Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
4- Test o prueba de hipótesis 4.1 – Introducción
Hasta ahora hemos estudiado el problema de estimar un parámetro desconocido a partir de una muestra aleatoria. En muchos problemas se requiere tomar una decisión entre aceptar o rechaar una proposición sobre al!"n parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis estadística# $ el procedimiento de toma de decisión sobre la hipótesis se conoce como prueba o test de hipótesis hipótesis. %omo se emplean distribuciones de probabilidad para representar poblaciones# tambi&n podemos decir que una hipótesis estadística es una proposición sobre la distribución de probabilidad de una 'ariable aleatoria# donde la hipótesis in'olucra a uno más parámetros de esta distribución. Por e(emplo# supon!amos que cierto tipo de motor de automó'il emite una media de )** m! de ó+idos de nitró!eno ,- +/ por se!undo con )** caballos de fuera. 0e ha propuesto una modificación al dise1o del motor para reducir las emisiones de - +. El nue'o dise1o se producirá si se demuestra que la media de su tasa de emisiones es menor de )** m!2s. 0e constru$e $ se prueba una muestra de 5* motores modificados. 3a media muestral de emisiones de - + es de 4 m!2s# $ supon!amos s upon!amos que se puede asumir que σ es ) m!2s. 3a 'ariable aleatoria de inter&s en este caso es X 6 tasa de emisión de un motor modificado tomado al aar8. 3a preocupación de los fabricantes consiste en que los motores modificados no puedan reducir todas la emisiones9 es decir que la media poblacional pudiera ser )** o ma$or que )**. Entonces# la pre!unta es6 :es factible que esta muestra pueda pro'enir de una '.a. con media )** o ma$or; 3a media poblacional es realmente ma$or o i!ual que )**# $ la media muestral es menor que )** debido a la variabilidad propia propia de la 'ariable aleatoria X > 3a media poblacional es en realidad menor que )**# $ la media muestral refle(a este hecho. Estas dos e+plicaciones tienen nombres6 la primera se llama hipótesis nula9 la se!unda es la hipótesis alternativa. En la ma$oría de las situaciones la hipótesis nula dice que el efecto que indica la muestra es atribuible solamente a la 'ariación aleatoria del estadístico de prueba. 3a hipótesis alternati'a establece que el efecto que indica la muestra es 'erdadero. Para hacer las cosas más precisas# todo se e+presa mediante símbolos. 3a hipótesis nula se denota por H * # la hipótesis alternati'a se denota con H ) . %omo es usual la media poblacional se anota µ . Por lo tanto se tiene unilateral/ H * 6 µ ≥ )** contra H ) 6 µ < )** ,hipótesis alternati'a unilateral/ Esencialmente# para realiar una prueba de hipótesis se pone la hipótesis nula en (uicio. 0e asume que H * es 'erdadera# de la misma manera como se empiea en un (uicio ba(o el supuesto de que un acusado es inocente. 3a muestra aleatoria proporciona la e'idencia.
75
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
3as hipótesis son siempre proposiciones sobre los parámetros de la población o distribución bajo estudio# no proposiciones sobre la muestra. tros tipos de hipótesis que podrían formularse son H * 6 µ ≤ )** contra H ) 6 µ > )**
,hipótesis alternati'a unilateral/
H * 6 µ = )** contra H ) 6 µ ≠ )**
,hipótesis alternati'a bilateral/
o
En el e(emplo tenemos X ) # X #...# X 5* muestra aleatoria de la '.a. X definida definida anteriormente. %omo estamos haciendo una hipótesis sobre la media poblacional es raonable tomar como estadístico de prueba a X . El 'alor obser'ado de la media muestral es X = 4 . 0i el 'alor de X es mu$ menor8 que )** entonces se considera que ha$ e'idencia en contra H * $ se la rechaa# aceptando la hipótesis alternati'a. 0i el 'alor de X no es mu$ menor8 que )** entonces se considera que no ha$ e'idencia en contra H * $ se rechaa la hipótesis alternati'a. alternati'a. @a 'eremos como construir una regla de decisión# supon!amos ahora que tenemos la si!uiente re!la6 se rechaza H * si X < 45 se acepta H si X ≥ 45 *
El inter'alo 45# ∞ es la zona de aceptación. aceptación.
3a re!ión − ∞9 45 es la zona de rechazo rechazo o región crítica. crítica.
Mientras que 45 es el punto crítico. %omo estamos tomando una decisión basados en el 'alor de un estadístico podemos cometer dos tipos de errores6 rechaar H * cuando &sta es 'erdadera# es decir el estadístico toma 'alores en la ona de rechao cuando H * es 'erdadera9 o aceptar H * cuando &sta es falsa# es decir que el estadístico tome 'alores en la ona de aceptación cuando H * es falsa. El primero se conoce como error de tipo I # $ el se!undo como c omo error de tipo II . Aebido a que la decisión se basa en 'ariables aleatorias es posible asociar probabilidades a los errores e rrores de tipo $ # específicamente es pecíficamente anotamos α = P ,error de tipo I / β = P ,error de tipo II /
C α = P ,error de tipo I / se lo conoce como nivel de significancia del test . Para calcular estas probabilidades debemos conocer la distribución del estadístico de prueba en el caso de ser H * 'erdadera# es decir debemos conocer c onocer la distribución del estadístico de prueba ba(o H * 8. 7?
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
3as hipótesis son siempre proposiciones sobre los parámetros de la población o distribución bajo estudio# no proposiciones sobre la muestra. tros tipos de hipótesis que podrían formularse son H * 6 µ ≤ )** contra H ) 6 µ > )**
,hipótesis alternati'a unilateral/
H * 6 µ = )** contra H ) 6 µ ≠ )**
,hipótesis alternati'a bilateral/
o
En el e(emplo tenemos X ) # X #...# X 5* muestra aleatoria de la '.a. X definida definida anteriormente. %omo estamos haciendo una hipótesis sobre la media poblacional es raonable tomar como estadístico de prueba a X . El 'alor obser'ado de la media muestral es X = 4 . 0i el 'alor de X es mu$ menor8 que )** entonces se considera que ha$ e'idencia en contra H * $ se la rechaa# aceptando la hipótesis alternati'a. 0i el 'alor de X no es mu$ menor8 que )** entonces se considera que no ha$ e'idencia en contra H * $ se rechaa la hipótesis alternati'a. alternati'a. @a 'eremos como construir una regla de decisión# supon!amos ahora que tenemos la si!uiente re!la6 se rechaza H * si X < 45 se acepta H si X ≥ 45 *
El inter'alo 45# ∞ es la zona de aceptación. aceptación.
3a re!ión − ∞9 45 es la zona de rechazo rechazo o región crítica. crítica.
Mientras que 45 es el punto crítico. %omo estamos tomando una decisión basados en el 'alor de un estadístico podemos cometer dos tipos de errores6 rechaar H * cuando &sta es 'erdadera# es decir el estadístico toma 'alores en la ona de rechao cuando H * es 'erdadera9 o aceptar H * cuando &sta es falsa# es decir que el estadístico tome 'alores en la ona de aceptación cuando H * es falsa. El primero se conoce como error de tipo I # $ el se!undo como c omo error de tipo II . Aebido a que la decisión se basa en 'ariables aleatorias es posible asociar probabilidades a los errores e rrores de tipo $ # específicamente es pecíficamente anotamos α = P ,error de tipo I / β = P ,error de tipo II /
C α = P ,error de tipo I / se lo conoce como nivel de significancia del test . Para calcular estas probabilidades debemos conocer la distribución del estadístico de prueba en el caso de ser H * 'erdadera# es decir debemos conocer c onocer la distribución del estadístico de prueba ba(o H * 8. 7?
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
En el e(emplo anterior la muestra es !rande# $a sabemos que por T.%.3. el estadístico Z =
X − )** σ n
ve rdadera, o sea Z = ≈ N ,*#)/ si H * es verdadera,
X − )**
)
≈ N ,*#)/
5*
Entonces para calcular α planteamos6
α = P ,error de tipo I / = P rechazar H * 2 H * es V = P ( X < 45 2 µ = )** ) =
X − )** 45 − )** 45 − )** = P < ≈ Φ ) = Φ(− ).?F5 ) = ) − *.45F5 = *.*D?D ) ) 5* 5* 5*
Esto si!nifica que el D.?DG de las muestras aleatorias conducirán al rechao de la hipótesis H * 6 µ ≥)** cuando el 'erdadero µ sea ma$or o i!ual que )**. En este caso el !ráfico de la ona de rechao es
) N )**# 5*
α = *.*D?D
Ael !ráfico anterior 'emos que podemos reducir α al aumentar la ona de aceptación. Por e(emplo supon!amos que ahora la re!la de decisión es se rechaza H * si X < 4F se acepta H si X 4F ≥ *
Entonces α = P ,error de tipo I / = P rechazar H * 2 H * es V = P (X < 4F 2 µ = )** ) = X − )** 4F − )** 4F − )** = P < ≈ Φ ) = Φ(− .F57 ) = ) − *.44*?) = *.**4F4 ) ) 5* 5* 5*
77
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
Tambi&n se puede reducir α aumentando el tama1o de la muestra. 0upon!amos que n = 5 # entonces
α = P ,error de tipo I / = P rechazar H * 2 H * es V = P ( X < 45 2 µ = )** ) =
X − )** 45 − )** 45 − )** = P < ≈ Φ ) = Φ (− .)45) = ) − *.457D = *.*)D? ) ) 5 5 5
Tambi&n es importante e+aminar la probabilidad de cometer error de tipo # esto es β = P ,error de tipo II / = P ,aceptar H * 2 H * es falsa /
Pero en este caso para lle!ar a un 'alor num&rico necesitamos tener una alternati'a específica pues en nuestro e(emplo6 β = P ,error de tipo II / = P ,aceptar H * 2 H * es falsa / = P ( X ≥ 45 2 µ ≠ )** ) =
X − µ 45 − µ 45 − µ = P ≥ = ) − Φ ) = β (µ ) ) ) 5* 5* 5*
Aonde anotamos con µ a la 'erdadera media poblacional desconocida. Podemos entonces calcular β para un 'alor particular de µ # por e(emplo nos puede interesar como se comporta el test cuando la 'erdadera media es µ = 4D # entonces X − 4D 45 − 4D 45 − 4D β (4D) = P ≥ = ) − Φ ) = ) − Φ(*.FF?7 ) = ) − *.?4F* = *.F7*7 ) ) 5* 5* 5*
ráficamente6 ajo H ) 6 µ = 4D bajo H * 6 µ = )**
zona de rechazo β ,4D/ = *.F7*7
7
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
3a probabilidad β de cometer error de tipo crece a medida que el 'alor 'erdadero de µ se acerca al 'alor hipot&tico. Por e(emplo si el 'erdadero 'alor de µ fuera 4D.7 entonces X − 4D.7 45 − 4D.7 45 − 4D.7 ≥ β (4D.7 ) = P = ) − Φ = ) − Φ(*.)*)*)5 ) = ) − *.5F4F = *.D?*)7 ) ) ) 5* 5* 5* bajo H ) 6 µ = 4D.7
bajo H * 6 µ = )*I* β ,4D.7/ = *.D?*)7
zona de rechazo
Cdemás# la probabilidad β de cometer error de tipo disminuye a medida que el 'alor 'erdadero de µ se ale(a del 'alor hipot&tico. Por e(emplo si el 'erdadero 'alor de µ fuera 4* entonces X − 4* 45 − 4* 45 − 4* β (4*) = P ≥ = ) − Φ ) = ) − Φ().?F5) = ) − *.45F5 = *.*D?D ) ) 5* 5* 5* ajo H ) 6 µ = 4*
bajo H * 6 µ = )**
β (4*) = *.*D?D
zona de rechazo
74
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
Tambi&n se puede reducir la probabilidad de cometer error de tipo con el tama1o de la muestra. Por e(emplo si n = 5 entonces $ µ = 4D X − 4D 45 − 4D 45 − 4D ≥ β (4D) = P = ) − Φ ) = ) − Φ(*.DF4* ) = ) − *.?7**F = *.F447 ) ) 5 5 5
3o que se ha 'isto en los e(emplos anteriores se puede !eneraliar. Podemos recalcar los si!uientes puntos importantes6 )> El tama1o de la re!ión crítica# $ en consecuencia la probabilidad α de cometer error de tipo # siempre pueden reducirse mediante una selección apropiada de los 'alores críticos. > 3os errores tipo $ están relacionados. Jna disminución en la probabilidad en un tipo de error siempre da como resultado un aumento en la probabilidad del otro# siempre que el tama1o de la muestra no cambie. F> En !eneral# un aumento en el tama1o de la muestra reduce tanto a α como a β # siempre que los 'alores críticos se manten!an constantes. D> %uando la hipótesis nula es falsa# β aumenta a medida que el 'alor 'erdadero del parámetro tiende al 'alor hipot&tico propuesto por la hipótesis nula. El 'alor de β disminu$e a medida que aumenta la diferencia entre el 'erdadero 'alor medio $ el propuesto. En !eneral el in'esti!ador controla la probabilidad α del error de tipo cuando selecciona los 'alores críticos. Por lo tanto el rechao de la hipótesis nula de manera errónea se puede fi(ar de antemano. Eso hace que rechaar la hipótesis nula sea una conclusión fuerte . 3a probabilidad β de error de tipo no es constante# sino que depende del 'alor 'erdadero del paráme> tro. Tambi&n depende β del tama1o de la muestra que se ha$a seleccionado. %omo β está en función del tama1o de la muestra $ del 'alor 'erdadero del parámetro# la decisión de aceptar la hipótesis nula se la considera una conclusión débil # a menos que se sepa que β es aceptablemente peque1o. Por lo tanto cuando se acepta H * en realidad se es incapaz de rechazar H * . No se puede rechazar H * pues no hay evidencia en contra H * . Jn concepto importante es el si!uiente6 3a potencia de un test es la probabilidad de rechaar la hipótesis nula. 3a simboliamos π (µ ) . Para los valores de µ tal ue la alternativa es verdadera se tiene
π (µ ) = P rechazar H * 2 H * es falsa = ) − β (µ )
3as pruebas estadísticas se comparan mediante la comparación de sus propiedades de potencia. 3a potencia es una medida de la sensibilidad del test# donde por sensibilidad se entiende la capacidad de una prueba para detectar diferencias. En el e(emplo anterior# la sensibilidad de la prueba para detectar la diferencia entre una tasa de emisión media de )** $ otra de 4D es π (4D) = ) − β (4D) = ) − *.F7*7 = *.?4F . Es decir si el 'alor 'erdadero de la tasa de emisión media es 4D# la prueba rechaará de manera correcta H * $ detectará esta diferencia el ?.4FG de las 'eces. 0i el in'esti!ador piensa que este 'alor es ba(o entonces el in'esti!ador puede aumentar α o el tama1o de la muestra.
*
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
4.2 – Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida
=eamos ahora cómo construir una re!la de decisión sobre la media de una población. !upongamos ue la variable aleatoria de interés " tiene una media µ y una varianza σ conocida. #sumimos ue " tiene distribución normal, es decir X K N , µ # σ / .
-ue'amente# como en el e(emplo introductorio# es raonable tomar como estadístico de prueba al pro> σ medio muestral X . Ba(o las suposiciones hechas tenemos que X K N µ # . n
0upon!amos que tenemos las hipótesis H * 6 µ = µ *
H ) 6 µ ≠ µ *
contra
Aonde µ * es una constante específica. 0e toma una muestra aleatoria X ) # X #...# X n de la población.
0i H * 6 µ = µ * es 'erdadera# entonces X K N µ * #
σ
# por lo tanto el estadístico n
X − µ * tiene distribución N ,*#)/ si H * 6 µ = µ * es 'erdadera σ n Tomamos a Z como estadístico de prueba
Z =
0i H * 6 µ = µ * es 'erdadera entonces P − z α ≤ Z ≤ z α = ) − α
N ,*#)/
α
α
− z α
*
z α
Lona de aceptación Es e'idente que una muestra que produce un 'alor del estadístico de prueba que cae en las colas de la distribución de Z será inusual si H * 6 µ = µ * es 'erdadera# por lo tanto esto es un indicador que H * es falsa. Entonces la re!la de decisión es6 rechazar H * si Z > z α aceptar H si Z ≤ z α *
)
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
-otar que la probabilidad que la estadística de prueba tome un 'alor que cai!a en la ona de rechao si H * es 'erdadera es i!ual a α # es decir la probabilidad de cometer error de tipo es α pues X − µ * P ,error de tipo I / = P rechazar H * 2 H * es V = P > z α σ n X − µ * X − µ * α α = P > z α + P < − z α = + = α σ σ n n
µ = µ * =
E(emplo6 El porcenta(e deseado de 0i en cierto tipo de cemento aluminoso es 5.5. Para probar si el 'erdadero promedio de porcenta(e es 5.5 para una planta de producción en particular# se analiaron )? muestras obtenidas de manera independiente. 0upon!amos que el porcenta(e de 0i en una muestra está nor> malmente distribuido con σ = F # $ que x = 5.5 . :ndica esto de manera conclu$ente que el 'erdadero promedio de porcenta(e difiere de 5.5;. Jtilice α = *.*) 0olución6 3a '.a. de inter&s es X 6 porcenta(e de 0i en cierto tipo de cemento aluminoso8 Csumimos que X K N ,µ # F / Podemos plantear las hipótesis H * 6 µ = 5.5 contra
H ) 6 µ ≠ 5.5
Tenemos una muestra de tama1o n = )? que dio un promedio muestral x = 5.5 %omo α = *.*) entonces z α = z *.**5 = .575
X − 5.5 rechazar H si > .575 * F )? Por lo tanto la re!la de decisión es X − 5.5 aceptar H * si ≤ .575 F )?
El estadístico
X − 5.5
F
toma el 'alor z * =
)?
5.5 − 5.5 = *.FFFFFF F )?
%omo z * = *.FFFFFF < .575 = z *.*) se acepta H *
Tambi&n podemos desarrollar tests o pruebas de hipótesis para el caso de que la hipótesis alternati'a es unilateral.
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
0upon!amos las hipótesis H * 6 µ = µ *
H ) 6 µ > µ *
contra
En este caso la re!ión crítica debe colocarse en la cola superior de la distribución normal estándar $ el rechao de H * se hará cuando el 'alor calculado de z * sea mu$ !rande# esto es la re!la de decisión será X − µ * > z α rechazar H * si σ n aceptar H si X − µ * ≤ z α * σ n
N ,*#)/
α
*
zona de aceptacion
z α
Ae manera similar para las hipótesis H * 6 µ = µ *
contra
H ) 6 µ < µ *
se calcula el 'alor del estadístico de prueba z * $ se rechaa H * si el 'alor de z * es mu$ peque1o# es decir la re!la de decisión será X − µ * < − z α rechazar H * si σ n aceptar H * si X − µ * ≥ − z α σ n
F
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
N ,*#)/
α
− z α
*
zona de aceptacion
E(emplo6 0e sabe que la duración# en horas# de un foco de 75 atts tiene una distribución apro+imadamente nor> mal# con una des'iación estándar de σ = 5 horas. 0e toma una muestra aleatoria de * focos# la cual resulta tener una duración promedio de x = )*D* horas :E+iste e'idencia que apo$e la afirmación de que la duración promedio del foco es ma$or que )*** horas;. Jtilice α = *.*5 . 0olución6 3a '.a. de inter&s es N6 duración en horas de un foco tomado al aar8 Csumimos X K N , µ # 5 / Podemos plantear las hipótesis H * 6 µ = )*** contra
H ) 6 µ > )***
Tenemos una muestra de tama1o n = * que dio un promedio muestral x = )*D* %omo α = *.*5 entonces z α = z *.*5 = ).?D5 X − )*** > ).?D5 rechazar H * si 5 * Por lo tanto la re!la de decisión es aceptar H * si X − )*** ≤ ).?D5 5 * )*D* − )*** X − )*** El estadístico toma el 'alor Z = toma el 'alor z * = = 7.)55D
5
* %omo z * = 7.)55D > ).?D5 = z *.*5 se rechaa H *
5
*
P- valor
Hasta ahora se dieron los resultados de una prueba de hipótesis estableciendo si la hipótesis nula fue o no rechaada con un 'alor especificado de α o ni'el de si!nificancia. C menudo este planteamiento resulta inadecuado# $a que no proporciona nin!una idea sobre si el 'alor calculado del estadístico está apenas en la re!ión de rechao o bien ubicado dentro de ella. Cdemás# esta forma de establecer los resultados impone a otros usuarios el ni'el de si!nificancia predeterminado.
D
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
Para e'itar estas dificultades# se adopta el enfoque del p$valor . El valor p o p$valor es la probabilidad de que el estadístico de prueba tome un 'alor que sea al menos tan e+tremo como el 'alor obser'ado del estadístico de prueba cuando la hipótesis nula es 'erdadera. Es así como el p>'alor da mucha informa> ción sobre el peso de la e'idencia contra H * # de modo que el in'esti!ador pueda lle!ar a una conclusión para cualquier ni'el de si!nificancia especificado. 3a definición formal del p>'alor es la si!uiente6 El valor p es el ni'el de si!nificancia más peque1o que conduce al rechao de la hipótesis nula H * Para las pruebas de distribuciones normales presentadas hasta el momento# es sencillo calcular el p> 'alor. 0i z * es el 'alor calculado del estadístico de prueba Z # entonces el p>'alor es a/ si las hipótesis son H * 6 µ = µ * contra H ) 6 µ ≠ µ * p − valor = P ( Z > z * ) = ) − P ( Z < z * ) = ) − [Φ ( z * )− Φ (− z * )] = ) − [Φ( z * ) − )] = [) − Φ ( z * )] b/ si las hipótesis son H * 6 µ = µ * contra H ) 6 µ > µ * p − valor = P ( Z > z * ) = ) − P ( Z ≤ z * ) = ) − Φ (z * ) c/ si las hipótesis son H * 6 µ = µ * contra H ) 6 µ < µ * p − valor = P ( Z < z * ) = Φ (z * )
Jn p>'alor mu$ chico si!nifica mucha e'idencia en contra de H * % un p>'alor alto si!nifica que no ha$ e'idencia en contra H * -otar que6 0i α < p − valor entonces se acepta H * con ni'el de si!nificancia α 0i α > p − valor entonces se rechaa H * con ni'el de si!nificancia α Esto se ilustra en las si!uientes fi!uras6
α p − valor
z α
z *
zona de rechazo
z * z α zona de rechazo
E(emplos6 )> En el e(emplo ante"ltimo referido al porcenta(e deseado de 0i en cierto tipo de cemento aluminoso las hipótesis eran6 H * 6 µ = 5.5 contra H ) 6 µ ≠ 5.5 9 $ el estadístico de prueba tomó el 'alor z * = *.FFFFFF < .575 = z *.*) 9 por lo tanto se aceptaba H * .
5
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
En esta caso p − valor = P ( Z > z * ) = [) − Φ ( z * )] = [) − Φ(*.FFFFF)] = [) − *.?4F*] = *.7D)D &omo el p$valor es muy alto no hay evidencia en contra H * . 0e necesitaría tomar un 'alor de α ma$or a *.7D)D para rechaar H * . > En el "ltimo e(emplo# sobre la duración# en horas# de un foco de 75 atts# las hipótesis eran H * 6 µ = )*** contra H ) 6 µ > )*** 9 $ el estadístico Z tomó el 'alor z * = 7.)55D > ).?D5 = z *.*5 9 por lo tanto se rechaaba H * . En este caso p − valor = P ( Z > z * ) = ) − Φ (z * ) = ) − Φ (7.)55D ) ≈ * %omo el p>'alor es casi cero ha$ mucha e'idencia en contra de H * . Prácticamente para nin!"n 'alor de α se acepta H * Error de tipo II y selección del tamao de la muestra
En la prueba de hipótesis el in'esti!ador selecciona directamente la probabilidad del error de tipo . 0in embar!o# la probabilidad β de cometer error de tipo depende del tama1o de la muestra $ del 'alor 'erdadero del parámetro desconocido. 0upon!amos las hipótesis H * 6 µ = µ * contra H ) 6 µ ≠ µ * Entonces si anotamos con µ al 'alor 'erdadero del parámetro X − µ * β = P (aceptar H * H * es falsa ) = P ≤ z α σ n X − µ *
%omo la hipótesis nula es falsa# entonces
µ ≠ µ *
no tiene distribución N ,*#)/
σ n
Por lo tanto hacemos lo si!uiente6 X − µ * X − µ + µ − µ * X − µ µ − µ * 9 = = + σ σ σ σ n n n n
$ ahora como
X − µ K N ,*#)/ pues se estandarió a σ n
X con el 'erdadero µ # entonces
X − µ * ≤ z α β = P σ n
X − µ * ≤ z α µ ≠ µ * = P − z α ≤ σ n
X − µ µ − µ * = P − z α ≤ + ≤ z α σ σ n n
µ ≠ µ * =
(µ − µ * ) X − µ (µ − µ * ) ≤ ≤ z α − µ ≠ µ * = P − z α − = σ σ σ n n n
?
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
(µ − µ * ) (µ − µ * ) (µ − µ * ) (µ − µ * ) = Φ z α − − Φ − z α − = Φ z α − n − Φ − z α − n σ σ σ σ n n
En consecuencia 0i las hipótesis son H * 6 µ = µ *
β (µ ) = Φ z α −
contra H ) 6 µ ≠ µ * # entonces
(µ − µ * ) σ
n − Φ − z α −
(µ − µ * ) σ
n
Para un 'alor específico de µ $ un 'alor de α dado# podemos pre!untarnos qu& tama1o de muestra se necesita para que β sea menor que un 'alor dado en particular β * .
Por e(emplo si µ − µ * > * entonces podemos apro+imar Φ − z α −
(µ − µ * )
n ≈ * # $ planteamos que
σ
. Buscamos en la tabla de la N ,*#)/ para qu& z se cumple que σ Φ ( z ) = β * # lo anotamos − z β * # $ entonces podemos escribir
β (µ ) = Φ z α −
(µ − µ * )
n < β *
z α −
(µ − µ * )
σ
n < − z β *
⇒ z α + z β * <
(µ − µ * ) σ
z α + z β * σ ⇒ n > (µ − µ * )
n
En el caso de ser µ − µ * < * entonces podemos apro+imar Φ z α −
(µ − µ * )
n ≈ ) # $ planteamos que
σ (µ − µ * ) (µ − µ * ) β (µ ) = ) − Φ − z α − n < β * . Es decir ) − β * < Φ − z α − n σ σ Buscamos en la tabla de la N ,*#)/ para qu& z se cumple que Φ( z ) = ) − β * # lo anotamos z β * # $ enton>
ces podemos escribir
− z α −
(µ − µ * ) σ
n > z β *
⇒ z α + z β * < −
(µ − µ * ) σ
⇒
n
{
µ > µ * <*
z α + z β * σ n> (µ − µ * )
En consecuencia queda la misma fórmula que la anterior Por lo tanto 0i las hipótesis son H * 6 µ = µ *
contra H ) 6 µ ≠ µ * # entonces
z α + z β * σ n> (µ − µ * )
7
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
En forma análo!a se pude probar que si las hipótesis son H * 6 µ = µ *
contra H ) 6 µ > µ *
Entonces X − µ * ≤ z α β = P (aceptar H * H * es falsa ) = P σ n X − µ µ − µ * = P + ≤ z α σ σ n n
µ ≠ µ * =
X − µ (µ − µ * ) (µ − µ * ) (µ − µ * ) ≤ z α − µ ≠ µ * = P n = Φ z α − = Φ z α − σ σ σ σ n n n
Entonces 0i las hipótesis son 6
H * 6 µ = µ *
β (µ ) = Φ z α −
@ si tenemos las hipótesis H * 6 µ = µ *
contra H ) 6 µ > µ * entonces
(µ − µ * )
n
σ
contra H ) 6 µ < µ *
X − µ * β = P (aceptar H * H * es falsa ) = P ≥ − z α µ ≠ µ * = σ n X − µ µ − µ * X − µ (µ − µ * ) (µ − µ * ) n = P + ≥ − z α µ ≠ µ * = P ≥ − z α − = ) − Φ − z α − σ σ σ σ σ n n n n
Entonces 0i las hipótesis son 6
H * 6 µ = µ *
β (µ ) = ) − Φ − z α −
@
además
con
una
deducción
0i las hipótesis son H * 6 µ = µ *
contra H ) 6 µ < µ * entonces (µ − µ * ) σ
análo!a
n
al
caso
de
alternati'a
bilateral6
contra H ) 6 µ > µ * # ,o H ) 6 µ > µ * / entonces n>
( z
α
+ z β * ) σ
(µ − µ * )
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
E(emplos6 )> En el e(emplo referido al porcenta(e deseado de 0i en cierto tipo de cemento aluminoso las hipótesis eran6 H * 6 µ = 5.5 contra H ) 6 µ ≠ 5.5 9 $ el estadístico de prueba tomó el 'alor z * = *.FFFFFF < .575 = z *.*) 9 por lo tanto se aceptaba H * . Teníamos n = )? $ σ = F
0i el 'erdadero promedio de porcenta(e es µ = 5.? $ se realia una prueba de ni'el α = *.*) con base en n = )?# :cuál es la probabilidad de detectar esta des'iación; :Ou& 'alor de n se requiere para satisfacer α = *.*) $ β ,5.?/ = *.*) ; 0olución6 3a probabilidad de detectar la des'iación es la potencia del test cuando µ = 5.? # es decir
π (5.? ) = P rechazar H * 2 H * es falsa = ) − β (5.? )
%omo estamos con hipótesis alternati'a bilateral# calculamos
σ σ (5.? − 5.5) (5.? − 5.5) )? − Φ − .575 − )? = Φ(.DD)) − Φ (− .7*) = = Φ .575 − F F = *.44?? − () − *.44??D) = *.44F ⇒ π (5.? ) = *.*)*7
β (5.?) = Φ z α −
(5.? − µ * )
n − Φ − z α −
(5.? − µ * )
n =
Chora se quiere hallar n tal que β ,5.?/ = *.*) # como el test es bilateral podemos usar directamente la fórmula con z β * = z *.*) = .FF
z α + z β * σ (.575 + .FF) F = = )?5F .)5 n> (µ − µ * ) (5.? − 5.5)
⇒
n ≥ )?5D
> En el "ltimo e(emplo# sobre la duración# en horas# de un foco de 75 atts# las hipótesis eran H * 6 µ = )*** contra H ) 6 µ > )*** 9 $ el estadístico Z tomó el 'alor z * = 7.)55D > ).?D5 = z *.*5 9 por lo tanto se rechaaba H * . En este caso σ = 5 $ n = * 0i la 'erdadera duración promedio del foco es )*5* horas# :cuál es la probabilidad de error de tipo para la prueba; :Ou& tama1o de muestra es necesario para ase!urar que el error de tipo no es ma$or que *.)* si la duración promedio 'erdadera del foco es )*5 hs. ; 0olución6 %omo las hipótesis son H * 6 µ = )*** contra H ) 6 µ > )*** entonces
β (µ ) = Φ z α −
(µ − µ * ) σ
n = Φ).?D5 −
()*5* − )*** ) 5
* = Φ (− 7.447 ) ≠ *
Para hallar n tal que β ()*5) ≤ *.) aplicamos la fórmula con z β * = z *.) = ).5
4
Test de hipótesis
n>
( z
α
Prof. María B. Pintarelli
+ z β * ) σ
(µ − µ * )
().?D5 + ).5) 5 = = .5D ⇒ ()*5 − )*** )
n≥4
!elación entre test de hipótesis e intervalos de con"ianza
E+iste una estrecha relación entre la prueba de hipótesis bilateral sobre un parámetro µ $ el inter'alo de confiana de ni'el ) − α para µ . Específicamente supon!amos que tenemos las hipótesis H * 6 µ = µ *
contra H ) 6 µ ≠ µ *
3a re!la de decisión es X − µ * rechazar H si > z α * σ n X − µ * aceptar H * si ≤ z α σ n
Cceptar H * si
X − µ * ≤ z α σ n
es equi'alente a6 aceptar H * si − z α ≤
X − µ * ≤ z α 9 $ esto es a σ n
su 'e equi'alente# despe(ando µ * # a6 aceptar H * si X − z %
µ * & # X − z
#$
α
σ
n
α
σ
n
9 X + z
% Pero resulta que # X − z #$
α
≤ µ * ≤ X + z
σ
α
σ
n
n
α
σ
n
9 es decir si
" !
9 X + z
α
σ
n
" es el inter'alo de confiana que se construiría !
para el 'erdadero parámetro µ de ni'el ) − α . Por lo tanto la re!la de decisión queda6 % " rechazar H si µ ' # X − z α σ α σ 9 X + z * * n n #$ ! % " σ σ α α 9 X + z aceptar H * si µ * & # X − z n n # $ !
4*
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
E(emplo6 En el e(emplo referido al porcenta(e deseado de 0i en cierto tipo de cemento aluminoso las hipótesis eran6 H * 6 µ = 5.5 contra H ) 6 µ ≠ 5.5 9 $ teníamos n = )? 9 σ = F 9 un promedio muestral x = 5.5 %omo α = *.*) entonces z α = z *.**5 = .575
%onstruimos un inter'alo de confiana de ni'el ) − α = ) − *.*) = *.44 % # X − z #$
α
σ
n
9 X + z α σ
" % = #5.5 − .575 n # ! $
F )?
9 5.5 + .575
F )?
" = F.F)759 7.))5 !
[
]
Entonces la re!la de decisión es6 rechazar H * si 5.5 ' [F.F)759 7.))5 ] aceptar H si 5.5 & [F.F)759 7.))5 ] *
%omo 5.5 & [F.F)759 7.))5 ]# entonces se acepta H * . 4.# – Prueba de hipótesis sobre la media, varianza desconocida para muestras $randes
Hasta ahora se ha desarrollado el procedimiento de test de hipótesis para la hipótesis nula H * 6 µ = µ * suponiendo que σ es conocida# pero en la ma$oría de las situaciones prácticas σ es desconocida. En !eneral si n ≥ F* # entonces la 'ariana muestral S está pró+ima a σ en la ma$or parte de las muestras# de modo que es posible sustituir S por σ . Es decir el estadístico Z =
X − µ * ≈ N ,*#)/ S n
apro+imadamente# si n ≥ F* si H * 6 µ = µ *
Cdemás# si no podemos decir que la muestra aleatoria pro'iene de una población normal# sea σ cono> cida o no# por T.%.3. los estadísticos Z =
X − µ * ≈ N ,*#)/ apro+imadamente# si n ≥ F* si H * 6 µ = µ * S n
@ X − µ * ≈ N ,*#)/ apro+imadamente# si n ≥ F* si H * 6 µ = µ * σ n 3as pruebas de hipótesis tendrán entonces un ni'el de si!nificancia apro'imadamente de α Z =
E(emplo6 Jn inspector midió el 'olumen de llenado de una muestra aleatoria de )** latas de (u!o cu$a etiqueta afirmaba que contenían ) o. 3a muestra tenía una media de 'olumen de )).4 o $ des'iación están>
4)
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
dar de *.)4 o. 0ea µ la 'erdadera media del 'olumen de llenado para todas las latas de (u!o reciente> mente llenadas con esta máquina. El inspector probará H * 6 µ =) contra H ) 6 µ ≠ ) a/ Aeterminar el p>'alor b/ :Piensa que es factible que la media del 'olumen de llenado es de ) o; 0olución6 3a '.a. de inter&s sería X 6 'olumen de llenado de una lata tomada al aar8 -o se especifica nin!una distribución para X . Cnotamos E , X / = µ $ V , X / = σ # ambas desconocidas. 0e toma una muestra de n = )** latas $ se obtiene x = )).4 $ s = *.)4 3as hipótesis son H * 6 µ = ) contra H ) 6 µ ≠ ) El estadístico de prueba es Z =
X − µ * X − ) = S S n )**
$
si H * 6 µ = ) es 'erdadera entonces Z ≈ N ,*#)/
)).4 − ) = −).*5? *.)4 )** %omo la hipótesis alternati'a es bilateral entonces p − valor = P ( Z > z * ) ≈ [) − Φ ().*5?)] = [) − *.5F)D] = *.4F7 %omo el p>'alor es ma$or que *.*5 se considera que no hay evidencia en contra de H * 6 µ = ) Por lo tanto es factible ue la media del volumen de llenado sea de () oz El estadístico Z toma el 'alor z * =
4.4 – Prueba de hipótesis sobre la media de una distribución normal, varianza desconocida
%uando se prueban hipótesis sobre la media µ de una población cuando σ es desconocida es posible utiliar los procedimientos de prueba dados anteriormente siempre $ cuando el tama1o de la muestra sea !rande , n ≥ F* /. Estos procedimientos son apro+imadamente 'álidos sin importar si la población de inter&s es normal o no. Pero si la muestra es peque1a $ σ es desconocida debe suponerse que la distri> bución de la 'ariable de inter&s es normal. Específicamente# supon!amos que la '.a. de inter&s tiene distribución N , µ #σ / donde µ $ σ son desconocidas. 0upon!amos las hipótesis H * 6 µ = µ * contra H ) 6 µ ≠ µ * 0ea X ) 9 X #...# X n una muestra aleatoria de tama1o n de la '.a. X $ sean X $ S la media $ la 'ariana muestrales respecti'amente. El procedimiento se basa en el estadístico T =
X − µ * S 2 n
El cual# si la hipótesis nula es verdadera# tiene distribución !tudent con n$( grados de libertad . Entonces# para un ni'el α prefi(ado# la re!la de decisión es
4
Test de hipótesis
rechazar H * si T > t α #n −) aceptar H si T ≤ t * α # n−)
Prof. María B. Pintarelli
es decir
X − µ * rechazar H si > t α * # n−) S n X − µ * aceptar H * si ≤ t α #n−) S n
3a ló!ica si!ue siendo la misma# si el estadístico de prueba toma un 'alor inusual# entonces se consi> dera que ha$ e'idencia en contra H * $ se rechaa la hipótesis nula. %omo ahora la distribución del estadístico es 0tudent# nos fi(amos si T toma un 'alor t * en las colas de la distribución 0tudent con n! !rados de libertad. rechazar H * si T > t α #n−) 0i la alternati'a es H ) 6 µ > µ * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si T ≤ t α #n−) rechazar H * si T < −t α #n−) 0i la alternati'a es H ) 6 µ < µ * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si T ≥ −t α #n−)
E(emplo6 Cntes de que una sustancia se pueda considerar se!ura para enterrarse como residuo se deben caracteri> ar sus propiedades químicas. 0e toman ? muestras de lodo de una planta de tratamiento de a!ua resi> dual en una re!ión $ se les mide el pH obteni&ndose una media muestral de ?.? $ una des'iación están> dar muestral de *.*. :0e puede concluir que la media del pH es menor que 7.*; Jtiliar α = *.*5 $ suponer que la muestra fue tomada de una población normal. 0olución6 3a '.a. de inter&s es X 6 pH de una muestra de lodo tomada al aar8 Csumimos que X tiene distribución N , µ #σ / 3as hipótesis serían H * 6 µ = 7.* contra H ) 6 µ < 7.* ?.? − 7.* X − 7.* El estadístico de prueba es T = $ toma el 'alor t * = = −F.4)4 S 2 ? *.* 2 ? Buscamos en la tabla de la distribución 0tudent t α #n −) = t *.*5#5 = .*)5 Entonces como t * = −F.4)4 < −t α #n−) = −t *.*5#5 = −.*)5 se rechaa H * # por lo tanto ha$ e'idencia que µ < 7.* P-valor de un test t
En este caso el cálculo del p> 'alor se realia considerando6 0i t * es el 'alor calculado del estadístico de prueba T # entonces el p>'alor es a/ las hipótesis son H * 6 µ = µ * contra H ) 6 µ ≠ µ * p − valor = P ( T > t * ) = ) − P (T ≤ t * ) = () − P (T ≤ t * )) b/ las hipótesis son H * 6 µ = µ * contra H ) 6 µ > µ * p − valor = P (T > t * ) = ) − P (T ≤ t * ) 4F
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli H * 6 µ = µ *
c/ las hipótesis son
contra H ) 6 µ < µ *
p − valor = P (T ≤ t * )
Para calcular el p>'alor en una prueba t nos encontramos con la dificultad que las tablas de la 0tudent no son completas# por lo tanto en al!unas ocasiones se deberá acotar el p>'alor En el e(emplo anterior para calcular el p>'alor de la prueba como es un test con alternati'a unilateral p − valor = P (T ≤ t * ) = P (T ≤ −F.4)4 ) Buscamos en la tabla de la distribución 0tudent la fila donde fi!uran ( = 5 !rados de libertad $ 'emos que el 'alor F.4)4 no está tabulado. Pero F.F?5 < F.4)4 < D.*F # $ P (T 5 > F.F?5) = *.*) $ P (T 5 > D.*F) = *.**5 Por lo tanto *.**5 < P (T 5 > F.4)4 ) < *.*) # es decir *.**5 < p − valor = P (T 5 < −F.4)4) < *.*) Podemos deducir que e+iste e'idencia de que la media del pH es menor que *.7
4.% – Prueba de hipótesis sobre la di"erencia de dos medias, varianzas conocidas
0upon!amos que tenemos dos 'ariables aleatorias independientes normalmente distribuidas6 X ) % N ( $) # " ) ) X % N ( $ #" )
$ suponemos que las 'arianas " ) $ " son conocidas.
0ean además
X )) # X ) #&& X )n) ) una muestra aleatoria de tama1o n) de X ) X ) # X #&& X n una muestra aleatoria de tama1o n de X .
El inter&s recae en probar que µ ) − µ = ) * donde ) * es un 'alor fi(ado# por e(emplo si ) * = * entonces se querrá probar que µ ) − µ = * es decir que las medias son i!uales. @a sabemos que ba(o las suposiciones anteriores " ) ) n) X ) = * X )i % N $) # n) i =) n) n " X = ) X % N $ # i n * i =) n
@ además
σ )
n)
X ) − X K - µ ) − µ #
+
σ
.
n
Por lo tanto Z =
X ) − X − (µ ) − µ ) σ ) n)
+
σ
K - (*#)) # es decir# tiene distribución normal estandariada.
n
4D
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
0i consideramos las hipótesis H * 6 µ ) − µ = ) *
contra H ) 6 µ ) − µ ≠ ) *
Entonces usamos como estadístico de prueba a Z =
X ) − X − ) * σ ) n)
@
Z =
X ) − X − ) * σ ) n)
+
σ
K -(*#))
si
+
σ n
H * 6 µ ) − µ = ) *
es 'erdadera
n
Por lo tanto la re!la de decisión será rechazar H * si Z > z α aceptar H si Z ≤ z * α
donde
Z =
X ) − X − ) * σ ) n)
+
σ n
rechazar H * si Z > z α 0i H ) 6 µ ) − µ > ) * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si Z ≤ z α rechazar H * si Z < − z α 0i H ) 6 µ ) − µ < ) * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si Z ≥ − z α
E(emplos6 )> Jn dise1ador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapaporos. 0e prueban dos fórmulas de pintura. 3a fórmula ) tiene el contenido químico estándar# $ la fórmula tiene un nue'o in!rediente secante que debe reducir el tiempo de secado. Ae la e+periencia se sabe que la des'iación estándar del tiempo de secado es minutos# $ esta 'ariabilidad no debe 'erse afectada por la adición del nue'o in!rediente. 0e pintan )* especímenes con la fórmula ) $ otros )* con la fór> mula los tiempos promedio de secado muestrales fueron x) =)) minutos $ x = )) minutos res> pecti'amente. :C qu& conclusiones debe lle!ar el dise1ador del producto sobre la eficacia del nue'o in!rediente uti> liando α = *.*5 ; 0olución6 Cquí las hipótesis son H * 6 µ ) − µ = * El estadístico de prueba es Z =
X ) − X
+ )* )*
contra H ) 6 µ ) − µ > * $ toma el 'alor z * =
)) − )) = .5 + )* )* 45
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
Buscamos en la tabla de la normal estándar z α = z *.*5 = ).?D5 %omo z * = .5 > z α = z *.*5 = ).?D5 se rechaa H * al ni'el *.*5 $ se conclu$e que el nue'o in!redien> te disminu$e el tiempo de secado. *l cálculo del p$valor y la deducción de β la probabilidad de cometer error de tipo II se obtienen de manera análoga a los casos anteriores. Por
e(emplo para la alternati'a bilateral la e+presión para β
es la si!uiente donde anotamos µ ) − µ − ) = ) * − ) = + + + β = P (aceptar H * H * es falsa ) = Φ z α − z − Φ − − α σ ) σ σ ) σ + + n n n n ) )
En el e(emplo anterior el p − valor = P ( Z > z * ) = P (Z > .5) = ) − Φ (.5 ) = * − **54 Tambi&n es posible obtener fórmulas para el tama1o de la muestra necesario para obtener una β espe> cífica para una diferencia dada en las medias µ ) − µ − ) = ) * − ) = + $ α . 0i asumimos que n) = n = n entonces
Para H ) 6 µ ) − µ ≠ ) *
Para H ) 6 µ ) − µ > ) *
es
z α + z β * (σ ) + σ ) n >
+
o H ) 6 µ ) − µ < ) * es
n>
( z
α
+ z β * ) (σ ) + σ
)
+
4.& – Prueba de hipótesis sobre la di"erencia de dos medias, varianzas desconocidas 'aso 1( σ ) ≠ σ
0upon!amos que tenemos dos 'ariables aleatorias independientes normalmente distribuidas6 X ) % N ( $) # " ) ) X % N ( $ #" )
$ las 'arianas " ) $ " son desconocidas .
$ además
4?
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
X )) # X ) #&& X )n) es una muestra aleatoria de tama1o n) de X )
X ) # X #&& X n ) es una muestra aleatoria de tama1o n de X .
0i las muestras aleatorias se toma de una distribución normal# donde σ ) $ σ son desconocidos# n) ≥ F* $ n ≥ F* # entonces se puede probar que al reemplaar σ ) por S ! $ σ por S '# el estadístico X ) − X − , µ ) − µ /
S ) n)
≈ N ,*#)/
&
apro'imadamente
S n
+
X ) − X − )*
Por lo tanto si anotamos Z =
S )
n)
+
'alen las re!las de decisión 'istas en la sección
S
n
anterior# con la diferencia que el ni'el de si!nificancia del test será apro'imadamente ) − α 0i ahora n) o n no son mayores ue + # entonces T =
X ) − X − )*
S ) n)
+
tiene distribución apro+imadamente 0tudent con H * 6 µ ) − µ = ) * donde
( =
S S ) + n) n
S ) n) n) − )
S n ( !rados de libertad ba(o la hipótesis
si ( no es entero# se toma el entero más pró'imo a (
S n
+
n − )
Por lo tanto# si las hipótesis son H * 6 µ ) − µ = ) *
contra H ) 6 µ ) − µ ≠ ) * entonces la re!la de decisión es
rechazar H * si T > t α #( aceptar H * si T ≤ t α #( rechazar H * si T > t α #( 0i H ) 6 µ ) − µ > ) * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si T ≤ t α #(
47
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
rechazar H * si T < −t α #( 0i H ) 6 µ ) − µ < ) * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si T ≥ −t α #(
E(emplo6 Jn fabricante de monitores prueba dos dise1os de microcircuitos para determinar si producen un flu(o de corriente equi'alente. El departamento de in!eniería ha obtenido los datos si!uientes6 (ise)o !
n) = )5
(ise)o '
n = )*
x) =
D. x = F.4
s) = )* s = *
%on α = *.)* se desea determinar si e+iste al!una diferencia si!nificati'a en el flu(o de corriente me> dio entre los dos dise1os# donde se supone que las poblaciones son normales. 0olución6 3as 'ariables aleatorias de inter&s son X ) 6 flu(o de corriente en dise1o )8 X 6 flu(o de corriente en dise1o 8 Csumimos que X ) K -(µ ) # σ ) ) $ X K - (µ # σ ) donde los parámetros son desconocidos 3as hipótesis serían H * 6 µ ) − µ = * contra H ) 6 µ ) − µ ≠ * El estadístico de prueba es
X ) − X
T =
S )
+
)5 )* Aebemos buscar en la tabla de la distribución 0tudent t α = t *.)*
( =
S S ) + n) n
S )
n) − )
+
#(
#(
S
n)
D. − F.4 = *.) )* * + )5 )* entonces calculamos
que en este caso toma el 'alor t * =
S
n
= )D.4FF ≈ )5
n − )
Por lo tanto t α = t *.*5#)5 = ).75F
#(
%omo t * = *.) < t *.*5#)5 = ).75F entonces se acepta H * 6 µ ) − µ = * -o ha$ e'idencia fuerte que las medias de los dos flu(os de corriente sean diferentes. 0i calculamos el p>'alor p − valor = P (T > t * ) = P (T > *.)) > *.D*
4
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
'aso 2( σ ) = σ = σ
0upon!amos que tenemos dos 'ariables aleatorias independientes normalmente distribuidas6 X ) % N ( $) # " ) ) X % N ( $ #" )
$ las 'arianas " ) $ " son desconocidas pero iguales.
$ además X )) # X ) #&& X )n) es una muestra aleatoria de tama1o n) de X )
( X ) # X #&& X ) es una muestra aleatoria de tama1o n de X . n
0ean X ) $ X las medias muestrales $ S ) $ S las 'arianas muestrales. %omo S ) $ S son los estimadores de la 'ariana com"n σ # entonces construimos un estimador combinado de σ . Este estimador es
S p =
(n) − ))S ) + (n − ))S n) + n −
0e puede comprobar que es un estimador inses!ado de σ . @a 'imos que se puede probar que el estadístico X ) − X − ) * r
T =
S p
) n)
+
)
tiene distribución 0tudent con n) + n − !rados de libertad
n
Por lo tanto# si las hipótesis son H * 6 µ ) − µ = ) *
contra H ) 6 µ ) − µ ≠ ) * entonces la re!la de decisión es
rechazar H * si T > t α # n) + n − aceptar H si T ≤ t * α # n) + n − rechazar H * si T > t α #n) +n − 0i H ) 6 µ ) − µ > ) * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si T ≤ t α #n) + n − rechazar H * si T < −t α #n) + n − 0i H ) 6 µ ) − µ < ) * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si T ≥ −t α # n) + n −
E(emplo6 0e tienen las mediciones del ni'el de hierro en la san!re de dos muestras de ni1os6 un !rupo de ni1os sanos $ el otro padece fibrosis quística. 3os datos obtenidos se dan en la si!uiente tabla6 sanos
n) = 4
x) = ).4
s) = 5.4
enfer*os
n = )F
x = )).4
s = ?.F
44
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
Podemos asumir que las muestras pro'ienen de poblaciones normales independientes con i!uales 'a> rianas. Es de inter&s saber si las dos medias del ni'el de hierro en san!re son i!uales o distintas. Jtiliar α = *.*5 0olución6 3as 'ariables de inter&s son X ) 6 ni'el de hierro en san!re de un ni1o sano tomado al aar8 X 6 ni'el de hierro en san!re de un ni1o con fibrosis quística tomado al aar8 Csumimos que X ) K -(µ ) # σ ) $ X K -(µ # σ ) %onsideramos las hipótesis H * 6 µ ) − µ = * contra H ) 6 µ ) − µ ≠ * Para calcular el 'alor del estadístico de prueba# primero calculamos S p =
S p =
(n) − ))S ) + (n − ))S n) + n −
=
(4 − ))5.4 + ()F − ))?.F
X ) − X
4 + )F −
r
El estadístico de prueba es T =
S p
) ) + 4 )F
$ toma el 'alor t * =
Buscamos en la tabla de la distribución 0tudent t α
# n) + n −
= ?.)D
).4 − )).4 = .?F ) ) ?.)D + 4 )F
= t *.*5# * = .*?
%omo t * = .?F > t *.*5# * = .*? entonces se rechaa H * 6 µ ) − µ = * 0i calculamos el p>'alor de la prueba p − valor = () − P (T < t * )) = () − P (T < .?F)) = P (T > .?F)
=emos de la tabla de la 0tudent que t *.*)# * = .5 $ t *.**5# * = .D5 por lo tanto , *.**5 < p − valor = P (T > .?F) < , *.*) es decir *.*) < p − valor < *.*
4.) – Prueba de hipótesis sobre la di"erencia de dos medias para datos de a pares
@a se 'io el caso# cuando se habló de inter'alos de confiana para una diferencia de medias# de datos dados de a pares# es decir ( X )) # X ) )9 ( X ) # X )9...9 X )n) # X n . 3as 'ariables aleatorias X ) $ X tienen medias µ ) $ µ respecti'amente. %onsideramos ( j = X ) j − X j con j = )##...# n . Entonces
)**
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli E ( j = E X ) j − X j = E X ) j − E X j = µ ) − µ
$ V ( ( j ) = V ( X ) j − X j ) = V ( X ) j ) + V ( X j ) − +ov( X ) j # X j ) = σ ) + σ − +ov ( X ) # X )
Estimamos E ( j = µ ) − µ con ( =
) n
n
*) j =
( j =
) n
n
*) ( X )
j
− X j ) = X ) − X
j =
)
En lu!ar de tratar de estimar la co'ariana# estimamos la V ( j ) con S ( =
n −)
n
( − () * (
j
j =)
Cnotamos µ ( = µ ) − µ $ σ ( = V (( j )
Csumimos que ( j K - µ ( # σ ( con j = )##...# n -as variables aleatorias en pares diferentes son independientes, no lo son dentro de un mismo par .
Para construir una re!la de decisión nue'amente# consideramos el estadístico T =
( − µ ( S ( 2 n
con distribución t n −)
0i tenemos las hipótesis H * 6 µ ) − µ = ) *
contra H ) 6 µ ) − µ ≠ ) *
Entonces el estadístico de prueba es T =
( − ) * S ( 2 n
$ tiene distribución t n −)
si H * 6 µ ) − µ = ) * es 'erdadera
rechazar H * si T > t α #n −) ( − ) * Por lo tanto# la re!la de decisión es donde T = S ( 2 n aceptar H * si T ≤ t α #n −)
0i H ) 6 µ ) − µ > ) * entonces la re!la de decisión es
0i H ) 6 µ ) − µ < ) * entonces la re!la de decisión es
rechazar H * si aceptar H si * rechazar H * si aceptar H si *
T > t α # n−) T ≤ t α #n −) T < −t α #n−) T ≥ −t α #n −)
E(emplo6 0e comparan dos microprocesadores en una muestra de ? códi!os de puntos de referencia para determi> nar si ha$ una diferencia en la rapide. 3os tiempos en se!undos utiliados para cada procesador en cada códi!o están dados en la si!uiente tabla6
)*)
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
Procesador * Procesador +
'ódi$o 1 2
#
4
%
&
7. D.)
7. ?.
)4.7 *.)
D.5 7.?
.) 4.
).) )4.F
:Puede concluir que las medias de la rapide de ambos procesadores son diferentes con ni'el de si!nifi> cancia *.*5; 0olución6 3as 'ariables aleatorias de inter&s son X ) 6 rapide del procesador C en un códi!o tomado al aar8 X 6 rapide del procesador B en un códi!o tomado al aar8 %omo ambas 'ariables se miden sobre un mismo códi!o no podemos asumir que son independientes. 3as hipótesis son H * 6 µ ) − µ = * contra H ) 6 µ ) − µ ≠ * -ecesitamos la muestra de las diferencias ( j 6 F.)# >).9 *.D9 >*.D9 >F.)9 >7.7 Ae esta muestra obtenemos d = −).DFFFF $ s ( = F.??D? Cdemás α = *.*5 - t α
#n −)
= t *.*5#5 = .57)
El estadístico de prueba es T = %omo t * = *.44*? < t α
#n −)
(
$ toma el 'alor t * =
− ).DFFFF
= *.44*? F.??D? 2 ? = t *.*5#5 = .57) entonces se acepta la hipótesis nula. -o ha$ e'idencia de que S ( 2 ?
las medias de la rapide de ambos procesadores sean diferentes.
4. – ests de hipótesis sobre la varianza
0upon!amos que se desea probar la hipótesis de que la 'ariana de una población normal es i!ual a un 'alor específico# por e(emplo σ * . 0ea ( X ) # X #&& X n ) una muestra aleatoria de tama1o n de una '.a. X # donde X K N , µ # σ / .
Tomamos como estimador puntual de σ a S =
)
n
* ( X − X )
n − ) )=)
i
3ue!o a partir de este estimador puntual construimos el estadístico X =
(n − ))S σ
Este estadístico contiene al parámetro desconocido a estimar σ $ $a sabemos que tiene una distribu> ción llamada ji$cuadrado con n$( grados de libertad 0upon!amos las hipótesis H * 6 σ = σ * contra
H ) 6 σ ≠ σ *
Tomamos como estadístico de prueba a
)*
Test de hipótesis
X =
(n − ))S σ *
Prof. María B. Pintarelli
$
si H * 6 σ = σ * es 'erdadera # entonces X =
(n − ))S σ *
K . n−)
-ue'amente# el raonamiento es6 si el estadístico X que ba(o H * 6 σ = σ * tiene distribución . n−) toma un 'alor inusual8# se considera que ha$ e'idencia en contra H , Qecordar que la distribución . n−) es asim&trica. Entonces la re!la de decisión es recahzar H * si X > . α - X < . α #n −) )− #n −) donde aceptar H si . X . ≤ ≤ α α * )− # n −) #n −)
X =
(n − ))S σ *
recahzar H * si X > . α # n−) 0i H ) 6 σ > σ * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si X ≤ . α #n −) recahzar H * si X < . )−α #n−) 0i H ) 6 σ < σ * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si X ≥ . )−α #n−)
Para calcular el p>'alor# si el estadístico X tomó el 'alor x* # $ teniendo en cuenta que no ha$ simetría en la distribución (i>cuadrado# hacemos6 0i H ) 6 σ > σ * entonces p − valor = P ( X > x* ) 0i H ) 6 σ < σ * entonces p − valor = P ( X < x* )
0i H ) 6 σ ≠ σ * entonces p − valor = min P ( X < x* ) # P ( X > x* )
E(emplo6 %onsideremos nue'amente el e(emplo 'isto en la sección de inter'alos de confiana para la 'ariana sobre la máquina de llenado de botellas. Cl tomar una muestra aleatoria de * botellas se obtiene una 'ariana muestral para el 'olumen de llenado de s = *.*)5F o. 0i la 'ariana del 'olumen de llenado es ma$or que *.*) o # entonces e+iste una proporción inaceptable de botellas que serán llenadas con una cantidad menor de líquido. :E+iste e'idencia en los datos mues> trales que su!iera que el fabricante tiene un problema con el llenado de las botellas; Jtilice α = *.*5 0olución6 3a 'ariable de inter&s es X 6 'olumen de llenado de una botella tomada al aar8 Csumimos X K N , µ # σ / 3os datos son s = *.*)5F de una muestra de tama1o n = * 3as hipótesis son H * 6 σ = *.*) contra H ) 6 σ > *.*) α = *.*5
-
. α #n −) = . *.*5#)4 = F*.)D
)*F
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
El estadístico de prueba es X =
(n − ))S )4 , S σ *
=
*.*)
$ toma el 'alor
)4 , S )4 , *.*)5F = = 4.*7 x* = *.*) *.*) %omo x* = 4.*7 < . *.*5#)4 = F*.)D entonces no ha$ e'idencia fuerte de que la 'ariana del 'olumen de llenado sea menor que *.*) Para calcular el p>'alor p − valor = P ( X > x* ) = P ( X > 4.*7 ) Buscamos en la tabla de la distribución (i>cuadrado $ 'emos que en la fila con ( = )4 no fi!ura 4.*7# pero 7.* R 4.*7 R F*.)D# $ además P ( X > 7.* ) = *.)* P ( X > F*.)D ) = *.*5
⇒
*.*5 < p − valor < *.)*
En la fi!ura si!uiente se ilustra la situación
4. – ests de hipótesis sobre la i$ualdad de dos varianzas
0upon!amos que tenemos inter&s en dos poblaciones normales independientes# donde las medias $ las 'arianas de la población son desconocidas. 0e desea probar la hipótesis sobre la i!ualdad de las dos 'arianas# específicamente6 0upon!amos que tenemos dos 'ariables aleatorias independientes normalmente distribuidas6 X ) % N ( $) # " ) ) X % N ( $ #" )
$ µ ) 9 µ 9 " ) $ " son desconocidos
$ además
)*D
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
X )) # X ) #&& X )n) es una muestra aleatoria de tama1o n) de X )
X ) # X #&& X n ) es una muestra aleatoria de tama1o n de X .
0ean S ) $ S las 'arianas muestrales# S ) $ S son los estimadores de " ) $ " respecti'amente. %onsideramos el estadístico S ) . =
σ )
S
σ
S , σ )
0abemos que . tiene una distribución llamada Sisher con 0ean las hipótesis H * 6 σ ) = σ contra
=emos que . =
S
n) − ) $ n − ) !rados
de libertad.
H ) 6 σ ) ≠ σ S )
Tomamos como estadístico de prueba a . = S )
# pues . = S ) , σ
σ σ )
-otar que . contiene al parámetro de inter&s
S
K . n) −)#n −) si H * 6 σ ) = σ es 'erdadera
Qecordando que la distribución Sisher es asim&trica# la re!la de decisión es
rechazar H si . > f *
α
aceptar H si f )− *
)
- . < f )−
)
# n) − # n − α
)
)
# n) − # n −
. f
≤
≤
α
)
α
)
)
# n) − # n −
0i H ) 6 σ ) > σ entonces la re!la de decisión es
0i H ) 6 σ ) <
σ
)
# n) − # n −
entonces la re!la de decisión es
rechazar H si . > f α n −) n −) aceptar H si . ≤ f α n −) n −) *
#
*
#
#
)
)
#
−
−
recahzar H * si . < f )−α #n)−) # n −)− aceptar H * si . ≥ f )−α # n)−) # n −)−
Para calcular el p>'alor# si el estadístico . tomó el 'alor f * # $ teniendo en cuenta que no ha$ simetría en la distribución Sisher# hacemos6 0i H ) 6 σ ) > σ entonces p − valor = P ( . > f * ) 0i H ) 6 σ ) < σ entonces p − valor = P ( . < f * )
0i H ) 6 σ ) ≠ σ entonces p − valor = min P ( . < f * ) # P ( . > f * )
E(emplo6 En una serie de e+perimentos para determinar la tasa de absorción de ciertos pesticidas en la piel se aplicaron cantidades medidas de dos pesticidas a al!unos especímenes de piel. Aespu&s de un tiempo
)*5
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
se midieron las cantidades absorbidas ,en µ /. Para el pesticida C la 'ariana de las cantidades absor> bidas en ? muestras fue de .F9 mientras que para el B la 'ariana de las cantidades absorbidas en )* especímenes fue de *.?. 0upon!a que para cada pesticida las cantidades absorbidas constitu$en una muestra aleatoria de una población normal. :0e puede concluir que la 'ariana en la cantidad absorbi> da es ma$or para el pesticida C que para el B; Jtiliar α = *.*5 0olución6 3as 'ariables aleatorias de inter&s son X ) 6 cantidad absorbida de pesticida C en un esp&cimen de piel tomado al aar8 X 6 cantidad absorbida de pesticida B en un esp&cimen de piel tomado al aar8 Csumimos que X ) K - µ ) #σ ) $ X K - µ #σ 3as hipótesis son H * 6 σ ) = σ contra H ) 6 σ ) > σ 3os datos son s) = .F $ s = *.? n) = ? 9 n = )* El estadístico de prueba es . =
S ) S
.F = F.F *.? = F.D
$ toma el 'alor f * =
Buscamos en la tabla de la distribución Sisher f *.*5#5#4 .F = F.F > F.D = f *.*5# 5#4 se rechaa H * 6 σ ) = σ %omo f * = *.? Para saber cuánta e'idencia ha$ contra la hipótesis nula# calculamos el p>'alor Ae la tabla de la Sisher 'emos que f *.*5#5#4 = F.D < F.F < f *.*)#5#4 = ?.*? Por lo tanto *.*) < p − valor < *.*5 En la fi!ura si!uiente se ilustra la situación
)*?
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
4.1/ – ests de hipótesis sobre una proporción
En muchos problemas se tiene inter&s en una 'ariable aleatoria que si!ue una distribución binomial. Por e(emplo# un proceso de producción que fabrica artículos que son clasificados como aceptables o defectuosos. 3o más usual es modelar la ocurrencia de artículos defectuosos con la distribución bino> mial# donde el parámetro binomial p representa la proporción de artículos defectuosos producidos. En consecuencia# muchos problemas de decisión inclu$en una prueba de hipótesis con respecto a p. %onsideremos las hipótesis H * 6 p = p* contra
H ) 6 p ≠ p*
0upon!amos que consideramos una muestra aleatoria ( X ) # X ...# X n ) de tama1o n # donde X i tiene una distribución binomial con parámetros ) $ p6 X i K 0,)# p/. @a sabemos que X = X ) + X + ... + X n # es una '.a. cu$a distribución es binomial con parámetros n 1 = 1 definida6 P $ p6 X K 0,n# p/. Ae acuerdo con esto# la 'ariable aleatoria P
X
de indi'iduos de la muestra que 'erifican la propiedad de inter&s & Cdemás
( )
n
representa la proporción
) ) X p () − p ) X ) 1 ) = V = E ( X ) = np = p # $ V ( P = np () − p ) = n n n n n n
1 = E E P
%onsideramos el estadístico de prueba Z =
− p* P p * () − p* ) n
0i H * 6 p = p* es 'erdadera entonces Z =
− p* P p* () − p* )
≈ N ,*#)/ apro+imadamente por T.%.3.
n
Por lo tanto la re!la de decisión es rechazar H * si Z > z α aceptar H si Z z ≤ α *
donde Z =
− p* P p * () − p * ) n
rechazar H * si Z > z α 0i H ) 6 p > p* entonces la re!la de decisión es aceptar H * si Z ≤ z α rechazar H * si Z < − z α 0i H ) 6 p < p* entonces la re!la de decisión es aceptar H * si Z ≥ − z α
)*7
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
bser'aciones6 )> 3a prueba descrita anteriormente requiere que la proporción muestral est& normalmente distribuida. Esta suposición estará (ustificada siempre que np* > )* $ n() − p* ) > )* # donde p* es la proporción poblacional que se especificó en la hipótesis nula. > Tambi&n se podía haber tomado como estadístico de prueba a Z =
X − np* np* () − p * )
donde X K 0,n# p/
E(emplo6 Jn fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automo'ilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea ma$or que *.*5# $ que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este ni'el de calidad# utiliando α = *.*5 . E fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de ** dispositi'os $ encuentra que D de ellos son defectuosos. :El fabri> cante puede demostrar al cliente la calidad del proceso; 0olución6 0ea la '.a. X 6 n"mero de controladores defectuosos en la muestra8 Entonces X K 0,**# p/ donde p es la proporción de controladores defectuosos en el proceso 3as hipótesis son H * 6 p = *.*5 contra H ) 6 p < *.*5 %omo α = *.*5 entonces − z α = − z *.*5 = −).?D5 − p* − *.*5 P P El estadístico de prueba es Z = $ toma el 'alor z * = −).45 = p * () − p * ) *.*5() − *.*5 ) ** n %omo z * = −).45 < − z α = − z *.*5 = −).?D5 entonces se rechaa H * # $ se conclu$e que la fracción de controladores defectuosos es menor que *.*5. %alculamos el p>'alor p − valor = P Z < −).45 ≈ Φ − ).45 = *.*5? 0alor de β y selección del tamao de la muestra
Podemos obtener e+presiones apro+imadas para la probabilidad de cometer error de tipo de manera análo!a a las obtenidas para los test para la media 0i H ) 6 p ≠ p* entonces
()
β p = P aceptar H * H * es falsa ≈
p * ,) − p*/ p − p + z α * n ≈ Φ p ,) − p / n
p* ,) − p* / p − p − z α * n − Φ p ,) − p / n
)*
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
0i H ) 6 p < p* entonces p* − p − z α p* () − p* ) n β ( p ) = P aceptar H * H * es falsa ≈ ) − Φ p() − p ) n
0i H ) 6 p > p* entonces ( ) p* − p + z α p* ) − p* n β ( p ) = P aceptar H * H * es falsa ≈ Φ p () − p ) n
Estas ecuaciones pueden resol'erse para encontrar el tama1o apro+imado de la muestra n para que con un ni'el de si!nificancia de α la probabilidad de cometer error de tipo sea menor o i!ual que un 'alor específico β * . 3as ecuaciones se deducen como en casos anteriores $ son
0i H ) 6 p ≠ p* entonces
z α p* () − p* ) + z β p () − p ) * n≥ p p − *
z p () − p* ) + z β * p() − p ) 0i H ) 6 p < p* ó H ) 6 p > p* entonces n ≥ α * p − p*
E(emplo6 =ol'iendo al e(emplo anterior# supon!amos que la 'erdadera proporción de componentes defectuosos en el proceso es p = *.*F # :cuál es el 'alor de β si n = ** $ α = *.*5 ; 0olución6 @a que la alternati'a es H ) 6 p < p* aplicamos la fórmula ( ) p* − p − z α p* ) − p * n = β ( p ) = P aceptar H * H * es falsa ≈ ) − Φ p () − p ) n *.*5 − *.*F − ).?D5 *.*5() − *.*5) n = ) − Φ(− *.DD) = *.?7 = ) − Φ *.*F() − *.*F) **
%omo la probabilidad de aceptar que el proceso tiene la calidad deseada cuando en realidad p = **F . es bastante alta# podemos pre!untar qu& tama1o de muestra se necesita para que en el test anterior sea
)*4
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
β < *.) si la 'erdadera proporción de defectuosos es p = *.*F . En este caso aplicamos la fórmula
donde z β * = z *.) = ).
z α p* () − p * ) + z β p () − p ) ).?D5 *.*5() − *.*5) + ). *.*F() − *.*F) * = ≈ F n≥ * . *F * . *5 p − p * −
3a muestra requerida es mu$ !rande# pero la diferencia a detectar p − p* = *.*F − *.*5 es bastante pe> que1a.
4.11 – ests de hipótesis sobre dos proporciones
3as pruebas de hipótesis sobre diferencia de medias pueden adaptarse al caso donde tenemos dos pa> rámetros binomiales p) $ p de inter&s. Específicamente# supon!amos que se toman dos muestras aleatorias X )) # X ) #&& X )n) es una muestra aleatoria de tama1o n) de X ) X ) # X #&& X n ) es una muestra aleatoria de tama1o n de X Aonde X ) K 0 ,)# p) / 9 X K 0,)# p / $ X ) $ X independientes. n) n ) = ) * X )i $ P = ) * X i son estimadores insesgados de p) $ p respecti> @a sabemos que P n)
n
i =)
i =)
) ) = p) () − p) ) $ V ( P ) = p () − p ) 'amente# con 'arianas V ( P n)
n
0upon!amos las hipótesis H * 6 p) − p = *
contra H ) 6 p) − p ≠ *
-otar que si la hipótesis nula es 'erdadera entonces p) = p = p # donde p es desconocido. ) − P P El estadístico Z = tiene distribución apro'imadamente N ,*#)/ por T.%.3. si ) ) p () − p ) + n)
n
n)
= H * 6 p) − p = * es 'erdadera. Tomamos como estimador de p a P
n
*) X ) + *) X i
i=
i=
n) + n
i
$ lo reempla>
amos en Z Entonces el estadístico de prueba es Z =
) − P P ) ) () − P ) + P n) n
que ba(o H * 6 p) − p = * se puede pro>
bar que tiene distribución apro+imadamente N ,*#)/
))*
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
rechazar H * si Z > z α ) − P P Entonces la re!la de decisión es donde Z = ) ) aceptar H * si Z ≤ z α () − P ) + P n) n rechazar H * si Z > z α 0i H ) 6 p) − p > * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si Z ≤ z α rechazar H * si Z < − z α 0i H ) 6 p) − p < * entonces la re!la de decisión es aceptar H * si Z ≥ − z α
E(emplo6 En una muestra de )** lotes de un producto químico comprado al distribuidor C# 7* satisfacen una especificación de purea. En una muestra de 7* lotes comprada al distribuidor B# ?) satisfacen la es> pecificación. :Pude concluir que una proporción ma$or de los lotes del distribuidor B satisface la es> pecificación; 0olución6 3os parámetros de inter&s son p) $ p las 'erdaderas proporciones de lotes que cumplen las especifi> caciones de purea. n) ) = ) * X )i = 7* = *.7 Tenemos una muestra aleatoria X )) # X ) #&& X )n) de tama1o n) = )** donde P )** n) i =) @ otra muestra X ) # X #&& X n
= ) de tama1o n = 7* donde P
n
3as hipótesis son H * 6 p) − p = *
) − P P
El estadístico de prueba es Z =
(
) n) + n)
) − P P
= En este caso P
i
=
i=
?) 7*
)
= donde P
*)
X )i +
i=
n
*) X
i
i=
n) + n
n
*) X ) + *) X i
i=
*) X
contra H ) 6 p) − p < * n)
n)
n
i=
n) + n
i
=
7* + ?) )F) = )** + 7* )7*
7* ?) − )** 7* El estadístico toma el 'alor z * = = −.?)?F )F) )F) ) ) + ) − )7* )7* )** 7*
)))
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
Para saber cuánta e'idencia ha$ contra H * 6 p) − p = * calculamos el p>'alor p − valor ≈ Φ − .?)?F = *.**D5 %omo el p>'alor es menor que *.*5# se considera que ha$ mucha e'idencia contra H * 6 p) − p = * $ se rechaa la hipótesis nula. 0alor de β
) − P es %uando H * 6 p) − p = * es falsa# la 'ariana de P p) () − p) ) p () − p )
(
) ( ) ( )
V P ) − P = V P ) + V P =
n)
+
n
) − P ) = V ( P ) )+ V ( P ) = p) () − p) ) + p () − p ) Cnotamos σ P ) − P = V ( P n)
n
Entonces 0i H ) 6 p) − p ≠ * ) ) ) ) z p2 − z p2 + − ( − ) + − ( − ) p p p p ) ) α α n) n n) n − Φ β ≈ Φ σ P − P σ P − P ) )
$ Aonde p = P
0i
2 = ) − p
H ) 6 p) − p > * entonces
0i H ) 6 p) − p < *
entonces
) ) z p2 p p + − ( ) − ) / n) n β ≈ Φ σ P − P ) ) ) − z p2 + − − p p ( ) ) n n α ) β ≈ ) − Φ σ P − P )
Podemos deducir fórmulas para el tama1o de la muestra# nue'amente asumiendo que n) = n = n
))
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli Prctica est de ipótesis
)/ 0e hace una prueba de la hipótesis H * 6 µ ≤ )* contra H ) 6 µ >)* . Para cada una de las situacio nes si!uientes# determine si la decisión fue correcta u ocurrieron errores de tipo o 6 a3 siendo el 'erdadero µ = # H * es rechaada 9 b3 siendo el 'erdadero µ = )*# H * no es rechaada c3 siendo el 'erdadero µ = )D# H * no es rechaada 9 d3 siendo el 'erdadero µ = )# H* es rechaada / a3 0e realia una prueba de hipótesis $ el P>'alor es *.*F. Uustificando su respuesta# di!a si las si > !uientes afirmaciones son 'erdaderas o falsas6 a13 H * se rechaa a un ni'el de 5G a23 H* se rechaa a un ni'el de G a#3 H * no se rechaa a un ni'el de )*G b3 0e dise1a un pro!rama de tratamiento de a!uas residuales para producir a!ua tratada con pH de 7. 0ea µ la media del pH del a!ua tratada mediante dicho proceso. 0e medirá el pH de * mues> tras de a!ua $ se realiará una prueba de hipótesis H * 6 µ = 7 contra H ) 6 µ ≠ 7 . 0upon!a que se sabe por e+perimentos pre'ios que el pH del a!ua es normal con des'iación estándar *.5. b13 0i la prueba se hace a un ni'el de 5G# :cuál es la re!ión de rechao; b23 0i la media muestral del pH es ?.77# :se rechaa H * a un ni'el de )*G; b#3 0i la media muestral del pH es ?.77# :se rechaa H * a un ni'el de )G; b43 0i el 'alor ).74 representa un punto crítico# :cuál es el ni'el de la prueba; F/ Jn in!eniero está probando la resistencia a la compresión del concreto. Prueba ) muestras de con> creto $ obtiene un promedio de .54 psi $ un des'ío estándar de *.*F5 psi. 0upon!a que la resisten> cia a la compresión si!ue una distribución normal. a3 %onstru$a un inter'alo de confiana al 45G para la resistencia media. b3 Jtiliando el inter'alo del inciso a3 pruebe la hipótesis H*6 V W.5* contra H ) 6 XY .5* con ni'el de si!nificancia Z W *.*5. D/ 0e publica un informe sobre las cifras del n"mero anual de [iloatts>hora que !astan 'arios apara> tos electrodom&sticos. 0e afirma que una aspiradora !asta un promedio de D? [iloatts>hora por a1o. 0i una muestra aleatoria de ) ho!ares que se inclu$e en un estudio planeado indica que las aspiradoras !asta un promedio de D [iloatts>hora con una des'iación estándar de )).4 [iloatts> hora por a1o# en un ni'el de si!nificancia de *.*5# :esto su!iere que las aspiradoras !astan# en pro> medio# menos de D? [iloatts> hora anualmente;. 0upon!a que la población de [iloatts>hora es normal. 5/ 0upon!a que ha comprado una máquina de llenado para bolsas de dulces que contendrá )? onas de &stos. 0upon!a que los pesos de las bolsas llenas están distribuidos en forma normal. Jna muestra aleatoria de die bolsas produce los si!uientes datos ,en onas/6 )5.7# )?.*# )5.7# )5.F# )5.?4# )5.)# )?.*D# )5.)# )5.4# )?.)*. %on base en estos datos# :puede concluir que la media del peso de llenado es# en realidad# menor que )? onas con un ni'el de si!nificancia de *.*5; ?/ 0e probó la 'elocidad en cierta aplicación de 5* chips nue'os de computadora# con otra cantidad i!ual de dise1o 'ie(o. 3a 'elocidad promedio# en MH# de los nue'os chips fue de D45.?# $ la des> 'iación estándar de )4.D. 3a 'elocidad promedio de los chips 'ie(os fue de D).# $ la des'iación
))F
Test de hipótesis
Prof. María B. Pintarelli
estándar fue de )D.F. a/ :0e puede concluir que la media de la 'elocidad de los nue'os es ma$or que la de los chips 'ie> (os;. Estableca las hipótesis nula $ alternati'a adecuadas $ despu&s encuentre el p>'alor. b/ Jna muestra de ?* chips a"n más 'ie(os tenía 'elocidad promedio de F4). MH# con des'iación estándar de )7. MH. Cl!uien afirma que los nue'os chips tienen tienen una 'elocidad prome> dio ma$or a )** MH que los más 'ie(os. :3os datos proporcionan e'idencias con'incentes para esta afirmación; . Estableca las hipótesis nula $ alternati'a $ despu&s determine el p>'alor. 7/ Jn fabricante de baterías para automó'il afirma que sus baterías durarán# en promedio# F a1os con una 'ariana de ) a1o. 0i 5 de estas baterías tienen duraciones de ).4# .D# F.*# F.5 $ D. a1os# constru$a un inter'alo de confiana de 45G para la 'ariana. 0upon!a que la población de duracio> nes de las baterías se distribu$e de forma apro+imadamente normal. :0e puede concluir que la afir> mación del fabricante de que la 'ariana es ) es 'álida; Uustifique su respuesta. / Jna muestra aleatoria de ? 'i!as de acero tiene una resistencia a la compresión promedio de 5F4 psi ,libras por pul!ada cuadrada/ con una des'iación estándar de ?D psi. 0uponiendo normalidad a/ Jse esta información $ el ni'el de si!nificancia α = *.*5 para probar si la 'erdadera resistencia a la compresión media del acero del que pro'ino la muestra es de 5*** psi. b/ Pruebe la hipótesis nula σ = ?** psi contra la alternati'a σ > ?** psi. Jtilice α = *.*5 . 4/ Jse el ni'el de si!nificancia α = *.*) para probar la hipótesis nula de que σ = *.*)5 pul!adas# para los diámetros de ciertos tornillos# contra la alternati'a de que σ ≠ *.*)5 pul!adas# puesto que una muestra aleatoria de tama1o )5 dio como resultado s W *.***)). 0upon!a normalidad. )*/ Jn fabricante de estaciones de traba(o de computadora está probando un nue'o proceso de ensam> ble automatiado. El proceso actual tiene una tasa de defectos de 5G. En una muestra de D** esta> ciones de traba(o ensambladas con el nue'o proceso# )5 tenían defecto. :0e puede concluir que el nue'o proceso tiene una tasa menor de defectos;. %alcule el p>'alor. ))/ 3a directi'a de una compa1ía de ta+is está tratando de decidir si debe cambiar de neumáticos no males a neumáticos radiales para me(orar el ahorro de combustible. 0e equiparon cada uno de los die ta+is con uno de los dos tipos de neumáticos $ se condu(eron en una tra$ectoria de prueba. 0i cambiar de conductores# se seleccionó el tipo de neumáticos $ se repitió la tra$ectoria de prueba. El ahorro de combustible ,en milla por !alón/ para die automó'iles es6 *utomóvil !adial ormal
1
2
#
4
%
&
)
1/
F.) F?.) F.F 4.5 FD.F F).4 FF.D FD.? F5. F.7 7.) F).5 F*.D ?.4 4.4 .7 F*. F). FF.? 4.4 a/ Aebido a que el cambio de neumáticos en la flota de ta+is es caro# la directi'a no quiere cam> biar a menos que una prueba de hipótesis proporcione e'idencias de que me(orará el milla(e. Estableca la hipótesis nula $ alternati'a adecuada $ encuentre el p>'alor. Csuma que la diferen> cia de milla(e es normal. :%uál es la conclusión;. b/ Jn análisis costo>beneficio muestra que será pro'echoso cambiar a neumáticos radiales si la media de la me(ora del milla(e es ma$or a dos millas2!alón. Estableca la hipótesis nula $ al> ternati'a adecuada $ encuentre el p>'alor para una prueba de hipótesis dise1ada como base de la decisión de cambiar. :%uál es la conclusión; )/ 0e está considerando un nue'o proceso de producción para la fabricación de co(inetes de acero in> o+idable. Mediciones de los diámetros de muestras aleatorias de co(inetes de 'ie(os $ nue'os pro> cesos produ(eron los si!uientes datos6 0ie5o6 )?.F )5.4 )5. )?. )?.) )?.* )5.7 )5. )5.4 )?.) )?.F )?.) )5. )5.7 )5. )5.7 ))D