U M Facultad de Ingeniería (801) Física Moderna TP I
Dinámica de Alta Energía (de Einstein) Leyes de Conservación Energía y Momentum 1. Calcular las energías de reposo (en electrón-volts) de un electrón y de un protón. protón. Datos: me = 9:109 1031 Kg (masa Kg (masa del electrón), m p = 1:673 1027 Kg (masa del protón), c = 2:998 108 m = s (velocidad de la luz en el vacío) y 1 eV = 1: 1:602 1019 J (factor de conversión de unidades de energía). Resp. me c2 = 0: 0 :511 MeV m p c2 = 938: 938:3MeV
2. Calcular el momentum de un electrón que se mueve a 80% 80%c: c: Resp. p = 0:681MeV =c 3. Hallar
la energía cinética de un electrón que es acelerado desde el reposo hasta una velocidad de 0: 0 :5c: Resp. K = = 0:079 MeV 4. Hallar Hallar la energía energía cinética cinética de un protón protón cuya cuya velocidad velocidad es 0: 0 :8c: Resp. K = = 625: 625:5MeV 5. ¿Qué
velocidad alcanza un electrón que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 100kV? 100kV? Resp. v = 0:548 548cc 6. ¿A qué fracción de la velocidad de la luz (en el vacío) debe moverse una partícula para que su energía cinética sea el doble de su energía de reposo? ¿Depende ese resultado de la masa de la partícula? Resp. v=c = v=c = 0:943 NO
MeV? 7. ¿Cuál es la velocidad de un electrón cuya energía cinética es 2 MeV Resp. v = 98%c 98% c 8.
¿Cuál ¿Cuál es la masa efectiv efectiva a de un protón protón con una energí energía a cinéti cinética ca de
1GeV? 1GeV? Resp. E=c 2 = 2: 2 :07m 07m p
1
…sión de un núcleo de U 235 libera 200MeV de energía cinética. ¿Qué porcentaje es esa energía cinética de toda la energía disponible en el núcleo de U235 ? (Masa atómica de U 235 = 235 u; 1 u = 931:5MeV =c2 ) Resp. 0:091% 9. La
Para una partícula de masa m moviéndose con una velocidad energía E (relativista) y el momentum p se de…nen por 10.
E = Probar que
mc2 ; 1 v 2 =c2
p =
p
E 2 = (mc2 )2 + ( pc)2 ;
v =
v;
la
mv 1 v2 =c2
p
c2 p; E
v =
11. Probar
p
p
m2 + p2 =c2
que la energía cinética K de una partícula con masa m; como función de su momentum p; está dada por
p
K = mc2 ( 1 + ( p=mc)2 12. Calcular
1)
la energía cinética de un electrón cuyo momentum es 2 MeV =c: Resp. K = 1:55MeV 13. Probar que el momentum p de una partícula con masa m; como función de su energía cinética K; está dada por
p = 14. Calcular
p
(2mc2 + K )K=c
el momentum de un protón cuya energía cinética es 200 MeV : Resp. p = 644:5MeV =c 15. La
energía cinética K de una partícula con masa m y velocidad v está
dada por K = mc 2
1 1 v2 =c2
p
!
1
p 11+ h 1 12 h; si jhj << 1: Probar
Usando la fórmula de linealización:
que para "velocidades pequeñas" (i.e., v=c << 1), la energía cinética K puede aproximarse por la "fórmula Newtoniana"
12 mv
K
2
p
1 Usando la fórmula de linealización: 1+h 1 + h; si h << 1 y 2 el resultado del prob. 11. Probar que la energía cinética K como función del 16.
2
j j
momentum p; bajo la condición p << mc; puede aproximarse por la "fórmula Newtoniana" p2 K 2m 17. Usando el resultado del prob. 13. Probar que el momentum p como función de la energía cinética K; en el régimen K << mc 2 (i.e., baja energía), puede aproximarse por la "fórmula Newtoniana"
p
p
2mK
18. Probar
que la energía E de una partícula con masa m y velocidad v; en el régimen de "velocidades pequeñas" (i.e., v << c), puede aproximarse por la fórmula 1 E mc2 + mv2 2
Leyes de Conservación 19. Dos cuerpos idénticos, cada uno con masa m; se aproximan el uno hacia el otro con velocidades iguales v y, en un choque perfectamente inelástico, quedan unidos formando un cuerpo compuesto con masa M: Probar que 2m (a) M = ; y consecuentemente, M > 2m (i.e., la masa del 1 v2 =c2 sistema aumenta) (b) Si v << c (i.e., velocidades pequeñas), m mv 2 =c2 :
p
20. Una
partícula de masa m con energía cinética K 0 colisiona inelásticamente con otra partícula idéntica en reposo. Ambas partículas quedan unidas formando una partícula de masa M con energía cinética K: Probar que (a) M = 2m 1 + K 0 =2mc2 ; y consecuentemente, M > 2m (i.e., la masa del sistema aumenta) (b) Si K 0 << 2mc2 (i.e., bajas energías), m 21 K 0 =c2
p
21. Una partícula con energía E 1 ; masa m 1 y velocidad v 1 colisiona inelásticamente con otra partícula con masa m 2 ; en reposo. Ambas partículas quedan unidas formando una partícula única con energía E 3 ; masa m 3 y velocidad v 3 : Probar que E 1 v3 = v1 E 1 + m2 c2 22. Una partícula 1 con energía cinética K 1 colisiona inelásticamente con otra partícula 2 en reposo. Y, ambas partículas quedan unidas formando una partícula compuesta 3: Utilizando las leyes de conservación de la energía y del momentum, probar que la masa del sistema no se conserva (aumenta) y que el aumento de la energía de masa del sistema es igual a la disminución de la energía cinética del sistema, i.e.,
2
m3 c
m3 > m1 + m2 ; (m1 c + m2 c2 ) = K 1 K 3 2
3
(i.e., conversión de enegía cinética en masa) 23. Una
partícula 1 en reposo se fragmenta espontáneamente en otras dos partículas 2 y 3: Utilizando la ley de conservación de la energía, probar que la masa del sistema no se conserva (disminuye) y que la disminución de la energía de masa del sistema es igual al aumento de la energía cinética del sistema, i.e.,
2
m1 c
m2 + m3 < m1 ; (m2 c + m3 c2 ) = K 2 + K 3 2
(i.e., conversión de masa en enegía cinética)
4
