METODOS NUMERICOS TRABAJO COLABORATIVO No. 1
PRESENTADO POR: JUAN DAVID SANTANA MEJIA CARLOS GARIEL MARTINEZ DAVILA COD 1102860345 KELVIN ABDALA LAMBRAÑO COD 73574672 ELKIN RODRIGUEZ PEREZ COD 1045683173
GRUPO
100401A_224
TUTOR
MARTÍN GÓMEZ O. DIRECTOR DE CURSO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGICAS E INGENIERIA SEPTIEMBRE - 2015
INTRODUCCION
Para el desarrollo de la presente actividad de métodos numéricos correspondiente al trabajo colaborativo 1 se realizó previamente lectura e investigación acerca de los diferentes métodos que hay para determinar la raíz de una ecuación. En este trabajo colaborativo se maneja el trabajo autónomo y colaborativo con los integrantes del grupo con el fin de afianzar los conocimientos adquiridos y emplear el aprendizaje colectivo, la actividad exige la comunicación asertiva entre los participantes.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos. Ejemplo No. 1 Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Ejemplo: X Persona tiene en su hogar un internet con velocidad de 4mbps y estima que su velocidad de descarga de archivos es de 500 kilobits por segundo y al investigar se da cuenta que su velocidad de descarga real es de 512 kilobits. Error Absoluto= (V_e- V_a) Reemplazamos = (512 kb/s- 500kb/s) = 12kb/s Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades. Error Relativo= (E_a/V_e *100) Reemplazamos Error Relativo= ((12kb/s)/〖512kb/s〗_e *100) =2,34% Error relativo aproximado Error Relativo Aproximado= ((Valor Actual-Valor Anterior)/(Valor Actual)*100) n x tiempo el valor del dólar estaba en 2850, actualmente esta tajado en 3050 pesos Error Relativo Aproximado= ((3050-2850)/3050*100) Error R.A= 6,5% Error por truncamiento: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor Ejemplo: Aproximaremos la siguiente ecuación por truncamiento: 5567 √345 =16,1362318
Error de redondeo: Es el que resulta de reemplazar un número por su forma de punto flotante. Cualquier número real positivo puede ser normalizado para que adquiera la forma: La forma de punto flotante fl(y), se obtiene terminando (recortando) la mantisa de y en k dígitos decimales. Existen dos métodos de terminar: Cortando los dígitos y Redondeando el número Ejemplo: Aproximaremos la siguiente ecuación por Redondeo: 5567 √345 =16,1362318 =16,14 Ejemplo No. 2 Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado de 19,999 cm. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000 cm. y 10 cm. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos. Solución. Tenemos los siguientes resultados: Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:
v =¿ 20.000−19.999=1cm E¿ Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:
v =¿ 10−9=1 cm E¿ En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero. Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es:
v =¿
1 x 100 =0.005 20.000 E¿
Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:
v =¿
1 x 100 =10 10 E¿
Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o no gravedad del error que se está cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla no es trascendente ya que representa solamente un 0.005% con respecto al valor verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que es del 10% del valor verdadero.
Error por truncamiento y redondeo
Si en el ejemplo anterior uno de los resultados hubiese sido por ejemplo: 1.6949 Error por truncamiento seria 1.6 Error por redondeo seria 1.7
2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo
DEFINICIÓN
PROCEDIMIENTO
BISECCIÓN O BOLZANO Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]. A continuación se verifica que \scriptstyle f(a)\cdot f(b) <0
Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
CARACTERÍSTICAS
Método de solución aproximada que resuelve funciones de la forma F(x) = 0 Conocido como de corte binario o intervalo medio
CUADRO COMPARATIVO REGLA FALSA Es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. El proceso se repite n veces.
Combina el método de bisección y el método de la secante* e parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuesto
NEWTON RAPHSON Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. Seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada.
Si ésta presenta múltiples puntos de inflexión, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan
PUNTO FIJO Es un Método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de . Para que converja, la derivada debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el
Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Descrito por Isaac Newton, Es un método abierto Es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable
Llamado también de aproximaciones sucesivas Es uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes
Método de búsqueda incremental en el que el intervalo siempre se divide en dos
Teorema de Bolzano en la función g(x) = f(x) − k, la cual es continua, por serlo f(x), g(a) < 0 y g(b) > 0. El teorema nos permite afirmar que existirá c ∈ (a, b) tal que g(c) = 0 y en consecuencia f(c) = k.
Sirve para encontrar la raíz o solución real de una ecuación
Puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función Basa su fórmula proceso iterativo pendiente
en
un
la pendiente de esta recta está dada por:
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Por lo tanto la ecuación de la recta es:
Hacemos y = 0 :
Y despejamos x :
FÓRMULA UTILIZADA Para obtener el cruce con el eje x, hacemos y =0
Multiplicando por nos da:
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:
Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma: x = g(x) Si la ecuación es f(x) = 0, entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
EJEMPLOS
EJEMPLO METODO BOLZANO
Ejemplo 1.- Se considera la función f : IR → IR continua y acotada. Demostrar que la ecuación f(x) − x = 0 tiene al menos una raíz real. DESARROLLO Consideramos la función h(x) = f(x) − x. Dicha función es continua por ser diferencia de funciones continuas. Por ser f acotada en IR existe un M ∈ (0, +∞) tal que: −M < f(x) < M para todo x ∈ IR. Por tanto, para todo x ∈ IR tenemos que f(x)−M < 0 y f(x) +M > 0 y en consecuencia h(M) = f(M) − M < 0 h(−M) = f(−M) + M > 0. Por el Teorema de Bolzano existe c ∈ [−M, M] tal que h(c) = 0.
EJEMPLO METODO REGLA FALSA
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de intervalo
y hasta que
, comenzando en el
.
Desarrollo Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que es continua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.
Calculamos la primera aproximación:
Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.
Así pues, evaluamos Y hacemos nuestra tabla de signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo
.
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso. Evaluamos
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo podemos calcular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:
, y hacemos la tabla de signos:
, con el cual,
Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada es:
Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a diferencia de la lentitud del método de la bisección.
EJEMPLO METODO NEWTON RAPHSON 3 Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x . 3 Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x . 2 3 Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x . Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5
Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10, ilustrando la convergencia cuadrática.
EJEMPLO METODO PUNTO FIJO Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de comenzando con
DESARROLLO
y hasta que
.
,
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz. Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
Con un error aproximado de Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
Y un error aproximado de
.
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:
Con un error aproximado igual al
.
Usar el Método iterativo de punto fijo para aproximar la raíz de (�) = �2 − 4� − ��, comenzando con xo=0, con 5 iteraciones. f ( x )=x 2−4 x−2,71
x 0=0
x 2=4 x +2,71
x=2,71
x=√ 4 x +2,71
x=1
1
2,71¿ x e =¿
x 0=1 x 1=√ 4 ( 1 ) +2,71=2,59 x 2=√ 4 ( 2,6 )+ 2,71=√ 10,36+2,71=√ 13,07=3,61
x 3=√ 4 ( 3,61 ) +2,71= √14,46+ 2,71=4,14 x 4= √ 4 ( 4,14 )+ 2,71=√ 19,28=4,39
x 5=√ 4 ( 4,39 ) +2,71=4,50
X diverge de Cero (0), f, x=1
