Teoria Teoria dos Grupos rup os e Anéis 6.1. 6.1. Defin Defin iç ão de Operações Operações B inárias
Sendo E um conjunto, não vazio, toda aplicação (função) f: ExE
→
E recebe o nome de
operação binária sobre E. Notação: f(x , y) = x * y.
6.1.1. Propriedades de Operações Binárias
Seja * uma operação op eração binária binária sobre um conjunto E. a)
Fechamento: Para quaisquer x e y E tem-se x * y E
b)
Associativa : Para quaisquer x, y e z E tem-se: x * (y * z) = (x * y) * z.
c)
Comutativa: Para quaisquer x, y E tem-se: x * y = y * x.
d)
Elemento Neutro :
Existe, um elemento, e E tal que, para todo x E tem-se x * e = e *x = x. e) Elementos Simetrizáveis Simetrizá veis:
x' E, é chamado simétrico de x se x * x' = x' * x = e (elemento neutro). f)
Elementos Regulares :
a * x a * y x y x, y E. x * a y * a x y
r egular se: a E, é um elemento regular
6.1.3. Exercícios Propostos
1) Considere as tabelas abaixo e, responda: *
1
2
*
1
2
*
1
2
*
1
2
*
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
TABELA 1
TABELA 2
TABELA 3
TABELA 4
TABELA 5
a) Quais das tabelas acima, de operação o peração binária (*) no conjunto {1, 2}, são comutativas? Justifique a sua resposta. b) Responda: “a tabela 5 é associativa?”. Justifique a sua resposta. c) Preencha a tabela: TABELA 1
TABELA 5
Elemento neutro Simétrico de 1 Simétrico de 2
Material de aula da Prof. Silvia Fernanda M. Brandão
1
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2) Considere Considere a operação * definida sobre o conjunto R * x R , onde: (a, b) e (c,d) R * x R, (a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). Verifique as propriedades: comutativa,
associativa, elemento neutro e elemento simétrico.
6.2. 6.2. Grupo s 6.2.1.Definições e aplicações
Sejam G, um conjunto, não vazio, e * uma operação binária sobre G. Dizemos que G é um grupo em relação à operação *, e denotamos por (G,*) se, e somente se: a, b e c G;
i)
a * (b * c) = (a * b) * c
ii)
Existe e G tal que a * e = e * a = a a G;
iii)
Todo elemento de G é simetrizável em relação a operação *, isto é: a G, a' G tal que a * a' = a' * a = e (elemento neutro)
Exemplo: Mostre que (a, b) * (c, d) = (a+c, b+d) é um grupo. 6.2.2.Grupos Comutativos ou Abelianos
Dizemos que um grupo (G,*) é abeliano ou comutativo se, e somente se, a * b = b * a a, b G. Exemplo: Prove que: M 2x2(IR ) é um grupo abeliano. 6.2.3. Subgrupos
Seja (G, ∆) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H, H G, é um subgrupo de G se, somente se: I) a, b H a ∆ b H (isto é, H é fechado fechado para a lei lei de composição composição interna interna de G); II) (H, ∆) também é um grupo (a lei de composição é a mesma mesma de G, só que restrita a H). associativa é válida OBS: A propriedade associativa elementos de H ; pois , H G.
para todo, os elementos de G; em particular, é válido válido aos
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I)
a, b G; se a, b H a ∆ b H
II)
a G; se a H a’ H
6.2.4. Exercícios Propostos
1) Responda as perguntas abaixo, justificando sua resposta. respo sta. a) “Diz-se que um conjunto A munido da operação binária * é um grupóide relativamente à operação * , e, representa-se
o grupóide grupóide por: (A, *). ” Responda: os pares ordenados (N, -) e
(N, .) são grupóides? Por quê? b) Se considerarmos o conjunto A = {a, b, c} munido da operação *, definida d efinida pela tabela abaixo: *
a
b
c
A
a
c
b
B
c
b
a
C
b
a
c
responda e justifique: (A, *) é um semigrupo? c) O que você você pode afirmar afirmar em relação relação às estruturas (N, +) e (N, .)? Especifique os respectivos respectivos elementos neutros. d) Determine o elemento elemento simétrico de um elemento elemento qualquer de (Z, +) e (Q, .). .). 2) Considere Considere a operação * definida sobre o conjunto R * x R , onde: (a, b) e (c,d) R * x R, (a,b) * (c,d) = (ac, ad + b)
a) A estrutura (R * x R, *) é um grupo? É uma estrutura abeliana? Justifique sua resposta. b) Caso a operação
*
fosse definida sobre o conjunto Z x Z, a estrutura (Z x Z, *) seria um
grupo? Justifique sua resposta. 3) Considere o conjunto dos números reais
r
munido da operação * definida por:
x * y = x + y - 3. Mostre que ( IR , *) é um grupo grupo abeliano. abeliano. 4) Verifique se z x z é grupo em relação a alguma das seguintes leis: a) Soma Direta - : (a,b) e (c,d)
z
b) Produto Direto - : (a,b) e (c,d)
x z , (a,b) (c,d) = (a + c, b +d) z
x z , (a,b)
(c,d) = (ac, bd)
c) (a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bc) bc) d) (a, b) * (c, d) d) = (ac, ad + bc) bc) 5) Sejam A um conjunto não vazio e
A
IR
A
o conjunto das aplicações de A em IR . Definimos uma
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6) Mostre que só há um modelo de tábua para grupos de ordem 3. 7) Se G = { e, a , b, c} é um grupo em relação à tabela abaixo, complete-a. *
e
a
b
C
E
e
a
b
C
A
a
B
b
c
C
c
e
a
8) Construir a tábua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que : I) II)
G é abeliano; O neutro é e;
IV) V)
a ∆ d = b ∆ c = f a∆c=b∆b =d
III)
a∆f=b∆d =e
VI)
c∆d=a
9) O conjunto G = {e, a, b, c, c, d, f} tem uma estrutura de grupo em relação à tabela abaixo: *
e
a
b
c
d
f
e
e
a
b
c
d
f
a
a
b
e
f
c
d
b
b
e
a
d
f
c
c
c
d
f
e
a
b
d
d
f
c
b
e
a
f
f
c
d
a
b
e
a) Seja H1 = {e, c}. Verifique se H1 é subgrupo de G. b) Seja H2 = {e, a, f}. f}. Verifique Verifiqu e se H 2 é subgrupo de G. 10) Verifique se H = 2 z = {0, 2, 4, ...} é subgrupo de ( z , +). 11) Mostre que H = 3z = {3k | k z } é subgrupo do grupo aditivo z . 12) Provar que se H 1 e H2 são subgrupos de um grupo G, então H 1 H2 é um subgrupo de G. 6.2.5. Propriedades de um Grupo
a) O elemento neutro de (G, *) é único b) Existe um único elemento simétrico para cada elemento a G c) Se a, b G
(a * b)’ = b’ * a’
d) Se a G (a’)’ = a
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Exercício Proposto : Provar as propriedades de grupo. 6.3. 6.3. Morfi Morfi smos: Semigr Semigr upos e Grupos 6.3.1.Homomorfismo de Grupo
Dados dois grupos (G, homomorfismo de G em J se,
) e (J, *), dizemos que uma aplicação aplicação f : G
∆
→
J é um
e somente se: a, b G; f(a ∆ b) = f(a) * f(b) , isto é, f é compatível compatível
com as leis de G e J. Exemplos: 1) Seja f : (IR , + )
( *, . ) e f (x) (x) = 2x .
→ IR
a, b IR ; f(a + b) = 2a+b = 2 a . 2 b = f(a) . f(b)
Portanto, f é um homomorfismo homomorfismo de ( IR , + ) em (IR *, . ). 2) Seja f : ( z , + )
( , + ) e f (x) = 2x .
→ z
a, b z ; f(a + b) = 2(a+b) = 2 a + 2 b 2 b = f(a) + f(b)
Portanto, f é um homomorfismo homomorfismo de ( z , + ) em (z , + ). TEOREMA: Sejam (G, *), (J, *) *) e (L, *) grupos grupos de f : G a aplicação aplicação gof : G → L é, também, também, um homomorfismo.
→
J e g : J → L homomorfismos. Então
Demonstração: a, b G ; gof(a * b) = g(f(a * b)).
A função f é um homomorfismo então g(f(a * b)) = g(f(a) * f(b)). A função g é um homomorfismo homomorfism o então g(f(a) * f(b)) = gof(a) * gof(b). Portanto, Portanto , gof é um homomorfism homomorfismo. o.
Núcleo de um Homomorfismo
Sejam (G, ∆) e (J, *), grupos e a função f : G
→
J um homomorfismo. homomorfismo. Chama-se núcleo de
f e denota-se por N(f) ou Ker(f) o seguinte seguinte subconjunto de G : N(f) = {x G | f(x) = u } , onde ‘u’ indica o elemento elemento neutro de J.
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6.3.2. Monomorfismo de Grupos
Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma Uma aplicação f : G
→
J é um monomorfismo do grupo
G em J se, somente somente se : a) f é injetora; b) f é um homomorfismo de grupo. 6.3.3. Isomorfismo de Grupos
Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma Uma aplicação f : G → J é um isomorfismo do grupo G em J se, somente se : a) f é bijetora; b) f é um homomorfismo de grupo. 6.4. 6.4. Exercícios Propo stos
1) Seja f : (z , +) → (C*, .), dada por f (m) = i m, m z . a) mostre que f é um homomorfismo b) dê o núcleo de f c) verifique se f é um u m monomorfismo 2) Seja f : (IR *+, +) → (IR , +), dada por f (x) = log (x), x r *+. a) mostre que f é um homomorfismo b) dê o núcleo de f c) verifique se f é um u m monomorfismo d) verifique se f é u m isomorfismo 3) Seja f : (C*, .) → (IR *+, .), dada por por f (z) = | z | , z C*. a) mostre que f é um homomorfismo b) dê o núcleo de f c) verifique verifique se f é sobrejetora d) verifique se f é u m isomorfismo 4) Prove as seguintes afirmações: (Livro de Álgebra - Gelson Iezzi) a) Se f é um isomorfismo isomorfismo do grupo (G, *) *) no grupo (J, ∆), então f -1 é um isomorfismo de (J, ∆) em (G, *).
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5) Verificar em cada caso, c aso, se f é um homomorfismo. homomorfismo. Caso afirmativo, determine o núcleo e verifique se é um isomorfismo. a) f : (z , +) → (z , +), dada por f (x) = kx, onde k é um inteiro dado b) f : (IR *, .) → (IR *, .), dada por f (x) = | x | , x IR *. c) f : (IR , +) → (IR , +), dada por f (x) = x + 1 d) f : ( z , +) → (z xz , +), dada por f (x) = (x, 0) e) f : (z xz , +) → (z , +), dada por f (x, y) = x f) f : ( z , +) → (2z = {0, 2, 4, ...}, +), dada por f (x) = 2x 6) a) Seja a IR +, com a = 1. Mostre que G = { a m / m z } é um subgrupo de ( IR +, .). b) Mostre que f : ( z , +) → (G, .), dada por f (m) = a m é um isomorfismo. 7. Anéis 7.1. Definições e Aplicações
Seja A um conjunto, não vazio, dizemos que (A, +, .) é um anel se: i)
O conjunto A é abeliano em ralação à adição, isto é: a) a + (b + c) = (a + b) + c
a, b, c A;
b) a + b = b + a
a, b A;
c) Existe e G tal que a + e = e + a = a
a A;
d) Todo elemento de A é simetrizável em relação a operação +, isto é: a A, a' A tal que a + a' = a' + a = e (elemento neutro)
ii)
A multiplicação (.) é associativa, isto é: a . (b . c) = (a . b) . c
a, b, c A;
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7.2. 7.2. Anel Unitári o
Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um monóide dizemos, então, que A é um anel unitário ou um anel com unidade. u nidade. O símbolo 1 A é chamado unidade do anel. Exemplo: (Z, +, .) é um anel unitário, cuja unidade é 1. 7.3. Anel Comutativo
Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um semigrupo comutativo dizemos, então, que A é um u m anel comutativo. 7.4. 7.4. Propried ades de um Anel
Consideremos um anel (A, +, .): a) Quanto a adição, A é um grupo abeliano, então: a1) o zero do anel é único a2) Para cada a A existe um único simétrico aditivo: a3) Dados b 1, b2, b3, . . ., b n A tem-se: -( b1 + b2 + b3 +, . . ., + b n) = (-b1) + (-b 2) + (-b 3) +, . . ., + (-b n) a4) Para todo a A tem-se -(-a) = a a5) Para todo a, x e y A tem-se: a + x = a + y x = y. a6) O conjunto solução da equação a + x = b, com a e b A é: (-a) + b b) Para todo a A a . 0 = 0 . a = 0 c) Para todo a e b A tem-se: a . (-b) = (-a) . b = -(a . b)
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N(f) = {x A | f(x) = u } , onde ‘u’ indica o zero do anel B. 7.6. Isomorfismo de Anel
Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação f: A → B é chamada isomorfismo de A em B se: i)
f é bijetora;
ii)
f é um homomorfismo de anéis.
7.7. 7.7. Exercícios Propo stos
1) Mostrar que (ZxZ,*, ∆) é um anel com unidade e comutativo. Considere as operações * e
∆
em
ZxZ, definidas por: (a,b) * (c,d) = (a+c, b+d)
e
(a,b) ∆ (c,d) = (ac - bd, ad + bc)
2) Verifique se (Z,*, ∆) é um anel. Considere as operações * e a*b=a+b+1
e
∆
em Z, definidas por:
a ∆ b = a + ab
3) Prove que são anéis. Verifique se são comutativos? Quais têm unidade? Determinar a unidade no caso de existir. a) (Z,+, ∆) - o conjunto Z dotado das leis l eis adição usual e da d a operação
∆
assim definida:
a ∆ b = 0 ; a, b z . b) (ZxZ, *, ∆) - considere as operações opera ções * e (a,b) * (c,d) = (a+c, b+d)
e
c) (Q,*, ∆) - considere as operações * e a*b=a+b-1
e
∆
em ZxZ, definidas por:
(a,b) ∆ (c,d) = (ac, ad + bc) ∆
em Q, definidas por:
a ∆ b = a + b - ab . Ache os elementos elementos inversíveis de Q.
4) Sabe-se que A = {a, b, c, d} e (A, +, .) é um anel em que os elementos neutros das operações + e . são, respectivamente, a e b. Conhecendo-se os compostos b + b = a, c + c = a, c.d = a, construir as
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c) f : ( z , +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (x, 0 ), x z . d) f : ( z xz , +, .) → (z , +, .), dada por f (x, y) = x, (x,y) z xz . e) f : ( z xz , +, .) → (z xz , +, .), dada por f (x, y) = (y, x), (x,y) z xz . f) f : (C, +, .) → (C, +, .), dada por f (a + bi) = a - bi g) f : ( z xz , +, .) → (z xz , +, .), dada por f (x, y) = (0, y), (x,y) z xz . h) f : ( z xz , +, .) → (z , +, .), dada por f (x, y) = y, (x,y) z xz . i) f : ( z , +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (2x, 0), x z . j) f : (z , +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (0, x), x z . k) f : ( z xz , +, .) → (z xz , +, .), dada por f (x, y) = (-y, -x), (x,y) z xz . Obs.: Considere:
Produto Direto ( .):
(a,b) e (c,d) Z x z , (a,b) . (c,d) (c,d)
Soma Direta (+):
(a,b) e (c,d) Z x z , (a,b) + (c,d) (c,d) = (a + c, b +d)
8) Seja f : z xz
x
→ z z
= (a . c, b .d)
dada por f (x, y) = (mx+ny, px+qy). Calcular m, n, p, q de modo que f seja
um homomorfismo do anel z xz nele mesmo;