ECUACIONES DIFERENCIALES
FASE TRES
Presentado a: YENIFER GALINDO GAITÁN
Grupo: 1004_277
Entregado por: Quely Yojana Martinez Código: 1070707303 Ana Milena Casallas Cifuentes Código: 1072652986 Deisy Katerine Pulido Orjuela Código: 1058058895 Yazmin Eliana Sánchez Código: 1070705446
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAYO 2017 BOGOTÁ
INTRODUCCIÓN En este trabajo se presenta el desarrollo de diferentes ejercicios que permitieron la aplicación de los conceptos estudiados en la unidad 3 del curso de ecuaciones diferenciale, en donde se lograronn identificar tecnicas para resolver ecuaciones mediante series matematicas, series de potencias, funciones especiales, y series de taylor.
OBJETIVOS
Promover la particpacion de los integrantes del grupo colaborativo en el desarrollo de ejercicios de aplicación individual y grupal, logrando despejar las incognitas planteadas mediante la aplicación de tecnicas estudiadas en la unidad 3 del curso de ecuaciones diferenciales.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Primera actividad Individual: A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. Ejercicio 1 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Quely Yojana Martinez Gutiérrez PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
++ 1 2+ 21 1 l i m →∞ + 1 2 21 lim→∞ 2∗lim→∞ = 1 1 lim→∞ ∝ ∝∝ ∝ ∝ ∝ ∗ + = 1 2 Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia . Si >0, entonces la serie de potencias
Calculamos el limite
converge para | − |< y diverge para | − |> . Si la serie converge sólo en su centro entonces =0. Si la serie converge para todo entonces se escribe =∞ .
Es importante recordar que la desigualdad de un valor absoluto es igual a: | − |< → − < < +
| − |> → > + ó < −
Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos − y + de este intervalo.
Es positivo cuando → , por lo tanto es equivalente al mismo. =1 lim → =(1+1/n)
lim → =(1)+lim → (1/ ) =lim → =(1)=1
=lim → (1/ )=0
=1+0 =1 =−( +2) 1
Simplificamos = +2
1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de converge la serie de potencias?
Desarrollo +2<1
La suma converge para +2<1; +2>−1
= +2−2<1−2 (restaremos dos de ambos lados) = <−1 +2−2>−1−2(restaremos dos de ambos lados) = >3
= 3< <−1
Ejercicio 2 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Ana Milena Casallas PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION
RAZÓN O EXPLICACIÓN
MATEMATICA El radio de convergencia de la serie de potencias es:
1 2 = A. B. C. D.
1 0 3 2
1 2 = + 1 2 lim [ ] 1+ ∗ 1 → 1 1 2 12 2 ∗ 1
1 21 12 →lim 1 11 1 1
Ejercicio 3 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Ana Milena Casallas PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
= √ l→im = √ 1 ∗ √ ∗ √ 1 ∗ √ √ √ 1
¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?
= √
a.
Conjunto (-1, 1)
b.
Conjunto (-1, 1]
c.
Conjunto [-1, 1)
d.
Conjunto [-1, 1]
1 1 1 1
l→im √ √ 1 1 11 1,1 1 ∅1 1,1
Ejercicio 4 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yazmin Eliana Sanchez PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA Un punto singular de ´´+( ) ´+ ( ) =0 se puede definir como:
RAZÓN O EXPLICACIÓN
´ ´
a.Es un punto donde las funciones ( ) y ( ) no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias.
Como se trata de una ecuación diferencial ordinaria homogenea de la forma tenemos que sí y y
son analiticas en
, lo que quiere decir
que se pueden representar como series de potencias en ese punto especifico.
b. Es el punto 0 que al formar los siguientes productos ( )( − 0) y ( )( − 0)2 hace que sea analítico en 0 c. Es el punto 0 que al formar los siguientes productos ( )( − 0)2 y ( )( − 0) hace que sean desarrollables en series de potencias d. Es el punto donde una ecuación tiene representación en series de potencias, no importando si están definidas o no las funciones en dicho punto.
Ejercicio 6 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yazmin Eliana Sanchez PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta:
Dado que ex2y’ son polinomios y son analíticos en todo son
Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma ´´+( ) ´+ ( ) =0 es aquel punto 0 en el cual ambas funciones ( ) ( ) son analíticas; es decir, pueden representarse en series de potencias de ( − 0) con radio de convergencia >0. Mientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias ( − 0). De la siguiente ecuación puede afirmar que:
´´+
2 ´+
=0 se
a. =0 ordinario, así como el resto de los reales b. =0 irregular, ≠0 ordinarios
c. =0 ordinario y >0 ordinarios
d. =0 singular regular ≠0 ordinarios
todos los puntos ordinarios. x=0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial ya que es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0, es
y C n ( x x0 )
n
n 0 decir . Una solución en serie converge por lo menos en un intervalo definido por |x-x0|
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: KATERINE PULIDO ORJUELA ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de r espuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 7. La solución general de la ecuación mediante series de potencia es:
´ ´ ! ! ⋯ ! ! ⋯ ! !⋯ ⋯ ! ! 1.
2.
3.
4.
RAZÓN O EXPLICACIÓN
− = = − = = + = = ++ Solución:
( ! ! ⋯) ! ! ⋯
Estos resultados coinciden con los numerales 1 y 2 del problema en conclusión la respuesta es la A Marque A si 2 y 4 son correctas.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: KATERINE PULIDO ORJUELA PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
8. Halle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias. Exprese dicha ecuación mediante funciones elementales.
2 1 1 ⋯ 1.
2.
RAZÓN O EXPLICACIÓN
2 Solución:
Para expresar las soluciones como series de potencias tenemos:
=
Derivando la serie término a término dos veces
− , ´ = − ´´1 =
3.
4.
⋯ 1− 2 − 2 0 1 = = = 1 Sustituyendo en la ecuación diferencial,
Luego introducir los coeficientes de cada serie dentro del signo sumatorio. Operando en el primer término se tiene
− 1 1 = − 1 1 = = Se hacen los cambios de índice necesarios para lograr que todos los exponentes de las series tengan el mismo exponente para x
2 1 2 = 2 1 2 = 2 1 2 1 = = 2 0 2 = =
En el primer término del segundo miembro, para que el termino general tenga hay que hacer en primer lugar el cambio n - 2 = p con lo que éste se transforma en
Y a continuación el cabio n=p para que quede
Sustituyendo las series anteriores tenemos
Se separan los términos que sobran de algunas series para igualarlos. Esto se logra utilizando la siguiente identidad
⋯ = =+ Sumando término a término resulta la serie
2 1 122} 0 + = Sabiendo que si una serie de potencias es idénticamente cero, la serie tiene todo sus términos cero por tanto
≥0 2 1+ 122} 0 + 22 1 1 0 1 1 2 1 {´00 10 {´00 01 10 011≠0 +, 0, 1 , 2 , …
para todo
Simplificando se tiene
Se obtiene dos soluciones y1 e y2 linealmente independientes s i se toman para la serie
Teniendo en cuenta que
Tenemos
SERIE
Para los coeficientes impares pares son:
Son cero. Los
0, − 1; 2, ; 4, ; 6, ; 2 22 + + 2221
Para Para
Es decir:
Utilizando la fórmula para K
+ 2 2 2 1 + 2 22 1 2 1 + + 4 22 1 1 2 22 1 2 1 2 1 Por lo tanto
+ + 1 + + 2 11 : 1 3 5 7 ⋯ 1 3 5 7 ⋯1 : 112 3 2 0 La solución obtenida es la serie
La solución obtenida es la serie Para los impares son:
Por consiguiente todos los demás son cero también Es decir
La solución general de la ecuación diferencial es:
1 Estos resultados coinciden con los numerales 2 y 4 del problema en conclusión la respuesta es la C Marque C si 2 y 4 son correctas.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: : Quely Yojana Martinez Gutierrez PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
9. Si una función se puede representar con una serie de potencias se dice La respuesta es la D que es no analítica PORQUE los coeficientes de la serie son La afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición necesariamente los determinados VERDADERA. Porque una función es analítica si y solo si en la fórmula de la serie de Taylor.
se puede representar con una serie de potencias, por lo tanto sus coeficientes de esa serie son necesariamente los Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición determinados en la fórmula de la serie de Taylor. VERDADERA.
PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la es (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin “constante” en el instante forzamiento tiene masa y una constante de amortiguamiento con condiciones iniciales y , entonces el desplazamiento queda descrito mediante el problema de valores iniciales
2 6 / 1/ 03 ´00
2´´ ´ 6 0 03 ´00 0 − 6 0 2 1 = = = − − = ∑= + 0 2∑= 12 ∑= 6∑1 1 2= 2 1+ = 1+ 6= = − 0 200 20 1+ 4 00 1+
Determine los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en series de potencias en torno de para el desplazamiento. Solución: En primer lugar se Sustituyen las equivalencias Tenemos:
q
Ahora escribimos en términos de k: Tenemos:
6 6 4 6 =2 2 1+ 1+ 6 − 0 44 6 6 0 64 2 2 1+ 1+ 6 − + − 26 2 11+ , 1,2,3,. 1 32 31 3 Haciendo uso de la propiedad de la identidad, Tenemos:
Ahora tenemos que:
Con esto tenemos la fórmula de Ocurrencia
De acuerdo al argumento: Si c0 = 1 y c1 = 0 Se tiene que:
Con el siguiente argumento Si c0 = 0 y c1 = 1 Se tiene que:
1411 3124 192
(1 32 13 13 ) ( 14 1124 19231 ) ′3 (1 12 118 124192 ) 3 (1 32 0 13 0 13 0) (0 14 0 1124 0 19231 0)
Ahora se halla la ecuación general:
Se deriva la ecuación general. Tenemos:
Ahora con las condiciones iniciales. Tenemos:
0300 0 (1 12 0 118 0 124192 0)
30 ( ) ||<∞
Con esto podemos hallar la solución, dada por:
SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL Enunciado y solución planteada: La ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia convergen para . 1. Pandeo de una columna cónica. Una columna de longitud L, está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura
´´
Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal , como se muestra en la sección transversal de la figura b, el momento de inercia de una sección transversal respecto a un eje perpendicular al plano Por tanto, escribimos Sustituyendo
es
, donde
y
.
donde
en la ecuación diferencial
, la deflexión en este caso se determina
del problema de valor en la frontera.
Donde
Encuentre las cargas críticas para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo como una sola función. SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales
Tenemos: De color rojo se identifican los errores.
0 0
En este proceso encontramos que las ecuaciones corresponde a una suma no una resta, en consecuencia la solución del problema que se plantea es la siguiente:
√ √ 0 → √ √ 0 √ √ 0 → √ √ 0
Ya que es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, las soluciones no son triviales. En este paso los errores están en los siguientes casos - Es “b” no “a” - Al lado de la igualdad es una resta no una suma - Al lado de la igualdad es “a” no “ b
√ √ √ √ √ ∗ √ √ ∗ √ √ √ √ √ √ ∗ √ √ ∗ √ √ √ √( )0 "π" "λ" 2,3,… √ − √ − , 1,1 √ , 1,12,3,… "" Este será el caso si En este paso encontramos el siguiente error: es Ó
O si,
Las cargas críticas entonces son: En este paso el valor debe ser incluido
no
En este caso
→ " "" → √ √ √ : √ √ √ √ cos√ cos
“
Usando
no corresponde, sino
En este caso es “a” no “b”
Tenemos:
Para este casos existen dos errores: - El subíndice es 1 no 3 - Los denominadores están intercambiados, es decir, se coloca “x” donde va la “a”, y “a” donde va “x”.
√ ∗ √ √ ∗ √ → √ ∗ √ √ ∗ √ √(1 1) (1 1) 1 (1 1) 1 -
Corrección:
Hace falta colocar “x” donde corre sponde
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Fuente: Universidad Tecnologica Central. Ferrante J.L. Solución de Ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. 2014.(pp.77-79). Recuperado de: http://www.edutecne.utn.edu.ar/solucion_ecuaciones/Solucion_Ecuac_Diferenciales_Ferrante.pdf
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 113-154). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467
