UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS EXACTITUD Y RAÍCES DE ECUACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS TRABAJO COLABORATIVO NO. 2
Presentado Por: CRISTHIAN ANDRES FIERRO BARAJAS Código 1120371181 OTTO RUEFLI BARRERA Codigo 1118538282
TUTOR: JOSE ADEL BARRERA
GRUPO: 86
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA-ECBTI PROGRAMA DE INGENIERIA SISTEMAS CEAD, ACACIAS, ACACIAS OCTUBRE 2015
Desarrollo del Trabajo No. 2 1. Construir un cuadro comparativo de las diferencias entre los sistemas lineales y los sistemas NO lineales con al menos un ejemplo. (Debe ser original, no se admiten copias bajadas de internet)
Sistemas Lineales: Se conocen también como se conoce como ecuaciones de primer grado. Como se resuelve una ecuación lineal Quitar los paréntesis siempre usando bien las propiedades de las operaciones Quitar denominadores en el caso de que la ecuación lineal este dada en fracción Agrupar los términos en x en un lado y los términos constante en el otro. Simplificar los términos semejantes Despejar la incógnita o variable. Se pueden presentar 3 tipos de ecuaciones lineales tales como:
Ecuaciones lineales propiamente tales. Ejemplo:
Ecuaciones fraccionarias Ejemplo: Mínimo común divisor 2, 4 y 3 = 12
Ecuaciones Literales Ejemplo:
Sistemas no Lineales Es cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. Como se busca la solución a una ecuación te tipo no lineal
Las ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas que la de los Sistema Lineales. En el sistema no lineal el intervalo maximal de existencia depende de la condición inicial.
x
2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y GaussSeidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis.
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3 0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000 Utilizar un ξ = 0.001
A. Gauss-Jordán
Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.
Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:
El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.
En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.003
Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene -0.033 ,-0.190 :
El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010
De 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por -0.068 , -0.042
B. Gauss-Seidel 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3 0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000
Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:
Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1
Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:
En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
Seguimos realizando interacciones asta que el error sea menor que el deseado 0.001 En la cuarta iteración el error es menor que el deseado
3. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y GaussSeidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
17
-2
-3
=500
-5
21
-2
=200
-5
-5
22
=30
F2 =F2-(5/17)*F1
17 0 -5
-2
-3
=500
20,41 -2,88 =347,05 -5
22
= 30
F3=F3−(5/17)*F1
17
-2
-3
= 500
0
20,41 -2,88 = 347,05
0
-5,59 21,12 =177,06
F3= F3−(95/347)*F2
17
-2
-3
=500
0
20,41 2,88
=347,05
0
0 20,33
=270,07
Solución:
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN
17
-2
-3
=500
-5
21
-2
=200
-5
-5
22
=30
F1=F1/(17)
1
-0,12 0,18
=29,4
-5
21
-2
= 200
-5
-5
22
=30
F2=F1*(-5)-F2
1 0 -5
-0,12 0,18 =29,4 20,41 -1,12 =347,06 -5
22
=30
F3=F1*(-5)-F3
1
-0,12 0,18 = 24,9
0
20,41 -1,12 =347,06
0
-5,59 22,88 =177,06
F2= F2/20.41 1 0 0
-0,12
0,18 29,41
1 -0,05 17 -5,59 22,88 177,06
F3= F2*(-5,59)-F3
1
-0,12
0
1
0
0
0,18
=29,41
-0,05 =17 22,58 = 272,07
F3=22.58/F3
1
-0,12
0
1
0
0
0,18
=29,41
-0,05 =17 1
= 17,05
F2=F3*0.05-F2
1
-0,12 0,05 =29,41
0
1
0
=17,66
0
0
1
=12,05
F1=F3* 0.18- F1
1
-0,12 0
=27,29
0
1
0
=17,66
0
0
1
=12,05
F1=F2* 0.12- F1 1
0
0
=27,29
0
1
0
=17,66
0
0
1
=12,05
Solución:
MÉTODO GAUSS-SEIDEL
Iteración 1 Suponemos que
y
Sustituimos
y
Iteración 2 ,
y
en
Iteración 3 ,
y
Solución. :
4. Plantee y solucione un ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y GaussSeidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis.
5. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.
Ingreso los polinomios en el siguiente programa
6. Determine el Polinomio de Interpolación Usando la Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, e interpole en el punto x = 3
7. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto x = -14/15
8. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6) determine los polinomios de grado 4 y 5. Graficar para determinar la curva más aproximada. 9. Determinar el polinomio de grado 4 Elementos de la matriz M=6 La matriz a resolver seria de 5x5, entonces hallamos los coeficientes:
M xi x 2i 3 xi x 4i 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1
xi x 2i x 3i x 4i x 5i
x 2i x 3i x 4i x5i x6i
x 3i x 4i x5i x6i x7i
x 4i x 5i x 6i x7i x 8 i
a1 yi a xy 2 i i a3 x 2 i y i 3 a4 x i yi a5 x 4 i yi
xi 4,5 (3,2) (1,4) 0,8 2,5 4,1 1,7 xi2 (4,5) 2 (3,2) 2 (1,4) 2 (0,8) 2 (2,5) 2 (4,1) 2 56,15 xi3 ( 4,5) 3 ( 3,2) 3 (1,4) 3 (0,8) 3 (2,5) 3 (4,1) 3 41,579 xi4 (4,5) 4 (3,2) 4 (1,4) 4 (0,8) 4 (2,5) 4 (4,1) 4 840,809 xi5 (4,5) 5 (3,2) 5 (1,4) 5 (0,8) 5 (2,5) 5 (4,1) 5 929,658 xi6 (4,5) 6 (3,2) 6 (1,4) 6 (0,8) 6 (2,5) 6 (4,1) 6 14379,544 xi7 (4,5) 7 (3,2) 7 (1,4) 7 (0,8) 7 (2,5) 7 (4,1) 7 20727,472
6
i 1
xi8 (4,5) 8 (3,2) 8 (1,4) 8 (0,8) 8 (2,5) 8 (4,1) 8 260536,427
Los términos constantes son: 6
i 1 6
i 1
6
i 1 6
i 1 6
i 1
yi 0,7 2,3 3,8 5,0 5,5 5,6 22,9 xi yi (4,5)(0,7) (3,2)(2,3) (1,4)(3,8) (0,8)(5,0) (2,5)(5,5) (4,1)(5,6) 24,88
xi2 y i (4,5) 2 (0,7) (3,2) 2 (2,3) ( 1,4) 2 (3,8) (0,8) 2 (5,0) ( 2,5) 2 (5,5) (4,1) 2 (5,6) 176,886 xi3 yi (4,5) 3 (0,7) ( 3,2) 3 ( 2,3) ( 1,4) 3 (3,8) (0,8) 3 (5,0) ( 2,5) 3 (5,5) ( 4,1) 3 (5,6) 324,874 xi4 y i ( 4,5) 4 (0,7) ( 3,2) 4 ( 2,3) ( 1,4) 4 (3,8) (0,8) 4 (5,0) ( 2,5) 4 (5,5) ( 4,1) 4 (5,6) 2342,132
Construimos nuestra matriz
6 1,7 56,15 41,579 840,809 1,7 56,15 41,579 840,809 929,658 56,15 41,579 840,809 929,658 14579,544 41,579 840,809 929,658 14579,544 20727,472 840,809 929,658 14379,544 20727,472 260536,427
Solucionamos por el método de Gauss – Jordan:
a1 4,628
a 2 0,496 a3 0,0582 a 4 0,002014 a5 0,0008
Nuestro polinomio de 4 grado seria:
a1 22,9 a 24,88 2 a3 176,886 a4 234,874 a5 2342,132
y a1 a 2 x a3 x 2 a 4 x 3 a5 x 4 y 4,628 0,496 x 0,0582 x 2 0,002014 x 3 0,0008 x 4
Determinar el polinomio de grado 5 Elementos de la matriz M=6 La matriz a resolver seria de 6x6, entonces hallamos los coeficientes:
M
xi
xi2 xi3 xi4
2 3 4 5 xi xi xi xi xi xi2 xi3 xi4 xi5 xi6 3 4 5 6 7 x i x i x i x i xi
x 4 x5 x 6 x 7 x8 i5 i6 i7 i8 i9 xi xi xi xi xi 6
i 1 6
i 1
xi5 a1 yi xi6 a 2 xi yi 2 xi7 a3 xi yi 3 xi8 a 4 xi yi 4 xi9 a5 xi yi 5 xi10 a6 xi yi
xi 4,5 (3,2) (1,4) 0,8 2,5 4,1 1,7 xi2 (4,5) 2 (3,2) 2 (1,4) 2 (0,8) 2 (2,5) 2 (4,1) 2 56,15
6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1
xi3 ( 4,5) 3 ( 3,2) 3 (1,4) 3 (0,8) 3 (2,5) 3 (4,1) 3 41,579 xi4 (4,5) 4 (3,2) 4 (1,4) 4 (0,8) 4 (2,5) 4 (4,1) 4 840,809 xi5 (4,5) 5 (3,2) 5 (1,4) 5 (0,8) 5 (2,5) 5 (4,1) 5 929,658 xi6 (4,5) 6 (3,2) 6 (1,4) 6 (0,8) 6 (2,5) 6 (4,1) 6 14379,544 xi7 (4,5) 7 (3,2) 7 (1,4) 7 (0,8) 7 (2,5) 7 (4,1) 7 20727,472 xi8 (4,5) 8 (3,2) 8 (1,4) 8 (0,8) 8 (2,5) 8 (4,1) 8 260536,427 xi9 ( 4,5) 9 (3,2) 9 (1,4) 9 (0,8) 9 (2,5) 9 (4,1) 9 460688,91 xi10 (4,5)10 (3,2)10 (1,4)10 (0,8)10 ( 2,5)10 ( 4,1)10 4869484,589
Los términos constantes son: 6
i 1 6
i 1
6
i 1 6
i 1 6
i 1 6
i 1
yi 0,7 2,3 3,8 5,0 5,5 5,6 22,9 xi yi (4,5)(0,7) (3,2)(2,3) (1,4)(3,8) (0,8)(5,0) (2,5)(5,5) (4,1)(5,6) 24,88
xi2 y i (4,5) 2 (0,7) (3,2) 2 (2,3) ( 1,4) 2 (3,8) (0,8) 2 (5,0) ( 2,5) 2 (5,5) (4,1) 2 (5,6) 176,886 xi3 yi (4,5) 3 (0,7) (3,2) 3 (2,3) (1,4) 3 (3,8) (0,8) 3 (5,0) (2,5) 3 (5,5) (4,1) 3 (5,6) 324,874 xi4 y i (4,5) 4 (0,7) (3,2) 4 (2,3) (1,4) 4 (3,8) (0,8) 4 (5,0) (2,5) 4 (5,5) (4,1) 4 (5,6) 2342,132 xi5 yi (4,5) 5 (0,7) (3,2) 5 (2,3) (1,4) 5 (3,8) (0,8) 5 (5,0) (2,5) 5 (5,5) (4,1) 5 (5,6) 4942,808
Construimos nuestra matriz
929,658 a1 22,4 24,88 14379,544 a 2 176,886 56,15 41,579 840,809 929,658 14379,544 20727,472 a3 41,579 840,809 929,658 14379,544 20727,472 260536,427 a 4 324,874 2342,132 840,809 929,658 14379,544 20727,472 260536,427 460688,91 a5 929,658 14379,544 20727,472 260536,427 460688,91 4869484,589 a 6 4942,808 6 1,7
1,7 56,15
56,15 41,579
41,579 840,809
840,809 929,658
Solucionamos por el método de Gauss – Jordan:
a1 4,174 a2 0,283 a3 0,0632 a4 0,0465 a5 0,0065 a6 0,00018
Nuestro polinomio de 5 grado seria:
y a1 a 2 x a3 x 2 a 4 x 3 a5 x 4 a6 x 5 y 4,174 0,283 x 0,0632 x 2 0,0465 x 3 0,0065 x 4 0,00018 x 5
10. Plantee y solucione dos ejercicios sobre la temática de Transformada discreta de Fourier.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/Trabajo_Colaborativo_No._2_1602.F.pdf
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/Guia_Integradora_Curso_100401_ 2015_16-02_F.pdf
http://campus13.unad.edu.co/campus13_20152/mod/lesson/view.php?id=3346