REPUBLICA BOLIVARIANA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA ARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESCUELA DE PSICOLOGIA SAN JOAQUIN DE TURMERO.
PSICOLOGIA T1
Participant! Carlos Alberto Cabuya Guerrero. D"cnt! Lic. Wilmar Pérez Rojas.
San Cri#t$%a&' (%rr" )*1+
INTRODUCCIÓN El presente trabajo es realizado con la finalidad de dar a conocer la importancia que tuo Carl !riedric" Gauss# con su $bra% La Campana de Gauss. El estudio es importante porque a a aportar en el conocimiento de los educandos que que se iene ienen n desar desarro rollllan ando do en la UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA. Gauss es sin duda uno de los tres &enios de la "istoria de las 'atem(ticas. )us aportaciones aportaciones en todos los campos matem(ticos matem(ticos fueron incre*bles# aunque al&unos de sus sus descu descubri brimi mien ento toss tui tuier eran an que que esper esperar ar m(s m(s de un si&l si&lo o para para ser ser alo alorad rados os debidamente. En conclusi+n la campana de Gauss intenta dar una base matem(tica a ciertos comportamientos de la naturaleza o de la sociedad.
DISTRIBUCION NORMAL O DISTRIBUCION DE GAUSS En estad*stica y probabilidad se llama distribuci+n normal# distribuci+n de Gauss o distribuci+n &aussiana# a una de las distribuciones de probabilidad de ariable continua que con m(s frecuencia aparece apro,imada en fen+menos reales. La distribuci+n normal es una distribuci+n de probabilidad de ariable continua que describe los datos que se a&rupan en torno a un alor central. -odo proceso en el que solo e,istan causas aleatorias de ariaci+n si&ue una &, - -i#tri%ci$n n"r/a&. Esta condici+n que aparece con frecuencia en fen+menos naturales de a"* que se la denomine /normal01# puede obtenerse en los procesos industriales si los procesos se llean a un estado en el que solo e,isten causas comunes de ariaci+n. La representaci+n &r(fica es la cura de distribuci+n normal también denominada campana de Gauss en "onor del renombrado cient*fico alem(n Carl !riedric" Gauss a quien se le atribuye err+neamente su inenci+n pero que sin duda la us+ frecuentemente para analizar fen+menos astron+micos con é,ito. La &r(fica de su funci+n de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respect+ de un determinado par(metro. Esta cura se conoce como campana de Gauss. En otras palabras# La campana de Gauss es una representaci+n &r(fica de la distribuci+n normal de un &rupo de datos. 2stos se reparten en alores bajos# medios y altos# creando un &r(fico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado par(metro. El punto m(,imo de la cura corresponde a la media# y tiene dos puntos de infle,i+n a ambos lados.
Características de la distribución nr!al de la "rbabilidad# 1. La cura tiene un solo pico# por consi&uiente es unimodal. Presenta una forma de campana. ). La media de una poblaci+n distribuida normalmente se encuentra en el centro de su cura normal. 0. A causa de la simetr*a de la distribuci+n normal de probabilidad# la mediana y la moda de la distribuci+n también se "allan en el centro# por tanto en una cura normal# la media# la mediana y la moda poseen el mismo alor. . Las dos colas e,tremos1 de una distribuci+n normal de probabilidad se e,tienden de manera indefinida y nunca tocan el eje "orizontal. 2. La distribuci+n normal tiene forma de campana. +. La distribuci+n normal es una distribuci+n de probabilidad que tiene y desiaci+n est(ndar 3 5.
media 3 4
3. El (rea bajo la cura o la probabilidad desde menos infinito a m(s infinito ale 5. 4. La distribuci+n normal es simétrica# es decir cada mitad de cura tiene un (rea de4.6. 5. La escala "orizontal de la cura se mide en desiaciones est(ndar. 1*. La forma y la posici+n de una distribuci+n normal dependen de los par(metros# en consecuencia "ay un n7mero infinito de distribuciones normales 11. Los alores de las mediciones tienden a a&ruparse alrededor de un punto central# la media 1). La representaci+n de los datos es simétrica a ambos lados de la media 58. Las desiaciones est(ndares quedan situadas a i&ual distancia unas de otras
1. La proporci+n de mediciones situada entre la media y las desiaciones es una constante en la que%
La media 9 5 : desiaci+n est(ndar 3 cubre el ;<#8= de los casos La media 9 > : desiaci+n est(ndar 3 cubre el ?6#6= de los casos La media 9 8 : desiaci+n est(ndar 3 cubre el ??#@= de los casos
Podemos analizar el comportamiento de los procesos &r(ficos y determinar su efectiidad tomando como base su &rado de apro,imaci+n a la cura de distribuci+n normal a partir de los datos &enerados y la creaci+n de "isto&ramas que permitan la comparaci+n con cura de distribuci+n normal.
IM$ORTANCIA La importancia de esta distribuci+n radica en que permite modelar numerosos fen+menos naturales# sociales y psicol+&icos. 'ientras que los mecanismos que subyacen a &ran parte de este tipo de fen+menos son desconocidos# por la enorme cantidad de ariables incontrolables que en ellos interienen# el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada obseraci+n se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. e "ec"o# la estad*stica es un modelo matem(tico que s+lo permite describir un fen+meno# sin e,plicaci+n al&una. Para la e,plicaci+n causal es preciso el diseBo e,perimental# de a"* que al uso de la estad*stica en psicolo&*a y sociolo&*a sea conocido como método correlacional. La distribuci+n normal también es importante por su relaci+n con la estimaci+n por m*nimos cuadrados# uno de los métodos de estimaci+n m(s simples y anti&uos. Al&unos ejemplos de ariables asociadas a fen+menos naturales que si&uen el modelo de la normal son%
6 Caractr# /"r("&$7ic"# - in-i8i-"# c"/" &a #tatra9 6 Caractr# (i#i"&$7ic"# c"/" & (ct" - n (:r/ac"9 6 Caractr# #"ci"&$7ic"# c"/" & c"n#/" - cirt" pr"-ct" p"r n /i#/" 7rp" - in-i8i-"#9 6 Caractr# p#ic"&$7ic"# c"/" & c"cint int&cta&9 6 Ni8& - ri-" n t&c"/nicaci"n#9 6 Err"r# c"/ti-"# a& /-ir cirta# /a7nit-#' tc. La distribuci+n normal también aparece en muc"as (reas de la propia estad*stica. Por ejemplo# la distribuci+n muestral de las medias muéstrales es apro,imadamente normal# cuando la distribuci+n de la poblaci+n de la cual se e,trae la muestra no es normal. Adem(s# la distribuci+n normal ma,imiza la entrop*a entre todas las distribuciones con media y arianza conocidas# lo cual la conierte en la elecci+n natural de la distribuci+n subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y arianza. La distribuci+n normal es la m(s e,tendida en estad*stica y muc"os test estad*sticos est(n basados en una supuesta normalidad. En probabilidad# la distribuci+n normal aparece como el l*mite de arias distribuciones de probabilidades continuas y discretas.
$RO$IEDADES
El campo de e,istencia es cualquier alor real# es decir# ;<=' >=?. Es simétrica respecto a la media @. -iene un m(,imo en la media @. Crece "asta la media D y decrece a partir de ella. En los puntos @ , @ > presenta puntos de infle,i+n. El eje de abscisas es una as*ntota de la cura. El (rea del recinto determinado por la funci+n y el eje de abscisas es i&ual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por @# deja un (rea i&ual a *.2 a la izquierda y otra i&ual a *.2 a la derec"a. La probabilidad equiale al (rea encerrada bajo la cura.
p; < H > ? *.+4)+ +4.)+ p; < ) H > )? *.52 52. p; < 0 H > 0? *.553 55.3
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribuci+n normal queda definida por dos par(metros# su media y su desiaci+n t*pica y la representamos as*
%UNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Puede tomar cualquier alor F# F1 )on m(s probables los alores cercanos a uno central que llamamos media D Conforme nos separamos de ese alor D# la probabilidad a decreciendo de i&ual forma a derec"a e izquierda es simétrica1. Conforme nos separamos de ese alor D# la probabilidad a decreciendo de forma m(s o menos r(pida dependiendo de un par(metro H# que es la desiaci+n t*pica.
!,1 es el (rea sombreada de esta &r(fica
TI$I%ICACIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL
Por tanto su funci+n de densidad es
y su funci+n de distribuci+n es
)iendo la representaci+n &r(fica de esta funci+n a la ariable I se la denomina ariable tipificada de J# y a la cura de su funci+n de densidad cura normal tipificada.
Característica de la distribución nr!al ti"i&icada 'reducida( est)ndar* •
Ko depende de nin&7n par(metro
•
)u media es 4# su arianza es 5 y su desiaci+n t*pica es 5.
•
La cura f,1 es simétrica respecto del eje $
•
-iene un m(,imo en este eje
•
-iene dos puntos de infle,i+n en z 35 y z 3 5
DISTRIBUCIÓN NORMAL Apr"i/aci$n - &a Bin"/ia& p"r &a N"r/a& ;T"r/a - D M"i8r? ! emostr+ que bajo determinadas condiciones para n &rande y tanto p como q no estén pr+,imos a cero1 la distribuci+n Minomial Mn# p1 se puede apro,imar mediante una distribuci+n normal
ebemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el alor de n# y cuanto m(s pr+,imo sea p a 4.6# tanto mejor ser( la apro,imaci+n realizada. Es decir# basta con que se erifique
Gracias a esta apro,imaci+n es f(cil "allar probabilidades binomiales# que para alores &randes de n resulten muy laboriosos de calcular. Nay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformaci+n de una ariable discreta binomial1 en una ariable continua normal1 es necesario "acer una correcci+n de continuidad.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MANEJO DE TABLAS. CASOS MS FRECUENTES. La -i#tri%ci$n - &a 8aria%& Z # ncntra ta%&a-a
DISTRIBUCIÓN NORMAL
UTILIZANDO OTRO TIPO DE EPLICACION DE LA DISTRIBUCION NORMAL O DISTRIBUCION DE GAUSS LA DISTRIBUCIKN NORMAL! La -i#tri%ci$n n"r/a& N ;' ?! es un modelo matem(tico que ri&e muc"os fen+menos. La e,periencia demuestra que las distribuciones de la mayor*a de las muestras tomadas en el campo de la industria se apro,iman a la distribuci+n normal si el tamaBo de la muestra es &rande. Esta distribuci+n queda definida por dos par(metros% &a /-ia y &a -#8iaci$n tpica . )e presenta mediante una cura simétrica conocida como ca/pana - Ga##. Esta distribuci+n nos da la probabilidad de que al ele&ir un alor# éste ten&a una medida contenida en unos interalos definidos. Esto permitir( predecir de forma apro,imada# el comportamiento futuro de un proceso# conociendo los datos del presente. O 3 OF
La distribuci+n normal fue reconocida por primera ez por el francés Abra"am de 'oire 5;;@ 5@61. Posteriormente# Carl !riedric" Gauss 5@@@ 5<661 realiz+ estudios m(s a fondo donde formula la ecuaci+n de la cura conocida com7nmente# como la / Ca/pana - Ga## .
Qna -i#tri%ci$n n"r/a& de /-ia y -#8iaci$n tpica se desi&na por
N;' ?. )u &r(fica es la ca/pana - Ga## %
E& :ra del recinto determinado por la funci+n y el eje de abscisas # i7a& a &a ni-a-.
Al ser #i/trica respecto al eje que pasa por @ # deja un :ra i7a& a *.2 a &a iir-a , "tra i7a& a *.2 a &a -rca.
La pr"%a%i&i-a- i8a& a& :ra ncrra-a %a" &a cr8a.
DISTRIBUCIKN NORMAL ESTNDAR N;*' 1? La -i#tri%ci$n n"r/a& #t:n-ar' " tipi(ica-a " r-ci-a' es aquella que tiene por /-ia el alor cr" *?# y por -#8iaci$n tpica n" ; 1?.
La pr"%a%i&i-a- - &a 8aria%& -pn-r: -& :ra -& :ra #"/%ra-" n &a (i7ra. para calcularla utilizaremos una ta%&a adjunta1
TIPIFICACIKN DE LA VARIABLE Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la ariable que si&ue una distribuci+n N ;'? en otra ariable Z que si&a una distribuci+n N;*' 1?.
C:&c&" - pr"%a%i&i-a-# n -i#tri%ci"n# n"r/a&# La ta%&a nos da las pr"%a%i&i-a-# - P; H ? # siendo la ariable tipificada.
Estas probabilidades nos dan la (nci$n - -i#tri%ci$n ;?.
;? P; H ?
B#-a n &a ta%&a - 8a&"r - Uni-a-# , -ci/a# en la columna de la izquierda y Cnt#i/a# en la fila de superior .
$'+ , a*-./ $'+ 0 a*
$'+ 0 a* - . / $'+ , a*
$'+ , 1a* - . 1 $'+ , a*
$'+ 0 1a* - ./$'+ ,/a*
$'a 2 + , b * - $'+ , b* 1 $'+ , a*
$'1b 2 + , 1a * - $'a 2 + , b *
Kos encontramos con el caso inerso a los anteriores# conocemos el alor de la probabilidad y se trata de "allar el alor de la abscisa. A"ora tenemos que buscar en la tabla el 8a&"r /:# # apr"i/ a .
$'1a 2 + , b * - $'+ , b* 1 3 . 1 $'+ , a*4
" - 5 Para calcular la ariable nos amos a la ($r/&a - &a tipi(icaci$n.
E6ERCICIOS 1.
arios test de inteli&encia dieron una puntuaci+n que si&ue una ley norm al con media 544 y d esi aci+ n t t*pica 56. a) eterminar el porcentaje de poblaci+n que obtendr*a un coeficiente entre ?6 y 554.
arios test de inteli&encia dieron una puntuaci+n que si&ue una ley ). normal con media 544 y desiaci+n t*pica 56.
a? eterminar el porcentaje de poblaci+n que obtendr*a un coeficiente entre ?6 y 554
CONCLUSIONES
Gauss es sin duda uno de los tres &enios de la "istoria de las 'atem(ticas. )us aportaciones en todos los campos matem(ticos fueron incre*bles# aunque al&unos de sus descubrimientos tuieran que esperar m(s de un si&lo para ser alorados debidamente. M(sicamente# la campana de Gauss intenta dar una base matem(tica a ciertos comportamientos de la naturaleza o de la sociedad. E,plica los ciclos de nacimiento# crecimiento# madurez y declie de todo lo que nos rodea. Qn ejemplo claro y entendible por todos# aplicado al mundo empresarial# podr*a ser el ciclo de ida de una empresa% ésta nace con unos beneficios escasos o casi nulos. Con el tiempo a cre(ndose un nic"o de mercado que "ace que sus beneficios ayan en aumento. As* continuar( durante un per*odo de tiempo indeterminado. La comprensi+n y aplicaci+n de la !unci+n Gaussiana# es base fundamental para el estudio de la probabilidad# al dar respuesta a situaciones complejas y de una forma sencilla# mediante la distribuci+n de datos en una representaci+n &r(fica en forma de campana.
