Trabajo de Funciones Matematicas

TRABAJO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS

2013

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN 2. FUNCIÓN 3. DIFERENCIAS ENTRE FUNCIÓN Y RELACIÓN 4. DOMINIO 5. RANGO 6. ¿PARA QUÉ SE REPRESENTA UNA GRÁFICA? 7. TIPOS DE FUNCIONES 7.1. FUNCIÓN CONSTANTE 7.2. FUNCIÓN LINEAL 7.3. FUNCIÓN CUADRÁTICA 7.4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA 7.5. FUNCIÓN EXPONENCIAL 8. CUADRO COMPARATIVO ENTRE LAS FUNCIONES 9. FUNCIÓN RAMIFICADA 10. RELEVANCIA DE LAS FUNCIONES EN EL CÁLCULO 11. DIFERENCIA Y SEMEJANZA ENTRE DOMINIO Y RANGO 12. CONCLUSIÓN 13. ANEXOS 14. BIBLIOGRAFÍA

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1. INTRODUCCIÓN En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. LejeuneDirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

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2. FUNCIÓN. Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. No estamos en presencia de una función cuando:  De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.  De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor. A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función. Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

 Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.  Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

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Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos o

, o cualquier otra.

Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo

3. DIFERENCIAS ENTRE FUNCIÓN Y RELACIÓN. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio. Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) está en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la relación, anti simétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la relación. Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, se dice que es de equivalencia. Si una relación es reflexiva, anti simétrica y transitiva se dice que es de orden. No se puede decir que una relación es creciente o decreciente, porque cada elemento puede estar relacionado con varios o con ningún elemento. De las funciones (si son de R en R) si se pueden decir si son crecientes o decrecientes (o ninguno de los 2 casos, como pasa con la función sen x). En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una función puede ser continua en un punto y no en otro. La definición de función continua en un punto es la siguiente: para todo epsilon positivo existe un delta >0 de tal forma que para todo x /este a menos de delta de x0, la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y una función se dice continua a secas si es continua 4

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en todo a una función se dice discontinua si existe al menos un punto donde no es continua. 4. DOMINIO. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien. 5. RANGO. Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a +1. Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice dala parábola hacia arriba hasta + infinito. 6. ¿PARA QUÉ SE REPRESENTA UNA GRÁFICA? Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También se representan para plasmar coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica también es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. 7. TIPOS DE FUNCIONES. Análisis matemático. Constantes. Identidad. Potencias pares e impares. Seno. Coseno. Cuadráticas. Logarítmicas. Exponenciales. Lineales 7.1. Función Constante. Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

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F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Y=F(x) entonces Y=a donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas: para valores de a iguales: Y=8 Y=4,2 Y=-3,6 La función constante como un polinomio en x es de la forma Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a. El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a “Todos los Reales” Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a. Es una Función Continua. ¿Qué significa la recta representa por la función y=0? Representa que la recta pasara por todo el eje X.

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TIPOS DE FUNCIONES CONSTANTES: F(x) = a, donde a es un número real. Dominio: todos los reales. Imagen: el punto a. Crecimiento: ni creciente ni decreciente. Inyectividad: ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par

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Identidad: F(x) = x. Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente. Inyectividad:

es

biyectiva.

Su

inversa

es

ella

misma.

Paridad:

es

impar.

Potencias pares: F(x) = x2n. Dominio: todos los reales. Imagen: los reales mayores o iguales a cero. Crecimiento: son decrecientes en (-oo, 0) y crecientes en (0, +oo).

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Potencias impares: F(x) = x2n+1. Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: son siempre crecientes. Inyectividad: son biyectivas. Su inversa es

Paridad:

son impares.

Raíces pares: Dominio: reales positivos más el cero. Imagen: reales positivos más el cero. Crecimiento: son crecientes. Inyectividad: solo son inyectivas. Paridad: no son ni pares ni impares.

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Logaritmo: F(x) = ln(x). Dominio: los reales positivos. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente siempre. Inyectividad: es biyectiva. Su inversa es f-1(x) = ex. Paridad: no es ni par ni impar.

Exponencial: F(x) = ex. Dominio: todos los reales. Imagen: reales positivos. Crecimiento: es creciente. Inyectividad: es inyectiva pero no sobreyectiva. Paridad: no es ni par ni impar.

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Seno: F(x) = sen(x). Dominio: todos los reales. Imagen: es el intervalo [-1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es impar.

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Seno: F(x) = sen(x). Dominio: todos los reales. Imagen: es el intervalo [-1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es impar.

Coseno: F(x) = cos(x). Dominio: todos los reales. Imagen: el intervalo [-1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par.

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7.2. Función lineal. Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades: •

Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.

•

Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial. Para comprobar la linealidad de una función

no es necesario realizar la comprobación

de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que

la linealidad queda demostrada. El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones. Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

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Para cada función lineal hay infinitos puntos que la satisfacen y todos esos puntos forman una recta. Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b). La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y. Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

EJEMPLO: a) F(x)=x

Función: lineal

formula General: mx+n

Eje de intersección: (0,0)

Coeficiente de posición: 1

Creciente

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b) F(x)=x+4

Función: lineal


Eje de intersección: (0,4) (0,-4)

Coeficiente de posición: 4,-4

Creciente c) F(x)=x-3

Función: lineal


Eje de intersección: (0,-3) (0,3)

Coeficiente de posición: -3 ,3

Creciente d) F(x)=4x

Función: lineal



Coeficiente de posición: 4

Creciente

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e) F(x)=-3x

Función: lineal



Coeficiente de posición: -3

Decreciente Conclusiones: Podemos concluir que cada una de estas funciones son lineales debido a que posee infinitos puntos los cuales forman una recta y posee una pendiente y un coeficiente de posición. Los 4 primeros gráficos son iguales debido a que sus líneas son crecientes y la última del ejercicio E) es decreciente.

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7.3. Función Cuadrática. La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. Intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

EJEMPLOS: a)

F(x)=x^2

Función cuadrática Eje de intersección: (0,0)

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formula General: ax^2 Coeficiente de posición: 0

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b) F(x)=x^2+2

Función cuadrática Eje de intersección: (0,2) c)


F(x)=x^2-6

Función cuadrática Eje de intersección: (0,-6)

formula General: ax^2 Coeficiente de posición: -6

d) F(x)=(x-6)^2

Función cuadrática Eje de intersección: (0,36)

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e)

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F(x)=(x+2)^2

Función cuadrática

formula General: ax^2

Eje de intersección: (0,-2) (0,4)

Coeficiente de posición: -2 , 4

Conclusiones: Podemos concluir que los gráficos del ítem 2 son funciones cuadráticas debido a que forman parábolas y su exponente es al cuadrado ejemplo: x^2 Depende que las parábolas van hacia arriba o hacia abajo son mayores o menores que 0. Pudimos darnos cuentas que (a,b y c) forman parábolas a diferencia de (d y e)

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7.4. Función Logarítmica. Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R *+ en R :

o

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

o

Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

o

La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.

o

Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281...

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

Se hallan por medio de la fórmula :

EJEMPLOS: 20

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a)

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F(x)=log x

Función logarítmica

formula general: Log x


coeficiente de posición: 1

Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y b)

F(x)=Log x-2



Eje de intersección: nula

coeficiente de posición: nula

Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y c) F(x)=Log x-6

Función logarítmica formula general: Log x Eje de intersección: nula coeficiente de posición: nula Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y

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c)

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F(x)=Log (x-2)





Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y d)

F(x)=Log (x-6)





Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y Conclusiones: Podemos concluir que son funciones logarítmicas debido a que poseen curvas en este caso ascendentes y asintóticas. Porque poseen valores superiores a 1 y no utilizamos valores negativos ya que no puede ser calculado ni graficados, los valores en algunos ejercicios tuvieron que ser superiores a 5 ya que valores menores que este concluir con un error.

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7.5. Función Exponencial. La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como , donde e es la base de los logaritmos naturales. En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

Siendo

números reales,

. Se observa en los gráficos que si

será creciente.

EJEMPLO: a)

F(x)=3^x

Función exponencial

formula general: a^x



Creciente

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la curva


b)

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F(x)=(1/4)^x





Decreciente c)

F(x)=(1/4)^x-5



Eje de intersección:(0,-4) Decreciente

coeficiente de posición: -4

d)

F(x)=3^x+5





Creciente

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e)

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F(x)=3^x + 5





Creciente Conclusiones: Podemos concluir que son funciones exponenciales debido a que su incógnita es el exponente EJM: 2^x+2. Los gráficos (a d y e) son disntitos a los gráficos (b y c) debido a que sus curvas son crecientes y la de (b y c) son decrecientes.

8. CUADRO COMPARATIVO ENTRE LAS FUNCIONES.

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9. FUNCIÓN RAMIFICADA. Es aquella que sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio. Ejemplo:

Respuesta: Observemos que el dominio de esta función está dividido, y el punto de división es x = 1.

10. RELEVANCIA DE LAS FUNCIONES EN EL CÁLCULO.

Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo:

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10). Las funciones son importantes para realizar fórmulas simplificadas de las operaciones que se realizan comúnmente, como una sumatoria, un promedio, etc. Es decir, de manera más sencilla. 11. DIFERENCIA Y SEMEJANZA ENTRE DOMINIO Y RANGO.

DIFERENCIA

DOMINIO Está formado por

RANGO Está formado por

aquellos valores de x

aquello valores de y

Son números reales

Son números reales

Se requiere para

Se requiere para

representar una gráfica

representar una gráfica

SEMEJANZA

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12. CONCLUSIÓN. Tras el estudio de las

funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy

importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función. Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica. A través de este trabajo pudimos informarnos de cada una de las partes de un gráfico y de los distintos tipos de funciones que existen y de sus cualidades, como por ejemplo sus formas como es el caso de las parábolas, ya sean abiertas, cerradas, crecientes y decrecientes además pudimos mejorar nuestro conocimiento matemático e informático ya que nos informamos a través de Internet y utilizamos el Microsoft Excel para realizar cálculos y gráficos. Además mejoramos nuestro razonamiento matemático y lógico y nuestro esfuerzo por crear nuestro propio conocimiento y el trabajo en equipo. Pudimos darnos cuenta que el esfuerzo realizado tiene atribuciones como aprender a generar nuestro propio conocimiento. En cuanto al trabajo nos dimos cuenta que los gráficos eran muy distintos por sus funciones como es el caso lineal cuadrático, logarítmico y exponencial.

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13. ANEXOS NOTA: En los siguientes anexos mostraremos como funciones se han utilizado por los ingenieros y arquitectos en las diferentes obras que hoy están marcadas como hitos en la historia de la ARQUITECTURA e INGENIERÍA

TORRE EIFFEL

HOTEL 7 ESTRELLAS DUBÁI

OBRAS DEL ARQUITECTO SANTIAGO CALATRAVA.

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14. BIBLIOGRAFÍA •

LIBRO NUEVO FORMULARIO DE CIENCIAS – MARCO LLANOS – FUNCIONES.

•

MATEMÁTICA BÁSICA – EDUARDO ESPINOZA RAMOS – 2da EDICIÓN FUNCIONES

• http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica • http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml •

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial

• http://www.scribd.com/doc/2969742/Microsoft-Word-Limites-2

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