UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA Actividad Colaborativa
Monica Johanna Castillo: Cód. 1.023.928.069 Diana Gissell Cabrera Pasión: Cód. 1.032.443.387 Kevin Giovanny Gomez: Cód. 1.033.747.634 Diana Patricia Martinez Ruiz: Cód. 1.024.487.893 Elkin David Torres: Cód. 1.030.598.709
Grupo: 100412_276
Tutor YENIFER ELIZABETH GALINDO
Bogotá 16 de abril de 2017 1
INTRODUCCION
La presente actividad fase 2, tiene la finalidad de implementar el estudio de los temas vistos en la unidad 2 ecuaciones de orden superior y posteriormente se presenten una serie de ejercicios problema, donde cada estudiante dará la posible solución a cada uno de estos. Al finalizar los ejercicios individuales el grupo colaborativo dará soluciones a problemas expuestos enfocados a situaciones de la cotidianidad, sin dejar de abordar el tema central. Desde el punto de vista individual se comprende y expone el paso a paso de los procedimientos de los ejercicios la justificación o razón por la cual se s e soluciona de esa forma, en pro pr o de tener un enfoque más lógico a la solución de situaciones y problemáticas en nuestro desarrollo personal y profesional.
2
Actividad individual
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
⋯ + = 2sin 3 += = ´ ´ +1 = 0 + +=0 1 ± 1 411 1 ± 1 4 √ = = 1 √ 3+1 = 0 1 2 1 2 = 2 + 2 → = 2 = 12 ± √ 2 3 → 12 ± √ 23
+ −1 ( ) 1. Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma ( ) −1 −1+ 1 ( ) + 0 ( ) = ( ) y puede ser solucionada por diferentes métodos. La ecuación diferencial: ´´− ´+ =2sin3 , puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general: 1) Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 2) = 12 ( 1 √32 + 2 √32 )+673cos3 +−1673sin3 3) = −12 ( 1 √32 + 2 √32 )+1673cos3 +−673sin3 4) Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados.
Solución dada por: Mónica Castillo
Retroalimentación por: Diana Cabrera
3
√ + √ = 12 √ 23 → = √2 3 =´´ + = = cos3 + si n 3 = √ 23 + sin √ 23 ´ = si n 33+ cos33 = cos39+si n 39 = 3 + 3 cos3´´+si n 3 si n 3 3+cos 3 3 cos39+sin39 3 ′′′ == 3 + 33 = 2si n 3 9 3 9 3 cos3 3 9 +si n 3 +3 9 3 3 93 3 9 3+ +33 cos38=3 2sin3+sin 33 8 + 3 = 2si n 3 2sin33 8 = 2 9 +3 ++9 cos3+3 +sin3 8 33==08 =2 = 2si n 3 3 8cos3+3 3 8si n 3 3 9 8 = 2 =82si3 n3= 0 8 = 8 = 2 3 8 = 2 8 =6 , = 16 7 3 =162 = 73 cos3 73 sin3 8 = 73 3 3 √ √ = 6 2 + si16n 2 8 3 = 0 + 73 cos3 73 sin3 = 38 16 3 = 873 673 = =
Entonces,
Para
De ahí que
La solución de la ecuación se divide en dos soluciones, la general y la específica o particular. Para encontrar se encuentra la solución encontrando el polinomio característico. La solución arroja 2 números complejos. Luego calculamos la específica, para ello Se encuentran los valores de A y B. La respuesta correcta es la C
Solución general
= √ + √ + 4
La respuesta es la C, 2 y 4 son correctas.
2. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria = 1 1+ 2 2+ 3 3 y después se calcula el wronskiano ( 1( ), 2( ), 3( )). Posteriormente se determina ( ), para poder encontrar 1 2 y 3, y poder hallar la solución particular mediante la integración de 1´= 1 , 2´= 2 y 3´= 3 , donde :
Una solución particular es = 1 1+ 2 2+ 3 3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces = + . Con base en lo anterior, los valores para 1, 2 y 3 y la solución general de la ecuación ′′′+2 ′′= son respectivamente: 1) 2) 3) 4)
1=−2 − − − , 2=2 − y 3= = 1+ 2 + 3 −2 +13 = 1+ 2 + 3 +14 − 1=2 − + − , 2=2 y 3=−2 −
Solución dada por: Diana Martinez Solución
+ 2 = + 2+2 == 00 = =2 = 0 = = ++ + +−− == 1 = − == 01 = 2−
Determinamos la función complementaria,
Entonces.
Ahora para la solución particular calculamos,
La primera derivada es:
5
== 00 = 4− = | | −− 1 = |00 10 24− | −00 = 4− = 14− 0 00 + 0 = 0 −− 0 = |0 10 24− | = (2−)+− = 2−− = 2− − 0 = 0 −− 1 0 = |00 0 24− | = 1(2−)+ −000 = 2− = 0 1 0 = |00 10 0| = 1 0 00 = = = 24−− − = −42−+1 = 24 +1 = 24 = = 42−− = 2 = = 4− = 4
Y la segunda derivada;
Calculando el wronskiano,
Entonces,
Integrando,
6
2 + 24 ∫ = ∫ 4 2 = 42 ∫2 + 2 = 42 ∫ = 4 4 = 14 + 24 1 24 = 24 = 12 = ∫ 2 1 = 2 ∫1 = 2 1 = ∫ 4 = 4 ∫ = 43 = 12 = + + − − 1 1 1 6 + 6 + − = 2 1 +2 + 12 = = 12 12 = 12 = + − = + + + 12 = + +− + 13 = + +− + 121
La solución particular es;
Y la solución general es:
Según los resultados la respuesta es la A. ya que 1 y 2 son correctas. Sin embargo, la respuesta 2 es: Y según el procedimiento desarrollado obtenemos,
Encontrando diferencia en el último factor (la solución particular), selecciono la opción A ya que es la que más se aproxima a los resultados obtenidos, realizando la aclaración con respecto a lo desarrollado. La respuesta es: A si 1 y 2 son correctas.
3. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial ′′+ =4 +10sin , ( )=0, ′( )=2, la solución particular y la solución al problema corresponden a:
1) 2) 3) 4)
=9 cos +7sin +4 −5 cos = + + cos + cos = + + cos + sin =9 sin +7sin +4 −5 sin
Solución dada por: Kevin Gomez 7
+ = 4 +10sin ( =)0= 2 ´ ´ + + = ℎ + =0 ɣ ɣ + ɣɣ + 1 = 0= 0 ɣ = , ɣ = ≠ = + , = = cos += cos+ + = 4 +10 = 4 = 4= 55cos cos = =ℎ + cos + +4 5 cos cos + + 4 5 cos = 0 cos+ cos + 4 5 cos = 5cos = 0 = 5 + 0+4 + 9 5 + 9 = 0 + 9 9 = 09 = 9 = () = 9+ cos+4 5cos () = 2 9 + cos +4 5cos +5 = 2 cos 5cos + 4 +5 9 cos 5cos5cos + 44 = 5 4 = 0 5 + 4 0
Solución general Hallar resolviendo
Para dos raíces complejas toma la forma Encontrar
donde
la solución general
que satisfaga
La solución general Despejar
Sustituir
Condicional inicial Despejar
Simplificar
8
+ 9 = 2 + 99 = 2 9 = 7 = 9cos +7 + 4 5
La respuesta correcta es la 4.
4. Una ecuación diferencial de n-ésimo orden se puede escribir como:
Donde . Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe como ( )= ( ), donde denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden.
La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la solución particular . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a ( ). Por lo anterior de la ecuación diferencial ′′−3 ′=8 3 +4sin , se puede afirmar que: 1) 2) 3) 4)
El operador diferencial que anula a ( ) es ( 2−3)( +1)( La solución particular que se propone debe ser = El operador diferencial que anula a ( ) es ( −3)( 2+1)( La solución particular que se propone debe ser =
2−3 3 + 2−3 3 +
) =0 2 3 + cos + sin ) =0 cos + sin
Solución dada por: Kevin Gomez Solución general usando coeficientes indeterminados
3 = 0 3 = 3 = 0 3 = + +1 = 0 3 + 1 3 + 1 3 = 0 3 + 1 3 = 0 3 + 1 = 0 = ++ + cos + La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada es , y por tanto, Ahora puesto que =0 y , se aplica el operador diferencial ) a ambos lados de la ecuación: La respuesta es la 3.
La ecuación auxiliar es:
o
Una vez que se excluye la combinación lineal de términos dentro del cuadro que corresponde a se obtiene la forma de : 9
= + + ´ 3´ = 3 + 33 = cos8, +33= 0 3 = 8=4 + 4 = , = , = 8 6 2 = 3 8+ 5 cos 6 5 2 = + + 3 + 5 cos 5 La respuesta es la 4.
Sustituyendo se obtiene
Igualando los coeficientes se obtiene y por tanto,
y
Se encuentra que
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:
Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 5. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser iguales y reales = 1= 2 y su solución general es de la forma = 1 + 2 . La ecuación diferencial ´´−10 ´+25 =0 tiene como solución general = 1 5 + 2 −5 PORQUE las soluciones de la ecuación auxiliar son 1= 2=5.
Solución dada por: Diana Cabrera
Retroalimentación por: Diana Martinez
´´ 10 + 25 = 0 10 + 25 = 0
´´ 10 + 25 = 0 10 + 25 = 0
10
5 5 5 = 0 5 = 0 = = = +
5 5 5 = 0 5 = 0 = = = +
Respuesta es la D, la afirmación es falsa pero la razón Análisis de la respuesta. es una proposición verdadera En las Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes el caso 2, es cuando se tienen raíces reales repetidas.
Utilizamos la definición para determinar las raíces,
= = 2 = 2101 = 5 ´´ 10 + 25 = 0 = +
Entonces, la solución general a la ecuación: Es,
Llegando a la misma conclusión de mi compañera. La respuesta correcta es la D, la afirmación es falsa pero la razón es una proposición verdadera.
Es una EDO no homogenea de segundo orden de la forma ay + by + cy = gx
6. Un operador anulador para la función ( ) de la ecuación diferencial ´´+6 ´+8 =2 +3 −2 −2sin3 es 2( +2)( 2+9) PORQUE 2(2 )=0, ( +2)(3 2 )=0 y ( 2+9)(−2sin3 )=0. Solución dada por: Elkin Torres
11
d d Hal l a r yh y + 6 + 8y = 0 dx dx Para una ecuacion ayd + by = 0 optdar por una sol ucion de la forma y = e. e d+6 dx e d+8e = 0 dx simplificar dxde +6 dx e +8e = 0 e = e y dx d e dx ddx e = ey ddx e dfdxu = dudf . dudx Aplicar regla de la cadena Sea yx =d u dud e dxd yx e = e d du Aplicar regld a de derivaciodn du e = e y = y dx yx d dx Sacar constantde a. f = a.f = y dx x Se aplica regla derivacion dx x= 1 = y.1 si m pl i f i c ando = y y = e Sustituir en la=ecuacid eoyn u = yx = ey dx = 0lar la ecuacion cuadratica e y + e y + 6y +8 = 0 es equivalent6ye a+8desarol y + 6y +8 = 0 6±√6 4.1.8 Para a = 1 ,b = 6, 6 ±√6c =8 y1,4.12.8= 2.1 y = 6 ±√62.1 4.1.8 = 2 y = = 4 2. 1 Las sol u ci o nes f i n al e s son y = 2 y = 4 Para dos raices reales y1 ≠ y2 laysol= c1eucio−n general t o ma l a f o rma y = c1e + c2e + c2e− 12
La sol u ci o n general de y = yh +yp es: x 3 3 2 y = c1e− + c2e− + 4 16 + 2 xe− + 325 sin3x+ 32536 cos3x
La respuesta correcta es la D, la afirmación es falsa pero la razón es una proposición verdadera.
Primera Actividad Grupal Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema: La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 y la velocidad angular inicial =0, =0,2 =1 para el movimiento.
2+10 =0: Si para es 2 , Determine en función de t
Solución dada por: Kevin Gomez, Diana Cabrera y Diana Martinez
+ 10 = 0 = +±√ 1010= 01 = sin(√ 10) + cos(√ 10) = = √ 10 cos(√ 10) √ 10 sin(√ 10) = = 10 sin(√ 10) 10 cos(√ 10)
Ecuación asociada;
La solución homogénea es;
La velocidad angular estaría dada por:
Y la Aceleración angular;
13
Cuando,
= 0 0 = 0. 2 + cos√ 0 =0 sin=√ 1si0n00+ 1 0 0 cos0 00 = 0+= 1 = 0.2 0 = 1 = 0 0 = = 0 √= 10 √ 1cos√ 1 00√ 1 0 sin√ 100 0 0 cos0√ 1 0 si n 0 = √0 10=1 1 0 0 √ 1 0 √ 1 = √ 10 = 1√ 101 = 1√ 10 1 = sin(√ 10) + cos(√ 10) = √ 10 sin(√ 10) + 0.2 cos(√ 10) = 0.31 sin(√ 10) + 0.2 cos(√ 10) ,
Según el enunciado, la velocidad angular inicial para, ,
Remplazando c1 y c2, tenemos,
Segunda actividad grupal Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada:
La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 1 y 2. Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, 14
los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 1 y 2. El movimiento horizontal del suelo es .
Para el caso en que las masas son idénticas ( 1= 2= ) y las rigideces son idénticas ( 1= 2= ) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:
Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton:
̈ ̈+2 = + = 0 ̈ 2 + = = ̈ + =0 +2 = ̈ +3 + = + + 3 + = 0 5 = 3 ±√92 4 = 3±√ 2 = ±0,618 = ±1,618
Dividiendo la ecuación entre y asumiendo
el resultado es: (1) (2) Ahora para tener una ecuación en términos sólo de se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener:
Ahora sustituyendo
de la ecuación (2) y
de la ecuación (1) se obtiene:
Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: no hay ningún término en ni , esta ecuación es cuadrática en fórmula cuadrática:
. Como y se puede usar la
Entonces, las raíces características son:
Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma: 15
= , + , + , + , 0,618 1,618
La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de
Solución dada por: Diana Martinez
y
La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 1 y 2. Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 1 y 2. El movimiento horizontal del suelo es .
Para el caso en que las masas son idénticas ( 1= 2= ) y las rigideces son idénticas ( 1= 2= ) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:
Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton:
Como, Y Tenemos,
̈ = + = = + ̈ ̈ == + + ̈ = ̈ 2 + + +2 = ̈̈ == 16
̈ ̈ + + == 00 = ̈ + 2 = ̈ 2 + 2 + = = ̈ + = 0 ̈ ̈ + + = 0= 0 + = ̈ 2 +2 = +2 = ̈ +3 + = + + 3 + = 0 = 3 ±√92 4 = 3 ±√ 5 = (3 ±√ 5) = 3 ±√ 5 = 3 ±√5 2 2 = 0.382 2 2 = 2.62 = ±0,618 = ±1,618
Dividiendo cada ecuación entre m y definiendo
el resultado es:
Ahora para tener una ecuación en términos sólo de veces para obtener:
Ahora sustituyendo
de la ecuación (2) y
(1)
(2) se diferencia la ecuación (1) dos
de la ecuación (1) se obtiene:
Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: Como no hay ningún término en ni , esta ecuación es cuadrática en la fórmula cuadrática:
Entonces, las raíces características son:
Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma:
17
. y se puede usar
= , + , + , + , 0,618 1,618
La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de
y
CONCLUSIONES
Las ecuaciones diferenciales cumplen un papel importante en el desarrollo de situaciones de los campos de investigación, así se concluye que para aplicar este sistema de ecuaciones, se debe detallar la relación de la función y sus derivadas para obtener soluciones lógicas con resultados esperados. Es importante tener en cuenta la clasificación de las ecuaciones diferenciales, dado que es un amplio grupo como se decía anteriormente conocer sus variables y derivadas dan su clasificación, para tener certeza de su posible desarrollo y solución. Un operador anulador para comprender más detalladamente es un operador diferencial y este es lineal al final, es decir todo operador anulador es un operador lineal.
18
BIBLIOGRAFÍA
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7220 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales por variación de parámetros. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales método coeficientes indeterminados. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7214 Alvarado, E. (2014). Operador : http://hdl.handle.net/10596/7215
anulador .
19
Unad.
[Videos].
Disponible
en
Peña, M. (2016). Ecuaciones diferenciales de orden superior. [OVI]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/8185Las referencias bibliográficas complementarias le ayudará para ampliar la información relacionada con las temáticas de la unidad 2 y puede ser consultada si requiere reforzar las temáticas y referencias requeridas López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.58-135). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343
20
