ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
Integrantes: Natalia Ainaguano Andrés Chafla Mónica Pilco Rubí Jarrin Estefanía Tibán Blanca Sangucho Katty Andy Jeaneth Zamora Marcelo Quinatoa
Curso: Quinto “2”
Profesor: Ingeniero Marco Gavilánez
Fecha: Riobamba 9 de noviembre del 2017
“Teorema de Bayes” Índice 1. I ntrod ntroduc ucció ciónn ................. ........ ................. ................ ................ ................ ................ ................. ................. ................ ................ ................ ................ ........... ... 1 2.
Objetivos ................................................................................................................ 2 2.1.
General.............................................................. ..................................................................................... .............................................. ........................... 2
2.2.
Específicos .......................................... ................................................................. ............................................. .................................... .............. 2
3.
Ma M ar co Conce Concep ptual ual ................. ......... ................ ................ ................. ................. ................ ................ ................. ................. ................ ............. ..... 3
4.
Teo Teorema rema de de Baye Bayes ................. ........ ................. ................ ................ ................. ................. ................ ................ ................ ................. ............... ...... 3 4.1.
¿Qué es el Teorema de Bayes? ........................................... .................................................................. ............................. ...... 3
4.2.
Fórmula ........................................... ................................................................. ............................................ ........................................ .................. 4
5.
Resumen ................................................................................................................ 5
6.
E jercicio jercicioss............................................. ................................................................... ............................................ ............................................ ...................... 6 6.1.
Ejemplo 1. ......................................................... ................................................................................ .............................................. ........................... 6
6.2.
Ejemplo 2. .......................................... ................................................................. ............................................. .................................... .............. 7
6.3.
Ejercicio 3............................................... 3..................................................................... ............................................ ................................. ........... 7
6.4.
Ejercicio 4............................................... 4..................................................................... ............................................ ................................. ........... 8
6.5.
Ejercicio 5............................................... 5..................................................................... ............................................ ................................. ........... 9
6.6.
Ejercicio 6............................................... 6..................................................................... ............................................ ............................... ......... 10
6.7.
Ejercicio 7. .......................................... ................................................................ ............................................ ...................................... ................ 11
6.8.
Ejercicio 8............................................... 8..................................................................... ............................................ ............................... ......... 12
6.9.
Ejercicio 9............................................... 9..................................................................... ............................................ ............................... ......... 12
6.10.
Ejercicio 10............................................. 10................................................................... ............................................ ............................... ......... 13
6.11.
Ejercicio 11............................................. 11................................................................... ............................................ ............................... ......... 14
6.12.
Ejercicio 12............................................. 12................................................................... ............................................ ............................... ......... 14
6.13.
Ejercicio 13............................................. 13................................................................... ............................................ ............................... ......... 15
6.14.
Ejercicio 14............................................. 14................................................................... ............................................ ............................... ......... 15
6.15.
Ejercicio 15............................................. 15................................................................... ............................................ ............................... ......... 16
6.16.
Ejercicio 16............................................. 16................................................................... ............................................ ............................... ......... 16
7.
Conclusión .......................................................................................................... 18
8.
B iblio ibliogr gra afía fí a ............................................. ................................................................... ............................................ ...................................... ................ 19
“Teorema de Bayes” 1. Introducción El objeto del tema es la cuantificación de la incertidumbre, lo cual tiene mucho que ver con la previsibilidad del comportamiento. Hemos visto que el Análisis de Regresión es una técnica para obtener predicciones, y que, excepto en el caso de covariación perfecta, las predicciones son más o menos erróneas. En consecuencia, hay incertidumbre en las predicciones, y esta es la situación habitual. La imprevisibilidad genera incertidumbre. Los matemáticos vienen estudiando esta cuestión ya hace muchos años, y han facilitado herramientas precisas que dan resultados exactos en situaciones relativamente sencillas y fácilmente formalizarles. Cuando se estudia el comportamiento, sin embargo, las cosas son diferentes porque el comportamiento se caracteriza por la complejidad, y su estudio requiere frecuentemente técnicas complejas. Los conceptos básicos de la probabilidad son de interés porque son el fundamento de procedimientos más sofisticados que sirven para cuantificar la incertidumbre. Los matemáticos no son los únicos que miden la incertidumbre: Todo el mundo lo hace cada día. Por ejemplo: Un conocido nos pide un préstamo por una cantidad importante, y de una manera intuitiva evaluamos la probabilidad de que nos devuelva el préstamo y decidimos en consecuencia. Otro ejemplo: Tenemos un trabajo se guro en una empresa, y nos ofrecen un trabajo mejor pagado en otra; generalmente evaluamos la incertidumbre de la nueva situación antes de tomar una decisión. Estas evaluaciones son más o menos intuitivas, y no suponen una cuantificación precisa de la incertidumbre, pero el fundamento de como suelen hacerse se asemeja a algunas aproximaciones formales a la probabilidad, que la definen como la frecuencia en que ocurre el acontecimiento. Los matemáticos definen la probabilidad de ocurrencia de un acontecimiento A (hay también otras definiciones) como la razón entre la frecuencia de A (número de veces que es observado) y el número de veces en que podría ocurrir:
Pero difícilmente podemos medir la incertidumbre del comportamiento aunque la fórmula sea sencilla. Volviendo al ejemplo, es difícil recoger datos exactos de todas las ocasiones en que un individuo ha tenido la oportunidad de engañar, y la de todas las ve ces que la ha hecho; en consecuencia difícilmente podremos obtener una medida precisa de la probabilidad de que devuelva el préstamo. En otras situaciones sí podemos obtener una pág. 1
“Teorema de Bayes” aproximación más precisa a la probabilidad. Por ejemplo, la de que un estudiante seleccionado al azar obtenga "Notable". Esta probabilidad es el número de estudiantes que obtienen "Notable" dividido por el número total de estudiantes del curso:
En el ejemplo, diremos que la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga "Notable" es igual a 0.2 (dado que 100 estudiantes han obtenido Notable en un curso en 500 estudiantes). (VALENCIA, s.f.)
2. Objetivos 2.1.General Investigar, analizar el “Teorema de Bayes” en libros y fuentes virtuales con la finalidad de comprender lo investigado y poder explicar con ejemplos a nuestros compañeros de curso
2.2.Específicos
Investigar sobre el Teorema de Bayes.
Identificar los elementos básicos del Teorema de Bayes.
Realizar ejercicios del tema.
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“Teorema de Bayes” 3. Marco Conceptual 4. Teorema de Bayes En el siglo XVIII el respetable Thomas Bayes, planteo una pregunta, ¿Dios realmente existe? Dado su interés en las matemáticas, intento crear una fórmula para llegar a la probabilidad de que Dios existiera en base a la evidencia que existía en la Tierra. Más tarde Pierre-Simón Laplace perfecciono el trabajo de Bayes y le dio el nombre de Teorema de Bayes.(Lind, Marchal, & Wathen, 2006)
4.1.¿Qué es el Teorema de Bayes? El Teorema de Bayes, dentro de la teoría probabilística, proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B" (probabilidad posterior), en función de la distribución de probabilidad condicional del evento "B" da do por "A" y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A" (probabilidad simple). (Ramirez, 2011) El origen de concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-1761). La fórmula básica para probabilidad condicional en circunstancia de dependencia se conoce como Teorema de Bayes
P(BA) = El Teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado en otro. El Teorema de Bayes es un procedimiento formal que permite a los tomadores decisiones combinar la Teoría de Probabilidad Clásica con su mejor sentido intuitivo acerca de lo que es posible que ocurra, advertencia, el valor real del Teorema de Bayes no está en el álgebra sino en la habilidad de los administradores bien informados para hacer buenas predicciones del futuro. En todas las situaciones en las que se use el Teorema de Bayes primero utiliza los datos históricos disponibles y después agregue su propio juicio intuitivo al proceso. La intuición
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“Teorema de Bayes” Usada para hacer predicciones acerca de cosas que ya es también descrita estadísticamente está mal dirigida.
4.2.Fórmula
Dónde:
El numerador es la probabilidad conjunta:
El denominador es la probabilidad marginar de que ocurra el evento “B”
Entonces:
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“Teorema de Bayes” El teorema de Bayes da respuesta a cuestiones de tipo causal, predictivas y de diagnóstico
En las cuestiones causales queremos saber cuál es la probabilidad de acontecimientos que son la consecuencia de otros acontecimientos.
En las cuestiones predictivas queremos saber cuál es la probabilidad de acontecimientos dada información de la ocurrencia de los acontecimientos predictores.
En las cuestiones de tipo diagnóstico queremos saber cuál es la probabilidad del acontecimiento (o acontecimientos) causales o predictivos dado que tenemos información de las consecuencias.
Para resumir, en las situaciones causales o predictivas desconocemos las consecuencias y tenemos evidencia de las causas. Por el contrario, en las situaciones de diagnóstico desconocemos las causas y tenemos evidencia de las consecuencias. Corporaciones y grupos de investigación han aplicado la base de los teoremas de probabilidad de Bayes, para incrementar la estimación y mejorar los sistemas de basados en conocimiento y agregar contexto a la información.
5. Resumen El teorema de Bayes es un procedimiento para obtener probabilidades condicionales (probabilidades de ocurrencia de acontecimientos condicionadas a la ocurrencia de otros acontecimientos). La expresión del teorema de Bayes para dos variables discretas es:
Para variables que toman más de dos valores, la expresión es:
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“Teorema de Bayes” El teorema de Bayes da respuesta a cuestiones de tipo causal, predictivas y de diagnóstico. En las cuestiones causales queremos saber cuál es la probabilidad de acontecimientos que son la consecuencia de otros acontecimientos. En las cuestiones predictivas queremos saber cuál es la probabilidad de acontecimientos dada información de la ocurrencia de los acontecimientos predictores. En las cuestiones de ti po diagnóstico queremos saber cuál es la probabilidad del acontecimiento (o acontecimientos) causales o predictivos dado que tenemos información de las consecuencias. Para resumir, en las situaciones causales o predictivas desconocemos las consecuencias y tenemos evidencia de las causas. Por el contrario, en las situaciones de diagnóstico desconocemos las causas y tenemos evidencia de las consecuencias.
6. Ejercicios 6.1.Ejemplo 1. Un autor, por intermedio de la editorial envía folletos promocionando su libro de estadística a 72% de los profesores que enseñan la asignatura en las universidades que fueron seleccionados para la promoción. Un mes después se constató que el 46% que recibieron el folleto adoptaron el libro y un 16% que no lo recibieron, también lo adoptaron. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que adopta el libro, fue el resultado del folleto de promoción?
=0,72 0,46 =0,28 0,84
0,54 0,16
| = 0,720,460,720,46 +0,280,16 = 0.8809 r// 0,889 maneras de obtener la promoción de un libro.
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“Teorema de Bayes” 6.2.
Ejemplo 2.
Se tienen 3 recipientes; el primero contiene 6 bolas azules y 2 rojas; el segundo 4 azules y 4 rojas y el tercero 6 azules. Se selecciona una de las tres urnas al azar y de ellas se extrae una bola que resulta ser azul. Con la anterior información. ¿Cuál es la probabilidad de que el recipiente escogido sea el primero?, Sea el tercero? Solución:
= | = =
= | = =
= | = =
r// La probabilidad de que la bola azul provenga del primer recipiente será:
| = | + || +⋯.. |
1 ⁄3 3/4 1 =0,33 | = 1⁄3 3⁄4 +1 = ⁄31⁄2+ 1⁄3 1 3 r// La probabilidad de que provenga al tercer recipiente.
1⁄3 1 4 =0,44 | = 1⁄3 3⁄4 +1 = ⁄31⁄2+ 1⁄3 1 9 6.3.Ejercicio 3 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
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“Teorema de Bayes”
r// 0,405 formas de ser elegido al azar un ingeniero para el directivo.
6.4.Ejercicio 4. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos:
I= Producirse incidente
A=Sonar la alarma
r// 0,157 es la probabilidad de haber evitado un accidente.
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“Teorema de Bayes” 6.5.Ejercicio 5. El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a)
Que llueva: probabilidad del 50%.
b)
Que nieve: probabilidad del 30%
c)
Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20% c) Si hay niebla : probabilidad de accidente del 5%. Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan " probabilidades a priori " (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan " probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
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“Teorema de Bayes” r// La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
r// La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
r//La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
6.6.Ejercicio 6. Tres máquinas A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 5% y 5%. I.
Seleccionamos una pieza al azar, calcular la probabilidad de que se defectuosa
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“Teorema de Bayes” Tomamos al azar una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber
sido producida por la máquina B
II.
¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
r// La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
6.7.Ejercicio 7. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja ¿Cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Solución: llamamos R= “sacar bola roja” y N= “sacar bola negra”. En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
r// 0,260 de obtener una bola extraída de la urna A.
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“Teorema de Bayes” 6.8.Ejercicio 8. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. Datos: Suceso H: seleccionar una niña, Suceso V: sele ccionar un niño, Suceso M: infante menor de 24 meses a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
R// la probabilidad es de 0,26 b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
r// la probabilidad de que sea niña es de 0,46
6.9.Ejercicio 9. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe, además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:
SOLUCI ÓN: Se definen los sucesos: Suceso F : pacientes que se realizan cirugías faciales Suceso M : pacientes que se realizan implantes mamarios Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas Suceso H : pacientes de género masculino
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“Teorema de Bayes” a) Determine la probabilidad de que sea de género masculino
r// la probabilidad de que sea masculino será 0,28 b) Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.
r// la probabilidad de que sea masculino y se haya poner implantes será 0,19
6.10. Ejercicio 10. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
SOLUCI ÓN: Se definen los sucesos: Suceso P : seleccionar el primer aparato Suceso S : seleccionar el segundo aparato Suceso T : seleccionar el tercer aparato Suceso E : seleccionar un resultado con error
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“Teorema de Bayes” r// Existe una probabilidad del 0,12 de que haya ocurrido un error
6.11. Ejercicio 11. Una fábrica de enlatados produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos.
a) ¿Si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿Y de la B?
r// 0,4286 de que provenga de la máquina A y de la máquina B 0,5714
6.12. Ejercicio 12. En un colectivo de inversores bursátiles, el 20% realiza operaciones vía internet. De los inversores que realizan operaciones vía internet con 80% consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realicen operaciones vía internet solo un 20% consulta InfoBolsaWeb.
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“Teorema de Bayes”
a) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿Cuál es la probabilidad de que realice operaciones vía i nternet?
r// 0,5 es la probabilidad de que se realicen operaciones en internet
6.13. Ejercicio 13. Una fábrica de tornillos tiene dos máquinas, la M1 que es más antigua, y hace el 75% de todos los tornillos, y la M2, más nueva pero pequeña, que hace el 25% de los tornillos. La M1 hace un 4% de tornillos defectuosos, mientras que la M2 tan solo hace un 2% de tornillos defectuosos. Si escogemos un tornillo al azar, ¿Qué probabilidad hay de que salga defectuoso?
r// 0,857 es la probabilidad de que salga defectuoso.
6.14. Ejercicio 14. Tenemos tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, y tan sólo una fundida, y en la tercera hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. Si cogemos una bombilla fundida, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la caja 1? Recordemos que C1, C2, C3 representan las cajas 1, 2 y 3. También F="bombilla fundida", por lo que F= "bombilla no fundida".
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“Teorema de Bayes”
R// 0,425 es la probabilidad de obtener la caja 1
6.15. Ejercicio 15. En un congreso se reúnen 250 médicos de Europa, de los cuales 115 son alemanes; 65, franceses, y 70 ingleses. De estos médicos, el 75% de los alemanes, el 60 % de los franceses y el 65% de los ingleses están a favor de utilizar una nueva vacuna para la gripe. Si escogemos un médico al azar, y está a favor de aplicar la vacuna, ¿cuál es la probabilidad de que sea francés? Consideremos
los
siguientes
sucesos: A="médico
alemán", F="médico
francés", I="médico inglés", así como V="estar a favor de la vacuna" (y por lo tanto, V="estar en contra de la vacuna").
R// 0,228 probabilidad de que sea francés.
6.16. Ejercicio 16. Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de la Capital. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. Si el consejo
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“Teorema de Bayes” municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20, Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada. a) ¿Cuál es la probabilidad que la compañía construya el cent ro comercial?
P(B) = (0.60) (0.90) + (0.40) (0.20) P(B) = 0.54 + 0.08 P(B) = 0.62 R// 0,62 es la probabilidad de que la compañía construya un centro comercial b) Dado que el centro comercial fue construido. ¿Cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada?
R// 0,87 es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada.
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“Teorema de Bayes”
7. Conclusión El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional solo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema de Bayes es de gran utilidad para conocer las probabilidades de los eventos o circunstancias que se n so presenten y se convierte en una gran herramienta para la toma de decisiones bajo ciertas circunstancias. Es necesario ahondar más en el tema ya que tiene muchas aplicaciones y es bastante extenso como a la vez interesante. Por lo que esperamos que esta aproximación al tema se convierta en el inicio de un mayor aprendizaje.
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“Teorema de Bayes” 8. Bibliografía Bibliográfica, E. (2017). Enciclopedia Bibliográfica. Recuperado el 26 de Octubre de 2017, de Enciclopedia Bibliográfica: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/bayes.htm Lind, D., Marchal, W., & Wathen, S. (2006). ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y LA ECONOMIA. MCGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A DE C.V. Martinez Bencardino, C. (2012). Estadistica y muestreo (Décima tercera edición ed.). Bogotá, Colombia: Ecoe Ediciones. Recuperado el 26 de Octubre de 2017 Mojica, L. (06 de Septiembre de 2015). Prezzi. Recuperado el 26 de Octubre de 2017, de "El valor de la Probabilidad": https://prezi.com/nlq89cr0xrfr/el-valor-de-la probabilidad/ Ramirez, S. (01 de Mayo de 2011). SlideShare. Recuperado el 26 de Octubre de 2017, de Teorema de Bayes: https://es.slideshare.net/psy-roman/teorema-de-bayes-7796271 Triola, M. (2009). Estadítica. México: Editorial Pearson. Valencia, U. (2017). Estadística Descriptiva. Recuperado el 26 de Octubre de 2017, de Estadística Descriptiva: https://www.uv.es/webgid/Descriptiva/1_introduccin7.html VALENCIA, U. D. (s.f.). Teorema de Bayes. Obtenido de Teorema de Bayes: https://www.uv.es/webgid/Descriptiva/1_introduccin7.html Walpole, R., Myers, S., Myers, R., & Ye, K. (2009). Probalidad y estadística. Mexico: Printed in Mexico.
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