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TRABAJO DE DE LA PRIMERA UNIDAD 1. Dar dos ejemplos aplicando los siguientes puntos a) b) c) d) e) f) g)
Anillos Algebras δ-Algebra Espacion de medidad y Espacio de Probabilidades Producto Tensorial de Algebras. Aleomorfismos. Cuasi probabilidades.
2. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A
B)= 1/4. Determinar:
a) b) c) d) e) 3. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A
B) = 1/5. Determinar:
a) b) c) d) e) f) 4. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? 5. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: a) Las dos sean copas. b) al menos una sea copas. c) Una sea copa y la otra espada. 6. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. 7. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los los chicos han elegido francés como asignatura optativa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés? b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
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8. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. a) b) c) d)
Hacer una tabla ordenando los datos anteriores. Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
9. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: a) b) c) d)
Seleccionar tres niños. Seleccionar exactamente dos niños y una niña. Seleccionar por lo menos un niño. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
10. Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara. 11. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide: a) Probabilidad de que la segunda bola sea verde. b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. 12. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: a) b) c) d)
Juegue sólo al fútbol. Juegue sólo al baloncesto. Practique uno solo de los deportes. No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
13. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? 14. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre? 15. Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide: a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B. b) Probabilidad de que la bola sea blanca.
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16. Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. a) Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? b) Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador? 17. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela? Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía? 18. Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos: a) Con una persona sin gafas. b) Con una mujer con gafas. 19. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide: a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A? 20. Tenemos dos urnas, en la urna A hay 5 bolas blancas y 4 rojas y en la B hay 6 blancas y 3 rojas. Se sacan, sin reemplazamiento, dos bolas de cada urna. Sea X el nº de bolas blancas que salen de la urna A e Y el nº de bolas blancas que salen de la urna B. Calcular: a) Las distribuciones de probabilidad de X e Y. b) La distribución de probabilidad de la variable z = X + Y. 21. Una persona tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde 6 euros. Una persona empieza con 6 euros y dejará de jugar si antes de la 5ª vez pierde todo su dinero o si gana 18 euros, esto es, si tiene 24 euros. Hallar: a) el número de casos en que puede ocurrir la apuesta b) la función de probabilidad c) la esperanza matemática 22. Una variable X aleatoria tiene por función de densidad: x 0 0 0.2 x 0 x 1 0.2 1 x 2 f ( x ) 2 x 3 0.2 x 0.2 0.4 3 x 4 0 4 x
Calcular: a) P(x≤1) b) P(1
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23. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:
C (1 x 2 ) si x (0,3) f ( x) en otro caso 0 a) b) c) d) e)
Hallar el valor de la constante C y la función de distribución acumulativa de probabilidad. Probabilidad de que X esté comprendido entre 0 y 1 Probabilidad de que X sea menor que 1 Probabilidad de que X ses mayor que 2 Calcular E(x) y Var(x)
24. La función de densidad de una variable aleatoria continua es:
ax 2 b si x (0,2) f ( x) en otro caso 0 Sabiendo que P(1/21) 25. El diámetro de un cable eléctrico se considera una v.a. continua X, cuya función de densidad de probabilidad es: si 0 x 1 Cx(1 x) f ( x) en otro caso 0 a) b) c) d)
Calcular el valor de C y dibujar f(x) Determinar la función F(x) y dibujarla. Calcular la media, mediana y varianza de la distribución Calcular P(x<1/2), P(0≤x≤1/4), P(x≥1/3), P(X≤1/2 / 1/3
26. El departamento de economía tiene 8 profesores que se destinan a un mismo despacho. Cada profesor puede estudiar por igual en su casa o en el despacho. ¿Cuántos escritorios deben haber en el despacho para que cada uno tenga por lo menos un escritorio el 90% de las veces? 27. Un sistema electrónico contiene 20 componentes y la probabilidad de que falle un componente individual es de 0.15. Se supone que los componentes fallan intermitentemente uno de otro. a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen 2? ¿Y al menos 1? b) Si uno de ellos se sabe que ya ha fallado, ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos dos? c) Si al menos uno de ellos ha fallado, ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos dos? 28. En una determinada zona geográfica, se pretende introducir un nuevo producto, del que se espera sea pedido por un 0.4% de sus habitantes. Determinar la probabilidad de que, consultados 1000 de estos, dicho producto, sea solicitado: a) b) c) d)
por tres o más por cinco o menos al menos dos ¿Cuántos individuos se espera que soliciten dicho producto?
29. Una secretaria comete, en promedio, 2 errores por página.
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a) Determinar la probabilidad de que en una determinada página no comete ninguno.¿Y de que cometa dos errores? ¿Y más de dos? b) Al cabo de un día la secretaria ha escrito un informe de 50 páginas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya cometido más de 20 errores? ¿Y menos de 10? ¿Y la probabilidad de que cometa solo 3? 30. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo (-2,8). a) Determinar la función de probabilidad y el valor de P(0
e x x 0 f ( x) en otro caso 0
Hallar: a) b) c) d)
La función de distribución La media La varianza La mediana
33. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media 100 y desviación típica 16. Calcular: a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar, tenga una coeficiente inferior a 120 b) La probabilidad de que un individuo elegido al azar, tenga una coeficiente entre 118 y 122 c) La probabilidad de que un individuo elegido al azar, tenga una coeficiente superior a 130 34. Supóngase que las estaturas de 800 estudiantes están normalmente distribuidas con media 170 cm y desviación típica de 5 cm. Hallar el número n de estudiantes con esta estatura: a) Entre 65 y 175 b) Mayor o igual que 178 cm 35. De un instituto, se presentan 180 alumnos y alumnas al examen de acceso a la universidad y se sabe que, de ese centro, suelen aprobar el 81% de los estudiantes presentados. Hallar la probabilidad de que: a) Aprueben todos b) Aprueben menos de 120 c) Suspendan 50 o más 36. Se tira 1000 veces una moneda equilibrada y se pide: a) Probabilidad de que el número de caras que esté comprendido entre 490 y 510 b) Intervalo (a,b) centrado en 500 que verifique que P(a
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37. Se lanzan al aire dos monedas bien construidas. De las siguientes afirmaciones cual, si alguna, te parece la solución correcta a la pregunta ¿cual es la probabilidad de que aparezcan dos caras? Razona la respuesta. a) Puesto que o aparecen dos caras o no aparecen dos caras la probabilidad es ½ b) El número de caras obtenido puede ser 0, 1 ó 2. La probabilidad de 2 cara es 1/3 c) Aunque sean monedas iguales, vamos a considerar que podemos etiquetarl as como "moneda 1” "moneda 2". Teniendo en cuenta ese orden, los posibles resultados son CC, C+, +C y ++. La probabilidad de dos caras, CC, es 1/4 38. Tres grupos de amigos eligen al azar entre tres bares para ir a cenar, sin restricción en el número de grupos por bar. a) Listar los posibles resultados y, considerando que son equiprobables, calcular la probabilidad de los sucesos: A = Primer bar vacío; B = Los dos primeros bares vacíos y C = Cada bar no tiene más de un grupo. b) Hallar las probabilidades de A, B y C si se distribuyen los tres grupos entre n bares, n ≥ 2. 39. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que los dos números que aparecen sean distintos? ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 3 dados los 3 sean distintos? ¿Y si se lanzan n dados, n ≤ 6?
40. Una pareja planifica su familia de acuerdo con una de las siguientes estrategias y bajo la hipótesis de que el nacimiento de una niña o un niño son igualmente probables. a) Tener tres hijos. b) Tener niños hasta que nace la primera hija o hasta que tenga tres, lo que se produzca antes. Después parar. c) Tener niños hasta que tenga uno de cada sexo o hasta tener tres, lo que se produzca antes. Después parar. Sea Bi el suceso consistente en que han nacido “i” niños y sea C el suceso consistente en que hay más niñas que niños. Determinar P (B1) y P (C) en cada uno de las tres estrategias anteriores. 41. Supóngase que tres corredores del equipo A y tres del equipo B participan en una carrera. Si los seis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que los tres corredores del equipo A lleguen en primero, segundo y tercer lugar, y los tres corredores del equipo B lleguen en cuarto, quinto y sexto lugar? 42. Una urna contiene 100 bolas, de las cuales r son rojas. Supóngase que las bolas son seleccionadas al azar de una en una y sin reemplazo. Determinar: a) La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja. b) La probabilidad de que la quincuagésima bola extraída sea roja. c) La probabilidad de que la última bola extraída sea roja. 43. Muestreos con y sin reemplazamiento a) Muestreo con reemplazamiento. Una moneda bien construida se lanza diez veces. Calcular la probabilidad de los sucesos: A = Se obtienen exactamente tres caras, y B = Se obtienen no más de tres caras. b) En el caso anterior, obtener la probabilidad de observar exactamente r caras en n lanzamientos. c) Muestreo sin reemplazamiento. En una clase a la que asisten 15 chicos y 30 chicas se eligen al azar a 10 estudiantes. Calcular las probabilidades de los sucesos: A = Se eligen exactamente tres chicos, y B = Se eligen no más de tres chicos.
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d) En el caso anterior, obtener la probabilidad de elegir exactamente r chicos entre los n estudiantes seleccionados si en la clase hay R chicos y N ¡ R chicas. 44. K personas se sientan aleatoriamente en n asientos (n > k), a) Si los asientos están situados en la ¿cuál es la probabilidad de que ocupen k asientos contiguos en la fila? b) Si los asientos están situados en círculo, ¿cuál es la probabilidad de que ocupen k asientos contiguos del círculo? c) Si k personas se sientan aleatoriamente en una fila de 2k asientos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya dos personas sentadas en asientos contiguos? 45. Lotería Primitiva. En la lotería primitiva cada boleto consiste en elegir seis números del 1 al 49. El día del sorteo se obtienen los seis números ganadores más un séptimo conocido como complementario. Obtienen el primer premio los boletos cuyos seis números coinciden con los seis números ganadores, y obtienen el segundo premio si cinco de los números del boleto son números ganadores, y el otro coincide con el complementario. Calcular las probabilidades de obtener el primer o el segundo premio si jugamos un boleto de la lotería primitiva. 46. Tres caballos A; B y C intervienen en una carrera. El caballo A tiene doble probabilidad de ganar que el caballo B, y este último tiene doble probabilidad de ganar que C. Calcular las probabilidades que tienen de ganar cada uno de los tres caballos. 47. Se sabe que entre los 120 estudiantes de un colegio mayor hay 60 que estudian Biológicas (B), 50 que estudian Farmacia (F) y 20 que cursan ambos estudios simultáneamente. Determinar la probabilidad de que uno de ellos escogido al azar estudie Biológicas o Farmacia, y la probabilidad de que no estudie ambas simultáneamente. 48. De entre los 96 análisis de glucosa en sangre realizados durante un día en un laboratorio, se observó que todos los resultados estaban comprendidos entre 50 y 350 mg/ml. En 89 de esos análisis la cantidad de glucosa no era superior a 190 mg/ml y en 21 de ellos era superior a 120 mg/ml. Determinar: a) La probabilidad de que el resultado de uno de esos análisis estᶠentre 120 y 190 mg/ml. b) La probabilidad de que el resultado de uno de esos análisis estᶠentre 50 y 120 mg/ml. c) La probabilidad de que el resultado de uno de esos análisis sea mayor que 190 mg/ml. 49. Se sabe que la probabilidad de que un matemático encuentre trabajo nada más acabar la carrera es 0.4, para un ingeniero en informática esa probabilidad es 0.6. Si la probabilidad de que ambos encuentren trabajo es 0.24, calcular las probabilidades de que: a) Sólo encuentre trabajo el informático. b) Al menos uno de los dos encuentre trabajo. c) Ninguno encuentre trabajo. 50. El examen de una asignatura consta de dos partes, una teórica y otra practica, y se sabe que el 20 % de los estudiantes presentados aprueban ambas, mientras que el 70 % aprueba el examen teórico y el 40 % el práctico. Determinar la probabilidad de que un estudiante escogido al azar entre los presentados: a) Suspenda el teórico. b) Apruebe el práctico si se sabe que es de los que han aprobado el teórico. c) Apruebe el teórico si se sabe que es de los que han aprobado el práctico. 51. En cierta población, donde la mitad son hombres y la otra mitad mujeres, el 10 % son zurdos. Si el 6 % son hombres zurdos, ¿qué porcentaje hay de mujeres diestras?
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52. Juan y Marta son poco puntuales. Cuando quedan juntos a una hora, la probabilidad de que Juan sea puntual es 0.4, mientras que la probabilidad de que Marta llegue tarde es 0.55. Sabiendo que la probabilidad de que al menos uno de los dos llegue a la hora acordada es 0.7, calcular la probabilidad de que los dos sean puntuales. 53. Juan (el del ejercicio anterior) ha quedado ahora con su hermano David. La probabilidad de que los dos sean puntuales es 0.1 y la de que los dos lleguen tarde es 0.2. Calcular la probabilidad de que David sea puntual. 54. En una permutación aleatoria de los enteros 1; 2; … ; n se dice que hay coincidencias si al menos uno de los números está en el sitio correcto. a) Calcula la probabilidad de coincidencias para n = 2; 3 y 4. Demostrar que, en general, esa probabilidad es () b) ¿Cuál es el límite de la probabilidad anterior cuando n tiende a infinito? 55. Sean * + tres sucesos arbitrarios, con probabilidades P(A1), P(A2) y P(A3) respectivamente. Calcular la probabilidad de que ocurra exactamente uno de ellos. 56. Se lanza un dado bien construido dos veces (lo cual es probabilísticamente equivalente a lanzar dos dados bien construidos). Sabiendo que el primer dado ha sacado un 3 o menor, ¿Cuál es la probabilidad condicionada de que la suma de los dos números sea impar? 57. Se lanza una moneda bien construida tres veces. Hallar: a) La probabilidad condicionada de que el primer lanzamiento resulte cara, sabiendo que hubo exactamente una cara (Trata de adivinar la respuesta primero, y entonces usa la definición de probabilidad condicionada). b) La probabilidad condicionada de que hubiera exactamente una cara, sabiendo que en el primer lanzamiento salió cara. c) La probabilidad condicionada de tres caras, dado que hay al menos dos caras. d) La probabilidad condicionada de que salgan tres caras, dado que los dos primeros lanzamientos resultaron dos caras. 58. Piensa acerca de lo que significan las probabilidades condicionadas siguientes y decide los valores que deber¶³an tener. Entonces calcúlalas usando la definición de probabilidad condicionada. a) b) c) d) e) f)
P (B / B) P (B / Bc) P (B / Ω)
P (B / ϕ). P (B/ A) cuando A es un subconjunto de B. P (B / A) cuando B es un subconjunto de A.
59. Supongamos que P (B / A) = P (B). ¿Debe ser P (A / B) = P (A)? ¿Por qué? Suponer que las probabilidades P(A) y P (B) son mayores que cero. 60. Se extraen tres cartas de una baraja francesa (52 cartas), de una en una y sin reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que: a) b) c) d) e) f)
Todas sean rojas (i.e. son corazones o diamantes) Las dos primeras sean negras y la tercera sea roja. La primera y la tercera sean negras y la segunda sea roja La segunda y la tercera sean negras y la primera sea roja Exactamente una sea roja Exactamente una sea negra. ( No es necesario realizar ningún calculo si se sabe la respuesta e
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g) La primera es un as y la segunda también h) La primera no es un as y la segunda sí i) La segunda es un as.
61. En una fábrica de tornillos hay cuatro máquinas trabajando en paralelo. La máquina 1 produce el 35 % de los tornillos, y solo el 5 % de ellos son defectuosos. Similarmente las máquinas 2, 3 y 4 producen el 30 %, el 20 % y el 15 % del total, y sus porcentajes de tornillos defectuosos son 4 %, 2 % y 2 % respectivamente. Calcular las probabilidades de que un tornillo elegido al azar entre los fabricados por esas máquinas sea: a) b) c) d)
Defectuoso y fabricado por la maquina i (i = 1; 2; 3; 4). Defectuoso No defectuoso. Fabricado por la máquina 2 y no defectuoso.
62. El 28 % de los Republicanos, el 75 % de los Demócratas y el 42 % de los independientes están a favor del candidato A. Además, el 40 % de los votantes son Republicanos, el 43 % Demócratas y el 17 % independientes. ¿Qué proporción de los votantes están a favor del candidato A? 63. Se compran tres ordenadores iguales para el aula de informática, sabiendo que la probabilidad de que falle algo dentro del período de garantía es p en cada ordenador. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca al menos un fallo durante la garantía? b) ¿Para qué valor de p esa probabilidad es exactamente 0.5?
64. Esquema de urna de Pólya. Una urna contiene, inicialmente, cierta combinación de bolas azules y blancas. Se extrae una bola, se anota su color y entonces se devuelve a la urna y se añade otra bola del mismo color a la urna. De esta forma, la extracción de una bola aumenta ligeramente la probabilidad de que la siguiente sea del mismo color. Supongamos que la urna contiene originalmente tres bolas azules y siete bolas blancas. Sean los sucesos A i = La i-ésima extracción sale bola azul, y B i = la i-ésima extracción es blanca. Hallar las probabilidades siguientes: a) b) c) d)
( ) ( ) comparar con el apartado a ( )
P (A2). Compara con P (A 1). (Sugerencia para P (A 2): A2 es la unión de dos sucesos disjuntos ( ) ( ).
65. En una determinada ciudad, el 80 % de los votantes del PSOE, el 45 % de los del PP, y el 55 % de los demás, están de acuerdo con una determinada decisión del Gobierno. En las últimas elecciones, el 35 % de los electores de esa ciudad votaron PSOE y el 40 % votaron PP. Determinar: a) La proporción de electores que está de acuerdo con la decisión del Gobierno. b) La probabilidad de que un elector, que dice estar de acuerdo con la decisión del Gobierno, haya votado al PSOE en las últimas elecciones. 66. Para la fabricación de una partida de piezas se utilizaron 3 máquinas, A, B y C, con las que se fabricaron el 20 %, 30 % y 50 % de las piezas respectivamente. Los porcentajes de piezas defectuosas que tales máquinas producen son, respectivamente, 1 %, 2 % y 3 %. Determinar la probabilidad de que una pieza defectuosa haya sido producida por la máquina B. 67. Un test para la detección precoz del cáncer de mama tiene un 2 % de falsos positivos y un 1 % de falsos negativos. Si este tipo de cáncer afecta a una mujer de cada 5,000 en una determinada
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población, determinar la probabilidad de que una mujer de esa población, a quien el test le ha dado positivo, tenga cáncer de mama. 68. Un sistema de detección de cerraduras de seguridad defectuosas da lugar a un 1 % de falsos positivos (cerraduras aparentemente defectuosas que resultan funcionar correctamente) y a un 3 % de falsos negativos (cerraduras aparentemente bien fabricadas que resultan no funcionar bien). Determinar la probabilidad inicial mÍnima de que una cerradura sea defectuosa para que, si el sistema la señala como defectuosa, la probabilidad ¯nal de que realmente lo sea resulte mayor que 0.99. 69. Los pacientes de los que se sospecha una enfermedad E son sometidos dos veces consecutivas a un mismo test (pruebas condicionalmente independientes) del que se sabe que da positivo al 98 % de las personas que padecen E y al 6 % de las que no padecen E. Determinar la probabilidad inicial máxima de que un paciente tenga E para que su probabilidad final, si ambas pruebas resultan negativas, sea menor que 0.01. 70. Se estima que el 27 % de los estudiantes de una Universidad están en el primer curso y que, de ellos, un 60 % no ha nacido en la ciudad. Si el 25 % de los estudiantes de primero, no nacidos en la ciudad y que viven en pisos de estudiantes son de Derecho, y la probabilidad de que un estudiante de la Universidad elegido al azar sea de primero de Derecho, no haya nacido en la ciudad y viva en un piso de estudiantes es 0.02, determinar la probabilidad de que un estudiante de primero, que no ha nacido en la ciudad, viva en un piso de estudiantes. 71. Si en un examen de respuesta múltiple con k respuestas posibles un alumno conoce la respuesta correcta con probabilidad p y marca una respuesta al azar con probabilidad 1- p, determinar la probabilidad de que haya contestado al azar si su respuesta es correcta.
72. Demostrar la función generatriz de momentos de las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias discretas (mínimo 5 distribuciones) y de las variables aleatorias de las variables continuas (mínimo 5 distribuciones). 73. Demostrar la función característica de las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias discretas (mínimo 5 distribuciones) y de las variables aleatorias de las variables continuas (mínimo 5 distribuciones)
