UC
ESTATICA Universidad Autónoma Juan Misael Saracho
Facultad de cienci ciencias as y tecnol tecnología ogía Carrera de ingeniería civil
ESTATICA II
Biet
ITE!"ATES# GEO
-DELGADO LLANOS ALISSON
Ing% civil
-SUGAMY AYALA -NEVER JURADO -ZDENKA CARRASCO ORREZ -MARIA ESHER ARANA Índice
Tema# T"A*AJ& nº pagina FIA+ ,E ESTATICA TABLA DE CONTENIDO
ING. OSCAR CHAVEZ
Ing% &SCA" C'A(E)
!"U-& Página 1. /
ESTATICA ESTATICA I 1.- INTRODUCCION A LA ESTA ESTATICA TICA Las leyes de Newton………………………………………………………………6 Prn!"os de la Est#t!a………………………………………… Est#t!a………………………………………………………….$ ……………….$ %&er'as y (e!tores………………………………………………………………..) E*&l+ro de la Part,!&la…………………………………………………………11 oento de &na %&er'a y Par………………………………………………….11 E*&l+ro del C&er"o R,/do……………………………………………………10 R,/do……………………………………………………10 Da/raa de C&er"o R,/do…………………………………………………….1 0.- INTRODUCCION AL ANALISIS DE ESTRUCTURAS Clas2!a!3n Clas2!a!3n de las Estr&!t&ras……………………………………… Estr&!t&ras………………………………………………..14 ………..14 T"os de A"oyos…………………………………………………………………..16 Clas2!a!3n de las Car/as y T"os de Car/as……………………………..1) Centro de 5raedad y res<ante de las Car/as Dstr+&das……………00 .- (I5AS ESTATICAENTE DETERINADAS De2n!3n……………………………………… De2n!3n……………………………………………………………………… …………………………………...04 …...04 5rado Est#t!o………………………………………… Est#t!o……………………………………………………………………..06 …………………………..06 Esta+ldad 5eo7tr!a…………………………………… 5eo7tr!a…………………………………………………………..0) ……………………..0) Rea!!ones en los A"oyos………………………………………………………0) %&er'as Internas……………………………………………… Internas…………………………………………………………………..8 …………………..8 7todo "ara la Deterna!3n de %&er'as Internas en el Plano…………9 Plano…………9 Rela!3n Car/a-Cortante-oento Car/a-Cortante-oento %le!tor…………………………………..94 %le!tor…………………………………..94 Da/raa!3n………………………………………………………………………96 (/as 5er+er………………………………………………………………………..9) (/as Co"&estas……………………………………………………………......9) (/as: Car/as y A"oyos In!lnados……………………………………………48 A"l!a!ones……………………… A"l!a!on es……………………………………………………… ………………………………………………..41 ………………..41 9.- CERC;AS ESTATICAENTE DETERINADAS De2n!3n……………………………………… De2n!3n……………………………………………………………………… …………………………………..44 …..44 5rado Est#t!o E
%&er'as Internas……………………………………………………………………4> 7todos de los N&dos…………………………………………………………….4) ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA ESTATICA I 1.- INTRODUCCION A LA ESTA ESTATICA TICA Las leyes de Newton………………………………………………………………6 Prn!"os de la Est#t!a………………………………………… Est#t!a………………………………………………………….$ ……………….$ %&er'as y (e!tores………………………………………………………………..) E*&l+ro de la Part,!&la…………………………………………………………11 oento de &na %&er'a y Par………………………………………………….11 E*&l+ro del C&er"o R,/do……………………………………………………10 R,/do……………………………………………………10 Da/raa de C&er"o R,/do…………………………………………………….1 0.- INTRODUCCION AL ANALISIS DE ESTRUCTURAS Clas2!a!3n Clas2!a!3n de las Estr&!t&ras……………………………………… Estr&!t&ras………………………………………………..14 ………..14 T"os de A"oyos…………………………………………………………………..16 Clas2!a!3n de las Car/as y T"os de Car/as……………………………..1) Centro de 5raedad y res<ante de las Car/as Dstr+&das……………00 .- (I5AS ESTATICAENTE DETERINADAS De2n!3n……………………………………… De2n!3n……………………………………………………………………… …………………………………...04 …...04 5rado Est#t!o………………………………………… Est#t!o……………………………………………………………………..06 …………………………..06 Esta+ldad 5eo7tr!a…………………………………… 5eo7tr!a…………………………………………………………..0) ……………………..0) Rea!!ones en los A"oyos………………………………………………………0) %&er'as Internas……………………………………………… Internas…………………………………………………………………..8 …………………..8 7todo "ara la Deterna!3n de %&er'as Internas en el Plano…………9 Plano…………9 Rela!3n Car/a-Cortante-oento Car/a-Cortante-oento %le!tor…………………………………..94 %le!tor…………………………………..94 Da/raa!3n………………………………………………………………………96 (/as 5er+er………………………………………………………………………..9) (/as Co"&estas……………………………………………………………......9) (/as: Car/as y A"oyos In!lnados……………………………………………48 A"l!a!ones……………………… A"l!a!on es……………………………………………………… ………………………………………………..41 ………………..41 9.- CERC;AS ESTATICAENTE DETERINADAS De2n!3n……………………………………… De2n!3n……………………………………………………………………… …………………………………..44 …..44 5rado Est#t!o E %&er'as Internas……………………………………………………………………4> 7todos de los N&dos…………………………………………………………….4) ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA 7todos de las Se!!ones………………………………………………………..68 N&dos Ba?o Cond!ones Es"e!ales de Car/a………………………………6 Cer!=as Co"&estas……………………………………………………………..6 Cer!=as Co"le?as……………………………………………………………….69 Bastdores………………………………… Bastdores…………………………………………………………………… ……………………………………….69 …….69 A"l!a!ones……………………………………………………………………….64 4.- PROPIEDADES 5EOETRICAS DE %I5URAS PLANAS @rea de &na S&"er2!e…………………………………………… S&"er2!e…………………………………………………………..6$ ……………..6$ Prer oento de @rea………………………………………………… @rea………………………………………………………..6> ……..6> Centro de 5raedad………………………………………………………………6) Centrode de &na S&"er2!e……………………………………………………$8 Se/&ndo oento de @rea…………………………………………………….$8 Teorea de los E?es Paralelos………………………………………………...$1 Prod&!to de Iner!a………………………………………………………………$1 E?es In!lnados……………………………………………………………………$ E?es Prn!"ales de Iner!a……………………………………………… Iner!a……………………………………………………..$4 ……..$4 oento Polar de Iner!a………………………………………………………$4 ESTATICA II 1.- PORTICOS ESTATICAENTE DETERINADOS De2n!3n……………………………………… De2n!3n……………………………………………………………………… …………………………………$$ …$$ 5rado Est#t!o………………………………………… Est#t!o……………………………………………………………………$$ …………………………$$ Esta+ldad 5eo7tr!a…………………………………… 5eo7tr!a…………………………………………………………$> ……………………$> Rea!!ones en los A"oyos…………………………………………………….$> P3rt!os S"les y Co"&estos……………………………………………..>8 %&er'as Internas……………………………………………… Internas………………………………………………………………….>1 ………………….>1 7todos "ara la Deterna!3n de %&er'as Internas en el Plano……..>1 Da/raa de %&er'as Internas………………………………………………..)$ Internas………………………………………………..)$ (alores #<os "or Eleento………………………………………………)) Eleentos: A"oyos y Car/as In!lnadas……………………………………)) A"l!a!ones………………………… A"l!a!ones………………………………………………………… ……………………………………………. ……………. 188 0.- CABLES De2n!3n……………………………………… De2n!3n……………………………………………………………………… ……………………………………18 ……18 Partes de &n Ca+le………………………………………………………………..184 %&n!&lardad %&n!&lard ad de las Car/as…………………………………………… Car/as…………………………………………………….184 ……….184 Teorea del Ca+le………………………………………………………………..184 Car/as Con!entradas y Dstr+&das………………………………………….186 ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA Peso Pro"o………………………………………………………………………..119 Catenara……………………………………………………………………………114 E!&a!ones %&ndaentales…………………………………………………….114 Tra!!3n #<a………………………………………………………………….11) A"l!a!ones……………………………………………………………………….11) .- ARCOS ESTATICAENTE DETERINADOS (/a C&ra…………………………………………………………………………100 De2n!3n de Ar!o……………………………………………………………….100 Partes de &n Ar!o………………………………………………………………..109 T"os de Ar!o…………………………………………………………………….104 5rado Est#t!o……………………………………………………………………106 Esta+ldad 5eo7tr!a…………………………………… 5eo7tr!a…………………………………………………………10> ……………………10> Ar!o Ideal………………………………………………… Ideal………………………………………………………………………….10) ……………………….10) Rea!!ones en los A"oyos…………………………………………………….10) %&er'as Internas y s&s Da/raas……………………………………………18 Da/raas……………………………………………18 P3rt!os !on Eleentos C&ros………………………………………………19 A"l!a!ones………………………………………………………………………199 9.- LINEAS DE IN%LUENCIA EN ESTRUCTURAS ESTATICAENTE DETERINADAS Introd&!!3n……………………………… Introd&!!3n……………………………………………………………… ………………………………………..196 ………..196 Con!e"to de L,nea de In2l&en!a……………………………………………….196 Utldad de la L,nea de In2l&en!a……………………………………………....196 In2l&en!a……………………………………………....196 L,neas de In2l&en!a en (/as Est#t!aente Deternadas……………..196 (alores #<os………………………………………………………………….19$ A"l!a!ones………………………………………………………………………..19> 4.- INTRODUCCION A LOS ETODOS ENER5ETICOS Introd&!!3n……………………………… Introd&!!3n……………………………………………………………… ……………………………………….148 ……….148 Ener/,a Poten!al y E*&l+ro…………………………………………… E*&l+ro…………………………………………………148 ……148 Resol&!3n de Estr&!t&ras……………………………………………………..141 Da/raa de %&er'as Internas…………………………………………………140 An#lss y Co"ara!3n !on otros 7todos………………………………...140 A"l!a!ones………………………………………………………………………14
ESTATICA I
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA INTRODUCCION La Estática estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a diversas fuerzas. Al tratar la Tercera Ley de Newton, se menciona la palabra reacción al resumirse esa Ley en la epresión! "A toda acción corresponde una reacción i#ual y opuesta$. %e dice que no se trata de dos fuerzas que se equilibran porque no son fuerzas que obren sobre el mismo cuerpo, sin embar#o, &ay ocasiones en que las fuerzas efectivamente están en equilibrio. En Estática se usa con frecuencia la palabra "reacción$ al &ablar de cuerpos en equilibrio, como cuando se coloca un peso en una vi#a puesta &orizontalmente. &orizontalmente. 'ero además de tener en consideración en este factor, &ay que tomar en cuenta que el efecto de la fuerza sobre el cuerpo r(#ido de pende tambi)n de su punto de aplicación, esto se refiere a los momentos de las fuerzas con respecto a un punto, considerando que la suma de todos estos debe de ser i#ual a cero, deben de estar en "equilibrio$ para que se cumpla lo antes mencionado. La Estática es la parte de la f(sica que estudia los cuerpos sobre los que act*an fuerzas y momentos cuyas resultantes son nulas, de forma que permanecen en reposo o en movimiento no acelerado. El ob+eto de la estática es determinar la fuerza resultante y el momento resultante de todas las fuerzas que act*an sobre un cuerpo para poder establecer sus condiciones de equilibrio. El equilibrio puede ser de tres clases! estable, inestable e indiferente. %i un cuerpo está suspendido, el equilibrio será estable si el centro de #ravedad está por deba+o del punto de suspensión inestable si está por encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. %i un cuerpo está apoyado, el equilibrio será estable cuando la vertical que pasa por el centro de #ravedad cai#a dentro de su base de sustentación inestable cuando pase por el l(mite de dic&a base, e indiferente cuando la base de sustentación sea tal que la vertical del centro de #ravedad pase siempre por ella.
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ESTATICA
LAS LEES DE NETON Las leyes de Newton, tambi)n conocidas como leyes del movimiento de Newton,- son tres principios a partir de los cuales se eplican la mayor parte de los problemas planteados por la mecánica, en particular, particular, aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. evolucionaron los conceptos básicos de la f(sica y el movimiento de los cuerpos en el universo. /onstituyen los cimientos no sólo de la dinámica clásica sino tambi)n de la f( sica clásica en #eneral. Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse como aiomas, Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y eperimentos cuantitativos ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su validez r adica en sus predicciones... La validez de esas predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de dos si#los.0 En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos! 'or un lado, constituyen, +unto con la transformación de 1alileo, la base de la mecánica clásica 'or otro, al combinar estas leyes con la Ley de la #ravitación universal, se pueden deducir y eplicar las Leyes de 2epler sobre el movimiento planetario. As(, las Leyes de Newton permiten eplicar tanto el movimiento de los astros, como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser &umano, as( como toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas.
Prera ley de Newton o Ley de la ner!a La primera ley del movimiento rebate la idea aristot)lica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una 2&er'a . Newton epone que! Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectil(neo a no ser que sea obli#ado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre )l.
Se/&nda ley de Newton o Ley de 2&er'a 2&er'a La se#unda ley del movimiento de Newton dice que! ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre se#*n la l(nea recta a lo lar#o de la cual aquella fuerza se imprime. Esta ley eplica qu) ocurre si sobre un cuerpo en movimiento 3cuya masa no tiene por qu) ser constante4 act*a una fuerza neta! la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios eperimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. /onsecuentemente, &ay relación entre la causa y el efecto, la fuerza y la aceleración están relacionadas. 5ic&o sint)ticamente, la fuerza se define simplemente en función del momento en que se aplica a un ob+eto, con lo que dos fuerzas serán i#uales si causan la misma tasa de cambio en el momento del ob+eto.
Ter!era ley de Newton o Ley de a!!3n y rea!!3n ! /on toda acción ocurre siempre una reacción i#ual y contraria! quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son i#uales y diri#idas en sentido opuesto. La tercera ley de Newton es completamente ori#inal 3pues las dos primeras ya &ab(an sido propuestas de otras maneras por 1alileo, 6oo7e y 6uy#ens4 y &ace de las leyes de la mecánica un con+unto ló#ico y completo. Epone que por cada fuerza que act*a sobre un cuerpo 3 empuje 4, este realiza una fuerza de i#ual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produ+o. 5ic&o de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de i#ual ma#nitud y de dirección, pero con sentido opuesto. Este principio presupone que la interacción entre dos part(culas se propa#a instantáneamente en el espacio 3lo cual requerir(a velocidad infinita4, y en su formulación ori#inal no es válido para fuerzas electroma#n)ticas puesto que estas no se propa#an por el espacio de modo instantáneo sino que lo &acen a velocidad finita 8c8. Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, se#*n sean sus masas. 'or lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la se#unda ley. 9unto con las anteriores leyes, )sta permite enunciar los principios de conservación del &in'a& ( del momento an#ular. •
PRINCIPIOS DE LA ESTATICA
Los principios de la estática son el principio del paralelo#ramo, el del equilibrio, de la transmisibilidad y de acción y reacción. La eplicación de cada uno de los principios la voy a dar a continuación!
Prn!"o del "aralelo/rao! 5os fuerzas que act*an sobre el mismo punto en un cuerpo r(#ido realizan la misma acción que una fuerza resultante, que act*a sobre el mismo punto y se determina formando un paralelo#ramo con los vectores de las fuerzas como lados. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
'rincipio del paralelo#ramo
Prn!"o del e*&l+ro para que un cuerpo r(#ido se encuentre en equilibrio es condición necesaria y suficiente que la resultante sea nula. 'ara que la resultante lo sea todas las componentes de la misma deben ser :. Prn!"o de la transs+ldad este principio indica que una fuerza que act*a sobre un cuerpo r(#ido es equivalente a otra del mismo módulo que act*a sobre otro punto del cuerpo r(#ido sobre la misma recta de acción. Prn!"o de a!!3n y rea!!3n toda acción implica la eistencia de una reacción. Esta reacción tiene la misma intensidad pero sentido contrario.
'rincipio de
acción y reacción
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%UERAS (ECTORES
%&er'as
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ESTATICA Con!e"to de %&er'a Aqu( definimos a la fuerza en función de la aceleración que eperimente un cuerpo patrón dado, cuando se le coloca en un ambiente adecuado. ;na fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro. Está caracterizada por su punto de aplicación, su ma#nitud y su dirección3es un vector4. La dirección de una fuerza se define por su l(nea de acción y su sentido. La l(nea de acción es una l(nea infinita a lo lar#o de la cual act*a la fuerza. %e caracteriza por el án#ulo que forma con cierto e+e fi+o. La fuerza se representa mediante un se#mento de esta l(nea.
epresentación #ráfica de la
T"os de %&er'a %&er'a 5rata!onal ! %on las fuerzas de interacción entre dos cuerpos debido a sus masas 'or e+emplo si tenemos dos cuerpos de masas m, m= respectivamente, separadas por una distancia "r$ la ma#nitud de la fuerza de atracción es!
%&er'a As!ensonal es conocida como fuerza de empu+e, es e+ercida por un fluido que puede ser l(quido o #as sobre un cuerpo sumer#ido o que flote en )l. La ma#nitud es i#ual a la del peso del fluido desalo+ado, pero en sentido contrario al del peso del cuerpo. %&er'a El7!tr!a o Ele!trost#t!as Es la misma situación que se da con la eistencia de car#a o causa escalar el)ctrica en los sistemas de part(culas, que da lu#ar a fuerzas de atracción y repulsión, donde car#as i#uales se repelen y de si#nos contrarios se atraen. El módulo de la fuerza viene dado por!
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ESTATICA %iendo q- y q0 los valores de las car#as, r la distancia de separación entre ambas car#as y 7 una constante de valor i#ual >?-:> Nm0@/0.
Otras %&er'as Nucleares, oleculares, Electroma#n)ticas, de /oriolis, /oercitivas, entre otras. Re"resenta!3n la fuerza es una cantidad vectorial es decir tiene ma#nitud, dirección y sentido. 'or ser un vector 1ráficamente, se representa por un se#mento de recta con una punta de flec&a en uno de sus etremos, donde el tamaBo de esta es la ma#nitud, la punta de la flec&a indica el sentido y el án#ulo la dirección. (e!tores ;n vector es todo se#mento de recta diri#ido en el espacio. /ada vector posee unas caracter(sticas que son! Or/en 5enominado 'unto de aplicación. Es el punto eacto sobre el que act*a el vector. 3d&lo Es la lon#itud o tamaBo del vector. 'ara &allarla es preciso conocer el ori#en y el etremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su ori#en &asta su etremo. Dre!!3n Ciene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentdo %e indica mediante una punta de flec&a situada en el etremo del vector, indicando &acia qu) lado de la l(nea de acción se diri#e el vector. 6ay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un ori#en y tres e+es perpendiculares. Este sistema de referencia permite fi+ar la posición de un punto cualquiera con eactitud.
Los e!tores "&eden ser ! Untaro! vector de ma#nitud i#ual a la unidad, como por e+emplo los vectores unitarios i, +, 7, asociados a los e+es de coordenadas D, y F respectivamente. Nulo! vector de ma#nitud i#ual a cero. Ne/ato el ne#ativo de un vector dado, es otro vector de la misma ma#nitud y dirección pero sentido opuesto. Es decir dado el vector A el ne#ativo es G A. • EUILIBRIO DE UNA PARTICULA H;na part(cula está en equilibrio si! I Está en reposo. I %e mueve a velocidad constante. H 5e la primera ley de Newton, J< K : %iendo J< la suma vectorial de todas las fuerzas que act*an sobre la part(cula. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA H 5e la se#unda ley de Newton J< K ma H /uando las fuerzas cumplen las condiciones de la primera ley de Newton, ma K : aK: 'or lo que la part(cula se mueve con velocidad constante o está en reposo.
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OENTO DE UNA %UERA PAR
oento de &na %&er'a /uando una persona intenta abrir una puerta #iratoria, de una forma espontánea coloca la mano en el etremo eterno, nunca al lado del e+e de rotación, además e+erce la fuerza, por lo #eneral, en dirección perpendicular al plano de la puerta. ;n estudio eperimental de este fenómeno podr(a eplicar el porqu) de este comportamiento automático. %i el punto de aplicación de la fuerza se acercara &acia el e+e, la misma fuerza dar(a lu#ar a efectos menores, es decir, ser(a preciso e+ercer una fuerza mayor para conse#uir el mismo movimiento de la puerta. %i la orientación de la fuerza no fuera perpendicular al plano de la puerta ocurrir(a al#o parecido la dificultad para mover la puerta se &ar(a etrema si a al#uien se le ocurriera empu+arla por el borde en dirección &acia su propio e+e. %e define el momento de una fuerza < con respecto de un punto en la forma! 3M.04 %iendo < la ma#nitud de la fuerza, r la distancia entre el punto y el punto ' de aplicación de < y q el án#ulo que forma < con el se#mento . %e epresa en unidades de fuerza por unidades de distancia, es decir, en newtons por metro 3N m4, en el %istema Onternacional.
oento de &n Par La determinación del momento de un par de fuerzas puede efectuarse a partir de la definición del momento de una sola fuerza. %i se fi+a el punto en el punto intermedio del se#mento definido por los ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA puntos de aplicación de las respectivas fuerzas, cada fuerza individualmente considerada producir(a una rotación. 5ado que las fuerzas de un par son de i#ual ma#nitud 3<- K <04 y paralelas 3q- K q04, sus momentos respectivos podrán escribirse en la forma!
La eperiencia demuestra que los efectos de rotación de las fuerzas de un par pueden sumarse de modo que el momento resultante para el par de fuerzas será! El producto 0r sin q que representa la distancia entre las rectas directrices de ambas fuerzas, se denomina brazo del par y se representa por la letra d. 5e modo que el momento de un par puede definirse tambi)n como el producto de la ma#nitud de una de las fuerzas por el brazo del par! Kd.< As(, aunque la resultante de un par de fuerzas sea nula, su momento no lo es. 'or tal motivo se observan efectos de rotación cuando a un cuerpo r(#ido se le aplica un par de fuerzas.
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EUILIBRIO DEL CUERPO RI5IDO
;n cuerpo r(#ido está en equilibrio mecánico si, visto desde un referencial inercial 3Pqu) fuerzas y torcas act*an sobre el cuerpoQ4, la aceleración lineal acm de su centro de masas es cero y su aceleración an#ular R alrededor de cualquier e+e fi+o en este referencial es cero. %i el cuerpo )sta realmente en reposo 3de modo que cmK : y FK :4 &ablamos a menudo de un equilibrio estático. La primera condición del equilibrio 3estático o no4! La suma vectorial de todas las fuerzas eternas que act*an sobre un cuerpo que está en equilibrio debe ser cero.
% K <- S <0 S..........K : Esta ecuación vectorial conduce a tres ecuaciones escalares! < K <- S <0 S.........K :
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ESTATICA puede formularse como! La suma vectorial de todas las torcas externas que actúan sobre un cue r po en equilibrio debe ser cero. sea! U K U- S U0 S.........K : Ecuación que conduce a tres ecuaciones escalares! U K U- S U0 S.........K : Uy K U-y S U0y S.........K : Uz K U-z S U0z S.........K : •
,IA!"AMA ,E CUE"-& "I!I,&
Al resolver un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo r(#ido es esencial que se consideren todas las fuerzas que act*an sobre este además, tambi)n es importante ecluir cualquier fuerza que no est) aplicada directamente sobre dic&o cuerpo. mitir o a#re#ar una fuerza etraBa podr(a destruir las condiciones de equilibrio. 'or tanto, el primer paso en la solución del problema es esquematizar un dia#rama de cuerpo libre del cuerpo r(#ido en consideración. %in embar#o, en vista de su importancia para la solución de problemas de equilibrio, aqu( se deben tomar en cuenta los si#uientes pasos que se deben se#uir al momento de dibu+ar un dia#rama de cuerpo libre. -. %e debe tomar una decisión acertada en la relación con la selección del cuerpo libre que será utilizado. 5espu)s se debe separar al cuerpo del suelo y de todos los demás cuerpos. As(, se realiza un croquis del contorno del cuerpo ya aislado. 0. Todas las fuerzas eternas deben indicarse en el dia#rama de cuerpo libre. Estas fuerzas representan las acciones e+ercidas sobre el cuerpo libre por el suelo y por l os cuerpos que &an sido separados del mismo estas fuerzas deben aplicarse en los diversos puntos sobre los que el cuerpo libre estaba apoyado en el suelo o estaba conectado a otro cuerpos. Tambi)n se debe incluir entre las fuerzas eternas el peso del cuerpo libre, puesto que representa la atracción e+ercida por la tierra sobre las distintas part(culas que lo constituyen. /uando el cuerpo libre está constituido por var(as partes, las fuerzas que dic&as parte e+ercen entre si no deben incluirse entre las fuerzas eternas, siempre que se considere completo al cuerpo libre, son fuerzas internas. M. Las ma#nitudes y las direcciones de las fuerzas eternas que son conocidas deben seBalarse con claridad ene. 5ia#rama de cuerpo libre. /uando se indiquen las direcciones de dic&as fuerzas, se debe recordar que están son las e+ercidas sobre, y no por, el cuerpo libre. 'or lo #eneral, las fuerzas eternas conocidas incluyen el peso del cuerpo libre y las fuerzas aplicadas con un propósito en particular. V. Las fuerzas eternas desconocidas consisten en las reacciones a trav)s de las cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA W. El dia#rama de cuerpo libre tambi)n debe incluir dimensiones, puesto que estas se pueden necesitar para el cálculo de momentos de fuerzas.
ANALISIS DE ESTRUCTURAS
CLASI%ICACION DE LAS ESTRUCTURAS
Estr&!t&ras sost#t!as
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ESTATICA
Estr&!t&ras ="erest#t!as En estática, una estructura es ="erest#t!a o est#t!aente ndeternada cuando está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones. X;na estructura en equilibrio estable que no es &iperestática es isostáticaY. Eisten diversas formas de &iperestaticidad!
;na estructura es nternaente ="erest#t!a si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar los esfuerzos internos de la misma.
;na estructura es e
;na estructura es !o"letaente ="erest#t!a si es internamente y eternamente &iperestática. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
TIPOS DE APOO Los apoyos de vi#as, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la vi#a y por lo #eneral, se encuentran en los etremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se #eneran son productos de las car#as aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las car#as aplicadas. Anal(ticamente estas reacciones representan las incó#nitas de un problema matemático. Las reacciones se pueden dividir en tres #rupos que corresponden al tipo de apoyo que se está empleando 35as, 2assimali y %ami, ->>>4. eacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los tipos de apoyo se clasifican por la cantidad de #rados de libertad que restrin+an. Can desde los más simples que restrin#en un solo #rado de libertad &asta los más comple+os que restrin+an seis #rados de libertad en el espacio. Los más simples son rodillos, superficies lisas, uniones con cables, apoyos basculantes, etc. Al se#undo tipo, aquellos que restrin#en dos #rados de libertad, pertenecen las articulaciones, las superficies ru#osas, las rotulas, etc. Al tercer tipo y último en estructuras planas pertenecen los empotramientos.
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ESTATICA
•
A"oyo s"le estrin#e un #rado de libertad de los tres que posee el cuerpo, puede evitar el cuerpo se mueva &acia arriba, pero permite que se desplace a los lados y que rote. La fuerza de interacción con el cuerpo es perpendicular al apoyo
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ESTATICA
•
A"oyo 2?o estrin#e dos #rados de libertad, el cuerpo no se puede desplazar &acia arriba 3verticalmente4, ni &acia los lados 3&orizontalmente4. La reacción a este tipo de apoyos es una fuerza cuyos componentes se observan en la fi#ura.
•
E"otrado estrin#e los tres #rados de libertad. 5esplazamiento vertical , &orizontal y rotación
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ESTATICA
A"oyos el#st!os
CLASI%ICACION DE LAS CAR5AS %e pueden clasificar en!
Car/as 2?as Las car#as fi+as, corresponden a las que siempre deberá soportar la estructura, independiente de las condiciones eternas o de uso que se le d), se#*n lo anterior, las car#as fi+as las determina el peso espec(fico de los materiales con los cuales se construirá Car/as 3les! %on aquellas causas estáticas o cinemáticas que pueden presentar distintas posiciones sobre la estructura. /lasificación se#*n el tiempo de aplicación las car#as se clasifican en!
Peranentes son las que duran toda la vida *til de la estructura. /omprenden al peso ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA propio de la estructura y el de todas aquellas partes de las construcciones r(#idas y permanentemente li#adas a ellas. E+emplo! estructura, instalaciones, cerramientos, revestimientos, contra pisos,etc.
A!!dentales son aquellas que cuya ma#nitud y@o posición pueden variar a lo lar#o de la vida *til de la estructura 3act*an en forma transitoria, eistiendo en determinados momentos solamente4. E+emplo! viento, personas, nieve, muebles, terremotos, etc. /lasificación se#*n su estado inercial 3que se refiere al estado de reposo o movimiento en que se encuentra la lar#a en el momento de actuar4 )stas se clasifican en!
Est#t!as son las que no cambian nunca su estado de reposo o lo &acen lentamente en el tiempo. En todos los casos son las que durante el tiempo que act*an están en estado de reposo, y por etensión tambi)n aquellas que tienen estado inercial despreciable, es decir que si bien var(an en el tiempo lo &acen en forma muy lenta. E+emplos! peso propio de cerramientos, solados, instalaciones, estructuras, etc. p*blico en salas de espectáculos personas en oficinas y viviendas. Dn#!as son las que var(an rápidamente en el tiempo. En todos los casos son las que durante el tiempo que act*an están en estado de movimiento 3inercial4 considerable. %e#*n como sea la dirección del movimiento podemos clasificarlas en!
3les son aquellas en las cuales la dirección del movimiento es perpendicular a la dirección en que se produce la car#a. E+emplos! desplazamiento de un ve&(culo desplazamiento de una #r*a móvil sobre sus rieles desplazamiento de un tren sobre sus rieles. De "a!to son aquellas en las cuales la dirección del movimiento es coincidente con la dirección en que se produce la car#a. %e caracterizan por un tiempo de aplicación muy breve 3instantánea4. E+emplos! c&oque de un ve&(culo movimiento s(smico publico saltando sobre #radas en estadios deportivos acción de frenado 3sobre para#olpes en estación terminal de trenes4 etc. /lasificación se#*n su ubicación en el espacio!
Con!entradas o "&nt&ales ! %on las que act*an sobre una superficie muy reducida con respecto a la total. E+emplos! columna o vi#a que apoya sobre una vi#a. ueda de un puente #r*a sobre la v(a. Ancla+e de un tensor. 5istribuidas! %on las que act*an sin solución de continuidad a lo lar#o de todo el elemento estructural o parte de )l. A la vez se dividen en uniformemente distribuidas y distribuidas no uniformes! Un2oreente dstr+&das! son aquellas que mantienen un mismo valor en toda su epansión. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA E+emplos de ellas son el peso propio de una losa, la presión de a#ua sobre el fondo de un depósito, o el p*blico en una sala de espectáculos.
No &n2oreente dstr+&das ! son aquellas en las que var(a su valor en los distintos puntos de su etensión. E+emplos de ellas son la acción del viento, una pared de altura variable, o la presión en la pared de un tanque. /ar#a del Ciento! Este tipo de car#as no se tiene en cuenta en edificios de menos de -W m de altura o que la proporción altura@anc&o sea menor o i#ual a 0. Es una car#a dif(cil de determinar, depende de la velocidad, ubicación #eo#ráfica, altura y forma de la construcción. 'or el área de contacto se pueden clasificar en!
Car/as "&nt&ales! /ar#a que act*a sobre un área muy pequeBa o un punto muy concreto de una estructura. Tambi)n llamada car#a concentrada. Car/as dstr+&da /ar#a que se aplica a toda la lon#itud de un elemento estructural o a una parte de )ste. Tambi)n llamada car#a repartida E+emplos!
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ESTATICA
CENTRO DE 5RA(EDAD RESULTANTE DE LAS CAR5AS DISTRIBUIDAS El centro de #ravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de #ravedad que act*an sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de #ravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dic&o cuerpo. En otras palabras, el centro de #ravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la #ravedad e+erce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El c.#. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. As(, el c.#. de una esfera &ueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.
CAR5AS DISTRIBUIDAS En ocasiones es posible que un área muy #rande de un cuerpo est) su+eta a la acción de car#as distribuidas, Tales como las causadas por el viento, fluidos, o simplemente el pesodeZ material soportado por la superficie de dic&o cuerpo. La intensidad de esta s car#as en cada punto de la superficie se define como la presión p 3fuerza por unidad de área4, quepuede medirse en unidades de libra@pie0 o pascales 3'a4 donde - '.a. K - N@m0. En esta sección &ablaremos del caso más com*n de car#a de presión distribuida, la cual presenta ;niformidad a lo lar#o de uno de los e+es del cuerpo rectan#ular plano sobre el que se aplica la car#a. ;n e+emplo de tal car#a se muestra en la fi#ura -.
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ESTATICA La dirección de la intensidad de la car#a de presión se indica por las flec&as mostradas en el dia#rama car#aIintensidad. La car#a completa sobre la placa es, por lo tanto, un sistema de fuerzas paralelas, infinito en n*mero y donde cada una act*a sobre un área diferencial separada sobre la placa. Aqu( la función de car#a, p K p34 'a, es sólo una función de , puesto que la presión es uniforme a lo lar#o del e+e y. %i multiplicamos pK p34 por el anc&o a m de la placa, obtenemos w K Xp34 N@m0Y a m K w34 N@m. Esta función de car#a, ilustrada en la fi#ura 0, es una medida de la distribución de car#a a lo lar#o de la l(nea yK:, que está en el plano de simetr(a de la car#a ver fi#ura -. [sta se mide como una fuerza por unidad de lon#itud, más que como una fuerza por unidad de área. En consecuencia, el dia#rama car#aI intensidad para wKw34 puede representarse por un sistema de fuerzas paralelas coplanares, vistas en dos dimensiones en la fi#ura 0.;tilizando los procedimientos eplicados en la sección V.>, este sistema de fuerzas puedes implificarse &asta representarse como una fuerza resultante *nica < y con ubicación espec(fica.
EGERCICIO DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS
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ESTATICA
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ESTATICA
(I5AS ESTATICAENTE DETERINADAS DE%INICION
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ESTATICA
En in#enier(a y arquitectura se denomina vi#a a un elemento estructural lineal que traba+a principalmente a fleión. En las vi#as, la lon#itud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser &orizontal. El esfuerzo de fleión provoca tensiones de tracción y compresión, produci)ndose las máimas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el se#undo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA cortantes o punzonamiento. Tambi)n pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vi#as que forman el per(metro eterior de un for+ado. Estructuralmente el comportamiento de una vi#a se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.
5RADO ESTATICO %e denomina de esta manera a una barra su+eta a car#a lateral perpendicular a su e+e lon#itudinal, en la que el n*mero de reacciones en los soportes superan al n*mero de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es! el n*mero de incó#nitas es mayor que!
La fi#ura -, muestra una vi#a de este tipo con un etremo simple "A$ y el otro empotrado "\$ ba+o una car#a puntual '. A
*
A
*
Fig% 0% (iga a$oyada1em$otrada%
A continuación se muestra la vi#a indicando las reacciones en los s oportes. En el soporte "A$ eiste sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento &orizontal. En el empotramiento en "\$ &ay dos reacciones dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones. M Página !)
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(A
V
ESTATICA
'uesto que eisten tres reacciones desconocidas las fuerzas cortantes C A y C\ y el momento fleionante \ y sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio y
+0 A
-
2 +3 *
+4 C
,
Fig% 3% (iga contin5a
Este caso corresponde a una barra muc&o más comple+a de analizar puesto que a&ora eisten cinco reacciones eternas de soporte las fuerzas cortantes verticales y el momento fleionante en el empotramiento ubicado en "A$.
-
-
2
MA (A
(*
(C
(,
'ara la solución de estas vi#as se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio estático, un camino a se#uir consiste en &acer el análisis de las deformaciones an#ulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se fleionan 3pandean4, ba+o el efecto de las car#as aplicadas. Este análisis se plantea más adelante.
INDETERINACIHN ESTATICA. %e define como el n*mero de acciones redundantes o eceso de reacciones internas y eternas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. %e puede decir que es la diferencia entre el n*mero de incó#nitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático. 'or e+emplo la vi#a de la fi#ura ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la vi#a es indeterminada en #rado -! N*mero de incó#nitas K NO K M Ecuaciones de equilibrio K EE K 0 1rado de indeterminación K 1O K NO G EE K M G 0 K Ci#a de la fi#ura 0! NO K eacciones verticales y momento en el empotramiento K W EE K Equil. Certical y suma de momentos K 0 1O K W G 0 K M En ambos casos los 1O representan el n*mero de ecuaciones adicionales para su solución.
SOLUCION DE (I5AS ;IPERESTATICAS . %e analizan vi#as estáticamente indeterminadas con ob+eto de conocer las reacciones eternas e internas en los soportes, as( como las deformaciones an#ulares y lineales que ocurren a trav)s de su lon#itud cuando se les somete a car#a eterna. Las deformaciones an#ulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tan#ente trazada a la curva elástica 35ia#rama de deformación4 y las lineales son los desplazamientos verticales que se miden entre el e+e ori#inal de la vi#a y el e+e cuando la barra se fleiona. La fi#ura M muestra esta condición.
-
Tangente
E' /0igina& n/ '2/03a/
Curva el6stica de de7ormación
Fig% 4% (iga de7ormada $or 8e9ión
' K /ar#a aplicada. K otación o pendiente. K 5eformación lineal o flec&a.
ESTABILIDAD 5EOETRICA ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA 5e una estructura como un todo depende del n*mero y ubicación espacial de ambos tipos de restricciones o li#aduras as( como de la adecuada disposición #eom)trica de dic&a restricciones y de los cuerpos inte#rantes de la estructura. La estabilidad en cerc&as se obtiene mediante uniones r(#idas en los nudos, resistentes a momento, por lo que es necesario usar materiales como el acero o el concreto, que permiten realizar uniones r(#idas, soldadas o monol(ticas, fácilmente. En las cerc&as livianas usadas para tec&os los materiales más usados para su construcción son el acero, la madera estructural, y el aluminio. En estas estructuras las uniones de los miembros son las partes más cr(ticas en su construcción. En el caso del acero se &acen soldadas, o con pernos y cartelas. En madera se realizan con pernos o puntillas.
REACCIONES EN LOS APOOS
Los apoyos de vi#as, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la vi#a y por lo #eneral, se encuentran en los etremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se #eneran son productos de las car#as aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las car#as aplicadas. Anal(ticamente estas reacciones representan las incó#nitas de un problema matemático. eacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los apoyos y coneiones que causan reacciones de este tipo son! rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este #rupo solo proporcionan una incó#nita, que consiste en la ma#nitud de la reacción y se pueden diri#ir en uno u otro sentido a lo lar#o de la dirección conocida. eacciones formada por una fuerza de dirección desconocida Los apoyos y coneiones que causan reacciones de este tipo son! articulaciones, bisa#ras y superficies ru#osas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo libre en todas las direcciones pero no impiden la rotación del cuerpo alrededor de la coneión. En las reacciones de este #rupo intervienen dos incó#nitas que se representan #eneralmente por sus componentes e y. eacciones formada por una fuerza y un par Estas reacciones son producidas por apoyos fi+os o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizándolo por completo la vi#a. En las reacciones de este #rupo intervienen tres incó#nitas, que son #eneralmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par. /uando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el si#no de la respuesta indicará si la suposición fue conecta o no. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
%UERAS INTERNAS
/on el ánimo de complementar el tema e introducir una pequeBa convención adicional a la tradicional, se muestran los dia#ramas de fuerzas internas 3, C4 de una vi#a sencilla, que el lector podrá analizar fácilmente con los conocimientos de los cursos anteriores y comprobar las ordenadas.
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ESTATICA
4ig50a %.$6 iag0a3a7 ' 8/09an9' ( 3/3'n9/7 ' 5na :iga
La ma#nitud de las fuerzas internas se usa para el diseBo de la sección transversal de la vi#a. En este caso la sección de máimo momento está cerca al centro de la luz 3 ma K ],- 7NIm4, y este valor ser(a el empleado en un diseBo como el de los ^esfuerzos admisibles_ definido por la norma colombiana N%I>`, para seleccionar la sección del perfil estructural, si se &iciese en acero. 'ero en el apoyo izquierdo &ay un momento ne#ativo de valor importante 3 K I V 7NIm4, que deberá tenerse en cuenta si el diseBo de la vi#a se &ace en concreto reforzado. /omo es sabido, en el concreto estructural el refuerzo se coloca para atender las tensiones en el centro de la luz la tensión está en la parte inferior y en el apoyo o voladizo, la tensión está en la parte superior. 'ara facilitar el proceso de diseBo y el uso de los dia#ramas muc&os autores acostumbran dibu+ar el dia#rama de momentos del lado de tensión de la vi#a, se#*n se muestra en la fi#ura si#uiente 3fi#. ..b4, en la que además se muestra cuál ser(a la c olocación de los refuerzos principales si la vi#a se diseBase en concreto reforzado 3fi#. ..c4.
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ESTATICA
4ig50a %.%6 8/n:'n8i;n pa0a i<5/ '& iag0a3a ' 3/3'n9/7 '& &a/ ' 9'n7i;n ' &a :iga
La caracter(stica fundamental de las vi#as es ser elementos a fleión y en el curso de esistencia de materiales se derivan y traba+an las relaciones diferenciales entre el momento flector y la curvatura de la vi#a!
perando con esta relación diferencial se pueden predecir las defleiones en cualquier punto de la vi#a en función de los parámetros mecánicos de la vi#a! el momento de inercia 3O4 de la sección transversal y el módulo de elasticidad 3E4 del material de la vi#a. E n el curso anterior, de esistencia de materiales, se estudiaron los m)todos tradicionales, denominados ^m)todos #eom)tricos_, para predecir las deformaciones! •
)todo de la doble inte#ración
•
)todo de los teoremas de área de momentos o teoremas de o&r
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ESTATICA •
)todo de la Ci#a con+u#ada.
Estos m)todos se aplican para predecir las deformaciones en vi#as, siempre y cuando el comportamiento de la estructura est) dentro del ran#o elástico y las deformaciones sean pequeBas 3como sucede #eneralmente en las vi#as4, en las cuales la relación entre la defleión máima y la luz es menor de -@0:: y la relación entre la altura de la sección transversal y la luz es menor de -@-:. En estas circunstancias las deformaciones dependen fundamentalmente del momento flector. El conocimiento de las defleiones es importante, no solo para controlarlas, sino que sirve como &erramienta en el análisis de las vi#as continuas, como la mostrada en la fi#ura .], en la que las reacciones y fuerzas internas no se pueden determinar sólo con los m)todos de la Estática. En la fi#ura .] 3parte inferior4 se muestra la diferencia de comportamiento de las vi#as continuas y las simplemente apoyadas 3vi#as simples4, con respecto a la fleión y a la transmisión de las car#as. En la vi#a continua de dos luces 3fi#. 3a44, la fleión se presenta en los dos tramos, pero c on curvaturas contrarias, mientras que en la vi#a de dos tramos simples 3fi#. 3b44, la fleión solo se presenta en el tramo car#ado.
En los casos en que la altura de la sección transversal de la vi#a es #rande con respecto a la luz, el cortante influye tambi)n en la ma#nitud de las deformaciones. Estos casos se pueden mane+ar por los m)todos de la ener#(a, que se tratarán en el cap(tulo seto de este teto.
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ESTATICA La relación entre las fuerzas eternas y los esfuerzos se predice mediante la ^teor(a de la fleión pura_ que se trata en el curso de esistencia de materiales. Este modelo permite predecir los esfuerzos internos en la sección transversal en función del momento, mediante la conocida epresión de!
Esta ecuación clásica que relaciona los esfuerzos 3f4 a tensión o compresión en la sección transversal de la vi#a con el momento flector 34 y la distancia de la fibra al e+e neutro de la vi#a 3y4, se aplica en la determinación de esfuerzos elásticos en las vi#as y en los denominados m)todos elásticos de diseBo como el de los esfuerzos admisibles, usado tradicionalmente en el diseBo de estructuras de madera y acero y ya en desuso en otros materiales como el concreto reforzado, en el cual el comportamiento inelástico es usado en el diseBo y se incluye en los m)todos de los estados l(mites.
ETODOS PARA LA DETERINACION DE %UERAS INTERNAS EN EL PLANO
/uando &ablamos de fuerzas estructurales, nos referimos al esfuerzo que debe soportar la estructura de una ontaBa usa. En una estructura predeterminada, se analizan muc&os esfuerzos, pero los esfuerzos estructurales que más se consideran son los esfuerzos de compresión, y el esfuerzo de fleión de los materiales. El esfuerzo de compresión se calcula con la si#uiente fórmula! eK<@A 5ónde! e K Esfuerzo 3E+. Newton sobre metro cuadrado, 2ilo#ramo fuerza sobre mil(metro cuadrado, etc.4 < K .`- Newton4 A K rea 3E+. metro cuadrado, pi) cuadrado, cent(metro cuadrado, etc.4 El cálculo de los esfuerzos de compresión, se utilizará para los casos en que la fuerza se aplica sobre el e+e de la estructura. En este caso, vemos una columna que sostiene la v(a de una ontaBa usa. En el momento que el tren pasa por la columna, el peso e+erce una fuerza sobre el e+e de la columna. El área que se tiene que considerar, es área que ten#a la sección de la columna. En este caso es una sección circular cómo se muestra en el c(rculo con la A.
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ESTATICA
El el al#una vi#a.
esfuerzo de fleión máima es esfuerzo que se aplica sobre de las caras laterales de una Este esfuerzo se calcula con diferentes fórmulas se#*n diferentes casos. 'ero antes analizar cada caso, es importante mencionar el concepto de momento de
de inercia! El
momento de inercia es una propiedad #eom)trica de un con respecto a un e+e de referencia. La eplicación de concepto requiere de conocimientos matemáticos medianamente elevados, por lo nada más se mencionará su práctico aplicado a las ontaBas usas.
área este que uso El
cálculo del momento de inercia depende de la forma que ten#a la sección del material que se est) analizando. En el caso de las montaBas rusas, se cuentan con M tipos de secciones. La circular, la cil(ndrica, y la rectan#ular. Aqu( se muestran las secciones con sus respectivas fórmulas. O K omento de inercia.
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ESTATICA
tro concepto importante es el momento fleionante que al i#ual que el momento de inercia requiere una eplicación matemática comple+a. 'or este motivo nos limitaremos a mencionar los casos que más se aplican a las ontaBas usas. K omento máimo
;na vez analizados estos conceptos encontramos que el esfuerzo de fleión se calcula con la si#uiente fórmula! e K c @ O 5ónde e K Esfuerzo de fleión 3E+. libras sobre pul#adas al cuadrado, o 'ascales4 ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA K omento fleionante 3E+. Libras por pul#adas, o Newton por metro4 c K 5istancia desde el centro &asta un etremo de una sección de una vi#a 3E+. 'ul#adas, o etros4 O K omento de inercia 3E+. 'ul#adas a la cuarta, o etros a la cuarta4 Es importante resaltar que en el cálculo de este esfuerzo se debe calcular adecuadamente el momento de inercia y el momento fleionante, ya que de esto depende que nuestro valor sea correcto. E9E'L .5ibu+ar los dia#ramas de fuerzas internas del pórtico mostrado.
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ESTATICA /on los valores de las reacciones encontrados, se dibu+an los dia#ramas de cuerpo libre de cada uno de los miembros y se usan las condiciones de equilibrio para cada elemento para ello se &acen cortes en los miembros
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ESTATICA /on los valores obtenidos de las fuerzas internas en los etremos de los miembros del pórtico se pueden dibu+ar los dia#ramas de cortante, momento y el nuevo dia#rama de fuerza aial 3que no eist(a en las vi#as4 las ordenadas en las vi#as se miden verticalmente y en las columnas &orizontalmente para evitar confusiones se recomienda el uso de colores diferentes para las vi#as y las columnas.
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ESTATICA
Figura 6.24
Analizar y construir los dia#ramas del pórtico del e+ercicio anterior, reemplazando la car#a uniforme por una puntual de -W 2N, que act*a verticalmente &acia aba+o, en el v)rtice / 3articulado4. Analizar y dibu+ar los dia#ramasen el pórtico anterior, colocando la fuerza de -W 7N en el punto \, &orizontalmente, de izquierda a derec&a. Encontrar las reacciones y dibu+ar los dia#ramas de fuerzas internas y elástica aproimada del pórtico mostrado.
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ESTATICA Elemento estructural vi#aHCO1A! es un elemento estructural donde una de sus dimensiones es muc&o mayor que las otras dos, y a trav)s de uno o más apoyos transmiten a la fundación u otros elementos estructurales las car#as aplicadas transversalmente a su e+e, en al#unos casos car#as aplicadas en la dirección de su e+e.L K lon#itud 3L;F4NN&b
Elemento estructural vi#a /lasificación de las vi#as 'or su forma
5e alma llena 'or sus caracter(sticas estáticas
Osostáticas
6iperestáticas.
%&er'a !ortante J Es la suma al#ebraica de todas las fuerzas eternas perpendiculares al e+e de la vi#a 3o elemento estructural4 que act*an a un lado de la sección considerada. La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la sección tiende a subir con respecto a la parte derec&a.
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ESTATICA
oento 2le!tor J Es la suma al#ebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas eternas a un mismo lado de la sección respecto a un punto de dic&a sección. El momento flector es positivo cuando considerada la sección a la izquierda tiene una rotación en sentido &orario.
/onvenio de si#no para C y %ección considerada
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ESTATICA Da/raas de 2&er'a !ortante y oento 2le!tor HEstos permiten la representación #ráfica de los valores de "C$y "$a lo lar#o de los e+es de los elementos estructurales. H%e construyen dibu+ando una l(nea de base que corresponde en lon#itud al e+e de la vi#a 3Elemento Estructural, ee4 y cuyas ordenadas indicaran el valor de "C$ y "$ en los puntos de esa vi#a.
Da/raas de 2&er'a !ortante y oento 2le!tor HLa
Los valores de momento flector 34 se consideran positivos por deba+o del e+e de referencia, es decir los dia#ramas se trazan por el lado de la tracción.
5ia#ramas de fuerza cortante y momento flector Los máimos y m(nimos de un dia#rama de momento flector corresponden siempre a secciones de fuerza cortante nula. 'ara poder obtener la distancia 3D, o d4 donde el momento flector es máimo o m(nimo se i#ualara a cero la epresión de fuerza cortante, lue#o se despe+a dic&a distancia 3D, o d4.
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ESTATICA Los puntos donde el momento flector es nulo se denominan los puntos de infleión sobre la elástica. elaciones entre /ar#a y
5ia#rama de
Estructural. 5ia#rama de fuerza cortante 3C4 /uando en un tramo del elemento estructural se aplique una car#a distribuida uniformemente, la l(nea de la fuerza cortante será inclinada, o sea tendrá una pendiente constante con respecto al e+e del elemento.
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ESTATICA
'ara /ar#a distribuida con variación lineal de su intensidad, la curva de fuerza cortante será una l(nea curva de se#undo #rado. HEn los puntos de aplicación de car#as concentradas 3puntuales4 EDO%TO una discontinuidad en el dia#rama de fuerza cortante.
RELACION CAR5A-OENTO %LECTOR El incremento del momento flector con respecto a la distancia3D, o d4 en una sección cualquiera del elemento estructural situada a una distancia 3D, o d4 de su etremo izquierdo es i#ual al valor del área del dia#rama de fuerza cortante en la correspondiente seccionsección.
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ESTATICA
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ESTATICA DIA5RAACION
A&ora que se &an definido las ecuaciones de los diferentes esfuerzos internos eistentes En una vi#a plana mediante funciones asociadas a cada tramo, es posible representar estos Esfuerzos N(x), Q(x) y M(x) a trav)s de dia#ramas dibu+ados a lo lar#o de la vi#a. Estos 5ia#ramas se denominan dia#ramas de esfuerzo. 'ara la vi#a del e+emplo anterior resultan de la si#uiente forma, independiente de la Ecuación que se eli+a!
Diagramas de esfuerzo N, Q y M .
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ESTATICA AL5UNAS OBSER(ACIONES En el dia#rama de Q(x) se puede ver que los "saltos$ eistentes son equivalentes a los Calores de las car#as puntuales aplicadas, en este caso la reacción en A, la car#a puntual "'$ y la reacción en \. La ubicación del momento flector máimo coincide con la ubicación del cruce por cero 5e la #ráfica de corte. La ubicación del momento flector máimo coincide con la ubicación del cruce por cero 5e la #ráfica de corte. El #rado del polinomio de la función de momento es uno más que el #rado del 'olinomio de corte. %e puede comprobar mediante cualquier corte que se desee que se cumpla el 'rincipio 5e %eccionamiento. Al respecto, a continuación se muestra la comprobación del principio para el trozo de Ci#a entre @ y @M. 'ara eso, se dibu+a el trozo de vi#a con sus respectivos esfuerzos en los Etremos, los cuales &an sido determinados a trav)s de las ecuaciones de esfuerzo para esos 'untos.
Principio de Seccionamiento para un trozo de viga.
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ESTATICA (I5AS 5ERBER %e conocen como vi#as 1E\E, concebidas por primera vez en -`]` por el 5octor On#eniero 6.1erber, continuando con el estudio intuido por /lar7 y
A"l!a!ones En las vi#as 1erber se consi#ue, con una adecuada colocación de las articulaciones, i#ualar los momentos flectores correspondientes a los apoyos con los máimos momentos de los tramos, y, en consecuencia establecer el efecto m(nimo debido a la fleión, lo que permite reducir las dimensiones de las vi#as. La separación de las articulaciones respecto a los puntos de apoyo, as( como su disposición en los diversos tramos, depende de la clase de car#a y de la distribución de los tramos. La aplicación de estas vi#as a las construcciones metálicas presenta #ran inter)s, ya que la disminución de peso que con ellas se consi#ue, compensa el pequeBo aumento de mano de obra que supone la e+ecución de las articulaciones. Es preciso, sin embar#o, advertir que esta disposición no debe, en #eneral, aplicarse a aquellos elementos principales de la construcción que ase#uran su ri#idez lon#itudinal o transversal, como carreras +ácenas, etc. %u aplicación más usual es la construcción de correas de cubiertas, cuyo estudio se realiza, empezando por el de una vi#a 1erber, cuyos campos tienen la misma lon#itud y que se &alla sometida a una car#a uniforme de "p$ 7ilo#ramos por metro lineal.
(I5AS COPUESTAS Las vi#as pretensadas compuestas están constituidas por unidades previamente tesadas en taller o al pie de obra, sobre las cuales se vuelca &ormi#ón in situ para completar la sección. /uando este *ltimo &a endurecido, dic&a sección act*a como un todo &omo#)neo y es calculada en base a esta &ipótesis. El ob+etivo de esta forma constructiva es eplotar al máimo las venta+as de la prefabricación en &ormi#ón pretensado, aprovec&ando la alta calidad de los elementos componentes, las formas complicadas que pueden adoptar y la ecelente terminación de los mismos.
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ESTATICA
(I5AS: CAR5AS APOOS INCLINADOS Las /as son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus e+es. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vi#as, i#ualmente el e+e de un ve&(culo es tambi)n una vi#a. El ob+etivo principal de este cap(tulo es determinar el sistema de fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier se#mento de vi#a. 'ara una vi#a con todas las fuerzas en el mismo plano 3vi#a plana4 puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, )stas son! -. Las fuerzas aiales 0. Las fuerzas cortantes M. El momento flector ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA La determinación de sus ma#nitudes es el ob+etivo de este cap(tulo. Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbolo#(as tanto para apoyos como para car#as, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una #ran variedad de car#as. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al m(nimo las posibilidades de cometer errores. Eisten tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los #rados de libertad de movimiento que le permiten a la vi#a frente a fuerzas actuantes!
A"oyo 3l o de rodllo! )ste permite el desplazamiento a lo lar#o del e+e lon#itudinal de la vi#a y el #iro de )sta el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido. A"oyo 2?o o "asador ! Este tipo de apoyo permite el #iro de la vi#a, pero impide el desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una componente a lo lar#o del e+e lon#itudinal de la vi#a y otra a lo lar#o del e+e transversal. 'ara determinar estas dos componentes es necesario &acer uso de dos ecuaciones de la estática E"otraento este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo lar#o de los e+es y el #iro de la vi#a mediante una reacción que se puede dividir en una componente lon#itudinal, otra transversal y una reacción de momento. Las car#as aplicadas consideradas en este cap(tulo, consisten en car#as puntuales, vale decir, fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las ca#as distribuidas se muestran como una secuencia de vectores.
APLICACIONES La vi#a es una estructura &orizontal que puede sostener car#a entre dos apoyos sin crear empu+e lateral en )stos. El uso más imponente de una vi#a, tal vez sea el que aplica a la estructura de puentes. %u diseBo de in#enier(a descansa +ustamente sobre vi#as de calidades y tamaBos acordes al tipo y uso de puente que se desea construir. Esta estructura desarrolla compresión en la parte de arriba y tensión en la de aba+o. Penseos *&e los "reros "&entes de la =&andad 2&eron !onstr&dos !on /as de adera "rtos tron!os o /as *&e &n,an dos orllas. Con /as de ese ateral se s/&3 "or s/los. ;no de los más famosos en la anti#edad es el del persa 9er+es en V`-ac construido a trav)s del 6elesponto &ec&o con vi#as de tronco y ramas. Es en -`V: que se construye en On#laterra el primer puente de vi#as de &ierro for+ado. Lue#o los puentes lle#aron a adquirir dimensiones fastuosas! como tal vez dos de los más impresionantes &asta a&ora diseBados, el de \roo7lyn en Nueva or7 y el 1olden 1ate de %an
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ESTATICA arquitectónicas parten de la elección de estas vi#as alveolares, que como lo indica su nombre, se fabrican a partir de perfiles en 6 laminados en caliente que se cortan se#*n un patrón predeterminado y se sueldan reconformando una pieza en forma de T. Estas vi#as poseen alv)olos circulares, &ea#onales u octo#onales, siendo de especial aplicación en las estructuras de cubiertas en construcciones art(sticas. A su vez, la eplotación de minas minerales &a sido asistida desde sus principios por el soporte de las vi#as #eneralmente a+ustadas con #ruesas cuerdas a los tirantes de los tec&os en los socavones de los t*neles. Actualmente, y como una actualización tecnoló#ica en la construcción eiste un tipo de vi#a reticulada electrosoldada de acero formada por un alambre lon#itudinal superior, a todo el lar#o de la vi#a, y dos alambres de acero inferiores de conformación nervurada, separados entre s( y unidos por dos estribos continuos de alambre del mismo material a manera de zi#za# unificados a ambos lados de la estructura de la vi#a y soldados en cada encuentro. Este tipo de vi#a tiene la posibilidad de absorber los esfuerzos de fleión que se presentan en los pre moldeados y la convierte en una óptima solución para #uardar el ries#o de la vi#a de cualquier movimiento o iza+e, evitar las marcas que de+an en los cielorrasos las vi#as comunes y me+orar el comportamiento de las vi#as en las estructuras de tipo s(smicas.
EGERCICIO DE (I5AS 5eterminar 5ia#ramas de "N$, "C$ y "$.
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Análisis 1eom)trico!
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ESTATICA
/álculo de eacciones! En 3I 4! -
5e donde!
En 3II 4!
/ontrol! 3en toda la estructura4.
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ESTATICA En 3II 4!
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5ia#ramas!
Equilibrio nudo C !
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ESTATICA
CERC;AS ESTATICAENTE DETERINADA
DE%INICION El principio fundamental de las cerc&as es unir elementos rectos para formar trián#ulos. Esto permite soportar car#as transversales, entre dos apoyos, usando menor cantidad de material que el usado en una vi#a, pero con el inconveniente de que los elementos ocupan una altura vertical considerable. La cerc&a es uno de los principales tipos de estructuras empleadas en in#enier(a. 'roporciona una solución práctica y económica a muc&as situaciones de in#enier(a, especialmente en el diseBo de puentes y edificios. ;na armadura consta de barras rectas unidas mediante +untas o nodos. Los elementos de una cerc&a se unen sólo en los etremos por medio de pasadores sin fricción para formar armazón r(#ida por lo tanto nin#*n elemento contin*a más allá de un nodo. /ada cerc&a se diseBa para que soporte las car#as que act*an en su plano y, en consecuencia, pueden considerarse como una estructura.
ING. OSCAR CHAVEZ
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%$ ESTATICA
\ases del funcionamiento de las cerc&as .
5RADO ESTATICO EKTERNO Isostat!dad e
5RADO ESTATICO INTERNO Isostat!dad nterna , cuando es posible determinar los esfuerzos internos de cada una de las barras que forman la estructura, como veremos para que se d) esta condición se requiere una cierta relación entre el n*mero de barras y nudos.
ESTABILIDAD 5e una estructura como un todo depende del n*mero y ubicación espacial de ambos tipos de restricciones o li#aduras as( como de la adecuada disposición #eom)trica de dic&a restricciones y de los cuerpos inte#rantes de la estructura. La estabilidad en cerc&as se obtiene mediante uniones r(#idas en los nudos, resistentes a momento, por lo que es necesario usar materiales como el acero o el concreto, que permiten realizar uniones r(#idas, soldadas o monol(ticas, fácilmente. En las cerc&as livianas usadas para tec&os los materiales más usados para su construcción son el acero, la madera estructural, y el aluminio. En estas estructuras las uniones de los miembros son las ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA partes más cr(ticas en su construcción. En el caso del acero se &acen soldadas, o con pernos y cartelas. En madera se realizan con pernos o puntillas.
Unones de do+le !ortante edante "ernos 'ara me+orar la eficiencia de las uniones con pernos y aumentar el área de contacto del perno con la madera, en los pa(ses donde eiste una producción industrial de estructuras de madera, se usan anillos suplementarios de acero como los mostrados en la fi#ura W.`. En el pa(s casi nunca se usan.
Anllos "ara &nones de !er!=as !on adera
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ESTATICA CERC;A IDEAL Esta cerc&a se construye a partir de un molde, porque es muy importante que todas queden i#uales y con la misma pendiente. 'ara eso, primero se &ace una cerc&a que sirva de modelo para el resto.
CERC;A REAL En una cerc&a real en equilibrio, el traba+o virtual eterior debe ser i#ual al traba+o virtual interior, cualesquiera que sean los desplazamientos virtuales empleados.
CAR5A EN CERC;AS Todas las car#as deben aplicarse en las uniones y no en los mismos elementos. 'or ello cada cerc&a es un elemento sometido a fuerzas aiales directas 3tracción o compresión4. En el caso de las 8cerc&as8, es una estructura de &ierro o madera que usa en forma de trián#ulos, la compresión y la tensión, para mantener la estructura. La forma de zi#Iza# 3perpendicular a la fuerza que est) destinada4 entre dos barras, traba+an como unión, tal que unas traba+an como compresión y otras como tensión, en distancias cortas, multiplicando la fortaleza de la estructura, aunque la barra inferior normalmente siempre traba+a como tensión y la superior como comprensión.
REACCIONES EN LOS APOOS Antes de eso necesitamos saber que &ay tres tipos de apoyos -. T"o &no o rodllo %olo tiene una reacción, que es una fuerza en el sentido del e+e y, se representa en la mayor(a de casos como un c(rculo. 0. T"o dos o art!&la!3n Tiene dos fuerzas reactivas una en el sentido del e+e y otra en el sentido del e+e y, se representa como un trián#ulo. M. T"o tres o e"otraento Tiene tres reacciones una fuerza en el sentido del e+e , otra en el sentido del e+e y, y un momento reactivo que evita que el sistema tienda a #irar.
%UERAS INTERNAS ;na cerc&a puede ser descrita como una vi#a epandida. Las fuerzas internas ocurren en la superficie inferior y superior de la vi#a.
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ESTATICA 6asta a&ora se &a estudiado la parte del análisis estructural denominada mecánica donde se determina la resultante y se averi#ua si está en equilibrio o no. %i la resultante es nula el cuerpo está en equilibrio estático, condición #eneral de las estructuras si la resultante es diferente de cero, s e suman las fuerzas inerciales para obtener un equilibrio dinámico. 'or otra parte la rama denominada resistencia de materiales , establece las relaciones entre las car#as aplicadas y los efectos en el interior de los elementos estructurales- partiendo de los principios de la mecánica. 'ara estudiar los efectos de las car#as aplicadas, es necesario conocer la ma#nitud de las fuerzas internas. Las fuerzas internas son las que están en el interior de los elementos y son las que mantienen unidas todas las partes del cuerpo. La forma de obtener las fuerzas internas representa de forma #lobal el procedimiento t(pico del análisis estructural, importante tener siempre en cuenta para cualquier estudio de un sistema estructural. 'rimero se a(sla el elemento o miembro de una disposición particular de elementos estructurales. %obre este se indica todas las fuerzas aplicadas y reacciones que act*an sobre )l0. Esta indicación de fuerzas se denomina diagrama de cuerpo libre del elemento.
MET&,&S ,E +&S U,&S
El m)todo de los nudos es un procedimiento para resolver estructuras de barras articuladas. %e basa en dos etapas! •
'lanteamiento del equilibrio en cada barra de la estructura. El caso más normal es cuando las barras son biarticuladas, obteni)ndose las reacciones en los etremos de cada barra en dirección cortante y una relación entre las reacciones normales en ambos etremos 3i#uales y opuestas si la barra no está sometida a car#as eternas intermedias4! eacciones en un sólido biarticulado plano
•
'lanteamiento del equilibrio en cada nudo!
%ea, por e+emplo, A un nudo o articulación de una estructura de ese tipo, al cual lle#an M barras y sobre el que &ay aplicada una car#a eterna '. 'or simplicidad, se &a supuesto que las secciones transversales de todas las barras traba+an a tracción 3caso en que no &ay car#as intermedias en las barras4. El dia#rama de sólido libre para dic&o nudo será el mostrado en la si#uiente fi#ura.
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ESTATICA
Las reacciones normales en cada barra se suponen a tracción 3saliendo del nudo4. ;n si#no ne#ativo en la solución supondrá, pues, que cualquier sección transversal de dic&a barra traba+a realmente a compresión. Al aplicar las condiciones de equilibrio sobre el nudo A, se obtienen las si#uientes ecuaciones!
La tercera condición de equilibrio no proporcionar(a información por ser todas las fuerzas concurrentes en un mismo punto. Aplicando las condiciones de equilibrio a los n nudos de la estructura, se obtiene un sistema de 0n ecuaciones, cuyas incó#nitas serán los esfuerzos normales en la sección transversal de las + barras de la estructura. Es recomendable empezar por un nudo en el que sólo concurran 0 barras, para no lle#ar a un sistema de ecuaciones #rande. En el caso de que la estructura sea internamente isostática, se puede demostrar que se cumple la si#uiente relación! + 0Mn-, por lo que se dispondrá de M ecuaciones más que incó#nitas. Estas ecuaciones serán combinación lineal del resto, y pueden emplearse para comprobar la validez de los resultados obtenidos.
ETODO DE LAS SECCIONES ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA El m)todo de las secciones se usa para determinar las car#as que act*an dentro de un cuerpo. Este m)todo se basa en el principio de que si un cuerpo está en equilibrio, entonces cualquier parte del cuerpo está tambi)n en equilibrio. El m)todo de las secciones puede usarse tambi)n para "cortar$ o seccionar los miembros de toda una armadura. %i la sección pasa por la armadura y se tr aza el dia#rama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes, entonces puedes aplicar las ecuaciones de equilibrio o esa parte para determinar las fuerzas del miembro en la "sección cortada$. /omo sólo tres ecuaciones independientes de equilibrio 3=
Da/raa de !&er"o l+re Las fuerzas en los miembros de una armadura pueden ser determinadas a partir del m)todo y secciones usando el si#uiente procedimiento!
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ESTATICA
A"l!a!3n del 7todo de se!!ones E!&a!ones de e*&l+ro -. Los momentos deben sumarse con respecto a un punto que se encuentre en la intersección de las l(neas de acción de dos fuerzas desconocidas y las fuerzas internas serán determinadas directamente a partir de la ecuación de momento. 0. %i dos de las fuerzas desconocidas son paralelas, las otras fuerzas pueden ir sumadas perpendicularmente a la dirección de esas incó#nitas para determinar directamente la tercera fuerza desconocida.
E?e"lo 5etermina la fuerza en los miembros 5E, 5C, y BC de la armadura mostrada en la fi#ura. Ondica si los miembros están en tensión o en compresión.
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ESTATICA
Sol&!3n La sección que muestra la fi#ura &a sido seleccionada ya que corta a trav)s de los tres miembros cuyas fuerzas deben de ser determinadas. %in embar#o, para usar el m)todo de las secciones, es necesario determinar primero las reacciones eternas en A o en D. P'or qu)Q ;n dia#rama de cuerpo libre de toda la armadura se muestra en la fi#ura. Aplicando las ecuaciones de equilibrio, tienes lo si#uiente!
Da/raa del !&er"o l+re
El dia#rama de cuerpo libre de la porción izquierda de la armadura seccionada se muestra en la fi#ura. Este dia#rama será usado para efectuar el análisis ya que implica el menor n*mero de fuerzas.
E!&a!ones de e*&l+ro
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ESTATICA
%umando momentos con respecto al punto 5 se eliminan %5E y %5C y se obtiene una solución directa para %BC.
5e la misma manera, sumando momentos con respecto al punto C obtienes una solución directa para %5E.
/omo %BC y %5E no tienen componentes verticales, sumando fuerzas en la dirección y obtienes directamente %5C esto es,
/omo e+ercicio, obt)n estos resultados aplicando las ecuaciones de equilibrio al dia#rama de cuerpo libre de la porción derec&a de la armadura seleccionada
NUDOS BAGO CONDICIONES ESPECIALES DE CAR5A 5e acuerdo con la forma de crear la confi#uración de una cerc&a, se clasifican en simples, compuestas y comple+as.
CERC;AS COPUESTAS %i dos o más cerc&as simples se unen para formar un cuerpo r(#ido, la cerc&a as( formada se denomina cerc&a compuesta. ;na cerc&a simple pude unirse r(#idamente a otra en ciertos nodos por medio de tres v(nculos no paralelos ni concurrentes o por medio de un tipo equivalente de unión.
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ESTATICA CERC;AS COPLEGAS ;na cerc&a r(#ida plana puede formarse simple partiendo de tr es barras unidas por nodos en sus etremos formando una trián#ulo y lue#o etendiendo dos nuevas barras por cada nuevo nodo o unión.
BASTIDORES Los bastidores y máquinas son dos tipos de estructuras que por lo re#ular están compuestas por miembros multifuerza conectados mediante pasadores es decir, miembros que están sometidos a más de dos fuerzas. Los bastidores son #eneralmente estacionarios y se utilizan para soportar car#as, mientras que las máquinas contienen partes móviles y están diseBadas para transmitir y alterar el efecto de las fuerzas. %iempre que un bastidor o una máquina est)n apropiadamente restrin#idos y no conten#an más soportes o miembros que los necesarios para prevenir el colapso las fuerzas, que act*an en los nudos y soportes, pueden ser determinadas aplicando las ecuaciones de equilibrio a cada miembro. ;na vez obtenidas las fuerzas en los nudos, es posible diseBar el tamaBo de los miembros, coneiones y soportes usando la teor(a de la mecánica de materiales y un códi#o de in#enier(a adecuado. 'ara determinar las fuerzas que act*an en los nudos y soportes de un bastidor o máquina, la estructura debe ser desmembrada y trazarse los dia#ramas de cuerpo libre de sus partes. A continuación se mencionan los puntos que deben cumplirse!
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ESTATICA
APLICACIONES
5eterminar la fuerza en el miembro DE del sistema que aparece en la fi#ura.
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ESTATICA -
nálisis !eom"trico#
-
$orte c’ – c’ # (%arte &uperior).
%or la simetr'a de la estructura#
........................3-4. -
$orte b’ – b’ # (%arte ereca).
.....................................304. *eempla+ando () en (-) tenemos#
-
nali+ando el nudo D#
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ESTATICA
PROPIEDADES 5EOETRICAS DE %I5URAS PLANAS
AREA DE UNA SUPER%ICIE El área de superficie total de un sólido es la suma de las áreas de todas las caras o superficies que encierran el sólido. Las caras incluyen las cimas y los fondos 3bases4 y las superficies restantes. El área lateral de superficie de un sólido es el área de superficie del sólido sin las bases. Oma#ine una lata de sopa. /orte la cima y el fondo. Estas son las bases de la lata. A&ora corte recto &acia aba+o el lado de la lata y aplánelo. Tendrá dos c(rculos y un rectán#ulo. El área del rectán#ulo es el área lateral de superficie. La suma de las áreas del rectán#ulo y los dos c(rculos es el área de superficie total.
Este proceso puede ser ima#inado con cada uno de los sólidos para ima#inar la superficie lateral y la3s4 base3s4.
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ESTATICA
El área lateral y total de superficie de cada tipo de sólido es calculada de acuerdo al tipo de sólido y a la forma de la base. Cea las pá#inas para el área de superficie de un cono, el área de superficie de ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA un cilindro, el área de superficie de un prisma, el área de superficie de una pirámide y el área de superficie de una esfera para más detalles.
PRIER OENTO DE AREA OENTO ESTATICOJ El primer momento de área 3tambi)n momento estático o de primer orden4 es una ma#nitud #eom)trica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el conteto del cálculo de vi#as en in#enier(a estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de /olli#non, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la vi#a. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.
Los momentos de primer orden de un área, se desi#nan por la letra & o Q. 5ado un e+e o recta se define el primer momento de área del área respecto a un e+e de ecuación viene dado por la inte#ral sobre el área de la distancia al e+e fi+ado!
%i consideramos coordenadas x e centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de área respecto a los e+es coordenados, por la propia definición de centro de masas!
Eso implica que para cualquier otro e+e que pase por el centro de #ravedad de la sección se tiene!
El cálculo respecto a un e+e cualquiera que no pase por el centro de masas es trivial ya que!
5onde resulta que c coincide con la distancia de ese e+e al centro de #ravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de %teiner para el primer momento de área.
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ESTATICA CENTRO DE 5RA(EDAD El centro de #ravedad es el centro de simetr(a de masa, donde se intersecan los planos sa#ital, frontal y &orizontal. En dic&o punto, se aplica la resultante de todas las fuerzas de #ravedad que act*an sobre un cuerpo .
/abe destacar que el centro de #ravedad no se corresponde necesariamente con un punto material del cuerpo. %i se trata de una esfera &ueca, por e+emplo, su centro de #ravedad no pertenecerá al cuerpo. CENTROIDE DE UNA SUPER%ICIE El centroide es un punto que define el centro #eom)trico de un ob+eto. %u localización puede determinarse a partir de fórmulas seme+antes a las utilizadas para determinar el centro de #ravedad o el centro de masa del cuerpo. %e consideran tres casos espec(ficos. CL;EN. %i un ob+eto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del ob+eto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los e+es de coordenadas. Las fórmulas que resultan son! D K 8 dv K 8 y dv F K 8 z dv "dv 8 dv 8 dv AEA. 5e manera seme+ante, el centroide para el área para el área superficial de un boleto, como una planc&a o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de a)rea en torno a los e+es de coordenadas a saber. D K 8 dA K 8 y dA F K 8 z dA 8 dvA 8 dA 8 dA LONEA. %i la #eometr(a del ob+eto tal como una barra del#ada un alambre, toma la forma de una l(nea, la manera de encontrar su centroide es el si#uiente! D K 8 dL K 8 y dL F K 8 z dL 8 dL 8 dL 8 dL NTA! En todos los casos anteriores la localización del centroide no está necesariamente dentro del ob+eto. Tambi)n los centroides de al#unas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetr(a. En los casos en los que la forma tiene un e+e de simetr(a el centroide de la forma estará a lo lar#o del e+e.
SE5UNDO OENTO DE AREA OENTO DE INERCIA J
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ESTATICA El momento de inercia 3s(mbolo O4 es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. /uando un cuerpo #ira en torno a uno de los e+es principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una ma#nitud escalar llamada momento de inercia. %in embar#o, en el caso más #eneral posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un con+unto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas comple+os, como por e+emplo en movimientos #iroscópicos. El momento de inercia refle+a la distribución de masa de un cuerpo o de un sis tema de part(culas en rotación, respecto a un e+e de #iro. El momento de inercia sólo depende de la #eometr(a del cuerpo y de la posición del e+e de #iro pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeBa un papel análo#o al de la masa inercial en el caso del movimiento rectil(neo y uniforme. Es el valor escalar del momento an#ular lon#itudinal de un sólido r(#ido.
TEOREA DE LOS EGES PARALELOS El momento de inercia de cualquier ob+eto sobre un e+e a trav)s de su centro de masa es el momento de inercia m(nimo sobre un e+e en esa dirección del espacio. El momento de inercia sobre un e+e paralelo a ese e+e que pasa por el centro de masa está dado por
La epresión aBadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce como el momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno a un e+e paralelo es la suma del momento de inercia del ob+eto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el ob+eto Itratado como una masa puntual en el centro de masaI sobre ese e+e paralelo.
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ESTATICA PRODUCTO DE INERCIA La inte#ral la cual se, obtiene al multiplicar a cada elemento dA de un área A por sus coordenadas e y e inte#rando sobre toda el área, se conoce como el producto de inercia del área A con respecto de los e+es e y. A diferencia de los momentos de inercia - e O ,, el producto de inercia puede ser positivo, ne#ativo o cero.
/uando uno o ambos de los e+es e y son e+es de simetr(a del área A, el producto de inercia Oy. Es i#ual a cero. 'or e+emplo, consid)rese la sección en forma de canal mostrada en la fi#ura >.-W. 'uesto que esta sección es sim)trica con respecto del e+e , se puede asociar con cada elemento dA de coordenadas e y un elemento dA de coordenadas y Iy. bviamente, las contribuciones a OD de cualquier par de elementos seleccionados de esta forma se cancela y, por lo tanto, la inte#ral de arriba se reduce a cero. 'ara los productos de inercia se puede derivar un teorema de e+es paralelos similar al establecido en la sección para momentos de inercia. /onsid)rese ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
;n área A y un sistema de coordenadas rectan#ulares e y. A trav)s del centroide / del área, cuyas coordenadas son D e se dibu+an dos e+es centroidales e y que son paralelos, respectivamente, a los e+es e y, epresentando con e y las coordenadas de un elemento de área dA con respecto de los e+es ori#inales y con e y las coordenadas del mismo elemento con respecto de los e+es centroidales, se escribe K S D e y K y S . %ustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación 3>.-04, se obtiene la si#uiente epresión para el producto de inercia 3 S g43y S I4 dA y OD!
La primera inte#ral representa el producto de inercia ODh del área A con respecto de los e+es centroidales e y. Las dos inte#rales si#uientes representan primeros momentos del área con respecto de los e+es centroidales dic&as inte#rales se reducen a cero puesto que el centroide / está localizado sobre esos e+es.
EGES INCLINADOS Es necesario a veces calcular Ou, Ov e Ouv para un área respecto a un sistema de e+es inclinados u, v conocidos los valores de j, O, Oy e Oy. ;samos ecuaciones de transformación que relacionan los e+es , y con los u, v uK cos jSy sin j ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA vKy cosjk sin j dOuKv0 dAK3 y cosjk sin j 40dA dOvKu0 dAK3 cosjSy sin j 40dA dO uvKuvdAK3 cos jSy sin j 43 y cos jk sin j 4dA
Inte/rando O uKO cos0jSO ysin0 jk0Oy sin j cos j OvKOsin0jSOycos0jS0Oysin j cosj OuvKOsin j cosjkOysin j cosjS0Oy3cos0jksin0j 4
S"l2!ando edante dentdades tr/ono7tr!as sin0jK0sin j cosj cos0jKcos0jksin0j
Podeos s"l2!ar a OuKOSOy0SOkOy0cos0jkOysin0j OvKOSOy0kOkOy0cos0jSOysin0j OuvKO kO y0sin0jS0Oycos0j
El oento "olar de ner!a res"e!to al e?e ' *&e "asa a tra7s del "&nto O es 9 KOuSOvKOSOy
oentos "rn!"ales de Iner!a H Ou, Ov, Ouv dependen del án#ulo de inclinación j de los e+es u, v H El án#ulo j K jp define la orientación de los e+es principales del área dOu @ dj Kk03OkOy@0 4sin0jk0Oycos0jK: jKj p tan0jpKkOy3 OkOy 4@0
oentos "rn!"ales de Iner!a H %ustituyendo cada una de las razones para el seno y ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA el coseno, tenemos O min@maKO SO y@03O kO y@0 40SO0y
Los resultados dan el momento de inercia má y m(n. para el área H %e puede demostrar que Ouv K :, i.e. el producto de inercia respecto a los e+es principales es cero H /ualquier e+e sim)trico representa un e+e principal de inercia para el área
EGES PRINCIPALES DE INERCIA /omo es sabido en mecánica del sólido r(#ido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base orto#onal se epresa mediante una matriz sim)trica. Los e+es principales de inercia son precisamente las rectas o e+es formados por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que #ira libremente alrededor de uno de estos e+es no var(a su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo #ira alrededor de un e+e arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. El &ec&o de que el #iro alrededor de un e+e principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido #ira alrededor de uno de sus e+es principales, el momento an#ular L y la velocidad an#ular son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal!
5onde es una ma#nitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dic&o e+e. En #eneral, un cuerpo r(#ido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. 'uede probarse además que si dos e+es principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dic&os e+es son perpendiculares. Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres e+es de inercia principales 3el tensor de inercia siempre se puede dia#onalizar4 aunque, en particular, el n*mero sistemas de e+es de inercia principales puede lle#ar a ser infinito si el sólido r(#ido presenta simetr(a aial o esf)rica. En el caso de la simetr(a aial dos de los momentos de inercia relativos a sendos e+es tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetr(a esf)rica, todos serán i#uales. Los sólidos r(#idos que tienen simetr(a esf)rica se denominan peonzas esf)ricas y, los que sólo tienen simetr(a aial, peonzas sim)tricas.
OENTO POLAR DE INERCIA ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA omento polar de inercia es una cantidad utilizada para predecir el ob+eto &abilidad para resistir la torsión, en los ob+etos 3o se#mentos de los ob+etos4 con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. %e utiliza para calcular el desplazamiento an#ular de un ob+eto sometido a un par .Es análo#o a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un ob+eto para resistir la fleión y es necesario para calcular el desplazamiento. omento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que caracteriza a un ob+eto de la aceleración an#ular debido a la torsión.
Lta!ones El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los e+es de sección cir cular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lu#ar. En los ob+etos con una variación si#nificativa de cortes transversales 3a lo lar#o del e+e del par aplicado4,que no puede ser analizado en se#mentos, un enfoque más comple+o que ten#a que ser utilizado. %in embar#o, el momento polar de inercia puede ser utilizado para calcular el momento de inercia de un ob+eto con sección transversal arbitraria.
De2n!3n ;n esquema que muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de una forma arbitraria o sobre un e+e p es la distancia radial al elemento dA.
RADIOS DE 5IRO %e define el radio de #iro como la distancia desde el e+e de #iro a un punto donde podr(amos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dic&o e+e se obten#a como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de #iro.
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ESTATICA
ESTATICA II PORTICOS ESTATICAENTE DETERINADOS
DE%INICIHN 'órtico es un sistema estructural de una sola planta con uno o varios vanos y constituidos por barras rectas 3vi#as y pilares4 'órticos se puede definir como un con+unto de elementos estructurales unidos en sus etremos mediante +untas r(#idas o pernos, además se cumple que los e+es de las vi#as no están alineados.
5RADO EST@TICO ?5esde el punto de vista de sus vinculaciones y ensambles 6ipostático.I inestable. Osostático.I se resuelve con las ecuaciones de la estática. 6iperestático.I no se pueden resolver con las ecuaciones de la estática. ?'or su buena o mala colocación de sus v(nculos internos y apoyos eternos I1eom)tricamente estable I1eom)tricamente inestable
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ESTATICA 1 Et K G E E G E / 5ónde! K n*mero de reacciones. E E K n*mero de ecuaciones. E / K n*mero de ecuaciones de condición.
ESTABILIDAD 5EOTRICA La estabilidad #eom)trica en pórticos depende de la buena o mala colocación de apoyos o v(nculos eternos y buena o mala colocación de ensambles o v(nculos internos en estructuras compuestas. Al i#ual que en cerc&as los pórticos se deben analizar la estabilidad #eom)trica eterna e interna. La estabilidad #eom)trica eterna #eneralmente se determina analizando las l(neas de acción de las reacciones en v(nculos eternos 3pórticos simples4. En estructuras compuestas se debe además analizar c&apa por c&apa y establecer que entre c&apas no se #eneran movimientos incipientes que son #enerados por mala disposición de apoyos eternos y de ensambles internos. 1 EDT K : O%%TATO/ M b S Cs M n S E / O%%TATO/
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ESTATICA Rea!!ones en los a"oyos 'ara la determinación del equilibrio eterno o cálculo de las reacciones en los v(nculos eternos se si#ue eactamente el mismo procedimiento que para vi#as, o sea los W pasos secuenciales y consecutivos. -.I 5ia#rama de cuerpo real al cuerpo libre 3nombrar los nudos y secciones necesarias con letras o n*meros4.
2.- 5eterminamos el #rado estático
1E K I EE I E/ Mb S Cs Mn S E / Estabilidad #eom)trica eterna e interna. M.I5escomponer fuerzas inclinadas. esultantes de fuerzas distribuidas. 3bservar que el sistema de unidades sea
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compatible4
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ESTATICA
4) 5eterminación de las reacciones en los apoyos eternos
J < K : J
JA K : ó
J K:
J\ K : J/ K :
5) /omprobación
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ESTATICA /olocamos el valor de las reacciones y sentido de las reacciones confrontar el dia#rama de cuerpo libre resuelto de equilibrio eterno con el dia#rama de cuerpo real. Cerificamos! J < K : J
PHRTICOS SIPLES COPUESTOS 'lanteamiento #eneral H \a+o car#as sim)tricas no sufren desplazamientos &orizontales. H %i está sometido a una car#a no sim)trica puede des#losarse en la superposición de un sistema sim)trico y uno anti m)trico. H %i el n*mero de vanos es par El nudo situado en el e+e de simetr(a puede considerarse empotrado, siendo suficiente estudiar la parte de pórtico a un lado del e+e de simetr(a. H %i el n*mero de vanos es impar %e estudia solamente la parte de pórtico situado a un lado del e+e de simetr(a, atribuyendo a los puntos de la estructura que están en el e+e #iros y desplazamientos &orizontales nulos. En el caso de car#as anti m)tricas. %i el n*mero de vanos es par! %e estudia solamente una mitad del pórtico, impidiendo al punto A el desplazamiento vertical y aplicando en este punto un momento y una fuerza @& de modo que el movimiento de A sea i#ual al que tiene A como etremo superior del pilar central sometido a un momento 0 si el pilar central está empotrado! H %i el n*mero de vanos es impar! El momento flector en el punto A es nulo, pudi)ndose suponer una articulación.
%UERAS INTERNAS Es el resultado de la acción de los procesos que ocurren en el interior de la corteza terrestre y que producen cambios si#nificativos en la morfolo#(a del relieve terrestre. Estos procesos se manifiestan en movimientos verticales y &orizontales de corrimiento de las rocas
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ESTATICA TODO PARA LA DETERINACIHN DE %UERAS INTERNAS EN EL PLANO /ada una de dic&as fuerzas o momentos cuando act*an por separado en la sección provocan los estados de TA//ON, /'E%ON, /TANTE,
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ESTATICA DIA5RAA DE %UERAS INTERNAS
D+&?ar los da/raas de 2&er'as nternas del "3rt!o
En este e+emplo se muestra el proceso #eneral para analizar un pórtico plano, obtener las reacciones, dibu+ar los dia#ramas de cuerpo libre de cada uno de los miembros y dibu+ar los dia#ramas de momento, cortante y fuerza aial. %e usará el elemento #ráfico de la fibra a tensión y la convención de dibu+ar el dia#rama de momentos del lado de la fibra a tensión. El primer paso en el análisis de una estructura es la determinación de las reacciones. Aunque esta estructura tiene cuatro reacciones 3incó#nitas4 y solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio estático, se puede suponer con razonable ló#ica que las reacciones &orizontales en los apoyos son i#uales, es decir que! A K 5 K -:@0 K W 7N Esta &ipótesis, que se podrá comprobar más adelante cuando se presente el m)todo de las fuerzas para el análisis de estructuras &iperestáticas, permite analizar la estructura sin mayores problemas. 'ara las demás reacciones, se plantea la sumatoria de momentos en A, en la estructura %A K : -:V I -:5y K : ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA 5y K V 7N /on los valores de las reacciones encontrados, se dibu+an los dia#ramas de cuerpo libre de cada uno de los miembros y se usan las condiciones de equilibrio para cada elemento para ello se &acen cortes en los miembros
5ia#ramas de cuerpo libre con incó#nitas, se#*n c onvención #eneral de si#nos en las proimidades de los nudos y se colocan las incó#nitas internas de , C, N, si#uiendo las convenciones adoptadas, teniendo en cuenta que la fibra 3S4 quede siempre aba+o, tanto para columnas como para vi#as. Los dia#ramas de cuerpo libre con los valores de las fuerzas internas en los etremos de cada elemento, obtenidos mediante las ecuaciones de equilibrio de la Estática, aplicadas en cada miembro.
Diagramas de cuerpo libre de los miembros del pórtico ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA /on los valores obtenidos de las fuerzas internas en los etremos de los miembros del pórtico se pueden dibu+ar los dia#ramas de cortante, momento y el nuevo dia#rama de fuerza aial 3que no eist(a en las vi#as4 las ordenadas en las vi#as se miden verticalmente y en las columnas &orizontalmente para evitar confusiones se recomienda el uso de colores diferentes para las vi#as y las columnas.
(ALORES @KIOS POR ELEENTO Para el diseño de los sistemas de pórtico es necesario la determinación de las fuerzas internas momento! cortante y fuerza a"ial# anteriormente se mostraron los diagramas de momento y fuerza cortante de una $iga y se indicaron las con$enciones t%picas empleadas para el di&u'o de esos diagramas. (sta determinación de las fuerzas internas es lo ue se *a llamado tradicionalmente el +an,lisis de una estructura.
ELEENTOS: APOOS CAR5AS INCLINADAS Las columnas son elementos que traba+an principalmente a car#a aial de compresión o esta combinada con fleión. Los perfiles con que se forman la columnas #eneralmente son perfiles tubo circular, tubo cuadrado combinación de perfiles 3canales4 y a veces una combinación de an#ulares. Es importante determinar las coneiones de etremos, ecentricidades de car#as y caso de columnas altas la esbeltez que +ue#a un papel importante en el desempeBo del elemento.
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ESTATICA Las vi#as son elementos &orizontales, en al#unos casos inclinados e incluso puede ser verticales, cuya función es transmitir car#as que producen principalmente fleión. Este tipo de elemento pueden formarse con los perfiles o una combinación de ellos, pero los más apropiados son perfiles ,% y /.
APLICACIONES Determinar Diagramas de /0! 10 y 0.
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ESTATICA
-
An,lisis 3eomtrico
- ,lculo de 6eacciones (n 7 I )
De donde
(n 7 II )
ontrol 7en toda la estructura).
-
8uerzas interiores
(n 7 I )
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ESTATICA
(n 7 II )
-
Diagramas
(uili&rio nudo C
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ESTATICA
CABLES
DE%INICION Los cables son elementos estructurales lineales 3las dimensiones de su sección son muy pequeBas comparadas con su lon#itud4. Tienen la caracter(stica de ser sumamente fleibles. azón por la cual para su estudio no se considera su resistencia a fleión y se los diseBa para soportar car#as en forma ail, con esfuerzos *nicamente de tracción. Al estar sometidos a un sistema de fuerzas los cables alcanzan el equilibrio adaptando su forma a la del funicular de car#as. El estudio estático de estos sis temas se reduce al estudio de la curva funicular. 'or su simplicidad, versatilidad, resistencia y econom(a, los cables se &an convertido en un elemento imprescindible en muc&as obras de in#enier(a. 'ensemos en los puentes col#antes, no solo los #randes sino tambi)n los pequeBos construidos para comunicar veredas en zonas rurales, las #arruc&as, los sistemas de transporte de productos a#r(colas en los cultivos, los sistemas de ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA interconeión el)ctrica, los cables para potenzado en una obra de &ormi#ón, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pa#odas o tec&os, etc. 'or su fleibilidad, los cables solo a#uantan fuerzas de tracción, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de fleión se pueden &acer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la #eometr(a que )l adquiere al aplicar las car#as, es tal, que ase#ura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo traba+o a tracción del elemento. El tipo de #eometr(a que adquiere un cable depende del tipo de car#as actuantes. 'ara cables sometidos a car#as uniformes en la proyección &orizontal, adquieren una forma parabólica si#uiendo la forma del dia#rama de momentos de una vi#a simple cables sometidos a car#as puntuales adquieren una forma discontinua discontinua en cada punto de aplicación de las car#as y cables sometidos a su propio peso 3en este caso no es una car#a uniforme4 forman una curva llamada catenaria. ;n e+emplo de este *ltimo caso es el de las redes de ener#(a. En el caso de que la flec&a del cable 3distancia vertical desde los etremos &asta el punto más ba+o4 no sea muy #rande, esta catenaria se puede aproimar a una parábola. 'ara el análisis se consideran totalmente fleibles e inetensibles de tal manera que en toda su lon#itud los esfuerzos solo serán aiales de tracción y si empre tan#enciales tan#enciales a la curva del cable.
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ESTATICA
La forma de la catenaria se puede suponer parabólica siempre y cuando sea pequeBa. 3Pu) tan pequeBaQ, pequeBaQ, se +ustifica &acer un estudio de la flec&a en función de la lon#itud cuando un cable está sometido a car#a uniforme en proyección &orizontal y compararla con la flec&a para peso propio para poder sacar un l(mite en esta relación4. -. /ables sometidos a car#as puntuales Los cables sometidos a car#as puntuales adquieren una #eometr(a tal que en cada punto de aplicación de una car#a se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable dependerá de la ma#nitud de las car#as puntuales y de su punto de aplicación.
PARTES DE UN CABLE Ala+res o =los ! elementos básicos, #eneralmente de acero trefilado de alta resistencia mecánica, car#as de rotura -0::I0::: 'a ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA Alas! N*cleos en torno a los cuales se enrollan los alambres y los cordones. %uelen ser metálicas o tetiles 3cáBamo, al#odón4. Cordones ! estructuras más simples que se pueden constituir mediante le trenzado de varias capas de alambres. A su vez, los cordones son arrollados &elicoidalmente &elicoidalmente alrededor del n*cleo o alma central. Ca+os! son a#rupaciones de varios cordones en torno a un alma secundaria.
%UNICULARIDAD DE LAS CAR5AS 'odr(amos decir que se trata de un sistema de transporte transporte terrestre, utilizado en zonas de #ran desnivel/., en la que dos ve&(culos se mueven simultáneamente en sentidos contrarios, movidos sobre ra(les., etc. ;n eamen más cercano nos indicar(a que dic&os ve&(culos van su+etos a un cable, etc. etc. 'ues bien, esta primera percepción nos proporciona dos pistas a se#uir para investi#ar lo que sean esto de "los funiculares$, a saber! los ve&(culos se mueven sobre ra(les lo que nos llevar(a a investi#ar el mundo de los ferrocarriles y en se#undo lu#ar, los ve&(culos van unidos entre s( por un cable que es el que les proporciona la tracción para arrastrarlos o retenerlos lo que nos llevar(a a investi#ar el mundillo de los transportes por cable.
TEOREA DEL CABLE La teor,a del !a+le clásica utiliza modelos matemáticos para calcular el flu+o de una corriente el)ctrica 3y el)ctrica 3y de la tensión asociada4 a lo lar#o de fibras neuronales 3aones4 pasivas, en particular las dendritas dendritas que que reciben la entrada de las sinapsis en diferentes lu#ares y tiempos. Las estimaciones se realizan modelado a las dendritas y aones como cilindros compuestos de se#mentos con capacitancia y resistencia combinadas en paralelo 3Cer
CAR5AS CONCENTRADAS DISTRIBUIDAS
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ESTATICA 1. Car/as Con!entradas Los cables sometidos a car#as puntuales adquieren una #eometr(a tal que en cada punto de aplicación de una car#a se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable dependerá de la ma#nitud de las car#as puntuales y de su punto de aplicación.
P'or qu) se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se traba+a con cablesQ %iempre la reacción será contraria a la acción e+ercida por el cable, ley de acción y reacción, por lo tanto solo se e+ercerán fuerzas, no momentos, en la misma dirección del *ltimo tramo de los cables. /on la articulación como apoyo se ase#ura que la reacción ten#a dos componentes por &allar, la ma#nitud de la fuerza y su dirección. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendr(amos un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incó#nitas. Note que la dirección de las reacciones depende de la #eometr(a del cable y que esta a su vez depende de las car#as aplicadas.
%i en el cable analizado, sus dos apoyos están al mismo nivel, se puede solucionar el análisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable. 'ara las componentes &orizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la #eometr(a del cable. %i se conoce al menos una flec&a del cable en cualquier tramo, se podr(a determinar la dirección de una de las reacciones y as( la componente &orizontal. 'ara este caso especial la cuarta ecuación ser(a! en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se epresan en función de j.
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ESTATICA
/omprobamos que la fuerza &orizontal es constante en toda la lon#itud del cable e inversamente proporcional a la flec&a. En el caso de tener varias car#as aplicadas, se &ace necesario conocer al menos una de las flec&as del cable. Asumiendo que la flec&a conocida sea central, se puede analizar el cable aplicando el m)todo de los nudos, considerando cada punto de aplicación de car#a como un nudo de cerc&a sometido a tracciones y car#as eternas o el m)todo de las secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flec&a conocida y tomando momentos con respecto al punto de corte. 5e esta manera se despe+a la componente &orizontal de la reacción. Ten#a en cuenta que para apoyos alineados &orizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por el equilibrio eterno. A continuación se muestra el dia#rama de cuerpo libre cuando se utiliza el m)todo de los nudos. En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta una incó#nita por averi#uar que corresponde a la tracción de este.
%e de+a al lector efectuar este cálculo por nudos. 'ara cables con apoyos no lineados &orizontalmente, se puede plantear encontrando las reacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la l(nea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flec&a!
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ESTATICA
Este valor es constante en toda la lon#itud del cable ya que no depende de '.
3Ecuación -4 /ortando por m y realizando equilibrio en la sección izquierda! 5onde m. 5espe+ando 01
representa los momentos de las car#as eternas con respecto al punto
3Ecuación 04 O#ualando la ecuación - por D con la ecuación 0!
5onde \ se considera el etremo derec&o del cable y m un punto medido desde el etremo izquierdo del cable. Note que en esta ecuación no están involucradas las reacciones verticales, solo las car#as eternas. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA Esta ecuación relaciona la componente &orizontal de la tensión, la flec&a del cable en un punto determinado y las car#as actuantes, se conoce como el teorema del cable! $En un punto cualquiera de un cable sometido a car#as verticales, el producto de la componente &orizontal de la tensión por la flec&a en ese punto, es i#ual al momento flector que act*a en esa sección si se considera el cable como una vi#a simplemente apoyada$. En el caso de que el apoyo en \ est) por encima del apoyo A, la ecuación %e conserva. 3ealice equilibrio y despe+e4
'ara despe+ar 6 o m de esta relación se necesita conocer al menos una de las dos. En el diseBo de estructuras con cables, el diseBador tiene la opción de fi+ar la flec&a deseada o fi+ar la componente &orizontal de la tensión, la cual permanece constante en toda la lon#itud. E9E/O/O 3E+ercicio WI> del libro de 6ibbeler4. 5etermine la fuerza ' necesaria para mantener el cable en la posición mostrada. /alcule tambi)n la flec&a \ y la tensión máima del cable.
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ESTATICA
5ebido a que la componente &orizontal siempre es constante, las tensiones máimas serán aquellas cuya componente vertical sea máima, esta se presentará siempre en los apoyos. /omo una de las incó#nitas es una car#a aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a solucionar la componente &orizontal. Aplicando el m)todo de los nudos podemos despe+ar Ay ! Equilibrio en el nudo \ por equilibrio en A, 2 3 4456N %i tomamos momentos en / podemos epresar A en función de Ay conocida! 6aciendo equilibrio vertical podemos encontrar '! /onocida ' podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente &orizontal! %eme+ando una vi#a simplemente apoyada y partiendo por E! Aplicando de nuevo la ecuación del cable en el punto \ podemos encontrar la flec&a en ese punto!
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ESTATICA La tensión máima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendrá mayor reacción que el apoyo A, Ppor qu)Q
0. Ca+les soetdos a !ar/as &n2oreente dstr+&das en la "roye!!3n =or'ontal %e considera que el peso produce una car#a uniformemente distribuida en la proyección &orizontal, caso de cables cuya relación flec&a@lon#itud es pequeBa. La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo v)rtice representa el punto más ba+o de este. Eisten dos maneras de analizar el cable, considerar el ori#en de la parábola en el centro o considerarlo desde un etremo.
a. 5esde el centro
%e encuentra la componente &orizontal de la tensión en función de las car#as y de un valor de la flec&a en un punto determinado o se determina la coordenada de la forma de la curva del cable en función de la componente &orizontal. Tomando momentos con respecto a 5 tenemos!
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ESTATICA Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto / en cualquier posición , note que la ecuación corresponde a una parábola. 'ara encontrar el valor de la componente &orizontal 6 debemos conocer el valor de la flec&a en un punto. En el caso de conocer la flec&a máima en / y considerando la simetr(a tenemos! , en esta ecuación podemos observar que el momento máimo e+ercido por la componente &orizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máimo de una vi#a simplemente apoyada. 'ara encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada!
El án#ulo de inclinación del cable en cualquier punto es!
La tensión máima se e+erce en los apoyos cuando x4L7!
La tensión m(nima se e+erce cuando 148 y corresponde al valor de la componente &orizontal de la tensión, 6. b. /ables con apoyos no alineados &orizontalmente!
Tomando momentos con respecto a \ y seccionando el cable por m y tomando momentos con respecto a m!
O#ualando y despe+ando la 6?y m ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
5onde y m corresponde a la flec&a medida desde la cuerda y está medida desde el etremo izquierdo. 'ara mKL@0
ue corresponde al valor del momento máimo desarrollado en una vi#a &orizontal con la misma car#a w. La ecuación que define la forma del cable es una parábola con ori#en en el etremo izquierdo! 'ara encontrar la abscisa del punto de tan#encia cero, se epresa y m en función de 6, se deriva e i#uala a cero!
/onstituye la tan#ente en cualquier punto del cable 'ara d7dx48 'unto de tan#encia cero. Note que depende de 6 y a la vez 6 depende de la flec&a, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o 6 o y m. Lon#itud del cable necesaria!
Epresando una lon#itud diferencial de cable en función de dx y d tenemos! 5ividiendo por d 0 y multiplicando por d fuera del radical!
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ESTATICA
%e conoce la epresión dy@d eemplazando!
Onte#rando esta función se puede obtener la lon#itud del cable. En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tan#encia cero, el valor de dy@d es!
d 6aciendo una sustitución de variables!
, donde D es el valor de la proyección &orizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tan#encia cero. En el libro "ecánica vectorial para in#enieros, estática$ de \eer, 9o&nston y Eisenber# se plantea otra solución para esta inte#ral epandiendo el radical por medio del teorema del binomio. Esta solución está en t)rminos de la flec&a máima y la distancia D desde el punto de flec&a máima a uno de los apoyos.
PESO PROPIO
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ESTATICA 1 En&n!ado El cable en la fi#ura tiene una densidad lineal de peso . La tensión en su punto más ba+o es . /alcula la distancia y la tensión máima en el cable.
0 Sol&!3n La curva que describe la forma de un cable que sostiene *nicamente su propio peso recibe el nombre de catenaria. %i el cable sólo tiene una fec&a 3los dos puntos de ancla+e están a la misma altura4 la función que describe la curva es
El ori#en de coordenadas se toma en el punto más ba+o del cable. La constante es el cociente entre el peso por unidad de lon#itud del cable y la tensión en el punto más ba+o, 2 :. 5e los datos del enunciado
'ara calcular la flec&a usamos la epresión de la catenaria. /omo los puntos de ancla+e están a la misma altura, el punto más ba+o del cable está en el punto medio entre los dos ancla+es. Es decir
La tensión var(a con la distancia al punto más ba+o del cable
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ESTATICA Es máima en el punto más ale+ado del punto más ba+o. En este caso, son los puntos de ancla+e. La tensión máima es
CATENARIA %e llama catenaria la curva asumida por un cable de sección transversal uniforme que está suspendido entre dos puntos y que no soporta más car#a que su propio peso, como muestra la fi#ura - en la &o+a de #ráficos La car#a que se &ace que adopte la forma de una parábola en que en el primer caso la car#a está uniformemente repartida a lo lar#o del cable en tanto que en la #ráfica 0 lo está sobre la proyección &orizontal. El estudio de la catenaria tuene importancia práctica *nicamente en el caso de los cables en el caso de los cables en lo que la flec&a es #rande en proporción a la luz, ya que en caso contrario la curva asumida por el cable puede considerarse como una parábola sin #rave error. 'ara determinar la ecuación de la catenaria y deducir al mismo tiempo al#unas relaciones importantes entre cantidades tales como la flec&a, la luz, la lon#itud del cable, la tensión etc. %e considera un dia#rama de cuerpo libre
ECUACIONES %UNDAENTALES
En este caso la car#a soportada por el cable 3su peso4 está repartida uniformemente a lo lar#o de la curva asumida por el cable, pero, puesto que la flec&a 3f4 es pequeBa, la proyección &orizontal de un arco de curva es aproimadamente i#ual a la lon#itud del arco y, por consi#uiente la car#a está con bastante aproimación uniformemente repartida en la dirección &orizontal. 'ara resolver los problemas en que intervienen cables de esta naturaleza, se utiliza la ecuación de la curva asumida por el cable 3la parábola4 y las ecuaciones que epresan las relaciones entre la luz 3a4, la flec&a 3f4, la lon#itud del cable 3l4, la tensión 3T4, etc. /on ob+eto de determinar la ecuación de la parábola consideramos una parte A\ del cable como un cuerpo libre 3fi#ura b4. Tomaremos como ori#en de coordenadas el punto más ba+o del cable A, y la tensión en este punto la desi#naremos por ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA 6. La tensión en un punto cualquiera \ la desi#naremos por T. Esto supuesto, la porción de cable A\ está en equilibrio ba+o la acción de las tres fuerzas 6, T y la car#a vertical 9x que act*a en el punto medio 5 de la distancia entre A y /. 'uesto que esas tres fuerzas están en equilibrio tienen que ser concurrentes y, por consi#uiente, la l(nea de acción de T pasa por 5. Las ecuaciones de equilibrio son! J
..3M4
5e 304 TK
..3V4
O#ualando 3M4 y 3V4 K Tan R K
..3W4
'ero de la fi#ura Tan R K
Tan R K 34 Lue#o, i#ualando W y K yK ..3]4 E/;A/ON 5E LA /;CA La curva es, pues, una parábola con el v)rtice en A y e+e vertical. Eliminando R de 3-4 y 304, tenemos 5e -4 T /os R K 6 T0 /os0R K 60 ..`4 5e 04 T %en R K 9x ING. OSCAR CHAVEZ
T0 %en0R K w00.>4 Página 11"
ESTATICA %umando `4 y >4 tenemos T0/os0 S T0%en0R K 60Sw00 T03%en0RS/os0d4 K 60Sw00 TK .3-:4 Al aplicar las ecuaciones que antecedente lo que nos interesa es la tensión en el punto de apoyo, por ser en este punto donde la tensión es máima. 'or consi#uiente, si desi#namos por a la luz y por : el valor máimo de 3esto es, la flec&a4 de las ecuaciones 3M4 y 3V4 se deduce! %ustituyendo en 3]4 K
y y por f tenemos
fK fK 3--4 En la ecuación -:, sustituyendo por a@0, la tensión en el punto de apoyo 8T8 será
TK . 3-04 Tensión en el punto de apoyo %ustituyendo --4 en -04
TK
TK
TK . 3-M4 Tensión máima en función de datos fácilmente medibles en el campo como son 8a8 y 8f8 Deternareos a=ora la lon/t&d del !a+le en 2&n!3n de la l&' a y de la 2le!=a 2. La lon#itud de un arco de una curva cualquiera, se obtiene por medio de la ecuación.
sK 5e la ecuación ]4
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
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'or consi#uiente, si desi#namos por 8l8 la lon#itud del cable, tenemos!
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ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
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La serie conver#e para valores de menores de :.W en la mayor(a de los casos, la relación es muc&o más pequeBa y solo es necesario calcular los dos primeros t)rminos de la s erie.
TRACCION AKIA La intensidad de las tracciones desarrolladas en el cable y de los empu+es en los apoyos y de los empu+es en los apoyos depende de la ma#nitud y posición de la car#a aplicada y de la flec&a. 'or eso, cuanto mayor sea la flec&a mayor será a lon#itud del cable tendido entre dos puntos fi+os y menores de los esfuerzos y empu+es y, consecuentemente, la sección del cable y viceversa para una flec&a y lon#itud menores se producirá unos esfuerzos mayores y se necesitara cable de mayor sección y por tanto más pesado.
APLICACIONES El puente col#ante y el puente estabilizado por cables son las formas más usuales de observar sistemas formados por cables 3v)ase M4. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
•
EGERCICIO DE CABLES
'ara la car#a aplicada sobre la vi#a, determine! Las car#as sobre los apoyos
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ESTATICA
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ARCOS ESTATICAENTE DETERINANDOS
(I5A CUR(A La teor(a de la fleión de vi#as curvas. %e considera solo vi#as que ten#an un e+e de simetr(a de su sección recta situada en el plano lon#itudinal de las vi#as se trata *nicamente el caso elástico con las suposición usual del módulo de elástico es el mismo de la tensión a la compresión. Las vi#as curvadas que permite el estr)s que se determinen por las formas como #anc&os de la #r*a y los anillos. /uando las dimensiones de la sección transversal son pequeBas en comparación con el radio de curvatura del e+e lon#itudinal la teor(a de la fleión puede ser relativamente precisa. /uando esto no es el caso, incluso mediante la modificación de \ernoulliIEuler sólo proporciona soluciones aproimadas K cepae K ecentricidad 3r cInr4 3m4ccK distancia desde el e+e centro de #ravedad a la superficie interna. 3m4ciK 5istancia del e+e neutro a la superficie interna. 3m4oc K 5istancia del e+e neutro a la superficie eterior. 3m4d K %uperficie de rotación resultante de la fleión K tensión 3N @ m04E K ódulo de oun# oun# K @ e 3N @m04 y K distancia de la superficie de la superficie neutra 3m4.nr K radio del e+e neutro 3m4.r cK radio del centro de #ravedad 3m4.r K radio del e+e considerado 3m4.O K momento de inercia3Vm I de manera más normal deVcm4ódulo deVcm4ódulo de la sección F K E @ yma3mMI de manera más normal deMcm. Análisis para vi#as curvas.
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
DE%INICION DE ARCO El arco es un elemento estructural en la arquitectura y en la in#enier(a civil, que lleva a cabo como funciones cubrir claros, soportar car#as, as( como constituir un elemento estático. ;na amplia #ama de formas #eom)tricas de arcos &an sido construidas desde la anti#edad. Los romanos usaron el arco semicircular en puentes, acueductos y arquitectura de #ran escala este tipo de arco consist(a en la unión de bloques de tabique o piedra, dispuestos en forma circular. En estas estructuras los bloques se manten(an en su posición debido a su #eometr(a y a la fuerza de compresión que act*a a lo lar#o del e+e del arco. Los principios #eom)tricos +u#aron un papel muy importante en el diseBo de arcos estructurales a trav)s de la &istoria, especialmente en tiempos anteriores al conocimiento de las leyes f(sicas. tros diseBos de arcos &an pasado a la &istoria, los que fueron concebidos más por su forma est)tica que por su funcionalidad. El arco convierte las fuerzas de compresión verticales, en fuerzas laterales, es por esta forma que debe construirse los arcos +unto a al#*n elemento que &a#a de estribo, tal y como un muros de contención. Las dovelas del arco van empu+ándose entre s(, transmitiendo las fuerzas verticales y convirti)ndolas en un componente &orizontal. El cálculo del empu+e de un arco, y poder decidir qu) dimensión deb(a tener el estribo para que el arco fuera estabilizado, es una de los problemas fundamentales constructivos. No toda estructura curva es un arco, un e+emplo puede ser el pescante, un voladizo curvo o una simple vi#a apoyada! todas ellas son falsos arcos. Todas ellas siendo estructuras curvas, o poli#onales, no transmiten empu+e y se consideran más bien una estructura isoIestática. En la mayor(a de los casos un arco de fábrica es una estructura &iperestática de tercer #rado. La comprensión de este fenómeno &izo que se pudiera comprender los mecanismos de desplome, as( como la determinación de las car#as l(mite que debe soportar un arco. Los arcos modernos son &ec&os de acero, concreto y madera laminada y se construyen en una variedad de combinaciones de elementos estructurales, donde al#unos de estos elementos traba+an a compresión y otros a tracción.
Usos El uso más tradicional de un arco &a sido, ya desde anti#uo como una forma de salvar un vano o abertura en el paramento de un edificio. 5ebido a su particular capacidad para transformar los empu+es verticales del peso del edificio, en componentes más &orizontales, se &a empleado como soporte, al mismo tiempo que forma de apertura de muros. En muc&os casos su eistencia da lu#ar a una ventana, a una puerta o acceso en #eneral. Tal es el caso de la función de los arcos como elementos de soporte en los contrafuertes de las catedrales. %u uso en la construcción de puentes 3en los denominados arcos de puentes4 &a sido fundamental. El empleo de con+untos de arcos encadenados en una secuencia ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA Ar!os sost#t!os ;n pórtico o arco con tres articulaciones es una estructura compuesta de dos barras o vi#as unidas por una articulación interna y soportada eternamente por dos articulaciones. 'uesto que el n*mero de condiciones estáticas de equilibrio 3M4 y el n*mero de ecuaciones especiales 3-4, son i#uales al n*mero de reacciones 3V4, los arcos y pórticos con tres articulaciones son estáticamente determinados. r K V M S f K MS- KV
E?e"los t,"!os 'órticos con tres articulaciones. Arcos con tres articulaciones. Arcos compuestos de más de tres articulaciones. Arcos &iperestáticos.
A08/ 7i3p&' 90ia09i85&a/
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A08/ '3p/90a/ ip'0'79á9i8/
PARTES DE UN ARCO 6asta la aparición en el si#lo DD de los arcos continuos. Los arcos estaban compuestos de diversos elementos. Al#unos de ellos pose(an denominaciones propias que se &an ido comunicando en los diversos tratados de construcción. Los elementos principales que componen un arco de piedra son! •
Las dovelas, son las piezas en forma de cuBa que componen el arco y se caracterizan por su disposición radial. Las dovelas de los etremos y que reciben el peso del arco, se llaman salmer 3es la primera dovela del arranque4. La parte interior de una dovela se llama intradós y el lomo que no se ve por estar dentro de la construcción, trasdós. El despiece de dovelas es la manera como están dispuestas las dovelas en relación con su centro. /uando las dovelas si#uen los radios de un mismo centro se llama arco radial aunque ese centro no
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA siempre coincida con el centro del arco! es el arco visi#ótico. /uando las dovelas se colocan &orizontales &asta cierta altura se llama arco en+ar+ado! es el arco mozárabe. •
La clave 3a veces denominada tambi)n como coronaX0`Y o dovela central4 es la dovela del centro, que cierra el arco. Es la *ltima que se coloca en la cimbra, completando el proceso constructivo del arco. La clave suele ser la dovela de mayor tamaBo, y para proporcionar estabilidad al arco es la más pesada. Las dos dovelas adyacentes a la clave se denominan contraclaves.
•
La imposta 3o arranque4! Es una moldura o saledizo sobre la cual se asienta un arco o una bóveda. A veces transcurre &orizontalmente por la fac&ada o los muros del edificio, separando las diferentes plantas. Al con+unto de dovelas desde el arranque &asta la clave se le denomina riBón.
•
La en+uta 3o albane#a4 es la parte de fábrica que cubre el etradós del arco 3es decir descansa sobre los riBones del arco4, por re#la #eneral se denomina a la fábrica entre dos arcadas sucesivas.
•
La rosca es fa+a de material de fábrica que, sola o con otras conc)ntricas, forma un arco o bóveda. %e considera rosca a la porción de material constructivo entre el intradós y etradós del arco.
TIPOS DE ARCO Los tipos de arcos q podemos mencionar son los si#uientes!
T"os de ar!os
5ependiendo de la forma #eom)trica del intradós en el frente del arco, eiste una numerosa cantidad de denominaciones de arcos. /ada estilo arquitectónico se &a caracterizado por un tipo propio de arco, cada )poca o cultura. Oncluso por cada arquitecto. /abe la posibilidad de que el ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA primer arco fuese el arco de medio punto 3semicircunferencia4, y a partir de )l se fuesen confi#urando los demás. 'or e+emplo, aquellos arcos en los que la clave se encuentre por encima del arco de medio punto se denominan apuntados. ientras en los que la clave se encuentre por deba+o se denominan reba+ados. 5ebido a la funcionalidad del arco a veces eisten otras posibles clasificaciones, arcos estructurales con capacidad tectónica en la edificación 3como son los arcos botantes, los arcos cie#os4, monumentales 3como los arcos de triunfo4, etc.
Ar!os !oneoratos Los arcos conmemorativos son los monumentos eri#idos para celebrar un acontecimiento de #ran relevancia &istórica, #eneralmente una importante victoria militar. 5e ori#en en la Anti#ua oma, su empleo se &a perpetuado &asta la actualidad. Normalmente, son #randes monumentos p)treos prismáticos, conformados a modo de una #ran puerta rematada en forma arqueada. La misión del arco en este caso es meramente ornamental, careciendo de si#nificación. Este tipo de arcos se ubica por re#la #eneral a la entrada de ciudades importantes, o de capitales. En muc&os casos &acen de puerta de acceso.
Ar!os !ontn&os
Los ar!os et#l!os se diseBan se#*n principios totalmente diferentes a los arcos de piedra. Esto se debe a que los metales son materiales que pueden resistir adecuadamente tanto tracción como compresión a diferencia de las construcciones en piedra y otros materiales cerámicos que sólo pueden resistir compresiones de importancia.XY La comple+idad de conocimientos y t)cnicas constructivas &an ido creciendo con el tiempo por lo que &a sido necesaria la especialización. 5e este modo, los arcos que se incluyen en #randes obras p*blicas, como los puentes, se consideran arcos de in#enier(a e incluso en ciertas obras, tradicionalmente arquitectónicas, como en al#unos estadios, la #ran luz de los arcos, &ace necesario aportar soluciones, tanto de arquitectura, como de in#enier(a. Eisten básicamente dos tipolo#(as de arcos metálicos!
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA •
Los arcos metálicos r(#idos en celos(a, formado básicamente por multitud de barras unidas en sus etremos que traba+an sometidas a esfuerzos aiales de tracción o compresión a lo lar#o del e+e lon#itudinal de las barras.
•
Los arcos metálicos fleibles, formado por una pieza prismática curva que traba+a predominantemente en fleión.
5RADO ESTATICO ?5esde el punto de vista de sus vinculaciones y ensambles 6ipostático.I inestable. Osostático.I se resuelve con las ecuaciones de la estática. 6iperestático.I no se pueden resolver con las ecuaciones de la estática. ?'or su buena o mala colocación de sus v(nculos internos y apoyos eternos I1eom)tricamente estable I1eom)tricamente inestable
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5ónde! K n*mero de reacciones. E E K n*mero de ecuaciones. E / K n*mero de ecuaciones de condición.
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
ESTA*I+I,A, !E&MET"ICA
5eoetr,a Pendentes
Cosenos dre!tores
Ca+os de rata de la "endente ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
ARCO IDEAL El arco es en esencia una estructura comprimida utilizada para cubrir #randes y pequeBas luces, y pueden considerarse como unos de los elementos estructurales básicos en todo tipo de arquitectura. La forma ideal de un arco capaz de resistir car#as determinadas por un estado de comprensión simple, puede &allarse siempre con la forma del pol(#ono funicular correspondiente invertido.
REACCIONES EN LOS APOOS 5eterminación de reacciones por proporciones! 'ara determinar las reacciones en vi#as sometidas a car#as puntuales podemos aplicar la si#uiente re#la! %siempre la reacción de un lado será i#ual a la car#a puntual multiplicada por la distancia de la car#a al apoyo contrario dividido la lon#itud del elemento.
'ara determinar las reacciones debidas a momentos siempre aplicamos que el momento eterno debe ser compensado por un par de fuerzas en los apoyos, cuya ma#nitud es el momento eterno dividido por la separación entre las fuerzas y su dirección es tal que produzca un momento contrario al aplicado eternamente. Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de sumatoria de fuerzas verticales i#ual a cero. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
Eestas dos re#litas +unto con el principio de superposición nos ayudarán bastante en la determinación de las reacciones en vi#as simplemente apoyadas. 'ara el análisis de arcos triarticulados con sus apoyos al mismo nivel se recomienda partir el arco por la articulación y tomar momentos de las fuerzas internas de la articulación con respecto a los apoyos. En este caso obtendremos un sistema de 0 ecuaciones con 0 incó#nitas. %i los apoyos están a diferentes niveles se toma el arco como un todo y toma momentos con respecto a uno de los apoyos, por e+emplo el apoyo a, despu)s parte el arco por la articulación y toma momentos de la parte que incluye el apoyo b con respecto a la articulación y queda un sistema de dos ecuaciones con dos incó#nitas.
%UERAS INTERNAS SUS DIA5RAAS %&er'as nternas en &n ar!o Las relaciones entre las fuerzas internas de un punto a otro implican cambios debido a las fuerza eternas en el tramo.
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
Ar!o !on !&ra "ara+3l!a
A partir de la ecuación #eneral de una curva parabólica encontramos la ecuación caracter(stica del arco planteado.
E!&a!3n de la !&ra
E!&a!3n de la tan/ente
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
E!&a!ones "ara ara!3n de #n/&los
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ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
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ESTATICA
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ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
/on la anterior ecuación de momento se calculan las reacciones. %e toman momentos por la izquierda con respecto a la articulación de la corona, para lo cual Los momentos debidos a las reacciones son i#uales al momento resultante de las car#as verticales.
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ESTATICA
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PORTICOS CON ELEENTOS CUR(OS La trayectoria del e+e de la vi#a de un pórtico puede ser curva de cualquier forma en el espacio, el sistema de car#a solicitante tambi)n puede ser cualquiera al i#ual que las solicitaciones eternas 3con un numero de restricciones tal que ase#uren el equilibrio4. Es por esto que las vi#as de e+e curvo no son otra cosa que un caso particular de las vi#as e #eneral, donde la trayectoria de su e+e si#ue en curva determinada que podr(a ser circular plana, el(ptica, &elicoidal, etc., con un radio y un centro de curvatura determinados determinados que tambi)n puede ser variables punto a punto. ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA APLICACIONES /alcular las reacciones.
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Análisis Geométrico:
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Calculo de reacciones:
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
La fuerza de reacción en A será:
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
LINEAS DE IN%LUENCIA EN ESTRUCTURAS ESTATICAENTE DETERINADA
INTRODUCCIHN Las l(neas de influencia desempeBan un papel importante en el diseBo de puentes, vi#as carrilera de #r*asIpuente, cintas transportadoras, y cualquier otro tipo de estructura en las que el punto de aplicación de las car#as se mueve a lo lar#o de su luz. Estas car#as se denominan car#as móviles. ;n e+emplo t(pico es el peso de un ve&(culo que circula por un puente. El caso contrario ser(a el peso propio de una vi#a que es una car#a que permanece prácticamente constante, y es por tanto una car#a permanente.
CONCEPTO DE LQNEAS DE IN%LUENCIA La l(nea de influencia representa la variación de las reacciones de momento o cortante en un punto espec(fico de un miembro a medida que una fuerza concentrada se desplaza a lo lar#o del miembro. ;na vez que esta l(nea es construida se puede determinar fácilmente cuál es la posición de la car#a en la estructura que provocar(a la mayor influencia en un punto especificado. Además a partir de los datos del dia#rama de influencia podemos calcular la ma#nitud de los esfuerzos de momento y cortante, e incluso el valor de la deformación en ese punto.
UTILIDAD DE LQNEA DE IN%LUENCIA Las l(neas de influencia tienen importantes utilidades en el diseBo de estructuras que resisten #randes car#as vivas. Estudiaremos cómo trazar la l(nea de influencia de una estructura estáticamente determinada. La teor(a se aplica a estructuras sometidas a una car#a distribuida o a una serie de fuerzas concentradas y se dan aplicaciones espec(ficas a trav)s de piso y armaduras de puentes.
LQNEAS DE IN%LUENCIA EN (I5AS EST@TICAENTE DETERINADA Todas las vi#as estáticamente determinadas tendrán l(neas de influencia que consisten en se#mentos rectos de l(neas. 5espu)s de cierta práctica uno debe ser capaz de minimizar los ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA cálculos y localizar la car#a unitaria sólo en puntos que representen los puntos etremos de cada se#mento de l(nea. 'ara evitar errores, se recomienda que primero se construya una tabla en la que aparezca la "car#a unitaria en $ versus el valor correspondiente de la función calculada en el punto espec(fico esto es, la "reacción $, la "fuerza cortante C$ o el "momento fleionante $. ;na vez que la car#a se &a colocado en varios puntos a lo lar#o del claro del miembro, es posible trazar los valores tabulados y construir los se#mentos de la l(nea de influencia. Este análisis será usado para los e+emplos en el análisis de l(neas de influencia para armaduras.
(ALORES @KIOS En realidad una l(nea de influencia para una car#a distribuida no se podr(a encontrar como tal, pero la l(nea de influencia de la car#a puntual se puede usar para determinar en qu) tramos colocar la car#a distribuida para que produzca los valores máimos en un punto. %i sabemos que el valor de la reacción, cortante o momento en un punto está dado por la por la ordenada "y$ de la l(nea de influencia multiplicada por el valor de la car#a actuante ' entonces para una serie de car#as ', o sea una car#a distribuida, el valor del cortante, momento o reacción se podr(a determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las car#as!
'ara car#as distribuidas podemos considerar que cada car#a ' corresponde al valor de la car#a distribuida por una lon#itud pequeBa de vi#a , dándonos la sumatoria como!
Notemos que el valor de la función conserva el si#no de la #ráfica de la l(nea de influencia, as(, si queremos obtener valores máimos debemos colocar la car#a distribuida sobre áreas que sumen, con el si#no correspondiente, a un valor eistente.
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ESTATICA
APLICACIHN E?e"lo /onstruya la l(nea de influencia para el cortante y momento en el punto \ y di#a en que puntos debe colocar una car#a puntual para producir los máimos efectos de cortante y momento en \.
Encontremos las reacciones en función de !
L,neas de n2l&en!a "ara !orte y oento en B ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
? : x
L,neas de n2l&en!a (B
B
%e producen dos puntos donde puede actuar ' y obtener el máimo momento en \, estos dos puntos son! K: y KVm. 'ara el cortante se debe colocar la car#a en KVm para obtener el mayor cortante en \.
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ESTATICA
INTRODUCCION A LOS ETODOS ENER5ETICOS
INTRODUCCIHN 'ara estructuras de una cierta comple+idad el m)todo anterior resulta de muy dif(cil aplicación, ya que requiere inte#rar un n*mero elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal dela estructura. ;n m)todo aproimado consiste en presuponer aproimadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfa#a las condiciones de contorno en los etremos de las piezas, y en i#ualar la ener#(a de deformación int con el traba+o eterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo et. 5urante la deformación, int. K et. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en t)rminos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. 'ara cada elemento lineal la ener#(a de deformación y el traba+o eterior vienen dados por!
l
W
int. =
½
∫ θ
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2
M f ( x ) 1 dx = El 2
l
[
]
2
2
( x )) dx ∫ El (d (W dx ) θ
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2
ESTATICA p W
ext. =
∫ . ∫ El l
2
θ
[
]
2
( dW ( x )) dx ( dx )
5ónde! f 34 K Es el momento flector sobre la sección de abscisa . El K Es el producto de módulo de oun# por el momento de inercia de la sección. 34 K Es la deflación o desplazamiento seccional de la sección de abscisa . ' crin. K Es la car#a cr(tica de pandeo.
ENER5QA POTENCIAL EUILIBRIO. Ener/,a Poten!al. 5esde el punto de vista etimoló#ico tenemos que determinar que el t)rmino que vamos a analizar está formado por dos palabras. La primera de ellas, ener#(a, procede del #rie#o y se compone de dos partes! enI que equivale a "dentro$ y er#ón que puede lle#ar a traducirse como "traba+o o acción$. La se#unda palabra de este t)rmino que nos ocupa es potencial. En este caso la misma tiene su ori#en en el lat(n donde nos queda claro que se forma a partir de l a suma de tres n*cleos! posse o potis que se puede definir como "poder$, IntI que es i#ual a "a#ente$ y finalmente el sufi+o Gal que se emplea para determinar que al#o es "relativo a$. %e conoce como ener#(a potencial a la capacidad que tiene un cuerpo para desarrollar una acción de acuerdo a cómo están confi#urados en el sistema de cuerpos que realizan fuerzas entre s(. En otras palabras, la ener#(a potencial es la ener#(a que es capaz de #enerar un traba+o como consecuencia de la posición del cuerpo. /oncepto! /uando un cuerpo se desplaza con relación a un determinado nivel de referencia, está en condiciones de acaparar ener#(a. Ceamos un caso! cuando un cuerpo es levantado a una cierta altura, adquiere ener#(a potencial #ravitacional. Al de+ar caer dic&o cuerpo, la ener#(a potencial se convierte en ener#(a cin)tica. En este sentido, por tanto, podemos establecer que ener#(a potencial #ravitatoria es aquella de la que #ozan los cuerpos que se encuentran a una altura. La citada ener#(a dependerá, por tanto, de ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA dos factores claramente delimitados! la #ravedad, es decir la atracción que la Tierra e+erza sobre aquellos cuerpos, y la masa de los mismos.
E*&l+ro. ;n sistema está en equilibrio cuando la fuerza total o resultante que act*a sobre un cuerpo y el momento resultante son nulos. En este caso, la propiedad macroscópica del cuerpo que no cambia con el tiempo es la velocidad. En particular, si la velocidad inicial es nula, el cuerpo permanecerá en reposo. El equilibrio mecánico puede ser de tres clases! estable, indiferente o inestable. %i las fuerzas son tales que un cuerpo vuelve a su posición ori#inal al ser desplazado, como ocurre con un tentetieso, el cuerpo está en equilibrio estable. %i las fuerzas que act*an sobre el cuerpo &acen que )ste permanezca en su nueva posición al ser desplazado, como en una esfera situada sobre una superficie plana, el cuerpo se encuentra en equilibrio indiferente. %i las fuerzas &acen que el cuerpo contin*e movi)ndose &asta una posición distinta cuando se desplaza, como ocurre con una varita en equilibrio sobre su etremo, el cuerpo está en equilibrio inestable.
RESOLUCIHN DE ESTRUCTURA Análisis estructural se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para encontrar los esfuerzos internos, deformaciones y tensiones que act*an sobre una estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria. O#ualmente el análisis dinámico estudiar(a el comportamiento dinámico de dic&as estructuras y la aparición de posibles vibraciones perniciosas para la estructura.
DIA5RAA DE %UERAS INTERNAS El diseBo de cualquier miembro requiere que el material que se use sea capaz de soportar las car#as internas que act*an sobre )l. Las car#as internas o solicitaciones se pueden determinar mediante el m)todo de las secciones.
ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
AN@LISIS COPARACIHN CON OTROS TODOS
El 7todo atr!al de la r/de'. Es un m)todo de cálculo aplicable a estructuras &iperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En in#l)s se le denomina direct stiffness met&od 35%, m)todo directo de la ri#idez4, aunque tambi)n se le denomina el m)todo de los desplazamientos. Este m)todo está diseBado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El m)todo matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de ri#idez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El m)todo de ri#idez directa es la implementación más com*n del m)todo de los elementos finitos. Las propiedades de ri#idez del material son compilados en una *nica ecuación matricial que #obierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El m)todo directo de la ri#idez es el más com*n en los pro#ramas de cálculo de estructuras 3tanto comerciales como de fuente libre4.
7todo de de2le<3n Este m)todo puede ser usado para análisis de todo tipo de vi#as estáticamente indeterminadas. %e consideran que todas las +untas son r(#idas, es decir que los án#ulos entre miembros en las +untas no cambian en valor, cuando es aplicada la car#a. Entonces las +untas en apoyos interiores de vi#as estáticamente indeterminadas pueden ser consideradas +untas r(#idas de -`:. /uando las vi#as son deformadas, las +untas r(#idas son consideradas rotaciones, es decir que la tan#ente permanece recta antes y despu)s de la aplicación de la car#a. tra consideración es por equilibrio en las +untas, la suma de los momentos fleionantes debe ser cero.
APLICACIHN ING. OSCAR CHAVEZ
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ESTATICA
E?e"lo. 5etermine la fuerza interna, la fuerza de corte y el momento flector que act*an en el punto \ de la estructura de dos miembros mostrada.
Sol&!3n eacciones de los soportes 5/L de cada miembro
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