Semestre: U-17 Prof. Liliberth Vivas Investigación de Operaciones 1 Teoría de Colas GRUPO 1
Una gasolinera cuenta con una bomba de gasolina. Los automóviles que desean cargar llegan según un proceso de Poisson a una tasa media de 15 por hora. Sin embargo, si la bomba está en operación, los clientes potenciales pueden desistir (ir a otra gasolinera). gasolinera). En particular, si hay n autos en ella, la probabilidad de que un cliente potencial que llega desista es n/3 para n = 1, 2, 3. El tiempo necesario para servir se rvir un auto tiene distribución exponencial con media de 4 minutos. a) Construya el diagrama de tasas del sistema de colas. b) Desarrolle las ecuaciones de balance. c) Resuelva estas ecuaciones para encontrar la distribución de probabilidad de estado estable del número de autos en la gasolinera. Verifique que la solución sea la misma que la solución general del proceso de nacimiento y muerte. d) Encuentre el tiempo de espera esperado (incluido el servicio) de los automóviles que se quedan.
GRUPO 2
Un trabajador debe mantener dos máquinas en condiciones de operación. El tiempo que trabaja una maquina antes de descomponerse tiene distribución exponencial con media de 10 horas. El tiempo que tarda el empleado para reparar la maquina tiene distribución exponencial con media de 8 horas. a) Demuestre que este proceso se ajusta al proceso de nacimiento y muerte mediante la definición de los estados, estados, los valores de λ n= 2 y µn, y la construcción del diagrama de tasas. b) Calcule las Pn. c) Calcule L, Lq, W y Wq. d) Determine el porcentaje de tiempo que el trabajador de mantenimiento está ocupado. e) Determine el porcentaje de tiempo que trabaja cada una de las maquinas.
GRUPO 3
Un supermercado pequeño tiene una sola caja con un cajero de tiempo completo. Los clientes llegan a la caja de manera “aleatoria” (proceso de entradas de Poisson) con tasa media de 30 por hora. Cuando solo hay un cliente en la caja, el cajero lo atiende solo, con un tiempo de servicio esperado de 1.5 min, pero el muchacho que ayuda tiene instrucciones fijas de que si hay más de un cliente en la caja ayude al cajero a empacar la mercancía. Esta ayuda reduce el tiempo esperado de servicio a 1 min. En ambos casos, la distribución de estos tiempos d e servicio es exponencial. a) Construya el diagrama de tasas de este sistema. b) Obtenga la distribución de probabilidad de estado estable del número de clientes en la caja. c ) Obtenga L de este sistema para determinar Lq, W y Wq.
GRUPO 4
Un departamento de una empresa tiene una operadora de procesador de textos. Los documentos que se producen en él se entregan para ser procesados de acuerdo con un proceso de Poisson con un tiempo esperado entre llegadas de 30 min. Cuando la operadora tiene solo un documento que procesar el tiempo esperado de servicio es de 20 minutos. Cuando hay más de un documento, la ayuda de edición reduce este tiempo a 15 min. En ambos casos, los tiempos de servicio tienen distribución exp onencial. a) Construya el diagrama de tasas de este sistema. b) Encuentre la distribución de estado estable del número de documentos que la operadora ya recibió pero todavía no procesa. c ) Desarrolle L de este sistema para determinar Lq, W y Wq.
TODOS
1) La tienda de abarrotes Friendly Neighbor tiene una caja de salida con un cajero de tiempo completo. Los clientes llegan al azar con una tasa media de 20 por hora. La distribución del tiempo de servicio es exponencial con media de 2 minutos. En ocasiones, esta situación causa una cola larga y quejas de los clientes. Como no hay lugar para otra caja, el gerente piensa en contratar a otra persona que ayude a empacar los víveres y reduzca el tiempo esperado de servicio a 1.5 minutos, todavía con distribución exponencial.
El gerente quiere que el porcentaje de tiempo en el que hay más de 2 clientes en la caja fuera menor a 25%. También desea que no más de 5% de los clientes tengan que esperar 5 minutos o más antes de iniciar su servicio o 7 minutos o más antes de terminarlo. Use las formulas del modelo M / M /1 para calcular L, Lq, W y Wq, P 0, P 1 y P 2 de la operación actual. Cuál es la probabilidad de que haya más de dos clientes en la caja?
2) El Security & Trust Bank tiene 4 cajeros para atender a sus clientes, los cuales llegan según un proceso de Poisson con tasa media de 2 por minuto. Sin embargo, el negocio crece y la gerencia pronostica que esta tasa será de 3 por minuto dentro de un ano. El tiempo de transacciones entre el cajero y el cliente tiene distribución exponencial con media de 1 minuto. La gerencia ha establecido las siguientes políticas para lo grar un nivel de servicio satisfactorio. El número promedio de clientes que esperan en la cola para iniciar su servicio no debe exceder de 1. Al menos 95% del tiempo, el número de clientes en la cola no debe exceder de 5. En el caso de al menos 95% de los clientes, el tiempo de espera para iniciar el servicio no debe exceder de 5 minutos. a) Use el modelo M / M / s para determinar si se cumplen estas políticas. b) Evalué si se cumplirán estas políticas dentro de un ano si no cambia el número de cajeros. c ) Determine cuantos cajeros se necesitaran dentro de un año para cumplir por completo las políticas.
