TRABAJO WIKI ETAPA FINAL ALGEBRA LINEAL CIFRADO DE HILL
Willington Antonio Ortiz Serna……………Cod:1621980923 Miguel Ángel Calderón Ospina……………Cod:1621980256 Jesús David Velásquez Castro……………Cod:1410650316 Jhon Alexander Leiton Caro……………Cod:1621980106 Caro……………Cod:1621980106 Cristian Alexis Preciado Sánchez……………Cod:1621980182 Jose Davidson Betancurt Perez……………Cod:1621981047
TUTOR INGENIERO CARLOS ALIRIO BALLESTEROS TORRES
POLITECNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BASICAS BOGOTÁ D.C. 2016
INTRODUCCION
Lester Hill, matemático neoyorquino nace en 1891 y muere a los 70 años en 1961. Se desempeñó como Profesor en las universidades de, Montana, Princeton, Hunter College, y Yale, su investigación fue dedica a la criptografía, siendo su aporte más conocido el invento en 1929 del sistema de cifra que lleva su nombre, (cifra de Hill) Este sistema es polialfabético pues puede darse que un mismo carácter en un mensaje a enviar se encripte en dos caracteres distintos en el mensaje encriptado. Ordenaremos matricialmente todos los elementos. Para cifrar, se obtendrán los valores numéricos correspondientes a nuestra clave, se dividirá nuestra clave de tal manera que nos quede una matriz cuadrada. El algoritmo hace uso del Álgebra Lineal y debe cumplir con ciertas reglas: El determinante de matriz clave debe ser diferente de cero. El determinante inverso de la matriz clave, debe ser un valor entero, para que el mensaje pueda ser cifrado y descifrado. Una vez cumplido lo anterior se podrá realizar la partición por bloques de nuestro mensaje en claro (el tamaño del bloque depende del tamaño de la matriz clave), realizado esto multiplicaremos la matriz clave, por el vector mensaje, y obtendremos el cifrado.
MARCO TEÓRICO La criptografía es la técnica que protege documentos y datos. Funciona a través de la utilización de cifras o códigos para escribir algo secreto en documentos y datos confidenciales que circulan en redes locales o en internet. Su utilización es tan antigua como la escritura. Los romanos usaban códigos para ocultar sus proyectos de guerra de aquellos que no debían conocerlos, con el fin de que sólo las personas que conocían el significado de estos códigos descifren el mensaje oculto. A partir de la evolución de las computadoras, la criptografía fue ampliamente divulgada, empleada y modificada, y se constituyó luego con algoritmos matemáticos. Además de mantener la seguridad del usuario, la criptografía preserva la integridad de la web, la autenticación del usuario, así como también la del remitente, el destinatario y de la actualidad del mensaje o del acceso.
CRIPTOGRAFÍA SIMÉTRICA La criptografía simétrica solo utiliza una clave para cifrar y descifrar el mensaje, que tiene que conocer el emisor y el receptor previamente y este es el punto débil del sistema, la comunicación de las claves entre ambos sujetos, ya que resulta más fácil interceptar una clave que se ha transmitido sin seguridad (diciéndola en alto, mandándola por correo electrónico u ordinario o haciendo una llamada telefónica). CRIPTOGRAFÍA ASIMÉTRICA La criptografía asimétrica se basa en el uso de dos claves: la pública (que se podrá difundir sin ningún problema a todas las personas que necesiten mandarte algo cifrado) y la privada (que no debe de ser revelada nunca) Cifrado de Hill Este sistema se basa en el álgebra lineal fue el primer sistema de criptologia utilizando el alfabeto como medio de comunicación ya que permite traba jar con más de tres símbolos simultáneamente. Este sistema consiste en que el emisor para enviar el mensaje al receptor se encarga de cifrar el mensaje con las letras del alfabeto en donde las letras se enumeran, es decir; A=0, B=1, C=2…… hasta llegar a la última letra Z=26 y una
matriz clave n x n la cual será la principal ayuda para cifrar el mensaje oculto que se le va a enviar al receptor (esta matiz de números deben ser enteros entre 0 y 26) A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ñ
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
Para descifrar el mensaje que envió el emisor, mediante la inversa de la matriz n x n que envía el emisor para que el mensaje pueda ser descifrado A continuación, se solucionan dos ejercicios con el fin de explicar detalladamente este tipo de Cifrado.
http://www.informatica-hoy.com.ar/seguridad-informatica/Criptografia.php [Citado el 15/08/2016 a las 18:25]http://www.genbetadev.com/seguridad-informatica/tipos-de-criptografia-simetricaasimetrica-e-hibrida [Citado el 15/08/2016 a las 18:25]
http://www.textoscientificos.com/criptografia/hill http://historyoflinearalgebra.weebly.com/lester-s-hill-jdr.html
EJERCICIO 1 (Lo que está en rojo va ir en látex) Construya una matriz 2x2 diferente a la dada en el ejemplo, conveniente para usar como clave en el Sistema de Cifrado de Hill y con ella cifrar el siguiente mensaje: El hombre sabio.
Procedimiento 1. se crea una matriz con cuatro números naturales que permita que esta tenga inversa y para saber esto debemos hallar su determinante y teniendo en cuenta las propiedades de las matrices y determinantes este determinante debe ser diferente de cero (≠ 0) matriz clave=
2. se multiplica en cruz usando como regla restar el primer resultado con el segundo teniendo en cuenta la ley de signos si es el caso. Y el resultado final nos dará el determinante de la matriz Det= (7*4) -(3*2) =28-6 Det=22 Nota: es importante que el determinante de esta matriz sea un numero diferente de cero ya que, por propiedades de los determinantes, si fuese cero no permitiría que esta matriz tuviese inversa y por lo tanto hacer el descifrado correspondiente. Además, es de igual importancia que este determinante este dentro del módulo utilizado que en este caso es mod27 mas adelante explicaremos como conseguir un numero en este módulo.
3. a continuación remplazamos las letras del mensaje que queremos descifrar con las que nos proporciona el alfabeto de Hill usando 2 números por columna así siendo P (la posición) y la x el complemento final para que sean pares todas las posiciones así: A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Ñ
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
4.en el proceso de cifrado se procede a multiplicar las posiciones de la matriz clave por la columna que remplazamos anteriormente sumando los resultados de la fila 1 siendo su producto el resultado final de la fila 1 de la columna cifrada e igualmente se suman los resultados de la fila 2 siendo su producto el resultado final de la fila 2 de la columna cifrada teniendo en cuenta que estén en el modular 27 y después se remplaza de nuevo por las letras correspondientes. así:
Matriz clave
P1
Columna cifrada
Columna cifrada mod27
Letras remplazadas
Nota: como el 50 y el 56 no se pueden remplazar por letras porque estos números no están en el alfabeto de Hill, por lo que se convierten a modular 27 de la siguiente manera:
MOD27= 50/27 =1,851851852 MOD27= 56/27 =2,074074074 Tomamos el residuo y multiplicamos por 27 así:
0,851851852 x 27 = 23 MOD27 0,074074074x 27 = 2 MOD27 Y obteniendo este 23 y el 2 ya podemos remplazar por las letras del alfabeto
5.se procede a realizar el mismo proceso anterior con las posiciones restantes:
6. se consolidan las letras remplazadas cifradas en una frase completa y se obtiene nuestro mensaje cifrado. WC&&&&&&&&&&&
EJERCICIO 2 En el primer ejercicio se cifra o se en cripta un mensaje el cual solo podrá entenderlo la persona que tenga la clave para poder descifrar dicho mensaje. En este segundo ejercicio se debe saber cuál es el mensaje que ha sido cifrado o codificado, y no sabemos que dice. Para ello tenemos una clave con la cual debemos descifrar el mensaje. Para ello se siguen los siguientes pasos: Matriz clave de tres por tres. 1 2 5
-3 7
4 10 29
1. Lo primero que se debe hacer en buscar la matriz inversa de 19 la clave que se nos dio con el mensaje. Para ello se hace un procedimiento matemático utilizando el método de Gauss el cual consiste en: Clave que se nos dio. Matriz inversa E1 1 -3 4 1 0 0 E2
-2
7
-10
0
1
0
E3
5
-19
29
0
0
1
El método de Gauss consiste en pasar por medio de operaciones matemáticas la matriz inversa (color verde), al lado izquierdo (color azul) y el resultado que nos queda en el lado derecho será la matriz inversa que nos servirá para descifrar el mensaje. La primera operación matemática es: E1 (2) + E2 => E2. E1 1 -3 4 1 0 0 Nvo. E2 E3
0 1
-2
2
1
0
5 -19 29
0
0
1
Luego se continúa con: E1 (5) + E3 => E3 E1 1 -3 4 1
0
0
E2
0
1
-2
2
1
0
Nvo. E3
0
-4
9
-5
0
1
Continuamos con: E2 (4) + E3 => E3 E1 1 -3 4
1
0
0
E2
0
1
-2
2
1
0
Nvo. E3
0
0
1
3
4
1
Seguimos con: E1 +E2 (3) => E1. Nvo. E1 E2
1
0
-2
7
3
0
0
1
-2
2
1
0
E3
0
0
1
3
4
1
Luego: E1 (1) + E3 (2) => E1. Nvo. 1 0 0 13 E1 E2 0 1 -2 2
11
2
1
0
3
4
1
E3
0
0
1
Y terminamos con: E2 (1) + E3 (2) => E2. E1
1
0
0
13
11
2
Nvo. E2 E3
0
1
0
8
9
2
0
0
1
3
4
1
Y así, cuando tenemos la matriz identidad al lado izquierdo (color azul), lo que nos queda al lado derecho es la matriz inversa con la cual descifraremos el mensaje.
2.
La Clave de la matriz inversa que se encontró luego del proceso matemático. 13 11 2 8
9
2
3
4
1
3.
Luego de obtener la matriz inversa, se debe tomar el mensaje cifrado, y separar las letras en grupos de tres, de acuerdo a la matriz que tenemos. Y si nos queda algunas letras incompletas es decir, dos en el último grupo, entonces agregamos una X para tener completos los grupos Así: LFB-UCYPNT-XYU-IGS-WVN-RES-OSV-BEF.
4.
Luego de este paso se procede a dar un valor numérico a cada letra de acuerdo a la siguiente matriz. A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 Ejemplo del primer bloque.
5.
L
11
F
5
B
1
Luego de hacer todo el proceso como se hizo con el primer ejemplo. Se procede a encontrar el valor de los productos, multiplicando, la clave por el valor de las letras.
Ejemplo del primer bloque. 13 11 2 11 Se multiplica el 13 por el 11, el 11 por el 5, el 2 por el 1, luego se suman los valores, y si este valor es mayor a 27, se divide 8 9 2 5 por 27 y se tiene en cuenta el residuo. La suma es: 143+ 3 4 1 1 55+2=200 se divide en 27 y el residuo Es: 11. Este valor 11 es que nos representa el primer valor de la primera letra del mensaje cifrado. Que de acuerdo a la tabla de las letras corresponde a la letra: L. Luego se multiplica la segunda fila así: el 8 por 11, el 9 por 5, y el 2 por el 1 haciendo la multiplicación es: 88+45+2=135, como es mayor a 27 se divide en 27 y solo se tiene en cuenta el Residuo que es: 0 y el cero de acuerdo a la tabla de las letras es la letra: A.
6.
7.
Se continúa haciendo las operaciones matemáticas con la tercera fila como se hizo en el primer ejemplo, también se hace cada operación de la clave con todos bloques de letras de tres que sacamos en el tercer paso. Luego de hacer todo el proceso con los bloques de tres letras y encontrar el valor y remplazarlo por la letra que corresponde, es donde podemos encontrar el mensaje que estaba cifrado. Y saber que dice el mensaje.
Conclusiones *Utilizando matrices y vectores algebraicos fue posible implementar un algoritmo para cifrar y descifrar textos, mostrando de esta manera una de las aplicaciones del manejo de operaciones algebraicas y su importancia. *El uso del determinante y la matriz inversa fue fundamental para el desarrollo del ejercicio de cifrar y descifrar evidenciando una congruencia entre los conocimientos teóricos y la práctica. *Se comprendió el manejo de Látex identificando sus func iones, ventajas, interfaz e implementación para generar los reportes de los ejercicios correspondientes.
