ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACIÓN TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 1
POR: LEIDY JOHANNA RAMIREZ
(107785657!
ROBINSON DANIEL ROJAS RIVERA
(10778618!
LIEVER ROJAS SC ARPETA
(1075"8#15"!
JOCER ST STIVEN SA SANCHEZ PE PERDOMO
(1081$1550!
%RUPO:
100$1"&7#
PRESENTA PRESEN TADO DO A: CARLOS ANDR'S %ÓMEZ TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD! ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS) B SICAS) TECNOLO%*A E IN%ENIER*A (ECBTI! PITALITO HUILA
1
CONTENIDO INTRODUCCIÓN...........................................................................................................3 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD ACTIVIDAD...................................................................................4 Actividad individual......................................................................................................4
Ejercicio Ejercicio 1. Leidy Johanna Ramírez.......................... Ramírez.......................................................... ............................................. ............. 4 Ejercicio Ejercicio 2. Leidy Johanna Ramírez.......................... Ramírez.......................................................... ............................................. ............. 5 Ejercicio Ejercicio 3. Jocer Stiven Sánchez Perdomo.......................... Perdomo.............................................. ..................................5 ..............5 Ejercicio Ejercicio 4. Jocer Stiven Sánchez Perdomo.......................... Perdomo.............................................. ..................................9 ..............9 Ejercicio Ejercicio 5. Liever Roja Scar!eta................................. Scar!eta........................................................................ ......................................... 9 Ejercicio Ejercicio ". Liever Roja Scar!eta................................. Scar!eta.................................................................... ...................................... ...11 11 Ejercicio Ejercicio #. Ro$inon Ro$inon %anie& Roja Rivera............................................... Rivera........................................................... ............ 12 Ejercicio Ejercicio '. Ro$inon Ro$inon %anie& Roja Rivera............................................... Rivera........................................................... ............ 14 Ejercicio Ejercicio 9..................................... 9......................................................... ........................................ .................................... .............................. .............. 1" Ejercicio Ejercicio 1(.................................... 1(....................................................... ....................................... .................................... .............................. .............. 1" Actividad Grupal 1..................................................................................................1# Actividad Grupal 2..................................................................................................23 CONCLUSIONES........................................ ............................................................ ........................................ ....................................... ......................... ...... 2# REFERENCIAS ILIOGR!FICAS................................................................................2'
2
CONTENIDO INTRODUCCIÓN...........................................................................................................3 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD ACTIVIDAD...................................................................................4 Actividad individual......................................................................................................4
Ejercicio Ejercicio 1. Leidy Johanna Ramírez.......................... Ramírez.......................................................... ............................................. ............. 4 Ejercicio Ejercicio 2. Leidy Johanna Ramírez.......................... Ramírez.......................................................... ............................................. ............. 5 Ejercicio Ejercicio 3. Jocer Stiven Sánchez Perdomo.......................... Perdomo.............................................. ..................................5 ..............5 Ejercicio Ejercicio 4. Jocer Stiven Sánchez Perdomo.......................... Perdomo.............................................. ..................................9 ..............9 Ejercicio Ejercicio 5. Liever Roja Scar!eta................................. Scar!eta........................................................................ ......................................... 9 Ejercicio Ejercicio ". Liever Roja Scar!eta................................. Scar!eta.................................................................... ...................................... ...11 11 Ejercicio Ejercicio #. Ro$inon Ro$inon %anie& Roja Rivera............................................... Rivera........................................................... ............ 12 Ejercicio Ejercicio '. Ro$inon Ro$inon %anie& Roja Rivera............................................... Rivera........................................................... ............ 14 Ejercicio Ejercicio 9..................................... 9......................................................... ........................................ .................................... .............................. .............. 1" Ejercicio Ejercicio 1(.................................... 1(....................................................... ....................................... .................................... .............................. .............. 1" Actividad Grupal 1..................................................................................................1# Actividad Grupal 2..................................................................................................23 CONCLUSIONES........................................ ............................................................ ........................................ ....................................... ......................... ...... 2# REFERENCIAS ILIOGR!FICAS................................................................................2'
2
INTRODUCCIÓN En "l d"#arr$ll$ d" "#ta actividad% dar"&$# #$luci'n a l$# "("rcici$# pr$pu"#t$# p$r la )u*a )u*a%% para para "ll$ "ll$ cada cada un$ un$ d"+" d"+" "#c$)" "#c$)"rr d$# d$# "("r "("rci cici ci$# $# para para d"#arr d"#arr$l $lla larr d" ,$r& ,$r&a a individual - a- d$# pr$+l"&a# para d"#arr$llar d" ,$r&a )rupal% "&p"/ar"&$# c$n "l "#tudi$ d" "cuaci$n"# di,"r"ncial"#% "nc$ntrar"&$# al)una# d",inici$n"# i&p$rtant"# 0u" n$# p"r&itan "l "#tudi$ d" di,"r"nt"# &t$d$# d" #$luci'n. L$# t"&a# 0u" tratar"&$# "n "l d"#arr$ll$ d" "#ta actividad #$n &u- i&p$rtant"# "n "l ca&p$ d" la in)"ni"r*a% la #$luci'n a di,"r"nt"# pr$+l"&a#% a#* c$&$ "# "l "#tudi$ d" "cuaci "cuaci$n" $n"## di,"r"n di,"r"ncia cial"# l"# d" pri&"r pri&"r $rd"n% $rd"n% cla#i, cla#i,ica icaci' ci'n% n% tip$% tip$% $rd"n% $rd"n% lin"al lin"alidad idad &t$d$# d" #$luci'n para "cuaci$n"# $&$)n"a#.
3
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
A+,-.-// -/-.-/23 Ejercicio 1. Leidy Johanna Ramírez 2
De acuerdo a la ecuación diferencial
d y dy − − y −e x =− xe x , cuál de las siguientes 2 dx dx
funciones es la correcta. − x
A.
y =− xe
B.
y = xe
C.
y = xe
D.
y =−e
− x
x
x
Desarrollo: x
y = x e x
y = x e '
x
x
y =e + x e ' '
x
x
x
y = e + e + x e
Se reemplaza: 2
d y 2
d x
−
dy − y −e− x =− x e x dx
e + e + x e −[ e + x e ]−[ x e ] − e =− x e x
x
x
x
x
x
x
RESP)ES* +
x
4
x
x
x
x
x
x
x
x
e + e + x e −e − x e − x e −e =− x e
− x e x =− x e x Ejercicio 2. Leidy Johanna Ramírez De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a:
( )
2
A.
3
d y dy −2 + 3 y = 0 2 dx dx 3
B.
x
2
d y
3
dx
−7 x 3
3
C.
d y 2
dx
dy −7 y =0 dx
+ 6 x
2
d y 2 d y dy + x + y =sin ( x + y ) 3 2 dx dx dx 3
δ y D.
2
δx
3
+
2
δ y δx
2
−
δy = e x + 1 δx
Ejercicio 3. Jocer Stiven Sánchez Perdomo
( x −2 ) dy − xy =0 2
De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial
A.
y =C √ x + 2
B.
y =C √ x −2
C.
y =¿ √ x −2 + InC
%.
y = InC √ x −2
dx
2
2
2
2
( x −2 ) dy − xy =0 2
dx
Solución
5
( x −2 ) d ( y )− xy = 0: y =c √ x −2 dx 2
2
1
Pasos
( x −2 ) d ( y )− xy = 0 2
dx
Reescribir como una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables separables 1 d
( y )= 2 x y dx x −2 1 d
Resolver
y dx
y dx
y
2
x −2
1 d
1
x
( y )=
: ∈ ( y )=
1 ∈ ( x 2−2 ) + c 1 2
x
( y )=
2
x −2
∫ x −x 2 dx ∫¿
dy =¿
2
Integrar cada lado de la ecuación
∫ x −x 2 dx ∈( x −2 ) +c 2
2
1
∫ x −x 2 dx 2
Aplicar integración por sustitución
∫ f ( g ( x ) ) . g ( x ) dx =∫ f ( u ) du,u= g ( x ) u = x −2 du =2 xdx 2
Sustituir
"
du =2 x dx d 2 ( x −2 ) dx Aplicar la regla de la suma/diferencia
¿
d 2 d ( x ) − ( 2 ) dx dx d 2 ( x ) =2 x dx d 2 ( x ) dx
Aplicar la regla de la potencia
¿ 2 x 2−1 Simplificar
¿ 2 x d ( 2 )=0 dx d ( 2 ) dx Derivada de una constante
¿0 ¿ 2 x − 0 Simplificar
#
¿ 2 x x y
¿∫ .
1 2 x
du
¿∫
1 du 2u
¿∫
1 du 2u
Sacar la constante 1 2
1
¿ .∫ du u
Aplicar la regla de la integración 1 2
¿ ∈ (u ) Sustituir en la ecuación 1
¿ ∈( x −2 ) 2
2
Agregar una constante a la solución 1 2
¿ ∈ ( x2 −2 ) + c 1
∫ y1 dy =¿ ( y )+ c
2
∫ y1 dy Aplicar la regla de integración
'
¿∈( y ) Agregar una constante a la solución
¿∈( y )+ c 2 1 2
¿ ( y )+ c 2= ∈ ( x 2−2 ) + c 1 Combinar las constantes 1 2
¿ ( y )= ∈ ( x 2−2 ) + c1 Despejar 1 2
¿ ( y )= ∈( x 2−2 ) c 1 Aplicar las propiedades de los logaritmos
¿ ( y )=¿ ( ec √ x −2 ) 1
c1
y = e
2
2 √ x −2
Solución c1
y = e
2 √ x −2
Simplificar las constantes
y = c1 √ x −2 2
RTA
B ) y =C √ x
2
−2
Ejercicio 4. Jocer Stiven Sánchez Perdomo 9
Cuando en una ecuación diferencial de la forma
M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy =0 , sucede que:
∂ M ∂ N = ∂y ∂ x , se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado
μ ( d , y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de Y a travs de la
N x − M y dy M
∫ formula μ ( d , y )= e
.
( 2 x y ) dx + ( 4 x − 1 ) dy =0 2
!or lo tanto el factor integrante de la ecuación diferencial
3
viene
dado por:
A.
B.
μy = μy =
2 −5
y
1
y
3
−5
C.
μy = y
D.
μy = y
5
Ejercicio 5. Liever Roja Scar!eta 3
"eg#n la información, la sustitución de la ecuación diferencial $omognea
3
y + x
dy dy = xy 2 dx dx '
corresponde a:
1(
2
y = ce
A.
y 2 2 x
x y
e =cx
B.
y
2
y =lnx + e 2 + c
C.
2
y 2 x
y = e +c
D.
%mpe&amos la solución con:
y dx + ( x − xy ) dy =0 3
3
Ambas son $omogneas y de tercer grado 3
dy y = dx xy − x 3
acemos la sustitución
u
3
2
u −1 u 2
u −1
−u=
=
y =ux ! se obtiene"
du x dx
du x dx
2
dx u −1 du = x u Aplicamos la integral # obtenemos
∫
dy = x
∫
2
u du u
1 =∫ ( u − ) du ∫ dy x u
11
Aplicamos la propiedad # obtenemos$ 2
Inx =
u
2
inu + c
2
y y Inx = 2 −¿ + c x 2 x 2
y y Inx +¿ = 2 + c x 2 x 2
2
Iny =
y y2 y =ce +c = 2 2 c e 2 x e 2 x e
y 2 2 x
2
'a respuesta general viene siendo A. y = ce
y 2 2 x
Ejercicio ". Liever Roja Scar!eta Al resolver la ecuación diferencial
A.
(
2
)
y y + x + dx − xdy =0 la solución general viene dada por: x
y = x sin ( ln | x|+ c ) x y
B.
y=e
+c
C.
y = tan ( xlnx + e + c )
D.
y = x tan ( ln| x|+ c )
y x
%mpe&amos la solución con:
y =ux dy du =u + x dx dx
12
dy = dx
(
2
y + x +
y x
)
x acemos la sustitución y =ux
du u + x = dx
(
ux + x +
( ux )2 x
# obtenemos
)
x
du 2 u + x =u + 1+ u dx
x
du =1 + u2 dx du
1 +u
= 2
dx x
∫ 1+duu =∫ dx x 2
arctan ( u ) =ln | x|+ C tan ( arctan ( u ))= tan ( ln| x|+ C )
Donde u= tan ( Inx + c )
Reempla%amos
u=
y x # simplificamos
y = tan ( Inx+ c ) x
13
y = xtan ( Inx + c )
La solución sería: D.
y = xtan ( Inx + c )
Ejercicio #. Ro$inon %anie& Roja Rivera %s posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a travs de
0 - / ,d/ + . - y ,dy = ( las tcnicas llamadas variables separables y se expresan de la forma
, en
donde todos los trminos en & se pueden asociar con d& y todos los trminos en # con d#, cuyo despe)e se puede expresar como:
∫ M ( x ) dx =−∫ N ( y ) dy +C
*omando
como
referencia
la
información,
el
problema
de
valor
inicial
x dy
(¿¿ 2 + 16 ) + xy =0, con y ( 0 )=1, tiene dx ¿
como
solución
general
y
solución
particular,
respectivamente a:
A.
B.
y=
C
√ x +16 2
C y= 2 x + 16
14
C.
y=
4
√ x2 +16
4
D.
y= 2 x + 16
x dy (¿¿ 2 + 16 ) + xy =0 dx
¿
x dy (¿¿ 2 + 16 ) =− xy dx
¿
x (¿¿ 2 + 16 ) dy =− xy dx
¿
− x dx dy = 2 y x + 16 1
∫ y1 dy=∫ x−+ x16 dx 2
ln ( y ) + C 1 =
−1 2
ln ( x
2
+ 16 ) + C 2 15
1 2 ln ( y )= ln ( C )− ln ( x + 16 ) 2
ln ( y )= ln
y =
( √ + ) C
x
2
16
C
√ x +16 2
+ta. A
Ejercicio '. Ro$inon %anie& Roja Rivera ∂0
M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy =0 -na ecuación diferencial de la forma
∂y
=
∂. ∂/
, es exacta cuando:
, es decir, sus derivadas parciales son iguales. De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas:
0y
0
/d/− .,+- / /y0
+.
,dy = (
A.
Derivamos:
∂ M ∂ N = ∂y ∂x
4 yx =4 y
2
1"
NO CUMPLE
/y0
+
y ,d/ +- /0 y − / ,dy = (
B.
Derivamos:
∂ M ∂ N = ∂y ∂x
2 yx + 1 =2 xy −1
NO CUMPLE
/y
0
/1
+
0y ,d/ +- 0 /
/
y + 0/ ,dy = (
C.
Derivamos:
∂ M ∂ N = ∂y ∂x
3
3
8 x y + 2= 8 x y
SI CUMPLE
1#
1/
0
y0
+
y ,d/ +- 0/1 y
+
/ ,dy = (
D.
Derivamos:
∂ M ∂ N = ∂y ∂x
6 y x
2
+ 1=6 x 2 y + 1
SI CUMPLE
Ejercicio 9. -na ecuación diferencial de la forma M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy =0 que no es exacta, es decir,
∂ M ∂ N ∂ y ∂ x , se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado
μy =( x , y ) ! llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a travs de la
∫ fórmula: μ ( y )=e
N x − M y dy M
. 2
%l factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 3 xydx −3 x dy = 0 viene dado por:
A.
μy =
1
y
3
1'
3
B.
μy = y
C.
μy =cx
D.
μy =c √ x
Ejercicio 1(. dy
( x + 3 ) =3 y , es posible asegurar que la solución Cuan do se plantea la ecuación diferencial dx
x + 3
particular generada para y ( 4 )=2 es
la ecuación diferencial viene dada por
¿ PORQUE al resolverla la solución general de ¿ y =2 ¿
y =C ( x + 3 )
3
19
Actividad Grupal 1. "e plantea una situación problema y el grupo de reali&ar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las caracter2sticas del problema que se $a planteado y buscar el mtodo de solución más apropiado seg#n las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema:
-na de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de me&clas. %n ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:
'a ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t
-n depósito contiene 3(( lt de l2quido en el que se disuelven 0( gr de sal: -na salmuera que contiene 3 grlt se bombea al depósito con una intensidad de 4 ltmin, la solución adecuadamente me&clada se
2(
bombea $acia fuera con una intensidad de ( ltmin. %ncuentre el n#mero de gramos de sal y la concentración de sal, que $ay en el depósito en un instante cualquiera.
+econocemos los datos que nos da el e)ercicio:
g! C 1 =5
¿
" 1=8
¿ #in
$ 0=500 <¿
% 0 =20 g!
"2=10 ¿ #in
'a ecuación diferencial asociada a los problemas de me&cla es:
"2 dx x =" 1 C 1 + dt $ 0+ ( "1−"2 ) t
(1)
"ustituimos los datos en la ecuación 56
dx 10 x =( 8 )( 5 ) + dt 500 + ( 8−10 ) t
21
dx 10 x =40 + dt 500−2 t "implificamos: dx 5 x = 40 + dt 250−t
Despe)ando
dx dt dx 5 x = 40− dt 250 −t
(2)
7a que la diferencial de la cantidad x de sal es
dx =
( )
dx dt , sustituyendo dt
dx dt dada por la
ecuación 506
(
dx = 40 −
)
5 x dt 250−t
+eordenamos la ecuación:
dx +
5
x dt = 40 dt
250 −t
(3)
22
( ) 'a ecuación 516 es una ecuación diferencial lineal de la forma x & + ' t x=( (t ) , donde
( t )=
5 x , 250−t
( ( t )= 40 . !ara resolver la ecuación 516 debe determinarse un factor integrante:
( t ) dt μ= e∫
%ntonces
∫ 2505−t dt −5 ln |250−t | ( t ) dt ∫ μ= e =e =e =(250−t )−5
8ultiplicando la ecuación 516 por el factor integrante:
(250− t )−5 dx + 5 ( 250− t )−6 x dt = 40 (250 −t )−5 dt
(4)
!uesto que:
(250− t )−5 dx +5 ( 250− t )−6 % dt =d ⌊ (250− t )−5 x ⌋
"ustituyendo en la ecuación 5/6: −5
−5
d ⌊ (250−t ) x ⌋ =40 ( 250−t ) dt
9ntegrando:
23
[
−5
]
∫
−5
d ( 250 −t ) x =40 ( 250−t ) dt (5)
Ambas integrales son inmediatas
∫ d [(250 −t )− x ]=(250−t )− x + ) 5
5
1
∫ (250−t )
−5
dt =
(250 −t )−4 4
+) 2
"ustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación 536 −5
50− t )
−4
x =10 ( 250−t )
+ )
()
!ara determinar el valor de la constante
t 0=0 #in
esto es,
(250 )−
5
( min y
−4
20 =10 ( 250 )
) de integración se utili&a la condición inicial x 0=20 ,
x 0=20 g!
se sustituyen en la ecuación 5;6
+ )
Despe)ando < −5
) =(250 )
−4
20 −10 ( 250 )
−5
( 20−10 ( 250) )
−5
( 20 −2500 )
) =( 250 )
) =( 250 )
−5
) =−( 250 ) 2480
24
%ste valor obtenido para < se sustituye en la ecuación 5;6
(250− t )−5 x =10 ( 250−t )−4−( 250 )−5 2480
8ultiplicando por
( 250− t )5
(
)
( t )=10 ( 250− t )− 2480 250−t 250
5
(!)
'a ecuación 5=6 representa la ley de variación de la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t.
!ara determinar la concentración de sal en el tanque en un instante t cualquiera, se debe recordar que
la concentración
C ( t ) es el cociente entre la cantidad de sal y el volumen de l2quido en el tanque,
en un instante t cualquiera, es decir
( t )=
x ( t ) $ ( t )
(")
Donde
( t )= $ 0 +( " 1 * " 2 ) t =500 * 2 t = 2 ( 250 * t )
(#)
"ustituyendo las ecuaciones 5=6 y 5>6 en la ecuación 546
25
C ( t )=
(
)
250− t 10 ( 250 −t )−2480 250
5
2 ( 250 * t )
( 250−t )4 C ( t )=5− 1240 ( 250 )5
($%)
'a ecuación 5(6 representa la ley de variación de la concentración de sal en el tanque en cualquier instante t.
2"
Actividad Grupal 2. "e presenta un problema )unto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y anali&ar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben reali&ar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utili&adas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. "i el grupo considera que el proceso yo respuesta se encuentra incorrecto, deben reali&ar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. "ituación y solución planteada: &'ta'*+ , sol'*+ -la+teaa:
%n una cafeter2a se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de >(?C, y se enfr2a $asta =3?C mientras se expo ne a la temperatura ambiente durante / minutos. "i la temperatura ambiente está en 0(?C, determinar en qu momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 33?C. Seg'n la (e# de enfriamiento de )e*ton! la ecuación viene dada como:
d+ =−) ( + −+ a ) dt
Separando las variables se obtiene"
2#
d+ =−)dt + + − ( a)
Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación"
∫ ( + −d+ + ) =∫ )dt a
∫ ( + −d+ + ) =−∫ )dt a
ln ( + −+ a )=−)t + c
, seg'n propiedades de los logaritmos:
e
ln ( + −+ a )
=e−)t +c
−)t + c
+ −+ 2= e
− )t + c
+ =e
+ntonces!
+ + 2=( e−)t ∗e c ) + + a
−t
+ =ce
por lo tanto
2'
− )t
+ ( t )=ce
+ + a
+ a=20 C
Como
−)t
+ ( t )=ce
+ 70
− )t
+ ( t )=ce
+ 20
t = 0
,ara
la bebida tiene
valor de -c. debera ser
+ =90 C , entonces:
C =90 −20=70
As! la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo ser0"
− )t
+ 20
* 5t6 70 e
t =4 la bebida tiene
!ara
−) ( 4)
+ ( 4 )=70 e
−) ( 4 )
=
e
e
) ( 4 )
=
75−20 70
+ =75 C , luego
+ 20= 75
55 70
70 55
29
e Aplicamos logaritmos
ln
(¿ ¿ ) ( 4 ))=ln (
70 55
)
¿ 55 ) 70 =−0,0602 4
ln (
) =
−0,0602 t
+ ( t )=70∗70 e
Como en
+ 20=
t =t 1 #in
− 0,0602 t 1
+ ( t 1 )=70 e
70 ) 55 =0,0602 4
ln (
la batera esta en
+ =55 C
+20 =55
,or lo tanto
− 0,0602 t 1
e
55 20 = − 70
70 ) 35 t 1 = = 10,696 #in 0,0602 ln (
# simplificando encontramos 1ue"
70 ) 35 t 1 = =11,514072 #in 0,0602 ln (
+l tiempo apro&imado ser0 de:
Sera la respuesta correcta
t 1 =10,7 #in
3(
CONCLUSIONES
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