No¸c˜oes (b´asicas) de Topologia Geral, espa¸cos m´etricos, espa¸cos normados e espa¸cos com produto interno Andr´e Arbex Hallack Mar¸co/2007
Introdu¸c˜ ao
O presente texto surgiu para dar suporte a um Semin´ ario (de mesmo nome) oferecido pelo Departamento de Matem´atica da Universidade Federal de Juiz de Fora no Ver˜ao/2000 e tendo como principal objetivo fornecer algumas no¸ c˜oes b´asicas (elementares) de Topologia, tanto de espa¸cos topol´ogicos em geral como a topologia de espa¸ cos m´etricos, espa¸cos normados e espa¸cos com produto interno, procurando fornecer aos participantes uma vis˜ ao global de todos esses tipos de espa¸co, a ser utilizada (ao menos como referˆencia) em estudos mais avan¸cados na Matem´atica. Originalmente visando atender aos alunos do Bacharelado em Matem´ atica, o Semin´ario pˆode ser bem aproveitado tamb´ em por outros que tinham objetivos relacionados com o acima citado. ´ Os pr´e-requisitos b´ asicos para seguir o texto s˜ao no¸c˜oes de Teoria dos Conjuntos e Algebra Linear. Embora n˜ao sendo absolutamente necess´ario, tamb´ em ´e bom que se tenha tido algum contato com a topologia usual da Reta (conjuntos abertos, fechados, compactos, etc. em IR conte´udo geralmente visto em um primeiro curso de An´alise), bem como no¸c˜oes de convergˆencia de seq¨uˆencias e s´eries num´ericas. O primeiro cap´ıtulo trata de no¸c˜oes de Topologia Geral. Seguem-se cap´ıtulos sobre espa¸cos m´etricos, espa¸cos normados e espa¸cos com produto interno. Ao final do texto, foram acrescentados (a t´ıtulo de informa¸c˜ao adicional) trˆes apˆendices, tratando da Topologia Produto (sobre produtos cartesianos de espa¸cos topol´ogicos), bases em espa¸cos vetoriais e sobre o espa¸co IRn .
Andr´e Arbex Hallack
i
´Indice Introdu¸ c˜ ao
i
1Topologia Geral
1
1.1 Espa¸cos topol´ogicos . . . . . .
......
..... ......
..... .....
1
1.2 Base para uma topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Subespa¸cos topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Conjuntos fechados . . . . . .
4
......
.......
......
.......
.
1.5 Interior, vizinhan¸cas, fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Espa¸cos de Hausdorff . . . . . . .
.......
1.7 Seq¨uˆencias em espa¸cos topol´ogicos . . . . . . .
...... ......
....... .......
5 .....
9
.....
10
1.8 Fun¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Homeomorfismos . . . . . . . 1.10 C onexidade . . . . . . .
......
......
.......
.......
......
......
.......
.......
14
.
16
....
17
1.11 C ompacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2 Espa¸cos m´ etricos
23
2.1 Espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 A Topologia M´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Seq¨uˆencias em espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fun¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Compacidade em espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
25 26 28
31 33 35
2.8 M´etricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3 Espa¸cos normados
39
3.1 Espa¸cos normados . . . . . . .
......
.......
......
.......
39
3.2 A topologia da norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.3 Espa¸cos de Banach . . . . . . .
44
3.4 S´eries . . . . . .
.......
......
......
.......
.......
......
......
.......
.......
..
44
3.5 Transforma¸c˜oes lineares em espa¸cos normados . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Espa¸coscomprodutointerno
51
4.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2 Norma a partir de um produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Espa¸cos de Hilbert . . . . . . . 4.4 Ortogonalidade . . . . . . .
45
......
......
.......
.......
......
......
.......
.......
4.5 O Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Introdu¸c˜ ao` aTopologiaProduto B Sobre bases em espa¸cosvetoriais
..
53
54 55 55
57 63
C O espa¸co IRn Referˆ encias
67 75
Cap´ıtulo 1 Topologia Geral co Nosso principal objetivo neste primeiro cap´ıtulo ´e trabalhar com o conceito geral de espa¸ topol´ ogico e no¸c˜oes de convergˆ encia (de seq¨uˆencias), continuidade de fun¸c˜oes, conexidade e compacidade neste contexto.
1.1
Espa¸cos topol´ogicos
Defini¸c˜ ao 1.1. Uma TOPOLOGIA sobre um conjunto X ´e uma cole¸ c˜ao τ de subconjuntos de X ( τ (X ) ) satisfazendo `as seguintes propriedades:
⊂P
A.1) φ e X est˜ao em τ . A.2) A uni˜ao dos elementos de qualquer subcole¸c˜ao de τ est´ a em τ . A.3) A interse¸c˜ao dos elementos de qualquer subcole¸c˜ao finita de τ est´ a em τ . ´ Um conjunto X munido de uma topologia τ (fixada) ´e chamado ESPAC ¸ O TOPOLOGICO. Neste caso, dizemos que um subconjunto A X se, e somente se, A τ .
∈
⊂X
´e um conjunto ABERTO do espa¸ co topol´ogico
Exemplos: A) Topologia Discreta: Seja X um conjunto qualquer. A cole¸c˜ao τ = (X ) de todo s os subco njuntos de X ´e uma topologia sobre X , conhecida como TOPOLOGIA DISCRETA. Qualquer subconjunto de X ´e aberto na Topologia Discreta.
P
1
CAP´ITULO 1
2
B) Topologia Ca´otica: Seja X um conj unto qual quer. A cole¸c˜ao τ = φ , X ´e uma topologia sobre X , ´ conhecida como TOPOLOGIA CA OTICA. Os conjuntos φ e X s˜ao os ´unicos abertos de X na Topologia Ca´otica.
{
C) Seja X = a, b, c, d
{
τd = τc = τ1 = τ2 = τ3 = τ4 =
}
}
(X ) ´e a Topologia Discreta sobre X .
{Pφ , X } ´e a Topologia Ca´otica sobre X . { φ , {a} , {b} , {a, b} , X } ´e uma topologia sobre X . { φ , {a, b} , {c, d} , X } ´e uma topologia sobre X . { φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , X } n˜ao ´e uma topologia sobre X . { φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , {a, c, d } , {b, c, d } , X } ´e uma topologia sobre X .
D) Topologia Usual da Reta: Consideremos o conjunto IR dos n´umeros reais. A cole¸c˜ao τ dada por: τ = A IR; a A, > 0 com ( a , a + ) A ´e uma topologia sobre IR (mostre), conhecida como a Topologia Usual da Reta. Os abertos de IR, na Topologia Usual , s˜ao os subconjuntos A IR tais que: todos os seus pontos s˜ao centros de intervalos abertos inteiramente contidos em A.
{ ⊂
∀ ∈
∃
−
⊂ }
⊂
E) Topologia Usual do Plano Complexo (ou do IR 2 ): Consideremos o conjunto C = z = x + iy ; x, y IR dos n´umeros complexos. A cole¸c˜ao τ dada por: τ = A C; a A, > 0 com D (a) A ´e uma topologia (Usual) sobre C. D (a) = z C; z a < ´e o disco aberto de centro a e raio > 0. Os abertos de C, na Topologia Usual , s˜ao os subconjuntos A C tais que: cada um de seus pontos ´e centro de um disco ab erto inteiramente contido em A:
{ { ⊂ ∀ ∈ { ∈ | − | }
∃
∈ }
⊂ }
⊂
Topologia Geral
3
Comparando topologias: Sejam τ e τ duas topologias sobre um conjunto X . Se τ τ ent˜ao dizemos que a topologia τ ´e MAIS FORTE (ou MAIOR ou MAIS FINA) que τ , ou equivalentemente, que a topologia τ ´e MAIS FRACA (ou MENOR ou MAIS GROSSA) que τ . (Exemplos)
⊂
Exerc´ıcios: 1) Determine todas as topologias poss´ıveis sobre o conjunto X = a, b, c
{
}. U ⊂X
2) Seja X um conjunto qualquer. Seja τf a cole¸c˜ao dos subconjuntos X U ´e finito ou U = φ :
\
τf =
tais que
{ U ⊂ X ; X \U ´e finito} ∪ { φ }
(a) Mostre que τf ´e uma topologia sobre o conjunto X (´e chamada a Topologia do Complemento Finito). (b) O que podemos dizer de τf se X ´e um conjunto finito?
3) Seja X um espa¸co topol´ogico. Seja A X tal que para cada conjunto aberto Ux com x Ux A. Mostre que A ´e aberto em X .
∈
1.2
⊂
⊂
x
∈A
existe um
Base para uma topologia
Defini¸c˜ ao 1.2. Seja X um conjunto qualquer. Uma cole¸c˜ao de subconjuntos de X ´e uma BASE PARA UMA TOPOLOGIA SOBRE X se, e somente se, as duas condi¸c˜oes abaixo s˜ao satisfeitas:
B
1) Para cada x
∈
X , existe pelo menos um conjunto B
2) Se x pertence `a interse¸c˜ao de dois conjuntos B3 tal que x B3 B1 B2 .
∈B
∈
⊂
B1 ,
∩
∈ B tal que x ∈ B . B ∈ B ent˜ao existe um conjunto 2
O termo BASE se justifica pois se ´e base para uma topologia sobre X podemos construir a partir de uma topologia τB sobre X (chamada TOPOLOGIA GERADA POR ), dada por: τB = U X ; x U, B com x B U
B
B
{ ⊂
´ imediato que E
B⊂
B
∀ ∈ ∃ ∈B
τB (os conjuntos B
∈B
∈ ⊂ }
´ s˜ao chamados ABERTOS B ASICOS)
CAP´ITULO 1
4
Exemplos: A) A cole¸c˜ao = I IR ; I ´e intervalo aberto ´e uma base para a Topologia Usual da Reta, ou seja, ´e uma base para uma topologi a em IR e a topologia gerada por ´e a Topologia Usual da Reta (verifique).
B { ⊂
B) Seja X = f : IR IR
{
}
→ IR}
B
o conjunto de todas as fun¸ c˜oes de IR em IR (tamb´em de-
notado por IR ). Dados um con junto finito F = x1 , x2 ,..., x n IR e uma cole¸c˜ao de n abertos = U1 , U2 ,..., U n (na Topologia Usual da Reta), considere o conjunto BF, U = f X ; f (xi ) Ui i = 1, 2,..., n . A cole¸c˜ao = B F, U ; F e como acima (variando) ´e uma base para uma topologia sobre X (mostre).
{ ∈
U
{
B {
∈
∀
}
U
{
}
}⊂
}
Exerc´ıcios: 1) Se ´e uma base para uma topologia sobre X , mostre que τB definida anteriormente ´e de fato uma topologia sobre X .
B
2) Sejam X um conjunto e uma base para uma topologia τB ´e a cole¸c˜ao de todas as uni˜oes de elementos de .
B
1.3
B
τB sobre X . Mostre que
Subespa¸cos topol´ogicos
Defini¸c˜ ao 1.3. Seja X um espa¸co topol´ogico, munido de uma topologia τ . Se Y ´e um subconjunto de X , podemos ent˜ao construir uma topologia natural sobre Y , a partir da topologia τ : τY = Y A; A τ ´e uma topologia sobre Y (mostrar), chamada TOPOLOGIA DE SUBESPAC ¸ O e o espa¸ co topol´ogico (Y, τY ) ´e dito SUBESPAC ¸O ´ (TOPOLOGICO) do espa¸co topol´ogico (X, τ ).
{ ∩
Os abertos do subespa¸co Y abertos de X . (Exemplos)
1.4
⊂X
∈ }
consistem portanto de todas as interse¸c˜oes de Y com os
Conjuntos fechados
Defini¸c˜ ao 1.4. Um subconjunto F de um espa¸co topol´ogico X ´e dito ser FECHADO se, e somente se, o conjunto A = X F ´e aberto.
\
Topologia Geral
5
Teorema 1.5. Seja X um espa¸co topol´ogico. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas: F.1) φ e X s˜ao fechados. F.2) Interse¸c˜oes arbitr´arias de conjuntos fechados s˜ao conjuntos fechados. F.3) Uni˜oes finitas de conjuntos fechados s˜ao conjuntos fechados.
Exerc´ıcios: 1) Prove o Teorema 1.5 acima. 2) Mostre que se A ´e aberto em X (i. ´e, A ´e aberto do espa¸co topol´ogico X ) e F ´e fechado em X ent˜ao A F ´e aberto em X e F A ´e fechado em X .
\
1.5
\
Interior, vizinhan¸cas, fecho
Defini¸c˜ ao 1.6. (Interior) Dado um subconjunto B de um espa¸co topol´ogico X , definimos o INTERIOR de B ( int B ) como a uni˜ao de todos os conjuntos abertos contidos em B . Teorema 1.7. Seja X um espa¸co topol´ogico. S˜ao conseq¨uˆencias imediatas da defini¸c˜ao de interior de um conjunto (mostre): a) int B
∀ B ⊂ X. b) int B ´e aberto ∀ B ⊂ X . c) B ´e aberto ⇐⇒ B = int B . d) A ⊂ B ⇒ int A ⊂ int B ∀ A, B ⊂ X . e) int( A ∩ B ) = int A ∩ int B ∀ A, B ⊂ X . ⊂
B
B ⊂X
Exerc´ıcio: Mostre que, A, B X (espa¸co topol´ogico), int ( A Dˆe um exemplo em que esta inclus˜ao n˜ao se reduz `a igualdade.
∀
⊂
∪ B) ⊃
int A
∪
int B .
Defini¸c˜ ao 1.8. (Vizinhan¸ca) Seja X um espa¸co topol´ogico. Um subconjunto V X ´e uma VIZINHANC ¸ A de um ponto x X se, e somente se, existe um aberto A tal que x A V.
∈
⊂
∈ ⊂
CAP´ITULO 1
6
Teorema 1.9. Seja X um espa¸co topol´ogico. S˜ao conseq¨ uˆencias imediatas da defini¸c˜ao de vizinhan¸ca (mostre): a) V ´e vizinhan¸ca de x b) A ´e aberto
A⊂X
⇐⇒
∈ X ⇔ x ∈ int V
A ´e vizinhan¸ca de cada um de seus pontos.
Exerc´ıcios: 1) Mostre que a interse¸c˜ao de duas vizinhan¸cas de um ponto ´e uma vizinhan¸ca deste ponto. 2) Sejam τ τ duas topologias sobre um conjunto X . Mostre que se V ´e uma vizinhan¸ca de um ponto x X na topologia mais fraca τ ent˜ao V ´e uma vizinhan¸ca de X na topologia mais forte τ . Mostre atrav´es de um exemplo que a rec´ıproca da afirma¸ c˜ao acima n˜ao ´e verdadeira.
⊂
∈
Defini¸c˜ ao 1.10. (Base de vizinhan¸cas de um ponto) Dado x X (espa¸co topol´ogico), uma cole¸c˜ao e dita ser uma x de vizinhan¸cas de x ´ BASE DE VIZINHANC ¸ AS DE x se, e somente se, para cada vizinhan¸ ca V de x ´e poss´ıvel
∈
B
x tal que B obter uma vizinhan¸ca B V. ´ Os elementos B ao chamados VIZINHANC ¸ AS BASICAS DE x. x s˜
∈B
∈B
⊂
Exerc´ıcios: 1) Seja B uma base para uma topologia τB sobre um espa¸co X (ver Se¸c˜ao 1.2). Dado ∈ X , mostre que a cole¸c˜ao B = {B ∈ B ; x ∈ B } ´e uma base de vizinhan¸cas de x. 2) Mostre que B = { (x − , x + ) ; > 0 }, intervalos abertos centrados em um ponto x ∈ IR , formam uma base de vizinhan¸cas de x na Topologia Usual da Reta. 3) Seja X = {f : IR → IR} . Considerando o Exemplo B da Se¸c˜ao 1.2, mostre que
x
x
x
= VF, = f X ; f (x) < IR , > 0 x F F (finito) O cas da fun¸c˜ao nula nhan¸ : IR IR na topologia consid erada.
B
{
{ ∈
|O | → ∀ ∈ }
⊂
´e uma base de vizi-
}
Defini¸c˜ ao 1.11. (Fecho) Seja X um espa¸co topol´ogico. Dado um subconjunto B X , definimos o FECHO DE B (B¯ ou cl X B ou cl B ) como a interse¸c˜ ao de todos os conjuntos fechados que contˆem B .
⊂
Topologia Geral
7
Teorema 1.12. Seja X um espa¸co topol´ogico. S˜ao conseq¨ uˆ encias imediatas da defini¸c˜ao de fecho de um conjunto (mostre): a) B
∀ B ⊂ X. b) cl B ´e fechado ∀ B ⊂ X . c) B ´e fechado ⇐⇒ B = cl B . d) A ⊂ B ⇒ cl A ⊂ cl B ∀ A, B ⊂ X . e) cl (A ∪ B ) = cl A ∪ cl B ∀ A, B ⊂ X . ⊂
cl B
B ⊂X
Teorema 1.13. Seja X um espa¸co topol´ogico. Dados B
x
∈
⊂ X e x ∈ X , temos:
cl B se, e somente se, toda vizinhan¸ca de x intersecta o conjunto B .
Prova:
Exerc´ıcios: seguinte sobre X : τ =1) φConsidere , X, a o, conjunto a, b , a,Xc,=d a,, b,a,c, b,d,c,e d e, a a, b, e topologia . (a) Obtenha todas as vizinhan¸cas do ponto c. (b) Qual a “menor” base de vizinhan¸cas do ponto a ? (c) Obtenha o fecho do subconjunto b, c X. (d) Obtenha o interior do subconjunto a, b, c X. (e) Se A = a, c, e , qual ´e a topologia relativa (de subespa¸co) de A ?
{
{} { } {
{
}
{} {
}} {
{ }⊂ { }⊂
}}
CAP´ITULO 1
8
2) Mostre por um contra-exemplo que podemos ter int ( cl A) = cl ( int A).
3) Considere B X int B = cl( X B ).
⊂ X (espa¸co topol´ogico). Mostre que X \ cl B = int ( X \B ) e que \ 4) Seja Y ⊂ X (espa¸co topol´ogico). Mostre que { Y ∩ F ; F ´e fechado em X } ´e a cole¸c˜ao dos conjuntos fechados do subespa¸co topol´ogico Y ⊂ X . 5) Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espa¸co topol´ogico). Mostre que cl B = Y ∩ cl B . \
Y
X
Obs.: cl Y B ´e o fecho de B no espa¸co Y (subespa¸co topol´ogico de X ) cl X B ´e o fecho de B no espa¸co X . (Sugest˜ao: use o exerc´ıcio anterior)
6) Mostre que A
⊂ X (espa¸co topol´ogico) ´e aberto se, e somente se, A ∩ cl (X \A) = φ . 7) Mostre que se A, B ⊂ X (espa¸co topol´ogico), ent˜ao cl( A ∩ B ) ⊂ ( cl A ∩ cl B ).
Dˆe um exemplo em que esta inclus˜ao n˜ao se reduz `a igualdade.
8) Se um aberto A cont´em pontos do fecho de B , ent˜ao A cont´em pontos de B (mostre). 9) (Pontos de acumula¸c˜ao) Seja B X (espa¸co topol´ogico). Um ponto x X ´e ˜ DE B se, e somente se, toda vizinhan¸ ca de x intersecta dito PONTO DE ACUMULAC ¸ AO B x . Denotamos por B o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de B . Mostre que cl B = B B B X . Podemos garantir que B ´e sempre fechado? Caso a resposta seja SIM, prove. Se n˜ ao, apresente um contra-exemplo.
⊂
\{ }
∪
∈
∀ ⊂
10) (Fronteira) Seja B X (espa¸co topol´ogico). Definimos a FRONTEIRA DE B (e escrevemos fr B ou ∂B ) como o conjunto:
⊂
fr B = cl B
∩
cl (X B )
\
(a) Mostre que int B fr B = φ (b) Mostre que fr B = φ B ´e aberto e fechado. (c) Mostre que A ´e aberto fr A = (cl A) A.
∩
⇔ ⇔
\
(d) Mostre que se A ´e aberto ent˜ ao sua fronteira possui interior vazio. (e) Dˆe exemplo de um conjunto B , que n˜ao seja vazio nem o espa¸ co todo, cuja fronteira seja um conjunto aberto. (f) Mostre que se F ´e fechado ent˜ ao sua fronteira tem interior vazio.
11) (Densidade) Um subconjunto B X (espa¸co topol´ogico) ´e DENSO EM X se, e somente se, cl X B = X . ´ Um espa¸co topol´ogico ´e dito SEPARAVEL se possuir um subconjunto enumer´avel denso.
⊂
Topologia Geral
9
Sejam B Y X (espa¸co topol´ogico). B ´e denso em Y se, e somente se, B ´e denso no subespa¸co Y (com a topologia de subespa¸co), isto ´e, se, e somente se, cl Y B = Y . Se B Y X (espa¸co topol´ogico), mostre que B ´e denso em Y se, e somente se, Y cl X B .
⊂ ⊂
⊂
⊂
A
⊂
12) Mostre que se A ´e aberto em X (espa¸co topol´ogico) e D ´e denso em A.
∩D
⊂X
´e denso em X ent˜ ao
13) Um subconjunto H de um espa¸co topol´ogico X ´e chamado “NOWHERE DENSE” (ou “RARO”) quando int ( cl X H ) = φ . Prove: Se H ´e um subconjunto “nowhere dense” de X , ent˜ao X ( cl X H ) ´e denso em X .
\
14) Para cada n = 0, 1, 2, 3,... , seja An = n, n + 1 , n + 2,... . Consideremos em X = 0, 1, 2, 3,... a topologia τ = φ , An ; n = 0, 1, 2, 3,... . (a) Determine os subconjuntos fechados de ( X, τ ). (b) Determine o fecho dos conjuntos 8, 12, 36 e 2n ; n X . (c) Determine quais os subconjuntos de X que s˜ao densos em X .
{
}
{
{
{
1.6
} {
}
}
∈ }
Espa¸cos de Hausdorff
Defini¸c˜ ao 1.14. Um espa¸co topol´ogico X ´e dito ser um ESPAC ¸ O DE HAUSDORFF se, e somente se, para cada par de pontos distintos x, y X ´e poss´ ıvel obter abertos disjuntos U e V tais que x U e y V .
∈
∈
∈
Um espa¸co de Hausdorff ´e tamb´ em chamado SEPARADO, ou T2 .
Teorema 1.15. Todo conjunto unit´ario em um espa¸co de Hausdorff ´e fechado. Prova:
Corol´ ario 1. Todo conjunto finito em um espa¸co de Hausdorff ´e fechado. (Exemplos)
CAP´ITULO 1
10
Exerc´ıcios: 1) (Alguns axiomas de separa¸c˜ao) Consideremos as classifica¸c˜oes abaixo:
T0 : Um espa¸co topol´ogico X ´e dito ser T0 (ou a topologia de X ´e dita T0 ) se, e somente se, dados dois pontos distintos x, y X (x = y ), existe um aberto contendo um destes pontos e n˜ao contendo o outro.
∈
T1 : Um espa¸co topol´ogico X ´e dito ser T1 se, e somente se, dados dois pontos distintos x, y X (x = y ), existem abertos U e V tais que x U, y V, x V e y U .
∈
∈
∈
∈
∈
T2 : Um espa¸co topol´ogico X ´e dito ser T2 (ou Hausdorff) se, e somente se, dados dois pontos distintos x, y X (x = y ), existem abertos disjuntos U e V tais que x U e y V.
∈
∈
∈
Obs.: Existem outros axiomas de separa¸c˜ao (T3 , T3 / , T4 ,... ) 1 2
´ ´obvio que todo espa¸co T2 ´e T1 e todo espa¸co T1 ´e T0 . Por´em nem todo espa¸co T0 ´e T1 (a) E e nem todo espa¸co T1 ´e T2 (caso contr´ario n˜ao faria sentido definir espa¸cos de tipos diferentes!) Dˆe um exemplo de um espa¸co que n˜ao ´e T0 . Dˆe um exemplo de um espa¸co que ´e T0 mas n˜ao ´e T1 . Dˆe um exemplo de um espa¸co que ´e T1 mas n˜ao ´e T2 (Sugest˜ao: mostre que qualquer conjunto infinito com a Topologia do Complemento Finito - ver exerc´ıcios da Se¸c˜ao 1.1 - ´e T1 mas n˜ao ´e T2 ). (b) Mostre que um espa¸co topol´ogico ´e T1 se, e somente se, todo subconjunto unit´ ario ´e fechado.
2) Sejam τ τ duas topologias sobre um conjunto X (τ mais forte que τ ). Que tipo de resultado podemos inferir sobre essas topologias com rela¸ c˜ao aos axiomas de separa¸c˜ao T0 , T1 e T2 ? O que podemos concluir sobre as “chances” de uma topologia atender ` as condi¸c˜oes T0 , T1 ou T2 , no que diz respeito `a sua “for¸ca”?
⊂
1.7
Seq¨ uˆ encias em espa¸ cos topol´ogicos
Defini¸c˜ ao 1.16. Sejam X um espa¸co topol´ogico e (xn ) X uma seq¨uˆ encia em X . Um ponto x X ´e LIMITE da seq¨ uˆ encia (xn ) (equivalentemente dizemos que (xn ) converge para x e escrevemos xn x) se, e somente se, para cada vizinhan¸ ca V de x ´e poss´ ıvel obter um ´ındice n0 IN tal que n > n0 xn V .
⊂
∈
∈
→
⇒
∈
Topologia Geral
11
´ interessante notar a importˆancia da topologia no conceito de convergˆ Observa¸ c˜ ao: E encia de seq¨uˆencias, ou melhor, dada uma seq¨uˆ encia (xn ) em um espa¸co topol´ogico X , a convergˆ encia ou n˜ ao de (xn ) para um ponto x X depende fortemente da topologia considerada sobre X . Por este mo tivo, `as vezes ´e conveniente explicitarmos qual topologia est´a sendo considerada, principalmente quando o problema puder envolver mais de uma topologia sobre um mesmo conjunto X .
∈
Exemplo:
Exerc´ıcio: Sejam X um espa¸co topol´ogico e ( xn ) uma seq¨uˆencia em X . (a) Dado x X , fixe uma base xn x se, e x de vizinhan¸cas de x e mostre que somente se, para cada vizinhan¸ca b´ asica V de ´ e poss´ ıvel obter um ´ ındice IN x n x 0 tal que n > n0 xn V . (Veja: base de vizinhan¸cas de um ponto, Se¸c˜ao 1.5)
∈
⇒
B
∈
∈B
→
∈
Obs.: Moral da est´oria: podemos verificar (e at´e definir) convergˆ encia de seq¨uˆencias utilizando vizinhan¸cas b´asicas.
CAP´ITULO 1
12
(b) Consideremos a Topologia Usual da Reta IR. Utilizando a parte (a) anterior e o fato de que os intervalos abertos centrados em um ponto da reta constituem uma base de vizinhan¸ cas desse ponto, conclua que (na Topologia Usual) uma seq¨ uˆencia (xn ) IR converge para um ponto x IR se, e somente se , dado > 0, existe um ´ındice n0 IN tal que n > n0 xn x < .
⊂
∈ ⇒| − |
∈
Obs.: A caracteriza¸c˜ao de convergˆencia obtida acima em (b) (e utilizada como defini¸c˜ao quando ´e fixada a Topologia Usual da Reta) ´e um caso particular da defini¸c˜ao 1.16!
Teorema 1.17. Se X ´e um espa¸ co de Hausdorff ent˜ ao toda seq¨uˆencia convergente em X converge para um unico ´ limite. Teorema 1.18. Sejam X um conjunto e τ τ duas topologias sobre X (τ mais forte do τ τ que τ ). Se (xn ) X ´e tal que xn x X ent˜ao xn x.
⊂
→ ∈
⊂
→
Teorema 1.19. Sejam X um espa¸co topol´ogico e B X um subconjunto de X . Se existe uma seq¨ uˆencia (xn ) em B (xn B n) que converge para um ponto x X , ent˜ao x cl B .
∈ ∀
⊂
∈
∈
Observa¸ c˜ ao: A rec´ıproca do teorema acima n˜ ao ´ e verdadeira em geral. ´ poss´ıvel obter um espa¸co topol´ogico X , um subconjunto B X e um ponto x E tais que x cl B mas n˜ao existe nenhuma seq¨uˆencia (xn ) B convergindo para x.
∈
O contra-exemplo a seguir ilustra essa situa¸c˜ao.
Contra-exemplo:
⊂
⊂
X
∈
Topologia Geral
13
Apesar de existirem (e muitos) espa¸ cos onde, devido a suas topologias, a rec´ıproca do Teorema 1.19 ´e verdadeira (por exemplo: IR e C com suas Topologias Usuais), n˜ ao podemos em geral, `a luz da observa¸c˜ao e do contra-exemplo acima, caracterizar (nem definir portanto) o fecho de um conjunto B como o conjunto dos limites de seq¨uˆencias em B . Por esta inadequa¸ c˜ ao das seq¨uˆ encias na caracteriza¸ c˜ ao do fecho surgem novos conceitos, de FILTROS e NETS (generaliza¸c˜ao de seq¨uˆencias) que ajudam a contornar o problema acima.
Exerc´ıcios: 1) Prove o Teorema 1.17 2) Prove o Teorema 1.18 3) Prove o Teorema 1.19 4) Seja X um espa¸co topol´ogico onde n˜ao ´e v´ alida a rec´ıproca do Teorema 1.19, isto ´e, existem um subconjunto B X e um ponto x X tais que x cl B mas n˜ao existe nenhuma seq¨uˆencia (xn ) B convergindo para x.
⊂
⊂
∈
∈
Para cada D X , definimos o conjunto D = x (D ´e o conjunto dos limites de seq¨uˆencias em D).
{ ∈ X ; ∃ (x ) ⊂ D
⊂
n
com lim xn = x
}
Usando o conjunto B acima, prove que o conjunto D nem sempre ´e fechado (seu complementar n˜ao ´e aberto) e conclua que n˜ao podemos definir os conjuntos fechados de X como os conjuntos F tais que F = F (isto ´e, os conjuntos que s˜ao iguais ao conjunto dos limites de suas seq¨uˆencias).
5) Um espa¸co topol´ogico X satisfaz ao 1 o AXIOMA DA ENUMERABILIDADE quando cada ponto de X possui uma base de vizinhan¸cas enumer´ avel. o (a) Sendo X um espa¸co topol´ogico que satisfaz ao 1 Axioma da Enumerabilidade, mostre que cada x X possui uma base enumer´avel de vizinhan¸cas “encaixadas”:
∈
B
x
=
{ V ⊃ V ⊃ V ⊃ . . . ⊃ V ⊃ . . .} 1
2
3
n
o
(b) Se X ´e um espa¸co topol´ogico que satisfaz ao 1 Axioma da Enumerabilidade, mostre que em X vale a rec´ıproca do Teorema 1.19, ou seja, se um ponto x pertence ao fecho cl B de um conjunto B X , ent˜ao existe uma seq¨uˆencia (xn ) em B tal que xn x. A partir da´ı, conclua que neste tipo de espa¸co podemos definir o fecho de um conjunto de uma nova maneira (defina). 2 (c) Mostre que a reta IR e o plano complexo C (IR ) com suas Topologias Usuais s˜ao o espa¸cos topol´ogicos que satisfazem ao 1 Axioma da Enumerabilidade (no estudo de An´alise na Reta e An´alise no IRn , onde s˜ao consideradas as Topologias Usuais, podemos caracterizar e portanto definir o fecho de um conjunto atrav´es de seq¨uˆencias).
⊂
→
CAP´ITULO 1
14
1.8
Fun¸c˜ oes cont´ınuas
Defini¸c˜ ao 1.20. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. Uma fun¸c˜ao f : X Y ´e dita ser ´ CONTINUA se, e somente se, para cada subconjunto A aberto de Y , sua image m inversa f −1 (A) ´e um aberto de X .
→
(Exemplos) Teorema 1.21. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos e f : X
→ Y . Ent˜ao, s˜ao equivalentes:
(1) f ´e cont´ ınua. (2) Para todo conjunto F fechado em Y , f −1 (F ) ´e fechado em X . (3) Para todo subconjunto B (4) Para todo subconjunto
⊂ X , tem-se D ⊂ Y , tem-se
f ( cl B )
⊂ cl (f (B )). f − (int D) ⊂ int( f − (D)) . 1
1
Prova: Exerc´ıcio ´ importante notar que, dados dois espa¸cos topol´ogicos X e Y e uma fun¸c˜ao Observa¸ c˜ ao: E
f :X Y , a continuidade de f depende das topologias consideradas sobre X e Y . Este fato enfatiza a natureza topol´ogica do conceito de continuidade.
→
Teorema 1.22. Sejam X, Y e Z espa¸cos topol´ogicos. Temos: (a) (Fun¸cao ˜ constante) Se f : X Y “leva” todo X em um ´unico ponto y0 Y ent˜ao f ´e cont´ınua. (b) (Inclus˜ao) Se B X ´e subespa¸ co de X , ent˜ao a fun¸c˜ao de inclus˜ao j : B X , dada por j (x) = x x B , ´e cont´ınua. (c) (Composi¸c˜ao) Se f : X Y e g:Y Z s˜ao cont´ ınuas ent˜ ao a aplica¸c˜ao composta g f :X Z ´e cont´ınua. (d) (Restringindo o dom´ınio) Se f : X Y ´e cont´ınua e B X ´e um subespa¸ co de X , ent˜ ao a restri¸c˜ao f B : B Y ´e cont´ınua. (e) (Restringindo ou estendendo o contra-dom´ınio) Seja f : X Y cont´ınua. Se Z Y ´e um subespa¸ co de Y tal que f (X ) Z ent˜ ao a fun¸c˜ao g : X Z dada por g (x) = f (x) para todo x X ´e cont´ ınua. Se Z ´e um espa¸ co tal que Y Z ´e subespa¸co de Z ent˜ao a fun¸cao ˜ h:X Z dada por h(x) = f (x) para todo x X ´e cont´ınua.
→
∀ ∈
◦
∈
⊂
→
→
→
→
→
|
∈ →
Prova: Exerc´ıcio.
→
⊂
⊂
∈
⊂
→ →
⊂
Topologia Geral
15
Defini¸c˜ ao 1.23. (Continuidade em um ponto) Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. A aplica¸c˜ao f :X Y ´e dita CONT´INUA NO PONTO x0 X se, e somente se, para cada vizinhan¸ca V de f (x0 ) em Y ´e poss´ ıvel obter uma vizinhan¸ ca U de x0 em X tal que f (U ) V .
→
∈
⊂
Teorema 1.24. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. A aplica¸c˜ ao f : X somente se, f ´e cont´ ınua em todo ponto de X .
→Y
´e cont´ ınua se, e
Prova: Exerc´ıcio
Exerc´ıcios: 1) Seja X = A B um espa¸co topol´ogico, com A e B fechados em X . Sejam f : A Y e g:B Y cont´ınuas, de modo que f (x) = g(x) x
∪
∀ ∈ A ∩ B. Mostre que ´e poss´ıvel combinar f e g para construir uma fun¸c˜ao cont´ ınua h : X → Y pondo h(x) = f (x) se x ∈ A e h(x) = g (x) se x ∈ B . →
→
2) Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos, Y de Hausdorff e f, g : X Y cont´ınuas em a X . Mostre que se f (a) = g (a) ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de a em X tal que
∈
x, y
→
∈ V ⇒ f (x) = g(y).
3) Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos e f : X
→Y.
(a) Dado x0 X , fixe uma base de vizinhan¸cas de x0 e uma base x f (x ) de vizinhan¸cas de f (x0 ). Mostre que f ´e cont´ ınua em x0 se, e somente se, para cada vizinhan¸ca b´ asica V asica U e poss´ıvel obter uma vizinhan¸ ca b´ de x0 tal que f (x ) de f (x0 ) ´ x f (U ) V .
∈
⊂
∈B
B
B
0
∈B
0
0
0
Obs.: Moral da est´oria: podemos verificar (e at´e definir) continuidade de uma fun¸c˜ao num ponto utilizando vizinhan¸cas b´asicas. (b) Sabendo que os intervalos abertos centrados em um ponto x IR constituem uma base de vizinhan¸cas desse ponto na Topologia Usual da Reta, mostre que uma fun¸ c˜ao f : IR IR ´e cont´ ınua em x IR (considerando a Topologia Usual) se, e somente se, dado > 0 ´e 0 poss´ıvel obter um δ > 0 tal que x x0 < δ f (x) f (x0 ) < .
∈
∈
| − |
⇒|
−
→
|
Obs.: A caracteriza¸c˜ao obtida acima em (b) (e utilizada como defini¸ c˜ao quando ´e fixada a Topologia Usual da Reta) ´e um caso particular da defini¸c˜ao 1.23!
CAP´ITULO 1
16
Teorema 1.25. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. Se a fun¸c˜ao f : X Y ´e cont´ınua em x0 X ent˜ao, para toda seq¨uˆencia (xn ) X tal que xn x0 , temos que f (xn ) f (x0 ) em Y .
∈
⊂
→
→
→
Prova:
Observa¸ c˜ ao: A rec´ıproca do teorema acima n˜ ao ´ e verdadeira em geral. Assim, da mesma forma que no caso do fecho, as seq¨ uˆencias mostram-se inadequadas para a caracteriza¸c˜ao da continuidade, no caso geral (vale ressaltar que existem casos - por exemplo IR e C com suas Topologias Usuais - nos quais vale a rec´ıproca do teorema acima e portanto tal caracteriza¸c˜ao ´e poss´ıvel).
Exerc´ıcio: Mostre que se X ´e um espa¸co topol´ogico que satisfaz ao 1 o Axioma da Enumerabilidade (ou seja, cada ponto de X possui uma base de vizinhan¸ cas enumer´avel), ent˜ao vale a rec´ıproca do teorema acima e neste caso podemos caracterizar a continuidade atrav´es de seq¨uˆencias.
1.9
Homeomorfismos
Defini¸c˜ ao 1.26. Consideremos uma bije¸c˜ao f : X Y entre dois espa¸cos topol´ogicos X e Y . Dizemos que f ´e um HOMEOMORFISMO se, e somente se, f e sua fun¸c˜ao inversa f −1 : Y X s˜ao cont´ınuas. Dois espa¸ cos topol´ogicos s˜ao ditos HOMEOMORFOS se existir um homeomorfismo entre ambos.
→
→
Defini¸c˜ ao 1.27. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos. Uma aplica¸c˜ao f : X Y ´e dita ABERTA se, e somente se, para todo A X aberto em X tem-se f (A) Y aberto em Y . f :X Y ´e dita FECHADA se, e somente se, para todo F X fechado em X tem-se f (F ) Y fechado em Y .
→ ⊂
⊂
⊂
⊂
→
Topologia Geral
17
Observa¸ c˜ ao: Se X e Y s˜ao espa¸cos topol´ogicos homeomorf os, p or um homeomorfismo f : X Y , ent˜ao ´e imediato que se A X ´e aberto ent˜ ao f (A) Y ´e aberto (f ´e uma aplica¸c˜ao aberta), ´ imediato se F X ´e fechado ent˜ ao f (F ) Y ´e fechado (f ´e uma aplica¸c˜ao fechada). E − 1 tamb´ em que f ´e uma aplica¸c˜ao aberta e fechada.
⊂
⊂
→
⊂
⊂
Assim, se dois espa¸cos topol´ogicos X e Y s˜ao homeomorfos, podemos dizer que ambos s˜ao INDISTINGU´IVEIS DO PONTO DE VISTA TOPOL OGICO. ´
1.10
Conexidade
˜ de um espa¸co topol´ogico X ´e uma decomposi¸ Defini¸c˜ ao 1.28. (Cis˜ao) Uma CIS AO c˜ao X=A B onde A B = φ e os conjuntos A e B s˜ao ambos abertos em X .
∪
∩
Observa¸ c˜ ao: Todo espa¸co topol´ogico X admite a cis˜ao trivial X = X
∪
φ.
Defini¸c˜ ao 1.29. (Conexos) Um espa¸co topol´ogico X ´e dito CONEXO se, e somente se, ele n˜ao admite outra cis˜ao al´em da cis˜ ao trivial. ´ imediato que um espa¸co topol´ogico ´e conexo se, e somente se, os ´unicos Observa¸ c˜ ao: E subconjuntos de X que s˜ao simultaneamente abertos e fechados em X s˜ao o conjunto vazio φ e o pr´oprio espa¸co X . O pr´oximo teorema ´e u´til na caracteriza¸c˜ao de cis˜ao de um subespa¸co topol´ogico:
Teorema 1.30. Seja Y X (espa¸co topol´ogico). Y = A B , com A B = φ , ´e uma cis˜ao do subespa¸co Y X se, e somente se, cl A B = φ = A cl B , onde os fechos s˜ao considerados no espa¸co X .
⊂
⊂
∩
∪
∩
∩
Prova: Exerc´ıcio.
Lema 1.31. Seja X = A B uma cis˜ao do espa¸co topol´ogico X . Seja Y conexo (e n˜ao-vazio) ent˜ao ou Y A ou Y B .
∪
Prova:
⊂
⊂
X . Se Y ´e
⊂
CAP´ITULO 1
18
Teorema 1.32. A uni˜ao de uma cole¸c˜ ao de conjuntos conexos com pelo menos um ponto em comum ´e conexa. Prova:
Teorema 1.33. Se A
⊂X
´e conexo e A
⊂ B ⊂ cl A
ent˜ao B ´e conexo.
Prova:
Corol´ ario 1. Se A ´e conexo e B ´e formado a partir de A adicionando-se alguns ou todos os pontos de seu fecho ent˜ao B ´e conexo.
Exerc´ıcios: 1) Seja An uma seq¨uˆencia de subconjuntos conexos de um espa¸co topol´ogico X , tais que An An+1 = φ para todo n. Mostre que a uni˜ao An ´e conexa.
{ }
∩ 2) Seja { A } uma cole¸c˜ao de subconjuntos conexos de um espa¸ co topol´ogico X . Seja A ⊂ X conexo. Mostre que se A ∩ A = φ para todo α, ent˜ao a uni˜ao A ∪ ( A ) ´e
α
α
conexa.
3) (Teorema da Alfˆandega) Seja A X (espa¸co topol´ogico). Mostre que se C conexo, C A= φ e C (X A) = φ ent˜ao C fr A = φ .
∩
∩
\
⊂
∩
n
⊂ X ´e
Topologia Geral
19
Teorema 1.34. A imagem de um espa¸co conexo por uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e conexa. Prova:
Nota: O teorema acima garante que se um espa¸ co topol´ogico conexo X ´e homeomorfo a um espa¸co Y , ent˜ao Y ´e conexo, ou melhor, a conexidade ´e uma invariante topol´ogica. Por ´ este motivo, diz-se tamb´em que a conexidade ´e uma PROPRIEDADE TOPOLOGICA. Exerc´ıcios: 1) Uma aplica¸c˜ao f : X Y ´e dita LOCALMENTE CONSTANTE se, e somente se, para todo x X existe uma vizinhan¸ca V de x onde f ´e constante. Mostre que se f : X Y ´e localmente constante e X ´e conexo ent˜ ao f ´e constante.
∈
→
→
2) (Teorema do Valor Intermedi´ario): (a) Prove que todo subconjunto conexo de IR (na Topologia Usual) ´e um intervalo. (b) Sejam X conexo e f : X IR (Topologia Usual) cont´ınua. Mostre que f tem a ´ PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIARIO, isto ´e, se existem x1 , x2 X tais que f (x1 ) = a < b = f (x2 ) ent˜ao, dado c entre a e b (a < c < b ) existe x X tal que f (x) = c.
→
∈
∈
3) Seja A X (espa¸co topol´ogico). Dado a A, definimos a COMPONENTE CONEXA Ca DE a como a reuni˜ao de todos os subconjuntos conexos de A que contˆem a. (a) Mostre que Ca ´e o maior subconjunto conexo de A contendo o ponto a. (b) Seja h : X Y um homeom orfismo. Mostre que se Cx ´e a componente conexa do ponto x em X ent˜ao Dy = h(Cx ) ´e a componente conexa de y = h(x) em Y .
⊂
∈
→
Obs.: A letra (b) anterior mostra que um homeomorfismo h:X Y estabelece uma bije¸c˜ao entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y .
→
CAP´ITULO 1
20
1.11
Compacidade
Defini¸c˜ ao 1.35. (Cobertura) Uma cole¸c˜ao de subconjuntos de um espa¸co topol´ogico X ´e ´ dita uma COBERTURA de X se, e somente se, a uni˜ ao dos elementos de ´e igual a X . E chamada uma COBERTURA ABERTA se os elementos de s˜ao abertos em X .
A
A
A
Defini¸c˜ ao 1.36. (Compactos) Um espa¸co topol´ogico X ´e dito COMPACTO se, e somente se, toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita, isto ´e, cont´ em uma subcole¸ c˜ao finita que tamb´ em cobre X .
Teorema 1.37. Seja Y X (espa¸co topol´ogico). Y ´e compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de Y por abertos em X admite uma subcobertura finita.
⊂
Prova: Exerc´ıcio.
Teorema 1.38. Todo subconjunto fechado de um espa¸co compacto ´e compacto. Prova:
Teorema 1.39. Todo subconjunto compacto de um espa¸co de Hausdorff ´e fechado. Prova:
Topologia Geral
21
Teorema 1.40. A imagem de um espa¸co compacto por uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e tamb´ em um compacto. Prova:
Nota: O teorema acima garante que a compacidade ´e uma invariante topol´ogica.
Exerc´ıcios: 1) Mostre que todo espa¸co discreto (Topologia Discreta) e compacto ´e finito. 2) Sejam τ e τ duas topologias sobre um conjunto X . Qual a rela¸c˜ao entre a compacidade de X sob uma dessas topologias e a outra, se τ τ ? Mostre que se X ´e compacto e Hausdorff em ambas as topologias ent˜ao τ = τ ou elas n˜ao s˜ao compar´aveis.
⊂
3) Mostre que se f : X Y ´e cont´ınua, X ´e compacto e Y ´e Hausdorff, ent˜ ao f ´e uma aplica¸c˜ao fechada (i. ´e, f leva conjuntos fechados de X em conjuntos fechados de Y ).
→
4) Sejam A e B subconjuntos compactos e disjuntos de um espa¸co de Hausdorff X . Mostre que existem abertos disjuntos U e V contendo A e B respectivamente.
22
CAP´ITULO 1
Cap´ıtulo 2 Espa¸cos m´ etricos co m´ etrico e surgir˜ao naturalNeste segundo cap´ıtulo introduzimos o conceito de espa¸ mente as topologias induzidas por m´etricas. Estudamos ent˜ao no¸c˜oes de convergˆencia (de seq¨uˆencias), continuidade (de fun¸c˜oes) e compacidade em espa¸ cos m´etricos, al´em de continuidade uniforme e m´etricas equivalentes.
2.1
Espa¸cos m´ etricos
´ Defini¸c˜ ao 2.1. Uma M ETRICA sobre um conjunto X ´e uma fun¸ c˜ao d : X X IR que associa a cada par ordenado de elementos x, y X um n´umero real d(x, y ) chamado a distˆ ancia de x a y , de modo que se tenha, para todos x, y, z X:
× →
∈
∈
d.1) d(x, x) = 0 d.2) Se x = y ent˜ ao d(x, y ) > 0
d.3) d(x, y ) = d(y, x) (Simetria) d.4) d(x, z )
≤ d(x, y) + d(y, z)
(Desigualdade Triangular)
´ Um conjunto X munido de uma m´ etrica d (fixada) ´e chamado ESPAC ¸ O METRICO.
Exemplos: A) M´etrica Discreta: Seja X um conjunto qualquer. d : X
× X → IR
dada por
´ ´e uma m´etrica em X , conhecida como M ETRICA DISCRETA. 23
d(x, x) = 0 d(x, y ) = 1 se x = y
CAP´ITULO 2
24
B) M´etrica Usual da Reta: Consideremos o conjunto IR dos n´umeros reais. d : IR IR IR dada por d(x, y ) = x y ´e uma m´etrica em IR.
× →
| − |
C) Algumas m´etricas no Plano Complexo (ou no IR2 ): Consideremos o conjunto C = z = x + iy ; x, y IR dos n´umeros complexos e definamos de , ds , dm : C C IR pondo, para todos a = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 C :
{
∈ }
| − b| =×|(a →− b ) + i(a − b )| = d (a, b) = |a − b | + |a − b | d (a, b) = max {|a − b | , |a − b |}
de (a, b) = a s
1
1
1
m
1
2
1
1
2
2
2
2
(a1
2
−b ) 1
+ ( a2
2
−b ) 2
∈
2
Todas as trˆes fun¸c˜oes acima s˜ao m´etricas sobre C.
de ´e conhecida como M´etrica Euclidiana. ds ´e conhecida como M´etrica da Soma. dm ´e conhecida como M´etrica do M´ aximo. D) Subespa¸co m´etrico - m´etrica induzida: Seja ( X, d) um espa¸co m´etrico. Se Y ´e um subconjunto de X podemos induzir uma m´etrica natural em Y , a partir da m´etrica d:
dY = d Y × Y : Y
|
× Y → IR
´e uma m´etrica em Y (induzida em Y por d)
´ O espa¸co m´etrico (Y, dY ) ´e dito SUBESPAC ¸ O (METRICO) do espa¸co m´etrico (X, d). Assim, todo subconjunto de um espa¸ co m´etrico pode ser considerado, de modo natural, como um espa¸co m´etrico.
E) M´etrica do sup: Seja X um conjunto arbitr´ario. Uma fun¸c˜ao real f : X IR diz-se LIMITADA quando existe uma constante k = kf > 0 tal que f (x) k para todo x X .
|
Seja
B(X ; IR)
→
|≤
o conjunto das fun¸c˜oes limitadas f : X
Definimos uma m´etrica d em
∈
→ IR.
(X ; IR) pondo, para todas f, g
B
d(f, g) = sup f (x) x X
∈
|
− g(x)|
(X ; IR):
∈B
Exerc´ıcio: Verifique que d acima est´a bem definida e que ´e uma m´etrica em
B(X ; IR).
Espa¸cos m´ etricos
25
Exerc´ıcios: 1) Mostre que as fun¸c˜oes dadas nos exemplos s˜ao realmente m´etricas. 2) Seja d : X
β (x, y ) =
2.2
× X → IR
uma m´etrica em X . Mostre que
d(x, y ) e γ (x, y ) = min 1 + d(x, y )
{1, d(x, y)}
α(x, y ) =
d(x, y ),
tamb´ em s˜ ao m´etricas em X .
Bolas, esferas e conjuntos limitados
Defini¸c˜ ao 2.2. Sejam a um ponto num espa¸co m´ etrico X e r > 0 um n´umero real. Definimos: (i) BOLA ABERTA de centro a e raio r : B (a; r ) = x
{ ∈ X ; d(x, a) < r}
(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r : B [a; r] = x
{ ∈ X ; d(x, a) ≤ r}
(iii) ESFERA de centro a e raio r: S [a; r ] = x
{ ∈ X ; d(x, a) = r}
Observa¸ c˜ ao: Seja Y X um subespa¸co m´etrico do espa¸co m´etrico (X, d). Denotando por BY (a; r) a bola a berta de ce ntro a Y e raio r na m´etrica dY induzida em Y por d, temos: BY (a; r) = B (a; r) Y , onde B (a; r) ´e a bola aberta de centro a e raio r em (X, d). Tamb´ em temos que BY [a; r ] = B [a; r ] Y e SY [a; r] = S [a; r ] Y .
⊂
∈
∩
∩
∩
(Exemplos) Defini¸c˜ ao 2.3. Um subconjunto B X de um espa¸co m´etrico X ´e dito LIMITADO quando existe uma constante c > 0 tal que d(x, y ) c quaisquer que sejam x, y B .
⊂
Se B = φ e B como
⊂ (X, d)
≤
∈
ˆ ´e um conjunto limitado, podemos definir o DIAMETRO de B
diam( B ) = sup
{ d(x, y) ; x, y ∈ B }
Observa¸ c˜ ao: Os conceitos acima definidos dependem da m´etrica d tomada em X . (Exemplos)
CAP´ITULO 2
26
2.3
A Topologia M´ etrica
Seja X = (X, d) um espa¸co m´etrico. Existe uma topologia natural sobre X , constru´ıda a partir da m´ etrica d da seguinte forma:
τ=
{ A ⊂ X ; ∀ a ∈ A, ∃ > 0 com B (a; ) ⊂ A}
De fato, τ ´e uma topologia sobre X (exerc´ıcio), dita a TOPOLOGIA INDUZIDA PELA ´ METRICA d. Assim, todo espa¸co m´etrico X = (X, d) pode ser cons iderado como um espa ¸co topol´ogico = X (X, τ ) , onde a topolo gia τ ´e a topologia induzida pela m´etrica d, da forma acima descrita.
Proposi¸c˜ ao 2.4. Sejam (X, d) um espa¸co m´etrico e τ a topologia induzida pela m´etrica d sobre X . Temos: (i) Para todo a X , a cole¸c˜ao a = B (a; ), > 0, a ´e uma base de vizinhan¸cas de a na topologia τ .
∈
(ii) Para todo a
∈X
B
e todo r > 0, r
{
∈ IR,
B (a; r)
∈ IR}
das bolas abertas de centro
∈ τ, isto ´e,
B (a; r) ´e aberto.
(iii) (X, τ ) ´e espa¸ co de Hausdorff. Prova: Exerc´ıcio. ´ Defini¸c˜ ao 2.5. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. A topologia τ ´e dita METRIZAVEL se, e somente se, existe uma m´etrica d em X tal que τ ´e a topologia induzida pela m´etrica d sobre X .
Exemplos: A) M´etrica e Topologia Discretas: Seja X um conjunto munido da M´etrica Discreta d : X
× X → IR, dada por
d(x, x) = 0 d(x, y ) = 1 se x = y
A topologia induzida por d sobre X ´e exatamente a Topologia Discreta τ =
P (X ).
B) M´etrica e Topologia Usuais da Reta: Consideremos o conjunto IR dos n´umeros reais, com a M´etrica Usual d : IR IR dada por d(x, y ) = x y , quaisquer que sejam x, y IR. A topologia induzida por d sobre IR ´e exatamente a Topologia Usual da Reta.
| − |
∈
× → IR
Espa¸cos m´ etricos
27
C) Topologia Usual do Plano Complexo: Consideremos o conjunto C dos n´umeros complexos. A Topologia Usual do Plano Complexo ´e metriz´avel, pois ´e a topologia induzida pela M´etrica Euclidiana de : C C IR dada por de (a, b) = a b a, b C.
× →
| −| ∀
Nota: Veremos mais tarde que as m´etricas ds (da Soma) e induzem sobre C a Topologia Usual.
∈
dm (do M´aximo) tamb´em
D) Topologias n˜ao-metriz´aveis: Pela Proposi¸c˜ao 2.4, topologias que n˜ao sejam Hausdorff constituem exemplos de topologias n˜ao-metriz´aveis. Assim, temos por exemplo: (i) Se X ´e um conjunto com mais de um elemento e τ = φ , X a Topologia Ca´otica sobre X , temos que τ n˜ao ´e metriz´ avel. (ii) Se X = a,b,c,d e τ = φ , a , b , a, b , X ent˜ao τ n˜ao ´e metriz´ avel.
{
{
}
}
{ {} {} { } }
Nota: Conv´em observar que existem topologias (importantes) que s˜ao Hausdorff e n˜aometriz´aveis. Por exemplo, as topologias Fraca ( w) e Fraca-Estrela ( w ∗ ) estudadas na An´alise Funcional s˜ao em geral topologias Hausdorff e n˜ ao-metriz´aveis. Exerc´ıcios: 1) Seja A um subconjunto de um espa¸co m´etrico (X, d). Sabemos que a restri¸c˜ao de d a A A ´e uma m´etrica em A (subespa¸co m´etrico de X ), a qual denotaremos por dA . A m´etrica dA induz uma topologia sobre A, a qual denotaremos por τdA . Por “outro” lado, d induz uma topologia sobre X , que chamaremos τ e A pode ser visto como subespa¸co topol´ogico de X , com uma topologia τA dada pelas interse¸c˜oes de A com os abertos de τ . Mostre que τdA = τA , ou seja, a topologia de A como subespa¸co m´etrico de X ´e a mesma topologia de A como subespa¸co topol´ogico de X :
×
2) Um subconjunto D X (espa¸co topol´ogico) ´e dito DISCRETO quando todos os seus pontos s˜ao isolados, isto ´e, nenhum ponto de D est´a em D , ou melhor ainda, para todo a D, existe uma vizinhan¸ca V de a tal que V D= a . Mostre que todo espa¸co m´etrico finito ´e discreto.
⊂
∩
{}
∈
CAP´ITULO 2
28
x
3) Seja D um subconjunto discreto de um espa¸ co m´etrico (X, d). Obtenha par a cad a Bx = B (x; rx ) em X tal que x, y D, x = y Bx By = φ .
∈ D uma bola aberta
∈
4) Sejam ( X, d) um espa¸co m´etrico e A cl A tamb´ em ´e limitado.
⊂ X . Mostre que se
⇒
∩
A ´e limitado ent˜ ao seu fecho
5) Dˆe exemplo de um conjunto limitado A em um espa¸co m´etrico (X, d) tal que n˜ao existam x0 , y0
∈A
com d(x0 , y0 ) = diam A.
6) Seja ( X, d) um espa¸co m´etrico. Mostre que as bolas fechadas e as esferas s˜ao conjuntos fechados em X . 7) Seja A
⊂ X (espa¸co m´etrico). Para todo
Mostre que cl A =
> 0, seja B (A; ) =
B (a; ).
a A
∈
B (A; ).
>0
2.4
Seq¨ uˆ encias em espa¸ cos m´ etricos
Defini¸c˜ ao 2.6. Sejam (X, d) um espa¸co m´ etrico e (xn )
⊂X
uma seq¨ uˆencia em X .
Um ponto x X ´e LIMITE da seq¨ uˆ encia (xn ) se, e somente se, induzida por d sobre X .
∈
xn
→x
na topologia
Teorema 2.7. Sejam (X, d) um espa¸co m´etrico e (xn ) X uma seq¨ uˆ encia em X . Um ponto x X ´e limite de (xn ) (ou seja, xn x) se, e somente se, para cada > 0 dado, ´e poss´ıvel obter n0 IN tal que n > n0 d(xn , x) < .
∈
∈
⇒
→
⊂
Prova:
Obs.: Note que a convergˆencia de uma seq¨uˆencia em um espa¸co m´etrico depende da topologia induzida pela m´etrica.
Espa¸cos m´ etricos
29
Teorema 2.8. Sejam (X, d) um espa¸co m´ etrico e (xn )
⊂ X uma seq¨uˆencia em X . Temos:
(a) (xn ) n˜ao pode convergir para dois limites diferentes (unicidade do limite). (b) Toda seq¨uˆ encia convergente ´e limitada (o conjunto de seus termos ´e limitado). (c) Se lim xn = a ent˜ ao toda subseq¨uˆencia de (xn ) converge para a.
Teorema 2.9. Sejam X um espa¸co m´ etrico e B somente se, existe uma seq¨uˆencia (xn ) em B (xn
X . Temos que x xn
⊂∈ B ∀ n) tal que
cl B (x
∈→ x.
X ) se, e
∈
Obs.: O Teorema 2.9 mostra que, em espa¸cos m´ etricos, as seq¨uˆencias s˜ ao adequadas para caracterizar o fecho de um conjunto (o que n˜ ao ocorre em espa¸cos topol´ogicos em geral). Exerc´ıcios: 1) Seja ( X, d) um espa¸co m´etrico. Mostre que se existirem seq¨uˆencias (xk ) e (yk ) em X com lim xk = a, lim yk = b e d(yk , a) < r < d (xk , b) para todo k IN ent˜ao d(a, b) = r.
∈
2) Seja X um espa¸co m´etrico. Se (xk ) ´e uma seq¨ uˆencia em X tal que xk b (a, b X, r > 0), ent˜ao mostre que existe k0 IN tal que k > k0 xk B (a; r ).
∈
∈
⇒ ∈
→ ∈ B (a; r)
3) (Um espa¸co de fun¸c˜oes) Sejam X um conjunto qualquer e ( M, dM ) um espa¸co m´etrico. Uma fun¸c˜ao f : X M ´e dita LIMITADA quando sua imagem f (X ) ´e um subconjunto limitado de M . Consideremos o conjunto (X ; M ) das fun¸c˜oes f : X M limitadas. Dadas f, g (X ; M ), consideremos d(f, g ) = sup x∈X dM (f (x), g (x)). Mostre que d est´a bem definida e ´e uma m´etrica em (X ; M ) (chamada de M´etrica do sup ou M´etrica da Convergˆencia Uniforme).
→
B
∈B
→
B
4) (Seq¨uˆencias de fun¸c˜oes - Convergˆ encias Pontual e Uniforme) Consideremos seq¨uˆencias de aplica¸c˜oes fn : X M onde n IN, X ´e um conjunto qualquer e (M, dM ) ´e um espa¸co m´etrico. Consideremos dois tipos de convergˆ encia:
→
∈
(i) Diz-se que ( fn ) converge PONTUALMENTE (ou simplesmente) para uma aplica¸c˜ao f :X M quando, para cada x X , fn (x) f (x) em M , isto ´e, dados x X e > 0, ´e poss´ıvel obter um ´ındice n0 IN (dependendo de x e ) tal que n > n0 dM (fn (x), f (x)) < .
→
∈
∈
→
⇒
∈
(ii) Diz-se que ( fn ) converge UNIFORMEMENTE para uma aplica¸c˜ao f : X M quando, dado > 0, ´e poss´ıvel obter um ´ındice n0 IN (dependendo apenas de ) tal que n > n0 dM (fn (x), f (x)) < , para todo x X .
⇒
∈
∈
→
CAP´ITULO 2
30
x (a) Mostre que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : IR IR dadas por fn (x) = para todo n n IN converge pontualmente, mas n˜ao uniformemente para a fun¸c˜ao constante igual a zero.
→
∈
(b) Mostre que a convergˆ encia no espa¸co m´etrico (X ; M ) com a topol ogia induzida pela M´etrica do sup (veja no exerc´ıcio anterior) ´e uma convergˆencia uniforme.
B
¨ ENCIA ˆ Defini¸c˜ ao 2.10. Uma seq¨ uˆ encia (xn ) num espa¸co m´etrico (X, d) chama-se uma SEQU DE CAUCHY quando, para cada m,n > n 0 d(xm , xn ) < .
⇒
> 0 dado, ´e poss´ ıvel obter um ´ındice n0
∈ IN
tal que
Proposi¸c˜ ao 2.11. Em um espa¸co m´ etrico, toda seq¨ uˆencia convergente ´e de Cauchy. Prova: Exerc´ıcio.
Defini¸c˜ ao 2.12. Diz-se que um espa¸co m´etrico X ´e COMPLETO quando toda seq¨ uˆ encia de Cauchy em X ´e convergente. Exemplos:
Exerc´ıcios: 1) Mostre que num espa¸co m´etrico X , toda seq¨uˆencia de Cauchy ´e limitada. 2) Mostre que uma seq¨uˆencia de Cauchy que possui uma subseq¨uˆencia convergente ´e convergente (para o mesmo limite da subseq¨uˆencia). 3) Mostre que um espa¸co m´etrico (X, d) ´e completo se, e somente se, para toda seq¨uˆencia “decrescente” F1 F2 F3 . . . de subconjuntos fechados n˜ ao-vazios Fn X com
⊃
⊃
⊃
limn→∞ diam( Fn ) = 0 existe um pon to a
∈X
tal que
∞
⊂
Fn = a .
{}
n=1
(Teorema de Bair e) Mostre que se ( X, d) ´e um espa¸co completo e F =
(Corol´ario) Mostre que se ( X, d) ´e um espa¸co completo e
X =
Fn tal que int Fn = φ . 0
Fn onde cada
n=1
Fn ´e fechado e tem interior vazio ent˜ao int F = φ .
fechado ent˜ao existe pelo menos um
∞
0
∞
Fn onde cada Fn ´e
n=1
Obs.: O Teorema de Baire d´a srcem a uma s´erie de importantes resultados, alguns dos quais veremos no pr´oximo cap´ıtulo.
Espa¸cos m´ etricos
2.5
31
Fun¸c˜ oes cont´ınuas
Ao analisarmos a continuidade de fun¸c˜oes que envolvem espa¸cos m´etricos consideraremos (como no caso das seq¨uˆencias) as topologias induzidas pelas m´etricas dos mesmos. Temos ent˜ao:
Proposi¸c˜ ao 2.13. Sejam X e Y espa¸cos m´etricos (com m´ etricas dX e dY respectivamente). A aplica¸c˜ao f : X Y ´e cont´ınua no ponto x0 X se, e somente se, para cada > 0 dado, ´e poss´ ıvel obter um δ > 0 tal que dX (x, x0 ) < δ dY (f (x), f (x0 )) < .
→
∈
⇒
Proposi¸c˜ ao 2.14. Sejam X e Y espa¸cos m´etricos (com m´ etricas dX e dY respectivamente). A aplica¸c˜ao f : W X Y , cujo dom´ınio ´e o subespa¸ co m´ etrico W X , ´e cont´ınua no ponto x0 W se, e somente se, para cada > 0 dado, ´e poss´ ıvel obter um δ > 0 tal que x W, dX (x, x0 ) < δ dY (f (x), f (x0 )) < .
⊂ →
∈
∈
⊂
⇒
Nota: Conv´em observar que a continuidade de fun¸c˜oes que envolvem espa¸cos m´etricos depende das topologias induzidas pelas m´etricas. No primeiro cap´ıtulo vimos que, em espa¸cos topol´ogicos em geral, seq¨uˆencias s˜ ao inadequadas para caracterizar a continuidade de uma fun¸ c˜ao. O teore ma a seguir nos garante a possibilidade de tal caracteriza¸c˜ao (de continuidade via seq¨uˆencias) se o dom´ınio da fun¸ c˜ao for um espa¸co m´etrico:
Teorema 2.15. Sejam X um espa¸co m´ etrico e Y um espa¸co topol´ogico. Uma fun¸cao ˜ f : X Y ´e cont´ınua em x0 X se, e somente se, para toda seq¨ uˆencia (xn ) X com xn x0 temos que f (xn ) f (x0 ) em Y .
→ →
∈ →
⊂
Prova:
Defini¸c˜ ao 2.16. Sejam (X, dX ) e (Y, dY ) espa¸cos m´etricos e f : X Y. Dizemos que f ´e uma aplica¸ c˜ao LIPSCHITZIANA quando existe uma constante c > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ) tal que dY (f (x), f (y )) c dX (x, y ) quaisquer que sejam x, y X .
→
∈
≤ ·
CAP´ITULO 2
32
Alguns casos particulares recebem denomina¸c˜ao pr´opria: ˜ FRACA quando dY (f (x), f (y )) dX (x, y ) x, y X . f ´e uma CONTRAC ¸AO ˜ ISOM ETRICA ´ f ´e uma IMERSAO (neste caso dizemos que f preserva distˆancias) quando dY (f (x), f (y )) = dX (x, y ) x, y X . f ´e dita uma ISOMETRIA quando for uma imers˜ao isom´etrica sobrejetora. ˜ quando existe uma constante c, com 0 c < 1, tal que para todos f ´e uma CONTRAC ¸AO x, y X temos dY (f (x), f (y )) c dX (x, y ) .
≤
∀
∀
∈
∈
≤
∈
≤ ·
Observa¸ c˜ ao: As defini¸c˜oes acima dependem das m´etricas consideradas. Exerc´ıcios: 1) Sejam X, Y espa¸cos m´etricos. Mostre que se f : W X Y ´e cont´ınua em a W e f (a) BY [b; r ] (b Y ) ent˜ao ´e poss´ıvel obter um δ > 0 tal que x W, dX (x, a) < δ f (x) BY [b; r ].
∈
∈
⊂ →
∈
∈
∈
⇒
2) Sejam f, g : M N cont´ınuas, M, N espa¸cos m´etricos. Dado a M , suponha que toda bola de centro a contenha um ponto x tal que f (x) = g (x). Conclua que f (a) = g (a). Use este fato para mostrar que se f, g : M N s˜ao cont´ınuas e f = g em um subconjunto D M , D denso em M , ent˜ao f = g em todo espa¸co M .
→
∈
⊂
→
3) (Limites) Sejam X, Y espa¸cos m´etricos, A X, a A (a ´e ponto de acumula¸c˜ao de A) e f : A Y. Dizemos que b Y ´e o limite de f (x) quando x tende para a e escrevemos b = lim f (x) x→a quando, para cada > 0 dado, ´e poss´ıvel obter δ > 0 tal que x A a , dX (x, a) < δ dY (f (x), b) < .
⊂
→
∈
∈ \{ }
(a) Mostre que se f (a) = lim f (x) . x
a
∈A ∩
A ent˜ao f : A
→Y
⇒
´e cont´ ınua em a se, e somente se,
→a
(b) Mostre que com xn
∈
\ {a }
x
→a
b (em Y ). 4) Sejam X e Y espa¸cos m´etricos. Se uma seq¨ uˆencia de aplica¸c˜oes fn : X Y , cont´ınuas no ponto a X , converge uniformemente (ver exerc´ıcio da se¸c˜ao anterior) para uma aplica¸c˜ao f :X Y , mostre que f ´e cont´ınua no ponto a. Usando a parte acima, conclua que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : [0, 1] IR dadas por fn (x) = xn n˜ao converge uniformemente para nenhuma f : [0, 1] IR.
→
→a
b = lim f (x) se, e somente se, pa ra toda se q¨uˆencia (xn ) em A
(em X ) tem-se f (xn )
→
→
∈
→
→
Espa¸cos m´ etricos
33
5) Dˆe exemplo de uma aplica¸c˜ao f : X Y entre espa¸cos m´etricos tais que: (a) f ´e lipschitziana mas n˜ ao ´e uma contra¸c˜ao fraca. (b) f ´e contra¸c˜ao fraca mas n˜ao ´e imers˜ ao isom´etrica nem contra¸c˜ao. (c) f ´e imers˜ ao isom´etrica mas n˜ ao ´e isometria. (d) f ´e isometria.
→
Dˆe (contra-)exemplos e mostre que as defini¸c˜oes em 2.16 dependem das m´etricas consideradas.
2.6
Continuidade uniforme
Defini¸c˜ ao 2.17. Sejam X e Y espa¸cos m´ etricos. Uma aplica¸ c˜ao f : X Y ´e dita ser UNIFORMEMENTE CONT´INUA quando, para cada > 0 dado, existir δ > 0 tal que para todos x, y X, dX (x, y ) < δ dY (f (x), f (y )) < .
→
∈
⇒
(Exemplos) Proposi¸c˜ ao 2.18. Sejam X e Y espa¸cos m´etricos. Uma aplica¸c˜ao f : X Y ´e uniformemente cont´ınua se, e somente se, para todo par de seq¨ uˆencias (xn ), (yn ) em X tal que dX (xn , yn ) 0 (na Topologia Usual da Reta) tem-se que dY (f (xn ), f (yn )) 0 (tamb´ em na Topologia Usual da Reta).
→
Prova:
→
→
CAP´ITULO 2
34
Exemplo:
Observa¸ c˜ ao: O exemplo acima mostra que a continuidade uniforme n˜ ao ´e uma no¸c˜ao topol´ogica, pois depende das m´etricas envolvidas, e n˜ao apenas das topologias induzidas. Exerc´ıcios:
f : X
1) Mostre que toda aplica¸c˜ao lipschitziana formemente cont´ınua.
→Y
(X, Y espa¸cos m´etricos) ´e uni-
2) Sejam X e Y espa¸cos m´etricos e f : X Y. Mostre que se f ´e uniformemente cont´ınua ent˜ ao f transforma seq¨uˆencias de Cauchy (xn ) X em seq¨uˆencias de Cauchy (f (xn )) Y .
→
⊂
⊂
3) Seja f : A X Y (X, Y espa¸cos m´etricos). Mostre que se Y ´e completo e f uniformemente cont´ınua ent˜ ao, para todo a A , existe lim f (x).
⊂
→
∈
x
→a
4) Consideremos um espa¸co m´etrico X , munido de uma m´etrica d. ˆ Dados a X e B X , B n˜ao-vazio, definimos a DIST ANCIA DO PONTO a AO CONJUNTO B como d(a, B ) = inf d(a, x)
∈
⊂
x B
∈
Espa¸cos m´ etricos
35
ˆ Dados A, B X , A e B n˜ao-vazios, definimos a DISTANCIA ENTRE OS SUBCONJUNTOS A E B como d(A, B ) = inf d(a, b) ; a A, b B
⊂
{
∈
∈ }
(a) Mostre que d(A, B ) = d( cl A, cl B ). (b) Dado T
⊂ X, T = φ , mostre que a fun¸c˜ao
f :X
→ IR
dada por f (x) = d(x, T ) ´e
uniformemente cont´ınua. (c) Dˆe exemplos de um espa¸co m´etrico (X, d) e conjuntos n˜ao-vazios A e B em X tais que A B = φ e d(A, B ) = 0.
∩
(d) Sejam A, B Mostre que
⊂ X , A e B limitados e n˜ao-vazios. diam( A
2.7
∪ B ) ≤ diam( A) + diam ( B ) + d(A, B )
Compacidade em espa¸cos m´ etricos
Teorema 2.19. Seja X um espa¸co m´etrico. S˜ ao equivalentes: 1) X ´e compacto. 2) Todo subconjunto infinito de X possui um ponto de acumula¸c˜ao. 3) Toda seq¨ uˆencia em X possui uma subseq¨ uˆencia convergente (para um ponto de X ). Observa¸ c˜ ao: As afirmativas acima s˜ao equivalentes em K de um espa¸co m´etrico X . Teorema 2.20. Se K
⊂X
subconjunto (subespa¸co)
⊂ X (espa¸co m´etrico) ´e compacto, ent˜ao K ´e limitado e fechado.
Prova:
Observa¸ c˜ ao: A rec´ıproca do resultado acima n˜ao ´e verdadeira em geral, conforme ilustra o contra-exemplo abaixo: Contra-exemplo:
CAP´ITULO 2
36
Teorema 2.21. Sejam X e Y espa¸cos m´etricos. Se a aplica¸ c˜ao f : X espa¸co X ´e compacto, ent˜ ao f ´e uniformemente cont´ ınua.
→Y
´e cont´ ınua e o
Exerc´ıcios: 1) Mostre que, dada uma seq¨uˆencia “decrescente” K1
⊃ K ⊃∞K ⊃ . . . ⊃ K ⊃ . . . 2
3
compactos n˜ao-vazios em um espa¸co m´etrico X , sua interse¸c˜ao
n
de
Kn ´e compacta e n˜ao-
n=1
vazia. Mostre atrav´es de um exemplo que o resultado acima n˜ao ´e v´ alido se tomarmos conjuntos fechados ao inv´ es de compactos.
2) Prove o Teorema 2.21.
2.8
M´ etricas equivalentes
Defini¸c˜ ao 2.22. Duas m´etricas d1 e d2 em um espa¸co X s˜ao ditas EQUIVALENTES quando induzem a mesma topologia sobre X . Teorema 2.23. Duas m´ etricas d1 e d2 em um espa¸co X s˜ao equivalentes se, e somente se, para toda bola aberta numa m´ etrica (d1 ou d2 ) ´e poss´ıvel obter uma bola aberta na outra m´etrica, de mesmo centro e contida na primeira bola. Prova:
Exemplo:
Espa¸cos m´ etricos
37
Defini¸c˜ ao 2.24. Diremos que duas m´etricas d1 e d2 em X s˜ao LIPSCHITZ-EQUIVALENTES quando existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α d1 (x, y )
·
d2 (x, y )
≤
≤ β · d (x, y) ∀ x, y ∈ X 1
Obs.1: Se duas m´etricas s˜ ao lipschitz-equivalentes ent˜ao elas s˜ao equivalentes. Exemplo:
Obs.2: A rec´ıproca da Obs.1 acima n˜ao ´e v´ alida: Contra-exemplo:
Exerc´ıcio: Sejam ( M1 , d1 ), (M2 , d2 ), ...,
(Mn , dn ) espa¸cos m´etricos.
Consideremos o seu produto cartesiano
M = M1
M2
×
...
Mn = x = (x1 ,...,x
× ×
n)
; xi
{
Sejam de , ds , dm m´etricas em M dadas por:
de (x, y ) =
Mi , i = 1,...,n
∈
d1 (x1 , y1 )2 + d2 (x2 , y2 )2 + . . . + dn (xn , yn )2
ds (x, y ) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) + . . . + dn (xn , yn ) dm (x, y ) = max
{ d (x , y ), d (x , y ), ..., d 1
1
1
2
2
2
n (xn , yn )
.
}
}
CAP´ITULO 2
38 (a) Mostre que estas trˆes m´etricas s˜ ao lipschitz-equivalentes.
(b) Mostre que uma seq¨uˆencia (xk ) = (x1k , x2k ,...,x nk ) converge em M , considerando qualquer uma das 3 m´etricas acima , para um ponto a = (a1 ,...,a n ) M se, e somente se, xik ai i = 1, 2,...,n .
→
∈
∀
(c) Para cada i = 1,...,n considere a aplica¸c˜ao proje¸c˜ao πi : M πi (x) = xi . Mostre que cada proje¸c˜ao ´e cont´ınua.
→
Mi dada por
(d) Seja f : X M (X esp. m´etrico). Mostre que f ´e cont´ınua em a X se, e somente se, cada uma de suas fun¸ c˜oes coordenadas fi = πi f : X Mi ´e cont´ınua em a.
→
◦
→
∈
Cap´ıtulo 3 Espa¸cos normados Iniciamos este cap´ıtulo com o conceito de Espa¸co Normad o. Em seguid a apresentamos a m´etrica e a topologia naturais induzidas pela norma, b em como espa¸cos de Banach e s´eries. Ao final, apresentamos um breve estudo de transforma¸ c˜oes lineares em espa¸cos normados.
3.1
Espa¸cos normados
Defini¸c˜ ao 3.1. Seja X um espa¸co vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Uma NORMA em X ´e uma fun¸ c˜ao :X IR que associa a cada vetor x X um n´umero real x chamado a norma de x, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condi¸ c˜oes para quaisquer x, y X, λ IK:
∈
→
∈
∈
n.1) Se x = 0 ent˜ ao
x > 0
n.2) λ.x = λ . x
|| n.3) x + y ≤ x + y
(Desigualdade Triangular)
Um espa¸co vetorial X munido de uma norma
(fixada) ´e dito um ESPAC¸O NORMADO.
Exemplos: A) Norma Usual da Reta: A fun¸c˜ao m´odulo
| | : IR → IR
dada por x =
||
x se x 0 ´e uma norma em IR. se x < 0
−x
≥
B) Algumas normas no Plano Complexo (ou no IR 2 ): Consideremos o conjunto C dos n´umeros complexos (ou ent˜ao IR2 ) como um espa¸co 39
CAP´ITULO 3
40 vetorial de dimens˜ao 2 sobre o corpo dos reais.
(fun¸c˜ao m´odulo) dada por a = a21 + a22 para todo a = a1 + ia2 uma norma em C, conhecida tamb´em como NORMA EUCLIDIANA.
| | : C → IR
||
dada por a s = a1 + a2 para todo a = a1 + ia2 em C, conhecida tamb´em como NORMA DA SOMA.
s
:
C
→ IR
| | | |
∈
norma : Cem→ CIR, conhecida dada por a = max { |a | , |a | } para todo a = a ´ tamb´em como NORMA DO MAXIMO. m
m
1
2
1
C
∈
C
´e
´e uma norma
+ ia2
C
∈
´e uma
C) Norma do sup: Consideremos o espa¸co (sobre IR) (X ; IR) das fun¸c˜oes limitadas f : X IR. Definimos uma norma (X ; IR): ∞ em (X ; IR) pondo, para toda f
B B
→
∈B
f ∞ = sup |f (x)| ∈ x X
Exerc´ıcio: Mostre que
∞ acima est´a bem definida e que ´e uma norma em B(X ; IR).
D) Alguns espa¸cos de seq¨uˆencias: C
Seja ∞ o espa¸co das seq¨uˆencias limitadas em um corpo IK (IR ou
), isto ´e:
∞ = {(xn ) = (x1 , x2 ,... ) ; xi ∈ IK ; (xn ) limitada
∞ : ∞ → IR
dada por
(x )∞ = sup |x | ∈ n
i
i IN
}
´e uma norma em ∞ .
Seja 1 o espa¸co das seq¨uˆencias absolutamente som´aveis em um corpo IK (IR ou 1
=
1
: 1
Seja
2
→ IR
dada por
2
:
(xn ) = (x1 , x2 ,... ) ; xi
(x ) n
1
=
∞
∈ IK ;
∞
| |
xi < +
i=1
∞
| |
xi ´e uma norma em 1 .
i=1
o espa¸co das seq¨uˆencias quadrado som´ aveis, em um corpo IK (IR ou
2 =
2
→ IR
dada por
(xn ) = (x1 , x2 ,... ) ; xi
(x ) n
2
=
∈ IK ;
∞
|x | i
i=1
2
∞
| | i=1
xi 2 < +
∞
1/2
´e uma norma em 2
C):
C):
Espa¸cos normados
3.2
41
A topologia da norma
Construindo m´ etricas a partir de normas: Seja X = (X, ) um espa¸co vetorial norm ado. Podemos, a partir da norma construir uma m´etrica d : X X IR pondo, de modo natural:
× →
d(x, y ) = x
y
x, y
− ∀
,
X
∈
´ d ´e uma m´etrica em X (mostre), dita a M ETRICA INDUZIDA PELA NORMA
.
Portanto, todo espa¸co normado X = (X, ) pode ser consi derado naturalmente como um espa¸co m´etrico (X, d) onde a m´etrica d ´e a m´etrica induzida pela norma , da forma acima descrita.
Defini¸c˜ ao 3.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Quando existir uma norma em X tal ´ ´ DA que d ´e a m´ etrica induzida pela norma , dizemos ent˜ao que A M ETRICA d PROVEM NORMA .
Exemplos: A) M´etrica e Norma Usuais da Reta: Consideremos o conjunto IR dos n´umeros reais, munido da Norma Usual dada por x se x 0 x = x se x < 0
||
A m´etrica induzida por
||
| | : IR → IR
≥
−
´e exatamente a M´etrica Usual da Reta.
B) No Plano Complexo C (ou no IR2 ): Consideremos o espa¸co C dos n´umeros complexos (ou ent˜ao IR2 ), que ´e um espa¸ co vetorial de dimens˜ao 2 sobre o corpo dos reais. A M´etrica Euclidiana (de (a, b) = a
| − b| ∀ a, b ∈ C)
prov´ em da Norma Euclidiana
||
(fun¸c˜ao m´odulo). A M´etrica da Soma ( ds (a, b) = a1 b1 + a2 b2 a, b Soma , dada por a = a + a para todo a = a + ia2 1 2 1 s s
| − | | − | ∀ ∈ C) prov´em da Norma da | | | | ∈ C. A M´etrica do M´aximo ( d (a, b) = max { |a − b | , |a − b | } ∀a, b ∈ C) prov´em da Norma do M´aximo , dada por a = max { |a | , |a | } para todo a = a + ia ∈ C .
m
m
1
m
1
1
2
2
2
1
2
CAP´ITULO 3
42
C) M´etrica e Norma do sup: Consideremos o espa¸co (sobre IR)
B(X ; IR) das fun¸c˜oes limitadas f : X → IR. A M´etrica do sup ( d(f, g ) = sup |f (x) − g (x)| ∀ f, g ∈ B (X ; IR) ) prov´ em da Norma ∈ do sup ∞ , dada por f ∞ = sup |f (x)| para toda f ∈ B(X ; IR). ∈ x X
x X
D) Uma m´etrica que n˜ ao prov´ em de norma alguma: Seja X um espa¸co vetorial com mais de um elemento, sobre IR ou A M´etrica Discreta d : X X IR, dada por
C.
× →
d(x, x) = 0 d(x, y ) = 1 se x = y
n˜ao ´e proveniente de nenhuma norma em X (Exerc´ ıcio).
Bolas, esferas e conjuntos limitados: Seja X = (X,
)
um espa¸co vetorial normado.
Dados a X e r > 0, r IR, definimos B (a; r) (bola aberta de centro a e raio r), B [a; r] (bola fechada de centro a e raio r) e S [a; r ] (esfera de centro a e raio r) atrav´es da m´etrica d induzida pela norma .
∈
∈
Tamb´ em usamos a m´etrica d para caracterizar os conjuntos limitados em X .
Exerc´ıcio: Mostre que um subconjunto Y X (espa¸co normado) ´e limitado se, e somente se, existe k > 0 tal que y k para todo y Y .
≤
⊂ ∈
A topologia da norma: Todo espa¸co vetorial normado X = (X, ) pode ser munido naturalmen te da m´etrica d induzida pela norma e conseq¨uentemente da topologia induzida por esta m´etrica d. Dizemos, de um modo mais breve, que essa topologia ´e induzida pela norma , ou que ´e a
TOPOLOGIA DA NORMA . A partir da´ı todos os conceitos topol´ogicos estudados em espa¸cos topol´ogicos e m´etricos s˜ao verificados nos espa¸cos normados, considerando-se a topologia e a m´etrica induzidas pela norma. Tamb´ em as no¸c˜oes de continuidade uniforme, aplica¸c˜ao lipschitziana, contra¸c˜ao, etc. s˜ao verificadas considerando-se a m´etrica induzida pela norma.
Espa¸cos normados
43
Defini¸c˜ ao 3.3. Seja X um espa¸co vetorial. Duas normas 1 e EQUIVALENTES se, e somente se, elas induzem a mesma topologia sobre
2
em X s˜ao ditas X.
Proposi¸c˜ ao 3.4. Duas normas ao equivalentes se, 1 e 2 em um espa¸co vetorial X s˜ e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α. x
≤ x ≤ β. x 1
2
1
∀x∈X
Prova: Exerc´ ıcio (Sugest˜ao: fa¸ca uso do Teorema 3.9, o qual veremos mais `a frente)
Exerc´ıcios: 1) Seja X um espa¸co normado. Mostre que se E E = X ent˜ao int E = φ .
⊂X
´e um subespa¸co vetorial de X e
2) Seja X = (X, ) um espa¸co normado. (i) Mostre que x y x y para todos x, y X . (ii) Usando o item anterior, mostre que se ( xn ) ´e uma seq¨ uˆencia em X tal que lim xn = a ent˜ao lim xn = a .
− ≥| − |
∈
3) Seja X um espa¸co vetorial normad o sobre um corpo IK (IR ou C). (i) Mostre que as transla¸ c˜oes Ta : X X , dadas por Ta (x) = x + a (onde a homeomorfismos. (ii) Mostre que as homotetias Hλ : X X , dadas por Hλ (x) = λ.x (com 0 = λ homeomorfismos. (iii) Mostre que duas bolas abertas quaisquer em X s˜ao homeomorfas.
∈X
→
∈ X ) s˜ao
→
∈ IK) s˜ao
4) Seja X um espa¸co vetorial normado. Um subconjunto C X ´e dito CONVEXO se, e somente se, para todo par x, y C tem-se t.x + (1 t).y C t [0, 1], ou seja, o segmento [x, y ] = t.x + (1 t).y ; t [0, 1] est´a contido em C . (i) Mostre que toda bola em X ´e convexa. (ii) Mostre que a interse¸c˜ao arbitr´aria de conjuntos convexos ´e convexa. (iii) Mostre que o fecho de um conjunto convexo ´e convexo.
{
∈
−
∈
−
}
⊂ ∈ ∀ ∈
5) Seja B X (espa¸co normad o). A ENVOLT ORIA ´ CONVEXA de B ´e a interse¸c˜ao co (B ) de todos os subconj untos convexos de X que contˆem B . Prove que co ( B ) ´e o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares α1 .x1 + . . . + αn .xn tais que x1 ,..., x n B , α1 0,..., α n 0 (α1 ,..., α n IR) e α1 + . . . + αn = 1.
⊂
∈
≥
≥
∈
´ 6) Seja B X (espa¸co normado). A ENVOLT ORIA CONVEXA FECHADA de B ´e a interse¸c˜ao co( B ) de todos os subconjun tos convexos fechados de X que contˆ em B . Mostre que co ( B ) = cl( co ( B )).
⊂
CAP´ITULO 3
44
3.3
Espa¸cos de Banach
Defini¸c˜ ao 3.5. Um ESPAC ¸ O DE BANACH ´e um espa¸ co vetorial normado completo (toda seq¨ uˆencia de Cauchy ´e convergente) quando tomamos a m´ etrica induzida pela norma. Exemplos: A) O espa¸co (IR, ) ´e um espa¸co de Banach. B) O espa¸co dos n´umeros complexos C, munido de qualquer uma das normas diana), aximo) ´e um espa¸co de Banach. s (da Soma) ou m (do M´
||
| | (Eucli-
C) O espa¸co (X ; IR) das fun¸c˜oes limitadas f : X espa¸co de Banach.
B
D) Os espa¸cos ( ∞ ,
1
∞), ( , ) 1
e (2 ,
) 2
→ IR, munido da norma do sup, ´e um
s˜ao todos espa¸cos de Banach.
E) Um espa¸co vetorial normado que n˜ao ´e Banach:
Exerc´ıcio: Mostre que os espa¸cos dos exemplos de A) a D) s˜ ao espa¸cos de Banach.
3.4
S´ eries
Defini¸c˜ ao 3.6. Uma s´erie VERGENTE para um ponto
∞
xi em um espa¸co normado
i=1
x
∈
n
(sn ) =
xi
X
X = (X,
)
´e dita CON-
se, e somente se, a seq¨uˆencia de suas reduzidas
convergir para x.
i=1
Defini¸c˜ ao 3.7. Uma s´erie
∞
xi em um espa¸co normado
i=1
X = (X,
)
MALMENTE CONVERGENTE se, e somente se, a s´erie de n´umeros reais convergente, isto ´e,
∞
∞
i=1
i=1
´e dita NOR-
xi < +
∞.
xi
for
Espa¸cos normados
45
Exerc´ıcios: 1) Mostre que um espa¸co normado X ´e um espa¸co de Banach se, e somente se, toda s´erie normalmente convergente for convergente.
2) (Teste M de Weierstrass) Seja fn uma s´erie de fun¸c˜oes no espa¸co (X ; IR) das fun¸c˜oes limitadas f : X IR. Mostre que se existir uma s´erie convergente cn de n´umeros reais c 0 e uma constante M tal que f (x) M.c para todos n IN e x X n n n ent˜ao a s´erie fn ´e uniformemente convergente. (Sugest˜ao: use o exerc´ıcio anterior e a norma do sup em (X ; IR))
→
≥
3.5
B
|
|≤
B
∈
Transforma¸co ˜es lineares em espa¸cos normados
Alguns exemplos interessantes: A) Um operador linear que ´e injetivo mas n˜ao ´e sobrejetivo:
B) Um operador linear que ´e sobrejetivo mas n˜ao ´e injetivo:
C) Um funcional linear descont´ınuo:
∈
CAP´ITULO 3
46
Defini¸c˜ ao 3.8. (Transforma¸ c˜ oes lineares “limitadas”) Sejam X e Y espa¸cos normados. Uma transforma¸c˜ao linear T : X Y ´e dita LIMITADA se, e somente se, existir uma constante c > 0 tal que T (x) Y c. x X para todo x X .
→ ≤
∈
Equivalentemente T : X Y ´e limitada se, e somente se, existir uma constante c > 0 tal que T (x) Y c para todo x X com x X 1 (isto ´e, para todo x B [0; 1] - bola fechada unit´aria de X ), ou seja, T ´e limitada na bola unit´aria fechada - de centro 0 - de X (Exerc´ ıcio).
→
≤
∈
≤
∈
Denotaremos por (X ; Y ) o conjunto de toda s as trans forma¸c˜oes lineares limitadas de X ´ imediato que (X ; Y ) ´e um subespa¸co vetorial em Y e sempre consideraremos X = 0 . E do espa¸co vetorial de todas as transforma¸c˜oes lineares de X em Y , com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao escalar (mostre).
L
{}
L
Teorema 3.9. Sejam X e Y espa¸cos vetoriais normados e T : X linear de X em Y . Ent˜ao as seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao equivalentes:
→Y
uma transforma¸c˜ao
1) T ´e cont´ ınua. 2) T ´e cont´ınua em um ponto x0 3)
X.
∈ T ´e cont´ınua no ponto 0 (vetor nulo).
4) Existe c > 0 tal que
Prova:
T x ≤ c. x Y
X
para todo x
∈ X (T ´e limitada).
Espa¸cos normados
47
A norma de uma transforma¸c˜ ao linear: J´a temos que (X ; Y ) ´e um espa¸co vetorial (subespa¸co do espa¸co de todas as transforma¸c˜oes lineares de X em Y ).
L
Agora, dada T
∈ L(X ; Y )
(T ´e limitada, ou seja, T ´e cont´ ınua), defina
T = sup { T x ; x ≤ 1} ıcio). A fun¸c˜ao : L(X ; Y ) → IR acima definida ´e uma norma em L(X ; Y ) (Exerc´ Observe que esta norma em L(X ; Y ) depende das nor mas tomadas em X e Y . Y
X
Proposi¸c˜ ao 3.10. Sejam X e Y espa¸cos normados e T
T
=
∈ L(X ; Y ) . Ent˜ao: sup { T x ; x ≤ 1} = sup { T x ; x = 1} =
= sup
Tx ; x=0 x
= inf
{ c > 0 ; T x ≤ c. x ∀x ∈ X }
Prova: Exerc´ ıcio
Proposi¸c˜ ao 3.11. (Propriedades Imediatas)
T x ≤ T . x ∀ x ∈ X ( T ∈ L(X ; Y ) , com X e Y normados) (ii) T U ≤ T . U ( T ∈ L(X ; Y ), U ∈ L(W ; X ), com W , X e Y normados) (i)
Prova: Exerc´ ıcio
CAP´ITULO 3
48
Teorema 3.12. Sejam X e Y espa¸cos normados. Ent˜ao somente se) Y ´e um espa¸ co de Banach.
L( X ; Y )
´e espa¸ co de Banach se (e
ıcio Prova: Exerc´ Exerc´ıcio: Mostre que se X ´e um espa¸ co de Banach e A linear e cont´ınua) ent˜ ao a s´erie
eA =
∈ L(X )
(isto ´e, A : X
→X
´e
∞
An A2 A3 =I +A+ + + ... n! 2! 3! n=0
converge para um operador linear cont´ınuo eA : X X (Sugest˜ao: Mostre que a s´erie acima ´e normalmente convergente). Observa¸c˜ao: No caso particular X = IRn , este exerc´ıcio diz que podemos definir (e bem) a exponencial de uma n n matriz real atrav´es da s´erie acima (e o resultado ´e ainda uma n n matriz real) !!!
→
×
×
Alguns resultados importantes (a t´ıtulo de informa¸c˜ ao): Teorema 3.13. (Princ´ ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme) Sejam X um espa¸co de Banach e Y um espa¸co normado. Seja uma fam´ılia de transforma¸c˜oes lineares cont´ınuas de X em Y , ou seja, Se ent˜ ao
A ⊂ L(X ; Y ) . A A ´e pontualmente limitada (para cada x ∈ X temos sup { T x ; T ∈ A} < +∞) A ´e uniformemente limitada (existe M > 0 tal que T ≤ M para toda T ∈ A).
Podemos demonstrar o Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme “olhando” para os conjuntos e utilizando o Corol´ario do Teorema de Baire (veja nos Bn = x X ; T x n T exerc´ıcios do cap´ıtulo sobre espa¸ cos m´etricos) - Tente!
{ ∈
≤ ∀ ∈ A}
Teorema 3.14. (Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta) Sejam X e Y espa¸cos de Ba nach. Se T (X ; Y ) ´e sobrejetiva, ent˜ ao T ´e aberta, ou seja, T (A) ´e aberto em Y para todo A aberto em X .
∈L
Podemos demonstrar o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta utilizando o Teorema de Baire (veja nos exerc´ıcios do cap´ıtulo sobre espa¸ cos m´etricos).
Corol´ ario 1. Se X e Y s˜ao espa¸cos de Banach e cont´ ınua, isto ´e, T −1 (Y ; X ).
∈L
Prova: Exerc´ ıcio
T
∈ L( X ; Y )
´e bijetiva, ent˜ ao T −1 ´e
Espa¸cos normados
Exemplo (um pouco sobre funcionais lineares):
49
50
CAP´ITULO 3
Cap´ıtulo 4 Espa¸cos com produto interno Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno, alguns exemplos e t´opicos b´asicos relacionados, como a norma proveniente de um produto interno e ortogonalidade. Apresentamos os espa¸cos de Hilbert e finalizamos citando o Teorema de Representa¸ c˜ao de Riesz.
4.1
Produto interno
Defini¸c˜ ao 4.1. Seja X um espa¸ co vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Um PRODUTO INTERNO sobre X ´e uma fun¸ c˜ao < , >: X X IK que associa a cada par ordenado de vetores x, y X um escalar < x, y > chamado o produto interno de x por y , de modo que sejam satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes para quaisquer x, y, z X, λ IK:
× →
∈
∈
p.i.1) < λ x + y,z > = λ < x, z > + < y, z >
·
p.i.2) < x, x >
·
≥0
p.i.3) < x, x > = 0
⇒
x=0
p.i.4) < x, y > = < y,x > Obs.: < x,λy + z > = λ < x, y > + < x, z >
·
51
∈
CAP´ITULO 4
52
Exemplos: A) Consideremos o conjunto C dos n´umeros complexos (ou ent˜ao IR2 ) como um espa¸co vetorial de dimens˜ao 2 sobre o corpo dos reais.
< , >: C
× C → IR
dada por
< a1 + ia2 , b1 + ib2 > = a1 .b1 + a2 .b2 ´e um produto interno em
C
a = a1 + ia2 , b = b1 + ib2
∀
C
∈
(equivale ao Produto Escalar no IR 2 ).
B) Seja V o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas definidas no intervalo [0, 1] e tomando valores complexos: V = f : [0, 1] C ; f ´e cont´ınua
{
< , >: V
×V →C
→
}
dada por
< f, g > =
1
f (x).g (x) dx 0
∀ f, g ∈ V
´e um produto interno em V .
C) Seja 2 o espa¸co das seq¨uˆencias quadrado som´ aveis, em um corpo IK (IR ou
2 = < , >: 2
2
× → IK
(xn ) = (x1 , x2 ,... ) ; xi
∈ IK ;
∞
| |
xi 2 < +
i=1
∞
C):
dada por
< (xn ), (yn ) > =
∞
xi .yi
i=1
2
∀ (x ), (y ) ∈ n
n
2
´e um produto interno em
D) Seja C per2[π . π, π ] o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes de IR em IR, cont´ınuas e peri´ odicas de per´ıodo < , >: C per [ π, π ] C per [ π, π ] IR dada por
−
−
×
−
< f, g > =
→
π
f (x).g (x) dx
−π
´e um produto interno em C per [ π, π ].
−
∀ f, g ∈ C [−π, π] per
Espa¸cos com produto interno
4.2
53
Norma a partir de um pr oduto interno
Constru¸ c˜ ao: Seja X um espa¸co vetorial munido de um produto interno construiremos uma fun¸c˜ao :X IR, pondo
< , >. A partir de < , >
→
x = (< x, x > )1/2
x
X
∀ ∈
A seguir, um importante resultado referente `a fun¸c˜ao constru´ıda acima:
Teorema 4.2. Desigualdade de Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz (CBS)
|< x, y > | ≤ x . y ∀ x, y ∈ X Prova: Exerc´ ıcio A fun¸c˜ao :X IR acima constru´ıda a partir do produto interno < , > ´e uma norma ´ DO PRODUTO em X (mostre). Neste caso, diz emos que a A NORMA PROVEM
→
INTERNO < , >.
Exemplos: A) A Norma Euclidiana
| | : C → IR |a| =
(fun¸c˜ao m´odulo) dada por
a21 + a22
∀a=a
1
+ ia2
∈
C
prov´ em do produto interno < , > dado por
< a1 + ia2 , b1 + ib2 > = a1 .b1 + a2 .b2 B) A norma
2
: 2
∀a=a
1
+ ia2 , b = b1 + ib2
IR dada por
→
(x ) n
2
=
∞
|x | i
i=1
1/2
2
∀ (x ) ∈ n
2
prov´ em do produto interno < , > dado por
< (xn ), (yn ) > =
∞
i=1
xi .yi
∀ (x ), (y ) ∈ n
n
2
∈
C
CAP´ITULO 4
54
C) Uma condi¸c˜ao necess´aria (e suficiente): Proposi¸c˜ ao 4.3. Seja X um espa¸co vetorial. Se uma nor ma :X IR prov´em de um produto interno < , > em X , ent˜ao vale a IDENTIDADE DO PARALELOGRAMO:
2
x + y + x − y
2
= 2.
Prova: Exerc´ ıcio
As normas do M´aximo interno algum em C. A norma A norma
2
x + y
m
:C
→ IR
2
→
∀ x, y ∈ X
e da Soma
s
:C
→ IR
n˜ao provˆem de produto
∞ : ∞ → IR n˜ao prov´em de produto interno algum em ∞. : → IR n˜ao prov´em de produto interno algum em . 1
1
1
Exerc´ıcio: Prove as afirma¸c˜oes acima, mostrando que nenhuma dessas normas satisfaz `a Identidade do Paralelogramo.
4.3
Espa¸cos de Hilbert
Defini¸c˜ ao 4.4. Um ESPAC ¸ O DE HILBERT X ´e um espa¸ co vetorial com um produto interno < , > tal que X ´e completo quando munido com a m´etrica d(x, y ) = x y , onde ´e a norma que prov´ em do produto interno < , >.
−
Exemplos: A) O espa¸co C, munido do produto interno espa¸co de Hilbert. B) O espa¸co 2 , munido do produto interno Hilbert.
< a1 + ia2 , b1 + ib2 > = a1 .b1 + a2 .b2 , ´e um
< (xn ), (yn ) > =
∞
i=1
xi .yi , ´e um espa¸co de
Espa¸cos com produto interno
4.4
55
Ortogonalidade
Defini¸c˜ ao 4.5. Seja X um espa¸co com produto interno < , >. Dois vetores x, y X s˜ao ditos ORTOGONAIS quando < x, y > = 0 e escrevemos x y . Dizemos que um subconjunto S X ´e um CONJUNTO ORTOGONAL quando os vetores de S s˜ao dois a dois ortogonais.
∈
⊥
⊂
Teorema 4.6. (“Teorema de Pit´agoras”) Sejam X um espa¸co com produto interno < , > e seja a norma proveniente do produto interno < , >.
Se S temos:
⊂X
´e um conjunto ortogonal ent˜ ao, dados x1 ,... , x n dois a dois distintos em S ,
x
1
+ x2 + . . . + xn
2
= x1
2
+ x 2
2
+ . . . + xn
2
ıcio Prova: Exerc´
Proposi¸c˜ ao 4.7. Se X ´e um espa¸ co vetorial com produto interno, ent˜ao todo conjunto ortogonal de vetores n˜ao nulos em X ´e linearmente independente (LI) Prova: Exerc´ ıcio
4.5
O Teorema de Representa¸c˜ ao de Riesz
Teorema 4.8. (Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz) Seja X um espa¸co de Hilbert sobre um corpo IK (IR ou C). Se L : X IK ´e um funcional linear cont´ınuo (limitado) ent˜ ao existe um unico ´ vetor x0 X tal que L(x) = < x,x 0 > para todo x X . Mais ainda, temos L = x0 .
∈
Prova: Exerc´ ıcio
→
∈
56
CAP´ITULO
Apˆ endice A Introdu¸c˜ ao ` a Topologia Produto Este apˆendice tem por objetivo introduzir, de modo natural, uma topologia sobre o produto cartesiano de espa¸cos topol´ogicos, conhecida como a Topologia Produto.
Considera¸ c˜ oes iniciais: Sejam X um conjunto, Y um espa¸co topol´ogico e f : X
→Y
uma fun¸c˜ao de X em Y .
Se considerarmos uma topologia sobre X , ´e claro que quanto maior (ou mais forte) for esta topologia, “maiores ser˜ao as chances” da fun¸c˜ao f ser cont´ınua. Equivalentemente, quanto menor (ou mais fraca) for uma topologia sobre X , menores ser˜ao as chances da fun¸c˜ao f ser cont´ınua. Surge ent˜ ao uma interessante quest˜ao:
Qual a menor topologia sobre X para a qual a fun¸c˜ ao f ´ e cont´ ınua ? Tentando responder `a quest˜ao acima, chegamos naturalmente `a cole¸c˜ao
τ=
f −1 (A) ; A aberto em Y
Exerc´ıcio: Mostre que a cole¸c˜ao τ acima ´e uma topologia sobre X tal que a fun¸c˜ao f ´e cont´ ınua e τ ´e menor (mais fraca) que qualquer topologia para a qual f seja cont´ ınua (τ ´e portanto a topologia procurada na quest˜ao acima). Consideremos agora uma fam´ılia τλ λ∈L de topologias sobre um conjunto quest˜ao interessante associada a esta situa¸c˜ao ´e a seguinte:
{ }
X . Uma
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X que cont´ em cada uma das topologias τλ , λ L ?
∈
57
ˆ APENDICE A
58 Uma an´alise mais detalhada da situa¸c˜ao nos indica que a cole¸ c˜ao
B = { A = A ∩ A ∩...∩ A λ1
λ2
; Aλi
λn
∈τ
λi
; λi
∈L}
das interse¸c˜oes finitas de abertos das top ologias dadas ´e base para a topologia procurada na quest˜ao acima!
Exerc´ıcio: Mostre que a cole¸c˜ao e que a topologia τB , gerada por
B
⊂ ∀ ∈
⊂
B
dada acima ´e base para uma topologia (τB ) sobre X
, ´e a menor (mais fraca) topologia sobre X que cont´ em cada uma das topologias τλ , λ L, ou seja, τλ τB λ L e se τ ´e uma topologia sobre X com τλ τ λ L ent˜ao τB τ .
∈
⊂
∀ ∈
Encerrando esta etapa de considera¸c˜oes iniciais, consideremos um conjunto X e uma fam´ılia de fun¸c˜oes fλ : X Yλ de X em espa¸cos topol´ogicos Yλ , λ L. Chegamos ent˜ao `a generaliza¸c˜ao da primeira quest˜ao:
→
∈
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto fun¸c˜ oes fλ , λ L, s˜ ao cont´ ınuas ?
X para a qual todas as
∈
Utilizando as considera¸c˜oes anteriores, podemos concluir (mostre) que a cole¸c˜ao
B=
A = fλ−1 (Aλ ) 1
1
1 λ2
1 λn
∩ f − (A ) ∩ . . . ∩ f − (A λ2
λn )
; Aλi aberto em Yλi ; λi
∈L
das interse¸c˜oes finitas das imagens inversas pelas fλ de abertos dos espa¸cos correspondentes Yλ ´e base para a topologia procurada na quest˜ao acima.
Produtos cartesianos em geral: Seja Xλ λ∈L uma fam´ılia qualquer de conjuntos. O Produto Cartesiano (o qual definiremos mais tarde) desta fam´ılia de conjuntos ser´a denotado por Xλ e identificado (infor-
{ }
λ L
∈
malmente, a princ´ıpio) com o conjunto de todas as L-uplas ( xλ )λ∈L de elementos da uni˜ao Xλ tais que xλ Xλ para cada λ L.
∈
λ L
∈
∈
Quando o conjunto L de ´ındices for claro (pelo contexto), denotaremos o produto simplesmente por Xλ e seu elemento geral por ( xλ ).
Se, em particular, tivermos um conjunto finito de ´ındices L = 1, 2, ..., n ent˜ ao escreveremos X1 X2 . . . Xn para denotar o produto cartesiano e um elemento arbitr´ ario do produto ser´a dado por ( x1 , x2 , ..., x n ) onde cada xi Xi .
× × ×
{
∈
}
Introdu¸c˜ ao ` a Topologia Produto
59
Exemplo: Dados dois conjuntos X e Y , seu produto cartesiano X L = 1, 2 , X1 = X , X2 = Y ) ´e o conjunto dos pares (x, y ) tais que x
{ }
×Y ∈X
(neste caso e y Y.
∈
Exemplo: Se L = 1, 2, ..., n e ainda X1 = X2 = . . . = Xn = IR ent˜ao o produto cartesiano ´e o conjunto IRn = IR IR . . . IR (n vezes) de todas as n-uplas ( x1 , x2 , ..., x n ) de n´umeros reais.
{
} × × ×
Defini¸c˜ ao A.1. (Produto Cartesiano) Seja Xλ λ∈L uma fam´ılia qualquer de conjuntos. O PRODUTO CARTESIANO desta fam´ılia de conjuntos, denotado por Xλ , ´e o conjunto
{ }
λ L
de todas as fun¸c˜oes x : L
→
Xλ tais que x(λ) = xλ
λ L
∈
∈X
∈
para cada λ
λ
∈ L.
Se, em particular, Xλ = X para cada λ L ent˜ao o produto cartesiano Xλ ´e L simplesmente o conjunto X de todas as L-uplas de elementos de X ou, equivalentemente, ´e o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : L X , uma vez que Xλ = X .
∈
→
λ L
∈
Exemplo: Considerando L = IN e Xn = IR para cada n IN temos que o produ to cartesiano IRIN corresponde ao conjunto de todas as fun¸ c˜oes f : IN IR , ou seja, todas as seq¨uˆencias (x , x ,...,x ,... ) de n´umeros reais.
∈
1
2
→
n
Exemplo: Considerando L = IR e Xλ = IR para cada λ IR temos que o produ to cartesiano IRIR corresponde ao conjunto de todas as fun¸c˜oes f : IR IR.
∈
→
Defini¸c˜ ao A.2. (Proje¸c˜oes) Consideremos uma fam´ılia Xλ λ∈L de conjuntos e seu produto cartesiano Xλ . Para cada λ0 L existe uma fun¸c˜ao
{ }
∈
λ L
∈
πλ : 0
λ L
∈
Xλ
→X
λ0
que associa a cada (xλ )λ∈L do produto a sua λ0 -´ esima coordenada xλ . Esta fun¸c˜ ao ´e ˜ ˜ chamada a APLICAC ¸ AO PROJEC ¸ AO do produto cartesiano Xλ sobre Xλ ou simples0
0
λ L
∈
mente λ0 -´ esima proje¸c˜ao.
Exemplo: Considerando L = 1, 2, ..., n , X1 = X2 = . . . = Xn = IR e o prod uto cartesiano IRn = IR IR . . . IR (n vezes), temos ent˜ao n proje¸c˜oes π1 , π2 ,..., π n : IRn IR com πi (x1 , x2 ,...,x n ) = xi para cada i = 1, 2,...,n .
× × ×
{
}
→
ˆ APENDICE A
60
A Topologia Produto: Dados uma fam´ılia de conjuntos
{X } ∈
e o seu produto cartesiano
λ λ L
Xλ , existir´a
λ L
∈
alguma topologia que seja natural sobre o produto cartesiano ? Vimos que surgem naturalmente as chamadas proje¸ c˜oes: πλ :
Xλ
λ L
∈
→X
λ
e tamb´em
´e natural pedirmos que, se cada Xλ for um espa¸co topol´ogico, cada proje¸c˜ao πλ seja cont´ınua!
Defini¸c˜ ao A.3. Consideremos uma fam´ılia cartesiano Xλ .
{X } ∈
λ λ L
cos topol´ogicos e seu produto de espa¸
λ L
∈
A TOPOLOGIA PRODUTO ´e a menor (mais fraca) topologia sobre
Xλ tal que cada
λ L
uma das proje¸c˜oes πλ :
Xλ
λ L
∈
→X
λ
∈
´e cont´ınua.
Ora, j´a temos (nas considera¸c˜oes iniciais deste apˆendice) pronto um estudo mostrando que a cole¸c˜ao
B=
A = πλ−1 (Aλ ) 1
1
1 λ2
1 λn
∩ π− (A ) ∩ . . . ∩ π− (A λ2
λn )
; Aλi aberto em Xλi ; λi
∈L
das interse¸c˜oes finitas das imagens inversas pelas proje¸ c˜oes de abertos dos espa¸cos Xλ , ´e base para a topologia produto. O que faremos agora ´e simplesmente tentar enxergar melhor o “jeit˜ao” destes abert os b´asicos da topologia produto: ´ f´acil ver que, dado um conjunto C E
π −1 (C ) = λ0
∈X
λ0
, temos
Dλ , com Dλ = Xλ
λ L
∈
∀λ = λ
0
e Dλ = C 0
Com o resultado acima, podemos finalmente concluir (mostre) que os abertos b´asicos da topologia produto sobre Xλ s˜ao da forma
λ L
∈
A=
Aλ
λ L
∈
com Aλ aberto em Xλ e Aλ = Xλ para cada λ fora de um conjunto finito de ´ındices.
Introdu¸c˜ ao ` a Topologia Produto
61
Exemplo: Sejam L = IN e Xn = IR (com a Topologia Usual) para cada n J´a sabemos que o produto cartesiano
Xn = IR
IN
∈ IN .
corresponde ao conjunto de todas as
n IN
fun¸c˜oes f : IN reais.
∈
(x1 , x2 ,...,x
→ IR , ou seja, todas as seq¨uˆencias
n ,...
) (infinitas) de n´umeros
Se tomarmos, por exemplo, os conjuntos abertos A2 = ( 3, 1) e A3 = (0, 5) , temos que A = IR ( 3, 1) (0, 5) IR IR IR . . . ´e um aberto b´asico da topologia produto em IRIN , pois A = An com An aberto em IR e An = IR para cada n IN fora do
−
×−
×
× × × × conjunto finito de ´ındices {2, 3} .
∈
n IN
∈
´ imediato que o aberto b´ asico A exibido acima ´e o conjunto de todas as seq¨uˆencias E (x1 , x2 ,...,x n ,... ) de n´umeros reais, tais que x2 ( 3, 1) e x3 (0, 5).
∈−
∈
Exemplo: Sejam L = IR e Xλ = IR (com a Topologia Usual) para cada λ IR . J´a sabemos que o produto cartesiano Xλ = IRIR corresponde ao conjunto de todas as fun¸c˜oes
f : IR
λ IR
∈
→ IR.
Se tomarmos um
∈
> 0 , temos que, por exemplo,
A=
Aλ com Aλ = IR para
λ IR
∈
IR
todo λ = 7 e A√7 = ( , ) ´e um aberto b´asico da topolo gia produ to em IR , pois A= Aλ com Aλ aberto em IR e Aλ = IR para cada λ IR fora do conjunto finito de
√ √
−
∈
λ IR
∈
´ındices
7 .
Observemos que o aberto b´ asico A exibido acima ´e o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : IR IR tais que f ( 7) ( , ).
→
√ ∈ −
Exerc´ıcios: 1) (Topologia Produto X Topologia de Caixa) Consideremos uma fam´ılia Xλ λ∈L de espa¸cos topol´ogicos e seu produto cartesiano Xλ . Mostre que os conjuntos dados por
{ }
λ L
∈
A = λ∈L Aλ , com Aλ aberto em Xλ
formam uma base para uma topologia sobre o produto cartesiano acima. Esta topologia ´e chamada TOPOLOGIA DE CAIXA. Compare a Topologia de Caixa com a Topologia Produto. Sob quais condi¸c˜oes podemos dizer que essas duas topologias coincidem ?
ˆ APENDICE A
62
2) (Topologia Produto e Tychonoff) Mostre que se o espa¸ co
Xλ ´e compacto (con-
λ L
∈
siderando a Topologia Produto) ent˜ao cada Xλ ´e um espa¸ co compacto. A rec´ıproca deste resultado ´e o importante Teorema de Tychonoff (ver [3], cap. 5): “Se cada
Xλ ´e um espa¸co topol´ogico compacto, ent˜ao o produto cartesiano
Xλ
λ L
∈
(considerando a Topologia Produto) ´e compacto”.
O Teorema de Tychonoff ´e um dos motivos pelos quais a Topologia Produto ´e a mais natural a ser definida sobre o produto cartesiano (repare que ela ´e definida como a menor topologia tal que todas as proje¸c˜oes s˜ao cont´ınuas e isso “aumenta as chances” do produto ser compacto).
3) (Topologia Produto e convergˆencia pontual) Consideremos L = IR e Xλ = IR (com a Topologia Usual) para cada λ IR . J´a vimos que o produto cartesiano Xλ = IRIR
∈
corresponde ao conjunto de todas as fun¸c˜oes f : IR
λ IR
∈
→ IR.
Mostre que a convergˆencia neste espa¸co IRIR das fun¸c˜oes f : IR IR , quando consideramos a Topologia Produto, ´e a convergˆencia pontual (ver Cap´ıtulo 2 - Espa¸ cos M´etricos), ou seja, uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes fn : IR IR converge (na Topologia Produto) para uma fun¸c˜ao f : IR IR se, e some nte se, para cad a x IR fixado, tem-se fn (x) f (x)
→
→
→
∈
(convergˆ encia pontual).
→
´ 4) (Espa¸cos Vetoriais Topol´ogicos) Um ESPAC ¸ O VETORIAL TOPOLOGICO (EVT) ´e um espa¸co vetorial X (sobre um corpo IK) munido de uma topologia tal que as opera¸ c˜oes de adi¸c˜ao de vetores: X X X e multiplica¸c˜ao escalar: IK X X s˜ao cont´ınuas (considerando a Topologia Usual em IK e as Topologias Produto em X X e IK X ).
× →
Mostre que todo espa¸co normado ´e um EVT.
× → ×
×
Apˆ endice B Sobre bases em espa¸cos vetoriais Seja X um espa¸co vetorial sobre um corpo IK (IR ou
C):
Defini¸c˜ ao B.1. (Independˆ encia linear) Um subconjunto E X (E finito ou infinito) ´e LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI) se, e somente se, para todo subconjunto finito e1 , e2 , ..., e n E temos
⊂
{
}⊂
c1 e1 + c2 e2 + . . . + cn en = 0 ci
∈ IK
c1 = c2 = . . . = cn = 0
⇒
Defini¸c˜ ao B.2. (Base de Hamel ou alg´ebrica) Uma BASE (DE HAMEL) em um espa¸co vetorial X ´e um subconjunto LINEARMENTE INDEPENDENTE MAXIMAL de X . Para esclarecer, ´e base (de Hamel) de um espa¸co X quando ´e o “maior” conjunto LI que cont´em . Isto ocor re se, e somen te se, ´e LI e, para cada x X , o conjunto x n˜ao ´e LI.
B
B∪{}
B
B
2
3
B
∈ \B
{1, x, x , x ,... } ´e uma base (de Hamel) do espa¸co X {a + a x +independente a x + . . . + ae xB ∪ ; a{p∈} IRn˜a}o ,´edos com pois B ´e=linearmente LI, polinˆomios qualquer que sejacoeficientes p ∈ X \Breais, . Exemplo: O conjunto 2
0
1
2
B
=
n
n
i
Teorema B.3. Todo espa¸ co vetorial possui base (de Hamel). Obs.: A demonstra¸c˜ao faz uso do Lema de Zorn.
63
ˆ APENDICE B
64
Teorema B.4. Seja um subconjunto LI de um espa¸co vetorial X = 0 . ´e uma base (de Hamel) de X se, e somente se, todo vetor x X pode ser escrito como
B
B
n
x =
{ }
∈
αi ei = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en , onde α1 ,...,α
n
i=1
∈
IK e
{e ,...,e } ⊂ B 1
n
(ou
seja, todo vetor de X pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de elementos de um subconjunto FINITO de ).
B
B base (de Hamel) de X e x ∈ X . ∈ B (se x ∈ B j´a teremos x = 1.x ). Ent˜ao B ∪ {x} n˜ao ´e LI (pois B ´e LI maximal) e portanto existem um subconjunto finito {x, e , e ,..., e } ⊂ B ∪ { x} e escalares α , α ,..., α ∈ IK tais que: 0 (pois B ´e LI e B ∪ {x} n˜ao ´e LI) α x + α e + ... + α e = 0 e α = Prova: ( ) Sejam
⇒
Podemos supor que x
1
0
2
k
0
1 1
k k
1
k
0
Logo:
x= Portanto todo x
⇐B
( )
− − α1 e1 + α0
− αk α0
ek
∈ X pode ser escrito como combina¸c˜ao linear FINITA de elementos de B.
´e LI. Para todo x
X
∈ \B ∈ ⇒B∪{ } }⊂ B
x = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αk ek α1 ,..., α k IK e1 , e2 ,..., e k
{
α2 e2 + . . . + α0
Logo podemos concluir que
temos:
x
n˜ao ´e LI.
B ´e LI maximal, ou seja, B ´e uma base (de Hamel) de X .
´ atrav´es deste teorema que normalmente definimos base de um espa¸co vetorial em Obs.: E ´ nossos cursos de Agebra Linear.
Exemplo: Seja X = ∞ = (xn ) = (x1 , x2 ,... ) ; xi IR ; (xn ) ´e limitada o espa¸co das seq¨uˆencias limitadas de n´umeros reais com as opera¸ c˜oes usuais de soma de vetores e multiplica¸c˜ao escalar.
{
∈
}
O subconjunto E = (1, 0, 0, 0,... ), (0, 1, 0, 0,... ), (0, 0, 1, 0,... ),... ∞ ´e evidente∞ ao ´ e base (de Hamel) de pois, por exemplo, x = (1, 1, 1,... ) ∞ mas mente LI, mas n˜ x n˜ao pode ser escrito como combina¸c˜ao linear FINITA de elementos de E .
{
}⊂
∈
Sobre bases em espa¸cos vetoriais
65
O teorema a seguir ´e uma bela aplica¸c˜ao do Teorema de Baire (exerc´ıcio do cap´ıtulo 2 Espa¸cos M´etricos):
Teorema B.5. Seja X um espa¸co de Banach (espa¸co vetorial normado e completo - toda seq¨ uˆencia de Cauchy ´e convergente - em rela¸ c˜ao `a m´etrica induzida pela norma). Se X tem dimens˜ao infinita ent˜ao toda base (de Hamel) de X ´e n˜ ao-enumer´ avel.
Prova: Suponhamos, por absurdo, que X tenha uma base (de Hamel) enumer´avel
B = {e , e , e ,... } (obs.: B ´e um conjunto infinito pois X tem dimens˜ao infinita). Para todo n ∈ IN, seja F = [e , e ,..., e ] o subespa¸co de X gerado por {e , e ,..., e } . 1
2
3
n
1
2
n
Temos
X=
1
∞
2
n
Fn
n=1
Para todo n
Fn
∈ IN, temos: tem dimens˜ao finita ⇒
Fn ´e subconjunto fechado de X (ver Lima [2], p. 239).
Como Fn tem dimens˜ao finita e X tem dimens˜ao infinita, ´e imediato que Fn ´e subespa¸co pr´oprio do espa¸co normado X , de onde pode mos con cluir que int Fn = φ (exerc´ıcio de espa¸cos normados). Temos ent˜ao que X =
∞
Fn com Fn fechado e int Fn = φ para todo n
n=1
∈ IN.
Como X ´e Banach (completo), segue do Teorema de Baire que int X = φ (contradi¸c˜ao). Ent˜ao, obrigatoriamente, toda base (de Hamel) de X ´e n˜ ao-enumer´avel.
Observa¸ c˜ ao: Sempre usamos o termo base de Hamel (ou alg´ebrica) para evitar confus˜ao com o conceito de BASE DE HILBERT (ou geom´etrica), que ´e referente aos conjuntos ORTONORMAIS MAXIMAIS em espa¸cos com produto interno.
66
ˆ APENDICE B
Apˆ endice C O espa¸co IRn O espa¸co vetorial IRn : Consideremos o conjunto IR n = uplas de n´umeros reais. Dados x = (x1 , x2 ,...,x
n)
{ x = (x , x ,...,x 1
2
, y = (y1 , y2 ,...,y
n)
n)
; xi
∈ IR ; i = 1, 2,...,n }
n
e α
∈ IR, definimos:
∈ IR
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ,...,x α.x = (αx1 , αx2 ,...,αx
n
das n-
+ yn )
n)
Estas opera¸c˜oes fazem do IR n um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre o corpo IR dos n´umeros reais.
Produto interno no espa¸co IRn : ˆ Definimos o PRODUTO INTERNO CAN ONICO < , >: IRn
< x, y > = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn
∀ x = (x ,...,x 1
n ),
n
× IR → IR y = (y1 ,...,y
pondo: n)
∈ IR
n
Normas: A partir do Produto Interno Canˆonico acima definido, constru´ımos a NORMA EUCLIDIANA : IRn IR pondo:
→
x = √< x, x >
67
∀ x ∈ IR
n
ˆ APENDICE C
68 Obs.: Outras duas normas se destacam no IR n : ´ A NORMA DO M AXIMO
n
: IR → IR dada por x = max { |x | , |x | ,..., |x | } ∀ x = (x ,...,x A NORMA DA SOMA : IR → IR dada por m
1
m
2
n
1
n)
∈ IR
n
n
s
x
s
= x1 + x2 + . . . + xn
| | | |
x = (x1 ,...,x
| |
∀
IRn
n)
∈
´ f´acil mostrar que estas duas normas n˜ao provˆem de produto interno algum no IRn . E Para todo x
∈ IR
n
temos:
x ≤ x ≤ x ≤ n. x m
s
m
Portanto as normas Euclidiana, do M´aximo e da Soma s˜ao EQUIVALENTES. Logo, as no¸c˜oes topol´ogicas (convergˆ encia de seq¨ uˆencias, limites, continuidade, etc.) independem de qual destas trˆes normas ´e considerada!
Conjuntos limitados:
1 e E ´ imediato que se duas normas X IRn ´e limitado em rela¸c˜ao `a norma norma 2.
⊂
2
1
no IRn s˜ao equivalentes ent˜ao um conjunto se, e somente se, X ´e limitado em rela¸c˜ao `a
Teorema C.1. Um conjunto X IRn ´e limitado (em rela¸ c˜ao a qualquer norma equivalente `a Norma do M´aximo) se, e somente se, suas proje¸ c˜oes X1 = π1 (X ), ..., X n = πn (X ) s˜ao conjuntos limitados em IR.
⊂
Seq¨ uˆ encias no espa¸ co IRn : Uma seq¨uˆencia (xk ) no IR n equivale a n seq¨uˆencias de n´ umeros reais, ou seja, para todo (k) (k) (k) k IN , xk = x(k) , onde xi = πi (xk ) = i-´esima coordenada de xk . Essas n 1 , x2 ,...,x n seq¨uˆencias s˜ ao ditas as seq¨uˆenCIAS DAS COORDENADAS de (xk ).
∈
Teorema C.2. Uma seq¨uˆ encia (xk ) no IRn converge (em rela¸cao ˜ a qualquer norma equivalente `a Norma do M´aximo) para o ponto a = (a1 , a2 ,...,a n ) se, e somente se, para cada (k) i = 1, 2,...,n tem-se lim xi = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a coordenada correspondente de a. Prova: Exerc´ıcio (use a Norma do M´aximo)
O espa¸co IRn
69
Corol´ ario 1. Dadas as seq¨uˆ encias convergentes (xk ), (yk ) no IRn e (αk ) em IR, sejam lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. Ent˜ao: (i) lim(xk + yk ) = a + b (ii) lim αk .xk = α.a (iii) lim < xk , yk > = < a, b >
A seguir dois importan tes resultados, onde usamos o fato de IR n ter dimens˜ao finita:
Teorema C.3. (Bolzano-Weierstrass) Toda seq¨ uˆencia limitada (em rela¸ c˜ao a qualquer norma equivalente `a Norma do M´aximo) em IRn possui uma subseq¨uˆencia convergente. Prova: Exerc´ıcio (Sugest˜ ao: use o mesmo resultado em IR para as seq¨ uˆencias das coordenadas, juntamente com o teorema anterior)
Teorema C.4. Duas normas quaisquer no espa¸co IRn s˜ao equivalentes. Demonstra¸ c˜ ao: Sejam
s
e
: IRn
IR a Norma da Som a, dada por
→
x = |x | + |x | + . . . + |x |
n
: IR → IR
s
1
2
∀ x = (x , x ,...,x
n
1
2
n)
∈ IR
n
uma norma qualquer no IR n .
Temos: (i) Por transitividade, se mostrarmos que estar´a demonstrado.
s
e
s˜ao equivalentes, ent˜ao o teorema
(ii) Para a Norma da Soma valem os trˆes teoremas anteriores, pois ela ´e equivalente `a Norma do M´aximo. Consideremos a Base Canˆonica β = e1 , e2 ,...,e
n
{ } do IR . Para todo vetor x = (x , x ,...,x ) ∈ IR , temos: x = x e + . . . + x e ≤ |x | . e + . . . |x | . e ≤ b.(|x | + . . . + |x |) = b. x onde b = max { e ,..., e } (repare que este b est´a bem definido, pois tomamos o n
n
1
1 1
2
n n
1
n
1
1
n
n
m´aximo em um conjunto finito de n´ umeros reais). Logo
x ≤ b. x
s
para todo x
n
∈ IR . (1)
n
1
n
s
ˆ APENDICE C
70 n
Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que
x ≤ a. x ∀x ∈ IR . De fato: se isto n˜ ao ocorrer temos que para todo k ∈ IN ´e poss´ıvel obter um tal que x > k. x (pois k n˜ao serviria como tal a > 0 ). k s
xk
>0
s
xk
∈ IR
n
k
Tomemos, para cada k pois
s
∈ IN,
xk
uk =
k s
k)
∀ Como u = 1 k s
(note que a seq¨uˆencia (uk ) est´a bem definida,
x
para todo k (verifique), temos que ( uk ) ´e limitada em rela¸c˜ao `a Norma
da Soma.
Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, ( uk ) tem uma subseq¨uˆencia (ukj ) convergente (na Norma da soma) para um ponto u IRn .
∈
Temos ent˜ao que
→ ukj
s
u s . Logo u
s
= 1 , o que significa que
Agora, dado > 0, ´e poss´ıvel obter kj tal que 0
Logo
u ≤ Assim
ukj
0
−u
+ ukj
b. ukj
≤
u = 0 ⇒
0
0
−u
s
s
−u
0
0
u = 0 (contradi¸c˜ao!).
e
0
1 + kj . ukj
Ent˜ao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que Por (1) e (2),
ukj
s
s
<
u = 0.
1 e < 2b kj 2 0
< b. 2b + 2 =
n
x ≤ a. x ∀x ∈ IR . (2) s
s˜ao equivalentes, qualquer que seja a norma
no IRn .
Por transitividade, temos ent˜ao que duas normas quais quer no IR n s˜ao equivalentes.
` luz deste ´ ultimo teorema, temos tamb´em que os teoremas anteriores s˜ Obs.: A ao n n v´ alidos para qualquer norma considerada no IR . Tamb´em temos que IR ´e Banach em rela¸c˜ao `a qualquer norma considerada, ou seja, toda seq¨uˆencia de Cauchy ´e convergente.
Continuidade: A seguir, alguns resultados ´uteis:
A) Toda transforma¸c˜ao linear A : IRm cont´ınua e portanto cont´ınua.
→ IR
n
´e lipschitziana (mostre), logo uniformemente
O espa¸co IRn
71
B) Se ϕ : IRm IRn IRp ´e uma aplica¸c˜ao bilinear (linear em cada componente) ent˜ao ϕ ´e lipschitziana em cada parte limitada de IRm IRn = IRm+n .
×
→
×
Portanto toda aplica¸c˜ao bilinear ´e cont´ınua. Exemplos: multiplica¸c˜ao de n´umeros reais ( ϕ(x, y ) = x.y ); Produto Interno Canˆonico ( < x, y > = x1 y1 + . . . + xn yn ); multiplica¸c˜ao de matrizes ( ϕ(A, B ) = A.B )
C) As proje¸c˜oes π : IRm IR , dadas por π (x) = x x = (x , x ,...,x i i i 1 2 ( i = 1, 2,...,m ), s˜ao lineares, logo lipschitzianas e portanto cont´ınuas.
→
∀
IRm
) m
∈
A cada aplica¸c˜ao f : X IRm IRn correspondem n fun¸c˜oes f1 , f2 ,...,f n : X IR ˜ dadas por fi = πi f ( i = 1,...,n ), chamadas as FUNC ¸ OES COORDENADAS da aplica¸c˜ao f.
◦
Para todo x
∈X
⊂
→
→
temos f (x) = (f1 (x), f2 (x),...,f
Escrevemos f = (f1 , f2 ,...,f
n (x))
.
n ).
Teorema C.5. Uma aplica¸c˜ao f : X IRm IRn ´e cont´ınua no ponto a X se, e somente se, cada uma das suas fun¸c˜oes coordenadas fi = πi f : X IR ´e cont´ınua no ponto a.
⊂
→
∈
◦
→
Corol´ ario 1. Dadas f : X IRm e g : X IRn , seja h = (f, g ) : X IRm IRn dada por h(x) = (f (x), g (x)) . Ent˜ao h ´e cont´ ınua se, e somente se, f e g s˜ao ambas cont´ ınuas.
→
→
→
×
Uma conseq¨uˆencia deste corol´ ario: se f, g : X IRm IRn e α : X IR s˜ao cont´ ınuas n ent˜ao s˜ao tamb´ em cont´ınuas (f + g ) : X IR dada por ( f + g )(x) = f (x) + g (x) , (α.f ) : X IRn dada por ( α.f )(x) = α(x).f (x) , < f,g > : X IR dada por < f, g > (x) = < f (x), g (x) >.
→
→
⊂
→
→
→
Obs.: Se, para obtermos f (x) (onde temos f : X
m
⊂ IR → IR
n
e f = (f1 , f2 ,...,f
n)
),
para cada fun¸c˜ao coordenada aplicada em x ( fi (x) ) submetemos as coordenadas do ponto x = (x1 ,...,x m ) a opera¸c˜oes definidas por fun¸c˜oes cont´ınuas, ent˜ ao f ´e cont´ ınua. Exemplos: f (x, y ) = ((sen x).y,x 2 y 3 , ex cos y ) define uma fun¸c˜ao cont´ ınua f : IR2 A fun¸c˜ao determinante det : Mn (IR)
→ IR
´e cont´ ınua.
3
→ IR .
ˆ APENDICE C
72
Compacidade: Nosso principal objetivo agora ser´a mostrar que um subconjunto K IRn ´e compacto se, e somente se, K ´e limitado e fechado. Os resultados a seguir ficam indicados como exerc´ıcios e ir˜ao “preparar o terreno” para cumprirmos o ob jetivo acima.
⊂
Teorema C.6. Um subconjunto K IRn ´e limitado e fechado se, e somente se, toda seq¨ uˆencia (xk ) K possui uma subseq¨uˆencia convergente para um ponto de K .
⊂
⊂
Teorema C.7. (Propriedade de Cantor) Dada uma seq¨uˆencia “decrescente” de conjuntos limitados, fechados e n`ao-vazios K1
⊃ K ⊃ . . . ⊃ K ⊃ . . . , sua interse¸c˜ao 2
i
(limitada e fechada) n˜ao ´e vazia.
K =
∞
Ki
i=1
Lema C.8. Todo conjunto X IRn ´e separ´ avel, isto ´e, possui um subconjunto enumer´ avel E = x1 , x2 ,...,x l ,... X, E denso em X .
{
}⊂
Lema C.9. (Lindel¨ of) Seja
X
⊂
Aλ
⊂
X
⊂
IRn
um conjunto arbitr´ario. Toda cobertura aberta
admite uma subcobertura enumer´avel.
Chegamos ent˜ao ao resultado que nos interessa:
Teorema C.10. Um conjunto K
⊂ IR
n
´e compacto se, e somente se, K ´e limitado e fechado.
Demonstra¸ c˜ ao:
⇒ ( ⇐)
( ) J´a feita no cap´ıtulo sobre espa¸cos m´etricos. Borel-Lebesgue:
Suponhamos que K seja limitado e fechado. Seja K
Aλ uma cobertura aberta de K .
⊂ de Lindel¨of, ela admite uma subcobertura enumer´avel Pelo Lema
K Para cada i = 1, 2, 3,...
∈ IN
⊂
∞
Aλi = Aλ
1
∪ A ∪...
1
∪ ... ∪ A
i=1
λ2
ponha
Ki = K
(X (Aλ
\
λi ))
O espa¸co IRn
Ki
73
⊂ K (limitado) ⇒ K ´e limitado. ∪ . . . ∪ A ´e aberto ⇒ X \ (A ∪ . . . ∪ A i
Aλ λi ent˜ao que Ki ´e fechado.
λ1
1
Assim, para todo i
∈ IN,
K1
⊃ ∈ K , existe
∞
Logo
´e fechado. Como K ´e fechado, temos
Ki ´e limitado e fechado.
Observemos agora que K
Dado x
λi )
K2
⊃
K3
⊃
λi tal que x
∈A
λi
...
Ki
...
⊃ ⊃ ⊃ ∞ (pois K ⊂ A
λi
)
i=1
⇒ x ∈ K
i
Ki = φ .
i=1
Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe
i0 tal que Ki = φ 0
Assim
φ = Ki = K 0
\
X (Aλ
1
∪...∪ A
λi0 )
⇒
K
⊂
(Aλ
1
∪ ... ∪ A
λi0 )
Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita, ou melhor,
K ´e
compacto.
Conexidade por caminhos: Um CAMINHO num conjunto X num intervalo I IR.
⊂
⊂ IR
n
´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : I
→X
definida
Dizemos que os pontos a, b X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X quando existe um caminho f : I X tal que a, b f (I )
∈ →
∈
Por exemplo, se X ´e convexo ent˜ ao cada dois pontos a, b X podem ser ligados por um caminho em X , a saber, o caminho retil´ıneo [a, b] = t.a + (1 t).b ; t [0, 1] .
∈ −
{
Se a, b X podem ser ligados por um caminho ϕ : [0, 1] X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.
→∈
f :I
→X
∈
}
ent˜ao existe um caminho
Um conjunto X IRn ´e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos a, b X podem ser ligados por um caminho em X .
∈
⊂
Por exemplo: todo conjunto convexo ´e conexo por caminhos.
ˆ APENDICE C
74
Teorema C.11. Todo conjunto conexo por caminhos ´e conexo. Prova: Exerc´ıcio. Obs.: Nem todo conjunto conexo ´e conexo por caminhos: Exemplo: X = (x, sen1 /x) ; x
{
∈ (0, +∞)} ∪ {(0, 0)} ⊂ IR
2
´e conexo mas n˜ ao ´e conexo
por caminhos. Isto n˜ao ocorre se o conjunto em quest˜ ao for aberto:
Teorema C.12. Se A Prova: Exerc´ıcio.
⊂ IR
n
´e aberto e conexo ent˜ ao A ´e conexo por caminhos.
Referˆ encias ¨ nig, Chaim S. , Aplica¸ [1] Ho c˜oes da Topologia `a An´alise, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1976
[2] Lima, Elon Lages , Espa¸cos M´ etricos, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983 [3] Munkres, James R. , Topology - A First Course , Prentice-Hall Inc. , New Jersey, 1975
75
