INTEGRANTES: CONTRERAS LAVADO, NADINA SOTO ZAMBRANO, NATHALY VELARDE ANTAY, SUSANA VILLAFUERTE POZO, RICARDO OLIVA OTERO, BRUNO CURSO: MATEMATICA II TEMA: TIPOS DE INDETERMINACION GRUPO: 04
17 de Abril del 2017
INDICE.Introducción………………………………………………………………… ………..03 Formas Indeterminadas …………………………………………………………04 Indeterminación
1∞ ………………………………………………………………………………………..
05
Indeterminación
∞0 ....................................................................................................... 06
Indeterminación ……………………………………………………………… 08 La
Indeterminación
………………………………………………………..09 La indeterminación ….11
…………………………………………………..
Indeterminación
0/0
…………………………………………………………….13 Indeterminación ∞ ∞…..........................................14
−
Conclusiones………………………………………………………………… …..…..15 Bibliografía…………………………………………………………………… …..…..16
Introducción.Las ideas y conceptos que se introducen en este trabajo son las nociones básicas para una mejor comprensión del cálculo diferencial. Se recomienda dedicar el mejor esfuerzo y atención posible para asegurar una total comprensión de estas ideas, lo cual le permitirá entender y comprender el significado técnico de costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, productividad marginal, área de una región limitada de dos curvas, etc.
Formas Indeterminadas.En matemáticas, Se llama forma indeterminada a una expresión algebraica la cual involucra límites. Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real. Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes: 0 ∞ ¿ ; ; 0 ; ∞ ; ∞−∞; 00 ; ∞ ∞ ; 1∞ 0 ∞
Entonces decimos que es indeterminada.
Si se tiene:
lim ¿ ( x +2)(x−2) =4 X→2 X−2 2 lim ¿ X −4 =¿ X → 2 X−2 2 x −4 Y =F(x)= y el ¿ X −2
En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso, cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de L´Hopital. El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite Ejemplo: lim
X→C
f ( x) g (x)
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.
Indeterminación 1∞ 1) 1/COS(x) lim
(1 + 2·COS(x))
x→/2 Suponemos que la solución del límite es A. 1/COS(x) A= lim x→/2
(1 + 2·COS(x))
Bajamos el exponente con LN.
LN A= lim
1
x→/2
LN(1 + 2·COS(x))
⎯⎯⎯⎯⎯ COS(x)
LN(1 + 2·COS(x))
0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
LN A= lim x→/2
COS(x)
⎯⎯⎯
0
Aplicamos L`Hopital - 2·SIN(x) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Lim
x→/2 1 + 2·COS(x)
=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - SIN(x)
2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2
lim e2 x→/2
LN A= 2 →
1 + 2·COS(x)
Indeterminación ∞0 lim
⎛ 1 ⎞ TAN(x)
x→0
⎯⎯
=
⎝ x2 ⎠
LN A = lim TAN(x) LN[ 1/ x2 ]
e2 = A
.∙.
x→0
=
LN A = lim TAN(x) [LN1- LN x2 ] x→0
LN A = lim TAN(x)[- 2LN x ] x→0
=
LN A = -2 lim TAN(x)[LN x ] x→0
= 0* ∞
Convertimos a
g
⎯⎯⎯ 1 /f
LN(x) -2 lim x→0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
= ∞/∞
1/TAN(x)
Aplicamos L`Hopital 1/ x -2 lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x→0 -1/ SIN2 (x)
SIN2 (x) -2 lim
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =
x→0
x
2·SIN(x)·COS(x)
=
lim x→0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 2*0 = 0 1
LN A= 0 → e0 = A
.∙.
1
Indeterminación Algunas fórmulas de logaritmos posiblemente necesarias:
Ejemplo:
Reemplazando x en 0, por la derecha, da como resultado 0, es decir, existe la indeterminación.
Para ese entonces se tendrá que levantar la indeterminación...
La Indeterminación
Esta indeterminación puede presentarse de varias formas. En principio, si se trata de una resta, es cuestión de comparar grados y ver cuál es mayor. Debes tener en cuenta que cuando tomamos valores grandes, una exponencial siempre manda sobre una polinómica y una polinómica siempre manda sobre una logarítmica. Los casos habituales en los que hay que hacer algo más son en los que aparece una resta de fracciones y ambas salen infinitos o cuando restamos una función con raíz cuadrada. Seguramente pensamos que eso es 1, si se dividen dos cantidades iguales el resultado es 1. Pero eh ahí por qué esto es una indeterminación, porque no sabemos si esos infinitos son iguales o uno es mucho más grande que otro. Es decir, hay que averiguar qué relación hay entre esos infinitos, y al final, el resultado puede ser efectivamente uno, pero también puede ser cero, infinito o cualquier número real. Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +¥ ó a ¥ es +¥ ó -¥ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por x n, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.
EJM.
Calcule
.
Se dividen el numerador y denominador por x4:
En este ejemplo, el grado de la función polinomiales del numerador es menor que el de la del denominador y se obtuvo como resultado cero.
La indeterminación La indeterminación cero por infinito se resuelve convirtiéndola en una indeterminación de la forma 00 o ∞∞ y aplicando a continuación los métodos para resolver estas indeterminaciones (el más usado es la regla de l’Hôpital). La conversión siempre se puede hacer: supongamos que f(x)=g(x)h(x) cumple que limx→ag(x)=0 y limx→ah(x)=∞. Entonces siempre podemos hacer las siguientes transformaciones: limx→af(x)=limx→ag(x)limx→ah(x)=0⋅∞limx→ag(x)1limx→ah(x )=00 limx→af(x)=limx→ag(x)limx→ah(x)=0⋅∞limx→ah(x)1limx→ag(x )=∞∞, y resolver cualquiera de las indeterminaciones aplicando la regla de l’Hôpital u otro método que consideremos apropiado. La elección de la transformación depende de la función a tratar. A veces funcionan las dos y otras sólo una de ellas. EJM. 1 Si intentamos calcular el límite transformándolo en la indeterminación 0 partido por 0 obtenemos limx→0+xlnx=0⋅∞limx→0+x1lnx=00limx→0+(x)′(1lnx) ′=limx→0+1−1x(lnx)2=−limx→0+x(lnx)2, Que es otro límite con la indeterminación cero por infinito, pero más complicado. Así que intentamos la transformación infinito partido por infinito, obteniendo limx→0+xlnx=0⋅∞limx→0+lnx1x=∞∞limx→0+(lnx)′(1x) ′=limx→0+1x−1x2=−limx→0+(x)=0.
Conclusión: si una transformación no te da el resultado deseado, entonces prueba con la otra (¡obvio!). 2 Este límite lo hemos transformado en la indeterminación infinito partido por infinito y, a continuación, usamos la regla de l’Hôpital: limx→∞x2e−x=0⋅∞limx→∞x2ex=∞∞limx→∞(x2)′(ex) ′=limx→∞2xex=limx→∞(2x)′(ex)′=liMx→∞2ex=0. 3 Transformando la indeterminación en cero partido cero y aplicando l’Hôpital obtenemos: limx→∞xsin1x=∞⋅0limx→∞sin1x1x=00limx→∞−1x2cos1x−1x 2=limx→∞cos1x=cos0=1.
Indeterminación 0/0 Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos: 1.
El límite es 0
Indeterminación ∞ − ∞ Éste tipo de indeterminaciones acostumbran a darse en unos tipos de funciones concretas: las raíces cuadradas. Con esto no queremos decir que siempre aparezcan raices en estas indeterminaciones, pero si, que es lo más común. La resolución de este tipo de indeterminaciones aprovecha la identidad notable conocida de suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados, y para ello es necesario utilizar el concepto de conjugado, ya que la expresión a la que buscamos el límite, deberemos multiplicarla y dividirla por "algo" que nos permita aplicar la identidad notable anterior. Y "esto" es lo que llamamos el conjugado donde realizar es la siguiente:
.
La
transformación
a
El límite resultante tras la transformación plantea una indeterminación del tipo .
Conclusiones.1 Los límites indeterminados nos ayudan a resolver los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado. cada límite indeterminado nos puede dar una solución diferente, en un ejercicio que resolvamos con ser una función indeterminada, por ejemplo cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0. como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solución posible a una función.
Bibliografía.1- https://es.slideshare.net/AdrianaOrdez/formas-indeterminadas50118408 2- http://www.sectormatematica.cl/contenidos/limind.htm 3-