 cm

2 2


para 2φ12 −→ 0,91 < As = 2,26 < 3,70 < 4,25 cm 2 −→ cumple ! 2φ12

−→ As (provista) = 2,26 > As (requerida) = 2,02 cm −→ cumple !


2

150


Capítulo3

Determinación del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo. 2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

fs =

cc = r = 2 cm

smax

smin

  ≥ 

  ≤

38

2800 fs

− 2,5 · cc = 38 2800 − 2,5(2) = 33 cm 2800

30 2800 fs = 30 2800 2800 = 30 cm (gobierna)


·

·

sprovisto =

1 n

−1




bw

1 2

−1



− 2(r + φlong ) 2



10



− 2(2 + 1,2 ) 2

= 4,8 cm


para 2φ12 −→ 2,5 < sprovisto = 4,8 < 30 cm −→ cumple ! Para el caso de carga en el tramo central: Establecer el tipo de análisis de la viga-T como viga-T o viga-rectangular 

φMnf (máximo) = φ(0,85 fc ) b hf

·

φMnf (máximo) = 0,9

× (0,85 × 210)

Si: M u > φMnf

−   × × hf 2

d

· ·

50

5 27,4

− 52



= 10000 kg m

diseñar como

−−−−−−−−→ viga-T 1246 > 10000 kg · m −→ No cumple !

∴

Analisar como viga T-rectangular. Calular

Mu 1246(100) = = 0,0176 φ fc b d2 0,9 210 50 (27,4)2 

· · ·

·

ω = 0,018 < ωt = 0,2709 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

151

· ·

−→ Cumple !!

·

Hormigón Armado U.M.S.S.-Ing.Civil ∴

Capítulo3


As = ω

fc 210 b d = 0,018 fy 4200

·

·

× 50 × 27,4 = 1,23 cm

2

Asumiendo 2 barras φ = 10 mm se tiene una A s (provista) = 1,57 cm2 . Revision de limites de acero de refuerzo máximo, máximo útil, mínimo ∴



β1 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2 

3 fc 3 210 ρmax = 7 0,85β1 fy = 7 0,85(0,85) 4200 = 0,0155 

ρt =

ρmin

3 f 3 210 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0135 8 fy 8 4200

  ≥ 

√



0,8 fc 0,8 210 = = 0,0028 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

As,max = 0,0155

× 50 × 27,4 = 21 ,24 cm As,t = 0,0135 × 50 × 27,4 = 18 ,50 cm As,min = 0,0033 × 10 × 27,4 = 0,91 cm

2 2 2


para 2φ12 −→ 0,91 < As = 2,26 < 18,50 < 21,24 cm 2 −→ cumple ! 2φ12


Determinación del espaciamiento máximo y mínimo permitido de refuerzo. 2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

fs =

cc = r = 2 cm

 ≤    ≥  ·

2800 2800 2,5 cc = 38 2,5(2) = 33 cm fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30 cm (gobierna) fs 2800 38

smax

−

·

−

2,5 cm (gobierna)

smin

db = 1,8 cm 1,33 Tmax.agr = 1,33(3/4) 2,5 = 2,5 cm (gobierna)


·

152


Capítulo3 sprovisto =

1 n

−1



para 2φ12 + 2φ16 −→ sprovisto =

bw



− 2(r + φlong ) 2 1

2

−1



10

− 2(2 + 1,2 ) 2



= 4,8 cm


para 2φ12 + 2φ16 −→ 2,5 < sprovisto = 4,8 < 30 cm −→ cumple ! El refuerzo para las demás secciones se obtiene de manera similar. La siguiente tabla resume los resultados de diseño a flexión.

Tramo A



−B



Mu [kg m] Mu = 727 Mu+ = +1246 Mu = 1907 Mu = 1734 Mu+ = +1299 Mu = 1888 −

·

−

B



−C



−

−

− − − −

As,req [cm2 ]

.072 1.22 2.02 1.82 1.27 1.99

As,min [cm2 ]

0.91 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91

smin smax [cm] [cm] 2,5 25 2,5 25 2,5 25 2,5 25 2,5 25 2,5 25

Barras As,prov 2 2 2 2 2 2

 db φ8 φ10 φ12 φ12 φ10 φ12

[cm2 ]

1.01 1.57 2.26 2.26 1.57 2.26


 n1=5.5 m

 n 2 =6 m

Figura 3.59. Detalle de armado la vigue ta del ejemplo 3.10 

3.8.5 Ejercicios propuestos Ejercicio 3.1 La sección transversal de la viga mostrada en la Figura

3.60 , el hormigón tiene una resistencia característica fc = 210 kg/cm 2 , el acero tiene una resistencia a la fluencia de fy = 4200 kg/cm 2 . Se pide calcular la resistencia nominal al momento flector, revisar la cantidad de acero mínimo As,min. 


153


Capítulo3

Figura 3.60. Ejercicio propuesto 3.1 x 

Ejercicio 3.2 Una viga rectangular de hormigón armado tiene una sección transversal de

35 60 cm, soporta una carga muerta de servicio de 870 kg/m y una carga viva de servicio de 2040 kg/m. El refuerzo esta formado por 4 barras de φ28 mm A615 de grado 60, la resistencia característica del hormigón es de f c = 250 kg/cm 2 , la carga muerta de servicio es de 1240 kg/m, la carga viva de servicio es de 1460 kg/m. Determinar la máxima luz libre, bajo la cual la viga puede ser usada. x 

×



Ejercicio 3.3 Diseñar una viga rectangular de hormigón armado (con refuerzo solo de tracción) de una luz libre de 9,60 m. La carga muerta de servicio es de 1240 kg/m, la carga viva de servicio es de 1460 kg/m. la viga tiene un ancho de 30 cm y un alto de 65 cm. La resistencia característica del hormigón es de f c = 280 kg/cm 2 , y para el acero una resistencia a la fluencia de f y = 4200 kg/cm 2 . x Se pide calcular φM n para la viga diseñada.  

Ejercicio 3.4 Diseñar una losa simplemente apoyada que soporta una carga viva uniformemente distribuida de de 300 kg/m 2 . La longitud del tramo es 4 metros (medido centro a centro de los apoyos). La resistencia característica del hormigón es de fc = 210 kg/cm 2 , y para el acero una resistencia a la fluencia de fy = 4200 kg/cm 2 . Seleccionar el espesor de la losa de modo que no sea x menor que el espesor mínimo requerido por el ACI.  

Ejercicio 3.5 Calcular el momento nominal de la viga cuya sección transversal se muestra en la 

Figura 3.61. Usar una resistencia característica par el hormigón de f c = 210 kg/cm 2 , y para el acero x una resistencia a la fluencia de f y = 4200 kg/cm 2 . 


154


Capítulo3

Figura 3.61. Ejercicio propuesto 3.5

Ejercicio 3.6 Calcular la resistencia nominal al momento flector de la viga cuya sección transversal 

se muestra en la Figura 3.62. Usar una resistencia característica par el hormigón de fc = 350 kg/cm 2 , x y para el acero una resistencia a la fluencia de f y = 4200 kg/cm 2 . 


Ejercicio 3.7 Diseñar la viga de hormigón armado que presenta una resistencia última al momento flector de 94500 kg m. Las limitaciones fisicas requieren que la base de la viga sea de 35 cm y la altura total de la viga es de 75 cm. Usar una resistencia característica par el hormigón de f c = 210 kg/cm 2 , y para el acero una resistencia a la fluencia de f y = 4200 kg/cm 2 . La sección transversal se muestra x en la Figura 3.63. 

·



Figura 3.63. Ejercicio propuesto 3.7 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

155


Capítulo3

Ejercicio 3.8 La viga-T mostrada en la Figura es parte de un sistema de entrepiso. Determinar el momento de diseño, si resistencia a la fluencia es de del hormigón es de fc = 210 kg/cm 2 . 

fy = 4200 kg/cm 2 y resistencia característica x 

h f =5 c m

bw

=

2 0c m


Ejercicio 3.9 Diseñar la viga-T del sistema de entrepiso mostrada en la Figura. El piso tiene un espesor de 10 cm, se encuentra apoyada entre viga monolíticas con la viga con una luz de 6,60 m. las vigas paralelas están distanciadas a 2,40 m de eje a eje, tiene un ancho de 30 cm y una altura total de 55 cm, la resistencia a la fluencia del acero es f y = 4200 kg/cm 2 y resistencia característica del hormigón es fc = 210 kg/cm 2 . La carga muerta de servicio es 300 kg/m 2 y la carga viva de x servicio es de 200 kg/m 2 , la carga muerta no incluye el peso propio del sistema de entrepiso.  

hf

=

10cm

bw

=

30cm



156

CAPÍTULO

4

ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS A CORTE

4.1 INTRODUCCION Las vigas deben tener también un adecuado margen de seguridad contra otros tipos de fallas que son más peligrosas que la falla por flexión . Algunas de estas fallas son de difícil predicción y pueden traer consigo colapsos catastróficos. La falla por tensión diagonal viene a ser el término correcto para describir la falla por corte de elementos de hormigón. Hasta el presente, a pesar de que se han realizado muchos experimentos, la falla por corte es todavía difícil de predecir con exactitud.

4.1.1 Objetivos de este capítulo Despues de terminar este capítulo, el estudiante será capaz de: 1. Describir las condicione s en las cuales se crean los esfuerzos cortantes en vigas. 2. Entender el fundamento para el desarrollo de la formula de fisuras.

esfuerzo cortante promedio entre

3. Entender la necesidad de colocar refuerzo de corte para evitar la apertura de fiuras inclinadas. 4. Describir las fuerzas internas que actúan en vigas con y sin estribos. 5. Definir la ecuación básica de resistencia de diseño al corte requerida . 6. Conocer y aplicar el concepto del estado límite de falla por corte en la solución de problemas de diseño y análisis de vigas que soporten con seguridad una cierta carga. 7. Reconocer que es necesari o garantizar un limite espaciamiento del refuerzo de corte y una armadura mínima para evitar la formación de fisuras inclinadas, por consiguientemente aumento de la ductilidad y la integridad estructural.

157


Capítulo4

4.2 TEORIA BASICA DE CORTE 4.2.1 Teoria de corte en vigas elásticas, homogéneas y no fisuradas La viga mostrada en la Figura 4.1(a), resiste cargas primarias que se traducen en momentos internos, M , y fuerzas cortantes, V , Figura 4.1(c).

M+ΔM

Figura 4.1. Fuerzas internas en una viga simpleme nte apoyada El diagrama de cuerpo libre se ilustra en la Figura 4.1(d) en el cual puede verse que dM/dx = V . Según la teoría tradicional de vigas elásticas, homogéneas y no fisuradas el esfuerzo cortante en vigas, v , en un punto cualquiera de una sección transversal de una viga sometida a una fuerza vertical, se calcula usando la ecuación: v=

V Q I b

· ·

Donde: V = Fuerza de corte vertical en la sección transversal de interés. Q = Momento estático. Es el momento respecto al eje centroidal general, del área, Ap , de la parte de la sección transversal alejada del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante multiplicada por la distancia y , al centroide A p medida a partir del eje centroidal de la sección transversal completa, Ap · y . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

158


Capítulo4

I = Momento de inercia de la sección transversal completa de la viga con respecto a su eje centroidal. b = Ancho de la sección transversal del elemento medido en el eje donde se va a calcular el esfuerzo

cortante.

4.2.2 Esfuerzo de corte promedio entre fisuras El periodo inicial de la fisuración se presenta con esfuerzos ver ticales, los cuales se extienden de manera diagonalmente al incrementarse la carga, como se muestra en la Figura 4.2.

T+Δ T

Δx

C+Δ C

T+ΔT

Figura 4.2. Cálculo del esfuerzo promedio entre fisuras

Equilibrio de fuerzas horizontales ∆T =

∆M jd

(4.1)

Equilibrio de momentos ∆M = V ∆x

·

(4.2)

Del equilibrio de fuerzas y momentos

Reemplazando la ecuación 4.2 en la ecuación 4.1: ∆T jd =

·


V ∆x jd

159

·

(4.3)


Capítulo4

Esfuerzo cortante Si la porción sombreada de la Figura 4.2(b) se asila como se muestra en la Figura 4.2(c), la fuerza ∆T deberá transferirse a traves del esfuerzo cortante horizontal con dirección izquierda en la fibra superior del elemento. v=

Donde jd ∼ = 0,875d y b w es el espesor del alma.

V bw jd

·

(4.4)

La distribución del esfuerzo cortante horizontal promedio se muestra en la Figura 4.2(d). El procedimiento del codigo ACI318-05 aproxima la ecuación 4.4 a la siguiente de diseño ecuación, la cual no requiere cálculo de jd : v=

V bw d

·

(4.5)

4.2.3 Refuerzo de corte En el capitulo de flexión se vio que el refuerzo horizontal fue utilizado par evitar la apertura de alguna fisura vertical , tal como se muestra en la Figura 4.3.

Figura 4.3. Fisura por flex ión La apertura de una fisura inclinada es aproximadamente perpendicular  al refuerzo longitudinal , ver Figura 4.4.

Figura 4.4. Fisura inclinada Por lo tanto, una combinación de refuerzo longitudinal e inclinado es necesario para restringir las aperturas de las fisuras, como se muestra en la Figura 4.5

Figura 4.5. Refuerzo de corte inclinado c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

160


Capítulo4

O también, una combinación de refuerzo longitudinal y vertical es necesario para restringir las aperturas de las fisuras, como se muestra en la Figura 4.6

Figura 4.6. Refuerzo de corte vertical

4.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES 4.3.1 Resistencia al Corte Resistencia al corte de diseño ≥ Resistencia al corte requerida φVn

≥ Vu

(4.6)

Donde: V u = Resistencia última o mayorada a la fuerza de corte. φ = Factor de reducción de la resistencia, se toma 0,75. Vn = Resistencia nominal a la fuerza de corte. En la Figura ?? la fuerza de corte es transferida a través de la superficie A-B-C a la zona de compresión, V cz . Vn = V c + Vs

(4.7)

Donde: Vc = Resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionada por el hormigón. Vs = Resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionada por refuerzo de cortante, como los estribos. Reemplazando la ecuación 4.7 en la ecuación 4.6 se encuentra: φ(Vc + Vs )

≥ Vu

(4.8a)

φVc + φVs

≥ Vu

(4.8b)

− φVc

(4.9a)

− Vc

(4.9b)

φVs  Vu

Vs 


Vu φ

161


Capítulo4

4.3.2 Cálculo de la fuerza máxima de corte mayorada, Vu Ubicación de la sección crítica Es la sección que se utiliza para el analisis de la fuerza de corte mayorada Vu , esta localizada en la fisura inclinada más cercana al apoyo de la viga, ver Figura 4.7, está fisura se extiende hacia arriba desde la cara del apoyo y alcanza la zona de compresión a una distancia de aproximadamente d medida desde la cara del apoyo.

Condiciones de apoyo El reglamento ACI318-05 permite que en el diseño de secciones localizadas a una distancia menor a d utilizar el valor de fuerza cortante mayorada Vu localizada a una distancia d medida desde la cara del apoyo. 1. La reacción el apoyo, en la dirección de la fuerza de corte aplicada, introduce en las zonas extremas del elemento.

compresión

2. Las cargas se aplican en la parte superior del elemento o cerca de la parte superior del elemento. 3. No existen cargas concentradas entre la cara del apoyo y la ubicación de la sección crítica (la sección critica está a una distancia d de la cara del apoyo).

Vu

Vu

Vu

Vu

Figura 4.7. Condiciones tipicas del apoyo para localizar la fuerza Vu Las condiciones, en las cuales no son aplicables: 1. Elementos aporticados por un elemento de tracción, ver Figura 4.8(a). 2. Elementos cargados cerca de la parte inferior (cargas no aplicadas en o cerca de la cara supeior del elemento), Figura 4.8(b). 3. Elementos cargados de tal manera que la fuerza de corte presente un cambio abrup to entre la cara del apoyo y la distancia d a partir de la cara del apoyo, y el cortante difiera radicalmente del cortante a una distancia d Figura 4.8(c).


162


Capítulo4

Vu

Vu

Vu

Figura 4.8. Condiciones de apoyo para localiza r la fuerza Vu que no cumplen con ACI 11.1.3

4.4 ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS AL CORTE La falla por corte ocurre cuando se alcanza una cantidad de estados limites de corte . Las siguientes secciones se trataran los principales estados limites y tambien se describira la manera como el codigo ACI318-05 los cuantifica.

4.4.1 Estado limite de falla por corte en vigas sin refuerzo en el alma Ecuaciones de diseño de la resistencia al cortante proporcionada por el hormigón Vc =

 



0,50 fc + 176ρw

Vu d Mu

·







bw d  0,93 fc bw d

·

·

(4.10)

Además, (V d)/Mu no debe tomarse mayor que 1.0 al calcular V por medio del lado izquierd o de u· c esta ecuación, donde Mu ocurre simultáneamente con V u en la sección considerada. Para elementos sometidos a corte y flexión (sin fuerza axial)





(4.11)

Vc = 0,53 fc bw d

·

Para elementos cargados axialmente



Vc = 0,53 1 +

Nu 140 Ag

·

Elementos sometidos a tracción axial



Vc = 0,53 1 +

Nu 35 Ag

·





fc bw d

(4.12)

fc bw d  0

(4.13)





·

·

Donde: Fc = Resistencia característica del hormigón, en Kg/cm 2 . ρw = Cuantía del área de refuerzo A s evaluada sobre el área bw · d. Vu = Resistencia última o mayorada a la fuerza de corte, en kg . Mu = Momento último o mayorada en la sección, en kg · m. 


163


Capítulo4

bw = Ancho del alma o diámetro de la sección circular, en cm . d = distancia desde la fibra en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción, en cm . Nu = Carga axial mayorada normal a la sección transversal, que ocurre simultáneamente con V u o Tu ; debe tomarse como positiva para la compresión y como negativa para la tracción, en kg . Ag = Área bruta de la sección, en cm2 . Para una sección con vacíos, As es el área únicamente del hormigón y no incluye el área del los vacíos, en cm 2 .

4.4.2 Estado limite de falla por corte en vigas con refuerzo en el alma Falla por corte debido a la fluencia de los estribos proveer

si Vu > φVc −−−−→ φVs Tipos de refuerzo de corte Los diferentes tipos y disposiciones de armadura de corte permitidos por el artículo ACI318-05 11.5.1.1 y 11.5.1.1.2 son:

α α

=30ºmin.

=45ºmin.

45º

Figura 4.9. Tipos y disposiciones de refuerzo de corte 1. Estribos perpendiculares al eje del elemento, ver Figura 4.9(a). 2. Refuerzo electrosoldado de alambre con alambres localizados perpendicularmente al eje del elemento, Figura 4.9(b). 3. Estribos que forman un ángulo de 45 o o mas con el refuerzo longitudinal por tracción, Figura 4.9(c). 4. Refuerzo longitudinal con una parte doblada que forme un ángulo de 30 o o más con el refuerzo longitudinal de tracción, Figura 4.9(d). 5. Combinaciones de estribos y refuerzo longitudinal doblado, Figura 4.9(e). 6. Espirales, estribos circular es y estribos cerrados de confinamiento, Figura 4.9(f). c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

164


Capítulo4

Estribos verticales La Figura 4.10 muestra el diagrama de cuerpo libre del tramo de final de una viga y una fisura inlcinada.

s

C

Vc

A v fy A v fy A v fy

T A v fy A v fy

A v fy C A v fy A v fy A v fy A v fy

T

Figura 4.10. Resistencia al corte con estribos verti cales

Resistencia al corte proporcionada por la armadura de corte vertical Vs =

Av fyt d s

· ·

(4.14)

Donde: Av = Es el area de refuerzo para cortante dentro el espaciamiento, s , debe tomarse como 2 veces el area de la barra en un estribo circular, estribo cerrado de confinamiento, o espiral. fyt = Es la resistencia a la fluencia especificada del estribo circular, estribo cerrado de confinamiento o espiral. d = el canto útil del elemento, en secciónes circulares se permite tomar como 0,8 veces el diámetro de la sección del hormigón. s = Es el espaciamiento de los estribos medidos en dirección paralela al refuerzo longitudinal.



Donde φV s = (Vu − φVc ) no debe ser mayor a 2,2 fc bw · d, si no se cumple se debera aumentar el tamaño de la sección o aumentar la resistencia del hormigón . 

Calculo del Area de la armadura de corte vertical requerida , A v

(Vu φVc )s Av  φfyt d

−


165

·

(4.15)


Capítulo4

Estribos inclinados Si los estribos están inlcinados a un ángulo, α, con la horizontal, como se muestra en la Figura 4.11.

s

C

Vc A v fy A v fy A v fy

α T A v fy

A v fy

A v fy

A v fy

C A v fy A v fy A v fy A v fy A v fy

α

β T

dcot β

dcot α

Figura 4.11. Resistencia al corte con estribos inclinados

Vs = A v fy

·



d(1 + cot α) s

·

sin α

(4.16a)

Resistencia al corte proporcionada por la armadura de corte inclinada Vs =

Av fyt (sin α + cos α)d s

·

(4.16b)

Donde: α = Es el ángulo entre los estribos inclinados y el eje longitudinal del elemento. s = La separción entre estribos inclinados medidos en dirección paralela al eje longitudinal. Donde φV s = (Vu − φVc ) no debe ser mayor a 2,2 fc bw · d, si no se cumple se debera aumentar el tamaño de la sección o aumentar la resistencia del hormigón . 

Calculo del Area de la armadura de corte vertical requerida , Av Av 




(Vu φVc )s φfyt d(sin α + cos α)

·

−

166

(4.17)


Capítulo4

4.4.3 Falla por ancho excesivo de las fisuras bajo cargas de servicio





Vs,max = 2,2 fc bw d

· ·

4.4.4 Falla por corte debido al aplastamiento del alma





(4.18)

Vs,max = 2,2 fc bw d

· ·

4.4.5 Falla por corte iniciada por el anclaje de las barras de tracción Para prevenir esta falla, el código ACI 318-05 exige que el acero de flexión se extienda a una distancia mayor a d o 12 · db medido a partir del punto donde la barra ya no necesita resistir flexión.

4.4.6 Refuerzo mínimo de cortante, Av,min

El area de refuerzo de corte requerido y mínimo, Av,min 1. Cuando V u 

φVc 2 Av (requerida) = 0 cm 2

Av,min =

2. Cuando



0 cm 2

−→

(4.19)

no require area mínima!

(4.20)

φVc < Vu  φVc 2 Av (requerida) = 0 cm 2

   ·



0,2 fc

Av,min 

3,5

3. Cuando V u > φVc

bw fyt

Av (requerida) =

bw s fyt s

·

−

  ·



bw s fyt

3,5 bw s fyt


167

(4.22)

(Vu φVc ) s φfyt d

0,2 fc

Av,min 

(4.21)

·

·

(4.23)

·

(4.24)


Capítulo4

4.4.7 Limitaciones para el espaciamiento del refuerzo de cortante 1. Cuando V u 

φVc 2 s(requerido) = 0 cm



smax  0 cm

2. Cuando

φVc

−→

−→no require estribos !

no require espaciamiento máximo !

(4.25) (4.26)

< Vu  φVc

2

s(requerido) = 0 cm

    · ·  · ·

(4.27)

d 2

60 cm

smax 

(4.28)

Av fyt 

0,2 fc bw Av fyt 3,5 bw

3. Cuando V u > φVc

s(requerido) =



φAv fyt d Vu φVc

· ·

(4.29)

−

a ) Cuando φV s  φ1,1 fc · bw · d 

    · ·  ·  ·· ·   ·  · ·  · d 2

60 cm

smax 

Av fyt

(4.30)






b ) Cuando φ1,1 fc · bw · d < φV s  φ2,2 fc bw d 



d 4

30 cm

smax 

Av fyt 



168

(4.31)


Capítulo4



c ) Cuando φV s > 2,2 fc · bw · d smax



−→



(4.32)

Aumentar el tamaño de la sección !

Donde: φVs = Vu − φVc y en estribos U, estribos circulares y estribos cerrados de confinamiento Av = 2 · Ab .

Variación de la separación de los estribos

Otra manera de colocar los estribos es variando la separación entre los estribos en no más de tres separaciones diferentes a lo largo de la longitud del elemento , tal como se muestra en la Figura 4.12, ubicando el primer estribo a 5 cm de la cara del apoyo.

φV Vu

− φ Vc

Vu

φVc

φVc

φVc 2

Figura 4.12. Requerimiento de resistencia al corte

4.4.8 Ejercicios resueltos Ejemplo 4.1 Una viga simplemente apoyada de 8 m de luz, de sección transversal 25 × 50 cm soporta una carga viva de 2438 kg/m y una carga muerta adicional de 432 kg/m, tal como se muestra en la Figura 4.13. Determinar el tamaño y la separción requerida de los estribos cerrados verticales. LL= 2438 Kg/m

D adicional =432Kg/m =8

m

Figura 4.13. Viga simplemente apoyada de  = 8 m

Solución 4.1 Objetivo Calcular el número y la separación requerida de los estribos verticales. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

169


Capítulo4

Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Base, b w = 25 cm Hormigón: peso normal, Carga viva, LL = 2438 Kg/m fc = 210 Kg/cm 2 Altura, h = 50 cm Carga muerta, D adicional = 432 Kg/m Luz,  = 8 m Acero: fyt = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento acero principal ≥ 3,8cm 

Resultados Paso 1: Analisis de cargas gravitacionales Carga muerta Peso de viga: Dviga = 2400 · 0,25 · 0,5 = 300 kg/m Peso de carga muerta adicional: Dadicional = 432 kg/m Carga muerta total: Dtotal = D viga + Dadicional = 300 + 432 = 732 kg/m Carga viva Carga viva: LL = 2438 kg/m Paso 2: Calcular la carga última , w u wu = 1,4D wu = 1,4(732) = 1025 kg/m wu = 1,2D + 1,6L wu = 1,2(732) + 1,6(2438) = 4780 kg/m

Paso 3: Calcular la resistencia última a la fuerza de corte , V u requerida y al momento flector, Mu . Vu,apoyo = wu  2 4780 8 Vu,apoyo = = 19120 kg 2

·

·

− r − φest − φ long 2 d = 50 − 3 − 0,8 − 1,6/2 = 45 ,4 cm d=h

Vu,d = V u,apoyo Vu,d = 19120


− wu · d − 4780 · 0,454 = 16950 kg

170


Capítulo4 w u = 47 80 K g/ m

Vu,apoyo = 19 12 0 k g

Vu,d = 16 950 kg

Vu,apoyo = 191 20 kg

Figura 4.14. Diagrama de fuerzas cortantes y carga última

Mu,apoyo = 

As = As =

0,85 fc b fy

· ·

0,85

× 210 4200

wu 2 4780 82 = = 38240 kg m 8 8

·

×

  − − ·   ×

2 Mu φ 0,85 fc b

d2

d

25

45,4

−

·

45,42



· ·

·



38240(100) − 0,9 2××0,85 × 210 × 25



= 34,93 cm 2

Paso 4: Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón , φVc : As 34,93 = = 0,0308 bw d 25 45,4

ρw =

  · ·       √  

φ0,53 fc bw d = (0,75) 

Vc 

φ 0,50 fc + 176ρw

·

×

× 0,53

· 

Vu d Mu

√

210





bw d  φ0,93 fc bw d

·

·

× 0,454 × 0,0308 1912038240 7215 kg  11472 kg −→ Cumple!! (gobierna) 0,75 0,50 210 + 176

∴

× 25 × 45,4 = 6538 kg 25

·

√ × 45,4  0,75 × 0,93 210 × 25 × 45,4

Usar φV c = 7215 kg . φVc 2

=

7215

= 3608 kg

2

Paso 5: Verificar si se requiere refuerzo de corte Cuando Vu > φVc entonces se requiere refuerzo de corte ! 16950 > 7215 kg c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

171

requiere estribos

−−−−−−−−−−→ φVs


Capítulo4

Paso 6: Determinar la resistencia al corte proporcionada por los estribos φV s , en la sección critica: φVs = V u

− φVc − 7215 = 9735 kg

φVs = 16950

Paso 7: Verificar que la resistencia al corte proporcinado por los estribos sea menor a la fuerza máxima admisible de corte :





φVsu = φ2,2 fc bw d

· · √

φVsu = 0,75 2,2 210 25 45,4 = 27019 kg

·

· ·

φVs < φVsu

9735 < 27019 kg

−→ cumple !

Paso 8: Determinar la distancias xc y xm a partir de la cuales se requiere refuerzo mínimo y no se requiera refuerzo de corte respectivamente. Vu,apoyo φVc wu 19120 7215 xc = = 2,49 m 4780

− −

xc =

(φVc /2) wu 19120 3608 xm = = 3,25 m 4780 xm =

Vu,apoyo

− −

Paso 9: Determinar la espaciamiento requerido y máximo φAv fyt d Vu φVc 0,75 1 4200 45,4 s(requerido) = = 14,69 cm 9735

· · − · · ·

s(requerido) =





√

φ1,1 fc bw d = 0,75 1,1 210 25 45,4 = 13569 kg

· ·

·





· ·

φVs  φ1,1 fc bw d 9735 < 13569 kg

   · ·  · ·

d 45,4 = = 22,7 2 2

smax 

60 cm Av fyt

· · −→ cumple !

 22 cm (gobierna)

1 4200 = = 58,0 cm 0,2 210 25 0,2 fc bw Av fyt 1 4200 = = 48 cm 3,5 bw 3,5 25

√·




·

·

172

·


Capítulo4 s(provisto) < s(requerido) s(provisto) = 14 < s(requerido) = 14 ,69 cm

φ Av fyt d s 0,75 1 4200 45,4 = = 6500 ,45 kg 22

φVs,smax = φVs,smax

−→ cumple !

· · · · · ·

Vu,smax = φV s,smax + φVc Vu,smax = 6500,45 + 7215 = 13715 kg

− (Vu,s ) wu 19120 − 13715 x= = 1,13 m x=

Vu,apoyo

max

4780

Usar estribos φ8c/14 hasta una distancia de x = 1,13 m a partir del apoyo, y φ8c/22 desde una distancia x = 1,13 m a partir del apoyo hasta una distancia de 3,25 m . ∴

Paso 10: Verificar que el área de los estribos en la sección crítica, Av requerida sea mayor al área de refuerzo mínimo , A v,min . Av (requerida) =

(Vu φVc ) s φfyt d

−

·

·

2 Av (requerida) = 0,759735 42001445,4 = 0,95 cm

· ··

16950 > 6538

   ·

√

cumple !

bw s 25 13 = 0,2 210 = 0,23 cm 2 fyt 4200 bw s 25 13 3,5 = 3,5 = 0,27 cm 2 (gobierna) fyt 4200 

0,2 fc

Av,min 

−→

·

·

·

Por tanto, el área de refuerzo requerida de 0,95 cm 2 es mayor al área de refuerzo mínimo de 0,27 cm2 .



173


Capítulo4 45.4 cm φ Vs

Vu − φ Vc

+

φ Vc

=

17430 kg

>

16950 kg

φV

φ Vc

=

7215 kg

Vu

φ8 c/

14 cm

22 cm

φVc / 2 = 360 8 kg

φVc

φVc

2

Figura 4.15. Detalle de armado al corte de la viga simplemente apoyada 

Ejemplo 4.2 Una viga continua de 7,20 m de luz, de sección transversal 30 × 65 cm soporta una carga última de 8000 kg/m, tal como se muestra en la Figura separción requerida de los estribos cerrados verticales.

4.16. Determinar el tamaño y la

w u = 80 00 Kg/ m

=7.20 m

Figura 4.16. Viga continua de  = 7,20 m

Solución 4.2 Objetivo Calcular el número y la separación de los estribos vertica les. Datos de diseño Son los siguientes: c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

174


Capítulo4

Sección transversal Materiales Base, bw = 30 cm Hormigón: peso normal, fc = 210 Kg/cm 2 Altura, h = 65 cm Luz,  = 7,20 m Acero: fyt = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento acero principal

Cargas Carga última,

w u = 8000 Kg/m



≥ 3,8cm

Resultados Paso 1: Calcular la resistencia última a la fuerza de corte , Vu requerida. u Vu,columna = w  2 8000 7,20 Vu,columna = = 28800 kg 2

·

·

Vu,carac olumna = V u,columna Vu,carac olumna = 28800

− wu · x − 8000(0,35) = 26000 kg

− r − φest − φ long 2 d = 65 − 3 − 1,0 − 2,0/2 = 60 cm d=h

Vu,d = V u,carac olumna wu d Vu,d = 26000 8000 0,60 = 21200 kg

− · ·

−

w u = 80 00 Kg/ m

=7.20

m

Vu,eje columna = 28 80 0 k g Vu,cara_columna = 260 00 kg Vu,d = 21 20 0 k g

Vu,eje columna = 28 80 0 k g

Figura 4.17. Diagrama de fuerzas cortantes y carga última


175


Capítulo4

Paso 2: Determinar la resistencia al corte proporcionada por el hormigón , φVc :





φVc = φ0,53 fc bw d

· · √

φVc = (0,75) 0,53 210 30 60 = 10368 ,60 kg φVc = 5184 ,30 kg 2

·

· ·

Paso 3: Verificar si se requiere refuerzo de corte 21200 > 10368,60 kg

requiere estribos

−−−−−−−−−−→ φVs

Paso 4: Determinar la resistencia al corte proporcionada por los estribos φV s , en la sección critica: φVs = V u

− φVc − 10368,6 = 10831 ,4 kg

φVs = 21200

Paso 5: Verificar que la resistencia al corte proporcinado por los estribos sea menor a la fuerza máxima admisible de corte :





φVsu = φ2,2 fc bw d

· · √

φVsu = 0,75 2,2 210 30 60 = 43039 ,40 kg

·

· ·

φVs < φVsu 10831,40 < 43039,40 kg

−→ cumple !

Paso 6: Determinar la distancias xc y xm a partir de la cuales se requiere refuerzo mínimo y no se requiera refuerzo de corte respectivamente. Vu,columna φVc wu 28800 10368,6 xc = = 2,30 m 8000

−

xc =

−

Vu,columna (φVc /2) wu 19120 5184,30 xm = = 2,95 m 8000

−

xm =

−

Paso 7: Determinar la espaciamiento requerido y máximo φAv fyt d Vu φVc 0,75 1 4200 60 = 17,5 cm s(requerido) = 10831,40

· ·

s(requerido) =

−· ·





√

·

φ1,1 fc bw d = 0,75 1,1 210 30 60 = 21519 ,70 kg

· ·


·

176

· ·


Capítulo4





φVs  φ1,1 fc bw d

· · −→ cumple !

10831,40 < 21519,70 kg

   ·  ·· ·

d 60 = = 30 cm (gobierna) 2 2

60 cm

smax 

Av fyt 

0,2 fc bw

=

1 4200 = 48,30 cm 0,2 210 30

√·

·

Av fyt = 1 4200 = 40 cm 3,5 bw 3,5 30

··

s(provisto) < s(requerido) s(provisto) = d/4 = 60 /4 = 15 < s(requerido) = 17 ,50 cm φ Av fyt d s 0,75 1 4200 60 = = 6300 30


· · · · · ·

kg

Vu,smax = φV s,smax + φVc Vu,smax = 6300 + 10368 ,60 = 16668 ,60 kg Vu,columna (Vu,smax ) wu 28800 16668,60 x= = 1,52 m 8000

−

x=

−

φ Av fyt d s 0,75 1 4200 60 = = 6300 20


· · · · · ·

kg

Vu,smax = φV s,smax + φVs Vu,smax = 9450 + 10368 ,6 = 19818,60 kg

x = Vu,columna (Vu,smax ) wu 28800 19818,60 x= = 1,12 m 8000

−

−


177

−→ cumple !


Capítulo4 φ Av fyt d s 0,75 1 4200 60 = = 12600 15

· · · · · ·


kg

Vu,smax = φV s,smax + φVs Vu,smax = 12600 + 10368 ,6 = 22968 ,60 kg Vu,columna (Vu,smax ) w u 28800 22968,60 x= = 0,72 m 8000

−

x=

−

Paso 8: Verificar que el área de los estribos en la sección crítica, Av requerida sea mayor al área de refuerzo mínimo , A v,min . (Vu φVc ) s φfyt d 10831,40 15 = 0,86 cm 2 Av (provisto) = 0,75 4200 60

−

Av (provisto) =

·

21200 > 10368,60

·

·

·

−→ cumple !

0,2 fc

bw s 30 15 = 0,2 210 = 0,31 cm 2 fyt 4200

3,5 b

s = 3,5 30 15 = 0,38 cm 2 (gobierna) 4200



Av,min 

√

·

  · w

fyt

·

·

·

Por tanto, el área de refuerzo requerida de 0,86 cm 2 es mayor al área de refuerzo mínimo de 0,38 cm2 .



178


Capítulo4

35 cm

φ Vs + Vφ c

Vu

=

kg 22968.60

>

21200 kg

− φ Vc

φV

Vu

φ Vc φVc

=

10368.6 kg φ8 c/

30 cm 20 cm

15 cm

φ Vc / 2 = 518 4.3 0 kg

φVc

2

Figura 4.18. Detalle de armado al corte de la viga cont inua 

4.4.9 Ejercicios propuestos Ejercicio 4.1 Determine la sección transversal mínima requerida para una viga rectangular desde el desivista de lacortante fuerza cortante, manera que según el codigo ACI no se requiera refuerzo enpunto el alma, la fuerza última esde V u = 12200 kg , y la resistencia caracteristica del hormigón x es f c = 250 kg/cm 2 .  

Ejercicio 4.2 Una viga rectangular de 45 × 25 cm como se muestra en la Figura 4.19, solo tiene refuerzo de flexión (no cuanta con refuerzo a corte), el refuerzo esta compuesto por cinco barras c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

179


Capítulo4

de φ = 12 mm. Calcular la máxima fuerza de corte permitida por el elemento. Considere que la resistencia caracteristica del hormigón es fc = 280 kg/cm 2 , la resistencia a la fluencia del acero es fy = 4200 kg/cm 2 . 


Ejercicio 4.3 Una viga rectangular aislada de un portico tiene una luz de 8,80 m y soporta una carga viva de 1100 kg/m y ninguna carga muerta excepto su peso propio, tal como se muestra en la Figura 4.20. Diseñe el refuerzo por cortante necesario. Considere que la resistencia caracteristica del hormigón es fc = 250 kg/cm 2 , la resistencia a la fluencia del acero es fy = 4200 kg/cm 2 , el ancho del alma de la viga es bw = 25 cm, el canto útil es d = 45 cm y la altura de la viga es h = 50 cm, ninguna fuerza axial actúa en la viga. 

0.60 m

0.60 m

w u = 11 00 K g/ m

=8.80

m


Ejercicio 4.4 La viga mostrada en la Figura 4.21, soporta una carga viva de LL = 2500 kg/m, y una carga muerta de LD = 3000 kg/m, la carga muerta incluye el peso propio de la viga. Se pide dibujar el diagrama de fuerza cortante y diseñar los estribos utilizando una resistencia caracteristica del hormigón de fc = 250 kg/cm 2 , la resistencia a la fluencia del acero es fy = 4200 kg/cm 2 , la sección de la viga es 30 60 cm. 

×

LL= 2500 Kg/m

LD= 3000 Kg/m =10.20

m

=1.90


180

m


Capítulo4 x 

Ejercicio 4.5 Una viga rectangular de 25 × 50 cm en voladizo como se muestra en la Figura 4.22,

tiene una carga última de w u = 3800 kg/m. Considere que la resistencia caracteristica del hormigón es fc = 210 kg/cm 2 , la resistencia a la fluencia del acero es fy = 4200 kg/cm 2 , la luz de la viga es  = 3,5 m, el ancho del alma de la viga es b w = 30 cm la altura de la viga es h = 75 cm, el refuerzo por flexión consiste en dos capas con una cantidad de acero en cada capa de 6φ25,en ninguna fuerza axial actúa en la viga. Se pide diseñar la viga a fuerza cortante. 

w u = 38 00 K g/ m



181

CAPÍTULO

5

ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS A TORSIÓN

5.1 INTRODUCCION El momento actuante alrededor del eje longitudinal de un elemento es llamado momento torsional o momento torsor , T . La torsión ocurre en construcciones monolíticas de hormigón armado, donde la torsión es resultado de cargas que actúan a una distancia del eje longitudinal, cargas excéntricas en las vigas , del elemento estructural, o de las deformaciones debido a la continuidad de vigas, o debido elementos conectados unos con otros con respecto a un ángulo.

5.1.1 Objetivos de este capítulo Despues de terminar este capítulo, el alumno será capaz de: 1. Describir las condiciones en las cuales se crean los esfuerzos cortantes debido a la torsión en elementos homogéneos y elásticos macizos y tubulares. 2. Definir el concepto de flujo de cortante en tubos de pared delgada debido a la torsión. 3. Describir el comportamiento de los esfuerzos principales debidos a la torsión pura en elementos de hormigón armado. 4. Describir el comportamiento de los esfuerzos principales debidos a la torsión momento flector y corte en elementos de hormigón armado. 5. Entender el fundamento del comportamiento de la torsión en secciones no fisuradas a través de la analogía del tubo de pared delgada. 6. Comprender el fundamento del comportamiento de la torsión en secciones fisuradas a través de la analogía de la cercha espacial. 7. Definir los parámetros geometricos torsionales. 8. Conocer las formulas de dimensionamiento de la sección transversal tanto para secciones huecas como para sólidas. 9. Definir y diferenciar la torsión de equilibrio y de compatibilidad. 182


Capítulo5

10. Aplicar el concepto de la analogía de la cercha espacial en un tubo de pared delgada en la solución de problemas de diseño y análisis de vigas a torsión, corte y flexión, que soporten con seguridad una cierta carga. 11. Reconocer que es necesario garan tizar un limite espaciamiento del refuerzo de corte, torsión y flexión, y una refuerzo mínimo transversal y longitudinal para evitar la formación de fisuras inclinadas en estado de servicio.

5.2 TEORIA BASICA DE TORSION 5.2.1 Torsión pura en elementos de hormigón simple Torsión en elementos sólidos τ τ τ

τ

τ

máx τ

máx

Figura 5.1. Distribución del esfuerzo de corte debido a la torsión El máximo esfuerzo de corte en un elemento circular elástico se expresa por, ver Figura 5.1(a): τmáx =

T r J

·

(5.1)

Donde: τmáx = Es el esfuerzo cortante máximo. T = El momento torsor. r = El radio del elemento circular. π r4 J = El momento polar de inercia, . 2

·

De similar manera, el máximo esfuerzo de corte en una sección rectangular elástica, puede ser expresado a través de, ver Figura 5.1(b): τmáx =

T α t2 b

· ·

Donde: t = Es la menor dimensión del rectángulo. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

183

(5.2)


Capítulo5

b = Es la mayor dimensión del rectángulo. α = Un coeficiente que varia entre 0,208 para b/t = 0 (secciones rectangulares) hasta 0,333 para b/t = (secciones planas). Una aproximación de α es:

∞

1 3 + 1,8 (t/b)

α=

(5.3)

·

Torsión en elementos huecos de pared delgada A diferencia de los elementos macizos no circulares, los tubos de pared delgada de cualquier forma pueden analizarse fácilmente respecto a la magnitud de los esfuerzos cortantes y el ángulo tubo de forma arbitraria de causado un par de torsión aplicado contorsión espesor de pared por variable , como el mostrado en al la tubo. FiguraConsidere 5.2(a), yun un elemento tomado de este tubo en el que actúan las fuerzas F1 , F2 , F 3 , y F 4 , que se muestra en la Figura 5.2(b). t1

F3 t2

τ

1

t1

F4

r τ

4

F1

x

F2

τ

2

ds

o

τ

3

t2 dx

qds

Figura 5.2. Elementos tubulares de pared delgada y espesor variable Los esfuerzos cortantes sobre planos mutuamente perpendiculares son iguales en una esquina de un elemento . Por consiguiente, en una esquina como la A en la Figura 5.2(b), τ2 = τ3 ; similarmente, τ1 = τ 4 . Por tanto, τ 4 · t1 = τ 3 · t2 , o, en general, q es constante en el plano de una sección perpendicul ar al eje del elemento.

T =



r q ds

· ·

(5.4)



r ds

(5.5)

p

T =q

p

·

En lugar de efectuar la integración, se dispone de una simple interpretación de la integral. Puede verse la Figura 5.2(c) puede verse que el radio, r, es dos veces el área sombreada de un triangulo infinitesimal de altura r y base ds. Por consiguiente, la integral completa es 2 veces toda el área limitada por la línea central del perímetro del tubo. Esta area se define por el símbolo Ao . Por tanto, se tiene que:



p


r ds = 2Ao

·

184


Capítulo5

Donde: Ao = Área encerrada por la mitad del espesor de las paredes del tubo. Ver Figura 5.3. Esta área es llamada también como área encerrada por la trayectoria del flujo de corte .

Ao

Figura 5.3. Área encerrada por la trayectoria de q en tubos de pared delgada

T = 2qA o o q =

τ=

T 2Ao

q t

(5.6) (5.7)

De manera que, sustituyendo q = τ · t se obtiene: τ=

T 2Ao t

·

(5.8)

Donde: τ = Esfuerzo de corte debido a la torsión , supuesta uniforme, que actúa en el espesor de la pared. T = Momento torsor. Ao = Area encerrada por la mitad del espesor de las paredes del tubo. t = Espesor de la pared delgada donde es evaluado el esfuerzo de corte, τ , debido a la torsión.

5.2.2 Torsión en elementos de hormigón armado Torsión pura Cuando un elemento de hormigón armado es cargado a torsión pura, esfuerzos cortantes, los esfuerzos principales se desarrollan tal como se muestra en la Figura 5.4(a) y (b).

τ

Figura 5.4. Esfuerzos de tracción prin cipales y fisuración debida a la torsión pura c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

185


Capítulo5

Combinación de torsión, momento flector y corte

v

τ

v

τ

Figura 5.5. Esfuerzos de corte y fisuración deb ido al torsor combi nado Raras veces la torsión se presenta sola. Generalmente, es acompañada de momentos flectores y fuerzas cortantes, tal como se muestra en la Figura 5.5. Resultados de ensayos de vigas sin estribos, cargados con varias relaciones de torsión y corte muestran que la envolvente de estos datos tiene forma de la cuarta parte de una elipse , la cual se expresa por:

    Tc Tcu

5.3

2

+

Vc Vcu

2

(5.9)

=1

METODO DE LA ANALOGÍA DE LA CERCHA ESPACIAL

La teoría de diseño utilizada para explicar la resistencia de elementos de hormigón armado por el código ACI 318-05 es la analogía de una cercha espacial en un tubo de pared delgada .

5.3.1 Torsión crítica en secciones no fisuradas no es necesario cuando no existen fisuras por torsión . En esta El refuerzo por principal torsión de situación el esfuerzo tracción σ 1 , es igual al esfuerzo de corte τ , ver la Figura 5.6.

θ

Ao

θ

Figura 5.6. Analogía del tubo de pared delgada

Ao = c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

21 Acp 32

186

(5.10)


Capítulo5

Ao = t=

2 Acp(Antes de la fisuración) 3

(5.11)

3 Acp (Antes de la fisuración) 4 Pcp

(5.12)

Donde: Pcp = Es el perímetro de la sección transversal del hormigón, en cm Acp = El área encerrada por el perímetro de la sección transversal del hormigón, en cm2 . Ao = El area dentro de la linea central de la pared delgada del tubo, cm2 . Las ecuaciones 5.11 y 5.12 se aplican a secciones no fisuradas. Sustituyendo, A o de la ecuación 5.11 y Pcp de la ecuación 5.12 en la ecuación ?? , se obtiene: T

τ= 2

   · 3 Acp 4 Pcp

2 Acp 3

t

T Pcp A2cp

·

τ=



(5.13) (5.14)



σ = τ = 1,1 fc

Reemplazando, la ecuación 5.14 en la ecuación 5.13 se obtiene:





1,1 fc =

T Pcp A2cp

·

(5.15)

2

Acp Pcp

(5.16)

    

Tcr = 1,1 fc



φTcr = φ1,1 fc

A2cp Pcp

(5.17)

5.3.2 Área de estribos de torsión Para resistir momentos de torsión mayores a T cr , el elemento de hormigón armado debe ser reforzado con estribos cerrados no muy espaciados y barras longitudinales. xo

yo

V1 θ

V4

V2

V3

Figura 5.7. Analogía de la cercha espacial c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

187


Capítulo5

Una viga sometida a torsión pura puede ser modelada como se muestra en la Figura 5.7.

Equilibrio de Fuerzas verticales Una porción de uno de las fuerzas verticales a ser equilibradas con estribos verticales, se muestra en la Figura 5.8. A t fy

A t fy V2

yo

θ

y o co t

θ

Figura 5.8. Equilibrio de fuerzas verticales con estribos

T2 =

2Ao At fyv cot θ s

· ·

4

Tn =

 i=1

Ti =

2Ao At fyv cot θ s

· ·

(5.18)

Tn = 2Ao At fyv cot θ s

(5.19)

· ·

Donde θ no debe tomarse menor a 30 ni mayor a 60 . ◦

◦

Según El ACI 318-05 en el articulo 11.6.3.6 sugiere tomar θ = 45 debido a que este ángulo corresponde al ángulo asumido en la obtención de la ecuación para el diseño de estribos a corte . ◦

Definición de Aoh El código ACI 318-05 en el artículo 11.6.3.6 declara que el área encerrada por la trayectoria del flujo de corte , A o , será determinada por análisis, sin embargo permite tomar: Ao = 0,85Aoh(después de la fisuración)

(5.20)

Donde: Ao = Es el área encerrada por la trayectoria de flujo de cortante alrededor del perímetro del tubo. Aoh = Es el área encerrada por las ramas más externas de los estribos entrecruzados. La definición del área Aoh se muestra en la Figura 5.9.


188


y1

Capítulo5

y1

o

yo

1

o

xo

xo

xo

x1

x1

x1

A cp = x1 1y A oh = xo oy = A o = 0. 85 A oh

Figura 5.9. Parámetros geométricos torsionales

5.3.3 Área del refuerzo longitudinal de torsión En la Figura 5.10 se muestra el tbitriangulo de fuerzas de equilibrio de una de las caras de la cercha espacial. N2

N2

2

2

D2

V2

V2

o

N2 θ

θ

y o co s

N2 2

y o cot

N2 2

θ

Figura 5.10. Equilibrio de las fuerzas hori zontales

A =

 At s

ph

fyv cot2 θ fy

(5.21)

5.3.4 Combinación de torsión y corte Vn = V c + Vs

(5.22)

Tn = T s

(5.23)

5.3.5 Máxima fuerza de corte y momento torsor Limite del ancho de fisuración En secciones huecas, el máximo esfuerzo ocurre en la pared en la cual los esfuerzos cortantes y de torsión son aditivos, τv + τ t ver punto A en la Figura 5.11 y el valor limite esta dado por, c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

189


Capítulo5

código ACI 318-05 ecuación 11-19: Vu bw d

·

+

Tu ph 1,7A2oh

· ≤φ



V



(5.24)



bw d

·

+ 2,2 fc A

Si una secciones hueca tiene el espesor de la pared , t < oh , el codigo ACI 318-05 en el artículo ph 11.6.3.3 requiere que el segundo termino de la ecuación 5.24 debe ser tomado como: Vu Tu + bw d 1,7Aoh t

·

V + 2,2 fc bw d



·

(5.25)



≤φ



·

Figura 5.11. Adición de los esfuerzos cortan tes y de torsionales en secciones huecas En secciones sólidas , el esfuerzo de corte debido al corte directo se asume que esta uniformemente distribuida a lo largo del ancho del alma, mientras que el esfuerzo de corte torsional existe solo el tubo de pared delgada, tal como se muestra en la Figura 5.12.

Figura 5.12. Adición de los esfuerzos cortantes y de torsionales en secciones sólidas En este caso, una directa adición de los dos esfuerzos tiende a ser conservativa y es usada una raiz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de ambos términos, código ACI 318-05 ecuación 11-18: 2

Vu bw

+ d

Tu ph

·

2

φ

2

1,7Aoh

 ·    ≤ 

V bw

5.3.6 Torsión de equilibrio y de compatibilidad

·d



+ 2,2 fc

(5.26)



Torsión de equilibrio Llamada también torsión primaria o torsión estáticamente determinada, es el momento torsional requerido para el equilibrio de la estructura. Ver Figura 5.13. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

190


Capítulo5



Figura 5.13. Torsión de equilibrio en una losa en voladizo

Torsión de compatibilidad Llamada también torsión secundaria o torsión estáticamente indeterminada, se presenta por requerimientos de continuidad, en otras palabras es el momento torsional que proviene de la compatibilidad de deformaciones entre elementos unidos en un nudo.



Figura 5.14. Torsión de compatibilidad en una viga de borde

5.4 ANALISIS Y DISEÑO A TORSION, CORTE Y MOMENTO φVn  Vu

(5.27)

Vn = V c + Vs

(5.28)

Donde: Vu = Resistencia última a la fuerza de corte , en kg . Vn = Resistencia nominal a la fuerza de corte , en k g . Vc = Resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionado por el hormigón, en kg . Vs = Resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionado por los estribos , en k g. φTn  Tu

(5.29)

Donde: Tu = Resistencia última al momento torsor , en kg · m. T n = Resistencia nominal al momento torsor, en k g m. φ = 0,75 Factor de reducción de la resistencia de corte y torsión.

·

5.4.1 Localización de la sección critica de torsión El código ACI 318-05 en el artículo 11.6.2.4 permite localizar las sección critica a una distancia menor al canto útil del elemento d medido desde la cara del apoyo deberán ser diseñadas por lo menos para un torsor Tu calculado a una distancia d . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

191


Capítulo5

5.4.2 Momento torsor mínimo φTcr 4 φTcr Tu > 4 Tu <

−→ la torsión deberá ser despreciada −→ la torsión deberá ser considerada

(5.30) (5.31)

El valor límite para despreciar la torsión es:

En elementos no preesforzados

  A2cp pcp

φTcr = φ0,27 fc 4 

(5.32)

Donde:

φTcr = Es el momento torsor mínimo, en kg m. 4 Acp = Es la Área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón incluyendo el área de cualquier orificio, en cm2 . pcp = Es el Perímetro exterior de la sección transversal de hormigón , en cm . Es el perímetro de A cp

·

incluyendo las porciones de los patines.

En elementos no preesforzados sometidos a tracción axial o fuerzas de compresión

  

φTcr = φ0,27 fc 4 

A2cp pcp

1+

Nu 

1,1Ag

fc

Donde: Nu = Es la carga axial mayorada normal a la sección, que ocurre simultáneamente con debe tomarse como positiva para compresión y negativa para tracción, en kg . Ag = Es el área bruta de la sección, en cm 2 .



(5.33)

Tu o V u ,

5.4.3 Momento torsor de equilibrio o de compatibilidad Torsor de equilibrio Si el máximo momento de torsión Tu en un elemento es requerido para mantener el equilibrio, y excede el menor valor especificado para el torsor mínimo, entonces el elemento debe ser diseñado para resistir la totalidad del momento de torsión Tu . Es más, no es permitido la reducción del momento torsional por medio de la redistribución del momento. Torsor de compatibilidad En estructuras hiperestáticas donde la reducción del momento torsor en un elemento puede ocurrir por la redistribución de las fuerzas internas después del agrietamiento, la sección 11.6.2 del código ACI - 05 permite que el máximo momento por torsión Tu puede ser reducido a T cr :

En elementos no preesforzados

  

φTcr = φ1,1 fc


192

A2cp pcp

(5.34)


Capítulo5

En elementos no preesforzados sometidos a tracción axial o fuerzas de compresión

   A2cp pcp



φTcr = φ1,1 fc

1+

Nu 1,1Ag





fc

(5.35)

5.4.4 Dimensiones de la sección transversal En secciones huecas según código ACI 318-05 ecuación 11-19, el valor limite esta dado por: Vu Tu ph + bw d 1,7A2oh

· ≤φ

·



Vc + 2,2 fc bw d



(5.36)



·

A

Si la secciones hueca tiene el espesor de la pared, t < oh , el codigo ACI 318-05 en el artículo ph 11.6.3.3 requiere que el segundo termino de la ecuación debe ser tomado como: Vu bw d

·

+

Tu 1,7Aoh t

· ≤φ



Vc



(5.37)



bw d

·

+ 2,2 fc

En secciones sólidas según código ACI 318-05 ecuación 11-18, el valor limite esta dado por:

   ·   ≤ Vu

bw d

·

2

+

Tu ph 1,7A2oh

2

φ

Vc bw d

·

 

+ 2,2 fc

(5.38)

Donde: Vu = Es la fuerza de corte mayorada, en kg . bw = Es el ancho del alma del elemento , en cm . d = Es el canto útil del elemento , en cm . Tu = Es el momento torsor mayorado, en kg · cm. ph = Es el perímetro del eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir la torsión ,en cm . Aoh = Es el área encerrada del eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir la torsión, en cm2 . Vc = Es la resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionada por el hormigón, se puede tomar Vc = 2 fc bw · d, en kg . fc = Es la resistencia característica especificada del hormigón, en kg/cm 2 . 





5.4.5 Refuerzo de corte 

Vc = 0,53 fc bw d



·

Donde: Vc = Es la Resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionado por el hormigón , en k g . fc = Es la resistencia característica del hormigón, en kg/cm 2 . 


193

(5.39)


Capítulo5

bw = Es el ancho del alma del elemento , en cm . d = Es el canto útil del elemento , en cm . Vs =

Vu φ

(5.40)

− Vc

Donde: Vs = Es la Resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionado por los estribos , en k g . Vu = Es la Resistencia última a la fuerza de corte , en kg . Vs =

Av fyv d s

·

·

(5.41)

Av Vs = cm2 /cm (en2ramas) s fyv d

(5.42)

·

5.4.6 Refuerzo de torsión Refuerzo transversal de torsión Tn =

2Ao At fyv cot θ s

· ·

(5.43)

Donde: Tn = Es la resistencia nominal a la torsión, en kg · cm. Ao = 0,85 · Aoh = Es el área bruta encerrada por la trayectoria del flujo cortante, en cm 2 . At = Es el área de una rama de un estribo cerrado que resiste la torsión con un espaciamiento s, en cm 2 . fy = Es la resistencia a la fluencia del refuerzo, en kg/cm 2 . espaciamiento medidodeldehormigón. centro a centro refuerzo en cm . el ACI 318-05 θs = = Es el ángulo de fisuración Varia del entre 30 θtransversal 60 , sin, embargo en el articulo 11.6.3.6 sugiere tomar a θ = 45 para el hormigón armado. ◦

◦

Sustituyendo Tn =

≤ ≤

◦

Tu se tiene: φ Tu =

2 φ Ao At fyv cot θ s

· · · ·

(5.44)

El código ACI 318-05 en el artículo 11.6.3.6, establece que la expresión para el calculo del área requerida, At por una rama de un estribo cerrado para resistir la torsión con un espaciamiento s, es: At Tu = cm2 /cm (en1rama) s 2 φ Ao fyv cot θ

· · ·

(5.45)

Refuerzo longitudinal de torsión El código ACI 318-05 en el artículo 11.6.3.7, establece que área adicional del refuerzo longitudinal para resistir torsión debe ser calculado a través de: A = c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

 At s

ph

194

fyt cot2 θ fy

(5.46)


Capítulo5

Donde: A = Es el área del refuerzo longitudinal para resistir torsión, en cm2 . At /s = Es el área de una rama de un estribo cerrado que resiste la torsión con un espaciamiento s , en cm 2 /cm. ph = Es el perímetro del eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir la torsión ,en cm . fyt = Es el esfuerzo de fluencia del refuerzo transversal cerrado para torsión, en kg/cm 2 . fy = Es el esfuerzo de fluencia del refuerzo longitudinal para torsión, en kg/cm 2 .

5.4.7 Combinación de refuerzo de corte y torsión Total

Av+t s

 

=

Av At +2 s s

(5.47)

5.4.8 Espaciamiento máximo de refuerzo de corte y torsión El código ACI 318-05 en el artículo 11.6.6, proporcion a las siguientes recomendaciones:

Espaciamiento máximo del refuerzo transversal El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión debe ser el menor valor entre: smax 

 

ph 8

(5.48)

30 cm

Espaciamiento máximo del refuerzo longitudinal

db,min 

 

1 s 24

(5.49)

10 mm

Donde: s = Es el espaciamiento medido de centro a centro del refuerzo transversal, en mm . El código ACI 318-05 en el artículo 11.6.6.3, requiere que el refuerzo torsional continué a una distancia mayor (bt + d) más allá del punto donde el torque es menor a:

 

φTcr = φ0,27 fc 4 

A2cp pcp

Donde: bt = Es el ancho de la parte de la sección transversal que contiene a los estribos cerrados .

5.4.9 Refuerzo mínimo para torsiónexcede al valor de torsión: Cuando el momento torsional mayorado

 

φTcr = φ0,27 fc 4 


195

A2cp pcp


Capítulo5

Área mínima de estribos cerrados El código ACI 318-05 artículo 11.6.5.2 específica que el área mínima de estribos cerrados para torsión, debe calcularse con:

   ·



0,2 fc

Av +t,mín 

Donde:

bw s fyt

·

(5.50)

3,5 bw s fyt

·



2

fbwc = característica especificada = Es Es lael resistencia ancho del alma del elemento , en cm . del hormigón, en kg/cm . s = Es el espaciamiento medido de centro a centro del refuerzo transversal, en cm . fyt = Es el esfuerzo de fluencia del refuerzo transversal cerrado para torsión, en kg/cm 2 .

Área mínima del refuerzo longitudinal El código ACI 318-05 artículo 11.6.5.3 específica que el longitudinal para torsión, debe calcularse con:

  −      · 

1,33

A,min 

fc Acp fy

Donde:

Donde:

área mínima total de refuerzo

At s

At s

>

ph

fyt fy

1,75 bw fyt

(5.51)

A,min = Es el área mínima de refuerzo longitudinal para resistir torsión, en cm2 . fc = Es la resistencia característica especificada del hormigón, en kg/cm 2 . Acp = Es la Área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón incluyendo el area de cualquier orificio, en cm2 . fy = Es el esfuerzo de fluencia del refuerzo longitudinal para torsión, en kg/cm 2 . At /s = Es el área de una rama de un estribo cerrado que resiste la torsión con un espaciamiento s , en cm 2 /cm. ph = Es el perímetro del eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir la torsión ,en cm . fyt = Es el esfuerzo de fluencia del refuerzo transversal cerrado para torsión, en kg/cm 2 . 

5.4.10 Ejercicios resueltos Ejemplo 5.1 Una viga de 8 m de luz, de sección transversal 30 × 60 cm soporta una losa monolítica con un voladizo de 1,70 m medido desde el eje de la columna, como se muestra en la Figura 5.15. La viga resultante soporta una carga viva de 1350 kg/m a lo largo de la línea central, más una carga uniformemente distribuida de 250 kg/m 2 sobre la superfifie de la losa, la resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 , y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .


196


Capítulo5  n1= 8

m

LL voladizo =250Kg/m

 n 2 =1.55

2

m

Figura 5.15. Planta y elevación de la losa en voladiz o del ejemplo 5.1

Solución 5.1 Objetivo Calcular el número, el diámetro y la separación requerida de los estribos a corte, torsión y flexión. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Base, bw = 30 cm Hormigón: peso normal, Carga viva viga: LLviga = 1350 kg/m Altura, h = 60 cm fc = 250 Kg/cm 2 Carga viva losa: LL losa = 250 kg/m 2 Luz libre viga,  n1 = 8 m Acero: f yt = 4200 Kg/cm 2 ) Luz libre losa,  n2 = 1,55 m Recubrimiento acero: r = 3,0 cm 

Resultados Paso 1: Análisis de cargas gravitacionales Carga muerta wD,losa = γH o Ao · elosa = 2400 × 0,15 = 360 kg/m 2 Carga viva wL,ocupacional = = 250 kg/m 2 Carga muerta wD,viga = γH o Ao · bw · h = 2400 × 0,30 × 0,60 = 432 kg/m Carga viva wL,viva = = = 1350 kg/m Carga muerta wD viga = wD · n2 = 360 × 1,55 = 558 kg/m Carga viva wL viga = wL · n2 = 250 × 1,55 = 388 kg/m Carga muerta wLD = 432 + 558 = 990 kg/m Carga viva →

→

wLL

= 1350 + 388

= 1738 kg/m

n2 b w 1,55 0,3 e= + = + = 0,925 m 2 2 2 2


197


Capítulo5

Paso 2: Determinar las carga últimas sobre la viga y la losa En la viga wu = 1,2 wLD + 1,6 wLL

·

·

wu = 1,2(990) + 1,6(1738) = 3969 kg/m

En la losa wu = 1,2 wLD + 1,6 wLL

·

·

wu = 1,2(558) + 1,6(388) = 1291 kg/m

Paso 3: Calcular la resistencia última al momento flector, corte y torsión Mu+ =

wu 2n1 3969 82 = = 15876 kg m 16 16

·

×

Vu,cara columna =

wu n1 3969 = 2 2

·

·

× 8= 15876

kg

− r − φest − φ long 2 1,6 = 55,2 cm d = 60 − 3 − 1,0 − 2 d=h

Vu,d = V u,cara columna Vu,d = 15876 3969

−

tu,eje = w u e = 1291

·

Tu,cara columna =

− wu · d × 0,552 = 13685 ,12 kg

× 0,925 = 1194 ,18 kg · m/m

tu,eje n1 1194,18 = 2 2

·

× 8= 4776

,72 kg m

·

 −

Tu,cara columna n1 d n1 /2 2 4776,72 Tu,d = (4 0,552) = 4117 ,53 kg m 4 Tu,d =

·

× −

·

Paso 4: Verificar si la torsión puede ser despreciada?

·  − ≤

4 hf = 4

be

h

× 15 = 60 cm

hf = 60

− 15 = 45 cm (gobierna)

Acp = b w h + be hf Acp = 30


· · × 60 + 45 × 15 = 2475 cm 198

2


Capítulo5 pcp = 2(bw + h) + 2be pcp = 2(30 + 60) + 2

   √  × A2cp pcp

φTcr = φ0,27 fc 4 

φTcr = 0,75 4 Tu <

× 45 = 270 cm

24752 270

0,27 250

φTcr

= 726,41 kg m

·

la torsión deberá ser despreciada

φT4cr Tu > la torsión deberá ser considerada 4 4117,53 > 726,41 kg m la torsión deberá ser considerada !!

−→ −→

· −→

Paso 5: Determinar si la torsión es por equilibrio o por compatibilidad Paso 6: Verificar si las dimensiones de la sección transversal son suficientes para resistir el corte y la torsión

− 2 · r − 2 φ2est 1,0 xo = 30 − 2(3) − 2 = 23 cm 2 xo = b

yo = h

− 2 · r − 2 φ2est

yo = 60

2(3)

−

2

−

1,0

= 53 cm

2

ph = 2(xo + yo ) ph = 2(23 + 53) = 152 cm Aoh = x o yo Aoh = 23

· × 53 = 1219 cm

2

   ·    ≤  ·   ·   ·  · ·   ≤  ·   ·    · ≤ ·    ×  ≤  √  Vu

2

Tu ph 1,7A2oh

2

+

Tu ph 1,7A2oh

2

+

Tu ph 1,7A2oh

2

+

411753 152 1,7 12192

2

bw d

13685,12 30 55,2

×

∴

Vu bw d

2

Vu bw d

2

2

+

×

φ

Vc + 2,2 fc bw d

φ

0,53 fc bw d + 2,2 fc bw d







φ 2,73 fc

26,12

0,75 2,73 250

≤ 32,37 kg/cm −→ Cumple !!

La sección transversal tiene dimensiones adecuadas.


199



2


Capítulo5

Paso 7: Calcular el refuerzo transversal requerido para corte





Vc = 0,53 fc bw d

√

Vc = 0,53

· 250 × 30 × 55,2 = 13877 ,34 kg

Vu Vc φ 13685,12 Vs = 0,75 Vs =

−

− 13877,44 = 4369 ,50 kg

Av Vs = s fyv d Av 4369,50 cm2 /cm = = 0,0188 s 4200 55,2 2 ramas

·

×

Paso 8: Calcular el refuerzo transversal requerido para torsión Ao = 0,85 Aoh Ao = 0,85

· × 1219 = 1036 ,15 cm

At Tu = 2 φ Ao fyv cot θ s At 4117,53(100) = s 2 0,75 1036,15 4200

2

· · ·

◦

= 0,0631

cm2 /cm

× × × × 45 1 rama Paso 9: Determinar el refuerzo transversal total requerido para resistir corte y torsión

   

Av +t s Av +t Total s

Total

=

Av At +2 s s 2

= 0,0188 + 2

/cm × 0,0631 = 0,145 cm 2 rama

Establecer el área combinada requerida de refuerzo para corte y torsión Av+t (requerida) = 2 ramas Ab Av+t (requerida) = 2

· × 0,79 = 1 ,58 cm

2

Paso 10: Establecer el espaciamiento requerido de los estribos , medido en dirección paralela al refuerzo longitudinal. Av +t A Total v+t s 1,58 s(requerido) = = 10,90 cm 0,145 s(requerido) =


200

 


Capítulo5 s(provisto) < s(requerido) s(provisto) = 10 cm < s (requerido) = 10,90 cm





√

1,1 fc bw d = 1,1 250

·



−→

Cumple !!

× 30 × 55,2 = 28802 ,03 kg



Vs < 1,1 fc bw d

·

4369,50 < 28802,03 kg

    · ·  · ·   

−→ Cumple !!

d 55,2 = = 27,6 cm (gobierna) 2 2

60 cm

smáx, corte 

Av fyt 1,58 4200 = = 70 cm 0,2 250 30 0,2 fc bw Av fyt 1,58 4200 = = 63,2 cm 3,5 bw 3,5 30 

× ×

√× ×

ph 152 = = 19 cm (gobierna) 8 8

smáx, torsión 

30 cm

smáx, corte = 22,5 cm (gobierna) smáx, torsión = 19 cm

smáx 

s(provisto) < smáx(requerido) s(provisto) = 10 cm < s máx(requerido) = 19 cm

−→ Cumple !!

Paso 11: Revisar el área mínima de refuerzo transversal

   ·



0,2 fc

Av+t,mín 

√

bw s 30 19 = 0,2 250 = 0,43 cm 2 fyt 4200

·

×

3,5 bw s 3,5 30 19 = = 0,48 cm 2 (gobierna) fyt 4200

·

× ×

Av+t (requerida) > Av+t,mín 2

1,58 cm > 0,48 cm

−→ Cumple !! Proveer estribos φ10c/10 cm de centro a centro. Es más, el refuerzo transversal deberá ser distribuido a lo largo de la longitud del tramo de la viga, y extenderse con el mismo espaciamiento hasta una distancia b t + d = 3 0 + 55,2 = 85 ,2 cm pasada la cara del apoyo. ∴


201


Capítulo5

Paso 12: Calcular el refuerzo longitudinal requerido para torsión



ph

A = 0,0631

×

A =

At s

fyt cot2 θ fy 4200 152 4200

×

◦

2

   · ×  −  At s

Término mayor 

2

× cot (45 ) = 9,59 cm

= 0,0631 cm 2 /cm (gobierna)

1,75 bw = 1,75 30 = 0,0125 cm 2 /cm 4200 fyt 

A,min = 1,33 A,min = 1,33

fc

fy

At s

Acp

√250 4200

ph

fyt fy

× 2475 − 0,0631 × 152 4200 = 2,8 cm 4200

2

A > A,min 9,59 > 2,8 cm 2 ∴

Usar A  = 9,59 cm 2 . 1

db,min



A,barra =



s=

1

10(10) = 4 ,2 mm 24 24 10 mm (gobierna) A

Número de barras

=

9,59 = 0,96 cm 2 10

Asumiendo refuerzo de φ = 12 mm de área Ab = 1,13 cm2 > A,barra = 0,96 cm2 Cumple !!. ∴

Paso 13: Dimensionar el refuerzo longitudinal combinado Diseño de viga a flexión

− r − φest − φ long 2 1,6 d = 60 − 3 − 1,0 − = 55,2 cm 2 d=h



202


Capítulo5 

β1 = 0,85 para 0 < fc 3 β1 dt 8 3 at = 0,85 8 at =

≤ 280 Kg/cm

2

·

× 55,2 = 17 ,595 cm

×

 

· · · · d − a2t 

φMn2 (máximo) = 0,85 fc b at φMn2 (máximo) = 0,85

280

×

30

17,595

× ×

17,595

55,2



×

2

−

= 52049 kg m



·

diseñar como Si: Mu > φMn2 −−−−−−−−→ viga con refuerzo de compresión 15876 > 59049 kg · m −→ No cumple !

∴

Diseñar como viga con solo refuerzo de tracción . 

  − − ·   ·

0,85 fc b As = fy

· ·

d

0,85 250 30 = 4200

·

d2

55,2

−

As = 8,0 cm 2

2 Mu φ 0,85 fc b 55,2

·

2



· ·

−



2 15876(100) 0,9 0,85 250 30

· ·

·

·



Distribuación de las barras longitudinales a torsión y flexión ,As,t+f As,t+f = 2 A + As,flexión 10 2 As,t+f = 9,59 + 8,0 = 9,92 cm 2 10

2 1 A + As,flexión 10 4 2 1 = 9,59 + 8,0 = 3,92 cm 2 10 4

As,t+f = As,t+f

As (provisto) > As (requerido) 5φ16


2φ12

−→ As (provista) = 2,26 > As (requerida) = 102 9,92 = 1 ,98 cm −→ cumple !

3φ12

−→ As (provista) = 3,39 > As (requerida) = 103 9,92 = 2 ,98 cm −→ cumple !

2


2

203


Capítulo5


Figura 5.16. Esquema de armado de la viga del ejem plo 5.1 

Ejemplo 5.2 En la Figura 5.17 se muestra una vista parcial de un entrepiso de un edificio de hormigón armado. Se pide diseñar la viga C1-D1 de de 7,50 m de luz, de sección transversal 30 50 cm. La carga viva sobre la superfifie de la losa es 250 kg/m 2 , la resistencia caracteristica de 2 hormigón es 250 kg/cm , y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .

×

Figura 5.17. Planta de la viga C1-E1 a torsión del ejemp lo 5.2

Solución 5.2 Objetivo Calcular el número, el diámetro y la separación requerida de los estribos a corte, torsión. Datos de diseño Son los siguientes: c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

204


Capítulo5

Sección transversal Materiales Cargas Base, bw = 30 cm Hormigón: peso normal, Carga viva: fc = 250 Kg/cm 2 Altura, h = 50 cm Luz libre viga borde, n1 = 7,20 m Acero: f yt = 4200 Kg/cm 2 Luz libre viga,  n2 = 7,80 m Recubrimiento acero: r = 3,0 cm Altura de entrepiso, hpiso = 3,60 m

LL = 250 kg/m



Resultados Paso 1: Análisis de cargas gravitacionales l <2 s

diseñar como

−−−−−−−−→ Losa en 2 direcciones 7,60 = 2,11 < 2 −→ No cumple !! 3,60 ∴

Diseñar como losa en una dirección. (n1 /2) 28 360 hmin = = 12,86 cm 28 hmin =

Usar para ambas losas un espesor de Carga muerta wD,losa = γH o Ao hlosa wD,ceramica = · wD,contrapiso = γH o · ecp wD,cielofalsoyeso =

∴

h losa = 13 cm .

= = = =

2400 80 2304 25

= × × 0,05 == = wD = 0,13

312 kg/m 2 80 kg/m 2 116 kg/m 2 25 kg/m 2 533 kg/m 2

Cargas vivas wL,particionprovisional wL,ocupacional wL

= 75 kg/m 2 = 250 kg/m 2 = 325 kg/m 2

Cargas muertas wD,viga = wD,muro =

γH o Ao b w h γladrillo w (hpiso

· · · ·

− hviga )

= 2400 × 0,30 × 0,50 = 360 kg/m = 1840 × 0,18 × (3,60 − 0,50) = 1027 kg/m

Cargas muertas Losa L1-L2: Tramo largo wD · s 533 × 3,45 wD viga = = = 920 kg/m 2 2 Carga viva →

Losa L1-L2: Tramo wL · s largo 325 × 3,45 wL viga = = = 561 kg/m →

2

2

Establecer las cargas totales sobre la viga Cargas muertas c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

205


Capítulo5

Viga D1-D2 wLD = w L1,D viga + wL2,D viga + wD,viga wLD = 920 + 920 + 360 = 2200 kg/m →

→

Viga C1-E1 wLD = w L1,D

viga

→

+ wL2,D

viga

→

+ wD,viga + wD,muro

wLD = 0 + 0 + 360 + 1027 = 1837 kg/m

Cargas vivas Viga D1-D2 wLL = w L1,L

+ wL2,L

viga

→

viga

→

wLL = 561 + 561 = 1122 kg/m

Viga C1-E1 wLL = w L1,L

+ wL2,L

viga

→

viga

→

wLL = 0 + 0 = 0 kg/m

Paso 2: Determinar las carga últimas sobre las vigas Viga D1-D2 wu = 1,4 wLD wu = 1,4(2200) = 3080 kg/m wu = 1,2 wLD + 1,6 wLL

· ·

wu

·

= 1,2(2200) + 1,6(1122) = 4436 kg/m (gobierna)

Viga C1-E1 wu = 1,4 wLD

·

wu = 1,4(1387) = 1942 kg/m (gobierna) wu = 1,2 wLD + 1,6 wLL

·

·

wu = 1,2(1387) + 1,6(0) = 1665 kg/m

Paso 3: Calcular la resistencia última al momento flector, torsor y corte Determinación del momento último en la viga C1-E1 Mu+ =

·

×

wu 2n1

−

Mu

wu 2n1 1665 7,202 = = +5395 kg m 16 16

=

11

·

7,202

1665 =

·

11

×

=

−7847 kg · m

Determinación del momento último en la viga D1-D2 Mu = −

wu 2n2 4436 7,802 = = 2 24

·


×

206

−11246 kg · m


Capítulo5 −

Mu,eje =

2 2

2

wu  4436 8,10 = = 24 24

·

×

−12127 kg · m

Mu+ =

wu 2n2 4436 7,802 = = +19278 kg m 14 14

Mu =

wu 2n2 4436 7,802 = = 10 10

−

·

×

·

·

×

2

−27000 kg · m

2

Mu,eje = wu 2 = 4436 8,10 = 10 10 −

·

×

−29105 kg · m

Determinación del torsor último en la viga −

tu,eje = M u,eje = 12127 kg m

Tu,cara columna =

·

tu,eje 12127 = = 6064 kg m 2 2

·

Verificar si es necesario redistribuir los momentos? Acp = b w h Acp = 30

· × 50 = 1500 cm

2

pcp = 2(bw + h) pcp = 2(30 + 50) = 160 cm

   √  × 

φTcr = φ1,1 fc φTcr = 0,75

A2cp pcp

1,1 250

15002 160

= 1835 kg m

·

−→ No se redistribuye los monentos −→ Se redistribuye los monentos 6064 > 1865 kg · m −→ La torsión deberá ser redistribuida !! Tu < φTcr Tu > φTcr

Tu

− φTcr = 6064 − 1835 = 4229 kg · m

Mu,eje (primer apoyo) = −

−8458 kg · m

Mu,eje (segundo apoyo) = 4229 + 29105 = 33334 kg m −

La redistribución se muestra en la Figura 5.18. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

207

·


Capítulo5

− 2 9. 1 1 To n ×m − 2 7 .0 0 T on ×m − 12 .13 T o n ×m

− 11 .25 T on ×m

+ 1 9 .2 8 T o n ×m − 8 . 4 6 T o n ×m

− 8 .2 3 T o n ×m

+ 2 .3 7T o n × m

− 4 .0 0 T o n ×m

− 4 .2 3 T o n ×m

− 3 3 .3 4 T o n ×m − 31 .0 0 T on ×m − 3 .67 T on ×m

− 3.02 T on ×m

+ 2 1 .6 5 T o n ×m

Figura 5.18. Redistribución de momentos en la viga D1-D2 del ejemplo 5.2 Determinación del corte último en la viga en la C1-E1 En la Figura 5.19 se muestra el diagrama de cuerpo libre de la viga D1-D2 3 670 kg

m

33334 kg

×

m

×

w u = 44 36 K g/ m

RD1

RD2

Figura 5.19. DCL de viga D1-D2 despué s de la redistribución de momentos, ejemplo 5.2 Calcular la reacción, RD1 de la viga D1-D2 es 2

8,10

× RD

1

+ 3670





MD 2 = 0

− 4436 ×2 8,10 − 33334 = 0 → RD

Determinar la resistencia Vu en la viga C1-E1 :

− r − φest − φlong 2 2 d = 50 − 3 − 1,0 − = 45 cm 2 d=h


208

1

= 21680 kg


Capítulo5

 −  − 

RD 1 n1 + wu d 2 2 21680 7,20 Vu,d = + 1665 2 2 Vu,d =

0,45 = 16060 kg

16060 kg

21628 kg 2

Figura 5.20. Diagrama de Fuerza cortante en la viga C1-E1, ejemplo 5.2

Paso 4: Verificar si la torsión puede ser despreciada?

   √  × A2cp pcp

φTcr = φ0,27 fc 4 

φTcr = 0,75 4

0,27 250

15002 160

= 450,25 kg m

·

φTcr la torsión deberá ser despreciada 4 φTcr Tu > la torsión deberá ser considerada 4 6064 > 450,25 kg m la torsión deberá ser considerada !! Tu <

−→ −→

· −→

Paso 5: Determinar si la torsión es por equilibrio o por compatibilidad La torsión es por compatibilidad , de manera que no se redistribuye el momento torsor y se diseña para toda la totalidad del momento torsor. Paso 6: Verificar si las dimensiones de la sección transversal son suficientes para resistir el corte y la torsión

− 2 · r − 2 φ2est 1,0 xo = 30 − 2(3) − 2 = 23 cm 2 xo = b

− 2 · r − 2 φ2est 1,0 yo = 50 − 2(3) − 2 = 43 cm 2 yo = h


209


Capítulo5 ph = 2(xo + yo ) ph = 2(23 + 43) = 132 cm Aoh = x o yo ) Aoh = 23

· × 43 = 989 cm

2

   ·    ≤ · ·  ·   ·  ≤   · · ·      ·       · ×  ≤  √  ≤ 2

Vu

Tu ph 1,7A2oh

+

Tu ph 1,7A2oh Tu ph 1,7A2oh

2

+

1835(100) 132 1,7 9892

2

bw d

2

Vu

bw d Vu bw d

16060 30 45

×

∴

2

+

2

+

φ

Vc + 2,2 fc bw d

φ

0,53 fc bw d + 2,2 fc bw d



2

2

×







φ 2,73 fc

18,81

0,75 2,73 250 2

≤ 32,37 kg/cm −→

Cumple !!

La sección transversal tiene dimensiones adecuadas.

Paso 7: Calcular el refuerzo transversal requerido para corte





Vc = 0,53 fc bw d

√

Vc = 0,53 250

· × 30 × 45 = 11313 kg

Vu Vc φ 16060 Vu = 11313 = 10101 kg 0,75 Vu =

−

−

Av Vs = s fyv d Av 10101 cm2 /cm = = 0,0534 s 4200 45 2 ramas

·

×

Paso 8: Calcular el refuerzo transversal requerido para torsión Ao = 0,85 Aoh Ao = 0,85

· × 989 = 840 ,65 cm

At Tu = 2 φ Ao fyv cot θ s At 1835(100) = s 2 0,75 840,65 4200

2

· · · ×

×


×

210

× 45

◦

= 0,0346

cm2 /cm 1 rama


Capítulo5

Paso 9: Determinar el refuerzo transversal total requerido para resistir corte y torsión

   

Av +t s Av +t Total s

Total

=

Av At +2 s s 2

= 0,0534 + 2

/cm × 0,0346 = 0,1226 cm 2 rama

Establecer el área combinada requerida de refuerzo para corte y torsión Asumiendo estribos de φe = 10 mm de área Ab = 0,79 cm2 , se tiene: Av+t (requerida) = 2 ramas Ab Av+t (requerida) = 2

· × 0,79 = 1 ,58 cm

2

Paso 10: Establecer el espaciamiento requerido de los estribos , medido en dirección paralela al refuerzo longitudinal. Av +t A Total v+t s 1,58 s(requerido) = = 12,89 cm 0,1226 s(requerido) =

 

s(provisto) < s(requerido) s(provisto) = 12,5 cm < s (requerido) = 12,89 cm

−→ Cumple !!

Comprobar que φVs sea menor que 1,1 fc bw · d 





√ 

1,1 fc bw d = 1,1 250

·

× 30 × 45 = 23480 kg



Vs < 1,1 fc bw d

· 17146,95 < 23480 kg −→ Cumple !!

    · ·  ·  ·  

d 45 = = 22,5 cm (gobierna) 2 2

60 cm

smáx, corte 

Av fyt 1,58 4200 = = 70 cm 0,2 250 30 0,2 fc bw Av fyt 1,58 4200 = = 63,2 cm 3,5 bw 3,5 30 

smáx, torsión 

× ×

ph 132 = = 16,5 cm (gobierna) 8 8

30 cm


√× ×

211


Capítulo5 smáx 

 

smáx, corte = 22,5 cm (gobierna) smáx, torsión = 16,5 cm

s(provisto) < smáx(requerido) s(provisto) = 12,5 cm < s máx(requerido) = 16,5 cm

−→

Cumple !!

Paso 11: Revisar el área mínima de refuerzo transversal 

0,2 fc Av +t,mín 

 ·

√

bw s 30 16,5 = 0,2 250 = 0,37 cm 2 f 4200

·

yt

×

3,5 bw s 3,5 30 16,5 = = 0,41 cm 2 (gobierna) fyt 4200

·

× ×

Av+t (requerida) > Av+t,mín 1,58 cm > 0,41 cm 2

−→

Cumple !!

∴ Proveer estribos φ10c/12,5 cm

de centro a centro. Es más, el refuerzo transversal deberá ser distribuido a lo largo de la longitud del tramo de la viga, y extenderse con el mismo espaciamiento hasta una distancia b t + d = 30 + 45 = 75 cm pasada la cara del apoyo.

Paso 12: Calcular el refuerzo longitudinal requerido para torsión



ph

A = 0,0346

×

A =

At s

fyt cot2 θ fy 4200 132 4200

×

At s

1,75 bw 1,75 30 = = 0,0125 cm 2 /cm fyt 4200

fc

fy

Acp

√250 4200

At s

ph

fyt fy

× 1500 − 0,0346 × 132 4200 = 2,94 cm 4200 A > A,min 4,57 > 2,94 cm 2

∴

2

= 0,0346 cm 2 /cm (gobierna)



A,min = 1,33

◦

    · ×  − 

Término mayor 

A,min = 1,33

2

× cot (45 ) = 4,57 cm

2

cm . mínimo de las barras longitudinales Usar A  = Establecer el 4,57 diámetro db,min 

 


1 1 s= 12,5(10) = 5 ,21 mm 24 24 10 mm (gobierna)

212

2


Capítulo5

Determinar el área de cada refuerzo longitudinal , considerando 6 barras longitudinales se tiene: A

A,barra =

=

4,57

= 0,76 cm 2

Número de barras 6 ∴ Asumiendo refuerzo de φ = 10 mm de área Ab = 0,79 cm2 > A,barra = 0,76 cm2 Cumple !!.


Figura 5.21. Esquema de armado de la viga del ejem plo 5.2 

5.4.11 Ejercicios propuestos Ejercicio 5.1 Diseñe el refuerzo por torsión neces ario para una viga de 30 × 50 si la resistencia 

característica del hormigón es fc = 210 kg/cm 2 , y el acero tiene una resistencia a la fluencia de fy = 4200 kg/cm 2 considere que la resitencia última al momento torsor es 2800 kg m y la cortante de diseño es 67440 kg, suponga que el recubrimieto es requerida por M u de 9,56 cm .

3 cm, estribos φ = 12 mm, y una area x 

·

Ejercicio 5.2 Determinar el momento flector, momento torsor y cortante máxima que puede resistir la viga de la Figura 5.22, cuya sección se encuentra en el apoyo. El hormigón tiene una resistencia característica fc = 250 kg/cm 2 , el acero tiene una resistencia a la fluencia de fy = 4200 kg/cm 2 . 

h f =15 cm

bw

=

3 0c m


213


Capítulo5 x 

Ejercicio 5.3 Diseñar la viga en voladizo, empotrada en el apoyo izquierdo y sometida a cargas muerta distribuidas debido a la losa en voladizo de 820 kg/m y una carga concentrada de 1800 kg en el extremo derecho del volado, la altura del voladizo aumenta en forma lineal en dirección al incremento del momento tal como se muestra en la Figura 5.23, la carga viva correspondiente es 1000 kg/m. El hormigón tiene una resistencia característica fc = 210 kg/cm 2 , el acero tiene una resistencia a la fluencia de f y = 4200 kg/cm 2 . 

w D = 8 20 Kg / m w L = 10 00 Kg/ m

PD = 18 00 Kg


Ejercicio 5.4 Una viga tiene una secc ión de transversal de 50 × 35 cm, debe sostener una carga

última de 430 kg/m y distribuida a lo largo de su luz de 6,90 m. Además, estará sometida a una torsión uniformemente distribuida de 530 kg m/m. Diseñe el refuerzo transversal de está viga y calcule el incremento necesario en el área del refuerzo longitudinal para absorver torsión, utilizando una resistencia característica del hormigón de fc = 210 kg/cm 2 , y una resistencia a la fluencia del  acero de fy = 4200 kg/cm 2 . x

·



Ejercicio 5.5 Una viga T tiene las dimensiones geométricas que se muestran en la Figura . Una fuerza cortante externa mayorada actúa en la sección crítica, teniendo un valor de 5970 kg. Está sujeta a las siguientes torsiones: (a) momento torsor último de 38700 kg m, (b) momento torsor último de 820 kg m. Considere que el acero por flexión es 19,45 cm 2 . La resistencia característica del hormigón es f c = 250 kg/cm 2 , la resistencia a la fluencia del acero es f y = 4200 kg/cm 2 . Diseñar el refuerzo del alma para está sección.

·

· 

h f =10 cm

As

bw

=

3 0c m

Figura 5.24. Ejercicio propuesto 5.5 x  c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

214

CAPÍTULO

6

LONGITUD DE DESARROLLO, EMPALME Y PUNTOS DE CORTE DEL REFUERZO

6.1 INTRODUCCIÓN El concepto de longitud de desarrollo para el anclaje del refuerzo corrugado solicitados a tracción, se basa en el concepto de esfuerzo de adherencia obtenible sobre la longitud embebida del refuerzo. Las longitudes de desarrollo especificadas se requieren , en gran medida, por la tendencia de las barras sometidas a esfuerzos altos a fisurar el hormigón que retiene la barra cuando las secciones de hormigón son relativamente delgadas. Una barra individual embebida en una masa de hormigón no necesita una gran longitud de desarrollo ; aunque una fila de barras, en una masa de hormigón, puede crear un plano débil con agrietamiento longitudinal a lo largo del plano de dichas barras.

6.1.1 Objetivos de este capítulo Despues de terminar el presente capítulo, el estudiante podrá: 1. Establecer la formula para calcular el esfuerzo de adherencia . 2. Definir el concepto de esfuerzo de adherencia promedio. 3. Describir y entender el fundamento de los mecanismos de transferencia de la adherencia existente entre el hormigón y el refuerzo. 4. Conocer y aplicar el concepto de longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción. 5. Conocer y aplicar el concepto de longitud de desarrollo de barras corrugadas a compresión. 6. Conocer y aplicar el concepto de longitud de desarrollo de ganchos en tracción 7. Conocer y aplicar el concepto de empalmes por traslapo 8. Identificar los puntos de corte y doblado del refuerzo negativo.

215

tanto para momento positivo como


Capítulo6

6.2 ESFUERZO DE ADHERENCIA Para que el acero pueda resistir la tracción, debe existir una buena adherencia entre las barras de acero y el hormigón que las envuelve.

Figura 6.1. Fuerzas internas en una viga simpleme nte apoyada En la Figura 6.2 se muestra, un trozo de barra que se mantiene en equilibrio debido a la acción de las fuerzas de adherencia. μ T

Figura 6.2. Fuerzas y esfuerzos de adherencia en una barra de refuer zo Los esfuerzos de adherencia son fuerzas que varían a lo largo de todos los puntos de la barra, y se desarrollan en toda la superficie del refuerzo. db

μ=

T=f Ab 1 s1 b T2=fs2 A



fs2 = sf 1+ Δ fs

Figura 6.3. Relación entre los cambios de esfuerzos en una barra y los esfuerzos de adherencia

Equilibrio de Fuerzas µavg =

∆fs db 4 

(6.1)

µavg =

1 ∆fs db 4 dx

(6.2)

·

·

Donde µ es el verdadero esfuerzo de adherencia que actúa en una longitud dx .

6.2.1 Esfuerzo de adherencia promedio en una viga Considerando una longitud entre dos fisuras de una viga simplemente apoyada que soporta una carga a medio tal como se muestra en la Figura 6.4 (a), el diagrama de momentos en lapuntual Figura 6.4 (b), eltramo diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas internas de la sección 1-1 se observa en la Figura 6.4 (c), las fuerzas en la barra Figura 6.4 (d) y una para de la viga entre las secciones 1-2 en la Figura 6.4 (e).


216


Capítulo6

M1 Δx

M 2= M + M 1 Δ

Tavg T2=T 1 + Δ T

T1

M1 M 2= M + M 1 Δ Δx

Figura 6.4. Esfuerzo de adherencia promedio en vigas

Equilibrio de Fuerzas El esfuerzo de adherencia promedio en vigas es igual a: µavg =

V π db jd

En caso de existir más de una barra, el perimetro de la barra sumatoria de perimetros, Σ(π · db ) obteniendose: µavg =

(6.3)

· ·

V Σ(π db ) jd

·

·

(π db ) puede expresarse como la

·

(6.4)

6.3LosMECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE LA ADHERENCIA dos primeros mecanismos se pierden rápidamente quedando solamente la transferencia por apoyo en las protuberancias de la barra tal como se muestra en la Figura 6.5(a). Los esfuerzos de apoyo que actúan el hormigón son iguales y opuestos a los del acero se muestra en la Figura 6.5(b).


217


Capítulo6

Figura 6.5. Fuerzas internas del mecanismo de transferencia de la adherencia

Figura 6.6. Fuerzas del hormigón como mecanismo de transfe rencia de la adherencia En la Figura 6.7 se puede observar tres secciones transversales de vigas de hormigón armado donde este tipo de hendimiento o compresiones diametrales se presentan próximas a las caras traccionadas y se propagan desde las barras hacia el exterior de las secciones.

Figura 6.7. Típicas fallas de hend imiento en la superficie de hormigón c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

218


Capítulo6

6.4 LONGITUD DE DESARROLLO Debido a que el esfuerzo de adherencia varía a largo de la longitud de la barra anclada en la zona de tracción, el código ACI 318-05 utiliza el concepto de longitud de desarrollo en lugar del concepto de esfuerzo de adherencia. d =



fy 4 µavg,u

·

·

db

(6.5)

Donde: µavg,u = Es el esfuerzo de adherencia promedio, µ avg en la falla por adherencia.

6.4.1 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción El código ACI 318-05 en el artículo 12.2.1, especifica que se determina apartir de la siguiente ecuación: d =

1 3,5



   ·   fy



fc

 ·  

ψt ψe ψs λ db  30 cm cb + Ktr db

·

(6.6)

Donde: d = Longitud de desarrollo. fy = Esfuerzo de fluencia especificada de una barra no pretensada, en kg/cm 2 . fc = Resistencia caracteristica a la compresión del hormigón , en kg/cm 2 . db = Diámetro nominal de la barra , en cm. ψt = Factor de ubicación del refuerzo. ψe = Factor de revestimiento. ψs = Factor de tamaño del refuerzo. λ = Factor de hormigón de agregados livianos. cb = Dimensión del espaciamiento o recubrimiento, en cm . Ktr = Indice de refuerzo transversal. 

Las variables usadas en la ecuación 6.6, se definen de la siguiente manera: ψt = Factor de ubicación del refuerzo Usar ψt = 1,3 : cuando el refuerzo horizontal es colocado de manera que exista más de 30 cm de hormigón fresco, debajo de la longitud de

desarrollo o del empalme. Usar ψt = 1,0 : para otros refuerzos. ψe = Factor de revestimiento Usar ψe = 1,5 : En barras con revestimiento-epóxico que tengan un recubrimiento menor a 3db o una separación libre entre barras menor a 6db .

Usar ψe = 1,2 : en todas las demás condiciones de barras con revestimiento-epóxico. Usar ψe = 1,0 : en barras no revestidas. Nota El producto ψt × ψe no necesita ser mayor de 1,7, según el código ACI 318-05 en el artículo 12.2.4. ψs = Factor de tamaño del refuerzo Usar ψs = 0,8 : Cuando las barras tengan un db Usar ψs = 1,0 : Cuando las barras tengan un db 22 mm.

≥


219

≤ 20 mm.


Capítulo6

λ = Factor de hormigón de agregados livianos livianos y cuando f ct no ha sido especificado.

Usar λ = 1,76



Usar λ = 1,3 : En hormigón de agregados



fc  1,0 : Cuando f ct se especifica. fct

Usar λ = 1,0 : en hormigones de peso normal. cb = Dimensión del recubrimiento, en cm Debe ser:

La distancia más pequeña entre el centro de la barra y la superficie de hormigón más cercana (recubrimiento). la mitad del espaciamiento de centro a centro de las barras que se empalman o desarrollan .

Ktr = Indice de refuerzo transversal

Ktr =

Atr fyt 105 s n

· · ·

(6.7)

Donde: Atr = Area de la sección transversal total de todos el refuerzo transversal ubicado dentro de la distancia s y que atraviesa el plano potencial de hendimiento a traves del refuerzo que se desarrolla o empalma, en cm2 . fyt = Es el esfuerzo de fluencia especificado del refuerzo transversal, en kg/cm 2 . s = Es el espaciamiento máximo de centro a centro del refuerzo transversal dentro de d , en cm. n = Es el número de barras que se empalman o desarrollan dentro del plano de hendimiento. El código ACI 318-05 en el artículo 12.2.3 indica que se puede usar un

Ktr = 0.

Refuerzo en exceso KER =

As (requerido) As (provisto)

(6.8)

y se multiplica a la longitud de desarrollo calculada por medio de la ecuación 6.6.

6.4.2

Longitud de desarrollo de barras corrugadas a compresión

El código ACI 318-05 en el artículo 12.3.2, especifica que es calculada a partir de: dc = 0,075

   fy



fc

db  (0,0043 fy ) db  20 cm

·

Refuerzo en exceso s KER = A (requerido) As (provisto)


220

·

(6.9)


Capítulo6

6.4.3 Ejercicios resueltos Ejemplo 6.1 Calcular la longitud de desarrollo requerida para las barras corrugadas de φ = 12 mm de la fibra superior de la losa de hormigón armado 30 cm de espesor mostrada en la Figura 6.8. Notar que estas barras son el refuerzo a tracción para el momento negativo de la losa en la viga de apoyo. En vista de tratarse de una losa, los estribos no son usados. La resistencia caracteristica del hormigón es de 210 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), la resistencia a la fluencia del acero es de 4200 kg/cm 2 . Las barras no estan revestidas.

d

Figura 6.8. Esquema del ejemplo 6.1

Solución 6.1 Objetivo Calcular la longitud de desarrollo a tracción de las barras de φ = 12 mm alternadas. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Altura, h = 30 cm Hormigón: peso normal, 

2

c = 210 Kg/cm fAcero: f yt = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento: r = 2,0 cm

Barras no revestidas

Resultados Paso 1: Determinar el valor de los multiplicadores: ψ t , ψe , ψs y λ: ψt = 1,0 (refuerzo sobre hormigón fresco de 26,8 cm < 30 cm el mínimo) ψe = 1,0 (barras no revestidas) ψs = 0,8 (db = 12 < 20mm) λ = 1,0 (hormigón de peso normal)

Paso 2: Verificar el producto: 1,0

ψt · ψe < 1,7 × 1,0 = 1,0 < 1,7 −→


221

cumple !!


Capítulo6

Paso 3: Determinar la dimensión del recubrimiento efectivo , cb :

cb

   ≤  

φ long 2 1,2 =2 + = 2,6 cm (gobierna) 2

cb,ver = r + cb,ver

Separación entre centros

cb,hor =

2

20 = = 10 cm 2

cb,hor

Paso 4: Calcular el índice del refuerzo transversal Ktr = 0

Paso 5: Revisar la expresión: cb + ktr db

≤ 2,5 2,60 + 0 = 1,625 ≤ 2,5 −→ 1,6 ∴

Usar

Cumple !!

cb + ktr = 1,625. db

Paso 6: Calcular el factor de refuerzo en exceso : El factor de refuerzo en exceso no es aplicable , y por tanto se omite. Paso 7: Calcular la longitud de desarrollo de barras a tracción : 1 d = 3,5

d

  √  ≥  1 3,5

4200 210



   ·  

1,0

fy



fc

   ·

ψt ψe ψs λ cb + Ktr db

· ·

db  30 cm



× 1,0 × 0,8 × 1,0 × 1,2 = 40 ,77 (gobierna) (1,625)

30 cm

∴

Usar  d = 41 cm .



Ejemplo 6.2 Calcular la longitud de desarrollo requerida para el interior de dos barras corrugadas de φ = 16 mm de la viga mostrada en la Figura 6.9 . Las otras 2 barras exteriores de φ = 16 mm son continuas a lo largo de toda la longitud de la viga, la resistencia caracteristica del hormigón es de 250 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), la resistencia a la fluencia del acero es de 4200 kg/cm 2 . Las c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

222


Capítulo6

barras no estan revestidas. Asumir que, en el diseño de este elemento, el área de acero a tracción requerida fué de 7,10 cm 2 . d

( 2φ 1 6 )


Solución 6.2 Objetivo Calcular la longitud de desarrollo a tracción de 2 barras de φ = 16 mm . Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Base, b w = 25 cm Hormigón: peso normal, Altura, h = 50 cm fc = 250 Kg/cm 2 Acero: fyt = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento: r = 3,0cm Barras no revestidas 

Datos adicionales Barras no revestidas As (requerida) = 7,10 cm 2 As (provista) = 8,04 cm 2 Area de estribos: Ab = 0,79 cm2 (φ = 10) Espaciamiento de estribos: s = 15 cm ( φ = 10)

Resultados Paso 1: Determinar el valor de los multiplicadores: ψ t , ψe , ψs y λ: ψt = 1,3 (refuerzo sobre hormigón fresco de 47,4 cm > 30 cm el mínimo) ψe = 1,0 (barras no revestidas) ψs = 0,8 (db = 16 < 20mm) λ = 1,0 (hormigón de peso normal)

Paso 2: Verificar el producto: 1,3

ψt · ψe < 1,7 × 1,0 = 1,3 < 1,7 −→


223

cumple !!


Capítulo6


cb

    ≤  

φlong 2 1,6 = 3 + 1,0 + = 4,8 cm 2

cb,ver = r + φe + cb,ver

bw cb,hor =

− 2r − 2φe − 2 2(n − 1)

25

2(3)

−

cb,hor =

  φlong 2

2(1,0)

−

2(4

1,6

2

−

− 1)

Paso 4: Calcular el índice del refuerzo transversal

2

 

= 2,57 (gobierna)

Atr fyt 105 s n 2(0,79) 4200 Ktr = = 2,11 105 15 2

· · · × × ×

Ktr =

Paso 5: Revisar la expresión: cb + ktr db 2,57 + 2,11 = 2,93 1,6

≤ 2,5 ≤ 2,5 −→ No cumple !!

cb + ktr

Usar db = 2,5. Paso 6: Calcular el factor de refuerzo en exceso : As (requerido) KER = As (provisto) ∴

KER =

7,10 = 0,88 8,04

Paso 7: Calcular la longitud de desarrollo de barras a tracción : d =

1 3,5 d ∴

1 3,5



√4200 250

   ·   fy

1,3



fc

 ·  · 


·

× 1,0 × 0,8 × 1,0

0,88

(2,5)

   ≥

KER db  30 cm

·

× 1,6 = 44 ,5 (gobierna)



30 cm

Usar  d = 45 cm .




224


6.4.4

Capítulo6

Longitud de desarrollo de ganchos estándar en tracción

Las disposiciones de anclaje de barras con gancho proporcionan la longitud total embebida de la barra con gancho, como se muestra en la Figura 6.10.  dh

A s fy

 dh

db

db

As fy

≥ 12db

≥

4db ó 6.5 cm

D= 6db para φ=10 a 25 mm D= 8db para φ= 25 a 32 mm D= 10db para φ= 45 a 55 mm

Figura 6.10. Detalles de barras doblada s para desarrollar el gancho estándar

dh = 0,075

Donde:

   fy



fc

(ψe λ) db

· · ≥ 8db ≥ 15 cm textACI 12,5

(6.10)

ψe = 1,2 Si el refuerzo es revestido con epóxico (caso contrario ψe = 1,0). λ = 1,3 Si el hormigón es de agregados livianos (caso contrario λ = 1,0).

Factores de modificación La longitud de desarrollo final ,  dh debe ser mayor a 8db o mayor a 15 cm .

Factor de recubrimiento de hormigón Las barras con φ ≤ 36 mm , con ganchos de 180 con recubrimiento lateral (normal al plano del gancho) mayor a 6,5 cm , y los ganchos de 90 o, con recubrimiento en la extensión de la barra más allá del gancho mayor a 5,0 cm , Ver Figura 6.11, tiene un: Factor de modificación = 0,7 ◦

≥ 5.0 cm

≥ 6.5 cm

Figura 6.11. Factor de recubrimiento de hormigón (ACI 12.5.3(a))

Factor de estribos con ganchos a 90 Los ganchos a 90o con barras de φ ≤ 36 mm, que se encuentran confinados por estribos perpendicularesa la barra que se está desarrollando, espaciados a lo largo de  dh a una distancia menor a 3db , presentan un: o

Factor de modificación = 0,8 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

225


Capítulo6

El diámetro de la barra anclada, y la distancia del primer estribo se muestran en la Figura 6.12.  dh

≤ 2db

db

≤ 3d b

Figura 6.12. Estribos perpendicularmente a la barra en desarr ollo, con gancho a 90o (ACI 12.5.3(b))

Factor de estribos con ganchos a 180 Los ganchos a 180o con barras de φ ≤ 36 mm, que se encuentran confinados con estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, espaciados a una distancia menor a 3db a lo largo de  dh, presentan un: o

Factor de modificación = 0,8 El diámetro de la barra anclada, y la distancia del primer estribo se muestran en la Figura 6.13 .  dh

≤ 2d b

db

≤ 3d b

Figura 6.13. Estribos perpendicularmente a la barra en desarrollo, con gancho a 180o (ACI 12.5.3(c))

Factor de refuerzo en exceso Cuando no se requiera específicamente anclaje o longitud de desarrollo para fy , y se disponga de una area de refuerzo mayor a la requerida por cálculo, el: A ( requerido) Factor de modificación = K ER = s As (provisto)

6.4.5 Ejercicios resueltos Ejemplo 6.3 Determinar la longitud de desarrollo o anclaje requerida para las barras superiores a tracción para las condiciones mostradas en la Figura

6.14. Usar una resistencia caracteristica del

2

hormigón de2 . 210 peso normal), y una resistencia a la fluencia del acero deun 4200 kg/cm Las kg/cm 3 barras (hormigón φ = 16mmdepueden ser categorizadas como barras superiores, asumir recubrimiento de 3 cm, las barras no están revestidas.


226


Capítulo6  dh


Solución 6.3 Objetivo Calcular la longitud de desarrollo a tracción del refuerzo de la viga en la columna. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Base viga , bw = 30 cm Altura viga, h = 45 cm Base columna , b = 30 cm Ancho columna , h = 50 cm


fc = 210 Kg/cm 2 Acero: f yt = 4200 Kg/cm 2 ) Recubrimiento: r = 3,0cm


Resultados A. Anclando las barras superiores en la columna exterior Paso 1: Determinar el valor de los multiplicadores: ψ t , ψe , ψs y λ: ψt = 1,3 (refuerzo sobre hormigón fresco de 39,6 cm > 30 cm el mínimo) ψe = 1,0 (barras no revestidas) ψs = 0,8 (db = 16 < 20mm) λ = 1,0 (hormigón de peso normal)

Paso 2: Verificar el producto: ψt ψe < 1,7 1,3

× 1,0 =·1,3 < 1,7 −→


227

cumple !!


Capítulo6


cb

    ≤  

φ long 2 1,6 cb,ver = 3 + 0,8 + = 4,6 cm (gobierna) 2 cb,ver = r + φe +

bw

− 2r − 2φe − 2 2(n − 1)

cb,hor =

cb,hor

= 30

  φlong 2

1,6

− 2(3) − 2(0,8) − 2 2(3 − 1)

2

 

= 5,2 cm

Paso 4: Calcular el índice del refuerzo transversal Se observa estribos en la viga. Sin embargo, no existe estribos en la columna, por lo que: ktr = 0

Paso 5: Revisar la expresión: cb + ktr db 4,6 + 0 = 2,87 1,6

∴

Usar

cb + ktr

≤ 2,5 ≤ 2,5 −→ No cumple !!

= 2,5.

db

Paso 6: Calcular el factor de refuerzo en exceso : El factor de refuerzo no es aplicable y se omite. Paso 7: Calcular la longitud de desarrollo de barras a tracción : 1 d = 3,5

d

  √  ≥  1 3,5

4200 210



   ·  

1,3

fy



fc

   ·


· ·

db  30 cm



× 1,0 × 0,8 × 1,0 × 1,6 = 55 ,12 (gobierna) (2,5)

30 cm

∴

Usar  d = 56 cm .

Paso 8: Verificar ancho de columna d + r 56 + 3 = 59 cm ∴

≤ Ancho de columna ≤ 50 cm −→ No cumple !!

Usar gancho estándar, ya sea gancho de 90 o gancho 180 .


◦

228

◦


Capítulo6

B. Anclaje usando gancho estándar de 90

◦

Paso 1: Determinar el valor de los multiplicadores: ψ e , y λ : ψe = 1,0 (sin revestimiento) λ = 1,0 (hormigón de peso normal)

Paso 2: Calcular la longitud de desarrollo del gancho estándar a tracción fy (ψe λ) db fc 4200 0,075 (1,0 1,0) 210 8db = 8 1,6 = 12 ,8 cm 15 cm

     √  ≥  × 0,075

dh

∴



· · ×

× 1,6 = 34 ,78 cm (gobierna)

Usar  dh = 35 cm .


≤ Ancho de columna ≤ 50 cm −→ Cumple !!

Usar gancho estándar, ya sea gancho de 90 o gancho 180 . ◦

◦

Paso 4: Detalle de Armado  dh

Figura 6.15. Detalle de armado del ejemplo 6.3 

6.5 EMPALMES 6.5.1 Empalmes de barras corrugadas a tracción Espaciamiento libre de barras empalmadas En empalmes por traslapo en vigas y columnas con barras desalineadas, el espaciamiento libre entre centros de las barras que se empalman dependerá de la orientación de las barras empalmadas, la Figura 6.16 ilustra el espaciamiento libre que debe usarse. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

229


Capítulo6

Figura 6.16. Espaciamiento libre en barras desa lineadas mismo plano odistancia Cuando muchas en uncomo sección, se empalman porportraslapo barras ubicadas escalonado , el espaciamiento libre se toma la mínima entre empalmes traslapo adyacentes, ver Figura 6.17. 

db

s=s -d 1

b

s1

db

s=s -d 1

b

s1

Figura 6.17. Espaciamiento libre en barras escal onadas

Clases de empalmes Los empalmes por traslapo de barras corrugadas sometidas a tracción, y las clases de empalmes se resumen en la Tabla 6.1. Tabla 6.1. Tipos de empalme por traslape en tracció n Porcentaje máximo de A s As (provisto) empalmado en la longitud As (requerido) requerida para dicho empalme 50 %

100 %

Clase A Clase B

2

<2

Clase B Clase B

Longitud de empalme a tracción Empalme por traslapo Clase A s = 1,0

× d  30 cm

(6.11)

s = 1,3

× d  30 cm

(6.12)

Empalme por traslapo Clase B


230


Capítulo6

6.5.2 Empalmes de barras corrugadas a compresión Longitud de empalme a compresión El código ACI 318-05 en el articulo 12.6 indica que para hormigones con fc  210 kg/cm 2 , la longitud de empalme requerida se calcula multiplicando el diámetro de la barra ,db , por un factor, como se indica a continuación: 

sc

 ≥ × ≥

0,0071 fy db

cuando

2

· · −−−−−→ fy ≤ 4200 kg/cm (0,013 · fy − 24) · db −−−−−→ fy > 4200 kg/cm

sc = 20

db

cuando

30 cm

(6.13)

2

cuando

2

y f c  210 kg/cm 2

cuando

2

y f c  210 kg/cm 2

cuando

2

−−−−−→ fy = 2800 kg/cm sc = 30 × db ≥ 30 cm −−−−−→ fy = 4200 kg/cm sc = 44 × db ≥ 30 cm −−−−−→ fy = 5250 kg/cm







y f c  210 kg/cm

2

(6.14) (6.15) (6.16)

6.6 PUNTOS DE CORTE Y DOBLADO Las barras de acero pueden ser cortadas en las secciones criticas donde dejan de ser necesarias según el diagrama de momentos flectores.

6.6.1 6.6.2

Longitud de desarrollo del refuerzo por flexión Longitud de desarrollo del refuerzo para momento positivo

El código ACI 318-05 en el artículo 12.11., recomienda prolongar el refuerzo para momento + positivo una longitud mayor a > 1/3(A+ s ) en elementos simplemente apoyados y > 1/4(As ) en elementos continuos. En las vigas, prolongar una longitud mayor a > 15 cm en el apoyo, tal como se muestra en Figura 6.18. 1 n 2

≥

1 + A 4

 a ≥ ( d ,12 d b

) de ba rra s A

≥ 15 cm (mín) de barras B

≥  d (mín) de barras B

≥  d (mín) de barras A

Figura 6.18. Puntos de corte de acero para mome nto positivo, Mu+ c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

231


6.6.3

Capítulo6

Longitud de desarrollo del refuerzo para momento negativo

El refuerzo para momento negativo , ver Figura 6.20, en un elemento continuo, restringido, o en voladizo , o en cualquier elemento de un pórtico rígido, debe anclarse en o a través de los elementos de apoyo mediante una longitud embebida, ganchos o anclajes mecánicos. La Figuras 6.20 y 6.19 resumen los requisitos exigidos por el código ACI 318-05 en el artículo 12.12.  a ≥ (d,

 dh

1 16

 n ,12d)b

≥

 dh

1 3

−

As

Figura 6.19. Desarrollo del refuerzo por momento negativo

≥  d (mín) de barras

C

≥  d (mín) de barras

D

≥  d (mín) de barras E

≥

 a ≥ ( d ,12 db

) de ba rras C

 a ≥ ( d ,12 d b ) de

ba rras D

 a ≥ ( d,

1 16

1 − A 3

 n ,12d b )de barras E

1 n 2

Figura 6.20. Puntos de corte de acero para momento neg ativo, Mu

−


232


Capítulo6

6.6.4 Ejercicios resueltos Ejemplo 6.4 Determinar la longitud de los puntos de corte de las barras superiore s e inferiores para el tramo A-B y B-C de la viga continua que se muestra en la Figura. La sección transversal de las vigas es 25 50 cm. La carga muerta uniformemente distribuida que actúa sobre las vigas es 2296 kg/m en el tramo A-B y 2122 kg/m en el tramo siguiente (las cargas muertas incluyen el peso propio de la vigas), la carga viva es 876 kg/m y 868 kg/m respectivamente. Usar una resistencia caracteristica del hormigón de 210 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), y una resistencia a la fluencia del acero de 4200 kg/cm 2 , las barras no son revestidas. Asumir un recubrimiento de 3 cm.

×

wu

=4316.8 kg/m

 n =4.5

w

u

=3935.2 kg/m

 n =4

m

m 0.3

m 0.3

m

m 0.3


Solución 6.4 Objetivo Calcular la longitud de desarrollo a tracción del refuerzo de la viga en la columna. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Base viga: b w = 25 cm Altura viga: h = 50 cm Base columna: b= 30 cm Ancho columna: h = 30 cm Luz libre A-B:  n1 = 4,5 m Luz libre B-C:  n2 = 4 m

Materiales Hormigón: peso normal, fc = 210 Kg/cm 2 Acero: f yt = 4200 Kg /cm2 ) Recubrimiento: r = 3,0cm 

Cargas Tramo A-B: wu = 4316,8 kg/m Tramo B-C: w u = 3935,2 kg/m


Resultados Paso 1: Establcer la resistencias últimas al momento flector y a la fuerza de corte La Figuras 6.23 y 6.22 muestran los resultados del análisis estructural mediante software. Vu,d =7 33 3 k g Vu,d =6 46 4 k g

 n =4.5

m

 n =4

m

Vu,d =5 97 2 k g Vu,d =8 25 0 k g

Figura 6.22. Resistencia última a la fuerza de corte, Vu , del portico del ejemplo 6.4 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

233


Capítulo6 794 2 k g ⋅m

70 29 kg ⋅m 57 05 kg ⋅m

559 8 k g ⋅m

 n =4

 n =4.5 m

m

34 49 kg ⋅m

59 64 kg ⋅m

Figura 6.23. Resistencia última al momen to flector, Mu , del portico del ejemplo 6.4

Paso 2: Determinar el área de refuerzo por flexión utilizando el concepto de cuantia mecánica

− r − φe − φ long 2 1,6 d = 50 − 3 − 0,8 − = 45,4 cm 2 Para el caso de carga en el apoyo: Mu = 7942 kg · m d=h

−

Calular

Mu 7942(100) = = 0,815 φ fc b d2 0,9 210 25 (45,4)2 

· · ·

·

· ·

ω = 0,0858 < ωt = 0,2709 ∴

−→ Cumple !!


As = ω ∴

fc 210 b d = 0,0858 fy 4200

·

·

× 25 × 45,4 = 4,87 cm

2

Asumiendo 2 barras φ = 12 mm y 2 barras φ = 12 mm se tiene una As (provista) =

6,28 cm 2 .



β1 para 0 < fc < 280 Kg/cm 2

Las cuantias máxima, maxima útil, mínima son: 

ρmax =

3 f 3 210 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0155 7 fy 7 4200

ρt =

3 f 3 210 0,85β1 c = 0,85(0,85) = 0,0135 8 fy 8 4200




234


Capítulo6

ρmin

  ≥ 

√ 0,8 210



0,8 fc = = 0,0028 fy 4200 14 14 = = 0,0033 (gobierna) fy 4200

As,max = 0,0155

× 25 × 45,4 = 17 ,59 cm As,t = 0,0135 × 25 × 45,4 = 15 ,32 cm As,min = 0,0033 × 25 × 45,4 = 3,75 cm

2 2 2


para 2φ12 + 2φ16 −→ 3,75 < As = 4,87 < 15,32 < 17,59 cm2 −→ cumple ! 2φ12 + 2φ16

−→ As (provista) = 6,28 > As (requerida) = 4,87 cm −→ 2

fs =

cumple !

2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

cc = r + φe = 3 + 0 ,8 = 3,8 cm

 ≤    ≥ 

2800 2800 2,5 cc = 38 fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30 cm fs 2800 38

smax

smin

−

·

− 2,5(3,8) = 28 ,5 cm (gobierna)


·

sprovisto =

·

1 n

−1


4



− 2(r + +φe + φ long ) 2

1



bw

−1

25

 

− 2(3 + 0,8 + 1,6 ) 2

= 5,27 cm


para 2φ12 −→ 2,5 < sprovisto = 5,27 < 28,5 cm −→ cumple ! El refuerzo para las demás secciones se obtiene de manera similar. La siguiente tabla resume los resultados de diseño a flexión.


235


Capítulo6

Tramo 

A

−B



Mu [kg m] Mu = 5598 Mu+ = +5964 Mu = 7942 Mu = 7029 Mu+ = +3439 Mu = 5705 −

−

B



−C



As,req [cm2 ]

· − − − −

−

−

As,min [cm2 ]

smin [cm] 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5

3.38 3.61 4.87 4.29

3.75 3.75 3.75 3.75 2 ,05 3.75 3 ,45 3.75

smax [cm] 28,5 28,5 28,5 28,5 28,5 28,5

Barras  db +  db 2φ10 + 2φ12 2φ10 + 2φ12 2φ12 + 2φ16 2φ12 + 2φ16 2φ10 + 2φ16 2φ10 + 2φ16

As,prov [cm2 ]

3.83 3.83 6.28 6.28 3.83 3.83

Paso 3: Determinar el área de refuerzo por corte Para el caso de carga en la cara exterior del segundo apoyo : 6,28 As = = 0,0055 bw d 25 45,4

ρw =

  · ·       √  

φ0,53 fc bw d = (0,75) 

Vc 

φ 0,50 fc + 176ρw

·

×

× 0,53

· 

Vu d Mu

√

210

× 25 × 45,4 = 6538 kg





bw d  φ0,93 fc bw d

·

·

× 0,454 × 0,0055 108587942 6679 kg  11472 kg −→ Cumple!! (gobierna) 0,75 0,50 210 + 176

25

·

√ × 45,4  0,75 × 0,93 210 × 25 × 45,4

Usar φV c = 6679 kg . Cuando Vu,d > φVc entonces se requiere refuerzo de corte ! ∴

7333 > 6661 kg

requiere estribos

φVs

−−−−−−−−−−→ φVs = V u,d φVc φVs = 7333 6679 = 654 kg

− −





φVsu = φ2,2 fc bw d φVsu = 0,75

· · √

× 2,2

210

× 25 × 45,4 = 27139 kg

φVs < φVsu 654 < 27139 kg

−→ cumple !

Determinar la espaciamiento requerido y el máximo Adoptar un diámetro de estribos como φ = 6 mm que tiene un área, A b = 0,28 cm 2 . A (provisto) = 2 A v

··

b

Av (provisto) = 2 0,28 = 0 ,56 cm 2 s(requerido) =

φAv fyt d 0,75 = Vu φVc

· · −


236

× 0,56 × 4200 × 45,4 = 122 654

cm mucho!!


Capítulo6

Determinar el espaciamiento máximo de los estribos: Se comprueba que φV s sea menor a φ1,1 fc · bw · d, es decir:









√

φ1,1 fc bw d = 0,75 1,1 210

· ·

·



× 25 × 45,4 = 13569 kg



φVs  φ1,1 fc bw d

· · 654 < 13569 kg −→ cumple !

d = 45,4 = 22,7  22 cm (gobierna) 2 2

   · ·  · · 60 cm

smax 

Av fyt 0,56 4200 = = 32 cm 0,2 210 25 0,2 fc bw Av fyt 0,56 4200 = = 27 cm 3,5 bw 3,5 25 

× ×

√× ×

s(provisto) < s(requerido) s(provisto) = 22 cm < s (requerido) = 119 cm

−→

cumple !

Usar estribos φ6c/22. Cuando Vu > φVc , es decir: ∴

7333 > 6679

   ·

bw s = 0,2 210 = 0,38 cm 2 fyt 4200 bw s 25 22 3,5 = 3,5 = 0,46 cm 2 (gobierna) fyt 4200 

0,2 fc

Av,min 

cumple !

−→ √ 25 × 22

·

×

∴ El área de refuerzo provisto de 0,56 cm 2

es mayor al área de refuerzo mínimo de 0,46 cm 2 .

Paso 4: Preparar el esquema de trabajo . El esquema de trabajo es desarrollado en la Figura 6.24, la cual incluye las barras previamente seleccionadas.

 n= 4 m

 n =4.5 m

Figura 6.24. Esquema de trabajo del portico del ejemplo 6.4


237


Capítulo6

Paso 5: Determinar las longitudes de corte de las barras superiores e inferiores Para el caso del primer apoyo: As = 2φ10 = 1 ,57 cm 2 , el momento absorvido es:

−

Mu (2φ10) = φ As fy d

· ·

Mu (2φ10) = 0 ,9

As fy 2 0,85 fc b

× 1,57 × 4200

·

·







· · 1,57 × 4200 45,4 − 2 × 0,85 × 210 × 25



= 2651 kg m

·

Para A s = 2φ10 se una distancia de x = 0,31 m medida a partir del eje del apoyo A Las longitudes de corte para las demás barras se obtienen de manera similar. La siguiente tabla y la 6.25 resumen los resultados. Mu Tramo Barras As Longitud teórica de corte φdb 2φ10 2φ10 2φ12 2φ12 2φ10 2φ10

Apoyo A Tramo A-B Apoyo B Apoyo B Tramo B-C Apoyo C

[cm2 ]

1.57 1.57 2.26 2.26 1.57 1.57

[kg m]

2651 2651 3788 3788 2651 2651

·

x1 = [m]

x2 = [m]

0.31 1.06 4.38 0.41 1.564 3.88

3.54 2.84

7942 kg ⋅m 70 29 kg ⋅m 559 8 k g ⋅m

x 6 =0 .55 m

57 05 kg ⋅m

x 8 =1 .154 m

x 2 =0 .4 m

x 12 =1.04 m

37 88 k g ⋅m 265 1 k g ⋅m

2651 kg ⋅m  n =4

 n =4.5 m

m

x 11=0.42 m

x 5 =0 .42 m x 7 =0 .41 m

265 1 k g ⋅m

26 51 k g ⋅m

34 49 kg ⋅m x 9 =0 .63 m x 10 =0.64 m

596 4 k g ⋅m x 3 =1 .24 m x 4 =1 .24 m

Figura 6.25. Puntos de corte para Mu y Mu+ del portico del ejemplo 6.4 −

Paso 6: Determinar la longitud adicional,  a , más allá de la sección crítica donde no es necesaria para resistir momento. Tramo A-B: Apoyo A Barras reducidas: As = 2φ12 a

 ≥

d = 45,4 cm (gobierna) 12db = 12


× 1,2 = 14 ,4 cm

238


Capítulo6

Barras que llegan al punto de inflexión: As = 2φ10

a

  ≥ 


× 1,0 = 12 cm

1 450 n = = 28,13 cm 16 16

Tramo A-B: Dentro de los apoyos Barras reducidas: As = 2φ12 a

 

d = 45,4 cm (gobierna)

 ≥   ≥ 


 ≥   ≥    ≥


≥

12db = 12

Tramo A-B: Apoyo B Barras reducidas: As = 2φ16 a

12db = 12

× 1,2 = 14 ,4 cm

× 1,6 = 19 ,2 cm

Barras que llegan al punto de inflexión: As = 2φ12

a


× 1,2 = 14 ,4 cm

1 450 16 n = 16 = 28,13 cm

Tramo B-C: Apoyo B Barras reducidas: As = 2φ16 a

12db = 12

× 1,6 = 19 ,2 cm

Barras que llegan al punto de inlfexión: As = 2φ12

a


× 1,2 = 14 ,4 cm

1 400 n = = 25 cm 16 16

Tramo B-C: Dentro de los apoyos Barras reducidas: As = 2φ12 a



× 1,2 = 14 ,4 cm

239


Capítulo6

Tramo B-C: Apoyo C Barras reducidas: As = 2φ12

a

 ≥


× 1,2 = 14 ,4 cm

Barras que llegan al punto de inflexión: As = 2φ10 d = 45,4 cm (gobierna) a

 ≥ 

12db = 12

× 1,0 = 14 ,4 cm

1 400 n = = 25 cm 16 16

Paso 7: Determinar la longitud de desarrollo de las barras corrugadas , d . Para barras superiores del primer apoyo de φ12 mm Determinar el valor de los multiplicadores: ψ t , ψe , ψ s y λ: ψt = 1,3 (refuerzo sobre hormigón fresco de 45,2 cm > 30 cm el mínimo) ψe = 1,0 (barras no revestidas) ψs = 0,8 (db = 12 mm < 20 mm) λ = 1,0 (hormigón de peso normal)

Verificar el producto: 1,3

ψt · ψe < 1,7 × 1,0 = 1,3 < 1,7 −→

cumple !!

Determinar la dimensión del recubrimiento efectivo , cb :

cb

≤

     

φ long 2 1,2 = 3 + 0,6 + = 4,2 cm (gobierna) 2

cb,ver = r + φe + cb,ver

bw cb,hor =

2(n 25

cb,hor =

− 2r − 2φe − 2 1)

−

    −

− 2(3) − 2(0,6) 2(4 − 1)


240

φlong 2

2

1,2 2

= 2,767 cm


Capítulo6

Usar c b = 2,767 cm. Calcular el índice del refuerzo transversal ∴

ktr =

Atr fyt 0,28 4200 = = 0,254 105 s n 105 22 2

· · ·

Revisar la expresión :

× × ×

cb + ktr db 2,767 + 0,254 = 2,52 1,2

≤ 2,5 No cumple !!

2,5

≤

−→

c +k

tr Usar b = 2,5. db Calcular la longitud de desarrollo de barras a tracción :

∴

d =

d

1 3,5

  √  ≥  1 3,5

4200 210



   ·  

1,3

fy



fc

 ·  · 


·

db  30 cm



× 1,0 × 0,8 × 1,0 × 1,2 = 41 ,34 (gobierna) (2,5)

30 cm

Usar  d (mín) = 41,34 cm . Las longitudes de desarrollo para las demás barras se obtienen de manera similar. La siguiente tabla resumen los resultados del cálculo de las longitudes adicion ales y la longitudes de desarrollo. Tramo barras Long. teórica a d = x + a d (mín) ∴

Apoyo A Tramo A-B Apoyo B Apoyo B Tramo B-C Apoyo C

2φ12 2φ10 2φ12 2φ12 2φ16 2φ12 2φ16 2φ12 2φ12 2φ12 2φ10

[cm] x1 = 31 x2 = 40 x3 = 124 x4 = 124 x5 = 42 x6 = 55 x7 = 41 x8 = 115,4 x9 = 63,6 x10 = 64 x11 = 42

[cm]

45.4 45.4 45.4 45.4 45.4 45.4 45.4 45.4 45.4 45.4 45.4

[cm]

76.4 85.4 169.4 169.4 87.4 100.4 86.4 160.8 109 109.4 87.4

[cm]

41.34 34.45 31.8 31.8 55.12 41.34 55.12 41.34 31.8 31.8 34.45

2φ12 x12 = 104 45.4 149.4 41.34 Paso 8: Calcular la longitud de desarrollo usando gancho estándar de 90 d + r 41,34 + 3 = 44 ,34 cm c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

≤ Ancho de columna ≤ 30 cm −→ No cumple !!

241

◦


Capítulo6

Usar gancho estándar, ya sea gancho de 90 o gancho 180 . Determinar el valor de los multiplicadores: ψ e , y λ : ∴

◦

◦

ψe = 1,0 (sin revestimiento) λ = 1,0 (hormigón de peso normal)

Establecer los factores de modificación , F M : As (requerida) 3,38 KER = = = 0,88 As (provista) 3,83 Calcular la longitud de desarrollo del gancho estándar a tracción

        √ ≥  · ×  0,075

dh

0,075

fy



fc 4200 210

8 db = 8

(ψe λ) db F M

· · ·

(1,0

× 1,0) × 1,2 × 0,88 = 22 ,97 cm(gobierna)

1,2 = 9,6 cm

15 cm

∴

Usar  dh = 23 cm .


Usar gancho estándar de 90 .

≤ Ancho de columna ≤ 30 cm −→ Cumple !!

◦


 n =4 m

 n =4.5 m

Figura 6.26. Detalle de armado del ejemplo 6.4 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

242


Capítulo6 

6.6.5 Ejercicios propuestos Ejercicio 6.1 Calcular la longitud de desarrollo requerida para las barras corru gadas de φ = 16 mm de la fibra superior de la losa de hormigón armado 35 cm de espesor mostrada en la Figura 6.27. Notar que estas barras son el refuerzo a tracción para el momento negativo de la losa en la viga de apoyo. En vista de tratarse de una losa, los estribos no son usados. La resistencia caracteristica del hormigón es de 250 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), la resistencia a la fluencia del acero es de 4200 kg/cm 2 . Las barras no estan revestidas.

d

Figura 6.27. Esquema del ejemplo 6.1 x 

Ejercicio 6.2 Calcular la longitud de desarrollo requerida para las barras superiore s a tracción para las condiciones mostradas en la Figura 6.28. Usar una resistencia caracteristica del hormigón de 250 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), y una resistencia a la fluencia del acero de 4200 kg/cm 2 . Las 4 barras φ = 12mm pueden ser categorizadas como barras superiores, asumir un recubrimiento de 3 cm, las barras no están revestidas.  dh


Ejercicio 6.3 Calcular la longitud de desarrollo requerida de la viga mostrada en la Figura 6.29, para el acero de momento negativo con el fin de desarrollar la resistencia a tracción del acero en c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

243


Capítulo6 2

la cara de la columna. El área requerida es de 5,78 cm . Usar una resistencia caracteristica del hormigón de 210 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), y una resistencia a la fluencia del acero de 4200 kg/cm 2 . Las barras no están revestidas con epóxico.

 dh


Ejercicio 6.4 Determinar la longitud de las barras superiores e inferiores del tramo exterior de la viga mostrada en la Figura 6.30. La carga última uniformemente distribuida que actúa sobre la viga es 1680 kg/m (incluyendo el peso de la viga). La columnas exteriores son de 30 30 cm y las columnas interiores de 40 40, la sección transversal de la viga es de 30 40. La resistencia caracteristica del hormigón es de 210 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), y la resistencia a la fluencia del acero es de 4200 kg/cm 2 . Las barras son revestidas y el recubrimiento del hormigón es 3 cm.

×

×

0.30 m

×

0.40 m

w u = 168 0 Kg /m

=6.8

m



244

CAPÍTULO

7

ANALISIS Y DISEÑO DE COLUMNAS

7.1 INTRODUCCION Las columnas son elementos verticales que soportan cargas a compresión de los pórticos estructurales, y sirven para apoyar las vigas cargadas. En general, las columnas también soportan momentos flectores con respecto a uno o los dos ejes de la sección transversal y esta acción tiende producir fuerzas de tracción sobre una parte de la sección transversal. Aun en estos casos, se hace referencia a las columnas como elementos a compresión puesto que las fuerzas de compresión dominan su comportamiento.

7.1.1 Objetivos de este capítulo Despues de terminar este capítulo, el estudiante será capaz de: 1. Identificará los tipos de columnas. 2. Comprenderá el fundamento de la resistencia de columnas cortas con poca excentricidad . 3. Conocerá los requisitos del código ACI 318-05 para el análisis y diseño de columnas. 4. Aprenderá las considerac iones generales para el diseño económico de columnas. 5. Aplicará el concepto de columnas cortas con pequeña excentricidad en la solución de problemas de diseño y análisis de columnas. 6. Entenderá la necesidad de considerar la flexión y la fuerza axial en el diseño de columnas. 7. Diferenciará el concepto de diagrama de interacciónen elementos homogéneos y en el hormigón armado. 8. Usará el método general en la construcción de diagramas de interacción. 9. Entenderá el fundamento de la resistencia a la flexión biaxial. 10. Conocerá e identificara los tipos de superficie de fallas que se presentan en la flexión biaxial. 245


Capítulo7

11. Aplicará el concepto de columnas cortas con gran excentricidad en la solución de problemas de diseño y análisis de columnas. 12. Definirá a una columna larga o esbelta. 13. Definirá el concepto de la carga crítica de pandeo de Euler. 14. Conocerá el fundamento del comportamiento de columnas doblemente articuladas . 15. Conocerá los limites de esbeltez de para columnas esbeltas. 16. Aplicará el concepto de momento magnificado en la solución de problemas de diseño y análisis de columnas esbeltas en pórticos indesplazables y desplazables.

7.2 TIPOS DE COLUMNAS Las columnas pueden clasificarse por la posición de la carga en la sección transversal y por la longitud de la columna en relación a sus dimensiones laterales.

7.2.1 Posición de la carga en la sección transversal Se clasifican como columnas cargadas axialmente o excéntricamente, según se muestran en las Figura 7.1 y 7.2. Pu

Figura 7.1. Columna con carga axial

Columnas cargadas axialmente Pu

Pu

Pu

Pu

ey

ey

Mux

Muy

e

x

Mux

Figura 7.2. Columnas con cargas excéntricas

Columnas con carga excéntrica

7.2.2 Longitud de la columna en relación a sus dimensiones laterales Las columnas de dividen en dos categorías: falla es resultado por falla inicial del material , ya sea por la fluencia Columnas inicial cortas del aceroLaen la cara de tracción, o por el aplastamiento inicial del hormigón en la cara en compresión.

Columnas largas o esbeltas La falla se produce por perdida de la estabilidad lateral estructural . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

246


Capítulo7

7.3 RESISTENCIA DE COLUMNAS CORTAS CON POCA EXCENTRICIDAD Cuando una columna está sometida a una carga axial concéntrica, P , la deformación longitudinal,  , se desarrolla uniformemente en la sección transversal tal como se muestra en la Figura 7.3(a). P

P(máx)=P o

Pu ε

Pc

Pc(máx)=0.85f Ac'

Ps

Pc

c



Pc=f cA

Ps(máx)=fy stA Ps

c

Deformación,

Deformación,

ε

Deformación,

ε

ε

Figura 7.3. Resistencia de una columna cargad a axialmente 

Po = 0,85 fc (Ag

· ·

(7.1)

− Ast) + fy · Ast

Donde: Po = Es la la resistencia nominal o teórica a la carga axial con una excentricidad igual a cero , en kg . fc = Es la resistencia característica del hormigón, en kg/cm 2 . Ag = Es el área bruta de la sección transversal de la columna, en cm 2 . Ast = Es el área total del refuerzo longitudinal , en cm2 . fy = Es el esfuerzo de fluencia del refuerzo , en kg/cm 2 . 





Pn = 0,80 0,85fc (Ag




(7.2)

Donde: Pn = Es la resistencia nominal o teórica a la carga axial para una excentricidad dada , en k g . El código ACI 318-05 conduce a una básica relación entre la carga y la resistencia: φPn

(7.3)

≥ Pu

Donde: Pn = Es la resistencia nominal o teórica a la carga axial para una excentricidad dada , en k g . φPn = Es la resistencia de diseño a la carga axial para una excentricidad dada , en kg . Pu = Es la resistencia última o mayorada a la carga axial , ó carga axial última o mayorada, para una excentricidad dada en kg .





φPn,máx = 0,80φ 0,85fc (Ag

Donde:




φPn,máx = Resistencia de diseño máxima a la carga axial , en k g . φ = 0,65 Factor de reducción de resistencia para secciones controladas por compresión . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

247

(7.4)


Capítulo7

7.4 REQUISITOS DEL CODIGO ACI 318 PARA COLUMNAS 7.4.1 Refuerzo principal (longitudinal) Deberá tener una área de sección transversal de manera que ρ g se encuentre entre 0,01 y 0,08.

Refuerzo mínimo 0,01

≤ ρg = AAstg ACI10.9.1

(7.5)

Donde: g = ρ entre el área total del refuerzo longitudinal y el área bruta de l hormigón Es la relación perpendicular a ese refuerzo .

Ast = Es el área total del refuerzo longitudinal, en cm2 . Ag = Es el área bruta de la sección transversal de la columna, en cm 2 .

Refuerzo máximo ρg =

Ast Ag

≤ 0,08 ACI10.9.1

(7.6)

Número mínimo de barras longitudinales ACI 318-05 artículo 10.9.2: 4 barras dentro de estribos rectangulares. 3 barras dentro de estribos triangulares. 6 barras dentro de estribos circulares.

7.4.2 Requerimiento de espaciamiento y construcción de estribos Se provee estribos a las columnas de hormigón de armado por cuatro razones: 1. Restringir el alabeo lateral de las barras longitudinales. 2. Mantener conjuntamente confinado el refuerzo longitudinal . 3. Confinar el núcleo de hormigón . Los límites de tamaños, espaciamiento y de configuración de estribos son:

Diámetro de barras El diámetro de los estribos no debe ser menor db = 10 mm para barras longitudinales menores a db = 32 mm y de db = 12 mm barras longitudinales mayores, ACI 318-05 artículo 7.10.5.1. Espaciamiento de barras ACI 318-05 artículo 7.10.5.2: smáx 



16φlong 48φe

(7.7)

menor dimensión de columa


248


Capítulo7

Configuración de barras ACI 318-05 artículo 7.10.5.3 ≥ 15cm ≥ 15cm

≥ 15cm ≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm ≥ 15cm

≥ 15cm ≥ 15cm ≥ 15cm

≥ 15cm ≥ 15cm ≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm

≥ 15cm

≤ 15cm

Figura 7.4. Configuraciones típicas de estribos (AC I 7.10.5.3)

7.4.3 Ejercicios resueltos Ejemplo 7.1 En la Figura 7.5 se muestra la sección transversal de una columna de 35times35 cm, la resistencia caracteristica de hormigón es 210 kg/cm 2 , y la resistencia a la fluencia del acero es 2

4200 kg/cm . Encontrar la resistencia máxima a la carga axial de diseño. Asumir como columna corta.

Figura 7.5. Sección transversal de la columna del ejem plo 7.1

Solución 7.1 Objetivo Determinar la resistencia última a la carga axial Pu y revisar los requisitos del código ACI 318-05. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Refuerzo Base, b = 35 cm Hormigón: peso normal, Acero total: Ast = 8φ16 = 16 ,08 cm 2 Altura, h = 35 cm fc = 210 Kg/cm 2 Estribos: φe = φ10c/25 cm Area bruta, Ag = 1225 cm2 Acero:fy = 4200 Kg/cm 2 Recubrimiento acero: r = 3,0 cm 


249


Capítulo7

Resultados Paso 1: Determinar la resistencia última a la carga axial , P u







φPn,máx = 0,80φ 0,85fc (Ag φPn,máx

− Ast) + fy · Ast = 0,80 × 0,65[0 ,85 × 210(1225 − 16,08) + 4200 × 16,08] = 147 ,33 ton

(7.8) (7.9)

Paso 2: Revisar los requisitos del código ACI 318-05 para el refuerzo longitudinal 4 cm (gobierna) (ACI 7.6.3) smin

≥

 

1,5db = 1,5(1,6) = 2 ,4 cm (ACI 7.6.3) 1,33 Tmax.agr = 1,33(3/4) 2,5 = 2,5 cm (ACI 3.3.2)

·

·

sprovisto =

1 n

−1




bw

1 3

−1



− 2(r + φe + φlong ) − φlong 2



35



− 2(3 + 1,0 + 1,6 ) − 1,6 = 11 ,10 cm 2

smin < sprovisto < smax = 15 cm (ACI 7.10.5.3)

Para 3φ16 −→ 4 < sprovisto = 11,1 < 15 cm −→ Cumple !! ∴

Verifica el espaciamiento libre provisto de s = 11,10 cm por 3φ16. ρg =

Ast 16,08 = = 0,0137 Ag 35 35

×

≈ 1,37 %

1 % < ρg < 8 % 1 % < ρg = 1,37 % < 8 %

−→

Cumple !!

o o Nbarras = 8 barras < Nmin,barras = 4 barras

−→

Cumple !!

Paso 3: Revisar los requisitos del código ACI 318-05 para el refuerzo transversal (estribos) 10 mm

φe,mín 



−→ φlong ≤ 32 mm 12; mm −→ φlong > 32 mm

Para φ long = 16 −→ φe = 10 mm  φe,mín = 10 mm −→ Cumple!! c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

250


Capítulo7

smáx 

 

16φlong = 16 1,6 = 25 ,6 cm (gobierna) 48φe = 48 1,0 = 48 cm menor dimensión de columa = 35 cm

×

×

sprovisto < smax

Para φ e = 10 mm −→ sprovisto = 25 < smax = 25,6 cm −→ cumple !! ∴

Verifica el diámetro y espaciamiento estribos φ10c/25 cm . 

Ejemplo 7.2 Diseñar una columna cuadrada con estribos para soportar una carga muerta de 57 ton y una carga viva de 44 ton, la resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 , y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 . No se ha identificado ningún momento. Asumir que la columna es corta.

Solución 7.2 Objetivo Determinar la resistencia última a la carga axial Pu y revisar los requisitos del código ACI 318-05. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Base, b =? cm Hormigón: peso normal, Carga muerta: PLD = 57 ton Altura, h =? cm fc = 250 Kg/cm 2 Carga viva: PLL = 44 ton Area bruta, A g =? cm2 Acero:fy = 4200 Kg/cm 2 Recubrimiento acero: r = 3,0 cm 

Resultados Paso 1: Determinar la carga axial última sobre la columna, Pu Pu = 1,4 PLD

·

Pu = 1,4(52) = 79 ,80 ton Pu = 1,2 PLD + 1,6 PLL

·

·

Pu = 1,2(52) + 1,6(44) = 138 ,80 ton (gobierna)

Paso 2: Realizar el predimensionamiento de la columna 1 %  ρg = 1,2 %  8 %

Ag (requerida) = 0,80φ[0,85 f (1 Pu ρ ) + f ρ ] g y g c 138,80(1000) Ag (requerida) = 0,8 0,65[0,85 250(1 0,012) + 4200

·

×




−

×

·

−

251

× 0,012] = 1025,25 cm

2


Capítulo7 b=h=

∴



Ag (requerida) =

Usar columna cuadrada de 30 × 30 cm2 .



1025,25 = 32 ,02 cm ≈ 30 cm

Ag (provista) = 30

× 30 = 900 cm

2

Paso 3: Seleccionar el número y diámetro de barras longitudinales Ast (requerida) = ρ g Ag

·

Ast (requerida) = 0,012

× 900 = 10,80 cm

2

As (provista) > As (requerida) 4φ12 + 4φ16

−→ As(provista) = 12 ,56 > As (requerida) = 10 ,80 cm −→ Cumple !! 2

Paso 4: Revisar los requisitos del código ACI 318-05 para el refuerzo longitudinal

smin

  ≥ 

4 cm (gobierna) (ACI 7.6.3) 1,5db = 1,5(1,6) = 2 ,4 cm (ACI 7.6.3) 1,33 Tmax.agr = 1,33(3/4) 2,5 = 2,5 cm (ACI 3.3.2)

·

·

sprovisto =

1 n

−1



bw



φlong φ long − 2(r + φe + φ long ) − − 2 2 2

para 1φ16 + 1φ12 + 1φ16 −→ sprovisto =

1 3

−1



35



1,6 1,2 − 2(3 + 1,0 + 1,6 ) − − 2 = 11,30 cm 2 2


Para 2φ16 + 1φ12 −→ 4 < sprovisto = 11,30 < 15 cm −→ Cumple !! ∴


Ast 12,56 = = 1,4 % Ag 30 30

×

1 % < ρg < 8 %

Cumple !!

1 % < ρg = 1,4 % < 8 %

−→ o o Nbarras = 8 barras < Nmin,barras = 4 barras


252

−→

Cumple !!


Capítulo7

Paso 5: Diseño de estribos φe,mín 



10 mm 12; mm

−→ φlong ≤ 32 mm −→ φlong > 32 mm

Para φ long = 16 −→ φe = 10 mm  φe,mín = 10 mm −→ Cumple!! smáx 

∴

 


×

×

Usar espaciamiento s = 25 cm . sprovisto < smax

Para φ e = 10 mm −→ sprovisto = 25 < smax = 25,6 cm −→ cumple !! ∴ Usar estribos φ10c/25 cm .


Figura 7.6. Detalle de armado de la column a del ejemplo 7.2 

7.5 RESISTENCIA DE COLUMNAS CORTAS DE GRAN EXCENTRICIDAD: CARGA AXIAL Y MOMENTO 7.5.1 Relación carga axial y momento Pu

Pu

Pu

Pu

Pu Mu

Figura 7.7. Columna sometida a carga con excentricidades cada vez mayores c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

253


Capítulo7

La equivalencia entre una carga aplicada excéntricamente y una combinación de carga axialmomento se muestra en la Figura 7.8. e=

Pu

Mu Pu

(7.10)

Pu

Pu

Pu

Mu =Pu × e

P u

Figura 7.8. Relación entre carga axial-momento-excentricidad

7.5.2 Consideraciones de resistencia (φPn , φMn )

(7.11)

≥ (Pu, Mu)

Consideraciones del factor φ φ = 0,65 + (t 0,65

− 0,002) 250 3

(7.12) (7.13)

≤ φ ≤ 0,90

7.5.3 Diagramas de interacción Casi todos los elementos a compresión en estructuras de hormigón están sujetos a momentos y cargas axiales. Estas son debidas a las cargas desalineadas en las columnas, ver Figura 7.8(a), o pueden resultar de columnas resistiendo una porción desbalanceada de momento en el extremos de las vigas apoyadas en columnas , ver Figura 7.8(b) . P P(máx)

P P(máx)

M M(máx)

M M(máx)

M M(máx)

M M(máx)

P P(máx)

P P(máx) f tu = cu f

tu

cu

f

=0.5 f

Figura 7.9. Diagrama de interacción de una column a elástica, |fcu| = |ftu | c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

254


Capítulo7

7.5.4 Diagramas de interacción para columnas de hormigón Conceptos y suposiciones Un diagrama de interacción de resistencia de columnas de hormigón armado es un gráfico que define la resistencia utilizable para diferentes combinaciones de carga axial y momento de falla para determinada columna en el intervalo completo de excentricidades desde cero hasta infinito. Pno

φ Pno

φPn(máx)

=0.80φPn

' 0.10f cA

e=∞

g

φMn Mn

Figura 7.10. Diagrama de interacción de resistencias (columnas con estribos cerrados) Este proceso de cálculo se muestra en la Figura 7.11 para una particular distribución. '

εu

=

0.003

f`

d

a/2

'

'

'

As

εs

a=β1c

f

'

Cs

=

'

A s fs '

C c=0.85f ab c

As

fs

εs

TS=A fs

s

Figura 7.11. Calculo de Pn y Mn para una distribución de deformaciones dada En general, los estados de transición se definen como sigue:

Estado 1 Compresión axial pura (no existe momentos flectores). Estado 2 Máxima compresión axial (excentricidad mínima). Estado 3 Esfuerzo en el refuerzo cercano a la cara de tracción= 0 (fs = 0). Este punto corresponde al aplastamiento en una cara y tracción cero en la otra cara. Estado 4 Esfuerzo en el refuerzo cercano a la cara de tracción = 0,5fy (fs = 0,5fy ). Estado 5 Punto balanceado ; esfuerzos en el refuerzo cercano a la cara de tracción = fy (fs = fy ). Este punto representa la falla balanceada en la cual se desarrollan simultáneamente elaplastamiento en el hormigón y la fluencia en el acero a tracción . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

255


Capítulo7

Estado 6 Punto de control de tracción. Estado 7 Flexión pura (no existe carga axial). εcu =0.003 ε cu =0.003 ε cu =0.003 ε cu =0.003

ε cu =0.003 εs =0.0

φPno

εcu =0.003 εs =0.5 ε y

φPn(máx)

=0.80φPn

εs = ε y εs =0.00 5

εs

e=∞



εcu =0.003

εy

φ Mn

Figura 7.12. Distribuciones de deformaciones correspondientes a los puntos del diagrama de interacción

7.5.5 Resistencia con interacción biaxial La resistencia a la flexión biaxial de una columna cargada axialmente se puede representar esquemáticamente como una superficie tridimensional formada por una serie de curvas de interacción uniaxial trazadas en forma radial a partir del eje P (ver Figura 7.13). Pn

Po

Co nt orno M

n x -M n y con Pn con st ant e

M nx

Mny

Mnoy

Mnox

Pn (M b , P b)

Pn λ

Mny Mnx

Contorno P-M con constante

λ

Figura 7.13. Superficie de interacción de falla biaxial tri-d imensional En la Figura 7.14(a) la sección se somete a flexión solo con respecto al eje Y . Mnoy = Pn ex . La curva correspondiente en el diagrama de interacción de resistencias aparece como caso

·

(a) en el esquema tridimensional de la Figura 7.13. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

256


Capítulo7

Pn

ex

Pn λ

ey

ey

Pn εc

ex a= β1c

Fs4

ε

Fs2

Cc Fs3

Fs1

Figura 7.14. Flexión biaxial con respecto a eje diagonal De modo similar, en la Figura 7.14(b) la sección se somete a flexión solo con respecto al eje X . Mnox = Pn · ey . La curva correspondiente en el diagrama de interacción de resistencias aparece como caso (a) en el esquema tridimensional de la Figura 7.13. Combinando los momentos Mnoy y Mnox la orientación de la excentricidad resultante se define mediante el ángulo λ : λ = tan

1

−

 ex ey

= tan

1

−

  M ny M nx

(7.14)

Donde: Mnx = P n ey Es la resistencia nominal o teórica al momento flector biaxial sólo con excentricidad ey (ex = 0) , en k g m. Mny = P n ex Es la resistencia nominal o teórica al momento flector biaxial sólo con excentricidad ex (ey = 0), en k g m.

· ·

·

Para este el caso· la flexión con respecto a un ángulo λ define un único plano, ver Figura 7.14(c) que pasa a través del eje vertical Pn . Pn Mny

Pno Pn(máx)

Mnx

Mn

Figura 7.15. Superficie de interacción con ángulo y carga constante

7.5.6 Superficies de falla La resistencia nominal de una sección solicitada a flexión biaxial y compresión es una función de tres variables, P n , Mnx y M ny . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

257


Capítulo7

Se han definido tres tipos de superficies de falla, las cuales se ilustran en la Figura

7.16.

Pn

1 Pn

Pn

s 2(

s 3( P n ,Mnx ,M ny )

1 ,e ,e x )y Pn

s 1( Pn x, e y,e )

ex

Mny

ex

ey

Mnx

ey

Figura 7.16. Superficies de falla

Método de la carga reciproca de Bresler Aproxima la ordenada 1/Pn en la superficie de falla S2 (1/Pn , ex , ey ) mediante una ordenada correspondiente 1/Pn en el plano S2 (1/pn , ex , ey ) el cual se define por los puntos característicos A, B y C como se indica en la Figura 7.17. 





1 Pn

1 Pnoy 1 1

Pnox

1

Pno

ex

Pn, aproximada

1 Pn, exacta ey

Figura 7.17. Método de las cargas recíprocas La expresión general para la resistencia nominal a la carga axial, P ni para cualquier valor de

ex y e y (ACI R10.3.6) es:

1 Pni

=

1 Pnx

1

+

Pny

1

− Po

(7.15)

Donde: Pni = Es la resistencia nominal o teórica a las cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo de ambos ejes ey y ex , en kg . Pnx = Es la resistencia nominal o teórica a las cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

258


Capítulo7

del eje x , con un momento de Mnx = P n · ey (ex = 0), en kg . Pny =Es la resistencia nominal o teórica a las cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo del eje y , con un momento de M ny = P n · ex (ey = 0), en kg . Po =Es la resistencia nominal o teórica a las cargas axiales para una excentricidad cero, (ex = 0)y (ey = 0), en k g . Reordenando las variables e introduciendo el factor de reducción de resistencia φ se tiene: φPni =

La ecuación solo se debe usar si :

1 1 1 + φPnx φPny

φPn

(7.16)

− φP1 o



(7.17)

≥ φ0,1fc · Ag

Método del contorno de cargas de la PCA Este método implica cortar la superficie de falla tri-dimensional con un valor constante de ver Figura 7.18.

Pn ,

Pn

Pn

Mn

M noy M nx

M nox

Mny

(Pn,M )n

Pn

Mny

Mnx

Figura 7.18. Contornos de carga de Bresler para Pn en la superficie de falla S3 La expresión general adimensional para el contorno de cargas a una carga constante P n es:

    M nx Mnox

Donde:

α

+

M ny Mnoy

β

=1

(7.18)

Mnx = P n ey Es la resistencia nominal o teórica al momento flector biaxial en dirección del eje x con excentricidad únicamente en ey (ex = 0), en kg m. Mny = P n ex Es la resistencia nominal o teórica al momento flector biaxial en dirección del eje x con excentricidad únicamente en ex (ey = 0), en kg m. Mnox = P n ey Es la resistencia nominal o teórica al momento flector uniaxial en dirección del eje x en la carga axial Pn , en k g m.

· ·

·

· ·

·


259


Capítulo7

Mnox = P n ey Es la resistencia nominal o teórica al momento flector uniaxial en dirección del eje y en la carga axial Pn , en kg m. α, β = Exponentes que dependen de la geometría de la sección transversal de la columna, de la cantidad, distribución y posición del acero y la resistencia, fy , fc , y las propiedades elásticas del

·

·



acero y el hormigón .

La ecuación 7.18 en el método de la PCA , es simplificado por medio de un exponente común e introduciendo un factor β , en la Figura 7.19 se muestra que para un punto cualesquiera B se tiene:

    Mnx Mny

Mnox Mnoy

=

(7.19)

Mny β M nx

M no y M no y M no x

β M ny

M nox

Mnx

Figura 7.19. Contorno de cargas de la super ficie de falla S3 sobre un plano de Pn constante Cuando el contorno de carga de la Figura 7.19 se hace adimensional toma la forma indicada en la Figura 7.20, y el punto B tendrá las coordenadas x e y iguales a β . Mny Mnoy

β

β

Mnx Mnox

Figura 7.20. Contorno de cargas adimensional para Pn constante Si se grafica la resistencia a la flexión en términos de los parámetros adimensionales P n /Po , Mnx /Mnox, M ny /Mnoy la superficie de falla generada adopta la forma típica mostra da en la Figura 7.21.


260


Capítulo7 Pn Po

Pn

β β

Mny Mnoy Mnx Mnox

Figura 7.21. Superficie de falla generada es S4



Pn Mnx Mny , , Po Mnox Mnoy



La relación entre α de la ecuación 7.18 y β es: α=

log0 ,5 log β

(7.20)

Esta simplificación de la ecuación 7.18 conduce a una forma menos apropiada pero más significativa:

  M nx Mnox

log0 ,5 log β +

   log0 ,5 log β

M ny Mnoy

=1

(7.21)

Para propósitos de diseño , el contorno se aproxima con dos líneas rectas BA y BC: 1. Para AB cuando

Mny Mnx < se tiene: Mnoy Mnox

−   − 

Mny Mnx + Mnox Mnoy Mnx + Mny

2. Para BC cuando

1

β

=1

β

Mnox Mnoy

1

β

β

= M nox

(7.22) (7.23)

Mny Mnx > se tiene: Mnoy Mnox

−   − 

Mny Mnx + Mnoy Mnox Mny + Mnx


Mnoy Mnox

261

1

β

=1

β

1

β

β

= M noy

(7.24) (7.25)


Capítulo7

La Figura 7.22 muestra la gráfica del contorno ABC, de la ecuación 7.21. Mny Mnoy

M nx M no x

+

M ny ⎛ 1 − β ⎟⎞ ⎜⎜ ⎟ = 1.0 Mnoy ⎜⎝ β ⎟⎠

(1 − β )

β

M ny M no y

+

M nx ⎛⎜ 1 − β ⎞⎟

⎜

Mnox ⎝⎜ β

⎟⎟ = 1.0 ⎠⎟

β

(1 − β )

Mnx Mnox

Figura 7.22. Contorno de interacción modificado de una Pn constante para una columna cargada biaxialmente. Para secciones rectangulares que tienen refuerzo distribuido uniformemente en todas las caras de la columna, se tiene: Mnox ∼ h (7.26) = Mnoy

b

Por tanto, las ecuaciones 7.23 y 7.25 se pueden modificar como sigue: 1. Para

2. Para

Mny Mnx

≤ hb se tiene: Mnox = M nx + Mny

  − 

(7.27)

Mnoy = M ny + Mnx

  − 

(7.28)

h b

1

β

β

Mny b > se tiene: Mnx h b h

1

β

β

Las Figuras A.4a, A.4b, A.4c, A.4d del Apendice A se usan para seleccionar el valor de β en el análisis y diseño de columnas .

7.5.7 Ejercicios resueltos Ejemplo 7.3 Diseñar una columna cuadrada con estribos cerrados para soportar una carga última de 57 ton y monento en x igual a

4 ton m y momento en y igual a 2

·

3 ton m, la resistencia

·

caracteristica de hormigón es 210 kg/cm , y la resistencia a la fluencia del acero es Asumir que la columna es corta.

Solución 7.3 Objetivo Determinar las dimensiones y el refuerzo requerido de la columna c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

262

2

4200 kg/cm .


Capítulo7

Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Base, b =? cm Hormigón: peso normal, Carga axial última: P u = 70 ton Altura, h =? cm fc = 210 Kg/cm 2 Momento en x: M ux = 4 ton · m Area bruta, Ag =? cm 2 Acero:fy = 4200 Kg/cm 2 Momento en y: M uy = 3 ton · m Recubrimiento acero: r = 3,0 cm 

Resultados Paso 1: Realizar el predimensionamiento de la columna 1 %  ρg = 1,6 %  8 % Pu 0,80φ[0,85 fc (1 ρg ) + fy ρg ] 70(1000) Ag (requerida) = 0,8 0,65[0,85 210(1 0,016) + 4200 Ag (requerida) =

·



×

b=h= ∴



−

·

×

Ag (requerida) =

Usar columna cuadrada de 25 × 25 cm2 .

−



Ag (provista) = 25

× 0,016] = 554,3 cm

554,3 = 23 ,5 cm ≈ 25 cm

× 25 = 625 cm

2


·


× 625 = 10 cm

2

As (provista) > As (requerida)

Encontrandose: 4φ20

−→ As(provista) = 12 ,57 > As (requerida) = 10 cm −→ Cumple !! 2

ρg =

Ast 12,57 = =2% Ag 625

Paso 3: Revisar la sección para refuerzo biaxial Método de la carga reciproca de Bresler Verificar si se puede usar ecuación de bresler ? φPn



≥ φ(0,10 · fc · Ag ) 70 ton ≥ 0,65 × (0,10 × 210 × 625) = 8,53 ton −→ c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

263

Cumple!

2


Capítulo7 

φPo = φ[0,85 fc (Ag

· · − Ast ) + fy · Ast] × 210 × (625 − 12,57) + 4200 · 12,57] = 105 ,37 ton Ingresando con Mux = 4 ton · m y ρg = 2 % al diagrama de interacción biaxial φPo = 0,65[0,85

A.3a se

obtiene:

φPnox = 16 ton

Ingresando con Muy = 3 ton · m y ρg = 2 % al diagrama de interacción biaxial A.3a se obtiene: φPnoy = 64 ton φPni

70

≤ ≤

1 1 1 1 + φPnx φPny φPo 1 = 14,6 ton 1 1 1 + + 16 64 105,37

−

−→ No cumple !

Aumentar la sección para mantener la cuantía economica. Método del contorno de cargas de la PCA ∴




· · − Ast ) + fy · Ast] φPo = 0,65[0,85 × 210 × (625 − 12,57) + 4200 · 12,57] = 105 ,37 ton φPn = 70 = 0,66 y φPo 105,37 ρg fy 0,02 4200 ω= = = 0,4 fc 210

·

×



de la Figura A.4a para cuatro barras se obtiene: β = 0,63

Ingresando con φPn = 70 ton y ρg = 2 % al diagrama de interacción biaxial A.3a se obtiene: φMnox = φM noy = 2,65 ton m

·

M nx Mnox

  4 2,65

log0 ,5 log β + log0 ,5 log0 ,63 +


3,1

     ≤ ≤ M ny Mnoy 3 2,65

log0 ,5 log β

1,0

log0 ,5 log0 ,63

1,0

≤ 1,0 −→ No cumple ! 264


Capítulo7

∴ Aumentar

la sección para mantener la cuantía economica. Evaluar la falla utilizando la aproximación bilineal Mny Mnx < Mnoy Mnox 3 4 = 1,13 < = 1,51 2,65 2,65 ∴ Por tanto ultilizar la

−→ Cumple !

ecuación 7.22: Mny 1 β Mnx + Mnox Mnoy β 4 3 1 0,63 + 2,65 2,65 0,63 2,17 1,0 No cumple !

−

≤

−→

≤ 1,0

 −  ≤

1,0

∴ Aumentar

la sección para mantener la cuantía economica. Repetir procedimiento...

Paso 1: Realizar el predimensionamiento de la columna 1 %  ρg = 1,6 %  8 % Pu 0,80φ[0,85 fc (1 ρg ) + fy ρg ] 70(1000) Ag (requerida) = 0,8 0,65[0,85 210(1 0,016) + 4200 Ag (requerida) =

·



×

b=h=



−

·

×

Ag (requerida) =

−



× 0,016] = 554,3 cm

2

554,3 = 23 ,5 cm ≈ 25 cm

Intentar columna cuadrada de 30 × 30 cm 2 , debido a que esta ecuación no considera la flexión biaxial. ∴

Ag (provista) = 30

× 30 = 900 cm

2


·


× 900 = 14 ,4 cm

2


2

−→ As(provista) = 16 ,08 > As (requerida) = 14 ,4 cm −→ ρg =


Ast 16,08 = = 1,8 % Ag 900

265

Cumple !!


Capítulo7

Paso 3: Revisar la sección para refuerzo biaxial Método de la carga reciproca de Bresler Verificar si se puede usar ecuación de bresler ? 

φPn

≥ φ(0,10 · fc · Ag ) 70 ton ≥ 0,65 × (0,10 × 210 × 625) = 8,53 ton −→ 

φPo = φ[0,85 fc (Ag φPo = 0,65[0,85 210

· · ×

Cumple!

− Ast) + fy · Ast ] × (900 − 16,08) + 4200 · 16,08] = 146 ,5 ton

Mux = 4 ton · m y ρg = 1,8 % al diagrama de interacción biaxial A.3b se Ingresando obtiene: con φPnox = 106 ton

Ingresando con Muy = 3 ton · m y ρg = 1,8 % al diagrama de interacción biaxial A.3b se obtiene: φPnoy = 118 ton

Evaluar la falla limite de φPni con la carga reciproca de bresler: φPni

70

≤ ≤

1 1 1 1 + φPnx φPny φPo 1 = 90,2 ton 1 1 1 + + 106 118 146,5

−

−→

Cumple !

Sección satisfactoria. Método del contorno de cargas de la PCA ∴




· · − Ast) + fy · Ast ] φPo = 0,65[0,85 × 210 × (900 − 16,08) + 4200 · 16,08] = 146 ,5 ton Determinar el valor del coeficiente β : Ingresando con: φPn 70 = = 0,48 y φPo 146,5 ρg fy 0,018 4200 ω= = = 0,36 210 fc

·

×



la Figura A.4b para ocho barras se obtiene: β = 0,62

Ingresando con φPn = 70 ton y ρg = 1,8 % al diagrama de interacción biaxial A.3a se obtiene: φMnox = φM noy = 5,9 ton m

·


266


Capítulo7

Evaluar la falla utilizando el contorno de cargas de la PCA a carga constante φPn :

    M nx Mnox

4 5,9

log0 ,5 log β +

 

log0 ,5 log0 ,62 + 0,94

  ≤   ≤

M ny Mnoy

≤

3 5,9 1,0

−→

log0 ,5 log β

1,0

log0 ,5 log0 ,62

1,0

Cumple !

∴ Sección

satisfactoria. Evaluar la falla utilizando la aproximación bilineal del contorno de cargas de la PCA a carga constante φPn : Mny Mnx < Mnoy Mnox 3 4 = 0,51 < = 0,68 5,9 5,9 ∴ Por tanto ultilizar la

−→ Cumple !

ecuación 7.22:

 − ≤  − ≤

Mnx Mny 1 β + Mnox Mnoy β 4 3 1 0,62 + 5,9 5,9 0,62 0,99 1,0 Cumple !

≤

1,0 1,0

−→

∴ Sección satisfactoria Paso 4: Revisar los requisitos del código ACI 318-05 para el refuerzo longitudinal Verificación del espaciamiento mínimo permitido del refuerzo principal

smin

  ≥ 


·

sprovisto =

·

1 n

−1



bw

Para fila con 3φ16 −→ sprovisto =



φlong φ long − 2(r + φe + φ long ) − − 2 2 2 1 3

−1



30



1,6 1,6 − 2(3 + 1,0 + 1,6 ) − − 2 = 8,6 cm 2 2


Para fila con 3φ16 −→ 4 < sprovisto = 8,9 < 15 cm −→ Cumple !! c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

267

Hormigón Armado U.M.S.S.-Ing.Civil ∴

Capítulo7


Ast 16,08 = = 1,8 % Ag 30 30

×

1 % < ρg < 8 % 1 % < ρg = 1,8 % < 8 %

−→

Cumple !!

o o Nbarras = 8 barras < Nmin,barras = 4 barras

−→

Cumple !!




10 mm 12; mm


Para φ long = 16 −→ φe = 10 mm  φe,mín = 10 mm −→ Cumple!!

smáx 

∴

 


×

×



Usar estribos φ10c/25 cm .


Figura 7.23. Detalle de armado de la column a del ejemplo 7.3 


268


Capítulo7

7.6 COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS 7.6.1 Consideraciones generales Definicion de columna esbelta Una columna se define como una columna esbelta cuando presenta una reducción significativa en su capacidad por carga axial debido a los momentos resultantes de las deflexiones laterales de la columna. El código ACI 318-05 en el articulo 10.11.4.1 especifica que una reducción es significante cuando es mayor a 5 %.

δ

Figura 7.24. Fuerzas en una columna deflectada

Me = P e

·

(7.29)

Mu=P (e+ δ )

Figura 7.25. Diagrama de cuerdo libre de una columna deflectada Del equilibrio de momentos de la Figura 7.25, el momento interno a mitad de la altura resulta ser: Mc = P (e + δ )

·

(7.30)

La deflexión incrementa los momentos , que deben ser usados en el diseño de la columna . En columnas simétricas, tal como se muestra en la Figura 7.25, el momento máximo ocurre a media altura donde ocurre la máxima deflexión.


269


Capítulo7

P ⋅δ

P ⋅e

Figura 7.26. Diagrama de cuerdo libre de una columna deflectada La esbeltez de una columna se expresa en términos de su relación de esbeltez : k u r

·

(7.31)

Donde: k = Es el factor de longitud efectiva , depende de las condiciones de vinculo de los extremos de la columna. u = Es la longitud de la columna entre apoyos . r = Es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna esbelta tiene las dimensiones de su sección transversal más pequeñas que su altura.

7.6.2 Comportamiento de columnas articuladas en sus extremos Las deflexiones laterales en una columna esbelta causan un incremento en los momentos de la columna , ver Figura 7.24. Estos momentos a su vez causan un incremento en las deflexiones que vuelven a incrementar los momentos. Como resultado de este proceso en la Figura 7.26 se puede apreciar que al linea O-B no es lineal.

Falla por material y falla por estabilidad En la Figura 7.27 se muestra, el diagrama de interacción de columna corta , con los dos tipos de falla enunciados para tres diferentes longitudes de columnas, con la misma carga y excentricidad de la Figura 7.24.


270


Capítulo7

M e =P ⋅ e

∂M

= −∞

∂P

Figura 7.27. Fallas en una column a por material y estabilidad La curva O-A para columnas cortas es prácticamente igual a la línea P · e.

Curvas de interacción de columnas esbeltas

La forma de construcción del diagrama de interacción de una columna esbelta doblemente articulada es ilustrada en la Figura 7.28(a) y sigue el procedimiento que se explica a continuación.

 h

=

30



Pe1

h

=

0

Figura 7.28. Construcción de diagramas de interacción de columnas esbeltas

Magnificador de momento para elementos articulados en sus extremos y cargados simétricamente La columna de la Figura 7.24 se muestra en la Figura 7.29(a). Bajo la acción de los momentos de extremo Mo , la columna se desplaza en la parte central una cantidad δ o . Se asumirá que la forma de la deformada final de la columna se aproxima a la forma de una mitad de la curva del seno.


271


Capítulo7

Mu

δo

P( δ+ o

Mo

δa

δ)a

Mu

P ⋅δ

Mo

Figura 7.29. Desarrollo de los moment os de segundo orden en una column a deflectada El área de esta porción es: Area =



·

P

(δo + δa )

E I P 2 δa = 2 (δo + δa ) π E I

 · ·

× π2



2



2

π

π

 · ×  

· ·

Donde:

 2

(7.32)

 desde el soporte, por tanto: π

Y su centro de gravedad esta localizado a δa =

·

P (δo + δa ) E I

(7.33) (7.34)

π2 E I = P E , es la carga critica de pandeo de Euler. Por tanto: 2

· ·

δa = (δo + δa )

P PE

(7.35)

Realizando operaciones se obtiene:



Mo 1 + 0,23 Mc =

1

− PPE

P PE



(7.36)

El coeficiente 0.23 depende de la forma del diagrama primario de momentos Mo . Por ejemplo, para un diagrama triangular con Mo en un extremo de la columna y cero en el otro, el coeficiente es −0,38. En el código ACI 318-05 el término



· PPE



es omitido, por que el factor 0.23 varia en función del diagrama de momentos primario y la ecuación 7.36 es presentada como: 1 + 0,23

Mc = δ ns Mo

·


272

(7.37)


Capítulo7

Donde: δns = Es el magnificador de momentos no desplazable y esta dado por: 1

δns = 1

Pc =

(7.38)

− PPc

π2 E I (k )2

· · ·

(7.39)

Mo = Es el momento primario.

Efecto de momentos de extremo desiguales en la resistencia de la columna En el diseño de columnas con el procedimiento del magnificador de momento δ , columnas sujetas a momentos de extremo desiguales, como se muestra en la Figura 7.30(a) son reemplazadas por columnas similares sujetas a momentos de extremo iguales a Cm · M2 , como se muestra en la Figura 7.30(b). Cm ⋅ M 2

M2

≡

M1

Figura 7.30. Diagrama de momentos equivalente La expresión del factor equivalente de momento Cm fue srcinalmente deducido para el diseño de columnas de acero y fue adoptado sin cambio alguno para el diseño de columnas de hormigón : Cm = 0,6 + 0,4

M1 M2

≥ 0,40

Donde: M1 = Es el momento de extremo menor. M2 = Es el momento de extremo mayor. M M = + Es positivo si la columna se dobla en curvatura simple , Figura 7.31(a). 1 2

M1 M2

=

− Es negativo si la columna se dobla en doble curvatura


273

, Figura 7.31(b).

(7.40)


Capítulo7 M2

M2

M1

M1

0

≤M 1 /M

-1 ≤M /1 M

≤ 2 1.0

≤ 2 0

Figura 7.31. Convención de signos para la relación M1 /M2 en columnas esbeltas

Rigidez de la columna esbelta, E · I

El código ACI 318-05 en el articulo10.12.3 presenta fórmulas empíricas para el cálculo de

E I que intentan de alguna manera tomar en cuenta todos los factores mencionados anteriormente.

·

E I=

·

0,2 Ec Ig + Es Ise 1 + βd

(7.41)

0,40 Ec Ig 1 + βd

(7.42)

· ·

E I=

·

·

· ·

Donde: Ec = 151000 fc = Es el modulo de elasticidad del hormigón ACI 8.5.1, en kg/cm 2 . E = 2000000 Es el modulo de elasticidad del acero , en kg/cm 2 . Igs = Es el momento de inercia de la sección de hormigón alrededor del eje que pasa por el centro 



de gravedad de la sección de hormigón. Is = Es el momento de inercia del refuerzo de acero alrededor del eje que pasa por el centro de gravedad de la sección de hormigón.

El término ( 1 + βd ) refleja el efecto de la fluencia prematura del acero en columnas sujetas a cargas sostenidas. La ecuación 7.43 puede simplificarse aún más si se asume un valor promedio de 0.6 para β d : E I = 0,25 Ec Ig

·

· ·

(7.43)

Efecto de cargas permanentes en columnas doblemente articuladas Para los pórticos indesplazables y doblemente articulados βd se define como, ACI 318-05 artículo 11.11.1: Máxima carga axial permanente mayorada βd = Máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de carga Para los pórticos desplazables βd se define como, ACI 318-05 artículo 11.11.1: βd =

Máximo corte permanente mayorado del piso Máximo corte mayorado asociada con la misma combinación en ese piso


274

(7.44) (7.45)


Capítulo7

Propiedades de la sección para el análisis del pórtico De acuerdo con ACI 318-05 en el articulo 10.11.1 las propiedades de la sección dadas estan resumidas en la Tabla 7.32. Elemento Momento de Inercia Area Vigas 0,35 · Ig 1,0 · Ag Columnas 0,70 · Ig 1,0 · Ag 0,70 · Ig 1,0 · Ag Muros no agrietados 0,35 · Ig 1,0 · Ag Muros agrietados 0,25 · Ig 1,0 · Ag Placas planas y losas planas Figura 7.32. Propiedades de las secciones para el análisis de pórticos

7.6.3 Limites de esbeltez para columnas esbeltas En la Figura 7.33 se resumen los límites de la relación de esbeltez tanto para pórticos indesplazables, ACI 318-05 artículo 10.2.2; como para pórticos desplazables, ACI 318-05 artículo 10.13.2, junto con los métodos permitidos para considera la esbeltez de las columnas.

k u r

34-12(

≤

34-12(

M1 M2

)<

k u

M1 M2

k u

r

k u

)

r

≤100

22<

>100

P⋅ Δ

r

k u

k u

r

≤

22

≤100

>100

r

Figura 7.33. Consideración de la esbeltez de columnas

Método aproximado Cuando las relaciones de esbeltez son moderadas se permite un análisis aproximado de los efectos de la esbeltez que se basa en un factor de amplificación de los momentos (ACI 318-05 artículos 10.12 y 10.13). Radio de giro, r En general, ver Figura 7.34, el radio de giro, r es: r=



Ig (Para cualquier tipo de sección) Ag

(7.46)

Donde: Ig = Momento de inercia de la sección bruta del elemento con respecto al eje que pasa por el centroide, sin tener en cuenta el refuerzo, en cm4 . Ag = Área bruta de la sección, en cm 2 r = 0,30(sección h rectangular)

· ·

r = 0,25 (sección h circular) c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

275

(7.47) (7.48)


Capítulo7

r=0.3h

r=

r=0.25D

r=0.3b

Ig Ag

Figura 7.34. Radio de giro, r Longitud no apoyada de elementos en compresión, u La longitud no apoyada de un elemento en compresión, u se ilustra en la Figura 7.35 .

u

u

u

Figura 7.35. Longitud no apoyada, u Longitud efectiva de elementos en compresión, e La ecuación básica de Euler para la carga crítica de pandeo se puede expresar como: Pc =

π2 E I (e )2

· ·

(7.49)

Donde: e = Es la longitud efectiva k · u . Calculo del factor k

El facor k para una columna elástica esta en función de la rigidez relativa Ψ de las vigas y las columnas en cada extremo de la columna.

Ψ=

 ·   ·  Ec Ic c Eb Ib b

(7.50)

Donde: Ec = Es el modulo de elasticidad del material de la columna , en kg/cm 2 . Ic = Es el momento de inercia de la columna , en cm 4 . c = es la longitud de la columna , en cm . Eb = Es el modulo de elasticidad del material de la viga , en kg/cm 2 . Ib = Es el momento de inercia de la viga , en cm 4 . b = es la longitud de la viga , en cm.

Los nomogramas de la Figura R10.12.1 del código ACI 318-05 permiten determinar gráficamente los factores de longitud efectiva , k , para los elementos solicitados a compresión de pórticos indesplazables y desplazables, respectivamente. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

276


Capítulo7

Método de segundo orden Cuando la relación de esbeltez de la columna es elevada se requiere un análisis de segundo orden más exacto (ACI 318-05 artículo 10.11.5), que considere el comportamiento no lineal del material y la fisuración, así como los efectos de la curvatura y del desplazamiento lateral del elemento, la duración de las cargas, la contracción y la fluencia lenta, y la interacción con las fundaciones. No se especifican límites superiores para la esbeltez de las columnas.

Definición de pórticos indesplazables y desplazables Existen dos maneras posibles para determinar si un pórtico es indesplazable o desplazable: 1. El ACI 318-05 en elesartículo 10.11.4.1 permite a los diseñadores asumir que una columen los momentos de extremo de nacódigo en una estructura indesplazable si el incremento las columnas debido a los efectos de segundo orden no excede en 5 % a los momentos de primer orden. Esta verificación debe ser realizada en los extremos de las columnas donde el momento

magnificado es mayor. 2. Alternativamente, el código ACI 318-05 en el artículo 10.11.4.2 permite asumir que un en una estructura es indesplazable si: Q=



(Pu ∆o ) Vuc c

· ·

≤ 0,05

piso (7.51)

Donde: Q = Es el indice de estabilidad del piso. Pu = Es la carga vertical última total en el piso bajo consideración. Vus = Es la cortante horizontal última en el piso . ∆o = Es el desplazamiento lateral relativo de primer orden entre la parte superior e inferior



debido a V de. la columna, medida entre los ejes de los nudos del pórtico . del Es la longitud c =piso us

7.6.4 Ejercicios resueltos Ejemplo 7.4 En la Figura 7.36 se muestra un edificio destinado al uso de oficinas, suponer que las cargas horizontales que actúan sobre el edificio son provocadas por el viento, y las cargas muertas son las únicas cargas de larga duración se pide diseñar la columna D1 de la planta baja. La resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 en vigas, 280 kg/cm 2 en columnas, y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .

Solución 7.4 Objetivo Determinar las dimensiones y el refuerzo requerido de la columna. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Altura piso 1: 7,15 m Hormigón: peso normal, Carga muerta: LD = 160 kg/m 2 Altura pisos 2-10: 3,60 m Vigas: fc = 250 Kg/cm 2 Carga viva: LL = 250 kg/m 2 Vigas: 60 × 50 cm Columnas:fc = 280 Kg/cm 2 Carga viva techo: LL r = 150 kg/m 2 Columnas ext: 50 × 50 cm Acero:fy = 4200 Kg/cm 2 Columnas int: 60 × 60 cm Recubrimiento acero: r = 3,0 cm 




277


Capítulo7

Figura 7.36. Geometria del edificio del ejemplo 7.4

Resultados Paso 1: Determinar las cargas últimas de las columna D1 de la planta baja Columna:

D1 Carga axial [ton]

TIPO DE CARGA

E c. N o

D L Lr W Combinación de carga

Momentos flectores [kg-m]

PU

Msup

31 9 . 4

1 0 7 10

3 5 .6 5.3

4108

1.4D

44 7

1 4 9 94

29-2

1.2D+1.6L+0.5Lr

44 3

1 9 4 25

9-4 9-6

0 150

19-1

9-3

2 0 77

0 . 63

Mi nf

5 4 32

584

7 6 05 9 8 42

3

1.2D+0.5L+1.6Lr

41 0

1 4 9 06

7 5 57

4

1.2D+1.6Lr+0.8W

39 5

1 2 9 72

6 9 86

5

1.2D+1.6Lr-0.8W

38 9

1 2 7 32

6 0 51

6

1.2D+1.6W+0.5L+0.5Lr

40 9

1 5 1 46

8 4 91

7

1.2D-1.6W+0.5L+0.5Lr

39 8

1 4 6 66

8

0.9D+1.6W

29 3

9879

5 8 23

9

0.9D-1.6W

28 2

9399

3 9 54

6 6 23

Paso 2: Determinar si el pórtico es indesplazable o desplazable ?, ACI 10.11.4 Establecer vertical total primer = 16623 ton , L última = 1606 ton ton piso, las cargas verticales de servicio son:la Dcarga , PLren=el268

 

Pu = 1,2PD + 1,6PL + 0,5PLr Pu = 1,2(16623) + 1,6(1606) + 0,5(268) = 22652 ton


278


Capítulo7 Vus = 1,6VW Vus = 1,2(145) = 232 ton c = 6,90 m ∆o = 1,6(∆piso1

− ∆piso ) = 1,6(0,75 − 0) = 1 ,2 mm 0



Pu ∆o Vus c

· · Q= 22652 × 1,2 = 0,016 ≤ 0,05 −→ Cumple !! 232 × 6,90(1000) Q=

∴

El pórtico del primer piso es considerado indesplazable .

Paso 3: Determinar si se trata de una columna esbelta ? Para la combinación 7 : deformada con curvatura doble

Límite de esbeltez

 ≤

34

− 12

40

  M1 M2

u = 6,90

= 34

6623 − 12(− 14666 ) = 39 ,42 (gobierna)

− 0,25 = 6 ,65 m

k u > Límite de esbeltez r

·

1 665 = 41,84 > 39,42 0,289 55

×

∴ ∴

×

−→ Cumple !

Considerar los efectos de la esbeltez . La columna es esbelta.

Paso 4: Determinar los momentos magnificados para cada combinación de carga Para la combinación de cargas 7 : 1,2D − 1,6W + 0,5L + 0,5lr Ec = 15100

Ig =





fc = 15100

×

√

280 = 252671 kg/cm 2

b h3 55 553 = = 762552 cm 4 12 12

·

×

Máxima carga axial permanente mayorada

βd =

Máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de carga βd = βd =

1,2D

1,2D

− 1,6W + 0,5L + 0,5lr

1,2()

− 1,6(3,6) + 0,5(35,6) + 0,5(5,3) = 0,96

1,2(319,4)


279


Capítulo7 0,4 Ec Ig 1 + βd 0,4 252671 762552 EI = = 3,93 1 + 0,96

· · ×

EI =

×

7

× 10

ton cm4

·

 ·   · 

Ec Ic c ΨA = Eb Ib b 252671 0,7

×

× 762552 + 252671 × 0,7 × 762552 = 9,17 × 0,35 × 6250003,60

6,90 238752

ΨA =

8,40

ΨA = 1,0 Columna esencialme nte empotrada en la base

  ≤ 

k

0,7 + 0,05(ΨA + Ψ B ) = 0,7 + 0,05(9,17 + 1) = 1 ,21 0,85 + 0,05Ψmin = 0,85 + 0,05(1) = 0 ,9 (gobierna) 1 u = 6,90

− 0,25 = 6 ,65 m

π 2 EI

· (k · u ) π × 3,93 × 10 Pc = (0,9 × 665) Pc =

2

2

7

2

   

k>

Cm >

= 1083 ,39 ton

M2 = 14666 kg m (gobierna)

·

Pu (1,5 + 0,03 h) = 398(1,5 + 0,03

·

0,6 + 0,4 0,40

δns >

  M1 M2

  − 1

= 0,6 + 0,4

Cm = Pu 1 0,75 Pc

−

−  6623 14666

·

×

Mc = δ ns M2,min


= 0,419 (gobierna)

0,419 = 0,821 Pu 0,75 1083,39

1 (gobierna)

Mc = 1

× 55) = 1254 kg · m

· × 14666 = 14666 kg · m 280


Capítulo7

La siguiente tabla resume el cálculo del momento último magnificado para cada combinación de carga. Ec. No

PU [ton]

M2 [kg-m]

βd

PC [ton]

EI [ton-cm4]

Cm

9-1 1

447

14994

1

3.85E+07

1061.62

0.400

9-2 2

443

19425

0.87

4.12E+07

1135.47

0.400

9-3

9-6 9-8

δns 1.00

M2,mín Mc [kg-m] [kg-m]

14994

1.00

14994

19425

19425

3

410

14906

0.93

3.99E+07

1100.2

0.400

1.00

14906

14906

4

395

12972

0.97

3.91E+07

1077.88

0.400

1.00

12972

12972

5

389

12732

0.99

3.87E+07

1067.13

0.410

1.00

12732

12732

6

409

15146

0.94

3.97E+07

1094.69

0.400

1.00

15146

15146

7 8

398 293

14666 9879

0.96 0.98

3.93E+07 3.89E+07

1083.39 1072.37

0.419 0.400

1.00 1.00

14666 9879

14666 9879

9

282

9399

1.02

3.82E+07

1051.15

0.432

1.00

9399

9399

Paso 5: Verificar el predimensionamiento de la columna 1 %  ρg = 1,54 %  2 % Pu 0,80φ[0,85 fc (1 ρg ) + fy ρg ] 447(1000) Ag (requerida) = 0,8 0,65[0,85 280(1 0,015) + 4200 Ag (requerida) =

·

×

b=h=





−

·

×

−

Ag (requerida) =

× 0,015] = 2891 cm

2

√2891 = 53 ,8 cm ≈ 54 cm

Usar columna cuadrada de 55 × 55 cm2 , debido a que esta ecuación no considera la flexión. ∴

Ag (provista) = 55

× 55 = 3025 cm

2


·


× 3025 = 45 ,37 cm

2


2


Cumple !!

Ast 46,44 = = 1,54 % Ag 3025

Con propósito de comparación, en la Figura 7.37 se muestra el diseño del la columna D1 de 55 × 55 incluyendo el efecto de la esbeltez usando el software pca-column. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

281


Capítulo7 P ( kN) 6000

(Pmax)

y 42

x

1 3

12 4000 614 810

16 18

550 x 550 mm

fs=0

11 5 13 7 9

15 17 fs=0

2000

fs=0.5fy

Code: ACI 318-02

fs=0.5fy

Units: Metric Run axis: About X-axis -700

Run option: Design

-500

-300

-100

100

300

500

700 Mx (kN-m)

Slenderness: Considered Column type: Structural (Pmin)

-2000

Bars: ASTM A615M Date: 03/28/07 pcaColumn v3.64. 15 day trial license. Locking Code: 4-25BAE. User: Miguel , Vargas consultores Ltda. Time: 11:18:33 File: C:\Documents and Settings\Administrador\Mis documentos\PCA column\Columna D1.col Project: Columnas,Pórtico Indesplazable Column: B-2 f'c=28MPa Ec= 24870MPa fc=23.8MPa

Engineer: Micky fy =420MPa Es=199955MPa fc=23.8MPa

Ag=302500mm^2 As =4644mm^2 Xo =0mm

e_u=0.003mm/mm

Rho =1.54% Iy=7.63e+009mm^4

Yo=0mm

Beta1=0.846954 Confinement: Tied

12#22bars

Iy=7.63e+009mm^4

Clearspacing=127mm

Clearcover=40mm

phi(a) = 0.8, phi(b) = 0.9, phi(c) = 0.65

kx(braced) = 0.9, kx(sway) = N/A

Figura 7.37. Diagrama de interacción de la columna D1 de 55 incluyendo la esbeltez

55 cm del ejemplo 7.4

×

Como todas las combinaciones de carga axial y momento caen dentro del diagrama de interacción de la Figura 7.37 la sección es satisfactoria. ∴


282


Capítulo7


smin

  ≥ 


·

·

sprovisto =

1 n

−1



bw





1 4

−1



55



2,2 − 2(3 + 1,0 + 2,2 ) −2 = 12,7 cm 2 2


Para fila con 4φ22 −→ 4 < sprovisto = 12,7 < 15 cm −→ Cumple !! ∴

Verifica el espaciamiento libre provisto de s = 12,7 cm en la columna con 12φ22. ρ g ρg =

Ast 46,44 = = 1,54 % Ag 55 55

×

1 % < ρg < 8 % 1 % < ρg = 1,54 % < 8 % o

−→

Cumple !!

o

Nbarras = 12 barras < Nmin,barras = 4 barras




10 mm 12; mm

−→

Cumple !!



smáx 

∴

 


×

×



Usar estribos φ10c/35 cm . U = 0,9D + 1,6W


283


Capítulo7 Vu = 1,6W = 1,6(2530) = 4048 kg Nu = P u = 0,9D = 0,9(319400) = 288000 kg



φVc = φ0,53 1 +

Nu 140Ag

φVc = 0,75



× 0,53

1+





fc bw d

· ·

288000 140 3025

×

√

280

× 55 × 49,9 = 30669 kg

Vu > φVc requiere refuerzo de corte 4048 > 30669 kg No cumple !

−→

∴

−→

No requiere refuerzo de corte adicional


Figura 7.38. Detalle de armado de la column a D1 del ejemplo 7.4 

7.6.5 Diseño de columna esbeltas en porticos desplazables Cuando una columna pertenece a un pórtico desplazable , el diseño involucra la sección 10.11 del código ACI 315-05, Momentos magnificados generalidades y la sección 10.13, Momentos magnificados en estructuras con desplazamiento lateral , las cuales proporcionan las siguientes condiciones:

Calcular las combinaciones de carga última se establece: Los momentos indesplazables, M ns debido a cargas que no causan un apreciable desplazamiento lateral (cargas gravitatorias) Los momentos desplazables, Ms debido a cargas que causan un apreciable desplazamiento lateral (cargas de viento) Calcular los momentos magnificados desplazables, δs Ms Los momentos maginificados debido al desplazamiento lateral se calculan considerando alguno de los tres procedimientos descritos en el artículo 10.13.4 del código ACI 318-05, en orden decreciente de precisión los procedimientos para calcular δ s Ms son: c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

284


Capítulo7

1. Análisis de segundo orden del pórtico (ACI 10.13.4.1). 2. Análisis de segundo orden aproximado (ACI 10.13.4.2). 3. Método aproximado en base a un factor de magnificación de momentos para pórticos desplazables (ACI 10.13.4.3) El código ACI 318-05 en el artículo 10.13.4.3 permite usar el tradicional momentos: Ms

δ s Ms =

·

1

 

− 0,75 PuPc

Donde:

 

≥ Ms

magnificador de (7.52)

Pu = Es la sumatoria de todas las cargas axiales últimas , de todas las columnas del piso analizado. Pu = Es la sumatoria de todas las cargas críticas de pandeo , de todas las columnas del piso analizado. π2 E I (ACI ec. 10-10) (k u )2

· · · 0,40 · Ec · Ig EI = Pc =

(ACI ec. 10-12)

1 + βd

Sumar los momentos Mns y δs Ms Esta suma se realiza en cada extremo de la columna : M1 = M 1ns + δs M1(ACI ec. 10-15) s

·

(7.53)

M2 = M 2ns + δs M2(ACI ec. 10-16) s

(7.54)

·

Verificar si el momento máximo ocurre entre los extremos de la columna El artículo 10.13.5 del código ACI 318-05 indica una manera sencilla de determinar si esto ocurre: u > r

35



(ACI ec.10-19)

(7.55)

Pu fc Ag 

·

De ser asi, el momento Mc se calcula: Mc = δ ns M (ACI ec.10-8) 2

(7.56)

·

Mc = 1

−

Cm (M2ns + δs M2s ) Pu 0,75 Pc

·

·

(7.57)

·

Verificar si el pandeo por desplazamiento lateral puede ocurrir bajo cargas gravitarias El artículo 10.13.6 del código ACI 318-05 requiere que la verificación de está posibilidad se realice usando la combinación de carga gravitacional más grande, U = 1,4D + 1,7L.


285


Capítulo7

Si δs · Ms se calculo usando el magnificador de momentos para pórticos desplazables , el código ACI 318-05 en el artículo 10.13.6c establece que la verificación de estabilidad queda satisfecha cuando: 0 < δs ≤ 2,5 (7.58)





Donde: Pu está basada en 1,4D + 1,7L y Pc está basada en las longitudes efectivas del artículo 10.13.1 del código ACI 318-05, con β d se toma como la definición (c) del artícu lo 10.0 del código ACI. βd =

Máxima carga axial última de larga duración Máxima carga axial última

(7.59)

7.6.6 Ejercicios resueltos Ejemplo 7.5 En la Figura 7.39 se muestra un edificio de 12 pisos destinado al uso de oficinas, suponer que las cargas horizontales que actúan sobre el edificio son provocadas por el viento, y las cargas muertas son las únicas cargas de larga duración se pide diseñar la columna D1 de la planta baja. La resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 en vigas, 280 kg/cm 2 en columnas, y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .

Solución 7.5 Objetivo Determinar las dimensiones y el refuerzo requerido de la columna. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Altura piso 1: 4,50 m


Altura pisos 2-12: 3,60 m Vigas: 60 × 50 cm Columnas ext: 55 × 55 cm Columnas int: 60 × 60 cm

Cargas Carga muerta: 2

LD = 160 kg/m 2 2

Vigas: fc = 250 Kg/cm 2 Carga viva: LL = 250 kg/m Columnas:fc = 280 Kg/cm Carga viva techo: LL r = 150 kg/m 2 2 Acero:fy = 4200 Kg/cm Recubrimiento acero: r = 3,0 cm 


286


Capítulo7


Resultados Paso 1: Determinar las cargas últimas de las columna D3 de la planta baja Columna: D3 Carga axial [ton]

TIPO DE CARGA

Momentos flectores [kg-m]

PU

E c.

No

Carga muerta D Carga viva L Carga viva de techo Lr Carga de viento W Combinación de carga

1 1 . 4D 9-1 9-2 9-3

9-6 9-8

2

276 33 22

0

W

6607

3342 9004

0

4

1.2 D + 0

L + 1.6 L r +

0 .8 W

5

1.2 D + 0

L + 1.6 L r -

6

1.2 D + 0.5 L + 0.5 L r +

1 .6 W

385

2996

7

1.2 D + 0.5 L + 0.5 L r

1 .6 W

315

1 04 1 7

8

0.9 D + 0 L

+ 0

L r + 1 .6 W

284

53 7

-27965

9

0.9 D + 0 L

+ 0

Lr -

213

7958

3 22 6 2

-

1 .6 W

287

355 320

6707

4535

1.2 D + 0.5 L + 1.6 L r +

0 .8 W

354

0 -18821

3


W

1044 0

- 23 1 9

386

M i nf 2387

2088 4

386 1.2 D + 1.6 L + 0.5 L r +

Msup 4719

3808 7518

3386 -12192 1 79 2 1 -26727 3 35 0 0


Ec.

Carga axial Momentos flectores PU [kg-m] ton Msup Minf

No

19-1 29-2

9-3

9-6

9-8

Capítulo7 Mmenor Mmayor [kg-m] M1 2

386

6607

3342

3342 6607

3342

386

9004

4535

4535 9004

3

354

6707

3386

3386

4

355

3808

-12192

3808

-12192

5

320

7518

17921

7518

17921

6

385

2996

-26727

2996

-26727

7

315

10417

33500

10417

33500

8

284

537

-27965

537

-27965

9

213

7958

32262

7958

32262

1ns

6607

4535 6707

Mgravitacional [kg-m] 2ns

0

9004 3386

0

5663 6707 6707 4247 4247

1s

2s

0 0

6707

5663

Mlateral [kg-m]

0 2864

2864 3386 3386 2148 2148

0 -1855 1855

-15057 15057

-3710 3710

-30114 30114

-3710 3710

-30114 30114

Paso 2: Determinar si el pórtico es indesplazable o desplazable ?, ACI 10.11.4 Establecer la carga vertical última total en el primer piso, las cargas verticales de servicio son: D = 7960 ton, L = 886 ton, P Lr = 120 ton

 

Pu = 1,2PD + 1,6PL + 0,5PLr Pu = 1,2(7960) + 1,6(886) + 0,5(120) = 11030 ton Vus = 1,6VW Vus = 1,2(136) = 218 ton c = 4,5

∆o = 1,6(∆piso1

− 0,5/2 = 4,25 m 0

− ∆piso ) = 1,6(7 − 0) = 11 mm

Calcular el índice de estabilidad , Q :



Pu ∆o Vus c 11030 11 Q= = 0,13 218 4,25(1000) Q=

∴

· · × ×

≤ 0,05 −→ No cumple !!

El pórtico del primer piso es considerado desplazable .

Paso 3: Determinar si se trata de una columna esbelta ? ΨA =

 ·   ·  Ec Ic c Eb Ib b 252671 0,7

× 762552 + 252671 × 0,7 × 762552 4,25238752 × 0,35 × 6250003,60 = 9,5

×

ΨA =

7,20

ΨA = 1,0 Columna esencialme nte empotrada en la base c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

288


Capítulo7 k = 1,88 u = 4,25

− 0,25 = 4 m

k u > 22 r

·

1,88 400 = 47,31 > 22 0,289 55

× ×

∴

esbelta !

−→ −→

Cumple !

Considerar los efectos de la esbeltez ya que la columna es esbelta.

Paso 4: Determinar los momentos magnificados desplazables para cada combinación de carga, δs Ms , en base al factor de amplificación de momentos para pórticos desplazables. Determinar la carga crítica de pandeo de todas las columnas del piso en análisis Ec = 15100

Ig =

βd = ∴





fc = 15100

×

√

280 = 252671 kg/cm 2

b h3 55 553 = = 762552 cm 4 12 12

·

×

Máximo corte último permanente de larga duración =0 Máximo corte último en el piso

Debido a que el corte producido por la carga de viento no es de larga duración. 0,4 Ec Ig 1 + βd 0,4 252671 762552 EI = = 7,70 1+0 EI =

· · ×

×

7

× 10

ton cm4

·

Determinar la carga crítica de pandeo con la ecuación básica de Euler

 ·   · 

Ec Ic c ΨA = Eb Ib b 252671 0,7 762552 252671 0,7 762552 + 4,25 3,60 ΨA = = 9,5 238752 0,35 625000 7,20

×

×

×

×

×

×

ΨA = 1,0 Columna esencialme nte empotrada en la base k = 1,88 u = 4,25 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

− 0,25 = 4 ,0 m

289


Capítulo7 2

π EI (k u )2 π 2 7,70 107 Pc = = 1344 ton (1,88 400)2 Pc =

· · ×

×

×

La siguiente tabla resume el cálculo de la carga crítica de pandeo para las demás columnas del piso. Ubicación

No. Ec Col [kg-cm]

Dim. de columna b [cm] h [cm]

Ig [cm4]

55

EI [ton-cm4]

βd

762552

0

ℓu [cm]

k

exterior

12

252671

55

7.70E+07 1.88

exterior

4

252671

55

55

762552

0

7.70E+07 1.77

400.00

1516

exterior

8

252671

60

60

1080000

0

1.09E+08

400.00

2075

1.8

400.00

PC

PC (Total)

[ton]

[ton]

1344

Carga critica de pandeo tot

16128 6064 16600

ΣPc

Determinar la carga vertical total de todas las columnas del piso en análisis cada una de las combinaciones de carga Para la combinación de cargas 4 : 1,2D + 1,6lr + 0,8W

 

38792

para

Pu = 1,2D + 1,6Lr + 0,8W Pu = 1,2(7960) + 1,6(120) = 9744 ton

La siguiente tabla resume el calculo de las cargas verticales totales en las demás combinaciones Carga axial [ton]

TIPO DE CARGA

ΣPU

E c.

Carga muerta D Carga viva L Carga viva de techo Lr Carga de viento W Combinación de carga

No

9-1 1 1 . 4D 9-2 9-3

9-6 9-8

886 120 0

11144

2

1.2 D + 1.6 L + 0.5 L r +

0 0

W

1.2 D + 0.5 L + 1.6 L r +

4

1.2 D +

0

L + 1.6 L r +

0 .8 W

9744

5

1.2 D +

0

L + 1.6 L r

0 .8 W

9744

-

W

11030

3

10187

6

1.2 D + 0 .5 L + 0.5 L r +

1 .6 W

10055

7

1.2 D + 0 .5 L +

1 .6 W

10055

0.5 L r

-

8

0.9 D +

0

L +

0

Lr +

1 .6 W

7164

9

0.9 D +

0

L +

0

Lr

1 .6 W

7164

   −  1

δs >

7960

1

Pu 0,75 Pc

= 1

−

1 = 1,76 (gobierna) 9744 0,75 30088

1


-

290

×


Capítulo7 M2 = M 2ns + δs M2s

·

M2 = 2864 + 1 ,76( 15057) =

−

−23636 kg · m

La siguiente tabla resume el cálculo del momento último magnificado para cada combinación de carga. Ec.

No

Carga axial Carga axial Carga crit. Factor de Mgravit. Mlateral [ton] [ton] [ton] amplificación [kg-m] [ kg-m] δ PU M2ns M2s ΣPU ΣPc

Combinación de carga

s

9-1 1 1.4D 9-2 9-3

9-6 9-8

386

2 1 .2 D + 1.6 L + 0.5 Lr +

0

W

11144

386

38792

11030

38792

3 1 .2 D + 0.5 L + 1.6 Lr +

0

W

354

10187

4 1 .2 D +

0

L + 1.6 Lr +

0.8 W

355

9744

5 1 .2 D +

0

L + 1.6 Lr - 0 .8 W

320

6

1.2 D + 0.5 L + 0.5 Lr + 1 .6 W

7

1.2 D + 0.5 L + 0.5 Lr

-

38792 38792

10055

315

38792

10055

6607

1.61

38792

9744

385

1.6 W

1.62

38792

1.54 1.5 1.5

0

9004 6707 2864 2864

1.53

3386

1.53

3386

Mamplif. [kg-m] M2 6607

0 0

9004 6707

-15057

-19722

15057

25450

-30114 30114

-42688 49460

8 0 .9 D +

0

L +

0

Lr +

1.6 W

284

7164

38792

1.33

2148

-30114

-37904

9

0

L +

0

Lr -

1 .6 W

213

7164

38792

1.33

2148

30114

42200

0 .9 D +

Paso 5: Verificar si el momento máximo ocurre en uno de los extremos de la columna ACI 10.13.5 u < r 400 = 25,17 < 0,289 55

×

∴

35

 

Pu fc Ag 

·

35

= 51,85

386(1000) 280 (55 55)

×

−→

Cumple !

×

El máximo momento ocurre en uno de los extremos de la columna .

Paso 6: Verificar si el pandeo por desplzamiento lateral puede ocurrir bajo cargas gravitacionales Máxima carga axial última de larga duración βd = Máxima carga axial última



1,4PD (1,4PD + 1,7PL ) 1,4(7960) βd = = 0,88 1,4(7960) + 1 ,7(886) βd =

βd es:

  Pc =

Pc 30088 = = 16004 ton 1 + βd 1 + 0,88

Pu = 1,4D + 1,7L

1

1

−





Pu 0,75 Pc

Pu = 1,4(7960) + 1,7(886) = 12650 ton = 1

−


1 = 5,5 < 2,5 12650 0,75 16004

×

291

−→ No cumple !

,


Capítulo7

La estructura es inestable cuando se utiliza el factor de magnificación de momentos en pórticos desplazables. ∴

Q = (1 + βd ) Q = (1 + 0,88)

·

× 0,13 = 0 ,24 < 0,60 −→

Cumple !

Se concluye que la estructura es estable en el primer piso y no existe problemas de pandeo. ∴

Paso 7: Verificar el predimensionamiento de la columna 1 %  ρg = 2 %  2 %

Establecer el área bruta requerida de columna: Pu 0,80φ[0,85 fc (1 ρg ) + fy ρg ] 386(1000) Ag (requerida) = 0,8 0,65[0,85 280(1 0,02) + 4200 Ag (requerida) =

·

×

b=h=





−

·

×

Ag (requerida) =

−

√

× 0,02] = 2340 cm

2

2340 = 48 ,4 cm ≈ 50 cm

Usar columna cuadrada de 55 × 55 cm2 , debido a que esta ecuación no considera la flexión. ∴

Ag (provista) = 55

× 55 = 3025 cm

2

Paso 8: Seleccionar el número y diámetro de barras longitudinales Ast (requerida) = ρ g · Ag Ast (requerida) = 0,02 × 3025 = 60 ,5 cm 2 As (provista) > As (requerida)

Encontrandose: 12φ25

2


Cumple !!

Ast 61,2 = = 2,02 % 3025 Ag

El diagrama de interacción correspondiente se muestra en la Figura 7.40.


292


Capítulo7 P ( kN) 7000 (Pmax)

5000

12 3

6 4 3000

8

5

fs=0

7

fs=0

fs=0.5fy

9

fs=0.5fy 1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

Mx (kN-m) -1000

(Pmin) -3000

Figura 7.40. Diagrama de interacción de la columna D3 de 55 × 55 cm del ejemplo 7.5 incluyendo la esbeltez Como todas las combinaciones de carga axial y momento caen dentro del diagrama de interacción de la Figura 7.40 la sección es satisfactoria. ∴


smin

  ≥ 


·

sprovisto =

·

1 n

−1



bw





1 4

−1



55



2,5 − 2(3 + 1,0 + 2,5 ) −2 = 12,3 cm 2 2

smin < sprovisto < smax = 15 cm (ACI 7.10.5.3) c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

293


Capítulo7

Para fila con 4φ25 −→ 4 < sprovisto = 12,3 < 15 cm −→ Cumple !! ∴

Verifica el espaciamiento libre provisto de s = 12,3 cm en la columna con 12φ25. ρg =

Ast 61,2 = = 2,02 % Ag 55 55

×

1 % < ρg < 8 % 1 % < ρg = 2,02 % < 8 % o

−→

Cumple !!

o

Nbarras = 12 barras < Nmin,barras = 4 barras




10 mm 12; mm

−→

Cumple !!



smáx 

∴

 

16φlong = 16 2,5 = 40 cm (gobierna) 48φe = 48 1,0 = 48 cm menor dimensión de columa = 55 cm

×

×


Para φ e = 10 mm −→ sprovisto = 40 ≤ smax = 40 cm −→ cumple !! ∴

Usar estribos φ10c/40 cm . U = 0,9D + 1,6W Vu = 1,6W = 1,6(3050) = 4880 kg Nu = P u = 0,9D = 0,9(276000) = 248400 kg



φVc = φ0,53 1 +

Nu 140Ag

φVc = 0,75



× 0,53

1+





fc bw d

· ·

248400 140 3025

×

√

280

× 55 × 49,7 = 28846 kg

Verificar si se requiere refuerzo de corte ? Vu > φVc −→ requiere refuerzo de corte 4880 > 28846 kg −→ No cumple ! ∴

No requiere refuerzo de corte adicional


294


Capítulo7


Figura 7.41. Detalle de armado de la column a D3 del ejemplo 7.5 

7.6.7 Ejercicios propuestos Ejercicio 7.1 Diseñar la columna de hormigón armado de sección cuadrada

40 40 cm, para resistir una fuerza de compresión de P u = 55 ton y una fuerza horizontal de F = 2,5 ton ubicada en la parte superior de la columna, como muestra la Figura, la longitud de la columna es  = 5,5 m. La resistencia caracteristica del hormigón es 250 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), la resistencia a la fluencia del acero 4200 kg/cm 2 , el recubrimiento es 3 cm.

×

Figura 7.42. Esquema del ejercicio 7.1 x 

Ejercicio 7.2 Encontrar la sección transversal de la columna para una cuantía ρ = 0,018, la cargas axial última que debe resistir es Pu = 62 ton, y el momento último sobre el eje x es 23 ton m. y momento último en y 20 ton m. La resistencia característica del hormigón es 250 kg/cm 2 (hormigón

·

·

de x 

2

peso normal), la resistencia a la fluencia del acero

4200 kg/cm , el recubrimiento es 3,6 cm.

Ejercicio 7.3 Diseñar la columna biaxial indesplazable mostrada en la Figura cuyos momentos arriba y abajo son iguales, el pandeo es por simple curvatura, la sección de la columna es rectangular de 40 50 cm2 las cargas que actúan sobre la columna son de Pu = 268 ton, momento en x de

×


295


Capítulo7

150 ton m y momento en y es de 100 ton m de longitud 5,30 m La resistencia característica del hormigón es 210 kg/cm 2 (hormigón de peso normal), la resistencia a la fluencia del acero 4200 kg/cm 2 , el recubrimiento es 3,5 cm. Considere el coeficiente de longitud efectiva igual a k = 0,9.

·

·

Pu

Muy

Mux



296

CAPÍTULO

8

ANALISIS Y DISEÑO DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES

8.1 INTRODUCCION Las losas son elementos estructurales bidimensionales, en los que la tercera dimensión es pequeña comparada con las otras dos dimensiones básicas.

Placas planas Son losas sólidas de hormigón de espesor uniforme que transmiten las cargas directamente a las columnas sin ayuda de vigas, capiteles o ábacos y son utilizadas para cargas relativamente livianas, ver Figura 8.1.

Figura 8.1. Placa plana A menudo es necesario aumentar los tamaños de las columnas o de las losas o bien usar crucetas de cortante. Las placas planas son económicas en luces de 4,5 m a 6 m.

Losa encasetonada Consiste en filas de viguetas de hormigón perpendiculares entre si con cabezales macizos entre las columnas (los cuales son necesarios para proveer resistencia al corte), ver Figura 8.2.

Figura 8.2. Losa encasetonada Las losas encasetonadas son utilizadas en luces de 7,5 m a 12 m . 297


Capítulo8

Losa plana Es una placa plana a la cual se le incorpora un espesor de losa alrededor de las columnas denominado ábaco o capitel, y así mejorar la transferencia de cargas a las columnas, ver Figura 8.3. Las losas planas se utiliza cuando cargas vivas exceden los 500 kg/m 2 y en luces de 6 m a 9 m.

Figura 8.3. Losa plana

Losas en dos direcciones sobre vigas Consiste en una losa maciza con sus cuatro lados apoyados sobre vigas , ver Figura 8.4.

Figura 8.4. Losa en dos direcciones sobre vigas

8.1.1 Objetivos de este capítulo Despues de terminar este capítulo, el estudiante será capaz de: 1. Identificará los tipos de losas en dos direcciones . 2. Reconocerá que el análisis de losas en dos direcciones es comlejo 3. Comprenderá el fundamento del método de diseño directo . 4. Conocerá las limitaciones de uso del método de diseño directo . 5. Aprenderá a calcular la rigidez a flexión entre vigas y losas. 6. Determinará el espesor mínimo de una losa sin vigas y con vigas en columnas interiores. 7. Definirá el concepto de momento estático. 8. Usará el método de diseño directo la solución de problemas de ciones.

diseño de losas en dos direc-

9. Conocerá un método simple para el análisis y diseño de escaleras


298


Capítulo8

8.2 ANÁLISIS DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES Las losas en dos direcciones se flexionan bajo cargas en las dos direcciones principales. Un análisis elástico teórico de tales losas es muy complejo, debido a su naturaleza hiperestática. Se requieren procedimientos numéricos, como el de diferencias finitas o el de elementos finitos, pero tales métodos no son prácticos para el diseño rutinario.

8.3 METODO DE DISEÑO DIRECTO El código ACI 315-05 en el artículo 13.6 da un procedimiento con el cual puede determinarse un conjunto de coeficientes de momento : (a) Las rigideces por flexión estimadas de las losas, vigas (si existen) y columnas. (b) Las rigideces por torsión de las losas y vigas (si existen) transversales a la dirección en que los momentos por flexión están siendo determinados.

8.3.1 Limitaciones de uso del método directo Para que los coeficientes de momento determinados por el método directo de diseño sean aplicables, el código ACI 318-05 en el artículo 13.6.1 establece que debe 8.5: L ≤2 D

1

1

( ≥ 2 /3  )

2

≤

2

10

Figura 8.5. Condiciones para la aplicació n del análisis por coeficientes

8.3.2 Relación de rigidez de viga-a-losa En el codigo ACI 318-05, el efecto de la rigidez a flexión de las vigas en las deflexiones y la distribución de momentos es expresado como una función de αf definida como: 4 Ecb Ib  αf = 4 Ecs Is 

· ·


299

· ·

(8.1)


Capítulo8

Las secciones conside radas para el calculo de Ib y Is están sombreadas en la Figura 8.6. 2

2

2

2

2

2

Ib

Ib

Is

2

2

2

2

Ib

Figura 8.6. Secciones transversales de viga y losa para el cálculo de αf Dado que las longitudes, , de la viga y de la losa son iguales, está cantidad es simplificada y expresada por código ACI 318-05 ecuación (13-3) como: αf =

Ecb Ib Ecs Is

· ·

(8.2)

Donde: αf = Es la relación de rigidez a flexión entre viga y losa . Ecb = Es el módulo de elasticidad de la viga de hormigón . Ecs = Es el módulo de elasticidad de la losa de hormigón . Ib = Es el momento de inercia de la viga con respecto al eje que pasa por el centroide . Is = Es el momento de inercia de la losa con respecto al eje que pasa por el centroide

El articulo 13.2.4 del código ACI 318-05 define a una viga monolítica , lo cual se ilustra en la Figura 8.7. 2

2

b+( a- h)

≤

Is

b+4h Is

Ib

Ib

b+2( a- h)

≤

b+8h

Figura 8.7. Secciones efectivas de viga y de losa para el cálculo de la relación de rigidez αf (ACI 13.2.4) Unaser vezcalculados que las dimensiones de la losa y de viga de son seleccionados, los valores de α pueden a través de estos principios o alapartir la Figura 8.8.


300


Capítulo8 b+2( a-h ) ≤ b+8h

b+( a-h ) ≤ b+4h



 3

α

=

Ecb b ⎡ a ⎤ f Ecs  ⎢⎣ h ⎥⎦

α

=

Ecb b ⎡ a ⎤ Ecs  ⎢⎣ h ⎥⎦

3

f

Figura 8.8. Calculo de la rigidez αf en vigas

8.3.3 Espesor mínimo de una los a y requisitos de rigidez Los espesores son cuidadosamente controlados por el código ACI 318-05 para limitar esas deflexiones. Esto se logra requiriendo que el diseñador: 1. Calcule las deflexiones para que queden dentro de ciertos límites. 2. Use ciertos espesores mínimos especificados en el artículo 9.5.3 del código ACI 318-05, los cuales son suficientes para limitar las deflexiones de las losas con valores aceptables.

Espesor mínimo de losas sin vigas en columnas interiores El espesor mínimo de las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los apoyos y que tienen una relación entre lados no mayor que 2 , estan dados en la Tabla 8.1 (ACI 318-05 Tabla 9.5(c)) y no debe ser inferior que los siguientes valores: 1. Losas sin ábacos paneles, como se definen en ACI 13.2.5, h ≥ 12,5 cm 2. Losas con ábacos fuera de los paneles, como se definen en ACI 13.2.5, h ≥ 10 cm


301


Capítulo8

Tabla 8.1. Espesores mínimos de losas sin vigas inte riores Resistencia Sin ábacos Con ábacos a la Paneles exteriores Paneles Paneles exteriores Paneles fluencia Sin Con interiores Sin Con interiores Vigas de Vigas de Vigas de Vigas de fy [kg/cm 2 ] borde borde borde borde 2800 4200 5200

n 33 n 30  n 28

n 36 n 33  n 31

n 36 n 33  n 31

n 36 n 33  n 31

n 40 n 36  n 34

n 40 n 36  n 34

Notas

Para construcción en dos direcciones,  n , es la luz libre en la dirección larga, medida entre caras de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de las vigas, para losas con vigas u otros apoyos en otros casos. La longitud del ábaco ≥ /3; altura 1,25h (ACI 13.3.7). La relación entre la rigidez entre las vigas de borde y la rigidez de la losa α ≥ 0,8.

Espesor mínimo de losas con vigas en apoyos interiores Las losas con vigas que se extienden entre los apoyos en todos los lados , el código ACI 318-05 en el artículo 9.5.3.3 proporcion a los siguientes espesores mínimos :

(a) Para αf m ≤ 0,2 se aplica el espesor mínimo proporcionado por la Tabla 8.1 (b) Para 0,2 < αf m < 2,0, el espesor mínimo h no debe ser menor que: n 0,8 +

h



fy



≥ 36 + 5β (αf14000 ≥ 12,5 cm(ACI ec. 9-12) m − 0,2)

(8.3)

(c) Para αf m > 2,0, el espesor mínimo h no debe ser menor que:



fy 14000 36 + 9β

n 0,8 + h

≥



≥ 9 cm(ACI ec. 9-13)

(8.4)

Donde: fy = Resistencia a la fluencia del refuerzo, en kg/cm 2 . n = Luz libre en la dirección más larga medida entre la cara de los apoyos de la losa panel en consideración, en cm . αf m = Valor promedio de αf para todas las vigas en los bordes de un panel . β = Es la relación de las dimensiones de la luz libre en la dirección larga a luz libre en la dirección corta de la losa. (d) En bordes discontinuos debe disponerse una viga de borde que tenga una relación de rigidez αf > 0,8, o bien aumentar el espesor mínimo requerido, por lo menos un 10 % en el panel que tenga un borde discontinuo. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

302


Capítulo8

8.3.4 Determinación de momentos en los paneles de losas Calculo del momento estático último total para cada tramo Para carga uniforme, el momento estático de diseño total Mo para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático: Mo =

wu 2 2n 8

· ·

(8.5)

Donde: wu = Es la carga última por unidad de área. 2 = Es el ancho transversal a la franja . n = Es la es la luz libre entre las caras de las columnas, capiteles, ménsulas o muros , en dirección en la cual se determinan los momentos. En la Figura 8.9 se define lo que es la cara del apoyo. En caso de que se presenten soportes con secciones transversales diferentes a la rectangular o cuadrada, se debe proceder a medir la luz libre suponiendo una sección equivalente cuadrada que tengan la misma área , (ACI 13.6.2.5).

Figura 8.9. Secciones críticas para determinar los momentos negativos de diseño

Definición de franja columna y franja central Para efectuar el diseño el sistema de losas se divide en franjas de diseño compuestas por una franja de columna mas dos medias franjas centrales, como se muestra en la Figura 8.10. 2

2  2 /2  2 /4

2

2

 2 /2

 2 /2

 2 /2

 2 /4

 2 /4

 1/4

 2 /2

 2 /2  1 /4

 1 /4

1

2

≤

1

1

2

Figura 8.10. Definición de las franjas de diseño


303

>

1


Capítulo8

Distribución de M o en momentos positivos y negativos en cada tramo En el método de diseño directo el momento estático total, M o es dividido de acuerdo a las reglas del artículo 13.6.3 del código ACI 318-05.

Tramos interiores El 65 % del momento estático total, Mo es asignado a la región de momento negativo, y 35 % a las regiones de momento positivos , ver Figura 8.11 (ACI 13.6.3.2).

1

1

Mo

Mo

0 a 0.65M o

0.65 a 0.75M

0.65M o 0.35M o

o

0.35 a 0.63M o

Figura 8.11. Asignación del Mo a las regiones de momentos positivos y negativos

Tramos exteriores La distribución del momento estático último total , Mo de un tramo exterior en regiones positivas y negativas están dadas en la Tabla 8.2 (ACI 13.6.3.3). Tabla 8.2. Distribución del momento estát ico último total, Mo para un tramo exterior Losa sin vigas entre los apoyos interiores Borde exterior no restringido Interior Momento negativo último Centro Momento positivo último Exterior Momento negativo último

Losa con vigas entre

0.75

todos los apoyos 0.70

Sin viga de Con viga de borde

0.70

borde

0.70

0.63

0.57

0.52

0.50

0.00

0.16

0.26

0.30

Borde exterior totalmente restringido 0.65

0.35

0.65

Debe interpolarse linealmente entre los valores dados

Distribución de momentos a las franjas de columna y franjas centrales en la dirección transversal El artículo 13.6.4.1 del código ACI 318-05 define las fracciones de momentos positivo y negativo que se debe asignar a las franjas de columna. La cantidad remanente de momento positivo y negativo es asignada a las medias franjas centrales adyacentes.

El porcentaje de momento negativo interior a ser resistido por la franja de columna puede determinarse a partir de la Tabla 8.3. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

304


Capítulo8

Tabla 8.3. Porcentaje de momento negativo último de un apoyo interior a ser resistido por la franja de columna 0.5 1.0 2.0 2 /1 αf 1 2 /1 = 0 75 75 75 αf 1 2 /1 ≥ 1,0 90 75 45 En losas planas , αf 2 /1 se toma igual a cero, debido a que Debe interpolarse linealmente entre los valores dados

αf = 0 cuando no existen vigas .

El porcentaje de momento negativo exterior a ser resistido por la franja de columna puede determinarse a partir de la Tabla 8.4. Tabla 8.4. Porcentaje de momento negativo último de un apoyo exterior a ser resistido por la franja de columna 0.5 1.0 2.0 2 /1 αf 1 2 /1 = 0 βt = 0 100 100 100 βt ≥ 2,5 75 75 75 αf 1 2 /1 ≥ 1 βt = 0 100 100 100 βt ≥ 2,5 90 75 45 Debe interpolarse linealmente entre los valores dados En un borde exterior la división del momento negativo exterior en la franja extendida perpendicular al borde depende de la rigidez relativa torsional de la viga de borde, β t , la cual se calcula a través de: Ecb · C βt = (ACIec.13-6) (8.6) 2 Ecs Is

·

Donde:

·

Ecb = Módulo de elasticidad del hormigón de la viga , en kg/cm 22 . Ecs = Módulo de elasticidad del hormigón de la losa , en kg/cm . C = Constante de la sección transversal para definir propiedades a la torsión de losas y vigas . Is = Momento de inercia de la sección bruta de una losa con respecto al eje que pasa por el centroide definido para el cálculo de αt y βt , en cm 4 . c1

c1

c1

b w+2 h

w

c1

≤b +8 h w

h w ≤ 4h

h

h

hw

hw

b w+2 h

w

h

bw

bw

≤b +8 h w

c1

hw

c1

Figura 8.12. Elementos torsionales La sección transversal de la viga esta definida en el artículo 13.7.5.1 del código ACI 31805 y en la Figura 8.12. Las condiciones (a), (b) y (c) de la Figura 8.12 estan referidas a al c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

305


Capítulo8

articulo13.7.5.1 (a), (b) y (c) del código ACI 318-05. En caso de no existir vigas de borde, β t puede tomarse igual a cero. El termino C referido como constante torsional de una viga de borde y esta definido por: C=

  −  ·  1

0,63

x y

x3 y (ACI ec. 13-5) 3

(8.7)

Donde: x = Es el lado corto del rectángulo. y = Es el lado largo del rectángulo.

subdivisión La Figura 8.13. de la sección transversal de los elementos torsionales se muestran en la y1

y2

x1

x2 y1

y2

x2

x1

Figura 8.13. División de los elementos de borde para el cálculo de C

El porcentaje de momento positivo a ser resistido por la franja de columna puede determinarse a partir de la Tabla 8.5. Tabla 8.5. Porcentaje de momento positi vo último a ser resistido por la franja de columna

0.5 1.0 2.0 2 /1 αf 1 2 /1 = 0 60 60 60 αf 1 2 /1 1,0 90 75 45

≥

Debe interpolarse linealmente entre los valores dados

Momentos últimos en las vigas La cantidad de momento último de la franja de columna a ser resistido por la viga varía ≥ 1,0 el

linealmente entre 0 y 85 % a medida que αf 1 2 /1 varía entre 0 y 1,0. Cuando αf 1 2 /1 85 % del momento total de la franja de columna debe ser resistido por la viga .

Momentos últimos en las franjas centrales La fracción de los momentos últimos que no se asignan a las franjas de columna debe ser resistida por las dos semifranjas que forman parte de la franja de diseño .

8.3.5 Ejercicios resueltos

Ejemplo 8.1 En la Figura 8.14 se muestra una parte de un losa de placa plana. No tiene vigas de borde. El piso soporta su peso propio mas el peso de acabados de 188 kg/m 2 y una carga viva de 250 kg/m 2 , la altura del piso es 2,65 m. La resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 . c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

306


Capítulo8

Solución 8.1 Objetivo Seleccionar el espesor de losa, calcular los momentos de diseño y seleccionar el refuerzo. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Vigas exteriores: 35 × 70 cm Hormigón: peso normal, Vigas interiores: 35 × 50 cm Vigas: f c = 250 Kg/cm 2 Columnas : 45 × 45 cm Acero:fy = 4200 Kg/cm 2 Altura piso: 3,60 m Recubrimiento acero: Vigas:r = 3,0 cm 

Cargas Carga muerta : LD = 188 kg/m 2 Carga viva: LL = 250 kg/m 2

Paneles de losa:r = 2,5 cm


Resultados Paso 1: Dividir la losa en franjas de diseño n

=

6.05 m

n

=

6.05 m

n

=

6.05 m

 2 =2.725m

n

=

4.55m

 2 =5m n

n

2

=

3.475 m

2

=

6.5 m

Figura 8.15. División de la losa en franjas de dis eño, ejemplo 8.1 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

307

=

=

4.55m

4.55m


Capítulo8

Paso 2: Establecer la altura mínima de la losa , h l <2 s

diseñar como

−−−−−−−−→ Losa en 2 direcciones 6,5 = 1,3 < 2 −→ Cumple !! 5 Diseñar como losa en dos direcciones . Para el panel de losa 1-2-C-D (esquina), se tiene: Calcular relación de rigidez a flexión entre viga y losa , α f (a) Panel con viga de borde exterior (N-S) ∴

bfranja =

6,5 0,45 + = 3,475 m 2 2

bfranja h3 347,5 153 = = 97734 ,38 cm 4 12 12

·

Is =

×

Con referencia a la Figura 8.16(a),se tiene: 2

= 3.475

2

m

= 6.5

m

Is

(7 0- 15 ) ≤ 4 ×15 Is

Ib Ib

35+( 50 -1 5)

≤

35 +8

×15

Figura 8.16. Secciones efectivas de viga y losa, ejemplo 8.1

y¯ =



 ·

Ai yi (35 = At

× 70) × 35 + (55 × 15) × 62,5 = 41,93 cm 35 × 70 + 55 × 15



bi h3i + (bi hi ) (yi y¯)2 12 35 703 55 153 Ib = + (35 70) (35 41,93)2 + + (55 12 12 4 Ib = 1482624 ,44 cm Ib =

×

·

· · −

×

×

αf, 1 =

−

×

Ecb Ib Ecs

· = 1482624,48 = 15,17 · Is 97734,38

(b) Panel con viga interior (N-S)

bfranja = 6,5 m


308

2

× 15) × (62,5 − 41,93)


Capítulo8



3

bfranja h 650 15 = = 182812 ,5 cm 4 12 12

·

Is =

y¯ =

3

 ·

Ai yi (35 = At

×

× 35) × 17,5 + (105 × 15) × 42,5 = 31,56 cm 35 × 35 + 105 × 15



bi h3i + (bi hi ) (yi y¯)2 12 35 353 105 153 Ib = + (35 35) (17,5 31,56)2 + + (105 12 ,4 cm 4 12 I = 585247 Ib =

·

·

· −

×

b

×

×

×

−

αf, 2 =

Ecb Ib 585247,4 = = 3,20 Ecs Is 182812,5

15)

×

· ·

(c) Panel con viga de borde exterior (E-O) 5 0,45 + = 2,725 m 2 2

bfranja =

Is =

bfranja h3 272,5 153 = = 76640 ,63 cm 4 12 12

·

×

Ib = 1482624 ,44 cm 4

αf, 3 =

Ecb Ib 1482624,48 = = 19,35 Ecs Is 76640,63

· ·

(d) Panel con viga interior (E-O) bfranja = 5,0 m

Is =

bfranja h3 500 153 = = 140625 cm 4 12 12

·

×

Ib = 585247,4 cm 4

αf, 4 =

Ecb Ib 585247,4 = = 4,16 Ecs Is 140625

· ·

n

αf m =



αf,i

i=1

n


=

15,17 + 3,20 + 19,35 + 4,16 = 10,47 4

309

41,93)2

(42,5

×

−


Capítulo8

Para αf m = 10,47 > 2,0, el espesor mínimo h no debe ser menor que:

 

∴

hmin

≥

hmin

≥

 ≥

fy 14000 36 + 9β 4200 625 0,8 + 14000 6,5 36 + 5 n 0,8 +

 

9 cm (ACI ec. 9-13)

= 14,41 cm

Usar altura de losa h = 15 cm.

Paso 3: Análisis de cargas gravitacionales wD = w D,losa + wD,adicional = 2400

× 0,15 + 188 = 548 kg/m

2

wL = w L,partición provisional + wL,ocupacional = 75 + 250 = 325 kg/m 2

Las cargas lineales del alma de la vigas por ancho de panel de losa son: Carga muerta Franja de losa 1 (E-O): 2400

wD,alma1 =

× 0,35 × 0,55= 169 2,725

,5 kg/m 2

Franja de losa 2 (E-O): wD,alma2 =

2400

× 0,35 × 0,35 = 58,8 kg/m

2

5

Franja de losa A (N-S): wD,alma1 =

2400

× 0,35 × 0,55= 132 3,475

,95 kg/m 2

Franja de losa B (N-S): wD,alma2 =

2400

× 0,35 × 0,35 = 45,2 kg/m

2

6,5

Paso 4: Establecer la carga última Franja de losa 1 (E-O): wu = 1,2 WD + 1,6 wL = 1,2(548 + 169,5) + 1,6(325) = 1381 kg/m 2

·

·

Franja de losa 2 (E-O): wu = 1,2 WD + 1,6 wL = 1,2(548 + 58,8) + 1,6(325) = 1248 kg/m 2

·

·

Franja de losa A (N-S): wu = 1,2 WD + 1,6 wL = 1,2(548 + 132,95) + 1,6(325) = 1337 kg/m 2

·

·

Franja de losa B (N-S): wu = 1,2 WD + 1,6 wL = 1,2(548 + 45,2) + 1,6(325) = 1232 kg/m 2

·

·


310


Capítulo8

Paso 5: Verificar si se puede utilizar el método de diseño directo ? a ) Deben existir un mínimo de tres tramos continuos en cada dirección, (ACI 13.6.1.1). ∴ Cumple !. b ) Los paneles de las losas deben ser rectangulares, con una relación entre la luz mayor y menor no mayor de 2 , (ACI 13.6.1.2). l 6,5 = = 1,3 < 2 s 5,0

−→

Cumple !

c ) Las longitudes de luces sucesivas no deben diferir de la luz mayor

en más de 1/3,

(ACI 13.6.1.3). s 5,0 = = 1 > 0,667 5,0 s

−→ Cumple !

d ) Las columnas no pueden estar desalineadas más del 10 %, (ACI 13.6.1.4). ∴ Cumple ! e ) La carga viva no debe exceder de 2 veces la carga muerta. Todas las cargas deben ser únicamente gravitacionales y estar uniformemente distribuidas en todo el tablero, (ACI 13.6.1.5). wL 325 = = 0,45 < 2 718 wD

−→ Cumple !

f ) Para tableros de losas con vigas entre los apoyos en todos los lados, verificar que cumplan el límite de rigides relativa: 2

1

0,2

2 2 1

≤ ααff ··  ≤ 5,0 2

Para la franja de losa 1: 2

0,2

≤ 19,35(2,725) 3,2(6,5)

= 1,06

2

≤ 5,0 −→ Cumple !!

Para la franja de losa 2: 2

0,2

4,16(5) ≤ 3,2(6,5)

= 0,78

2

≤ 5,0 −→

Cumple !!

Para la franja de losa A: 2

0,2

≤ 15,17(3,475) 4,16(4,55)

= 2,13

2

≤ 5,0 −→ Cumple !!

Para la franja de losa B: 2

0,2 ∴ Está

3,2(6,5) ≤ 4,16(4,55)

2

= 1,56

≤ 5,0 −→

permitido usar el método de diseño directo .


311

Cumple !!


Capítulo8

Paso 6: Calcular los momentos en las franjas de losas Para el caso de la franja de losa A , se tiene: wu 2 2n 1337 = 8

· ·

Mo =

2

× 3,48 × 4,55= 12023 8

kg m

·

M (exterior) = −

−0,16 × 12023 = −1924 kg · m × 12023 = +6853 kg · m (interior) = −0,70 × 12023 = −8416 kg · m

M + (centro) = 0,55 M

−

Tramo exterior 1A-2A: C=

  −  ·   −  1

0,63

x3 y = 3

x y

1

0,63

35 70

C = 736529 cm 4

Is =

  − 

35 3 70 + 3

·

1

0,63

2 h3 6,50(15)3 = = 182812 ,5 cm 4 12 12

·

βt =

C 736529 = = 2,01 2 Is 2 182812,5

·

×

2 6,5 = 15,17 = 4,16 1 5,0 2 6,5 Calcular 1 = 5,0 = 1,3

Calcular α f 1

M (franja columna) = 0,73 −

M (1/2 franja central) = 0,27 −

× −1924 = −1405 kg · m × −1924 = −519 kg · m

Para el momento positivo central , se tiene:  6,5 Calcular α f 1 2 = 15,17 = 19,721 Calcular

1 5,0 2 6,5 = = 1,3 1 5

M + (franja columna) = 0,66 M (1/2 franja central) = 0,34 +

× 6853 = +4523 kg · m × 6853 = +2330 kg · m

Para el momento negativo interior , se tiene:  6,5 Calcular α f 1 2 = 15,17 = 19,721 1

5,0

Calcular 2 = 6,5 = 1,3 1

5,0




312

× −8416 = −5555 kg · m × −8416 = −2861 kg · m

15 35

15 3 35 3

·




Capítulo8

Las Tablas 8.6a, 8.6b, 8.6c y 8.6d resumen el cálculo de momentos de las franjas de diseño en dirección E-O y N-S. Tabla 8.6a. Cálculo de momentos en la franja de losa 1 del ejemplo 8.1 Franja de losa 1 T Momento está tico r a Mo Ubicación ℓ2 ℓn m o

[m]

A1

Momento To ta l % [ kg - m ]

[k g- m ]

[m]

Momentos en franja columna Momento en 1 franja central To t a l Vi ga Los a % [k g - m ] % [ k g- m ] % [ k g- m ] % [ kg - m ]

Exterior

2.73 6.05

17218

-16

-2755

82

-2259

85

-1920

15

-339

18

-496

Centro

2.73 6.05

17218

57

9814

82

8047

85

6840

15

1207

18

1767

B1

Interior

2.73 6.05

17218

-70

-12053

82

-9883

85

-8401

15

-1482

18

B1

Interior

2.73 6.05

17218

-65

-11192

82

-9177

85

-7800

15

-1377

18

-2015

C1

Centro Interior

2.73 6.05 2.73 6.05

17218 17218

35 -65

6026 -11192

82 82

4941 -9177

85 85

4200 -7800

15 15

741 -1377

18 18

1085 -2015

C1

Interior

2.73 6.05

17218

-70

-12053

82

-9883

Centro

2.73 6.05

17218

57

9814

82

8047

85

6840

15

1207

18

1767

2.73 6.05

17218

-16

-2755

82

-2259

85

-1920

15

-339

18

-496

D1

Exterior

En vigas: Si

α f1

2

1

→ > =

1

%

85, sino × %=85

α f1

85

-8401

15

-1482

18

-2170

-2170

2

(ACI 13.6.5.2)

1

Tabla 8.6b. Cálculo de momentos en la franja de losa 2 del ejempl o 8.1 Franja de losa 2 T Momento estático r a Ubicación ℓ2 Mo ℓn m o

A2

[m]

[m]

[kg -m]

Momento

Momentos en franja columna

Total Total % % [k g - m ] [kg -m]

Viga % [kg -m]

Momento en 2½ franjas central L os a % [k g - m ] % [kg -m]

Exterior

5

6.05

28550

-16

-4568

82

-3746

85

-3184

15

-562

18

-822

Centro

5

6.05

28550

57

16274

82

13345

85

11343

15

2002

18

2929

B2

Interior

5

6.05

28550

-70

-19985

82

-16388

85

-13930

15

-2458

18

B2

Interior

5

6.05

28550

-65

-18558

82

-15218

85

-12935

15

-2283

18

Centro

5

6.05

28550

35

9993

82

8194

C2

Interior

5

6.05

28550

-65

-18558

82

-15218

85

-12935

15

-2283

18

C2

Interior

5

6.05

28550

-70

-19985

82

-16388

85

-13930

15

-2458

18

Centro

5

6.05

28550

57

16274

82

13345

85

11343

15

2002

18

2929

6.05

28550

-16

-4568

82

-3746

85

-3184

15

-562

18

-822

D2

Exterior

En vigas: Si

5 α

f1

2 1

1

→ > =

%

85, sino×%=85

α

f1

85

6965

15

1229

18

-3597 -3340 1799 -3340 -3597

2

(ACI 13.6.5.2)

1

Tabla 8.6c. Cálculo de momentos en la franja de losa A del ejempl o 8.1 Franja de losa A T Momento estático r a Mo Ubicación ℓ2 ℓn m [m] [m] [ k g - m ] o 1A

Momento


Total % [k g - m ]

Total % [kg -m]

Viga % [kg -m]

Momento en 1 franja central L os a % [k g - m ] % [kg -m]

Exterior

3.48 4.55

12023

-16

-1924

73

-1405

85

-1194

15

-211

Centro

3.48 4.55

12023

57

6853

66

4523

85

3845

15

678

2A

Interior

3.48 4.55

12023

-70

-8416

66

-5555

85

-4722

15

-833

34

2A

Interior

3.48 4.55

12023

-65

-7815

66

-5158

85

-4384

15

-774

34

Centro

3.48 4.55

12023

35

4208

66

2777

3A

Interior

3.48 4.55

12023

-65

-7815

66

-5158

85

-4384

15

-774

34

3A

Interior

3.48 4.55

12023

-70

-8416

66

-5555

85

-4722

15

-833

34

Centro

3.48 4.55

12023

57

6853

66

4523

85

3845

15

678

3.48 4.55

12023

-16

-1924

73

-1405

85

-1194

15

-211

4A

Exterior

En vigas: Si

α

2 f1

1

1

→ > =

%

85, sino×%=85

α


2 f1

85

(ACI 13.6.5.2)

1

313

2360

15

417

27 34

34

34 27

-519 2330 -2861 -2657 1431 -2657 -2861 2330 -519


Capítulo8

Tabla 8.6d. Cálculo de momentos en la franja de losa B del ejempl o 8.1 Franja de losa B T Momento estático r a Mo Ubicación ℓ2 ℓn m [m] [m] [kg-m] o 1B

Momento


Total % [kg-m]

Total Viga Losa % [kg-m] % [kg-m] % [kg-m]

Momento en 2 ½ franjas central % [kg-m]

Exterior

6.5 4 .55

20723

-16

-3316

73

-2421

85

-2058

15

-363

27

-895

Centro

6.5 4 .55

20723

57

11812

66

7796

85

6627

15

1169

34

4016

2B

Interior

6.5

4.55

20723

-70

-14506

66

-9574

85

-8138

15

-1436

34

2B

Interior

6.5

4.55

20723

-65

-13470

66

-8890

85

-7557

15

-1334

34

6.5 4 .55

20723

35

7253

Centro

66

4787

85

4069

15

718

34

-4932 -4580 2466

3B

Interior

6.5

4.55

20723

-65

-13470

66

-8890

85

-7557

15

-1334

34

3B

Interior

6.5

4.55

20723

-70

-14506

66

-9574

85

-8138

15

-1436

34

6.5 4 .55

20723

57

11812

66

7796

85

6627

15

1169

34

4016

6.5 4 .55

20723

-16

-3316

73

-2421

85

-2058

15

-363

27

-895

Centro 4B

Interior

En vigas: Si

α

f1

2 1

1

→ > =

%

85, sino × %=85

α

f1

-4580 -4932

2

(ACI 13.6.5.2)

1

Paso 7: Realizar el diseño del refuerzo a flexión para las franjas de columna y centrales As,min = 0,0018 b h = 0,0018

· ·

× 100 × 15 = 2 ,7 cm

2

∴ Usar barras φ = 8c/18 cm . Notar que según el artículo 7.12.2.2 el espaciamiento máximo

debe ser menor a 5 × h = 5 × 15 = 75 y a 45 cm , por lo que también se cumple la limitación del espaciamiento máximo. Para el caso de: la franja central 1 (E-O), tramo interior B1-B2 Mu = −

−3969 kg · m

Definir el ancho de franja columna 1 , b : b = 250 cm

− r − φ long 2 1,6 d = 15 − 2,5 − = 11,7 cm 2 d=h

Mu = −



As =

0,85 fc b fy

· ·

0,85 =

Mu = b

 

250

×4200 × a=

d

−

d2

−3969 = −1587 kg · m/m 2,5

2 · Mu − φ · 0,85 · fc · b 

100

 2 1587(100)

11,7

 −

11,72

− 0,9 · 0,85 · · 250 · 100

As fy 3,7 4200 = = 0,731 cm 0,85 250 100 0,85 fc b

· · ·




·

314

×

·

2



= 3,7 cm


Capítulo8 a 0,731 = = 0,86 cm β1 0,85

c=

s = 0,003

− d

c

= 0,003



11,7 0,86 0,86

c s = 0,0378 > t = 0,005 cumple !

Como s > t

  −→ 

−



= 0,0378


s = 0,0378 > 0,004 que es el mínimo para elementos solicitados a flexión ∴


3,76 cm 2 .

smin

  ≥ 


·

·

smax

· ≤ 

3 h= 3

× 15 = 45 cm

45 cm (gobierna)

fs =

2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3

El recubrimiento efectivo es: c c = r = 2,5 cm smax,fisuracion

 ≤ 

2800 2800 2,5 cc = 38 2,5(2,5) = 31 ,75 cm fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30,0 cm (gobierna) fs 2800 38

−

·

−


Para φ10c/21 cm −→ 2,5 < sprovisto = 21 < 30 cm −→ Cumple !! ∴

Usar barras φ = 10c/21 cm.

Las Tablas 8.7b, las 8.7b, 8.7c,8.7d, 8.7e, 8.7f , 8.7g y 8.7h resumen el cálculo del refuerzo de acero para todas franjas de columna y centrales.


315


Capítulo8

Tabla 8.7a. Cálculo de refuerzo en la franja columna 1 de E-O del ejemp lo 8.1 Franja columna 1 (E-O) T Ancho r a Ubicación franja b m [kg-m] [m] o A1 Exterior -339 1.475 Centro 1207 1.475 B1 Interior -1482 1.475 B1 Interior -1377 1.475 Centro 741 1.475 C1 Interior -1377 1.475 C1 Interior -1482 1.475 Centro 1207 1.475

Canto d [cm] 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7

D1

11.7

Exterior

-339

1.475

Acero Espac. Momento MU /b As,req As,min Smin Smáx 2 2 [kg-m/m] [cm ] [cm ] [cm] [cm] -230 0.52 2.7 2.5 30  8 818 1.88 2.7 2.5 30  8 -1005 2.32 2.7 2.5 30  8 -934 2.15 2.7 2.5 30  8 502 1.15 2.7 2.5 30  8 -934 2.15 2.7 2.5 30  8 -1005 2.32 2.7 2.5 30  8 818 1.88 2.7 2.5 30  8 -230

0.52

2.7

2.5

Barras Area de acero As,prov db c/sprov [cm2] c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78

30  8 c/ 18

2.78

Tabla 8.7b. Cálculo de refuerzo en la franja centr al 1 de E-O del ejemplo 8.1 Franja central 1 (E-O) Momento último franja [kg-m] [kg-m] [kg-m] A1 - A2 Exterior -496 -411 -907 Centro 1767 1464.5 3231.5 B1 - B2 Interior -2170 -1799 -3 968.5 B1 - B2 Interior -2015 -1670 -3685 Centro 1085 899.5 19 84.5 C1 - C2 Interior -2015 -1670 -3685 C1 - C2 Interior -2170 -1799 -3 968.5 Centro 1767 1464.5 3231.5 D1 - D2 Exterior -496 -411 -907 Tramo Ubicación

½franja ½ franja

Ancho Canto Momento Acero Espac. MU /b As,req As,min Smin Smáx b d

Barras Area de acero As,prov [m] [cm] [kg-m/m] [cm ] [cm ] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] 2.5 11.7 -363 0.83 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78 2.5 11.7 1293 3 2.7 2.5 30  8 c/ 16 3.13 2.5 11.7 -1587 3.7 2.7 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2.5 11.7 -1474 3.43 2.7 2.5 30  10 c/ 22 3.59 2.5 11.7 794 1.82 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78 2.5 11.7 -1474 3.43 2.7 2.5 30  10 c/ 22 3.59 2.5 11.7 -1587 3.7 2.7 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2.5 11.7 1293 3 2.7 2.5 30  8 c/ 16 3.13 2.5 11.7 -363 0.83 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78 2

2

Tabla 8.7c. Cálculo de refuerzo en la franja columna 2 de E-O del ejemp lo 8.1 Franja columna 2 (E-O) T r a m o

A2 B2 B2 C2 C2 D2

Ubicación franja [kg-m] Exterior -562 Centro 2002 Interior -2458 Interior -2283 Centro 1229 Interior -2283 Interior -2458 Centro 2002 Exterior -562

Ancho b [m] 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5

Canto d [cm] 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7

Momento Acero Espac. MU /b As,re As,min Smin Smáx [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] -225 0.51 2.7 2.5 30  8 801 1.84 2.7 2.5 30  8 -983 2.27 2.7 2.5 30  8 -913 2.1 2.7 2.5 30  8 492 1.12 2.7 2.5 30  8 -913 2.1 2.7 2.5 30  8 -983 2.27 2.7 2.5 30  8 801 1.84 2.7 2.5 30  8 -225 0.51 2.7 2.5 30  8

Barras Area de acero As, rov db c/sprov [cm2] c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78

Tabla 8.7d. Cálculo de refuerzo en la franja centr al 2 de E-O del ejemplo 8.1 Franja central 2 (E-O) Tramo Ubicación

Momento último Ancho Canto Momento Acero Espac. Barras Area MU /b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov b d franja [kg-m] [kg-m] [kg-m] [m] [cm] [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] -411 -411 -822 2.4 11.7 -343 0.78 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78 1464.5 1464.5 2929 2.4 11.7 1220 2.83 2.7 2.5 30  8 c/ 17 2.94 ½franja ½ franja

A2 - A3

Exterior Centro

B2 - B3 B2 - B3

Interior -1799 Interior -1670 Centro 899.5 Interior -1670 Interior -1799 Centro 1464.5 Exterior -411

C2 - C3 C2 - C3 D2 - D3

-1799 -1670 899.5 -1670 -1799 1464.5 -411

-3597 -3340 1799 -3340 -3597 2929 -822

2.4 11.7 2.4 11.7 2.4 11.7 2.4 11.7 2.4 11.7 2.4 11.7 2.4 11.7


-1499 -1392 750 -1392 -1499 1220 -343

316

3.49 2.7 2.5 30  10 c/ 22 3.59 3.24 2.7 2.5 30  10 c/ 24 3.29 1.72 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78 3.24 2.7 2.5 30  10 c/ 24 3.29 3.49 2.7 2.5 30  10 c/ 22 3.59 2.83 2.7 2.5 30  8 c/ 17 2.94 0.78 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78


Capítulo8

Tabla 8.7e. Cálculo de refuerzo en la franja columna A de N-S del ejemplo 8.1 Franja columna A (N-S) T Ancho r a Ubicación franja b m [kg-m] [m] o 1A Exterior -211 1.85 Centro 678 1.85 2A Interior -833 1.85 2A Interior -774 1.85 Centro 417 1.85 3A Interior -774 1.85 3A Interior -833 1.85 Centro 678 1.85 4A Exterior -211 1.85

Canto d [cm] 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7

Acero Espac. Momento MU /b As,req As,min Smin Smáx 2 2 [kg-m/m] [cm ] [cm ] [cm] [cm] -114 0.26 2.7 2.5 30  8 366 0.83 2.7 2.5 30  8 -450 1.03 2.7 2.5 30  8 -418 0.95 2.7 2.5 30  8 225 0.51 2.7 2.5 30  8 -418 0.95 2.7 2.5 30  8 -450 1.03 2.7 2.5 30  8 366 0.83 2.7 2.5 30  8 -114 0.26 2.7 2.5 30  8

Barras Area de acero As,prov db c/sprov [cm2] c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78

Tabla 8.7f. Cálculo de refuerzo en la franja centr al A de N-S del ejemplo 8.1 Franja central A (N-S) Momento último A n c h o C a n to M o m e n t o A c e r o E sp ac. B ar ra s A rea MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov b d Tramo Ubicación½franja ½ franja franja [ kg - m ] [ kg - m] [ kg - m ] [ m] [cm] [k g - m/ m ] 2] [ c m2] [ cm ] [c m ] db c/sprov [cm2] [cm 1A - 1B Exterior -519 -447.5 -966.5 3.25 11.7 -297 0.68 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78 Centro 2330 2008 4338 3.25 11.7 1335 3.1 2.7 2.5 30  8 c/ 16 3.13 2A - 2B Interior -2861 -2466 -5327 3.25 11.7 -1639 3.83 2.7 2.5 30  10 c/ 20 3.95 2A - 2B Interior -2657 -2290 -4947 3.25 11.7 -1522 3.55 2.7 2.5 30  10 c/ 22 3.59 Centro 1431 1233 2664 3.25 11.7 820 1.88 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78 3A - 3B Interior -2657 -2290 -4947 3.25 11.7 -1522 3.55 2.7 2.5 30  10 c/ 22 3.59 3A - 3B Interior -2861 -2466 -5327 3.25 11.7 -1639 3.83 2.7 2.5 30  10 c/ 20 3.95 Centro 2330 2008 4338 3.25 11.7 1335 3.1 2.7 2.5 30  8 c/ 16 3.13 4A - 4B Exterior -519 -447.5 -966.5 3.25 11.7 -297 0.68 2.7 2.5 30  8 c/ 18 2.78

Tabla 8.7g. Cálculo de refuerzo en la franja columna B de N-S del ejemplo 8.1 Franja columna B (N-S) T A nc h o Ca n t o M o me n to r a m o

1B 2B 2B 3B 3B 4B

A cero

E s pa c .

Barras

A rea

/b

Ubicación [fkr g an j a] -m Exterior Centro Interior Interior Centro Interior Interior Centro Exterior

-363 1169 -1436 -1334 718 -1334 -1436 1169 -363

b] [m 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25

[ cdm ] 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7

U s,req s,min Smin Smáx [M k g - m / mA ] 2] A [cm [ c m2] [c m ] [c m ] -112 0.25 2.7 2.5 30  8 360 0.82 2.7 2.5 30  8 -442 1.01 2.7 2.5 30  8 -410 0.93 2.7 2.5 30  8 221 0.5 2.7 2.5 30  8 -410 0.93 2.7 2.5 30  8 -442 1.01 2.7 2.5 30  8 360 0.82 2.7 2.5 30  8 -112 0.25 2.7 2.5 30  8

acero As,prov 2 dde b c/sprov [cm ] c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78 c/ 18 2.78

Tabla 8.7h. Cálculo de refuerzo en la franja centr al B de N-S del ejemplo 8.1 Franja central B (N-S) Momento último A n c h o C a n t o M o m e n t o A cero E spa c. MU/b As,req As,min Smin Smáx b d Tramo Ubicación ½franja ½franja franja 2 2 [ k g - m ] [ k g - m ] [ k g - m ] [ m ] [ c m ] [ k g - m / m[cm ] ] [ c m ] [c m] [c m ] 1B - 1C Exterior -447.5 - 447.5 -895 3.25 11.7 -275 0.63 2.7 2.5 30  8 Centro 2008 2008 4016 3.25 11.7 1236 2.86 2.7 2.5 30  8 2B - 2C Interior -2466 -2466 -4932 3.25 11.7 -1518 3.54 2.7 2.5 30  10 2B - 2C 3B - 3C 3B - 3C 4B - 4C

Interior -2290 Centro 1233 Interior -2290 Interior -2466 Centro 2008 Exterior -447.5

-2290 -4580 1233 2466 -2290 -4580 -2466 -4932 2008 4016 - 447.5 -895

3.25 3.25 3.25 3.25 3.25 3.25


11.7 11.7 11.7 11.7 11.7 11.7

-1409 759 -1409 -1518 1236 -275

317

3.28 1.74 3.28 3.54 2.86 0.63

2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7

2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5

30 30 30 30 30 30

 10  8  10  10  8  8

Barra s A rea de acero As,prov db c/sprov [cm2] c/ 18 2.78 c/ 17 2.94 c/ 22 3.59 c/ 24 c/ 18 c/ 24 c/ 22 c/ 17 c/ 18

3.29 2.78 3.29 3.59 2.94 2.78


Capítulo8

Paso 8: Verificación de la resistencia al corte (a) Vigas

− r − φe − φ long 2 1,6 d = 50 − 3 − 0,8 − = 45,4 cm 2 d=h

Vigas (N-S) wu 2

Vu =

· 2

1

1

 

1 wu (1 )2 4 1 Vu = 1340(5)2 = 8375 kg 4 Vu

·





φVc = φ0,53 fc b d φVc = 0,75

· · √

× 0,53

250

× 35 × 45,4 = 9980 kg

Verificar el límite φV c > Vu : 9980 > 8375 kg

−→ Cumple !!

Vigas (E-O) wu 1  1 1 + (2 1 ) 2 2 2 2 1 wu 1 Vu = (1 + 22 21 ) 2 4 wu 1 Vu = (22 1 ) 4 1340 5 (2 6,5 5) = 13400 kg Vu = 4 Vu =

·

·

·

×



− −

− ×



−



φVc = φ0,53 fc b d φVc = 0,75

· · √ × 0,53 250 × 35 × 45,4 = 9980 kg

Verificar el límite φV c > Vu : 9980 > 13400 kg ∴

−→ No cumple !!

Verificar los estribos en la viga, de modo que: φVs =

Vu

− φVc φ

13400 9980 = 6700 kg Vs = 0,75

−


318


Capítulo8

(b) Losa Vu =

wu 1 1340 = 2 2

·





× 5= 3350

φVc = φ0,53 fc b d = 0,75

· ·

kg

√ × 0,53 250 × 100 × 11,3 = 7100 kg


−→ Cumple !!

La losa no requiere refuerzo por cortante .

, de modo que las extensiones y puntos de corte satisfagan Paso 9: Realizar detalle armado la Figurael13.3.8 del de código ACI 318-05

Figura 8.17. Detalle de armado de losa sobre vigas direc ción E-O, ejemplo 8.1

Figura 8.18. Detalle de armado de losa sobre vigas direc ción N-S, ejemplo 8.1 


319


Capítulo8

Ejemplo 8.2 En la Figura 8.19 se muestra una parte de un losa de placa plana. No tiene vigas de borde. El piso soporta su peso propio mas el peso de acabados de 188 kg/m 2 y una carga viva de 250 kg/m 2 , la altura del piso es 2,65 m. La resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .

Solución 8.2 Objetivo Seleccionar el espesor de losa, calcular los momentos de diseño y seleccionar el refuerzo de losa. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Altura pisos: 2,65 m Hormigón: peso normal, Carga muerta : LD = 188 kg/m 2 Columnas esquina: 30 × 30 cm Vigas: f c = 250 Kg/cm 2 Carga viva: LL = 250 kg/m 2 Columnas interiores: 50 × 30 cm Acero:fy = 4200 Kg/cm 2 Carga muros: LD m = 485 kg/m Columnas borde: 50 × 30 cm Recubrimiento acero: r = 2,0 cm 


Resultados Paso 1: Dividir la losa en franjas de diseño En la Figura 8.20 (a) y (b) se muestra la franja de diseño de losa de O-E y la franja de diseño de losa de N-S. c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

320

Hormigón Armado U.M.S.S.-Ing.Civil n

=

4.95 m

Capítulo8 n

=

5.5 m

n

=

4.95 m

2

=

2

=

2.8 m

n

=

n

=

n

=

4.4 m

4.8 m

2

=

2.93 m

2

=

4.3 m

4.3 m

5.68 m

Figura 8.20. División de la losa en franjas de dis eño, ejemplo 8.2

Paso 2: Establecer la altura mínima de la losa , h l <2 s

diseñar como

−−−−−−−−→ Losa en 2 direcciones 6,0 = 1,25 < 2 −→ Cumple !! 4,8 Diseñar como losa en dos direcciones. Determinar el espesor necesario para el control de las deflexiones , utilizando la Tabla 8.1 se tiene: Panel 1-2-A-B (esquina): n (máx) = 535 − 30/2 − 50/2 = 495 cm ∴

h(mín) =

n 495 = = 16,5 cm 30 30

Panel 1-2-B-C (borde): n (máx) = 600 50 = 550 cm n 550 h(mín) = = = 18,3 cm 30 30

−

Panel 2-3-A-B (borde): n (máx) = 535

− 30/2 − 50/2 = 495 cm

h(mín) =

Panel 2-3-B-C (interior):

n 495 = = 16,5 cm 30 30

n (máx) = 600 50 = 550 cm n 550 = = 16,7 cm h(mín) = 30 33 ∴ Usar altura de losa h = 20 cm c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

−

321


Capítulo8

Paso 3: Análisis de cargas gravitacionales Las cargas superficiales sobre los paneles de losas son: wD = w D,losa + wD,adicional wD = 2400

× 0,2 + 188 = 668 kg/m

2

wL = 250 kg/m 2

Paso 4: Establecer la carga última wu = 1,4 wD

·

wu = 1,4(668) = 936 kg/m 2 wu = 1,2 WD + 1,6 wL

·

·

wu = 1,2(668) + 1,6(250) = 1202 kg/m 2 (gobierna)

Paso 5: Verificar si se puede utilizar el método de diseño directo ? a ) Deben existir un mínimo de tres tramos continuos en cada dirección, (ACI 13.6.1.1). ∴ Cumple !. b ) Los paneles de las losas deben ser rectangulares, con una relación entre la luz mayor y menor no mayor de 2 , (ACI 13.6.1.2). l 5,35 = = 1,11 < 2 s 4,8

−→ Cumple !

c ) Las longitudes de luces sucesivas no deben diferir de la luz mayor (ACI 13.6.1.3). s 4,95 = = 0,2 > 0,667 s 5,50

−→

en más de 1/3,

Cumple !

d ) Las columnas no pueden estar desalineadas más del 10 %, (ACI 13.6.1.4). ∴ Cumple ! e ) La carga viva no debe exceder de 2 veces la carga muerta. Todas las cargas deben ser únicamente gravitacionales y estar uniformemente distribuidas en todo el tablero, (ACI 13.6.1.5). wL 250 = = 0,38 < 2 wD 668

−→ Cumple !

f ) Para tableros de losas con vigas entre los apoyos en todos los lados, verificar que cumplan el límite de rigides relativa: 0,2

1 2

∴ ∴ Está

2 2 1

≤ ααf ··  ≤ 5,0 f

Al no existir vigas de apoyo, no es aplicable este requisito. permitido usar el método de diseño directo .


322


Capítulo8

Paso 6: Verificar la resistencia del espesor de losa al corte Para el caso de la Columna B2 , se tiene: d=h

1,6 − r − φ long = 20 − 2 − = 17,2 cm 2 2 0.44  n

0.5  n

0.56  n

0.44  n

0.56  n

0.5 n

Figura 8.21. Area y perímetro crítico de corte de las columnas B1 y B2 del ejemplo 8.2

AT = (3 + 3)(2 ,69 + 2,4) = 30 ,54; m2 d d bo = 2(a + 2 + b + 2 ) 2 2 17,2 17,2 bo = 2(50 + 2 + 30 + 2 ) = 228 ,8 cm 2 2 d d Ao = (a + 2 )(b + 2 ) 2 2 17,2 17,2 Ao = (50 + 2 )(30 + 2 ) = 3,47 m 2 2 2 Vu = w u (AT

− Ao) − 3,47) = 32568 kg

Vu = 1202(30,54

50 βc = 30 = 1,67

Establecer la constante αs para el cálculo de φVc , según el ACI 11.12.2.1(b) se tiene: αs = 40 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

−→

(columna interior)

323


Capítulo8

    · ·    √  ×   ×  ·  ×  × · · √ ×   ·√ · × × ×  −→ φ0,53 1 + 0,75

2 β

fc bo d (ACI ec. 11.33) 

0,53 1 + 2

2 1,67

250

228,8

× 17,2 = 54355 kg

αs d φ0,27 +2 fc bo d (ACI ec. 11.34) bo 40 17,2 0,75 0,27 +2 250 228,8 17,2 = 63089 kg 228,8 

φVc <

×

φ1,1 fc bo d (ACI ec. 11.35) 

0,75

1,1 250

17,2 = 51334 kg (gobierna)

228,8

51334 > 32535 kg

Cumple !!

El espesor de la losa es adecuado para controlar las deflexiones y la resistencia al corte . Para el caso de la Columna B1 , se tiene: ∴

d=h

1,6 − r − φ long = 20 − 2 − = 17,2 cm 2 2

AT = (3 + 3)(2 ,11 + 0,25) = 14,16; m2 bo = 48,6 + 67,2 + 48,6 = 164 ,4 cm Ao = 67,2

× 48,6 = 0,33 m

2

Calcular φV c en el perímetro crítico Vu = w u (AT

− Ao) + wu,muro ×  − 0,33) + (1,4 × 485 × 6,0) = 20698 kg

Vu = 1202(14 ,16

50 = 1,67 30

βc =

Establecer la constante αs para el cálculo de φVc , según el ACI 11.12.2.1(b) se tiene: αs = 30

(columna borde)

−→

Calcular φV c de la sección crítica

    · ·    √ × × ·    × · · √ ×  × · ·  × √ × × φ0,53 1 + 0,75

φ0,27

φVc <

0,75

2 β

fc bo d (ACI ec. 11.33) 

0,53 1 + 2 αs d

2 1,67

250

164,4

× 17,2 = 39056 kg

+2 f bo d (ACI ec. 11.34) c bo 30 17,2 0,27 +2 250 164,4 17,2 = 46524 kg 164,4 

×

φ1,1 fc bo d (ACI ec. 11.35) 

0,75

1,1 250


164,4

17,2 = 36885 kg (gobierna)

324


Capítulo8


−→

Cumple !!

El espesor de la losa es adecuado para controlar las deflexiones y la resistencia al corte .

Paso 7: Calcular los momentos en las franjas de losas Para el caso de la franja de losa 2 , se tiene: wu 2 2n 1202 = 8

· ·

Mo =

2

× 4,8 × 4,95= 17671 8

kg m

·

M (exterior) = −

−0,26 × 17671 = −4594 kg · m × 17671 = +9189 kg · m (interior) = −0,70 × 17671 = −12370 kg · m

M + (centro) = 0,52 M

−

Dividir los momentos entre la franja columna y franja central Para el tramo exterior A2-B2 : 4,8 2 =0 =0 1 5,35 2 4,8 Calcular = = 0,9 1 5,35

Calcular α f 1



2

× −4594 = −4594 kg · m × −4594 = 0 kg · m

4,8

Calcular α f 1 1 = 0 6,0 = 0  4,8 = 0,8 Calcular 2 = 0 1

6,0

M + (franja columna) = 0,6 M (1/2 franja central) = 0,4 +

× 9189 = +5513 kg · m × 9189 = +3676 kg · m

2 4,8 =0 =0 5,35 1  4,8 Calcular 2 = = 0,9 1 5,35

Calcular α f 1



× −4594 = −4594 kg · m × −4594 = 0 kg · m

Las Tablas 8.8a, 8.8b, 8.8c y 8.8d resumen el cálculo de momentos de las franjas de diseño en dirección E-O y N-S.


325


Capítulo8

Tabla 8.8a. Cálculo de momentos en la franja de losa 1 del ejemplo 8.2 Franja de losa 1 T Momento estático Momento r a Ubicación ℓ2 Mo ℓn To ta l m [ kg - m ] % [k g - m ] [m] [m] o E xterior

4.95

1 0308

-2680

100

-2680

0

0

100

-2680

0

0

Centro

2.8

4.95

1 0308

52

5360

60

3216

0

0

100

3216

40

2144

B1

Interior

2.8

4.95

10308

-70

-7216

75

-5412

0

0

B1

Interior

2.8

5 .5

12726

-65

-8272

75

-6204

Centro

2.8

5 .5

12726

35

4454

60

2672

C1

Interior

2.8

5 .5

12726

-65

-8272

75

-6204

0

0

100

-6204

25

C1

Interior

2.8

4.95

10308

-70

-7216

75

-5412

0

0

100

-5412

25

D1

Centro E xterior

2.8 4.95 1 0308 2.8 4.95 1 0308

52 -26

5360 -2680

60 100

3216 -2680

0 0

0 0

100 100

3216 -2680

α

2

f1

1

→ >=

1

%

-26

Momento en 1 franja central Lo s a % [k g-m ] % [ k g- m ]

Viga % [ kg - m ]

A1

En vigas: Si

2.8

Momentos en franja columna To t a l % [k g- m ]

85, sino × %=85

α

0 0

0 0

100

-5412

100 100

25

-6204 2672

25 40

40 0

-1804 -2068 1782 -2068 -1804 2144 0

2

(ACI 13.6.5.2)

f1

1

Tabla 8.8b. Cálculo de momentos en la franja de losa 2 del ejempl o 8.2 Franja de losa 2 T Momento estático Momento Momentos en franja columna Momento en 2½ r a Mo Ubicación ℓ2 franjas central ℓn Total Total Viga Losa % m [ kg - m ] % [k g - m ] [k g - m ] % [ kg - m ] % [k g - m ] % [ k g- m ] [m] [m] o A2

E xterior

4.8

4.95

1 7671

-26

-4594

100

-4594

0

0

100

-4594

0

0

Centro

4.8

4.95

1 7671

52

9189

60

5513

0

0

100

5513

40

3676

B2

Interior

4.8

4.95

17671

-70

-12370

75

-9278

0

0

100

-9278

25

B2

Interior

4.8

5.5

21816

-65

-14180

75

-10635

0

0

100

-10635

25

Centro

4.8

5 .5

21816

35

7636

C2

Interior

4.8

5.5

21816

-65

-14180

75

-10635

0

0

100

-10635

25

C2

Interior

4.8

4.95

17671

-70

-12370

75

-9278

0

0

100

-9278

25

Centro

4.8

4.95

1 7671

52

9189

60

5513

0

0

100

5513

40

3676

4.95

1 7671

-26

-4594

100

-4594

0

0

100

-4594

0

0

D2

E xterior

En vigas: Si

4.8 α

f1

2

1

→ > =

1

%

85, sino×%=85

60

α

f1

4582

0

0

100

4582

40

-3093 -3545 3054 -3545 -3093

2

(ACI 13.6.5.2)

1

Tabla 8.8c. Cálculo de momentos en la franja de losa A del ejempl o 8.2 Franja de losa A T Momento estático M o m e n t o r a Ubicación ℓ2 Mo ℓn Tot a l m [k g-m ] % [k g- m ] [m] [m] o

To ta l % [ kg - m ]

1A

Mom en tos en fra n j a col u m n a Vi g a % [k g-m ]

Momento en 1 franja central Lo s a % [k g- m ] % [k g- m ]

E xterior

2 .93

4.4

8523

-26

-2216

100

-2216

0

0

100

-2216

0

0

Centro

2.93

4.4

8523

52

4432

60

2659

0

0

100

2659

40

1773

2A

Interior

2.93

4.4

8523

-70

-5966

75

-4475

0

0

100

-4475

25

2A

Interior

2.93

4.3

8140

-65

-5291

75

-3968

0

0

100

-3968

25

Centro

2.93

4.3

8140

35

2849

60

1709

3A

Interior

2.93

4.3

8140

-65

-5291

3A

Interior

2.93

4.3

8140

-65

-5291

75

-3968

Centro

2.93

4.3

8140

35

2849

60

1709

Interior

2.93

4.3

8140

-65

-5291

75

-3968

4A

En vigas: Si

α f1

2

1

→ > =

%

85, sino×%=85

α f1

1


75

-3968

2

(ACI 13.6.5.2)

1

326

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

100 100 100 100 100

1709 -3968 -3968 1709 -3968

40 25 25 40 25

-1492 -1323 1140 -1323 -1323 1140 -1323


Capítulo8

Tabla 8.8d. Cálculo de momentos en la franja de losa B del ejempl o 8.2 Franja de losa B T Momento estático r a Ubicación ℓ2 Mo ℓn m o

[m]

[kg-m]

[m]

Momento en 2 ½ franjas central % [kg-m]

Losa % [kg-m]

-4296

100

-4296

0

0

100

-4296

0

0

Centro

5.68

4.4

16522

52

8591

60

5155

0

0

100

5155

40

3436

Interior

5.68

4.4

16522

-70

-11565

75

-8674

2B

Interior

5.68

4.3

15780

-65

-10257

75

-7693

Centro

5.68

4.3

15780

35

5523

60

3314

3B

Interior

5.68

4.3

15780

-65

-10257

75

-7693

0

0

100

-7693

25

3B

Interior

5.68

4.3

15780

-65

-10257

75

-7693

0

0

100

-7693

25

-2564

4B

Centro Interior

5.68 4.3 5.68 4.3

15780 15780

35 -65

5523 -10257

60 75

3314 -7693

0 0

0 0

100 100

3314 -7693

40 25

2209 -2564

1

1

→ > =

%

-26

Viga % [kg-m]

2B

2

16522

Total % [kg-m]

E xterior

α f1

4.4


Total % [kg-m]

1B

En vigas: Si

5 .68

Momento

85, sino×%=85

α f1

0

0

0

100

0

0

-8674

100

0

-7693

100

3314

25

-2891

25

-2564

40

2209 -2564

2

(ACI 13.6.5.2)

1

Paso 8: Realizar el diseño del refuerzo a flexión para las franjas de columna y centrales As,min = 0,0018 b h = 0,0018

· ·

× 100 × 20 = 3 ,6 cm

2

Usar barras φ = 10c/21 cm. Notar que según el artículo 7.12.2.2 el espaciamiento máximo debe ser menor a 5 × h = 5 × 20 = 100 y a 45 cm , por lo que también se cumple la limitación del espaciamiento máximo. Para el caso de: la franja de columna 1 (E-O), tramo interior B1 ∴

Mu = 6204 kg m

·

−

b = 160 cm

− r − φlong 2 1,6 d = 20 − 2 − = 17,2 cm 2 d=h

Mu = −



0,85 fc b As = fy

· ·

=

0,85

× 250

4200

Mu 6204 = = b 1,60

−

−3878 kg · m/m

  ·  − − · · ·   × ·

a=

100

2 Mu φ 0,85 fc b

d2

d



17,2

−

2

17,2

−

2 3878(100) 0,9 0,85 250 100

·

·

·

As fy = 6,18 4200 = 1,221 cm 0,85 fc b 0,85 250 100

·· ·

·× ·



c= c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

a 1,221 = = 1,44 cm β1 0,85

327



= 6,18 cm 2


Capítulo8

−



c 17,2 1,44 = 0,003 c 1,44 s = 0,0328 > t = 0,005 cumple ! s = 0,003

Como s > t

d

  −→  

−



= 0,0328




6,28 cm 2 .

smin

  ≥ 


·

·

smax

 · ≤

fs =

3 h= 3

× 20 = 60 cm

45 cm (gobierna)

2

2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3 cc = r = 2,0 cm

smax,fisuracion

 ≤ 

2800 2800 2,5 cc = 38 2,5(2,0) = 33 cm fs 2800 2800 2800 30 = 30 = 30,0 cm (gobierna) fs 2800 38

−

·

−


Para φ12c/18 cm −→ 2,5 < sprovisto = 18 < 30 cm −→ Cumple !! Usar barras φ = 12c/18 cm. Las Tablas 8.9c, 8.9b, 8.9c,8.9d, 8.9e, 8.9f, 8.9g y 8.9h resumen el cálculo del refuerzo de acero para todas las franjas de columna y centrales. ∴


328


Capítulo8

Tabla 8.9a. Cálculo de refuerzo en la franja columna 1 de E-O del ejemp lo 8.2 Franja columna 1 (E-O) T A nc ho r a Ubicación franja b m [kg-m] [m] o A1 Exterior -2680 1.6 Centro 3216 1.6 B1 Interior -5412 1.6 B1 Interior -6204 1.6 Centro 2672 1.6 C1 Interior -6204 1.6 C1 Interior -5412 1.6 Centro 3216 1.6 D1 Exterior -2680 1.6

Canto d [cm] 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2

Acero Espac. Barras Momento Ar e a MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] -1675 2.62 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2010 3.15 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -3383 5.37 3.6 2.5 30  12 c/ 21 5.38 -3878 6.18 3.6 2.5 30  12 c/ 18 6.28 1670 2.61 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -3878 6.18 3.6 2.5 30  12 c/ 18 6.28 -3383 5.37 3.6 2.5 30  12 c/ 21 5.38 2010 3.15 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -1675 2.62 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76

Tabla 8.9b. Cálculo de refuerzo en la franja centr al 1 de E-O del ejemplo 8.2 Franja central 1 (E-O)

A1 -A2 E xterior Centro B1 - B2 Interior B1 - B2 Interior Centro C1 - C2 Interior C1 - C2 Interior

Momento último Ancho Canto Momento Acero Espac. Barras Ar e a MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov b d franja [kg-m] [kg-m] [kg-m] [m] [cm] [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] 0 0 0 2.4 17.2 0 0 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2144 1838 3982 2.4 17.2 1659 2.59 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -1804 -1547 -3350.5 2.4 17.2 -1396 2.17 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -2068 -1773 -3 840.5 2.4 17.2 -1600 2.5 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 1782 1527 3309 2.4 17.2 1379 2.15 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -2068 -1773 -3 840.5 2.4 17.2 -1600 2.5 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -1804 -1547 -3350.5 2.4 17.2 -1396 2.17 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76

Centro D1 -D2 E xterior

2144 1838 3982 2.4 17.2 1659 2.59 3.6 2.5 30  10 c/ 21 0 0 0 2.4 17.2 0 0 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76

Tramo Ubicación

½franja ½franja

3.76

Tabla 8.9c. Cálculo de refuerzo en la franja columna 2 de E-O del ejemp lo 8.2 Franja columna 2 (E-O) T Ancho r a Ubicación franja b m [kg-m] [m] o A2 Exterior -4594 2.4 Centro 5513 2.4 B2 Interior -9278 2.4 B2 Interior -10635 2.4 Centro 4582 2.4 C2 Interior -10635 2.4 C2 Interior -9278 2.4 D2

Centro Exterior

5513 -4594

2.4 2.4

C a nt o d [cm] 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2

Acero Espac. Barras Momento Area MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] -1914 3 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2297 3.61 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -3866 6.16 3.6 2.5 30  12 c/ 18 6.28 -4431 7.11 3.6 2.5 30  12 c/ 15 7.53 1909 2.99 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -4431 7.11 3.6 2.5 30  12 c/ 15 7.53 -3866 6.16 3.6 2.5 30  12 c/ 18 6.28

17.2 17.2

2297 -1914


3.61 3

329

3.6 3.6

2.5 2.5

30  10 c/ 21 30  10 c/ 21

3.76 3.76


Capítulo8

Tabla 8.9d. Cálculo de refuerzo en la franja centr al 2 de E-O del ejemplo 8.2 Franja central 2 (E-O) Tramo Ubicación A2 -A3 E xterior Centro B2 - B3 Interior B2 - B3 Interior Centro C2 - C3 Interior C2 - C3 Interior Centro D2 -D3 E xterior

Momento último Ancho Canto Momento Acero Espac. Barras Ar e a MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov b d franja [kg-m] [kg-m] [kg-m] [m] [cm] [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] 0 0 0 2.4 17.2 0 0 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 1838 1838 3676 2.4 17.2 1532 2.39 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -1547 -1547 -3093 2.4 17.2 -1289 2.01 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -1773 -1773 -3545 2.4 17.2 -1477 2.3 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 1527 1527 3054 2.4 17.2 1273 1.98 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -1773 -1773 -3545 2.4 17.2 -1477 2.3 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -1547 -1547 -3093 2.4 17.2 -1289 2.01 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 1838 1838 3676 2.4 17.2 1532 2.39 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 0 0 0 2.4 17.2 0 0 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 ½franja ½franja

Tabla 8.9e. Cálculo de refuerzo en la franja columna A de N-S del ejemplo 8.2 Franja columna A (N-S) T Ancho r a Ubicación franja b m [kg-m] [m] o 1A Exterior -2216 1.45 Centro 2659 1.45 2A Interior -4475 1.45 2A Interior -3968 1.45 Centro 1709 1.45 3A Interior -3968 1.45 3A 4A

Interior Centro Exterior

-3968 1709 -3968

1.45 1.45 1.45

C a nt o d [cm] 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2

Acero Espac. Barras Momento Area MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] -1528 2.38 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 1834 2.87 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -3086 4.88 3.6 2.5 30  10 c/ 16 4.94 -2737 4.32 3.6 2.5 30  10 c/ 18 4.39 1179 1.83 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -2737 4.32 3.6 2.5 30  10 c/ 18 4.39

17.2 17.2 17.2

-2737 1179 -2737

4.32 1.83 4.32

3.6 3.6 3.6

2.5 2.5 2.5

30  10 c/ 18 30  10 c/ 21 30  10 c/ 21

4.39 3.76 3.76

Tabla 8.9f. Cálculo de refuerzo en la franja centr al A de N-S del ejemplo 8.2 Franja central A (N-S) Momento último Ancho Canto Momento Acero Espac. Barras Ar e a MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov b d Tramo Ubicación ½franja ½franja franja [kg-m] [kg-m] [kg-m] [m] [cm] [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] 1A -1B Exterior 0 0 0 2.96 17.2 0 0 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 Centro 1773 1718 3491 2.96 17.2 1179 1.83 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2A - 2B Interior -1492 -1446 -2937.5 2.96 17.2 -992 1.54 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2A - 2B Interior -1323 -1282 -2605 2.96 17.2 -880 1.36 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 Centro 1140 1104.5 2 244.5 2.96 17.2 758 1.17 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 3A - 3B Interior -1323 -1282 -2605 2.96 17.2 -880 1.36 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 3A - 3B Interior -1323 -1282 -2605 2.96 17.2 -880 1.36 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 4A - 4B

Centro Exterior

1140 1104.5 2 244.5 2.96 17.2 -1323 -1282 -2605 2.96 17.2


330

758 -880

1.17 1.36

3.6 3.6

2.5 2.5

30  10 c/ 21 30  10 c/ 21

3.76 3.76


Capítulo8

Tabla 8.9g. Cálculo de refuerzo en la franja columna B de N-S del ejemplo 8.2 Franja columna B (N-S) T Ancho r a Ubicación franja b m [kg-m] [m] o 1B Exterior -4296 2.4 Centro 5155 2.4 2B Interior -8674 2.4 2B Interior -7693 2.4 Centro 3314 2.4 3B Interior -7693 2.4 3B 4B

Interior Centro Exterior

-7693 3314 -7693

2.4 2.4 2.4

Canto d [cm] 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2 17.2

Acero Espac. Barras Momento Area MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov 2 2 [kg-m/m] [cm ] [cm ] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] -1790 2.8 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2148 3.37 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -3614 5.75 3.6 2.5 30  12 c/ 19 5.95 -3205 5.08 3.6 2.5 30  12 c/ 22 5.14 1381 2.15 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 -3205 5.08 3.6 2.5 30  12 c/ 22 5.14

17.2 17.2 17.2

-3205 1381 -3205

5.08 2.15 5.08

3.6 3.6 3.6

2.5 2.5 2.5

30  12 22 30  10 c/ c/ 21 30  12 c/ 22

5.14 3.76 5.14

Tabla 8.9h. Cálculo de refuerzo en la franja centr al B de N-S del ejemplo 8.2 Franja central B (N-S) Momento último Ancho Canto Momento Acero Espac. Barras Area MU /b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov b d Tramo Ubicación ½franja ½franja franja [kg-m] [kg-m] [kg-m] [m] [cm] [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] 1B -1C E xterior 0 0 0 3.6 17.2 0 0 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 Centro 1718 1718 3436 3.6 17.2 954 1.48 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2B - 2C Interior -1446 -1446 -2891 3.6 17.2 -803 1.24 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 2B - 2C Interior -1282 -1282 -2564 3.6 17.2 -712 1.1 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 Centro 1104.5 1104.5 2209 3.6 17.2 614 0.95 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 3B - 3C Interior -1282 -1282 -2564 3.6 17.2 -712 1.1 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 3B - 3C Interior -1282 -1282 -2564 3.6 17.2 -712 1.1 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 Centro 1104.5 1104.5 2209 3.6 17.2 614 0.95 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76 4B - 4C Exterior -1282 -1282 -2564 3.6 17.2 -712 1.1 3.6 2.5 30  10 c/ 21 3.76

Paso 9: Realizar el detalle de armado , de modo que las extensiones y puntos de corte satisfagan la Figura 13.3.8 del código ACI 318-05

Figura 8.22. Detalle de armado de losa sobre vigas direc ción E-O, ejemplo 8.2 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

331


Capítulo8

Figura 8.23. Detalle de armado de losa sobre vigas direc ción N-S, ejemplo 8.2 

8.4 DIMENSIONAMIENTO Y CARGAS EN ESCALERAS 8.4.1 Dimensinamiento La fórmula más conocida y menos fatigosa para la distribución de los peldaños en una escalera, ver Figura es: H + 2CH = 60 a 64 cm (8.8) Donde: H = Es la anchura de la huella , cuyo valor mínimo es 25 cm . CH = Es la altura de la contrahuella , en cm. H+2CH=60 a 64cm

α

Figura 8.24. Huella y contrahuella en escaleras Como alturas mínimas de contrahuellas se tiene: Edificios con mucho tránsito . . . 13 a 15 cm . Edificios y viviendas . . . 15 a 17,5 cm . Edificaciones y viviendas con poco tránsito . . . 20 cm Como anchuras mínimas de escaleras se considera las siguientes: c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

332


Capítulo8

Edificios en genaral. . . 1,2 m . Viviendas . . . 1,0 m . Secundarias . . . 0,8 m Caracol . . . 0,6 m .

8.4.2 Cargas en escaleras Carga muerta (D) Conformada por el peso propio de la estructura y el acabado que generalmente se encuentra entre 188 kg/m 2 . Tambine debe considerarse el peso de las barandas y pasamanos. Carga viva (L) Según el código ASCE 7-05 el valor de la carga viva ocupacional unifomemente distribuida es 500 kg/m 2 .

8.4.3 Clasificación de escaleras según su apoyo longitudinal Escaleras de un tramo Son aquellas que se encuentran apoyadas en los extremos y que llevan el acero principal a lo largo del eje de la escalera y perpendicular a las escaleras. Por su tipo de apoyo se consideran simplemente poyada y empotrada ver Figura 8.25(a) y (b) respectivamente.

Figura 8.25. Escaleras de un tramo

Escaleras de dos o más tramos Estás presentan y no presentan desplazamiento vertical ver Figura (a) y (b) respectivamente. δ2

δ1

Figura 8.26. Escaleras de dos o más tramos En el diseño de escaleras se puede trabajar en forma recta o inclinada, ya que ambos casos dan el mismo resultado, sólo se tiene que tener el cuidado de proyectar las cargas o no de acuerdo al caso.


333


Capítulo8

8.4.4 Ejercicios resueltos Ejemplo 8.3 En la Figura 8.27 se muestra una escalera de dos tramos, apoyada sobre vigas. El piso soporta su peso propio mas el peso de acabados de 188 kg/m 2 y una carga viva de 500 kg/m 2 , la altura del piso es 1,7 m. La resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .

Solución 8.3 Objetivo Seleccionar el espesor de losa de la escalera, calcular los momentos de diseño y seleccionar el refuerzo de la escalera. Datos de diseño Son los siguientes: Sección transversal Materiales Cargas Ancho: 1,20 m Hormigón: peso normal, Carga muerta : LD = 188 kg/m 2 Altura: 2,7 cm fc = 250 kg/cm 2 Carga viva: LL = 500 kg/m 2 Longitud 4,40 m Acero:fy = 4200 Kg/cm 2 Recubrimiento acero:r = 3,0 cm 

Figura 8.27. Geometria de la escalera del ejemplo 8.3

Resultados Paso 1: Realizar el predimensionamiento de la escalera H=

horizontal 240 = = 30 cm N opeldaños 8

CH = ∴

64

− H = 64 − 30 = 17 cm 2

hmin = ∴

2

Usar en cada tramo 8 peldaños, con una huella de 30 cm y contrahuella de 17 cm.

Usar altura de losa de h = 12 cm. heq =



=

20

CH h 17 + = + 2 cos(α) 2


334

240

= 12 cm

20 12



cos tan

1

−

17 30



= 22,3 cm


Capítulo8

h eq =22.3 cm h min =12cm α

Figura 8.28. Espesor equivalente de la escalera del ejemplo 8.3

Paso 2: Análisis de cargas gravitacionales wD (descanso) = γ H o Ao h = 2400 wD (escalera) = γ

H o Ao

2

· × 0,12 + 188 = 476 kg/m · heq = 2400 × 0,223 + 188 = 724 kg/m

2

wL,ocupacional = 500 kg/m 2

Paso 3: Establecer las cargas últimas en las losas de descansos y escalera wu (descanso) = 1,4 wD

·

wu (descanso) = 1,4(476) = 667 kg/m 2 /1 m = 667 kg/m 2 wu (descanso) = 1,2 WD + 1,6 wL

·

·

wu (descanso) = 1,2(476) + 1,6(500) = 1372 kg/m 2 /1 m = 1372 kg/m 2 (gobierna) wu (escalera) = 1,4 wD

·

(escalera) = 1,4(724) = 1014 kg/m 2 /1 m = 1014 kg/m 2 wu (escalera) = 1,2 WD + 1,6 wL wu

·

·

wu (escalera) = 1,2(724) + 1,6(500) = 1669 kg/m 2 /1 m = 1669 kg/m 2 (gobierna)

Paso 4: Determinar la resistencia última al momento flector requerida Mu =

wu 2 1372 (1)2 = = 9 9

Mu+ =

wu 2 1372 (1)2 = = +38 kg m 36 36

Mu =

wu 2 1372 (1)2 = = 12 12

−

−

·

×

·

−153 kg · m

×

·

×

·

−115 kg · m

2 2 Mu = wu  = 1669 (2,76) = 9 9 −

Mu+ =

·

×

−1413 kg · m

wu 2 1669 (2,76)2 = = +1060 kg m 12 12

·


×

335

·


Capítulo8 2

2

wu  1669 (2,76) = = 9 9

·

Mu = −

×

−1413 kg · m

Mu =

wu 2 1372 (1)2 = = 12 12

Mu+ =

wu 2 1372 (1)2 = = +39 kg m 36 36

−

·

×

·

×

·

2

2

Mu = wu  = 1372 (1) = 24 24 −

−115 kg · m

·

×

−58 kg · m

Paso 5: Determinar el área mínima de acero por contracción y temperatura, según el código ACI 318-05 en el artículo 7.12.2.1, se tiene: As,min = 0,0018 b 12 = 0 ,0018

· ·

× 100 × 12 = 2 ,16 cm

2

∴ Usar barras φ = 8c/23 cm . Notar que según el artículo 7.12.2.2 el espaciamiento máximo

debe ser menor a 5 × h = 5 × 12 = 60 cm y a 45 cm, por lo que se cumple también la limitación del espaciamiento.

Paso 6: Determinar el área de refuerzo por flexión Para el caso de: Apoyo interior B1 Mu = 1413 kg m

·

−

d=h

φlong

r

− − 1,2 2 − 3 − 2 = 8,4 cm

d = 12

Mu = −



As = =

0,85 fc b fy

· ·

0,85

× 250

4200

Mu = b

−1413 = −1413 kg · m/m 1,0

  − − ·   ×

a=

2 Mu φ 0,85 fc b

d2

d

100

8,4

−

·

2

8,4



· ·

−



2 1413(100) 0,9 0,85 250 100

·

·

·

·

As fy 4,71 4200 = = 0,931 cm 0,85 250 100 0,85 fc b

·

×



· ·

·

·

a 0,931 c= = = 1,095 cm β1 0,85


336



= 4,71 cm 2


Capítulo8 s = 0,003

− d

c

c

= 0,003



8,4 1,095 1,095

−

s = 0,020 > t = 0,005 cumple !

Como s > t

  −→  



= 0,020




4,94 cm 2 .

smin

  ≥ 


·

·

smax

 · ≤

3 h= 3

× 12 = 36 cm

45 cm (gobierna)

2 2 fy = 4200 = 2800 Kg/cm 2 3 3 El recubrimiento efectivo es: c c = r = 3,0 cm 2800 2800 38 2,5 cc = 38 2,5(3,0) = 30 ,5 cm s smax,fisuracion f 2800 2800 2800 30 = 30 = 30,0 cm (gobierna) fs 2800 smin < sprovisto < smax fs =

≤



−

·

−

Para φ10c/16 cm −→ 2,5 < sprovisto = 16 < 30 cm −→ Cumple !!

Usar barras φ = 10c/16 cm. La Tabla 8.29 resume el cálculo de refuerzo de todos los tramos. ∴

Tramo de subida A-D T r a m o

A1 B1 B1 C1 C1

Ubicación Exterior Centro Interior Interior Centro

Interior Interior Centro D1 Exterior

MU [kg-m] -153 38 -115 -1413 1060 -1413 -115 39 -58

Ancho b [m] 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Canto d [cm] 8.4 8.4 8.4 8.4 8.4

Acero Espac. Barras Momento Area MU/b As,req As,min Smin Smáx de acero As,prov [kg-m/m] [cm2] [cm2] [cm] [cm] db c/sprov [cm2] -153 0.48 2.16 2.5 30  8 c/ 23 2.17 38 0.12 2.16 2.5 30  8 c/ 23 2.17 -115 0.36 2.16 2.5 30  8 c/ 23 2.17 -1413 4.71 2.16 2.5 30  10 c/ 16 4.94 1060 3.48 2.16 2.5 30  8 c/ 14 3.57

8.4 8.4 8.4 8.4

-1413 -115 39 -58

4.71 2.16 2.5 30  10 c/ 16 4.94 0.36 2.16 2.5 30  8 c/ 23 2.17 0.12 2.16 2.5 30  8 c/ 23 2.17 0.18 2.16 2.5 30  8 c/ 23 2.17

Figura 8.29. Calculo de acero del refue rzo del ejemplo 8.3 c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

337


Capítulo8

Paso 7: Detalle de armado se ilustra en la Figura 8.30

Figura 8.30. Detalle de armado de la escale ra del ejemplo 8.3 

8.4.5 Ejercicios propuestos Ejercicio 8.1 Diseñar el sistema de entrepiso mostrado en la Figura 8.31. La sección transversal de las vigas es 25 50 cm, las columnas exteriores son de 40 40 cm y las columnas interiores son de 60 60 cm. El piso soporta su peso propio mas el peso de acabados de 200 kg/m 2 y una carga viva de 500 kg/m 2 , la altura del piso es 2,65 m. La resistencia caracteristica de hormigón es 210 kg/cm 2 y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .

×

×

×

Figura 8.31. Esquema del ejercicio 8.1 x  c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

338


Capítulo8

Ejercicio 8.2 Diseñar el sistema de entrepiso mostrado en la Figura 8.32. La sección transversal de las vigas es 25 50 cm, las columnas exteriores son de 50 25 cm y las columnas de borde son de 35 35 cm. El piso soporta su peso propio mas el peso de acabados de 188 kg/m 2 y una carga viva de 500 kg/m 2 , la altura del piso es 2,80 m. La resistencia caracteristica de hormigón es 250 kg/cm 2 y la resistencia a la fluencia del acero es 4200 kg/cm 2 .

×

×

×



339

APÉNDICE

AYUDAS PARA EL ANALISIS Y DISEÑO DE COLUMNAS

A.1 Diagramas de interacción A.1.1 Diagramas de interacción uniaxiales A.1.2 Diagramas de interacción biaxiales A.2 Constantes de diseño biaxial

340

A


CapítuloA fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 cm2

ρ g =4%

ρg =3.5%

ρg =3%

ρg =2.5%

ρ g =2%

ρ g =1.5%

ρg =1%

Figura A.1a. Diagrama de interacción uniaxial de columna rect agular de 25 × 25 para 

fc = 210 kg/cm 2


341


CapítuloA fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

r

r

r

r

r

r

r

g =4%

g =3.5%

g =3%

g =2.5%

g =2%

g =1.5%

g =1%

Figura A.1b. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 25 × 30 para 

fc = 210 kg/cm 2


342


CapítuloA fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

ρ g=4%

ρ g =3.5%

ρg =3%

ρ g =2.5%

ρ g =2%

ρ g=1.5%

ρ g=1%

Figura A.1c. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectag ular de 30 × 30 para 

fc = 210 kg/cm 2


343


CapítuloA

fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 cm2

ρg =4%

ρg =3.5%

ρg =3%

ρ g=2.5%

ρ g =2%

ρg =1.5%

ρ g =1%

Figura A.1d. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 30 × 40 para 

fc = 210 kg/cm 2


344


CapítuloA fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 cm2

ρg =4%

ρg=3.5%

ρg=3%

ρg =2.5%

ρg =2%

ρg =1.5% ρg =1%

Figura A.1e. Diagrama de interacción uniaxial de columna recta gular de 35 × 50 para 

fc = 210 kg/cm 2


345


CapítuloA

fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

ρg =4%

ρ g =3.5%

ρg =3%

ρ g =2.5%

ρ g =2%

ρ g =1.5%

ρ g =1%

Figura A.1f. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectag ular de 40 × 50 para 

fc = 210 kg/cm 2


346


CapítuloA

fc' =250

kg

cm2 kg fy=4200 cm2

r

r

r

r

r

rg

r

g =4%

g =3.5%

g=3%

g =2.5%

g =2%

=1.5%

g =1%

Figura A.2a. Diagrama de interacción uniaxial de columna rect agular de 25 × 25 para 

fc = 250 kg/cm 2


347


CapítuloA

fc' =250

kg

cm2 kg fy=4200 cm2

r

r

r

r

r

r

r

g =4%

g =3.5%

g =3%

g =2.5%

g =2%

g =1.5%

g =1%

Figura A.2b. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectagular de 25 × 30 para 

fc = 250 kg/cm 2


348


CapítuloA

fc' =250

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

r

r

r

r

r

r

r

g =4%

g =3.5%

g =3%

g =2.5%

g =2%

g=1.5%

g =1%

Figura A.2c. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectag ular de 30 × 30 para 

2

fc = 250 kg/cm


349


CapítuloA

fc' =250

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

r

r

r

r

r

r

r

g=4%

g =3.5%

g =3%

g =2.5%

g =2%

g =1.5%

g=1%

Figura A.2d. Diagrama de interacción de2 columna rectagular de 30 × 40 para fc =uniaxial 250 kg/cm 


350


CapítuloA

fc' =250

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

r

r

r

r

r

r

r

g =4%

g =3.5%

g =3%

g=2.5%

g =2%

g =1.5%

g =1%

Figura A.2e. Diagrama de interacción uniaxial de columna recta gular de 35 × 50 para f = 250 kg/cm 2 

c


351


CapítuloA

fc' =250

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

r

r

r

r

r

r

r

g =4%

g =3.5%

g =3%

g =2.5%

g =2%

g =1.5%

g=1%

Figura A.2f. Diagrama de interacción uniaxial de columna rectag ular de 40 fc = 250 kg/cm 2 


352

50 para

×


CapítuloA

fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 cm2

ρg=6%

ρ g=5.5% ρ g=5% ρg =4.5% ρg=4% ρg =3.6% ρg =3.2%

ρg=2.7% ρg=2.3% ρg=1.8% ρg =1.4% ρg=1%

Figura A.3a. Diagrama de interacción biaxial, φMnx y φMny de columna rectagular de 25 × 25 para fc = 210 kg/cm 2 


353


CapítuloA

fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

ρg =6.4%

ρg=5.8%

ρ g=5.2%

ρg =4.6%

ρg=4%

ρg =3.4%

ρg =2.8%

ρg =2.2%

ρ g =1.6%

ρg=1%

Figura A.3b. Diagrama de interacción biaxial, φMnx y φMny de columna rectagular de 30 30 para fc = 210 kg/cm 2 

×


354


CapítuloA

fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

ρg =6%

ρg =5.5%

ρ g =5%

ρg =4.5%

ρg=4%

ρg =3.5%

ρg=3%

ρg =2.5%

ρ g=2%

ρg =1.5%

ρg=1%

Figura A.3c. Diagrama de interacción biaxial, φMnx de columna rectagular de 30 × 40 para fc = 210 kg/cm 2 


355


CapítuloA

fc' =210

kg

cm2 kg fy=4200 2 cm

ρ g=6%

ρg =5.5%

ρ g=5%

ρg =4.5%

ρg=4%

ρ g=3.5%

ρ g =3%

ρg =2.5%

ρ g =2%

ρg=1.5%

ρg=1%

Figura A.3d. Diagrama de interacción biaxial, φMny de columna rectagular de 30 × 40 para fc = 210 kg/cm 2 


356


CapítuloA

Pu

ex

ey

γb

0.60 ≤ γ ≤1.00 210 ≤ fc' ≤420 kg/cm 2

β

1.0 ≤h/b ≤4.0 ω = ρfy/ fc'

ω=0.1

ρ=Ast /bh

ω=0.3 ω=0.5 ω=0.9 ω=1.3

Pn Po

Figura A.4a. Constantes de diseño biaxial para disposición de 4 barras

Pu

ey

ex

γb

0.60 ≤ γ ≤1.00 210 ≤ fc' ≤420 kg/cm 2

β ω=0.1

1.0 ≤h/b ≤4.0 ω = ρfy/ fc' ρ=Ast /bh

ω=0.3 ω=0.5

ω=0.9 ω=1.3 Pn Po

Figura A.4b. Constantes de diseño biaxial para disposición de 8 barras c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

357


CapítuloA

Pu

ex

ey

γb

0.60 ≤ γ ≤1.00 210 ≤ fc' ≤420 kg/cm 2

β

1.0 ≤h/b ≤4.0 ω = ρfy/ fc'

ω=0.1 ω=0.3

ρ=Ast /bh

ω=0.5 ω=0.9 ω=1.3 Pn Po

Figura A.4c. Constantes de diseño biaxial para disposición de 12 o más barras

Pu

ey

ex

γb

0.60 ≤ γ ≤1.00 210 ≤ fc' ≤420 kg/cm 2

β ω=0.1

1.0 ≤h/b ≤4.0 ω = ρfy/ fc'

ω=0.3

ρ=Ast /bh

ω=0.5 ω=0.9

ω=1.3 Pn Po

Figura A.4d. Constantes de diseño biaxial para disposición de 6, 8 y 12 barras c Copyright 2007 by Miquel Angel Vargas Panozo

358

APÉNDICE

B

BIBLIOGRAFIA

Referencias [1] ACI Committee 318, Building Code Requirements for Structural Concrete(ACI 318-05) and Commentary (ACI 318R-05), 2005edition, First printing, American Concrete Institute, Farmington Hill, Mi 48331, 2004. [2] ACI committee 315, ACI Detailing Manual-1994, American Concrete Institute, Detroit, Michigan 48219, 1994. [3] ACI committee 340, Design Handbook In Accordance with the Strength Design Method of ACI 318-89 , Third edition, First printing, Vol. 2-Columns, American Concrete Institute, Detroit, Michigan 48219, 1990. [4] ACI committee 340, ACI Design Handbook In Accordance with the Strength Design Method of ACI 318-89, Fifth edition, First printing, Vol. 1-Beams, one-way slabs, brackets, footings and pile caps, American Concrete Institute, Detroit, Michigan 48219, 1991. de Estructuras de Concreto, Duodécima edición, McGraw-Hill International S.A., Aveni[5] Arthur Nilson, Diseño da de lasH.Américas 46-41, Santafé de Bogota, Colombia, 1999. [6] ASCE, Minimun Design Loads for Building and Other Structures , American Society of civil Engineers, 1801 Alexander Bell Drive Reston, Virginia 20191 USA, 2006. [7] Alsamsan M. Iyad and Kamara E. Mahmoud, Simplified Design Reinforced Concrete Buildings of Moderate Size and Height, Third edition, Portland Cement Association, Skokie, Illinois 60077-1083, 2005. [8] Comite ACI 318, Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural y Comentario (ACI 318S-05) , edición 2005, primera impresión, American Concrete Institute, Farmington Hill, Mi 48331, 2004. [9] CRSI committee, CRSI Design Handbook 2002, Ninth edition, Concrete Reinforcing Steel Institute, 933 North Plum Grove Road, Schaumburg, Illinois 60173-4758, 2002. [10] CRSI committee on Engineering Practice by the committee on Manual of Standard Practice, Manual Of Standard Practice, 27th edition, second printi ng, Concrete Reinforci ng Steel Institute, 933 North Plum Grove Road, Schaumburg, Illinois 60173-4758, 2003. [11] David A. Fanella, Special Moment Frames, Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 2004. [12] David Fanella and Rabbat G. Basile, Notes on ACI318-02 Building Code Requirements for Structural Concrete, Eighth edition, First printing, Portland Cement Association, Skokie, Illinois 60077-1083, 2002. [13] David A. Fanella, Seismic Detailing of concrete Buildings, First edition, Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 2000. [14] David A. Fanella, Concrete Floor System Guide to Estimating and Economizing, Second edition, Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 2004. [15] David A. Fanella and Javeed A. Munshi, Long-Span Concrete Floor System, Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 2000.

359


CapítuloB

[16] Edward G. Nawy, Concreto reforzado: Un Enfoque Básico , Primera edición, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., 53500, Naucalpan de Juárez, Edo de México, 1988. [17] Edward G. Nawy, Reinforced Concrete: A fundamental Approach , Third edition, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey 07458, 1996. [18] Edward G. Nawy, Reinforced Concrete: A fundamental Approach ACI 318-05 Code Edition , Fifth edition, Pearson Education Inc., Upper Saddle River, New Jersey 07458, 2005. [19] Frederick S Merritt, M. Kent Loftin, and Jonathan T. Ricketts, Manual del Ingeniero Civil, Cuarta edición, Vol. I, McGraw-Hill/Interamericana editores, S.A. de C.V., Cedro Num 512, Col Atlampa Delgación Cuauthémoc, C.P. 06450, México, D.F., 1999. [20] George F. Limbrunner and Abi O. Aghayere, Reinforced Concrete Design, Sixth edition, Pearson Education Inc., Upper Saddle River, New Jersey 07458, 2007. Diseño de Concreto Reforzado, Cuarta edición, Alfaomega grupo editor, S.A de C.V., Pitá[21] Jack McCormac, gorasC.1139, Colonia del Valle, 03100, México, D.F., 1999.

[22] James Grierson MacGregor, Reinforced Concrete Mechanics and Design, Third edition, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey 07458, 1997. [23] James Grierson MacGregor and James J. Wight, Reinforced Concrete Mechanics and Design , Fourth edition, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey 07458, 2005. [24] Mark Fintel and S.K. Ghosh, Economics of Long-Span Concrete Slab System for Office Building-A survey , Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 1982. [25] PCA, Capacity of Reinforced Rectangular Columns Subject to Biaxial Bending , Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 1966. [26] PCA, Biaxial and Uniaxial Capacity of Rectangular Columns, Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 1967. [27] Rabbat G. Basile, Notes on ACI318-05 Building Code Requirements for Structural Concrete , Ninth edition, First printing, Portland Cement Association, Skokie, Illinois 60077-1083, 2005. [28] Roberto Morales Morales, Diseño en Concreto Armado, Primera edición, Capítulo Peruano ACI, Calle Nueve 472, Urbanización corpac, San Isidro, Lima, Perú, 2000. [29] Roberto Ing. Morales Morales, Diseño en Concreto Armado, Tercera edición, Fondo editorial del Instituto de la Construcción y la Gerencia, Av. jorge Basadre 1199, San Isidro, Lima, Perú, 2006. [30] Simon Goldenhorn, Calculista de Estructuras de Hormigón Armado , Duodécima edición, H. F. Martinez de Murguia S.A.C y E., Buenos Aires, Argentina, 1970. [31] Steven H. Kosmatka, Beatrix Kerhoff, and William C. Panarese, Design and Control of Concrete Mixtures , Fourteenth edition, third printing (rev.)2006, Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 2002. [32] Steven H. Kosmatka, Beatrix Kerhoff, William C. Panarese, and Jussara Tanesi, Diseño y control de Mezclas de Concreto, Primera edición, Portland Cement Association, 5420 Old Orchard Road Skokie, Illinois 60077-1083 USA, 2004. [33] UNI, Concreto Armado, Secunda edición, Universidad Nacional de Ingenieria, Lima, Peru, 1990.


360

TESIS-ALUMNO

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