ECUACIONES DIFERENCIALES TRABAJO FASE 2
Presentado a: ANDREA PATRICIA HERRERA CONTRERAS Tutor
Entregado por: LUIS ADOLFO ADOLFO GANTIVA GANTIVA CÓDIGO: 80253287 JAIRO ALEXANDER MONTAÑO BEJARANO CÓDIGO: 80743206 JAIRO ANTONIO JIMENEZ CÓDIGO: 80250372 HENRY FABIAN ESPEJO CÓDIGO: 80813557
Grupo: 230
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAYO 2017 BOGOTA
Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................. 3
OBJETIVOS ..................................................................................................................................................... 4 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA .......................................................................................... 5 Primera actividad Individual: ..................................................................................................................... 5 Jairo Antonio Jimenez............................................................................................................................ 5 Adolfo Gantiva ....................................................................................................................................... 7 Jairo Alexander Montaño Bejarano ..................................................................................................... 10 Henry Fabian Espejo Guerrero ............................................................................................................ 14 Primera actividad activida d Grupal: ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... .............................. ............. 20 Adolfo Gantiva-Jairo Alexander Montaño ........................................................................................... 20 Segunda actividad activida d Grupal: ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... .............................. ............. 22 Adolfo Gantiva ..................................................................................................................................... 22 CONCLUSIONES ........................................................................................................................................... 26
INTRODUCCIÓN El presente documento tiene como objetivo el desarrollo de los ejercicios de la fase 3 de la materia Ecuaciones Diferenciales. En el desarrollo de los ejercicios se deben aplicar los conceptos de Ecuaciones lineales de series y funciones especiales. Los ejercicios presentan problemas con múltiples respuestas y ejercicios sobre Mezclas en las cuales debemos explicar si la solución es correcta o no.
OBJETIVOS Objetivo general
Resolver problemas y ejercicios del estudio de series y funciones especiales unidad 3.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Primera actividad Individual: A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA
A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.
Jairo Antonio Jimenez
A. La serie converge para | 3|<1 lo que equivale a 2< <4 B. La serie converge absolutamente para | 2|<1 lo que equivale a 1< <3 C. No se puede determinar la convergencia D. La serie converge absolutamente para | +2|<1 lo que equivale a -1< <3 1-
∑=1+2 11++ 12+ + → l→liimm −−−−++−−−− →lim +−−−− →lim −+| 2| →lim + | 2| →lim | 2| → |1<| 2|<1 2|<1 12<| 22|<12 <3
por propiedad de valor absoluto queda positivo
Aplicando limite
1
Respuesta:
Adolfo Gantiva
2. El radio de convergencia de la serie de potencias es:
A. B. C.
D.
=
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ADOLFO GANTIVA Se emplea la expresión:
Simplificando nos queda:
+ → 1 ++ + 1+1 ∗2 12 22+1 1 1 21 12∗→ 1
∫→ +
Ahora la expresión Se divide el denominador entre la variable de mayor exponente Tenemos: Ahora reemplaza en la formula si la serie converge, tenemos:
Ahora se multiplica a ambos lados por 2
Se suma en ambos lados por -1
→ 1 11 1 112 ∗1<1 1 2 <1 1< 2 ∗1<1 | | 2∗ 12<1∗2 1 <2 2<1<2 21<11<21 3<<1 El radio nos ubica en -1 que es el centro y allí se cuentan los espacios hasta los límites, es decir 2 hacia el sentido de la izquierda y 2 hacia el sentido de la derecha. Por lo tanto la respuesta es:
Respuesta:
3. ¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?
a. b. c. d.
Conjunto (-1, 1) Conjunto (-1, 1] Conjunto [-1, 1) Conjunto [-1, 1]
SOLUCIÓN
= √
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ADOLFO GANTIVA
Para la solución es necesario aplicar el criterio del Cociente razón: De acuerdo al siguiente criterio: Siempre y cuando se cumpla lo siguiente:
Tenemos:
Sí; L<1, para que converja L> 1, para que diverge L=1, no concluye o se puede decir que:
= √
1<<1
1 l i m → √ + √ + →lim √ lim→ √ 1 √ →lim √ √ 1 l→i m √ 1 →lim 1 || l→i m || →lim 11 || →lim 11 || 1|| || <1 || <1 → 1 < <1, [, 1.
Criterio de la razón o del cociente: Ahora sustituimos:
Empleando la propiedad de las raíces cuadradas no queda:
Sustituimos n; n=∞
Es decir:
l→im 1 ,
Gráficamente:
Jairo Alexander Montaño Bejarano ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JAIRO ALEXANDER MONTAÑO
´´0, 0, ´0´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
5. Obtenga los primeros términos de la solución de la ecuación diferencial de Airy
A. B. C. D.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
´´0
RAZÓN O EXPLICACIÓN Ecuación de Airy
∑= ′ ∑=− − 1 = = 1− = + 0 2 1 0 + − =− = 2 ′ 1 ′ 0 0∗ 0 0∗ 0 2 0 [21 + −] 0 =
0∗ 0 0 0∗′0 0 2′ 0 0 2 12 1 0
− 1, 2, 3 … + 12 2∗3 , 3∗4′′ ′, 4∗5 0,, 5∗6 2∗3∗5∗6 ′ , 0 6∗7 3∗4∗6∗7 Para todo n = 1, 2, 3….
(1 3!1 6!4 2 ⋯) 10 ( 4! 7! ⋯) ′ 6 12 180 504
Solución general
Primera derivada Segunda derivada
Se realiza la sustitución en la ecuación original
Para poder agrupar las sumatorias en una sola, es necesario que sus índices coincidan, para que los términos agrupados correspondan a las mismas potencias de la variable. Para esto, hacemos los cambios de variables n=n-2 en la primera sumatoria y n=n+1 en la segunda Al desarrollar los tres primeros términos de la primera sumatoria A partir de la identidad se concluye que todos los sumandos deben ser iguales a cero
≠0, ≠0 0
Se concluye que , con esto podemos la ecuación de recurrencia para obtener los demás coeficientes A partir de la ecuación de recurrencia se obtienen los coeficientes
La solución queda en la siguiente forma
Al simplificar la solución tenemos
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JAIRO ALEXANDER MONTAÑO 6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta: Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma es aquel punto en el cual ambas funciones son analíticas; es decir, pueden representarse en series de potencias de con radio de convergencia
´ ´ ´ 0 >0. . ´´´0 0 0 ≠0 0 >0 0 ≠0 Mientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias
De la siguiente ecuación a. b. c. d.
se puede afirmar que:
ordinario, así como el resto de los reales irregular, ordinarios ordinario y ordinarios singular regular ordinarios
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
´´´0
= − ′ = − ′′1 =
1 − 2 − + 0 = = =
RAZÓN O EXPLICACIÓN Solución a la ecuación diferencial
Primera derivada
Segunda derivada
Se realiza el remplazo en la ecuación
21 0 + = = = ∞ ∞ ∞ 21 1 212 1 1 0 ∞ ∞ ∞ 1 212 1 1 0
2
∞ 1 [212 ]0 ∞ 1 [212 1] 0
2 2 221 0 + 1 0
+ 2 11 + 12 1,2,31… 12! 13 1 1 1 4 ( 4)∗( 2) 2 2! 15 ( 15)∗( 13) 151 16 ( 16)∗( 14) ∗ ( 12) 0 231∗3! 0 17 ( 17)∗ 15 ∗ 13 1 1051
Para poder agrupar las sumatorias en una sola, es necesario que sus índices coincidan, para que los términos agrupados correspondan a las mismas potencias de la variable. Para esto, hacemos los cambios de variables k=n-2 en la primera sumatoria y k=n en la segunda y primera sumatoria
18 ( 18)∗ 16 ∗ ( 14)∗( 12) 21∗4!
(1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 2
8
24 384
3 15 105
Henry Fabian Espejo Guerrero ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HENRY FABIAN ESPEJO GUERRERO 7. La solución general de la ecuación
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
∑= − = − 1 =
mediante series de potencia es:
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Reemplazando las series en la ecuación diferencial original, tenemos
= 1− ∑= +
= 0
Haciendo n=k+2 reemplazando en el primer término de la igualdad
0 = 2 1+ ∑= [ 2 1 ] 0 + = 2 1+ 0 + +−+ −. , −. .− . −! −. .−.... −! +
+
=
Haciendo k = n , se tiene
Entonces,
Por lo que
con k=0, 1, 2, …..
=
=
=
=
1 2!
Ahora para los coeficientes impares, tenemos
−. , −. .− . −! =
1 + 2 1!
En general
=
Entonces
De esta forma la solución es
−! ∑=−! −! −! − − − ∑= ! ! ! ! ! ! ∑=121 = 21! 2 = 21! =
+
+
=
[X -
+
+
-
La solución queda en la siguiente forma
+ ….
[ 1
+
+
+ …] +
+ ….]
=
+
Esto es igual a;
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HENRY FABIAN ESPEJO GUERRERO
8. Halle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias. Exprese dicha ecuación mediante funciones elementales.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
1 = 1 − = − 2 = 0 1 − 1 = = 2 0 = = 1 − 1 1 = = = ∞ 2 2 0
2 2 2 2 2
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Escribimos las series que queden todas empezando en n=2
Haciendo n = k+2 en la primera serie obtemos
2 1 1 2 = = 2 0 = = 0
2
∞ 2 2 1 + ∞ 2∞ 1 2 ∞ 2 2 0 ∞ 0[ 2 1 +
2 6 2 2 2 6 1 2 ] 0 260 2 0 0 [ 2 1 1 2 = 2 ] 0
Haciendo n = k tenemos
De la igualdad tenemos
De donde,
2 12−[[−+−1] 2] 0
+ +
De donde,
++
k= 0,1,2,3,….
−−2 6 2∗12 2 2 4 4∗3 4∗3 . 2∗1 43. 2 .1 1 3! ∞ 1 21 0 21 . arctan
Reemplazando la serie tenemos que
O bien
Primera actividad Grupal:
Adolfo Gantiva-Jairo Alexander Montaño ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JAIRO ALEXANDER MONTAÑO ADOLFO GANTIVA
ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:
Problema:
2 6 / 03 ´00
Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante es (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa y una constante de amortiguamiento con condiciones iniciales y , entonces el desplazamiento queda descrito mediante el problema de valores iniciales
1/
2´´ ´ 6 0 03 ´00 0
Determine los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en series de potencias en torno de para el desplazamiento.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
x(t): Posición del resorte x’(t): velocidad del resorte x’’(t): aceleración del resorte
2´2´´´0 ´606 30 0 2´´ ´´180 ´2´09 16 ′ 0 2 6 ′ 0 22 93 6 0 00 120 206 ′ 6 ′ 0 22′ ′′ 6 6 0 90 ′ 6540 2′′ ′480 ′′ ′024 ∑= ! 0 donde
0! 1! 2! 3! 4!
Remplazamos los valores de la ecuación con lo cual obtenemos el valor del de x’’
Derivamos respecto a (t)
Se remplazan los valores de la ecuación
Derivamos respecto a (t) Se remplazan los valores de la ecuación
Se utiliza la serie de Taylor para aproximar el polinomio de 4 términos
31 024 01 0 29 0 66 0 24 0 3 92 ⋯
Se remplazan los valores
Los cuatro valores obtenidos
Segunda actividad Grupal:
Adolfo Gantiva ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ADOLFO GANTIVA
Problema:
|| <∞
Enunciado y solución planteada: La ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia convergen para .
2. Pandeo de una columna cónica. Una columna de longitud L, está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura
´´ 0
Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal , como se muestra en la sección transversal de la figura b, el momento de inercia de una sección transversal respecto a un eje perpendicular al plano es , donde y . Por tanto, escribimos
donde
Sustituyendo en la ecuación diferencial determina del problema de valor en la frontera.
, la deflexión en este caso se
0 0 0
Donde
Encuentre las cargas críticas para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo como una sola función.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
0 0 √ √ 0 √ √ 0
RAZÓN O EXPLICACIÓN Teniendo en cuenta las condiciones iniciales
Tenemos:
En este paso los errores están en los siguientes casos - Es “b” no “a”
Ya que es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, las soluciones no son triviales.
- Al lado de la igualdad es una resta no una
De color Azul se identifican los errores.
suma
- Al lado de la igualdad es “a” no “b
√ √ √ √ √ √ √ √ ∗ ∗
√ √ √ √ √ √ √ √ ∗ ∗ √ √ √ ( )0 − √ −, √ 1,12,3,… √ , 1,12,3,… √ √ : √ √ Ó
Este será el caso si
"" ""
En este paso encontramos el siguiente error: es no
O si,
""
Las cargas críticas entonces son: En este paso el valor incluido
Usando En este caso es “a” no “b”
debe ser
Tenemos:
√ √ cos√ cos √ √ ∗ √ √ √ √ ∗ √ →√ √ ∗ ∗ √ (1 1) (1 1) 1 (1 1) 1 Corrección:
Para este casos existen dos errores: - El subíndice es 1 no 3
- Los denominadores están intercambiados, es decir, se coloca “x” donde va la “a”, y “a” donde va “x”.
En este procedimiento encontramos que al lado de la igualdad que el subíndice debe ser 1 no 4.
CONCLUSIONES Al desarrollar los ejercicios de ecuaciones diferenciales Ecuaciones series y funciones especiales permite poner en práctica los temas vistos en al referencias bibliográficas propuestas para la unidad 2
