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Texto Guía de Ingeniería Antisísmica

Facultad: Ciencias y Tecnología Carrera: Ingeniería Civil Autores: Ivan Richard Goytia Torrez Rolando Villanueva Inca Tutor: Ingeniero Felipe Ramiro Saavedra A.

Agradecimientos

A Dios. A nuestras familias por su cariño y respaldo incondicional. Al ingeniero Ramiro Saavedra por su apoyo durante la elaboración y culminación del proyecto.

FICHA TECNICA

TÍTULO

FECHA

“Modernización de la Enseñanza Aprendizaje en la Asignatura de Ingeniería Antisísmica” AUTORES

Agosto, 2001 CARRERA

Ivan Richard Goytia Torrez Rolando Villanueva Inca

Ingeniería Civil

COMPENDIO

Se cubren los conceptos generales de sismología, dinámica estructural y diseño. Se desarrollan métodos de cálculo sobre algunos casos prácticos. Se desarrolla el cálculo dinámico lineal y el análisis modal para estudiar su aplicación dentro del contexto de la Norma sísmica, haciendo hincapié en su aplicación práctica. Plasmando la información necesaria para diseño de estructuras sismorresistentes, que engloba los aspectos más prácticos y didácticos. Se tiene también una serie de ejercicios al final de cada capítulo los cuales ayudan una mejor comprensión de cada unidad.

CONTENIDO

Capítulo 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Conceptos Básicos de Sismología Causas de los Sismos 1.2.1 Tectónica de Placas 1.2.2 Sismos de Origen Tectónico Fallas Geológicas 1.3.1 Definición 1.3.2 Tipos de Falla Ondas Sísmicas 1.4.1 Ondas de Cuerpo 1.4.2 Ondas Superficiales Instrumentos de Medición y Registros Sísmicos 1.5.1 Sismómetro 1.5.2 Acelerómetro Medidas de los Sismos 1.6.1 Magnitud 1.6.2 Intensidad 1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida

Capítulo 2 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL

Actividad Sísmica de una Región 2.1.1 Geología Regional 2.1.2 Mapas de Eventos Sísmicos 2.1.3 Estudios de Liberación de Energía 2.1.4 Estudios de Probabilidad Sísmica Efectos de los Sismos Respuesta del Sitio a Sismos Historia de los Sismos Consecuencias de los Sismos Estudios de Riesgo Sísmico Local y Nacional Sismo de Diseño

Capítulo 3 3.1 3.2 3.3 3.4

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS

CONCEPTOS GENERALES EN EL ANÁLISIS DINÁMICO

Estructura Simple Grados de Libertad Sistema Linealmente Elástico Amortiguamiento 3.4.1 Mecanismos de Disipación 3.4.2 Fuerza de Amortiguamiento

1 1 2 2 5 6 6 7 8 8 9 10 11 11 12 12 12 12 14 14 14 14 15 16 16 16 17 17 19 23 24 24 24 25 26 26 26

3.5

3.6

Ecuación de Movimiento 3.5.1 Segunda ley de Newton 3.5.2 Equilibrio Dinámico 3.5.3 Componentes de Masa, Amortiguamiento y Rigidez Ecuación de Movimiento: Excitación Sísmica

Capítulo 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Teoría General de Vibraciones Definición Vibración Libre no Amortiguada Vibración Libre con Amortiguamiento Viscoso 4.4.1 Tipos de Movimiento 4.4.2 Sistema Subamortiguado Ejemplos

Capítulo 5 5.1 5.2 5.3

5.4

RESPUESTA A CARGA DINÁMICA GENERAL

Integral de Duhamel. Integral de Duhamel para un Sistema no Amortiguado. Integral de Duhamel para un Sistema Amortiguado. Evaluación Numérica de la Respuesta Dinámica Ejemplos

Capítulo 8 8.1

MOVIMIENTO FORZADO CARGA IMPULSIVA

Introducción Carga Impulsiva Rectangular Carga Impulsiva Triangular Carga Impulsiva Tipo Sinoidal Respuesta al Movimiento del Suelo. Análisis Aproximado de Respuesta para Carga Impulsiva. Ejemplos

Capítulo 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

VIBRACIÓN FORZADA CARGA ARMÓNICA

Justificación Sistema no Amortiguado con Carga Armónica 5.2.1 Ecuación de Movimiento 5.2.2 Resonancia Sistema Amortiguado con Carga Armónica 5.3.1 Ecuación de Movimiento 5.3.2 Resonancia 5.3.3 Deformación Máxima 5.3.4 Factores de Respuesta Dinámica 5.3.5 Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante Ejemplos

Capítulo 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

VIBRACIÓN LIBRE

RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS LINEALES

Movimiento del Suelo.

26 27 27 27 28 30 30 31 31 33 33 34 36 41 41 41 41 43 45 45 46 47 48 49 51 56 56 56 58 59 61 62 64 71 71 72 73 73 76 82 82

8.2 8.3 8.4

8.5 8.6

Respuesta Dinámica de la Estructura Ecuación de Movimiento Espectro de Respuesta 8.4.1 Cantidades de Respuesta 8.4.2 Histograma de Respuesta 8.4.3 Concepto del Espectro de Respuesta 8.4.4 Espectro de Respuesta de Deformación 8.4.5 Espectro de Respuesta de Seudo Velocidad 8.4.6 Espectro de Respuesta de Seudo Aceleración 8.4.7 Espectro de Respuesta Combinado D-V-A 8.4.8 Construcción del Espectro de Respuesta Características del Espectro de Respuesta Espectro Elástico de Diseño 8.6.1 Construcción del Espectro de Diseño

Capítulo 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

9.7 9.8

RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES

82 82 83 83 83 86 86 86 87 87 88 88 90 92 94

Introduccion. 94 Relación Fuerza-Deformación 95 9.2.1 Idealización Elastoplástica 95 9.2.2 Sistema Lineal Correspondiente 96 Esfuerzo de Fluencia Normalizado, Factor de Reducción de Fluencia y Factor de Ductilidad. 97 Ecuación de Movimiento y Parámetros de Control 97 Efectos de Fluencia 99 Espectro de Respuesta para Deformación de Fluencia y Esfuerzo de Fluencia 103 9.6.1 Definiciones 103 9.6.2 Esfuerzo de Fluencia para una Ductilidad Especifica 103 9.6.3 Construcción del Espectro de Respuesta con Ductilidad Constante 103 Esfuerzo de Diseño y Deformación a partir del Espectro de Respuesta 105 Esfuerzo de Fluencia de Diseño 105

Capítulo 10

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

10.1 10.2 10.3 10.4

Introducción Ecuación de Movimiento Respuesta Dinámica: Análisis Modal Método Matricial 10.4.1 Matriz Modal y Espectral 10.4.2 Ortogonalidad de los Modos 10.4.3 Normalización de los Modos 10.4.4 Factor de Participación 10.5 Método Numérico 10.6 Método Iterativo 10.7 Ejemplos

Capítulo 11

107 107 107 109 109 111 112 113 113 114 115 117

CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS 135

11.1 Introducción 11.2 Requisitos de Configuración 11.2.1 Configuración en Elevación 11.2.2 Configuración en Planta 11.2.3 Poco Peso 11.2.4 Hiperestaticidad

135 135 136 137 139 139

11.2.5 Columna Fuerte, Viga Débil 11.3 Sistemas Estructurales 11.3.1 Sistema de Muros Portantes 11.3.2 Sistemas de Estructuras de Edificación 11.3.3 Sistema de Pórtico Resistente a Momentos 11.3.4 Sistema Doble (Dual) 11.4 Selección del Método de Análisis Capítulo 12 MÉTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE

140 140 140 141 141 141 141 143

12.1 Determinación de las Fuerzas Laterales 12.1.1 Factor de Zona Sísmica 12.1.2 Coeficiente de Respuesta del Terreno 12.1.3 Tipo de Perfil del Suelo 12.1.4 Tipo de Lugar de Origen del Sismo 12.1.5 Factor de Cercanía a la Fuente de Origen 12.1.6 Periodo Fundamental 12.1.7 Amortiguamiento y Ductilidad 12.1.8 Factor de Modificación de Respuesta 12.1.9 Factor de Importancia 12.1.10 Coeficiente de Respuesta Sísmica 12.1.11 Carga Muerta Sísmica 12.1.12 Procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente 12.2 Estructuras de Varios Niveles 12.2.1 Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica 12.2.2 Volcamiento 12.2.3 Efecto P-Delta 12.2.4 Desplazamientos de Piso 12.2.5 Cargas en los Diafragmas 12.3 Fuerza Cortante Basal para el Diseño Simplificado 12.3.1 Fuerza Cortante Basal 12.3.2 Distribución Vertical 12.3.3 Calculo de los Desplazamientos de Piso 12.3.4 Determinación de la Carga Sobre los Diafragmas 12.4 Combinaciones de Carga 12.4.1 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño por Resistencia 12.4.2 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño de Esfuerzo Admisible 12.5 Torsión 12.5.1 Momento Torsor 12.5.2 Centro de Masas y Centro de Rigideces 12.5.3 Efectos de la Torsión 12.6 Tablas 12.7 Ejemplos

143 143 144 144 144 144 144 146 147 147 147 148 148 149 149 150 151 152 153 154 154 154 154 155 155 155 158 159 159 160 161 162 168

Capítulo 13

175

13.1 13.2 13.3 13.4

MÉTODO DINÁMICO SUPERPOSICIÓN MODAL

Introducción Ventajas del Análisis Modal Procedimiento del Análisis Modal Análisis Espectral 13.4.1 Numero de Modos 13.4.2 Combinación de Modos 13.4.3 Efectos de Dirección 13.4.4 Torsión 13.4.5 Sistemas Dobles 13.5 El Análisis por Historia del Tiempo (Cronológico)

175 175 175 177 177 178 178 178 178 178

13.6 Simulador Estructural. 13.6.1 Análisis de Eigenvectores 13.6.2 Análisis del Vector de Ritz 13.6.3 Resultados del Análisis Modal 13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta 13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta 13.7 Ejemplos Capítulo 14 DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

179 179 181 181 182 184 186 198

14.1 Introducción 14.2 Cargas de Diseño 14.3 Pórticos Especiales Resistentes a Momentos 14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia 14.3.2 Resistencia y Ductilidad de Secciones a Flexión 14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas 14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas 14.3.5 Unión Viga-Columna 14.4 Muros de Corte 14.4.1 Resistencia al Corte 14.4.2 Muros de Corte para Cargas a Flexión y Axiales 14.5 Ejemplos

198 198 199 199 204 208 210 212 213 213 213 216

Referencias Direcciones de Internet Direcciones de Universidades en Internet 232 Apéndice

229 231 233

NOTACIÓN

Capítulo

3

c DOF fD fI fS k m p(t) peff(t) u ú ü u’(t) ug(t) üg(t)

Coeficiente de amortiguamiento, [fuerza · tiempo/longitud]. Grado de libertad, definido como el número de enlaces de un nudo que se puede mover dentro de una estructura espacial. Fuerza de amortiguamiento. Fuerza de inercia. Fuerza elástica. Factor de rigidez, [fuerza/longitud]. Masa, [fuerza/aceleración] Fuerza externa. Fuerza sísmica efectiva. Desplazamiento. Velocidad. Aceleración. Desplazamiento total de la masa. Desplazamiento del suelo. Aceleración del suelo.

Capítulo

4

ccr fn j TD Tn u(0) ú(0) u0

δ ωD ωn ξ φ

Coeficiente de amortiguamiento critico. Frecuencia cíclica natural, expresada en ciclos por segundo, [Hertz]. Número de ciclos. Período natural de vibración amortiguada, [seg.]. Período natural de vibración. Desplazamiento en tiempo cero. Velocidad en tiempo cero. Amplitud de movimiento. Decremento logarítmico de desplazamiento. Frecuencia natural de vibración amortiguada, [rad/seg]. Frecuencia circular natural, [rad/seg]. Razón o relación de amortiguamiento. Ángulo de fase

Capítulo

5

p0 Rd Rv Ra ust(t)

Amplitud de fuerza. Factor de respuesta de deformación. Factor de respuesta de velocidad. Factor de respuesta de aceleración. Deformación estática en cada instante de tiempo.

(ust)0 uj

ω

Máximo valor de la deformación estática, deformación estática debido a la amplitud de fuerza. Desplazamiento pico después de j ciclos de vibración del sistema. Frecuencia de excitación, [rad/seg].

Capítulo

6

I Rd t1 Δú

ω

Magnitud del impulso Factor de respuesta de deformación. Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg] Variación de la velocidad Frecuencia de excitación, [rad/seg].

Capítulo

7

I Rd t1 Δú

ω

Magnitud del impulso Factor de respuesta de deformación. Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg] Variación de la velocidad Frecuencia de excitación, [rad/seg].

Capítulo

8

A D Mb ug0 úg0 üg0 V Vb αA, αV,αD

Aceleración espectral Deformación máxima, similar a u0 Momento volcador Desplazamiento pico del suelo durante un sismo Velocidad pico del suelo durante un sismo Aceleración pico del suelo durante un sismo Velocidad espectral o seudo velocidad pico Cortante basal Factores de amplificación

Capítulo

9

ay Dy f0 fS fy ⎯fy Ry u0 um up uy

μ

Aceleración de la masa para producir la fuerza de fluencia fy. Deformación de fluencia, (uy), de un sistema elastoplástico distinto a um. Fuerza resistente del sistema lineal correspondiente, similar a fs0. Fuerza elástica. Fuerza de fluencia. Esfuerzo de fluencia normalizado. Factor de reducción de fluencia. Deformación pico del sistema lineal correspondiente. Desplazamiento máximo del sistema elastoplástico. Deformación permanente. Deformación de fluencia Factor de ductilidad.

Capítulo

10

[C] {FD} {FI} {FS} [K]

Matriz de amortiguamiento. Vector de fuerzas de amortiguamiento. Vector de fuerzas de inercia. Vector de fuerzas elásticas. Matriz de rigidez.

[M] MDF ME Mi P {U} {Ú} {Ü} V WE [Φ] [Ω2]

φn

Matriz de masas. Sistema de varios grados de libertad. Masa efectiva. Masa correspondiente al nivel i. Factor de participación. Vector de desplazamiento. Vector de velocidad. Vector de aceleración. Cortante basal. Peso efectivo. Matriz modal. Matriz espectral. Forma modal o eigenvector correspondiente al modo n.

Capítulo

12

Ca, Cv Cs fi Ft Fx hn I Mpi Msi Na, Nv R ri SA, SB, SC, SD, SE, y SF V V’ VE VS W wi Z

Coeficientes de respuesta del suelo. Coeficiente de respuesta sísmica. Fuerza lateral en el nivel i. Fuerza en la parte superior de la estructura que considera el efecto de los modos altos. Fuerza lateral que actúa sobre un nudo en particular. Altura en metros, medida desde la base, del piso más alto del edificio. Factor de importancia. Momento primario del nivel en consideración. Momento secundario del nivel en consideración. Factor de cercanía a la fuente de origen. Factor de modificación de respuesta. Relación del esfuerzo cortante del elemento - piso.

δi φi θi ρ

Tipos de perfil de suelo. Cortante basal. Cortante basal modal. Cortante basal desarrollada en una estructura ideal completamente elástica. Cortante basal de diseño. Carga muerta sísmica. Carga muerta del nivel i. Factor de zona sísmica. Desplazamiento horizontal en el nivel i debido a la fuerza fi. Componente de la forma modal en el nivel i para un modo dado. Índice de estabilidad. Factor de confiabilidad o redundancia.

Capítulo

13

Sa Sv

Aceleración espectral Velocidad espectral

Capítulo

14

Ach

Área transversal de un elemento estructural, medida de extremo a extremo del acero de refuerzo transversal, [cm2]. Área total de la sección, [cm2]. Área efectiva de la sección transversal dentro de la unión, en un plano paralelo al plano de refuerzo que genera cortante en la unión.

Ag Aj

Ash b bw D d db E f’c fy hc hw L ld ldh lo lw Mpr

s Vc Ve Vn Vu W

ρ φ

Área total transversal del acero de refuerzo transversal (incluyendo horquillas) dentro del espaciamiento, s, y perpendicular a la dimensión hc. Ancho efectivo del patín de compresión de un elemento estructural, [cm] Ancho del alma o diámetro de la sección circular, [cm] Carga muerta. Peralte efectivo de la sección. Diámetro del refuerzo longitudinal. Carga sísmica. Resistencia especificada a la compresión del concreto, [kg/cm2]. Resistencia especificada a la fluencia del acero de refuerzo, [kg/cm2]. Dimensión transversal del núcleo de la columna medida centro a centro del refuerzo confinante. Altura del muro considerado. Carga viva. Longitud de desarrollo de una varilla recta. Longitud de desarrollo de un varilla con gancho estándar. Longitud mínima, medida desde la cara de la unión a lo largo del eje del elemento estructural, sobre la que debe proporcionarse refuerzo transversal, [cm]. Longitud de todo el muro considerado en dirección de la fuerza cortante. Momento probable resistente del elemento, con o sin carga axial determinada usando las propiedades de los elementos en las caras de las uniones, suponiendo una resistencia a la tensión en el refuerzo longitudinal de al menos 1.25 fy, y un factor de reducción de resistencia φ de 1.0 Espaciamiento del refuerzo transversal medido a lo largo del eje longitudinal del elemento estructural, [cm]. Resistencia nominal al cortante, proporcionada por el concreto. Fuerza cortante de diseño. Resistencia nominal al cortante. Fuerza cortante factorizada en la sección. Carga de viento. Cuantía de refuerzo de tensión = As / bd. Factor de reducción de resistencia.

Capítulo 1

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS

1.1

CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMOLOGÍA

Las definiciones siguientes corresponden a algunos de los términos más utilizados en sismología: Sismo, temblor o terremoto: Vibraciones de la corteza terrestre inducidas por el paso de las ondas sísmicas provenientes de un lugar o zona donde han ocurrido movimientos súbitos de la corteza terrestre (disparo sísmico o liberación de energía). Sismología: Es la ciencia y estudio de los sismos, sus causas, efectos y fenómenos asociados. Sismicidad: Es la frecuencia de ocurrencia de sismos por unidad de área en una región dada. A menudo esta definición es empleada inadecuadamente, por lo que se define en forma más general como “la actividad sísmica de una región dada”, esta última definición implica que la sismicidad se refiere a la cantidad de energía liberada en un área en particular. Amenaza Sísmica: Es el valor esperado de futuras acciones sísmicas en el sitio de interés y se cuantifica en términos de una aceleración horizontal del terreno esperada, que tiene una probabilidad de excedencia dada en un lapso de tiempo predeterminado. Microzonificación sísmica: División de una región o de un área urbana en zonas más pequeñas, que presentan un cierto grado de similitud en la forma como se ven afectadas por los movimientos sísmicos, dadas las características de los estratos de suelo subyacente. Fallas geológicas: Ruptura, o zona de ruptura, en la roca de la corteza terrestre cuyos lados han tenido movimientos paralelos al plano de ruptura. Ondas sísmicas: Son vibraciones que se propagan a través de la corteza terrestre causadas por la repentina liberación de energía en el foco. Acelerograma: Descripción en el tiempo de las aceleraciones a que estuvo sometido el terreno durante la ocurrencia de un sismo real. Sismograma: Es un registro del movimiento sísmico y mide la magnitud de los sismos. Aceleración pico del suelo: Es la aceleración máxima de un punto en la superficie alcanzada durante un sismo, expresada como fracción de la gravedad (g).

2

Características de los sismos

Licuación: Respuesta de los suelos sometidos a vibraciones, en la cual estos se comportan como un fluido denso y no como una masa de suelo húmeda. Epicentro: Punto que se encuentra en la superficie de la tierra inmediatamente por encima del foco. Hipocentro: Foco sísmico o fuente, es el punto o grupo de puntos subterráneos desde donde se origina el sismo. Distancia epicentral (D): Es la distancia horizontal desde un punto en la superficie al epicentro, ver la Figura 1.1. Distancia focal (R): Es la distancia desde un punto en la superficie al foco, hipocentro o fuente, ver la Figura 1.1. Profundidad focal (H): Es la distancia entre el foco y el epicentro. Sismo de diseño: Es la caracterización de los movimientos sísmicos en un sitio dado que deben utilizarse en la realización del diseño sismo resistente.

Sitio

D

Epicentro

H R Fuente Hipocentro Foco

Figura 1.1

1.2

Relación geométrica entre foco y sitio [ref. 8]

CAUSAS DE LOS SISMOS

Varios fenómenos son los causantes de que la tierra tiemble, dependiendo de éstos actualmente se reconocen tres clases de sismos: los sismos de origen tectónico, los de origen volcánico y los artificialmente producidos por el hombre. Siendo más devastadores los sismos de origen tectónico, y por ende los de mayor interés dentro la ingeniería.

1.2.1 Tectónica de Placas El origen de la mayoría de los sismos es explicado satisfactoriamente por la teoría de la tectónica de placas. La idea básica es que la corteza terrestre, la litosfera, está compuesta por un mosaico de doce o más bloques grandes y rígidos llamados placas, que se mueven uno respecto de otro. La corteza terrestre se encuentra dividida en seis placas continentales (África, América, Antártida, Australia, Europa y la placa del Pacífico), y cerca de catorce placas subcontinentales (placa de Nazca, del Caribe, etc.) 1 como se puede apreciar en la Figura 1.2. La validez de la teoría de la tectónica de placas recibió un fuerte apoyo de los datos sísmicos reunidos a través de los años mediante la red sísmica mundial, que fue establecida hacia el final de la década de 1950. Los datos demostraron que las zonas en donde ocurren la mayor parte de los terremotos del mundo son muy estrechas y muy bien definidas, sugiriendo que la mayoría de los sismos registrados resultan de los movimientos de las placas en las zonas donde chocan unas contra otras. 1

F. Achabal, pp 12 [ref. 1]

3


L oce omo áni co

Una explicación plausible 2 para la causa del movimiento de las placas se basa en el equilibrio térmico de los materiales que componen la Tierra. Nuestro planeta se formó por la unión de meteoritos. El incremento en la masa ha aumentado la radioactividad. Consecuentemente, el planeta se ha calentado y su núcleo crece a costa de la fusión del manto. La parte superior del manto, que está en contacto con la corteza, se encuentra a una temperatura relativamente baja, mientras que la parte inferior que está en contacto con el núcleo a una temperatura mucho más alta. Es evidente que el material caliente (en las profundidades) posee una densidad menor al material frío (cerca de la corteza), lo que hace que tienda a subir, mientras que el material de la superficie una vez frío tiende a bajar por la acción de la gravedad. Este proceso cíclico se denomina convección. Las corrientes convectivas generan esfuerzos de corte en la base de las placas, provocando su movimiento en distintas direcciones.

Placa Euro - asiática

Placa Euro - asiática

Placa Norteamericana

P Fi laca lip d in e as

Placa Juan de la fuca Placa del Pacífico

Placa del Caribe Placa Africana

Placa de Cocos Placa Sudamericana Placa de Nazca

Placa Australiana

Lomo oc

eánico

o mo Lo

Figura 1.2

o nic ceá

Placa Antártica

Placa Antártica

Zona de subducción

Borde de placa probable

Fallas por desgarradura

Lomo oceánico

Principales zonas tectónicas, lomos oceánicos y zonas de subducción [ref. 5]

Estas corrientes también hacen que la lava ascienda continuamente en los llamados lomos oceánicos. La roca formada se mueve lentamente por ambos lados del lomo como nuevo piso o base oceánica, desplazando las placas a velocidad constante. Estas zonas son denominadas zonas de expansión. Las placas se mueven libremente con respecto a la Astenósfera subyacente, y también pueden moverse una con respecto de la otra de tres formas: a) una placa se desliza pasando frente a la otra a lo largo de su margen, b) dos placas se mueven alejándose mutuamente, c) dos placas se mueven de tal forma que una se desliza por debajo de la otra. El primero de estos movimientos tiene su expresión en la superficie de la tierra, como sucede en la falla de San Andrés. El segundo tipo de movimiento da origen a los lomos oceánicos. El tercero tiene su acción en las profundas trincheras oceánicas donde el borde de una placa se mueve por debajo de la otra, este proceso se conoce como subducción. La Figura 1.3 ilustra los conceptos expuestos en los párrafos anteriores. [ref 3]

2

E. Rosenblueth, pp 15-16 [ref. 2]

4


Litósfera

Continente

Océano

Astenósfera

Manto (a) Lomo oceánico Corteza Litósfera Astenósfera

(b)

Corteza Litósfera Astenósfera

Figura 1.3

Movimiento de las placas, (a) zona de expansión, (b) subducción [ref. 3]

La formación de nuevo piso oceánico en los lomos de expansión implica la separación de los continentes aumentando de esta manera el área del piso oceánico. Este aumento es equilibrado por la destrucción de la placa por medio de la subducción cuando la corteza oceánica es transportada al manto, en donde se consume.

Teoría de placas

5


1.2.2 Sismos de origen tectónico Se producen por el desplazamiento súbito de las placas tectónicas a lo largo de las fracturas llamadas fallas. Estos movimientos bruscos liberan el esfuerzo al que están sometidas las rocas corticales. El esfuerzo se acumula localmente por varias causas hasta que supera la resistencia de las rocas, que es cuando ocurre la ruptura y deslizamiento a lo largo de las fracturas. El choque o disparo sísmico se traduce en una gran liberación de energía, seguido algunas veces de un rebote elástico, hasta que las placas involucradas alcanzan nuevas posiciones de equilibrio. Muchos de los centros activos de terremotos actuales se localizan a lo largo de dos fajas situadas en la superficie terrestre: la circumpacífica y la alpìna o alpinohimalaya. También ocurren numerosos choques más pequeños en las zonas de fallas marinas asociadas con los lomos oceánicos. Bolivia se encuentra en el área de influencia de la banda circumpacífica.

Figura 1.4

Localización del sismo de Loma Prieta [ref 4]

El sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989 ocurrido en la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de esta clase de sismo como se muestra en la Figura 1.4, y la dirección del movimiento de las placas es ilustrada en la Figura 1.5.

6


De las dos clases de sismos no tectónicos, los del origen volcánico son raramente muy grandes o destructivos. Ellos son de interés principalmente porque anuncian las erupciones volcánicas inminentes. Los temblores se originan a causa de la subida del magma, llenando las cámaras internas del volcán.

Figura 1.5

Movimiento de la falla de San Andrés durante el sismo de Loma Prieta [ref 4]

El hombre puede inducir sismos mediante una variedad de actividades, tal como el relleno de nuevos depósitos, la detonación subterránea de explosivos atómicos, o el bombeo profundo de fluidos en la tierra mediante pozos.

1.3

FALLAS GEOLÓGICAS 3

1.3.1 Definición Las fallas son fracturas en las cuales ha tenido lugar el desplazamiento relativo de los dos lados de la ruptura. La longitud de las fallas puede alcanzar desde varios metros hasta cientos de kilómetros y extenderse desde la superficie a varias decenas de kilómetros de profundidad. La presencia de fallas en la superficie no necesariamente implica que el área tiene actividad sísmica, así como la inexistencia de las mismas no implica que el área sea asísmica, ya que muchas veces las fracturas no alcanzan a aflorar en la superficie. Si bien la superficie en una falla puede ser irregular, esta puede ser representada aproximadamente como un plano, el cual está descrito por su rumbo y buzamiento. El rumbo es la línea de intersección del plano de falla con un plano horizontal; el azimut del rumbo es utilizado para describir su orientación respecto al Norte y el buzamiento es el ángulo de inclinación desde el plano horizontal hasta el plano de falla.

3

D. Verástegui, 17-18 [ref. 6]

7


1.3.2 Tipos de falla Según su movimiento, existen tres tipos de falla: normal, inversa y de desgarradura. Las fallas normales son propias de las zonas en tracción; se produce un desplazamiento hacia abajo de la porción inferior. Las fallas inversas corresponden a zonas de compresión, se produce un desplazamiento hacia arriba de la porción inferior. Las fallas por desgarramiento implican grandes desplazamientos laterales entre dos placas en contacto, la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de este tipo (Figura 1.7). Y la Figura 1.6 muestra claramente la naturaleza del desplazamiento en cada caso.

Figura 1.6

Figura 1.7

Tipos de falla geológica según su desplazamiento [ref. 3]

Falla de San Andrés (falla por desgarramiento ) [ref. 3]

8


1.4

ONDAS SÍSMICAS

La repentina liberación de energía en el foco o hipocentro del sismo, cuando éste ocurre, se propaga en forma de vibraciones elásticas u ondas elásticas de deformación. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de una onda son elásticas, de esta manera, las velocidades de propagación son determinadas sobre la base del módulo elástico y la densidad de los materiales a través de los cuales viaja la onda. Las ondas sísmicas se clasifican según su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie.

1.4.1 Ondas de cuerpo

Figura 1.8

Deformaciones producidas por las ondas de cuerpo (a) onda P, (b) onda S [ref. 5]

Reciben el nombre de ondas de cuerpo porque pueden viajar a través del cuerpo del material. Un cuerpo elástico puede estar sujeto a dos tipos de deformación: compresión - dilatación y cortante, por lo tanto las ondas que se generan son de compresión o de corte, respectivamente.

Las ondas P, llamadas también primarias, longitudinales, compresionales o dilatacionales; producen un movimiento de partículas en la misma dirección de la propagación, alternando compresión y dilatación del medio.

Las ondas S, llamadas también ondas secundarias, transversales o de cortante; producen un movimiento de partículas en sentido perpendicular a la dirección de propagación, como se puede observar en la Figura 1.8.

Por lo general cuando ocurre un sismo, las ondas P se registran primero, segundos más tarde llegan las ondas S, con su movimiento de arriba hacia abajo y lado a lado, causando graves daños en las estructuras, como se puede observar en la Figura 1.9. Las ondas P pueden propagarse a través de medios sólidos y líquidos, en cambio las ondas S se propagan únicamente a través de medios sólidos debido a que los líquidos no presentan rigidez al corte.

9


Figura 1.9

Tipos de Ondas (Ondas P y Ondas S) [ref. 3]

1.4.2 Ondas superficiales

Figura 1.10

Deformaciones producidas por las ondas superficiales: (a) onda Rayleigh, (b) onda Love [ref. 5]

Este grupo se denomina de esta manera debido a que su movimiento se restringe a las cercanías de la superficie terrestre. Las ondas superficiales pueden subdividirse en dos tipos: las ondas Love (ondas L) y las ondas Rayleigh (ondas R).

El movimiento de las ondas L, es similar al de las ondas S que no tienen componente vertical ya que mueven la superficie del suelo de lado a lado sobre un plano horizontal y en sentido perpendicular a la dirección de propagación, como se puede observar en la Figura 1.10.

10


El movimiento de las partículas en las ondas R es elíptico y tiene lugar en planos perpendiculares a la superficie libre.

En general, las ondas Love son más veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma práctica en algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura 1.11 donde se ha señalado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca del efecto de la topografía y las condiciones del suelo sobre las ondas sísmicas, es decir que las ondas pueden amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagación.

Figura 1.11

1.5

Terremoto de Kermadec de 11 de Junio de 1957 [ref. 11]

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y REGISTROS SÍSMICOS 4

Las características de las ondas sísmicas y su propagación han podido estudiarse gracias a instrumentos que registran las vibraciones sísmicas conocidos como sismógrafos. Dependiendo del tipo de instrumento utilizado se puede obtener el desplazamiento, velocidad o aceleración del suelo; lo cual está determinado por el rango útil de frecuencias a medir (ω), con respecto a la frecuencia natural del instrumento (ωn).

Figura 1.12

4

M. Moreno, pp 6-11 [ref. 7]

Sismógrafo [ref. 3]

11


Los sismógrafos registran el movimiento respecto al tiempo de un péndulo que oscila libremente dentro de un marco sujeto al suelo; este movimiento es registrado por un estilete o pluma sobre un tambor rotatorio. En la Figura 1.12 se muestra una fotografía de un sismógrafo. En los sismógrafos modernos, el movimiento del péndulo se convierte en señales electrónicas que se registran en la memoria de una computadora.

1.5.1 Sismómetro [ωn<ω] Registra amplitudes de onda: Sismograma. Los sismogramas permiten a los sismólogos localizar el epicentro de un sismo y calcular su magnitud. Midiendo la amplitud máxima del registro y calculando la diferencia entre los tiempos de llegada de las ondas S y P, con ayuda de fórmulas sencillas, se obtiene la magnitud del sismo y con un mínimo de tres instrumentos colocados en diferentes lugares, por triangulaciones, se puede localizar el epicentro. Sin embargo, la interpretación exacta de un sismograma y la distinción de los distintos tipos de ondas que se superponen en el registro es un problema bastante delicado. Existe una desventaja adicional: los valores de desplazamiento o velocidad no se obtienen directamente del registro, sino que están en función de la amplificación, voltaje y frecuencia natural del instrumento.

1.5.2 Acelerómetro Comp(1):N-S 0.6 0.4 0.2 a 0

-0.4 -0.6 0

2

4

6

8 t

10

12

14

16

10

12

14

16

10

12

Comp(2):E-W 0.6 0.4 0.2 a 0 -0.2 -0.4 -0.6 0

2

4

6

8 t

Comp(3):Vertical

0.6 0.4 a

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 0

Figura 1.13

2

4

6

8 t

14

16

Acelerogramas correspondientes a las tres componentes de un sismo [ref. 7]

[ωn>ω] Registra aceleraciones: Acelerograma. Los acelerómetros, también conocidos como sismógrafos de movimiento fuerte, se diseñan para registrar directamente movimientos del suelo cercanos y producen un registro conocido como acelerograma. Los


12

instrumentos se orientan de tal forma que registren la aceleración del suelo en función del tiempo para tres direcciones o componentes normales. En la Figura 1.13 se muestran los acelerogramas registrados en una estación durante un sismo en Friuli (Italia), el 5 de mayo de 1976. El análisis sísmico requiere de la digitalización numérica de los acelerogramas, es decir convertir el registro en una serie de datos de aceleración - tiempo. Los acelerogramas dan una información directa del movimiento sísmico, especialmente apta para estimar la respuesta de las estructuras y edificios. La aceleración como medida instrumental de la intensidad se ha constituido así en el parámetro base para el análisis estructural sísmico.

1.6

MEDIDAS DE LOS SISMOS

Comúnmente existen dos sistemas para cuantificar el tamaño y la fuerza de un sismo, los cuales son la magnitud y la intensidad. A pesar de ser parámetros ampliamente utilizados y conocidos, desde el punto de vista de la ingeniería sísmica ninguno de ellos es completamente satisfactorio.

1.6.1 Magnitud Es una medida cuantitativa de un sismo, independiente del lugar de observación y está relacionada con la cantidad de energía liberada. Se calcula a partir de la amplitud registrada en sismogramas y se expresa en una escala logarítmica en números arábigos y decimales. La escala de magnitudes que más se usa es la de Richter, que tiene 10 grados de medida y se denota por M. Es importante notar que en la escala de magnitudes no se menciona nada a cerca de la duración y frecuencia del movimiento, parámetros que tienen gran influencia en los efectos destructivos de los sismos. Por esta razón aún no se tiene una aplicación práctica en la ingeniería sísmica a los valores de magnitud y es un parámetro propio de los sismólogos.

1.6.2 Intensidad Es una medida subjetiva de los efectos de un sismo, se refiere al grado de destrucción causada por un sismo en un sitio determinado, que generalmente es mayor en el área cercana al epicentro. La escala adoptada más ampliamente es la de Mercalli Modificada y se denota por MM, que tiene doce grados identificados por los números romanos del I al XII. En la Tabla 2.1 se da una descripción detallada de esta escala de intensidad.

1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida Para llevar a cabo un análisis realista del comportamiento de estructuras sometidas a temblores, el ingeniero debe conocer suficientes características dinámicas del movimiento del suelo, que son obtenidas con la ayuda de acelerómetros, y la falta de éstos como es el caso de Bolivia, supone la carencia de registros de aceleración, fundamentales para el análisis estructural sísmico. Por esta razón y con el afán de deducir valores útiles para diseño, aún a partir de intensidades referidas a escalas subjetivas, se han desarrollado diversos estudios que correlacionan los valores de intensidad en diversas escalas, con las características dinámicas de los sismos como la velocidad y aceleración del suelo, que tienen la ventaja de ser magnitudes instrumentales. En la Tabla 1.1 se expone como Medida de Intensidad la Aceleración Máxima del suelo y como Escala de Intensidad la Mercalli Modificada, las cuales han sido correlacionadas 5 . Es necesario señalar que las apreciaciones de las aceleraciones están basadas en la experiencia de quien propuso la correlación, basándose principalmente en observaciones de eventos sísmicos pasados y ensayos de laboratorio que permitieron correlacionar las roturas producidas en diferentes modelos a escala construidos sobre mesas vibrantes con las aceleraciones en ellas aplicadas. De este modo se puede hacer una analogía entre los daños de los modelos

5

Tabla comparativa de escalas sísmicas y aceleraciones máximas según J.M. Mune, Extractada de A. Beles, pp. 65 [ref 14]

13


construidos a escala con el nivel del daño en las estructuras reales, especificados en grados de intensidad según sea la escala utilizada y relacionarlos con la aceleración correspondiente que los provocó.

Medida de Intensidad Acel. Máx. Suelo (% g)

Grado Sísmico

0,001 g

I

0,002 g

II

0,005 g

III

Se siente en el interior de los edificios y especialmente en las plantas superiores; los objetos colgantes se mecen; se puede estimar la duración.

0,015 g

IV

Los carros estacionados se mecen; las ventanas, la vajilla y las puertas vibran; en el rango más alto de IV los muros y marcos de madera crujen.

0,030 g

V

Se siente en el exterior de los edificios; los objetos pequeños e inestables se desplazan o se vuelcan; los relojes de péndulo se detienen.

0,061 g

VI

0,132 g

VII

0,306 g

VIII

0,637 g

IX

1,121 g

X

2,548 g

XI

>3,567 g

XII

Efectos sobre las personas, objetos y construcciones El sismo lo sienten unas pocas personas en circunstancias excepcionalmente favorables. Lo sienten las personas en reposo, en los pisos superiores o favorablemente situadas.

Lo sienten todas las personas; muchos se asustan y corren al exterior; los enyesados caen, las chimeneas sufren averías; los árboles y arbustos se agitan. Es difícil estar de pie;oleaje en los estanques; el agua se enturbia con fango; averías ligeras y hasta moderadas en las estructuras normales; averías importantes en los edificio mal construidos. Averías ligeras en las construcciones antisísmicas; averías considerables en las construcciones normales; caen as chimeneas y estatuas; fallan columnas; grietas en el terreno húmedo y en las pendientes muy empinadas. Pánico general; averías de importancia en estructuras antisísmicas; caen las estructuras mal ejecutadas; se rompen las tuberías subterráneas; aparecen grietas en la superficie terrestre. La mayoría de las construcciones antisísmicas son destruidas; grandes deslizamientos de tierra; los rieles se doblan ligeramente. Las tuberías subterráneas se destruyen completamente; los rieles se doblan mucho; aparecen fallas en la superficie de la tierra. Destrucción total; se desplazan grandes masas de rocas; objetos arrojados al aire; se observan las ondas sísmicas en la superficie de la tierra. Tabla 1.1

Escala de Intensidad Mercalli Modificada [ref. 8]

Capítulo 2

SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL

2.1

ACTIVIDAD SÍSMICA DE UNA REGIÓN

Debido a que el riesgo sísmico de un proyecto depende de la actividad sísmica de la región, debe realizarse una evaluación previa de ésta. Las fuentes de estos antecedentes pueden ser las autoridades locales, ingenieros, sismólogos y otros. Sin embargo los datos disponibles en muchas regiones son escasos o bien no muy confiables, por lo cual la literatura especializada recomienda realizar un estudio básico de la sismicidad del área de interés, que comprende los siguientes puntos:

2.1.1

Geología regional.

Preparación de mapas de eventos sísmicos

Estudios de deformación – liberación de energía

Estudios de probabilidad sísmica

Geología Regional

El conocimiento, desde el punto de vista geológico, de la actividad sísmica de una región es útil al estimar las probables magnitudes, localización y frecuencia de eventos sísmicos. El aspecto de la geología sísmica regional incluye el estudio de las deformaciones tectónicas. Principalmente se debe estudiar la ubicación y actividad de las fallas geológicas, ya que éstas proporcionan el foco de liberación de energía en la mayoría de los sismos.

2.1.2

Mapas de Eventos Sísmicos

El tipo más práctico de mapa de eventos sísmicos para el diseño de una estructura particular es como el que se muestra en la Figura 2.1. Este mapa indica las localizaciones en planta, el orden de profundidades, y las magnitudes de todos los sismos registrados con M ≥ 5.0 dentro de un radio de 300 Km. con centro en el sitio (Djakarta) desde 1900. Las magnitudes menores que 5.0 son generalmente de poca importancia en el diseño, en virtud de que tales sismos causan daños estructurales ligeros. En consecuencia los eventos de M < 5.0 han sido excluidos de la notación. Sin embargo, en áreas de baja sismicidad puede ser importante trazar eventos de M ≥ 4.0, con objeto de subrayar la importancia del patrón de actividad sísmica, y en consecuencia ayudar a delinear las zonas de mayor riesgo.

15

Sismicidad y amenaza regional

104ºE

106ºE

108ºE

110ºE

4ºS SUMATRA

6ºS DJAKARTA

JAVA

8ºS

100

0

100 km.

CLAVE MAGNITUD: ESCALA DE RICHTER

5 - 5.9

6 - 6.9

7-

0 - 70 km PROFUNDIDAD FOCAL

71 - 150 km más de 151 km desconocida

Figura 2.1

2.1.3

Mapa de eventos sísmicos para Djakarta (1900-1972) [ref. 8]

Estudios de Liberación de Energía

La deformación liberada durante un sismo se considera proporcional a la raíz cuadrada de la energía liberada. La relación entre energía (ergs), y magnitud M para sismos superficiales, ha sido proporcionada por Richter como: log E = 11.4 + 1.5M

La energía de deformación liberada, U, para una región puede sumarse y representarse por el número equivalente de sismos de M=4.0 en esa región, N(U4). El número equivalente de sismos N(U4) dividido entre el área de la región proporciona el cálculo de la deformación liberada en un período dado para esa región, que puede usarse para efectuar comparaciones entre varias regiones o entre varios períodos. Los sismos grandes representan los principales incrementos en las gráficas de liberación de energía de deformación acumulada. En el estudio de las velocidades de liberación de energía de deformación relativa se requiere amplia información sobre la actividad de bajas magnitudes. La suma de muchos sismos con baja energía en una región puede ser comparable a la de pocos sismos grandes en otra región. Una gráfica de liberación de deformación con relación al tiempo es una función a partir de la cual puede obtenerse una envolvente que da una idea de la tendencia de la liberación de energía en esa región. Si un aplanamiento de la curva tiende a ser asintótico a un valor de deformación constante en un tiempo significativo, entonces las fallas en la región pueden tender a tener una configuración más estable. La causa de esta estabilidad temporal puede ser un bloqueo mecánico de la liberación de energía, que solamente podría ser liberada por un gran sismo futuro.

16


Este tipo de información es más de carácter cualitativo, por lo tanto las curvas de liberación de deformación no pueden usarse por sí mismas para predicción sísmica, pero podrían usarse junto con gráficas de frecuencia – magnitud y el conocimiento de los movimientos de fallas locales.

2.1.4

Estudios de Probabilidad Sísmica

Mediante un conjunto apropiado de datos, tal como los utilizados para preparar mapas de sismicidad, pueden hacerse varios estudios de probabilidad usando métodos estadísticos estándar para estimar parámetros de diseño. Uno de los más valiosos consiste en estimar el mayor sismo probable que podría ocurrir cerca del sitio durante la vida de la estructura que está diseñándose, es decir períodos de retorno para la magnitud y aceleración de las cargas sísmicas de diseño.

2.2

EFECTOS DE LOS SISMOS

Los sismos producen diversos efectos en regiones sísmicamente activas. Ellos pueden ocasionar la pérdida de gran cantidad de vidas humanas, pueden ser los causantes del colapso de muchas estructuras tales como edificios, puentes, presas, etc. Otro efecto destructivo de los sismos es la generación de olas de gran tamaño, comúnmente causada por temblores subterráneos (maremotos). Estas olas son también llamadas Tsunami, las cuales al llegar a la costa pueden causar la destrucción de poblaciones enteras. La licuefacción de suelos es otro peligro sísmico. Cuando el suelo es sometido al choque de las ondas sísmicas puede perder virtualmente toda su capacidad portante, y se comporta, para tal efecto, como arena movediza. Los edificios que descansan sobre estos materiales han sido literalmente tragados. Licuefacción: El sismo de Niigata, Japón, 16 de Junio de 1964 (M=7.5): Inclinación de edificios de departamentos.

2.3

RESPUESTA DEL SITIO A SISMOS

El movimiento del suelo en la base de la fundación de las estructuras durante un sismo causa daño estructural, las fuerzas dinámicas actuantes en la estructura se deben a la inercia de los elementos en vibración. La magnitud de la aceleración pico alcanzada por la vibración del suelo tiene efecto directo sobre las fuerzas dinámicas observadas en la estructura, es así que la respuesta de la estructura excede al movimiento del suelo y la amplificación dinámica depende de la duración y frecuencia de las vibraciones del suelo, de las propiedades del suelo, de la distancia epicentral y de las características dinámicas de la estructura. El contenido de agua del suelo es un factor importante en la respuesta del sitio, debido a que el sismo produce la licuefacción de suelos no cohesivos saturados; cuando estos suelos están sometidos a vibraciones intensas experimentan un incremento en la presión de poros debido a la redistribución de sus partículas, dando como resultado una reducción en la resistencia al corte del suelo. Esto produce condición rápida en la arena con pérdida de capacidad portante causando asentamiento y colapso de la estructura. Existen una serie de métodos para prevenir la licuefacción como ser la instalación de drenajes para bajar el nivel freático y remover el agua de los poros, sin embargo el asentamiento causado afectaría a estructuras adyacentes.

17


Se puede aplicar técnicas de vibroflotación para conseguir la preconsolidación del suelo, pero esto también afectaría las estructuras adyacentes. A fin de incrementar la resistencia al corte del suelo se recomienda diversas técnicas de mejoramiento del suelo. Alternativamente se puede remover y reemplazar el suelo deteriorado por material seguro; o finalmente recurrir al empleo de pilotes de fundación, los cuales penetrarían hasta un estrato firme y estable.

2.4

HISTORIA DE LOS SISMOS

Los registros históricos de sismos antes de mediados del siglo XVIII generalmente carecen de veracidad. Entre los temblores antiguos que provienen de fuentes razonablemente confiables está el que ocurrió en la costa de Grecia en el año 425 A.C., que causó el surgimiento de la isla de Euboea; otro en el año 17 D.C. que destruyó la ciudad de Ephesus en Asia Menor; y una serie de sismos que destruyeron parcialmente Roma en el año 476 y Constantinopla (ahora Estambul) en el año 557 y nuevamente en 936. En la Edad Media, los temblores severos ocurrieron en Inglaterra en 1318, Naples en 1456, y Lisboa en 1531. El sismo de 1556 en Shaanxi (Shensi) la Provincia de China, que mató alrededor de 800.000 personas fue uno de los más grandes desastres naturales en la historia. En 1693, un sismo en Sicilia ocasionó la pérdida de 60,000 vidas humanas; y en el siglo XVIII la ciudad japonés de Edo (el sitio del moderno Tokio) se destruyó a causa de un sismo, con la pérdida de alrededor de 200,000 vidas. En 1755 la ciudad de Lisboa fue devastada por un temblor y murieron 60,000 personas. Quito, ahora la capital de Ecuador, fue sacudida por un sismo en 1797, y más de 40,000 personas murieron. En América del Norte, la serie de sismos que golpearon el Sudeste de Missouri en 1811-12 fueron probablemente los más poderosos experimentados en la historia de los Estados Unidos. El sismo de EE.UU. más famoso, sin embargo, fue el que sacudió la ciudad de San Francisco en 1906, ocasionando daño extensivo y tomando alrededor de 700 vidas. En septiembre de 1985 un terremoto azotó a la ciudad de México D.F. causando daño severo y destruyendo muchos edificios de la ciudad, el sismo dejó al menos a 30.000 personas sin hogar y 7.000 muertos (Figura 2.2).

Figura 2.2

2.5

Sismo de 1985 en la ciudad de México [ref. 3]

CONSECUENCIAS DE LOS SISMOS

El desarrollo de este punto es ilustrado en la Tabla 2.1 a partir de los sismos más representativos ocurridos en el tiempo:

18


Fecha

Magnitud Ciudades o Región

Consecuencias

1906, abril 18

8.3

Estados Unidos:California

700 muertos, llamado "Temblor de San Francisco". Ocasionó grandes danos; se observaron desplazamientos en el suelo. Después del temblor ocurrieron grandes incendios. Este fue el primer terremoto estudiado con detalle.

1906, agosto 16

8.6

Chile Valparaiso, Santiago

20.000 muertos

1908, diciembre 28

7.5

Italia: Regio

29.980 muertos

1920, diciembre 16

8.5

China Kansu y Stransi

200.000 muertos

1923, septiembre 1

8.3

Tokio Yokojawa

99.330 muertos, conocido como el terremoto de Kwanto. Tuvo desplazamientos de hasta 4.5 m y le sucedieron grandes incendios.

1927, mayo 22

8.0

China Nan Shan

200.000 muertos, grandes fallas, se sintió hasta Pekin.

1935, mayo 30

7.5

Paquistan Quetta

30.000 muertos, la ciudad de Quetta fue totalmente destruida.

1939, junio 25

8.3

Chile

28.000 muertos

1939, diciembre 26

7.9

Turquia Erzincan

30.000 muertos, se detectaron movimientos oscilatorios de 3.7 m de desplazamiento con movimientos trepidatorios menores.

1960, febrero 29

5.8

Marruecos Agadir

De 10.000 a 15.000 muertos, es uno de los temblores que más muertes ha ocasionado a pesar de ser baja su magnitud.

1960, mayo 22

8.5

Chile Concepcion Valparaiso

De 6.000 a 10.000 muertos, causó muchas víctimas y grandes daños en Concepción y áreas circunvecinas, dejando cerca de 2.000.000 de damnificados y daños cuantificados en mas de 300 millones de dólares. Produjo un maremoto que causo daños en Hawai y Japón.

1964, marzo 28

9.2

Alaska Anchorage

173 muertos, destrucción en Alaska. Se abrieron grietas en las carreteras y los vehículos en movimiento fueron sacados de su curso. Se estimó en 129 500 kilómetros cuadrados el área de daños y produjo un maremoto registrado en las costas de Hawai. Se quebrantó seriamente la economía de Alaska (Figura 2.3).

1970, mayo 31

7.7

Peru: Huara,Chimbote,Yungay

De 50.000 a 70.000 víctimas, derrumbes e inundaciones. La peor catástrofe registrada en Perú por un terremoto en este siglo.

1972, diciembre 23

5.6 6.2

Nicaragua Managua

De 4.000 a 6.000 muertos, miles de heridos. La ciudad de Managua fue casi totalmente destruida.

1976, febrero 4

6.2 7.5

Guatemala Guatemala

3.000 muertos y se calculan 76.000 heridos.

1976, agosto 27

6.3 7.9

1978, septiembre 16

7.7

Iran

De 11.000 a 15.000 muertos, muchos heridos y daños considerables en Bozonabad y áreas circunvecinas.

1984, octubre

7.1

Estados Unidos San francisco

El sismo azotó el área de la Bahía entera de San Francisco causando daños tremendos en las edificaciones del distrito de Marina (Figura 2.4). el sismo causó el colapso de la autopista de Oakland y parte del puente de la Bahía de San Francisco.

1994, enero 17

6.6

Estados Unidos

Aprox. 76 muertos, sentido en el sureste de Estados Unidos y noroeste de Mexico. Grandes danos en obras civiles y particulares. La ciudades más dañadas fueron los Angeles y Santa Mónica, California.

China Noreste

Tabla 2.1

655.237 muertos cerca de 800.000 heridos y danos en el área de Tanshan. Este terremoto fue probablemente el más mortífero de los últimos 4 siglos y el 2º más fuerte que registra la historia moderna.

Sismos más representativos de la historia [ref. 3]

19


Figura 2.3

Figura 2.4

2.6

Sismo de Alaska de 1964 [ref. 3]

Sismo de Loma Prieta en el sur de San Francisco [ref. 3]

ESTUDIOS DE RIESGO SÍSMICO LOCAL Y NACIONAL 1

El observatorio San Calixto desde 1913 hasta la fecha viene monitoreando la actividad sísmica en el territorio nacional. Las investigaciones realizadas señalan que Bolivia es una región sísmica de intensidad moderada; siendo las zonas de actividad permanente el valle de Cochabamba y el norte de La Paz. En Bolivia se tienen registros de eventos sísmicos desde el año 1871, lo cual evidencia la actividad sísmica en la región. Según los registros actuales pocos sismos han sido de magnitud considerable, pero han ocurrido en gran cantidad; según el observatorio San Calixto se aproximan a 1.000 sismos que cada año se pueden localizar en Bolivia. La actividad sísmica en Bolivia tiene su origen en la tectónica de placas, específicamente en la presión que ejerce la placa de Nazca por debajo de la placa Sudamericana. Este movimiento se conoce como subducción y produce sismos de foco profundo (351-700 km.) debajo del continente en el sector de Bolivia, y de foco intermedio (71350 km.) en la frontera con Perú y Chile. Sin embargo, por la presencia de innumerables fallas geológicas en 1

Resumen de estudios realizados por Salvador del Pozo [ref. 9], Ramón Cabré y Angel Vega [ref. 10]: F. Achabal, pp 26-28 [ref. 1]

20


Bolivia y particularmente en Cochabamba, este movimiento genera una actividad sismo – tectónica local o secundaria de foco superficial (0-70 km.), por donde se disipa la energía acumulada. Este fenómeno puede tener consecuencias distintas: si la liberación de energía es lenta, no ocasionará grandes sismos; si por el contrario la disipación es violenta, puede dar lugar a un sismo de magnitud considerable, mas aún si se considera que la actividad sísmica de tipo superficial es la más destructiva. Las fallas más importantes en el sector de Cochabamba son: la falla del Tunari, al borde de la cordillera que rodea la ciudad por el sector norte; la segunda en importancia es la falla de Sipe – Sipe, la cual tiene una alineación que empieza en la costa chilena, atraviesa Oruro, pasa por Cochabamba y termina en Santa Rosa en el Beni; otra falla activa es la falla cercana a la laguna de Colomi (Sillar); la falla en el sector de Aiquile, activa cada cierto tiempo. Esta última localidad fue sometida a un sismo de magnitud 6.6 en la escala de Richter el 22 de Mayo de 1998, el cual dejó a muchas familias sin hogar. El mapa de intensidades máximas (Figura 2.5), conocido como mapa de isositas, publicado por el Centro Regional de Sismología para Sudamérica (CERESIS), marca cuatro zonas que definen bien la sismicidad en Bolivia. El mapa de magnitudes máximas (Figura 2.6) publicado por el Observatorio San Calixto complementa la información que se presenta en la Tabla 2.2, acerca de las zonas sísmicas en el territorio boliviano. La intensidad máxima esperada en la ciudad de Cochabamba está entre VI y VII en la escala de Mercalli Modificada. Si bien es un valor moderado, los efectos pueden ser mayores considerando las condiciones geotécnicas locales. En general, se puede decir que la mayor parte del terreno es un relleno aluvional no consolidado de baja calidad, lo cual tendría efectos impredecibles al ocurrir un sismo fuerte.

ZONA SÍSMICA

LOCALIDAD

ACTIVIDAD

INTENSIDAD MM

Casi inexistente

0

Todo el sector adyacente al Brasil y al Paraguay.

1

Región sub-andina, sector N-O de La Paz y N-E de Cochabamba.

Reducida

V

2

Lago Titicaca y provincia Cercado de Cochabamba

Moderada

VI

3

Sector Comsata (La Paz), Chapare y Aiquile (Cochabamba), Samaipata (Santa Cruz) y algunas provincias de Potosí y Sucre.

Peligrosa

VII

Tabla 2.2

Zonas sísmicas en Bolivia, Localización parcial [ref. 9]

21


68º

66º

64º

62º

60º

BOLIVIA ZONAS SÍSMICAS

BRASIL 10º

0

1

2

3

4

< IV

V

VI

VII

VIII

10º

ESCALA MERCALLI MODIFICADA

PANDO

12º

12º Fuente : CERESIS Ing. S. del Pozo G.

14º

14º TRINIDAD

16º

16º PERÚ

LA PAZ

Villa Tunari

COCHABAMBA SANTA CRUZ

18º ORURO

18º

Aiquile

SUCRE POTOSÍ

20º

20º PARAGUAY

TARIJA 22º

22º CHILE ARGENTINA 68º

Figura 2.5

66º

64º

62º

60º

Mapa de Intensidades máximas de Bolivia [ref. 10]

22


70

65

60

SISMICIDAD DE BOLIVIA

10

10

MAPA DE MAGNITUDES MÁXIMAS ESCALA DE RICHTER

PANDO

Fuente: OBS. SAN CALIXTO ANGEL VEGA B.

4 TRINIDAD

15

15

3

6 LA PAZ 4

COCHABAMBA

5

SANTA CRUZ

ORURO 6 SUCRE POTOSÍ

20

5 20

5

4 6 TARIJA

70

65

Figura 2.6

60

Mapa de magnitudes de Bolivia [ref. 10]

23


2.7

SISMO DE DISEÑO PLANTA A

B

traza de la falla

traza d

EB

DB=30

km

lla e la fa

X

S

DA=50 km

EA X

B`

A`

CORTE X - X

EB

S

pla

no

de

fall

a

HA=20 km

Hipocentro B

plano de falla

HB=15 km

EA

Hipocentro A

Figura 2.7

Ejemplo hipotético de la relación con dos sismos de diseño A y B, con epicentros EA y EB, respectivamente.

Las principales variables necesarias para definir el sismo de diseño son: magnitud, período de retorno, distancia epicentral, profundidad focal, posiciones de la falla, tipos de falla, aceleración máxima del suelo, desplazamiento máximo del suelo, período dominante de la vibración y longitud activa de la falla. Los datos acerca de sismos sobre los aspectos descritos con anterioridad son variables, poco precisos y escasos, esto significa que la interpretación de los datos se la puede realizar de forma subjetiva. Con el propósito de ilustrar la definición de sismo de diseño para un sitio dado se hará referencia a la Figura 2.7. Supóngase que los estudios de la historia de sismos de la región han sugerido el uso de dos sismos de diseño, A y B, con las características indicadas en la Figura 2.7. Es bastante común considerar dos sismos de diseño diferentes con magnitudes y período de retorno; normalmente, el sismo mayor, menos frecuente, debería considerarse la peor condición de diseño para usarse como carga última, mientras el sismo menor, más frecuente debería ser usado como el criterio para controlar daño no estructural. Sin embargo, en la situación ilustrada en la Figura 2.7, los tipos de falla asociados podrían hacer inapropiada esta forma de usar los sismos de diseño. Debido a que el plano inclinado para el sismo B aflora cerca del sitio, la intensidad del movimiento vibratorio en S debido a este sismo puede ser tan intensa como en los sectores cercanos al epicentro EB. Si la traza de la falla BB’ no ha sido detectada, o no se toma en cuenta al diseñar, la intensidad del movimiento del suelo en el sitio se subestimaría al suponer una atenuación normal desde un epicentro ubicado a 30 km. De este modo resulta bastante incierta la definición adecuada de un sismo de diseño, aun antes de la consideración de las condiciones del sitio, debido a las dificultades en definir el comportamiento ante sismos pasados, y las dificultades para predecir eventos sísmicos futuros. Es así que se adopta una metodología para el cálculo y diseño de estructuras, la cual se basa en estudios geológicos, probabilísticos y numéricos para llegar a adoptar parámetros confiables que si bien no representan exactamente el evento sísmico, permiten una mejor percepción del acontecimiento y sus consecuencias 2 . 2

Para mejor comprensión referirse al capítulo 8 y posteriores

Capítulo 3

CONCEPTOS GENERALES EN EL ANÁLISIS DINÁMICO

3.1

ESTRUCTURA SIMPLE

Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa concentrada en la parte superior soportada por un elemento estructural de rigidez k en la dirección considerada. Este concepto es ilustrado por la Figura 3.1 en la cual se muestra un ejemplo de estructura simple.

Figura 3.1

Torre de Telecomunicación, Frankfurt (estructura simple)

Es importante el entender la vibración de este tipo de estructuras, las cuales están sometidas a fuerzas laterales en el tope o a movimientos horizontales del suelo debidos a sismos, para así facilitar la comprensión de la teoría dinámica.

3.2

GRADOS DE LIBERTAD

El grado de libertad es definido como el número de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas relativas a sus posiciones originales.

25

Conceptos generales en el análisis dinámico

Por ejemplo si se considera despreciable la deformación axial de la columna en la estructura simple de la Figura 3.1 entonces el sistema es de un grado de libertad (el desplazamiento horizontal del tanque). Ahora considerar el pórtico de la Figura 3.2 el cual está restringido a moverse sólo en la dirección de la excitación; para el análisis estático de esta estructura el problema tiene que ser planteado con tres grados de libertad (3DOF: lateral y dos rotaciones) al determinar la rigidez lateral del pórtico. Sin embargo la estructura tiene 1DOF (desplazamiento lateral) para el análisis dinámico si ésta es idealizada con una masa concentrada en el nivel superior, a este tipo de estructuras en adelante se las designará como estructuras de simple grado de libertad (SDF). masa

u'

u

u p(t)

p(t)

amortiguamiento

ug

(a) Figura 3.2

(b)

Sistema SDF: (a) fuerza aplicada p(t) (b) movimiento del suelo inducido por sismo [ref. 12]

Cada miembro del sistema (viga, columna, muro, etc.) contribuye con las propiedades de la estructura: inercia (masa), elasticidad (rigidez o flexibilidad) y energía de disipación (amortiguamiento). Estas propiedades serán consideradas por separado como componentes de masa, rigidez y amortiguamiento respectivamente.

3.3

SISTEMA LINEALMENTE ELÁSTICO u

fuerza externa fs

fs fs fuerza resistente

(a)

(b)

Figura 3.3

Sistema linealmente elástico [ref. 12]

Para comprender el concepto de estructura linealmente elástica es necesario entender la relación existente entre la fuerza y el desplazamiento, para lo cual considerar el sistema mostrado en la Figura 3.3; el sistema está sujeto a una fuerza estática fS, la cual es equilibrada por una fuerza inercial resistente al desplazamiento u que es igual y opuesta a fS. Existe una relación entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo u asociado con la deformación de la estructura que es de carácter lineal para pequeñas deformaciones y no lineal para grandes deformaciones. Para un sistema linealmente elástico la relación entre la fuerza lateral fS y la deformación resultante u es: f S = k ⋅u

Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es [fuerza/longitud].

(3.1)

26


3.4

AMORTIGUAMIENTO

El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente.

3.4.1

Mecanismos de Disipación

En sistemas simples como el de la Figura 3.4, la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción interna cuando el sólido es deformado. u fuerza externa fD

fD

fD fuerza resistente fD (a) Figura 3.4

(b) fuerza de amortiguamiento [ref. 12]

En las estructuras actuales existen mecanismos adicionales que contribuyen a la disipación de la energía; algunos de éstos son: las uniones de acero, el abrirse y cerrarse de las micro - fisuras del concreto, la fricción entre la “estructura misma” y los elementos no estructurales como son los muros de partición.

3.4.2

Fuerza de Amortiguamiento

En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso. La Figura 3.4 muestra un sistema amortiguado sujeto a una fuerza fD aplicada en la dirección del desplazamiento, la cual es equilibrada por la fuerza interna en el amortiguamiento que es igual y opuesta a la fuerza externa fD. La fuerza de amortiguamiento fD está relacionada con la velocidad ú a través del coeficiente de amortiguamiento c mediante: f D = c ⋅ u&

(3.2)

A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales.

3.5

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 1

La Figura 3.5 ilustra el modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la acción de una fuerza dinámica p(t) aplicada en la dirección del desplazamiento u(t) las cuales varían con el tiempo. La ecuación diferencial que

1

Anil K. Chopra, pp 14-16 [ref. 12]

27


gobierna el desplazamiento u(t) puede ser derivada utilizando dos métodos: la 2ª ley de Newton y el principio de equilibrio dinámico.

m

u

m

fS

(a)

fD

p(t)

fS

(b) Figura 3.5

3.5.1

fI

p(t)

p(t)

fD

(c)

Sistema SDF, ecuación de movimiento [ref. 12]

Segunda ley de Newton

Todas las fuerzas que actúan en la masa son mostradas en la Figura 3.5(b). La fuerza externa es considerada positiva en la dirección del eje de desplazamiento u(t), la velocidad ú(t) y la aceleración ü(t) son también consideradas positivas en esa dirección. La fuerza elástica y de amortiguamiento actúan en dirección opuesta debido a que son fuerzas internas que resisten la deformación y la velocidad respectivamente. La fuerza resultante a lo largo del eje de desplazamiento es p(t) – fS – fD; aplicando la segunda ley de Newton se tiene: p (t ) − f S − f D = m ⋅ u&& m ⋅ u&& + f S + f D = p (t )

(3.3)

Reemplazando las ecuaciones 3.1 y 3.2 en la ecuación 3.3 se tiene:

m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = p (t )

(3.4)

La ecuación 3.4 es la que gobierna la deformación u(t) de la estructura idealizada en la Figura 3.5 considerando que la elasticidad es lineal.

3.5.2

Equilibrio Dinámico

El principio de equilibrio dinámico de D’Alembert está basado en el sistema de equilibrio de fuerzas. Es considerada una fuerza de inercia ficticia que es igual al producto de la masa por la aceleración y actúa en dirección opuesta a la aceleración; este estado, incluida la fuerza de inercia, es un sistema equilibrado en todo instante. Es así que el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la masa en movimiento puede ser dibujado para poder utilizar los principios de estática y desarrollar la ecuación de movimiento. El DCL en el tiempo t es representado en la Figura 3.5(c) con la masa reemplazada por la fuerza de inercia que es dibujada con trazo punteado para ser distinguida como fuerza ficticia de las fuerzas reales. Estableciendo la suma de todas las fuerzas igual a cero se tiene como resultado la ecuación 3.3.

3.5.3

Componentes de masa, amortiguamiento y rigidez

La ecuación que gobierna el movimiento para el sistema SDF puede ser formulada desde un punto de vista alternativo:

28


Bajo la acción de la fuerza externa p(t) el estado del sistema está descrito por u(t), ú(t) y la ü(t) como se muestra en la Figura 3.6(a). Visualizar el sistema como la combinación de los tres componentes: (1) rigidez, (2) amortiguamiento y (3) masa. La fuerza externa fS en el componente de rigidez está relacionada con el desplazamiento por la ecuación 3.1 si el sistema es linealmente elástico. La fuerza fD está relacionada con la velocidad por la ecuación 3.2; y la fuerza externa fI en el componente de masa está relacionada con la aceleración por f I = m ⋅ u&& . La fuerza externa p(t) aplicada al sistema completo puede por tanto ser visualizada como una cantidad distribuida en los tres componentes de la estructura, y entonces: fS + fD + fI = p(t) La cual es similar a la ecuación 3.3. p(t)

fS

=

3.6

+

desplazamiento u velocidad u· aceleración ü

desplazamiento u

(a)

(b)

Figura 3.6

fD

fI

+ velocidad u·

aceleración ü (d)

(c)

(a) Sistema (b) componente de rigidez (c) componente de amortiguamiento (d) componente de masa [ref. 12]

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: EXCITACIÓN SÍSMICA

El problema que concierne al ingeniero estructurista es el comportamiento de la estructura que está sujeta a movimiento sísmico en su base, es debido a ello que a continuación se explica la ecuación de movimiento que gobierna este fenómeno. u'

f

u

I

f

fD

s

ug (a)

(b)

Figura 3.7

En la Figura 3.7 el desplazamiento del suelo (ug), el desplazamiento total del la masa (u’) y el desplazamiento relativo entre la masa y el suelo (u) están relacionadas por la expresión:

u ' (t ) = u (t ) + u g (t ) Se obtiene la ecuación de equilibrio dinámico del diagrama de cuerpo libre de la Figura 3.7(b):

(3.5)

29


fI + fD + fS = 0

(3.6)

La fuerza elástica y de amortiguamiento son producidas por el movimiento relativo, u, entre la masa y la base, es así que para el sistema lineal continúan siendo válidas las ecuaciones 3.1 y 3.2; entre tanto la fuerza de inercia fI es relacionada a la aceleración de la masa, ü’, por: f I = m ⋅ u&&'

(3.7)

Sustituyendo las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 en la ecuación 3.6 se tiene:

m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = −m ⋅ u&&g (t )

(3.8)

La ecuación 3.8 es la que gobierna el desplazamiento relativo ,u(t), del sistema lineal de la Figura 3.7 sujeto a la aceleración del suelo, üg(t). Comparando las ecuaciones 3.4 y 3.8 se observa que la ecuación de movimiento para el mismo sistema sujeto a dos excitaciones por separado (üg y p(t)) es una y la misma. De este modo el desplazamiento relativo debido a la aceleración del suelo, üg(t), será idéntico al desplazamiento de la estructura con base estacionaria sometida a la acción de una fuerza externa igual a –m·üg. Por lo tanto el movimiento del suelo puede ser reemplazado por una fuerza sísmica efectiva.

p eff (t ) = −m ⋅ u&&g (t )

(3.9)

Es importante reconocer que esta fuerza actúa en sentido opuesto a la aceleración y sobre todo que es proporcional a la masa de la estructura.

Capítulo 4

VIBRACIÓN LIBRE

4.1

TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES

El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinámicos. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones. Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración. Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas. Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras.

31

Vibración libre

4.2

DEFINICIÓN

Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0).

4.3

VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA u T n = 2π/ωn

u· (0) b

u(0)

Amplitud u0 a

(a)

c

e t

φ ωn d

u0

u0

(b) a Figura 4.1

b

c

e

d

Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento [ref. 12]

La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es: (4.1) m ⋅ u&& + k ⋅ u = 0 u&& + ω n2 ⋅ u = 0 (4.2) donde ωn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:

ωn = k m

(4.3)

El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice A-1, y su solución es:

u (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto:

u (t ) = u (0) ⋅ cos ω n t +

u& (0)

ωn

(4.4) u (0) y

senω n t

u& (0) , el desplazamiento y la

(4.5)

32

Vibración libre

Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es: Tn =

2π

(4.6)

ωn

La frecuencia cíclica natural de vibración, fn, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es: 1 (4.7) fn = Tn Las propiedades de vibración natural, ωn, Tn y fn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste esta en estado de vibración libre. El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:

u (t ) = u 0 cos(ω n t − φ )

(4.8)

Imaginario u0 cos(ωnt-φ) u· (0) senωnt u(0) cosωnt ωn ωn

u(0)

ωnt

φ

Real

ωnt

u0 u· (0) ωn

Figura 4.2

Vibración libre, representación vectorial [ref. 13]

Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por: ⎡ u& (0) ⎤ u 0 = u (0) 2 + ⎢ ⎥ ⎣⎢ ω n ⎦⎥

2

(4.9)

Y el ángulo de fase φ esta dado por:

φ = artg

u& ( 0)

ω n u ( 0)

(4.10)

33

Vibración libre

En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno.

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

4.4

La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es: m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = 0

(4.11)

dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene: u&& + 2ξω n u& + ω n 2 u = 0

ξ=

donde:

(4.12)

c c cr

(4.13)

c cr = 2mω n = 2 km =

2k

(4.14)

ωn

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, y la razón o relación de amortiguamiento crítico, ξ, son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.

4.4.1

Tipos de Movimiento

1

criticamente amortiguado, ξ=1

u(t)/u(0)

sobreamortiguado, ξ=2

0

subamortiguado, ξ=0.1 -1 1

2

3

1 /T n

Figura 4.3

Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]

La Figura 4.3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u(t) debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de ξ :

Si c=ccr ó ξ=1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico.

34

Vibración libre

Si c>ccr ó ξ>1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado.

Si c
El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio. Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento ξ<1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia.

4.4.2

Sistema subamortiguado

Para un sistema subamortiguado (ξ<1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice A-2, y su solución es: ⎡ ⎤ ⎛ u& ( 0) + ξω n u ( 0) ⎞ ⎟ senω D t ⎥ (4.15) u (t ) = e −ξω nt ⎢u ( 0) cos ω D t + ⎜⎜ ⎟ ωD ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ Donde ωD es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es:

ω D = ω n 1−ξ 2

u

u· (0)

ρ e−ξωnt

(4.16)

estructura no amortiguada

u(0)

estructura amortiguada

t

−ξωnt

−ρe

Figura 4.4

Tn TD

Efecto del amortiguamiento en Vibración libre

Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado (ξ=0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura 4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

35

Vibración libre

El valor del periodo natural de vibración amortiguado es: TD =

2π ωD

(4.17)

y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma: TD =

Tn 1−ξ 2

(4.18)

La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:

δ = ln

ui 2πξ = ξω n T D = ≈ 2πξ u i +1 1−ξ 2

(4.19)

y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

δ=

u 1 ln 1 ≈ 2πξ j u j +1

(4.20)

El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de ωn a ωD y aumentar el periodo natural de Tn a TD; este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento ξ debajo del 20%, un rango en el cual están incluidas la mayoría de las estructuras; y, valga la redundancia, para la mayoría de las estructuras ωD y TD son aproximadamente iguales a ωn y Tn

36

Vibración libre

4.5 EJEMPLOS Determinación de las propiedades dinámicas

Ejemplo 4.1

En la Figura 4.5 se muestra una cubierta metálica, considerar el entramado infinitamente rígido y con una carga muerta total de 120 [kg/m2]. Todas las columnas son perfiles metálicos W10x30, considerarlas axialmente indeformables. Determinar las propiedades de la estructura considerando que no existe amortiguamiento.

1.2 m

4m

elevación

20 m

N

planta

20 m

20 m

Figura 4.5

Estructura para el ejemplo 4.1

Solución

El peso del sistema es:

w = 120 × 20 × 40 w = 96 [T ]

La rigidez total de las dos columnas del Este es: kE = ∑ kE =

12 EI

l3 2 × 12 × 2100000 × 7075.93

k E = 5572.29 La rigidez total de las columnas centrales es: kC = 0

400 3

[ ] kg

cm

37

Vibración libre

La rigidez total de las dos columnas del Oeste es:

3EI

kO = ∑ kO =

l3 2 × 3 × 2100000 × 7075.93 400 3

k O = 1393.07

[ ] kg

cm

La rigidez total en la dirección Este-Oeste es: k = k E + kC + kO k = 6965.36

[ ] kg

cm

La frecuencia circular natural es:

ωn = k m ωn =

k⋅g w

6965.36 × 980 96000 ω n = 8.43 [rad s ]

ωn =

La frecuencia cíclica natural es: fn =

1 ωn = Tn 2π

f n = 1.34 [hertz]

El periodo natural esta dado por: Tn =

1 fn

Tn = 0.74 [s]

38

Vibración libre

Sistema en vibración libre no amortiguado

Ejemplo 4.2

Una plancha es soportada por barras de acero (Figura 4.6), su periodo natural en vibración lateral es 0.5 [s]. Cuando una placa de 22 [kg] es sujeta a su superficie el periodo natural en vibración lateral es prolongado a 0.75 [s]. ¿Cual es la rigidez lateral efectiva y cual es el peso de la plancha?

T n=0.5 s.

T n=0.75 s.

Figura 4.6

Gráfica para el ejemplo 4.2

Solución

En la primera fase de vibración el periodo natural del sistema es: 2π 2π = Tn =

ωn

0.5 =

m

2π k

m=

k

m

k

(a)

(4π )2

En la segunda fase de vibración el periodo natural del sistema es: 2π Tn = k m + mp 2π

0.75 =

(b)

k m + 22 g

Reemplazando (a) en (b) y resolviendo para la rigidez k:

2π

0.75 = k

k = 2.84 El peso de la plancha es:

k 22 (4π )2 + 980

[ ] kg

cm

39

Vibración libre

k

w = m⋅g = w = 17.62

Ejemplo 4.3

(4π )2 [kg ]

g

Determinación de las características de amortiguamiento

Un tanque de agua elevado está sujeto a un cable en la parte superior, el cual le aplica una fuerza horizontal de 7 [T] y desplaza al tanque 5 [cm] de su posición de equilibrio, el cable es cortado repentinamente y el tanque entra en vibración libre, al final de 4 ciclos el tiempo es de 2 [s] y la amplitud es de 2.5 [cm]. Calcular la relación de amortiguamiento, el periodo natural de vibración no amortiguado, la rigidez efectiva, el peso efectivo, el coeficiente de amortiguamiento y el número de ciclos requeridos para que la amplitud de desplazamiento decrezca a 0.5 [cm].

Solución

La relación de amortiguamiento es:

δ=

u 1 ln 1 ≈ 2πξ j u j +1

1 5 ln = 2πξ 4 2. 5 ξ = 2.75 %

El periodo natural de vibración no amortiguada es: T D = 2 4 = 0.5 [s] Tn TD = ≈ Tn 1−ξ 2 Tn = 0.5 [s ]

La rigidez efectiva es calculada a partir de: fs = k ⋅u 7000 = k × 5

k = 1400

[ ] kg

cm

Para el peso efectivo se tiene:

ωn =

2π 2π = = 12.57 Tn 0.5

ωn =

k

ωn =

k ⋅g

[rad s ]

m w

Sustituyendo los valores de k y ωn en la última ecuación se obtiene el peso efectivo:

w = 8.68 [T ] El coeficiente de amortiguamiento se obtiene de:

40

Vibración libre

ξ= ξ=

c c cr c 2k

ωn

0.0275 =

c = 6.13

c 2k

12.57 kg ⋅s cm

[

]

El número de ciclos que se requiere para que la amplitud decrezca al valor de 0.5 [cm] se obtiene de: u 1 ln 1 = 2πξ j u j +1 1 5 ln = 2π * 0.0275 j 0.5 j = 13.33 ≈ 13 ciclos

Capítulo 5

VIBRACIÓN FORZADA CARGA ARMÓNICA

5.1

JUSTIFICACIÓN

El estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas.

5.2

SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA

5.2.1

Ecuación de Movimiento

Estableciendo p(t)=p0 · senωt en la ecuación 3.4 se obtiene la ecuación diferencial 1 que gobierna el movimiento forzado por carga armónica para un sistema no amortiguado: m ⋅ u&& + k ⋅ u = p 0 senωt

(5.1)

Donde p0 es la amplitud o valor máxima de la fuerza (Figura 5.1) y ω es la frecuencia de excitación. La solución particular a la ecuación diferencial 5.1 es: p 1 u p (t ) = 0 ⋅ senωt (5.2) k 1 − (ω ω n )2 La solución complementaria de la ecuación 5.1 es:

u c (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t

(5.3)

La solución total es la suma de ambas ecuaciones:

u (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t +

1

La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice A-3

p0 1 senωt ⋅ k 1 − (ω ω n )2

(5.4)

42

Vibración forzada, carga armónica

p T = 2π/ω

Amplitud p0

t

Figura 5.1

Fuerza armónica

Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales u(0) y ú(0), es así que se tiene: ⎡ u& (0) p 0 p ω ωn ⎤ 1 − ⋅ u (t ) = u (0) cos ω n t + ⎢ senωt ⎥ senω n t + 0 ⋅ 2 k k ω 1 − (ω ω n )2 1 − (ω ω n ) ⎥⎦ ⎢⎣ n 424444 3 144444444 42444444444 3 1444 Estado Permanente Estado Transitorio

(5.5)

Esta ecuación contiene dos componentes de vibración distintas:

El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de excitación; representa el estado permanente de vibración debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales.

Los términos “sen ωnt” y “cos ωnt” para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el estado transitorio de vibración que depende de u(0) y ú(0), el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo.

u / (u ) (t)

st 0

Respuesta Total

2

1

t

0 -1 Respuesta del Estado Permanente

-2 0

Figura 5.2

0.5

1.0

1.5

2.0

Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica: ω/ωn=0.2; u(0)=0 y ú(0)=ωnp0/k

43


La ecuación 5.5 para condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 es expresada de la siguiente forma: u (t ) =

5.2.2

p0 1 [senωt − (ω ω n )senω n t ] k 1 − (ω ω n )2

(5.6)

Resonancia

Ignorando el efecto dinámico de la aceleración en la ecuación 5.1 se obtiene como resultado la deformación estática en cada instante de tiempo: p (5.7) u st (t ) = 0 senωt k El máximo valor de esta deformación es: p (5.8) (u st ) 0 = 0 k Por lo tanto la respuesta dinámica del estado permanente, una oscilación sinoidal en frecuencia de excitación, puede ser expresada como: ⎡ ⎤ 1 (5.9) u (t ) = (u st ) 0 ⎢ ⎥ senωt 2 ⎢⎣1 − (ω ω n ) ⎥⎦ El factor entre corchetes de la ecuación 5.9 es graficado contra la relación de frecuencias en la Figura 5.3, de la cual se observa que:

Para ω/ωn < 1 ó ω<ωn el factor es positivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en la misma dirección de la fuerza)

Para ω/ωn > 1 ó ω>ωn el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en dirección opuesta a la fuerza) 5 4 3 2 1 1 1-(ω/ω )2 n

0 -1 -2 -3 -4 -5

0

1

2

Relación de Frecuencias ω/ω n

Figura 5.3

Rd versus relación de frecuencias

3

44


La ecuación 5.9 puede ser reescrita en términos de la amplitud u0 y el ángulo de fase φ:

u (t ) = u 0 ⋅ sen(ωt − φ ) = (u st ) 0 ⋅ R d ⋅ sen(ωt − φ )

(5.10)

De donde se tiene que:

Rd =

ω < ωn ⎧0° ⎩180° ω > ω n

u0 1 = (u st ) 0 1 − (ω ω )2 n

φ⎨

(5.11)

Donde el factor de deformación Rd es la relación de amplitud de deformación vibratoria u0 y la deformación estática (ust)0 debido a la fuerza p0. Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual Rd es máximo. Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es ωn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la deformación vibratoria crece indefinidamente, pero ésta se vuelve infinita sólo después de un tiempo infinito. Para ω=ωn la ecuación 5.6 no es más válida; en este caso la función C·senωt, como elección de una solución particular a la ecuación diferencial 2 , falla debido a que ésta ya forma parte de la solución complementaria, por tanto la solución particular ahora es: u p (t ) = −

p0 ω n t ⋅ cos ω n t 2k

ω = ωn

(5.12)

Y la solución total es: u (t ) = A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t −

p0 ω n t ⋅ cos ω n t 2k

(5.13)

Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 es así que se tiene la ecuación de respuesta: p (5.14) u (t ) = 0 (senω n t − ω n t ⋅ cos ω n t ) 2k ó: u (t ) = − 12 2Tπ t ⋅ cos 2Tπ t − sen 2Tπ t (5.15) n n n (u st ) 0

(

)

30 Curva Envolvente

20

π

st 0

0

(t)

u / (u )

10

-10

t u

π -20

j

u

j+1

-30 0

Figura 5.4

2

2

4

6

8

Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica de ω=ωn

El desarrollo de esta expresión se encuentra en el Apéndice A-3.

45


En la Figura 5.4 está graficada la ecuación 5.15, de donde se observa que el tiempo requerido para completar un ciclo de vibración es Tn. En cada ciclo el incremento de la amplitud 3 está dado por: u j +1 − u j =

(u st ) 0 [2π ( j + 1) − 2πj ] = π p 0 k 2

(5.16)

La interpretación de este resultado académico para estructuras reales es que a medida que la deformación se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.

5.3

SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA

5.3.1

Ecuación de movimiento

Respuesta Total

2

u(t) / (ust) 0

1 0 -1 Respuesta del Estado Permanente

-2 0

0.5

Figura 5.5

1.0 t

1.5

2.0

Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica

Incluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuación 5.1 la ecuación diferencial 4 que gobierna este sistema es: m ⋅ u&& + c ⋅ u& + k ⋅ u = p 0 senωt

(5.17)

u p (t ) = C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt

(5.18)

La solución particular de esta ecuación es:

Donde: C=

1 − (ω ω n )2 p0 k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2 n n

[

]

[

]

− 2ξ (ω ω n ) p D= 0 k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2 n n

3 4

Anil K. Chopra, pp 66 [ref. 12] La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice A-4

(5.19)

46


La solución complementaria de la ecuación 5.17 es:

u c (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t )

(5.20)

Y la solución completa es: ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt u (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C 144444 42444444 3 144424443 Estado Permanente Estado Temporal

(5.21)

Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos estándar en términos del desplazamiento u(0) y la velocidad ú(0). La Figura 5.5 muestra la ecuación 5.21 graficada para ω/ωn = 0.2 ξ = 0.05 u(0) = 0 y ú(0) =ωn p0 / k. La respuesta total es representada por una línea de trazo continuo y la respuesta del estado permanente por una línea discontinua, la diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente con el tiempo en un valor que depende de ω/ωn y ξ ; quedando únicamente la respuesta forzada y es por esta razón que es llamada respuesta del estado permanente.

5.3.2

Resonancia

Para ω=ωn las constantes C y D de la ecuación 5.19 son: C =0

D=−

(u st ) 0 2ξ

Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 y para ω=ωn: A=

(u st ) 0 2ξ

B=

(u st ) 0 2 1−ξ 2

Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para ω=ωn es:

u (t ) = (u st ) 0

⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ξ 1 ⎢ −ξω nt ⎜ ⎟ ⎥ + e cos ω t sen ω t cos ω t − D D ⎟ n ⎜⎜ ⎥ 2 2ξ ⎢ ⎟ − 1 ξ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

(5.22)

Esta ecuación de respuesta es graficada en la Figura 5.6, se observa que la magnitud de los desplazamientos es menor que los presentados por la Figura 5.4, y que el límite de respuesta está dado por: u0 =

(u st ) 0 2ξ

(5.23)

Para amortiguamientos pequeños el término del seno en la ecuación 5.22 es pequeño y ω D ≈ ω n , por lo que la ecuación 5.22 toma la forma de: 1 −ξω nt (5.24) u (t ) ≈ (u st ) 0 e − 1 ⋅ cos ω n t 2ξ 144424443

(

)

función envolvente

La deformación varía con el tiempo como una función coseno, la amplitud se incrementa en función del tiempo de acuerdo a la envolvente mostrada en la Figura 5.6 como una línea de trazo discontinuo. Es importante el notar

47


que la amplitud del estado permanente de deformación del sistema es influenciada fuertemente por el amortiguamiento. El desplazamiento pico uj después de j ciclos de vibración es determinado sustituyendo t=jTn en la ecuación 5.24, estableciendo cosωnt=1 y utilizando la ecuación 5.23, de donde se tiene:

uj

= 1 − e − 2πξj

u0

(5.25)

20 Curva Envolvente 1/2ξ

10 u(t) / (ust) 0

Amplitud del Estado Permanente

0

1/2ξ

-10

-20 0

2

4

6

8

t Figura 5.6

5.3.3

Respuesta para un sistema amortiguado de ξ=0.05 sujeto a carga armónica ω=ωn

Deformación Máxima

La deformación en el estado permanente del sistema debida a una carga armónica descrita en la ecuación 5.18 y la 5.19 puede ser reescrita como: u (t ) = u 0 ⋅ sen(ωt − φ ) =

p0 R d sen(ωt − φ ) k

(5.26)

Donde u 0 = C 2 + D 2 y φ = artg − D C sustituyendo por C y D : Rd =

u0 = (u st ) 0

[1 − (ω ω ) ]

2 2

n

φ = artg

1 + [2ξ (ω ω n )]2

2ξ (ω ω n )

1 − (ω ω n )2

(5.27)

(5.28)

Rd es graficada en función de ω/ωn en la Figura 5.7(a) para algunos valores de ξ, notar que todas las curvas están por debajo de la curva correspondiente a ξ =0. El amortiguamiento reduce Rd y por consiguiente la amplitud de deformación también reduce. La magnitud de esta reducción depende de la frecuencia de excitación de la siguiente manera:

48


Si ω/ωn << 1 (la fuerza está variando lentamente) Rd es sólo levemente más grande que 1 y es esencialmente independiente del amortiguamiento. p (5.29) u 0 ≅ (u st ) 0 = 0 k Este resultado implica que la respuesta dinámica es esencialmente la misma que la deformación estática y es controlada por la rigidez del sistema.

Si ω/ωn >> 1 (la fuerza está variando rápidamente) Rd tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento. Para valores grandes de ω/ωn el término (ω/ωn)4 es dominante en la ecuación 5.27, la cual puede ser aproximada por:

u 0 ≅ (u st ) 0

ωn2 ω

=

2

p0 mω 2

(5.30)

Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.

Si ω/ωn ≈ 1 (la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia natural del sistema) Rd es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática. Si ω=ωn la amplitud máxima es la expresada por la ecuación 5.23: u0 =

(u st ) 0 p = 0 2ξ cω n

(5.31)

Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento de la estructura.

5.3.4

Factores de Respuesta Dinámica

En este punto se introducen factores de respuesta de deformación, velocidad y aceleración que definen la amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La ecuación 5.10 se puede escribir de la siguiente forma: u (t ) =

p0 R d sen(ωt − φ ) k

(5.32)

Derivando la ecuación 5.32 se obtiene la respuesta para la velocidad: u& (t ) =

p0 km

Rv cos(ωt − φ )

(5.33)

Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado con Rd mediante:

Rv = ωω Rd n

(5.34)

Derivando la ecuación 5.33 se obtiene la respuesta para la aceleración: u&&(t ) = −

p0 R a sen(ωt − φ ) m

(5.35)

Donde el factor de respuesta para la aceleración esta relacionado con Rd mediante:

Ra = ( ωω ) 2 Rd n

(5.36)

49


En la Figura 5.7 están graficados los tres factores de respuesta dinámica en función de ω/ωn. Estas cantidades están relacionadas de la siguiente forma: Ra ω

ωn

= Rv = ωω R d

(5.37)

n

que hace posible el presentar estas tres gráficas en una sola utilizando un papel tetralogarítmico.

5 ξ=0.01

4

ξ=0.1

3

(a)

Rd

ξ=0.2

2

ξ=0.7

1 ξ=1

0 5

ξ=0.01

4 ξ=0.1

3 Rv

(b)

ξ=0.2

2 1

ξ=1

ξ=0.7

0 5

ξ=0.01

4

ξ=0.1 ξ=0.2

3 Ra 2

(c) ξ=0.7

1 0

Figura 5.7

5.3.5

ξ=1 0

1 2 Relación de Frecuencias ω/ωn

3

Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un sistema amortiguado sujeto a la acción de una carga armónica.

Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

La frecuencia Resonante está definida como la frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de respuesta. La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero de Rd Rv y Ra con respecto de ω/ωn para ξ < 1 : 2

50


Frecuencia resonante para el desplazamiento:

ω = ω n 1 − 2ξ 2

Frecuencia resonante para la velocidad:

ω = ωn

Frecuencia resonante para la aceleración:

ω=

ωn 1 − 2ξ 2

Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a ωn. Los tres factores de respuesta dinámica en sus respectivas frecuencias resonantes son: Rd =

1 2ξ 1 − ξ

2

Rv =

1 2ξ

Ra =

1 2ξ 1 − ξ 2

(5.38)

51


5.4

EJEMPLOS

Ejemplo 5.1

Determinación de las propiedades dinámicas (resonancia)

La masa m, la rigidez k y la frecuencia natural ωn de un sistema de 1DOF son desconocidas. Estas propiedades son determinadas mediante un ensayo de excitación armónica. Bajo una frecuencia de excitación de 4 [hertz] la respuesta tiende a incrementarse sin límite. Luego se añade un peso adicional de 2.5 [kg] a la masa m y se repite el ensayo, esta vez la resonancia sucede para f = 3 [hertz]. Determinar la masa y la rigidez del sistema.

Solución

Para f=4 [hertz] se tiene: f = 4=

1 ω = T 2π

ω

2π

ω = ω n = 8π = 25.13

[rad s ]

se tiene que la frecuencia natural es:

ωn =

k

8π =

k

m

m

k = 64π m 2

Para f=3 [hertz] se tiene:

(a)

ω 2π ω = ω n = 6π = 18.85 3=

ωn =

k m + 2.5 g

6π =

k m + 2.5 g

[rad s ]

Reemplazando la ecuación (a) en (b) y resolviendo para m: 64π 2 m = 6π m + 2.5 g

m = 3.21

[ ] kg

g

g

Reemplazando el valor de la masa en la ecuación (b) se obtiene el valor de la rigidez: k = 64π 2 *

k = 2.07

3.21 g

[ ] kg

cm

(b)

52


Ecuación de movimiento sistema amortiguado sujeto a carga armónica

Ejemplo 5.2

Determinar el desplazamiento del sistema de la Figura 5.8 para un tiempo 1.2 [s] considerando el estado transitorio y el permanente para condiciones iniciales en reposo.

w=450 [T]

a) Si ω = ω n b) La amplitud máxima para ω ≠ ω n

ξ=0.1

8 sen ωt

k T=11 [T/cm]

Figura 5.8

Solución

La ecuación de movimiento para el sistema amortiguado sujeto a carga armónica es:

u (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt

(5.15)

La frecuencia natural, de amortiguamiento y las constantes de la ecuación 5.15 se obtienen de:

ωn =

k

m

=

1100 * g = 4.89 450

[rad s ]

ω D = ω n 1 − ξ 2 = 4.89 1 − 0.12 = 4.87 C=

[rad s ]

p0 1 − (ω ω n )2 =0 k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2 n n

[

]

[

]

p − 2ξ (ω ω n ) D= 0 = −3.63 [cm] k 1 − (ω ω )2 2 + [2ξ (ω ω )]2 n n

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales u(0)=0 y ú(0)=0:

A = 3.63 [cm]

B = 0.36 [cm] Por tanto la ecuación de movimiento es: u (t ) = e −0.1×4.89t (3.63 cos 4.87t + 0.36 sen 4.87t ) − 3.63 cos 4.89t

El tiempo en el cual finaliza el estado transitorio es hallado igualando la respuesta total a la respuesta en el estado permanente, lo que conduce a la siguiente ecuación: e −ξω n t ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt = C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt

De donde se tiene que:

t=

⎛ A arcsen⎜ ⎜ 2 2 ⎝ A +B

ωD

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(5.29)

53


⎛ 3.63 arcsen⎜ ⎜ 2 2 ⎝ 3.63 + 0.36 t= 4.87 t = 0.302 [s ]

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Por lo tanto para el tiempo de 1.2 [s] el desplazamiento del sistema está dado por:

u (1.2) = −3.63 cos 4.89t u (1.2) = −3.32 [cm]

La frecuencia de excitación en la cual la respuesta máxima tiene lugar es:

ω = ω n 1 − 2ξ 2 = 4.89 1 − 2 * 0.12 = 4.84

[rad s ]

El factor de respuesta de desplazamiento para esta frecuencia es: Rd =

1 2ξ 1 − ξ

= 2

1 2 * 0.1 1 − 0.12

= 5.02

La amplitud máxima es: p0 8 = 5.02 k 11 u 0 = 3.65 [cm]

u 0 = Rd * (u st )0 = R d

54


Respuesta máxima

Ejemplo 5.3

Determinar la respuesta máxima del sistema de la Figura 5.9, la carga dinámica actúa durante un tiempo de 20 [s] y la frecuencia de excitación es ω = 0.5ω n

w=60 [T]

ξ=0.2

10 sen ωt

k T=10 [T/cm]

Figura 5.9

Solución

El movimiento del sistema se divide en dos fases: la fase 1 comprende el movimiento debido a la excitación externa y la fase 2 abarca el tiempo durante el cual el sistema se encuentra en vibración libre.

Fase 1

La ecuación de movimiento para un sistema amortiguado sujeto a una carga armónica es:

u (t ) = e −ξω nt ( A ⋅ cos ω D t + B ⋅ senω D t ) + C ⋅ senωt + D ⋅ cos ωt La frecuencia natural, de excitación y de amortiguamiento son: 1000 * g = 12.79 [rad s ] 60 ω = 0.5ω n = 0.5 *12.79 = 6.39 [rad s ]

ωn =

k

m

=

ω D = ω n 1 − ξ 2 = 12.79 1 − 0.2 2 = 11.07

[rad s ]

Las constantes C y D se calculan según la ecuación 5.13 y las constantes A y B a partir de las condiciones iniciales u(0)=0 y ú(0)=0, y sus valores son: C = 1.25 [cm] D = −0.33 [cm] A = 0.33 [cm] B = −0.64 [cm]

Por tanto la ecuación de movimiento para esta fase es: u (t ) = e −0.2*12.79t (0.33 cos 11.07t − 0.64 sen11.07t ) + 1.25 sen6.39t − 0.33 cos 6.39t

Y la amplitud máxima se calcula mediante: p u0 = 0 k

[1 − (ω ω ) ] n

u0 =

10 10

1

2 2

(1 − 0.5 )

2 2

+ [2ξ (ω ω n )]2

1 + (2 * 0.2 * 0.5)2

u 0 = 1.29 [cm]

(a)

55


Fase 2

La ecuación de movimiento para un sistema subamortiguado (ξ = 0.2 < 1) en vibración libre es: ⎡ ⎛ u& (0) + ξω n u (0) u (t ) = e −ξω nt ⎢u ( 0) cos ω D t + ⎜⎜ ωD ⎢⎣ ⎝

⎤ ⎞ ⎟ senω D t ⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎠

(b)

Para la cual las condiciones iniciales son el desplazamiento y la velocidad evaluados para un tiempo de 20 [s] en la ecuación (a) de la fase 1: u (0) = u ( 20) = 1.23 [cm] u& (0) = u& ( 20) = −2.50 [cm]

La amplitud máxima es:

u 0 = u (0)

2

⎛ u& (0) + ξω n u (0) + ⎜⎜ ωD ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎛ − 2.5 + 0.2 *12.79 *1.23 ⎞ u 0 = 1.23 2 + ⎜ ⎟ 11.07 ⎠ ⎝ u 0 = 1.23 [cm]

2

Por tanto comparando las amplitudes máximas de ambas fases se tiene que la respuesta máxima del sistema es: u 0 = 1.29 [cm]

Capítulo 6

MOVIMIENTO FORZADO CARGA IMPULSIVA

6.1

INTRODUCCIÓN

Una carga impulsiva consta esencialmente de un impulso principal, el cual generalmente es de corta duración como el que se muestra en la Figura 6.1. Las explosiones y las ráfagas de viento son excitaciones de este tipo, que pueden ser idealizados por formas simples como se verá en párrafos posteriores. La respuesta del sistema sujeto a carga impulsiva no llega a alcanzar el estado permanente de vibración; debido a que la respuesta máxima es alcanzada en un lapso corto de tiempo, antes de que la fuerza de amortiguamiento pueda absorber gran parte de la energía de vibración del sistema, solo se considera la respuesta no amortiguada en esta sección. Utilizando ecuaciones diferenciales se determina la respuesta de un sistema sujeto a carga impulsiva en dos fases: la fase de vibración forzada, que abarca el tiempo de excitación, y la fase en vibración libre, que continua al finalizar la acción de la carga impulsiva. p(t)

t Figura 6.1

6.2

Excitación del tipo carga impulsiva

CARGA IMPULSIVA RECTANGULAR

El primer caso en analizar es la respuesta de la estructura sujeta a una carga impulsiva de tipo rectangular como la que se muestra en la Figura 6.2. La ecuación a resolver es:

57

Vibración forzada, carga impulsiva

t ≤ t1

⎧ p0 ⎨ ⎩0

mu&& + ku = p (t )

( 6.1)

t ≥ t1

p(t)

p0

t t1

t-t1

Fase I

Fase II

Figura 6.2

Impulso Rectangular

Con las condiciones iniciales en reposo u (t ) = u& (t ) = 0 , el análisis es realizado en dos fases: Fase I La fuerza es aplicada instantáneamente y permanece constante durante esta fase. La solución particular para la ecuación diferencial es: u p (t ) =

p0 k

(6.2)

Y la solución complementaria es:

uc (t ) = A ⋅ cosω nt + B ⋅ senω nt

(6.3)

Y la solución total es la suma de ambas soluciones: u(t ) = A ⋅ cos ω nt + B ⋅ senω nt +

p`0 k

(6.4)

Aplicando las condiciones iniciales a la ecuación 6.4 se determinan las constantes A y B, y la ecuación de respuesta para esta fase es: Para:

0 ≤ t ≤ t1

u (t ) =

p0 (1 − cos ω n t ) k

(6.5)

Fase II La ecuación de respuesta para la fase de vibración libre esta dada por la ecuación 4.5:

u (t ) = u (0) ⋅ cos ω n t +

Para:

t − t1 ≥ 0

u& (0)

u(t ) = u(t1 ) ⋅ cos ω n (t − t1 ) +

ωn

senω n t

u&(t1 )

ωn

senω n (t − t1 )

(6.6)

(6.7)


58

Para este impulso rectangular es evidente que la respuesta máxima ocurrirá siempre en la fase I, si t1 ≥

Tn 2

correspondiente a cargas de duración larga 1 y el factor de respuesta en este caso es Rd=2: u0 = 2

p0 k

(6.8)

Para cargas de duración corta, la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre y está dada por: 2

⎡ u& (t ) ⎤ u 0 = ⎢ 1 ⎥ + u (t1 ) 2 ⎢⎣ ω n ⎥⎦

Con la velocidad final de la fase I u& (t1 ) =

Para:

t1 ≤

p0 ω n ⋅ senω n t1 y ω n = k

u0 = 2

Tn 2

(6.9) 2π Tn

en la ecuación 6.9 se tiene:

p0 π ⋅ t1 ⋅ sen k Tn

R d = 2 ⋅ sen

(6.10)

π ⋅ t1

(6.11)

Tn

Por tanto se observa que el factor de respuesta dinámica varía como una función seno de la duración del impulso T para t1 ≤ 2n , ver Figura 6.5.

6.3 CARGA IMPULSIVA TRIANGULAR El segundo caso a analizar es el impulso triangular decreciente de la Figura 6.3, el análisis de la respuesta se realiza análogamente al análisis de la carga impulsiva rectangular. p(t)

p0

t t1

t-t1

Fase I

Fase II

Figura 6.3

1

Referirse a la sección 6.6

Impulso Triangular

59


Fase I La función que describe la carga durante esta fase es p (t ) = p 0 ⋅ (1 − tt ) . La solución particular a la 1

ecuación de movimiento para esta carga es: u p (t ) =

p0 (1 − tt ) 1 k

(6.12)

Aplicando en la solución general las condiciones iniciales en reposo se determinan las constantes de integración A y B obteniendo la ecuación de respuesta para esta fase:

u (t ) =

p0 k

⎛ senω n t ⎞ t ⎜ ⎟ ⎜ ω t − cos ω n t − t + 1⎟ 1 ⎝ n1 ⎠

(6.13)

Fase II Evaluando la ecuación 6.13 para el desplazamiento y la velocidad en t=t1 (fin de la primera fase) se tiene: ⎞ p ⎛ senω n t1 u (t1 ) = 0 ⎜⎜ − cos ω n t1 ⎟⎟ k ⎝ ω n t1 ⎠

(6.14) u& (t1 ) =

p0 ⋅ ω n k

⎛ cos ω n t1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + senω n t1 − ω t ω n 1 n t1 ⎠ ⎝

Y sustituyendo en la ecuación 6.6 se obtiene la respuesta en vibración libre para la fase II. El máximo valor de desplazamiento, u0, es calculado evaluando la ecuación de respuesta para el tiempo en el cual la velocidad es cero. Para cargas de corta duración (t1<0.4Tn) la respuesta máxima ocurre durante la fase II de vibración libre, de lo contrario ocurre durante la fase I. El valor del factor de deformación Rd está tabulado para varias duraciones de carga en la Tabla 6.1.

t1/T

0.20

0.40

0.50

0.75

1.00

1.50

2.00

Rd

0.60

1.05

1.19

1.38

1.53

1.68

1.76

Tabla 6.1

Factor de Deformación para carga Impulsiva Triangular

6.4 CARGA IMPULSIVA TIPO SINOIDAL La Figura 6.4 ilustra este tipo de carga (impulso de onda sinoidal). El análisis de la respuesta es también realizado en dos fases: Fase I Durante esta fase la estructura esta sujeta a una carga armónica, empezando desde el reposo. La respuesta no amortiguada, que incluye tanto el estado transitorio como permanente, está dada por la ecuación 5.6:

Para

0 ≤ t ≤ t1

u (t ) =

p0 1 [senωt − (ω ω n )senω n t ] k 1 − (ω ω n )2

(6.15)

60


p(t)

p(t)=p0 sen ωt

p0

t

Figura 6.4

t1

t-t1

Fase I

Fase II

Impulso de una mitad de onda Sinoidal

Fase II El movimiento en vibración libre que tiene lugar en esta fase depende del desplazamiento u (t1 ) y de la

velocidad u& (t1 ) presentes al final de la fase I y puede ser expresado como:

Para:

t − t1 ≥ 0

u(t ) = u(t ) ⋅ cos ω n (t − t1 ) +

u&(t1 )

ωn

senω n (t − t1 )

(6.16)

Para el ingeniero estructural la respuesta máxima producida por la carga impulsiva es de mayor interés que el histograma completo. El tiempo en el cual ocurre el desplazamiento máximo es calculado igualando a cero la primera derivada de la ecuación 6.15: p ∂u 1 =0= 0 ⋅ ⋅ (ω ⋅ cos ωt − ω ⋅ cos ω n t ) ∂t k 1 − (ω ω n ) 2

de donde: cos ωt = cos ω n t

y por tanto:

ωt = 2πn ± ω n t

n = 0,±1,2,3...

(6.17)

esta expresión es válida sólo mientras ω·t≤π, es decir la respuesta máxima ocurre mientras la carga impulsiva esta actuando. Para la condición de carga en la que la frecuencia de excitación se aproxima a la frecuencia natural, el tiempo en el cual la respuesta máxima ocurre está dado adoptando n=1 y utilizando el signo negativo en la ecuación 6.17, lo cual da:

ωt =

2π 1 + (ω n ω )

(6.18)

la amplitud de respuesta máxima es obtenida reemplazando la ecuación 6.18 en la ecuación 6.15, el resultado es válido sólo para ωt≤π, para el cual ω ω n < 1 . Para ω ω n > 1 la respuesta máxima ocurre en la fase de vibración libre. El desplazamiento inicial y la velocidad inicial para esta fase se calcula reemplazando ω·t1=π en la ecuación 6.15:

61


p0 1 ω π ⋅ ⋅ (0 − ⋅ sen ) k 1 − (ω ω n ) 2 ωn ω ωn

u (t1 ) =

(6.19) u& (t1 ) =

p0 ω π ⋅ ⋅ (−1 − cos ) 2 k 1 − (ω ω n ) ω ωn

la amplitud de esta fase esta dada por la ecuación 6.9, y sustituyendo los valores u ( t1 ) y u&( t1 ) en ésta se tiene: p0

uo =

k

1 − (ω ω n )

2

⋅

ω π ⋅ 2 + 2 cos ωn ω ωn

(6.20)

para ω ω n > 1 , t > t1 el factor de respuesta de desplazamiento es:

Rd =

u0 p0 k

=

2 ⋅ω ω n 1 − (ω ω n )

2

⋅ cos

π 2 ⋅ω ω n

(6.21)

6.5 RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO. La respuesta máxima, como se observa en párrafos anteriores, depende de la relación de duración del impulso con el periodo natural de la estructura. Debido a esto es conveniente el graficar el factor de respuesta Rd en función de t1 Tn para varios tipos de carga impulsiva (Figura 6.5); este tipo de grafica es conocida como espectro de repuesta de desplazamiento o espectro de respuesta para cargas impulsivas. Generalmente este tipo de gráficas son útiles para predecir los efectos máximos causados por cargas impulsivas que actúan en una estructura simple.

Factor de magnificacion dinamica, D

2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Razon de impulso, t 1 /T Figura 6.5

Espectro de respuesta de desplazamiento para tres tipos de impulso (espectro de choque).

62


Este tipo de espectro de respuesta también sirve para indicar la respuesta de la estructura a un impulso de aceleración aplicada en su base. Si la aceleración aplicada en la base es üg(t), ésta produce una carga impulsiva efectiva de peff(t) = -m·üg(t). Si la aceleración máxima en la base es denotado por üg0 el impulso efectivo máximo es p0eff = -m·üg0. El factor de deformación toma la forma de: Rd =

u0 u = p0 0 (u st ) 0 k

reemplazando por p 0eff : Rd =

ω 2 ⋅ u0 u0 = n m ⋅ u&&g 0 k u&&g 0

(6.22)

alternativamente esta ecuación puede ser reescrita como:

Rd =

u&&0′ u&&g 0

(6.23)

donde u&&0′ es la aceleración máxima total de la masa 2 . Es evidente que el espectro de respuesta de la Figura 6.5 puede ser usado para predecir la respuesta de aceleración máxima de la masa, m, a un impulso de aceleración aplicada en la base, también como la respuesta de desplazamiento máxima debido a carga impulsiva. Cuando es utilizada la Figura 6.5 para este propósito es generalmente designada como espectro de choque.

6.6 ANÁLISIS APROXIMADO DE RESPUESTA PARA CARGA IMPULSIVA. El análisis del espectro de respuesta presentado en la Figura 6.5 conduce a dos conclusiones generales acerca de la repuesta de una estructura sujeta a carga impulsiva: 1.

Para cargas de larga duración, por ejemplo, t1 Tn > 1 , el factor de respuesta depende principalmente del valor del incremento de la carga hasta su valor máximo.

2.

Para cargas de corta duración, por ejemplo, t1 Tn <

1

4

, la amplitud del desplazamiento máximo u0 t1

depende principalmente de la magnitud del impulso aplicado I =

∫p

(t ) dt

y no es influenciada

0

fuertemente por la forma de la carga impulsiva. El factor de respuesta Rd sin embargo, es completamente independiente de la forma de la carga debido a que es proporcional a la relación del área del impulso con la amplitud máxima de la carga. Por tanto u0 es la medida mas significativa de la respuesta y esta ocurre durante la fase de vibración libre. A continuación es desarrollado un procedimiento aproximado para evaluar la respuesta máxima de un sistema sujeto a una carga impulsiva de corta duración. De acuerdo a la segunda ley de Newton si una fuerza p actúa en el cuerpo de masa m, el valor del cambio de momento del cuerpo es igual al valor de la fuerza aplicada, esto es: ∂ (m ⋅ u& ) =p ∂t 2

Para mayor referencia ver ecuación 3.5

(6.24)

63


para una masa constante esta ecuación es: m ⋅ u&& = p

(6.25)

integrando ambos lados con respecto de t: t2

∫ pdt = m ⋅ (u&

2

− u&1 ) = m ⋅ Δu&

(6.26)

t1

la integral en el lado izquierdo de esta ecuación es la magnitud del impulso, y el producto de la masa por la velocidad es el momento, esta ecuación establece que la magnitud del impulso es igual al cambio de momento. Este resultado es aplicable a un sistema simple, y debido a que la fuerza actúa por un infinitésimo periodo de tiempo los componentes de elasticidad y amortiguamiento no tienen tiempo de responder; es así que se tiene la respuesta después de la fase de excitación, es decir la respuesta en vibración libre:

u (t ) = u (t1 ) ⋅ cos ω n (t − t1 ) +

u& (t1 )

ωn

senω n (t − t1 )

en la cual el termino u (t1 ) es despreciable por ser extremadamente pequeño y la velocidad u& (t1 ) = Δu& , por tanto la ecuación anterior se puede escribir como: u (t )

1 = m ⋅ω n

⎛ t1 ⎞ ⋅ ⎜⎜ p (t ) dt ⎟⎟ ⋅ senω n (t − t1 ) ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠

∫

(6.27)

64


6.7 EJEMPLOS Respuesta máxima

Ejemplo 6.1

Hallar la respuesta máxima para la carga impulsiva tipo sinoidal, Figura 6.4, en los siguientes casos: a) La carga es un impulso de larga duración, considerando que: ω /ω n = 2/3 ó t1=3/4 Tn. b) La carga es un impulso de corta duración con: ω /ω n = 4/3 ó t1=3/8 Tn. c) La carga impulsiva resonante: ω =ω n.

Solución a) La respuesta máxima ocurre durante la fase de excitación, para este caso la ecuación 6.18 da: 2π ω ⋅t = = 45 π 1 + (3 / 2)

con este valor sustituyendo en la ecuación 6.15 tenemos: u (t ) = Rd = p 0

k

1 1 − (4 / 3) 2

( sen 4 5 π − 2 3 sen 6 5 π ) = 1.77

b) La respuesta ocurre en la fase de vibración libre, para este caso la ecuación 6.21 da: 2 ⋅ ( 43 ) π Rd = ⋅ cos = 1.31 2 2 ⋅ ( 43 ) 1 − ( 43 ) c) Con similar procedimiento, la máxima respuesta a la carga resonante, ω =ωn, se puede hallar de la ecuación 6.14 (ecuación de resonancia). En este caso la máxima respuesta ocurre al final de la carga impulsiva: 2π Tn = 1 t1 = 2 T n ωn

de estas dos ecuaciones se tiene: ω ⋅ t1 = π , reemplazado este valor en la ecuación 6.14: u (t ) p0 k

= R d = 12 ( senπ − π ⋅ cos π )

Rd =

π 2

= 1.57

65


Espectro de choque

Ejemplo 6.2

Como un ejemplo del uso del espectro de choque para evaluar la respuesta máxima en sistemas simples sujetos a cargas impulsivas considerar el sistema mostrado en la Figura 6.6 lo cual representa una estructura simple sometida una carga explosiva.

Peso total W=270 [ton]

p(t) 450 [ton]

Rigidez lateral total: k=1700 [ton/cm]

Carga explosiva p(t)

t1=0.05 [seg]

Resistencia elástica: fs=kv

t

Figura 6.6

Solución: Tn =

2π

ωn

= 2π

W 270 = 2π = 0.0799 kg 1700 ⋅ 981

La razón de impulso es: t1 0.05 = = 0.625 Tn 0.0799

De la Figura 6.5 el factor de respuesta de deformación es: R d = 1.31 por tanto el desplazamiento máximo es: u 0 = Rd

p0 450 = 1.31 ⋅ = 0.347 k 1700

y la fuerza elástica máxima que se desarrolla es: f s ,max = k ⋅ u 0 = 1700 ⋅ 0.347 = 590

[t]

Si el impulso debido a la explosión fuese de una duración t1=0.005 seg., El factor de deformación, Rd para esta razón de impulso, t1/Tn = 0.062 es: Rd = 0.24 y por tanto la fuerza elástica resistente: fs=198 [t]. Evidentemente para cargas impulsivas de muy corta duración, gran parte de la fuerza aplicada es resistida por la inercia de la estructura y el esfuerzo producido es muy pequeño que aquel debido a cargas de larga duración.

66


Respuesta máxima

Ejemplo 6.3

Considerar el pórtico de la Figura 6.7, que esta constituido por columnas metálicas de sección W8x18 y una viga rígida, el cual tiene un periodo natural Tn=0.5 seg. Despreciando el amortiguamiento determinar la máxima respuesta del pórtico sujeto a una carga impulsiva rectangular de amplitud 1800 kg. y una duración t1=0.2 seg. V iga rígida

p(t)

u0

6847.2 [kg m ]

W 8x18 W8x18

W8x18

4m 2749 [kg/cm 2]

fs =k u Resistencia elástica (a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6.7

Solución: t1 0.2 = = 0.4 Tn 0.5 R d = 2 sen

k tot =

∑k

col

= 2⋅

3EI

=

3

L

( u st )0 =

π ⋅ t1 Tn

= 2 sen π ⋅ 0.4 = 1.902

2 ⋅ 2100000 ⋅ 2576.47 400 3

= 507.24

p0 1800 = = 3.55 k 507.24

u 0 = R d ⋅ ( u st )0 = 3.55 ⋅1.902 = 6.75

[kg/cm]

[cm] [cm]

El momento flexionante se encuentra a partir de la fuerza estática equivalente: f s0 = k ⋅ u 0 = k ⋅ R d ⋅

p0 = R d ⋅ p 0 = 1.902 ⋅1800 = 3423.6 k

[kg]

debido a que las columnas son idénticas en sección y longitud se puede obtener el momento flexionante en la parte superior de las columnas. M =

fs 3423.6 ⋅h = ⋅ 4 = 6847.2 [kg·m] 2 2

el esfuerzo flexionante es grande en las fibras extremas del perfil de las columnas en la parte superior:

σ=

M ⋅ y M M M 6447.2 = I = I = = = 27.49 I s 249.08 y c

[kg/cm2]

67


Respuesta máxima

Ejemplo 6.4

Determinar la respuesta máxima, y su respectivo tiempo para el sistema de la Figura 6.8a, sujeto a una carga impulsiva mostrada en la Figura 6.8b.

üg

1.15 g

Peso W = 30 [ton]

k=3 [ton/cm]

0.3 seg

0.2 seg

Fase I (a)

Fase II

t Fase III

(b) Figura 6.8

Solución

La respuesta máxima es la mayor de las respuestas de las tres fases: 0 ≤ t1 ≤ 0.25 seg.

FASE I

0.2 ≤ t1 ≤ 0.5 seg.

FASE II

t1 ≥ 0.5 seg.

FASE III FASE I. La ecuación de equilibrio es:

m ⋅ u&& + k ⋅ u = p( t ) 2 Dividiendo entre la masa m y reemplazado ω n =

u&& + ω n 2 ⋅ u =

k m

se tiene:

p( t ) ⋅ ω n 2 k

De la ecuación de la recta ascendente se tiene: p( t ) = p o

t t1

ecuación tenemos: u&& + ω n 2 ⋅ u =

Resolviendo esta ecuación se tiene: La solución complementaria es:

p0 ⋅ω n 2 ⋅ t k ⋅ t1

u c = A cos ω n t + B sen ω n t

La solución particular es: up =

p0 t k t1

, reemplazando este valor en la anterior

68


La solución total es la suma de ambas: u ( t ) = A cos ω n t + B sen ω n t +

p0 t k t1

Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales en reposo: u ( 0 ) = u& ( 0 ) = 0 : A=0 u&( t ) = − Aω n sen ω nt + Bω n cos ω nt + B=−

p0 1 =0 k t1

p0 1 k ω n ⋅ t1

Por tanto: u( t ) = − u( t ) =

p0 1 p t sen ω n t + 0 k ω n ⋅ t1 k t1

p0 k ⋅ t1

⎛ ⎞ 1 ⎜t − ⎟ ⎜ ω sen ω n t ⎟ n ⎝ ⎠

Para hallar la máxima respuesta: sen ω n t = −1 3 2

ω nt = π t=

3 ⋅π 3 ⋅π = = 0.476 2 ⋅ ω n 2 ⋅ 9.905

[seg]

t > t1

0.476 > 0.2 seg. La respuesta máxima se da en le tiempo t=0.2 seg. p0 ⎛ p 1 ⎞ u ( 0. 2 ) = sen 9.905 ⋅ 0.2 ⎟ = 0.537 0 ⎜ 0. 2 − 9.905 k ⋅ 0. 2 ⎝ k ⎠ u&( t ) =

⎞ p0 ⎛ ω n ⎜1 − cos ω nt ⎟⎟ k ⋅ t1 ⎜⎝ ω n ⎠

u& ( 0.2 ) =

p0 p (1 − cos 9.905 ⋅ 0.2) = 6.994 0 k ⋅ 0. 2 k

FASE II. La ecuación de equilibrio:

u&& + ω n ⋅ u = 2

p( t ) ⋅ ω n 2 k

De la ecuación de la recta descendente se tiene: p( t ) = − p 0

t t2

anterior ecuación tenemos: u&& + ω n 2 ⋅ u =

Resolviendo esta ecuación se tiene: La solución complementaria es:

p0 ⋅ω n 2 k

⎛ t ⎜⎜1 − t 2 ⎝

u c = A cos ω n t + B sen ω n t

⎞ ⎟⎟ ⎠

+ p 0 , reemplazando este valor en la

69


La solución particular es: up =

p0 ⋅ ⎛ t ⎜⎜1 − k ⎝ t2

⎞ ⎟⎟ ⎠

La solución total es la suma de ambas: u ( t ) = A cos ω n t + B sen ω n t +

p0 k

⎛ t ⎜⎜1 − ⎝ t2

⎞ ⎟⎟ ⎠

Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales, condiciones de la FASE I p u ( 0) = u (t1 ) = 0.537 0 k p u& ( 0) = u& (t1 ) = 6.994 0 k p p p u (0) = A + 0 = 0.537 0 → A = −0.463 0 k k k p0 p0 = 6.994 u& ( 0) = B ⋅ ω n − k ⋅t2 k B=

Resolviendo para ωn·t:

u max = u ( 0.178) =

p0 p0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 6.994 + ⎟ → B = 1.043 k k ⋅ 9.905 ⎝ 0. 3 ⎠

u (t ) =

p0 k

⎛ t ⎜⎜ − 0.463 cos ω n t + 1.043senω n t + 1 − t2 ⎝

u& (t ) =

p0 k

⎛ 1 ⎜⎜ 0.463 ⋅ ω n senω n t + 1.043 ⋅ ω n cos ω n t − t 2 ⎝

ωnt= 0.729 ω t=-0.190

→ →

⎞ ⎟⎟ ⎠

t=0.0761 seg. t=0.178 seg

p0 ⎛ 0.178 ⎞ ⎜ − 0.463 cos 9.905 ⋅ 0.178 + 1.043sen9.905 ⋅ 0.178 + 1 − ⎟ k ⎝ 0. 3 ⎠ p u max = 1.519 0 k

FASE III. Vibración libre: ⎛ u& ( 0) u 0 = ⎜⎜ ⎝ ωn

2

⎞ ⎟ + u ( 0) 2 ⎟ ⎠

de la fase anterior: u ( 0 ) = u ( 0.3 ) = 0.633

p0 k

u& ( 0 ) = u& ( 0.3 ) = −12.739 2

p0 k 2

p ⎞ p ⎛ − 12.739 p 0 ⎞ ⎛ ⎟⎟ + ⎜⎜ 0.633 0 ⎟⎟ = 1.433 0 u 0 = ⎜⎜ k ⎠ k ⎝ 9.905 k ⎠ ⎝

⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠

70


Para hallar la máxima respuesta: u max = 1.519

m ⋅ u&&g 0 u&&g 0 p0 0.15 ⋅ g = 1.519 = 1.519 2 = 1.519 k k 9.905 2 ω u max = 2.278 [cm] t = 0.178 + 0.2 = 0.378 [seg]

Capítulo 7

RESPUESTA A CARGA DINAMICA GENERAL

7.1

INTEGRAL DE DUHAMEL p(t)

p(τ) t

τ

dτ

(t-τ) Respuesta du(t)

Figura 7.1

Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)

El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p(τ) actuando en el tiempo t=τ. Esta carga que actúa durante el intervalo corto de tiempo dτ produce un impulso de corta duración p(τ)dτ sobre la estructura y la ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para un intervalo de tiempo dτ, la respuesta producida por la carga p(τ) es: Para t >τ

du(t ) =

p(τ ) dτ mω n

senω n ⋅ (t − τ )

(7.1)

72


En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u durante el intervalo de tiempo dt. El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración dτ, es decir: u( t ) =

1 mω n

t

∫ p τ senω (t − τ )dτ ( )

(7.2)

n

0

esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas. En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo u (0) ≠ 0 y u& (0) ≠ 0 se añade la respuesta en vibración libre a la solución, entonces se tiene: u& ( 0)

u (t ) =

ωn

senω n t + u ( 0) cos ω n t +

t

1 mω n

∫ p τ senω ( )

n (t

− τ ) dτ

(7.3)

0

usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es: t

t

u( t ) =

7.2

p0 p ⎡ cos ω n (t − τ ) ⎤ p0 senω n (t − τ )dτ = 0 ⎢ (1 − cos ω nt ) ⎥ = mω n ⎣ ωn k mω n ⎦ 0 0

∫

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.

Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales, y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad trigonométrica sen(ω n t − ω nτ ) = senω n t ⋅ cos ω nτ − cos ω n t ⋅ senω nτ para reformular la ecuación 7.2:

u (t ) = senω n t

1 mω n

t

∫pτ

( )

⋅ cos ω nτ ⋅ dτ − cos ω n t

0

1 mω n

t

∫pτ

( )

⋅ senω nτ ⋅ dτ

0

ó u (t ) = A(t ) ⋅ senω n t − B (t ) ⋅ cos ω n t

(7.4)

donde: A(t ) =

1 mω n

t

∫pτ

( )

⋅ cos ω nτ ⋅ dτ

0

(7.5) B (t ) =

1 mω n

t

∫ p τ senω τ ⋅ dτ ( )

0

n

73


7.3

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.

El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración libre iniciada por un impulso diferencial p(τ)·dτ esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo estableciendo u(0)=0 y u& (0) = ( p (τ ) dτ ) / m en la ecuación 4.15 da: ⎡ p (τ ) dτ ⎤ du (t ) = e −ξω n (t −τ ) ⎢ senω D (t − τ )⎥ ⎢⎣ mω D ⎥⎦

(7.6)

la respuesta de la carga total arbitraria es: u (t ) =

t

1 mω D

∫pτ e ( )

−ξω n ( t −τ )

senω D (t − τ )dτ

(7.7)

0

para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma similar a la ecuación 7.4:

u (t ) = A(t ) ⋅ senω D t − B(t ) ⋅ cos ω D t

(7.8)

donde en este caso: A(t ) = B(t ) =

t

1 mω D 1 mω D

∫

p (τ )

0 t

∫pτ

( )

0

e ξω nτ e ξω nt e

ξω nτ

e ξω n t

cos ω Dτ ⋅ dτ

(7.9) senω Dτ ⋅ dτ

Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p(τ) toma el valor de:

p (τ ) = m ⋅ u&&g (τ )

7.4

(7.10)

EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA 1

La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la excitación (fuerza aplicada p(t) o aceleración del suelo u&&g (t ) ) varía arbitrariamente con el tiempo, o si el sistema no es lineal. Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de cálculos utilizando interpolación lineal, el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser desarrollado para sistemas lineales. La Figura 7.2 muestra una función de excitación en forma general, la cual es aproximada a través de una serie de líneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña, es decir, si el intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación lineal es satisfactoria. La función de excitación para el intervalo de tiempo t i ≤ t ≤ t i +1 está dada por: p (τ ) = p i + 1


Δp i τ Δt i

(7.11)

74


donde: Δp i = p i +1 − p i

(7.12)

y la variable de tiempo τ varía de 0 a Δti. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin amortiguamiento. Para este caso la ecuación a ser resuelta es: m ⋅ u&& + k ⋅ u = p i +

Δp i τ Δt i

(7.13)

p(t) pi+1

Real

pi Interpolado: p(τ)

Δti ti

ti+1

t

τ

Figura 7.2

Interpolación lineal

La respuesta u(τ) para 0 ≤ τ ≤ Δt i es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al desplazamiento inicial ui y velocidad u& i para τ=0. (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero. (3) la respuesta para (Δpi/Δti)·τ con condiciones iniciales de cero. Adoptando las soluciones disponibles de los párrafos precedentes para estos tres casos la respuesta total es:

u (τ ) = u i ⋅ cos ω nτ +

u& i

ωn

senω nτ +

Δp pi (1 − cos ω nτ ) + i k k

⎛ τ senω nτ ⎜ ⎜ Δt − ω ⋅ Δt n i ⎝ i

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

y

(7.14)

u& (τ )

ωn

= −u i ⋅ senω nτ +

u& i

ωn

cos ω nτ +

pi Δp 1 senω nτ + i (1 − cos ω nτ ) k k ω n ⋅ Δt i

Evaluando estas ecuaciones para τ=Δti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad u& i +1 en el tiempo i+1: u i +1 = u i cos(ω n ⋅ Δt i ) +

u& i

ωn

sen(ω n ⋅ Δt i ) +

pi [1 − cos(ω n ⋅ Δt i )] + Δp i 1 [ω n ⋅ Δt i − sen(ω n ⋅ Δt i )] k k ω n ⋅ Δt i

(7.15) u& i +1

ωn

Δp p 1 = −u i sen(ω n ⋅ Δt i ) + cos(ω n ⋅ Δt i ) + i sen(ω n ⋅ Δt i ) + i [1 − cos(ω n ⋅ Δt i )] ωn k k ω n ⋅ Δt i u& i

75


Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7.12 como fórmulas recurrentes: u i +1 = A ⋅ u i + B ⋅ u& i + C ⋅ p i + D ⋅ p i +1

(7.16) u& i +1 = A′ ⋅ u i + B ′ ⋅ u& i + C ′ ⋅ p i + D ′ ⋅ p i +1

estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados, las cuales tienen sus respectivas expresiones para los coeficientes A, B,..., D’; y éstas están dadas en la Tabla 2 5.2.1 [ref .12] para sistemas subamortiguados; cuyo título es: “Coeficientes para las fórmulas recurrentes (ξ < 1)”.

2

Anil K. Chopra, pp 159 [ref. 12]

76


7.5

EJEMPLOS

Ejemplo 7.1 3

Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento

Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura. histograma de carga

w=96.6 k

p(t)

p(t) 96.6 k

k=2700 k/ft

0.025 s

0.025 s

t

fs Figura 7.3

Solución

Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo. Cálculos adicionales Gravedad [ft/s2]:

g := 32.3

Frecuencia natural:

ω n :=

k⋅g w

Periodo natural:

Tn := 2 ⋅

π ωn

Primera fase, para 0
∫

t

0

p ( x ) ⋅ cos(ω n ⋅ x)dx

Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]

B(t ) :=

t

∫p 0

( x)

⋅ sen(ω n ⋅ x)dx

77


La respuesta de desplazamiento es: u (t ) :=

(

32.3 A(t ) ⋅ sen(ω n ⋅ t ) − B(t ) ⋅ cos(ω n ⋅ t ) w ⋅ω n

)

La respuesta de fuerza elástica es:

f (t ) := k ⋅ u (t ) 4

La respuesta de velocidad es: v (t ) :=

d dt

u (t ) →

Segunda fase, para 0.025
tr := 0.025 u (tr ) = 3.271 ⋅10 −3

velocidad inicial [ft/s]:

v (tr ) = 0.385

Evaluación de 5 C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel: C ( j ) :=

∫

j

0

p (τ ) ⋅ cos(ω n ⋅ τ )dτ

D( j ) :=

La respuesta de desplazamiento es: v (tr ) ⎛ 32.3 res ( j ) := ⋅ sen(ω n ⋅ j ) + u (tr ) ⋅ cos(ω n ⋅ j ) + ⎜⎜ ωn ⎝ w ⋅ω n

∫

j

0

p (τ ) ⋅ sen(ω n ⋅ τ )dτ

⎞ ⎟ ⋅ C ( j ) ⋅ sen(ω n ⋅ j ) − D( j ) ⋅ cos(ω n ⋅ j ) ⎟ ⎠

(


fuerza( j ) := k ⋅ res ( j ) La respuesta de velocidad es:

vel ( j ) :=

d dj

res ( j ) →

Tercera fase, para vibración libre t>0.05 las condiciones iniciales para esta fase son: tiempo inicial [s]: desplazamiento inicial[ft]: velocidad inicial [ft/s]:

4 5

ù(t)=v(t) C(t)=C(j)

to := 0.05 res (0.05−tr ) = 0.017

vel (0.05−tr ) = 0.563

)

78


La respuesta de desplazamiento para vibración libre es: ⎛ vel (0.05−tr ) ⎞ ⎟ ⋅ sen(ω n ⋅ s) + res (0.05−tr ) ⋅ cos(ω n ⋅ s ) reslib( s ) := ⎜⎜ ⎟ ωn ⎝ ⎠ La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:

flib( s ) := k ⋅ reslib( s )

las graficas de respuesta en las tres fases son: Respuesta de Fuerza Elástica 100 75

fueza elástica [k]

50 25 0 25 50 75 100 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.2

0.25

tiempo [s]

Respuesta máxima:

Fuerza[k]=69.214

en un tiempo [s]=0.0772

Respuesta de Desplazamiento 0.04 0.03

desplazamiento [ft]

0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0

0.05

0.1

0.15 tiempo [s]

Respuesta máxima:

Desplazamiento[ft]=0.025635


79


Ejemplo 7.2 6

Integral de Duhamel para un sistema con amortiguamiento

Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.4 que tiene una razón de amortiguamiento ξ=5%, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura. histograma de carga

w=96.6 k

p(t)

p(t) 96.6 k

k=2700 k/ft

0.025 s

0.025 s

t

fs Figura 7.4

Solución

Cálculos adicionales Gravedad [ft/s2]:

g := 32.3

Frecuencia natural:

ω n :=

k⋅g w

Razón de amortiguamiento:

π ωn ξ := 0.05

Frecuencia de amortiguamiento:

ω D := ω n ⋅ 1 − ξ 2

Tn := 2 ⋅

Periodo natural:

Primera fase, para 0
6

∫

t

0

p ( x) ⋅

e ξ ⋅ω n ⋅ x e ξ ⋅ω n ⋅t

⋅ cos(ω D ⋅ x) dx

Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]

B (t ) :=

∫

t

0

p ( x) ⋅

e ξ ⋅ω n ⋅ x e ξ ⋅ω n ⋅t

⋅ sen(ω D ⋅ x) dx

80


La respuesta de desplazamiento es: u (t ) :=

(

32.3 A(t ) ⋅ sen(ω D ⋅ t ) − B(t ) ⋅ cos(ω D ⋅ t ) w ⋅ω D

)


f (t ) := k ⋅ u (t ) 7

La respuesta de velocidad es: v (t ) :=

d dt

u (t ) →

Segunda fase, para 0.025
tr := 0.025 u (tr ) = 3.211 ⋅10 −3

v (tr ) = 0.376

velocidad inicial [ft/s]: Evaluación de 8 C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel: C ( j ) :=

∫

j

0

p (τ ) ⋅

e ξ ⋅ω n ⋅τ e ξ ⋅ω n ⋅ j

cos(ω D ⋅ τ ) dτ

D ( j ) :=

∫

j

0

p (τ ) ⋅

e ξ ⋅ω n ⋅τ e ξ ⋅ω n ⋅ j

sen(ω D ⋅ τ ) dτ

La respuesta de desplazamiento es: ⎡ ⎤ 32.3 ⎡ v (tr ) + ξ ⋅ ω n ⋅ u (tr ) ⎤ res ( j ) := e −ξ ⋅ω n ⋅ j ⎢u (tr ) cos(ω D ⋅ j ) + ⎢ ⋅ C ( j ) sen(ω D ⋅ j ) − D( j ) cos(ω D ⋅ j ) ⎥ sen(ω D ⋅ j ) ⎥ + ωD ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ w ⋅ ω D ⎣⎢

(


fuerza ( j ) := k ⋅ res ( j ) La respuesta de velocidad es:

vel ( j ) :=

d dj

res ( j ) →

Tercera fase, para vibración libre t>0.05 las condiciones iniciales para esta fase son: tiempo inicial [s]: desplazamiento inicial[ft]: velocidad inicial [ft/s]:

7 8

ù(t)=v(t) C(t)=C(j)

to := 0.05 res (0.05−tr ) = 0.017

vel(0.05−tr ) = 0.52

)

81


La respuesta de desplazamiento para vibración libre es: vel (0.05−tr ) + ξ ⋅ ω n ⋅ res (0.05−tr ) ⎡ ⎤ reslib( s ) := e −ξ ⋅ω n ⋅s ⋅ ⎢res (0.05−tr ) ⋅ cos(ω D ⋅ s) + ⋅ sen(ω D ⋅ s)⎥ → ωD ⎣⎢ ⎦⎥ La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:

flib( s ) := k ⋅ reslib( s ) las graficas de respuesta en las tres fases son: Respuesta de Fuerza Elástica 100 75

fueza elástica [K]

50 25 0 25 50 75 100 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

tiempo [s]

Respuesta máxima:

Fuerza[k]=64.1402

en un tiempo [s]=0.0758 Respuesta de Desplazamiento

0.03 0.0225

desplazamiento [ft]

0.015 0.0075 0 0.0075 0.015 0.0225 0.03 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

tiempo [s]

Respuesta máxima:

Desplazamiento[ft]=0.023756


Capítulo 8

RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS LINEALES

8.1

MOVIMIENTO DEL SUELO

Las vibraciones del suelo producidos por movimiento sísmico en un sitio específico dependen de la proximidad de éste a la fuente de origen, de las características del sitio y de la atenuación de la aceleración pico. La amplitud, frecuencia y el tiempo de duración son requeridos para clasificar el movimiento, y estos parámetros se obtienen a partir de acelerogramas registrados en diferentes puntos. Estos registros son utilizados para demarcar áreas o zonas con similar potencial de riesgo sísmico, tomando en cuenta la frecuencia de ocurrencia, la predicción de la magnitud máxima del sismo, la probabilidad de excedencia de esta magnitud, la distancia al origen, la localización de la falla de origen y los detalles geológicos del área. Estas demarcaciones son presentadas como mapas de riesgo sísmico que contienen zonas correspondientes a aceleraciones pico del suelo.

8.2

RESPUESTA DINÁMICA DE LA ESTRUCTURA

Las cargas gravitatorias que actúan sobre la estructura son fuerzas estáticas, las cuales son independientes del tiempo; en cambio las fuerzas sísmicas que actúan en la estructura, por efecto de la vibración variable del suelo causan una respuesta dependiente del tiempo. La respuesta generada depende de la magnitud y duración de la excitación, de las propiedades dinámicas de la estructura y de las características de los depósitos de suelo en el lugar. La vibración del suelo se amplifica en la estructura dependiendo del periodo fundamental de ésta, en mayor o menor medida. El efecto del amortiguamiento o resistencia a la fricción de la estructura en la vibración impuesta influye en la magnitud y duración del movimiento inducido, y usualmente se asume para edificios normales un amortiguamiento del 5 % (ξ=0.05).

8.3

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

La ecuación que gobierna el movimiento de un sistema simple (Figura 8.1) sujeto a la aceleración del suelo üg(t) es la ecuación 3.8; dividiendo esta ecuación por la masa se obtiene:

u&& + 2ξ ⋅ ω n ⋅ u& + ω n 2 ⋅ u = −u&&g (t )

(8.1)

83

Respuesta sísmica a sistemas lineales

u' u

m

ug

u' c

c k k ug (a)

(b)

Figura 8.1

Sistema simple de un grado de libertad (SDF)

Está claro que para una üg(t) dada, la respuesta u(t) del sistema depende solo de la frecuencia natural, ωn, o del periodo natural del sistema, Tn, y del amortiguamiento, es decir u ≡ u (t , Tn , ξ ) . La aceleración del suelo durante un sismo varía irregularmente, por tal motivo la solución analítica de la ecuación de movimiento debe ser descartada, por tanto es necesario el empleo de métodos numéricos para determinar la respuesta estructural.

8.4

ESPECTRO DE RESPUESTA

8.4.1

Cantidades de Respuesta

La deformación del sistema o el desplazamiento relativo u(t) de la masa es la respuesta de mayor interés por estar relacionada linealmente a las fuerzas internas (momentos flexionantes, cortantes en vigas y columnas).

8.4.2

Histograma de Respuesta

Para una üg(t) del suelo, la respuesta de deformación u(t) de un SDF depende sólo de Tn y del amortiguamiento del sistema. La Figura 8.2(a) muestra la respuesta de deformación de tres diferentes sistemas debido a la aceleración del suelo de El Centro 1 , notándose la deformación pico en cada caso; se observa que de estos tres sistemas, aquel que tiene el Tn mayor también tiene la deformación pico más grande. La Figura 8.2(b) muestra la respuesta de deformación de tres sistemas sujetos al mismo movimiento; en ésta se hace variar el amortiguamiento y el Tn se mantiene constante, se observa que la respuesta del sistema con mayor amortiguamiento es menor que la del sistema con amortiguamiento leve. Una vez que se ha evaluado la respuesta de deformación u(t) por análisis dinámico de la estructura, las fuerzas internas pueden determinarse mediante un análisis estático de la estructura en cada instante de tiempo. Basado en el concepto de la Fuerza Estática Equivalente fs: f s (t ) = k ⋅ u (t ) (8.2) Donde k es la rigidez lateral del sistema, y expresada la ecuación anterior en términos de la masa se tiene:

f s (t ) = m ⋅ ω n 2 ⋅ u (t ) = m ⋅ A(t ) 1

Componente N-S del movimiento del suelo registrado durante el sismo del Centro, California; 18 de Mayo de1940

(8.3)

84


donde: A(t ) = ω n 2 ⋅ u (t ) ξ = 0.02

T n = 0.5 [s]

ξ=0

T n = 2 [s]

9.91 in

10

10

0

0 2.67 in

-10

-10

ξ = 0.02

T n = 1 [s]

0 5.97 in

-10

10 0 -10

10

0

0

10

5.37 in

-10

7.47 in

0

20 Tiempo, [s]

30

10

0

(a)

Figura 8.2

ξ = 0.05

T n = 2 [s]

10

-10

7.47 in

ξ = 0.02

T n = 2 [s]

ξ = 0.02

T n = 2 [s]

10

Deformación

Deformación u [in]

(8.4)

20 Tiempo, [s]

30

(b)

Respuesta de deformación de un sistema SDF para el sismo del Centro

A(t) es llamada seudo aceleración o aceleración espectral del sistema, cuya respuesta puede ser calculada a partir de la respuesta de desplazamiento, u(t); dicho concepto es ilustrado en la Figura 8.3. ξ = 0.02

T n = 0.5 [s] 1.2 0

Seudoaceleración, A·g

-1.2

1.09 ·g

ξ = 0.02

T n = 1 [s] 1.2 0 0.610 ·g

-1.2

ξ = 0.02

T n = 2 [s] 1.2 0

0.191 ·g

-1.2 0

Figura 8.3

10

20 Tiempo, [s]

30

Respuesta de seudo aceleración de un sistema SDF al sismo del Centro

85


Para un pórtico simple las fuerzas internas de corte y momento en las columnas y vigas pueden ser determinadas mediante análisis estático sujeta a una fuerza lateral estática equivalente, fs(t), en un instante de tiempo seleccionado. Por tanto el análisis estático de la estructura será necesario en cada instante de tiempo de la respuesta. De este modo la cortante basal, Vb(t), y el momento volcador, Mb(t), se pueden determinar a partir de:

Vb ( t ) = f s ( t )

M b (t ) = h ⋅ f s (t )

(8.5)

f s (t) h

Vb (t) M b (t)

üg (t) / g

Figura 8.4

0.4 0 -0.4 0

T n = 0.5 [s]

Fuerza estática equivalente

10

20 Tiempo, [s] (a)

30

ξ = 0.02 10

m

0 2.67 in

m

5.97 in

-10 10

10

5

0 -10

7.47 in

ξ = 0.02

15

0

5.97 in

T n = 2 [s]

10

2.67 in

m

20

[in]

ξ = 0.02

D = uo

T n = 1 [s]

Deformación u [in]

-10

7.47 in

0 0

10

20 Tiempo, [s] (b)

Figura 8.5

30

0

1

2 T n, [s]

3

(c)

(a) Aceleración del suelo (b) Respuesta de deformación de tres sistemas SDF con ξ=2% y Tn=0.5; 1; 2 seg. (c) Espectro de Respuesta de Deformación para ξ=2%

86


8.4.3

Concepto del Espectro de Respuesta

En ingeniería sísmica, el espectro de respuesta da un significado conveniente al sumario de respuestas pico de todos los posibles sistemas simples (SDF) sujeto a un componente particular de movimiento del suelo, también provee aproximaciones prácticas para aplicar los conocimientos de dinámica estructural. Una gráfica de valores pico de respuesta de una cantidad como función del periodo natural de vibración del sistema o cualquier parámetro relacionado como ωn o fn es llamado espectro de respuesta para esa cantidad.

8.4.4

Espectro de Respuesta de Deformación

Este espectro es una gráfica de u0 contra Tn para un ξ fijo. La Figura 8.5 ayuda a entender el procedimiento para determinar el espectro, dicho espectro es desarrollado para el movimiento sísmico de El Centro, Figura 8.5(a). La variación de la deformación inducida por el movimiento del suelo es mostrada en la Figura 8.5(b). Para cada sistema el valor pico de deformación es determinado del histograma de deformación. El valor de la amplitud u0 determinado para cada sistema provee una coordenada o punto en el espectro de respuesta de deformación. Repitiendo estos cálculos para un rango de valores de Tn, mientras ξ se mantiene constante, provee el espectro de respuesta de deformación, Figura 8.5(c).

8.4.5

Espectro de Respuesta de Seudo Velocidad

20

5 0

0

7.47

5.97

10 2.67

D, [in]

15

1

2

3

33.7

50

23.5

V , [in/s]

40

37.5

T n, [s] (a)

30 20 10 0

0

1

2

3

T n, [s] (b) 1.09

1

0.610

A·g

1.5

0

0.191

0.5

0

1

2

3

T n, [s] (c)

Figura 8.6

Espectro de respuesta (ξ=2%) para el sismo de El Centro: (a) Espectro de respuesta de Deformación (b) Espectro de respuesta de Seudo Velocidad (c) Espectro de respuesta de Seudo Aceleración.

87


Considerar una cantidad V para un sistema simple con una frecuencia natural, ωn, relacionado con su deformación pico D ≡ u 0 debido al movimiento del suelo por: V = ωn ⋅ D =

2π D Tn

(8.6)

Donde V es llamada seudo velocidad pico, el prefijo seudo es usado porque V ≠ u& 0 aunque tengan las mismas unidades. Debido a esta relación es posible trazar el espectro de respuesta de seudo velocidad, como se muestra en la Figura 8.6.

8.4.6

Espectro de Respuesta de Seudo Aceleración

Considerar una cantidad A para un sistema simple con una frecuencia natural, ωn, relacionado con su deformación pico D ≡ u 0 debido al movimiento del suelo por: ⎛ 2π A = ω n 2 ⋅ D = ⎜⎜ ⎝ Tn

2

⎞ ⎟ D ⎟ ⎠

(8.7)

Donde A es llamada seudo aceleración pico; el prefijo seudo es usado porque A ≠ u&&0′ . El espectro de respuesta de la seudo aceleración es trazado en función de Tn en la Figura 8.6.

8.4.7

Espectro de Respuesta Combinado D-V-A

100

0

10

ξ = 0.02

10

50 23.5

20

1· g 19

in D ,

1

0.

1

0.

47

·g

5

7.

A

V , [in/s]

10

10

0.

0.

01

2

1

1

0.

01 0.

00 1

0.5 0.2 0.02

0.05 0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

20

50

Periodo natural de vibración T n, [s] Figura 8.7

Espectro de respuesta combinado D-V-A para el sismo de El Centro, ξ=2%

Los tres espectros proveen directamente cantidades físicas significativas, es por esta razón que son necesarios. El espectro de deformación provee la deformación pico del sistema; el espectro de seudo velocidad está relacionado

88


directamente con la energía pico almacenada en el sistema durante un sismo; el espectro de seudo aceleración está relacionado directamente con el valor pico de la fuerza estática equivalente y el cortante basal. Para propósitos prácticos de diseño las tres cantidades espectrales pueden ser representados en un solo gráfico; esta representación es posible gracias a que las tres cantidades están interrelacionadas por las ecuaciones 8.6 y 8.7. Tn 2π A =V = D 2π Tn

(8.8)

Debido a esta interrelación estas cantidades se pueden graficar en un papel tetralogarítmico 2 , como se ve en la Figura 8.7.

8.4.8

Construcción del Espectro de Respuesta

El espectro de respuesta para un componente üg(t) de movimiento del suelo puede ser desarrollado a partir de los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definición numérica de la aceleración del suelo, üg(t): típicamente, las ordenadas del movimiento del suelo son definidas cada 0.02 segundos. Seleccionar el periodo natural de vibración Tn y la relación de amortiguamiento ξ de un sistema SDF. Calcular la respuesta de deformación u(t) de este sistema debido al movimiento del suelo üg(t) por cualquier método numérico. Determinar la amplitud máxima, u0. Las ordenadas espectrales son: D=u0, V=(2π/Tn)D, y A=(2π/Tn)2D. Repetir los pasos del 2 al 5 para un rango de valores Tn y ξ. Presentar los resultados de los pasos 2 al 6 gráficamente, ya sea por separado o combinados.

CARACTERÍSTICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

8.5

En la Figura 8.8 se muestra el espectro de respuesta para el movimiento sísmico de El Centro junto con los valores pico de u g 0 , u& g 0 , u&&g 0 del suelo correspondientes a dicho movimiento sísmico; dichos parámetros serán de utilidad para la construcción del espectro de diseño. La Figura 8.9 muestra el espectro de respuesta para 5 % de D V A , y , junto con una versión idealizada del mismo. amortiguamiento usando escalas normalizadas: u g 0 u& g 0 u&&g 0 Sobre la base de las Figuras 8.8 y 8.9 se estudian las propiedades del espectro de respuesta para varios rangos de periodos de vibración, los cuales están delimitados por valores de periodos en a, b, c, d, e y f.

2

Para sistemas de periodos de muy corta duración TnTf el desplazamiento D para cualquier valor de amortiguamiento se aproxima a ug0 y A es muy pequeño. Se puede entender esta tendencia sobre la base del siguiente razonamiento; para una masa fija, un sistema con periodo largo de vibración es extremadamente flexible, es de esperarse que la masa permanezca esencialmente estacionaria, mientras que el suelo que está por debajo se encuentra en movimiento.


89


Para sistemas con periodos cortos Ta
100 10

0 10

50 20

o

1

0. 1

ug ,

g

D

0. 31 9·

0. 01

= o

üg

1 0.

1

40 8.

·g

2

=

1

in

5 A

V , [in/s]

10

u·go = 13.04

10

01 0.

0. 00 1

0.5 0.2 0.02

0.05 0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

20

50

Periodo natural de vibración T n, [s]

Figura 8.8

Espectro de repuesta (ξ=0; 2; 5; 10 %) y valores pico de la aceleración, velocidad y desplazamiento del suelo para el sismo de El Centro.

En base a estas observaciones el espectro es dividido en tres rangos de periodo: La región en la cual Tn>Td es llamada región sensitiva de desplazamiento, debido a que la respuesta estructural esta más directamente relacionada con el desplazamiento del suelo. La región en la cual Tn
90


ciclos, el efecto del amortiguamiento es grande para sistemas próximos a la resonancia; y si el movimiento del suelo es de corta duración con solo unos pocos ciclos, la influencia del amortiguamiento es pequeño y hasta despreciable, como es el caso de cargas impulsivas.

Regiones Espectrales Aceleración

Velocidad

Desplazamiento

Sensitiva

Sensitiva

Sensitiva

10 0

10 5

10

c T d = 3.0

1

e

in , D

T e = 10

0. 1

T b = 0.125

0. 01

T a = 0.035

0.05

01 0.

0.1

1 0.

·g

0.2

f T f = 15

b

A

V , [in/s]

0.5

1

1

d T c = 0.5

10

2

a

1 00 0.

0.02 0.02

0.05

0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

20

50


Figura 8.9

8.6

Espectro de respuesta para el sismo de El Centro mostrado por una línea continua, junto con una versión idealizada mostrada por una línea discontinua, para un ξ=5 %

ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO

Para propósitos de diseño el espectro de respuesta es inapropiado; la forma dentada en el espectro de respuesta es característico de una sola excitación, el espectro de respuesta para otro movimiento del suelo registrado en el mismo sitio durante un sismo diferente es también dentado, pero los picos y valles no son necesariamente en los mismos periodos; igualmente no es posible predecir el espectro de respuesta con todos sus detalles para un movimiento del suelo que pueda ocurrir en el futuro. De este modo el espectro de diseño debe consistir de un grupo de curvas suavizadas o una serie de curvas rectas con una curva para cada nivel de amortiguamiento. El espectro de diseño debe ser representativo de movimientos del suelo registrados en el sitio durante sismos pasados, sino existe registros sísmicos en el lugar entonces el espectro de diseño se debe basar en movimientos del suelo registrados en otros sitios bajo condiciones similares. Los factores que influyen en esta selección son: la magnitud del sismo, la distancia del sitio a la falla sísmica, el mecanismo de falla, la geología presente en la trayectoria del viaje de las ondas sísmicas y las condiciones locales del suelo en el sitio. El espectro de diseño se basa en un análisis estadístico del espectro de respuesta para un conjunto de movimientos del suelo. Para una serie de registros sísmicos a cada periodo natural le correspondería un número i de valores espectrales igual al número de registros de movimientos del suelo. El análisis estadístico de estos datos provee la distribución de probabilidades para las ordenadas espectrales, el valor de la media y la desviación estándar para cada periodo Tn. Conectando todos lo valores medios se obtiene el espectro de respuesta medio en forma normalizada, y el espectro de respuesta de la media mas una desviación estándar es obtenida de forma

91


similar. En la Figura 8.10 se observa que estos dos espectros son mas suavizados que el espectro de respuesta para un solo movimiento del suelo (Figura 8.8).

5

10 0

10

Media + 1 σ

d

D

10

/ü

c

/u

go

10

A

2

T d = 3.135

01 0.

0.1

T b = 1/ 8

T a = 1/ 33

1 0.

0.2

f 0. 01

a

0.05

T f = 33

e T e = 10

0.5

Media

0. 1

V / ugo

·

b

1

1 T c = 0.349

go

1

1 00 0.

0.02 0.02

0.05

0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

20

50


Espectro de respuesta medio y medio mas una desviación estándar con una distribución de probabilidad para V en Tn=0.25;1 y 4 seg. y ξ=5%. La línea discontinua muestra un espectro de diseño idealizado.

Como se muestra en la Figura 8.10 la curva suavizada del espectro puede ser idealizada por una serie de líneas rectas mucho mejor que el espectro correspondiente a un movimiento individual (Figura 8.9).

Espectro de diseño elástico

c

αV · u·go

d αD ·u

·ü

αA üg

o

o

Seudovelocidad, (escala log.)

go

go

ug

b

e

u· go

f Aceleración pico del suelo, velocidad y desplazamiento a

1/ 33 [s] 33 [hz]

1/ 8 [s] 33 [hz]

10 [s] 1/10 [hz]

Periodo natural de vibración T n, (escala log.) Figura 8.11

Construcción del espectro de diseño elástico

33 [s] 1/33 [hz]

92


Se han desarrollado varios procedimientos para construir dicho espectro de diseño a partir de parámetros de movimiento del suelo. Uno de estos procedimientos se ilustrado en la Figura 8.11. los valores recomendados de periodos Ta, Tb, Te y Tf y los factores de amplificación para las tres regiones espectrales se desarrollan a partir de un análisis de un conjunto de movimientos del suelo registrados en terreno firme (roca, roca suave, y sedimentos competentes). Los factores de amplificación para dos diferentes probabilidades de no excedencia: 50% y 84.1% se dan en la Tabla 8.1 para varios valores de amortiguamiento y en la Tabla 8.2 como una función de la relación de amortiguamiento. La probabilidad del 50% de no excedencia representa el valor medio de las ordenadas espectrales, y el 84.1% representa el valor de la media mas una desviación estándar asumiendo una distribución de probabilidad log-normal para las ordenadas espectrales 3 .

αA

αV

αD

αA

αV

αD

1 2 5 10 20

3.21 2.74 2.12 1.64 1.17

2.31 2.03 1.65 1.37 1.08

1.82 1.63 1.59 1.20 1.01

4.38 3.66 2.71 1.99 1.26

3.38 2.92 2.30 1.84 1.37

2.73 2.42 2.01 1.69 1.38

Tabla 8.1

Factores de Amplificación: Espectro de Diseño Elástico

Media (50%)

Desviación estándar, 1 σ (84.1 %)

αA

3.32 – 0.68 ln ξ

4.38 – 1.04 ln ξ

αV

2.31 – 0.41 ln ξ

3.38 – 0.67 ln ξ

αD

1.82 – 0.27 ln ξ

2.73 – 0.45 ln ξ

Tabla 8.2

8.6.1

Desviación estándar, 1 σ (84.1 %)

Media (50%)

Amortiguamiento ξ (%)

Factores de Amplificación: Espectro de Diseño Elástico

Construcción del espectro de diseño

A partir de la Figura 8.11 se desarrolla el siguiente procedimiento para la construcción del espectro de diseño: 1.

Graficar la línea discontinua correspondiente a los valores pico del suelo: u g 0 , u& g 0 , u&&g 0 para el

2. 3.

movimiento del suelo de diseño. Obtener a partir de las tablas 8.1 y 8.2 los valores para αA, αV y αD para un ξ seleccionado. Multiplicar u&&g 0 por el factor de amplificación αA para obtener la línea recta b-c, que representa un valor

4.

constante de seudo aceleración, A. Multiplicar u& g 0 por el factor de amplificación αV para obtener la línea recta c-d, que representa un valor

5.

constante de seudo velocidad, V. Multiplicar u g 0 por el factor de amplificación αD para obtener la línea recta d-e, que representa un valor constante de deformación, D.

3



93

6.

Dibujar la línea A = u&&g 0 para periodos menores que Ta y la línea D = u g 0 para periodos mayores que Tf.

7.

Las líneas de transición a-b y e-f completan el espectro.

Observar que los valores de periodos asociados con los puntos a ,b, e, f en el espectro son fijos, los valores de la Figura 8.11 son para suelo firme. Los puntos c y d se encuentran a partir de la intersección de las constante-A, constante-V, constante-D del espectro. La localización de estos puntos de intersección varia con la relación de amortiguamiento, ξ, porque estos dependen de los factores de amplificación αA, αV y αD.

Capítulo 9

RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES

9.1

INTRODUCCION.

Se ha visto que para un sistema linealmente elástico la cortante basal pico inducida por el movimiento del suelo es: Vb=(A/g)·w donde w es el peso del sistema, A, es la aceleración espectral correspondiente a un periodo de vibración natural y un amortiguamiento determinado. Sin embargo la mayoría de los edificios son diseñados para cortantes basales menores que la cortante basal asociada con un temblor fuerte que puede ocurrir en el sitio. A partir de la Figura 9.1, donde el coeficiente de cortante basal, A/g, es graficada para el espectro de diseño correspondiente a la aceleración pico del suelo de 0.4g, además es comparado con el coeficiente de cortante basal especificado en el Código Uniforme de la Edificación de 1997 (UBC 97). Se observa una gran disparidad, que implica que los edificios diseñados a partir de las fuerzas propuestas por el código se deformarán más allá del límite elástico cuando estén sujetos a movimientos del suelo representados por el espectro de diseño para 0.4g. 1.2

Coeficiente de Cortante Basal

1.0

Espectro de Diseño Elástico ügo = 0.4·g

0.8

0.6

0.4

Código Uniforme de la Edificación R = 4 a 12

0.2

0.0

1

2

3


Figura 9.1

Comparación entre coeficientes de cortante basal a partir del espectro de diseño y UBC

De este modo no es de sorprenderse que los edificios sufran daños durante un movimiento intenso del suelo. El reto para el ingeniero es de diseñar las estructura de tal forma que el daño sea controlado dentro un rango

95

Respuesta sísmica a sistemas no lineales

aceptable; obviamente el diseño fracasará si el sismo causa daños severos los cuales no pueden ser reparados, o si se produce el colapso de la estructura. De este modo la importancia central en ingeniería sísmica es comprender la respuesta de las estructuras deformadas dentro el rango inelástico durante un movimiento intenso del suelo. Este capítulo trata sobre este importante punto. Se hace una introducción al sistema elastoplástico y se describen los parámetros correspondientes a dicho sistema, se presenta la ecuación de movimiento y se identifican varios parámetros que describen el sistema y la excitación. Entonces se comparan la respuesta de sistemas elásticos e inelásticos con el objeto de comprender como la fluencia influye en la respuesta estructural.

9.2

RELACIÓN FUERZA-DEFORMACIÓN

Los resultados experimentales indican que el comportamiento cíclico de la relación fuerza-deformación de una estructura depende principalmente del material y del sistema estructural.

9.2.1

Idealización elastoplástica

fs Real

f

y

Idealizado

uy Figura 9.2

um

u

Curva fuerza deformación durante la carga inicial: real e idealización elastoplástica.

Considerar la relación fuerza-deformación para una estructura durante su carga inicial mostrada en la Figura 9.2. Resulta conveniente idealizar esta curva por una relación fuerza-deformación elastoplástica debido a que esta aproximación permite desarrollar el espectro de respuesta en forma similar a un sistema linealmente elástico. La aproximación elastoplástica a la curva real de fuerza-deformación esta representada en la Figura 9.2, de tal forma que las áreas bajo las dos curvas son las mismas para un valor de desplazamiento máximo, um. En el proceso inicial de carga este sistema idealizado es linealmente elástico con una rigidez k mientras la fuerza no exceda fy. La fluencia comienza cuando la fuerza alcanza el valor de fy, esfuerzo de fluencia. La deformación en la cual la fluencia comienza es uy, deformación de fluencia. En la fluencia la fuerza es constante (la rigidez es cero). En la Figura 9.3 se muestra un típico ciclo de carga, descarga y recarga para un sistema elastoplástico, en el cual se observa claramente que cuando el sistema alcanza el estado elastoplástico existen deformaciones permanentes que se incrementan en cada ciclo.

96


f

s

fy k 1

uy

um k 1

u

k 1

-f y

Figura 9.3

9.2.2

Relación fuerza-deformación elastoplástica.

Sistema lineal correspondiente

f

s

Sistema Lineal Correspondiente

f0 Sistema Elastoplástico

fy

u uy u0 Figura 9.4

um

Sistema elastoplástico y su sistema lineal correspondiente

Se desea evaluar la deformación pico de un sistema elastoplástico debido a un movimiento sísmico del suelo y comparar esta deformación con la deformación pico causada por la misma excitación en el sistema lineal correspondiente. Este sistema elástico esta definido de tal forma que tiene la misma rigidez del sistema elastoplástico durante su fase de carga inicial; ver Figura 9.4. Ambos sistemas tienen la misma masa y amortiguamiento. De este modo el periodo natural de vibración del sistema lineal correspondiente y del sistema elastoplástico bajo oscilaciones pequeñas (u≤uy) es el mismo.

97


9.3

ESFUERZO DE FLUENCIA NORMALIZADO, FACTOR DE REDUCCIÓN DE FLUENCIA Y FACTOR DE DUCTILIDAD.

El esfuerzo de fluencia normalizado f y , de un sistema elastoplástico esta definido como: fy =

fy f0

=

uy u0

(9.1)

donde f0 y u0 son valores pico de fuerza resistente y deformación en el sistema lineal correspondiente, inducidos por un sismo. Se puede interpretar f0 como la fuerza requerida para que la estructura permanezca con su límite linealmente elástico durante un movimiento del suelo. Si el esfuerzo normalizado del sistema es menor que uno, el sistema se deformará mas allá de su límite linealmente elástico, por ejemplo si ⎯fy = 0.5 implica que el esfuerzo de fluencia del sistema es la mitad de la fuerza requerida para que el sistema permanezca elástico durante el movimiento del suelo. El esfuerzo normalizado del sistema que no se deforma más allá de su límite linealmente elástico es igual a la unidad, porque dicho sistema se puede interpretar como un sistema elastoplástico con fy=f0. Alternativamente fy puede relacionarse con f0 a través de el factor de reducción de fluencia definido por: Ry =

f 0 u0 = fy uy

(9.2)

obviamente Ry es el reciproco de f y ; Ry es igual a la unidad para sistemas lineales y es mayor que uno para sistemas que se deforman en el rango inelástico. El pico o máximo absoluto de deformación del sistema elastoplástico debido al movimiento del suelo es denotado por um. Es significativo normalizar um relacionado con la deformación de fluencia del sistema de la siguiente manera: u (9.3) μ= m uy esta relación adimensional es llamada factor de ductilidad. Para sistemas que se deforman en el rango inelástico, por definición, um excede a uy y el factor de ductilidad es mayor que la unidad. Para el sistema lineal correspondiente el factor de ductilidad es uno si este sistema es interpretado como un sistema elastoplástico con fy=f0. y sus relaciones pueden expresarse como: um μ = μ⋅ fy = u0 Ry

9.4

(9.4)

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Y PARÁMETROS DE CONTROL

La ecuación que gobierna el sistema inelástico es:

m ⋅ u&& + c ⋅ u& + f s (u, u& ) = −m ⋅ u&&g (t )

(9.5)

98


fs

fs

1

1

μ

u

uy

1 (a)

Figura 9.5

(b)

Relación fuerza-deformación en forma normalizada

donde la fuerza resistente f s (u , u& ) para un sistema elastoplástico es mostrado en la Figura 9.3. La ecuación 9.5 es resuelta por un procedimiento numérico 1 . Para identificar los parámetros del sistema que tienen influencia en la respuesta de deformación, la ecuación anterior es dividida por m para obtener:

u&& + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ u& + ω n 2 ⋅ u y ⋅ f s (u, u& ) = −u&&g (t )

(9.6)

donde:

ωn =

k m

ξ=

c 2 ⋅ m ⋅ω n

f s (u , u& ) =

f s (u , u& ) fy

(9.7)

La cantidad ωn es la frecuencia natural del sistema inelástico vibrando dentro el rango linealmente elástico (u≤uy); ésta también es la frecuencia natural del sistema lineal correspondiente. Similarmente, ξ es la razón de amortiguamiento del sistema basado en el amortiguamiento crítico 2·m·ωn del sistema inelástico vibrando en su rango linealmente elástico; es también la razón de amortiguamiento del sistema lineal correspondiente. La función f s (u, u& ) describe la relación fuerza-deformación en forma parcialmente adimensional como se muestra en la Figura 9.5(a). La ecuación 9.6 indica que para üg(t), u(t) depende de tres parámetros del sistema: ωn, ξ y uy. La ecuación 9.6 es reescrita en términos de μ(t) ≅ u(t)/uy para identificar la influencia que tiene el factor de ductilidad μ; de la ecuación 9.3 sustituyendo u(t)=uy·μ(t), u& (t ) = u y ⋅ μ& (t ) y u&&(t ) = u y ⋅ μ&&(t ) en la ecuación 9.6 y dividiendo por uy se tiene:

μ&& + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ μ& + ω n 2 ⋅ f s ( μ , μ& ) = −ω n 2 ⋅

u&&g (t ) ay

(9.8)

donde ay=fy/m puede ser interpretada como la aceleración de la masa para producir la fuerza de fluencia y f s ( μ , μ& ) es mostrada en la Figura 9.5(b). La relación de aceleraciones üg(t)/ay es la razón entre la aceleración del suelo y la medida del esfuerzo de fluencia de la estructura. Para üg(t) dada, el factor de ductilidad depende de tres parámetros del sistema: ωn, ξ y f y

1

Anil K. Chopra, pp 249 [ref. 12]

99


9.5

EFECTOS DE FLUENCIA

f s / w = -ü' / g

Deformación u

Para entender como la respuesta de un sistema SDF es afectada por la acción inelástica o la fluencia a continuación se compara la respuesta de un sistema elastoplástico con su sistema lineal correspondiente a través de las Figuras 9.6 y 9.7. 4 0 -4

u0=3.34 in

2 0 f

-2 0

10

20

0

/ w=1.37

30

Tiempo, [s]

Figura 9.6

Respuesta de un sistema lineal con Tn=0.5 [s] y ξ=0 para el movimiento del suelo de El Centro

A diferencia de un sistema estático, el sistema inelástico después de que empieza afluir no oscila alrededor de su posición inicial de equilibrio. La fluencia provoca que el sistema se desplace de su posición inicial de equilibrio y hace que éste oscile alrededor de una nueva posición de equilibrio hasta que éste sea afectado por otro ciclo de fluencia. Por lo tanto una vez que el movimiento del suelo se ha detenido, el sistema entra en reposo en una posición diferente de la inicial (existe deformación permanente). De este modo una estructura que ha sufrido fluencia significativa durante un sismo puede no permanecer recta después de éste. A continuación se examina como la respuesta de un sistema elastoplástico es afectado por su esfuerzo de fluencia. Considerar cuatro sistemas SDF todos con las mismas propiedades en el rango linealmente elástico: Tn=0.5 [s] y ξ=5% pero estas difieren en sus esfuerzos de fluencia: ⎯fy = 1,0.5,0.25 y 0.125. ⎯fy = 1 implica un sistema linealmente elástico; y éste es el sistema lineal correspondiente para los tres sistemas elastoplásticos. La repuesta de deformación de éstos cuatro sistemas para el movimiento de El Centro es presentada en la Figura 9.8. Como se puede ver intuitivamente, se espera que sistemas de bajo esfuerzo de fluencia, fluyen más frecuentemente y por intervalos de tiempo mayores. Con mayor fluencia, la deformación permanente, up, de la estructura tiende a incrementarse. Para valores de Tn y ξ dados, la deformación pico, um, de los tres sistemas elastoplásticos es menor que la deformación pico, u0, del sistema lineal correspondiente. El factor de ductilidad para un sistema elastoplástico puede ser calculado usando la ecuación 9.4. Por ejemplo la deformación pico de un sistema elastoplástico con ⎯fy = 0.25 y del sistema lineal correspondiente son: um=1.75 [in.] y u0=2.25 [in.] respectivamente. Sustituyendo los anteriores valores en la ecuación 9.4 da el factor de ductilidad μ=(1.75/2.25)·(1/0.25)=3.11. Ésta es la demanda de ductilidad impuesta en el sistema elastoplástico por el movimiento del suelo. Esto representa un requisito importante en el diseño del sistema en el sentido de que la capacidad de ductilidad (habilidad de deformarse más allá del límite elástico) debe exceder a la demanda de ductilidad.

100


A continuación se examina como el periodo natural de vibración Tn tiene influencia en: (1) La demanda de ductilidad μ en un sistema elastoplástico; (2) Los valores relativos de la deformación pico um y u0 del sistema elastoplástico y del sistema lineal correspondiente, respectivamente; (3) Los valores relativos del esfuerzo de fluencia fy del sistema elastoplástico y la fuerza pico f0 impuesta en el sistema elástico.

u, [in]

2

c d e

b

0

a g f

f s / w = -ü' / g

-2

um=1.71 in

(a)

0.3 b c a

0

f y / w=0.17

g d e f

- f y / w=-0.17

-0.3 (b) c g

b

+ Fluencia

ad - Fluencia

e f 0

5 Tiempo, [s]

10

(c)

fs/w

0.3

c

b a

g

0

d e

f

-0.3 -2

-1

0

1

2

Deformación, u, [in] (d) Figura 9.7 Respuesta de un sistema elastoplástico con Tn=0.5 [s] y ξ=0, y ⎯fy = 0.125 para el movimiento del suelo de El Centro (a) Deformación; (b) Fuerza resistente y aceleración; (c) Intervalos de tiempo de fluencia; (d) Relación fuerza-deformación

La Figura 9.9 es una grafica de um como una función de Tn para cuatro valores de ⎯fy = 1,0.5,0.25 y 0.125; u0 es el mismo que um para ⎯fy = 1. En la Figura 9.10 esta graficado el factor de ductilidad versus Tn para los mismos cuatro valores de ⎯fy; μ=1 si ⎯fy = 1. El histograma de respuesta presentado en la Figura 9.8 provee valores para u0=2.25 [in.] y um=1.62, 1.75 y 2.07 [in.] para ⎯fy = 0.5,0.25 y 0.125 respectivamente. Dos de estos cuatro datos son identificados en la Figura 9.9. La demanda de ductilidad μ para los tres sistemas elastoplásticos es 1.44, 3.11 y 7.36 respectivamente. Estos tres datos se identifican en la Figura 9.10, en estas graficas también se identifican los valores de los periodos Ta, Tb, Tc, Td, Te y Tf, que definen la regiones espectrales.


Figura 9.8

101

Respuesta de deformación y fluencia de cuatro sistemas para el movimiento del suelo de El Centro; Tn=0.5 [s] y ξ=5%, y f y = 1, 0.5, 0.25, 0.125

Las Figuras 9.9 y 9.10 demuestran que para una excitación dada la demanda de ductilidad y la relación entre um y u0 dependen de Tn y de ⎯fy. Para sistemas de periodos grandes (Tn>Tf) en la región sensitiva de desplazamiento del espectro, la deformación um de un sistema elastoplástico es independiente de ⎯fy y es igual a u0. Cuando el sistema es muy flexible (la masa permanece fija) la masa es estacionaria mientras el suelo se mueve; la masa experimenta una deformación pico igual al desplazamiento pico del suelo independiente de⎯fy. De este modo um≅u0≅ug0 y la ecuación 9.4 da μ ≅ 1 / f y o μ=Ry. Esto implica que para un μ dado el esfuerzo de fluencia de diseño para un sistema elastoplástico con Tn>Tf es 1/μ veces el esfuerzo requerido para que el sistema permanezca elástico. Para sistemas en la región sensitiva de aceleración, lo cual implica sistemas de periodos muy pequeños, la demanda de ductilidad puede ser muy grande. Entonces los sistemas con periodos extremadamente pequeños (Tn>Ta) deben ser diseñados para un esfuerzo de fluencia fy igual a f0 requerida para que el sistema permanezca en el rango elástico, de otra forma la deformación inelástica y la demanda de ductilidad pueden ser excesivas.

102



Velocidad

Desplazamiento

Sensitiva

Sensitiva

Sensitiva

2

2

1

1

0.5

_ f y=0.125

1.62/8.4=0.19

um /u g 0 u0 /u g 0 o um /u g 0

0.5

2.25/8.4=0.27

0.1

0.1

_ f y=0.25

0.05

_ f y=0.5

0.05

_ uo /u go f y=1

0.01

0.01

0.005 T f = 15

T e= 10

T d= 3

T c= 0.5

T b=0.125

T a=0.035

0.005

0.001

0.001 0.02

0.05

0.1

0.5

1

5

10

50

Periodo natural de vibración T n, s Figura 9.9

Deformación pico de sistemas elastoplásticos y sistema lineal correspondiente debido al movimiento de El Centro; Tn esta variando; ξ=5% y f y = 1, 0.5, 0.25, 0.125 y ug0=8.4 in. Para un ug0=8.4 in.


Velocidad

Desplazamiento

Sensitiva

Sensitiva

Sensitiva

100

c

d

e

f

T

T

T

T

20 _ f y = 0.125

10 7.36

_ f y = 0.25

5

_ f y = 0.5

b

_ fy=1

T

2

a

3.11

T

Demanda de ductilidad, μ

50

1.44

1

0.02

0.05

0.1 0.2

0.5

1

2

5

10

20

50

Periodo natural de vibración Tn, [s]

Figura 9.10

Demanda de ductilidad para sistema elastoplásticos debido al movimiento de El Centro; Tn esta variando; ξ=5% y f y = 1, 0.5, 0.25, 0.125

103


ESPECTRO DE RESPUESTA PARA DEFORMACIÓN DE FLUENCIA Y ESFUERZO DE FLUENCIA

9.6

Para propósitos de diseño se desea determinar el esfuerzo de fluencia fy (o deformación de fluencia uy) del sistema, necesario para limitar la demanda de ductilidad, impuesta por el movimiento del suelo, a un valor especifico.

9.6.1

Definiciones

El espectro de respuesta es trazado par las cantidades: Vy = ωn ⋅ u y

Dy = u y

A y = ω n2 ⋅ u y

(9.9)

notar que Dy es la deformación de fluencia uy del sistema elastoplástico, no es igual a la deformación pico. La grafica de Dy versus Tn para valores fijos de ductilidad μ es llamada espectro de respuesta de fluenciadeformación. Análogamente al capítulo anterior similares graficas de Ay y Vy son llamadas espectro de respuesta de seudoaceleración y espectro de respuesta de seudovelocidad respectivamente. Las cantidades de Dy, Vy, y Ay pueden ser presentadas en una grafica tetralogarítmica en la misma forma que para un sistema lineal. Esto es posible por que estas cantidades están relacionadas a través de:

Ay

ωn

= Vy = ωn ⋅ Dy

(9.10)

el esfuerzo de fluencia de un sistema elastoplástico es:

fy =

Ay g

w

(9.11)

donde w es el peso del sistema.

9.6.2

Esfuerzo de fluencia para una ductilidad especifica

El esfuerzo de fluencia fy de un sistema elastoplástico para un factor de ductilidad específico μ se puede obtener utilizando ⎯fy y la ecuación 9.1. Para tener mayor precisión en este calculo, ⎯fy es obtenido a partir de un procedimiento iterativo. A partir de pares de datos disponibles (⎯fy, μ ) se asume una relación lineal entre log(⎯fy ) y log (μ), y a través de una interpolación se obtiene⎯fy correspondiente a un μ especifico. Se calcula el histograma de respuesta del sistema con este⎯fy para determinar el factor de ductilidad. Si este factor es suficientemente cercano, con un error del 1 %, al μ especificado; el valor de⎯fy se considera satisfactorio, de otra forma es modificado hasta que lo sea.

9.6.3

Construcción del espectro de respuesta con ductilidad constante

A continuación se presenta en una serie de pasos el procedimiento para construir el espectro de respuesta para un sistema elastoplástico correspondiente a niveles de ductilidad específicos: 1.

Definir numéricamente el movimiento del suelo .üg(t)

2.

Seleccionar una razón de amortiguamiento ξ para la cual el espectro será trazado

3.

Seleccionar un valor para Tn

104


4.

Determinar la respuesta u(t) del sistema lineal con los valores de Tn y ξ seleccionados. A partir de u(t) determinar la deformación pico u0 y la fuerza pico f0=k·u0. Estos resultados se muestran para Tn=0.5 en la Figura 9.8(a)

5.

Determinar la respuesta u(t) de un sistema elastoplástico con los mismos valores de Tn y ξ y la fuerza de fluencia fy =⎯fy · f0, con un valor de⎯fy < 1 seleccionado. A partir de u(t) determinar la deformación pico um y el factor de ductilidad asociado a partir de la ecuación 9.4. Repetir dicho análisis para valores de⎯fy suficientes para desarrollar una serie de puntos (⎯fy,μ) que cubran el rango de ductilidad de interés. Estos resultados se muestran para ⎯fy = 0.5, 0.25 y 0.125

6.

a. Para una μ seleccionada determinar⎯fy a partir de los resultados del paso 5 usando el procedimiento de interpolación descrito en la sección 9.6.2. Si más de un valor de⎯fy corresponde a un valor particular de μ se elegirá el mayor. b. Determinar la correspondiente ordenada espectral para el valor de⎯fy calculado en el paso 6(a). La ecuación 9.1 da uy a partir del cual Dy, Vy y Ay pueden ser calculados utilizando la ecuación 9.9. Estos datos proveen un punto en el espectro de respuesta graficado en las Figuras 9.11 y 9.12

7.

Repetir los pasos del 3 al 6 para un rango de valores de Tn validos para el valor de μ seleccionado en el paso 6(a)

8.

Repetir los pasos del 3 al 7 para varios valores de μ

En las Figuras 9.11 y 9.12 se presenta el espectro de respuesta construido por este procedimiento para un sistema elastoplástico con ξ=5% para el movimiento del suelo de El Centro para μ=1,1.5,2,4 y 8.

1

f y /w = A y /g

0.8

0.6

μ=1 0.4

1.5 2

4

0.2

8 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Periodo natural de vibración Tn, [s]

Figura 9.11

Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro: μ=1, 1.5, 2, 4 y 8; ξ=5%

105


0

10

10

50 μ=1 20 1

4

5 0. 1

8

1

V , [in/s]

1.5

2

10

10

01

00 0.

·g

0.

u

1

y

y,

0.5

A

in

1

0.

1 0.

01

2

0.2 0.02

0.05 0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

20

50


9.7

Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro: μ=1, 1.5, 2, 4 y 8; ξ=5%

ESFUERZO DE DISEÑO Y DEFORMACIÓN A PARTIR DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

Considerar un sistema SDF a ser diseñado para una ductilidad, μ, admisible, basado en una deformación admisible y en una capacidad de ductilidad que se pueden alcanzar para los materiales y materiales de diseño seleccionados. Se desea determinar el esfuerzo de fluencia de diseño y la deformación de diseño para el sistema sujeto a una excitación dada. El valor Ay/g se lee del espectro de respuesta para el valor admisible de μ y los valores conocidos de Tn y ξ . La ecuación 9.11 proporciona el esfuerzo de fluencia, fy, necesario para limitar la demanda de ductilidad a la ductilidad admisible. La deformación pico es:

um = μ ⋅u y

(9.12)

donde: uy=fy/k=Ay/(ωn)2 El factor de ductilidad μ y la deformación pico um representan los requisitos de diseño asociados con la fuerza de diseño fy. De este modo el ingeniero deberá diseñar y detallar la estructura de acuerdo a la capacidad de ductilidad y la capacidad de deformación que ésta posee.

9.8

ESFUERZO DE FLUENCIA DE DISEÑO

El esfuerzo de fluencia de diseño fy que permite a un sistema SDF tener una deformación en el rango inelástico es menor que el esfuerzo requerido por la estructura para permanecer en el rango elástico. El esfuerzo de fluencia de diseño se reduce con el incremento del factor de ductilidad, esta aseveración es mostrada con mayor claridad en la Figura 9.13, que no es otra cosa que las Figuras 9.11 y 9.12 graficadas en forma diferente.

106


La implicación practica de estas observaciones es que la estructura puede ser diseñada para ser sismorresistente haciéndola fuerte o dúctil; o diseñándola económicamente combinando ambas propiedades. Considerar de nuevo un sistema SDF con Tn=0.5 [s] y ξ=5% a ser diseñado para el movimiento de El Centro. Si este sistema es diseñado para una fuerza f0=0.919·w o mayor, permanecerá dentro el rango linealmente elástico durante esta excitación; de este modo no necesita ser dúctil. Por otro lado si ésta puede desarrollar un factor de ductilidad de 8, solo necesita ser diseñada para 12% de la fuerza f0 requerida para un comportamiento elástico. Alternativamente puede ser diseñada para una fuerza igual al 37% de f0 y una capacidad de ductilidad de 2. Para algunos tipos de materiales y miembros estructurales la ductilidad es difícil de alcanzar; para otras el proveerles ductilidad es mucho más fácil que proveerles resistencia lateral y el diseño práctico refleja esto.

1

μ=1

1

μ = 1.5 0.5

μ=2

_ fy

μ=4

0.2

μ=8

2

5

e

f

d

1

T

0.5

T

0.1 0.2

T

c

b

0.05

T

0.05 0.02

T

T

a

0.1

10

20

2

Ry 5

10

50


Figura 9.13

Esfuerzo normalizado f y de un sistema elastoplástico como función de Tn

La resistencia normalizada para un factor de ductilidad especifico depende de la relación del amortiguamiento ξ, pero esta dependencia no es fuerte; es usualmente ignorada en aplicaciones de diseño.

Capítulo 10

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

10.1

INTRODUCCIÓN

Resulta complejo elegir entre el análisis dinámico plano o tridimensional, éste último representado por sus dos componentes horizontales (cargas reversibles), lo cual no es posible en el plano. El análisis dinámico tridimensional, requerirá la evaluación de la estructura con varios grados de libertad por medio de métodos sofisticados como el de los elementos finitos, que ayudaría a resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento existentes por cada grado de libertad, es una herramienta poderosa, sin embargo su modelación e interpretación de resultados no es sencilla y sólo se justificaría su uso en obras de magnitud. En una estructura tridimensional xyz tipo edificios, es útil y suficiente asumir la hipótesis del diafragma rígido de piso, lo cual acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el plano xy, de esta forma el problema global se reduce a tres grados de libertad por piso, dos traslaciones horizontales (ux,uy) y una rotación vertical (rz), a estos se conocen como desplazamientos maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se concentran en un nudo denominado maestro, al cual están constringidos o conectados rígidamente los nudos restantes, a estos nudos se los denomina dependientes y tienen los grados de libertad opuestos a los nudos maestros, es decir dos rotaciones horizontales (rx, ry) y una traslación vertical (uy)

10.2

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

Una estructura de varios niveles mostrada en la Figura 10.1, se puede idealizar como un pórtico de varios niveles con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinámica del sistema está representada por el desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número de masas. La vibración resultante del sistema esta dada por la superposición de las vibraciones de cada masa. Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y puede ser representado por un sistema simple del mismo periodo. La Figura 10.1 muestra tres modos de un sistema aporticado de tres niveles. El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortos son llamados modos armónicos (frecuencias altas). Para ilustrar el análisis correspondiente a varios grados de libertad considerar un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa un grado de libertad con una ecuación de equilibrio dinámico para cada una:

108

Sistemas de varios grados de libertad

f Ia + f Da + f Sa = p a (t ) f Ib + f Db + f Sb = p b (t )

(10.1)

f Ic + f Dc + f Sc = p c (t )

Pórtico

Sistema Equivalente

Modo 1

Figura 10.1

Modo 2

Modo 3

Modo 4

Modo 5

Estructura de varios niveles

Las fuerzas de inercia en la ecuación 10.1 son simplemente: f Ia = m a ⋅ u&&a f Ib = mb ⋅ u&&b f Ic

(10.2)

= m c ⋅ u&&c

En forma matricial:

⎧ f Ia ⎫ ⎡m a ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ f Ib ⎬ = ⎢ 0 ⎪f ⎪ ⎢ 0 ⎩ Ic ⎭ ⎣

0 mb 0

⎤ ⎧u&&a ⎫ ⎥ ⋅ ⎪u&& ⎪ ⎥ ⎨ b⎬ m c ⎥⎦ ⎪⎩u&&c ⎪⎭ 0 0

(10.3)

O más generalmente:

{FI } = [M ]⋅ {U&&}

(10.4)

Donde {FI} es el vector de fuerzas de inercia, [M] es la matriz de masa y {Ü} es el vector de aceleraciones. Debe notarse que la matriz de masa es diagonal para un sistema de sumas agrupadas, sin considerar acoplamiento entre las masas. En sistemas de coordenadas de forma más generalizada, usualmente hay acoplamiento entre las coordenadas lo que complica la solución. Esta es una razón primordial para usar el método de masas concentradas. Las fuerzas de la ecuación 10.1 dependen de los desplazamientos y usando coeficientes de influencia de rigidez pueden expresarse como: f Sa = k aa ⋅ u a + k ab ⋅ u b + k ac ⋅ u c f Sb = k ba ⋅ u a + k bb ⋅ u b + k bc ⋅ u c f Sc = k ca ⋅ u a + k cb ⋅ u b + k cc ⋅ u c

(10.5)

109


En forma matricial: ⎧ f Sa ⎫ ⎡k aa ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ f Sb ⎬ = ⎢k ba ⎪ f ⎪ ⎢k ⎩ Sc ⎭ ⎣ ca

k ab k bb k cb

k ac ⎤ ⎧u a ⎫ ⎪ ⎪ k bc ⎥⎥ ⋅ ⎨u b ⎬ k cc ⎥⎦ ⎪⎩u c ⎪⎭

(10.6)

O más generalmente:

{Fs } = [K ]⋅ {U }

(10.7)

Donde {Fs} es el vector de fuerzas elásticas, [K] es la matriz de rigidez y {U} es el vector de desplazamientos. Por analogía, las fuerzas de amortiguamiento en la ecuación 10.1 pueden expresarse como:

{FD } = [C ]⋅ {U& }

(10.8)

{}

Donde {FD} es el vector de fuerzas de amortiguamiento, [C] es la matriz de amortiguamiento y U& es el vector de velocidades. En general no es práctico determinar c y el amortiguamiento es expresado en términos del coeficiente de amortiguamiento (ξ). Aplicando las ecuaciones 10.4, 10.7 y 10.8 las ecuaciones de equilibrio dinámico (10.1) pueden escribirse generalmente como: {FI}+{FD}+{FS}={p(t)}

(10.9)

Lo cual es equivalente a:

{M }⋅ {U&&}+ {C}⋅ {U& }+ {K }⋅ {U } = {p (t ) }

10.3

(10.10)

RESPUESTA DINÁMICA: ANÁLISIS MODAL

Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. 1

El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la relación de amortiguamiento no excede el 5%. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos.

10.4

MÉTODO MATRICIAL

Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas modales de vibración libre. En este caso no existen fuerzas externas y el amortiguamiento es considerado cero. 1

Alan Williams, pp 21 [ref. 4]

110


Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio dinámico, la vibración resultante del sistema consiste de n de éstas ecuaciones, y puede ser expresado en forma matricial para vibración libre no amortiguada como:

[M ]⋅ {U&&}+ [K ]⋅ {U } = 0

(10.11)

La vibración libre descrita gráficamente por las Figuras 10.2 y 10.3 de un sistema no amortiguado en uno de sus modos de vibración natural puede describirse matemáticamente por:

{u (t ) }= { q n(t ) }⋅ {φ n }

(10.12)

2

q1

t

0 -2

(c) T1 =2π/ω1

a b c d e 2

m

u2

e d c b a

u2

φ 21

k 2m

t

0 -2 2

φ 11

u1

u1

t

0 -2

2k

0

(a)

T1

(b)

2T1

3T1

(d)

Figura 10.2 Vibración libre de un sistema no amortiguado en su primer modo natural de vibración: (a) Pórtico de dos niveles; (b) Forma de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q1(t); (d) Histograma de desplazamiento

Donde φn, forma de la deformada o amplitud relativa de movimiento, no varia con el tiempo, y la variación del desplazamiento con el tiempo es descrita por una función armónica:

q n(t ) = An ⋅ cos ω n t + Bn ⋅ senω n t

(10.13)

Donde An y Bn son constantes de integración que pueden ser calculadas a partir de las condiciones iniciales. Combinando las ecuaciones 10.12 y 10.13 se tiene: B

u (t ) = φ n ⋅ ( An ⋅ cos ω n t + Bn ⋅ senω n t )

(10.14)

Donde φn y ωn son desconocidos. Sustituyendo esta forma de u(t) en la ecuación 10.11 da:

([K ] − [M ]⋅ω )⋅ {U } = 0

(10.15)

({φ

(10.16)

2 n

o

n

}⋅ [K ] − ω n2 ⋅ {φ n }⋅ [M ])⋅ {q n } = 0

Esta expresión es una representación de la ecuación de eigenvalores; la cual tiene una solución no trivial sólo si el determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir las frecuencias naturales ωn (escalar) y los modos φn (vector) deben satisfacer la siguiente ecuación:

([K ] − ω

2 n

)

⋅ [M ] ⋅ {φ n } = 0

(10.17)

111


1

q2

t

0 -1

(c) T2 =2π/ω2

a bcde 1

u2 m

u2

k

ed c b a

φ 21

Nudo 2m

u1

1

u1

φ 11

t

0 -1

t

0 -1

2k

0

T2

0

(a)

3T2 T1

(b)

5T2 2T1

3T1

(d)

Figura 10.3 Vibración libre de un sistema no amortiguado en su segundo modo natural de vibración: (a) Pórtico de dos niveles; (b) Forma de la deformada en los instantes de tiempo a, b, c, d y e; (c) Coordenada modal q2(t); (d) Histograma de desplazamiento

[K ] − ω n2 ⋅ [M ] = 0

(10.18)

El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en (ωn)2, las raíces del cual son los eigenvalores. Sustituyendo éstos en la ecuación de eigenvalores (ecuación 10.17) se obtienen los eigenvalores para cada modo. A partir de los eigenvalores se obtienen los periodos naturales correspondientes y se pueden obtener las aceleraciones espectrales a partir de una curva de respuesta apropiada.

10.4.1 Matriz modal y espectral Los N eigenvalores y los N modos pueden ser acoplados en forma matricial. El modo natural o eigenvector φn correspondiente a la frecuencia natural ωn tiene elementos φjn, donde j indica el DOF. De este modo los N eigenvectores pueden presentarse o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo:

[Φ ] = [φ jn ]

⎡ φ11 φ12 ⎢φ φ 22 = ⎢ 21 ⎢ M M ⎢ ⎣φ N 1 φ N 2

L φ1N ⎤ L φ 2 N ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L φ NN ⎦

Donde [Φ] es llamada matriz modal. Los N eigenvalores ωn2 pueden ser acoplados en una ,matriz diagonal Ω2, la cual es conocida como matriz espectral.

[Ω ] 2

⎡ω 12 ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

ω 22

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ 2 ω N ⎥⎦

112


Cada eigenvalor y eigenvector satisfacen la ecuación 10.17 la cual puede ser reescrita como:

[K ]⋅ {φ n } = [M ]⋅ {φ n }⋅ ω n2

(10.19)

Utilizando la matriz modal y espectral es posible representar esta ecuación en una ecuación matricial simple:

[K ]⋅ [Φ ] = [M ]⋅ [Φ ]⋅ [Ω 2 ]

(10.20)

Esta ecuación presenta en forma compacta las ecuaciones relacionando todos los eigenvalores y eigenvectores.

10.4.2 Ortogonalidad de los modos Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias naturales se muestran a continuación para satisfacer la siguiente condición de ortogonalidad. Cuando ωn≠ωr (entiéndase que ωr también es una frecuencia natural).

φ nT ⋅ k ⋅ φ r = 0

(10.21a)

φ nT ⋅ m ⋅ φ r = 0

(10.21b)

La demostración de esta propiedad es la siguiente: la enésima frecuencia natural y el modo que satisfacen la ecuación 10.19 multiplicados por φrT, la transpuesta de φr, da:

φ rT ⋅ k ⋅ φ n = ω n2 ⋅ φ rT ⋅ m ⋅ φ n

(10.22)

Análogamente se realiza lo mismo con la erésima frecuencia natural y el modo que satisface la ecuación 10.19; de esta manera k·φr = ωr2·m·φr multiplicando por φnT da:

φ nT ⋅ k ⋅ φ r = ω r2 ⋅ φ nT ⋅ m ⋅ φ r

(10.23)

La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo de la ecuación 10.22 es igual a la transpuesta de la matriz en el lado derecho de la ecuación; de esta forma:

φ nT ⋅ k ⋅ φ r = ω n2 ⋅ φ nT ⋅ m ⋅ φ r

(10.24)

Donde se ha utilizado la propiedad de simetría de la matriz de masa y rigidez. Restando la ecuación 10.23 de la ecuación 10.24 se tiene:

(ω n2 − ω r2 ) ⋅ φ nT ⋅ m ⋅ φ r = 0 De esta manera la ecuación 10.21(b) es verdadera cuando ωn2≠ωr2 los cuales para sistemas con frecuencia natural positiva implica que ωn≠ωr. Sustituyendo la ecuación 10.21(b) en la 10.23 señala que la ecuación 10.21(a) es verdadera cuando ωn≠ωr. Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La ortogonalidad de los modos naturales implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:

113


[K ] ≡ [Φ]T ⋅ [K ]⋅ [Φ]

[M ] ≡ [Φ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ]

(10.25)

m n = {φ n }T ⋅ [M ]⋅ {φ n }

(10.26)

Donde los elementos de la diagonal son: k n = {φ n }T ⋅ [K ]⋅ {φ n }

Debido a que m y k son definidos positivos, los elementos de la diagonal de K y M son positivos, y están relacionados por:

k n = ω n2 ⋅ m n

(10.27)

10.4.3 Normalización de los modos Si el vector {φn} es un modo natural, cualquier vector proporcional es en esencia el mismo modo natural porque satisface la ecuación 10.17. algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. Este proceso es llamado normalización; algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras veces es más ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elemento correspondiente a algún grado de libertad en particular sea la unidad. En teoría y programas computacionales es común normalizar los modos de tal manera que mn tenga valores unitarios: M n = [φ n ]T ⋅ [M ]⋅ [φ n ] = 1

o

[Φ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ] = [I ]

(10.28)

Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:

φ jn =

(Σm

u jn jj

⋅ u 2jn

)

1

(10.29) 2

donde: φjn= es el componente para el nudo j, de la forma modal normalizada asociada al modo n. mjj= masa concentrada en el nudo j. ujn= el componente, para el nudo j, del eigenvector asociado con el nudo n.

10.4.4 Factor de participación Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de vibración y tienen forma similar a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad esta definida en forma matricial por 2 : T [P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1} [Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ]

2

Alan Williams, pp 22-23 [ref. 4]

(10.30)

114


donde

[P]= vector de coeficientes de participación para todos los modos considerados {1}= vector unitario.

Para un sistema en especifico, los factores de participación tienen las propiedades de: ΣPn ⋅ φ1n = 1

donde

(10.31)

Pn = es el factor de participación asociado con el modo n. φ1n = es el componente, para el primer nudo del sistema del eigenvector asociado con el modo n.

La matriz de máximos desplazamientos esta definida por:

[U ] = [Φ ]⋅ [P]⋅ [D ] [U ] = [Φ ]⋅ [P]⋅ [V ]⋅ [Ω]−1 −1 [U ] = [Φ ]⋅ [P]⋅ [A]⋅ [Ω 2 ] donde

(10.32)

[D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral. [V] = matriz diagonal de velocidad espectral. [A] = matriz diagonal de aceleración espectral.

La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema esta dada por la segunda ley de Newton:

[F ] = [K ]⋅ [U ]

(10.33)

El vector de fuerzas cortantes en la base esta dada por:

[V ] = [F ]T ⋅ {1}

10.5

(10.34)

MÉTODO NUMÉRICO

Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar métodos numéricos. Para un modo de vibración dado el factor de participación está definido por: P=

ΣM i ⋅ φ i M

(10.35)

Donde Mi = masa correspondiente al nivel i. φi = componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado. M = masa modal = ΣMi·φi2 Cuya sumatoria se extiende sobre todos los nudos de la estructura. La masa efectiva está definida por: ME =

(ΣM i ⋅ φ i )2 ΣM i ⋅ φ i2

(10.36)

115


De forma similar el peso efectivo es definido por: WE =

donde

(ΣWi ⋅ φ i )2 ΣWi ⋅ φ i2

(10.37)

Wi = peso correspondiente al nivel i

La aceleración pico en el nudo está definida por: u&& = φ i ⋅ P ⋅ A

(10.38)

El desplazamiento máximo en el nudo está definido por: ui = φi ⋅ P ⋅ D

(10.39)

La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley de Newton: Fi = M i ⋅ u&&

(10.40)

La cortante basal esta dada por: V = ΣFi V = P ⋅ A ⋅ ΣM i ⋅ φ i V = P2 ⋅M ⋅ A

(10.41)

V = M E ⋅A

La fuerza lateral en cada nudo puede también determinarse mediante la distribución de la cortante basal del modo siguiente: Fi = M i ⋅ φ i ⋅ P ⋅ A Fi = ( M i ⋅ φ i / P ⋅ M ) ⋅ V

(10.42)

Fi = ( M i ⋅ φ i / ΣM i ⋅ φ i ) ⋅ V

Para eigenvectores normalizados estas expresiones se reducen a:

M = ΣM i ⋅ φ i2 = 1

(10.43)

M = masa modal.

10.6

MÉTODO ITERATIVO

Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el análisis modal puede limitarse al modo fundamental. El sistema estructural puede ser modelado como un pórtico con losas de entre piso rígidas. Los desplazamientos laterales de los nudos son entonces el resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación en los nudos. La rigidez de un nivel en particular esta dada por:

k i = 12 ⋅ E ⋅

ΣI h3

(10.44)

La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre piso como se muestra en la Figura 10.4. utilizando estos supuestos se han desarrollado técnicas iterativas 3 basadas en métodos propuestos por Rayleigh, Stodola y Holzer. A continuación se presenta una adaptación del método de Holzer. El modelo dinámico describe 3

Alan Williams, pp 35-40 [ref. 4]

116


que: cuando un nudo alcanza su desplazamiento lateral máximo ui, la velocidad es cero y la fuerza de inercia en el nudo está dada por: FI = mi ⋅ u&&i

(10.45)

FI = m i ⋅ ω 2 ⋅ u i

m 3 ω2 x3

m 1 ω2 x1

m 2 ω2 x2

x3

m3

m 3 ω2 x3

k3 k2 m1

k3 Δ 3

x2

m2

m 2 ω2 x2

k2Δ 2

x1 m 1 ω2 x1

k1

k 1Δ 1

Δ 1 Δ2 Δ3 Sistema estructural equivalente

Modelo dinámico equivalente

Desplazamiento del nudo y deriva

Figura 10.4

Fuerzas laterales en los nudos

Esfuerzos de corte de piso

Análisis modal de una estructura resistente a fuerza lateral

La fuerza cortante en cualquier nivel es igual al producto de la rigidez del nivel por el desplazamiento del mismo. El incremento en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza de inercia en ese nivel. El incremento de la fuerza cortante esta dado por: FS = k i ⋅ Δ i − k i +1 ⋅ Δ i +1

(10.46)

Donde ki·Δi = fuerza cortante total en el nivel i. Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se tiene: F I = FS mi ⋅ ω 2 ⋅ u i = k i ⋅ Δ i − k i +1 ⋅ Δ i +1

(10.47)

La solución de esta ecuación se puede obtener asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante en términos de la frecuencia natural, en cada nivel. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el desplazamiento (deriva) de cada piso. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva forma modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la forma modal corregida con la inicial.

117


10.7

EJEMPLOS Sistemas de varios grados de libertad

Ejemplo 10.1

Un pórtico de dos niveles tiene las propiedades mostradas en la Figura 10.5 y una relación de amortiguamiento de 5%, está localizado sobre un sitio rocoso cerca del origen del sismo de Loma Prieta. Determinar las fuerzas laterales y desplazamientos de cada nivel usando el espectro de respuesta de la Figura 10.6.

w2 = 70 [t]

w2 = 70 [t]

4 m.

k2 = 3 [t/cm]

w1 = 70 [t]

k2 = 3 [t/cm] w1 = 70 [t]

k1 = 7 [t/cm]

4 m.

k1 = 7 [t/cm]

Figura 10.5

1.5

Aceleración espectral, g

Roca, derca de la fuente

1.0 ξ=0.05 Roca blanda, sur de San Francisco

0.5 Roca suave, Oackland Roca, San Francisco

1.0

0.0

2.0

3.0

Periodo natural de vibración T n, s Figura 10.6

Espectros de respuestas registrados para varios sitios

Solución:

El desplazamiento de cada nudo es:

[K ] = ⎡⎢

k11

⎣k 21

k12 ⎤ ⎡7 + 3 − 3⎤ ⎡ 10 − 3⎤ = = k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ − 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣− 3 3 ⎥⎦

4.0

118


la matriz diagonal de masa es: w = m⋅ g ⇒ m =

[M ] = ⎡⎢

([K ] − ω

2 n

]

0 ⎤ 0.071⎥⎦

0.071

⎣ 0

la ecuación de eigenvalores es:

[

w 70 = = 0.071 t ⋅ s 2 / cm g 981

)

⋅ [M ] ⋅ {φ n } = 0

⎛ ⎡ 10 − 3⎤ 0 ⎤ ⎞ ⎧φ1n ⎫ 2 ⎡0.071 ⎜⎢ ⎥ ⎟⎟ ⋅ ⎨φ ⎬ = 0 ⎜ − 3 3 ⎥ −ω n ⋅ ⎢ 0 0 . 071 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ ⎩ 2n ⎭ ⎝

el determinante a resolver es:

10 − 0.071⋅ ω n2 −3

−3 =0 3 − 0.071⋅ ω n2

30 − 0.71 ⋅ ω n2 − 0.213 ⋅ ω n2 + 0.005 ⋅ ω n4 − 9 = 0 0.005 ⋅ ω n4 − 0.923 ⋅ ω n2 + 21 = 0

resolviendo el polinomio se obtiene las frecuencias naturales correspondientes a los modos de vibración:

ω 1 = 5.15 [rad / s ] ω 2 = 12.57 [rad / s ] el periodo natural correspondiente es: T1 = 1.22 [s ] T 2 = 0. 5

[s ]

A partir del espectro de respuesta, Figura 10.6, la aceleración espectral es:

[ ] = 0.83 ⋅ g = 814.23 [cm / s ]

A1 = 0.23 ⋅ g = 225.63 cm / s 2 A2

2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de eigenvalores y estableciendo el primer componente de cada modo igual a la unidad se obtiene cada uno de los eigenvectores: Para ω1=5.15 ⎡10 − 0.71(5.15) 2 ⎢ −3 ⎢⎣

⎤ ⎧φ11 ⎫ ⎧0⎫ −3 = 2 ⎥ ⎨φ ⎬ ⎨0⎬ 3 − 0.071(5.15) ⎥⎦ ⎩ 21 ⎭ ⎩ ⎭

⎧ 8.1129 ⋅ φ11 − 3 ⋅ φ 21 = 0 ⎨ ⎩− 3 ⋅ φ11 + 1.1169 ⋅ φ 21 = 0 ⎧ 1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩2.706⎭ ⎧ 1 ⎫ Para ω2=12.57 se resuelve análogamente y se obtiene el eigenvector: ⎨ ⎬ ⎩− 0.406⎭

si φ11 = 1 → φ 21 = 2.706 y se tiene el eigenvector:

119


De este modo se obtiene la matriz de eigenvectores: 1 ⎤ ⎡ 1 ⎢2.706 − 0.406 ⎥ ⎦ ⎣

los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:

φ jn =

u jn

(Σm

jj

⋅ u 2jn

)

1

2

Para el modo 1:

(Σm

jj

⋅ u 2j1

) = [0.071⋅ (1 + 2.706 )]

(Σm

jj

⋅ u 2j 2

) = [0.071⋅ (1 + 0.406 )]

1

2

2

1

2

= 0.768

Para el modo 2: 1

2

2

1

2

= 0.288

Entonces la matriz modal normalizada es: ⎡ 1 ⎢ [Φ ] = ⎢ 02..768 706 ⎢ 0 . ⎣ 768

1 ⎤ 0.288 ⎥ = ⎡1.302 3.477 ⎤ − 0.406 ⎥ ⎢⎣3.520 − 1.413⎥⎦ ⎥ 0.288 ⎦

El vector de coeficiente de participación esta definido por: T [P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1} [Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ]

T como [Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ] = [I ] para la matriz modal normalizada, entonces [P] se reduce a:

[P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1} [P ] = ⎡⎢

3.520 ⎤ ⎡0.071 0 ⎤ ⎧1⎫ ⎧0.342 ⎫ ⋅⎢ ⋅⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎥ 0.071⎥⎦ ⎩1⎭ ⎩0.147 ⎭ ⎣3.477 − 1.413⎦ ⎣ 0 1.302

Asumiendo que la estructura se comporta elásticamente, la matriz de desplazamiento esta dada por:

[U ] = [Φ]⋅ [P]⋅ [D] = [Φ]⋅ [P]⋅ [A] [Ω 2 ] [U ] = ⎡⎢

1.302 3.477 ⎤ ⎡0.342 0 ⎤ ⎡225.63 0 ⎤ ⋅⎢ ⋅⎢ ⎥ ⎥ 0.147 ⎦ ⎣ 0 814.23⎥⎦ ⎣3.520 − 1.413⎦ ⎣ 0

⎡5.15 2 0 ⎤ ⎢ ⎥ 12.57 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

[U ] = ⎡⎢

3.78 2.616 ⎤ ⎥ ⎣10.219 − 1.063⎦

Los desplazamientos máximos resultantes de cada nudo se obtienen a través de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por:

[U c ] = ⎡⎢

4.60 ⎤ ⎥ 10 ⎣ .27 ⎦

120


La matriz de fuerzas laterales en cada nudo esta dado por.

[Fs ] = [K ]⋅ [U ] [Fs ] = ⎡⎢

29.349 ⎤ ⎥ ⎣19.317 − 11.037 ⎦ 7.143

Utilizado la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados la fuerza lateral en cada nudo es:

[Fsc ] = ⎡⎢

30.20 ⎤ ⎥ ⎣22.25⎦

El vector de cortante basal es:

[V ] = ([F ]T ⋅ {1})

T

[Vb ] = [26.46

18.312]

Utilizado la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados la cortante basal es:

(

Vb = V112 + V122

)

1 2

= 32.178

[t ]

121



Ejemplo 10.2

La Figura 10.7 representa un edificio de tres niveles. Las cargas muertas efectivas se muestran en cada piso y se dan como datos las siguientes propiedades dinámicas: w3 = 35 [ t ] 4m

k3 = 3 [ t/cm ]

1.0

4m


w2 = 55 [ t ]

k2 = 3 [ t/cm ] w1 = 55 [ t ]

0.6 0.4 0.2

k1 = 7 [ t/cm ]

4m

0.8

0

0.2

0.4

5m Estructura

0.6

0.8

1.0

1.2

Periodo, s Modelo dinámico

Espectro de respuesta

Figura 10.7

Eigenvectores:

⎡0.939

3.135 ⎤ 2.871 − 4.084⎥⎥ ⎢⎣ 3.491 − 3.129 1.226 ⎥⎦

[Φ] = ⎢⎢ 2.181

3.159

[Φ]T ⋅ [M ]⋅ [Φ] = [I ] Eigenvalores: ⎡ 8.5788 ⎤

{ω } = ⎢⎢19.3911⎥⎥[rad / s] ⎢⎣29.1391⎥⎦

Se requiere: a) b) c)

Calcular los factores de participación y verificar si son correctos dichos factores. Calcular los desplazamientos de cada nivel basados en el espectro dado. Calcular la deriva entre cada piso

Solución:

a)

los factores de participación para un sistema de varios grados de libertad están definidos por: T [P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1} [Φ ] ⋅ [M ]⋅ [Φ ]

122


como la matriz modal es normalizada, entonces el vector de coeficientes de participación es:

[P] = [Φ]T ⋅ [M ]⋅ {1} La matriz de masa es. ⎡55 0 0 ⎤ [M ] = ⎢⎢ 0 35 0 ⎥⎥ ⋅1 g ⎢⎣ 0 0 35⎥⎦

[

g = 981 cm/s 2

]

realizando los cálculos necesarios se tiene el vector correspondiente a los factores de participación para los tres modos: T

3.135 ⎤ ⎡55 0 0 ⎤ ⎡0.939 3.159 ⎧1⎫ ⎧250.165⎫ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ {P} = ⎢ 2.181 2.871 − 4.084⎥ ⋅ ⎢ 0 35 0 ⎥ ⋅1 g ⎪⎨1⎪⎬ = ⎪⎨164.715 ⎪⎬ ⋅1 g ⎪1⎪ ⎪ 72.395 ⎪ ⎢⎣ 3.491 − 3.129 1.226 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 35⎥⎦ ⎩⎭ ⎩ ⎭

Como los factores de participación tienen la propiedad de: ΣPn ⋅ φ1n = 1

(250.165 ⋅ 0.939 + 164.715 ⋅ 3.159 + 72.395 ⋅ 3.135) g = 1 por tanto los factores son correctos.

b)

Los periodos naturales para cada uno de los tres modos se obtienen a partir de los eigenvalores usando la expresión: Tn =

2 ⋅π

ωn

T1 = 0.7324 [s ]

T2 = 0.3240 [s ] T3 = 0.2156 [s ]

Se obtiene la aceleración espectral para cada uno de los modos, del espectro de respuesta: A1 = 0.15 ⋅ g A2 = 0.60 ⋅ g A3 = 0.77 ⋅ g

La matriz de desplazamiento esta dado por:

[U ] = [Φ]⋅ [P]⋅ [D] = [Φ]⋅ [P]⋅ [A] [Ω 2 ] 0.20579 ⎤ − 0.26811⎥⎥ ⎢⎣1.77999 − 0.82241 0.08049 ⎥⎦

⎡0.47872

[U ] = ⎢⎢1.11189

0.83044 0.75471

123


Los desplazamientos máximos resultantes de cada nudo se obtienen a través de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, de la fila respectiva a cada nudo y esta dado por: ⎡0.98038⎤ [U c ] = ⎢⎢1.37032⎥⎥ ⎢⎣1.96245 ⎥⎦

c)

El desplazamiento entre pisos de los tres modos se obtiene por restas sucesivas de las filas de vectores de matriz a partir de los desplazamientos del nivel superior. La matriz de los deslizamientos de los niveles es entonces. 0.4739 ⎤ ⎡− 0.63317 0.07573 ⎢ [Δ] = ⎢ − 0.6681 1.57712 − 0.3486⎥⎥ ⎢⎣ 1.7799 − 0.82241 0.08049 ⎥⎦

⎡0.7945⎤ [Δ c ] = ⎢⎢1.7479⎥⎥ ⎢⎣1.9624 ⎥⎦

124


Sistemas de varios grados de libertad. Método numérico

Ejemplo 10.3

La Figura 10.8 representa un edificio de tres niveles con losas de entrepiso de 3 m. x 3 m. Las cargas muertas en cada piso se muestran en la figura.

[k/ m2]

w3 =5. 31 k 3 =5

q2 =880

[t / cm]

[k/ m2]

w2 =7. 92

Nivel 2

k 2 =7 q1 =880

[k/ m2]

w1 =7. 92 k 1 =10

[t ]

[t / cm]

Nivel 1

90

[t ]

[t ]

Seu d o velo cid ad , in /s

q3 =590 Nivel 3

80 70 60

40

0.02 0.05

30 0.10

20 10

[t / cm] 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Periodo, s

30 mx30 m Est ruct ura

ξ=0.00

50

Espect ro de respuest a

Modelo mat emát ico

Figura 10.8

Determinar: a) La cortante basal de cada modo, usando el espectro de respuesta de diseño con ξ=5%. b) La carga lateral para cada nivel, para cada modo. c) Cual es la cortante basal más probable.

Solución:

Las masas respectivas para cada nivel son: w1 = 880 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅

1 = 7.920 1000

[t ]

w 2 = 880 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅

1 = 7.920 1000

[t ]

w3 = 590 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅

1 = 5.310 1000

[t ]

Determinación de [ω]: La matriz de rigidez es: ⎡ 17 − 7 0 ⎤ [K ] = ⎢⎢− 7 12 − 5⎥⎥ ⎢⎣ 0 − 5 5 ⎥⎦

125


La matriz diagonal de masa es: 0 0 ⎤ 0 0 ⎤ ⎡0.00807 ⎡7.92 1 ⎢ ⎥ ⎢ 0.00807 0 ⎥⎥ [M ] = ⎢ 0 7.92 0 ⎥ ⋅ = ⎢ 0 g ⎢⎣ 0 ⎢⎣ 0 0 5.31⎥⎦ 0 0.00541⎥⎦

De la ecuación 10.18: [K ] − ω 2 [M ] = 0 tenemos: 17 − ω 2 ⋅ 0.00807 0 −7 2 −7 12 − ω ⋅ 0.00807 −5 =0 −5 0 5 − ω 2 ⋅ 0.00541

resolviendo el determinante: 3.528 ⋅10 −7 ⋅ ω 6 − 1.593 ⋅10 −3 ⋅ ω 4 + 1.808 ⋅ ω 2 − 350 = 0

resolviendo el polinomio: ⎧15.580 ⎫

{ω } = ⎪⎨38.016⎪⎬ ⎪53.179⎪ ⎭ ⎩

los periodos correspondientes son: T1 =

2 ⋅π = 0.403 [rad/s ] 15.58

T2 =

2 ⋅π = 0.165 [rad/s ] 38.016

T3 =

2 ⋅π = 0.118 [rad/s ] 53.179

Determinación de [Φ]: Para ω1=15.58 ⎡17 − 15.58 2 ⋅ 0.00807 ⎤ ⎧φ11 ⎫ 0 −7 ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 2 −7 12 − 15.58 ⋅ 0.00807 −5 ⎢ ⎥ ⋅ ⎨φ 21 ⎬ = 0 2 ⎢ −5 0 5 − 15.58 ⋅ 0.00541⎥ ⎪⎩φ 31 ⎪⎭ ⎣ ⎦

15.0404 ⋅ φ11 − 7 ⋅ φ 21 = 0 − 7 ⋅ φ11 + 10.0404 ⋅ φ 21 − 5 ⋅ φ 31 = 0 − 5 ⋅ φ 21 + 3.3831⋅ φ 31 = 0 si : φ11 = 1

φ 21 = 2.149 φ 31 = 2.915

126


Para ω2=38.016 ⎡17 − 38.016 2 ⋅ 0.00807 ⎤ ⎧φ12 ⎫ 0 −7 ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 2 −7 12 − 38.016 ⋅ 0.00807 −5 ⎢ ⎥ ⋅ ⎨φ 22 ⎬ = 0 2 ⎢ −5 0 5 − 38.016 ⋅ 0.00541⎥ ⎪⎩φ 32 ⎪⎭ ⎣ ⎦

5.3328 ⋅ φ12 − 7 ⋅ φ 22 = 0 − 7 ⋅ φ12 + 0.3328 ⋅ φ 22 − 5 ⋅ φ 32 = 0 − 5 ⋅ φ 22 − 2.8230 ⋅ φ 32 = 0 si : φ12 = 1

φ 22 = 0.762 φ 32 = −1.349 Para ω3=53.179 ⎡17 − 53.179 2 ⋅ 0.00807 ⎤ ⎧φ13 ⎫ 0 −7 ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 2 −7 12 − 53.179 ⋅ 0.00807 −5 ⎢ ⎥ ⋅ ⎨φ 23 ⎬ = 0 2 ⎢ −5 0 5 − 53.179 ⋅ 0.00541⎥ ⎪⎩φ 33 ⎪⎭ ⎣ ⎦ −5.8305 ⋅ φ13 − 7 ⋅ φ 23 = 0 − 7 ⋅ φ13 − 10.8305 ⋅ φ 23 − 5 ⋅ φ 33 = 0 − 5 ⋅ φ 21 − 10.3080 ⋅ φ 31 = 0 si : φ13 = 1

φ 23 = −0.833 φ 33 = 0.404

[φ jn ]

1 1 ⎤ ⎡ 1 ⎢ = ⎢2.149 0.762 − 0.833⎥⎥ ⎢⎣2.915 − 1.349 0.404 ⎥⎦

Realizamos la normalización: φ jn =

u jn

(∑ m ⋅ u ) ) = [0.00807 ⋅ (1 + 2.149 jj

(Σm

11

⋅ u 2j1

1

2

2 jn

1

2

2

+ 2.915 2

(Σm

22

⋅ u 2j 2

) = [0.00807 ⋅ (1 + 0.762

(Σm

33

⋅ u 2j 3

) = [0.00541⋅ (1 + (− 0.833)

1

1

2

2

2

)]

1

2

+ (− 1.349)2 2

+ 0.404 2

= 0.338

)]

2

= 0.166

)]

2

= 0.100

1

1

127


entonces la matriz normal normalizada es: 10 ⎤ ⎡2.959 6.024 ⎢ [Φ] = ⎢6.358 4.590 − 8.33⎥⎥ ⎢⎣8.624 − 8.127 4.040 ⎥⎦

A partir de estos cálculos se procede a resolver los incisos: a) b)

Cortante basal y La carga lateral para cada nivel.

Primer modo.Para T1=0.403 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 10.8: v1 = 24 [in/s ] → v1 = 60.96 [cm/s] A1 = ω 1 ⋅ v1 = 15.58 ⋅ 60.96

[

A1 = 949.757 cm/s 2

el peso efectivo es definido por: W E =

]


para tal efecto se realiza la siguiente tabla: Nivel 1 2 3 Sumatoria

φI

Wi 7.92 7.92 5.31

WE =

2.959 6.358 8.624

Wi·φI 23.432 50.355 45.795 119.582

119.582 2 = 18.230 784.430

el cortante basal esta dado por: V = W E ⋅

A g

V = 18.230 ⋅ 949.757 ⋅

1 981

V = 17.649 [t ] La fuerza lateral en cada nivel esta dado por: Fi = V ⋅ (Wi ⋅ φ i Σ Wi ⋅ φ i )

Wi·φi2 69.325 320.158 394.946 784.430

Fi 3.458 7.432 6.759

128


Nivel 1

F1 = 17.649 ⋅

23.432 = 3.458 [t ] 119.582

Nivel 2

F2 = 17.649 ⋅

50.355 = 7.432 [t ] 119.582

Nivel 3

F3 = 17.649 ⋅

45.795 = 6.759 [t ] 119.582

Segundo modo.Para T2=0.165 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 10.8: v 2 = 8 [in/s ] → v 2 = 20.32 [cm/s] A2 = ω 2 ⋅ v 2 = 38.016 ⋅ 20.32

[

A2 = 772.485 cm/s 2


]



φI

Wi 7.92 7.92 5.31

WE =

6.024 4.590 -8.127

Wi·φI 47.710 36.353 -43.154 40.909

Wi·φi2 287.406 166.859 350.716 804.980

40.909 2 = 2.079 804.980


A g

V = 2.079 ⋅ 772.485 ⋅

1 981

V = 1.637 [t ] La fuerza lateral en cada nivel esta dado por: Fi = V ⋅ (Wi ⋅ φ i Σ Wi ⋅ φ i ) Nivel 1

F1 = 1.637 ⋅

47.710 = 1.909 [t ] 40.909

Fi 1.909 1.455 -1.727

129


Nivel 2

F2 = 1.637 ⋅

36.353 = 1.455 [t ] 40.909

Nivel 3

F3 = 1.637 ⋅

−43.154 = −1.727 [t ] 40.909

Tercer modo.Para T3=0.118 se obtiene la seudovelocidad del espectro de respuesta de la Figura 10.8: v 3 = 5 [in/s ] → v 3 = 12.7 [cm/s] A3 = ω 3 ⋅ v 3 = 53.179 ⋅12.7

[

A1 = 675.373 cm/s 2


]



φI

Wi 7.92 7.92 5.31

WE =

10 -8.33 4.04

Wi·φi 79.200 -65.974 21.452 34.679

Wi·φi2 792.000 549.560 86.668 1428.228

34.679 2 = 0.842 1428.228


A g

V = 0.842 ⋅ 675.373 ⋅

1 981

V = 0.580 [t ] La fuerza lateral en cada nivel esta dado por: Fi = V ⋅ (Wi ⋅ φ i Σ Wi ⋅ φ i )

Nivel 1

F1 = 0.580 ⋅

79.200 = 1.325 [t ] 34.679

Nivel 2

F2 = 0.580 ⋅

−65.974 = −1.103 [t ] 34.679

Fi 1.325 -1.103 0.359

130


F3 = 0.580 ⋅

Nivel 3

c)

21.452 = 0.359 [t ] 34.679

El cortante basal más probable: Como

T3 = 0.715 < 0.75 T2

y

T2 = 0.41 < 0.75 T1

por tantos es posible aplicar el método SRSS y el cortante basal mas probable esta dado por:

(

Vc = 17.649 2 + 1.637 2 + 0.580 2 Vc = 17.734 [t ]

)

1

2

131


Sistemas de varios grados de libertad. Método iterativo

Ejemplo 10.4

970 k/m2 peso tipo de un piso 2

vigas rígidas

75 k/m peso tipo de una columna de acero

1

3.5 m

50 k/m2 paredes no estructurales

3.5 m

Aceleración esp ectral, g

Considere el pórtico de acero de dos pisos que se muestra en la Figura 10.9. La estructura tiene una razón de amortiguamiento ξ=7%, se conoce que cada piso de deflecta 0.3 [cm] debido a una esfuerzo cortante del piso de 4.5 [t].

0.5 0.4 0.3

2% 5% 7%

0.2 0.1 0

6m Losa cuadrada

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Periodo, s

Estructura

Espectro de respuesta

Figura 10.9

Determinar: a) b) c) d)

El modelo matemático para el análisis dinámico y resumir éste en un dibujo indicando masas y rigideces por piso. Dibujar la primera forma modal aproximada y calcular el periodo fundamental de vibración del modelo matemático. Para el primer modo asumir T1=0.5 [s] y que la forma modal es φ2=1.0 y φ1=0.66, calcular la primera fuerza modal por piso. Cual es la aceleración pico del suelo

Solución:

La carga muerta tributaria al nivel de cada losa se obtiene sumando las contribuciones de la losa misma, las columnas y los muros, de la siguiente manera: Piso 1 1 = 34.920 [t ] 1000 1 4 muros = 50 ⋅ 6 ⋅ 3.5 ⋅ 4 ⋅ = 4.20 [t ] 1000 1 4 columnas = 75 ⋅ 3.5 ⋅ 4 ⋅ = 1.05 [t ] 1000

Losa = 970 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅

peso total

w1 = 40.17 [t ]

132


Piso 2 1 = 34.920 [t ] 1000 3. 5 1 4 muros = 50 ⋅ 6 ⋅ ⋅4⋅ = 2.10 [t ] 2 1000 3.5 1 4 columnas = 75 ⋅ ⋅4⋅ = 0.525 [t ] 2 1000 w2 = 37.545 [t ]

Losa = 970 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅

peso total

la rigidez de cada piso es la fuerza de corte requerida para producir un desplazamiento unitario en éste piso y es dado por: k1 = k2 = Esfuerzo cortante de piso / desplazamiento k1 = k 2 =

a)

4. 5 = 15 [t/cm ] 0. 3

El modelo dinámico del pórtico de pisos puede considerarse una estructura resistente a corte con todas las masas concentradas en las losas rígidas de entrepiso y teniendo un grado de libertad, una traslación horizontal, para cada losa de entre piso. El modelo matemático se ilustra en la Figura 10.10. 1.00

m2 =37.545/g k2 =15 m1 =40.170/g

0.64

k1 =15

Estructura

Modelo dimámico

Forma modal

Figura 10.10

b)

La forma modal y el periodo fundamental de vibración se obtiene mediante una técnica de iteración. El procedimiento es ilustrado a continuación en una tabla con la forma modal inicial, primeros valores para la iteración, definido por: u 2 = 1.00 u1 = 0.66

37.545/g 40.17/g

Rigidez del piso ki 15 15

Modo Inicial ui 1.00 0.66

Fuerza de Fuerza de Deriva del Desplaz. inercia corte piso de piso mi ω2 ui Ki Δi Δi ΣΔi 37.545·ω2/g 37.545·ω2/g 2.503·ω2/g 6.773·ω2/g 26.512·ω2/g 64.057·ω2/g 4.270·ω2/g 4.270·ω2/g

2 1

37.545/g 40.17/g

15 15

1.00 0.63

37.545·ω2/g 37.545·ω2/g 2.503·ω2/g 6.693·ω2/g 25.307·ω2/g 62.852·ω2/g 4.190·ω2/g 4.190·ω2/g

1.00 0.64

2 1

37.545/g 40.17/g

15 15

1.00 0.64

37.545·ω2/g 37.545·ω2/g 2.503·ω2/g 6.720·ω2/g 25.709·ω2/g 63.254·ω2/g 4.217·ω2/g 4.217·ω2/g

1.00 0.64

Nivel de piso i

Masa del piso mi

2 1

Modo revisado 1.00 0.63

133


La ultima forma modal revisada es idéntica a su anterior en la ultima iteración. La forma modal final es mostrada en la figura anterior. La frecuencia circular natural del primer modo se obtiene por la ecuación del valor final del componente de desplazamiento mas grande para su valor inicial:

6.720 ⋅

ω2 g

= 1.00

⎛ 1.00 ⋅ 981 ⎞ ⎟ ⎝ 6.720 ⎠

ω =⎜

1

2

ω = 12.082 [rad/s] el periodo fundamental esta dado por: T=

2 ⋅π

ω

=

2 ⋅π 12.082

T = 0.52 [s]

c)

Las fuerzas laterales se obtienen de la siguiente manera.

Para T1 = 0.52 [s] y para un coeficiente de amortiguamiento ξ=7% la correspondiente aceleración espectral es obtenido del espectro de respuesta como: A=0.18·g El factor de participación es definido como: P =

ΣM i ⋅ φ i M i ⋅ φ i2

para tal efecto se realiza la siguiente tabla: Nivel 2 1 base Sumatoria

φI

Wi 37.545 40.170

1.00 0.64

P=

Wi·φi 37.545 25.709

Wi·φi2 37.545 16.454

63.254

53.999

Fi 7.914 5.419

63.254 = 1.171 53.999

las fuerzas laterales para los respectivos niveles están dadas por: Fi = Wi ⋅ φ i ⋅ P ⋅

Nivel 2

A g F2 = 37.545 ⋅ 1.171 ⋅

0.18 ⋅ g = 7.914 [t ] g

Vi 7.914 13.333

134


Nivel 1

F1 = 25.709 ⋅1.171⋅

0.18 ⋅ g = 5.419 [t ] g

El cortante basal esta dado por: Σ Fi = V

d)

Nivel 1

V1 = 7.914 [t ]

Nivel 2

V 2 = 7.914 + 5.419 = 13.333 [t ]

La aceleración pico del suelo ocurre en el tiempo t = 0 y se obtiene del espectro de respuesta como:

A = 0.2 ⋅ g

Capítulo 11

CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS

11.1

INTRODUCCIÓN

La forma del edificio, tamaño, naturaleza y localización de los elementos resistentes, es decir: muros, columnas, pisos, núcleos de servicio, escaleras; y elementos no estructurales como: cantidad y tipo de divisiones interiores, la forma en que los muros exteriores se disponen sólidos o con aberturas para iluminación natural y ventilación; es a lo que se denomina configuración. Predominan también: geometría, geología y clima del lugar de construcción, reglamentos de diseño urbano y aspectos arquitectónicos de estilo. Estas decisiones arquitectónicas, tal como se ha podido observar en las edificaciones dañadas por los efectos de los terremotos, unidas a decisiones de diseño estructural y a las técnicas constructivas influyen determinantemente en el comportamiento sismo resistente de las edificaciones. Una adecuada selección del sistema estructural, del material y de los componentes no estructurales es de mayor importancia que un análisis complejo. A pesar, e independientemente de todo lo sofisticado que sea el método de análisis utilizado por el ingeniero, no se puede hacer que un sistema estructural may concebido se comporte satisfactoriamente en un terreno severo. Si se trabaja conjuntamente desde el inicio de esquema en un proyecto de edificación entre arquitecto e ingeniero, entendiendo de qué manera las decisiones pueden afectar el comportamiento sismo resistente de ésta, escogiendo apropiadamente los materiales básicos a utilizarse, la configuración y la estructuración del edificio. El ingeniero estructural no tendrá que pasar por la desagradable situación de escoger entre proponer revisiones que pueden llevar hasta la reformulación del proyecto inicial, o tratar de usar soluciones estructurales muy complicadas para resolver el problema producido, a causa de concepciones arquitectónicas inadecuadas. Es decir, que se deben conocer los aspectos críticos a ser considerados para garantizar la seguridad sísmica del proyecto.

11.2

REQUISITOS DE CONFIGURACIÓN

Cada estructura debe designarse como regular o irregular desde el punto de vista estructural: Estructuras regulares. Las estructuras regulares no tienen discontinuidades físicas considerables en su configuración en planta y configuración vertical o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Estructuras irregulares. Las estructuras irregulares tienen discontinuidades físicas considerables en su configuración o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Las características irregulares incluyen, sin estar limitadas a ello, las descritas en la Tabla 11.1 y la Tabla 11.2.

136

Criterios de estructuración sismorresistente en edificios

11.2.1 Configuración en Elevación

F

Tipo 1A - Irregularidad de rigidez (piso blando)

E D

Rigidez KC < 0.70 Rigidez KD o Rigidez KC < 0.80 (KD + KE + KF)/3

C B A

F

Tipo 2A - Irregularidad de peso (masa)

E D

mD > 1.50 mE o mD > 1.50 mC

C B A

b F E

Tipo 3A - Irregularidad vertical geométrica

D C

a > 1.30 b

B A

a

F

Tipo 4A - Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistente a las fuerzas laterales

E D C

b a

B

b>a

A

F E

Tipo 1A - Discontinuidad en capacidad (piso débil)

D C

Resistencia Piso B < 0.70 Resistencia Piso C

B A

Figura 11.1

Irregularidades en elevación

La Tabla 11.1 define posibles irregularidades verticales, y requerimientos adicionales de detalle, que deben satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidad estructural vertical están definidos: Irregularidad de rigidez (piso blando); Irregularidad de peso (masa); Irregularidad vertical geométrica; Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistentes a las fuerzas laterales y Discontinuidad en capacidad (piso blando)., puede considerarse de que no existen irregularidades de rigidez y de peso cuando para todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor de 1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba. Es conveniente que no existan cambios bruscos en las dimensiones, masas, rigideces y resistencias del edificio, para evitar concentraciones de esfuerzos en determinados pisos que son débiles con respecto a los demás. Los cambios bruscos en elevación hacen también que ciertas partes del edificio se comporten como apéndices, con el riesgo de que se produzca el fenómeno de amplificación dinámica de fuerzas conocido como chicoteo. En la Figura 11.1 se muestran las diferentes irregularidades con más detalle.

137


Tipo 1A

2A

3A

4A

5A

Definición de irregularidad Irregularidad de rigidez (piso blando) Un piso blando es aquel cuya rigidez lateral es menor del 70% de la rigidez del piso superior o menor del 80% de la rigidez promedio de los 3 pisos superiores al piso blando, en tal caso se considera irregular. Irregularidad de peso (masa) Debe considerarse que existe irregularidad de masa cuando la masa efectiva de cualquier piso es mayor del 150% de la masa efectiva de uno de los pisos contiguos. No es necesario considerar un techo que sea más liviano que el piso inferior. Irregularidad vertical geométrica Se considera que existe irregularidad vertical geométrica cuando la dimensión horizontal del sistema de resistencia a las fuerzas laterales en cualquier piso es mayor del 130% de la de un piso colindante. No es necesario considerar los pisos de azotea de un solo nivel. Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistente a las fuerzas laterales Se considera este tipo de irregularidad, cuando existe un desplazamiento en el plano de los elementos resistentes a las cargas laterales mayor que la longitud de esos elementos. Discontinuidad en capacidad (piso débil) Un piso débil es aquel en que la resistencia del piso es menor del 80% de la resistencia del piso inmediatamente superior, en tal caso se considera irregular. La resistencia del piso es la resistencia total de todos los elementos resistentes a las fuerzas sísmicas que comparten el esfuerzo cortante del piso en la dirección bajo consideración. Tabla 11.1

Irregularidades verticales estructurales

11.2.2 Configuración en Planta Tipo 1P

2P

3P

4P

5P

Definición de irregularidad Irregularidad Torsional por considerarse cuando los diafragmas no son flexibles Se debe considerar que existe irregularidad torsional cuando el máximo desplazamiento relativo del piso (deriva), calculado incluyendo la torsión accidental, en un extremo de la estructura transversal a un eje es más de 1.2 veces el promedio de los desplazamientos relativos del piso de los dos extremos de la estructura. Esquinas reentrantes La configuración del plano de una estructura y su sistema resistente a las fuerzas laterales que contienen esquinas reentrantes, se considera irregular, cuando ambas proyecciones de la estructura, más allá de una esquina reentrante son mayores del 15% de la dimensión en el plano de la estructura en dicha dirección, Discontinuidad de diafragma Se considera irregular, cuando los diafragmas con discontinuidades abruptas o variaciones de rigidez, incluyendo las causadas por áreas recortadas o abiertas mayores del 50% del área bruta encerrada del diafragma o cambios en la rigidez efectiva del diafragma mayores del 50% de un piso al siguiente Desviaciones fuera del plano Se considera irregularidad, cuando existen discontinuidades en una trayectoria de fuerza lateral, como desviaciones fuera del plano de los elementos verticales Sistemas no paralelos Se considera irregular, cuando los elementos verticales resistentes a las cargas laterales no son paralelos ni simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales del sistema que resiste las fuerzas laterales. Tabla 11.2

Irregularidades estructurales en planta

138


La Tabla 11.2 define posibles irregularidades en planta y requerimientos adicionales de detalles, que deben satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidades en planta son definidos: Irregularidad torsional a ser considerado cuando los diafragmas no son flexibles; Esquinas reentrantes; Discontinuidad de diafragma; Desviación fuera del plano y Sistemas no paralelos. Las estructuras regulares son definidas como aquellas que no tienen discontinuidades físicas significativas en su configuración en planta y vertical o en su sistema resistente a las fuerzas laterales. En la Figura 11.2 se muestra en forma gráfica detallada las irregularidades mencionadas en la Tabla 11.2.

Tipo 1P - Irregularidad Torsional Δ1

Δ 1 > 1.2 (Δ 1 + Δ 2 )/2

Δ2

Tipo 2P - Esquinas Reentrantes A > 0.15 B y C > 0.15 D

Tipo 3P - Discontinuidad de Diafragma

C B

A

B

C

D

D

A

B

D

A C

E

C · D > 0.5 A · B y (C · D + C · E) > 0.5 A · B

Dirección bajo estudio

Tipo 4P - Desviaciones Fuera del Plano Desplazamineto del plano de acción

Sistemas No Paralelos

Tipo 5P - Sistemas No Paralelos

Figura 11.2

Irregularidades en planta

Es importante la simplicidad para un mejor comportamiento sísmico de conjunto de una estructura, y resulta más sencillo proyectar, dibujar, entender y construir detalles estructurales. Otro factor importante es la simetría respecto a sus dos ejes en planta, es decir su geometría es idéntica en ambos lados de cualquiera de los ejes que se esté considerando. La falta de regularidad por simetría, masa, rigidez o resistencia en ambas direcciones en planta produce torsión, que no es fácil de evaluar con precisión. Es necesario mencionar que a pesar de tener una planta simétrica, puede haber irregularidades debido a una distribución excéntrica de rigideces o masas ocasionando también torsión.

139


En caso de que se tuviera entrantes y salientes, es decir plantas en forma de T, L, H, U, etc. es aconsejable utilizar juntas de dilatación, dividiendo la planta global en varias formas rectangulares y como segunda opción se puede restringir las mismas con limites máximos, como se indica en la Figura 11.2 Es preferible no concentrar elementos rígidos y resistentes, tales como muros de corte, en la zona central de las plantas, porque son menos efectivos para resistir torsión, si bien los muros ubicados en la zona central tienen un comportamiento aceptable, las columnas estarán sujetas a un cortante por torsión mayor que aquél proporcionado por la ubicación de los muros en la periferia. No es nada recomendable colocar las escaleras y elevadores en las partes externas del edificio ya que tienden a actuar aisladamente ante los sismos, con concentraciones de fuerzas y torsiones difíciles de predecir sin llevar a cabo un análisis complicado.

11.2.3 Poco Peso Las fuerzas producidas por los sismos son de inercia, que es el producto de la masa por la aceleración, así las fuerzas de inercia son proporcionales a la masa, por tanto al peso del edificio; por ello debe procurarse que la estructura y los elementos no estructurales tengan el menor peso posible y además sean resistentes. No se recomiendan voladizos debido a que producen fuerzas de inercia verticales de magnitud apreciable que sumadas a las fuerzas de gravedad llegarían a causar serios problemas. Debido al aumento de las cargas laterales la falla de los elementos verticales como columnas y muros podría ser por pandeo, es ahí que la masa ejerce un rol importante; cuando la masa, empuja hacia abajo debido a la gravedad, ejerce su fuerza sobre un miembro flexionado o desplazado lateralmente por las fuerzas laterales, a este fenómeno se conoce como el efecto P-delta. Cuando mayor sea la fuerza vertical mayor será el momento debido al producto de la fuerza P y la excentricidad delta.

11.2.4 Hiperestaticidad

Articulaciones Plásticas

Figura 11.3

Si existe continuidad y monolitismo en un sistema estructural, es decir, que sea hiperestático, entonces mayor será la posibilidad de que, sin convertirse en un mecanismo inestable, se formen articulaciones plásticas, con alta capacidad de absorción de la energía proveniente del sismo. Se evitan también fallas locales serias, debidos a grandes esfuerzos locales engendrados por lo grandes desplazamientos y rotaciones causadas por el sismo presentes en uniones entre vigas y losas, y entre vigas y columnas.

140


Puede convenir diseñar estructuras que durante un sismo intenso los daños se concentren en zonas previstas para servir como disipadores, mediante deformaciones inelásticas, sin que se produzcan daños graves en el resto de la estructura. Así, es preferible utilizar una serie de muros acoplados por trabes que se diseñen para que en ellas se formen articulaciones plásticas, ver Figura 11.3.

11.2.5 Columna Fuerte, Viga Débil En estructuras de edificios aporticados es requisito que los miembros horizontales fallen antes que los verticales, permitiendo de esa manera el retraso del colapso total de una estructura. Las vigas y las losas generalmente no fallan aún después de un daño severo en aquellos lugares que se hayan formado las articulaciones plásticas, en cambio las columnas colapsan rápidamente bajo su carga vertical, cuando haya ocurrido aplastamiento del hormigón. Esto conduce a que las vigas peraltadas sobre columnas ligeras, no son apropiadas en regiones sísmicas.

11.3

SISTEMAS ESTRUCTURALES

Los sistemas estructurales deben clasificarse como uno de los tipos enunciados en la Tabla 12.7 y se definen en esta sección:

(a) Pórtico Resistente a Momentos

(c) Sistema Doble (Dual)

Figura 11.4

(b) Sistema de Muros Portantes

(d) Sistemas de Estructuras de Edificación

Sistemas estructurales

11.3.1 Sistema de muros Portantes Es un sistema estructural sin una estructura espacial de soporte de cargas verticales. Los muros de carga o sistemas de arriostramiento proporcionan el soporte a todas o a la mayoría de las cargas por gravedad. La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas.


141

11.3.2 Sistemas de Estructuras de Edificación Es un sistema estructural con una estructura espacial esencialmente completa que proporciona soporte a las cargas por gravedad. La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas que no cumplen con los requisitos de un sistema doble.

11.3.3 Sistema de Pórtico Resistente a Momentos Es un sistema estructural con una estructura espacial esencialmente completa que proporciona soporte a las cargas por gravedad. Los pórticos resistentes a momentos proporcionan resistencia a las cargas laterales principalmente por la acción de flexión de sus elementos

11.3.4 Sistema Doble (Dual) Es un sistema estructural con las siguientes características: 1.

Estructura espacial esencialmente completa que proporciona apoyo a las cargas por gravedad.

2.

La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas y pórticos resistentes a momentos (SMRF, IMRF, MMRWF, o OMRF en acero). Los pórticos resistentes a momentos deben diseñarse para resistir independientemente por lo menos el 25% del esfuerzo cortante basal máximo admisible de diseño.

3.

Los dos sistemas deben diseñarse para resistir el esfuerzo cortante basal máximo admisible total de diseño en proporción a sus rigideces relativas considerando la interacción del sistema doble en todos los niveles.

11.4

SELECCIÓN DEL MÉTODO DE ANÁLISIS

En base a los requisitos de configuración y los sistemas estructurales descritos anteriormente, se elige el método de análisis entre los que se tiene:

El método de la fuerza lateral estática puede utilizarse para las siguientes estructuras:

1

1.

Todas las estructura regulares e irregulares, en la Zona Sísmica 1 y clasificadas como Categorías de Destino 4 (destinos estándar) y 5 (destinos misceláneos) de la Zona Sísmica 2.

2.

Estructuras regulares menores de 73 m. (240 ft) de altura cuya resistencia a las fuerzas laterales la proporcionan los sistemas enunciados en la Tabla 12.7 1 , excepto edificaciones localizadas en lugares que tengan un perfil tipo de suelo SF y que tengan un periodo mayor de 0.7 segundos.

3.

Estructuras irregulares de no mas de 5 pisos o 20 m. (65 ft) de altura.

4.

Estructuras que tienen una parte superior flexible apoyada en una parte inferior rígida donde ambas partes de la estructura consideradas separadamente pueden clasificarse como regulares, la rigidez del piso promedio de la parte inferior es por lo menos 10 veces la rigidez del piso promedio de la parte superior y el periodo de la estructura total no es mayor de 1.1 veces el periodo de la parte superior considerada como una estructura separada fija en la base.

Referirse a la Tabla 12.7, pp. 165


142

El método de las fuerzas laterales dinámicas debe utilizarse para todas las demás estructuras, incluyendo las siguientes: 1.

2. 3. 4.

2

Estructuras de 73 m. (240 ft) o más de altura con excepción de estructuras en la Zona Sísmica 1 y en estructuras de destinos estándar y estructuras misceláneas como se define en la Tabla 12.8 2 de la Zona Sísmica 2. Estructuras que tienen una irregularidad de rigidez, peso o irregularidad vertical geométrica de los Tipos 1, 2 ó 3 como se define en la Tabla 11.1 u 11.2 Estructuras de más de 5 pisos o 20 m. (65 ft) de altura en las Zonas Sísmicas 3 y 4 que no tengan el mismo sistema estructural a través de toda su altura. Estructuras, regulares o irregulares, ubicadas en el Tipo de Perfil de Suelo SF que tengan un periodo mayor de 0.7 segundos. El análisis debe incluir los efectos del suelo en el sitio

Referirse a la Tabla 12.8, pp. 166

Capítulo 12

MÉTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE

12.1

DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS LATERALES

12.1.1 Factor de Zona Sísmica Cada lugar o región está dividida en diferentes zonas sísmicas, las cuales están demarcadas según la aceleración pico del suelo expresada en función de la constante de gravedad (g). Toda estructura a ser diseñada debe tener asignada un factor de zona sísmica Z de acuerdo con la Tabla 12.1. Estos valores se basan en registros históricos y datos geológicos y son también ajustados para proveer criterios de diseño consistentes con la región. Estos factores de zona sísmica son usados, conjuntamente con el tipo de perfil de suelo, para determinar el coeficiente de respuesta sísmica Ca y Cv dados en la Tabla 12.2. los cuales se utilizan para graficar el espectro de respuesta ilustrado en la Figura 12.1.

PERIODOS DE CONTROL


2.5 C a

T s = C v / 2.5 C a T 0 = 0.2.5 T s

Cv / T

Ca

T

0

T

s

Figura 12.1

Periodo [s] Espectros de respuesta de diseño

Método de la fuerza horizontal equivalente

144

12.1.2 Coeficiente de Respuesta del Terreno Los coeficientes de respuesta del suelo Ca y Cv se asignan a cada estructura de acuerdo con la Tabla 12.2, son parámetros que reflejan la amplificación de la vibración del terreno causada por diferentes tipos de suelo; estos coeficientes están en función del factor de zona Z, del tipo de perfil de suelo y, cuando sea necesario, del factor de cercanía a la fuente de origen Na y Nv. El periodo fundamental de la estructura determina cual de los dos coeficientes Ca o Cv gobierna el diseño sísmico de ésta.

12.1.3 Tipo de Perfil del Suelo Las vibraciones del terreno causadas por un sismo tienden a ser mayores en suelos suaves que en suelos firmes o roca. Como las vibraciones se propagan a través del material presente debajo de la estructura éstas pueden ser amplificadas o atenuadas dependiendo del periodo fundamental del material. De este modo se identifican seis tipos diferentes de perfil de suelos (Tabla 12.3); la clasificación se la realiza determinando en el sitio la velocidad promedio de las ondas de corte a 100 [ft] de profundidad; alternativamente, para los tipos de perfil de suelo C, D y E esta clasificación se realiza midiendo la resistencia al corte no drenada en el material o mediante el ensayo de penetración standard. El tipo de perfil de suelo SF requiere una evaluación especifica del lugar, la cual es realizada según la división V, sección 1636 del código UBC. Cuando se desconocen las propiedades del suelo necesarias para determinar el tipo de perfil de suelo se debe emplear el tipo SD.

12.1.4 Tipo de Lugar de Origen del sismo Para clasificar el tipo de origen sísmico se toma en consideración la magnitud del momento máximo de la falla y su proporción de deslizamiento, se distinguen 5 tipos, desde el tipo o clase de origen más activo (tipo A) hasta el menos activo (tipo C) en la Tabla 12.4.

12.1.5 Factor de Cercanía a la Fuente de Origen En regiones sujetas a magnitudes sísmicas considerables, como las que tienen lugar en la zona sísmica 4, regiones cerca de la falla de ruptura pueden experimentar una elevación en la aceleración del suelo del doble en una distancia de 10 [km] a la redonda del origen. De acuerdo a esto, el código UBC introduce dos factores de amplificación en la Tabla 12.5, Na, el factor basado en la aceleración, para estructuras de periodo corto; y Nv, el factor basado en la velocidad para periodos que exceden 1 [s]. El código UBC 1 limita a 1.1 el valor de Na para estructuras regulares localizadas en tipos de perfil de suelo SA, SB, SC, o SD, con un factor de redundancia de 1 (ρ=1).

12.1.6 Periodo fundamental Cada estructura posee un único periodo natural o fundamental de vibración, el cual es el tiempo requerido para completar un ciclo de vibración libre. La rigidez, la altura de la estructura son factores que determinan o influyen en el periodo fundamental, y éste puede variar desde 0.1 [s], para sistemas simples, hasta varios segundos para sistemas de varios niveles. Como primera aproximación el periodo fundamental puede ser asumido igual al numero de niveles dividido por 10. El valor del periodo fundamental de la edificación debe obtenerse a partir de las propiedades de su sistema de resistencia sísmica, en la dirección a considerar; este requisito se puede suplir siguiendo los métodos presentados por el código UBC:

1

UBC, Sección 1629.4.2 [ref.15]

145


Método A: Para todas las edificaciones el valor de T puede aproximarse mediante la siguiente fórmula: T = C t ⋅ ( hn )

3

(12.1)

4

donde: hn= altura 2 en m. (ft), medida desde la base, del piso más alto del edificio. Ct= 0.0853 (0.035) para pórticos de acero resistentes a momento Ct= 0.0731 (0.030) para pórticos de hormigón armado resistente a momentos y estructuras arriostradas excéntricamente Ct= 0.0488 (0.20) para todas las demás edificaciones Método B: El periodo fundamental puede calcularse utilizando el procedimiento de Rayleigh: ⎛ T = 2π ⋅ ⎜ ⎜ ⎝

donde:

n

∑ i =1

⎞ ⎛ wi ⋅ δ i2 ⎟ ÷ ⎜ g ⋅ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

n

∑f

i

i =1

⎞ ⋅δi ⎟ ⎟ ⎠

(12.2)

δi= desplazamiento horizontal en el nivel i debido a la fuerza fi fi= fuerza lateral en el nivel i wi= carga muerta del nivel i

Nivel n Nivel n-1 Nivel i Nivel 2 Nivel 1

Pórtico

δn

wn δn-1

wn-1 δi

wi w2 w1

Peso de los pisos

Figura 12.2

δ2 δ1

Desplazamientos

fn f n-1 fi f2 f1

Fuerza Lateral

Procedimiento de Rayleigh

Los valores de fi representan cualquier fuerza lateral distribuida en forma racional como muestra la Figura 12.2; esta distribución en forma de triangulo invertido corresponde a la distribución de la cortante basal. Las deflexiones elásticas δi, deben calcularse utilizando las fuerzas laterales aplicadas fi. Si la contribución de los elementos no estructurales a la rigidez de la estructura es subestimada, el calculo de las deflexiones y el periodo natural son sobreestimados, dando valores demasiado bajos para los coeficientes de 2

Los coeficientes entre paréntesis son para unidades inglesas

146


fuerza. Para reducir el efecto de este error el código UBC 3 especifica que el valor de T del método B no debe exceder de un valor de 30% mayor que el de T obtenido del método A en la zona sísmica 4 y del 40% en las zonas sísmicas 1, 2 y 3.

12.1.7 Amortiguamiento y Ductilidad Los niveles de amortiguamiento son naturalmente dependientes del nivel de deformación o esfuerzo en una estructura, de los materiales empleados, la naturaleza del subsuelo, la forma de la estructura, la naturaleza de la vibración. La gran cantidad de valores de amortiguamiento determinados experimentalmente han sido obtenidos por lo general, ya sea de componentes estructurales individuales o a partir de vibraciones de baja amplitud. De ahí que para estructuras de conjunto sujetas a movimiento fuerte del suelo, será necesaria alguna extrapolación de los datos de amortiguamiento existentes. La Tabla 12.6 indica valores representativos del amortiguamiento para varios tipos de construcción.

Fuerza

La ductilidad es una medida de la habilidad del sistema estructural de deformarse mas allá de su límite elástico sin colapsar. Esto le permite a la estructura absorber energía y seguir soportando las cargas y resistiendo las fuerzas. En el caso de una carga sísmica cíclica, la estructura sufre sucesivas cargas y descargas y la relación fuerza-desplazamiento toma una secuencia histerética. Para un sistema elastoplástico idealizado esta relación es ilustrada en la Figura 12.3 donde el área encerrada es una medida de la energía disipada por el sistema.

Energia disipada

Fuerza

VE

Desplazamiento

VM VS

Elástica

Real Diseño

ΔS

ΔM

ΔE

Desplazamiento

(a) Figura 12.3

(b)

(a) Energía de disipación histerética. (b) Curva de fuerza-deformación asumida

Cuando una estructura es sujeta a un movimiento sísmico, ésta tiene la capacidad de absorber gran parte de la energía sísmica; una parte sustancial de energía es almacenada temporalmente por la estructura en forma de energía de deformación y energía cinética. Después de corto tiempo el movimiento sísmico puede ser tan fuerte que el punto de fluencia se excede en ciertas partes de la estructura y principia la disipación permanente de energía en forma de deformación inelástica (histerética). A través de todo el sismo la energía es disipada por amortiguamiento, el cual es, por supuesto, el medio por el cual la energía elástica es disipada una vez que cesa el movimiento del suelo. Es evidente que se requiere de una gran ductilidad para disipar en gran proporción la energía histerética generada por un sismo.

3

UBC, Sección 1630.2.2 [ref.15

147


Los factores de ductilidad para estructuras se utilizan en forma tal que implican una reducción en los valores espectrales de respuesta, por consiguiente se requiere una estimación razonable del factor de ductilidad permisible. Para este propósito se debe estar conciente de las diferencias entre los diferentes tipos de factores de ductilidad involucrados en la respuesta de las estructuras a carga dinámica. A este respecto debe hacerse una distinción entre el factor de ductilidad de un miembro, el factor de ductilidad de un entrepiso en un edificio y el factor de ductilidad global del edificio, para usarse en el cálculo del cortante basal a partir de los valores espectrales de respuesta. El factor de ductilidad de un miembro, de un entrepiso o el factor de ductilidad global, están todos gobernados por el desarrollo de una relación fuerza-desplazamiento, en la que el desplazamiento es la deformación longitudinal en un miembro a tensión o a compresión, la rotación de una junta o conexión en un miembro a flexión o la deformación por cortante en un muro de corte. El factor de ductilidad de entrepiso se define esencialmente por medio de una relación en la que el desplazamiento es la deflexión relativa entre el piso por encima y el piso por debajo del entrepiso que se trata. El factor de ductilidad global es, en general, un promedio ponderado de los factores de ductilidad de entrepiso, y la mejor manera de definirlo es considerando un patrón particular de desplazamiento que corresponda al modo preferible de deformación de la estructura, en una condición de respuesta que la energía inelástica sea absorbida de manera tan general como sea posible para desarrollar tal deformación por toda la estructura. El factor de ductilidad de miembro puede ser considerablemente más grande que el factor de ductilidad de entre piso, que a su vez puede ser algo más grande que el factor de ductilidad global. La asignación del factor de ductilidad global de la estructura deberá realizarse de manera conservadora y teniendo en cuenta que las posibilidades de disipación de energía por deformaciones inelásticas dependen de muchos factores como por ejemplo: configuración estructural, distribución de rigideces y resistencia, características de los componentes estructurales y uniones, materiales y otros.

12.1.8 Factor de Modificación de Respuesta Como resulta antieconómico el diseñar una estructura que permanezca dentro de su rango elástico durante un sismo; la capacidad de absorción de energía no lineal del sistema es una ventaja que permite limitar el daño estructural sin disminuir la capacidad de la estructura de soportar carga vertical. En adición, como ocurre la fluencia, el periodo natural y el coeficiente amortiguamiento se incrementan reduciendo de este modo la fuerza sísmica desarrollada en la estructura. El factor R de modificación de la respuesta es el coeficiente de la cortante basal sísmica, el cual debe desarrollarse en un sistema linealmente elástico, y es una medida de la capacidad del sistema para absorber energía y mantener un comportamiento cíclico de deformación sin colapsar. El código UBC proporciona una serie de valores para R, los cuales están tabulados en la Tabla 12.7; el valor de R se incrementa a medida que la ductilidad de la estructura aumenta y su capacidad de disipación de energía aumenta; R es un coeficiente numérico representativo de la capacidad de ductilidad global de los sistemas resistentes a fuerzas laterales.

12.1.9 Factor de Importancia Para propósitos de diseño resistente a movimientos sísmicos, cada estructura debe clasificarse de acuerdo a una de las categorías de destino enunciadas en la Tabla 12.8, la cual asigna factores de importancia I.

12.1.10Coeficiente de Respuesta Sísmica El coeficiente de respuesta esta definido por: Cs =

Cv ⋅ I R ⋅T

(12.3)

148


La forma de esta expresión indica que el coeficiente de respuesta se incrementa a medida que se incrementa el factor de importancia y a medida que se reducen el factor de modificación de repuesta y el periodo natural. Las estructuras de amortiguamiento bajo construidas de material quebradizo son incapaces de tolerar deformaciones apreciables y para ellas se recomienda un valor bajo de R; en cambio a las estructuras altamente amortiguadas construidas de materiales dúctiles se les asigna un valor mayor de R. Para periodos fundamentales que exceden aproximadamente al segundo de tiempo (1.0 s), la respuesta de aceleración de la estructura se atenúa proporcionalmente a su periodo, como se advierte en la forma de la expresión del coeficiente de respuesta sísmica. El coeficiente de respuesta sísmica no debe ser mayor que: Cs ≤

2.5 ⋅ C a ⋅ I R

(12.4)

Esta expresión es valida para periodos cortos de hasta 1 [s] aproximadamente. Para periodos mayores, la ecuación 12.4 da valores conservadores. Para prevenir que valores demasiado bajos del coeficiente de respuesta sísmica sean adoptados para estructuras de periodos grandes, este coeficiente no debe ser menor que: C s ≥ 0.11 ⋅ C a ⋅ I

(12.5)

Además, para la zona sísmica 4, el valor mínimo del valor del coeficiente de respuesta sísmica es: Cs ≥

0.8 ⋅ Z ⋅ N v ⋅ I R

(12.6)

12.1.11Carga Muerta Sísmica La carga muerta sísmica W, es la carga muerta total y las partes correspondientes a otras cargas que se enuncian a continuación:

En las bodegas y destinos de almacenamiento se debe aplicar un mínimo de 25% de la carga viva del piso. Cuando se utilice una carga de tabiques en el diseño del piso, se debe incluir una carga no menor de 0.48 kN/m2 (10 psf). La carga de diseño de nieve debe incluirse cuando ésta exceda los 1.44 kN/m2 (30 psf), pero puede reducirse hasta el 75 % dependiendo de la configuración del techo, las condiciones del lugar, duración de la carga. Debe incluirse el peso total del equipo permanente y accesorios.

12.1.12Procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente Las fuerzas laterales producidas en la estructura por la vibración del terreno pueden determinarse mediante la estática o el procedimiento de la fuerza lateral equivalente, la cual utiliza la segunda ley de Newton para estimar la fuerza cortante en la base de la estructura. Cv ⋅ I ⋅W R ⋅T V = Cs ⋅W

V =

(12.7)

149


esta fórmula esta basada en la suposición de que la estructura sufrirá varios ciclos de deformación inelástica y disipación de energía sin llegar a colapsar. Las fuerzas y desplazamientos en la estructura se calculan asumiendo un comportamiento linealmente elástico. La relación fuerza-desplazamiento idealizada es mostrada en la Figura 12.3(b). Ésta ilustra que la cortante basal desarrollada en una estructura ideal completamente elástica es: VE =

Cv ⋅W T

(12.8)

con un valor máximo de: V E = 2.5 ⋅ C a ⋅ W

(12.9)

La cual es modificada por el factor de modificación de respuesta y el coeficiente de importancia para el calculo de la cortante basal de diseño:

VS = V E ⋅

I R

(12.10)

Si el desplazamiento calculado para este valor de diseño es ΔS y el factor de amplificación es 0.7·R se asume que el desplazamiento real es: Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ S

(12.11)

esta expresión representa un valor promedio para el desplazamiento inelástico; sin embargo varios estudios indican que la ecuación 12.11 puede subestimar el valor real de algunas estructuras. En otros casos ΔM puede calcularse por análisis de historia de tiempo (cronológico) no lineal; correspondiente al análisis dinámico de estructuras.

12.2

ESTRUCTURAS DE VARIOS NIVELES

12.2.1 Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica La distribución de la cortante basal sobre la altura de la edificación se obtiene como la superposición de todos los modos de vibración de un sistema de varios grados de libertad. La magnitud de la fuerza lateral que actúa sobre un nudo en particular depende de la masa del nudo, de la distribución de la rigidez sobre la altura de la estructura y del desplazamiento nodal en un modo dado, y esta dada por: Fx =

V ′ ⋅ wx ⋅φ x Σwi ⋅ φ i

(12.12)

donde: V’ = Cortante basal modal wi = Carga muerta sísmica localizada en el nivel i φi = Componente de la forma modal en el nivel i para un modo dado wx = Carga muerta sísmica localizada en el nivel x φx = Componente de la forma modal en el nivel x para un modo dado Para una estructura con una distribución de masas sobre su altura y asumiendo una forma modal lineal, como se observa en la Figura 12.4, la expresión anterior se reduce a: Fx =

V1 ⋅ w x ⋅ h x Σwi ⋅ hi

(12.13)

150


donde: hi = Altura sobre la base hasta el nivel i hx = Altura sobre la base hasta el nivel x

Nivel n Nivel n-1 Nivel x Nivel 2 hx

Nivel 1

wn

Ft

w n-1

Fn F n-1

wx

Fx H

Ø x= hx /H

w2 w1

F2 F1 V

Pórtico

Peso de los pisos

Figura 12.4

Desplazamiento de los pisos

Fuerza lateral

Cortante lateral

Distribución vertical de la fuerza sísmica

Si sólo se considera la forma modal fundamental, V1 representa la cortante basal de diseño para el modo fundamental y la distribución de la fuerza es lineal. Para tomar en cuenta el efecto de los modos altos en las edificaciones con periodos grandes, esto es cuando T excede a los 0.7 segundos, se debe añadir una fuerza Ft en la parte superior de la estructura, la cual esta dada por: Ft = 0.07 ⋅ T ⋅ V

(12.14)

donde: V = Ft + V1 V = Ft + ΣF x

(12.15)

donde : V = Cortante basal total de diseño que incluye la fuerza total adicional para tomar en cuenta el efecto de los modos altos Entonces la fuerza lateral de diseño en el nivel x esta dado por: Fx =

(V − Ft ) ⋅ w x ⋅ h x Σw i ⋅ h i

(12.16)

12.2.2 Volcamiento De acuerdo al código UBC 4 las estructuras deben ser diseñadas para resistir los efectos de volcamiento causados por las fuerzas sísmicas, las cuales deben transmitirse hasta la cimentación. Cuando se hacen presentes discontinuidades verticales en los elementos resistentes a fuerzas laterales, los elementos que soportan dichos

4

UBC, Sección 1630.8 [ref.15]

151


sistemas discontinuos deben tener la resistencia de diseño para soportar las cargas combinadas que resultan de las combinaciones de cargas sísmicas, las cuales son: 1.2 ⋅ D + f 1 ⋅ L + 1.0 ⋅ Ω 0 ⋅ E h

(12.17)

0.9 ⋅ D ± 1.0 ⋅ E m

donde: D = Carga muerta L = Carga viva, con excepción de la carga viva de techo f1 = 1.0 para pisos de reunión publica, para cargas vivas que exceden de 4.79 kN/m2 (100 psf) y para cargas vivas de garajes f1 = 0.5 para otras cargas vivas Em = Fuerza sísmica máxima que puede desarrollarse en la estructura Eh = Fuerza sísmica horizontal de diseño Ω0 = Factor de amplificación de la fuerza sísmica que se requiere para tomar en cuenta la sobreresistencia estructural en el rango inelástico, esta tabulado en la Tabla 12.7 S = Carga de nieve Cuando se determinan los esfuerzos en la interfase suelo-fundación puede omitirse la fuerza Ft en las estructuras regulares al determinar el momento de volcamiento, debido a que Ft representa la fuerza lateral debido a los modos altos y las fuerzas en todos los niveles no alcanzan su punto máximo simultáneamente 5 . Adicionalmente puede incrementarse una tercera parte en la presión admisible del suelo 6 . La presión del suelo se debe obtener de la combinación de carga: D + L + S + E / 1.4

(12.18)

12.2.3 Efecto P-delta El efecto P-delta en un piso dado es causado por la excentricidad de la carga gravitatoria presente por encima del piso, la cual produce momentos secundarios aumentando las deflexiones horizontales y las fuerzas internas. Este efecto debe tenerse en cuenta cuando el índice de estabilidad (θi) excede a 0.1, ó en zonas sísmicas 3 y 4 cuando la relación de desplazamiento de piso excede a 0.02/R. El índice de estabilidad esta dado por:

θi =

M si M pi

(12.19)

donde: Msi = Momento secundario del nivel en consideración Mpi = Momento primario del nivel en consideración El índice de estabilidad de cualquier piso no debe ser mayor a 0.3, si lo es, entonces la estructura es potencialmente inestable y debe rigidizarse. El momento secundario de un piso se define como el producto de la carga muerta total, carga viva y la carga de nieve por encima del piso multiplicada por el desplazamiento de piso. El momento primario de un piso se define como la cortante sísmica en el piso multiplicada por la altura del piso. Como se muestra en la Figura 12.5 el momento primario y secundario esta dado por:

5 6

Nivel

Mpi

Msi

θI

1

(F1 + F2)·hs1

2·(P1 + P2)·Δ1

Ms1/Mp1

2

F2·hs2

2·P2·Δ2

Ms2/Ms2

UBC, Sección 1809.4 [ref.15] UBC, Sección 1612.3.2 y 1802 y Tabla 18-I-A[ref.15]

152


Δ2

P2

P2 F2

h s2

Δ1

P1

P1 F1

h s1

Figura 12.5

Efecto P-delta

El efecto P-delta puede incluirse en el análisis elástico mediante el factor de amplificación, el cual esta dado por: ad =

θi 1−θ i

(12.20)

La cortante de nivel de cada piso es multiplicada por el factor (1-ad) correspondiente para ese nivel y las fuerzas internas y desplazamientos deben ser recalculados para la estructura. El efecto P-delta debe evaluarse utilizando las cargas de diseño, es decir las fuerzas que producen los desplazamientos Δs, es decir las fuerzas derivadas de la estática o fuerza lateral equivalente.

12.2.4 Desplazamientos de Piso El desplazamiento de piso es el desplazamiento lateral de un piso relativo al piso inferior de una estructura de varios niveles. Para edificaciones con periodo natural menor a 0.7 segundos, la sección 1630.10.2 del código UBC limita el desplazamiento relativo o la deriva a una máximo de 0.025 veces la altura del piso. Y para estructuras que tengan un periodo fundamental de 0.7 segundos o mayor, el desplazamiento relativo calculado del piso no debe exceder de 0.02 veces la altura del piso. El propósito de estas limitaciones es el asegurar un mínimo de rigidez para así controlar la deformación inelástica y la posible inestabilidad. Los desplazamientos relativos de piso o derivas deben calcularse utilizando el desplazamiento de respuesta inelástica máxima dado como: Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ s

(12.21)

donde: Δs = Desplazamiento de respuesta del nivel de diseño Para el cálculo del desplazamiento del nivel de diseño se debe preparar un análisis elástico estático del sistema resistente a las fuerzas laterales utilizando las fuerzas sísmicas de diseño; el modelo matemático debe cumplir con la sección 1630.1.2 del código UBC:

153


Las propiedades de rigidez de los elementos de hormigón y de mampostería reforzados deben considerar los efectos de las secciones agrietadas, y de acuerdo con la sección 1633.2.4 las propiedades de rigidez pueden asumirse igual a la mitad de las propiedades de la sección bruta a menos que se realice un análisis racional de la sección agrietada. En los sistemas de pórticos de acero resistentes a momentos, debe incluirse la contribución de las deformaciones de la franja de tablero al desplazamiento total del piso.

Adicionalmente se debe considerar el efecto P-delta en el cálculo del desplazamiento de respuesta inelástica máxima cuando el caso así lo requiera. El valor del periodo fundamental calculado por el método B (ecuación 12.2) es más realista que aquel calculado por el método A (ecuación 12.1); en pero la sección 1630.10.3 del código UBC afloja el requisito, para el cálculo de la deriva, en el cual TB puede no exceder el valor de TA por un 30% en la zona sísmica 4, y por un 40% en zona sísmica 1,2,3. Y no debe imponerse límite de desplazamiento para estructuras de acero de un solo piso clasificados como destinos de los grupos B, F y S o del grupo H división 4 o 5 7 . B

Cuando se diseña una estructura mediante el análisis dinámico, se debe utilizar el espectro de respuesta apropiado del terreno sin reducción por el factor de modificación de respuesta R. Esto da resultados de desplazamiento iguales a los valores elásticos correspondientes al espectro de respuesta elástico. Para estructuras de periodo grande con un periodo fundamental dentro de la región sensitiva de velocidad del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elástico es aproximadamente igual al desplazamiento total inelástico. Para estructuras de periodo corto con un periodo fundamental dentro la región sensitiva de aceleración del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elástico usualmente subestima el desplazamiento inelástico total. Cuando el análisis dinámico, aplicado a una estructura regular, utiliza el espectro de respuesta construido de acuerdo a la Figura 12.1, la sección 1631.5.4 del código UBC permite que la respuesta de desplazamiento elástico se reduzca a un valor correspondiente a la cortante basal equivalente del 90% de la cortante basal derivada del análisis estático. Cuando el análisis dinámico, aplicado a una estructura regular utiliza el espectro de respuesta especifico del lugar, el código permite que la respuesta de desplazamiento elástico se reduzca a una valor correspondiente a la cortante basal equivalente del 80% de la cortante basal derivada del análisis estático. En ningún caso los desplazamientos pueden ser menores a los desplazamientos de respuesta elástica divididos por el factor de modificación de respuesta.

12.2.5 Cargas en los Diafragmas Los diafragmas de piso y techo deben diseñarse para resistir las fuerzas determinadas según la siguiente formula: F px =

Ft + ΣFi ⋅ w px Σ wi

(12.22)

0..5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px donde: Ft = Fuerza lateral concentrada en la parte superior de la estructura Fi = Fuerza lateral en el nivel i ΣFi = Fuerza cortante total en el nivel i wi = Carga muerta sísmica total localizada en el nivel i Σwi = Carga muerta sísmica total en el nivel i y por encima wpx = El peso del diafragma y el elemento tributario al mismo en el nivel x, no incluye muros paralelos a la dirección de la carga sísmica

7

UBC, Sección 1630.10.2 [ref.15]

154


Para una estructura simple ésta se reduce a: Fp =

V ⋅wp

W ⎛C ⋅I ⎞ F p = ⎜⎜ v ⎟⎟ ⋅ w p ⎝ R ⋅T ⎠

12.3

(12.23)

FUERZA CORTANTE BASAL PARA EL DISEÑO SIMPLIFICADO

Para pequeñas estructuras, la sección 1630.2.3 del código UBC permite un método de diseño alternativo. Este método provee resultados conservadores en comparación con el otro método disponible, pero permite un rápido y simple cálculo de la cortante basal sísmica. El método es aplicable a estructuras cuya categoría de destino corresponde a la 4 o 5 de la Tabla 12.8, de pórticos ligeros que no excedan los 3 niveles, o de cualquier construcción que no exceda los 2 pisos de altura.

12.3.1 Fuerza Cortante Basal La fuerza cortante basal de diseño en una dirección determinada debe calcularse según: V=

3.0 ⋅ C a ⋅W R

(12.24)

Cuando se desconoce los parámetros del suelo, para determinar el valor de Ca, debe utilizarse el tipo de perfil de suelo SD en zonas sísmicas 3 y 4, y el tipo SE en las demás. Para estructuras regulares ubicadas en la zona sísmica 4 el factor de cercanía a la fuente no necesita ser mayor de 1.3.

12.3.2 Distribución Vertical Las fuerzas en cada nivel deben calcularse utilizando la siguiente formula: 3 .0 ⋅ C a wi R V Fx = wi W Fx =

(12.25)

12.3.3 Calculo de los Desplazamientos de Piso El efecto P-delta y los desplazamientos de piso no son normalmente requeridos cuando se utilice el método simplificado. Si es necesario, en sistemas estructurales relativamente flexibles, se puede considerar los efectos Pdelta y los desplazamientos, y para ello el desplazamiento de respuesta inelástica máxima esta dada por: Δ M = 0.01 ⋅ h s

donde: hs = La altura de piso

(12.26)

155


12.3.4 Determinación de la Carga Sobre los Diafragmas De acuerdo a la sección 1630.2.3.4 del código UBC, la carga actuante en el diafragma horizontal se determina a partir de la expresión:

donde

12.4

F px =

3.0 ⋅ C a ⋅ w px R

(12.27)

F px =

V ⋅ w px W

(12.28)

: 0.5 ⋅ C a ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ w px

COMBINACIONES DE CARGA

12.4.1 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño por Resistencia Llamado también diseño por factores de carga y de resistencia. Cuando se utiliza el principio de resistencias de diseño, el requerimiento básico es de asegurarse que la resistencia de diseño de un miembro no sea menor que la resistencia ultima requerida. Para la resistencia requerida se considera las cargas de servicio multiplicadas por un factor de carga apropiado como los que indica el reglamento ACI y se presentan en la Tabla 12.9. No es necesario asumir que el viento y las cargas debidas al sismo actúan simultáneamente. La carga sísmica E es una función de ambas fuerzas sísmicas, horizontal y vertical, y esta dada por: E = ρ ⋅ Eh + Ev

(12.29)

donde: Eh = carga sísmica debida al esfuerzo cortante en la base Ev = fuerza vertical debida a los efectos de la aceleración vertical del suelo Ev = es igual a añadir 0.5·Ca·I·D al efecto de la carga muerta para el diseño por resistencia Ev = 0, para el diseño por esfuerzos admisibles ρ = factor de confiabilidad o redundancia. y

ρ = 2− ρ = 2−

6 .1 rmax ⋅ AB 20 rmax ⋅ AB

[SI] [unidades ingleasas]

(12.30)

1.0 ≤ ρ ≤ 1.5 donde: AB = area de la estructura en el nivel del suelo en m2 (ft2) rmax = máxima relación del esfuerzo cortante del elemento-piso B

El valor asumido para Ev representa la magnitud de la respuesta vertical debida a la aceleración vertical del suelo, la cual es considerada que tiene gran probabilidad de ocurrir simultáneamente con la respuesta horizontal máxima.

156


Para una dirección determinada de carga, la relación del esfuerzo cortante del elemento-piso es la relación del esfuerzo cortante del piso de diseño en el elemento individual de mayor carga dividido por el esfuerzo cortante total de diseño del piso. Para cualquier nivel esta relación se denomina ri. La relación máxima del esfuerzo cortante del elemento-piso rmax se define como la mayor de las relaciones ri que se da en cualquiera de los niveles de piso a un nivel igual a las 2/3 partes de la altura de la edificación o a una altura inferior. Para proporcionar en la estructura varias trayectorias de resistencia a cargas laterales se provee de un cierto grado de redundancia al sistema. La fluencia de un elemento del sistema deriva en una redistribución de la carga en los elementos que todavía permanecen, de este modo se controla los desplazamientos y la deterioración de la estructura y además se retarda la formación de mecanismos de colapso. De este modo para mejorar el rendimiento sismo resistente de las edificaciones es necesario proporcionar múltiples trayectorias de carga para hacer de este modo el sistema resistente a fuerzas laterales lo mas redundante posible. Es así que el factor de redundancia ρ penaliza a las estructuras que tiene un grado de redundancia bajo con un incremento hasta del 50% de la fuerza horizontal de diseño. Y cuando se calcula el desplazamiento o cuando la estructura esta ubicada en las zonas sísmicas 0, 1 ó 2, ρ debe considerarse igual a 1.0 Para estructuras arriostradas, el valor de ri se determina como se muestra en la Figura 12.6. asumiendo que cada tirante o abrazadera resiste igual cortante sísmica, la máxima relación del esfuerzo cortante del elemento-piso es:

rmax = 0.5 El factor de redundancia esta dado por:

ρ = 2−

6.1

0.5 ⋅ 10 ⋅ 20 ρ = 1.14

10 m

Arriostre 20 m

V/2

V/2

Figura 12.6

Pórtico arriostrado

Para pórticos resistentes a momentos, ri debe tomarse como el máximo de la suma de las fuerzas cortantes en dos columnas contiguas cualquiera en una nave del pórtico resistente a momentos dividida por el esfuerzo cortante del piso, como muestra la Figura 12.7 para una estructura de un nivel y 4 naves. Para una columna común a dos niveles se utiliza el 70% del esfuerzo cortante en esa columna en la suma. Asumiendo que cada nave resiste una fuerza sísmica como indica la Figura 12.7, rmax es:

rmax = 0.33

157


20 m Pórtico resistente a momentos

10 m

V/6

V/3

V/3

Figura 12.7

V/6

Pórtico resistente a momentos

El factor de redundancia esta dado por:

ρ = 2−

6.1

0.33 ⋅ 20 ⋅10 ρ = 0.69 ρ = 1.0 mínimo

En los pórticos especiales resistentes a momentos ρ no debe ser mayor que 1.25. En los muros de corte, ri se determina como en la Figura 12.8, el cual es el valor máximo del producto del esfuerzo cortante del muro multiplicado por 3.05/lw (para unidades inglesas 10/lw) y dividido por el esfuerzo cortante total del piso, donde lw es la longitud del muro en metros (ft). Asumiendo que cada muro de corte resiste la mitad de la cortante sísmica como indica la Figura 12.8, rmax es: rmax = 0.5 ⋅

3.05 lw

rmax = 0.5 ⋅

3.05 30

rmax = 0.05

60 m Muro de Corte

30 m

V/2

V/2

Figura 12.8

Estructura con muros de corte

158


El factor de redundancia esta dado por:

ρ = 2− ρ = 1.0

6.1 0.05 ⋅ 30 ⋅ 60 mínimo

En sistemas dobles (dual), ri se determina como se muestra en la Figura 12.9 y se toma como el valor máximo definido en párrafos anteriores, considerando todos los elementos resistentes a cargas laterales. El factor de redundancia se toma como el 80% del valor calculado normalmente. Asumiendo que la cortante es distribuida entre los elementos como se indica en la Figura 12.9, rmax es:

rmax = 0.375 El factor de redundancia esta dado por: ⎛

ρ = 0.8 ⋅ ⎜⎜ 2 − ⎝

⎞ ⎟ ⎟ 0.375 ⋅ 30 ⋅ 60 ⎠ 6. 1

ρ = 1.29

60 m

30 m

Arriostre

3V/8

3V/8

Pórtico Resistente a Momentos V/8

V/8

Figura 12.9

Sistema doble

Las combinaciones de carga presentes en la Tabla 12.9 no se aplican para elementos de concreto cuando en las combinaciones no esta incluida la carga sísmica; para esta situación la sección 1909.2 del código UBC especifica las combinaciones de carga a ser utilizadas. Las combinaciones de carga factorizadas deben multiplicarse por 1.1 para hormigón y mampostería cuando en las combinaciones de carga esta incluida la carga sísmica.

12.4.2 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño de Esfuerzo Admisible El requisito básico para el diseño por esfuerzos admisibles es que, los esfuerzos en los elementos no deben exceder a los limites permisibles cuando están sujetos a las cargas de servicio. Se debe permitir que las estructuras y parte de las mismas se diseñen para los efectos más críticos que resulten de las siguientes combinaciones de carga. Para las combinaciones de carga incluyendo viento y sismo se permite un incremento de 1/3 parte de los esfuerzos admisibles.

159


Para el diseño por esfuerzos admisibles Ev , la respuesta vertical debida a los efectos de la aceleración vertical, se toma igual a cero. Además las cargas de viento y sismo no necesitan asumirse simultáneamente

12.5

TORSIÓN

Para transferir las fuerzas sísmicas al suelo, se deben utilizar los elementos resistentes verticales y horizontales para proporcionar trayectorias de cargas continuas a partir del tope de la estructura hacia las fundaciones. Los componentes verticales consisten de muros de corte, pórticos arriostrados y pórticos resistentes a momentos. Los componentes horizontales consisten de techos y diafragmas de piso, los cuales distribuyen las fuerzas laterales a los elementos verticales. Los diafragmas se consideran flexibles cuando la deformación lateral máxima del diafragma, bajo carga lateral, es mas del doble del desplazamiento promedio por piso del piso asociado. Esto puede determinarse comparando el punto medio calculado en la deflexión en planta del diafragma mismo con el desplazamiento por piso de los elementos colindantes resistentes a las fuerzas verticales tal como ilustra la Figura 12.10. el diafragma puede modelarse como una viga simple entre soportes y la distribución de la carga a éstos es independiente de sus rigideces relativas y proporcional al área tributaria correspondiente.

δM

δA δM> 2δA

Muro de Corte

Diafragma

Carga Sísmica Figura 12.10

Diafragma flexible

Cuando la deformación lateral máxima del diafragma es menor del doble del desplazamiento promedio de piso, el diafragma se considera rígido. Se deben considerar los incrementos del esfuerzo cortante que resulta de la torsión horizontal cuando los diafragmas no son flexibles. La distribución de la carga a los soportes es proporcional a sus rigideces relativas y es independiente del área tributaria soportada.

12.5.1 Momento Torsor El centro de rigideces es aquel punto alrededor del cual la estructura tiende a rotar cuando esta sujeta a una fuerza excéntrica. En el caso de la fuerza sísmica, ésta actúa en el centro de masas de la estructura y el momento torsor es el producto de la fuerza sísmica y la excentricidad del centro de masas con respecto al centro de rigideces. La ubicación del centro de masas calculado no es exacta debido a la distribución imprecisa del peso de la estructura, lo cual conduce a una torsión accidental; y acontece algo similar con el centro de rigideces calculado debido a la rigidez despreciada de los componentes no estructurales. Para tomar en cuenta estas incertidumbres debe asumirse que la masa en cada nivel se ha desplazado del centro de masas calculado en cada dirección una distancia igual al 5% de la dimensión de la edificación en ese nivel perpendicular a la dirección de la fuerza bajo consideración. Esta excentricidad accidental se amplifica cuando

160


existe una irregularidad torsional, como se define en la Tabla 11.2, multiplicándola por un coeficiente de amplificación Ax determinado de acuerdo a la siguiente ecuación: 2

⎛ δ max Ax = ⎜ ⎜ 1.2 ⋅ δ avg ⎝ donde:

⎞ ⎟ ≤ 3.0 ⎟ ⎠

(12.31)

δavg = el promedio de los desplazamientos en los puntos extremos de la estructura en el nivel x δmax = el desplazamiento máximo en el nivel x

12.5.2 Centro de Masas y Centro de Rigideces

V=Fuerza Sísmica N-S ex

R

r

CM (calculada)

CR R

N

R

W

ea

B

E

ea

rS

N

R r

N

S

r =L·R /(R +R ) E

W

W

W

E

L ea = Excentricidad accidental = 0.05·L V Fuerzas en el Plano

R V/(R +R ) W

W

R V/(R +R )

E

E

W

E

R r V(ex+e a)/ΣR r 2 N

_ T=V(e x+e a)

N

Efectos de la Torsión

R r V(ex+e a)/ΣR r 2 S

-R r V(ex-ea)/ΣR r 2 W

R r V(ex+e a)/ΣR r 2

W

Figura 12.11

S

E

Efecto de la torsión

E

161


La ubicación del centro de rigideces se obtiene a partir de momentos estáticos alrededor de un origen conveniente. De la Figura 12.11 para la carga sísmica en la dirección Norte-Sur, los muros Norte y Sur, los cuales no tienen rigidez en esa dirección, se desprecian y sólo se consideran los muros Este y Oeste, es así que la ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Este esta dada por: rE =

ΣR y ⋅ x ΣR y

rE =

RW ⋅ L + R E ⋅ 0 RW + R E

rE =

RW ⋅ L RW + R E

La ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Sur esta dado por: rS =

ΣR x ⋅ y ΣR x

rS =

R N ⋅ B + RS ⋅ 0 R N + RS

rS =

RN ⋅ B R N + RS

El momento de inercia polar de los muros esta dado por: J = Σr 2 ⋅ R J = rN2 ⋅ R N + rS2 ⋅ R S + rE2 ⋅ R E + rW2 ⋅ RW

De forma similar se calcula la ubicación del centro de masas, ⎯x, ⎯y. Y la fuerza cortante total en la base de los muros Este y Oeste esta dada entonces por la suma de la cortante debida a las fuerzas en ese plano y los momentos torsores. Es importante que el momento torsor de diseño en un piso determinado debe ser el momento resultante de las excentricidades entre las fuerzas laterales de diseño aplicadas en los niveles por encima de ese piso y los elementos resistentes a las cargas verticales en ese piso más una torsión accidental.

12.5.3 Efectos de la Torsión La excentricidad entre el centro de masas y el centro de rigideces esta ilustrada en la Figura 12.11 como: e x = rE − x

La excentricidad accidental esta dada por: e a = 0.05 ⋅ L

La excentricidad máxima es: e maz = e x + e a

La excentricidad mínima es: e min = e x − e a

El momento torsor máximo para la carga sísmica Norte-Sur esta dado por: Tmax = V ⋅ e max Tmax = V ⋅ (e x + e a )

162


El momento torsor mínimo para la carga sísmica Norte-Sur esta dado por: Tmin = V ⋅ e min Tmin = V ⋅ (e x − e a )

La fuerza total en el muro Este, para la carga sísmica Norte-Sur es:

F = FS + FT (max) donde la fuerza cortante en la dirección considerada es: FS =

RE ⋅V R E + RW

La fuerza cortante debido al momento torsor más critico en el muro Este es: FT (max) =

Tmax ⋅ rE ⋅ R E J

Para el muro Oeste, debido a que el momento torsor actúa en sentido opuesto al plano de acción de las fuerzas, la fuerza cortante debido al momento torsor mas critico es: FT (min) =

Tmin ⋅ rW ⋅ RW J

Y la fuerza total de diseño es:

F = FS − FT (min)

12.6

TABLAS Zona

1

2ª

2B

3

4

Z

0.075

0.15

0.20

0.30

0.40

Nota.- La zona sísmica debe determinarse del mapa de zonas sísmicas Tabla 12.1

Perfil del

Zona 1

Zona 2A

Factor de zona sísmica Z

Zona 2B

Zona 3

Zona 4

suelo

Ca

Cv

Ca

Cv

Ca

Cv

Ca

Cv

Ca

Cv

SA

0.06

0.06

0.12

0.12

0.16

0.16

0.24

0.24

0.32·Na

0.32·Nv

SB

0.08

0.08

0.15

0.15

0.20

0.20

0.30

0.30

0.40·Na

0.40·Nv

SC

0.09

0.13

0.18

0.25

0.24

0.32

0.33

0.45

0.40·Na

0.56·Nv

SD

0.12

0.18

0.22

0.32

0.28

0.40

0.36

0.54

0.44·Na

0.64·Nv

B

SE SF

0.19 0.26 0.30 0.50 0.34 0.64 0.36 0.84 0.36·Na 0.96·Nv Se deben realizar investigaciones geotécnicas y análisis de respuesta dinámica del lugar para determinar los coeficientes de sismicidad Tabla 12.2

Coeficientes de respuesta del terreno

163


Tipo de perfil de suelos

Descripción

SA

Roca dura

SB

Roca

B

SC SD SE1 SF

Propiedades del suelo promedio para los 30 m. (100 ft.) superiores del perfil del suelo Ensayo estándar de Resistencia a corte no Velocidad de onda de penetración, N drenado, Su psf corte, ⎯vs, ft/s (m/s) (golpes/ft) (kPa) >5000 ⎯ ⎯ (1500) 2500 a 5000 ⎯ ⎯ (760 a 1500)

Suelo muy 1200 a 2500 >2000 >50 denso y roca (360 a 760) (100) blanda Perfil de suelo 600 a 1200 1000 a 2000 15 a 50 (180 a 360) (50 a 100) rígido Perfil de suelo <600 <1000 <15 (180) (50) sólido Suelo que requiere evaluación especifica del lugar. véase UBC 1629.3.1

1

El suelo del perfil Tipo SE también incluye cualquier perfil de suelo con mas de 3048 mm (10 ft) de arcilla blanda definida como un suelo con un índice de plasticidad, PI>20, wme≥40% y su<24 kPa (500psf). El índice de plasticidad, PI, y el contenido de humedad, wme, deben determinarse de acuerdo a la norma ASTM Tabla 12.3

Tipos de perfile de suelo

Definición a la fuente del sismo1 Magnitud del Proporción de momento deslizamiento, SR máximo M (mm/año)

Tipo de lugar de origen del sismo

Descripción a la fuente del sismo

A

Fallas que pueden producir eventos de gran magnitud y que tienen una alta relación de actividad sísmica.

M ≥ 7.0

SR ≥ 5

B

Otras fallas además de los tipos A y C

M ≥ 7.0 M < 7.0 M ≥ 6.5

SR < 5 SR > 2 SR < 2

C

Fallas que no pueden producir eventos de gran magnitud y que tienen una relación de actividad sísmica relativamente baja.

M < 6.5

SR ≤ 2

1 Tanto las condiciones de magnitud del momento máximo como de proporción de deslizamiento deben ser satisfechas simultáneamente cuando se determina el tipo de lugar de origen del sismo.

Tabla 12.4


Distancia más próxima a la fuente del sismo conocido


≤ 2 km

5 km

≥ 15 km

10 km

Na

Nv

Na

Nv

Na

Nv

Na

Nv

A

1.5

2.0

1.2

1.6

1.0

1.2

1.0

1.0

B

1.3

1.6

1.0

1.2

1.0

1.0

1.0

1.0

C

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

Nota.- Los factores de cercanía a la fuente pueden basarse en la interpolación lineal de valores para distancias diferentes a las que se muestran en la Tabla. Tabla 12.5

Factores de cercanía a la fuente

164


Amortiguamiento ξ

Descripción del tipo de Construcción

Pórtico de acero, soldado, con todos los muros de construcción flexible Pórtico de acero, soldado o apernado, con revestimiento rígido y con todos los muros interiores flexibles Pórtico de acero soldado o apernado, con muros de cortante de hormigón Pórtico de hormigón con todos los muros de construcción flexible Pórtico de hormigón, con revestimiento rígido y todos los muros interiores flexibles Pórtico de hormigón, con muros de cortante de hormigón o mampostería Edificios con muros de cortante de hormigón y/o mampostería Construcción de muros de cortante de madera Tabla 12.6

Sistema estructural básico

2. 1.

Sistemas de muros de carga

3. 4.

1. 2.

2.

Sistemas de estructura de la edificación

3.

4.

5. 3.

Sistema de 1. estructuras resistente a los momentos 2. 3.

0.05 0.07 0.05 0.07 0.10 0.10 0.15

Relaciones de amortiguamiento típico para estructuras

Descripción de los sistemas resistentes

1.

0.02

Muros de estructuras ligeras con paneles de corte a. Muros de paneles estructurales de madera para estructuras de 3 pisos o menos. b. Todos los demás muros con estructuras livianas Muros de corte a. Hormigón. b. Albañilería. Muros de carga de estructuras de acero ligero con arriostramiento solo para tensión. Estructuras arriostradas donde los arriostres transmiten cargas por gravedad a. Acero b. Hormigón. c. Maderos estructurales. Estructuras de acero arriostradas excéntricamente (EBF) Muros de estructuras ligeras con paneles de cortante: a. Muros de paneles estructurales de madera para estructuras de 3 pisos o menos b. Todos los demás muros con estructuras livianas Muros de cortante a. Hormigón. b. Albañilería Estructuras comunes arriostradas a. Acero b. Hormigón c. Maderos estructurales Estructuras especiales arriostradas concéntricamente a. Acero Estructuras especiales resistente a los momentos (SMRF) a. Acero b. Hormigón Estructuras de muros de albañilería resistente a los momentos (MMRWF) Estructuras intermedias de hormigón resistente a los momentos (IMRF)

R

Ωo

Altura límite para las zonas sísmicas 3 y 4 (ft) ×304.8 para mm.

5.5

2.8

65

4.5

2.8

65

4.5 4.5

2.8 2.8

160 160

2.8

2.2

65

4.4 2.8 2.8 7.0

2.2 2.2 2.2 2.8

160 ⎯ 65 240

6.5

2.8

65

5.0

2.8

65

5.5 5.5

2.8 2.8

240 160

5.6 5.6 5.6

2.2 2.2 2.2

160 ⎯ 65

6.4

2.2

240

8.5 8.5

2.5 2.5

N.L N.L.

6.5

2.8

160

5.5

2.8

⎯

165


4.

5. 1.

4.

Sistema doble (dual)

2.

3.

4.

Sistemas de edificación 1. de columnas en voladizo 6. Sistema de interacción de estructuras 1. y muros de cortante 7. Sistemas 1. indefinidos

Estructuras comunes resistentes a los momentos (OMRF) a. Acero b. Hormigón Estructuras de acero con cerchas especiales para momentos (STMF) Muros de cortante a. Hormigón con SMRF b. Hormigón con OMRF en Acero c. Hormigones con IMRF en hormigón d. Albañilería con SMRF e. Albañilería con OMRF en acero f. Albañilería con IMRF en hormigón g. Albañilería con MMRWF en albañilería EBF en acero a. Con SMRF en acero b. Con OMRF en acero Estructuras comunes arriostradas a. Acero con SMRF en acero b. Acero con OMRF en acero c. Hormigón con SMRF en hormigón d. Hormigón con IMRF en hormigón Estructuras especiales arriostradas concéntricamente a. Acero con SMRF en acero b. Acero con OMRF en acero

4.5 3.5

2.8 2.8

160 ⎯

6.5

2.8

240

8.5 4.2 6.5 5.5 4.2 4.2 6.0

2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8

N.L. 160 160 160 160 ⎯ 160

8.5 4.2

2.8 2.8

N.L. 160

6.5 4.2 6.5 4.2

2.8 2.8 2.8 2.8

N.L. 160 ⎯ ⎯

7.5 4.2

2.8 2.8

N.L. 160

Elementos de columnas en voladizo

2.2

2.0

35

Hormigón

5.5

2.8

160

Véase las secciones 1629.6.7 y 1629.9.2 UBC

⎯

⎯

⎯

5.

Tabla 12.7

Sistemas estructurales

166


Categoría de tenencia

1.

Instalaciones esenciales

2.

Instalaciones peligrosas

3.

Estructuras para destinos especiales

4.

Estructuras para destinos estándar 5. Estructuras misceláneas

Destino o funciones de la estructura Destinos del grupo I, División 1 que tienen áreas para cirugías y tratamientos de emergencia Estaciones de bomberos y policías Garajes y cocheras para vehículos y naves aéreas de emergencia. Estructuras y refugios en centros de preparación para emergencias Torres de control de aviación Estructuras y equipos en centros de comunicación del gobierno y otras instalaciones requeridas para respuestas de emergencia Equipos de generación de energía de reserva para instalaciones de la Categoría 1 Tanques u otras estructuras que albergan, contienen o soportan agua u otros materiales para combatir incendios o equipos requeridos para protección de estructuras de las Categorías 1, 2 ó 3 Destinos del grupo H, Divisiones 1, 2, 6 y 7 y las estructuras de las mismas que albergan o contienen productos químicos o sustancias toxicas o explosivas Estructuras que no forman parte de edificaciones que albergan, soportan o contienen cantidades de sustancias toxicas o explosivas de las cuales, si estuvieran contenidas dentro de una edificación, harían que dicha edificación se clasificara como Destino del Grupo H, Divisiones 1, 2 ó 7 Destinos del Grupo A, Divisiones 1, 2 y 2.1 Edificaciones que contienen destinos del Grupo E, Divisiones 1 y 3 con capacidad mayor de 300 estudiantes. Edificaciones que contienen destinos del Grupo B utilizadas para educación superior o de adultos con capacidad mayor de 500 estudiantes. Destinos del Grupo I, Divisiones 1 y 2 con 50 o más pacientes residentes incapacitados, pero no incluidos en la categoría I. Destinos del Grupo I, División 3 Todas las estructuras con un número de ocupantes mayor de 5000 personas. Estructuras y equipo en estaciones de generación de energía y otras instalaciones de servicios públicos no incluidos en las categorías 1 ó 2 anteriores, pero requeridas para operación continua. Todas las estructuras que contiene destinos o tienen funciones no indicadas en las Categorías 1, 2 ó 3 y las torres de destinos del Grupo U Destinos del Grupo U excepto las torres

Factor de Factor de Factor de importancia importancia importancia sísmica, I sísmica, Ip sísmica, Iw

1.25

1.50

1.15

1.25

1.5

1.15

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

Ip Coeficiente de importancia para elementos no estructurales Iw Coeficiente de importancia cuando se diseña por cargas de viento. Tabla 12.8

Categoría de destino (coeficientes de importancia)

167


Factores de carga

Combinación de carga

D + L + Lr (ó S) D + L + Lr (ó S) D + Lr (ó S) + W D + L + Lr (ó S) + W D+L D+L+E D+L+S+E D+W D+E

D

L

Lr

W

S

E

1.2 1.2 1.2 1.2 1.4 1.05 1.2 0.9 0.9

1.6 f1 ⎯ f1 1.7 1.275 f1 ⎯ ⎯

0.5 1.6 1.6 0.5 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ ⎯ 0.8 1.3 ⎯ ⎯ ⎯ ± 1.3 ⎯

(0.5) (1.6) (1.6) (0.5) ⎯ ⎯ f2 ⎯ ⎯

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ± 1.4025 1.0 ⎯ ± 1.43

D = Carga muerta, L = Carga viva, Lr = carga viva de techo, W = carga de viento, S = carga de nieve, E = carga sísmica, f1 = 1.0 para garajes, áreas ocupadas como lugares públicos de reunión y todas las áreas donde la carga viva sea mayor de 48 kN/m2 (100 psf), f1 = 0.5 para otras cargas vivas. f2 = 0.2 para configuraciones de techo que soportan nieve = 0. 7 para otras configuraciones E = ρEh + Ev Para concretos y estructuras de mampostería, los factores de carga mencionados arriba son multiplicados por 1.1, donde las combinaciones de carga incluyen fuerza sísmica. Para estructuras de concreto, donde las combinaciones de carga no incluyen fuerzas sísmicas, las combinaciones de carga del código UBC sección 1909.2 son aplicables. Tabla 12.9

Combinación de carga

D + L + Lr (ó S) D+L+W D+L+E D+L+S+W D+L+S+W D+L+S+E

Factores de carga para el método de diseño por resistencia

Factores de carga D

L

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

Lr 1.0 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

W

S

E

Esfuerzo >

⎯ 1.0 ⎯ 1.0 0.5 ⎯

(1.0) ⎯ ⎯ 0.5 1.0 1.0

⎯ ⎯ 1/1.4 ⎯ ⎯ 1/1.4

0.0 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3

D = Carga muerta, L = Carga viva, Lr = carga viva de techo, W = carga de viento, S = carga de nieve, E = carga sísmica, Para cargas de nieve que no exceden 14.5 kN/m2 (30 psf) no necesitan comobinarse con cargas sismicas E = ρEh Tabla 12.10

Factores de carga para el método de diseño por esfuerzos admisibles

168


12.7

EJEMPLOS

Ejemplo 12.1

Determinación del coeficiente de respuesta sísmica

El pórtico de acero resistente a momentos, cuyas propiedades se muestran en la Figura 12.12, tiene una altura de 12 m. y un coeficiente de amortiguamiento de 5%; está ubicado en un sitio, el cual pertenece a una zona sísmica de 3 con un perfil indeterminado de suelo. Calcular el valor del coeficiente de respuesta sísmica. w3 =400 [t] 3

k3=50 [t/cm]

w2 =400 [t] 2

k2=70 [t/cm]

w1 =400 [t] 1

k1=100 [t/cm]

Figura 12.12

Solución:

Los coeficientes de respuesta del suelo se obtienen a partir de la Tabla 12.2, utilizando el perfil del tipo de suelo SD para perfiles de suelo indeterminados: Ca = 0.36 Cv = 0.54 El período natural de la estructura, utilizando el método A, es: T A = C t ⋅ hn3 / 4 donde: entonces el periodo natural es:

Ct = 0.0853 hn = 12 [m]

para pórticos de acero resistentes a momentos altura del techo

T A = 0.0853 ⋅ (12) 3 / 4 = 0.55 [s] El coeficiente de respuesta sísmica está dado por: C ⋅I Cs = v R ⋅T donde el valor del factor de modificación de respuesta R, para pórtico resistente a momentos, se obtiene a partir de la Tabla 12.7, de este modo se tiene que: 0.54 ⋅1 Cs = = 0.115 8.5 ⋅ 0.55 El valor mínimo permitido para el coeficiente de respuesta sísmica es: C s ≥ 0.11 ⋅ C a ⋅ I C s ≥ 0.11 ⋅ 0.36 ⋅1 = 0.04

169


El valor máximo permitido para el coeficiente de respuesta sísmica es: 2. 5 ⋅ C a ⋅ I Cs ≤ R 2.5 ⋅ 0.36 ⋅1 Cs ≤ = 0.106 ... el que gobierna 8. 5

Determinación de la cortante basal

Ejemplo 12.2

El pórtico de acero resistente a momentos de la Figura 12.12 está ubicado en un sitio correspondiente a una zona sísmica 4, con un tipo de perfil de suelo SB; el sitio está ubicado a 7.5 km del origen sísmico tipo A. Calcular el valor de la cortante basal sísmica. B

Solución:

De las Tablas 12.2 y 12.5 se obtienen los coeficientes requeridos para el cálculo, correspondientes al tipo de perfil de suelo SB para un sitio ubicado a 7.5 km del origen sísmico tipo A: B

N a = 1.1 N v = 1.4 C a = 0.4 ⋅ N a = 0.44 C v = 0.4 ⋅ N v = 0.56

Los valores de T correspondientes a la Figura 12.1 son: Cv 0.56 Ts = = = 0.509 2.5 ⋅ C a 2.5 ⋅ 0.44 Ta = 0.2 ⋅ Ts = 0.102

[s]

[s]

El periodo natural utilizando el método A está resuelto en el ejemplo 12.1, el cual es: TA = 0.55 [s] TA > Ts De la Tabla 12.7 se obtiene el factor de modificación de respuesta R = 8.5 para el pórtico de acero resistente a momentos; entonces la cortante basal está dada por: C ⋅I V = C s ⋅W = v ⋅W R ⋅T 0.56 ⋅1 V = ⋅ W = 0.12 ⋅ W = 143.74 [t ] 8.5 ⋅ 0.55

170


Distribución vertical de la fuerza sísmica

Ejemplo 12.3

La estructura mostrada en la Figura 12.13 es de muros portantes de mampostería, tiene una cubierta y un segundo piso que pesan 100 [kg/m2], los muros pesan alrededor de 500 [kg/m2]. La edificación está localizada en una zona sísmica 3 con un perfil de suelo desconocido. Determinar la distribución vertical de la fuerza.

30 x 30 [m] 4m

nivel 2

4m

nivel 1

estructura de muros portantes Figura 12.13

Solución:

El período natural de la estructura, utilizando el método A, es: T = C t ⋅ hn3 / 4 = 0.0488 ⋅ (8) 3 / 4 = 0.23

T < 0.7

[s]

[s]

Por tanto el valor de la fuerza Ft=0, y la ecuación 12.16 para la distribución de la fuerza sísmica se reduce a: w ⋅h Fx = V ⋅ x x Σwi ⋅ hi Para ello, la carga muerta sísmica localizada en el nivel 1 es: 0.100·30·30 = 90 [t] 2º piso : muros : 4·0.5·30·4 = 240 [t] w1 = 330 [t] La carga muerta sísmica localizada en el nivel 2 es: techo : muros : w1 = 210 [t]

0.100·30·30 = 90 [t] 4·0.5·36·4/2 = 120 [t]

El coeficiente de respuesta sísmica está dado por: C v ⋅ I 2. 5 ⋅ C a ⋅ I ≤ R ⋅T R 0.54 ⋅1 2.5 ⋅ 0.36 ⋅1 Cs = ≤ 5.5 ⋅ 0.23 5. 5 C s = 0.420 ≤ 0.164 Cs =

C s = 0.164 ... gobierna

171


La cortante basal está dada por: V = C s ⋅ W = 0.164 ⋅ 540 = 88.56

[t ]

y F x = 88.56 ⋅

wx ⋅ hx = 0.02952 ⋅ w x ⋅ h x 3000

La distribución vertical de la fuerza sísmica está dada en la siguiente tabla: Nivel 2 1 Total

wx 210 330 540

hx 8 4 -

wx·hx 1680 1320 3000

Fx 49.59 38.97 88.56

Efecto P-Δ

Ejemplo 12.4

Del pórtico de acero detallado en el ejemplo 10.1, determinar si es necesario considerar el efecto P-Δ. w2 =70 [t] 10.27 [cm]

4m

2

k2=3 [t/cm]

w1 =70 [t]

4.60 [cm]

1

4m

22.25 [t]

30.20 [t]

k1=7 [t/cm]

Figura 12.14

Solución:

El momento primario para el primer piso es: M p1 = ( F1 + F2 ) ⋅ hs1 = (22.25 + 30.20) ⋅ 4 = 209.80 El momento secundario para el primer piso es: M s1 = ( w1 + w 2 ) ⋅ x1 = 2 ⋅ 70 ⋅

4.60 = 6.44 100

El índice de estabilidad está dado por:

θ1 =

M s1 6.44 = = 0.031 < 0.1 M p1 209.80

Por tanto no es necesario considerar el efecto P-Δ

[t ⋅ m]

[t ⋅ m]

172


Desplazamiento de entrepiso

Ejemplo 12.5

Dado el pórtico especial resistente a momentos como se ilustra en la Figura 12.15. El módulo de elasticidad E=2038900 [kg/cm2]. Todas las columnas están fijas en la parte superior. La viga continua es infinitamente rígida.

viga infinitamente rígida 40 [t]

+7.60 m

D

C I = 74920

E

I = 124870

I = 74920

I = 62435

B

I = 87400

A

+3.30 m +2.50 m empotramiento

+1.00 m articulación 0.00 m

articulación empotramiento

Figura 12.15

Se requiere: 1. 2. 3.

Calcular el desplazamiento de piso debido a la carga sísmica de 40 [t] Determinar si los desplazamientos calculados están en conformidad con los requisitos del código UBC. Si se rellenan cada uno de los tramos con muros de mampostería no estructural, cuales son los espaciamientos mínimos recomendados entre el muro y la columna para estar de acuerdo con los requisitos del código UBC.

Solución:

La rigidez del pórtico se obtiene a partir de la sumatoria de las rigideces individuales de cada columna. La rigidez de la columna A está dada por: E⋅I 2038.900 ⋅ 62435 k A = 12 ⋅ = 12 ⋅ = 19.21 [t/cm ] 3 l (4.3 ⋅ 100) 3 La rigidez de la columna B está dada por: 2038.900 ⋅ 74920 E⋅I k B = 3⋅ 3 = 3⋅ = 3.45 [t/cm ] (5.1 ⋅100) 3 l La rigidez de la columna C es cero, puesto que tiene dos articulaciones: k C = 0.00

[t/cm]

173


La rigidez de la columna D está dada por: k D = 3⋅

E⋅I l

3

= 3⋅

2038.900 ⋅ 87400 (6.6 ⋅ 100) 3

= 1.86

[t/cm]

= 6.96

[t/cm ]

La rigidez de la columna E está dada por: k E = 12 ⋅

E⋅I l

3

= 12 ⋅

2038.900 ⋅124870 (7.6 ⋅100) 3

La rigidez total del pórtico, para la carga lateral, es: kT = k A + k B + k C + k D + k E k T = 31.49

1.

El desplazamiento lateral del pórtico debido a una carga sísmica V de 40 [t] es: Δs =

2.

[t/cm ]

V 40 = = 1.27 k T 31.49

[cm]

Desplazamiento lateral admisible. Asumiendo que la edificación tiene un periodo fundamental menor a 0.7 [s], la relación del desplazamiento admisible está limitado a: Δ R = 0.025

La respuesta de desplazamiento del nivel de diseño es: Δ RS =

Δs 1.27 = = 0.002953 hs 4.3 ⋅100

Para pórticos especiales de acero resistentes a momentos, el factor de modificación de respuesta R es 8.5, de este modo la relación de respuesta de desplazamiento inelástico es: Δ RM = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ RS = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅ 0.002953 = 0.0176 < Δ R

Por tanto la relación de desplazamiento calculado está de acuerdo con los requisitos del código UBC.

3.

Separación de la edificación. Es un requisito el que todas las partes de la edificación estén separadas una distancia suficiente de tal modo que les permita un movimiento sísmico independiente sin dar lugar al impacto entre partes adyacentes. Considerando despreciable el desplazamiento de los muros de mampostería y tomando en cuenta sólo el desplazamiento del pórtico de acero. La separación admisible entre los elementos estructurales está dada por el desplazamiento de respuesta inelástica: Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ s Δ M = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅1.27 Δ M = 7.56

[cm]

174


Cargas en los diafragmas

Ejemplo 12.6

Determinar las cargas sobre los diafragmas para la estructura de dos niveles detallada en el ejemplo 12.3.

Solución:

Debido a que la fuerza lateral en el nivel superior es cero, la ecuación 12.22 se reduce a: F px = w px ⋅

ΣFi Σw i

La carga muerta sísmica tributaria sobre el diafragma correspondiente al nivel 2 es:

0.100·30·30 = 90 [t] cubierta : muros : 2·0.5·30·4/2 = 60 [t] wp2 = 90+60 = 150 [t] La carga muerta sísmica tributaria sobre el diafragma correspondiente al nivel 1 es: 2º piso : 0.100·30·30 = 90 [t] muros : 2·0.5·30·4 = 120 [t] wp1 = 90+120 = 210 [t] Los valores máximos y mínimos estipulados son: F p min ≥ 0.5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px = 0.5 ⋅ 0.36 ⋅1 ⋅ w px = 0.18 ⋅ w px F pmáx ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px = 1.0 ⋅ 0.36 ⋅1 ⋅ w px = 0.36 ⋅ w px

Los valores correspondientes a las fuerzas están dados en la siguiente tabla:

Nivel

Σwi

ΣFi

2

210

49.59

1

540

88.56

ΣFi

Máx.

Mín.

wpx

Fpx

0.236

0.36

0.18

150

35.40

0.164

0.36

0.18

210

37.80

Σw i

Capítulo 13

MÉTODO DINÁMICO SUPERPOSICIÓN MODAL

13.1

INTRODUCCIÓN

El análisis debe basarse en una representación apropiada del movimiento del suelo y debe realizarse utilizando los principios aceptados de la dinámica.

13.2

VENTAJAS DEL ANÁLISIS MODAL

El procedimiento de análisis modal es apropiado para calcular la respuesta de estructuras complejas de varios grados de libertad a movimientos sísmicos. La respuesta estructural es modelada como la máxima respuesta de un número de oscilaciones de un simple grado de libertad, cada uno representando un modo específico de vibración de la estructura real. Combinando la respuesta de los modos individuales se obtienen las fuerzas externas equivalentes, la cortante basal y el cortante de piso, que pueden usarse de la misma forma como en el procedimiento de fuerza lateral estática. El procedimiento de análisis modal tiene la ventaja de determinar la distribución real de las fuerzas laterales, de las masas y una distribución de rigideces a lo largo de la altura de una estructura irregular, que puede diferir apreciablemente de la distribución lineal simplificada asumida en el método de la fuerza lateral estática. Además, considera los efectos de los modos más altos de la respuesta de una estructura, alguno de los cuales puede contribuir significativamente en la respuesta global de la estructura.

13.3

PROCEDIMIENTO DEL ANÁLISIS MODAL

Las fases necesarias en el procedimiento del análisis modal se basan en seleccionar un espectro de respuesta sísmica apropiado, aplicando una técnica de análisis dinámico para un modelo matemático de la estructura, combinando la respuesta de un número suficiente de modos para asegurar de que por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura esté incluido en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal. El espectro de diseño presentado en el código UBC e ilustrado en la Figura 13.1, puede utilizarse después de aplicarse valores apropiados de Ca y Cv consistentes con el lugar específico. Las ordenadas de aceleración del espectro de diseño deben multiplicarse por la aceleración de la gravedad. Alternativamente, se pueden utilizar espectros de diseño de lugares específicos como el ilustrado en la Figura 10.6. El espectro de diseño debe suavizarse para eliminar reducciones de respuesta para periodos específicos, debe tener como mínimo 10% de probabilidad de ser excedido en 50 años, además, el espectro debe desarrollarse para una relación de

176

Método dinámico, superposición modal

amortiguamiento de 5%, a menos que se demuestre que un valor diferente sea consistente con el comportamiento estructural anticipado a la intensidad de vibración establecida para el sitio.

PERIODOS DE CONTROL

T s = C v / 2.5 C a T 0 = 0.2.5 T s


2.5 C a

Cv / T

Ca

T

T

0

s

Periodo [s]

Figura 13.1

Espectro de respuesta de diseño

Como se dijo anteriormente es necesario una cantidad suficiente de modos para asegurar que el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo. De este modo el peso total de la estructura está dado por:

W = Σwi

(13.1)

y el peso efectivo para un modo dado esta definido por:

WE =

(Σwi ⋅ φ i ) 2 Σwi ⋅ φ i2

(13.2)

W E = P ⋅ Σwi ⋅ φ i W E = P 2 ⋅ Σwi ⋅ φ i2

(13.3)

W E = g ⋅V Sa

donde:

P = Factor de participación para un modo dado = (Σwi·φi)/Σwi·φi2

Para una forma modal normalizada, el factor de participación se reduce a:

P=

Σwi ⋅ φ i g

(13.4)

Por tanto la ecuación 13.2 se reduce a:

WE =

(Σwi ⋅ φ i ) 2 g

La relación entre el peso efectivo y el peso total de la estructura está dado por:

(13.5)

177


ΣW E = W

donde:

(13.6)

ΣWE = es la suma de los pesos efectivos para todos los modos.

Por consiguiente, debe definirse un número suficiente de modos para asegurar que la suma de sus pesos efectivos sea: Σ W E ≥ 0 .9 ⋅ W

(13.7)

Para asegurar consistencia con los principios básicos de diseño adoptados en el procedimiento de fuerza lateral estática, el código UBC estipula un valor mínimo del cortante basal calculado por un análisis dinámico, y todos los parámetros correspondientes de respuesta deben estar de acuerdo con:

Para una estructura regular, usando el espectro de respuesta que presenta el código UBC, el cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 90% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.

Para una estructura regular, usando un espectro de respuesta específico de un sitio, el cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 80% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.

Para una estructura irregular, el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.

Para cualquier estructura, el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido por un análisis dinámico dividido entre un valor apropiado de R.

El código UBC proporciona dos métodos de análisis dinámico: el análisis espectral y el análisis por historia del tiempo, que se describen a continuación.

13.4

ANÁLISIS ESPECTRAL 1

Es un análisis dinámico elástico de una estructura que utiliza la respuesta dinámica máxima de todos los modos que tienen una contribución importante a la respuesta estructural total. Las respuestas modales máximas se calculan utilizando las ordenadas de la curva de espectro de respuesta apropiada que corresponda a los periodos modales. Las contribuciones modales máximas se combinan de manera estadística para obtener una respuesta estructural total aproximada. Los parámetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y desplazamientos, deben denominarse Parámetros de Respuesta Elástica.

13.4.1 Numero de Modos Debe satisfacerse el requisito de incluir todos los modos importantes, demostrando que en los modos considerados, por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal, ver la ecuación 13.7. Los modos de vibración deben obtenerse utilizando metodologías establecidas de dinámica estructural, tales como: el Análisis de Eigenvectores o el Análisis de los Vectores de Ritz 1



178

13.4.2 Combinación de Modos Las fuerzas máximas del elemento, desplazamientos, fuerzas cortantes por piso y reacciones de base para cada modo, deben combinarse mediante métodos reconocidos, tales como: El método CQC, Combinación Cuadrática Completa, método descrito por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo. (1981). El método GMC, Combinación Modal General, método descrito por Gupta (1990). El método SRSS, Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. El método de La suma de valores absolutos, ABS Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de interacción modal deben considerarse cuando se combinen las máximas modales

13.4.3 Efectos de Dirección En las zonas sísmicas 2, 3 y 4, deben considerarse los efectos de las fuerzas sísmicas que actúan en direcciones diferentes a los ejes principales en cada una de las siguientes circunstancias:

La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 5 como se indica en la Tabla 11.2 La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 1 en ambos ejes principales como se indica en la Tabla 11.2 Cuando una columna de una estructura forma parte de dos o más sistemas interceptantes de resistencia a las fuerzas sísmicas

Los efectos ortogonales pueden tenerse en cuenta suponiendo la concurrencia simultanea del 100% de las fuerzas sísmicas en una dirección y el 30% de las fuerzas sísmicas en la dirección perpendicular. Debe utilizarse la combinación que requiera la mayor resistencia del elemento. Alternativamente, los efectos de las dos direcciones ortogonales pueden combinarse basándose en la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS. Cuando se utilice el método SRSS en la combinación de los efectos direccionales, a cada término calculado se le debe asignar el signo del resultado más conservador.

13.4.4 Torsión El análisis debe considerar los efectos torsionales, incluyendo los efectos torsionales accidentales como se describe en la sección 12.5.1. Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de torsión accidental deben incluirse haciendo los ajustes apropiados en el modelo, como ajustes de ubicaciones de masas o mediante los procedimientos estáticos equivalentes.

13.4.5 Sistemas Dobles Cuando las fuerzas laterales son resistidas por un sistema doble, tal como se define en la sección 11.3.4, el sistema combinado debe tener capacidad para resistir el esfuerzo de corte basal que se obtiene por medio del análisis dinámico. El pórtico resistente a momentos debe diseñarse para resistir independientemente por lo menos el 25% del esfuerzo cortante basal máximo admisible de diseño, y puede llevarse a cabo por medio de un análisis dinámico apropiado o por medio de un análisis de fuerza horizontal equivalente.

13.5

EL ANÁLISIS POR HISTORIA DEL TIEMPO (CRONOLÓGICO) 2

Determina la respuesta de la estructura a través de una integración numérica sobre pequeños incrementos de tiempo, cuando la base está sujeta a una cronología específica del movimiento del suelo. 2


179


La metodología de un análisis dinámico cronológico puede ser utilizada cuando a juicio del ingeniero diseñador ella describe adecuadamente las propiedades dinámicas de la estructura y conduce a resultados representativos de los movimientos sísmicos de diseño. El modelo matemático empleado puede ser linealmente elástico o inelástico.

13.6

SIMULADOR ESTRUCTURAL.

Esta sección describe los tipos básicos de análisis disponibles en el Programa SAP2000 Diferentes tipos de análisis son disponibles en el Programa:

Análisis estático Análisis P-delta Análisis Modal para los modos de vibración, usando eigenvectores o vectores de Ritz - Análisis del espectro de respuesta para una respuesta sísmica - Análisis dinámico cronológico: lineal, no lineal y periódico. Análisis de cargas móviles para cargas vivas de vehículos en puentes

Estos diferentes tipos de análisis pueden desarrollarse en la misma ejecución del programa, con las siguientes excepciones:

El análisis modal requiere realizar un análisis espectral o un análisis dinámico cronológico. Solamente un análisis modal puede realizarse en una sola corrida: el análisis de eigenvectores o el análisis de vectores de Ritz

Cuando se realiza el análisis del efecto P-delta, afecta los resultados de todos los otros análisis realizados en la misma ejecución del programa.

13.6.1 Análisis de Eigenvectores El análisis de eigenvectores determina las formas modales para vibración libre no amortiguada y frecuencias del sistema. Estos modos naturales proporcionan una visión excelente en el comportamiento de la estructura. Éstos también pueden usarse como base para el análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico cronológico, aunque se recomiendan los vectores de Ritz para este propósito. El análisis de Eigenvectores involucra la solución de la ecuación de eigenvalores generalizado dado por la ecuación 10.17:

([K ] − Ω

2

)

⋅ [M ] ⋅ {Φ} = 0

donde: K = es la matriz de rigidez M = es la matriz diagonal de masa Ω = es la matriz diagonal de eigenvalores Φ = matriz de los correspondientes eigenvectores (formas modales) Cada par de Eigenvalor-Eigenvector es llamado modo de vibración natural de la estructura. Los Modos se identifican por los números del 1 al n, en el orden en que los modos son encontrados por el programa. El eigenvalor es el cuadrado de la frecuencia circular, ω, para ese modo, (a menos de que se utilice un cambio de frecuencia). La frecuencia cíclica, f, y periodo, T, del modo se relacionan con ω por medio de:

180


T=

1 f

y

f =

ω 2 ⋅π

Se puede especificar el número de modos a ser encontrado, una tolerancia de la convergencia, y el rango de frecuencia de interés. Estos parámetros se describen a continuación:

Numero de Modos Se puede especificar el número de modos, n, a ser hallado. El programa busca los n Modos de frecuencias bajas (periodos largos). Si un cambio de frecuencia diferente de cero ha sido especificado, el programa buscará los n modos más cercanos al cambio de frecuencia. El número de modos realmente hallados, n, esta limitado por:

El numero de modos requerido, n, para un adecuado análisis dinámico, ver la sección 13.4.1 El número de modos presentes en el rango de frecuencias especificado. El número de grados de masa de libertad en el modelo.

Un grado de masa de libertad es cualquier grado activo de libertad que posee masa traslacional o el momento de masa rotacional de inercia. La masa puede asignarse directamente a un nudo o puede venir de los elementos conectados. Sólo los Modos que realmente se encuentran estarán disponibles para cualquier subsecuente análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico cronológico.

Rango de frecuencia Se puede especificar un rango de frecuencia restringido, en el que se buscarán los Modos de vibración, usando los parámetros:

Shift: centro del rango de frecuencias cíclico, conocido como la frecuencia de cambio cut: radio del rango de frecuencia cíclico.

El programa buscara sólo los modos con las frecuencias que satisfacen: ⏐ f − shift ⏐ ≤ cut El valor por defecto de cut = 0 no restringe el rango de frecuencia de los modos. Los modos son hallados en el orden creciente de distancia de la frecuencia de cambio (shift). Esto continúa hasta alcanzar, cut , el número definido de modos, o el el número de grados de masa de libertad. Una estructura estable tendrá todas las frecuencias naturales positivas. Al realizar un análisis sísmico y más otros análisis dinámicos, los modos de bajas-frecuencia son normalmente de mayor interés. Es entonces apropiado usar un shift igual a cero, resultando en modos de frecuencias bajas de la estructura calculada. Si el programa detecta modos de frecuencias negativas, éste detendrá el análisis puesto que los resultados no tienen sentido. Para evitar problemas es recomendable usar siempre valores positivos de shift con un análisis Pdelta, es recomendable también que un análisis preliminar P-delta sea realizado usando shit igual a cero.

181


Tolerancia de convergencia El SAP2000 resuelve para el par de Eigenvalor-Eigenvector usando un algoritmo de iteración. Durante la fase de solución, el programa proporciona un eigenvalor aproximado después de cada iteración. Para mayores detalles del algoritmo, ver Wilson y Tetsuji (1983). Se puede especificar la tolerancia de la convergencia relativa, tol, para controlar la solución; el valor por defecto es tol =10-5, que es un valor aceptable, para obtener buenos resultados y relativa rapidez en la solución del modelo. Se puede establecer valores más pequeños de tol, para obtener mejores aproximaciones en los resultados del par de Eigenvalor-Eigenvector a costa de mayor tiempo de computo.

13.6.2 Análisis del Vector de Ritz Las investigaciones han indicado que las formas modales en vibración libre no son las mejores bases para el análisis de superpoción modal de estructuras sujetas a cargas dinámicas. Ha sido demostrado (Wilson, Yuan, y Dickens, 1982) que el análisis dinámico basado en un juego especial de vectores de Ritz dependientes de carga, proporcionan resultados más exactos que el uso del mismo número de formas modales naturales. La razón de que los vectores de Ritz dan excelentes resultados, es que son generados tomando en cuenta la distribución espacial de la carga dinámica.

13.6.3 Resultados del Análisis Modal Varias propiedades de los modos de vibración son impresos en el archivo de resultados. Esta información es la misma independientemente si se usa un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz, y es descrito en las siguientes secciones:

Periodos y Frecuencias Las siguientes propiedades de periodos y frecuencias son impresas para cada Modo:

El periodo T, en unidades de tiempo. La frecuencia cíclica, f, en unidades de ciclos por tiempo. La frecuencia circular, ω, en unidades de radianes por tiempo. El eigenvalor, ω2, en unidades de radianes por tiempo al cuadrado.

Éstos pueden hallarse en el archivo de resultados bajo el título de: MODAL PERIODS AND FRECUENCIES

Factor de Participación Los factores de participación para los n modos correspondientes, son referidos al sistema de coordenadas globales X, Y y Z, y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el título de: MODAL PARTICIPATION FACTORS Las magnitudes reales y los signos de los factores de participación no son importantes. Lo que es importante es el valor relativo de los tres factores para un modo dado.


182

Relación masa participación La relación masa participación para un Modo dado es una medida de cómo de importante es el Modo para calcular la respuesta para una carga de aceleración en cada una de las direcciones globales. Esto es útil para determinar la exactitud del análisis del espectro de respuesta y el análisis dinámico cronológico. La relación masa participación no proporciona una información sobre la exactitud de análisis dinámico cronológico sujeta a otras cargas. La relación masa participación es expresada en porcentaje y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el título de: MODAL PARTICIPATING MASS RATIOS La suma acumulativa de la relación masa participación para todos los Modos hasta el Modo n es impreso con los valores individuales para cada Modo. Esto proporciona una medida simple de cuantos modos son requeridos para lograr un nivel dado de exactitud para una carga de aceleración del suelo.

13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta El análisis del espectro de respuesta busca la máxima respuesta probable. La aceleración sísmica del suelo en cada dirección es dada como una curva digitalizada del espectro de respuesta de seudo aceleración espectral de respuesta versus el periodo de la estructura. Aunque pueden especificarse las aceleraciones en las tres direcciones, sólo un resultado positivo es producido para cada cantidad de respuesta. Las cantidades de respuesta incluyen: desplazamientos, fuerzas y esfuerzos. Cada cálculo del resultado representa una medida estadística de la máxima magnitud probable para una cantidad de respuesta. El análisis del espectro de respuesta es realizado usando el método de la superposición modal (Wilson y Button, 1982). Los Modos pueden calcularse usando un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz. Se recomiendan los vectores de Ritz, puesto que éstos dan resultados más exactos para el mismo numero de Modos. Cualquier número de análisis del espectro de respuesta puede realizarse en una sola ejecución del programa. Cada caso de análisis es llamado Spec, para el que se asigna una única etiqueta. Cada Spec puede diferir en el espectro de aceleración aplicado y la manera en que sus resultados son combinados. Los resultados de cada Spec pueden imprimirse directamente o usados en combinaciones de carga. En las siguientes secciones se detallan los parámetros que se utilizan para definir cada Spec.

Sistema de coordenadas locales Cada Spec tiene su propio sistema de coordenadas locales del espectro de respuesta usado para definir la dirección de la carga de aceleración del suelo. Los ejes de este sistema local son denotados por: 1, 2 y 3, por defecto éstos corresponden a las direcciones globales X, Y y Z respectivamente. Se puede cambiar la orientación del sistema de coordenadas locales especificando:

Un sistema de coordenadas csys (por defecto es cero, indicando el sistema de coordenada global) Un ángulo de coordenada, ang (por defecto es cero)

El eje local 3 es siempre el mismo que el eje Z del sistema de coordenadas csys. Los ejes locales 1 y 2 coinciden con los ejes X y Y de csys si el ángulo ang es cero. Por otra parte, ang es el ángulo del eje X con el eje local 1, medido según la ley de la mano derecha.


183

Curva del espectro de respuesta La curva del espectro de respuesta para una dirección dada se define por los puntos digitalizados de una respuesta de seudo aceleración espectral versus el periodo de la estructura. Todos los valores para las abscisas y ordenadas de esta función deben ser mayores o iguales a cero. Se puede especificar un factor de escala, sf, para multiplicar las ordenadas (respuesta de seudoaceleración espectral) de la función. Esto es a menudo necesario para convertir los valores dados en términos de la aceleración debido a la gravedad para las unidades consistentes al resto del modelo. La curva del espectro de respuesta debe reflejar el amortiguamiento presente en la estructura a ser modelada. Note que el amortiguamiento es esencial en esta curva del espectro. Éste no es afectado por la relación de amortiguamiento, damp, usado para el método CQC o GMC de combinación modal, aunque normalmente estos dos valores de amortiguamiento deben ser el mismo.

Combinación Modal Para una dirección dada de aceleración los desplazamientos máximos, las fuerzas, y los esfuerzos son calculados a lo largo de la estructura para cada uno de los Modos de Vibración. Estos valores modales se combinan para una cantidad de respuesta dada para producir un solo resultado positivo para la dirección de aceleración dada utilizando uno de los siguientes métodos:

Método CQC Se especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Cuadrática Completa descrita por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo (1981). Es el método presente por defecto en el programa. El método CQC toma en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos estrechamente espaciados causados por el amortiguamiento. Incrementando el amortiguamiento modal, incrementa el acoplamiento entre modos estrechamente espaciados. Si el amortiguamiento es cero para todos los modos, este método degenera en el método SRSS. Puede especificarse una relación de amortiguamiento modal para CQC, damp, medido como una fracción del amortiguamiento critico: 0≤damp≤1. Este amortiguamiento igualmente afecta a todos los modos, y debe reflejar el amortiguamiento presente de la estructura a ser modelada.

Método GMC SE especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Modal General, descrito por Gupta (1990). Este método además de tomar en cuenta el acople estadístico entre modos estrechamente espaciados, (CQC), también incluye las correlaciones entre los modos con respuesta rígida. Adicionalmente, este método requiere especificar dos frecuencias, f1 y f2 que definen la respuesta rígida. Éstos deben satisfacer: 0
184


Método SRSS Se especifica modc=SRSS para combinar los resultados modales por la técnica de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. Este método no toma en cuenta el amortiguamiento, ni ningún acople de modos, como lo hacen los métodos CQC y GMC.

Método de la Suma Absoluta Se especifica modc=ABS para combinar los resultados modales tomando la suma absoluta de sus valores. Este método es normalmente muy conservador.

13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta Los resultados para cada análisis del espectro de respuesta se encuentran en el archivo de resultados. Esta información es descrita en las siguientes secciones:

Aceleraciones y amortiguamiento El amortiguamiento modal y las aceleraciones del suelo actuando en cada dirección son impresos para cada modo bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM ACCELERATIONS El valor del amortiguamiento para cada modo es el especificado para el Método CQC y GMC, más el amortiguamiento modal contribuido por el amortiguamiento efectivo en elementos no lineales, si es que hubiera. Las aceleraciones impresas para cada modo son los valores reales interpolados de la curva de espectro de respuesta para el periodo respectivo. Las aceleraciones son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de respuesta. Ellos son identificados en el archivo de resultados como U1, U2 y U3.

Amplitudes Modales Estos valores son impresos en el archivo de resultados bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM MODAL AMPLITUDES

Factores de Correlación Modal Cuando el tipo de combinación modal CQC o GMC es definido, una matriz de correlación modal parcial es impreso en el archivo de resultados. Esta matriz muestra el acoplamiento asumido entre modos estrechamenteespaciados. Los factores de la correlación siempre están entre cero y uno. Los factores de correlación acoplando cada modo con los próximos nueve modos más altos son impresos en el archivo de resultados bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM MODAL CORRELATIONS Esta matriz de correlación es simétrica.

185


Reacciones en la Base Las reacciones en la base son las fuerzas totales y momentos sobre los soportes (restricciones y resortes) para resistir las fuerzas de inercia debido a las cargas del espectro de respuesta (cargas laterales). Éstos son impresos en el archivo de resultados bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM BASE REACTIONS Éstos están separadamente impresos para cada Modo individual y cada dirección de cargar sin ninguna combinación. Las reacciones totales están impresas después de realizar la combinación modal y la combinación direccional. Las fuerzas de reacción y momentos son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de respuesta. Éstos se identifican en el archivo de resultados como F1, F2, F3, M1, M2, y M3.

186


13.7

EJEMPLOS Número de modos

Ejemplo 13.1

Para el pórtico de 2 pisos mostrada en la Figura 13.2 determine el número de modos que deben combinarse para asegurar que todos los modos significantes estén incluidos en el análisis.

w1 = 70 [t]

W1 = 70 [t]

4 m.

k2 = 3 [t/cm] w1 = 70 [t]

k2 = 3 [t/cm] W1 = 70 [t]

k1 = 7 [t/cm]

4 m.

k1 = 7 [t/cm]

Figura 13.2

Solución: La matriz diagonal de los valores de diseño elástico del espectro de aceleración para los 2 periodos: T1 = 1.22 [s ]

T2 = 0.5 [s ] previamente calculado en el ejemplo 10.1, es: 0.23 0 ⎤ [A] = ⎡⎢ ⋅g 0.83⎥⎦ ⎣ 0 La cortante basal para ambos modos, previamente calculados en el ejemplo 10.1 es:

[V ] = [26.460 El peso total de la estructura es:

18.312]

W = (w11 + w22 ) W = (70 + 70) W = 140[t ]

V A 26.460 E w11 = g⋅ = 115 0.23 ⋅ g 18.312 E w12 = g⋅ = 22 0.83 ⋅ g La suma de los pesos efectivos debe ser igual al peso total, pero debido al redondeo no se constata esto. y en notación matricial, el vector de peso especifico es: W E = [115 22] expresado en porcentaje es: El peso efectivo para cada modo esta dado por: W E = g

[ ]

[W ] *100 = [84% E

16%] W Debido a que el 90% del peso total de la estructura debe tomarse en cuenta; Ambos modos deben ser incluidos en el análisis.

187


Fuerza lateral dinámica

Ejemplo 13.2

Una estructura de acero de 5 pisos resistente a momentos se muestra en la Figura 13.3. La forma modal fundamental ha sido determinada por un análisis en computadora, el periodo fundamental ha sido calculado por un análisis racional como T=0.90 [s]. Los datos de un espectro de respuesta para un sitio especifico son dados en la Tabla 13.1.

w5 =215 [t] w 4 =215 [t] w3 =215 [t] w 2 =215 [t] w 1 =215 [t]

w5

1.00

w4

0.78

w3

0.59

w2

0.40

w1

0.20

3m

3m

3m

3m

5.5 m

Estructura

Modelo Dinámico

Forma Modal

Figura 13.3

Considerar los siguientes criterios:

Zona sísmica 4 Tipo de perfil de suelo, SC Factor de importancia, I=1.0 Asumir solo la respuesta del modo fundamental necesario para el análisis dinámico Distancia al origen del sismo 15 km.

Periodo Segundos 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.50 2.00 2.50

A in/s2 308.80 386.00 386.00 386.00 386.00 347.40 301.10 258.60 231.60 208.40 154.40 115.80 96.50

V in/s 4.91 12.29 18.43 24.57 30.72 33.18 33.55 32.93 33.18 33.17 36.86 36.86 38.40 Tabla 13.1

D in 0.08 0.39 0.88 1.56 2.44 3.17 3.74 4.19 4.75 5.28 8.80 11.73 15.28

ω rad/s 62.83 31.42 20.94 15.71 12.57 10.47 8.98 7.85 6.98 6.28 4.19 3.14 2.51

188


Se requiere a)

Usando la distribución de masa dada, la forma modal, el periodo de la estructura y los datos del espectro de respuesta regional; determine el cortante total para la base de la estructura, basado en la respuesta elástica de la estructura. b) Usando los datos dados, determine la fuerza lateral de diseño (cortante para la base) usando el procedimiento de fuerza lateral estática. c) Usando el espectro de respuesta, determine la distribución de cortante de piso de diseño de acuerdo con el código UBC sección 1631.5.4 d) Usando el espectro de respuesta, determine el desplazamiento esperado para la parte superior de la estructura y las derivas.

Solución:

a.) Procedimiento dinámico Para el periodo fundamental de 0.90 segundos la aceleración espectral es: A = 231.6 in/s 2

[

[

]

A = 588.264 cm/s 2

]

Para determinar el peso efectivo WE se realiza la siguiente Tabla 13.2: Nivel Techo 4 3 2 1 Sumatoria

Wi 215 215 215 215 215

φi 1.0 0.78 0.59 0.40 0.20

Wi·φI 215 167.70 126.85 86 43 638.55

Wi·φi2 215 130.81 74.84 34.40 8.60 463.65

Fi [t] 21.18 16.52 12.49 8.47 4.24

Tabla 13.2

WE = WE =

(ΣWi ⋅ φ i )2 ΣWi ⋅ φ i2 638.55 2 = 879.43 463.65

[t ]

asumiendo un comportamiento elástico el cortante basal total es: A VD = W E ⋅ g 588.264 V D = 879.43 ⋅ = 527.36 [t ] 981 b.) Procedimiento estático En el procedimiento de la fuerza lateral estática, existen 2 procedimientos para el calculo del periodo fundamental(sección 12.1.6) y cualquiera de estos valores puede usarse para determinar el cortante basal.

189


Método A: El periodo fundamental es dado por:

T A = C t ⋅ (hn )

3

4

T A = 0.853 ⋅ (17.5)

3

4

= 0.729[s ]

donde: Ct = 0.853 para pórticos de acero resistente a momentos hn = altura total de la estructura De la Tabla 12.2, para el tipo de perfil de suelo SD y para la Zona sísmica 4 determinamos los coeficientes de respuesta: C a = 0.4 ⋅ N a

C v = 0.56 ⋅ N v el factor de cercanía a la fuente Na = 1.0 para una distancia ≥15 km. el factor de cercanía a la fuente Nv = 1.0 para una distancia ≥15 km. Por tanto:

C a = 0.4 C v = 0.56 Del espectro de diseño, Figura 13.1, el periodo de control es: Cv Ts = 2.5 ⋅ C a Ts =

0.56 = 0.56[s ] < T A = 0.729[S ] 2.5 ⋅ 0.4

El factor de modificación de respuesta R, se obtiene de la Tabla 12.7 como: R = 8.5 El cortante basal esta dado por: Cv ⋅ I ⋅W R ⋅T 0.56 ⋅1.0 V= ⋅1075 = 97.152 8.5 ⋅ 0.729 V=

[t ]

Método B De acuerdo con el código UBC sección 1630.2.2, para una estructura en la zona sísmica 4 el periodo fundamental TB obtenido por el método B es limitado al valor de: T B = 1.3 ⋅ T A

T B = 1.3 ⋅ 0.729 = 0.948 [s] > 0.9 [s]

por tanto TB = 0.9 es un valor aceptable El cortante basal es: VB = VB =

Cv ⋅ I ⋅W R ⋅ TB 0.56 ⋅ I ⋅1075 = 78.693[t ] 8.5 ⋅ 0.9 el que gobierna

190


c.) La distribución del cortante por piso El mínimo cortante basal aceptable para una estructura regular usando el espectro de respuesta regional, de acuerdo con el código UBC sección 1631.5.4 es dado por el máximo valor de: V = 0.8 ⋅ V B

V = 0.8 ⋅ 78.693 = 62.954 [t ] o VD R 527.36 V= = 62.042[t ] 8.5 V=

Por tanto la fuerza lateral de diseño para cada nivel es dado por: Fi =

V ⋅ Wi ⋅ φ i ΣW i φ i

62.954 ⋅ Wi ⋅ φ i 638.55 Fi = 0.0985 ⋅ Wi ⋅ φ i Fi =

Fc = 0.0985 ⋅ 215 = 21.18 [t ]

F4 = 0.0985 ⋅167.70 = 16.52 [t ] F3 = 0.0985 ⋅126.85 = 12.49 [t ] F2 = 0.0985 ⋅ 86 = 8.47 [t ] F1 = 0.0985 ⋅ 43 = 4.24 [t ]

estos valores están resumidos en la Tabla 13.2

d.) Desplazamientos esperados Para el periodo fundamental dado, T = 0.90 [s], el desplazamiento espectral especifico es: D = 4.75 [in ] D = 12.065 [cm]

asumiendo un comportamiento elástico, el desplazamiento para cada nivel es dado por: xi = P ⋅ φ i ⋅ D

donde el factor de participación es: P=

WE ΣW i ⋅ φ i

P=

879.43 = 1.377 638.55

x i = 1.377 ⋅12.065 ⋅ φ i x i = 16.62 ⋅ φ i

191


La deriva para un piso dado es definido como el desplazamiento relativo del piso superior respecto al piso inferior inmediato, y la deriva elástica para un piso especifico es dado por: Δ Ei = x i − x i −1

la relación de la deriva para un piso dado es definido como la relación de la deriva del piso con la altura de tal piso y la relación de la deriva elástica para un nivel especifico es dado por: Δ REi =

Δ Ei hi

estos valores son mostrados en la Tabla 13.3 Nivel Techo 4 3 2 1 base

hi

⎯ 3 3 3 3 5.5

φi

xi 16.62 12.96 9.80 6.65 3.32

1.0 0.78 0.59 0.40 0.20

⎯

⎯

ΔEi ⎯

ΔRei (%) ⎯

3.66 3.16 3.16 3.32 3.32

1.22 1.05 1.05 1.11 0.60

Tabla 13.3

Los máximos desplazamientos de diseño inelástico son dados por el código UBC sección 1630.9.2 como: x M = 0. 7 ⋅ R ⋅ Δ s

donde:

Δs = desplazamiento de respuesta del nivel de diseño, que es el desplazamiento total de piso que ocurre cuando la estructura esta sujeta a las fuerzas sísmicas de diseño. Δ s = x i ⋅ 0.8 ⋅

VB VD

Δ s = x i ⋅ 0.8 ⋅

78.693 = 0.119 ⋅ x i 527.36

x Mi = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅ 0.119 ⋅ x i x Mi = 0.710 ⋅ x i Similarmente la deriva de diseño inelástico es dado por: Δ Mi = 0.710 ⋅ Δ Ei

192


Fuerza lateral dinámica

Ejemplo 13.3

Una estructura de acero de 3 pisos, (pórtico dúctil resistente a momentos), simétricamente en ambas direcciones es mostrada en la Figura 13.4. Considerar una zona sísmica 4 y 15 km de distancia a la fuente potencial sísmica

w3 =317 [t] w 2 =385 [t] w 1 =385 [t]

Estructura

w3

1.00

1.00

w2

0.675

0.250

w1

0.252

Modelo Dinámico

-0.350

Modo 1 T = 1.50 [s]

Figura 13.4

Considerar los siguientes criterios: Para T ≤ 0.65 [s] Para T > 0.65 [s]

A = 0.3·g Sv = 12 [in/s]

Se requiere I

Método estático

a) Determinar la cortante basal sísmica usando el tipo de perfil de suelo SD. b) Distribuir la cortante basal sísmica sobre la altura de la estructura. c) Determinar las fuerzas en los diafragmas para cada nivel. II

Método dinámico.- Usando las 2 formas modales de la Figura 13.4

d) Determinar el peso efectivo, la fuerza de piso y la cortante en cada modo. e) Determinar la fuerza de piso combinado usando el método SRSS

Solución: I

Método estático

a) Cortante basal sísmica Según la Sección 12.1.6 (método A) el periodo es dado por:

T = C t ⋅ (hn )

3

4

T = 0.0853 ⋅ (11.8) donde:

3

4

= 0.584 [s]

Ct = 0.0853 para pórticos de acero resistente a momentos

Modo 2 T = 0.64 [s]

193


de la Tabla 12.2 para el tipo de perfil de suelo SD y para la zona sísmica 4, los coeficientes de respuesta sísmica son: C a = 0.44 ⋅ N a

C v = 0.64 ⋅ N v el factor de cercanía a la fuente Na = 1.0 para una distancia ≥15 km. el factor de cercanía a la fuente Nv = 1.0 para una distancia ≥15 km. Por tanto:

C a = 0.44 C v = 0.64 Del espectro de respuesta de diseño de la Figura 13.1, el periodo de control es: Cv Ts = 2.5 ⋅ C a Ts =

0.64 = 0.582 [s ] < T = 0.584 [s ] 2.5 ⋅ 0.44

El factor de modificación de respuesta R, se obtiene de la Tabla 12.7 como: R = 8.5 El cortante basal esta dado por: Cv ⋅ I ⋅W R ⋅T 0.64 ⋅1.0 V= ⋅ (317 + 385 + 385) = 140.145 [t ] 8.5 ⋅ 0.584 V=

b) Distribución de la cortante basal La cortante basal es distribuido sobre la altura de la estructura de acuerdo con la sección 12.2.1: (V − Ft ) ⋅ w x ⋅ h x Fx = Σwi ⋅ hi donde: Fx = fuerza lateral para el nivel x V = cortante basal Ft = fuerza concentrada en la parte superior =0 para T < 0.7 [s] Wx = carga muerta de la estructura al nivel x hx = altura por debajo del nivel x En la tabla 13.4 se resumen todo los cálculos: 140.145 ⋅ w x ⋅ h x Fx = = 0.01474 ⋅ w x ⋅ h x 9511 Nivel Techo 2 1 Base Sumatoria

wx 317 385 385

⎯

hx 13 9 5

⎯

1087 Tabla 13.4

wx·hx 4121 3465 1925

Fx 60.723 51.057 28.365

9511

140.145

⎯

⎯

Vx

⎯ 60.723 111.780 140.145

194


c)

Fuerzas en los diafragmas

La fuerza en el diafragma para el nivel x es dado según la sección 12.2.5 como: F px =

Ft + ΣFi ⋅ w px Σ wi

0..5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px 0.5 ⋅ 0.44 ⋅1.0 ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ 0.44 ⋅1.0 ⋅ w px 0.22 ⋅ w px ≤ F px ≤ 0.44 ⋅ w px donde: Ft = Fuerza lateral concentrada en la parte superior de la estructura Fi = Fuerza lateral en el nivel i ΣFi = Fuerza cortante total en el nivel i wi = Carga muerta sísmica total localizada en el nivel i Σwi = Carga muerta sísmica total en el nivel i y por encima wpx = El peso del diafragma y el elemento tributario al mismo en el nivel x, no incluye muros paralelos a la dirección de la carga sísmica Asumiendo que el peso de los muros es despreciable comprados con el peso del diafragma para cada nivel, el peso tributario para cada diafragma es idéntico con la carga muerta de la estructura para tal nivel, por tanto: w px = w x En la tabla 13.5 se resumen todos los cálculos para determinar las fuerzas en los diafragmas. Nivel Techo 2 1

Fx 60.723 51.057 28.365

ΣFx 60.723 111.780 140.145

wx = wpx 317 385 385

Σwi 317 702 1087

ΣFi·/Σwi 0.192→0.22 0.159→0.22 0.129→0.22

wpx 317 385 385

Fpx 69.740 84.700 84.700

Tabla 13.5

II

Método dinámico

d) Peso efectivo, fuerza de piso y la cortante en cada modo La cortante basal y las fuerzas de piso pueden obtenerse por el método del análisis de respuesta. Para una estructura bidimensional, el número total de puntos nodales igual al número de pisos. Cada nodo es localizado para un nivel de piso y tiene un grado de libertad en la dirección horizontal.

Primer modo

El periodo fundamental del primer modo es dado como:

T = 1.5 [s] > 0.65 [s] por tanto la velocidad espectral es:

S v = 12 [in/s]

S v = 30.48 [cm/s]

195


y la correspondiente aceleración espectral es: 2 ⋅π ⋅ S v T 2 ⋅ π ⋅ 30.48 A= = 127.674 cm/s 2 1 .5 A = 0.13 ⋅ g A=

[

]

para determinar el peso efectivo se realiza la siguiente Tabla 13.6: Nivel Techo 2 1 Base Sumatoria

Wi 317 385 385

⎯

φI 1.0 0.617 0.252

⎯

Wi·φi 317 259.875 97.449

Wi·φi2 317 175.416 24.449

673.895

516.865

⎯

⎯

Tabla 13.6

WE = WE =

(ΣWi ⋅ φ i )2 ΣW ⋅ φ i2 673.895 2 = 878.633[t ] 516.865

la cortante basal esta dado por: V =W E ⋅

A g

V = 878.633 ⋅

0.13 ⋅ g = 114.222[t ] g

La fuerza para cada nivel y la cortante para cada piso Vi es calculado como: Fi =

Wi ⋅ φ i ⋅V ΣW i ⋅ φ i

Wi ⋅ φ i ⋅114.222 673.895 Fi = 0.169 ⋅ Wi ⋅ φ i Fi =

y resumido en la Tabla 13.6:

Segundo modo

El periodo natural del segundo modo es dado como:

T = 0.64 [s] < 0.65 [s] por tanto la aceleración espectral es:

A = 0.3 ⋅ g

Fi 53.730 44.048 16.444

⎯

Vi

⎯ 53.730 97.778 114.22

196


para determinar el peso efectivo se realiza la siguiente Tabla 13.7: Nivel Techo 2 1 Base Sumatoria

Wi 317 385 385

⎯

φI 1.0 0.250 -0.345

⎯

Wi·φi 317 96.250 -132.825

Wi·φi2 317 24.063 45.825

280.425

386.882

⎯

⎯

Fi 68.931 20.929 -28.882

⎯

Vi

⎯ 68.931 89.861 60.978

Tabla 13.7

WE = WE =

(ΣWi ⋅ φ i )2 ΣW ⋅ φ i2 280.425 2 = 203.259[t ] 386.887

la cortante basal esta dado por: A g 0 .3 ⋅ g V = 203.2 ⋅ = 60.978[t ] g

V =W E ⋅

La fuerza para cada nivel y la cortante para cada piso Vi es calculado como: Fi =

Wi ⋅ φ i ⋅V ΣW i ⋅ φ i

Wi ⋅ φ i ⋅ 60.978 280.425 Fi = 0.217 ⋅ Wi ⋅ φ i Fi =

y resumido en la Tabla 13.7:

e)

Fuerza de piso combinado

Como un porcentaje del peso total de la estructura, la suma de los pesos efectivos para los primeros 2 modos es dado por: W1E + W 2E (878.633 + 203.259 ) ⋅100 = 99.53% > 90% ⋅100 = W 1087

(

)

por tanto combinando los primeros dos modos se asegura que un mínimo de 90% de la masa de la estructura participa en la determinación de los parámetros de respuesta. La fuerza combinada para cada nivel para los modos puede obtenerse usando el método SRSS. Esto es aceptable para estructuras bidimensionales cuando la relación de periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es ≤ 0.75 0.64 = 0.427 < 0.75 1.5

por tanto la fuerza combinada para el nivel i es dado por:

(

Fci = F12i + F22i

)

1

2

197


donde: F1i = Fuerza lateral para el nivel i, para el primer modo F2i = Fuerza lateral para el nivel i, para el segundo modo la fuerza combinada para cada nivel es resumido en la siguiente Tabla 13.8 Nivel Techo 2 1 base

F1i 53.730 44.048 16.444 114.222 Tabla 13.8

F2i 68.931 20.929 -28.882 60.978

Fci 87.398 48.767 33.235 129.480

Capítulo 14

DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

14.1

INTRODUCCIÓN

Este capítulo contiene especificaciones que se consideran como los requisitos mínimos para producir una estructura monolítica de concreto reforzado con los detalles y las dimensiones adecuadas que le permitan a ésta soportar una serie de oscilaciones dentro del campo inelástico de respuesta sin deterioro crítico de la resistencia. Como se vio con anterioridad, conforme una estructura apropiadamente detallada de concreto reforzado responde a fuertes movimientos del suelo, su rigidez efectiva decrece y se incrementa su capacidad de disipar energía. Por lo tanto, el empleo de fuerzas de diseño que representan efectos sísmicos demanda que el edificio este equipado con un sistema resistente a fuerzas laterales que retenga una porción sustancial de su resistencia conforme se le somete a inversiones de los desplazamientos dentro del campo inelástico. La elección práctica esta entre: (a) Un sistema con suficiente resistencia para responder al movimiento del suelo dentro del rango lineal o casi lineal de respuesta, y (b) Un sistema con disposiciones adecuados que permitan una respuesta no lineal sin perdida crítica de la resistencia. Este capítulo desarrolla una serie de requisitos relacionados con la segunda opción para su aplicación en zonas de elevado riesgo sísmico.

14.2

CARGAS DE DISEÑO

Las combinaciones de carga a ser utilizadas en el método de la resistencia para el diseño de los elementos de concreto están especificadas en la sección 9.2 del reglamento ACI y se dan a continuación: 1.4 D 1.4 D + 1.7 L 0.9 D ± 1.3 W 0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7 W) 0.9 D ± 1.3· 1.1 E 0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7· 1.1 E)

199


14.3

PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTOS

14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia El requisito básico de este método es de asegurar que la resistencia de diseño de un elemento no sea menor que la resistencia última requerida. Para cargas sísmicas, la resistencia requerida consiste de las cargas de servicio multiplicadas por un factor de carga especificado en la Sección 14.2. La resistencia de diseño de un elemento consiste de la resistencia nominal, o la resistencia teórica última, multiplicada por un factor de reducción de resistencia φ. De este modo se tiene:

φ (resistencia nominal) ≥ U Los factores de reducción (φ) según el código UBC 1 son: 0.9 0.85 0.75 0.70

para flexión para cortante y torsión para miembros en compresión con refuerzo en espiral para miembros en compresión con estribos

En zonas sísmicas 3 y 4 el factor de reducción de resistencia al cortante debe ser 0.6 para el diseño de muros, losas superiores y elementos estructurales con una resistencia nominal al cortante menor que el corte correspondiente al desarrollo de su resistencia nominal a flexión. La resistencia nominal a flexión debe determinarse correspondiendo con las cargas axiales factorizadas más críticas incluyendo el efecto sísmico. El factor de reducción de resistencia al cortante para la unión viga-columna es 0.85. Consideraciones para el diseño de vigas: La resistencia nominal de un elemento se determina de acuerdo con los principios definidos en la Sección 19210.2.7 del código UBC y desarrollado con mayor claridad por George Winter 2 . La capacidad nominal de un elemento a flexión con sólo refuerzo a tensión esta dado por:

fy ⎞ ⎛ ⎟ M n = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅ f c′ ⎟⎠ ⎝

(14.1)

donde: As = área de acero a tensión, [cm2] fy = esfuerzo de fluencia del acero, [kg/cm2] ρ = cuantía =As/(b·d) f′c = resistencia del concreto a la compresión, [kg/cm2] d = peralte efectivo, [cm] b = ancho de la sección, [cm] A consecuencia de las cargas sísmicas se pueden formar rótulas plásticas en ambos extremos de las columnas de un nivel determinado, produciendo un mecanismo de deslizamiento el cual causa el colapso del piso, para prevenir este acontecimiento, se introduce el concepto de viga débil-columna fuerte. Una columna que forma parte del sistema resistente a fuerzas laterales y con una carga axial factorizada mayor a 0.1Ag·f′c , debe ser diseñada para satisfacer: ΣM e ≥ 65 ΣM g

donde:

1 2

UBC, Sección 1909.3.2 [ref.15] WINTER, George Cap. 1 pp. 11-15 [ref 19]

(14.2)

200


ΣMe = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la flexión de las columnas que empalman en esa junta ΣMg = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la flexión de las vigas que empalman en esa junta, y en el mismo plano de las columnas. En la Figura 14.1 se ilustra este concepto, la convención de signos adoptada en la figura es que los momentos en los extremos de un elemento se muestran actuando a partir del nudo hacia el elemento, se considera las reacciones de los soportes; la cabeza de las flechas apunta hacia la cara de los elementos, la cual esta en tensión.

Carga sísmica

Carga sísmica Mct

Mct Mbr

Mbr

Mbr

Mbr Mcb

Figura 14.1

Mcb

Concepto de Columna fuerte-Viga débil

Para asegurara la falla dúctil de un elemento y prevenir la falla frágil por cortante, es por tal motivo que, la fuerza cortante de diseño se determina a partir de la resistencia probable a flexión en las caras de la junta considerando las fuerzas estáticas en el elemento, y éste soporta la carga tributaria de gravedad a lo largo del claro. La resistencia probable a flexión se calcula suponiendo una resistencia a la tensión en las barras longitudinales de al menos 1.25 fy y un factor de reducción de la resistencia φ de 1.0. es así que la resistencia probable a flexión esta dada por: (1.25 ⋅ f y ) ⎞ ⎛ ⎟ M pr = As ⋅ (1.25 f y ) ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅ ⎟ f c′ ⎠ ⎝ fy ⎞ ⎛ ⎟ M pr = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1.25 − 0.92 ⋅ ρ ⋅ f c′ ⎟⎠ ⎝

(14.3)

En la Figura 14.2, los momentos de signo opuesto actúan en los extremos de la viga sometida a doble curvatura y el sentido de los momentos cambia debido a la característica reversible de la carga sísmica. De este modo se deben calcular ambos momentos probables resistentes (de ida y vuelta) en los extremos de la viga para determinar el valor del cortante crítico. La fuerza cortante de diseño en el extremo izquierdo de la viga para una carga sísmica que actúa de derecha a izquierda es:

Ve =

M pr1 + M pr 2 Ln

+ Vg

donde: Ln = claro de la viga Vg = cortante debido a la carga de gravedad no factorizada

(14.4)

201


Carga sísmica

Carga sísmica

Vp2

Vp1 Mpr1

Mpr4

Mpr2

Mpr3

Vp1

Vp2

Ln

Ln

Mpr1

Mpr4

Diagrama de Momentos

Mpr2 Mpr3 Vp1

Diagrama de Cortantes Vp2

Figura 14.2

Cortante en viga debido a la resistencia probable a flexión.

La fuerza cortante de diseño en el extremo derecho de la viga para una carga sísmica que actúa de izquierda a derecha es:

Ve =

M pr 3 + M pr 4 Ln

+ Vg

(14.5)

Consideraciones para el diseño de columnas:

De manera similar, la fuerza cortante de diseño para las columnas debe calcularse utilizando el momento probable resistente de la base y del tope de la columna; los máximos momentos probables se asume que ocurren bajo la carga axial máxima de 0.8 P0, la cual corresponde a la excentricidad mínima accidental. La fuerza cortante de diseño en el tope y en la base de la columna es:

Ve =

M pr1 + M pr 2 Hn

(14.6)

donde:

Hn = altura de la columna Sin embargo el cortante de diseño de la columna no necesita ser mayor que los valores determinados a partir del momento probable resistente de las vigas que forman marco en la junta 3 .

3

ACI, Sección 21.4.5 [ref.20]

202


Carga sísmica

0.8P0 Mpr1

Ve

Ve

Mpr1

Hn

Mpr2

Ve

Mpr2 Diagrama de Momentos

0.8P0

Figura 14.3

Ve Diagrama de Cortantes

Cortante en columna debido a la resistencia probable a flexión.

Carga sísmica

Mpr1 Ve Mpr2

Mpr1 + Mpr2 2

Ve

Mpr1 + Mpr2 2

Hn

Mpr3 + Mpr4 2 Ve Mpr4

Figura 14.4

Mpr3

Mpr3 + Mpr4 2 Diagrama de Momentos

Diagrama de Cortantes

Cortante en columnas debido a la resistencia probable a flexión de las vigas

203


Como se muestra en la Figura 14.4 la fuerza cortante para estas condiciones esta dada por:

Ve =

M pr1 + M pr 2 + M pr 3 + M pr 4

(14.7)

2H n

Para asegurar una falla dúctil se debe despreciar la resistencia a corte del concreto cuando la fuerza axial factorizada a compresión es menor que Agf′c/20 y cuando la fuerza cortante inducida por sismo calculada según las ecuaciones 14.6 ó 14.7 es igual o mayor a la mitad de la resistencia total de diseño al corte. Consideraciones para el diseño de la conexión viga-columna:

En las uniones viga-columna la fuerza cortante horizontal de diseño se determina según la Figura 14.5.

punto de inflexión

Mpr1 T1 = 1.25A s1 f y

C 2 = T2 T2 = 1.25A s2 f y

C1 = T1

Mpr2

V=

Figura 14.5

Hc=altura de piso a piso

V

Mpr1 + Mpr2 Hc

Fuerzas que actúan en el nudo

La fuerza cortante producida en la columna por el momento probable resistente de la viga en el nudo es: V=

M pr1 + M pr 2 Hc

El esfuerzo probable en el refuerzo a tensión en la cara derecha del nudo correspondiente a la viga es: T1 = 1.25·As1·fy La compresión probable en el concreto en la cara izquierda del nudo correspondiente a la viga es: C2 = T2 = 1.25·As2·fy De este modo la cortante neta que actúa en el nudo es: Ve = T1 + T2 – V Ve = 1.25·fy·(As1 + As2) − (Mpr1 + Mpr2)/Hc La resistencia nominal al cortante de la junta depende de la resistencia del concreto y del área efectiva del nudo, es así que está dada por:

204


V n = 5.3 f c′ A j

para nudos confinados en sus 4 caras

V n = 4 f c′ A j

para nudos confinados en 3 caras o en 2 caras opuestas

V n = 3.2 f c′ A j

para las otras

donde: Aj = área efectiva de sección transversal dentro de una junta En la Figura 14.6 se ilustra el área afectiva de la junta, donde las vigas están unidas a una columna de ancho considerable, donde el ancho efectivo del nudo es: be = b + h ≤ b + 2x donde: b = ancho de la viga h = profundidad de la columna x = menor de las distancias medidas desde el borde de la viga al borde de la columna

viga área efectiva del nudo

profund. efectiva del nudo = h

profund. de la columna = h

b

x

be ancho efectivo del nudo = be = b+h < b+2x

Figura 14.6

Área efectiva del nudo

14.3.2 Resistencia y ductilidad de secciones a flexión Se tiene que tener en consideración los siguientes principios de diseño sismorresistente:

Las vigas fallan antes que las columnas La falla es a flexión antes que a corte Debe esperarse una falla prematura de nudos Falla dúctil antes que frágil

El comportamiento dúctil es la habilidad de soportar grandes deformaciones inelásticas mientras la resistencia se mantiene esencialmente constante.

205


Se realiza un análisis previo de la viga para determinar los tipos de falla y éste es como sigue: Si el contenido de acero de tensión es pequeño y el acero de compresión es alto, el acero de tensión alcanza la resistencia de fluencia, pudiendo ocurrir entonces un gran incremento en la curvatura mientras que el momento flexionante se mantiene esencialmente constante. Este tipo de falla se conoce como “falla de tensión”, aún cuando ocurra finalmente aplastamiento del concreto. Por otra parte, si el contenido de acero de tensión es alto y el de compresión es bajo, el acero de tensión no alcanza a fluir y la falla será frágil si el concreto no se encuentra confinado. Lo anterior se conoce como “falla por compresión”. Al diseñar, las vigas siempre se proporcionan de manera que puedan exhibir las características dúctiles de una falla de tensión. Para ello se requiere como premisa que el acero de compresión esté por debajo del esfuerzo de fluencia.

b

εu ε's

d'

0.85 f ' c A' s f y

A' s

c

a=β1c

d

As

As f y

εs (a)

(b) Figura 14.7

(c)

Viga rectangular doblemente reforzada

Es necesario, en consecuencia, desarrollar ecuaciones mas generales para tener en cuenta la posibilidad de que el refuerzo a compresión no fluya cuando la viga doblemente reforzada falle en la flexión. A continuación se presenta el método para determinar si el acero a compresión fluye o no en la falla. Con referencia a la Figura 14.7b, y se toma como caso límite ε’s =εy, se obtiene por geometría:

εu c = d′ εu −ε y

c=

o

εu εu −ε y

d′

Si se suman las fuerzas en la dirección horizontal (Figura 14.7c) se obtiene la cuantía de acero a tensión mínima⎯ρcy que asegurará la fluencia del acero a compresión en la falla:

ρ cy = 0.85 β 1

f c′ d ′ 6300 + ρ′ f y d 6300 − f y

(14.8)

Si la cuantía de acero a tensión es menor que este valor límite, el eje neutro esta suficientemente alto de manera que el esfuerzo del acero a compresión en la falla es menor que el esfuerzo de fluencia. En este caso puede demostrarse fácilmente, en base a las Figuras 14.7b y 14.7c, que la cuantía balanceada de acero es:

ρb = ρb + ρ ′

f s′ fy

(14.9)

donde: d′ ⎡ ⎤ f s′ = E s ε s′ = E s ⎢ε u − (ε u + ε y )⎥ d ⎣ ⎦

y

≤ fy

de esta manera, la cuantía máxima de acero permitida por el código ACI 10.3.3 es:

(14.10)

206


ρ max = 0.75 ρ b + ρ ′

f s′ fy

(14.11)

Debe hacerse énfasis en que la ecuación 14.10 para el esfuerzo en el acero a compresión se aplica únicamente para una viga con la cuantía exacta balanceada de acero a tensión. Si la cuantía de acero a tensión es menor que ρb, de acuerdo con la ecuación 14.9, y es menor que⎯ρcy, entonces el acero a tensión se encuentra en el esfuerzo de fluencia en la falla pero el acero de compresión no, y deben desarrollarse nuevas ecuaciones para el esfuerzo en el acero de compresión y para la resistencia a flexión. El esfuerzo en el acero a compresión puede expresarse en termino de la aún desconocida localización del eje neutro: f s′ = ε u E s

c−d′ c

f s′ = 6300

o

a − β1d ′ a

(14.12)

donde del estudio del equilibrio de fuerzas horizontales se obtiene el valor de a:

a=

As f y − As′ f s′

a=

o

0.85 f c′b

dρ ( f y − Rf s′ )

(14.13)

0.85 f c′b

esta forma un sistema de ecuaciones con la ecuación de f’s, donde las incógnitas son: a y f’s; el valor de R es R=ρ’/ρ. La resistencia nominal a flexión se encuentra reaplazando el valor de a y f’s en la expresión: a⎞ ⎛ M n = 0.85 f c′ab⎜ d − ⎟ + As′ f s′ ( d − d ′) 2⎠ ⎝

(14.14)

esta capacidad nominal debe reducirse mediante el coeficiente φ=0.9 para obtener la resistencia de diseño. Ductilidad de curvatura

b

εc ε's

εu ε's

fc

d'

0.85 f ' c

f 's kd

A' s

f 's a=β1c

c

d

As

ϕu

ϕy

εs = f y/E s

εs > f y/E s (a)

Figura 14.8

fy

fy

(b)

Viga rectangular doblemente reforzada: (a) En la primera fluencia del acero de tensión (b) al alcanzarse la deformación unitaria última del concreto.

La ductilidad disponible de la sección puede expresarse mediante la relación de la curvatura última, ϕu, entre la curvatura en la primera fluencia, ϕy. La Figura 14.8 representa el caso general de una sección doblemente reforzada en la primera fluencia del acero de tensión, y en la deformación unitaria última del concreto. Cuando el acero de tensión alcanza por primera vez la resistencia de fluencia, la distribución de esfuerzos en el concreto aún puede ser lineal debido a que el máximo esfuerzo en el concreto es significativamente menor que su resistencia, y la profundidad del eje neutro, kd, puede calcularse utilizando la teoría elástica como: T=Cc + Cs

207


Asfy = kd·fc·b/2+A’s f’s

ρ fy = k·fc /2+ρ’f’s de la grafica de deformación se tiene:

ε s′ =

kd − d ′ εs d − kd

εc =

y

kd εs d − kd

entonces se tiene lo siguiente:

ρε s E s = kε c E c / 2 + ρ ′ε s′ E s reemplazando los valores de ε’s y εc, y definiendo n=Es/Ec se tiene: kd − d ′ k kd + ρ ′n 2 d − kd d − kd d′⎞ ⎛ d⎜k − ⎟ 2 d ⎠ 1 k ⎝ ρn = + ρ ′n d (1 − k ) 2 1− k

ρn =

ρn(1 − k ) =

k2 d′⎞ ⎛ + ρ ′n⎜ k − ⎟ d ⎠ 2 ⎝

donde resolviendo para k se tiene: 2

⎛ ⎛ ρ′ d′⎞ ⎛ ρ′⎞ ρ′ ⎞ ⎟⎟ − nρ ⎜⎜1 + ⎟⎟ k = n 2 ⎜⎜ ρ + ρ ⎟⎟ + 2nρ ⎜⎜1 + ρ ⎠ ρ d⎠ ρ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ d′⎞ ⎛ k = n 2 (ρ + Rρ )2 + 2nρ ⎜1 + R ⎟ − nρ (1 + R ) d ⎠ ⎝

(14.15)

La curvatura esta dada por la extensión por unidad de longitud del acero de tensión, en la primera fluencia (esto es, la deformación unitaria de fluencia), dividida entre la distancia que existe entre el acero de tensión y el eje neutro. f y / Es ϕy = d (1 − k ) en forma similar la curvatura ultima esta dada por:

ϕu =

εc a

β1

el factor de ductilidad de curvatura de la sección esta dada por:

ϕu ε c d (1 − k ) = ϕy f y / E s a / β1

(14.16)

es evidente que si se mantienen constantes otras variables, el factor disponible de ductilidad de curvatura aumenta al disminuir el contenido de acero de tensión, al aumentar el contenido de acero de compresión, con la disminución de la resistencia del acero y el aumento de la del concreto. Si la zona de compresión de un elemento se confina mediante estribos cerrados colocados a corta distancia, o espirales, se mejora notablemente la ductilidad del concreto.

14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas

208


Los elementos a flexión en marcos se definen como aquellos elementos en los cuales la fuerza de compresión axial factorizada del elemento es menor que 0.1Agf′c y el claro libre para el elemento es mayor a 4 veces su peralte efectivo. Se impone las siguientes restricciones de geometría con el objetivo de dotar de sección transversal compacta con buena estabilidad durante los desplazamientos no lineales: b/h ≥ 0.3 b ≥ 25 [cm] b ≤ bc + 0.75·h

en cada lado de la columna

donde: b = ancho de la viga h = altura de la viga bc = ancho de la columna Las siguientes limitaciones en la cantidad de refuerzo longitudinal se dan para prevenir la congestión de acero, asegurar el comportamiento dúctil y proveer un mínimo de capacidad de refuerzo mayor que la resistencia a tensión del concreto.

ρ min ≥

14 fy

ρ min ≥ 0.8

f c′ fy

ρ max ≤ 0.025 Además:

Un mínimo de 2 barras deben estar dispuestas en forma continua, tanto en el tope como en el fondo. La resistencia a los momentos positivos en la cara de la junta debe ser mayor o por lo menos igual a la mitad de la resistencia a los momentos negativos provista en esa cara de la junta. En cualquier sección, a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe ser menor que una cuarta parte de la resistencia al momento máximo provista en cualquier extremo de la viga.

No se permite empalmes localizados en regiones donde el análisis indica una fluencia a flexión causada por los desplazamientos laterales inelásticos de la estructura. No deben utilizarse empalmes:

Dentro de las juntas o nudos Dentro una distancia del doble de la altura de la viga medida a partir de la cara de la columna.

Para prevenir el descascaramiento del concreto que recubre las zonas de empalme es que el espaciamiento máximo del refuerzo transversal que envuelve las barras traslapadas no debe exceder de d/4 ó 10 [cm]. La longitud de desarrollo, ldh, para una barra con un gancho estándar de 90º en hormigones con agregado de peso normal debe ser:

l dh =

f y ⋅ db 17.2 f c′

(14.17)

ldh ≥ 8 db ldh ≥ 15 [cm] donde: db = diámetro de la barra El gancho a 90º debe ubicarse dentro del núcleo confinado de la columna; para barras de diámetro de 9 [mm] a 35 [mm] (#3 al #11) la longitud de desarrollo, ld, para una barra recta no debe ser menor a:

209


ld ≥ 2.5·ldh Y si la profundidad del hormigón vaciado en una operación por debajo de la barra excede de 30 [cm] entonces, ld, debe ser menor a: ld ≥ 3.5·ldh Se requiere refuerzo transversal para proveer de resistencia al cortante y para proveer de confinamiento al concreto localizado dentro de la zona de rótula plástica y para controlar el pandeo lateral de las barras longitudinales. Lazos cerrados, como se ve en la Figura 14.9, proveen de confinamiento al hormigón y también de resistencia al cortante. Los estribos sísmicos con ganchos a 135º sólo proveen resistencia al corte. En los elementos estructurales deben proveerse lazos en las siguientes zonas:

Sobre una distancia 2d a partir de la cara de la columna Sobre una distancia 2d a ambos lados de la sección sujeta a rótula plástica.

horquilla 135º

135º

135º

135º

90º

6 db

6 db

6 db

6 db

estribo sísmico

lazo simple

6 db estribo sísmico

db

gancho sísmico

Figura 14.9

horquillas

lazo doble (2 pz)

Lazos y estribos sísmicos

El primer lazo debe localizarse a no mas de 5 [cm] de la cara de la columna; el espaciamiento máximo entre los lazos no debe ser mayor a: smax ≤ d/4 smax ≤ 8·db smax ≤ 24 dt smax ≤ 30 [cm] donde: d = peralte efectivo db = diámetro de la barra longitudinal dt = diámetro de la barra del lazo. Donde no se requieren lazos se pueden hacer usos de estribos sísmicos con ganchos a 135º, a través de la longitud del elemento en un espaciamiento máximo de d/2. El detalle de la disposición de lazos y estribos se muestra en la Figura 14.10.

210


s < d/4 s < 8 db s < 24 d t s < 30 cm

< 5 cm > 2d lazos

s < d/4 s < 10 cm

s < d/2

estribos sísmicos

< 5 cm

> empalme lazos

estribos sísmicos

> 2d lazos

> 2d lazos

> 2h

Figura 14.10

estribos sísmicos

> empalme lazos

> 2h

Disposición de los lazos y estribos

14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas Las columnas son aquellos elementos con carga axial factorizada mayor a 0.1Agf′c, estos elementos estructurales también tiene que satisfacer las siguientes condiciones: hmin ≥ 30 [cm] hmin / hperp ≥ 0.4 donde: hmin = menor dimensión de la sección transversal hperp = la dimensión perpendicular a la menor dimensión Para evitar la falla y controlar la congestión de acero y proveer resistencia a la flexión es que los límites para el refuerzo longitudinal son:

ρg ≥ 0.01 ρg ≤ 0.06 donde:

ρg = relación entre el área de refuerzo y el área de la sección transversal

< 35 cm

< 35 cm

El descascaramiento del concreto ocurre en los extremos de las columnas, lo cual hace de estas regiones nada recomendables para la localización de los empalmes. Se deben permitir empalmes dentro de la mitad de la longitud del elemento y deben dimensionarse como empalmes de tensión.

< 35 cm

Figura 14.11

< 35 cm

< 35 cm

Refuerzo transversal en la columna

211


El refuerzo transversal, que consiste de lazos cerrados y horquillas, debe estar dispuesto en toda la altura de la columna para proporcionar resistencia al corte y confinamiento. El espaciamiento máximo de los lazos debe ser: smax ≤ 6 db smax ≤ 15 [cm]

h

s/2

l0 > h l0 > Hn/6 l0 > 45 cm s

< 15 cm

empalme a tensión tipo A

s

Hn

s < 10 cm s < h/4 l0

s/2

Figura 14.12

Detalle del refuerzo en columnas

En la Figura 14.11 se ilustran los lazos cerrados y las horquillas las cuales deben estar espaciadas en un máximo de 35 [cm]. En el extremo de la columna el área requerida de refuerzo por confinamiento esta dada por el valor más grande de: ⎛ ⎞ f ′ ⎞ ⎛ Ag Ash = 0.3⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎜ ⎟ f y ⎠ ⎝ Ach ⎠ ⎝ Ash = 0.09 ⋅ s ⋅ hc ⋅

f c′ fy

donde: s = espaciamiento entre lazos Ag = área bruta de la sección transversal de la columna

(14.18)

212


Ach = área transversal medida de extremo a extremo del acero de refuerzo transversal hc = dimensión transversal del núcleo de la columna medida de centro a centro del refuerzo confinante El refuerzo de confinamiento debe estar dispuesto a lo largo de una distancia, l0, a partir de la cara del nudo en ambos lados de cualquier sección donde pueda ocurrir fluencia a la flexión en conexión con los desplazamientos laterales no-elásticos de la estructura. l0 ≥ h l0 ≥ Hn / 6 l0 ≥ 45 [cm] donde: h = altura de la sección columna Hn = luz libre de la columna El espaciamiento de refuerzo de confinamiento esta limitado a: s ≤ hmin/4 s ≤ 10 [cm] donde: hmin = dimensión menor de la columna Los detalles de refuerzo en una columna se muestran en la Figura 14.12. Si el concepto de Columna fuerte-Viga débil no se cumple en una unión, las columnas que soportan las reacciones de dicha junta deben estar provistas de refuerzo de confinamiento en toda su longitud.

14.3.5 Unión Viga-Columna

s < h/4 < 10 cm

h ldh min

ldh min Figura 14.13

Unión Viga-Columna

La unión Viga-Columna esta sujeta a concentraciones elevadas de esfuerzos y por tal motivo requiere de un cuidado minucioso para asegurar el confinamiento del concreto. A excepción del nudo en el cual llegan a empalmar las vigas de l pórtico en sus 4 caras, se debe proveer de acero de confinamiento (Ash) a través de la altura del nudo con un espaciamiento máximo de 10 [cm]. Cuando las vigas empalman en los 4 lados de la junta y cuando el ancho de cada viga es por lo menos ¾ partes del ancho de la columna, debe proveerse un refuerzo transversal igual a Ash/2 con un máximo espaciamiento de 15 [cm]. El refuerzo longitudinal de una viga terminada en una columna debe extenderse hasta la cara alejada del núcleo confinado de la columna y anclarse bajo tensión. En la Figura 14.13 se detalla un nudo típico.

213


14.4

MUROS DE CORTE

14.4.1 Resistencia al corte La resistencia nominal al corte de los muros cortantes está dada por: V n = Acv (0.55 f c′ + ρ n ⋅ f y )

(14.19)

donde: Acv = área neta de la sección de hormigón limitada por el espesor del alma y la longitud de la sección en la dirección de la fuerza cortante considerada. [mm2]. ρn = cuantía de refuerzo de corte distribuido en un plano perpendicular al plano Acv La cuantía de refuerzo, ρv, para muros de corte no debe ser menor que 0.0025 a lo largo de los ejes longitudinales y transversales cuando Vu excede a: 0.265 Acv f c′ esto es:

ρ n = Asn Acn ≥ 0.0025 ρ v = Asv Acv ≥ 0.0025 donde: Asn = área del refuerzo horizontal sobre la longitud vertical considerada. Acn = área del alma sobre la longitud vertical considerada. Asv = área del refuerzo vertical sobre la longitud horizontal considerada.

El espaciamiento del refuerzo en cada sentido en los muros no debe exceder de 45 [cm]; además se deben disponer 2 cortinas de refuerzo en un muro si la fuerza cortante factorizada es mayor que: 0.53 Acv

f c′

Cuando la relación entre la altura del muro y la longitud de la base (hw/lw) es menor a 2, la resistencia nominal al cortante del muro debe determinarse a partir de: V n = Acv (0.265α c

f c′ + ρ n ⋅ f y )

(14.20)

donde el coeficiente αc varía linealmente desde 3.0 para un valor de (hw/lw)=1.5 hasta un valor de 2.0 para (hw/lw)=2.0

14.4.2 Muros de Corte para cargas a flexión y axiales Por la gran área de concreto en los muros es difícil llegar a una falla balanceada, por tanto se aumenta la capacidad de momentos por fuerzas de gravedad en muros de corte. Debe tomarse en cuenta que la carga axial reduce la ductilidad. Para aumentar la ductilidad en el muro de corte debe asemejarse el muro a las columnas con estribos que están sujetas a cargas combinadas de flexión y compresión y es así que deben diseñarse de cómo columnas con un factor de reducción φ de 0.6 cuando gobierna el cortante. En la Figura 14.14 se ilustra el análisis para el cual se asume una distribución lineal de deformaciones, con una deformación máxima para el concreto de 0.003.

214


El momento de diseño también se puede calcular utilizando la ecuación: ⎛ ⎜ ⎝

φM n = φ ⋅ As f y l w ⎜1 + c=

Pu As f y

⎞ ⎛ ⎟ ⋅ ⎜1 − c ⎟ ⎜⎝ l w ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Pu 0.85 f c′bβ 1

lw Sección del muro

b

c

ε P

β1c

0.85 f ' c

M Ts

Figura 14.14

Diagrama de deformaciones

Cc

Diagrama de fuerzas

Cs

Hipótesis utilizada en el diseño de muros de corte

El ancho efectivo del ala de la sección que contribuye a la resistencia a compresión no debe extenderse más allá de la cara del alma en una longitud igual a ½ de la distancia al alma de un muro de corte adyacente, ni más del 15% de la altura del muro para el ala en compresión, o más que el 30% de la altura del muro para el ala en tensión. Considerando la inestabilidad del muro puede por consideración de muros delgados analizarse los extremos como columnas separadas pudiendo inclusive aumentarse la rigidez por flexión del muro llegando a un muro tipo “I”. Es así que se deben disponer de este tipo de elementos frontera en los muros de corte cuando el esfuerzo máximo de la fibra extrema, correspondiente a fuerzas factorizadas, incluyendo el efecto sísmico, sea mayor que 0.2 f’c. El cálculo del área de acero de este tipo de muros se lo realiza utilizando los criterios y los diagramas de interacción similares a los utilizadas para el cálculo de columnas, o pueden confeccionarse con las ecuaciones respectivas de columnas para casos específicos. El código UBC 4 impone un límite superior para la fuerza axial de diseño por encima del cual el muro ya no se considera efectivo para la resistencia a las fuerzas laterales: Pu = 0.35P0 donde: P0 = resistencia nominal a carga axial con una excentricidad cero. P0 = 0.85·f′c(Ag – Ast) + fy·Ast Ag = área total de la sección. Ast = área del refuerzo vertical. 4

UBC, Sección 1921.6.6.3 [ref.15]

215


Con el objetivo de prevenir la falla frágil es que se adopta la carga axial balanceada de: Pb = 0.35P0 Este es el punto en el diagrama de interacción para columnas en el cual se alcanzan simultáneamente la máxima deformación del concreto (0.003) y la fluencia del acero de refuerzo a tensión. Incrementando la carga axial factorizada más allá de este valor trae como resultado el modo de falla por compresión del concreto, la cual es frágil y repentina.

216


14.5

EJEMPLOS Diseño de un elemento a flexión

Ejemplo 14.1

Determinar el refuerzo longitudinal y transversal para la viga A-B de la Figura 14.15. La viga soporta una carga equivalente no factorizada muerta y viva de: 2.40 [t/m] y 1.20 [t/m] respectivamente. El resumen de momentos de diseño se presenta en la Tabla 14.1. La viga tiene 50 [cm] de base y 60 [cm] de altura. La losa es de 20 [cm] de espesor. Utilizar f′c = 280 [kg/cm2], fy = 4200 [kg/cm2].

A

B

D

C

15.50 t·m

13.20 t·m

15.50 t·m 3º piso

-36.90 t·m

-44.60 t·m

-43.30 t·m

-43.30 t·m

-44.60 t·m

-36.90 t·m

4.00 m.

2º piso

col 55x55 col 55x55

6.70 m.

col 55x55

6.70 m.

6.70 m.

Figura 14.15

1.4 D + 1.7 L 0.75(1.4D+1.7L ± 1.7·1.1E) 0.9 D ± 1.3· 1.1 E

Viga A-B Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda Viga B-C Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda

A -13.50

(a) (b) (c)

Momento de Diseño [t·m] Tramo B 15.50 -21.70

11.45 -36.90

14.40 14.60

-44.60 4.15

18.60 -29.80 B -19.30

6.36 6.50 Tramo 13.20

-33.30 15.50 C -19.35

7.00 -43.30

12.40 12.40

-43.30 7.00

17.10 -33.20

5.50 5.50

-33.20 17.15

Tabla 14.1

217


Solución:

a) Verificación de dimensiones: b/h = 50/60 = 0.83 ≥ 0.3 b = 50 [cm] ≥ 25 [cm] b ≤ bc + 0.75·h b ≤ 56 + 0.75·60 50 ≤ 101 ln ≥ 4·d 609 ≥ 4·55.5 609 ≥ 222

→ cumple → cumple → cumple → cumple

b) Refuerzo longitudinal 1.

Refuerzo para momento negativo en B

Debido a que el refuerzo a flexión negativa para ambas vigas A-B y B-C en el nudo B será provista por las mismas barras continuas se utilizará el mayor de los momentos negativos en el nudo B. De este modo Mu = 44.60 [t·m]. Para el cálculo se desprecia el efecto del acero de refuerzo a compresión, es así que se tiene: a=

As ⋅ f y 0.85 ⋅ f c′ ⋅ b

=

4200 ⋅ As = 0.353 ⋅ As 0.85 ⋅ 280 ⋅ 50

M u ≤ φM n M u ≤ φAs f y (d − a 2) 44.6 ⋅10 5 = 0.9 ⋅ As ⋅ 4200 ⋅ (55.5 − 0.353 ⋅ As 2)

[ ]

As = 22.93 cm 2

utilizar 5 φ 25 (As = 24.54), que proporciona un momento φ Mn = 47.46 [t·m] Verificación de los límites del refuerzo: ⎧ f c′ 280 ⎪0.8 bd = 0.8 50 ⋅ 55.5 = 8.88 cm 2 fy 4200 ⎪ As min ≥ ⎨ ⎪ 14 bd = 0.0033 ⋅ 50 ⋅ 55.5 = 9.16 cm 2 → gobierna ⎪f ⎩ y

[ ]

[ ]

Asmax ≤ 0.025·bd Asmax = 0.025·50·55.5 = 69.37 [cm2] Asmin ≤ As ≤ Asmax → cumple 2.

Refuerzo para momento negativo en A

Mu = 36.90 [t·m] que requiere un área de refuerzo de: As = 18.70 [cm2] utilizar 4 φ 25 (As = 19.63), que proporciona un momento φ Mn = 38.60 [t·m] 3.

Refuerzo para momento positivo en los nudos:

La resistencia a momento positivo en la cara de la junta debe ser mayor o igual al 50% de la resistencia a los momentos negativos provista en esa cara de la junta.

218


Min. Mu+(A) = 38.6/2 = 19.30 [t·m], para el cual satisface 2 φ 25 (As = 9.82), que proporciona un momento φ Mn = 19.96 [t·m], el cual es mayor al momento positivo requerido en A de Mu = 18.60 [t·m] Min. Mu+(B) = 47.46/2 = 23.73 [t·m], para el cual satisface 3 φ 25 (As = 14.73), que proporciona un momento φ Mn = 29.40 [t·m], el cual es mayor al momento positivo requerido en B para ambos tramos de Mu = 17.10 [t·m]. Además notar que es mayor al momento positivo requerido en los tramos (A-B y B-C) 4.

Refuerzo para momento positivo en el tramo:

En cualquier sección a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe ser menor que una cuarta parte de la resistencia máxima a momento provista en cualquier extremo de la viga. De este modo el valor mínimo de diseño para momento positivo es: 47.46/4 = 11.86 [t·m] En el tramo se tiene un Mu = 15.50 [t·m]el cual es cubierto con la resistencia a momento proporcionada por 2 φ de 25

c)

Cálculo de la longitudinal de anclaje requerida para el refuerzo a flexión en la columna exterior

La longitud de desarrollo mínima para gancho estándar a 90º es:

l dh

⎧ f y db 4200 ⋅ 2.5 = = 36.5 ≈ 37 [cm] → gobierna ⎪ ⎪17.2 f c′ 17.2 280 ⎪ ≥ ⎨8d b = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm] ⎪15 [cm ] ⎪ ⎪ ⎩ 55 cm.

37 cm.

12 d b

60 cm.

d) Calculo del refuerzo por cortante La resistencia probable a flexión Mpr (momento probable resistente), asociada a la formación de la rótula plástica, se calcula utilizando un factor de reducción φ = 1.0 y asumiendo que el esfuerzo del acero de tensión es fs = 1.25·fy.

219


M pr = 1.25 As f y (d − a 2) a=

1.25 As f y 0.85 f c′b

= 0.441As

el esfuerzo cortante de diseño en los extremos de la viga para las dos condiciones de carga a ser consideradas se determina a partir de: w = wD + wL = 2.4 + 1.2 =3.6 [t/m] y los momentos probables resistentes en cada nudo son: − M pr ( A)

para 4 φ de 25 (As = 19.63)

→ 52.7 [t·m]

+ M pr ( A)

para 2 φ de 25 (As = 9.82)

→ 27.5 [t·m]

− M pr (B)

para 5 φ de 25 (As = 24.54)

→ 64.5 [t·m]

+ pr ( B )

para 3 φ de 25 (As = 14.73)

→ 40.4 [t·m]

M

A

w ⋅ ln 2 B

-4.10 [t]

26.10 [t]

26.20 [t]

-4.32 [t]

Ve =

Carga

A 27.50 t·m

M ±pr ( A) + M mpr ( B )

±

ln

B w = 3.6 t/m

64.50 t·m

6.09 m. hacia la deracha

A 52.70 t·m

B 40.40 t·m

w = 3.6 t/m

6.09 m. hacia la izquierda

Para rotación al lado izquierdo, la cortante en A debido al momento probable resistente en ese extremo de la viga se calcula a partir de: VA =

M −pr ( A) + M +pr ( B ) ln

=

52.7 + 40.4 = 15.30 [t ] 6.09

debido a que VA = 15.30 [t] es mayor al 50 % de la cortante de diseño Ve = 26.2 [t] se desprecia la contribución del concreto a la resistencia al corte.

φV s + φVc = Vu

220


Vs =

Vu

φ

=

26.20 = 30.82 [t ] 0.85

verificación de la sección: V s ≤ 2.1 f c′ bd 30.82 ≤ 2.1 280 ⋅ 50 ⋅ 55.5 30.82 ≤ 97.50 →

cumple

el espaciamiento requerido para estribos cerrados considerando el diámetro del estribo φ=8 [mm] es: Av f y d s= Vs

1⋅ 4200 ⋅ 55.5

= 7.56 [cm] 30.82 ⋅10 3 ⎧d 4 = 55.5 4 = 13.87 [cm] gobierna ⎪8 ⋅ d = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm] ⎪ b s max ≤ ⎨ d 24 ⋅ t = 24 ⋅ 0.8 = 19.2 [cm ] ⎪ ⎪⎩30 [cm]

s=

con estribos de diámetro φ=10 [mm] se tiene un espaciamiento s=12 [cm], es decir para la zona de confinamiento desde la cara de al columna hasta una distancia 2h= 1.20 [m], se requieren estribos φ=10 c/ 12. Más allá de la distancia 2h se requieren estribos φ=10 c/24 que cumple el espaciamiento máximo de smax=d/2=27.75 [cm]. e)

Empalmes de barras longitudinales

Los empalmes deben ubicarse lejos de las regiones de máximo esfuerzo, es decir no deben estar junto al nudo, dentro una distancia 2h a partir de la cara de la columna o dentro de regiones potenciales de formación de rótula plástica. Considerar que todos los empalmes deben estar confinados por estribos cerrados con un espaciamiento máximo d/4 ó 10 [cm] a lo largo de la longitud del empalme. 1.

Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la base de la viga

Con el momento de 15.50 [t·m] se requiere un área de acero de 7.57 [cm2] para el cual área de refuerzo provista es de 9.82 [cm2], se tiene entonces la relación: Asprov 9.82 = = 1.3 < 2 Asreq 7.57 debido a ello el empalme se considera de tipo B con una longitud de empalme requerida de 1.3·ld≥30 [cm]. Donde: ld αβγλ 3 fy = d b 10.6 f c′ (c + k tr ) / d b donde:

α = factor de ubicación del refuerzo β = factor de revestimiento γ = factor de tamaño del refuerzo λ = factor de agregados ligeros del hormigón (c+ktr)/db ≤ 2.5

(1.0) (1.0) (1.0) (1.0)

221


ld 3 4200 1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 71.03 [cm ]

la longitud del empalme es: 1.3·ld=92.35≈ 95 [cm] 2. Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la parte superior de la viga El empalme para esta ubicación se considera de clase A: con una longitud de empalme requerida de 1.0·ld [cm]. Donde: ld 3 4200 1.3 ⋅1 ⋅1 ⋅1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 92.35 [cm] la longitud del empalme es: 1.0·ld=92.35≈ 95 [cm]

l1/4+ld = 2.50 m.

2Ø25

95 cm

3Ø25

l1/3+ld = 3.00 m.

l2/3+ld = 3.00 m.

2Ø25

2Ø25 2Ø25

1Ø25 5 cm

1.15 m. Ø10 c/12

1.45 m. Ø10 c/24

Ø10 c/10

1.30 m. Ø10 c/24

1.15 m. Ø10 c/12

5 cm

2Ø25

222


Diseño de columna

Ejemplo 14.2

Determinar el refuerzo transversal para la columna exterior de la Figura 14.15 correspondiente al segundo nivel de un pórtico resistente a momentos. La columna tiene las dimensiones de 55x55 [cm] con acero longitudinal de 8φ de 25 distribuido uniformemente a lo largo de la cara de la columna, asumir la sección de las vigas igual al del ejemplo 14.1 con el refuerzo de acero encontrado en dicho ejemplo. Las propiedades de los materiales son: f’c = 280 [kg/cm2] y fy = 4200 [kg/cm2]

Columna exterior A

Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda

-470

Momento de Diseño [t·m] Eje x-x Eje y-y Tope Base Tope Base -11.90 12.06 -6.70 6.70

-390 -530

2.30 -15.00

-4.10 16.80

1.01 -5.33

-0.80 4.30

-180 -320

5.90 -11.50

-7.60 13.20

1.86 -4.18

-1.60 3.90

Carga axial [t]

Solución.

a)

La fuerza axial de compresión factorizada en la columna esta dada por: Pu=530 [t], la cual es mayor a 0.1Ag f’c =0.1·552·280 ·10-3= 84.70 [t], de este modo en el diseño del elemento gobierna la carga axial y flexión.

b) 1.

Verificación de los requisitos de limites del refuerzo y resistencia de momentos. Verificación de cantidad de refuerzo longitudinal: 0.01<ρg<0.06 0.01<39.27/552<0.06 0.01<0.013<0.06

2.

→ cumple

Verificación del concepto de columna fuerte − viga débil: 18.42 t·m

38.60 t·m

18.42 t·m

El momento resistente de diseño de la columna para 8φ25 (39.27 cm2) en la dirección transversal se obtiene por cualquier método de diseño racional y está dado por 18.42 [t·m], el momento resistente de la viga es de 38.60 [t·m] proveniente del ejemplo anterior. ΣM e ≥

6 ΣM g 5

223


6 ⋅ 38.60 5 36.84 ≥ 46.32 2 ⋅18.42 ≥

→ no cumple

∴ la columna debe estar provista por refuerzo transversal de confinamiento en toda su longitud según: ⎛ ⎞ f ′ ⎞ ⎛ Ag − 1⎟⎟ Ash = 0.3 ⋅ ⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜ f y ⎟⎠ ⎝ Ach ⎠ ⎝ ⎛ f′⎞ Ash = 0.09 ⋅ ⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⎜ f y ⎟⎠ ⎝ donde: hc = 55-2·2.5-0.8 = 49.20 [cm] Ach = (55-2·2.5)2 = 2500 [cm2]

[ ]

⎞ 280 ⎞ ⎛⎜ 55 2 ⎛ − 1⎟ = 1.033 cm 2 Ash = 0.3 ⋅ ⎜ 5 ⋅ 49.20 ⋅ ⎟ ⋅⎜ 4200 ⎠ ⎝ 2500 ⎟⎠ ⎝

[ ]

280 ⎞ ⎛ 2 Ash = 0.09 ⋅ ⎜ 5 ⋅ 49.20 ⋅ → gobierna ⎟ = 1.476 cm 4200 ⎝ ⎠ donde el espaciamiento máximo entre estribos es: ⎧ b 55 = 13.75 [cm ] ⎪ = s max ≤ ⎨ 4 4 ⎪⎩10 [cm] → gobierna debido a ello se requiere de la colocación de una horquilla en la sección transversal para cada dirección. Ø8

55 cm

eØ8 c/5

8Ø25

c)

55 cm

Determinación del refuerzo transversal por cortante:

Las columnas solo necesitan diseñarse para resistir el cortante máximo que puede ser transferido a través de las vigas. Aún así el cortante producido por las columnas, que no necesita ser mayor al cortante transferido por las vigas es: Mpr = φ Mn · 1.25/0.7 Mpr = 18.42 · 1.25/0.7 = 32.89 [t·m] Vu = Σ Mpr / Hn = 2 · 32.89/3.40 = 19.34 [t]

224


el cortante máximo que puede ser transferido a través de las vigas es: Vu =

M pr1 / 2 + M pr 2 / 2 Hn

=

52.7 / 2 + 52.7 / 2 = 15.50 [t ] 3.40

→ gobierna

Aporte del concreto a la resistencia al corte. Para despreciar la resistencia del corte al concreto debe cumplirse con la siguiente condición: f′ Ag c > Pu 20 2 280 55 ⋅10 −3 > 530 20 42.35 > 530 → no cumple ⎛ Nu ⎞ ∴Vc = 0.55 ⋅ ⎜ + 1⎟ ⋅ f c′ ⋅ b ⋅ d ⎜ 2000 Ag ⎟ ⎝ ⎠ Conservadoramente se utiliza la menor fuerza de compresión Nu = 180 [t]: ⎛ 180000 ⎞ Vc = 0.55 ⋅ ⎜ + 1⎟ ⋅ 280 ⋅ 55 ⋅ (55 − 2.5 − 0.8 − 2.5 / 2) = 26.30 [t ] 2 ⎝ 2000 ⋅ 55 ⎠

φVc = 0.85 · Vc = 22.35 [t] > 15.50 [t] ∴ el refuerzo transversal dispuesto a lo largo de la columna es el de confinamiento y no aquel debido al corte d)

Empalmes de barras longitudinales:

Los empalmes deben localizarse en la mitad de la longitud del elemento. Los empalmes para barras longitudinales en columnas deben diseñarse como empalmes de clase B de tensión y el espaciamiento mínimo del acero de refuerzo transversal a lo largo del empalme debe ser de 10 [cm]. Empalme clase B:

1.3 ld ld αβγλ 3 fy = d b 10.6 f c′ (c + k tr ) / d b

ld 3 4200 1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 71.03 [cm ]

la longitud del empalme es: 1.3·ld = 92.35 ≈ 95 [cm]

225


55 cm

95 cm

5 cm

3.40 m.

e Ø8 c/5

5 cm

60 cm

60 cm

55 cm

226


Conexión viga-columna

Ejemplo 14.3

Determinar el refuerzo transversal y la resistencia al cortante de la conexión exterior viga-columna entre la viga del ejemplo 14.1 y la columna del ejemplo 14.2.

Solución.

a)

Refuerzo por confinamiento.

El nudo debe tener la misma cantidad de refuerzo transversal por confinamiento proporcionada a la columna en sus extremos (lo) a menos que el nudo este confinado por nudos que formen marco. Una viga se considera que provee confinamiento si al menos cubre ¾ partes de la cara del nudo, para esta situación basta con la mitad de estribos por confinamiento. Debido a que no se cumple con el criterio de columna fuerte viga débil el nudo tiene la misma cantidad de acero por confinamiento que el de la columna b)

Resistencia al corte del nudo

Nu Mu

Vh 4Ø25 T = A s 1.25 f y x

x

M pr = 52.70 t·m C=T

Vh

Mu Nu

La fuerza cortante que actúa en la sección transversal x-x del nudo es: M prviga 52.70 Vh = = = 15.50 [t ] Hn 3.40 T = As · 1.25 fy =19.63 · 1.25 · 4200 ·10-3 = 103.06 [t] De este modo la fuerza cortante neta en la sección x-x del nudo es: Vu = T – Vh = 87.56 [t] La resistencia al corte del nudo está dada por: V n = 4 ⋅ f c′ A j donde: Aj es el área efectiva del nudo en la cual: h = 55 [cm] ⎧b + h = 50 + 55 = 105 [cm] be ≤ ⎨ ⎩b + 2 ⋅ x = 50 + 2 ⋅ 2.5 = 55 [cm]

→ gobierna

227


φVn = 0.85 ⋅ 4 ⋅ 280 ⋅ 552 ⋅10 −3 = 172.10 [t ] φVn > Vu → resiste

4Ø25

50 cm

eØ8 c/5

8Ø25

eØ8

60 cm

4Ø25

2Ø25 55 cm

Ejemplo 14.4

Diseño alternativo

Determinar el refuerzo longitudinal y transversal para la viga A-B del ejemplo 14.1 utilizando el método alternativo de diseño que implica el considerar el aporte del acero de compresión a la resistencia a flexión y la ductilidad. La viga soporta una carga equivalente no factorizada muerta y viva de: 2.40 [t/m] y 1.20 [t/m] respectivamente. El resumen de momentos de diseño se presenta en el ejemplo 14.1. La viga tiene 50 [cm] de base y 60 [cm] de altura. La losa es de 20 [cm] de espesor. Utilizar f′c = 280 [kg/cm2], fy = 4200 [kg/cm2] para una ductilidad requerida de μ = 2.

Solución.

El diseño es idéntico al ejemplo 14.1 con la única excepción que el cálculo para momento negativo considera el aporte a la resistencia a flexión del acero de compresión, debido a ello se arriba a un método iterativo, el cual es resuelto mediante la ayuda del programa computacional “Mathcad Profesional” que se muestra a continuación:

228


Datos generales: resistencia del hormigón [kg/cm2]

fc := 280

Módulo de elasticidad del acero [kg/cm2]

Es := 2100000

fluencia del acero [kg/cm2]

fy := 4200

ductilidad

ureq := 2

d [cm]

d := 55.5

d' [cm]

d' := 4.5

b [cm]

b := 50

Momento requerido [tm]

Mu := 44.6

eu := 0.003

y la deformación máxima:

Solución : relación de cuantías p'/p

R := 0.5

cuantía de acero a tensión

As := 24.54

Ec := 15100⋅ fc

Ec = 2.527 ×

k := n ⋅ ( p + p ⋅ R) + 2⋅ n ⋅ p ⋅ ⎛⎜ 1 + R⋅ 2

2

⎝

B1 := 0.85 −

0.05 ⋅ ( fc

n: Es/Ec

d' ⎞ d

⎟ − n ⋅ p ⋅ ( 1 + R) ⎠

− 280)

n :=

Es Ec

p = 8.843 ×

10− 3

n = 8.311

k = 0.296

f's=6300(a-d'B1)/a

se calcula los valores de a y f's

⎡⎣ d 2⋅ p2⋅ ( fy − 6300⋅ R) 2 + 4⋅ ( 5355⋅ fc⋅ d⋅ p⋅ R⋅ d'⋅ B1) + d ⋅ p ⋅ ( fy − 6300⋅ R) ⎤⎦ 2⋅ 0.85 ⋅ fc

f's := 6300⋅

As b⋅d

B1 = 0.85

70

entre a=(d*p(fy-Rs*f's))/0.85*f'c y

a :=

5 10

p :=

a − d'⋅ B1

a = 6.184 f's =

a

2.403

×

verificar el que f's sea menor que fy la ductilidad de curvatura θu/θy está dada por Q: Q := u :=

eu ⋅ Es⋅ B1⋅ d ⋅ ( 1 − k)

Q = 8.055

a⋅ fy Q

u = 2.014

4

p' := p ⋅ R

p' = 4.422 ×

−3 10

A's := p'⋅ b ⋅ d

A's = 12.27

⎡ 0.85 ⋅ fc⋅ a⋅ b ⋅ ⎛ d − a ⎞ + A's ⋅ f's⋅ ( d − d') ⎤ 2⎠ ⎣ ⎝ ⎦ Mn :=

Mn = 53.601

Mr := 0.9⋅ Mn

Mr = 48.241

100000

Nota:

Mr = φMn p’ = ρ’ p =ρ u =μ

103


229

229

REFERENCIAS 1.

ACHABAL, Fernando (2000) “Diseño de Edificios de HºAº de Mediana Altura en Zonas de Riesgo Sísmico Moderado. Una Comparación Técnico-Económica con un Diseño No Sísmico”, proyecto de grado para optar al título de Licenciado en Ingeniería Civil, Universidad Mayor de San Simón, Cochabamba, Bolivia.

2.

ROSENBLUETH, Emilio (1992) “Diseño de Estructuras Resistentes a Sismos”, Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto (IMCYC), 1ª edición, México D.F., México.

3.

MICROSOFT, Home (1995) “Encarta`95”, The Complete Interactive Multimedia Encyclopedia for windows, edicion 95.

4.

WILLIAMS, Alan (1998) “Seismic Design of Buildings and Bridges” , 2ª edición, Editorial Engineering Press, Austin-Texas, Estados Unidos.

5.

BOLT, Bruce (1993) “Earthquakes”, 3ª edición, W.H. Freeman and Company, Estados Unidos.

6.

VERASTEGUI, Daniel (1999) “Microzonificación Sísmica de Aiquile sobre la Base de Estudios Geotécnicos”, proyecto de grado para optar al título de Licenciado en Ingeniería Civil, Universidad Mayor de San Simón, Cochabamba, Bolivia.

7.

MORENO, Mauricio (1997) “Los Espectros de Respuesta en el Cálculo Antisísmico de Estructuras”, proyecto de grado para optar al título de Licenciado en Ingeniería Civil, Universidad Mayor de San Simón, Cochabamba, Bolivia.

8.

DOWRICK, D. J. (1992) “Diseño de Estructuras Resistentes a Sismos”, 2ª edición, Editorial Limusa S.A., México, D. F.

9.

DEL POZO, Salvador (1988) “Actividad Sísmica del Departamento de Cochabamba”, Boletín científico vol. 1, nº 2, publicación del Laboratorio de Sismología de la Universidad Mayor de San Simón, Cochabamba, Bolivia.

10.

CABRÉ, Ramón y VEGA, Ángel (1989) “Sismicidad de Bolivia”, Publicación nº 40, Laboratorio San Calixto, La Paz, Bolivia.

11.

Páginas Web del Instituto Andalúz de Geofísica y Prevención de Desastres Sísmicas http://www.ugr.es/iag/iag.html

12.

CHOPRA, Anil K. (1995) “Dynamics of Structures”, theory and aplications to earthquake engineering, Unuversity of California at Berkeley, Editorial Prentice Hall, New Jersey, Estados Unidos.

13.

CLOUGH, Ray W. y PENZIEN, Joseph (1982) “Dynamics of Structures”, edition 5ª, International Student Edition, McGraw-Hill International Book Company.

14.

BELES, Aurel; IFRIM, A. Mihail D. y A. GARCÍA, A. Y. (1975) Sísmica”, Ediciones Omega S.A., Barcelona, España.

15.

INTERNATIONAL CONFERENCE OF BUILDING OFFICIALS (1997) “Código Uniforme de la Edificación, UBC-97”, Whittier-California, Estados Unidos.

16.

ASOCIACIÓN COLOMBIANA DE INGENIERIA SÍSMICA (1998) “Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismorresistente, NSR-98”, Santa Fé de Bogota, Colombia

“Elementos de Ingeniería

230 17.

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (ACI) (1995) “Notes on Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-95) and Commentary (ACI 318 R-95) whit design applications”, DetroitMichigan, EEUU.

18.

AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (AISC) (1994) “Load and Resistance Factor Design, Manual of Steel Construction ”, EEUU.

19.

NILSON, Arthur H. y WINTER, George (1994) “Diseño de estructuras de concreto ”, Mc Grau-Hill Interamericana S.A. Santa Fé de Bogotá, Colombia

20.

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (ACI) (1995) “Reglamento para las construcciones de concreto estructural (ACI 318-95) y Comentarios (ACI 318 R-95)”, Instituto Mexicano del cemento y del concreto, A.C. México.

231

DIRECCIONES EN INTERNET

Información específica sobre sismología

Configuración de Edificios Comportamiento de estructuras ante sismos Daños provocados por el sismo Sistemas estructurales Diseño de elementos no estructurales Sismo de El Salvador, 13 de Enero 2001 Imágenes digitales y diseño sísmico Sismo de Loma Prieta Hagia Sophia Terremotos, mapa sísmico Zonificación sísmica Fallas geológicas Observaciones sobre conceptos estructurales Características de los sismos Licuefacción Pilotes ¿Qué hacer durante un sismo? Teoría de Placas los 10 sismos más grandes del planeta Falla de San Andrés

Programas para el cálculo estructural

SE-SISMO StruCAD*3D Análisis y Diseño de estructuras STAAD-III implementa

http://www.eerc.berkeley.edu/godden/godden_d.html http://www.eerc.berkeley.edu/lessons/concretemm.html http://www.sfmuseum.org/1989/89photos.html http://www.eerc.berkeley.edu/lessons/arnold.html http://www.fire.gov/bfrlpubs/build97/art121.html http://www.paho.org/English/PED/ElSalvador-photos.htm http://urban.arch.virginia.edu/~km6e/ACSA-96/ http://www.eerc.berkeley.edu/loma_prieta/stewart.html http://aurora.eexi.gr/~ippotis/sumagiasen.html http://ftposso.univalle.edu.co/planii/cap03/text14.htm http://ftposso.univalle.edu.co/planii/cap04/text38.htm http://www.isr.umd.edu/~austin/aladdin.d http://www.eerc.berkeley.edu/lessons/concretemm.html http://tlacaelel.igeofcu.unam.mx/~davide/ssn.html http://www.nd.edu/~quake/education/liquefaction/ http://www.eerc.berkeley.edu/meymand/ http://www.geo.ign.es http://www.exploratorium.edu/faultline/index.html http://tlc.discovery.com/tlcpages/greatquakes/ http://www.er.doe.gov/featurs_articles_2000/

http://www.iie.org.mx/Civil/Sismo2.htm http://www.esiisl.com/estruc/REI%2520STAADPRO.htm http://www.seibo.com.ar/software/softplan/zentech/strucad/ http://www.esiisl.com/estruc/REI%20STAAD.htm

Libros 1.

http://www.dynasoftinc.com/Bookstore/bs_Seismic1.htm Seismic Design of Buildings and Bridges : For Civil and Structural Engineers Alan Williams / Hardcover / Published 1995

2.

http://www.dynasoftinc.com/Bookstore/bs_Seismic1.htm ó http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-form/103-1333777-7968625 Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering by Anil K. Chopra

3.

http://www.dynasoftinc.com/Bookstore/bs_Seismic1.htm ó http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-form/103-1333777-7968625 Uniform Building Code Compliance Manual : 1997 Uniform Building Code

232

UNIVERSIDADES Bolivia http://www.umsanet.edu.bo/ Universidad Mayor de San Andrés, UMSA http://www.umss.edu.bo/ Universidad Mayor de San Simón, UMSS http://www.univalle.edu/ Universidad Privada del valle, Univalle http://www.ucbcba.edu.bo/ Universidad Católica Boliviana, UCB Universidad Mayor, Real y Pontificia de San Francisco http://www.usfx.edu.bo/ Xavier de Chuquisaca http://www.uto.edu.bo/ Universidad Técnica de Oruro, UTO México Universidad Autónoma de Laguna (Colegio de Ciencias http://www.angelfire.com/al3/colegioual/index.htm e Ingenierías) http://pumas.iingen.unam.mx/ Instituto de Ingeniería, UNAM Colombia Universidad Francisco de Paula Santander Universidad de La Salle

http://www.ufps.edu.co/ http://www.lasalle.edu.co/

España Universidad politécnica de Madrid

http://otilio.mecanica.upm.es/

Japón Universidad Internacional de Japón

http://www.iuj.ac.jp/

Norte América Universidad de Baltimore Universidad de Boston Universidad de Connecticut Universidad de Georgetown Universidad de Harvard Universidad de Florida Universidad de Newhaven Universidad de Nueva Inglaterra Universidad de Princeton Universidad de Toronto Universidad de Yale Universidad Estatal de Delaware Universidad Estatal de Florida Universidad Internacional de Florida

http://www.ubalt.edu/ http://web.bu.edu/ http://www.uconn.edu/ http://www.georgetown.edu/ http://www.harvard.edu/ http://www.ufl.edu/ http://www.newhaven.edu/ http://www.une.edu/ http://www.princeton.edu/index.shtml http://www.utoronto.ca/uoft.html http://www.yale.edu/ http://www.dsc.edu/index2.html http://www.fsu.edu/ http://www.fiu.edu/choice.html

Cuba Universidad de Oriente Universidad de La República de Cuba

http://www.uo.edu.cu/ http://www.web.net/cuba_university/

233

APÉNDICE A

234 Vibración libre no amortiguada

A-1 mu&& + ku = 0

m

d 2u + ku = 0 dt

d 2u k + u=0 dt m

D 2 u + ω n2 u = 0

(

)

u D 2 + ω n2 = 0 D = ± iω n → solución→ u = C1 cos ω n t + C 2 senω n t

Vibración libre con amortiguamiento

A-2 mu&& + cu& + ku = 0 c k u&& + u& + u = 0 m m

d 2u du + 2ξω n + ω n2 u = 0 dt dt

D 2 u + 2ξω n Du + ω n2 u = 0

(

)

u D 2 + 2ξω n D + ω n2 = 0 D= D= D=

D=

− 2ξω n ±

(2ξω n )2 − 4 ⋅1⋅ ω n2 2 ⋅1

− 2ξω n ± 4ξ 2ω n2 − 4ω n2 2

(

)

− 2ξω n ± 4ω n2 ξ 2 − 1 2

− 2ξω n ± 2ω n ξ 2 − 1 2

D = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 D = −ξω n ± iω n 1 − ξ 2

⎡ u ⎢ D + ⎛⎜ − ξω n + iω n 1 − ξ 2 ⎝ ⎣

⎞⎤ ⎡ D + ⎛ − ξω − iω 1 − ξ 2 ⎟⎥ ⎢ ⎜ n n ⎠⎦ ⎣ ⎝

u = e −ξω nt ⎛⎜ C1 cos ω n 1 − ξ 2 t + C 2 senω n 1 − ξ 2 t ⎞⎟ ⎝ ⎠

ω D = ω n 1−ξ 2

⎞⎤ = 0 ⎟⎥ ⎠⎦

235 u = e −ξω nt (C cos ω D t + Dsenω D t ) u (0 ) = e −ξω n ( 0) (C cos ω n (0) + Dsenω n (0) ) C = u (0 )

− ξω n e −ξω n t (C cos ω D t + Dsenω D t ) + e −ξω n t (− Cω D senω D t + Dω D cos ω D t ) = u& (0 ) −ξω n C + Dω D = u& (0 ) −ξω n u (0 ) + Dω D = u& (0 )

D=

u& (0 ) + ξω n u (0 )

ωD

Movimiento armónico forzado no amortiguado

A-3 mu&& + ku = P0 senω t P u&& + ω n2 u = 0 senω t m

Solución complementaria: D 2 u + ω n2 u = 0

(

)

u D 2 + ω n2 = 0 −ω n2

D = D = ± iω n u c = A cos ω n t + Bsenω n t 2

Solución complementaria: Método de los coeficientes indeterminados: P Q = 0 ω n2 senω t k

u = C P0 sen ω t + D P0 cos ω t u& = C P0ω cosω t − D P0ω senω t

u&& = −C P0ω 2 senω t − D P0ω 2 cos ω t

− C P0ω 2 senω t − D P0ω 2 cos ω t + ω n2 (C P0 senω t + D P0 cos ω t ) = P0 senω t P P P Cω n2 − Cω 2 0 senω t + Dω n2 − Dω 2 0 cos ω t = 0 senω t m m m

(

)

(

)

Dω n2 − Dω 2 = 0

→

D =0

Cω n2 − Cω 2 = 1

→

C=

up =

P0 2 ω n C senω t k

1

ω n2

−ω 2

236 P0 2 1 ωn 2 senω t k ωn −ω 2 P 1 up = 0 senω t 2 k ⎛ ω ⎞ ⎟ 1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ωn ⎠ La solución total es: P u t = A cos ω n t + Bsenω n t + 0 k up =

1 ⎛ ω 1 − ⎜⎜ ⎝ωn

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

senω t

Para condiciones de inicio: u (0 ) = A

u& (0 ) = − Aω n senω n t + Bω n cos ω n t +

u& (0 ) = Bω n +

P0 k

P0 k

1 ⎛ ω 1 − ⎜⎜ ⎝ωn

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

ω cos ω t

ω ⎛ ω 1 − ⎜⎜ ⎝ωn

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ P ω B = ⎜ u& (0 ) − 0 ⎜ k 1 − (ω ω n )2 ⎝ P ω ωn B = u& (0 ) − 0 k 1 − (ω ω n )2

2

⎞ ⎟ω ⎟ n ⎠

⎡ u& (0 ) P0 ω ωn ⎤ P0 1 u t = u (0 ) cos ω n t + ⎢ senω t − ⎥ senω n t + 2 k 1 − (ω ω n ) ⎥⎦ k 1 − (ω ω n )2 ⎢⎣ ω n Para u(0) = 0 y (condiciones en reposo) u& (0 ) = 0

u (t ) = − u (t ) =

P0 P ω ωn 1 senω n t + 0 senω t 2 k 1 − (ω ω n ) k 1 − (ω ω n )2

P0 1 k 1 − (ω ω n )2

⎡ ⎤ ω senω n t ⎥ ⎢ senω t − ω n ⎣ ⎦

Para resonancia ω = ωn la ecuación anterior no es valida, porque la elección de la solución particular forma parte de la solución complementaria: Q=

p0 2 ω n senω n t k23 1 Cte.

u = Ctsenω n t + Dt cos ω n t u& = Csenω n t + ω n cos ω n t ⋅ Ct + D cos ω n t − Dtω n senω n t

(

u&& = Cω n cos ω n t + Cω n cos ω n t − Ctω n2 senω n t − Dω n senω n t − Dω n senω n t + Dtω n2 cos ω n t en la ecuación diferencial:

)

237

Cω n cos ω n t + Cω n cos ω n t − Ctω n2 senω n t − Dω n senω n t − Dω n senω n t − Dtω n2 cos ω n t + Ctω n2 senω n t + Dtω n2 cos ω n t = Cte ⋅ senω n t 2 ⋅ Cω n cos ω n t − 2 ⋅ Dω n senω n t = Cte ⋅ senω n t 2 ⋅ Cω n = 0

→

C=0

−2 ⋅ Dω n = Cte. P − 2ω n D = 0 ω n2 k P0 ωn D=− 2k P ∴ u p = − 0 ω n t cos ω n t 2k ut = uc + u p P0 ω n t cos ω n t 2k u& (0) = 0

u t = A cos ω n t + Bsenω n t −

para:

u ( 0) = 0

u ( 0) = A = 0

→

∧

A=0

P ⎤ ⎡P u& ( 0) = − Aω n senω n t + Bω n cos ω n t − ⎢ 0 ω n cos ω n t − 0 ω n2 t senω n t ⎥ = 0 2 2 k k ⎦ ⎣ P0 ωn = 0 Bω n − 2k P B= 0 2k P P u (t ) = 0 senω n t − 0 ω n t cos ω n t 2k 2k P u (t ) = 0 (senω n t − ω n t cos ω n t ) ecc. para ω =ωn 2k

Movimiento armónico forzado amortiguado

A-4

mu&& + cu& + ku = p 0 senω t p c u&& + u& + ω n2 u = 0 senω t m m mω n p u&& + 2 ξ u& + ω n2 u = 0 sen ω t m m p0 p 2 u&& + 2ξω n u& + ω n u = sen ω t = 0 ω n2 ω t m k

solución complementaria:

238

D 2 u + 2ξω n Du + ω n2 u = 0 ( D 2 + 2ξω n D + ω n2 )u = 0 D=

D=

− 2ξω n ± 4ξ 2ω n2 − 4ω n2 2 ⋅1

− 2ξω n ± 2ω n ξ 2 − 1 2

D = −ξω n ± iω n 1 − ξ 2

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎜ ⎢ 2 ⎟⎥ ⎢ 2 ⎟⎥ u ⎢ D + ⎜ − ξω n + iω n 1 − ξ ⎟⎥ ⋅ D + ⎜ − ξω n − iω n 1 − ξ ⎟ 14243 ⎟ ⎢ 14243 ⎟⎥ ⎜ ⎜ ωD ωD ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢ →

u c = e −ξω nt ( A cos ω D t + Bsenω D t )

la solución es:

Solución particular: p Q = 0 ω n2 senω t k u = C senω t + D cos ω t u& = Cω cosω t − Dωsenω t u&& = −Cω 2 senω t − Dω 2 cos ω t →

en la ecuación diferencial:

− Cω 2 senω t − Dω 2 cos ω t + 2ξω n Cω cos ω t − 2ξω n Dω senω t + Cω n2 senω t + Dω n2 cos ω t =

p0 2 ω n senω t k23 1 Cte.

(− Cω

2

)

(

( (

) )

C=−

D ω n2 − ω 2 2ξω n ω

D ω n2 − ω 2 + C 2ξω nω = 0 p C ω n2 − ω 2 − D 2ξω n ω = 0 ω n2 k

−

(

)

+ Cω n2 − 2ξω n Dω senω t + − Dω 2 + 2ξω n Cω + Dω n2 cos ω t = Cte. ⋅ senω t

(

D ω n2 − ω 2 2ξω n ω

(

)

)

2

− D 2ξω n ω =

)

p0 2 ωn k

⎡ ω 2 − ω 2 2 + 4ξ 2ω 2ω 2 ⎤ p n ⎥ = 0 ω n2 − D⎢ n ⎢ ⎥ k 2ξω n ω ⎣ ⎦ 2 ⎡ ω 4 1 − (ω ω )2 ⎤ p n − D⎢ n + 2ξω n ω ⎥ = 0 ω n2 ⎢ ⎥ k 2ξω n ω ⎣ ⎦ ⎡ ω 1 − (ω ω )2 2 ω ⎤⎥ p 0 2 n − Dω n2 ⎢ n + 2ξ = ωn ⎢ 2ξω ωn ⎥ k ⎣ ⎦

(

)

(

)

239 ⎡ ⎤ ⎢ 1 − (ω ω )2 2 ω ⎥⎥ p 0 n − D⎢ + 2ξ = ω ⎢ ωn ⎥ k 2ξ ⎢ ⎥ ωn ⎣ ⎦ 2 ⎡ 2 ⎛ ω ⎞ ⎤⎥ ⎢ 1 − (ω ω n )2 + ⎜ 2ξ ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎥ p ⎢ n ⎠ ⎝ 0 − D⎢ ⎥= ω ⎢ ⎥ k 2ξ ⎢ ⎥ ωn ⎣ ⎦

(

)

(

)

D=

−2ξ ω ω n p0 k 1 − (ω ω )2 2 + (2ξ ω ω )2 n n

D=

1 − (ω ω n )2 p0 k 1 − (ω ω )2 2 + (2ξ ω ω )2 n n

(

)

(

)

Secciones nominales de barras

A-5

Barra Nº

[in]

Diámetro nominal, [mm]

Peso nominal, [kg/m]

Área de la sección transversal, [cm2]

¼

6

0.222

0.28

Diámetro,

⁄16

8

0.395

0.50

3

⁄8

10

0.617

0.79

4

½

12

0.888

1.13

5

5

⁄8

16

1.578

2.01

6

¾

20

2.466

3.14

7

7

⁄8

22

2.980

3.80

8

1

25

3.853

4.91

9

1

1 ⁄8

28

4.830

6.16

10

1¼

32

6.313

8.04

11

1 3⁄8

36

7.990

10.18

14

1¾

45

12.480

15.90

18

2¼

55

20.239

23.76

5

3

240 Factores de conversión

A-6

Propiedades estructurales Dimensión de la sección transversal Área Modulo de sección Momento de inercia

1 in 1 in2 1 in3 1 in4

= = = =

2.54 cm 6.452 cm2 16.39 cm3 41.62 cm4

1 lb 1 lb/ft 1 lb/ft2

= 0.454 kg = 1.488 kg/m = 4.882 kg/m2

1kip 1 lb/in2 1 ksi 1 lb·ft 1 kip·in

= = = = =

Cargas Cargas concentradas Cargas lineales Cargas de superficie

Esfuerzos y momentos Fuerza Esfuerzos Momento

453.59 0.0703 70.307 0.1383 11.521

kg kg/cm2 kg/cm2 kg·m kg·m

Texto guia de ingenieria antisismica.pdf

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