TRABAJO FASE 2: TRABAJO TR ABAJO COLABORATIVO COLABORATIVO 2.
CALCULO MULTIVARIADO 203057A_360
GRUPO 203057_27
ESTUDIANTE WILLIAM ALEXANDER GIRALDO VILLADA CODIGO 0050!"6
TUTOR JOSE ADEL BARRERA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA # A DISTANCIA $UNAD% ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS& TECNOLOGIA E INGENIERIA INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES BOGOTA D.C. 207
1. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales . 11 , 22 , 12 = 21 . X
z =sin
c. a.
1 (Derivo
sin
b.
derivando
2
−1 3 y
x
2
la primera variable con respecto a x)
−1 3 y
x
Y
arcsin
3 y
x
2
11 (Se
halla la derivada de orden superior, se deriva el resultado anterior con respecto a x) 3 y −1 3 y arcsin
x
derivando
2
c. 2 (Segunda
sin
x
(
Derivo
2
x
) '
2
3 y
sin
−1
(
3 y
x
d 1 ( ) dx x 2
2
) '
3 y
d −2 x dx
Aplico la derivada de una
d ( X a ) =a . xa−1 dx
potencia
3 y
derivando
3 y
x
derivada con respecto a Y del resultado anterior)
−1 3 y 2
sin
d −2. x −2−1 dx
3 y
d −2 x −3 dx
3 y (−2
1
) x 3
3 y −
2
¿ x 3
6 y
x
3
uedando como resultado sin
d.
−1 3 y
x
2
derivando
sin
−1 6 y
x
3
(Segunda derivada de orden superior con respecto a Y del resultado anterior) 22
sin
−1 6 y
x
3
derivando
sin
−1
(
6 y
x
3
) '
(
Derivo
6 y 3
x
6 y
d 1 ( ) dx x 3
6 y
d −3 x dx
Aplico la derivada de una
d ( X a ) =a . xa−1 dx
potencia
6 y
) '
d −3. x−3−1 dx
6 y
d −3 x−4 dx
6 y (−3
1
) 4 x
6 y −
3
¿ 4 x
18 y
x
4
uedando como resultado sin
−1 6 y
x
derivando
3
sin
−1 18 y
x
4
e. D12z ( !s igual al resultado de la primera derivada con respecto a " (a) arcsin
3 y
x
2
, derive con respecto a Y.
uedando como resultado derivamos con respecto a Y teniendo en cuenta que la 3 y 6 y es 3 derivada de x 2 x arcsin
f.
3 y
x
2
derivando
arcsin
6 y
x
3
D21z ( !s igual al resultado de la primera derivada con respecto a Y (c) sin
sin
−1 6 y
x
, derive con respecto a x.
3
−1 6 y
x
3
derivando
arcsin
6 y
x
3
#eniendo en cuenta lo anterior las derivadas parciales de segundo orden son iguales D12z=D21z D12z=
D21z=
arcsin
arcsin
6 y
x
3
6 y
x
3
2. Calcule la derivada direccional de la $unci%n en el punto dado en la direcci%n del vector v 2
2
f ( x , y ) =ln ( x + y ) ( 2,1 ) , v [− 1,2 ] •
&allamos el vector unitario
Magnitud uv = ⃗
•
V ||⃗v||
||⃗v||= √ −12+ 22 uv = ⃗
−1 i, 2 j
√ 5
||⃗v||= √ 5 uv = ⃗
−1 i
√ 5
&allar las derivadas parciales egla
'
2 j
√ 5
=cos i + sen j
f ' ( x ) f ( x )
ln f ( x )=
f ( x , y ) =ln ( x + y 2
fx ( x , y )=
2
)
∂ f 2 x = 2 2 ∂ x x + y
∂f 2 y fy ( x , y )= = 2 2 ∂ y x + y
&allamos la derivada direccional
•
Duf ( x , y )= f ( x )∗cosθ + f ( y )∗sinθ 2 x 2 y Duf ( x , y )= 2 2 ∗cosθ + 2 2∗ sinθ x + y x + y
&allamos la derivada direccional en el punto (2,) , reempla*amos+
•
Duf ( 2,1 )=
cosθi=
2 (2 ) 2
(2 ) +(1 )
−1
Duf ( 2,1 )=
∗cosθi +
senθj =
√ 5
Duf ( 2,1 )=
2
4 ∗−1 5
√ 5
+
2 ( 1)
(2 )2+( 1)2
−2
∗sinθj
Coordenadas del vector unitario
√ 5
2 ∗−2 5
Duf ( 2,1 )=
√ 5
−4 √ 5 25
+(
−4 √ 5 25
)
−8 √ 5 25
-. &allar la ecuaci%n del plano tangente hallar una ecuaci%n sim/trica para la recta normal a la super$icie en el punto dado
a) •
x
y
z
-
-
-
0gualamos la ecuaci%n dada+ fx ( x , y , z )= x + y + z −9
x + y + z =9 ( 3,3,3 )
•
&allamos las derivadas parciales+ fx ( x , y , z )=1
fy ( x , y , z )=1
fz ( x , y , z )=1
eempla*amos en cada uno de los puntos
•
fx ( 3,3,3 ) =1
fy ( 3,3,3 )=1
fz ( 3,3,3 ) =1
!cuaci%n del plano tangente en el punto
•
fx ( x − x 0 ) =1 1 ( x −3 )
1
fy ( y − y 0 )= 1 1 ( y −3 )
1
fz ( z − z0 ) =1
1 ( z − 3 )
x −3 + y −3 + z −3 x + y + z −9= 0 •
&allar la ecuaci%n de la recta normal
Super$icie x + y + z =9 punto = ( 3,3,3 ) •
0gualamos la ecuaci%n dada+ fx ( x , y , z )= x + y + z −9
•
&allamos el gradiente ∇ f ( x , y , z ) =fx ( x , y , z ) i + fy ( x ,
•
y , z ) j + fz ( x , y , z ) k
Derivamos fx = yz , fy = xz , fz= xy
x
y
z0
-
-
-
∇ f ( x , y , z ) = yzi + xzj + xyk Punto = ( 3,3,3 )
•
eempla*amos en los puntos
∇ f ( 3,3,3 ) =( 3 )( 3 i )+( 3 )( 3 j )+( 3 )( 3 k )
∇ f ( 3,3,3 )= 9 i + 9 j + 9 k
x − x 0 y − y 0 •
ecta ormal x − 3 y −3 z + 3 9
=
9
=
9
∇ f
=
∇ f
=
z+ z0 ∇ f
3. 4tilice el m/todo de los multiplicadores de 5a6range para encontrar los extremos con restricciones de la $unci%n dada. 2
f ( x , y )= x + y
2
su7eta 2 1 8
g(x,) 0gualamos la restricci%n
•
g ( x , y )=2 x + y − 5= 0 f
&allamos el gradiente
•
∇ f ( x , y )=2 y i+ 2 xj
&allamos λ del gradiente
•
g ( x , y )=2 x + y −5= 0
λ ∇ g =2 λ i + λ j
0gualamos el gradiente de
•
restricci%n ∇ f ( x , y )=2 y i + 2 xj
)
f
con el gradiente de
λ
por 9ltimo la
λ ∇ g =2 λ i + λ j
2 y =2 λ
2 ¿ 2 x = λ
3 ¿ 2 x + y −5 =0 •
Del sistema de ecuaciones anterior despe7amos 2 y =2 λ
•
Sustituimos λ 2 x = λ
•
λ =
Sustituimos 2 x + y −5=0
λ
en ecuaci%n )
2 y 2
en ecuaci%n 2) 2 x =
2 x
2 y 2
2 x = y
en ecuaci%n -) y + y −5 =0
2 y =5
y =
5 2
&allamos el valor de
•
x
en ecuaci%n 2)
5 y = 2
2 x = y
5 2 x = 2
5 2 x = 2
:ara hallar el m;ximo tomamos la $unci%n
fx
( ) 5 5
,
4 2
5
2
5
2
=( ) ∗( ) 4 2
25 ∗25 16 4
reempla*ando y x =
5 4
f ( x , y )
625
".765
64
8. !n un experimento se encontr% la correspondencia dada en la tabla de temperatura (en < ) la viscosidad cinem;tica (en centisto=es) de un aceite con cierto aditivo. a. !ncuentre la recta de m>nimos cuadrados 1 b. 4til>cela para estimar la viscosidad del aceite en 3? @?
2?<
3?<
@?<
A?<
v
22 ?
2? ?
A ?
B?
?? < 8?
2? < -8