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texto escolar
CONTENIDO DEL TEXTO ARGUMENTATIVO
Matemática por áreas Texto escolar Quinto grado de Secundaria
Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com
Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Roger Urbano Lima Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición: 2013 Tiraje: 12 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2013-12009 ISBN: 978-612-313-080-0 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Impresión: Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941
La colección intelectuM evolución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la colección intelectuM evolución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.
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Presentación Ser docente en Matemática en la actualidad es un gran reto, pues se trata de una tarea compleja que requiere multiplicidad de saberes; para hacer frente a este desafío y hacer menos laborioso este trabajo presentamos la Colección Intelectum Evolución para Secundaria que ha sido elaborada en congruencia con la renovación y actualización de la educación, teniendo como objetivo desarrollar las competencias y capacidades matemáticas de los estudiantes y que sirva como medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas haciendo uso de conceptos y procedimientos. Esta Colección ha sido actualizada siguiendo los lineamientos dados por el Ministerio de Educación, de modo tal que presentamos por año el texto escolar compuesto de cuatro áreas (Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría), en ellas se desarrollan los tres componentes: Número, relaciones y operaciones, Geometría y medición y Estadística y probabilidades. Acompañan al texto escolar los libros de actividades uno por área, formando un paquete de cinco libros por año. En los textos escolares se ha desarrollado el contenido teórico, los conocimientos por área, que supera los requerimientos del Diseño Curricular Nacional (DCN), complementado con la sección Problemas resueltos que llevará el estudiante a un (auto) aprendizaje significativo autónomo. Cada libro de actividades está estructurado en cinco secciones. La parte de Lectura mediante algunas biografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la Matemática a lo largo de la historia, pretende estimular al estudiante a compenetrarse más en el área.
Aplicamos lo aprendido, con la finalidad de evaluar los conocimientos procesados, a través de un grupo de problemas que el estudiante deberá resolver, a su vez como entrenamiento de las diversas estrategias. Esta parte y la sección Practiquemos, conformada por un conjunto de problemas clasificados por capacidades (Comunicación matemática, Razonamiento y demostración y Resolución de problemas) y ordenados por niveles, determinarán el grado de avance y el logro. La sección Maratón matemática, donde el alumno tendrá que discernir qué conocimiento aplicar, porque son problemas de toda la unidad y con un mayor nivel de complejidad. La parte final, Sudoku, se propone ejercitar y entrenar el razonamiento matemático y la destreza numérica. Centrados en la idea de que la Matemática sirva a la ciencia y esta a la vida real y concreta, esperamos contribuir al progreso de la Educación y por ende al de la humanidad.
Estructura del libro Texto escolar Binaria motivadora En ella están los contenidos, los indicadores de logro y una lectura de contexto matemático. Indicadores de logro Son las capacidades que el estudiante desarrollará en el transcurso del año escolar: Comunicación matemática, Razonamiento y demostración y Resolución de problemas. Lectura Está relacionada con uno de los conocimientos desarrollados en la unidad, para que el estudiante asocie lo que está procesando con hechos reales, como una de las herramientas principales de las rutas del aprendizaje.
Cómic matemático En él se presentan historias divertidas relacionadas con hechos matemáticos que serán de interés del estudiante, para que no vea la matemática como una ciencia ajena a su realidad, sino como una ciencia cotidiana.
Conocimientos Constituye el desarrollo de contenidos, los cuales se han adecuado a los requerimientos del Diseño Curricular Nacional. Se ha hecho uso de un lenguaje sencillo, conceptos graduales clasificados de acuerdo al grado escolar y lo principal con criterio pedagógico. Acompañan este desarrollo los mediadores cognitivos (personajes de la colección) que con sus sugerencias e indicaciones, reforzarán el aprendizaje del estudiante.
IV
Intelectum 5.°
Problemas resueltos Conjuntos de problemas en los que se han utilizado diversas estrategias, para su resolución, con el objetivo de reforzar la destreza y la habilidad del estudiante.
Libro de actividades
Lectura inicial En ella se incluyen biografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la matemática a lo largo de la historia. La intención es iniciar la conexión entre elementos de interés del estudiante y lo que va a procesar. Acompañan a la lectura un grupo de pensamientos que conducirán al estudiante a la reflexión, además un ejercicio de razonamiento matemático como entrada a lo que será el desarrollo de sus actividades.
Aplicamos lo aprendido Esta sección con la finalidad de evaluar los conocimientos aprendidos a través de un grupo de problemas que el alumno deberá resolver; a su vez sirve de entrenamiento de las diferentes estrategias para resolver problemas y encaminar al estudiante hacia el aprendizaje significativo autónomo.
MATEMÁTICA POR ÁREAS
V
Practiquemos Presenta gran variedad de problemas propuestos, distribuidos en tres niveles, los cuales van en orden de jerarquía: niveles simple, intermedio y avanzado. En cada nivel desarrollamos en el estudiante las tres capacidades del área: Comunicación matemática, Razonamiento y demostración, y Resolución de problemas.
Maratón matemática Sección ubicada al final de cada unidad didáctica, son problemas de todos los temas desarrollados y en donde el alumno tendrá que discernir qué conocimiento aplicar para llegar a la meta que es la resolución del problema.
Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra en cada fila, columna o cuadrado. 1. 1
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1
2 3 7
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5 9 1
8
1 4 6
3
7 5 2
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8 1 3
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3
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8
9
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5 3 8
8
9 2 6
6
2 9 1
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6 4 5
5
7 1 9
4
3 6 7
1
4 7 3
2
8 5 4
3
9
6
5
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1 8. 3
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6
8
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7 8
4 5
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1 2
9 6
3 9
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2
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4 9
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6 3
6
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8. 4
2
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4 6
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5 1
3. 6
9
3
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3 4
6
5 1
8
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9 7
9
1
4
7
6
2 5
5
7. 5
9
6 3
8
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3 5
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8 4
3
3.
1
4 8
2
1
7
5
3 6
2 2
5 7
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8 9
2.
4 6
4
1 6
5
6 2 3
5
7 2
1
8 7
2
2
2
Intelectum 5.°
5 7
8
9
1 4
VI
8
6. 6
Para ejercitar y entrenar el razonamiento, la habilidad y la destreza matemática.
8
4
2.
Sudoku
3 5
6
9
5
6 3
1 5
4 3
8 7
3 9
8
7 3
3 9
7 1 6
3
6
6
5.
1.
5. 4 1
9
6
7 1
8 3
4 5
2 6
3 9
1 7
5 2
9 4
6 8
1 5
2 9
7 4
9 3
8 6
4 2
6 7
5 8
3 1
MATEMÁTICA POR ÁREAS
VII
2
Unidad
1
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA (5)
(16)
Razones y proporciones
Fracciones
(47)
(41)
Números primos Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (34)
Teoría de divisibilidad (28)
Operaciones básicas en el conjunto Z+ (22)
Numeración
Teoría de conjuntos (10)
Lógica proposicional
CONOCIMIENTOS
• Aplica los criterios de divisibilidad y sus propiedades y la teoría de divisores de números positivos en la resolución de problemas. • Resuelve problemas aplicando la suma, resta, multiplicación y división entre fracciones. • Resuelve problemas determinando la razón y proporción entre números enteros.
• Evalúa los diferentes criterios de divisibilidad. • Analiza el algoritmo para determinar el MCM y el MCD. • Reconoce números primos basados en la descomposición canoníca relacionada con los divisores simples y compuestos. • Analiza las propiedades de números racionales. • Analiza la aplicación de razones y proporciones en la resolución enunciados.
• Analiza los criterios de divisibilidad y sus principios básicos. • Analiza conceptos y propiedades sobre números primos. • Evalúa correctamente conceptos y relaciona las propiedades del MCD con el MCM. • Identifica las propiedades de operaciones entre fracciones. • Entiende la definición y diferencia entre razón y proporción, además evalúa sus propiedades.
• Resuelve problemas utilizando los criterios de divisibilidad. • Resuelve problemas aplicando definiciones sobre números primos. • Resuelve problemas calculando el MCM y el MCD. • Resuelve problemas aplicando las operaciones básicas entre fracciones. • Resuelve problemas aplicando correctamente las propiedades sobre razones y proporciones.
• Construye tablas de verdad e identifica el valor veritativo de cada una de las proposiciones. • Resuelve problemas determinando la unión, diferencia, intersección y diferencia simétrica entre conjuntos. • Resuelve problemas haciendo uso de algoritmos para la conversión entre sistemas de numeración. • Resuelve problemas aplicando el conteo de cifras en progresiones aritméticas.
• Resuelve problemas haciendo uso de las leyes de la lógica proposicional. • Resuelve problemas utilizando las operaciones entre conjuntos. • Resuelve problemas aplicando las propiedades entre numerales en distintas bases. • Resuelve problemas utilizando la definición de progresiones.
• Demuestra los diferentes criterios de divisibilidad haciendo uso de las propiedades del principio de multiplicidad. • Determina los números primos entre sí y utiliza el teorema fundamental de la aritmética. • Aplica de manera correcta el algoritmo del MCM y el MCD en la resolución de problemas. • Determina la razón o la proporción entre números naturales. • Calcula operaciones utilizando números racionales.
• Utiliza las leyes proposicionales para proposiciones lógicas equivalentes, y reconoce y analiza los circuitos lógicos. • Utiliza tablas de verdad para resolver proposiciones lógicas. • Utiliza las leyes del álgebra de conjuntos. • Aplica el algoritmo de cambio de base y reconoce el orden y el lugar de un numeral. • Emplea las propiedades de números enteros aplicables en otros sistemas de numeración y la definición de progresión.
• Estructura proposiciones utilizando conectivos lógicos y determina el valor de verdad de esquemas moleculares. • Representa gráficamente conjuntos, y determina sus características y las relaciones entre ellos. • Realiza el cambio de base, y forma numerales en bases distintas. • Efectúa operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros.
• Aplica los principales criterios de divisibilidad. • Aplica conceptos y relaciona las propiedades sobre números primos. • Utiliza las propiedades sobre razones y proporciones en los problemas. • Aplica las principales propiedades de fracciones. • Aplica las propiedades del MCD y el MCM relacionados con la divisibilidad.
• Reconoce entre proposiciones simples y compuestas, define cada conectivo lógico y los analiza en esquemas moleculares. • Utiliza la simbología para determinar inclusión y pertenencia. • Determina conjuntos por extensión y comprensión. • Evalúa la clasificación de conjuntos. • Analiza el algoritmo utilizado para el cambio de base e interpreta los resultados. • Identifica correctamente las cuatro operaciones básicas en el conjunto de los números enteros positivos.
INDICADORES DE LOGRO
• Reconoce la estructura de una proposición lógica y los elementos que la componen, además interpreta proposiciones lógicas haciendo uso de los conectivos lógicos. • Comprende la noción de conjunto y reconoce la relación entre elemento y conjunto. • Evalúa los distintos sistemas de numeración y discrimina entre número y numeral. • Define cada una de las operaciones básicas entre números enteros y sus propiedades.
CAPACIDADES ESPECÍFICAS
PROGRAMACIÓN CURRICULAR Aritmética - Quinto grado de Secundaria
• Analiza números naturales aplicando principios de divisibilidad. • Evalúa el algoritmo para determinar el MCD y el MCM. • Entiende y aplica los conceptos básicos sobre números primos y los reconoce fácilmente. • Valora el estudio de los números racionales y los aplica en el desarrollo comercial.
• Analiza los esquemas moleculares y utiliza correctamente las definiciones de conectivo lógicos para hallar el valor de verdad. • Representa gráficamente conjuntos y utiliza las diferentes propiedades en la resolución de problemas. • Aplica operaciones básicas entre números de distintas bases e interpreta la solución obtenida. • Valora el uso de las operaciones básicas entre números naturales para aplicaciones comerciales.
ACTITUDES
VIII Intelectum 5.°
4
Unidad
3
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA
Probabilidad
Teoría combinatoria
Estadística
Interés
Mezcla
Porcentajes
Regla de tres
Magnitudes proporcionales
(78)
(74)
(69)
(66)
(63)
(59)
(55)
(51)
CONOCIMIENTOS
• Aplica la definición del interés en distintos casos aplicativos. • Determina el valor de los elementos en una tabla de distribución y las distintas medidas de tendencia central. • Aplica las técnicas de conteo, en un conjunto de datos, y utiliza la definición de permutación y combinación en distintos casos. • Resuelve problemas de probabilidades utilizando los principios de adición y multiplicación. • Resuelve problemas aplicando interés simple y compuesto. • Calcula las medidas de tendencia central y presenta los resultados en gráficos estadísticos. • Resuelve problemas sobre permutación y combinación de elementos en distintos eventos. • Resuelve problemas analizando los espacios muestrales al aplicar probabilidades.
• Aplica las relaciones dadas de interés y analiza los resultados. • Analiza ordenadamente los datos utilizando cuadros estadísticos. • Demuestra las propiedades del análisis combinatorio en la resolución de problemas. • Aplica las propiedades sobre probabilidades y demuestra los diferentes casos de espacio muestral. • Resuelve problemas de interés en los diversos casos. • Resuelve problemas organizando datos en tablas e interpreta la distribución de frecuencias relacionadas con la estadística. • Resuelve problemas donde aplica el principio de permutación y combinación relacionadas con el análisis combinatorio. • Calcula la probabilidad de diversos eventos.
• Analiza cada uno de los elementos del interés y sus principios de aplicación. • Evalúa y ordena conjuntos de datos utilizando cuadros estadísticos. • Analiza las técnicas de conteo, el principio de multiplicación y el de adición. • Identifica los diferentes espacios muestrales en el cálculo de las probabilidades.
• Resuelve problemas sobre magnitudes proporcionales directas e inversas. • Resuelve problemas comerciales aplicando la regla de tres simple inversa y directa y en casos de reparto proporcional. • Resuelve problemas comerciales aplicando la definición de porcentajes. • Resuelve problemas aplicando las relaciones dadas de mezcla y aleación.
• Resuelve problemas aplicando la definición de magnitudes proporcionales. • Resuelve problemas utilizando la regla de tres simple. • Resuelve problemas aplicando porcentajes a cantidades diversas. • Resuelve problemas empleando la regla de mezcla y aleación.
• Evalúa el concepto de interés, su clasificación y sus elementos. • Analiza el conjunto de datos aplicando las distintas herramientas dadas en la estadística. • Interpreta los principios basados en el análisis combinatorio. • Comprende la definición de probabilidad y analiza los distintos espacios muestrales.
• Representa la información de una proporción y la explica utilizando un gráfico lineal. • Aplica la definición de reparto proporcional (simple y compuesto) en enunciados. • Aplica la definición de regla de tres simple (directa e inversa) y compuesta. • Evalúa los datos disponibles en la aplicación de aumentos y descuentos sucesivos. • Diferencia entre mezcla y aleación e identifica los casos entre mezcla directa e inversa.
• Discrimina entre magnitudes inversamente y directamente proporcionales y evalúa sus propiedades. • Analiza la aplicación del reparto proporcional simple y compuesto. • Identifica y discrimina entre la aplicación de regla de tres inversa y directa. • Evalúa los casos de aumentos y descuentos sucesivos. • Analiza la clasificación de una mezcla (directa e inversa).
• Identifica enunciados matemáticos referentes a magnitudes proporcionales y enuncia su clasificación. • Identifica los elementos de la regla de tres y su clasificación. • Entiende la definición de porcentaje y su aplicación. • Comprende la definición de mezcla y aleación y sus características.
• Representa gráficamente las magnitudes directa e inversamente proporcionales. • Define la regla de tres simple. • Hace uso de la definición de porcentaje en la aplicación de casos comerciales. • Procesa los conceptos de mezcla y aleacción.
INDICADORES DE LOGRO
CAPACIDADES ESPECÍFICAS
• Muestra seguridad al aplicar la definición de interés y su clasificación. • Valora el uso de la estadística al ordenar un conjunto de datos, analizarlos y presentarlos en gráficos. • Aplica el análisis combinatorio en diversas situaciones de la vida cotidiana. • Valora la utilización de la probabilidad y su aplicación en eventos cotidianos. • Promueve nuevas formas de resolución y las comparte con sus compañeros grupo.
• Analiza las magnitudes dadas y las relaciona entre sí utilizando sus principales propiedades. • Valora el uso del reparto proporcional en aplicaciones de la vida cotidiana. • Emplea la definición de la regla de tres simple en situaciones comerciales. • Entiende y utiliza la definición de porcentaje y la aplica a la resolución de diversos casos. • Promueve la búsqueda de nuevos procedimientos para aplicar la regla de mezcla y aleación en situaciones cotidianas.
ACTITUDES
MATEMÁTICA POR ÁREAS
IX
2
Unidad
1
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA
(23)
(19)
(14)
(8)
(5)
(38)
(33)
Números complejos (42)
Radicacion y racionalización
Potenciación
MCD y MCM Fracciones algebraicas (29)
Factorización
Cocientes notables
Productos notables
Polinomios
Teoría de exponente
CONOCIMIENTOS
INDICADORES DE LOGRO • Identifica las propiedades sobre teoría de exponentes en la potenciación y la radicación. • Identifica los elementos del término algebraico y discrimina polinomios considerando su naturaleza, la cantidad de términos. • Identifica términos semejantes. • Identifica los principales productos notables. • Identifica los tres casos que se presentan en los cocientes notables. • Aplica los teoremas sobre teoría de exponentes en la potenciación y radicación. • Determina el grado absoluto y relativo en monomios y polinomios, además calcula su valor numérico. • Reduce expresiones algebraicas identificando el producto notable a utilizar. • Realiza el desarrollo de un cociente notable. • Utiliza la teoría de exponentes en la potenciación y la radicación para la resolución de ejercicios. • Aplica la definición de polinomios y su clasificación en la resolución de problemas. • Reduce expresiones algebraicas aplicando productos notables. • Analiza el desarrollo de un cociente notable y determina el término de lugar n. • Comprende los distintos métodos de factorización. • Evalúa el procedimiento al determinar el MCM y el MCD en expresiones algebraicas. • Reconoce las fracciones propias, impropias, homogéneas, heterogéneas, equivalente, compuesta e irreductible. • Analiza las propiedades de los números combinatorios. • Construye el factor racionalizante analizando las expresiones algebraicas. • Analiza la representación gráfica del número complejo. • Aplica el algoritmo del aspa simple, doble y aspa doble especial en la factorización de polinomios. • Emplea el procedimiento dado para el cálculo del MCD y MCM. • Realiza operaciones entre fracciones algebraicas. • Calcula el factorial de un número. • Transforma un radical doble a simple. • Aplica el factor racionalizante en la resolución de ejercicios. • Utiliza la definición de complejos especiales para la resolución de problemas. • Aplica los métodos de factorización al reducir polinomios. • Resuelve operaciones con fracciones algebraicas aplicando el MCD y MCM. • Resuelve ejercicios aplicando la definición de número combinatorio. • Resuelve operaciones utilizando el factor racionalizante. • Resuelve problemas utilizando la forma polar o trigonométrica de números complejos.
CAPACIDADES ESPECÍFICAS • Evalúa las definiciones básicas de potenciación y radicación e identifica las propiedades. • Analiza la clasificación de las expresiones algebraicas y la estructura de los polinomios. • Evalúa cada uno de los casos de productos notables. • Reconoce la forma general de un cociente notable y sus principales casos. • Utiliza las propiedades para la resolución de problemas de potenciación y radicación y de ecuaciones exponenciales. • Calcula el grado de un monomio y polinomio • Emplea los distintos productos notables. • Aplica cocientes notables reconociendo cada uno de los casos estudiados. • Resuelve problemas aplicando teoría de exponentes. • Resuelve problemas aplicando las propiedades de los polinomios. • Resuelve problemas utilizando los distintos productos notables. • Resuelve problemas referentes a cocientes notables aplicando sus propiedades. • • • • • •
Analiza cada uno de los métodos de factorización. Analiza el algoritmo del MCD y MCM. Identifica la clasificación de fracciones algebraicas. Define el factorial de un número y su respectiva notación. Evalúa las propiedades de número combinatorio. Evalúa las técnicas utilizadas para la radicación y la potenciación. • Identifica la representación de números complejos y sus propiedades. • Utiliza los distintos métodos para factorizar expresiones algebraicas. • Calcula el MCM y el MCD en expresiones algebraicas. • Aplica la definición de factorial en problemas de potenciación. • Construye el factor racionalizante y lo utiliza en las operaciones sobre racionalización. • Aplica las diversas propiedades de números complejos en los problemas. • Resuelve problemas factorizando expresiones algebraicas. • Resuelve problemas aplicando la definición del MCD y MCM. • Resuelve problemas aplicando la teoría de potenciación. • Resuelve operaciones aplicando radicación y racionalización. • Resuelve problemas utilizando la definición de los números complejos.
PROGRAMACIÓN CURRICULAR Álgebra - Quinto grado de Secundaria
• Valora la importancia de la factorización en la reducción de expresiones algebraicas. • Factoriza correctamente expresiones algebraicas para determinar el MCD y el MCM. • Muestra seguridad en la aplicación del factorial y lo utiliza en el análisis combinatorio. • Propone nuevas formas de resolución aplicando radicación y racionaliza las expresiones algebraicas. • Es analítico al utilizar las propiedades de números complejos en los problemas propuestos.
• Utiliza las definiciones básicas de potenciación y radicación para su resolución. • Muestra seguridad al utilizar las propiedades de polinomios y ordena sus términos correctamente. • Evalúa cada uno de los productos notables, decidiendo correctamente cuál utilizar en la resolución de problemas. • Discute los diferentes casos sobre cocientes notables en la resolución de problemas.
ACTITUDES
X
Intelectum 5.°
4
Unidad
3
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA
Sucesiones Progresiones
Derivadas
Limites
Funciones
Inecuaciones
Ecuaciones de segundo grado. Planteo de ecuaciones
Sistema de ecuaciones
Matrices Determinantes
(107)
(100)
(93)
(83)
(75)
(71)
(65)
(56)
Ecuaciones de primer grado. Planteo de ecuaciones (52)
CONOCIMIENTOS
• Determina el valor de la variable dentro de la ecuación e interpreta la solución o raíces. • Aplica los teoremas al realizar operaciones entre matrices. • Aplica el criterio de los determinantes para el desarrollo de un sistema de ecuaciones. • Aplica la regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones. • Utiliza operaciones de adición y multiplicación de raíces al resolver una ecuación de segundo grado. • Plantea ecuaciones de primer grado desde enunciados e interpreta el valor de la variable. • Realiza operaciones entre matrices utilizando los procedimientos señalados. • Resuelve sistemas de ecuaciones aplicando los criterios estudiados. • Resuelve ecuaciones de segundo grado aplicando las propiedades sobre raíces. • Discrimina entre inecuación cuadrática e inecuación de grado superior. • Identifica el dominio y rango en una función y analiza su gráfica. • Comprende la definición formal del límite y evalúa los límites laterales analizando los teoremas utilizados para su resolución. • Analiza las distintas notaciones de derivadas, además interpreta los teoremas estudiados. • Identifica los elementos de una progresión. • Aplica la definición de las ecuaciones e inecuaciones y las representa matemáticamente. • Representa gráficamente las distintas funciones estudiadas. • Determina el dominio y rango de las funciones y de composición de funciones. • Determina el límite de una función y demuestra la unicidad. • Emplea la definición de derivada para determinar los valores máximos y mínimos de una función. • Aplica los criterios de razón en la resolución de sucesiones y las fórmulas dadas respecto a series. • Determina el valor de una variable dentro de una inecuación. • Resuelve operaciones donde intervienen el dominio y el rango de una función. • Aplica los teoremas para determinar el límite de una función. • Determina el valor de la derivada de una función utilizando sus principales teoremas. • Resuelve problemas aplicando las propiedades de interpolación de medios aritméticos y geométricos en las progresiones aritméticas y geométricas.
• Resuelve problemas en donde intervienen planteo de ecuaciones de primer grado. • Resuelve operaciones aplicando la definición de matrices y determinantes. • Resuelve problemas aplicando propiedades de un sistema de ecuaciones lineales. • Resuelve ecuaciones de segundo grado. • Identifica los elementos de una inecuación y la clasificación. • Plantea inecuaciones a partir de enunciados y define la variable a encontrar. • Define una función y analiza su regla de correspondencia. • Interpreta geométricamente la definición de límite. • Analiza la definición de la derivada y evalúa los teoremas presentados. • Define las sucesiones y progresiones. • Analiza las propiedades en las ecuaciones e inecuaciones. • Plantea inecuaciones e interpreta su conjunto solución. • Demuestra las distintas propiedades de límite y sus principales teoremas. • Efectúa operaciones aplicando la definición de derivadas y sus propiedades. • Aplica la definición de límite en sucesiones para determinar su convergencia. • Determina términos de lugar n en progresiones aritméticas y geométricas. • Resuelve ecuaciones e inecuaciones en los problemas propuestos. • Resuelve problemas aplicando la definición de funciones y su clasificación. • Resuelve problemas utilizando la definición de límites. • Resuelve problemas aplicando los teoremas de las derivadas. • Resuelve problemas aplicando las propiedades de sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas.
• Identifica cada uno de los términos de una ecuación. • Clasifica las ecuaciones según sus coeficientes, la naturaleza de sus soluciones y su forma. • Identifica la variable a determinar en enunciados propuestos. • Identifica la igualdad entre matrices. • Realiza operaciones básicas entre matrices identificando filas y columnas y aplicando los teoremas dados. • Aplica la formación de una ecuación cuadrática a partir de sus raíces.
INDICADORES DE LOGRO
• Resuelve ecuaciones de primer grado utilizando operaciones aritméticas básicas. • Utiliza las propiedades sobre las operaciones con matrices para su resolución. • Emplea la definición de la determinante para la resolución de sistemas de ecuaciones. • Aplica las propiedades de las raíces de ecuaciones de segundo grado para la resolución de problemas.
Reconoce los elementos de una ecuación de primer grado. Identifica la clasificación de ecuaciones de primer grado. Analiza el planteamiento de ecuaciones desde enunciados. Analiza la estructura de una matriz y las operaciones entre ellas y analiza sus características particulares. • Analiza la estructura de un sistema de ecuaciones y su proceso de resolución. • Analiza las propiedades de una ecuación de segundo grado.
• • • •
CAPACIDADES ESPECÍFICAS
• Comprende la estructura de una inecuación e interpreta su conjunto solución. • Es analítico al graficar funciones determinando su dominio y rango. • Comprende la noción de límite y utiliza la definición formal para la demostración de su unicidad. • Muestra interés en el uso de las derivadas en su aplicación en situaciones comerciales. • Muestra flexibilidad en la interpretación de las propiedades de las progresiones aritméticas geométricas y armónicas.
• Plantea ecuaciones de primer grado desde enunciados identificando los elementos y la variable a determinar. • Es analítico al resolver problemas utilizando matrices y sus propiedades básicas. • Analiza y explica los distintos procedimientos de resolución de un sistema de ecuaciones y las soluciones obtenidas. • Muestra seguridad al aplicar las diversas relaciones estudiadas para la resolución de ecuaciones de segundo grado.
ACTITUDES
MATEMÁTICA POR ÁREAS
XI
2
Unidad
1
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA (5)
(16)
Áreas de regiones circulares
Áreas de regiones cuadrangulares
Área de regiones triangulares
(43)
(39)
(34)
Poligonos regulares (29)
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos (25)
Relaciones métricas (21)
Proporcionalidad y semejanza
Triángulos rectángulos notables (12)
Triángulos
CONOCIMIENTOS
• Calcula la medida de ángulos (internos y externos) y de lados de triángulos utilizando su clasificación. • Resuelve problemas empleando proporcionalidad geométrica de segmentos. • Resuelve problemas usando la definición de semejanza en triángulos. • Resuelve problemas aplicando los teoremas sobre relaciones métricas en triángulos oblicuángulos.
• Resuelve problemas empleando la clasificación de triángulos. • Aplica las propiedades de los triángulos rectángulos notables. • Aplica propiedades sobre proporcionalidad y semejanza para resolver problemas.. • Aplica los teoremas sobre relaciones métricas para resolver problemas.
• Calcula las medidas de ángulos internos, ángulos externos y la medida de su apotema. • Determina el área de regiones triangulares utilizando su perímetro, la medida de un ángulo interno o el radio de una circunferencia inscrita o circunscrita. • Calcula el área de una región trapecial, rombal y de cuadriláteros circunscritos, inscritos y exinscritos. • Calcula el valor de distintas secciones de una región circular. • Resuelve problemas aplicando las propiedades adicionales y las características de cada polígono notable. • Resuelve problemas hallando el área de una región triangular. • Resuelve problemas identificando las clases de regiones cuadrangulares. • Calcula el valor de distintas secciones de una región circular.
• Utiliza las propiedades de los polígonos regulares para la resolución de problemas. • Demuestra los teoremas para el cálculo del área de regiones triangulares. • Aplica las diversas relaciones para el cálculo del áreas, reconociendo el tipo de región cuadrangular. • Utiliza las diversas relaciones para el cálculo de áreas circulares. • Resuelve problemas aplicando las propiedades de polígonos regulares. • Resuelve problemas utilizando las propiedades de regiones triangulares. • Resuelve problemas donde se aplican las propiedades de una región cuadrangular. • Resuelve problemas en donde intervienen las propiedades de regiones circulares.
• Analiza los distintos polígonos regulares notables y sus elementos. • Representa gráficamente los distintos polígonos regulares. • Evalúa los distintos teoremas para determinar el área de una región triangular. • Identifica las regiones cuadrangulares convexas y cóncavas. • Identifica y define el sector circular, segmento circular y corona circular.
• Utiliza las propiedades de cada punto notable en el triángulo al calcular la longitud de lados y medidas de sus ángulos. • Utiliza las relaciones de medidas de los lados de triángulos rectángulos aproximados y exactos para la resolución de problemas. • Calcula longitudes de segmentos utilizando proporcionalidad y semejanza. • Aplica los teoremas y propiedades de relaciones métricas para el cálculo de longitudes de rectas o cuerdas, asociadas a una circunferencia o a triángulos oblicuángulos.
• Aplica el teorema de correspondencia en triángulos. • Aplica las proporciones entre lados de triángulos rectángulos para la resolución de problemas. • Demuestra y aplica los principales teoremas de proporcionalidad y semejanza. • Demuestra y evalúa los teoremas sobre relaciones métricas según los casos estudiados.
• Muestra gráficamente los polígonos regulares inscritos, y nombra sus principales elementos. • Evalúa los postulados dados en las regiones triangulares. • Identifica las distintas regiones cuadrangulares y analiza las fórmulas para el cálculo de áreas. • Reconoce una región circular, y sus diferentes elementos que la conforman.
• Define el triangulo no euclidiano y sus elementos. • Reconoce los triángulos rectángulos aproximados, exactos y pitagóricos. • Identifica los casos de semejanza de triángulos y sus elementos homólogos. • Interpreta las relaciones asociadas a la cuaterna armónica y analiza sus teoremas. • Identifica relaciones métricas en triángulos y circunferencias.
INDICADORES DE LOGRO
Identifica la clasificación de triángulos y los define. Comprende los teoremas de correspondencia en triángulos. Identifica la clasificación de triángulos rectángulos. Reconoce la semejanza entre triángulos y los teoremas de proporcionalidad. • Evalúa las relaciones métricas en triángulos rectángulos, oblicuángulos y en circunferencias.
• • • •
CAPACIDADES ESPECÍFICAS
PROGRAMACIÓN CURRICULAR Geometría - Quinto grado de Secundaria
• Evalúa los diversos tipos de polígonos regulares y señala gráficamente cada uno de sus elementos. • Representa gráficamente las distintas regiones triangulares, rectangulares y circulares. • Evalúa cada uno de los elementos de las regiones planas para la resolución de problemas. • Analiza problemas gráficos utilizando las diversas propiedades estudiadas. • Muestra seguridad en los conocimientos adquiridos.
• Identifica los tipos de triángulos estudiados y reconoce sus elementos. • Muestra seguridad en aplicar el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos y expresa los resultados obtenidos. • Evalúa los distintos teoremas dados de proporcionalidad y semejanza y los aplica en problemas gráficos. • Aplica los casos de relaciones métricas en triángulos y en circunferencias. • Valora la importancia del análisis de situaciones geométricas diversas.
ACTITUDES
XII
Intelectum 5.°
4
Unidad
3
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA
Esfera y sólidos de revolución
Cono
Pirámide
Cilindro
Prisma
Poliedros
(76)
(71)
(67)
(63)
(59)
(53)
Rectas y planos en el espacio (47)
CONOCIMIENTOS
• Calcula el valor de la apotema, del área total, lateral y el volumen de la pirámide. • Representa gráficamente el tronco de una pirámide regular e irregular. • Determina el valor del volumen y de la superficie de un cono identificando sus elementos. • Calcula el área lateral de un cono de revolución. • Determina el área lateral y el volumen de distintas secciones de una esfera. • Calcula el área de una superficie de revolución utilizando el teorema de Pappus-Guldin. • Resuelve problemas hallando el área total, lateral y volumen de pirámides y conos, y evalúa cada una de sus secciones estudiadas. • Modela situaciones geométricas que implican el cálculo de áreas y volúmenes de solidos de revolución.
• Utiliza el valor de los elementos de la pirámide en las distintas relaciones dadas. • Calcula el volumen y la superficie total de un cono. • Aplica las propiedades de un cono de revolución en problemas propuestos. • Aplica propiedades de superficie esférica en la resolución de problemas. • Utiliza el teorema de Pappus-Guldin en solidos de revolución.
• Utiliza las propiedades y características de pirámides y conos para resolver problemas. • Resuelve problemas utilizando las propiedades de esferas y sólidos de revolución.
• Utiliza teoremas de rectas y planos en el espacio para resolver problemas. • Aplica teoremas de los poliedros para calcular el número de lados, la medida de sus lados y los ángulos internos. • Calcula el área lateral, total y el volumen del prisma. • Calcula el área lateral, total y el volumen de un cilindro.
• Resuelve problemas aplicando las características de planos en el espacio y sus principales teoremas. • Resuelve problemas utilizando propiedades y teoremas de poliedros. • Resuelve problemas de prisma y cilindro utilizando las características en cada caso.
• Discrimina entre pirámide regular e irregular y reconoce gráficamente cada uno de sus elementos. • Evalúa teoremas relacionando pirámides con planos paralelos a su base. • Identifica conos oblicuos y rectos, además de sus características. • Aplica las propiedades de sólidos de revolución para la resolución de problemas. • Analiza la superficie esférica e interpreta el teorema de Pappus-Guldin.
• Aplica el teorema de Thales y el teorema de las paralelas en los problemas propuestos. • Calcula el área total, volumen y la medida de la apotema de cada uno de los poliedros regulares. • Representa gráficamente cada uno de los poliedros. • Calcula el valor de los principales elementos de una superficie prismática y cilíndrica.
• Aplica los teoremas de planos paralelos en la resolución de problemas. • Demuestra los teoremas de planos paralelos. • Utiliza las propiedades de poliedros regulares y conjugados para calcular la medida de sus principales elementos. • Aplica las relaciones dadas para el cálculo de los elementos del prisma y del cilindro.
• Analiza la superficie piramidal y describe sus elementos. • Identifica la clasificación de pirámides. • Evalúa la superficie cónica e identifica sus elementos y clasificación. • Reconoce superficies esféricas y sus distintas secciones. • Analiza los sólidos de revolución y evalúa los teoremas relacionados.
• Define elementos geométricos del espacio e identifica conceptos referentes al plano en el espacio y sus posiciones relativas. • Analiza las proyecciones de un punto y una recta sobre el plano. • Define ángulos diedros y triedros, además los reconoce gráficamente. • Discrimina entre poliedro convexo y cóncavo. • Interpreta los teoremas referentes a poliedros regulares y conjugados. • Identifica una superficie prismática y cilíndrica y evalúa las principales características en cada caso.
INDICADORES DE LOGRO
• Analiza las posiciones relativas de las rectas en el espacio así como sus elementos. • Evalúa las distintas proyecciones en el espacio. • Identifica los poliedros cóncavos y convexos, además define sus principales elementos. • Analiza los teoremas referentes a poliedros y analiza su clasificación. • Evalúa las características de un prisma, además define sus elementos. • Describe las características de un cilindro.
CAPACIDADES ESPECÍFICAS
• Analiza gráficamente pirámides y conos, y define cada uno de sus elementos. • Muestra seguridad al emplear las fórmulas dadas para el cálculo del área total, lateral y volumen del cono y la pirámide. • Identifica los distintos elementos del espacio y los define correctamente. • Identifica los diversos sólidos de revolución y analiza sus propiedades. • Identifica gráficamente la pirámide y cono, además de sus principales elementos.
• Evalúa la relación de los elementos del plano en el espacio. • Identifica las distintas posiciones de rectas y planos en el espacio y las expresa de manera correcta y gráficamente. • Emplea las relaciones dadas sobre poliedros al resolver problemas. • Identifica los poliedros de manera gráfica. • Muestra seguridad al emplear las propiedades del prisma y del cilindro.
ACTITUDES
MATEMÁTICA POR ÁREAS
XIII
2
Unidad
1
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA
(9)
Circunferencia trigonométrica (30)
Reducción al primer cuadrante (27)
Ángulos verticales y horizontales (21) Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud (24)
Resolución de triángulos rectángulos (18)
Razones trigonométricas de ángulos agudos (14)
Sector circular
Sistemas de medición angular (5)
CONOCIMIENTOS
• Diferencia entre ángulos de elevación y depresión. • Define cada una de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. • Identifica el cuadrante al cual pertenece cada ángulo y la forma de reducción. • Define los elementos de una circunferencia trigonométrica (origen de arcos, origen de complementos y suplementos). • Define y evalúa la variación de cada línea trigonométrica.
• Identifica gráficamente ángulos horizontales y verticales. • Discrimina entre ángulo de depresión y elevación. • Reconoce un ángulo en posición normal e identifica al cuadrante al cual pertenece. • Comprende y reconoce los casos de reducción al primer cuadrante. • Identifica gráficamente cada una de las líneas trigonométricas dentro de una circunferencia trigonométrica.
• Resuelve situaciones reales sobre ángulos de elevación y depresión. • Identifica gráficamente ángulos en posición normal y calcula el valor de las razones trigonométricas. • Determina la reducción de ángulos al primer cuadrante utilizando las corazones trigonométricas. • Utiliza la variación de cada línea trigonométrica en la resolución de problemas.
• Aplica propiedades para la conversión en los distintos sistemas angulares. • Utiliza fórmulas para el cálculo de áreas de sectores circulares. • Calcula el valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos. • Utiliza las razones trigonométricas de triángulos rectángulos para el cálculo de áreas o longitudes de segmentos.
• Resuelve problemas aplicando la conversión entre sistemas angulares. • Resuelve problemas utilizando las relaciones de sectores circulares. • Resuelve problemas aplicando las razones trigonométricas de ángulos agudos. • Resuelve problemas utilizando las razones trigonométricas de triángulos rectángulos.
• Resuelve problemas interpretando gráficamente ángulos de elevación y depresión. • Resuelve situaciones problemáticas utilizando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal. • Resuelve problemas aplicando la reducción al primer cuadrante de ángulos en posición normal. • Resuelve problemas aplicando la definición de circunferencia trigonométrica.
• Aplica las equivalencias entre los sistemas de medición para calcular la medida del ángulo pedido. • Calcula el área del sector circular y de un trapecio circular. • Aplica las relaciones dadas sobre sectores circulares. • Determina las razones trigonométricas de ángulos agudos. • Calcula el valor de las razones trigonométricas de triángulos rectángulos.
• Utiliza las equivalencias para las conversiones angulares. • Emplea las relaciones dadas para el cálculo del área del sector circular. • Determina el valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos. • Determina las razones trigonométricas del triangulo rectángulo.
• Determina el valor de los ángulos de elevación y depresión utilizando las razones trigonométricas. • Determina el valor de las razones trigonométricas de ángulos coterminales. • Aplica los casos estudiados para la reducción de ángulos al primer cuadrante. • Identifica el cuadrante al cual pertenece el ángulo. • Representa gráficamente cada línea trigonométrica.
Identifica la posición inicial y final del ángulo trigonométrico. Discrimina entre sistema sexagesimal, centesimal y radial. Identifica las fórmulas de conversión y sus equivalencias. Identifica los elementos de un sector circular para el cálculo de su área y de sus aplicaciones. • Identifica los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. • Identifica los ángulos agudos en un triángulo rectángulo y define cada una de las razones trigonométricas.
• Reconoce los elementos de un ángulo trigonométrico y el sentido de rotación. • Identifica los distintos sistemas de medición angular. • Define correctamente los elementos de un sector circular. • Define las diferentes razones trigonométricas de un ángulo agudo. • Identifica los elementos de un triángulo rectángulo y sus razones trigonométricas.
• Representa gráficamente las distintas situaciones donde se utilizan ángulos verticales y horizontales. • Determina el valor de las razones trigonométricas de ángulos en posición normal. • Realiza la reducción al primer cuadrante de ángulos en posición normal. • Utiliza el dominio de cada línea trigonométrica en la resolución de problemas.
INDICADORES DE LOGRO
CAPACIDADES ESPECÍFICAS • • • •
PROGRAMACIÓN CURRICULAR Trigonometría - Quinto grado de Secundaria
• Analiza la gráfica de ángulos de elevación y depresión. • Identifica y evalúa ángulos en posición normal, describe sus elementos. • Interpreta los resultados obtenidos al reducir ángulos al primer cuadrante identificando el cuadrante al que pertenece. • Reconoce gráficamente las líneas trigonométricas en la circunferencia y calcula su longitud, analizando las variaciones de cada razón trigonométrica.
• Identifica y define cada uno de los elementos de un ángulo trigonométrico. • Analiza cada uno de los sistemas angulares y las relaciones dadas para la conversión. • Reconoce gráficamente un sector circular e identifica su aplicación en distintas situaciones. • Muestra interés en la aplicación de las razones trigonométricas de ángulos agudos. • Identifica los valores de cada razón trigonométrica.
ACTITUDES
XIV Intelectum 5.°
4
Unidad
3
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA
(36)
Límites y derivadas de funciones trigonométricas
Secciones cónicas
Resolución de triángulos oblicuángulos
Ecuaciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Funciones trigonométricas
Transformaciones trigonométricas
Ángulos múltiples
(73)
(67)
(62)
(59)
(55)
(51)
(47)
(43)
Ángulos compuestos (40)
Identidades trigonométricas
CONOCIMIENTOS
INDICADORES DE LOGRO • Discrimina entre las identidades fundamentales. • Identifica las identidades de suma y diferencia de dos ángulos. • Reconoce las identidades de ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple. • Comprende la división de las transformaciones trigonométricas (de suma o diferencia a producto o viceversa). • Analiza las funciones trigonométricas e identifica el dominio y rango. • Define las funciones inyectivas y sobreyectivas. • Determina el valor de las identidades trigonométricas de un ángulo orientado. • Aplica las identidades de ángulos compuestos al utilizar razones trigonométricas de suma o diferencia de ángulos. • Calcula el valor de expresiones trigonométricas aplicando las identidades de ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple. • Aplica las transformaciones de suma o diferencia a producto y viceversa, en la reducción de expresiones trigonométricas. • Determina el dominio y rango de las funciones trigonométricas. • Utiliza las identidades trigonométricas para reducir expresiones trigonométricas. • Realiza la demostración de las identidades trigonométricas de ángulos compuestos. • Aplica las identidades del ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple en la resolución de problemas. • Emplea las distintas transformaciones trigonométricas. • Representa y analiza las funciones trigonométricas en la resolución de problemas.
• Evalúa la gráfica de las funciones inversas y analiza su dominio y rango. • Identifica los elementos de una ecuación y analiza el método para la solución general. • Identifica las relaciones dadas de la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes. • Discrimina cada una de las cónicas e identifica sus propiedades. • Analiza las propiedades de límites y la definición de la derivada. • Representa gráficamente las funciones trigonométricas inversas y evalúa la variación del dominio y rango. • Calcula el valor de la variable, aplicando propiedades de razones trigonométricas y el valor de sus respectivos dominios. • Emplea la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes. • Utiliza la ecuación de cada una de las secciones cónicas para calcular el valor de sus elementos. • Utiliza las propiedades de límites y derivadas. • Analiza funciones trigonométricas inversas y aplica sus propiedades. • Interpreta problemas sobre ecuaciones trigonométricas y utiliza operaciones aritméticas para su resolución. • Aplica las distintas leyes en los problemas propuestos. • Utiliza las propiedades y la definición de límites y derivadas en la resolución de problemas.
CAPACIDADES ESPECÍFICAS • Define y clasifica las identidades trigonométricas. • Analiza y formula las distintas identidades de ángulos compuestos. • Reconoce las identidades de ángulos múltiples y su clasificación. • Expresa las transformaciones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud. • Define cada una de las funciones trigonométricas y analiza su representación gráfica. • Transforma la suma o diferencia de ángulos compuestos utilizando las identidades correspondientes. • Emplea las identidades de ángulos compuestos para calcular el valor de expresiones trigonométricas. • Aplica las identidades de ángulos múltiples en la resolución de problemas de reducción. • Emplea las transformaciones trigonométricas y sus propiedades en la resolución de problemas. • Representa gráficamente cada función trigonométrica. • Resuelve problemas aplicando identidades trigonométricas. • Resuelve problemas utilizando las identidades de suma y diferencia de dos ángulos. • Resuelve problemas utilizando la clasificación de ángulos múltiples. • Aplica las transformaciones trigonométricas en la resolución de problemas. • Resuelve problemas utilizando las propiedades de funciones trigonométricas.
• Define las funciones trigonométricas inversas y sus propiedades. • Analiza la estructura de una ecuación trigonométrica. • Describe y representa gráficamente triángulos oblicuángulos y aplica cada una de las leyes para la resolución de problemas. • Identifica y describe cada una de las secciones cónicas dadas. • Comprende la definición formal de límites y derivadas e interpreta sus propiedades. • Emplea el dominio y el rango de las funciones inversas para el análisis de funciones trigonométricas. • Utiliza métodos para la solución de una ecuación trigonométrica o sistemas de ecuaciones. • Demuestra las relaciones establecidas para la resolución de triángulos oblicuángulos. • Emplea las propiedades de las secciones cónicas para la resolución de problemas. • Demuestra las propiedades sobre límites y derivadas. • Resuelve problemas aplicando la definición de funciones trigonométricas inversas. • Resuelve ecuaciones trigonométricas utilizando la variación de cada una de las razones. • Resuelve problemas aplicando definiciones de triángulos oblicuángulos. • Resuelve problemas aplicando la definición de límites y derivadas.
• Analiza la gráfica de las funciones inversas evaluando el dominio y el rango. • Muestra interés en el desarrollo de ecuaciones trigonométricas utilizando sus propiedades. • Reconoce la utilidad de emplear diferentes leyes para la resolución de triángulos oblicuángulos. • Utiliza las propiedades dadas sobre limites y derivadas en la resolución de los problemas. • Discrimina cada una de las secciones cónicas e identifica sus principales propiedades.
• Analiza las distintas identidades trigonométricas y las aplica en los problemas propuestos. • Evalúa las identidades de ángulos compuestos. • Aplica las identidades de ángulos múltiples para la resolución de ejercicios, identificando ángulos dobles y triples. • Identifica las transformaciones trigonométricas y las aplica explicando el procedimiento utilizado. • Muestra interés en el análisis de cada una de las funciones trigonométricas así como las funciones inversas, analizando su dominio y rango.
ACTITUDES
Aritmética
U1
U2
Contenido
Lógica proposicional
5
Teoría de conjuntos
10 Noción de conjunto. Relación de pertenencia. Determinación de un conjunto. Cardinal de un conjunto. Cuantificadores. Relaciones entre conjuntos. Clases de conjuntos. Operaciones entre conjuntos. Leyes del álgebra de conjuntos.
Numeración
16 Definición. Sistema de numeración. Principios de un sistema de numeración. Representación literal de un número. Descomposición polinómica. Criterio de paridad de un numeral. Cambios de base. Casos especiales de cambio de base.
Operaciones básicas en el conjunto Z+
22 Adición (adición en otros sistemas de numeración). Sustracción (sustracción en otros sistemas de numeración). Complemento aritmético. Multiplicación (algoritmo y multiplicación en otros sistemas de numeración). División (clases de división). Progresión aritmética. Método combinatorio.
Teoría de la divisibilidad
28 Conceptos previos. Representación de números no divisibles con respecto al mismo módulo. Principios básicos de divisibilidad. Principio de Arquímedes. Restos potenciales. Ecuaciones diofánticas. Criterios de divisibilidad.
51 Relación entre magnitudes (magnitud inversamente proporcional Magnitudes y magnitud directamente proporcional). Reparto proporcional. proporcionales
Proposición lógica. Conectivos lógicos. Proposiciones compuestas básicas. Esquemas moleculares. Circuitos lógicos. Clasificación de los esquemas moleculares. Leyes de la lógica proposicional.
Números primos 34 Clasificación de los números enteros. Números simples. Números compuestos. Algoritmo para determinar si un número es Máximo primo. Números primos entre sí. Estudio de los divisores de un común divisor número. Función de Euler. Descomposición canónica del factorial y mínimo de un número. Teorema de Wilson. Máximo común divisor y mínicomún múltiplo mo común múltiplo (propiedades). Fracciones
41 Conjunto de los números racionales. Números fraccionarios. Clasificación de fracciones. Operaciones con fracciones. Comparación de fracciones. Números decimales. Números avales.
Razones y proporciones
47 Razón (razón aritmética y razón geométrica). Serie de razones geométricas equivalentes. Serie de razones geométricas continuas equivalentes. Proporción (proporción aritmética y geométrica).
Regla de compañía.
U3
U4
Regla de tres
55 Definición. Regla de tres simple (directa e inversa). Regla de tres compuesta.
Porcentajes
59 Definición. Tanto por ciento. Porcentaje. Operaciones con el tanto por ciento. Descuentos sucesivos. Aplicaciones comerciales del tanto por ciento.
Mezcla
63 Definición. Regla de mezcla. Mezcla alcohólica. Aleación, (ley de aleación, liga de aleación, ley media, quilate medio).
Interés
66 Regla de interés. Clases de interés (interés simple y compuesto).
Estadística
69 Definición. Etapas de la investigación científica. Elementos de una tabla de distribución de frecuencias. Medidas de tendencia central. Medidas de dispersión.
Teoría combinatoria
74 Definición. Técnicas de conteo. Diagrama de árbol. Principio de multiplicación. Principio de adición. Variaciones. Permutaciones. Combinaciones. Recursividad. Diferencias finitas.
Probabilidad
78 Espacio muestral. Eventos. Probabilidad de un evento. Probabilidad condicional.
Ecuaciones de primer grado
52 Clasificación de ecuaciones. Raíz de una ecuación de primer grado. Planteo de ecuaciones.
Matrices Determinantes
56 Igualdad de matrices. Multiplicación de matrices. Matriz cuadrada. Transpuesta de una matriz. Características particulares de las matrices cuadradas. Propiedades de los determinantes. Menor complementario. Adjunto de un elemento. Matriz adjunta. Matriz inversa. Determinante de Vandermonde.
Sistema de ecuaciones
65 Sistema de ecuaciones lineales (sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas). Sistema de ecuaciones no lineales.
Ecuaciones de segundo grado Planteo de ecuaciones
71 Definición. Propiedades de las raíces. Formación de la ecuación cuadrática a partir de sus raíces. Planteo de ecuaciones de segundo grado (sobre edades, números consecutivos y áreas).
Inecuaciones
75 Inecuación cuadrática. Inecuación de grado superior. Inecuaciones fraccionarias. Inecuaciones irracionales. Desigualdades e inecuaciones exponenciales.
Funciones
83 Definición. Función real de variable real. Regla de correspondencia. Gráficas de funciones. Funciones elementales (función lineal, función identidad, función constante, función cuadrática, función valor absoluto, raíz cuadrada, función signo, máximo entero y función par e impar). Operaciones con funciones. Composición de funciones. Función inyectiva, suryectiva, biyectiva. Función inversa.
Límites
93 Definición. Límites laterales. Teorema fundamental del límite. Teorema del Sandwich. Límites indeterminados. Límites trigonométricos. Función continua. Regla de L'Hospital.
Derivadas
100 Introducción. Definición. Interpretación geométrica. Teoremas. Ecuación de la tangente a una curva. Regla de la cadena. Tipos de derivadas.
SucesionesProgresiones
107 Formas de definir una sucesión. Tipos de sucesiones. Sucesión convergente. Progresión aritmética, geométrica y armónica.
Expresiones algebraicas. Polinomio. Grado de un monomio. Grado de un polinomio. Polinomios especiales. Valor numérico.
Productos notables
14 Concepto. Principales productos notables.
Cocientes notables
19 Definición. Forma general de un cociente notable. Término general.
Factorización
23 Concepto. Métodos de factorización: factor común, identidades, aspa simple, aspa doble, aspa doble especial, divisores binomios, artificios de cálculo.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Fracciones algebraicas
29 Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo. Fracción algebraica. (clasificación). Operaciones con fracciones algebraicas. Descomposición de fracciones en sumas de expresiones parciales.
Potenciación
33 Factorial de un número. Cofactorial. Relación entre un cofactorial y factorial. Numero combinatorio (propiedades). Cálculo del término general. Posición del término central. Desarrollo del binomio de Newton con exponentes negativos. Fórmula de Leibniz.
Radicación Racionalización
38 Radicales dobles. Transformación de radicales dobles a simples. Factor racionalizante.
Números complejos
42 Concepto. Complejos especiales. Representación geométrica de un número complejo. Módulo. Argumento o amplitud de un complejo. Operaciones con números complejos. Raíces cúbicas de la unidad. Forma exponencial de un número complejo.
U1
U2
U3
U4
MATEMÁTICA POR ÁREAS
XV
Geometría
U1
U2
Triángulos
5
Triángulos rectángulos notables
12 Definición. Triángulos rectángulos notables exactos y aproximados. Triángulos pitagóricos.
Proporcionalidad y semejanza
16 Proporción geométrica. Semejanza de triángulos. Cuaterna armónica. Teoremas de proporcionalidad. Teoremas de semejanza.
Relaciones métricas
Triángulo no euclidiano. Teorema de correspondencia. Teorema de Pitágoras. Puntos notables.
21 Proyecciones ortogonales sobre una recta. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. Relaciones métricas en la circunferencia. Rectas isogonales.
U3
Rectas y planos en el espacio
47 Planos. Postulados para determinar un plano. Posiciones relativas entre rectas y planos en el espacio. Rectas y planos perpendiculares. Teoremas en planos paralelos. Proyecciones en el espacio. Ángulo diedro y triedro. Proyección de regiones planas en el espacio.
Poliedros
53 Definición. Poliedro convexo y no convexo. Teoremas. Poliedros regulares. Poliedros conjugados.
Prisma
59 Superficie prismática. Prisma (clasificación). Prisma oblicuo, Paralelepípedo. Tronco de prisma.
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos
25 Naturaleza de un triángulo. Teorema de Euclides, de las proyecciones, de la mediana, de la altura, de la ceviana, de la bisectriz interior, de las bisectriz exterior y de Euler.
Cilindro
63 Superficie cilíndrica. Cilindro circular recto. Cilindro oblicuo. Tronco de cilindro.
Polígonos regulares
29 Definición. Polígono regular de n lados. Cuadro de polígonos notables.
Pirámide
Área de regiones triangulares
34 Conceptos previos. Postulados. Formas de calcular el área de una región triangular. Relación entre áreas.
67 Superficie piramidal. Pirámide (clasificación). Teoremas. Tronco de pirámide regular e irregular.
Área de regiones cuadrangulares
39 Áreas de regiones cuadrangulares convexas y no convexas, Formas de calcular el área de regiones cuadrangulares. Relación de áreas de regiones cuadrangulares.
Cono
71 Superficie cónica. Cono (clasificación). Tronco de cono. Semejanza de conos. Teorema del tronco de cono de revolución.
76 Superficie esférica. Esfera. Huso esférico y cuña esférica. Zona esférica y segmento esférico de dos bases. Casquete esférico. Sector esférico. Anillo esférico. Teorema de Pappus - Guldin.
U4
Trigonometría
U1
Sistemas de medición angular
5
Ángulo trigonométrico. Sistemas sexagesimal, centesimal y radical. Relación entre sistemas.
Sector circular
9
Longitud de arco. Área de un sector circular. Área de un trapecio circular. Engranajes.
Razones trigonométricas de ángulos agudos Resolución de triángulos rectángulos
U2
14
18
Definición. Razones trigonométricas recíprocas. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de ángulos notables.
U3
Casos (cuando son conocidos un ángulo agudo y la hipotenusa, cuando son conocidos un ángulo agudo y su cateto opuesto, cuando son conocidos un ángulo agudo y su cateto adyacente).
Ángulos verticales y horizontales
21
Definición de ángulos verticales. Definición de ángulos horizontales. Rosa Náutica (rumbo, dirección).
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud
24
Ángulo en posición normal. Ángulos cuadrantales. Razones trigonométricas de ángulos en posición normal y cuadrantales. Ángulos coterminales.
Reducción al primer cuadrante
27
Circunferencia trigonométrica
30
Definición. Casos (para ángulos menores a una vuelta, para ángulos mayores a una vuelta). Definición. Líneas trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente. Gráficas y variación. Líneas auxiliares (verso, coverso, exsecante).
XVI Intelectum 5.°
U4
Identidades trigonométricas
36
Definición. Identidades recíprocas. Identidades por cociente. Identidades pitagóricas. Identidades auxiliares.
Ángulos compuestos
40
Identidades de la suma y diferencia de dos ángulos. Propiedades.
Ángulos múltiples
43
Identidades de ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple.
Transformaciones trigonométricas
47
Transformación de suma o diferencia a producto. Transformación de producto a suma o diferencia. Series trigonométricas.
Funciones trigonométricas
51
Conceptos previos. Función par e impar. Función creciente y decreciente. Función periódica. Función seno. Función coseno. Función tangente. Función cotangente. Función secante. Función cosecante. Reglas para la contrucción de gráficos.
Funciones trigonométricas inversas
55
Función seno inverso o arco seno. Función coseno inverso o arco coseno. Función tangente inversa o arco tangente. Función cotangente inversa o arco cotangente. Función secante inversa o arco secante. Función cosecante inversa o arco cosecante.
Ecuaciones trigonométircas
59
Definición. Ecuación trigonométrica elemental. Solución general de una ecuación trigonométrica. Sistema de ecuaciones trigonométricas.
Resolución de triángulos oblicuángulos
62
Ley de senos. Ley de cosenos. Ley de tangentes. Ley de proyecciones. Razones trigonométricas de los semiángulos de un triángulo.
Secciones cónicas
67
Circunferencia. Elipse. Parábola.
Límites y derivadas de funciones trigonométricas
73
Límites trigonométricos. Definición de derivadas de una función. Propiedades sobre derivadas de funciones reales. Derivadas de funciones trigonométricas. Derivadas de funciones trigonométricas inversas. Regla de L'Hospital.
Aritmética
Intelectum Aritmética
Ia
Indicadores de logro
Unidad 1
Unidad 2
• Reconoce proposiciones simples y compuestas, define cada conectivo lógico y los analiza dentro de esquemas moleculares. • Utiliza las distintas leyes proposicionales para determinar proposiciones lógicas equivalentes, y reconoce y analiza los circuitos lógicos. • Utiliza tablas de verdad para resolver proposiciones lógicas. • Utiliza la simbología correctamente para determinar inclusión y pertenencia. • Utiliza las leyes del álgebra de conjuntos y además las representa gráficamente. • Entiende la clasificación de conjuntos (conjunto finito, infinito, vacío, unitario, universal y potencia). • Determina conjuntos por extensión y comprensión. • Analiza el algoritmo utilizado para cambio de base e interpreta los resultados. • Identifica correctamente las cuatro operaciones básicas en el conjunto de los números enteros positivos.
• Evalúa los diferentes criterios de la divisibilidad. • Demuestra los diferentes criterios de divisibilidad haciendo uso de las propiedades del principio de multiplicidad. • Discrimina entre números simples y compuestos. • Determina números primos entre si y utiliza el teorema fundamental de la aritmética. • Analiza el algoritmo para determinar el MCM y el MCD. • Reconoce números primos basados en la descomposición canónica relacionada con los divisores simples y compuestos. • Aplica de manera correcta el algoritmo del MCM y MCD en la resolución de problemas. • Discrimina las distintas propiedades de los números racionales y define al número racional. • Analiza la aplicación de razones y proporciones en la resolución de enunciados. • Determina la razón o proporción entre números naturales.
LA SECCIÓN ÁUREA La sección áurea es simplemente una proporción concreta la cual ha desempeñado un importante papel en los intentos de encontrar una explicación matemática a la belleza, de reducir esta a un número, de encontrar “la cifra ideal”. Esta es una proporción que aparece entre los segmentos de una recta al dividir esta en media y extrema razón, es decir, si se tiene una recta AB dividida por un punto F en otros dos segmentos AF y FB, donde AF > FB, el segmento mayor es al menor, como el todo es al mayor. Esta proporción o forma de seccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea. “El Hombre de Vitruvio” es un dibujo realizado por Leonardo da Vinci alrededor del año 1492 en uno de sus diarios, acompañada de notas anatómicas. Es un dibujo en lápiz y tinta; y mide 34,2 x 24,5 cm. En ella se muestra una figura masculina desnuda en dos posiciones superpuestas de brazos y piernas que se inscriben en un cuadrado y círculo. En dicho dibujo se describen, de forma general, las proporciones del cuerpo humano.
Contenido: Unidad 1
•
Lógica proposicional.
•
Teoría de conjuntos.
•
Numeración.
•
Operaciones básicas en el conjunto Z+.
Unidad 2
• • •
Teoría de la divisibilidad Números primos Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo. Fracciones.
•
Razones y proporciones.
Unidad 3
Unidad 4
•
Magnitudes proporcionales.
•
Interés.
•
•
Estadística.
Regla de tres.
•
•
Teoría combinatoria.
Porcentajes.
•
•
Probabilidad.
Mezcla.
Unidad 3
Unidad 4
• Discrimina entre magnitudes inversamente y directamente proporcionales, además evalúa sus propiedades. • Representa la información de una proporción y la explica utilizando un gráfico lineal. • Analiza la aplicación del reparto proporcional simple y compuesto. • Aplica la definición de reparto proporcional simple y compuesto en enunciados. • Identifica y discrimina entre la aplicación de la regla de tres inversa y directa. • Aplica la definición de regla de tres simple directa e inversa, y compuesta. • Evalúa los casos de aumentos y descuentos sucesivos. • Evalúa los datos disponibles en la aplicación de aumentos y descuentos sucesivos. • Analiza la clasificación de una mezcla (directa e inversa).
• Analiza cada uno de los elementos del interés y sus principios de aplicación. • Calcula el interés de cantidades en diversos casos aplicativos. • Evalúa y ordena conjuntos de datos utilizando cuadros estadísticos. • Determina el valor de los diversos elementos en una tabla de distribución y las distintas medidas de tendencia central. • Analiza las técnicas de conteo, el principio de multiplicación y el de adición. • Aplica las técnicas de conteo en un conjunto de datos y utiliza la definición de permutación y combinación en distintos casos. • Identifica los diferentes espacios muestrales en el cálculo de las probabilidades. • Efectúa problemas de probabilidades utilizando las reglas de adición y multiplicación. • Resuelve problemas aplicando interés simple y compuesto.
Unidad 1 LÓGICA PROPOSICIONAL Nota
PROPOSICIÓN LÓGICA Es el significado de una expresión aseverativa que se caracteriza por tener un solo valor de verdad, es decir, el significado presenta la posibilidad de ser verdadero o falso, pero no los dos a la vez. Se simboliza mediante las letras minúsculas p, q, r, s, etc.
Clases de proposiciones lógicas Simples
Compuestas
Son aquellas proposiciones que carecen de Son aquellas proposiciones que contienen alguna conjunciones gramaticales (y, o, si... entonces, si y solo conjunción gramatical o el adverbio de negación no. si) o del adverbio de negación no. Ejemplo: • El número 2 es par, pero es un número primo. Ejemplo: • Luis ingresó a San Marcos y también a la UNI. • El número 28 es par. • Luis ingresó a San Marcos.
CONECTIvOS LÓGICOS
• A la veracidad o falsedad de una proposición se le denomina valor de verdad. • A las letras p, q, r, s, t, etc. se les denomina variables proposicionales.
Recuerda • Las conjunciones son palabras que enlazan proposiciones, sintangmas o palabras.
Llamados también operadores lógicos. Son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negación no. En lenguaje común
Símbolo
Nombre de la proposición
No es cierto que...
a
Negación
...y...
/
Conjunción
...o...
0
Disyunción
Si... entonces...
&
Condicional
... si y solo sí...
+
Bicondicional
Nota Una tabla de verdad, es un diagrama que permite expresar todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus proposiciones simples.
PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS La negación (a)
Dada una proposición p. Se denomina negación de p a la proposición denotada por ap, la cual niega a la proposición inicial, convirtiéndola en falsa cuando es verdadera y viceversa. Ejemplos: • p: 2 es un número primo. (V) ~p: 2 no es un número primo. (F) • q: un rectángulo tiene tres lados. (F) ~q: no es cierto que un rectángulo tiene tres lados. (V)
La disyunción (0)
Cuando dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra o, forman una proposición compuesta llamada disyunción y es denotada de la forma: p 0 q
Su tabla de verdad es:
p V V F F
q V F V F
p0q V V V F
Observación La tabla de verdad de la negación es:
p 0 q es falsa (F) únicamente cuando p y q son ambas falsas, en los demás casos es verdadera.
p
ap
V
F
F
V
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
5
La conjunción (/)
Nota En un esquema molecular, el conectivo principal es el operador de mayor jerarquía que se encuentra libre de signos de colección.
Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra y para formar una nueva proposición llamada conjunción de ambos. La conjunción de las proposiciones p y q se denota por: p / q. Su tabla de verdad es: p V V F F
q V F V F
p/q V F F F
p / q es verdadera (V) únicamente cuando p y q son ambas verdaderas.
La condicional (&)
Nota Denominamos matriz principal de una tabla de verdad, a la columna que contiene los valores de verdad correspondiente al conectivo principal.
Muchas proposiciones, especialmente las matemáticas, son de la forma: si p entonces q. Tales proposiciones se denominan condiciones y se les denota por: p & q. A la proposición p se le denomina antecedente y a q consecuente. Su tabla de verdad es: p V V F F
• Para evaluar una tabla de verdad de 2 variables proposicionales se necesitan 4 valores de verdad; para evaluar una tabla de verdad de 3 variables proposicionales se necesita 8 valores de verdad. • En general, el número de valores de verdad que se asigna a cada variable, resulta de aplicar la fórmula 2n, donde n es el número de variables proposicionales que hay en el esquema molecular. •
V F •
p
q
V V F F
V F V F
p & q es falsa (F) únicamente cuando p es verdadera y q es falsa.
Relaciona dos proposiciones mediante el conectivo si y solo si. Su tabla de verdad es: p V V F F
p
q
r
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
q V F V F
p +q V F F V
p + q es verdadera (V) únicamente cuando p y q tienen el mismo valor de verdad.
La disyunción exclusiva (T)
Relaciona dos proposiciones mediante el conectivo o ... o ... Su tabla de verdad es: p V V F F
Ejemplos p
p &q V F V V
La bicondicional (+)
Observación
•
q V F V F
q V F V F
p Tq F V V F
p T q es verdadera (V) únicamente cuando p y q tienen diferente valor de verdad.
ESQUEMA MOLECULAR Un esquema molecular es la combinación de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación. Ejemplos: Conectivo principal
Conectivo principal
p
q
p
/
(q
&
p)
p
q (p
+
q)
0
p
V V F F
V F V F
V V F F
V V F F
V F V F
V V F V
V V F F
V V F F
V F V F
V F F V
V F V F
V V F V
V V F F
V V F F
Matriz principal
Matriz principal Conectivo principal
p
q (p
/ ~ q) 9 (~ p &
q)
V V F F
V F V F
F V F F
V F V F
V V F F
F V F V
V F V F
F F V V
V V V F
Matriz principal
6
Intelectum 5.°
A
CIRCUITOS LÓGICOS Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico.
Tipos de circuitos lógicos Circuitos en serie Circuitos en paralelo Dos interruptores conectados en serie representan una Dos interruptores conectados en paralelo representan conjunción. una disyunción. p
q
p
<> p / q
<> p 0 q
Observación Los circuitos lógicos tambien pueden ser mixtos, por ejemplo:
q
p ar
que representa el esquema moleular: (p / q) 0 ar
q
CLASIFICACIÓN DE LOS ESQUEMAS MOLECULARES a) Tautológico: cuando en el operador principal solo hay valores verdaderos. b) Contingente o consistente: cuando en el operador principal se tiene, por lo menos, un valor verdadero y uno falso. También se llama indeterminación. c) Contradictorio o inconsistente: cuando el operador principal solo tiene valores falsos.
La implicación
Se llama así a la proposición condicional cuando es tautológica, (p & q / V).
La equivalencia
Se llama así a la proposición bicondicional cuando es tautológica, (p + q / V).
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 1. Idempotencia p0p/p p/p/p
2. Conmutativa p0q/q0p p/q/q/p
3. Asociativa (p 0 q) 0 r / p 0 (q 0 r) (p / q) / r / p / (q / r)
Nota Las leyes de la lógica proposicional son aquellas equivalencias lógicas que nos permiten simplificar un problema y expresarlo en forma más sencilla.
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
7
Problemas resueltos 1
Resolución:
Si la proposición: (p / q) & (q & r) es falsa, halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ~(p 0 r) & (p 0 q) II. (p 0 ~ r) & (~r / q) III. [(p / ~q) 0 (q / ~r)] + (p 0 ~r)
Hacemos una tabla: p q (p + q) V V V V F V F V F F F V
Resolución: (p / q ) & (q & r ) / F V
p / q /V p /V q /V
S
4
F q &r / F q /V r /F
~[(p & q) + (~q / s)] 0 (r / s) F V V V V +V / F F ` p / F, q / F, r / F
(V 0 V) & (V / V) V &V /V
No río a menos que reniegue. No reniego excepto que esté tranquilo. Luego es equivalente a: I. Ni río ni estoy tranquilo. II. No estoy tranquilo salvo que reniegue. III. Río porque estoy tranquilo. IV. No río salvo que esté tranquilo. V. Lloro y estoy tranquilo.
5
Se definen las proposiciones: p # q / ~p / q p a q / p 0 ~q Además, la proposición: ~[(q # p) & (q a r)] es verdadera. Halla los valores de verdad de p, q y r, respectivamente.
Que se leerá: no río salvo que esté tranquilo (IV). Se define el operador: (+) por la siguiente tabla: p V V F F
q V F V F
Simplifica: (p + q) + p
8
F
Resolución:
Resolución:
3
F V
F
F
III. [(V / F) 0 (V / V)] + (V 0 V) (F 0 V) + (V 0 V) V +V /V 2
Si s es verdadera y la proposición: ~[(p & q) + (~ q / s)] 0 (r / s) es falsa, halla los valores de verdad de p, q y r.
Resolución:
Desarrollamos las proposiciones: I. ~(V 0 F) & (V 0 V) ~(V) & (V) F &V /V II.
p V V F F
Por lo tanto: (p + q) + p / V
De la proposición: S
+ V V V V
Intelectum 5.°
p+q V V F V
6
V F
F F F V
Se definen: p d q / p / aq p - q / ap 0 q Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. p & aq / +(p d aq) II. p & q / a(p d q) 0 (p - q) III. ap - q / a(ap d q)
A Resolución: I.
II.
9
p & aq / a(p d aq) ap 0 aq / a(p / q) ap 0 aq / ap 0 aq
(V)
p & q / a(p d q) 0 (p - q) p & q / a(p / aq) 0 (ap 0 q) p & q / (ap 0 q) 0 (ap 0 q) p &q /
ap 0 q
(V)
p # q / (p 0 q) / [a(p + q) 0 (p + q)]
(V)
Entonces: p#q/p0q
Por lo tanto, todas las proposiciones son correctas. Simplifica la expresión lógica: +{+[(p 0 q) / r] 0 aq}
III. ap - q / a(ap d q) p 0 q / a(ap / aq) p 0 q /p0q
7
Si # es un conectivo lógico definido mediante: p # q / (p 0 q) / [a(p + q) 0 (p + q)]
& (p . q)
Ley del complemento: p / ap / F y q / aq / F Entonces: [F / F] 0 (ap / aq) F 0 (ap / aq) ap / aq a (p 0 q) Ley de absorción
Entonces: {[(p . q) . p] & (p . q)} / ap ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
9
TEORía DE CONJUNTOS
Nota
NOCIÓN DE CONjUNTO
• Para representar a los conjuntos se utilizan las letras mayúsculas A, B, C, ...; y para denotar a sus elementos se usan las letras minúsculas, a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos. • La notación gráfica consiste en representar los elementos dentro de una figura cerrada (diagrama de Venn-Euler). • La relación de pertenencia es una relación exclusiva de elemento a conjunto.
Es una colección o agrupación de objetos bien definidos, llamados elementos, los cuales pueden ser concretos o abstractos. Ejemplo: las letras de la palabra "genio". Notación:
Gráficamente:
G = {g; e; n; i; o} •
g
• •
Nombre del conjunto Elementos del conjunto G
i
G
e
• •
n
o
RELACIÓN DE PERTENENCIA Si x es un elemento del conjunto A, se dice que "x pertenece al conjunto A" y se denota: x ! A x"A
En el caso de no pertenecer x al conjunto A se denota: Ejemplo: B = #p; 2; e; 3 • p !B
Atención Veamos la aplicación de cardinal de un conjunto: Sea el conjunto:
A = " 3 ; 3 ; 5 ; 5 ; 5 ; 7 ; 7 ; U; N; I; 2014 ,
• 1 "B 2
•
2 !B
• {p} " B
DETERMINACIÓN DE UN CONjUNTO Por extensión: cuando sus elementos están indicados explícitamente. Ejemplo: P = {4; 9; 16; 25; 36} Por comprensión: cuando se indica una propiedad o condición común a todos sus elementos. Del ejemplo anterior: P = " x2 /x ! Z / 1 1 x 1 7 ,
A = " 3 ; 5 ; 7 ; U; N; I; 2014 , n(A) = 7
CARDINAL DE UN CONjUNTO Indica la cantidad de elementos no repetidos de un conjunto. Notación: n(A); se lee: cardinal del conjunto A.
CUANTIFICADORES
Recuerda Una función proposicional en una variable x es una oración en la que x figura como sujeto u objeto directo, que se convierte en proposición cuando se le asigna un valor específico a x. Notación: P(x) Ejemplo: • P(x): x es par. • P(1) es falso. • P(2) es verdadero.
Universal
Existencial
Sea P(x) una función proposicional sobre el conjunto A, el cuantificador 6 indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función proposicional P(x) sea verdadera. La expresión: Para todo x ! A, se verifica P(x). Se denota: 6 x ! A: P(x) 6 se lee: para todo o cualquier.
Sea P(x) una función proposicional sobre un conjunto A, el cuantificador 7 indica que para algún valor del conjunto A, la función proposicional P(x) es verdadera. La expresión: Existe al menos un x, tal que se verifica P(x). Se denota: 7 x ! A/ P(x) 7 se lee: existe al menos.
RELACIONES ENTRE CONjUNTOS Inclusión ( 1 ) Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B, si todo elemento de A es también elemento del conjunto B, denotándose: A 1 B Formalmente se expresa así: A 1 B + 6 x !A & x ! B
Igualdad (=)
Dos conjuntos A y B son iguales si A 1 B y B 1 A simultáneamente, es decir: A = B + A 1B / B 1A
10 Intelectum 5.°
A
Conjuntos comparables Dos conjunto S A y B son comparables cuando solamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir, o bien A 1 B o bien B 1 A. Ten en cuenta
Disjuntos
Ejemplo 1: Sean los conjuntos:
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen algún elemento en común.
A = " 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 , B = " 3 ; 5 ; 11 ,
CLASES DE CONjUNTOS
C = " 3 ; 5 ; 7 ; 3 ,
Conjunto finito
Gráficamente:
Un conjunto es finito, si el proceso de conteo de sus elementos tiene límite.
A
Ejemplo: A = {a; b; {a; b}}
C
B
• 11 • 3 • 5
Conjunto infinito
• 2
Un conjunto es infinito, si el proceso de conteo de sus elementos no tiene límite.
• 3
• 7
• C j A • B 1 A • C j B
Ejemplo: R = {x / x es un número real}
Ejemplo 2: Dados los conjuntos: A = " x x / x ! Z / 1 # x 1 6 ,
Conjunto vacío o nulo
B = "1; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 5 5 ,
Es aquel conjunto que carece de elementos.
Se observa que: A 1 B / B 1 A
Ejemplo: A = " x / x ! N / x 17 d N , = " , = Q
` A = B Ejemplo 3: Q = {x / x es un número racional} I = {x / x es un número irracional}
Conjunto unitario Es aquel conjunto que consta de un solo elemento. Ejemplo: P = {x + y / x; y ! R / x2 + y2 = 0} = {0}
Se observa que disjuntos.
Q e I son
Conjunto universal Es el conjunto que contiene a todos los elementos que están siendo considerados en un estudio o contexto particular. Se denota generalmente por U. Ejemplo: M = {2; 6; 10; 12} Podrá ser un conjunto universal para M: U = {x / x ! Z+ / x 1 13}
Recuerda El vacío Q es subconjunto de todo conjunto, es decir: 6 A: Q 1 A • Q ! {Q} • Q ! {{ }} Por ejemplo: P(A) = {x / x 1 A}
Conjunto potencia
De acuerdo con la definición se cumple: x ! P(A) + x 1 A
El conjunto potencia de A es aquel cuyos elementos son todos subconjuntos de A. Notación: P(A); se lee conjunto potencia de A. Ejemplo: A = " 2 ; 3 , & P (A) = "Q; " 2 ,; " 3 ,; " 2;
3 ,,
Se observa que: n[P(A)] = 4 = 22 En general, el número de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto A es: n[P(A)] = 2n(A)
Par ordenado Nota
Es un conjunto de dos elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados. Notación: (a; b); se lee par ordenado a; b. a: 1.a componente; b: 2.a componente Se cumple: (a; b) = (c; d) + a = c / b = d Observación: (a; b) ! (b; a)
Para el conjunto A ={ 2 ; 3 } Q; " 2 ,; " 3 , son subconjuntos propios. n.° de subconjuntos propios = 3 = 22 - 1 = 2n(A) - 1
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
11
OPERACIONES ENTRE CONjUNTOS Unión ( , ) A , B = {x / x ! A 0 x ! B} Representación gráfica (casos posibles) No disjuntos
Disjuntos B
A
Comparables B B
A
A
Ejemplo 4 Sean los conjuntos: A = {11; 13; 15; 18} B = {10; 11; 12; 13} A , B = {10; 11; 12; 13; 15; 18}
A,B=B De las figuras: • n(A , B) = n(A) + n(B) + A y B son disjuntos
• A , B = B + A 1B
Intersección ( + ) A + B = {x / x ! A / x ! B} Representación gráfica (casos posibles) No disjuntos
Disjuntos B
A
Comparables B
A
B A
A+B=Q
Del ejemplo 4: A + B = {11; 13}
A + B =A
De las figuras: • A + B = Q + A y B son disjuntos
• A + B =A + A 1B
Diferencia ( – ) A - B = {x / x ! A / x " B} Representación gráfica (casos posibles) No disjuntos
Disjuntos B
A
Comparables B
A
B A
A – B =A
Del ejemplo 4: A - B = {15; 18}
A-B=Ø
De las figuras: • A - B = A + A y B son disjuntos
• A - B = Q + A 1B
Diferencia simétrica ( ∆ ) A ∆ B = {x / x ! (A - B) 0 x ! (B - A)} Representación gráfica (casos posibles) No disjuntos A
Disjuntos B
B
A
A ∆ B =A j B
12 Intelectum 5.°
Comparables B A
A ∆ B = B -A
Del ejemplo 4: A ∆ B = {10; 12; 15; 18}
A
C
Complemento (A' o A ) A' = Ac = {x / x " A} U
A
Observación
A'
Notamos que el complemento se considera siempre respecto a un conjunto universal (U).
Producto cartesiano
Sean los conjuntos no vacíos A y B. Se define el producto cartesiano como el conjunto: A # B = {(a; b) / a ! A / b ! B} Ejemplo: • A = {2; 4; 6}
• B = {1; 7}
` A # B = {(2; 1); (2; 7); (4; 1); (4; 7); (6; 1); (6; 7)}
Diagrama sagital A
•2 •4 •6
Diagrama cartesiano B
B
7
•1
1
•7
2
4
6
A
Propiedades • n(A # B) = n(B # A)
• A # (B + C) = (A # B) + (A # C)
• n(A # B) = n(A) # n(B)
• A # (B , C) = (A # B) , (A # C)
• A#B=B#A+A=B
• A # (B - C) = (A # B) - (A # C)
Atención
Si: A 1 B & A # C 1 B # C; para todo conjunto C.
Propiedades adicionales: A - B = A + B' A' - B' = B - A
Si: A 1 B / C 1 D & (A # C) 1 (B # D)
A T B = (A , B) - (A + B)
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONjUNTOS
A T B = (A - B) , (B - A) n(A , B) = n(A) + n(B) - n(A + B)
Idempotencia:
• A , A =A
• A + A =A
Conmutativa:
• A,B=B,A
• A+B=B+A
Asociativa:
• (A , B) , C = A , (B , C)
• (A + B) + C = A + (B + C)
Distributiva:
• A , (B + C) = (A , B) + (A , C)
• A + (B , C) = (A + B) , (A + C)
De Morgan:
• (A , B)' = A' + B'
• (A + B)' = A' , B'
Absorción:
• A , (A + B) = A
• A , (A' + B) = A , B
• A + (A , B) = A
• A + (A' , B) = A + B
n[P(A) + P(B)] = n[P(A + B)]
• A + A' = Q
Del complemento:
• A , A' = U
De la unidad:
• U,A=U
• Q , A =A
• U + A =A
• Q+A=Q
• (A')' = A
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
13
Problemas resueltos 1
Sea el conjunto: T = {∅; a; {a}; {a; {∅}}} Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: • {∅; a} 1 T • {∅} ! T • {a; {a}} ! T • {a} ! T • {∅; {a; {∅}}} 1 T • {{a}; {∅}} 1 T
3
Sean los conjuntos no vacíos M y N. Si la cantidad de subconjuntos de M excede a la cantidad de subconjuntos propios de N en 2p + 1, y la suma entre ellos es 2p + 15. Halla el número de elementos de N.
• {∅; a} 1 T (verdadero) ∅ y a son elementos del conjunto T, entonces el conjunto conformado por estos dos elementos es un subconjunto de T. • {a} ! T (verdadero) {a} es un elemento del conjunto T.
• {a; {a}} ! T (falso) {a; {a}} no es un elemento de T.
Sea el conjunto:
... (II)
• Sumando (I) y (II):
• {∅} ! T (falso) • {∅} no es un elemento de T (∅ ! {∅}). {∅; {a; {∅}}} 1 T (verdadero) ∅ y {a; {∅}} son elementos del conjunto T, entonces el conjunto formado por estos dos elementos es un subconjunto de T.
2
... (I)
n(N)
` n(N) = 3
4
Sean los conjuntos: A = "(x + 1) x+1 ; a; a - 3; 19 , B = {19; a - 3}; x, a ! Z+ Además: A 1 B Halla: x + a
Resolución:
Observamos que B 1 A, además, por dato A 1 B, entonces: A = B A = "(x + 1) x+1 ; a , B = {19; a - 3} Se cumple: a = 19 0 a = a - 3 Descartamos que a = a - 3; puesto que obtendríamos 0 = -3 (absurdo), luego: a = 19 Entonces : (x + 1)
x+1
= a-3
(x + 1)
x+1
= 19 - 3
(x + 1)
x+1
= 16
(x + 1)
x+1
= 16
x+1
x+1
= 22
x+1 = 2 x+1=4 x=3 Nos piden: x + a = 3 + 19 = 22 &
A 5
Resolución:
Luego de combinar m frutas distintas, para preparar un jugo surtido, se obtuvo 247 diferentes jugos. Halla m.
Determinamos el conjunto P por extensión: P = {x ! Z / -2 # x # 2} = {-2; -1; 0; 1; 2}
Resolución:
Sea A el conjunto de frutas y n(A) = m. El conjunto potencia P(A) contiene a todos los conjuntos formados con los elementos de A (frutas), incluyendo al vacío. Como el problema trata de jugos surtidos, no se tomarán en cuenta a los conjuntos unitarios (una fruta) y al conjunto vacío. Entonces: n.° conjuntos unitarios 2n(A) - 1 - m = 247 Conjunto vacío ∅
Luego: I.
II. Falso x = -2: -2 - 2 2 1 x = -1: -1 - 2 2 1 x = 0: 0 - 2 2 1 x = 1: 1 - 2 2 1 x = 2: 2 - 2 2 1
2n(A) - m = 248 Como n(A) = m, obtendríamos: 2m = 248 + m & 28 = 248 + 8 ` m=8
6
x = -2 ; y = 2 x = -1 ; y = 1 x=0;y=0 x = 1 ; y = -1 x = 2 ; y = -2 IV. Verdadero Para x = -2
Resolución:
7
Sea el conjunto: P = {x ! Z / x2 # 4} Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 6 x ! P; x2 1 5 II. 7 x ! P / x - 2 2 1 III. 6 x ! P, 7 y ! P / x + y = 0 IV. 7 x ! P / x + 1 1 0
(F) (F) (F) (F) (F)
III. Verdadero
Sean los conjuntos: A , B = {x4 + 1; y} A = {x4 + 1; y; 1 - 2x2; 2 - (x + 13)z} Si A , B es unitario y {x; y; z} 1 Z, halla: 2y + x + z Para cualquier conjunto se cumple: A 1 (A , B) En el enunciado observamos: (A , B) 1 A Entonces: A = A , B Por dato, A , B es unitario: x4 + 1 = y = 1 - 2x2 & x4 + 1 = 1 - 2x2 x4 + 2x2 = 0 x2(x2 + 2) = 0 & x=0 Luego: x4 + 1 = y / 2 - (x + 13)z = 1 y=1 13z = 1 z=0 Nos piden: 2y + x + z = 2(1) + 0 + 0 = 2
En un grupo de 122 señoritas: 49 son rubias, 44 son morenas y el resto pelirrojas; 61 tienen ojos azules y las otras cafés; 15 rubias tienen ojos azules y 16 pelirrojas tienen ojos azules. ¿Cuántas morenas de ojos cafés hay en el grupo?
Resolución:
Notemos que los conjuntos son disjuntos. Así tenemos: Ojos azules
61
15 rubias 16 pelirrojas x morenas
Ojos cafés
61
34 rubias 13 pelirrojas y morenas
Del conjunto de ojos azules: 15 + 16 + x = 61 x = 30 Luego: Morenas = 44 x + y = 44 30 + y = 44 & y = 14 Por lo tanto, las morenas de ojos cafés son: 14
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
15
numeración
DEFINICIÓN Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la formación, lectura y escritura correcta de los números.
CONCEPTOS PREvIOS Nota • Las cifras que usaremos para la formación de numerales son: 0; 1; 2; 3; ... • La base de un sistema de numeración no solamente será de una cifra sino, también, de dos, tres o más cifras. • En un sistema de numeración de base n, la cifra máxima será (n - 1).
• Número. Es un ente matemático que indica cantidad y nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. • Numeral. Es la representación simbólica o figurativa de un número. • Cifra o dígito. Son los símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales.
SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto de principios, reglas y convenios que rigen la formación y representación de números con una cantidad limitada de símbolos (cifras o dígitos).
PRINCIPIOS DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Principio del orden y lugar
Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado un orden y un lugar. • Orden. Se cuenta de derecha a izquierda a partir de cero. • Lugar. Se cuenta de izquierda a derecha a partir de uno. Ejemplo:
Lugar
5
4
3
2
1
0
9
2
4
7
3
8
1
2
3
4
5
6
Orden
Principio de la base
Todo numeral quedará expresado en una determinada base (mayor que uno), la cual nos indica de cuánto en cuánto agrupamos las unidades de un cierto orden para obtener unidades del orden inmediato superior. Atención En la práctica: + 12304(5) = 1672(8) - + Es decir, mayor numeral aparente, menor base.
Ejemplo: Expresa 17 unidades en las bases 3; 8 y 5. • En base 3:
1 conjunto de 3
• En base 8:
2 grupos sobró 2 de 3 unidades
122(3)
2 grupos de 8
• En base 5:
Sobró 1 unidades
21(8)
3 grupos de 5
Sobró 2 unidades
32(5)
Por lo tanto: 17 = 122(3) = 21(8) = 32(5)
Principio de la cifra
Toda cifra que conforma un numeral es menor que la base; además, el número de cifras posibles a utilizar en cierta base es igual a la base. Hasta aquí podemos concluir: 1. En una igualdad de numerales, a mayor numeral aparente le corresponde menor base, y, análogamente, a menor numeral aparente le corresponde mayor base. 2. Las cifras permitidas en un sistema de numeración de base n son: 1; 2; 3; ...; (n - 1). 3. El número de cifras que se puede utilizar para la formación de numerales en cierta base, es igual a la base. 4. La base es un número entero positivo mayor o igual a 2.
Nota • El sistema de numeración de base n puede utilizar n cifras diferentes. • Solo para la última cifra de un numeral, su valor relativo coincidirá con su valor absoluto.
h 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...; (n - 2); (n - 1)
Principio del valor de las cifras
Toda cifra que forma parte de un numeral tiene dos valores: • Valor relativo (V. R.). Es el valor que toma la cifra teniendo en cuenta a la base y su respectivo orden. • Valor absoluto (V. A.). Es el valor que tiene la cifra por su representación. V. A.(2) = 2 V. A.(4) = 4 V. A.(3) = 3 V. A.(1) = 1 V. A.(5) = 5 2 4 3 1 5(7) V. R.(5) = 5 # 70 V. R.(1) = 1 # 71 V. R.(3) = 3 # 72 V. R.(4) = 4 # 73 V. R.(2) = 2 # 74
Atención Numeral capicúa Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes son iguales.
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO Cada cifra de un número puede ser representada por una letra del abecedario; todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlas de las expresiones algebraicas. Ejemplo: abc(n): representa cualquier número de tres cifras en base n.
Consideraciones 1. Toda expresión que esté entre paréntesis representará una cifra. Ejemplos: • (2a)a: 21; 42; 63; 84
• 1a(a + 7): 107; 118; 129
2. La primera cifra de un numeral debe ser distinta de cero: Ejemplo: x1y(3): 110(3); 111(3); 112(3); 210(3); 211(3); 212(3) (x solo puede ser 1 ó 2) 3. Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que se indique. Ejemplo: ab(3): 10(3); 11(3); 12(3); 20(3); 21(3); 22(3)
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
17
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Atención La descomposición polinómica también se puede realizar por bloques. Ejemplos: • 112288(11) = 11(11)114 + 22(11)
# 112 + 88(11)
• abcabc(n) = abc(n) # n3 + abc(n)
Se define como la suma de los valores relativos de cada una de las cifras del numeral. Ejemplo: 23451(7) = V. R. (2) + V. R. (3) + V. R. (4) + V. R. (5) + V. R. (1) = 2 # 74 + 3 # 73 + 4 # 72 + 5 # 7 + 1 # 70 En general: ak ak - 1 ak - 2 ...a2 a1 a0 (n) = aknk + ak - 1nk - 1 + ak -2nk-2 + ...+ a2n2 + a1n1 + a0n0 1 4 4 44 2 4 4 44 3 k + 1 cifras
• xyxy(n) = xy(n) # n2 + xy(n)
CRITERIO DE PARIDAD DE UN NUMERAL La paridad de un numeral se analiza mediante la descomposición polinómica, teniendo en cuenta, además que: • (# par)k = # par; 6k ! Z+
• (# impar)k = # impar; 6k ! Z+
• (# par) × k = # par; 6k ! Z+
1. Si la base es par, la última cifra del numeral determinará su paridad. Veamos: N = abcd(n) = an3 + bn2 + cn + d; n: par = a # (# par)3 + b # (# par)2 + c # (# par) + d = a # (# par)3 + b # (# par)2 + c # (# par) + d Si d es par, entonces N será par. # par Si d es impar, entonces N será impar. Observación (# par) + (# par) = (# par) (# impar) + (# impar) = (# par) (# par) + (# impar) = (# impar) (# impar) # (# impar) = (# impar) (# impar) = (# par) + 1
2. Si la base es impar, el resultado de la suma de cifras del numeral determina la paridad. Veamos: N = abcd(n) = an3 + bn2 + cn + d; n: impar = a # (# impar)3 + b # (# impar)2 + c # (# impar) + d = a # (# impar) + b # (# impar) + c # (# impar) + d = a # (# par + 1) + b # (# par + 1) + c # (# par + 1) + d = a # (# par) + b # (# par) + c # (# par) + a + b + c + d Si esta suma es par, entonces N # par será par y si esta suma es impar, entonces N será impar.
CAMBIOS DE BASE De base n a base 10 (n ] 10)
Para convertir un número de cualquier sistema de numeración al sistema decimal, emplearemos dos métodos: • Descomposición polinómica. • Ruffini. Ejemplo: convierte 6235(7) a base 10. Resolución: Por descomposición polinómica 6235(7) = 6 # 73 + 2 # 72 + 3 # 7 + 5 6235(7) = 6 # 343 + 2 # 49 + 3 # 7 + 5 Recuerda Los criterios de paridad se cumplen para todo numeral de cualquier cantidad de cifras.
6235(7) = 2058 + 98 + 21 + 5 6235(7) = 2182
De base 10 a base n (n ! 10)
7 Ç
Por Ruffini 2 3 . 42 308
5 2177
6
2182
6
44
311
6235(7) = 2182
Para convertir un número del sistema decimal a cualquier otro sistema de numeración se utiliza el método de divisiones sucesivas. Ejemplo: convierte 423 a base 8. Resolución: 423 8 416 52 8 Luego: 423 = 647(8) 7 48 6 4
18 Intelectum 5.°
A
De base n a base m (n ! m, ambos diferentes de 10)
Se convierte el número dado, de base n al sistema decimal, para luego llevarlo a base m. Ejemplo: convierte 351(6) a base 8. Resolución: 1.° 351(6) = 3 # 62 + 5 # 6 + 1 = 108 + 30 + 1 = 139 2.°
139 8 136 17 8 3 16 2 1
Atención Casos particulares 1a
Luego: 351(6) = 213(8)
1a = n + ma 1a m j veces 1a(n)
a1
= nam + am - 1+ a1 ...+ a2 + a + 1 m j veces a1
PROPIEDADES Numeral con cifras máximas
Bases sucesivas
(n - 1)(n - 1) ... (n - 1)(n) = nk - 1
1a
k cifras
1b
1c
a1
(n)
= a + b + c + ... + z + n
j
1z(n)
Intervalo para un numeral N(n) con cierta cantidad de cifras nk
-1
# N(n) 1 nk
Donde k es el número de cifras de N(n).
CASOS ESPECIALES DE CAMBIOS DE BASE 1. De base n a base nk, k ! Z+ Dado un número en base n, se forman grupos de k cifras (de derecha a izquierda) y por cada grupo que se forma se encontrará una cifra en base n. Las cifras se obtienen convirtiendo cada grupo a base decimal. Ejemplo: Convierte 101011110(2) a base 8. Resolución: Observamos que 8 = 23; entonces se formarán grupos de 3 cifras de derecha a izquierda. 101
011
2
110(2)
1#2 +1
1#2+1
1 # 22 + 1 # 2
5
3
6(8)
Observación
` 101011110(2) = 536(8)
2. De base nk a base n, k ! Z+ Dado un número en base nk, por cada una de sus cifras se obtendrá k cifras en base n y de ser necesario se completará con ceros.
Si las divisiones no generan k cifras, se completará con ceros a la izquierda.
Ejemplo: Convierte 5462(8) a base 2. Resolución: Como 8 = 23, por cada cifra del numeral en base 8 se obtendrá 3 cifras en base 2. 5
4
6
2
5 2 1 2 2 0 1
4 2 0 2 2 0 1
6 2 0 3 2 1 1
2 2 0 1
101
100
110
010
` 5462(8) = 101100110010(2)
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
19
Problemas resueltos 1
Si el numeral (a - 2)(a + 5)(a + 9) está expresado en base 13 y el numeral b(b + 1)(b + 5)(b - 5) en base 11. Halla x + y, si ab(7) + ba(9) = xy.