TP n°1 : Prise en main du Pdetool de Matlab 1.
Introduction Matlab dispose d'un interactive graphique de résoudre d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) appelé Pdetool. Taper directement à partir de la fenêtre de commande. >>pdetool Vous avez à l'écran suivant :
Mode Dessin Dessin
Nous pouvons commencer le Mode dessin de Pdetool (Draw mode). Sélectionner dans le menu Draw→Draw Mode. Vous pouvez dessiner des rectangles, ellipses ou polygones. Dans le menu principal, sélectionner Draw Rectangle, Ellipse, Polygone, ou tous simplement les icônes ci-dessous du menu principal. Il existe des domaines de base comme des rectangles, des polygones et des disques avec lesquels on peut réaliser des domaines plus complexes en combinaison avec les opérations d'union (+) et de la différence (-). Il est à noter que les régions sont numérotées dans l'ordre, s'ils sont des rectangles : R1, R2, etc. Si des cercles : C1, C2, etc.
2.
Opération sur les surfaces Sélectionnez le menu Options puis l'item Axes Limits.... Entrez les bornes du domaine de calcul, par exemple [-3,3] en x et [-3,3] en y.
Soient deux disques E1 et E2 de même rayon r=2 et de centres différents c 1(x=-1, y=0) et c2(x=1, y=0). Cliquez sur l'icône de l'ellipse avec une croix en son centre, placez ensuite le curseur de la souris à l'endroit où vous voulez placer le centre de l'ellipse. Cliquez puis déplacez le curseur, en maintenant enfoncé le bouton gauche de la souris, afin de fixer le rayon de l'ellipse/cercle. Vous remarquez qu'en haut à droite, les coordonnées du curseur sont affichées. Créez ainsi un cercle centré à l'origine et de rayon 2 Une fois que vous avez relâché le bouton de la souris, Matlab donne un nom E1 à votre cercle. Cliquer deux fois successivement sur l'ellipse. Vous avez à l'écran suivant :
1/6
Entrer les coordonnés du centre et les valeurs de A et B. Ici A=B=r (c'est un cercle). Refaites l'opération afin de dessiner le disque E2 centré au point c 2(x=1, y=0) et de rayon 2. Sur la ligne Set Formula , vous entrez la formule E1 – E2. L'étape de construction géométrique est terminée. Sélectionnez le menu Boundary puis l'item Boundary Mode "Mode frontière". Ou tout simplement cliquer sur
.
Réaliser les opérations suivantes sur les surfaces E1 et E2 et relier chaque opération aux cas de figure convenable dans le tableau n°1 de la feuille réponse n°1. E1-E2, E1+E2, E2-E1, E1-(E1-E2), (E1+E2)-(E1-E2), (E1+E2)-(E2-E1), (E1+E2)-(E1-(E1-E2)), (E1+E2)-E1+(E1-E2).
Application : réaliser le domaine thermique suivant :
Donner l'opération effectuée sur les surfaces élémentaires :…………………………………………………………………………………………………………….
3.
Effet du nombre de nœud sur la convergence : Teste Teste de convergence Sélectionner le type d'Equations aux Dérivées Partielles à résoudre (voir figure ci-dessous).
Dessiner une sphère de rayon r 0=2 centrée au point (0, 0). La sphère a une conductivité k=5 et elle est le siège d’une production volumique de chaleur Q=100w/m2. Sélectionnez le menu PDE puis l'item PDE Mode. Choisir le menu PDE puis l'item PDE Spécification. Tout simplement cliquer sur
. 2/6
Choisir l'équation Elliptique et enter les valeur de de k , Q et h=0. Le PDE mode est terminé. Nous passons maintenant au mode frontière pour imposer les conditions aux limites. Cliquer sur
.
Les frontières du système thermique "ici la sphère" apparaissent en rouge "quatre frontières".
Cliquer sur une de ses frontières. Vous avez à l'écran suivant :
Deux types de conditions aux limites apparaissent apparaissent : Neumann "flux imposé" et Dirichlet "température imposée". La température de la surface de la sphère est T(r 0)=100°C. Entrer la valeur de de r=100 et h=1. Faire la même chose pour les autres frontières. Ainsi le mode frontière s'achève.
Mode de Maillage Ce mode permet d'initialiser le maillage et de le raffiner en cas nécessaire. Prenez en considération qu'un maillage ne peut pas indéfiniment être raffiné, si on raffine trop le calcul peut être excessivement lent ou peuvent apparaître des oscillations. Ceci marque un compromis entre rapidité et précisi on. Taper 1 fois sur : noter, sur le tableau n°2 de la feuille n°1, le nombre de nœud qui s'affiche en bas à gauche du graphe. Passer en mode solution. Dans ce mode on résout l'EDP. Il suffit de choisir du menu principal Solve. Par défaut, le résultat graphique est du type de couleurs, avec la barre à droite en indiquant les valeurs qui sont associées à divers couleur. La région centrale dans le rouge correspond à des valeurs plus hautes, les bords les l es plus clairs à des valeurs plus petites de la solution. Dans l'exemple, les conditions de frontière f rontière sont du Dirichlet type homogènes, il s'ensuit que la solution doit prendre la valeur 100 à la frontière. Relever la température du centre r=0 en cliquant avec la sourie au centre r=0 "x=y=0" la température apparaît en bas à droite de l'écran. l'écran. Les valeurs de x et y apparaissent en haut à droite de l'écran. Pour plus de précision, il est préférable de faire un zoom au voisinage du centre (0,0). Pour cela, sélectionnez le menu Options puis l'item Axes Limits... Limits.... Entrez les bornes du domaine du zoom, par exemple [0, 0.1] en x et [0, 0.1] en y. 3/6
Refaire la même procédure pour les quatre cas suivants. Taper 1 fois sur
et 1 fois sur
: noter le nombre de nœuds et relever la température du centre.
Taper 1 fois sur
et 2 fois sur
: noter le nombre de nœuds et relever la température du centre.
Taper 1 fois sur
et 3 fois sur
: noter le nombre de nœuds et relever la température du centre.
Taper 1 fois sur
et 4 fois sur
: noter le nombre de nœuds et relever la température du centre.
Tracer, sur le graphe, l’évolution de T en fonction du Nombre de nœuds
Conclusion :……………………………………………………………………………..… 4.
Relation entre symétrie géométrique, symétrie thermique et symétrie du résultat final. Déterminer la répartition des températures et des densités de flux de chaleur, d'un boc métallique de section carrée d'arête 2a (a=1) et de conductivité thermique k=10, par la résolution de l’équation de la chaleur avec Pdetool à différentes conditions aux limites citées ci-dessous. Compléter le tableau n°3 de la feuille n°1. Cas n°1 : T(x=-a,y) = T(x=a,y) = T0 et ϕ(x,y=a)=ϕ(x,y=-a)=0 Cas n°2 : T(x=-a,y) = T(x=a,y) = T0, ϕ(x,y=a)=0 et ϕ(x,y=-a)=5 Cas n°3 : T(x=-a,y) = 2*T0, T(x=a,y) = T0, ϕ(x,y=a)=0 et ϕ(x,y=-a)=5 Notez bien bien : a. la notation utilisée par Pdetool pour exprimer la condition de Neumann est la suivante : n * k * grad (T ) + q * T = g avec q=h "coefficient de convection" et g=h*Tfluide. Dans notre cas : q=0 et g=ϕ b. On peut choisir d'autres formes de représentation de la solution. Ceci est obtenu en choisissant du menu principal Plot → Paramètres, la suivante fenêtre apparaîtra
Par exemple, si nous choisissons les options de Contours y Arrows, après avoir cliqué sur le bouton Plot , en plus du graphique de couleur, apparaîtront des courbes de découpe T(x, y) = cst. et le négatif du domaine gradient qui dans le cas de problèmes de transfert de chaleur peut être interprété comme le vecteur de flux de chaleur. Déterminer les valeurs des densités de flux sur les différents axes de symétrie. Toutes les surfaces "axe " de symétrie sont elle forcément des surfaces adiabatiques ? Justifier votre réponse. Peut-on profiter des axes de symétrie afin de réduire le temps de calcul ? Si oui comment ? Conclusion : ………………………………………..………………………..……………………………………………………………………
4/6
TP de transfère de chaleur: Feuille réponse n°1 Nom :………………............……..Prénom : ………..…………….Groupe :………….. Nom :………………............……..Prénom : ………..…………….Groupe :………….. Nom :………………............……..Prénom : ………..…………….Groupe :………….. Nom :………………............……..Prénom : ………..…………….Groupe :…………..
1. Opération sur les surfaces : Tableau n°1 Opération sur les surfaces
Résultat
Application : réaliser le domaine thermique suivant :
Donner l'opération effectuer sur les surfaces élémentaires : ……………………………………………………………………………………………………………….
2. Effet Effet du nom bre de nœuds sur la conv ergence : Teste Teste de conv ergences ergences Nb de Nœuds Nb de triangles T(r=0)
Tracer, sur le graphe ci-dessous, l’évolution de T(r=0) en fonction du Nombre de nœuds 5/6
Conclusion : ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3. Relation entre symétrie géométrique, symétrie thermique et symétrie du résultat f inal Nombre d’axes de symétrie thermique et géométrique
Nombre d’axes de symétrie de la solution
Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3
Déterminer les valeurs des densités de flux sur les différents axes de symétrie. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Toutes les surfaces "les axes dans l'espace 2D" de symétrie sont elles forcément des surfaces adiabatiques ? Justifier votre réponse. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Peut-on profiter des axes de symétrie afin de réduire le temps de calcul ? Si oui comment ? ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Conclusion : ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 6/6
TP N° 2 : Les ailettes I. Répartition des températures le long des ailettes trapézoïdales et rectangulaires . Considérons deux ailettes de formes distinctes, une trapézoïdale et l’autre rectangulaire. Les deux sont faites du même matériau de conductivité thermique k=80,2 W/m.K et ayant chacune 20 mm d'épaisseur et 80 mm de longueur. L’installation des deux ailettes sur un mur refroidi à l’air a pour but d’augmenter la chaleur évacuée par ce mur. La température du mur est T b = 115°C et le coefficient de convection entre la surface du solide et l’air (T (T∞=15°C) est h = 100 W/m 2.K.
Figure 1. 1. En recourant au logiciel Matlab, on se propose d'étudier seulement la moitié de l’ailette. Justifier ce choix : …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 2. Ailette de section trapézoïdale En supposant un transfert de chaleur en deux dimensions. Déterminer, par simulation numérique, les températures à différentes positions (0 ≤ x < L, y = 0) . Tracer sur le graphe de la figure 2 la répartition des des températures le long d'ailette. X 0 T(x, y=0) 115
3. Ailette de section rectangulaire En maintenant les mêmes hypothèses que dans l’ailette trapézoïdale, déterminer par simulation puis tracer sur même graphe (figure ( figure 2) avec un motif différent la répartition répar tition des températures le long de l'ailette rectangulaire. Comparer le comportement des deux ailettes. X 0 T(x, y=0) 115
Figure 2 : Répartition de la température en fonction de x.
1 / 4 / 4
II. Confrontation entre les résultats numériques et les résultats résultats analytiques analytiques. Nous proposons ici d'étudier par deux méthodes le comportement comportement thermique d'ailette de section rectangulaire. Dans cette étude, nous supposons que le flux à la surface extrême x=L est négligeable et égale à zéro.
1. Dans ses conditions, montrer que la solution analytique du problème s'écrit : ch[m( L − x) ] T ( x) = T ∞ + (T b − T ∞ ) (Eq. 1) ch[mL ] Exprimer en fonction de h, P, S et λ. m= On donne : S=1*e et P=2*(e+1) 2. Déterminer par simulation la répartition des températures le long de l’ailette (rassembler les résultats dans le tableau ci-dessous). ( Eq. 1), 1) , calculer les températures T(x). 3. A partir de la solution analytique (Eq. X 0 T(°C) 115 analytique
T(°C)
115
numérique
4. Tracer sur le même graphe ci-dessous (T(x) de la solution analytique tracée auparavant sur le graphe) la répartition des températures le long d'ailette de la solution numérique. Comparer les résultats des deux approches et conclure.
5. Déterminer par simulation la densité de flux ϕ(0,y) à la base de l’ailette. 2 / 4 / 4
Pour afficher les densités des flux, aller dans le menu Plot et sélectionner Paramètres. Danas la boite de dialogue plot sélectionner apparait ; à la place de la température sélectionner heat sélectionner heat flux. flux . Pour plus de précision, il est préférable de faire un zoom au voisinage de x=0. Pour cela, sélectionnez le menu Options puis l'item Axes Limits.... Entrez les bornes du domaine du zoom, par exemple [0, 0.001] en x. y 0 L ϕ(0,y) En utilisant des hypothèses simplificatrices, simplificatrices, démontrer que la solution analytique du flux 6. En utilisant transmis par l'ailette est égale à : dT φ = −λ .S = P.h.λ .S (T b − T ∞ ).th[mL] dx x =0 Les hypothèses simplificatrices sont : - La longueur dans le sens transversal est assez grande par rapport à l’épaisseur de l’ailette. - La température du fluide est uniforme. - La résistance de contact entre l’ailette et la paroi mère est nulle. Calculer la densité du flux ϕ0. 7. Tracer la variation de la densité de flux à la base de l'ailette en fonction de Y. Comparer avec le résultat analytique.
y(m)
8. Déterminer à partir du graphe la densité de flux moyenne ϕ moyenne
=
1
+e/ 2
2
ϕmoyenne.
+e/ 2
∫ ϕ (0, y)dy = e ∫ ϕ (0, y)dy
e −e / 2
0
9. Déterminer la valeur de la constante a tel que : a =…………….. ϕ moyenne = a.ϕ (0,0) . III.
Etude d'efficacité thermique E d'ailette puissance évacuée avec l' ailette L'efficacité E de l’ailette est donnée par : E = puissance évacuée sans ailette
E =
2 e
+e/ 2
∫ ϕ ( 0, y ) .dy 0
h(Tb
− T∞ )
=
ϕ moyenne h.(Tb − T∞ )
1. Ailette de section rectangulaire Le choix d'une forme géométrique convenable d'une ailette exige un compromis entre le prix, le poids et l'espace disponible. Pour une surface plane d'aire S, la résistance thermique est 1/ h*S. 3 / 4 / 4
L'emploi des ailettes augmente l'aire de la surface, mais en même temps, il introduit aussi une résistance thermique de conduction sur cette partie de la surface initiale à laquelle sont liées les ailettes. Ainsi, la présence d’ailette n'aura toujours pas pour effet une augmentation du flux de chaleur. Par la suite, en suppose que la densité de flux moyenne est liée avec ϕ (0,0) (la densité de flux au point (0.0)) par l’équation ϕ moyenne
= a.ϕ (0,0) avec a=1,077. Dans ces conditions, compléter le
tableau ci-dessous. Pour chaque valeur de L, simuler le problème par Mathlab et calculer (0,0) .
L(m)
m.L
h(Tb-T )
(0,0)
moyenne
E=
moyenne /h(Tb-
T )
0,01 0,09 0,18 0.27 0.35 0,44 0,54 0,60
1,27 11,45 22,89 34,34 44,51 55,96 68,68 76,31
10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
Tracer sur le graphe ci-dessus E en fonction de la variable m.L (grandeur sans dimension) Interpréter l'allure Interpréter l'allure du graphe. Que représente m.L=3. Conclure . 2. Mise en évidence de l'effet de fluide sur l'efficacité d'une ailette Dans cette partie, on se propose de déterminer l'effet l'effet du fluide sur l'efficacité de l'ailette. Pour se faire, plusieurs cas de fluides sont à étudier (voir tableau) dans les mêmes conditions que dans le paragraphe (III-1) et pour une longueur L fixe égale à 0,08 m. Pour chaque valeur de h du tableau ci-dessous, déterminer par simulation la densité du flux ϕ(0.0). Compléter le tableau ci-dessous. E= ϕmoyenne = h(T b-T∞) 0,25*P.λ/S Fluide h ϕ (0,0) 1,077* ϕ (0,0) ϕmoyenne/h(T b-T∞) Air, convection naturelle Eau, convection naturelle Air, convection forcée Huiles, convection forcée Eau, convection forcée
10 1000 2045 100 10000 2045 200 20000 2045 3000 300000 2045 4000 400000 2045 Eau, ébullition 6000 60 600000 2045 Eau, condensation 10000 1000000 2045 Conclusion :.……………………………………………………………………………………………… .………………………………………………………………………………………….………………… .………………………………………………………………………………………….………………… .…………………………………………………………………...…………………..…………………… ………………………………………………………………………….…………………………….……
4 / 4 / 4
TP3 : Conducti n bidime sionnelle e n régime s tationnair avec ter e de prod ction. ne paroi c respecti ement. La Les con itions aux l - Condition
mposée de milieux ho mogènes de conductivit λ 1 et λ 2, t d’épaisseur e1 et e 2 remière par i est le sièg e d’une distr ibution de s urce volum ique Qv = 6 W/cm³. mites sont : e Dirichlet gauche T= T0
- Condition e Newton ( onvection) à droite −
dT dx
= h(T T f )
Le contact est parfai entre les d ux milieux. On
do ne :
λ 1
= 0,65 W / c
°C ,
λ 2
0,2 W / cm °C ,
2
h = ,8 W / cm °C ,
T 0 = 500 °C ,
T f = 150 °C , e1 = 3 cm , e 2 = 2 cm , L = 1 cm .
Les deux parois se comporten comme de s Murs au ens thermi ue. 1. Donner les conditions aux limites des domai es y=0 et =1cm. 2. Résoudre ce problème en utilisan pdetool de Matlab. 3. Tracer T(x) 4. Tracer ϕ(x) 5. Déterminer : T(x=e1), (x=e2) 6. Déterminer la position et la valeu de Tmax. 7. Vérifier par analogie électrique les v leurs des températures (x=e1) et (x=e2)
TP4 : Trempe d’un cylindre en acier Une Cylindre en acier initialement chauffé à T0 est introduit dans un grand réservoir d’eau à la température Tf . L’évolution de la température du cylindre avec le temps est recherchée, le bain étant admis isotherme. Le bilan thermique dans le solide s’écrit (r
∂T ρ .C − λ .∆T = q ∂t Avec q est une source de chaleur volumique interne dans le solide. A la surface de la sphère ( r=R), le flux de chaleur par convection est égal au flux de chaleur par conduction. On peut écrire :
− λ
∂T ∂r r = R
= h.(T ( R ) − T f )
est un coefficient de conduction, h est un coefficient de convection. Utiliser Pdetool de MatLab pour simuler l’évolution dans le temps en tenant compte des données suivante : Rayon = 0.01 m, m,
= 7850, C = 462,
= 110, T f = 30, T(t=0) = 650 et h = 450
1. Calculer le nombre de Bio 2. Le milieu est-il thermiquement mince ? 3. Résoudre numériquement dans l’intervalle de temps allant de 0 à 4 minutes (t=240 s). a. Tracer l’évolution de T au centre de la bille en fonction du temps. t(s)
0
10
20
30
60
100
140
180
200
220
240
T(0, t)
b. Tracer T(t) de la solution analytique (milieu mince) en fonction du temps et comparer avec la solution numérique.
c. Tracer l’évolution du flux en fonction du temps φ (t ) = S (r ). (r , t ) . t(s)
0
10
20
30
60
100
140
180
200
220
ϕ(r, t)
φ (t ) d. Tracer φ (t ) de la solution analytique en fonction du temps et comparer avec la solution numérique.
240
