UNIVERSIDAD NACIONAL
“PEDRO RUIZ GALLO” FACULTAD INGENIERIA CIVIL, DE SISTEMAS Y DE ARQUITECTURA
Escuela Profesional de Ingeniería Civil texto autoinstructivo Curso: Física I DOCENTE: Ing.
Mendoza Gamarra Alfonso
integrantes: Aguilera Arana Jesus Alexander Flores Huaman Tatiana Lisset Frias Aspillaga David Santiago Huaman Muñoz Wilder Nelson Ilasaca Gaona Diego Irigoin Becerra Yolanda Deney Julca Peralta Jorge Moreto Salas Kristian Ordoñez Saavedra Erick Jonnathan Sanchez Caicedo Segundo Segura Segura Camila Lorena Velasquez Neciosup Juan Carlos Lambayeque, diciembre del 2012
TEXTO AUTOINSTRUCTIVO
AGRADECIMIENTO
Un agradecimiento especial al Profesor MENDOZA GAMARRA ALFONSO, por la colaboración, paciencia, apoyo y sobre todo por esa gran amistad que nos brindó y nos brinda, por escucharnos y aconsejarnos siempre.
1
INTRODUCCION
El siguiente texto auto instructivo ah sido creado con la finalidad de darle a conocer a el alumno un conocimiento general sobre los temas de física la cual tiene una base teórica completa y gráficos que serán muy útil al momento de la ejecución de cualquier problema ejecutado en este modulo. A continuación una pequeña demostración de la utilización de los diferentes temas de física que son aplicadas a diario en nuestra vida. Gracias a esta propiedad de manifestación a distintas escalas, la física ha podido avanzar hasta el conocimiento con el que contamos hoy. Si bien las ecuaciones de Newton no son válidas para objetos a escalas atómicas o moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, son perfectamente suficientes para explicar y predecir fenómenos que involucren objetos y energías cotidianas. Por ello seguimos utilizándolas, y también ¡enseñándolas!
2
INDICE
CAPÍTULO I: VECTORES……………………………………………………. 7 1. ENTRADA 1.1. MOTIVACION………………………………………………………...8 1.2. SABERES PREVIOS………………………………………………..9 1.3. MAPAS CONCEPTUALES………………………………………...10 1.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION………………………….. 11 1.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE…………………………………….. 15 1.6. GLOSARIO………………………………………………………… 15 1.7. EXAMEN DE ENTRADA………………………………………….. 16 2. CUERPO 2.1. INFORMACION TEORICA…………………………………………17 2.2. ACTIVIDADES…………………………………………………… 23 2.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS…………………………………… 23 2.2.2. PEQUEÑAS INVESTIGACIONES………………………. 24 2.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 26 3. SALIDA 3.1. PRUEBA INTERMEDIA………………………………………… 31 3.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACION…………………………… 32 3.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES……………………… 33 3.3.1. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 33 3.3.2. PRUEBA INTERMEDIA………………………………… 34 3.3.3. PRUEBA DE AUTOEVALUACION …………………… 35 3.4. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………. 36
CAPÍTULO II: ESTATICA…………………………………………………
37
1. ENTRADA 1.1. MOTIVACION………………………………………………………...38 1.2. SABERES PREVIOS………………………………………………..40 1.3. MAPAS CONCEPTUALES………………………………………...41 1.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION………………………….. 43 1.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE…………………………………….. 45 1.6. GLOSARIO………………………………………………………… 46 1.7. EXAMEN DE ENTRADA………………………………………….. 47 2.CUERPO 3
2.1. INFORMACION TEORICA…………………………………………48 2.2. ACTIVIDADES…………………………………………………… 49 2.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS……………………………………50 2.2.2. PEQUEÑAS INVESTIGACIONES………………………. 56 2.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 59 3. SALIDA 3.1. PRUEBA INTERMEDIA………………………………………… 63 3.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACION…………………………… 76 3.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES……………………… 77 3.3.1. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 79 3.3.2. PRUEBA INTERMEDIA………………………………… 80 3.3.3. PRUEBA DE AUTOEVALUACION …………………… 82 3.4. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………. 83 CAPÍTULO III: CINEMATICA………………………………………………84 1. ENTRADA 1.1. MOTIVACION………………………………………………………...83 1.2. SABERES PREVIOS………………………………………………..87 1.3. MAPAS CONCEPTUALES………………………………………... 88 1.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION………………………….. 89 1.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE…………………………………….. 95 1.6. GLOSARIO………………………………………………………… 95 1.7. EXAMEN DE ENTRADA………………………………………….. 96 2.CUERPO 2.1. INFORMACION TEORICA…………………………………………97 2.2. ACTIVIDADES…………………………………………………… 98 2.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS………………………………… 98 2.2.2. PEQUEÑAS INVESTIGACIONES………………………. 117 2.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 130
3. SALIDA 3.1. PRUEBA INTERMEDIA………………………………………… 130 3.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACION…………………………… 131 3.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES……………………… 131 3.3.1. PROBLEMAS ABIERTOS…………………………… 134 3.3.2. PRUEBA INTERMEDIA………………………………… 140 3.3.3. PRUEBA DE AUTOEVALUACION …………………… 146 3.4. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………. 159 4
CAPÍTULO IV: DINAMICA DE PARTICULA………………………… 160 1. ENTRADA 1.1. MOTIVACION……………………………………………………….161 1.2. SABERES PREVIOS………………………………………………162 1.3. MAPAS CONCEPTUALES……………………………………….163 1.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION………………………… 164 1.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE…………………………………… 172 1.6. GLOSARIO………………………………………………………… 172 1.7. EXAMEN DE ENTRADA…………………………………………..173 2.CUERPO 2.1. INFORMACION TEORICA…………………………………… 174 2.2. ACTIVIDADES………………………………………………… 179 2.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS………………………………… 179 2.2.2. PEQUEÑAS INVESTIGACIONES………………………. 180 2.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 183 3. SALIDA 3.1. PRUEBA INTERMEDIA………………………………………… 183 3.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACION…………………………… 184 3.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES……………………… 184 3.3.1. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 184 3.3.2. PRUEBA INTERMEDIA………………………………… 185 3.3.3. PRUEBA DE AUTOEVALUACION …………………… 186 3.4. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………. 187
1. CAPÍTULO V: TRABAJO Y ENERGIA………………………………….188 1. ENTRADA 1.1. MOTIVACION……………………………………………………….189 1.2. SABERES PREVIOS………………………………………………190 1.3. MAPAS CONCEPTUALES……………………………………….191 1.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION…………………………192 1.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE…………………………………… 194 1.6. GLOSARIO…………………………………………………… 195 1.7. EXAMEN DE ENTRADA………………………………………….212 2.CUERPO 2.1. INFORMACION TEORICA……………………………………… 215 2.2. ACTIVIDADES…………………………………………………… 217 5
2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.
PRUEBAS OBJETIVAS………………………………… 217 PEQUEÑAS INVESTIGACIONES……………………….218 PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 223
3. SALIDA 3.1. PRUEBA INTERMEDIA………………………………………… 225 3.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACION…………………………… 226 3.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES……………………… 227 3.3.1. PROBLEMAS ABIERTOS……………………………… 227 3.3.2. PRUEBA INTERMEDIA………………………………… 233 3.3.3. PRUEBA DE AUTOEVALUACION …………………… 253 3.4. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………. 254
6
CAPITULO I VECTORES
1.1 MOTIVACION En una competencia de atletismo se presentan diez participantes (A, B, C, D, E, F, G, H, I) tal como se muestra en la figura. Todos tienen que seguir un camino hasta llegar a la meta. Ya iniciada la competencia todos los participantes siguen la ruta indicada, a excepción del participante E que al verse agotado y último en la competencia decide tomar un atajo en tal forma que partiendo desde cierto punto “P” (recorriendo hasta el punto “P” 200 metros) avanza hasta el punto “Q” en línea recta. Viéndose cerca de la meta continua corriendo esta vez ya siguiendo la ruta establecida, consiguiendo así ser vencedor de la competencia al llegar en primer lugar. Después de haber leído este texto ¿A qué conclusión has llegado? No es necesario tener un gran dominio del tema para analizar la situación dada. Bueno, después de ya tener tus conclusiones, veamos su análisis… En primer lugar al mencionar “los correr
participantes desde
van
el
a
punto
departida y el vencedor será aquel que llegue a la meta” estamos indicando SENTIDO. Luego al mencionar “recorriendo hasta el punto “P” 200 metros” estamos indicando MAGNITUD. La ruta está dada por curvas y rectas describiendo diferentes ángulos (por ejemplo la de la ruta con el segmento
´ PQ ) estos viene a determinar la
DIRECCION. Teniendo SENTIDO, MAGNITUD Y DIRECCION, podemos determinar los “VECTORES”. Por consiguiente: La ruta que deben seguir todos los participantes de la competencia de atletismo, viene a ser la TRAYECTORIA.
Teniendo en cuenta lo anterior, deducimos que el atajo que siguió el participante E que viene a ser segmento
´ PQ es el DESPLAZAMIENTO.
Y que la magnitud de éste viene a ser la distancia recorrida.
1.2 SABERES PREVIOS
¿Qué entiendes por vectores? …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ¿de que nos sirve los vectores en nuestra vida diaria? …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
¿Qué operaciones se puede realizar con vectores? ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ¿Qué entiendes por resultante? ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ¿Cuáles son los métodos para hallar la resultante? …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………
1.3 REFOPRZAMIENTO Y EJERCITACION 1. ¿Cuáles son los vectores componentes ortogonales de la fuerza P de 100 libras a lo largo de las rectas continua y punteada, que se muestran en la Fig. P-13?
sen 55 V 1=sen 40V 2 V 1 sen 40 K 0.642 K = = V 2 sen 55 K 0.819 K cos 40V 2 +cos 55 V 1=100 0.766 ( 0.819 K ) +0.573 ( 0.642 K ) =100 0.6273 K +0.3678 K=100 0.99 K=100
K=100.5 Fig .13
V 1=0.642 K=64.6 V 2=0.819 K=82.3
2. Resolver la fuerza de 200 libras en componentes colineal y perpendicular, respectivamente, al plano los casos (a) y (b) de la Fig. P-14.
Fuerza colineal:200 sen 55 ¿ 84.52
Fuerza perpendicularidad : 200 cos 25 ¿ 181.26
Fuerza colineal: 200 cos 30
¿ 173.2
Fuerza perpendicularidad :
200 sen 30 ¿ 100
3. Descomponer la fuerza Fde 100 libras en componentes según las direcciones de los ejes x, yyz,(Fig. P-15). ¿Cuáles son los cosenos directores de esta fuerza?.
cos α =
a x −3 −3 √ 29 = = a √ 29 29
cos β=
ay 4 4 29 = = √ a √ 29 29
cos θ=
az 2 2 √ 29 = = a √ 29 29
a=√ 9+16+ 4=√ 29
4. Los cosenos directores de la fuerza de 100 libras mostrada en la Fig. P-16 son 0.40, 0.29, 0.87. Determinar (a) los vectores componentes a lo largo de los ejesx, yyz, y (b) las componentes escalares en los mismos ejes.
a=√ a x 2 +a y 2 +a z 2=100
cos α =
ax =0.40 (100 )=a x =40 a
a x =( 40, 0, 0 )
cos β=
ay =0.29 ( 100 ) =a y =29 a
a y =( 0,29, 0 )
cos δ =
az =0.87 ( 100 )=a z=87 a
a z=( 0, 0, 87 )
5. Con la referencia a la Fig. P-19, escribir las expresiones vectoriales para a y b, y calcular
⃗a . ⃗b y ⃗a x ⃗b .
e a=
⃗ A |⃗A|
e a=
( 0,12,3 )− ( 4,12,0 ) |( 0,12,3 )− ( 4,12,0 )|
e a=
(−4,0,3 ) 5
4 3 e a= x 25 i+ x 25 k 5 5 e a=−20 i+15 k
e b=
⃗ B ( 3,12,0 )−( 0,0,4 ) = |⃗B| |( 3,12,0 )−( 0,0,4 )|
e b=
( 3,12,−4 ) 13
e b=
3 12 4 x 52 i+ x 52 j− x 52k 13 13 13
e ab=12i+ 48 j−16 k
Ahora
a . b= (−20 i+15 k ) (12 i+48 j−16 k ) a . b=−240+ 48−240
a . b=432
|
|
i j k axb= −20 0 15 12 48 −16
axb=140 i−580 j−960 k
1.4 OBJETIVOS Y APRENDIZAJE
Definir un vector como elemento matemático y establecer su importancia en la descripción de los fenómenos físicos y el establecimiento de leyes físicas. Diferenciar las operaciones matemáticas ordinarias (operaciones escalares), respecto de las operaciones vectoriales. Dar a conocer las propiedades de los vectores con uso del método inductivo – deductivo para ir explicando y comprendiendo las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de vectores. Generalizar las reglas o leyes de las operaciones con vectores.
1.5 GLOSARIO Magnitud: Es todo aquello que se puede medir experimentalmente. Las magnitudes físicas se clasifican en escalares y vectoriales. Magnitud escalar: Es aquella que viene perfectamente definida por un número y su unidad, es decir, por su módulo. Magnitud vectorial: Es aquella que viene perfectamente definida por un módulo, una dirección, un sentido y un punto de aplicación Módulo o Intensidad: Representa el valor de la cantidad física vectorial, está representado por la longitud del vector, tomado o medido a cierta escala. Dirección: Está representado por la recta que contiene al vector .se define como el ángulo que hace dicho vector con una o más rectas de referencia, según sea el caso en el plano o en el espacio. Sentido: Indica la orientación de un vector, gráficamente está dado por la cabeza de la flecha del vector.
Punto de aplicación: Es el punto sobre el cual se supone actúa el vector.
Ejemplo: Representar el Vector F cuya Dirección es 30° Y su módulo 10 Kg-f
1.6 EXAMEN DE ENTRADA 1
2
¿Cuál de las siguientes magnitudes necesita de un vector, para su representación? a
Intermedio luminoso
b
Intensidad de corriente eléctrica.
c
Calor latente
d
Espacio
e
Desplazamiento
¿Cuál de las siguientes magnitudes, no necesita de un vector, para su representación?
3
a
Agua
b
Torque
c
Potencial eléctrica
d
Potencial eléctrico
e
Velocidad angular
¿Cuánto debe variar el ángulo entre los vectores mostrados para que la diferencia sea máxima?
4
Dos desplazamientos tienen módulos iguales a 4 m 3m. ¿Cuál debe ser la dirección y el sentido de cada uno de estos vectores para que su resultante tenga módulo igual a t: a
5
7
Dos vectores
b) 1
y
c) 0.5
cumplen la siguiente condición:
¿Qué ángulo formo entre sí?
2.
d) 8
|⃗A−⃗ B|=√ A2 + B2− AB
2.1 INFORMACION TEORICA DIFINICION DE VECTOR Ente matemático que además de tener valor (módulo), tiene dirección y sentido. Gráficamente se representa por un segmento de recta orientado (cabeza de flecha).Los ejemplos elementales de vectores son los desplazamientos, las velocidades, las fuerzas, las aceleraciones, etc. Notación: = Vector
= Dirección: El de la recta L Sentido: de A hacia B O: origen Vector opuesto: Dado un vector se llama vector opuesto o negativo del vector a otro vector de igual módulo pero de sentido contrario.
El opuesto de
⃗ A
es -
⃗ B
y viceversa.
Vectores iguales: Son los vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Vectores concurrentes: Son los vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un mismo punto:
Vector unitario: Es el vector módulo es igual a la unidad.
⃗u es unitario si |u⃗| = 1 Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector basta dividir éste entre su módulo: Sea
⃗ V
el vector, el unitario será:
⃗ A ⃗ = | A|
VECTOR POSICION Y COMPONENTE DE UN VECTOR Para hacer más sencilla la explicación daremos un ejemplo: Un ministro peruano tiene una asamblea en el extranjero, en esta ocasión debe realizar un viaje a Francia, el cual dura 36 horas seguidas, como no le agradaba la idea de viajar por tanto tiempo, decide tomar escalas en su viaje. De esta manera partió de Perú, llego a Venezuela, luego a España y por último a Francia. Tal como se muestra en la figura: Como se puede notar en la figura, PERU es el origen, de esto se deduce: El vector PERU FRANCIA y el vector PERU VENEZUELA representan vectores posiciones, ya que ambos parten del origen PERU. Vector posición relativo: A diferencia del vector posición, estos parten de un punto cualquiera del espacio a otro punto del espacio. Según la gráfica, de deduce:
El vector VENEZUELA ESPAÑA y el vector ESPAÑA FRANCIA representan vectores posiciones relativas. Componentes de un vector: Cualquier vector puede considerarse como la resultante de dos o más vectores denominados VECTORES COMPONENTES. Teniendo en cuenta el ejemplo anterior F = Fx + Fy
V = Vx + Vy
P = Px + Py
E = Ex + Ey
Donde: Fx, Fy son componentes de F Px, Py son componentes de P Vx, Vy son componentes de V Ex, Ey son componentes de E Estos a su vez se pueden expresar con sus componentes escalares:
Px= Pcos ∝
y Px= Psen ∝
Vx= Vcos β
y Vx= Psen β
Ex= Ecos β
y Ex= Esen β
Fx= Fcos θ
y Fx= Fsen θ
P= Pcos ∝
+ Psen ∝
V= Vcos β
+ Psen β
E= Ecos β
+ Esen β
F= Fcos θ
+Fsen θ
ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR Consideremos el vector
α , β ,γ
ángulos
⃗a =
a (¿ ¿ 1 , a2 ,a 3) ¿
en el espacio tridimensional y los
formados por los ejes coordenados positivos y el vector
a ¿ (¿ ¿ 1 , a2 ,a 3) es decir: ∠ ∝ = ∠( i, a), ∠ β=∠¿ j, a), ∠ γ ¿
Si
⃗a
L
(recta)
donde
⃗a
⃗a =
= ∠( k, a),
=
a (¿ ¿ 1 , a2 ,a 3) , diremos que: ¿ Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos que forma con los ejes coordenados x,y,z, según muestra la Fig. Los cosenos directores se pueden obtener sin más que observar que: (1)
√
2
2
Partiendode: |a⃗|= a x + a y + a z
Siendo
|a⃗|
2
….. (2)
el módulo del vector. De (1) y (2) se obtiene la relación entre los
ángulos directores:
ADICION Y SUSTRACCION DE VECTORES ADICION DE VECTORES: Supongamos que tenemos dos vectores dados, digamos
A
y
B.
formamos
un
tercer
vector
construyendo un triángulo con A y B, formando los dos lados del triángulo, B a continuación de A (véase en la figura). El vector que comienza desde el origen de A y termina en la punta de la flecha de B se define como el vector suma A+B. Vemos que A+0=A y que si A=B, C=D, entonces: A+C=B+D De la geometría euclidiana se nota que:
A+B=B+A………………LEY COMMUTATIVA de la adición vectorial (A+B)+C=A+(B+C)…LEY ASOSIATIVA de la adición vectorial x(A+B)=xA+Xb…….LEY DISTRIBUTIVA para la multiplicación por un escalar
SUSTRACCION DE VECTORES: Dados dos vectores A y B podemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Qué vector C debe agregarse a B para que dé A? El vector C se define como el vector AB.
Podemosobtener
el
resultadodeseadopor
dos
métodosdiferentes. Construimos B y luego agregamos este vector a A Hacemos que B y A tengan un origen común y construyamos el tercer lado del triangulo Los dos sentidos posibles darán A-B y B-A. Así A-B = A+ (-B)
PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO Se le define por la identidad: En donde
θ
A.B
≅| A|.|B|
cos θ
es el ángulo entre los dos vectores cuando se dibujan ambos desde
un origen común, no importa si escogemos
θ o – θ , puesto que:
cos θ = cos (−θ) Si A es perpendicular a B, entonces: A.B = 0 Si A.B = 0 entonces: A=0 B=0
A
B
A.B es igual a la proyección de A sobre B multiplicada por la longitud de B.
ProyA B|B|
A.B =
=
ProyB A| A|
Con esto en mente procedemos a probar la ley distributiva que establece que: A. (B+C)= A.B + A.C De la figura adjunta es evidente que: A. (B+C) =
Proy (B+C) A| A| =
ProyB A| A|
+
ProyC A|A| = A.B + A.C
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ Dados dos vectores no paralelos A y B cualesquiera, podemos construir un tercer C como sigue: cuando trasladamos los vectores de tal manera que tengan un origen común, dichos vectores A y B forman dos de los lados de un paralelogramo. Definimos C como el VECTOR PERPENDICULAR al plano de este paralelogramo con una magnitud igual al área del paralelogramo. Escogemos
la
normal
obtenida
por
el
movimiento de un tornillo de orientación derecha cuando A gira hacia B (el ángulo de rotación menor de 180º) (véase la figura). Se coloca una cruz entre los vectores A y B y denotamos el vector C = AxB. El vector C se llama el productor vectorial o producto cruz de A y B y está dado por: C =Ax B =
| A| . |B| sen θ E, en donde E = 1, el área del paralelogramo
es: Área =
| A| . |B| sen θ
Es obvio que A x B = -B x A, de tal manera que la multiplicación vectorial NO ES CONMUTATIVA. Si A y B son paralelos, A x B = 0. En particular, A x A = 0 Si expresamos los vectores en función de sus componentes, su producto vectorial vendría a ser:
|
i⃗ A x B= A x Bx
|
⃗j k⃗ A y Az By Bz
Donde ahora el vector se obtiene en función de sus componentes.
2.2 ACTIVIDADES 2.2.1 PRUEBAS OBJETIVAS Las siguientes preguntas le permitirán evaluar su conocimiento de los temas tocados en el presente capitulo. 1.-Dado el vector = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a, sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0). 2.-Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5. 3.-Si
es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su misma
dirección y sentido. 4.-Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro. 5.-Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de AC, A(-3, 1). 6.- Averiguar si están alineados los puntos: A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5). 7.-Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo. 8.-Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, -1) y B(8, -4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB. 9.-Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división? 10.-Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).
COMENTARIOS DE TEXTOS Estableciendo Los datos resultantes de estas investigación hemos podido comprender y analizar los diferentes conceptos que se desarrollan en torno a un vector, y las diferentes aplicaciones que este tiene en la vida cotidiana: el cual nos permite localizar un punto específico u bien sea la posibles contradicciones que presente x construcción la cual debe tener para su realización diferentes tipos de estudios vectoriales que conllevaran a lo que es el desarrollo de infraestructura. Si bien es determinante este estudio, podríamos agregar que el estudio de los vectores lleva consigo un amplio lugar de trabajo ya que tiene influencia en áreas de trabajo, influencias que antes eran desconocidas por nosotros. Por lo tanto hemos determinado que el estudio conciso de este trabajo permitió que nuestros conocimientos acercas de los vectores se hayan ampliado de manera tal que podemos determinar con la utilización de las formulas correcta la distancia y la inclinación de un objeto, tomando en cuenta su dirección, orientación, punto de aplicación y longitud o módulo. Los cuales pertenecen a las características constantes que conforman un vector. En el sistema vectorial existen 2 tipos de estudios o problemas uno analítico y otro grafico que permite especificar los diferentes puntos de acción. 2.2.2 PEQUEÑAS INVESTIGACIONES Desde los inicios del computador en 1950 hasta la década de los ochenta se usaba un sistema vectorial de generación de gráficos diferente al actual. En este sistema «caligráfico» el rayo eléctrico del tubo de rayos catódicos de la pantalla era guiado directamente para dibujar las formas necesarias, segmento de línea por segmento de línea, quedando en negro el resto de la pantalla. Este proceso se repetía a gran velocidad para alcanzar una imagen libre de intermitencias o muy cercana a estar libre de ellas. Este sistema permitía visualizar imágenes estáticas y en movimiento de buena resolución (para esas fechas) sin usar la inimaginable cantidad de memoria que se hubiera necesitado para conseguir la resolución equivalente en un sistema de rasterización, permitiendo que la secuencia de imágenes diese la sensación de movimiento e incluso consiguiendo que titilaran modificando sólo algunas de las
palabras del código de la gráfica en su respectivo «display file». Estos monitores basados en vectores también eran conocidos como monitores X-Y (X-Y displays). Uno de los primeros usos de los vectores en el proceso de visualización fue el realizado por la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. El sistema de generación de gráficos mediante vectores se utilizó hasta 1999 en el control aéreo y probablemente aún se siga usando en diversos sistemas militares. Ivan Sutherland empleó este mismo sistema en la TX-2 para ejecutar su programa Sketchpad en el MIT Lincoln Laboratory en 1963. Los subsiguientes sistemas de representación gráfica vectorial incluían la GT40 de Digital; existió una consola llamada Vectrex que usaba gráficos vectoriales para mostrar videojuegos como Asteroids y SpaceWars; y equipos como el Tektronix 4014, podían generar imágenes vectoriales dinámicas. El término vector es usado comúnmente en el contexto de gráficos de dos dimensiones producidos por computador. Es uno de los muchos modos con los que un artista cuenta para crear una imagen con una previsualizaciónrasterizada. Otras formas de uso pueden ser en textos, en multimedia y en la creación de escenarios 3D. Prácticamente todos los programas de modelado en 3D usan técnicas que generan gráficos vectoriales en 2D. Los plotters usados en dibujo técnico siguen dibujando los vectores directamente sobre el papel. Frecuentemente a las imágenes de mapa de bits se las considera formatos algo primitivos, desde un punto de vista conceptual, ya que su forma de almacenar la información en píxeles no permite la misma flexibilidad que se obtiene con una imagen vectorial. Sin embargo los mapas de bits presentan ventajas en otras áreas como la fotografía digital y el video.
2.2.3 1
PROBLEMAS ABIERTOS Un bote es remolcado por un canal con un cable que forma un ángulo de 10° con la orilla. Si la tracción del cable es de 200 N, calcular la fuerza que arrastra al bote por el canal.
SOLUCION
200 cos 10 ° 200
F
F ( ←) = F (→)
200 cos 10 °
=F
196,96 = F F = 197 N
°
10
2
Hallar la resultante de las fuerzas coplanarias 100 N, 0° y 200 N, 90°.
SOLUCION R = 100 R = 100 R = 223,607 N R = 224 N
200 N
θ
’’’
100 N
3
Hallar la resultante de las fuerzas coplanarias 32 N, 20° y 64 N, 190°.
SOLUCION
y
R2=64 2+ 322+ 2(64)(32)cos 170 °
R 190°
∅ 20°
32 N
θ
64 N
x
R2=¿
4096 + 1024 + 4096
cos 170 °
64 33 = sen ∅ sen 170 ° sen ∅ ∅
= 0,33677
= 0,344
R2=¿
5120 + 4096(-
4
Expresar en función de los vectores unitarios i, j, k la fuerza de 200 N con
origen en (2, 5, -3) y extremo en (-3, 2, 1). SOLUCION
⃗ A = (1,−2,0 )−( 3,−5,2 ) ⃗ A = (−2,3,−2 )
∆r = = 5
⃗ A ∆t
=
(−2,3,−2 ) 1
(−2,3,−2 )
Calcular el producto escalar de P = 4i + 2j – k y Q = -3i + 6j + 2k.
SOLUCION (P )) = (4, 2, -1) (Q )) = (-3, 6, 2) (P )).(Q ) ) = (4 x -3) + (2 x 6) + (-1 x 2) (P )).(Q ) = ) -12 + 12 - 2 (P )).(Q ) = ) -2
6
Dados los vectores:
8 i⃗ + ⃗j −3 ⃗k ⃗ ⃗ ⃗u= (3 i −2 j +3 k⃗ ) , ⃗v =( 2 ⃗i −6 ⃗j + k⃗ ) y ⃗z =¿ ), hallar sus módulos, su suma y los ángulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma. SOLUCION
De aquí:
=28°32'35" , 7
=118°13'49" y
=86°7'31".
El módulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los números 2, -2 y 1. Hallar la suma
⃗S =⃗a + ⃗b
si el vector
. Hallar
también un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.
SOLUCION
Sea
el vector buscado. Al ser los cosenos directores
proporcionales a los números 2,-2 y 1, podremos escribir:
cos
=2K, cos ß=-2K, cos
=K (1).
Utilizando la fórmula (3) del resumen teórico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K=± 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3):
cos
=2/3 ;
cos
=-2/3 ; cos
=1/3
De la fórmula (2) del resumen teórico, despejando los valores de ax,ay y az y siendo
=18,queda:
Luego:
de donde:
8
Dados los vectores
⃗a =(3,-2,1) y ⃗b
recta x-y=0, hallar: a) Módulo de
⃗a
de módulo 3 y contenido sobre la b) Producto escalar de
⃗a
y
⃗b
c)
Angulo que forman. SOLUCION
a) Si el vector
está situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que está dirigido
sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=±3.cos 45° y by=±3.sen 45°.
Por tanto el vector es:
El módulo de valores
=
. … RPTA 1
es:
. Observar que se eligieron los
positivos
b)
de
=
bx
y
by.
… RPTA 2
c) Para calcular el ángulo que forman ambos vectores basta aplicar la relación (5) del resumen teórico:
con lo que
…. RPTA 3
9
Un tetraedro es un sólido limitado por cuatro superficies triangulares. Considerar el tetraedro con vértices en los puntos (0,0,0) , (2,0,0), (0,2,0) y (1,1,2) encontrar: El vector que representa cada cara El vector que representa todo el tetraedro La magnitud de la superficie del tetraedro Esperaba Ud. obtener el resultado obtenido en b?
SOLUCION
r 1=u x r 2=u y x+ ¿u y + 2u z r 3=u ¿ x+ ¿u y + 2u z r 4 =−u ¿ r 5=−2 ux +2 u y
Luego:
a
z ¿
1 S 1= r 2 x r 1=−2 u¿ 2 y ¿ x −2 u ¿ ¿ 1 S 2= r 4 x r 5=2 u¿ 2 k ¿ x +u ¿ ¿
1 S 3= r 3 x r 2 =2u¿ 2
k ¿ y +u ¿ ¿
1 S 4 = r 1 x r 3=−2u ¿ 2
b S= 0 ( S 1 +S 2+ S 3+S 4 ¿ 1
8
c Volumen: 3 r 1 . ( r 2 x r 3 ) = 3 =2.07 u
3
3 3.1 PUEBA INTERMEDIA EJERCICIO 01.-
Dados los vectores
|a´ | =(3,-2,1) y |b´ | de módulo 3 y contenido sobre la recta x-
y=0, hallar: a) Módulo de
|a´ | b) Producto escalar de |a´ | y |b´ | c) Angulo que
forman. EJERCICIO 02.Hallar el área del paralelogramo de lado los vectores:
=
y
=-2
-4
+3
EJERCICIO 03.-
Calcular el momento del vector
|a´ | =(2,-4,0) que pasa por el punto P (-1,0,1)
respecto al eje E quepasa por P1 (2,3,1) y cuya dirección está determinada por el vector
S´ =2 ´i + 2 ´j+ k´
3.2 PRUEBA DE AUTOEVALUACION Enunciado1 Demostrar que si los vectores x1, x2, x3 forman un sistema libre, también forman un sistema libre los vectores (x1+x2), (x1+x3), (x2+x3)
Enunciado 2
Dados los vectores
y
Hallar la proyección de
Enunciado 3 Dados
los
vectores
,
hallar
sus
módulos, su suma y los ángulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.
Enunciado 4 El módulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los números 2, -2 y 1. Hallar la suma
si el vector
vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.
. Hallar también un
3.3 SOLUCION DE ACTIVIDADES a
SOLUCION DE PRUEBA DE AUTOEVALUACION
RESPUESTA DEL EJERCICIO 1 El sistema de vectores dado es libre si la expresión:
Se cumple únicamente cuando los coeficientes α, β y γ son todos iguales a cero. En caso contrario, el sistema es ligado. De ese modo, operando, tenemos:
Como los vectores x1, x2, x3 son linealmente independientes, por hipótesis, los coeficientes deben ser todos nulos. De ese modo podemos plantear el siguiente sistema:
Tenemos un sistema homogéneo del que calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Al ser el rango de la matriz de los coeficientes igual al número de incógnitas, el
sistema sólo admite como solución para ellas el valor nulo y, en consecuencia, los vectores dados forman un sistema libre.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 2 OM = A cos O U = A.U = A cos O A = 32 + 152 + (-4)2 = 15.8
M
U = -81 + 7i – 5 K = 0.68i + 0.6 i – 0.43 k (-8)2 + 72 + (-5)2 OM = A.U = (3i + 15J – 4 k) (0.68 I + 0.6 J – 0.43 K) = 8.68 unidades RESPUESTA DEL EJERCICIO 3
De aquí:
α =28°32'35", β =118°13'49" y γ =86°7'31".
RESPUESTA DEL EJERCICIO 4
Sea
el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a
los números 2,-2 y 1, podremos escribir: cos α =2K, cos
β =-2K, cos γ =K (1).
Utilizando la fórmula (3) del resumen teórico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K=± 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3): cos α =2/3 ; cos
β
=-2/3 ; cos γ =1/3
De la fórmula (2) del resumen teórico, despejando los valores de ax,ay y az y siendo
|a´ | =18,queda:
Luego:
de donde:
RESPUESTA DEL EJERCICIO 5 a) Si el vector
|b´ |
está situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que está dirigido
sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=±3.cos 45° y by=±3.sen 45°.
Por tanto el vector es:
El módulo de
|b´ |
es:
.
. Observar que se eligieron los valores
positivos de bx y by.
b)
=
=
c) Para calcular el ángulo que forman ambos vectores basta aplicar lo siguiente:
con lo que RESPUESTA DEL EJERCICIO 6
=
=
A=
=
RESPUESTA DEL EJERCICIO 7
Para hallar el momento respecto al eje E, ME=
,cdebemos calcular:
3.4 BIBLIOGRAFIA
J. E. Marsden y A. J. Tromba, Vector calculus. W. H. Freeman and company, 1999. P. C. Matthews, Vector Calculus. Springer, 2001. J. J. Scala Estalela, Análisis vectorial. Volumen II: Campos.} Editorial Reverté, S. A., 1990K. J. Janich, Vector analysis. Springer, 1993.
CAPITULO II ESTATICA
MOTIVACIÓN: Muchas veces nos confundimos entre lo que es Estática y lo que es Dinámica, por eso antes de empezar con el estudio del equilibrio de cuerpos es necesario diferenciar entre dichas ramas de la Mecánica. La Estática estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir, aquellos cuerpos que se encuentran tanto en reposo como en movimiento con velocidad constante; mientras que la Dinámica estudia los cuerpos acelerados, aunque se puede establecer el equilibrio dinámico mediante la introducción de las fuerzas de inercia. Para detallar y explicar la parte teórica tomaremos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los cuales se aplican principios físicos, como: ¿Cómo logra mantenerse en equilibrio en el vuelo un esquiador? ¿Por qué vuela el avión? ¿Por qué no se cae la Torre Pisa? ¿Cómo logra caer de pie un gato? ¿Cómo logra el equilibrio en el vuelo un Búmeran? ¿Cómo se logra el equilibrio en el baile? Se ha demostrado que la Física no es solamente abstracta, sino que es también práctica y ocurre en la vida diaria, y el estudio del equilibrio es un paso previo para el estudio de la Dinámica y otras ramas de la Física. ¿Por qué no se cae la Torre de Pisa?
Como todo el mundo sabe la Torre de Pisa está inclinada, pero lo que todo el mundo tal vez no sepa es por qué está inclinada. Alguien puede pensar que fue edificada intencionadamente de forma inclinada, lo que, por cierto, vendría muy bien para los legendarios experimentos de Galileo de los cuerpos que se dice que dejó caer desde lo alto de la torre para asombro de sus contemporáneos. Los historiadores no se ponen de acuerdo si el hecho es real o leyenda. En cualquier caso, la fama de la torre se acrecentó por este motivo. Aunque tuvieran muy buenos arquitectos en la época (comenzó a construirse en 1173 aunque, por diversas circunstancias, se tardaron 200 años en terminarla con una altura de casi 56 metros), parece que la inclinación de la torre no fue intencionada sino un accidente. Un accidente del terreno.
El suelo sobre el que se edificó no era tan sólido como se creía, era deformable en algunas partes. Comenzó a ceder por algunos sitios y la torre empezó a inclinarse. Incluso parece que por aquella zona había pasado en tiempos el cauce de un río, que posteriormente cambió su curso, pero que debilitó el terreno. ¿Cuándo comenzará a ser peligrosa para su equilibrio la inclinación de la torre? Hay una ley de la Estática que dice que habrá equilibrio siempre que la vertical que pasa por el centro de gravedad del cuerpo caiga dentro del polígono de apoyo o base de sustentación, que en este caso sería la base de la torre. Y esto sucede con la Torre de Pisa. Si el ángulo de inclinación de la torre siguiera aumentando, llegaría un momento en que dicha vertical caería fuera de la base y eso significaría el fin del equilibrio.
SABERES PREVIOS: 1. ¿Qué es la estática? …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …
2. ¿Cómo la aplicas la estática en tu vida diaria? …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……
3. ¿Para qué se utiliza la estática en las construcciones? …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ….. 4. ¿Qué es el equilibrio?
…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …… 5. ¿Qué respuesta le darías a la inclinación de la Torre de Pisa?
............................................................................................................................... ............................................................................................................................... .
Rama de la mecánica
es
ESTATICA estudi a
participan Fuerzas
Momento de una fuerza o torque es El producto vectorial (M=r x F) donde r= vector posición F= Fuerza que hace al cuerpo
es
Magnitud vectorial medida en Par de fuerza o Cupla
Dos fuerzas paralelas de Igual modulo y sentido opuesto
El equilibrio de las fuerzas de un cuerpo en reposo.
Resultante de fuerzas Coplanari as son Fuerzas que están contenidas en un solo plano
No Coplanarias son Fuerzas contenidas en el
Sistemas
Sistemas se se
Fz ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ sistemas R= ( Fy)2 +∑ ¿ 2 (se Fx)cumple +∑ ¿ ∑¿ R= √¿ ∑F
Fz ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ R= 2 (Fy) +∑ ¿ (Fx)2+ ∑ ¿ sistemas ∑¿ √¿ se cumple R=
∑F
ESTÁTICAA Se basa en: Centro de
Rozamient o
LEYES DE
Hay 1ra Ley: Ley de la Inercia
3ra Ley: Ley de acción y reaccion
Equilibrio de fuerzas coplanarias y no coplanarias Se cumple
Estático (uE) Es se La fuerza que opone al deslizamiento de un cuerpo respecto uc < u E u= F’/N
∑ F=0
∑ M =0
F’= fuerza de rozamiento N: Normal
Cinético (uC) es La fuerza tangencial entre dos cuerpos cuando ya se inicio el movimiento se cumple
dos
es el Punto de aplicación Concurren todas las fuerzas de gravedad de un cuerpo
REFORZAMIENTO Y EJERCITACION: 1). Las ruedas de una grúa móvil se mueven sobre raíles como se muestra en la figura. El peso de la grúa es de 10 toneladas (10T), con su centro de gravedad a 3 ft a la izquierda de A. ¿Qué peso máximo W a 12 ft a la derecha de B puede ser desplazado sin volcar? C
el peso W máximo seria cuando : ∑MB = 0 4(12) + 10(2) = 12(W) 12W = 48 + 20
7
5
12
W = 5.67 T
2). Una persona de 70kg de masa representada por M sostiene una masa de 25kg. Se supone que no existe razonamiento en la polea. La plataforma donde la persona esta de pie cuelga de dos cuerdas en A y dos cuerdas en B. ¿Cuál es la tensión de cada una de las cuerdas en A? ∑Fy = 0 A
Fc + W1 = W3 25kg M
1m
B
Fc +(m)(g) = M.g Fc + (25)(9.3) = 70(9.8)
2m
Fc = 686 - 245 Fc = 441N
pág. 46
Ahora hallando la tensión: ∑MB = 0
∑MA = 0
Fc(2) = A(3)
Fc (1) = B(3)
441(2) = 3A
441 = 3B
A = 294N
B = 147
3). El bloque superior de la figura consta de dos poleas y el bloque inferior de una. La cuerda está atada a la parte superior del chasis del bloque inferior, pasa alrededor de una de las poleas del bloque superior, vuelve a la polea del bloque inferior y finalmente pasa alrededor de la segunda polea del bloque superior, donde está sujeta por una fuerza P. Demostrar que en el equilibrio la fuerza P es de 33,3 lb cuando se cuelga un peso de 100lb del chasis del bloque inferior.
∑FY = 0 P
P + P + P =W 3P = W P=
W 3
P=
100 3
= 33.3 lb
pág. 47
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Estudiar y definir la estática Introducir el concepto de la estática y sus diferentes aplicaciones Mediante el algebra vectorial, a través de un sistema de ecuaciones, resolver la condición de equilibrio. Problemas estáticos mediante gráficos. Estudiar la fuerza de fricción estática. Obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos. Confirmar que cualquier objeto en reposo, está en equilibrio, por lo tanto la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él se compensan y la fuerza neta es cero.
pág. 48
Glosario -
Vector: es un segmento orientado, o sea, un segmento que además de longitud (que se denomina módulo), posee dirección y sentido. Los vectores se representan por flechas, y se nombran con una letra con una flecha en su parte superior, o con las letras de su punto inicio y
-
origen (en ese orden), con una flecha en su parte superior. Partícula: se llama partícula a cualquier parte o cuerpo muy pequeño de
-
algo Fuerza: La fuerza es la magnitud vectorial por la cual un cuerpo puede deformarse, modificar su velocidad o bien ponerse en movimiento y
-
cambiar su posición Torque: es el efecto giratorio que produce una fuerza aplicada a un
-
cuerpo provisto de un eje. Cupla: Se denomina cupla a todo par de fuerzas paralelas de sentido
-
contrario Fuerzas Coplanares: se denomina fuerzas coplanares a aquellas que
-
interactúan en un mismo plano Gravedad: la gravedad es una fuerza física que la Tierra ejerce sobre
-
todos los cuerpos hacia su centro. Masa: aquella magnitud de carácter físico que permite indicar la
-
cantidad de materia contenida en un cuerpo Cuerpo rigido: es aquel cuya forma no varía pese a ser sometido a la
-
acción de fuerzas externas. Tensión: llamada también fuerza de tracción. Es aquella realizada por medio de las cuerdas, hilos, cables o cadenas. Estas fuerzas siempre tiran del objeto (imposible sería empujar), y se representan como una flecha apoyada sobre el cuerpo y con la misma dirección de la cuerda.
pág. 49
EXAMEN DE ENTRADA:
1. Seis pesos de 30, 20, 40, 25, 10 y 35 lb cuelgan en un mismo plano vertical de un soporte horizontal a distancias de una pared de 2, 3, 5, 7, 10 y 12 ft respectivamente. ¿Qué fuerza única podría sustituir a los seis pesos? 2
1
30
2
20
2
40
3
25
2
10
35
∑ F = 30 + 20 + 40 + 25 + 10 + 35 ∑ F = 160 ∑ F = -160 lb ∑M0 = 30(2) + 20(3) + 40(5) + 25(7) + 10(10) + 35(12) = 1015 Raa = ∑M0 Raa =
1015 160
= 6.34 ft
2. Sobre la viga de la figura actúan tres fuerzas. En la figura están indicadas la resultante y dos de las fuerzas. ¿Cuál es la tercera? 10T 4
8
R=50T
20T
6
3
FR = ∑FY -50 = -10 – 20 + F3 F3 = -50 + 30 F3 = 20T( )
pág. 50
3. Dadas las dos fuerzas F1 =20i – 10j + 60k lb, aplicada en (0,-1,+1) y F 2 = 30i+20j-40k, aplicada en (-1,-1,-1), y el par de momento -80lb.ft en el plano xy, hallar el sistema resultante fuerza-par. Las coordenadas están en pies. F1 =20i – 10j + 60k lb 0
-1
+1
F2 = 30i+20j-40k -1
-1
-1
M0 = -80 lb R = ∑F = F1 + F2 R = 50i + 10j + 20k
INFORMACION TEORICA: Las Ramas de la Física: Haremos un estudio de la física dividiéndola en lo que se conoció hasta antes de 1900; que la denominaremos Física Clásica y los nuevos conceptos que se postulan en la primera década del siglo XIX, la teoría de la relatividad y la teoría cuántica, estas teorías no trajeron abajo el marco de la Física Clásica sino que demostraron que esta tiene límites de validez que más alla de ellos se necesita conceptos nuevos y distintos acerca de la realidad Física. Por ejemplo se encontró que la mecánica clásica no podía describir el movimiento de sistemas en que las velocidades son comparables a la velocidad de la luz o de describir claramente la mecánica de átomos, moléculas, y núcleos atómicos, de manera que haremos la siguiente división de la física para un mejor estudio.
pág. 51
Física clásica de antes de 1900
Mecánica Calor y termodinámica. Luz óptica Electricidad y Magnetismo
Teoría de la relatividad Física Moderna Teoría cuántica
2.2.-MECANICA.Ciencia del movimiento. Estudia el movimiento más simple y fácil de observar el movimiento mecánico. MOVIMIENTO MECANICO.- Cambio de posición de los cuerpos materiales uno con respecto de otro, que sucede en el transcurso del tiempo, así como la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo material, o la deformación de este último. La Mecánica de divide en: ESTATICA CINEMATICA DINAMICA 2.3.-ESTATICA.Es la rama de la mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos. *Equilibrio.- Se denomina así al estado inercial en que se hallan los cuerpos, puede ser de reposo, si la velocidad es constante y la trayectoria rectilínea. 2.3.1.-Particula.- Un cuerpo se considera como partícula cuando las dimensiones de dicho cuerpo son pequeñas comparados con las demás dimensiones que intervienen en el problema (también se dice punto
pág. 52
material). Se le considera como un punto geométrico en el cual está concentrada toda la masa del cuerpo. Así por ejemplo, se considera como partícula o punto material a la tierra en su movimiento alrededor del sol debido a las pequeñas dimensiones de la tierra en comparación con su distancia al sol. 2.3.2.-Cuerpo Rígido.- Es el cuerpo en el que las distancias entre dos puntos cualquiera siempre permanece invariable, ósea no presenta deformaciones. Es decir es “un cuerpo extenso” que no puede considerarse como partícula se considera rígido. Ejemplo: Una barra, un pedazo de madera (etc.) 2.3.3.-Fuerza.- Lo que sabemos de fuerza es que es una magnitud vectorial; y por lo tanto las operaciones y calculo de sus elementos están sujetos a las reglas del algebra vectorial. La idea intuitiva de fuerza la tenemos al observar los siguientes hechos: -Cuando tiramos una cuerda atada a un cuerpo, decimos que estamos haciendo fuerza. -Cuando empujamos un automóvil para ponerlo en movimiento sentimos la sensación de haber ejercido una fuerza. -Al activar o comprimir un resorte decimos que estamos empleando una fuerza. Podemos adelantarnos y decir que entendemos la fuerza como la medida de la interacción entre dos cuerpos.
Medidas de fuerza: Sistema C.G.S: Dina (din) Sistema internacional (M.K.S): Newton Sistema técnico: Kilogramo-fuerza (Kg-f) ; libra-fuerza (lb-f)
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1N = 105 din 1Kg-f = 9.8 N 1 lb-f = 4.45 N = 0.45 Kg-f
2.4.-COMPOSICION DE FUERZAS CONCURRENTES.- La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes es una única fuerza F que pasa por el punto de concurrencia de las líneas de acción de las fuerzas que componen el sistema. Ejemplo: Determinar el modulo y la dirección de la resultante de las
tres
fuerzas mostradas en la figura:
Z F
1
Y F2
F3
X
Donde:
pág. 54
F1=
√ 14 N , F2 = 2 N , F3= √ 5 N
Escribimos los vectores F F1 = F1 u1 F2= F2 u2 F3= F3 u3 u1 =
i+2 j+3 k √ 14
, u2 = - i ,
u3 =
2 i+4 j √ 20
Luego :
F1=
√ 14 (
i+2 j+3 k √14
)=
i+ 2 j+ 3 k
F2 = 2 ( - i ) = - 2 i F3 =
√5 (
2 i+4 j ¿ √ 20
=i+2j
F = F1 + F2 + F3 = 4 j + 3 k F=
√ 16+9 = 5 N
2.5.-MOMENTO DE TORQUE O DE UNA FUERZA: Se denomina momento de torque o de una fuerza a la medida de la efectividad para producir rotación. Como la rotación tiene un sentido; el momento es una cantidad vectorial. En la figura se el punto O se mantiene fijo y F mantiene en el punto P, la experiencia nos dice que el cuerpo tenderá a rotar en sentido horario alrededor de un eje perpendicular. al
pág. 55
2.6TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO: El torque de la fuerza F con respecto al punto “O” es el vector definido T definido por: T=rxF O
origen del torque por allí pasa el eje de rotación.
r
vector posición del punto de aplicación de F.
Según la regla del producto vectorial, el vector torque es perpendicular al plano determinado por r y F y apunta en la dirección del tornillo de rosca a derechas, cuando el ángulo de rotación del anillo se mide de r a F. El modulo de T es: T = rF senθ Si b= rsenθ ; recibe el nombre de brazo de palanca, es la distancia perpendicular del punto O a la línea de acción de la fuerza. T=Fb Unidades del torque: S.I o M.K.S: Newton metro (Nm)
pág. 56
C.G.S
: dina – cm (din-cm)
Técnico
: Kilogramo-fuerza-metro (Kg-f-m) : libra fuerza-pie (lbf-pie)
2.7.-TORQUE
DE
UNA
FUERZA
CON
RESPECTO
A
UN
EJE:
De la figura, el torque de F respecto al eje L que designamos con T l es el vector proyección de Tl en dirección de L. TL= proye T TL= T . e Donde e es el vector unitario en la dirección de L.
Ejemplo: Dada :
F = 4 i – 8 j + 3 k lb.
pág. 57
Que pasa por el punto (-3,8,2)pies y cual es el momento de F .
a) con respecto al origen
b) con respecto al punto (2,3,-1) pies? ¿Cuál son los componentes de esos vectores?
Solución:
Mºf = ( -3 i + 8 j + 2 k ) x ( 4 i – 8 j + 3 k ) =40 i + 17 j – 8 k pies-lb b) M Pf = r x F
pág. 58
r = (-3,8,2) – (2,3,-1) = -5 i + 5 j + 3 k M Pf = ( -5 i + 5 j + 3 k ) x (4 i – 8 j + 3 k ) = 39 i + 27 j + 20 k
2.8.-TORQUE DE FUERZAS CONCURRENTES
TEOREMA DE VARIGNON Consideremos varias fuerzas concurrentes que tienen como punto de aplicación el punto A, el torque de cada fuerza con respecto a 0 es : T1= r x Fi El momento de la resultante R T= r x R Donde R = F1 + F2 +F3 +… r x R = r x F1 + r x F2 + r x F 3 + …
pág. 59
Entonces: T = T1 + T2 + T3 + …. Resultando que se conoce como teorema de varignon cuyo enunciado es : “Con respecto al mismo punto, el torque de la fuerza resultante es igual a la suma de los torques de las fuerzas componentes”. Ejemplo: Sean las fuerzas: F1= 14 i – 2 j kg-f F2= -6 i kg-f F3= -4 i + j -8 k kg-f Concurrentes y aplicadas en el punto (5,-4,6) encontrar: a) El módulo y la dirección de la resultante. b) El torque con respecto al origen de cada una de las fuerzas dadas. c) El torque de la fuerza resultante.
2.9.-MOMENTO DE UN PAR O CUPLA
pág. 60
Definición.- Un par se componen de dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario.
2.10.-EVALUACION DEL VECTOR MOMENTO M DE UN PAR.En la siguiente figura se muestra un par F y –F cuyo momento se puede evaluar.
pág. 61
Mºf = r1 x F + r2 x (-F) = ( r1 + r2 ) x F = R x F Donde Mf es el momento respecto a O (0,0,0), y a que cualquier posición de O conduce al mismo resultado, este valor es independiente de la posición de punto O. En otras palabras, el par tiene el mismo momento respecto a cualquier punto en el espacio y por lo tanto se considera como un vector libre, se tendrá entonces: M=RxF Es decir, el momento de una par es igual al momento de una de sus dos fuerzas respecto a cualquier punto situado sobre la línea de acción de la otra fuerza. Ejemplo sumar los pares mostrados:
pág. 62
Donde: F1 = 20lb F2 = 60lb 4 j + R1 = 3 i R1 = 3 i - 4 j R2 = 2 j M1 = ( R1 x F1 ) = - 60 j – 80 i pies-lb M2 = ( R2 x F2 ) = - 120 k pies-lb M = M1 + M2 = - 60 j – 80 i - 120 k pies-lb
pág. 63
2.11.-FUERZAS COPLANARES.Si las fuerzas XY su resultante F se halla también en el mismo plano. En tanto que los torques individuales o el torque resultante (T) respecto al origen de coordenadas (O) apuntan en la dirección del eje z positivo o negativo. En este caso es siempre posible reducir el sistema de fuerzas a una sola fuerza: su resultante F a una distancia r de O de modo q se emplea: rxF=T Se muestra que X Fy – Y Fx = T Como Fy , Fx y T son conocidos la ecuación es la correspondiente a una recta, y por tanto, la resultante no tiene un único punto de aplicación en su lugar se tiene una “línea” de aplicación.
2.12.-COMPOSICION DE FUERZAS PARALELAS.Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u asi: F1 = F1 u
,
F2 = F2 u
,
F3 = F3 u
Su resultante es: F = u (F1 + F2 + F3)= u
∑ Fi
Esta fuerza es también paralela a las fuerzas dadas. El vector suma de torques respecto al origen de coordenadas es: T = T1 + T2 + T3 = r x F1 + r x F2 + r x F3 = ( r F1 + r F2 + r F3) x u =(
∑ ri Fi
)x
u Para determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante usamos la condición: rc x F = T
pág. 64
rc = distancias del origen de coordenadas al punto de aplicación de F y se llama centro de las fuerzas paralelas. Tenemos: rc x u (
∑ Fi
) =(
∑ ri Fi
)xu
Esta igualdad se verificara si rc tiene la siguiente expresión: rc =
ri Fi Fi
O escrita en componentes rectangulares: xi Fi Xc = Fi
,
yi Fi Yc = Fi
,
Zc =
zi Fi Fi
El punto definido por rc se denominan el centro de fuerzas paralelas. Ejemplo: Hallar la fuerza resultante de las fuerzas en la barra de la figura
FR= 200 j – 100 j + 300 j = 400 j lb-f
pág. 65
Para determinar el punto de aplicación usamos
Xc =
xi Fi Fi
=
( 200 )( 8 )+ (−100 ) ( 20 ) +(300)(40) = 29 pulg 400
2.13.-CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA.Sabemos que, un cuerpo esta constituido de un gran numero de partículas, cada de las cuales es atraída por la fuerza de gravedad terrestre. Esta fuerza de gravedad es el peso del cuerpo:
W = m.g
Las fuerzas o pasos Wi que actúan en las partículas están dirigidas hacia el centro de la tierra, debiendo converger allí sin embargo por estar este punto muy distante permite considerar a las pequeñas fuerzas paralelas. La resultante W = Wi de estas fuerzas paralelas es el peso del cuerpo y el centro de dichas fuerzas paralelas es el centro de gravedad o punto de aplicación de la fuerza peso. De acuerdo con las ecuaciones las cuerdas del centro de gravedad del sistema de partículas que conforman el cuerpo se obtiene con las siguientes ecuaciones: Xc =
xi Wi Wi
,
Yc =
yi Wi Wi
,
Zc =
zi Wi Wi
El centro de masa (c.m) de un cuerpo es el punto donde se supone se concentra toda la masa.
pág. 66
El centro de gravedad coincide con el centro de masa. Si se considera g constante. Para hallar el centro de masa tenemos: Xc =
xi mi g mi g
,
Yc =
yi mi g mi g
,
zi mi g mi g
Zc =
Si admitimos que la masa es continua en lugar de las partículas discretas que constituyen un cuerpo podemos suponer que los elementos constituyentes son pequeñas porciones de material o diferenciales de masa (sm). En tal caso es: m = dm Por tanto las ecuaciones de centro de masa se obtendrán con las siguientes formulas: Xc =
xi dm m
,
Yc =
yi dm m
,
zi dm m
Zc =
2.14.-CENTRO DE GRAVEDAD DE ALGUNOS CUERPOS.1.-LONGITUDES: Se considera cuerpos longitudinales, alambres y barras muy delgadas y homogéneas. Usamos para el caso directo: Xc =
∑
∑
zi Li L
xi Li L
,
Yc =
∑
yi Li L
,
Zc =
Caso continuo: Xc =
∫
xidL L
,
Yc =
∫
yi dL L
,
Zc =
∫
zi dL L
a) Para un segmento.- Su centro está en su punto medio.
pág. 67
b) Para cuadrados rectángulos, paralelogramos, rombos.- su centro esta en la intersección de sus diagonales. c) Para áreas de circunferencias.
Xc =
R sen ∝ ∝
Yc =
0
,
2R π
Yc =
,
Xc = R
,
,
2R π
Xc =
Yc =
2R π
2.-AREAS.- Se consideran cuerpos constituidos por planchas o laminas homogeneas. Usamos para el caso directo: Xc =
∑
∑
zi Ai A
xi Ai A
,
Yc =
∑
yi Ai A
,
Zc =
Caso continuo: Xc =
∫
xidA A
,
Yc =
∫
yi dA A
,
Zc =
∫
zi dA A
pág. 68
a) Para rectángulos, paralelogramos, rombos.- Su centro de gravedad esta en el punto de intersección de sus diagonales.
Xc = 0
Xc =
2 R sen ∝ 3
,
Yc = R
,
Yc =
,
4R 3
Xc =
,
4R 3
Xc =
4R 3 Triángulo:
pág. 69
Xc =
a+b 3
H Yc = 3
,
El C.G se encuentra en la inteseccion de sus medias.
3.-VOLUMENES.- Para el cado discreto:
Xc =
xi Vi Vi
xi dV Xc = V
,
Yc =
,
yi Vi Vi
yi dV Yc = V
,
Zc =
,
Zc =
zi Vi Vi
zi dV V
Nota: En ciertos casos un cuerpo se considera constituido por cavidades u orificios (componentes sustraídos) en cuyo caso en la determinación del centro de masa, el peso o área correspondiente se considera como cantidad negativa.
pág. 70
Ejemplo:
Xc =
A 1 X 1+ (−A 2 ) ( X 2) ( A 1− A 2)
,
Yc =
A 1 Y 1+ (− A 2 ) (Y 2) (A 1− A 2)
2.15.-TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN.1er TEOREMA .- El área generada por una curva que gira alrededor de un eje fijo es igual a la longitud de la curva multiplicada por la distancia recorrida del centroide de la curva durante la formación de la superficie. A = 2 Yc L 2do TEOREMA.- El volumen generado por una superficie plana que gira alrededor de un eje fijo es igual a la generatriz multiplicada por la distancia recorrida del centroide de la superficie durante la formación del volumen: V = A L
pág. 71
Ejemplos:-
Hallar
el
centro
de
gravedad
del
alambre
mostrado.
Solución: El conjunto se puede dividir en 4 partes, pero lo aremos en 3.
pág. 72
L1 = 2
X1= -2 Y1= 1
L2= 2
X2= -1 Y2= 0
L3=4
X 3= 0 Y3= 0
Xc=
2 (−2 )+ 2 (−1 ) +4 (0) 2+2+ 4
Yc =
2 ( 1 ) +2 ( 0 ) +4 (0) 2+ 2+ 4
=
=
−3 4 −1 4
Ejemplo: Determinar el centro de gravedad de un disco mitad de densidad constante.
pág. 73
Solución: Eligiendo como origen de coordenadas el centro del círculo de radio R. Debido a la simetría, la abscisa del centro de gravedad es X c = 0, la ordenada está dada por: Yc =
dA
∫
y dA A
Elemento de área mostrado en la figura.
El punto (x,y) es el extremo derecho del elemento cuyas dimensiones son : Longitud: 2X Ancho: d y Por lo tanto : dA = 2X . dy
Yc =
∫
y (2 X . dy) A
pág. 74
Para reducir el número de variables en el integrado estamos la ecuación de la circunferencia X=
√ R 2−X 2
1 2Y √ R2− X 2−2 dy A∫
2R 3A
X2 + Y2 = R2
Yc =
o
3
=
El área del semi disco es:
A=
1 R2 2
, finalmente: Yc =
4R 3
2.16.-EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA.Una partícula de muestra equilibrio cuando la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual a cero.
∑ Fi
=0
Esta condición escrita en componentes escalares es equivalente a:
∑ F ix
=0
,
∑ F iy
=0
,
∑ F iz
=0 2.17.-RESOLUCION DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIO Indicamos las siguientes etapas para la resolución de problemas de la estática. Primera etapa.- Se escoge el objeto de equilibrio, osea, el cuerpo o punto donde se cortan las líneas de acción de todas las fuerzas, es decir, el punto cuyo equilibrio debe considerarse en el problema dado. Segunda etapa.- Al objeto de equilibrio escogido se le aplican las fuerzas dadas.
pág. 75
Tercera etapa.- El punto o cuerpo elegido se libera de las ligaduras y las acciones de estas se sustituyen por las reacciones. En otras palabras esquemáticamente el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) Cuarta etapa.- Se eligen los ejes coordenados y se escriben las ecuaciones de equilibrio. Quinta etapa.- Se resuelven las ecuaciones de equilibrio. Sexta etapa.- Se comprueban los resultados. Cuando se trabaja con barras debemos tener en cuenta si esta sometida a tracción o a compresión, es frecuente que al resolver los problemas no sea fácil determinar previamente los esfuerzos en las barras. En estos casos conviene suponer que las barras están sometidas a tracción y que sus reacciones van desde los nudos hacia ellas. Y para la solución con signo menos se tratara no de barras sometidas a tracción sino a compresión. Cuando el sistema de fuerzas en equilibrio consta de 3 fuerzas solamente, resulta muy práctico la aplicación de la ley de los senos para determinar el modulo de los vectores fuerza en la forma siguiente: También se conoce como el teorema de LAMY.
pág. 76
F1 F F = 2 = 3 senα senβ senΦ
2.18.-TIPOS DE APOYO.2.18.1.-APOYO MOVIL.Este apoyo permite el giro alrededor del eje de articulación y el desplazamiento lineal paralelo al plano de apoyo. Aquí permanece incognito el valor numérico de la reacción de apoyo R y.
2.18.2.-APOYO FIJO.Este apoyo permite el giro alrededor del eje de articulación, pero no los desplazamientos lineales. En este caso solo se conoce el punto de aplicación de la reacción de apoyo, que es el valor de dicha reacción se desconocen. Por lo general, en vez de determinar el valor y dirección de la reacción total (Rt), se hallan sus componentes Rx y Ry.
pág. 77
2.18.3.-APOYO RIGIDO.Este apoyo no permite los desplazamientos lineales ni el giro. En este caso se desconocen no solo el valor y la dirección de la reacción, sino también sus puntos de aplicación. Por eso al empotramiento se sustituye por la fuerza de reacción R A y por un par de fuerzas de momento M A. Para determinar la reacción de apoyo, hay que hallar tres incógnitas: las componentes Rx y Ry de dicha reacción según los ejes de coordenadas y el momento de reacción MA.
pág. 78
2.19.-EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO.Si un sistema de fuerzas actúa sobre un cuerpo rígido es necesario considerar el equilibrio de traslación y el de rotación. Por tanto son necesarias las dos condiciones siguientes: I) II)
La suma de todas las fuerzas es igual a cero (equilibrio rotacional) La suma de todos los toruqes o momentos es igual a cero (equilibrio rotacional).
∑ T ix
=0
Cuando las fuerzas son coplanarias las ecuaciones de equilibrio son:
∑ F ix
=0
,
∑ F iy
=0
,
∑ T ix
=0 Cuando apliquemos otras relaciones es útil seguir la siguiente convección: “El momento de fuerza es positivo si el efecto de la fuerza es producir una rotación al rededor de O contraria al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando la rotación se produce en el mismo sentido q las agujas de un reloj.
pág. 79
Veamos
el
siguiente
Mºf = F . a
caso:
Mºf = F . a
EXAMEN FINAL: La cercha Howe de la figura soporta las tres cargas indicadas. Calcular por el método de los nudos las fuerzas en AB, BD, CD y EF.
pág. 80
Reacciones en
los
soportes
∑F
Y
HY
= 10+20+10
→
AY + HY =
= 0 → AY +
40 KN ∑HA = 0 → (10)(4.5) + (20)(9) + (10)(13.5) = HY(18) HY = 20KN → AY = 20KN Nudo A ∑FY = 0 20=(6/7.5)FAB FAB = 25KN ∑FX = 0 FAC = (4.5/7.5)FAB FAC = 15KN EF ∑FX = 0 FBD = (4.5/7.5)FAB FBD = 15KN ∑FY = 0 10 + FBC = (6/7.5)FAB FBC = 10KN Nudo C ∑FY = 0 FBC = (6/7.5)FCD FCD = 12.5 KN ∑FX = 0 FCE = FAC + (4.5/7.5)FCD FCE = 22.5 KN Nudo E ∑FX = 0 FCE = FEF FEF = 22.5 KN 2.- Hallar por el
pág. 81
método de los nudos las fuerzas en todos los miembros de la cercha en voladizo de la figura. Las cargas están en Kips. (Empezar a resolver por la articulación G.) Reacciones en los soportes ∑FY = 0 AY + BY = 7Kips ∑FX = 0 AX = BX ∑MB = 0 (AX)8 = 2(8) + 3(16) + 2(24) AX = 14 Nudo G ∑FY = 0 2 = (2.67/8.43)FEG FEG = 6.31Kip = 6310 lb ∑FX = 0 FFG = (8/8.43)FEG FFG = 5.99 Kip = 5990 lb Nudo F ∑FX = 0 FFG = FEF FDF = 5.99Kip = 5990 lb
pág. 82
∑FY = 0 FEF = 3Kip = 3000 lb Nudo A ∑FY = 0 AY = (2.67/8.43)FAC AY = 4.67Kip BY =2.33Kip ∑FX = AX = FAC(8/8.43) FAC = 14.75Kip = 14750 lb Nudo B ∑FY = 0 BY = (5.33/9.61)FBC FBC = 4.21Kip = 4210 lb ∑FX = 0 BX = FBD + FBC(8/9.61) FBD = 10.5Kip = 10500lb Nudo D ∑FX = 0 FBD = FDF + (8/8.43)FDE FDE = 4.75 Kip = 4750 lb ∑FY = 0 2+(2.67/8)FDE = FDC FDC = 3.58 Kip = 3580 lb 3.- En la cercha de la figura, hallar por el método de los nudos las fuerzas en los miembros AC y BD.
∑MB = 0 (AX)(4) = 20(5COS45) AX = 17.68 ∑FX = 0 AX = BX BX = 17.68
pág. 83
∑FY = 0 BY + 20 = AY Nudo A ∑FX = 0
∑FY = 0
AX = FACsen30
AY = FACcos30
FAC = 17.68 x 2
AY = 30.62 KN
FAC = 35.36 KN
Donde: BY = 10.62 KN
Nudo B ∑FX = 0 BX + FBCsen20 = FBDsen45… (I) ∑FY = 0 BY + FBDcos45 = FBCCOS20… (II) (II) + (I) BY + BX = FBC(cos20 – sen20) FBC =
10.62+17.68 cos 20−sen 20
= 47.35 KN
Reemplazando en 1 BX + FBCsen20 = FBDsen45 FBD =
17.68+ 47.35 sen 20 = 47.91KN sen 45
4.-Hallar las fuerzas en todos los miembros de la cercha de la figura. B
8
D
8
pág. 84
30º
C
A
Reacciones en los soportes ∑FY = 0 AY + DY = 10 ∑MA = 0 (10)(6) = DY(12) DY = 5K AY = 5K Nudo D ∑FY = 0 DY = FCDsen30 FCD = 10K ∑FX = 0 FBD = FCDcos30 FBD = 8.66K Nudo B ∑FY = 0 FABsen60 =FBCsen60 FAB =FBC ∑FX = 0 FABcos60 + FBCcos60 = FBD FAB = 8.66K FBC = 8.66K Nudo A ∑FX = 0 FABcos60 = FACcos30 FAC = 4.999K
∑FY = 0 AY = FABsen60 – FAcsen30 Ay = 5k 5.- La cercha Fink de la figura soporta las cargas indicadas. Calcular por el método de los nudos las fuerzas en todos los miembros.
pág. 85
Reacciones en los soportes ∑FX = 0 AX = 0.5 + 1 + 0.5 = 2 ∑FY = 0 AY + GY = 7 + 2 √ 3 AY + GY = 10.46K ∑MA = 0 GY (24) = 2(18) + 3(12) + (0.5)(4 √ 3 ) + (0.5 √ 3 ¿ (12)+ (1)(2 √ 3 ) + ( √ 3 )(6) + 2(6) GY = 4.655 AY = 5.809 Nudo A ∑FY = 0 AY = 0.5 √ 3
+ FACsen30 FAC = 9.886K
∑FX = 0 0.5 + FAB = AX + FACcos30 FAB = 10.061K
Nudo C ∑FX = 0 FAC = FCD + 2cos60 FCD = 8.886K ∑FY = 0 2 + 2sen60 = FBC FBC = 3.732K Nudo B
pág. 86
∑FY = 0 FBCsen60 = FBDsen60 FBC = FBD FBD = 3.732K ∑FX = 0 FBCcos60 + FBD cos60 + FBE = FAB FBE = 6.329K Nudo G ∑FY = 0 GY = FFGsen30 ffg = 9.31k ∑FX = 0 FEG = FFGcos30 FEG = 8.063K Nudo F ∑FX = 0 FEF = 2cos30 FEF = 1.732K ∑FY = 0 FFG = FDF + 2sen30 FDF = 8.31K
Sumario: Como podemos haber visto a lo largo del tema, la estática, es una parte de la física que la podemos ver a lo largo de nuestra vida pues es en este tema cosa tan simples como el equilibrio entre cuerpos y como es que interactúan fuerzas a través de él, ya sea en un plano o en el espacio además vimos dos grande leyes descubiertas por newton, como es la ley la primera que la de la inercia y la segunda que de acción y reacción
BIBLIOGRAFIA http://136.145.236.36/isdweb/Curso-fisica/pres%20%203011%20-5.pdf https://sites.google.com/site/37cinematica/los-vectores-y-el-vectordesplazamiento/glosario-los-vectores-y-el-vector-desplazamiento
pág. 87
http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/vectores1.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Vector es_en_el_plano/Vectores_indice.htm}
pág. 88
CAPITULO III CINEMATICA
1.- MOTIVACION ¿Cuándo nos movemos más deprisa alrededor del sol, de día o de noche?
pág. 89
En una ocasión, los periódicos parisinos publicaron un anuncio según el cual, por 25 céntimos, se ofrecía dar a conocer un procedimiento de viajar barato y sin el menor cansancio.
En el hemisferio de la Tierra en que es de noche, la gente se mueve más deprisa alrededor del Sol que en el que es de día.
No faltaron crédulos que enviaron sus 25 céntimos. Cada uno de ellos recibió por correo una carta en la que se decía: «Ciudadano, quédese usted en su casa tranquilamente y recuerde que la Tierra da vueltas. Encontrándose en el paralelo de París, es decir, en el 49, usted recorre cada día 25 000 km. Si gusta disfrutar vistas pintorescas, abra los visillos de su ventana y contemple el cuadro conmovedor del firmamento.» El autor del anuncio fue juzgado por estafa, y cuando le leyeron la sentencia y pagó la multa correspondiente, dicen que adoptó una postura dramática y repitió solemnemente la célebre frase de Galileo: - Eppur, si muove! En cierto sentido, el acusado llevaba razón, ya que cada habitante de la esfera terrestre, no sólo «viaja» al girar ésta alrededor de su eje, sino también, y con mayor, velocidad, al realizar la Tierra su movimiento de traslación alrededor del
pág. 90
Sol. Nuestro planeta, con todos sus habitantes, recorre en el espacio 30 km por segundo, además de girar alrededor de su eje. A propósito de esto se puede hacer una pregunta interesante: ¿cuándo nos movemos más deprisa alrededor del Sol, de día o de noche? Esta pregunta puede parecer extraña, puesto que, en todo momento, mientras en un lado de la Tierra es de día, en el otro es de noche. Entonces, ¿qué sentido puede tener dicha pregunta? Al parecer, ninguno. Sin embargo, no es así. El quid está en que lo que se pregunta no es cuándo la Tierra en su conjunto se traslada más deprisa, sino cuándo nos trasladamos más deprisa entre las estrellas nosotros, es decir, sus habitantes. Así formulada no se trata de una pregunta sin sentido, porque dentro del sistema solar nosotros tenemos dos movimientos: uno de traslación alrededor del Sol y otro, simultáneo, de rotación alrededor del eje de la Tierra. Estos dos movimientos se combinan, pero cuando nos encontramos en el hemisferio en que es de día, el resultado de esta combinación es diferente del que se obtiene cuando estamos en el hemisferio en que es de noche. Véase la anterior y se comprenderá, que a medianoche, la velocidad de rotación se suma a la de traslación de la Tierra, mientras que a mediodía, al revés, se resta de ella. Es decir, a medianoche nos movemos, en el sistema solar, más deprisa que a mediodía. Como quiera que los puntos situados en el ecuador recorren cerca de medio kilómetro por segundo, la diferencia entre las velocidades correspondientes a la medianoche y al mediodía, en la zona ecuatorial, llega a ser de todo un kilómetro por segundo. La tecnología hoy en día nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo. Así, para medir la velocidad se dispone del radar de tráfico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler. El taquímetro es un indicador de la velocidad de un vehículo basado en la frecuencia de rotación de las ruedas. Los caminantes disponen de podómetros que detectan las vibraciones características del paso y, suponiendo una distancia media
pág. 91
característica para cada paso, permiten calcular la distancia recorrida. El vídeo, unido al análisis informático de las imágenes, permite igualmente determinar la posición y la velocidad de los vehículos.
1.2.- SABERES PREVIOS
¿Qué entiendes por estatica? …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
¿Cuándo hay equilibrio en los cuerpos? …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
¿De que nos sirve la estatica en nuestra vida diaria? …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
¿Qué es una cupla? …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
¿tienes idea sobre la regla de la mano derecha? …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
pág. 92
1.3 MAPAS CONCEPTUAL CINEMATICA Posee una serie de
MAGNITUDES
Parte de la física que estudia
donde se estudian los
como VELOCIDAD
Puede ser
MEDIA
MOVIMIENTO
ACELERACION
Puede ser
INSTANTANEA
MEDIA
Posee una serie INSTANTANEA
ELEMENTOS
del
COMPONENTES
tanto
EXTRINSECAS
sin preocuparse
com o
de las
INTRINSECAS
tales como A. RADIAL
CAUSAS QUE LO PRODUCEN
A. TANGENCIAL
Es el cambio de POSICIO N
de un
el cual posee un VECTOR POSICION
MOVIL
que describ e una
con respecto a un SISTEMA DE REFERENCIA (SR)
Puede
TRAYECTORI
durante su
DESPLAZAMIEN
experi menta
Puede ser
RECTILINEA
CURVILINEA
Puede ser SR INERCIAL
SR no INERCIAL CIRCULARES
si está Parado o MRU
Aquellos MRUV,MCU o que se MCUV mueven
ELIPTICAS
Planetas alrededor por ej. del sol
PARABOLICAS
pág. 93 Lanzar una por ej. piedra
ESPACIO RECORRID O
1.4.- REFORZAMIENTO Y EJERCITACION: Problema n° 1) ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h? Desarrollo Datos: v = 72 km/h
Problema n° 2) Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s? b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo? Desarrollo Datos: v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s a) El desplazamiento es: x = v.t Para cada lapso de tiempo: x1 = (1200 cm/s).9 s x1 = 10800 cm x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm El desplazamiento total es: Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm Xt = 14160 cm = 141,6 m b) Como el tiempo total es: tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s
pág. 94
Con el desplazamiento total recien calculado aplicamos: Δv = xt/tt Δv = 141,6 m/16 s Δ v = 8,85 m/s Problema n° 3) Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido. Desarrollo a) Si son de distinto sentido: Xt = X1 - x2 Xt = 10800 cm - 3360 cm Xt = 7440 cm = 74,4 m b) Δv = xt/tt Δv = 74,4 m/16 s Δ v = 4,65 m/s Problema n° 4) En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.
Desarrollo Datos: v = 4 m/s t=4s v = x/t x = v.t x = 4 m/s.4 s Þx = 16 m Problema n° 5) Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Determinar:
pág. 95
a) Velocidad del móvil. b) Su posición en t3 = 1 s. c) Las ecuaciones de movimiento. d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s. e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil. Desarrollo Datos: t1 = 0 s x1 = 9,5 cm t2 = 4 s x2 = 25,5 cm a) Como: Δv = Δx/Δt Δv = (x2 - x1)/(t2 - t1) Δv = (25,5 cm - 9,5 cm)/(4 s - 0 s) Δv = 16 cm/4 s Δv = 4 cm/s b) Para t3 = 1 s: Δv = Δx/Δt Δx = Δv.Δt Δx = (4 cm/s).1 s Δx = 4 cm Sumado a la posición inicial: x3 = x1 + Δx x3 = 9,5 cm + 4 cm x3 = 13,5 cm c) x = 4 (cm/s).t + 9,5 cm d) Con la ecuación anterior para t4 = 2,5 s: x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cm x4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cm x4 = 19,5 cm
pág. 96
Problema n° 6) Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posición es x0 = -4 m, trazar las gráficas x = f(t) y v = f(t). Desarrollo Datos: v = 2 m/s x0 = -4 m
Pregunta n° 7) ¿Cuál de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, ¿por qué?
El movimiento 1 es el más rápido (teniendo en cuenta que se comparan en la misma gráfica). Porque v = x/t Para el caso 1: v1 = x1/t1 Para el caso 2: v2 = x2/t2 Para compara hacemos t = t1 = t2. Entonces para un mismo lapso de tiempo notamos que x1 > x2.
pág. 97
Pregunta n° 8) ¿Es cierto que si en un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es el doble que en otro, la gráfica x = f(t), trazada en un mismo par de ejes, tiene el doble de pendiente que en el primer caso?, ¿por qué? Si, ya que: v = x/t Si v1 = x1/t1. Si v2 = x2/t2. Por ejemplo para v1 sea el doble que v2 significa que: v1 = 2.v2 Para compara hacemos t1 = t2. Reemplazamos: v1 = x1/t1 (pendiente del movimiento 1). v2 = x2/t1 (pendiente del movimiento 2). Aplicamos la igualdad: v1 = 2.v2 x1/t1 = 2.x2/t1 x1 = 2.x2 Nos dice que recorre el doble de espacio en el mismo lapso de tiempo. Pregunta n° 9) ¿Qué relación existe entre pendiente y tangente trigonométrica? La pendiente es la razón entre el desplazamiento en el eje "x" y el período de tiempo en el eje "t" entre dos punto de la gráfica de velocidad. Esta gráfica tiene una inclinación determinada por un ángulo (α), la tangente de α es la velocidad. tg α = Δx/Δt = v.
1.5.- ORIENTACIONES DIDACTICAS Muchas veces nuestro trabajo, estudio o quehaceres cotidianos nos obliga a viajar a distintos lugares. En estos casos debemos conocer la ruta o trayectoria que debemos seguir, en caso contrario, averiguamos la dirección, luego consideramos el tiempo que tardaríamos en llegar, si estamos muy apurados tomamos un medio de transporte para viajar más rápido. En estas actividades cotidianas se distingue que tenemos noción de algunos conceptos relacionados con el movimiento tales como trayectoria, dirección, tiempo, rapidez y otros, como el El guepardo, el animal más rápido en campo desplazamiento, velocidad y aceleración. Todos estos
pág. 98
conceptos abierto sobre la faz de la Tierra, en tramos sirven para describir adecuadamente los movimientos mecánicos cortos es capaz de alcanzar hasta 110 km/h, lo de muchos cuerpos, no solo de los medios de transporte como los que equivale a 30 m/s (aprox.). automóviles, aviones y barcos, sino también de la Luna alrededor de la Tierra, de la Tierra alrededor del Sol, el movimiento de los cometas e inclusive en ciertos casos, el movimiento de partículas como las moléculas, los iones, los electrones y otras partículas subatómicas. La descripción de los movimientos demanda clasificarlos según su trayectoria, velocidad o aceleración y en este proceso se establecen leyes y relaciones matemáticas (geométricas y algebraicas) que permiten saber cómo transcurrirá un determinado movimiento. Por ejemplo, al conocer las trayectorias del Sol, la Tierra y la Luna es posible predecir cada cuánto tiempo ocurrirá un eclipse solar o lunar. Estos conceptos, que sirven para describir el movimiento mecánico y las leyes que los rigen, forman parte de la Cinemática. Con la Cinemática es posible describir matemáticamente casi todos los movimientos mecánicos sin recurrir a las causas que determinan cada tipo concreto de movimiento. En este sentido, proporciona una construcción teórica simplemente descriptiva, por ello también se le denomina Geometría del Movimiento. La Cinemática Clásica, que es lo que vamos a discutir, se aplica en los casos donde la rapidez de los cuerpos es pequeña con respecto a la de la luz, que es del orden de 300 000 km/s y en el caso de velocidades más cercanas a la rapidez de la luz, hay que recurrir a la Cinemática Relativista. En este texto nos ocuparemos solo de la Cinemática Clásica. Como veremos, los movimientos mecánicos son muy variados, pueden ser simples o complejos. En este capítulo comenzaremos con el estudio de algunas magnitudes que nos permitan describir el movimiento mecánico de los cuerpos, tales como
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la posición, la velocidad y la aceleración. Luego aplicaremos estos conceptos para examinar los movimientos más simples como el movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente variado.
1.6..- OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Establecer lo que viene a ser el movimiento mecánico y su relatividad. Determinar la descripción del movimiento de un cuerpo a través de una función que describa la variación de su posición en el tiempo. Describir matemáticamente el movimiento mecánico de los objetos sin considerar las causas que lo originan o modifican. Establecer los elementos del movimiento mecánico y su relación en diversas aplicaciones. Conocer las magnitudes desplazamiento, velocidad y aceleración. Expectativas De Logro Aplicar las leyes del movimiento Representar e interpretar gráficamente los distintos movimientos. Resolver analíticamente y gráficamente problemas de aplicación. Manejar correctamente las unidades de expresión de resultados y variables.
1.7.- GLOSARIO Aceleración instantánea. Es el valor que posee el vector aceleración de un móvil en un determinado instante de tiempo. Aceleración media. Es la variación de velocidad que experimenta un móvil durante un determinado intervalo de tiempo. Desplazamiento. Magnitud vectorial que mide el cambio de posición de un cuerpo durante su movimiento. Distancia recorrida. Magnitud escalar que corresponde a la medida de la longitud de la trayectoria. Itinerario. Es el conjunto de posiciones de un cuerpo en movimiento y los respectivos instantes de tiempo. Magnitud escalar. Magnitud física que queda completamente definida si se conoce su módulo,
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Magnitud vectorial. Magnitud física que puede representarse mediante una flecha y quedar completamente definida si se conoce su módulo, dirección y sentido. Movimiento uniformemente acelerado. Tipo de movimiento que sigue un cuerpo que se mueve en línea recta y con aceleración constante. Movimiento uniforme rectilíneo. Tipo de movimiento que sigue un cuerpo que se mueve en línea recta y con velocidad constante. Posición. Corresponde a la coordenada que ocupa un cuerpo respecto a un sistema de referencia. Rapidez instantánea. Es el valor que posee la rapidez de un móvil en un determinado instante de tiempo. Rapidez media. Es una magnitud escalar que corresponde a la razón entre la distancia que recorre un móvil y el intervalo de tiempo que emplea en recorrerla. Sistema de referencia. Es cualquier sistema o cuerpo que puede ser elegido en forma arbitraria para poder medir la posición de un objeto. Trayectoria. Es el camino o ruta que describe un cuerpo durante su movimiento. Velocidad instantánea. Es el valor que posee el vector velocidad de un móvil en un determinado instante de tiempo. Velocidad media. Es una magnitud vectorial que corresponde a la razón entre el desplazamiento de un móvil y el intervalo de tiempo que emplea en realizarlo.
1.8.- PRUEBA DE ENTRADA 1.- La gráfica v-t de un cierto móvil es la que figura al lado. a) Indica el tipo de movimiento en cada tramo; b) Calcula la aceleración en los tramos A y D; c) Calcula el espacio total recorrido.
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2.- Un satélite artificial tarda 90 minutos en dar una vuelta a la Tierra. Calcula la velocidad angular del satélite. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas? 3.- Indica si es verdadero o falso: • Cuando la velocidad de un cuerpo varía, decimos que el movimiento es acelerado.
( )
• Cuando el movimiento es una línea curva, la trayectoria siempre es mayor que el desplazamiento.
( )
• Un cuerpo con aceleración cero puede tener velocidad distinta de cero. ( ) • Dos cuerpos pueden tener la misma velocidad angular pero diferente velocidad lineal.
( )
4.- Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra de 0,5 kg de masa. La piedra alcanza 25 metros de altura. Calcula: a) el tiempo que tarda en llegar a esa altura; b) la velocidad inicial con la que hay que lanzar la piedra. 5.- ¿Es lo mismo velocidad media que velocidad instantánea? 6.- Un coche se mueve con velocidad constante de 72 km/h durante 10 segundos. Se detiene durante otros 10 segundos; finalmente vuelve a mantener una velocidad constante de 36 Km/h durante 5 segundos. a) Calcula el espacio total que recorre; b) realiza la gráfica espacio-tiempo.
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7.- Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? 8.- Realiza la gráfica velocidad-tiempo correspondiente a un cuerpo que es lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 y vuelve a caer al cabo de un cierto tiempo t. 9.- ¿En qué caso la velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido? ¿Y sentido contrario? 10.- Un ciclista que circula a una velocidad de 18 km/h, frena completamente su bicicleta en 3 segundos. Calcula: a) La aceleración de frenado. b) El espacio que recorre hasta que se detiene completamente.
2. CUERPO: 2.1.- INFORMACIÓN TEÓRICA Es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar nuca y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originen.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE PARTÍCULAS El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. Velocidad Media (Vm) Supongamos que en el tiempo t, el objeto se encuentra en la posición A, mas tarde en el tiempo t' se encuentra en el punto B.
Definimos la velocidad media así:
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∆X= X'-X → desplazamiento de la partícula ∆t= t'-t → tiempo transcurrido Por consiguiente la velocidad media durante un cierto intervalo de tiempo, es igual al desplazamiento dividido en la unidad de tiempo. Velocidad Instantánea Para determinar la velocidad instantánea en un punto tal como A, debemos hacer el intervalo de ese tiempo ∆t, tan pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo. En el lenguaje matemático este equivalente a calcular el valor límite de la velocidad media así:
Pero esta es la definición de la derivada de X, con respecto al tiempo; esto es:
Aceleración Media (am) En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si la velocidad permanece constante, se dice que el movimiento es uniforme. Supongamos que en el tiempo t, el objeto se encuentra en A, con una velocidad V y en el tiempo t' en B, con una velocidad V', la aceleración media entre A y B está definida por:
Donde:
pág. 104
∆V =V'-V → cambio en la velocidad ∆t = t'-t → tiempo transcurrido Aceleración instantánea (a): Es el valor límite de la aceleración media cuando el intervalo ∆t, es muy pequeño esto es:
Luego:
También:
dx dx =V ⤍ =Vo+at dt dt dx=( Vo+ at ) dt=Vo . dt+ at . dt a 2 2 x−x o=Vo ( t−t o ) + (t −t o) z Condiciones iniciales:
x=x o ,t o=0 1 x=x o +V o t+ a t 2 2 De la relación:
a=
dV d (dx) d 2 x = = 2 dt dt dt dt
Con:
V=
dx dV dV ya= ⤍dt = dt dt a
Obtenemos:
V=
x
dx dx dV =a ⤍ a=V dV dV dx a U
∫ adx=∫ UdV xo
Vo
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2
V2 Vo a ( x−x o ) = − 2 2 2
2
2 a ( x−x o )=V −V o V 2=V 2o +2 a( x−x o) De la relación:
Despejamos:
V =V o + at
a=
V −V o t
Y reemplazamos en:
1 d=V o+ at 2 2
1 V −V o 2 d=V o+ ( )t 2 t 1 1 d=V o+ Vt − V o t 2 2 V +V o 1 1 d= Vt + V o t= t 2 2 2
(
)
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación de v en función de t.
pág. 106
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Para este caso, la velocidad del vector se mueve hacia la dirección fornica del lado obstante por lo tanto esto puede decirse que la velocidad se vuelve en cero por lo que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interacción, o al movimiento de un objeto que se desliza sin fricción. Siendo la velocidad v constante, la posición variará linealmente respecto del tiempo, según la ecuación:
donde es la posición inicial del móvil respecto al centro de coordenadas, es decir para . Si
la ecuación anterior corresponde a una recta que pasa por el
origen, en una representación gráfica de la función mostrada en la figura 1.
, tal como la
MOVIEMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO
pág. 107
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad vv0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
En éste movimiento la aceleración es constante, por lo que la velocidad de móvil varía linealmente y la posición cuadráticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes:
Donde es la posición inicial del móvil, velocidad inicial, aquella que tiene para
es la posición final y .
su
Obsérvese que si la aceleración fuese nula, las ecuaciones anteriores corresponderían a las de un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante.
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Dos casos específicos de MRUA son la caída libre y el tiro vertical. La caída libre es el movimiento de un objeto que cae en dirección al centro de la Tierra con una aceleración equivalente a la aceleración de la gravedad (que en el caso del planeta Tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9,8 m/s2). El tiro vertical, en cambio, corresponde al de un objeto arrojado en la dirección opuesta al centro de la tierra, ganando altura. En este caso la aceleración de la gravedad, provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad, en lugar de ganarla, hasta llegar al estado de reposo; seguidamente, y a partir de allí, comienza un movimiento de caída libre con velocidad inicial nula.
MOVIMIENTO CURVILINEO Velocidad Vectorial: Son el punto P que se desplaza en una trayectoria curvilínea cualquiera (figura mostrada). Una vez escogido un sistema de coordenadas cartesianas, introducimos el vector
que determina la posición del punto P
(en un instante dado, después de un tiempo Δt, el punto se encuentra en Q; que se caracteriza por un vector:
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Definimos estamos como velocidad vectorial media del punto P la razón:
Si Δt, tiende a cero (Δt→0) se define la velocidad instantánea como:
Es equivalente a:
El punto Q tiende hacia el punto P, la cuerda Δr tiende a la tangente a la curva T en P y por tanto el vector
tiene la dirección de la tangente en el
punto P
Aceleración Vectorial: La velocidad vectorial
⃗v
es constante cuando su módulo y dirección son
constantes
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Se tendrá casos donde solamente el módulo de la velocidad vectorial varía como en el movimiento rectilíneo (la dirección de la velocidad es el de la recta). En otros casos puede variar solamente la dirección quedando constante el módulo (ejemplo: movimiento circular uniforme). En el caso general la velocidad varía en dirección y en magnitud de punto en punto.
Si transferimos los vectores velocidad de puntos sucesivos hacia un origen común, vemos que podemos calcular una aceleración vectorial media usando una definición análoga o la velocidad media:
am = ⃗
⃗ V 2− ⃗ V1 △t
Si ∆t→0 se obtiene la aceleración instantánea
⃗a = lim
△t→0
El vector
△ ⃗v d ⃗ V = △t dt
⃗a , tiene en general la dirección de la velocidad, tiene la
dirección del cambio instantáneo en la velocidad, como la velocidad cambia en la dirección en la cual la trayectoria se curva, la aceleración está siempre apuntando hacia la curva y en general no es tangente en perpendicular a la trayectoria.
Movimiento de una partícula en un plano
pág. 111
Componente tangencial a la normal: Sea una partícula que se mueve a lo largo de una curva contenida en el plano de la figura. Sea P la posición de la partícula en un instante dado uniéramos a P en vector unitario
⃗ Ct
tangente a la trayectoria de la
partícula y apuntando hacia la dirección del movimiento, sea
⃗ Ct
el
vector unitario correspondiente a la posición P de la partícula un instante después. Trazando ambos vectores desde el mismo origen O' definiremos el vector.
△ e t =e ' t−et Como
et ⃗
⃗ e't
y
son de longitud unitaria sus puntos se encuentran
sobre el círculo de radio 1.
Representando por AQ el ángulo entre magnitud de Δ
⟦ Δ e t ⟧ =2 Sen(
et
et ⃗
y
ei ⃗
encontramos que la
es:
ΔQ ) 2
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Δ et ΔQ
Consideremos ahora el vector
y notamos que conforme ΔQ tiende a
cero, este vector se vuelva tangente al círculo unitario de la figura anterior, es decir, perpendicular a
⃗e t
y que su magnitud se aproxima a:
ΔQ ) 2 ¿ ¿ ΔQ 2¿ ¿ lim ¿
sen (
Q→ 0
Entonces el vector obtenido en el límite es un vector unitario a lo largo de la normal a la trayectoria de la partícula en la dirección hacia la cual cambia. Representado este vector por
e n= lim ⃗
ΔQ →0
e n= ⃗
en ⃗
et ' ⃗
escribimos:
Δ⃗ et ΔQ
d⃗ et dQ
Con la velocidad
⃗ V
de la partícula es tangente a la trayectoria podemos
expresarlo así:
⃗ V =V ⃗ et La ecuación será
⃗a =
dV ( ⃗ et ) Vd e t d ⃗v d = (V ⃗ et )= + dt dt dt dt
Pero:
d e⃗t d ⃗ e dQ dS = t= = dt dQ dS dt
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V=
Con:
dS=dQ →
Y con:
e dS d ⃗ , t =⃗ en dt dQ
dQ =1 dS
Tenemos:
d e⃗t V = ⃗ e dt ρ n Luego: 2
⃗a =
dV V et + ⃗ ⃗ e dt ρ n
Las componentes escalares de la aceleración son:
at=dV , an
V2 ρ
MOVIMIENTO CIRCULAR Este movimiento es un caso especial en la cual la trayectoria es un círculo.
pág. 114
Como la velocidad es tangente al círculo, es perpendicular al radio R = Ca. También tenemos: S = RQ La velocidad en módulo es:
V=
=
(3.20)
A la cantidad W =
(3.21)
Se denomina velocidad angular y es igual a la variación del ángulo en la unidad de tiempo, se expresa en radianes por segundo, rads -1 o simplemente s-1 luego: V = WR Lo podemos expresar como una cantidad vectorial y con dirección perpendicular al plano del movimiento en el sentido avaned de un tornillo de rosca derecha girado en el mismo sentido es que se mueve la partícula y obtenemos la figura.
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=W
=
=
V = RW
pero R = rSenQ
V = WrSen Q
Luego
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Se caracteriza por tener una velocidad angular constante por lo que la aceleración angular es nula. La velocidad lineal de la partícula no varía en módulo, pero sí en dirección. La aceleración tangencial es nula; pero existe aceleración centrípeta (la aceleración normal), que es causante del cambio de dirección. Matemáticamente, la velocidad angular se expresa como:
donde
es la velocidad angular (constante),
barrido por la partícula y
es la variación del ángulo
es la variación del tiempo.
El ángulo recorrido en un intervalo de tiempo es:
pág. 116
En este movimiento tenemos W = constante, osea la velocidad angular es constante. En este caso el movimiento es periódico y la partícula pasa por cada punto del círculo a intervalos iguales de tiempo. Periodo (p), es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolución. Frecuencia (f), es el número de revoluciones por unidad de tiempo. De ello decimos que si en el tiempo t, la partícula realiza m, revolucione el período es:
P= Y la frecuencia será el número de revoluciones en a unidad de tiempo:
f= Luego:
La frecuencia con el período se relaciona a si:
f=
Unidades: Periodo de segundos (s) Frecuencia en (segundos) -1 o s-1, unidad denominada Hertz. También en lugar de Hertz se usa las revoluciones por segundo (r.p.s.) o (r.p.m.) revoluciones por minuto. Los conceptos de periodo y frecuencia son aplicables a todos los procesos periódicos que ocurre en forma cíclico, esto es aquellos procesos que se repiten después de completar un ciclo. Por ejemplo el movimiento de la tierra alrededor dl sol no es circular al uniforme, pero es periódico. Es un movimiento uniforme cada vez que la tierra completa una órbita, el riodo es el tiempo recorrido para completar un ciclo, y la frecuencia es el número de ciclos por segundo, correspondiendo un Hert a un ciclo por segundo. De la relación:
pág. 117
W= Tenemos:
dQ =
Wot
Con ello: Q = Q0 + W (t – t0) Como condiciones iniciales usualmente aceptamos: Q0 = 0 y t0 = 0 Donde:
Q = Wt
o
W=
Para una revolución completa, t = p y Q = 2 m resultado:
W =
= 2n
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO
En este movimiento, la velocidad angular varía linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el móvil a una aceleración angular constante. Las ecuaciones de movimiento son análogas a las del rectilíneo uniformemente acelerado, pero usando ángulos en vez de distancias:
siendo
la aceleración angular constante.
Cuando la velocidad angular es una partícula cambia con el tiempo, la aceleración angular está definida por el vector:
pág. 118
Pero como el movimiento circular es un plano, la dirección de W permanece lavariable y la relación también se cumple pero las magnitudes de las cantidades invalidadas, con ello:
(2.27)
Pero en este movimiento la aceleración es constante y tenemos:
dw =
dt =
dt
O = W = W0 + (t –t0) Donde: W0 es el valor de W para el tiempo t0 con ayuda de W = dQ = Wo + (t-t0) Tenemos:
dQ =
W0 + (t-t0) dt
De donde:
Q = Q0 + (W) (t-t0) +
(t-t0)2
Las siguientes relaciones son importantes para el movimiento circular, sabemos que:
at=
pág. 119
También: Y que:
Debiendo hacer notar que el módulo de la aceleración tangencial mide la rapidez con la cual cambia el valor de la velocidad instantánea en general para el movimiento curvilíneo:
at = y el modulo de la aceleración normal mide la rapidez con lo cambia de dirección el vector para el movimiento curvilíneo.
an=
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS POLARES Existen muchos casos en los que el movimiento curvilíneo de cada partícula se determina mediante las coordenadas polares. ryQ Si es el punto p consideramos dos vectores unitarios.
= Cos
+ Sen
= - iSenQ + j CosQ
pág. 120
= -SenQ + CosQj =
= -CosQ
=-
+ CosQ
= -(
)
=
Si tenemos:
(3.29) Con la simbología:
Q=
,
r=
(3.30) La aceleración:
(3.31)
pág. 121
Con ayuda de:
= -r(Q)2 + er + rQeQ + eQQr + rQeQ + rer
= -r(Q)2er + rQeQ + 2rQeQ + rer
a = (r-rQ2 )er +2rQ) eQ (3.32)
MOVIMIENTO DE PROYECTILES El movimiento parabólico se puede analizar como la composición de dos movimientos rectilíneos distintos: uno horizontal (según el eje x) de velocidad constante y otro vertical (según eje y) uniformemente acelerado, con la aceleración gravitatoria; la composición de ambos da como resultado una trayectoria parabólica. Claramente,
la
componente
horizontal
de
la
velocidad
permanece
invariable, pero la componente vertical y el ángulo θ cambian en el transcurso del movimiento. En la figura 4 se observa que el vector velocidad inicial inicial
forma un ángulo
respecto al eje x; y, como se dijo, para el análisis se descompone
en los dos tipos de movimiento mencionados; bajo este análisis, las componentes según x e y de la velocidad inicial serán:
pág. 122
El desplazamiento horizontal está dado por la ley del movimiento uniforme, por tanto sus ecuaciones serán (si se considera
En tanto que el movimiento según el eje
):
será rectilíneo uniformemente
acelerado, siendo sus ecuaciones:
Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo, con las ecuaciones que dan las posiciones
e , se obtiene la ecuación de la trayectoria en el plano xy:
que tiene la forma general
y representa una parábola en el plano y(x). En la figura 4 se muestra esta representación, pero en ella se ha considerado
(no así en la
animación respectiva). En esa figura también se observa que la altura máxima en la trayectoria parabólica se producirá en H, cuando la componente vertical de la velocidad que el alcance horizontal
sea nula (máximo de la parábola); y
ocurrirá cuando el cuerpo retorne al suelo, en
(donde la parábola corta al eje
).
pág. 123
Esto es otro tipo de movimiento en el plano, con aceleración constante, luego si
=cte tenemos:
= Donde Vo es la velocidad para t = t0, luego:
= a(t – t0)
(3.15)
También si:
V = V0 + a (t – t0) Tenemos:
=
=
Donde r0 posición en el tiempo t0 y luego:
3.16.
pág. 124
En el gráfico anotamos que:
= Vx +
+V
Donde: Vox = VoCos +, Voy = VoSen Si (t0 =0)
= (Vox
+ Voy
)- gt
Habiendo reemplazando en:
=
0
+
en donde: Vx= Vox, Vy = Voy – gt La que indica que la componente de
en la dirección x permanece
constante, como debía ya que no hay aceleración en dicha dirección. Similarmente la ecuación (16) con r0 = 0 y t0 = 0 – separando en sus componentes:
pág. 125
=x
+Y
= (V0
+ Voy
)t-
gt2
Es donde:
X = Voxt,
Y = Voyt - -
gt2
Para la solución de problemas usamos la misma convención que en el movimiento en cada libre (+), cuando el proyectil se encuentra subiendo y (-) cuando esta en descanso. Algunos resultados importantes: Tiempo total en vuelo (T) Es el tiempo necesario para que el proyectil regrese al mismo nivel de donde fue disparado. T = t (ascenso) + t (descenso) Cuando sabe: Vy = Voy – gt Vy = 0 cuando alcanza la altura máxima Luego:
= Voy = gt t =
= T = 2t = 2 Alcance horizontal R.
)= R =VoxT = voCos0 (2
R=
Sen 2Q (3.17)
Altura máxima (H)
pág. 126
H = Voy t -
gt2
Tiempo de subida:
t=
H=
H=
H=
(3.18)
Otras relaciones son:
TgQ
.T2
Se demuestra a partir de las ecuaciones:
Y = VoytX = Voxt Y eliminando + la ecuación de la trayectoria es:
pág. 127
Y = xtgQ -
(3.19)
Formulación matemática con el cálculo diferencial La velocidad es la derivada temporal del vector de posición y la aceleración es la derivada temporal de la velocidad:
o bien sus expresiones integrales:
2.2.- ACTIVIDADES: PROBLEMAS RESUELTOS 2.2.1.- PRUEBAS OBJETIVAS: La aceleración de una partícula que se mueve sobre el eje x, está dada en función del tiempo por: A2= -8t³ + 16t, donde la aceleración se mide en m/s² y el tiempo en segundos. Suponiendo que la partícula parte del reposo en el origen, calcular: La velocidad instantánea en función del tiempo El desplazamiento en función del tiempo El valor máximo del desplazamiento para t >0 El valor máximo del desplazamiento para t >0 Sugerencia: Revisar este problema minuciosamente
pág. 128
Solución
dV ⇢ dV =adt dt
a=
De
(−8 t 3 +¿ 16 t) dt U
t
∫ dV =∫ ¿ Vo
o
U
t
t
∫ d V =∫−8 t 3 dt +∫ 16 tdt Vo
o
o
V −V o =−2t 4 +8 t 2
V o=0 sipatedelreposoenelorigen V=
x
dx ⇢ dx=Vdt dt
t
∫ dx=∫ (−2 t 4 +8 t 2 ) dt xo
o
x
t
∫ dx=∫ −2 t xo
t 4
o
x−x o=
dt+∫ 8 t 2 dt o
−2 5 8 3 t + t 5 3
Si parte del reposo en el origen
x=
x o=0
−2 5 8 3 t + t 5 3
pág. 129
Para que el desplazamiento sea máximo debe ser:
dx =0 dt
−2 t 4 +8 t 2=0 dedonde :
t= ±2s
Parat=0 , t=2s
Luego : x=
−2 5 8 3 (2) + (2) =8.5 m 5 3
Para que la velocidad sea máximo debe ser:
dV =0 dt −8t 3 +16 t = 0 de donde
t=± √ 2
parat>0 es , t=2
Luego: 4
2
V =−2 ( √ 2 ) +8 ( √ 2 ) =8
m s
La aceleración “a” de una corredera unida a un resorte, es proporcional a su desplazamiento S, a partir de la posición, en que la fuerza del resorte es nula y está dirigida en sentido contrario al desplazamiento, la relación existente es: a= -K²s , donde K es una constante. Si la velocidad de la corredera es Vo cuando S=0 y si t=0cuando S=0 hallar: El desplazamiento La velocidad en cualquier instante. Solución De la relación siguiente y con las condiciones iníciales:
pág. 130
V
S
∫ UdV =−∫ K 2 SdS Vo
O
2
V2 Vo S2 − =−K 2 2 2 2
2
2
2
2
V −V o =−K S
V 2=V 2o −K 2 S2 ⇢V = √V 2o−K 2 S 2
V=
De la ecuación
dS dt , reemplazamos para t=0, cuando S=0 y
obtenemos: s
t
∫ dS=∫ dt o
o
s
dS
∫ o
√V
2 o
t 2
−K S
2
=∫ dt
[ ]
o
t
1 Ks t arcsen =[ t ]o K Vo o arcsen
Ks =Kt Vo
V KS =senKt ⇢ S= o senKt Vo K
V osenKt dS d V= = ¿ dt dt V =V o cos K t
pág. 131
Un auto parte del reposo con un M.R.U.V y recorre entre lo puntos A y B de su trayectoria la distancia de 1,0Km. durante 10 segundos, si al pasar por B su velocidad es el triple de la que tuvo en A. Calcular el espacio que recorrió entre el punto de partida y el punto A.
Solución
Usando la relación
donde identificamos Vo como V en el gráfico
(punto A) y en el punto B será 3V Luego: TRAMO “AB”: Con: d=1000 → 1000=2V(10) V=1000/200=50m/s Calculo de la aceleración:
TRAMO “OA”: Como parte del reposo
3er Tramo
pág. 132
X=810m Un avión horizontalmente a la altura H= 4Km sobre la superficie de la tierra a velocidad supersónica. El ruido llega a un observador al cabo del tiempo t = 10s de haber pasado el avión sobre el. Determinar la velocidad V del avión. La velocidad del ruido C=330m/s SOLUCION
Desde cada punto por donde pasa el avión se propaga una onda sonora (en la figura mostramos varias de estas ondas cuando el avión se halla en el punto A) de límite de la zona a la cual llega el sonido sirve en cono, que es la envolvente de dichas ondas. AB y CA son las líneas de intersección del cono en el plano de la figura (este plano es perpendicular a la superficie de la tierra), hasta el punto B llega primero el sonido desde el punto Ol (BO1| AB), OA es el camino recorrido por el avión desde el instante en que pasó sobre el observador hasta que este oyó el sonido OD es el camino recorrido durante este mismo tiempo por la onda sonora desde el punto O (OA | AB), con ángulos BAO y BOD, son iguales por ser ángulos de lados mutuamente perpendiculares (sea α el ángulo).
pág. 133
V=583 m/s Una partícula está sometida a la acción de fuerzas intermitentes de tipo explosivo, siendo su aceleración resultante la que se muestra en la figura. Si el móvil en el tiempo 1/3 parte del reposo y termina en el reposo en el tiempo t. Calcular: El tiempo t1 La distancia total recorrida Sugerencia: Revisar minuciosamente este problema
Solución El área total bajo la curva es igual a la suma de 2 áreas: Una positiva triangulo de base 1/3 y otra negativa (triangulo de base t1 – 1/3. Como la velocidad final en t1 es cero, la suma de estas áreas es cero, por lo cual.
t = 1 seg.
pág. 134
Observamos que la aceleración “a” varía linealmente; conociendo en el intervalo 0 ≤ t ≤ 0.5 y aumentando al 0.5 (t=1 seg.) Luego la ecuación de la aceleración es 0 < t < 0.5 es:
De donde: a=20 – 60t Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que parte por los puntos (Xo,Yo) e (X1,Y1) Queda definido por:
Luego con la relación:
El valor de C1, se obtiene con las condiciones iniciales: t=0 y V=0 De donde en: C1=0 Y así tenemos V= 20t – 30t² La distancia recorrida en este intervalo es:
En 0.5 ≤ t ≤ 1, ecuación de la recta que pasa por los punto (0.5,-10) y (1,0) Con:
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La aceleración de una partícula El valor de C2 se obtiene con la condición de que en: t=0.5, las condiciones anteriores deben ser el mismo valor de la velocidad.
Luego: reemplazando V1en
y t=0.5
Tenemos:
La distancia recorrida en este intervalo es:
La distancia total recorrida es: X=X1+X2=1.25+0.4166=1.666m=5/3m que se mueve en línea recta, varía mediante la siguiente ley:
a f =ao +Ct a f : Aceleracióninicial ( t=0 ) C : Claridadoplúsaceleración
( ms ) 3
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Un volante tiene en un momento dado la velocidad angular W =2 rad/s, y
la aceleración angular
.
Hallar la velocidad, la aceleración tangencial (rotativa), la aceleración normal (centrípeta) y la aceleración total del punto M del volante, que se halla a la distancia de 0.8 m al eje de rotación.
SOLUCIÓN La velocidad del punto
M=
V = rW = 0.8 x 2 = 1.6 x V = 5 m/s
La aceleración tangencial (rotativa) at= r = 0.8 x (-3) = -2.4 m/s2 La aceleración normal (centrípea) an= rw2 = 0.8(2)2 = 3.2 x 2 = 31.5 m/s2 La aceleración total del punto:
a= a = 31.6 m/s2
tg = = 4.5° El satélite artificial intelsat gira alrededor de la tierra con un periodo de 24 horas ¿Cuál es su frecuencia, velocidad angular y tangencial y aceleración
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centrípeta, la distancia promedio del satélite a la superficie de la tierra es 35.832 km. Solucion Tenemos en primer lugar la distancia del satélite P – al centro de la tierra O, que es el centro de giro es: r = OT + PT
donde: OT, radio terrestre PT, distancia del satélite a la superficie de la tierra. r = 6.368 km + 35.832 k = 42,200 km El periodo T del movimiento es: T = 24 horas = 24 x 3,600 seg = 86,400 seg. Luego:
f= su velocidad angular: W -2f= 6.28 x 0.0000116 = 0.0000727 rad/seg. La velocidad tangencial: Vt = rW Vt = 42,200 km x 0.0000727 rad/seg = 3.0673 km/seg La aceleración centrípeta:
an =
an = Vt2 =
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¿Qué velocidad tangencial tiene una persona situada en el Ecuador? o a una latitud de 45°? Solución: El periodo de revolución de la tierra alrededor de su eje es de 24 hr. Por tanto, la frecuencia del movimiento circular es:
f=1=
= 0.0000116 Hz
La velocidad angular es: W = enf = 2 x 3.1416 x 0.0000116 = 0.0000 727 rad/seg Para una persona situada en el ecuador el radio de giro es el radio de la tierra. R = 6.368km Luego la velocidad tangencial es una persona situada en el Ecuador S: Vt=
RW
Vt= 6368 km x 0.000727 rad/s = 0.46295 km/s
= 0.46295 km/(
)
= 1,660.63 km/hr
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Para una persona situada a la latitud Q, el radio de giro es el radio de la tierra sino la distancia QP. Luego:
CosQ = Luego el radio de giro es: OS = RCosQ Con ello tenemos: V = WRCosQ Cos
Q = 45°
Vt = 0.0000727 rad/s x6368 km x Cos45° = 0.46292 km/s x 0.70711 = 0.32735 km/s = 1178.48 km/h En la figura se representa dos poleas coaxiales de radio R1 = 0.10 m y R2 = 0.05 m y una tercera polea de radio R = 0.20 m. El cuerpo P, desciende con aceleración constante Q1 = 5m/s2 partiendo del reposo. Calcular la velocidad angular del disco de radio R, en el instante t, sabiendo que no hay deslizamiento entre las poleas. Solución
La aceleración angular de las poleas coaxiales es:
12 =
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a12 = 100 rad/s2 entonces: a1 = 12R1 = 100 x 0.10 = 10 m/s2 a1 = a
Luego:
a = 10 m/s2 y =
= 50 rad/s2 Pero:
=
dW = 50 dt W = 50 t
EL pero W está conectado una polea por medio de un cable inextensible. El movimiento de la polea es controlado por el cable C, que tiene una aceleración constante de 0.3 m/s2 y una velocidad inicial de 0.4 m/s, ambas dirigidas hacia la derecha. Determinemos: El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s. La velocidad y el cambio en la posición del pero W después de 2 s La aceleración del punto D sobre el borde de la polea interior en t = 0 Solución:
Como el cable es inextensible, la velocidad del punto D es igual a la velocidad del punto C, también la componente tangencial es la aceleración de D, e igual a la aceleración de C. Vc = VD = 0.4 m/s ac= aTD= 0.3 m/s2
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También: VD = rW0 0.4 m/s = 0.1 mW0 W0 = 4 rad/s atD = r 0.3 m/s2 = 0.1 m = 3 rad/s2 Con las ecuaciones para el movimiento uniformemente acelerado obtenemos para t = 2 s. W = W0 + t = 4 rad/s + (3rad/s2) (2seg.) W = 10 rad/s2
Q = Wot +
= (4 rad/s) (2s) +
(3rad/s2)(2s)2
Q = 8 rad + 6 rad = 14 rad Número de revoluciones = (14 rad) (1 rev/2rad) = 2.23 rev Movimiento del pero W: VW = rw = (0.2)(10 rad/s) = 2 rad/s YB= rQ=(0.2)(14 rad) = 2.8 metros Aceleración del punto D t = 0 aDt= ac = 0.3 m/s2 Como es t = 0, W0 = 4rad/s, la componente normal de la aceleración es: aDN = rW20 = (0.1 m)(4rad/s2) aDN = 1.6 m/s2 La figura muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b = 10 cm, respectivamente. La polea móvil se encuentra sostenida mediante una cuerda cuyos extremos están desarrollados a las poleas fijas. Si las poleas con centro fijo giran con velocidad angular constante de 4 rad/seg. con sentido horario, ¿Hallar la velocidad del bloque unido a la polea móvil?
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Solución La velocidad de los puntos (1) y (2) en las cuerdas, es igual a la velocidad lineal de los puntos periféricos de las poleas respectivas: V= WR
Punto (1):
V1 = (4)(10) = 41 cm/s
Punto (2):
V2 = (4)(10) = 80 cm/s
Propiedades la polea móvil:
V3 = Luego reemplazando: V3 = 60 cm/s
Una partícula es despedida de un punto 3, arriba de la horizontal, la dirección de la proyección hace un ángulo con el horizonte. Probar que si la mayor altura arriba del punto de proyección es h, la distancia horizontal al elevar con el plano horizontal es: 6hCtg SOLUCIÓN Sea V0 la velocidad de proyección
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Su componente vertical será: V0Sen , y es disminuida por una retardación en una distancia “a” por consiguiente:
= h V20Sen2 = 2gh
VoSen
=
La componente vertical de la velocidad es destruida en un tiempo t dado por: Vy = VoSen - gt
Luego: Vy = 0 = VoSen - gt
t= Luego la partícula cae del reposo una distancia 4h bajo la acción de la gravedad y el tiempo para esto está dado po:
gt21 = 4h t1 =
=2
Entonces el tiempo total del movimiento es:
t+ t1 = 2
+
=3
La velocidad horizontal es: VoCos = VoSenCtg
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VoCos =
Ctg
La distancia horizontal:
d = VoCos t = VoCos (3
d=
) Ctg x 3
)
= 6h Ctg
Una partícula escribe una trayectoria curvilínea con velocidad total es 9.5 m/s2, calcular el radio de curvatura de la trayectoria en ese instante. SOLUCIÓN: Tenemos que:
=
el módulo : a2 + an2 + a2t
+
También: V = 6t2 – 3/2 en t = 1.5 V = 12
at =
= 12t en t = 1.5
at = 18 m/s2
Luego: a2n = a2 – a2t an = an = De la relación:
an =
=
= 16 m
Demostrar que se cumple las siguientes relaciones para el movimiento curvilíneo:
pág. 145
an =
(Y) an
Donde: at = aceleración tangencial an = aceleración normal. SOLUCIÓN
Notamos que at es la proyección de
sobre
, sea
el vector unitario de
. Luego:
at =
at=
at= También:
=
t
+
n
x
=
x(
t
+
x
=
x
n
)=
, pues
Por:
x
x
//
+
t
t
x
n
=0
t
Tomando módulos:
/
x
/= /
x
n
/= VanSen 90° = Van
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De donde: an = Un tren se mueve uniformemente acelerado por una curvatura cuyo radio de curvatura es =500 m, pasados 3 minutos adquiere la velocidad V = 54 km/h. Determinar la aceleración del tren una vez parados 2 minutos después de su partida de la estación que parte del reposo. SOLUCIÓN La velocidad:
V = 54 km/h = La aceleración tangencial: V = V0 + at t
at =
=
donde V0 =
=
0
m/s2
Como el movimiento del tema es uniformente acelerado, entonces su aceleración tangencial es constante, pero la aceleración normal del tren
determina con la fórmula an=
depende de la velocidad de movimiento,
será diferente para diferentes momentos de tiempo. Determinar la velocidad del tren al final del segundo minuto después de su partida de la estación.
V = V0 + att = 0 +
x 120 = 10 m/s
Con ello la aceleración del tren en este momento será:
an=
=
am= 0.2 m/s2 La aceleración total:
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a2 = a2n + a2t a = 0.217 m/s2
6.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. El metro de Medellín acelera uniformemente partiendo del reposo a razón de 1.8 m/s2, hasta alcanzar la máxima velocidad permitida de 150.0 km/h. Después de recorrera esta velocidad durante un cierto tiempo, desacelera a razón de 1.2 m/s2 hastadetenerse. Si en total recorrió 5.0 km. Hallar el tiempo transcurrido. Rta: 149 s. 2. Un camión va por una carretera recta a una velocidad de 36.0 km/h. Un auto viene50.0 m atrás viajando a 72 km/h en la misma dirección y en ese momento aplica losfrenos desacelerando a 0.5 m/s2 mientras que el camión continúa moviéndose avelocidad constante. Realice un diagrama que ilustre el eje y el origen. Escriba lascondiciones iniciales. Exprese la posición del auto (Xa) y la del camión (Xc) en uninstante t. ¿Alcanzará el auto el camión? Si es así, ¿en qué instante o instantes? Rtas: 6.4 s y 32.2 s t1 = t2. 3. Un conductor que viaja a velocidad constante de 15 m/s pasa un cruce donde el límitede velocidad es de 10 m/s. En ese momento, un policía en una motocicleta, parado en elcruce, arranca en su persecución con aceleración constante de 3 m/s2. a) ¿Cuánto tiempo pasa antes que el policía alcance al conductor? b) ¿Qué velocidad tiene el policía en ese instante? c) ¿Qué distancia total ha recorrido cada vehículo? Rta: a) 10 s; b) 30 m/s ; c) 150 m 4. Un auto que viaja con una rapidez inicial de 30.0 m/s en una carretera con neblina verepentinamente un camión a 50.0 m delante de él, viajando en la misma dirección y conuna rapidez de 12.0 m/s. El conductor del auto pierde 0.6 s mientras reacciona y aplicalos frenos. Al hacerlo el auto sufre una desaceleración de 4.0 m/s2. (a) Determine si el auto choca contra el camión, suponiendo que ninguno de lodos se
pág. 148
esquiva. Si ocurre el choque, (b) calcule el momento y el punto donde ocurre lacolisión. (c) ¿Qué desaceleración mínima tendría que haber tenido el auto para evitar elchoque? Rta: a) Si; b) 2.438 s después de aplicar los frenos y 61.2 m desde la posición del autodonde se aplicaron los frenos, c) 5.063 m/s2. 5. Suponga que usted vive en uno de los pisos bajos de un edificio y posee reflejos relámpagos por lo que es capaz de estimar intervalos cortos de tiempo. Un díacualquiera, usted observa que un objeto que alguien soltó desde un piso alto demora unadécima de segundo para recorrer el marco de la ventana de su dormitorio. Si el marcotiene una altura de 2.0 m. Desde que altura, medida a partir de la parte inferior de laventana, se soltó el objeto. Rta: 21.43 m. 6. Si un cuerpo recorre la mitad de su trayectoria en el último segundo de caída;encuentre el tiempo total de caída y la altura desde la cual se dejo caer. Rta: 3.41 s y 57.1 m. 7. El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la luna esaproximadamente la sexta parte del valor en la superficie de la tierra. Hallar altura que saltará en la luna el actual campeón olímpico cuya marca en la tierra es de 2.44 m. Rta: 14.62 m. 8. Se deja caer una piedra (desde el reposo) en la boca de un pozo. El sonido delimpacto de la piedra con el fondo del pozo se oye 3.0 s después de haber dejado caer lapiedra. Si se sabe que la velocidad del sonido en el aire es de 340.0 m/s, determine laprofundidad del pozo. Rta: 40.65 m 9. Un ascensor de 2.0 m de altura sube con velocidad constante de 2.5 m/s. En un cierto instante se suelta un tornillo del techo. Al cabo de que tiempo cae el tornillo al piso del ascensor. Rta: 0.64 s.
pág. 149
2.2.1.- PRUEVAS OBJETIVAS: Si la partícula inicial en movimiento con una aceleración de 2m/s³ y claridad constante C=1m/s³ , determinar la gráfica de la aceleración. Una partícula se mueve en el eje X mediante la siguiente ley:
1 1 X f =X o +V o t+ a o t 2+ C t 3 2 6 Sus gráficas V-t y a-t son
Si la partícula inicia su movimiento (t=0) en la posición Xo=-2m, determinar su posición en el instante t=4s Un móvil parte del reposo y comienza a moverse con M.C.U.V. con una aceleración angular constante de rad/s 2. Sabiendo que en cierto intervalo de tiempo el móvil ha corrido un ángulo central “Q” y 2 segundos después ha corrido un ángulo “E” donde se cumple:
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= Hallar el ángulo ”E” Una partícula se mueve sobre una trayectoria cuya ecuación es r = 3 Qm. So Q = t3 radianes, determinar la velocidad y aceleración de la partícula cuando Q = 60°. Una partícula se mueve por la circunferencia de radio r = 4 m conforme a la ley S = 4.5t2 donde S se mide en metros y t1 en segundos. ¿Hallar el módulo “a” de la aceleración del punto y el ángulo, entre la aceleración y la velocidad de la velocidad en el Momento T, en que la magnitud es la velocidad es igual a 6m/s.
2.2.2.- PEQUEÑAS INVESTIGACIONES Un momento culminante en la historia de la Física fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la Ley de la Gravitación Universal: todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros. Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación lograba de un solo golpe: Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Resolver el intrincado problema del origen de las mareas Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que el movimiento de un objeto en caída libre es independiente de su peso. La naturaleza cuadrático inversa de la fuerza centrípetra para el caso de órbitas circulares, puede deducirse fácilmente de la tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario y de la dinámica del movimiento circular uniforme: Según la tercera ley de Kepler el cuadrado del periodo P es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio radio r, P2=kr3.
pág. 151
La dinámica del movimiento circular uniforme, nos dice que en una trayectoria circular, la fuerza que hay que aplicar al cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración normal,F=mv2/r. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, P=2p r/v. Combinando estas expresiones, obtenemos
Vemos que la fuerza F que actúa sobre el planeta en movimiento circular uniforme es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r desde el centro de fuerzas al centro del planeta. Newton comparó la aceleración centrípeta de la Luna con la aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración centrípeta de la Luna es ac=v2/r=4p 2r/P2, con r=3.84·108 m y P=28 días=2.36·106 s, se obtiene ac=2.72·10-3 m/s2. Por consiguiente,
Como el radio de la Tierra es 6.37·106 m, y el radio de la órbita de la Luna es 3.84·108 m, tenemos que
Por tanto,
Las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa del cuadrado de las distancias medidas desde el centro de la Tierra. Descripción En la física anterior a Newton una manzana cae verticalmente hacia la Tierra en una trayectoria rectilínea, mientras que la Luna describe una órbita casi circular, que es una trayectoria cerrada.¿Cómo estas dos categorías de movimientos pueden estar relacionadas?
pág. 152
Si la manzana que caía verticalmente es empujada por la fuerza del aire, su trayectoria ya no será rectilínea sino el arco de una curva. Por ejemplo un proyectil disparado desde un cañón describe una trayectoria parabólica tal como se observaba en el siglo XVII en el que vivió Newton . El salto conceptual que llevó a cabo Newton fue el de imaginar que los proyectiles podrían ser disparados desde lo alto de una montaña describiendo trayectorias elípticas (siendo la parábola una aproximación de la elipse). Por tanto, la manzana y la Luna están cayendo, la diferencia es que la Luna tiene un movimiento de caída permanente, mientras que la manzana choca con la superficie de la Tierra. Una misma causa produce, por tanto, los movimientos de los cuerpos celestes y terrestres. Un dibujo que aparece en muchos libros de texto, tomado del libro de Newton "El sistema del mundo", ilustra esta unificación.
"Si consideramos los movimientos de los proyectiles podremos entender fácilmente que los planetas pueden ser retenidos en ciertas órbitas mediante fuerzas centrípetas; pues una piedra proyectada se va apartando de su senda rectilínea por la presión de su propio peso y obligada a describir en el aire una curva, cuando en virtud de la sola proyección inicial habría debido continuar dicha senda recta, en vez de ser finalmente atraída al suelo; y cuanto mayor es la velocidad con la cual resulta ser proyectada más lejos llega, antes de caer a tierra. Podemos por eso suponer que la velocidad se incremente hasta que la piedra describa un arco de 1, 2, 5, 10,
pág. 153
100, 1000 millas antes de caer, de forma que al final, superando los límites de la Tierra, pasará al espacio sin tocarla... En la figura, se representa las curvas que un cuerpo describiría si fuese proyectado en dirección horizontal desde la cima de una alta montaña a más y más velocidad. Puesto que los movimientos celestes no son prácticamente retardados por la pequeña o nula resistencia de los espacios donde tienen lugar, supongamos, para conservar la analogía de los casos, que en la Tierra no hubiera aire, o al menos que éste está dotado de un poder de resistencia nulo o muy pequeño. Entonces, por la misma razón que un cuerpo proyectado con menos velocidad describe el arco menor y, proyectado con más velocidad, un arco mayor, al aumentar la velocidad, terminará por llegar bastante más allá de la circunferencia de la Tierra, retornando a la montaña desde la que fue proyectada. Y puesto que las áreas descritas por el movimiento del radio trazado desde el centro de la Tierra son proporcionales a su tiempo de descripción, su velocidad al retornar a la montaña no será menor que al principio, por lo que reteniendo la misma velocidad, describirá la misma curva una y otra vez, obedeciendo a la misma ley". Vamos ahora a cambiar, la imagen estática por un programa interactivo o applet, que nos ilustre la unificación de las causas de los movimientos que ocurren en el espacio exterior y en la superficie de la Tierra.
3.2.- PRUEBA DE AUTOEVALUACION: Problema 01: Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg. a) Cual es la rapidez promedio? b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un círculo? a) Cual es la rapidez promedio?
b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un círculo? L = 200 metros = 2 π r Despejamos el radio
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F
=
3,01
Newton
Problema 02: Una patinadora de hielo de 55 kg se mueve a 4 m/seg. Cuando agarra el extremo suelto de una cuerda, el extremo opuesto está amarrado a un poste. Después se mueve en un círculo de 0,8 m de radio alrededor del poste. a) Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos. b) Compare esta fuerza con su peso. Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos.
T = 1100 Newton b) Compare esta fuerza con su peso.
Problema 03: Un automóvil que viaja inicialmente hacia el ESTE vira hacia el NORTE en una trayectoria circular con rapidez uniforme como se muestra en la figura. La longitud del arco ABC es 235 metros y el carro completa la vuelta en 36 seg. a) Cual es la aceleración cuando el carro se encuentra en B localizado a un ángulo de 350. Exprese su respuesta en función de los vectores unitarios i y j.
pág. 155
Determine b) la rapidez promedio del automóvil c) Su aceleración promedio durante el intervalo de 36 seg
Longitud del arco total = 2 p r Longitud de un cuarto de cuadrante = 2 p r/ 4 = p r/ 2 2 * long. De un cuarto de cuadrante = p r
a) Cual es la aceleración
ax = - a sen 35 i = - 0,28476 sen35 i = - 0,28476 * ‘0,5735 i = - 0,163 i ay = - a cos 35 j = - 0,28476 sen35 j = - 0,28476 * ‘0,8191 j = - 0,233 j c) Su aceleración promedio VF = V0 + at VF - V0 = at
Problema 04: Un automóvil da 60 vueltas a una circunferencia de 200 m de radio empleando 20 minutos calcular: a) Periodo; b) frecuencia; c) Velocidad angular; d) Velocidad tangencial o lineal. R. a) 20 s; b) 0.05 hz.; c) 0.314 rad/s; d) 62.8 m/s. Datos del problema:
pág. 156
n = 60 vueltas
R = 200 metros Periodo
frecuencia
f = 0,05 Hertz Velocidad angular; W=2**f W = 2 * 3,14 * 0,05 W = 0,314 rad/seg. Velocidad tangencial o lineal. V=W*R V = 0,314 * 200 V = 62,8 m/seg Problema 05: Calcular la velocidad con que se mueven los cuerpos que están en la superficie de la tierra, sabiendo que su periodo es de 24 horas y el radio 6400 Km. R: 1675.516 Km/h. Datos del problema T = 24 horas R = 6400 Km.
V=W*R V = 0,2617 * 6400 V = 1675,516 Km/hora
3.3.- SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES 3.3.1.- PROBLEMAS ABIERTOS Las ecuaciones del movimiento de una partícula son: 2
3
2
x ( t )=−2 t +3 t , y (t )=4 t −t
4
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z ( t )=10 t−t 3 donbde x , y , z se miden en metros y t en segundos , calcular : El vector velocidad y el vector aceleración en el tiempo t El módulo de la velocidad cuando t= 1.5 s El módulo de la aceleración cuando t= 1.5 s El vector de posición cuando t=5 s SOLUCION Del enunciado:
x=−2t 2 +3 t 3 y=4 t −t
2
4
z=10 t−t
3
Los componentes de la velocidad son:
dx =V x =−4 t+9 t 2 dt dy =Vy=8 t−4 t 3 dt dz =V z =10−3 t 2 dt Pero : ⃗ V =Vx ⃗c + Vy ⃗j+Vz ⃗k
⃗ V =( −4 t+ 9t 2 ) ⃗c + ( 8 t−4 t 3 ) ⃗j +(10−3 t 2) ⃗k Así mismo:
dVx =a x =−4 +18 t dt
dVx =a y =8−12t 2 dt dVz =a z =−6 t dt ⃗a =(−4+18 t ) ⃗c + ( 8−12 t 2) ⃗j+(−6 t) ⃗k b)
V = √(−4 t+ 9 t 2 )2+(8 t−4 t 3 )2+(10−3t )2
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Para t=1.5 s ; tenemos V=13.3 m/s c)
a=√(−4+ 18t )2+(8−12t 2)2 +(−6 t )2 Para t=1.5s: tenemos a=31m/s² d). Para t=5s X= -2(5)² +3(5)³ =32.5 Y= 4(5)²-(5)⁴= -525 Z=10(5)-(5)³= -75 Como:
⃗r =x ⃗c + y ⃗j+ z k⃗
Tenemos:
⃗r =325 i⃗ −525 ⃗j−75 ⃗k
La figura muestra los tres discos entre si, de radio de curvatura: R, R/2, R/3 respectivamente Cuando el disco de mayor radio gira 4 vueltas, ¿Cuántas vueltas girará el disco de menor radio?
SOLUCION Los puntos periféricos de los discos tangente, tienen igual velocidad lineal: VA = VB= VC Luego:
VA = WAR;
VB = WB
, VC =WC
Relacionando:
pág. 159
VA y VC VA = VC
WAR = WC
3WAR = WCR
3(2fA) R = 2fc R 3fA = fc Si: fa = 4 vueltas 2 (4Vc) = fc
fc = 12 vueltas
La ecuación de un determinado movimiento viene dada por la expresión: S = 10 + 5t + t3 (SI) Calcúlese: la distancia al origen, la velocidad y la aceleración al cabo de 5 segundos de iniciado el movimiento. Solución: S = 160 m; v = 80 m/s; a = 30 m/s2. Un automotor parte del reposo en una vía circular de 400 m de radio y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado hasta que a los 50 segundos de iniciada su marcha alcanza la velocidad de 72 Km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Calcular: a) la aceleración tangencial en la primera etapa de su movimiento; b) la aceleración radial en el momento de conseguir los 72 Km/h; c) la aceleración total en ese instante. Solución: a) 0,4 m/s2; b) 1m/s2; c) 1,08 m/s2. La ecuación de un determinado movimiento es: S = 10t2 + 5t – 4 (SI) Calcúlese el espacio recorrido por el móvil y su velocidad al cabo de 4 segundos de iniciado el movimiento. ¿Qué espacio recorrió durante el cuarto segundo? Solución: S = 180 m, v = 85 m/s, S = 75 m. En que instante tendrán la misma velocidad dos móviles cuyas respectivas ecuaciones de movimiento son: S1 = 3t2 + 5t + 6
pág. 160
S2 = 6t + 8 Solución: t = 1/6 s. El vector de posición de un punto en función del tiempo está dado por: r = t i + (t2 + 2) j + t2 k (SI) Hallar: Su posición, su velocidad y su aceleración en el instante t = 2. El ángulo que forman el vector velocidad y el vector aceleración en ese instante. Solución: a) r = 2i + 6j + 4k, v = i + 4j + 4k, a = 2j + 2k; b) = 10º La posición de una partícula, en función del tiempo, viene dada por las siguientes ecuaciones paramétricas: x = t2 y = 3t z=5 Hallar la velocidad y la trayectoria de la partícula, así como el radio de curvatura de la trayectoria, al cabo de 2 segundos de iniciarse el movimiento. Solución: v = 5 m/s; a = 2 m/s2; R = 20,83 m. La trayectoria descrita por un móvil viene definida por el vector de posición: r = 4t i + 2t2 j (SI) Determinar: Los vectores velocidad y aceleración del móvil, así como sus módulos respectivos. Las componentes intrínsecas de la aceleración. El radio de curvatura de la trayectoria. Solución: a) v = 4 i + 4t j, v = 4 (1 + t2)1/2 m/s; a = 4 j, a = 4 m/s2; b) at = 4t/ (1 + t2)1/2 m/s2, an =
4 /(1 + t2)1/2 m/s2; c) R = 4 (1 + t2)3/2 m.
3.- SALIDA: 3.1.- PRUEBA INTERMEDIA:
pág. 161
El vector de posición de un punto material respecto a un sistema de ejes coordenados OXY viene dado por: r = 4(1 – cos 2t) i + 4(2t – sen 2t) j Estando expresadas todas las magnitudes en unidades del Sistema Internacional. Hallar: Los vectores velocidad y aceleración del punto material, así como sus módulos respectivos. Las componentes intrínsecas de la aceleración. El radio de curvatura de la trayectoria. Solución: v = 8 sen 2t i + 8 (1 – cos 2t) j, v = 16 sen t m/s; a = 16cos 2t i + 16sen 2t j, a = 16 m/s2; b) at = 16cos t m/s2, an = 16sen t m/s2; c) R = 16sen t m. Una rueda que gira a 900 r.p.m. mediante la acción de un freno gira a 300 r.p.m., tardando en este proceso 1/4 de minuto. ¿A qué aceleración angular estuvo sometida? Si el diámetro de la rueda es 60 cm, ¿cuál es la aceleración lineal de un punto de su periferia? Solución: = - 4.2 rad/s2; a = - 1,26 m/s2. Un automóvil, partiendo del reposo, acelera uniformemente para alcanzar una velocidad de 20 m/s en 250 m de recorrido; a partir de este instante y manteniendo constante la velocidad recorre una distancia de 1 500 m, para detenerse a continuación en 50 m, mediante un movimiento uniformemente retardado, caracterizado por una aceleración negativa de 400 cm/s2. Determinar los tiempos empleados en cada una de las tres fases del movimiento. Solución: t1 = 25 s; t2 = 75 s; t3 = 5 s. Dos cuerpos, A y B, separados por una distancia de 2 Km, salen simultáneamente en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente variado, siendo la aceleración del más lento, el B, de 0,32 cm/s2. El encuentro se realiza a 3,025 Km de distancia del punto de partida de B. Calcular: a) El tiempo invertido por ambos móviles. b) La aceleración de A.
pág. 162
c) Las velocidades de ambos en el instante del encuentro. Solución: a) t = 1 375 s; b) aA = 0,0053 m/s2; c) vA= 7,3 m/s, vB = 4,4 m/s.
3.2.- PRUEBA DE AUTOEVALUACION Una partícula desacelera proporcionalmente a su velocidad de acuerdo a la ecuación a=-KV: V en términos de t K en términos de t V en términos de x, dibujar las curvas de movimiento correspondiente Una partícula es proyectada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Vo y “t” segundo mas tarde otra partícula es proyectada hacia arriba desde el mismo punto y con la misma velocidad inicial y probar que ellas se encuentran a una altura por:
Calcular la aceleración total y el radio de curvatura de la trayectoria de un proyectil que sale disparado con una velocidad de 680 m/s, sabiendo que el aire origina una desaceleración de 5m/s 2 en dirección horizontal (tomar la velocidad de salida horizontal y calcular la aceleración un instante después del disparo). La ecuación vectorial horaria del movimiento de una particula que se mueve 2 3
en un plano OXY, viene dada en el SI:
ecuación analítica
[ y=f ( x) ]
r=( 2 t+ 1 ) i+
y su ley horaria
2 ( 2 t+1 ) j . Determinar la 3
[ s=s(t)]
y representarlas.
Un movimiento rectilíneo es tal que su velocidad viene dada en función del desplazamiento por la ecuación
v =3 x +1 . Hallar sus ecuaciones horarias
sabiendo que para t=0 el movimiento se encuentra en el origen.
pág. 163
La velocidad angular de una particula, que se mueve partiendo del reposo en trayectoria circular de r=1 m, viene expresada en el SI :
ω=π t
2
.
Calcular: El angulo girado, la velcidad angular y la aceleración angular, 1s después de iniciado el movimiento. Tomando como sistema de referencia OXYZ, siendo O el centro de la circunferencia,
P0
el punto de partida sobre el eje OX , y el eje OZ
perpendicular a la circunferencia trayectoria; determinar el vector velocidad (v) y el vector aceleracion (a) , en el instante indicado en 1. Una partícula realiza un M.C.V.V. a partir del reposo (V = 0) con aceleración angular constante de 0.25 rad/s2. Si se sabe que el radio de la trayectoria es de 2 metros y el cambio de la velocidad en módulo es igual, al cambio de velocidad de dirección y sentido en un instante determinado. ¿Determinar el tiempo en movimiento de la partícula hasta ese instante? Desde lo alto de un plano inclinado 60º sobre la horizontal desliza un cuerpo con una aceleración constante de 6.66 m/s2. ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento?¿Qué fuerza paralela al plano habría que aplicar al cuerpo para cayese con velocidad constante? La masa del cuerpo es de 10 kg.
3.3.- SOLUCION DE LAS ACTIVIDADES 3.3.1.- SOLUCIÓN DE PRUEBA DE AUTOEVALUACION 1. Una partícula desacelera proporcionalmente a su velocidad de acuerdo a la ecuación a=-KV: V en términos de t K en términos de t V en términos de x, dibujar las curvas de movimiento correspondiente SOLUCION En la relación
a=
dV dt
pág. 164
−KV =
dV dV ⇢ −Kdt dt V
V
t
=−K ∫ dt ∫ dV V U o o
V =−Kt Vo
Luego
U=V o e−Kt
De la ecuación:
U=
dx dt
Reemplazamos
V o e−Kt dt= t
dx dt t
∫ Vo e−Kt dt=∫ dt o
o
x
[ x ]o =
−V o −Kt t [ e ]o K
x=
−V o −Kt ( e −1 ) K
x=
Vo ( 1−e−Kt ) K
pág. 165
Sustituyendo –KV En
V-Vo= -KX
2. Una partícula es proyectada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Vo y “t” segundo mas tarde otra partícula es proyectada hacia arriba desde el mismo punto y con la misma velocidad inicial y probar que ellas se encuentran a una altura por:
pág. 166
SOLUCION
T: tiempo total de la primera partícula desde A hasta C y de C a B. AC: altura máxima que sube la primera partícula. El tiempo que demora en ir de A a C será: V=Vo –gt Cuando alcanza la máxima altura: V=0, luego: Vo= gt → t = Vo/g El tiempo en bajar de C a B será: (T - Vo/g) El tiempo que trata la segunda partícula que sale retrazada en “t” segundos con respecto a T desde A hasta B será: (T-t) Luego: Si recorre estos tiempos, estos deben ser iguales al tiempo que tardarán en alcanzar su altura máxima o sea:
Pero como: Además con la relación:
También:
pág. 167
Luego:
Calcular la aceleración total y el radio de curvatura de la trayectoria de un proyectil que sale disparado con una velocidad de 680 m/s, sabiendo que el aire origina una desaceleración de 5m/s 2 en dirección horizontal (tomar la velocidad de salida horizontal y calcular la aceleración un instante después del disparo). SOLUCIÓN: Sea el radio de curvatura:
= 680
m/s2
at = -5
at =
=
m/s
= -9.8
t
= -5
+
n
- 9.8
m/s2 De: an
pág. 168
tenemos: =
an=
x
/
x
=
/= 6664
=
4.7 x 104 m
La ecuación vectorial horaria del movimiento de una particula que se mueve 2 3
en un plano OXY, viene dada en el SI:
ecuación analítica
[ y=f ( x) ]
r=( 2 t+ 1 ) i+
y su ley horaria
2 ( 2 t+1 ) j . Determinar la 3
[ s=s(t)]
y representarlas.
SOLUCION: La ecuación analítica de su trayectoria
[ escritaenformaimplicitay =f (x )]
la
obtenemos:
x=2 t+1 2
2x3 y= 3
y=
2 (2 t +1 ) 3
2 3
La obtención de su ley horaria:
v=
dr ds =´r =2 i+ 2 √ 2 t +1 j è v =´s = =2 √ 2 √ t +1 dt dt
pág. 169
è
( t+1 ) 2 (¿ ¿ −1 ) 3 t
s ( t )=∫ 2 √ 2 √t +1 dt= 0
4 √2 ¿ 3
Un movimiento rectilíneo es tal que su velocidad viene dada en función del desplazamiento por la ecuación
v =3 x +1 . Hallar sus ecuaciones horarias
sabiendo que para t=0 el movimiento se encuentra en el origen. SOLUCION:
dx =¿ dt dx 3 x +1 ∫ v =3 x +1= è dt è ∫¿
è
1 1 C= ln 1=0 è ln ( 3 x+1 ) =t è 3 3
|
|
1 ( ln 3 x+ 1 )=t+ C 3 t=0 x=0
√3 3 x +1=et
e (¿¿ 3 t −1) dx 3 t dv v = =e a= =3 e3 t è è è dt dt 3 x=¿
La velocidad angular de una particula, que se mueve partiendo del reposo en trayectoria circular de r=1 m, viene expresada en el SI :
ω=π t
2
.
Calcular: El angulo girado, la velcidad angular y la aceleración angular, 1s después de iniciado el movimiento. Tomando como sistema de referencia OXYZ, siendo O el centro de la circunferencia,
P0
el punto de partida sobre el eje OX , y el eje OZ
pág. 170
perpendicular a la circunferencia trayectoria; determinar el vector velocidad (v) y el vector aceleracion (a) , en el instante indicado en 1. SOLUCION: t
ω ( t )=φ=π ´ t 2=
dφ dt è
dφ=¿∫ π t 2 dt 0
è
φ
∫¿
[
π φ ( t )= t 3 3 ´ a ( t )= ω=2 πt
0
Para t=1s è
φ=
π 3
ω=π
rad
rad s
a=2 π
rad 2 s
v =ω ×r y
Siendo
r=rcos
a=a ×r + ω ×(ω ×r ) , y como para t=1s :
( π3 )i+rsen ( π3 ) j= 12 i+ √23 jm; ω=πk rads ; a=2 πk rads 2
| | | ||
i 0 v =ω ×r = 1 2
j 0 √3 2
k π 0
π = (−√ 3 i+ j ) m/ s 2
i 0 a=a ×r + ω × ( ω × r )= 1 2
a=−π
j 0 √3 2
k 2π 0
+
π 2
|
i j k 2 π 0 0 π =π (−√3 i+ j ) + (−i−√ 3 j) 2 −√ 3 1 0
( √3+ π2 ) i+ π ( 1− π 2√ 3 ) jm / s
Una partícula realiza un M.C.V.V. a partir del reposo (V = 0) con aceleración angular constante de 0.25 rad/s2. Si se sabe que el radio de la trayectoria es
pág. 171
de 2 metros y el cambio de la velocidad en módulo es igual, al cambio de velocidad de dirección y sentido en un instante determinado. ¿Determinar el tiempo en movimiento de la partícula hasta ese instante? SOLUCIÓN Habiendo anotado que la aceleración centrípeta se produce como un cambio de la dirección de la velocidad lineal en la unidad de tiempo y que la aceleración tangencial se produce como en cambio de la magnitud de la velocidad tangencial en la unidad de tiempo para nuestro problema como la aceleración centrípeta, es igual a la aceleración lineal en módulo.
ac -
y at = .R
Igualando : V2 = R2 De donde: V2 = (0.25)(4) V = m/s (1) Cálculo de la aceleración lineal o tangencial: at = R
at = (0.25)(2)
at = 0.5 m2/s(2) Cálculo del intervalo de tiempo: Vf = Vp + att 1 = 0 + (0.5).t Luego: t = 2 seg. Desde lo alto de un plano inclinado 60º sobre la horizontal desliza un cuerpo con una aceleración constante de 6.66 m/s2. ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento?¿Qué fuerza paralela al plano habría que aplicar al cuerpo para cayese con velocidad constante? La masa del cuerpo es de 10 kg. N
Fr
Px P
Py
pág. 172
60º
Sumatoria F = ma Px – Fr = ma Px = Psenx = mg .senx
mg . senx – y .mg .cosx = ma
Py = Pcosx = mg .cosx
10sen60º – y . 10cos60º = 6.66 8.66 – 5y = 6.66 8.66 – 6.66 = 5 y 2 = 5 y . 2/5 = 0.4
Coeficiente de rozamiento
V = cte.
a =0
F = ma Px – Fr – F = ma
N = Py
Mg .senx - mg .cosx – F = 0 10 . 10sen60º - 0.4 .10 . 10cos60º = F F = 66.6N Vale positivo pero no va en contra del movimiento Habría que hacer 66.6N para que fuera V = Cte.
3.4.- BIBLIOGRAFIA: MARCELO ALONSO, EDWARD J. FINN (1976). Física.
pág. 173
ROBERT RESNICK, DAVID HALLIDAY (2004) (en Español). Física
CAPITULO IV DINAMICA DE PARTICULA pág. 174
1.1.MOTIVACION
La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación. El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se describen los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, y se reserva para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no mecánicos. En otros ámbitos científicos, como la economía o la biología, también es común hablar de dinámica en un sentido similar al de la física, para referirse a las características de la evolución a lo largo del tiempo del estado de un determinado sistema. La primera contribución importante se debe a Aristóteles. Aristóteles define, el movimiento, lo dinámico (τοδυνατόν), como: "La realización acto, de una capacidad o posibilidad de ser potencia, en tanto que se está actualizando". El problema está en que Aristóteles invierte el estudio de la cinemática y dinámica, estudiando primero las causas del movimiento y después el movimiento de los cuerpos. Este error dificultó
pág. 175
el avance en el conocimiento del fenómeno del movimiento hasta, en primera instancia, San Alberto Magno, que fue quien advirtió este error, y en última instancia hasta Galileo Galilei e Isaac Newton. De hecho, Thomas
Bradwardine,
en
1328,
presentó
en
su
De
proportionibusvelocitatum in motibus una ley matemática que enlazaba la velocidad con la proporción entre motivos a fuerzas de resistencia; su trabajo influyó la dinámica medieval durante dos siglos, pero, por lo que se ha llamado un accidente matemático en la definición de «acrecentar», su trabajo se descartó y no se le ha dio reconocimiento histórico en su día. 1.2. SABERES PREVIOS
¿qué entiendes por dinámica? …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ¿alguna vez haz sentido al iniciar un viaje? …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
¿una fuerza que te lleva hacia atrás? ¿tienes idea por qué? …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
¿Que entiendes por acción y reacción? mencione ejemplos …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
¿tienes un conocimiento previo de las leyes de newton? …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
pág. 176
pág. 177
DINAM
1.3 MAPA CONCEPTUAL
Est
Los efectos de las fuer
med PRIMERA LEY DE NEWTON (Ley de inercia) que asocia
SEGUNDA
diante
Que re
Fuerzas con variaciones de velocidadFuerza resultante aplica
Condiciones de reposo
Terminos matem
Velocidad constante, V=0 Suma de fuerzas =0
F
Si una persona golpea ejem
ejemplo
La fuerza ejercita por el motor de un coche provoca una aceleración en la misma direcc Una pelota es capaz de mantenerse en reposo hasta que el momento que una persona la patea y provoca
pág. 178
1.3.REFORZAMIENTO Y EJERCITACIÓN
1.
Un cuerpo de masa m = 10 kg, se mueve a lo largo de la línea recta por el plano horizontal bajo la acción de la fuerza horizontal P. La ecuación de movimiento del cuerpo es dada por S = 4t + 2t2 (donde S está en metros y t en segundos). Determinar el módulo de la fuerza P en Newtons y kilogramos.
SOLUCIÓN:
En el movimiento rectilíneo de traslación de un cuerpo – su aceleración es:
a=
Conforme a la ecuación fundamental de la dinámica: P = ma = 10 x 4 = 40 kg m/s2 = 40 N P = 40 x 0,102 kg - f = 4.08 kg-f
2.
Una particular de masa m1 es jalado hacia arriba por un plano inclinado sin rozamiento de longitud “c” y altura “h” por una cuerda que pasa por la parte más alta del plano y soporta en el otro extremo una masa m2 como se muestra en la figura. Si m1 parte del reposo de la parte más baja del plano y m2 es separado después que m1 se ha movido una distancia x, probar que m1 llegará justamente a la parte superior del plano si:
pág. 179
X=
SOLUCION:
W1 = peso de m1 W2 = peso de m2
Sen =
En m1 se tiene: T – W1Sen = m1a (1)
En m2 se tiene:
W2 – T = m2 a (2) Sumando (1) y (2)
pág. 180
W2 – W1sen = m1a
a=
Con esta aceleración recorre una distancia x desde el reposo luego: V2 = 2 ax
Con esta aceleración recorrerá la distancia (c-x) entonces como: V2f = V20- - 2a1( c – x) Además Vf = 0
y V20 = V2 = 2ax
Reemplazando se tiene: V20 = 2a1 (c-x) 2ax = 2a1( c – x) ax = ca1 – a1x x1 (a + a1 ) =a1c
x=
Reemplazando los valores de a y a1 en en 40
x=
pág. 181
x=
=
=
=
=
Luego:
X=
Cuando recorre la distancia x la tensión de la cuerda será igual a cero, luego tenemos: W1Sen 1 = m1a1
W1
= m1a1
pág. 182
= m1a1 gh = a1
= Luego:
x=
3.
ABC es un triángulo en el cual
= 7 cm,
BC = 3 cm CA = 5 cm. ¿Hallar analíticamente la resultante de las fuerzas que actúa en los siguientes puntos: 3 grf es la dirección
, 9 gr-f en dirección
y 9 gr-f en la dirección
.
DATOS: = 7 cm = 3 cm = 3 cm Las fuerzas: = 3 gr-f = 9 gr-f
pág. 183
= 9 gr-f De la figura (1) (7)2 – (3 + x)2 = h2 (1) (7)2 – (3)2 – 2 (x)(3) - x2 = h2 También: (5)2 – x2 = h (2) Luego: (1) = (2)
(7)2 – (3 + x)2 = (5)2 – x2
De donde:
x=
yh=
Luego:
Cos =
Sen =
Cos B =
Sen B =
De la figura (2) las fuerzas en x y en y son: Rx = 3 + 9 CosCos – 9 Cos
Rx = 3 + 9
Rx =
gr-f
pág. 184
Ry = 9 Sen – 9 Sen B
Ry =
Ry = -9
La resultante será: R = Rx2 + Ry2 R = 6 gr-f 4.
Se proyecta una partícula hacia abajo del plano inclinado de la figura, con una velocidad inicial de 2 m/s si no existe fricción determinar: a) La aceleración b) El tiempo que emplea desde que se suelta hasta que llegue al fondo. c) La velocidad en el fondo.
SOLUCIÓN:
a) S
Sen La partícula se mueve con la aceleración:
a = gSen = 9.2 x b) Con 1 = 15 m
= 7.8 m/s2 a = 7.8 m/s2
pág. 185
y V0 = 2.0 m/s
En: 1 = Vot +
at2
3.9 t2 + 2t – 15 = 0
t1 = 1.7 s
t2 = -2,3s
tenemos t1 = 1.7 s c) V = V0 at = 2 + 7.8 x 1.7 = 15.3 m/s V = 15.3 m/s 5.
Dos partículas de masas m y 2 m unidas en los extremos de una cuerda rígido inextensible que pasa por una polea sin fricción situada en la parte más alta de un plano inclinado 30° con la horizontal sin fricción, la partícula de masa “2m” está en contacto con el plano y la partícula de masa “m”, está suspendida libremente. ¿Hallar el tiempo tomado por la masa “2m” para crear por el 20 pies, si su velocidad inicial es 8 pies / seg. Hacia abajo.
SOLUCIÓN: Para la
masa “2m” se tiene
2mgSen 30° - T, 2ma (1) Para la masa “m” T-mg = ma (2)
pág. 186
Sumado (1) y (2) 2mg Sen 30° - mg = 3 ma
a= a=0 Luego se dirá que las masas se mueven uniformemente. Luego: Con: x = 20 pies
V0 = 8 pies /s
t= t = 2.5 s
6.
Una masa m1 está conectada por una cuerda de peso – despreciable inextensible sobre un pelea fija sin rozamiento, a una polea móvil de masa m2 y en fricción, sobre el cual pasa una segunda cuerda atada a las masas m3 y m4, en sus extremos. ¿Hallar la ecuación que determina la aceleración de las masas cuando el sistema es libre y la tensión en la cuerda?
SOLUCIÓN:
Ecuación para cuerpo es libertad.
pág. 187
T – m1g = m1a (1)
2T1 + m2g – T = m2a(2)
m3g- T1 = m3(a-a1)
m4g-T1 = a4( a + a1)
Estas cuatro ecuaciones determinadas las cantidades reconocidas a1, a, T, T1.
1.4.OBJETIVOS Y APRENDIZAJE Al término de éste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de cinemática y dinámica en la resolución de problemas prácticos que involucren movimientos tanto en el Plano Como en el espacio. Dada una partícula cuyas características (masa, carga, momento dipolar magnético, etc.) conocemos. Se le coloca, con una velocidad inicial dada, en un medio ambiente del que tenemos una descripción completa.
pág. 188
Problema: ¿cómo es el movimiento subsecuente de la partícula? Permitir al coordinador conocer información sobre los integrantes del grupo que considere necesario. Que los miembros conozcan de cada uno aspectos a lo mejor desconocidos
1.5.GLOSARIO
Trayectoria. Representación
gráfica
del
comportamiento
de
una
variable.
Normalmente en abscisas se representa el tiempo, y en
Sistema. Entidad formada por un conjunto de elementos en interacción
Sistema dinámico. Objeto matemático formado por un espació de estados y una regla que prescribe la evolución en él. Los modelos matemáticos que se construyen mediante dinámica de siete-más son sistemas dinámicos
Equilibrio. Estado de un sistema en el cual ninguna de sus variables cambia a lo largo del tiempo
Sistema dinámico.
pág. 189
Objeto matemático formado por un es-pació de estados y una regla que prescribe la evolución en él. Los modelos matemáticos que se construyen mediante dinámica de siete-más son sistemas dinámicos.
EXAMEN DE ENTRADA
NOMBRE ______________________________________________ 1.
Nombra las interacciones fundamentales y resume sus características: entre qué cuerpos se produce, alcance, tipo de fenómenos que explica (ámbito de aplicación)
2.
Explica algún ejemplo de cada una de las leyes de Newto
3.
deja caer una piedra de 2 kg de masa desde un puente, y llega al suelo al cabo de 5 segundos. a. Se¿Qué altura tiene el puente? b. Si se hubiera lanzado con una velocidad inicial de 6 m/s, ¿qué tiempo tardaría en llegar al suelo?
4.
La gravedad en la superficie de La Luna es g = 1,6 m/s 2 y en la superficie de Marte es de g = 3,7 m/s2. Calcular la mesa equivalente de una persona de 60 kg en ambos lugares
2. 2.1.INFORMACION TEÓRICA
A. Primera Ley de Newton (Ley de Inercia) “Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza exterior modifique a menos que una fuerza dicho estado. Matemática se expresa así: a=0 Dicha ley nos proporciona tres ideas fundamentales.
pág. 190
a) Toda fuerza es causa del movimiento o en presencia es necesaria para alterar el estado de reposo o de movimiento. b) El estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme son enteramente equivalente. c) Dá la definición de un sistema de referencia inercial como aquel sistema de referencia desde el cual no existiendo ninguna fuerza externa que actúa sobre el cuerpo, se observaría la velocidad de este exactamente constante. No todo el sistema de referencia es inercial, es obvio que solamente lo son todos aquellos que cumplen exactamente con la primera ley de Newton. Ahora si un sistema de referencia se mueve con velocidad constante respecto a un sistema de referencia inercial, aquel también es inercial. Para efectos prácticos se considera tanto la tierra como el sol de un sistema fijo a este como un sistema inercial, considerando depreciables los efectos de rotación y la interacción mutuas. Conceptos de Fuerza y masa La experiencia nos dice que los cuerpos cambian su velocidad solamente por interacción con otros cuerpos describiremos esta interacción diciendo que los cuerpos ejercen fuerzas mutas entre sí o que la interacción se mide por una cantidad física, llamada fuerza que fue lo que nos habíamos adelantado ha decir en estática. La idea que tenemos sobre fuerza es la sensación de esfuerzo muscular que hace para deformar cualquier objeto elástico, un resorte por ejemplo o para acelerar un objeto. En la realidad que nos rodea tropezamos con diferentes fuerzas: fuerza de gravedad, fuerza de atracción, y fuera de repulsión de los cuerpos electrizados e imantados, fuerza de rozamiento, fuerza de presión de su cuerpo sobre otro. El problema de que porqué surgen unas u otras fuerzas, es el objeto de estudio de diferentes razas de la física. De nuestros conocimientos previos y de la experiencia podemos apresurarnos a decir que una misma fuerza proporciona a diferentes grupos (aunque ellos sean iguales en forma y disminuciones (pero diferentes en su sustancias), aceleraciones diferentes. Luego los módulos de aceleraciones adquiridas por diferentes cuerpos dependen, por lo tanto no sólo de los módulos de las fuerzas que actúan sobre ellos sino también de ciertas
pág. 191
propiedades de los propios cuerpos. Esta propiedad de los cuerpos se caracteriza con una magnitud física especial, llamada masa. Según la definición de Newton se llama masa de un cuerpo, la cantidad de la sustancia que contiene este cuerpo, con lo visto anteriormente, pasamos a estudiar la segunda Ley de Newton. B. Segunda Ley de Newton, Ley Fundamental de la Mecánica Newton expresó la ley como sigue: “La variación del movimiento es proporcional a la fuerza matriz aplicada y tiene lugar en la dirección de la recta, sobre la cual se aplica dicha fuerza”. En la terminología de Newton movimiento significa CANTIDAD DE MOVIMIENTO, que actualmente se define por el producto de la masa y de la velocidad de la partícula: P = mv La variación de la cantidad de movimiento con el tiempo en su derivada con respecto al tiempo: por tanto – la segunda ley de Newton se expresa: También aquí debemos notar que la segunda ley de Newton contiene tres ideas fundamentales: a) En todos los casos la dirección de la aceleración es la misma que la fuerza. b) Para su cuerpo dado, la razón del módulo de la fuerza al de la aceleración es siempre la misma, osea es constante. f/a = constante (para su cuerpo dado) En realidad la experiencia nos demuestra que
si duplicamos la fuerza
aplicada sobre un cuerpo su aceleración también se duplica verificando que: Esta razón constante entre la fuerza y la aceleración puede considerarse una propiedad del cuerpo denominado su masa (m) de donde: m= Dicho resultado tiene un profundo significado pues observamos que en esta definición de masa no se le tiene en cuenta en absoluto la constitución del material o estructura del cuerpo. c) El término de “fuerza motriz” que empleó Newton para enunciar su segunda ley, se refiere a una fuerza resultante o fuerza no equilibrada que al actuar, sobre un cuerpo, le comunica una aceleración.
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En general el cuerpo está sometido a la unión simultánea de un número cualquiera de fuerzas, cuya resultante diferente de cero es la causa de la aceleración. Matemáticamente esto se expresa así:
O equivalentemente en componentes rectangulares:
,
,
,
C. Tercera ley de Newton: Acción y reacción Se enuncia así: “Para cada acción hay una reacción de igual módulo, pero de sentido opuesto. Por ejemplo: Si el cuerpo A, ejercer una fuerza FAB (reacción), sobre el cuerpo B, simultáneamente se ejerce FBA (reacción) de B sobre A, de manera que ambas fuerzas están en la misma dirección y cumplen la relación: Debiendo tener presente que estas fuerzas se aplican sobre diferentes y por ellos no se anulan. Habiendo en estática dado un adelanto sobre las unidades de fuerzas nos permitimos presentar el siguiente cuadro que será de gran ayuda. SISTEMAMASA ACELERACIÓN FUERZA SI o MKS kg. m/s2 N = kg.m/s2 CGS g. cm/s2 din = cm/s2 Técnico UTM m/s kgf = UTM m/s2 Técnico Inglés Slug pie/s2 1lbf =Slug.pie/s2 Equivalencias: Newton (N) = 105 días Kilogramo fuerzas kgf = 9.8 N = 2.20 s lbf Libra fuerza lbf = 4.448 N = 0.4536 kgf Unidad técnica de masa = UTM = 9.8 kg Libra masa Lbn = 0.4536 kg Slug Slug = 14.56 kg 1 pie = 12 pulg. = 0.3048 m 1 pulgada = 2.54 cm 4.5. Masa y peso
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La fuerza más común en nuestra experiencia diaria es la fuerza de la gravedad o atracción que ejercer la tierra sobre todos los cuerpos que están sobre ella. Esta fuerza se llama pus del cuerpo. Cuando un cuerpo es abandonado y se deja caer libremente la única fuerza que actúa sobre él libremente en su peso W y su aceleración es la de cualquier cuerpo que cae libremente, es decir la aceleración de la gravedad cuyo valor promedio es: g = 9.8 m/s2 = 980 cm/s2 g = 32 pies /s2 De acuerdo con la segunda ley de Newton, la expresión de la fuerza pero es: o esclaramente: W = mg Donde: m, es la masa del cuerpo Para el movimiento curvilíneo plano de una partícula, en el que se utiliza los componentes tangencial y normal, las componentes de la ecuación (4.4), pueden escribirse así: Ft = mat Fn = man (4.7) Donde: at = an = luego: Ft = m Fn = m (4.8) Las componentes radial y transversal se escriben en: Fr = (m - rQ2) FQ = m(r + 2 ) (4.9)
2.2 ACTIVIDADES 2.2.1PRUEBAS OBJETIVAS Para los cajones de la figura, sustentados por el piso, en equilibrio, dibujar todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos. ¿Cuáles son los pares de interacción? Un balde con mezcla cuelga del cable de una grúa. Analizar las interacciones presentes y hacer el diagrama de cuerpo libre del balde en cada caso. Comparar las intensidades de las fuerzas entre un caso y otro. Si la masa del balde es 40 kg, determinar la fuerza que ejerce el cable, cuando el balde:
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a- Permanece en reposo. b- Sube con velocidad constante de 2 m/s. c- Sube, aumentando su velocidad a razón de 2 m/s cada segundo. d- Sube, disminuyendo su velocidad a razón de 2 m/s en cada segundo. Un pasajero que viaja en ascensor está parado sobre una balanza que marca un peso menor en un 40% al que indicaría si el ascensor estuviese detenido. Entonces, es posible que en ese momento el ascensor esté: a) subiendo cada vez más rápido b) subiendo cada vez más despacio c) subiendo con velocidad constante d) bajando cada vez más despacio e) bajando con velocidad constante f) bajando en caída libre Un hombre empuja un carrito cargado, de modo que la fuerza resultante sobre el mismo es de 60 kgf. Como consecuencia, adquiere una aceleración de 1,5 m/s2. Hallar la masa del carrito con carga. Si se quita carga de modo que la masa se reduce a la tercera parte, y suponemos que la fuerza resultante que actúa es la misma, hallar la nueva aceleración del carrito. Un farol de 3,6 kg permanece en reposo, colgado como se indica en la figura. Determinar la fuerza que ejerce cada cuerda. 2.2.2 PEQUEÑAS INVESTIGACIONES
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Las Leyes de Newton, atribuidas a Isaac Newton (1643-1727), tienen, en realidad, demasiados autores. Pero fue Newton quien se las puso al hombro (y al bolsillo), las explotó y las utilizó en su conjunto, edificando con ellas una Teoría Mecánica (conocida actualmente como Mecánica Clásica) que goza de excelente salud y que seguimos utilizando con todo éxito.
Además de su probada utilidad y eficacia constituye un ejemplo arquetípico de teoría (epistemológicamente hablando), destacada por su belleza intrínseca, ya que con muy pocas premisas (o principios) algebraicamente sencillas, logra una explicación muy acabada del universo.
Son en total cuatro leyes. Se llaman también principios porque no se pueden probar a partir de leyes anteriores o más básicas, pero que el universo cumple a rajatabla, aunque no sepamos por qué. Voy a presentar los tres primeros aquí, y el cuarto, gravitación universal, aparte.
Primera Ley de la Dinámica, o Ley de la inercia, o Principio de Galileo.
Ya te imaginaste quién fue el que lo cocinó unas décadas antes que Newton. Hay decenas de redacciones alternativas. Acá va la mía.
Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o actúan varias pero que se compensan entre sí, entonces el cuerpo permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. Y viceversa.
Abajo hay un chisme requeteimportante sobre este Principio.
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Segunda Ley de la Dinámica, o Ley de la masa, o Principio de Newton.
Se llama de la masa, porque en él juega un papel importantísimo esa propiedad de la materia llamada masa, que nadie sabe qué es (abajo hay un chisme sobre la masa, que aclara y que oscurece), pero no hace falta, tenemos una idea aproximada.
La sumatoria de todas las fuerzas que recibe un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración.
La Segunda Ley es una ecuación vectorial: dice que la sumatoria de todas las fuerzas que recibe un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración, y que la dirección y el sentido de la resultante (la suma de todas las fuerzas) es igual a la dirección y el sentido de la aceleración (la masa es un escalar). En muchos textos, sin embargo (y también en este sitio) aparece esa misma expresión pero escrita sin la notación vectorial, así: ΣF = m a. Es perdonable, no trae graves consecuencias.
Lo que no es perdonable es que en muchos textos te presenten la Ley así:
F = m a (MAL, PESIMO, EXECRABLE, CENSURABLE, IMPERDONABLE)
Esa expresión tiene validez únicamente en aquellos casos en los que hay una única fuerza actuando sobre un cuerpo. No puede ser presentado como una ley (de validez eterna y universal). Además lleva a una confusión muy negativa:
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hace creer que se trata de una propiedad de las fuerzas (como si cada fuerza tuviese una aceleración), cuando se trata de una propiedad de los cuerpos. A cada cuerpo se aplica la Ley, no a cada fuerza.
Podría, en todo caso, representarla así: R = m a, aclarando que R significa Resultante y no es otra cosa que la sumatoria de todas las fuerzas que están actuando sobre un cuerpo. R = ΣF. Si en un examen de Física te olvidás de establecer claramente el sistema de referencia, el docente que te corrija te lo va a cobrar en dólares y con intereses.
Tercera Ley de la Dinámica, o Principio de Acción y Reacción.
Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el otro aplica una fuerza sobre el primero de igual módulo, igual dirección y sentido opuesto a la que el primero ejerce sobre él. De los tres principios es el más revelador de la naturaleza de las fuerzas. En realidad deberíamos hablar de interacciones. Siempre entre dos cuerpos: se atraen, o se repelen, o se empujan, o se tocan, o se chocan, o lo que sea... pero siempre entre dos cuerpos. Entonces aparecen dos fuerzas (el par de fuerzas de la interacción), una sobre cada cuerpo de los que están interactuando.
2.2.3 PROBLEMAS ABIERTOS 1. Sobre una mesa horizontal sin rozamiento y por la acción de una fuerza que forma un 6ngulo de 450 con la horizontal, se desliza un sistema de dos mesas de 6 y 2 kg enlazadas por una cuerda. Sabiendo que la aceleraci6n del conjunto es 2,5 mS-2, averigua el valor de . La tensi6n de la cuerda, de-
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pende del cuerpo al que se aplica la fuerza?. 2. Una caja de madera de 28 kg de masa descansa sobre una mesa horizontal. AI aplicar una fuerza de 48 N, la caja permanece inm6vil y al aplicar una fuerza de 62 N, adquiere una aceleraci6n de 0,5 mS-2. Cuánto vale la fuerza de rozamiento en cada caso?. 3. Se empuja un bloque de masa m = 3 kg contra una pared vertical mediante una fuerza horizontal F = 50 N. Si el coeficiente de rozamiento estático mimo es m = 0,6, averigua si el bloque desliza hacia abajo. 3. SALIDA 3.1 PRUEBA INTERMEDIA. 1. Un globo con todos sus accesorios pesa 180 kg y desciende con Una aceleración de lastre que tiene que soltar para ascender con la misma aceleraci0n. 2. Calcula el peso de un objeto de 25 kg dentro de un ascensor que: a) Sube aumentando segundo.
su
velocidad
en
1,5 ms-1
cada
b) Sube disminuyendo su velocidad en 1,5 ms-1 cada segundo. c) Baja a velocidad constante. 3. Un muchacho se encuentra en la cabina de un ascensor que sube acelerando y pretende medir su aceleraci6n. Para ello suspende un cuerpo de 0,6 kg del extremo de un dinam6metro y observa que este indica 6,9 N. ¿CuaI es la aceleraci6n del ascensor?Si el ascensor frenase con la misma aceleraci6n, cu6l sería la indicaci6n del dinam6metro? 3.2 PRUEBA DE AUTOEVALUACION 1.Se lanza un cuerpo de 350 g con velocidad inicial de 5 ms-1 sobre un piano horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el piano es m = 0,15, calcula el espacio recorrido antes de detenerse. 2.Un cuerpo de 8 kg se mueve a velocidad constante sobre un piano horizontal por la acci6n de Una fuerza de 32 N. Se incline el piano un 6ngulo de 370 y se elimina la fuerza.Con qu6 aceleraci6n baja? ¿Qué fuerza paralela al piano hay que aplicar para que baje a velocidad constante? 3.Para encontrar el coeficiente de rozamiento cinético entre un taco de
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plástico y Una superficie de madera, se coloca el taco sobre la superficie y se incline esta conseguir que descienda a velocidad constante. El ángulo con la horizontal en estas circunstancias es de 23,4o. Halle el coeficiente de rozamiento cinético. 3.3 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES.} 3.3 1 PROBLEMAS ABIERTOS. 1. Aplicando el Segundo principio a cada cuerpo por separado:
Sustituyendo en la expresión de la componente de la fuerza se tiene:
El valor de la tensi6n depende del cuerpo aI que se aplique la fuerza, ya que si F se aplica a ml, T = m2a; y si se aplica a m2, T = m1a. 2.Cuando no se mueve, F - fr = 0 =>fr= 48 N. Despejando del caso en el que se desplaza con aceleracion: F - fr = ma; =>fr = F - ma = 62 - 28x0,5 = 48 N
3.En este caso la normal este en la direcci6n horizontal y el movimiento se produce en dirección vertical. N=F P=mg =
3x9,8
=
29,4 N Como 30 > 29,4, no desliza.
3.3
2.PRUEBA INTERMEDIA.
1. Se calcula en primer lugar la fuerza que tira del globo hacia arriba. F - P = -ma; F = m(g - a) = 18O(9,8 - O,2) = 1728 N; Par que ascienda se plantea la ecuaci6n con la aceleración positiva. Tiene que soltar 7,2 kg.
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2. En los tres casos, sobre el cuerpo únicamente actúan la atracción gravitatoria y la reacción normal que sería lalectura de una báscula colocada en el ascensor.
a) N - P = ma; N = m(g + a) = 25(9,8 + 1,5) = 282,5 N b) P - N = ma; N = m(g - a) = 25(9,8 - 1,5) = 207,5 N c) a = O; P = N = mg = 25 9,8 = 245 N 3. Las dos fuerzas que actúan en todo momento sobre el cuerpo son la atracción gravitatoria y la recuperadora del muelle.
F - mg = ma; F - mg = -ma; 3.3.3 PROBLEMAS ABIERTOS. 1. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la de rozamiento. A partir de su valor se calcula la aceleración. fk = ma;
μ mg = ma => a = 0,15x 9,8 = 1,47 m/ s -2
Sustituyendo en las ecuaciones del movimiento setiene: V2 = V2 - 2a(x - xo); 0= 52–2x1,47(x - xo);
2.
a) Si bajo la acci6n de Una fuerza el cuerpo se mueve con v = cte es porque hay un rozamiento con la superficie del mismo valor que la fuerza. Se calcula el coeficiente de rozamiento para poder aplicarlo despu6s en el plano inclinado.
F = μkm g; μk= La fuerza favorable al movimiento del cuerpo es la componente horizontal del peso.
b) La fuerza buscada al sumarla a la de rozamiento debe ser igual que la componente Px.
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3. Este es el método que se utiliza habitualmente en los laboratorios escolares para determina el coeficiente de rozamiento de diferentes superficies.
3.4 BIBLIOGRAFÍA Abbott, M.M., Vanness, H.C., (1991): Termodinámica. México: McGrawHill. Alonso, M., Finn, E.J., (1976): Física. vol. 1. México: FEI. Gillespie, D.T., (1976): Introducción a la Mecánica Cuántica. Barcelona: Reverté. Kittel, Ch., Walter, D.K., Malvin, A.R., (1968): Mecánica. Berkeley PhysicsCourse, vol. 1. Barcelona: Reverté. Marion, Jerry B. (1996) (en español). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
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Resnick,Robert&Krane, Kenneth S. (2001) (en inglés). Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN0-471-32057-9.
CAPITULO V TRABAJO Y pág. 203
ENERGIA
1.1. MOTIVACION Muchas veces suele llamarse trabajo a ciertas actividades que, desde el punto de vista de la física, no pueden ser clasificadas como tal. Para muchos es natural que se utilicen ciertas palabras propias de un lenguaje coloquial para señalar situaciones cotidianas, pero que en la física tienen un significado distinto. Por ejemplo, cuando una persona no tiene el suficiente dinero como para comer completo, se dice que está pasando "trabajo". Esta situación puede ser difícil de sobrellevar, pero, desde el punto de vista de la física, no representa ningún trabajo. Otro ejemplo, en el que se dice que hay trabajo, ocurre cuando un chofer de taxi dice que está trabajando. Puede ser que el taxista esté ganando dinero, pero desde el punto de vista de la física no está realizando trabajo.
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Para que exista trabajo, desde el punto de vista de la física, es necesario tomar en cuenta dos factores. La fuerza que se aplica sobre el cuerpo que se considera, y la distancia recorrida por efecto de la fuerza que se aplica. Sin embargo, también debe considerarse un detalle, el desplazamiento que se produce debe tener la misma dirección de la fuerza aplicada. Por otra parte, es posible definir la energía, de una manera sencilla, como la capacidad para realizar un trabajo. Existen muchas formas de energía, como la energía química, la energía solar, la energía nuclear, etc. A continuación, vamos a tratar principalmente acerca de la energía cinética, la cual conceptualizaremos como la energía que acumulan los cuerpos debido a la velocidad que tienen en un momento dado, y también trataremos acerca de la energía potencial, la cual definiremos como la energía que posee un cuerpo debido a su posición. Por último, haremos uso práctico de ciertas ecuaciones que permiten calcular cuantitativamente el valor de la energía potencial y de la energía cinética. También, utilizaremos ciertas ecuaciones que nos permitirán observar como la energía cinética se convierte en energía potencial, y viceversa, para ciertos fenómenos que estudiaremos.
1.2. SABERES PREVIOS 1. ¿Qué es el trabajo? ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2. ¿Se realiza trabajo al caminar? ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3. ¿Qué es energía? ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
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4. ¿Es posible que un cuerpo tenga una energía mecánica negativa? ¿Por qué? ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
5. ¿Son conservativas las fuerzas de rozamiento, las fuerzas centrales y las fuerzas constantes? ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
6. La potencia, ¿es una magnitud escalar? ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………..
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1.3. MAPAS CONCEPTUALES
pág. 207
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1.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION
Antonio arrastra su trineo de 80 kg de masa por un plano horizontal en el que el coeficienteDe rozamiento es 0,1. Para ello tira de él mediante una
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cuerda que forma un ángulo de 30°Con la horizontal. Si la fuerza que aplica es de 100 N, ¿qué trabajo ha realizado despuésde recorrer 100 m?
Un coche circula a la velocidad de 90 km/h durante un tramo recto de 800 m. Calcula la potencia desarrollada por el motor del coche si la masa del coche es de 1000 kg y el coeficiente de rozamiento entre el suelo y las ruedas es μ = 0,2.
Leire ha lanzado una piedra de 100 g con una velocidad inicial de 3 m/s para que deslicepor un plano horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre la piedra y el plano es 0,2,calcula la distancia recorrida por la piedra. a) Aplicando la segunda ley de Newton. b) Mediante razonamientos energéticos.
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Tres amigos suben en la montaña rusa y ascienden hasta la primera cima,situada a 20 m de altura. Con una velocidad de 1 m/s inician la caída por la primera rampa.Suponiendo que no hay pérdidas de energía por rozamiento, calcula la velocidadcon la que llegarán a un punto situado a 15 m de altura.
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1.5. OBJETIVOS Y APRENDIZAJE Definir y estudiar las fórmulas de trabajo, energía y potencia y aplicar los conceptos para ayudarnos a resolver problemas definiendo y demostrando por medio de ejemplos el conocimiento de las unidades, analizar y aplicar los conocimientos sobre la relación entre la realización de un trabajo y el cambio de energía cinética y el principio de la energía mecánica además determinar la relación del tiempo, fuerza, distancia y velocidad con la potencia
Relacionar trabajo y energía. Conocer los tipos de energías que existen. Explicar en qué consiste la energía mecánica y reconocer los aspectos
en que se presenta. Conocer algunas transformaciones de energía que se producen a tu
alrededor. Explicar la conservación de la energía en los sistemas físicos. Conocer las distintas fuentes de energía. Comprender el significado de la degradación de la energía Determinar experimentalmente la gráfica del comportamiento de la
fuerza de un resorte en función de su deformación. Obtener experimentalmente el valor numérico del coeficiente de fricción
dinámico entre dos superficies secas mediante la aplicación del método del trabajo y
energía. Obtener las pérdidas de energía mecánica que se producen por el efecto
de la fuerza de fricción. Calcular la rapidez instantánea de un cuerpo durante su movimiento en una determinada posición de su trayectoria.
1.6. GLOSARIO
Trabajo:
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La palabra trabajo tiene diferentes significados en el lenguaje cotidiano, en física se le da un significado específico como el resultado de la acción que ejerce una fuerza para que un objeto se mueva en cierta distancia. También se puede decir que el trabajo es el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y el desplazamiento de este cuerpo en dirección de la fuerza aplicada. Mientras se realiza un trabajo sobre el cuerpo, se produce una transformación de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es “energía en movimiento”. Las unidades de trabajo son las mismas que las de energía. Un ejemplo cotidiano de trabajo sería el levantar una caja desde el piso al borde de una mesa: se realiza una fuerza para vencer el peso de la caja y elevarla a una cierta altura para colocarla sobre la mesa. Dentro del trabajo nos encontramos es trabajo realizado por una fuerza variable ó el trabajo realizado por una fuerza constante. Nos referimos a una fuerza constante como aquella que no varía y el trabajo realizado por esta sería definida como el producto de una fuerza paralela al desplazamiento y la magnitud de este desplazamiento. Una forma de decirlo científicamente ó en formula sería:
T =Fd∗cosθ
Donde F es la fuerza aplicada que será constante, y “d”el desplazamiento de la partícula y θ
el ángulo entre las direcciones de la fuerza y el
desplazamiento. F = 30 Nw. En el caso de una fuerza variable el trabajo se puede calcular gráficamente, el procedimiento es parecido al calculo del desplazamiento cuando conocemos la velocidad en función del tiempo T. Para calcular el trabajo efectuado por una fuerza variable graficamos
Fcosθ , que es la componente de la fuerza
paralela al desplazamiento horizontal de la partícula en cualquier punto, en
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función de una distancia “d”. Las unidades básicas de trabajo son el Joule y el Ergio.
Unidades
mks
cgs
Joule (j)
New * m
10-7
Ergío
10-7
Dina * cm
Si tomamos en cuenta que T = F*D y tomando en cuenta la 2da ley de Newton que dice F = M*A se tendrá la formula T = M*A*D
Energía Cinética:
La energía cinética es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. La energía cinética depende de la masa y la velocidad del cuerpo según la siguiente ecuación: Ec = ½ M*V2 Donde m es la masa del cuerpo y “V” es la velocidad que tiene el cuerpo. Si tenemos la aceleración y la distancia recorrida por el cuerpo sabiendo que A = V/T obtenemos las siguiente formula Ec = M*A*D. Un ejemplo de energía cinética en la vida cotidiana seria el hecho de manejar un auto por una calle o el simple acto de caminar. Por otra parte dentro de la energía cinética nos encontramos diferentes clases de energía cinética o relaciones entre la energía cinética o relaciones entre la energía cinética con otras clases de energías. Entre estas tenemos la relación entre trabajo y energía, la trasmisión de energía cinética en choques o colisiones y la relación entre energía y la cantidad de movimiento. Con respecto a la relación entre trabajo y energía es por todos conocido que un cuerpo en movimiento realiza un trabajo y por lo tanto posee una energía, si el movimiento realiza un trabajo y por lo tanto posee una energía, si el movimiento posee una rapidez variable, la energía del cuerpo también varia.
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Esta clase de energía que depende de la rapidez que posee en cuerpo se llama energía cinética. Si tomamos en cuenta que t = M*A*D y sabiendo que la energía cinética es Ec = M*A*Dy observando esta similitud se obtiene que el trabajo realizado por un cuerpo es igual a la energía cinética que tiene el mismo. En el caso de la transmisión de energía cinética en colisiones o choques, sabemos que generalmente en una interacción entre dos o más cuerpos, la energía cinética se trasforma en energía potencial, energía calórica o en algún proceso de deformación de los cuerpos que actúan en el proceso. Estas interacciones se caracterizan porque la energía cinética no se conserva se les llama interacciones inelásticas. En este caso la fuerza que se produce cuando los cuerpos se acercan es mayor a la fuerza que se produce cuando se alejan, esto hace que la velocidad que poseen los cuerpos disminuya después de la interacción de los mismos haciendo que la energía cinética disminuya. En relación con la energía cinética y la cantidad de movimiento si en un sistema aislado formado por dos cuerpos de masas
m1 y m2
, entre los cuales
existe una interacción, la cantidad de movimiento se conserva, o sea que m1 v+ m2 u=m1 v 1 +m2 v 2
; siendo “v” y “u” las velocidades respectivas antes de
la interacción y v1 y u1 las velocidades después de la interacción.
Teorema de Trabajo y Energía :
Luego de haber estudiado lo anterior tenemos una idea de la relación que existe entre el trabajo y la energía. Sabemos que el trabajo efectuado sobre un objeto es igual a su cambio de energía cinética. Esta relación es llamada “El principio de trabajo y energía” que se podría explicar así :
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“Cuando la velocidad de un cuerpo pasa de un valor a otro, la variación de la energía cinética que experimenta es igual al trabajo realizado por la fuerza neta que origina el cambio de velocidad” Si tomamos en cuenta el planteamiento anterior tendremos que Ec = T, pero teniendo en cuenta que este trabajo es realizado por la fuerza neta del cuerpo, es decir por la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Veamos algunos ejemplos cotidianos de este teorema:
Cuando un carro acelera aumenta su rapidez y por lo tanto su energía cinética.
En forma detallada ocurre lo siguiente: La explosión de gasolina por medio del motor y otros componentes originan una fuerza con la misma dirección y sentido del movimiento. Esta fuerza a lo largo de una realiza un trabajo mecánico que transmite a la masa del carro, lo cual ocasiona un aumento en la velocidad y por lo tanto en la energía cinética es igual al trabajo mecánico que por medio de la gasolina se transmitió al carro. En este caso el trabajo es positivo porque la energía cinética aumento.
Cuando una bola atraviesa una pared, pierde velocidad y por lo tanto energía cinética.
En este caso ocurre lo siguiente: Para que la bala atraviesa la pared, primero tiene que rompe la fuerza de adhesión que tiene las moléculas de la pared, es decir que se origina una fuerza de rozamiento con la dirección del movimiento pero de sentido contrario, que frena la bala disminuyendo su velocidad y por lo tanto su energía cinética. Esta fuerza a lo largo del espesor de la pared realiza un trabajo mecánico que se transfiere a la masa de la bala lo cual origina una disminución de la velocidad y por tanto en la energía cinética y esta energía cinética es igual al trabajo realizado que por medio del rozamiento se transmitió a la bala. En este caso el trabajo es negativo porque la energía cinética disminuyo.
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Energía Potencial:
La energía potencial es la energía almacenada que posee un sistema como resultado de las posiciones relativas de sus componentes. Al comprimir un resorte o levantar un cuerpo se efectúa un trabajo y por lo tanto se produce energía la cual es potencialmente disponible. En este caso la energía adquirida por el resorte se debe a su configuración, y la energía del cuerpo se debe a su posición. En el primer caso se dice que la energía potencial es elástica y en el segundo que la energía potencial es gravitatoria. La energía potencial elástica se podría explicar así: si un resorte deformado posee energía potencial, es necesario para deformarlo la realización de un trabajo, que se manifiesta en una transformación de energía muscular en energía cinética y esta a su vez se transforma en energía potencial que adquiere el resorte. Analicemos lo que ocurre al comprimir el resorte: la fuerza que se aplica al resorte es proporcional a la compresión que este experimenta. Tomando en cuenta la definición de proporcionalidad sabemos que se necesita una constante, y tomaremos como constante la deformación del resorte la cual llamaremos K y tendremos la siguiente formula F=K*d, sustituyendo esta fórmula en la ecuación de trabajo tendremos que T = ½ (K*d)*ddonde nos queda que T = ½K*d2. Un cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria cuando realiza un trabajo contra la gravedad, para colocarlo a cierta altura en relación con el plano horizontal. Para elevar un cuerpo de masa m a una altura h es necesario realizar una fuerza igual a su peso luego siendo g la aceleración de la gravedad; el trabajo sería igual a T = F*hsiendo la fuerza F = m*g el trabajo seria T = m*g*h. Si la energía potencial gravitatoria de un cuerpo se mide con referencia a la superficie de la tierra, la ecuación solo es válida para alturas relativamente pequeñas en donde la fuerza de gravedad todavía actué.
Fuerzas conservativas y no conservativas:
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El trabajo efectuado contra la gravedad para mover un objeto de un punto a otro, no depende de la trayectoria que siga; por ejemplo se necesita el mismo trabajo para elevar un cuerpo a una determinada altura, que llevarlo cuestas arriba a la misma altura. Fuerzas como la gravitatoria, para las cuales el trabajo efectuado no depende de la trayectoria recorrida, sino de la posición inicial y final, a estas fuerzas se les conocen como Fuerzas Conservativas. Por otra parte la fuerza de fricción no es una fuerza conservativa, ya que el trabajo realizado para empujar una caja por el piso depende si la trayectoria es recta, curva o en zigzag, por ejemplo si una caja es empujada siguiendo una trayectoria semicircular más larga, en vez de hacerlo en trayectoria recta se realiza un trabajo mayor porque es una mayor distancia y a diferencia de la gravedad la fuerza de fricción está en contra de la fuerza que se aplica. Debido a que la energía potencial, la energía asociada con la posición de los cuerpos, esta puede tener sentido solo si se puede establecer para cualquier punto dado, esto no se puede hacer con las fuerzas no conservativas, ya que el trabajo no depende de la distancia entre dos puntos sino de la trayectoria que siga. En consecuencia, la energía potencial se puede definir solo para una fuerza conservativa, así y aunque siempre se asocia la energía potencial con una fuerza, no podemos formularla para cualquier fuerza, como la de fricción que es una fuerza no conservativa. Otro ejemplo sería una partícula que cae en un fluido está sujeta a la fuerza de gravedad y a la fuerza de fricción y a la viscosidad del elemento. Ahora podemos ampliar el principio de trabajo y energía, descrita anteriormente para trabajar con energía potencial. Si suponemos que trabajamos con varias fuerzas sobre una misma partícula, algunas de ellas conservativas, podemos formular una función de la energía potencial a estas fuerzas conservativas. Escribimos el trabajo total ( neto ) T neto como un trabajo realizado por las fuerzas conservativas T C y el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas T NC
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T neto = T C + T NC , entonces del principio trabajo y energía tenemos T neto = ½ m*v2 2- ½ m*v 1 2
Energía Mecánica:
Cuando un cuerpo se mueve por acción de un resorte, o por acción de una fuerza de gravedad, posee energía cinética por estar en movimiento, y a la vez tiene energía potencial por estar accionado por la fuerza de interacción del sistema. A la suma de estas energías se le llama energía mecánica total. Entendemos por energía mecánica total de un cuerpo, en un instante dado, a la suma de las energías cinética y potencial que posee dicho cuerpo en ese instante. A la energía mecánica se le asigna la nomenclatura Em, la formula seria Em = Ec + Ep. Si solamente hay fuerzas conservativas actuando sobre un sistema, se llega a la conclusión sencilla que concierne a la energía. Cuando no se encuentran fuerzas no conservativas su respectivo trabajo es cero entonces por sustitución en la fórmula de las fuerzas conservativas tendríamos que : ½ m*v2 2- ½ m*v1 2 + Ep2 - Ep1 = 0 en esta ultima expresión se puede reordenar para obtener ½ m*v2 2 + Ep2 = ½ m*v1 2+ Ep1, si a Em se le conoce como energía mecánica total le ecuación anterior expresan un principio muy útil para la energía mecánica que se trata de la cantidad de energía conservada, la energía mecánica total permanece constante siempre y cuando no actúen fuerzas conservativas. A este hecho se le conoce como principio de la conservación de energía: Si únicamente se encuentra actuando fuerzas conservativas, la energía mecánica total de un sistema no aumenta ni disminuye en cualquier proceso. Es decir permanece constante ( se conserva ).
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Potencia:
Es el trabajo, o transferencia de energía, realizado por unidad de tiempo. El trabajo es igual a la fuerza aplicada para mover un objeto multiplicada por la distancia a la que el objeto se desplaza en la dirección de la fuerza. La potencia mide la rapidez con que se realiza ese trabajo. En términos matemáticos, la potencia es igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo a lo largo del cual se efectúa dicho trabajo. El concepto de potencia no se aplica exclusivamente a situaciones en las que se desplazan objetos mecánicamente. También resulta útil, por ejemplo, en electricidad. Imaginemos un circuito eléctrico con una resistencia. Hay que realizar una determinada cantidad de trabajo para mover las cargas eléctricas a través de la resistencia. Para moverlas más rápidamente ( en otras palabras, para aumentar la corriente que fluye por la resistencia ) se necesita más potencia. La potencia siempre se expresa en unidades de energía divididas entre unidades de tiempo. La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el vatio, que equivale a la potencia necesaria para efectuar 1 joule de trabajo por segundo. Una unidad de potencia tradicional es el caballo de vapor ( CV ), que equivale aproximadamente a 746 vatios. Formulas: P = Trabajo/Tiempo 1W = joule/segundo 1CV = 746 W en el sistema inglés : P = pies*libras/segundo 1HP = 550 pies*libras/segundo.
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D = 15 cm
1.7. EXAMEN DE ENTRADA MOMBRE:………………………………………………………………………. 1) Hallar el trabajo realizado por la fuerza F=2xi+2yj desde el origen de coordenadas al punto P(1,1) cuando la trayectoria que ha seguido el punto de aplicación ha sido la recta y=x. 2) Un bloque de 50 kg es empujado por una fuerza que forma un ángulo de 30º, tal como indica la fig.. El cuerpo se mueve con aceleración constante de 0,5 m/s2. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo es 0,2, calcular: a) El valor de la fuerza aplicada. b) El trabajo realizado por esta fuerza cuando el bloque se ha desplazado 20 m y la energía cinética al final del recorrido.
3) Un bloque de 20 kg se lanza hacia arriba a lo largo de un plano inclinado 30º, con una velocidad de 12 m/s. Si el bloque vuelve al punto de partida con la mitad de la velocidad con que se lanzó, calcular el coeficiente de rozamiento.
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4) Un cuerpo se mueve según la trayectoria x=t+1; y=2t-2; z=t en m, y la fuerza que actúa sobre él F=ti-(3t+1)j+2k en N. Calcular el trabajo realizado por la fuerza en el intervalo de tiempo de t1=2 s a t2=3 s. 5) Sobre una partícula actúa la fuerza F=x2i+3xyj. Calcular el trabajo realizado por la fuerza al desplazar la partícula desde el punto A(0,0) al B(2,4): a) Si la trayectoria es la línea recta que une ambos puntos; b) si la trayectoria es la parábola y=x 2; c) discutir si esta fuerza es conservativa o no. 6) Una piedra de 2 kg de masa atada al extremo de una cuerda de 0,5 m gira con una velocidad de 2 rev/s. a) ¿Cual es su energía cinética? b) Calcular el valor de la tensión de la cuerda c) ¿Qué trabajo realiza la tensión sobre la piedra en una vuelta? 7) Desde el punto A de la figura se suelta un cuerpo. Calcular la altura que alcanza en la rampa de 53º. a) Si no hay rozamiento; b) Si hay rozamiento en todo el recorrido,
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8) Dejamos caer un cuerpo de 100gr sobre un muelle de k=400 N/m. La distancia entre el cuerpo y el muelle es de 5 m. Calcular la longitud "y" del muelle que se comprime
9) Una partícula está obligada a moverse en el plano XY bajo la acción de una fuerza conservativa F=2yi+2xj N. Deducir: a) El trabajo realizado por esta fuerza cuando la partícula se desplaza desde el punto A(x,y) al O(0,0). b) La energía potencial, U(x,y) , asociada a la partícula en un punto cualquiera del plano, A(x,y). 10) El péndulo simple de la figura se suelta en el punto A. Calcular la velocidad del disco en los puntos B, C y D.
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11) El bloque de la figura, de masa 4 kg, está sometido a una fuerza de rozamiento, cte. en todo su recorrido, de 10 N. El bloque parte de la parte superior del plano con una velocidad de 2 m/s. Al llegar al punto B comprime al resorte 20 cm. Se detiene momentáneamente y sale rebotado. Calcular la constante recuperadora del muelle y la altura que alcanza después de rebotar.
2. 2.1. INFORMACIÓN TEÓRICA 2.1.1. TRABAJO MECÁNICO En mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a la energía necesaria para desplazar este cuerpo. [1] El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra
(del inglés Work) y se
expresa en unidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades. Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía [,] nunca se refiere a él como incremento de trabajo, ni se simboliza como ΔW.
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Matemáticamente se expresa como:
Donde F es el módulo de la fuerza, d es el desplazamiento y α es el ángulo que forman entre sí el vector fuerza y el vector desplazamiento (véase dibujo). Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo también será nulo. El trabajo en la Mecánica
Trabajo de una fuerza. Consideremos una partícula P sobre la que actúa una fuerza F, función de la posición de la partícula en el espacio, esto es
y sea
un
desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo dt. Llamamos trabajo elemental, dW, de la fuerza durante el desplazamiento elemental
al producto escalar
; esto es,
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Si representamos por ds la longitud de arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental, esto es vector tangente a la trayectoria viene dado por
, entonces el y podemos escribir
la expresión anterior en la forma
donde representa el ángulo determinado por los vectores
y
yFs es la
componente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental El trabajo realizado por la fuerza
.
durante un desplazamiento elemental de la
partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva, nula o negativa, según que el ángulo θ sea agudo, recto u obtuso. Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales la fuerza
y el trabajo total realizado por
en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos
elementales; o sea
Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de
a lo largo de la
curva C que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de sobre la curva C entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar que dependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la fuerza
sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará
ser independiente del camino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada. Así, podemos afirmar que el trabajo no es una variable de estado. En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo, dirección y sentido), se tiene que
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es decir, el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición inicial y la final. Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre esta ella, entonces
representará al vector resultante de todas
las fuerzas aplicadas. 2.1.2. El trabajo en la Termodinámica En el caso de un sistema termodinámico, el trabajo no es necesariamente de naturaleza puramente mecánica, ya que la energía intercambiada en las interacciones puede ser mecánica, eléctrica, magnética, química, etc. por lo que no siempre podrá expresarse en la forma de trabajo mecánico. No obstante, existe una situación particularmente simple e importante en la que el trabajo está asociado a los cambios de volumen que experimenta un sistema (v.g., un fluido contenido en un recinto de forma variable). Así, si consideramos un fluido que se encuentra sometido a una presión externa
y que evoluciona desde un estado caracterizado por un volumen V1
a otro con un volumen V2, el trabajo realizado será:
resultando un trabajo positivo (W> 0) si se trata de una expansión del sistema dV> 0 y negativo en caso contrario, de acuerdo con el convenio de signos aceptado en la Termodinámica. En un proceso cuasiestático y sin fricción la presión exterior (pext) será igual en cada instante a la presión (p) del fluido, de modo que el trabajo intercambiado por el sistema en estos procesos se expresa como
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De estas expresiones se infiere que la presión se comporta como una fuerza generalizada, en tanto que el volumen actúa como un desplazamiento generalizado; la presión y el volumen constituyen una pareja de variables conjugadas. En el caso que la presión del sistema permanezca constante durante el proceso, el trabajo viene dado por:
El trabajo en los diagramas de Clapeyron.
2.1.3. TRABAJO Trabajo es el resultado del valor de una fuerza, aplicada sobre un cuerpo, por el valor del espacio recorrido por dicho cuerpo. Para que exista el trabajo debe cumplirse necesariamente con la condición de desplazamiento. Además, existirá trabajo siempre que una fuerza desplace su punto de aplicación. El trabajo se relaciona también con la energía, puesto que ésta es la capacidad que posee la materia de producir trabajo. Definición de trabajo
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Es la actuación de una fuerza (F) sobre un cuerpo y moviendo así su punto de aplicación un desplazamiento Dr. El símbolo del trabajo es la T. ·
Fórmula general del trabajo:
La fórmula general del trabajo es la siguiente: T (j) = F(N)×Dr(m) = F×Dr×cos a ·
Unidad de medida del trabajo:
En el SI la unidad de medida del trabajo es el julio(j). Fuerza. Las fuerzas son la causa de los cambios de forma y modificación del estado de movimiento de los cuerpos, la fuerza no es una propiedad única de cada materia, como la masa, sino que los cuerpos no poseen fuerza, la reciben de otros. La unidad de medida de la fuerza es el newton (N). Espacio / desplazamiento. El desplazamiento es el cambio de lugar o posición de un cuerpo en un espacio debido a una fuerza aplicada anteriormente. Las unidades de medida del espacio pueden ser varias: cm, dm, m, hm, dam, km....etc pero la utilizada en el sistema internacional es el metro (m), por lo tanto es la unidad utilizada mayoritariamente, y en la fórmula general del trabajo. Trabajo positivo y negativo. Se trata de una magnitud escalar que depende del ángulo que forman el vector fuerza y el vector desplazamiento.(si a = 90°,el cos90° = 0,no se realiza trabajo). ·
Trabajo positivo o motor. Si 0° es menor o igual a a y ésta a su vez es menor que 90°, entonces T
> 0.
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·
Trabajo negativo o resistente.
Si 90° es menor a a y ésta menor o igual a 180°, entonces T < 0. Relación del trabajo y energía cinética. El trabajo no es una forma de energía, sino una forma de transferir energía entre los cuerpos y sistemas. Cuando las fuerzas que se aplican varían el estado de movimiento de los cuerpos, el cuerpo que ejerce la fuerza, transfiere al otro energía cinética, por ello: T = Ec
Relación del trabajo y la energía potencial: gravitatoria y elástica. ·
Gravitatoria.
Es el trabajo realizado para elevar un cuerpo y la fórmula es: Tpeso = -TF = -DEp ·
Elástica.
Son las fuerzas necesarias a aplicar para estirar un muelle una longitud Dx de modo que avance a velocidad constante. Su valor es: T = k (Dx)2 / 2 Fuerzas conservativas. Son aquellas fuerzas cuyo trabajo se puede escribir como una variación de energía potencial Þ T = DEp Relación del trabajo y potencia. Para diferenciar dos trabajos de igual valor numérico que se efectúan en distinto tiempo se emplea una nueva magnitud denominada potencia. La potencia media es el trabajo realizado por unidad de tiempo. Es una medida de la rapidez con la que un sistema físico transforma energía. Fórmula: Pm = T /Dt. Unidad de medida de la potencia: En el SI la unidad de potencia es el J/s, denominada vatio (W).
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2.1.4. POTENCIA
Siempre que se produzca una transformación de energía en cualquier sistema, elemento mecánico o eléctrico se utiliza el concepto de potencia. Se denomina potencia a la cualidad que determina la mayor o menor rapidez en realizar un trabajo. Es la velocidad con la que se obtiene dicho trabajo. Se entiende por magnitud a la duración de cada uno de los distintos fenómenos físicos. La magnitud se mide a través del segundo. Se establece entonces, que potencia, es la cantidad de energía absorbida o de trabajo efectuado en la unidad de tiempo 2.1.5. LA ENERGÍA Existe una gran diferencia entre lo que se considera "energía" en el habla popular y el significado que se le atribuye en las ciencias físicas. Contrariamente a lo que ocurre en el campo de las ciencias, en lo popular el concepto "energía" usualmente no está asociado a alguna magnitud. Desde el punto de vista de la de las ciencias físicas, la noción intuitiva y popular es incompleta y totalmente inaceptable, pues falta incluir un aspecto esencial para la actividad científica: el cómo se mide esa energía. En lo que sigue se analiza brevemente la evolución reciente del concepto "energía" en las ciencias físicas y su relación con otras magnitudes físicas y con las mediciones. Esta última dependencia resulta ser primordial para la correcta comprensión del concepto; se muestran ejemplos de cómo el obviar esta relación conduce usualmente a serios errores. De ahí que se recomiende extremo cuidado al analizar la posible introducción en los cursos de definiciones simplificadas o "novedosas" de las magnitudes físicas. Existe una doble acepción del término energía; se puede utilizar tanto para: a) designar un tipo específico de energía (cinética, magnética) como para: b) indicar el lugar de donde provienen o se almacenan los diferentes tipos de energía (eólica, solar). En las ciencias físicas no tiene mucho sentido hablar de "energía" a secas, término que, aislado de algún otro que especifique el tipo de
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energía, no es una magnitud mensurable y carece de una definición concluyente. Otros conceptos o términos que aparecen usualmente en la literatura no científica como energía vital, energía piramidal o energía biocósmica carecen de significado real y sólo se utilizan para tratar de dar credibilidad a supuestos resultados pseudocientíficos.
2.2. ACTIVIDADES 2.2.1. ACLARACIÓN Existe una gran diferencia entre lo que se considera "energía" en el habla popular y el significado que se le atribuye en las ciencias físicas. En lo popular, "energía" es prácticamente una noción intuitiva. Así, se acostumbra decir que determinada persona "es muy enérgica" o "tiene mucha energía" para expresar que es muy activa, que es capaz de trabajar continuamente o que puede realizar un gran número de tareas durante una jornada sin que padezca los efectos del cansancio (al menos aparentemente). Por otra parte, cuando alguien se esfuerza con tenacidad en alguna labor difícil, complicada y poco productiva, pensamos que está "gastando inútilmente sus energías". Sin embargo, desde el punto de vista de la de las ciencias físicas, esta noción intuitiva es incompleta y totalmente inaceptable, pues falta incluir un aspecto esencial para la actividad científica: el cómo se mide esa energía. A continuación se hace un breve análisis de la evolución reciente del concepto "energía" en las ciencias físicas y su relación con otras magnitudes y con las mediciones. Aunque muchas veces durante el proceso de enseñanzaaprendizaje se obvia el tema de las mediciones, veremos que el conocimiento de este tema resulta ser primordial para la correcta comprensión del concepto energía. Obviar la relación entre energía, magnitud y medición usualmente conduce a serios errores conceptuales. Y con relación a la importancia de las mediciones en la ciencia, vale la pena recordar las palabras de William Thomson (Lord Kelvin), uno de los padres de la Termodinámica moderna: "Suelo repetir con frecuencia que sólo cuando es
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posible medir y expresar en forma numérica la materia de que se habla, se sabe algo acerca de ella; nuestro saber será deficiente e insatisfactorio mientras no seamos capaces de traducirlo en números. En otro caso, y sea cual fuere el tema de que se trate, quizá nos hallemos en el umbral del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán alcanzado el nivel de ciencia". Algunas de las ideas expuestas en este artículo, necesarias para la unidad del tema y la fácil comprensión del lector, ya han sido analizadas previamente con cierta profundidad al censurar la divulgación de falsos conceptos energéticos en los medios masivos de comunicación. La Energía en las Ciencias Físicas En forma similar a como ocurre con otros muchos conceptos y definiciones en la ciencia, el concepto "energía" ha ido evolucionando, ampliándose y perfeccionándose con el transcurso de los años. Si en los textos de hace 50 años era posible encontrar en los libros de texto definiciones tales como: "la energía de un cuerpo puede ser definida, en sentido amplio, como su capacidad para hacer trabajo" , hoy día muchos consideran que ésta definición es inexacta, al menos por dos razones. En primer lugar, muchos autores modernos dedicados a temas termodinámicos consideran trabajo y calor como formas de transmisión de la energía, y el trabajo queda definido como energía en tránsito . Si se combinan los criterios "energía = capacidad para hacer trabajo" y "trabajo = energía en tránsito" quedaría que la energía es algo así como "su capacidad de transmitirse", lo que carece de utilidad práctica por su excesiva generalidad. En segundo lugar, los cuerpos o sistemas siempre tienen energía, aún cuando esa energía haya perdido su capacidad para realizar trabajo. Veamos esto último más detalladamente. La energía se puede degradar (perder la capacidad de transmitirse en forma de trabajo útil) aunque durante el proceso no hayan existido pérdidas de energía. La medida de la degradación de la energía viene dada por el incremento de la entropía, otra propiedad termodinámica de los sistemas muy bien conocida y estudiada, aunque mucho menos popularizada que el concepto de energía. Sin
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embargo, no es necesario conocer las particularidades de la funciónentropía ni poseer un entrenamiento especializado en Termodinámica para comprender el significado de la degradación de la energía. Para ello considere el siguiente ejemplo. La energía almacenada en un gramo de combustible puede hacer girar las ruedas y mover un vehículo varios metros al combustionar, lo que equivale a transmitirse en forma de trabajo útil. Durante la combustión también se produce cierta transferencia de energía en forma de calor, que eleva la temperatura de las piezas internas del motor(incremento de energía térmica). La suma de las energías que aparecen en forma de: movimiento + energía térmica + energía de los residuos de la combustión es exactamente la misma que estaba almacenada en el combustible (principio de conservación de la energía). Eventualmente, la energía que adquirió el vehículo en movimiento también se transformará en energía térmica, a causa de la fricción de las partes móviles del motor, de la carrocería con el aire y de las ruedas con el pavimento y los frenos. Finalmente, esa energía térmica no desparece, sino que pasa al medio ambiente. La energía almacenada inicialmente en el combustible no se pierde, pero la energía térmica resultante en el proceso ya no puede volver a ser aprovechada para mover el vehículo. Por tanto, durante el proceso la energía ha perdido su capacidad de transmitirse en forma de trabajo (se ha degradado). Como la energía degradada no se puede utilizar nuevamente para obtener trabajo, la definición de energía como "capacidad de hacer trabajo" no parece ser totalmente general.
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Otros conceptos de energía, tal como "la energía es una medida del movimiento", introducida por los filósofos materialistas del siglo XIX, entran en contradicción con los textos contemporáneos de física, donde es posible encontrar energías descubiertas posteriormente que no están asociadas al movimiento. Por citar sólo un ejemplo, en referencia a la famosa relación de Einstein entre la masa y la energía (1905) un conocido texto de física afirma : " ... podemos aseverar que un cuerpo en reposo tiene una energía Eo = mc2 en virtud de su masa en reposo. A ésta cantidad se le llama energía en reposo"... y es adicional a la energía asociada al movimiento de la partícula. Esta indefinición asociada a la energía, aunque muchas veces conocida, es obviada o soslayada en la mayoría de los libros de texto. Una excepción notable puede encontrarse en TheFeynmanLecturesonPhysics . La discusión del tema comienza introduciendo el principio de conservación de la energía, sin definir esta última previamente - . Tras ilustrar el principio con algunos ejemplos, se afirma posteriormente que la energía tiene un gran número de formas diferentes, cada una con su correspondiente fórmula asociada: gravitatoria, cinética, radiante, nuclear, eléctrica, química, elástica, térmica, másica, para luego concluir el razonamiento de la siguiente manera: "Es importante notar que en la física de hoy día no tenemos conocimiento acerca de lo que es la energía. ... . Es un algo abstracto en el sentido que no nos dice el mecanismo o las razones para las diversas fórmulas (sic)." Tampoco faltan intentos más recientes de dar una definición general de energía, ligados a la sugerencia de impartir la mecánica de forma "novedosa", comenzando los cursos por los conceptos de trabajo y energía. Así, por ej., citamos: "Un cuerpo posee energía cuando puede producir cambios o transformaciones en otros cuerpos o en sí mismo" , definición que sugiere que después que cesa el cambio o la transformación los sistemas ya no tienen energía. Aún más, a diferencia de las otras dos definiciones analizadas anteriormente, donde se mencionaba el trabajo o el movimiento, en este caso ni siquiera aparece el intento de asociar la definición a la medición de alguna otra magnitud física.
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De hecho, hoy día es prácticamente imposible encontrar en los libros de texto una definición generalizada de energía que no pueda ser impugnada por una razón u otra. ¿Cómo introducir, entonces, el concepto de energía? RELEVANCIA DEL CONCEPTO DE ENERGIA • Los tres descubrimientos más importantes de la ciencia son: la materia es atómica, todos los sistemas (físicos, químicos y biológicos) son productos de procesos de evolución y la energía se conserva. • Energía es un concepto trans-disciplinario general que rebasa las fronteras de la física o de cualquier ciencia particular natural o social • El concepto energía se refiere a algo que es una necesidad básica para la vida individual y colectiva de todos los organismos • Los oscurantistas de todo tipo suelen usar y abusar del concepto de energía para tratar defender sus falsedades (falsas terapias o productos). 2.2.2. PRUEBAS OBJETIVAS Indica cuál de las siguientes afirmaciones sobre las características de la energía es falsa: Se conserva. Puede almacenarse. No se puede transferir entre sistemas. Se puede transportar.
¿Cuál de las siguientes no es una forma de energía? Cinética. Mecánica. El petróleo. La electricidad.
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La energía potencial es: La que tienen los cuerpos debido a su movimiento. La energía debida a la posición que tiene un objeto. La debida al movimiento de electrones. La que se utiliza produce cuando se queman objetos. La energía cinética aumenta al: Aumentar la altura a la que se encuentra un cuerpo. Aumentar la masa de un cuerpo. Disminuir la velocidad de un cuerpo. Disminuir la altura a la que se encuentra un cuerpo. Un coche que se mueve a 90 km/h y pesa 1000 kg, tiene una energía de: 81·105 J 81·104 J 40·105 J 40·104 J La energía potencial disminuye al: Aumentar la altura de un cuerpo. Aumentar la masa de un cuerpo. Disminuir la velocidad de un cuerpo. Disminuir la masa de un cuerpo. Un cuerpo de 50 kg situado a 10 m de altura tiene una energía de: 4000 J 3500 J 4900 J 5500 J La unidad de energía en el SI es: El julio (J) El newton (N) El vatio (W) El newton/metro (N/m)
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Tema 5. La energía mecánica La energía puede transferirse entre sistemas mediante: Solo mediante calor. Solo mediante trabajo. Ni por trabajo ni por calor. Mediante calor y trabajo. La forma de ver la rapidez de la transferencia de energía: Por los cambios de energía cinética. Por los cambios de energía potencial. Estudiando el trabajo. Mediante la potencia. A partir de ahora veremos cómo resolver problemas relacionados con las fórmulas asociadas a los distintos tipos de Energía, como organizar los datos, utilizar las fórmulas y reflexionar sobre los resultados obtenidos. Para ello tendremos que recordar nociones básicas del "idioma" de las Ciencias, las Matemáticas. Energía potencial gravitatoria Puesto que vamos a empezar a trabajar con fórmulas, números, cuentas,...te aconsejamos que cojas la calculadora, un lápiz y un papel, y que vayas haciendo tú todas las operaciones que vas viendo en los ejemplos. Recuerda que las matemáticas son una actividad que requiere de acción por tu parte, si solamente lees los ejercicios te resultará más difícil comprenderlos.
Recordemos la fórmula: Ep = m · h · 9,8 Ejemplo 1: Una maceta de 2 kg de masa está situada a 3 metros de altura. ¿Qué Energía potencial posee?
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Sustituimos los valores de las variables masa y altura en la fórmula, en la unidad del SI y Calculamos Ep = 2 kg · 9,8 m/s2 · 3 m = 58,8 kg·m2/s2 = 58,8 Julios
La Energía potencial de la maceta es de 58,8 Julios Las unidades correspondientes a cada magnitud irán referidas al Sistema Internacional (kg en el caso de la masa, metros en el caso de la altura y Julios en el caso de la energía) Tema 5. La energía mecánica
2.2.3. PEQUEÑAS INVESTIGACIONES
BREVE HISTORIA DEL CONCEPTO ENERGIA •Etimología: del griego en-ergon(con- actividad) •Leibnitz es el precursor moderno cuando en el siglo 17 introdujo el concepto de “vis viva”(fuerza viva) como una propiedad que permanece intacta en la naturaleza pase lo que pase , similar al dinero en una transacción comercial. Leibnitz la llamo la moneda de la naturaleza. •El termino energía lo introduce Young en la ciencia en el 1849 y adquiere su interpretación moderna a través del trabajo de helmholtz, joules, kelvin y Planck durante
el
siglo
19.,
quienes fundaron
la
ciencia
de
la
energía(termodinámica) •En el siglo 19, carnot y clausius descubren que la energía además de cantidad, posee calidad (disponibilidad para hacer trabajo) y que esa calidad se degrada continuamente cuando usamos la energía y por tanto no se conserva.
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•hoy día se reconoce que el concepto de energía rebasa la física porque es una la propiedad más fundamental y universal de un objeto material(físico, biológico 0 social): su capacidad para cambiar o mutar. En todos estos fenómenos hay algo en común: LA ENERGÍA. La energía se puede manifestar de muy diversas formas: Energía térmica, eléctrica, muscular, potencial, química, cinética, eléctrica, nuclear, etc. La importancia de la energía es evidente, por ello la humanidad ha ido ingeniando inventos a lo largo de la historia para su utilización de forma eficiente. La energía a través de la historia El ser humano, desde sus primeros pasos en la Tierra y a través de la historia, siempre ha buscado formas de utilizar la energía para obtener una mejor calidad de vida. Para ello ha hecho uso de diversas formas de energía: fuego (energía química), velas y molinos (energía del viento o eólica), ruedas hidráulicas (energía del agua o hidráulica), carbón (energía química), petróleo(energía química), nuclear (energía nuclear), etc. Concepto de energía En la naturaleza se observan continuos cambios y cualquiera de ellos necesita la presencia de la energía: para cambiar un objeto de posición, para mover un vehículo, para que un ser vivo realice sus actividades vitales, para aumentar la temperatura de un cuerpo, para encender un reproductor de MP3, para enviar un mensaje por móvil, etc. La energía es la capacidad que tienen los cuerpos para producir cambios en ellos mismos o en otros cuerpos. La energía no es la causa de los cambios. Las causas de los cambios son las interacciones y, su consecuencia, las transferencias de energía. La energía cinética
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La energía cinética es la energía que tienen los cuerpos por el hecho de estar en movimiento. Su valor depende de la masa del cuerpo (m) y de su velocidad (v). La energía cinética se mide en julios (J), la masa en kilogramos (kg) y la velocidad en metros por segundo (m/s). La energía cinética del viento es utilizada para mover el rotor hélice de un aerogenerador y convertir esa energía en energía eléctrica mediante una serie de procesos. Es el fundamento de la cada vez más empleada energía eólica. La energía cinética es un tipo de energía mecánica. La energía mecánica es aquélla que está ligada a la posición o al movimiento de los cuerpos. Por ejemplo, es la energía que posee un arco que está tensado o un coche en movimiento o un cuerpo por estar a cierta altura sobre el suelo.
Unidades de energía - En el Sistema Internacional (S.I.) la energía se mide en julios (J). 1 J es, aproximadamente, la energía que hay que emplear para elevar 1 metro un cuerpo de 100 gramos. - Caloría (cal): Cantidad de energía necesaria para aumentar 1 ºC la temperatura de 1 g de agua. 1 cal = 4,18 J. - Kilovatio-hora (kWh): Es la energía desarrollada por la potencia de 1000 vatios durante1 hora. 1 kWh = 3.600.000 J. - Tonelada equivalente de carbón: (tec): Es la energía que se obtiene al quemar 1000kg de carbón. 1 tec =29.300.000 J - Tonelada equivalente de petróleo(tep): Es la energía que se obtiene al quemar 1000kg de petróleo. 1 tep =41900000 J
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- Kilojulio y kilocaloría (kJ y kcal): Son, respectivamente,1000 J y 1000 cal. Se usan con frecuencia debido a los valores tan pequeños de J y cal. Energía potencial Es la energía que tienen los cuerpos por ocupar una determinada posición. Podemos hablar de energía potencial gravitatoria y de energía potencial elástica. La energía potencial gravitatoria es la energía que tiene un cuerpo por estar situado a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Su valor depende de la masa del cuerpo (m), de la gravedad (g) y de la altura sobre la superficie (h). La energía potencial se mide en julios (J), la masa en kilogramos (kg), la aceleración de la gravedad en metros por segundo al cuadrado (m/s2) y la altura en metros (m). Por ejemplo, una piedra al borde de un precipicio tiene energía potencial: si cayera, ejercería una fuerza que produciría una deformación en el suelo. La energía potencial elástica es la energía que tiene un cuerpo que sufre una deformación. Su valor depende de la constante de elasticidad del cuerpo (k) y de lo que se ha deformado (x). La energía potencial elástica se mide en julios (J), la constante elástica en newton/metro (N/m) y el alargamiento en metros (m). Por ejemplo, cuando se estira una goma elástica, almacena energía potencial elástica. En el momento en que se suelta, la goma tiende a recuperar su posición y libera la energía. En esto se basa la forma de actuar de un tirachinas. Concepto de energía cinética Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
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En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial. En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento dsy el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil. Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética. Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g. El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Fuerza conservativa. Energía potencial
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Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejemplo Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.
La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dWes el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
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Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación
de
la
trayectoria
y=f(x),
y
los
desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x. Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.
Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.
Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1. y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx
Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0
El trabajo total
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WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0 El peso es una fuerza conservativa Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mgj cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial. La fuerza que ejerce un muelle es conservativa Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x>0, F=-kx Para x<0, F=kx
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El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición xA a la posición xB es
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.
Principio de conservación de la energía Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.
Igualando ambos trabajos, obtenemos la
expresión del principio de
conservación de la energía EkA+EpA=EkB+EpB
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La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria. Comprobación del principio de conservación de la energía
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular 1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones Tomar g=10 m/s2
Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J
Cuando x=1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J
Cuando x=0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.
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Fuerzas no conservativas Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso. El peso es una fuerza conservativa. Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.
WAB=mg x WBA=-mg x El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento WAB=-Fr x WBA=-Fr x El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero WABA=-2Fr x
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Balance de energía En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que
El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.
Ejemplo 1: Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:
la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
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Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado
La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5 m, h=x·sen30º=5.75 m
Cuando el cuerpo desciende
La
energía
del
cuerpo
en
B
es
EB=0.2·9.8·h=1.96·h
=0.98·x=0.98·11.5=11.28 J
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es
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W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s. Ejemplo 2: Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
El peso mg
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial mat=mg·cosθ-Fr Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
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Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial. El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es
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ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA La fórmula para calcular la Energía potencial de un cuerpo, que llamaremosEp, y que se medirá en Julios, es: Ep = m · h · 9,8 Así la Energía potencial dependerá de la masa del objeto en cuestión (m) y de la altura (h) a la que se encuentre. Esta dependencia es directamente proporcional, es decir, a más masa o más altura se tendrá una mayor Energía potencial. La Energía potencial está presente en nuestras vidas y en nuestra historia con esa maceta que cae al suelo, su efecto puede ser demoledor ya que aunque la masa de la maceta no sea muy grande, al estar situada a una altura elevada, posee mucha "energía". Podemos pensar en el efecto de un meteorito que cae sobre la Tierra (gran distancia = efecto demoledor) o un bloque de mármol que se cae de un camión que lo transporta (gran masa = "agujero en el asfalto"). También usamos la Energía potencial para generar electricidad, por ejemplo, en un salto de agua en el que se aprovecha tanto la masa del agua como la altura desde la que cae. Energía cinética La Energía cinética que posea un cuerpo en movimiento dependerá de la masa del cuerpo y, sobretodo de la velocidad que lleve, así se establece la fórmula: En la que Eces la Energía cinética, m es la masa del cuerpo y v la velocidad que posee. Todos hemos experimentado "calor" al frotarnos las manos y hemos experimentado (si no es así pruébalo) que si aumentamos la velocidad el calor aumenta, es la Energía cinética que se convierte en calorífica. También sabemos que para que Belén circule a toda "velocidad" con ese todoterreno tan pesado necesita "quemar" mucho combustible, mientras que Teresa puede aprovechar simplemente su propio peso y el de la bicicleta (Energía potencial) cuando va cuesta abajo para conseguir una velocidad considerable.
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Principio de conservación de la Energía mecánica En un sistema aislado, la Energía mecánica de un cuerpo sobre el que no actúe ninguna fuerza que no sea su propio peso se mantiene constante. La idea es que un cuerpo situado a una determinada altura, que poseerá por tanto una Energía potencial, irá transformando esta Energía potencial en Energía cinética cuando se vaya cayendo alsuelo, es decir, ganará en cinética y perderá en potencial pero la suma de las dos será siempre constante.
2.2.4. PROBLEMAS ABIERTOS 1) Un ciclista que va a 5 m/s se deja caer sin pedalear por una rampa inclinada 15° y cuya longitud es de 200 m. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2 y la masa del ciclista junto con su bicicleta es de 80 kg, calcula: 2) Un cohete que sube verticalmente rompe el motor cuando se encuentra a 500 m de altura y su velocidad es de 40 m/s. Calcula: a) La altura máxima que alcanzará antes de caer. b) La velocidad con la que chocará con el suelo. 3) Dos amigos, vecinos de un mismo edificio están asomados a sus ventanas, que distan del suelo lo que indica el dibujo. El vecino de arriba llena un globo de agua y se lo lanza al de abajo imprimiéndole una velocidad de 3 m/s. a) Enuncia el principio de conservación de la energía mecánica y explica qué le va pasando a la energía cinética, potencial y mecánica del globo mientras baja. Ve completando el dibujo con los datos que vas obteniendo en los demás apartados. b) ¿Con qué velocidad le llegará el globo a la cabeza del vecino de abajo?
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c) Si ahora el vecino de abajo llena otro globo de agua y se lo lanza al de arriba con una velocidad de 12 m/s pero le da en la cara a un tercer vecino situado entre los dos cuatro metros por encima del de abajo, que acababa de sacar la cabeza por la ventana, ¿con qué velocidad le dio en la cara? Dibújalo en el ejercicio. Consejo: Toma como nivel de h = 0 al vecino de abajoy los cálculos se simplificarán.
4) Estamos en un vagón en lo alto de una montaña rusa (posición A del dibujo) y comienza a caer.
a) Explica el principio de conservación de la energía mecánica aplicado al vagón durante su recorrido, indicando cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica. b) ¿Qué velocidad tendrá cuando pase por la posición B? c) ¿Podrá tener la montaña rusa un pico más alto que el de la posición A? d) ¿Qué trabajo ha hecho la fuerza del motor que ha subido el vagón al comienzo hasta la posición A si la masa del vagón y los ocupantes es de 600 kg? e) ¿Qué fuerza ha hecho el motor, si la longitud de subida eran 100 m? 5) Un futbolista golpea el balón que rodaba por el suelo imprimiéndole una velocidad de 11 m/s, elevándolo en vaselina por encima del portero y metiendo gol. a) Explica el principio de conservación de la energía mecánica aplicado al balón en su recorrido Indicando cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica. b) ¿Qué velocidad tendrá el balón cuando esté a 5 m de altura sobre el suelo?
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¿Cuántas veces está a esa altura? Dibújalo. c) ¿A qué altura estará la pelota cuando vaya con una velocidad de 3 m/s? ¿Cuántas veces tendrá esa velocidad? Dibújalo. d) ¿Con qué velocidad caerá el balón al suelo? Razona la respuesta sin hacer ningún cálculo numérico.
3. 3.1. PRUEBA INTERMEDIA 1) Una moto con sidecar que está comenzando a averiarse debe llegar al final de una cuesta de 100 m de longitud y situada a 10 m sobre el suelo, ya que muy cerca se encuentra un taller. El copiloto baja a empujar y consigue que la moto comience a subir con una velocidad inicial de 5 m/s manteniendo una fuerza constante durante la subida de 200 N. El motor de la moto ejerce también durante la subida una fuerza de 500 N, y el rozamiento es de 150 N. La moto con el piloto tienen una masa de 350 kg. ¿Con qué velocidad llegará arriba de la cuesta?
2) Tenemos un sistema compuesto por una masa m y la Tierra. a) ¿Cual es la tendencia natural de ambas masas? b) ¿Cuándo aumenta su desequilibrio? c) Haz un dibujo, escribe la expresión de energía potencial gravitatoria y comprueba que
aumenta cuando aumenta
el
desequilibrio?
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3) Tenemos un sistema formado por un muelle del que puede colgarse una masa y hacerla oscilar arriba y abajo. a) ¿Cuál es la tendencia natural del muelle? b) ¿Cuándo aumenta su desequilibrio? Cuando se estira o se comprime. c) Haz un dibujo, escribe la expresión de energía potencial elástica y comprueba que aumenta cuando aumenta el desequilibrio.
3.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN 1) Un proyectil de 50 g de masa llega a un árbol a la velocidad de 100 m/s, atraviesa completamente el tronco y sale por el lado opuesto a una velocidad de 20 m/s. Si el diámetro del tronco es de 40 cm, calcula la fuerza de resistencia ejercida por el tronco. 2) Tres amigas se lanzan en su trineo por una pista de hielo. Al iniciar la bajada, a 40 m de altura su velocidad es de 5 m/s. Cuando llegan al punto más bajo y antes de ascender por la rampa opuesta, una de las amigas cae del trineo. Suponiendo que en todo el recorrido el rozamiento es nulo y que en la caída no se pierde energía, calcula la altura a la que ascenderá el trineo con las dos amigas restantes en la siguiente rampa. Datos: masa del trineo = 30 kg; masa de cada una de las amigas = 60 kg. 3) Pablo sube una caja llena de libros por una rampa con una inclinación de 20° sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento es μ= 0,2 y la subida se realiza a velocidad constante de 1 m/s.Si para subir la caja de 25 kg Pablo emplea 8 s, calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza con la que Pablo empuja la caja. b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. c) El trabajo realizado por el peso.
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4) La potencia nominal del motor de una grúa es de 4 kW; pero, sin embargo, emplea un tiempo de 20 s en subir 600 kg de masa hasta una altura de 10 m. Calcula el rendimiento del motor. 5) Dos amigas se proponen parar un cuerpo de 100 kg de masa que se dirige hacia ellas a una velocidad de 2 m/s por un plano horizontal. Para ello se oponen al movimiento con una fuerza de 200 N cada una. Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,25, calcula la distancia que recorrerá el cuerpo antes de quedar completamente parado.
3.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES 3.3.1.
SOLUCIÓN: PROBLEMAS ABIERTOS SOLUCIÓN 1
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SOLUCIÓN 2
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SOLUCIÓN 3
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pág. 262
SOLUCIÓN 4:
pág. 263
pág. 264
SOLUCIÓN 5:
pág. 265
3.3.2.
SOLUCIÓN: PRUEBA INTERMEDIA SOLUCION 1
pág. 266
pág. 267
SOLUCION 2)
SOLUCION 3)
3.3.3.
SOLUCIÓN: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN
pág. 268
pág. 269
3.4. BIBLIOGRAFÍA
LUMBRERA EDITORES (2000) Fisica I:UNA VISION ANALITICA DEL MOVIMIENTO VOLUMEN 1
LEYVA NAVEROS, Humberto, Física I, MOSHERA S.R.L, Lima,
2004 http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/problemas%20mecanica
%20general%20estatica%20pag%2061-162.pdf http://fisica.usach.cl/~lhrodrig/fisica1/estatica.pdf http://www.fisica.uson.mx/manuales/mecanica/mec-lab10.pdf
pág. 270