UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FUNCIONES ANALÍ TICAS TICAS
La Transformada z y algunas aplicaciones aplicaciones PROFESOR:
Jose Quique Broncano
FACULTAD:
Ingenierí a Eléctrica y Electrónica
ESCUELA:
Ingeniería de telecomunicaciones
ALUMNO:
Facundo Raime, Frank Enrique
CIUDAD UNIVERSITARIA, 27 DE DE NOVIEMBRE DEL 2015
2
DESCRIPCIÓN: La transformada z es un método matemático que se emplea, entre otras aplicaciones, para el estudio de procesamie de procesamientos ntos de señales digitales. Más específicament e se usa en el análisis de proyectos de proyectos de circuitos digitales, análisis de sistemas de radar, telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos de procesos por por computadora. En el presente trabajo se realiza un estudio riguroso de la transformada
z
y
algunas de sus propiedades propiedades más importantes utilizando como principal elemento la sumatoria. El proyecto El proyecto consta de tres capítulos. En el primer capitulo se define la transformada z y se trabajan las funciones elementales como lo son la función escalón unitario, la función rampa, la función polinomial y la función exponencial. Además se presentan se presentan propiedades propiedades y teoremas importantes de la transformada z , que son útiles para útiles para realizar las realizar las aplicaciones. El segundo capítulo trata de la transformada z inversa y sus métodos para calcularla tales como el método de la división directa y el método de descomposición por fracciones parciales. fracciones parciales. Por último, en el tercer capítulo presentamos presentamos algunas aplicaciones generales de la transformada z como lo es la solución de ecuaciones de diferenciales y el análisis y la caracterización de los sistemas LTI (Sistemas lineales invariantes en el tiempo).
Índice general INTRODUCCIÓN
1
1. Preliminares
3
1.1. Sumatorias y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4. Señales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5. Ecuaciones de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.5.1. 1.5.1.
Ecuacion Ecuaciones es de diferencia diferenciass lineales lineales de primer orden orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. 1.5.2.
23
Ecuacion Ecuaciones es de diferencia diferenciass lineales lineales de segundo segundo orden orden con coeficoeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. La Transforma ransformada da z
25
28
2.1. Transfo Transformad rmadaa z de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2. Propiedades y teoremas teoremas importantes de la transformada
34
z
. . . . . . . .
3. Transforma ransformada da z Inversa
44
3.1. Método de la división directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
44
II
3.2. 3.2. Méto Método do de desc descom ompo posi sici ción ón en frac fracci cion ones es parc parcia iale less . . . . . . . . . . .
4. Aplicaciones de la Transformada ransformada z
46
49
4.1. .1. Solu Soluci ció ón de ecua cuacion iones de dife iferen rencias ias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2. Análisis y caracterización caracterización de de los sistemas sistemas LTI LTI usando la Transformada Transformada
50
Bibliografía
z
55
Introducción
A través de la historia el hombre ha creado herramientas para herramientas para facilitar el facilitar el desarrollo de las diferentes labores para labores para los diversos campos de acción empleados en su vida cotidiana. La ciencia y tecnología como parte como parte de esa cotidianidad no ha sido ajena al avance constante que en la historia ha caracterizado al ser humano. Los conceptos de señales y sistemas aparecen en una variedad muy amplia de campos, las ideas y técnicas asociadas con estos conceptos juegan conceptos juegan un papel un papel importante en áreas tan diversas de la ciencia y tecnología como comunicaciones, aeronáutica y astronáutica, diseño de circuitos, acústica, sismología, ingeniería biomédica, ingeniería biomédica, sistemas de generación y distribución de energía, control de procesos de procesos químicos y procesamiento procesamiento de voz. Por este Por este motivo este trabajo esta dirigido a estudiar la estudiar la transformada z que es un método matemático que se emplea entre otras aplicaciones, para aplicaciones, para el estudio de procesamien de procesamiento to de señales digitales. Más es pecíficamente se usa en el análisis y proyectos de circuitos digitales, análisis de sistemas de radar, telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por computadora. Además es una herramienta muy útil para el análisis de diferentes tipos de señales, tanto en el dominio del tiempo como en la frecuencia. Para esto es necesario abarcar los fundamentos de sumatorias, funciones periódicas, series y señales, los cuales consignamos en el primer capítulo; el énfasis lo haremos en las series, para poder aplicar la definición de la transformada
z
a lo largo de
este trabajo. En el segundo capítulo se presenta la definición de la transformada
z
y se
trabajan las funciones elementales como lo son la función escalón unitario, la función rampa,
2
la función polinomial y la función exponencial. Además se presentan propiedades y teoremas importantes de la transformada z , que son útiles para realizar las aplicaciones. En el tercer capítulo se considera la transformada z inversa y sus métodos de solución tales como el método de la división directa y el método de descomposición por fracciones parciales. Por último, en el cuarto capítulo presentamos algunas aplicaciones generales de la transformada z como lo es la solución de ecuaciones de diferencias y el análisis y la caracterización de los sistemas LTI (Sistemas lineales invariantes en el tiempo).
Capítulo 1 Preliminares 1.1.
Sumatorias y propiedades
El estudio de fenómenos y procesos que ocurren en la naturaleza y la sociedad conduce a la formulación de modelos que los describen y predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su diversidad, pueden agruparse en dos categorías: continuos, como la descripción de la transmisión del movimiento a través de una cuerda, el desplazamiento de un vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos históricos de una entidad, los registros de temperatura de un país o territorio, etc. Esta última categoría, discretos, tiene gran importancia en la actualidad atendiendo al acelerado desarrollo de las técnicas digitales, que en la práctica es un proceso donde toda la información, en última instancia, se representa a través de conjuntos ordenados de dos valores lógicos: falso o verdadero. En términos matemáticos, el estudio de las funciones cuya variable dependiente exhibe una variación discreta constituye una especialidad, que tiene en las sumatorias y series un componente relevante. Tomando en cuenta lo señalado, en esta sección se relacionan un conjunto de propiedades reportadas en la literatura sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden facilitar cálculos tales como la solución de sistemas de ecuaciones lineales resultantes 3
4
del planteamiento del problema de la obtención de expresiones analíticas para la derivada de funciones de variable independiente discreta. Definición 1.1.
Si n es un entero positivo y a1, a2 , a3 , . . . , an son números reales enton-
ces escribimos
n
ak = a 0 + a1 + a2 +
k=0
··· + a . n
(1.1)
Propiedades de las sumatorias
Sean a 1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . y b 1 , b2 , b3 , . . . , bn , . . . dos sucesiones finitas, entonces para cualquier entero positivo n se tiene: 1. Aditiva: Para cualquier entero positivo se cumple n
n
(ak
k=1
±b ) = k
n
± ak
k=1
bk .
k=1
Demostración. Utilizando la definición de sumatoria tenemos, n
k=1
(ak
± b ) = (a ± b ) + (a ± b ) + · ·· + (a ± b ), 1
k
1
2
2
n
n
± b + a ± b + · ·· + a ± b , = (a + a + ·· · + a ) + ( ±b ± b ± · · · ± b ), = (a ± a + ··· + a ) ± (b + b + · ·· + b ), = a ± b . = a 1
1
2
2
1
2
n
1
2
n
n
1
n
n
1
2
2
n
k
k=1
k
k=1
2. Propiedad homogénea: n
n
k=1
cak = c
k=1
ak ,
con c ∈ R.
n
n
5 Demostración. n
cak = ca 1 + ca2 + ca3 +
k=1
= c(a1 + a2 + n
= c
··· + ca , n
· ·· + a ), n
ak .
k=1
3. Propiedad Telescópica: n
a)
(ak
−a
) = a n
−a
(ak
−a
) = a 1
−a
k=1
k−1
0
n
b)
k=1
k+1
Demostración. Solo
n+1
probaremos la primera parte puesto que la segunda se de-
muestra de forma análoga.
n
k=1
(ak
−a
k−1
) = (a1 = a 1
− a ) + (a − a ) + (a − a ) + · ·· + (a − a 0
2
1
3
2
n
− a + a − a + a − a + · ·· + a − a 0
2
1
3
2
n
Después de simplificar los términos semejantes se obtiene n
k=1
(ak
−a
k−1
) = a n
−a . 0
n
Teorema 1.1. Sea c un número real y n un entero, entonces
k=1
c = nc .
n−1
.
n−1
),
6 Demostración.
Sea ak = c, con c ∈ R, entonces n
ak = a 1 + a2 + a3 +
··· + a , n
k=1
= c + c +
· ·· + c,
= nc. −1
Teorema 1.2.
k=−t
t
k =
−
k.
k=1
Demostración. −1
k =
k=−t
−t − (t − 1) − (t − 2) − · · · − 1,
=
−(t + (t − 1) + (t − 2) + · ·· + 1),
=
−
t
k.
k=1
t
Teorema 1.3.
k = 0.
k=−t
Demostración. −1
t
0
t
− k =
k=−t
k +
k +
k=−t
k=0
t
t
k +
=
k=1
k,
k=1
k,
k=1
= 0.
En algunas sumatorias es necesario cambiar el índice de la sumatoria para efectuar la aplicación de algún teorema o alguna propiedad del símbolo sumatorio. Esta propiedad se expresa de la siguiente manera: n+ p
n
ak =
k=i
k=i+ p
ak− p .
7 Demostración. n+ p
ak− p = a i+ p− p + ai+1+ p− p + ai+2+ p− p +
k=i+ p
= a i + ai+1 + ai+2 + n
=
··· + a
· ·· + a
n+ p− p
n
ak .
k=i
1.2.
Funciones periódicas
Definición 1.2.
Una función periódica se puede definir como una función para la cual
f (t) = f (t + T ) para todo valor de t. La constante mínima T que satisface la relación f (t) = f (t+T ) se llama período de la función. Mediante repetición de f (t) = f (t+T )
se obtiene, f (t) = f (t + nT ), n = 0, ±1, ±2, ±3, ··· . Ejemplo 1.1. La función coseno es una función periódica con período 2π , y su gráfica (ver Figura 1.1) se repite cada 2π unidades sobre el eje horizontal. cos t
1
− 32π
−π
−π 2
π
2
π
3π 2
2π
5 π2
t
Figura 1.1: Función coseno Ejemplo 1.2. La función f (t) = cos 3t + cos 4t es periódica, vamos a encontrar su período. Supongamos que su período es T , entonces por definición tenemos
1 1 t t cos (t + T ) + cos (t + T ) = cos + cos . 3 4 3 4
8 Como cos(θ + 2πm) = cos θ , para cualquier entero m , se tiene que 1 T 4
1 T 3
= 2πm y
= 2πn donde m y n son enteros. Por tanto, T = 6πm = 8πn ; cuando m = 4 y
n = 3 , se obtiene el mínimo valor de T . De donde T = 24π.
En general, si la función f (t) = cos w1 t +cos w2 t es periódica, con período T , entonces es posible encontrar dos números enteros m y n tales que w1 T = 2πm, w2 T = 2πn.
El cociente de las ecuaciones anteriores es, w1 m = w2 n
es decir, la relación
w1 w2
debe ser un número racional.
Ejemplo 1.3. Consideremos la función f (t) = cos10t + cos(10 + π)t y veamos si es una función periódica. Sea w 1 = 10 y w 2 = 10 + π , como
w1 w2
=
10 no 10+π
es un número racional, es imposible
encontrar un valor T que satisfaga f (t) = f (t + T ) , por lo tanto f (t) no es una función períodica.
1.3.
Series
Definición 1.3. Una función f cuyo dominio es el conjunto de todos los números natu-
rales, se denomina sucesión infinita. El valor f (n) de la función se denomina el término n-ésimo de la sucesión.
Se utiliza la notación f (n) para indicar la sucesión cuyo término n-ésimo es f (n). Con frecuencia la dependencia de n se indica utilizando subíndices y se escribe an , sn, xn , ó un , o alguna notación análoga en lugar de f (n).
9
Cuando los valores de la función f (n) están en el conjunto de los números reales diremos que nuestra sucesión es real y en el caso que estén en el conjunto de los números complejos decimos que la sucesión es compleja. Otra forma de pensar una sucesión es como un arreglo ordenado de números a1 , a2 , . . . , an , . . .
uno por cada número natural. También se acostumbra denotar una sucesión como {an}∞ n=1 ó {a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .}.
Ejemplo 1.4. La sucesión de Fibonacci cuyos términos son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . , es un ejemplo clásico. Esta sucesión se puede definir también diciendo que a1 = a2 = 1 y que an+1 = a n + an−1 , para n
≥ 2. Este método para definir una sucesión es conocido
como método recursivo.
Ejemplo 1.5. La sucesión dada por an = se acercan a cero cuando n
1 tiene la propiedad de que sus términos 2n
→ +∞ , a diferencia de la sucesión del ejemplo anterior
cuyos términos no se acercan a ningún número.
Dada una sucesión {an}∞ n=1 , la suma de todos sus términos es conocida como una serie. Esto es, una serie es una suma de la forma ∞
an = a 1 + a2 +
n=1
·· · + a + ··· n
Toda serie puede pensarse como la sucesión {S n}∞ n=1 definida por S 1 = a1 , S 2 = a1 + a2 , S 3 = a1 + a2 + a3 ,
.. .
S n = a1 +
.. .
llamada la sucesión de sumas parciales.
··· + a
n
10 Definición 1.4. La
serie
∞ n=1
an converge y tiene como suma el número S si la suce-
sión de sumas parciales {S n } converge a S . Si {S n} diverge entonces decimos que la serie diverge.
Esta definición se aplica tanto en el caso en que la serie es de términos reales como en el caso que es de términos complejos. ∞
Ejemplo 1.6. Consideremos la serie
n=1
1 y veamos que es convergente. Para esto 2n
consideremos la sucesión de sumas parciales
S 1 =
1 , 2
S 2 =
1 + 41 , 2
.. .
S n =
1 + 41 2
+
·· · +
1 . 2n
Es fácil probar por inducción que
S n =
1 1 + + 2 4
··· + 21
n
=1
− 21 . n
Por tanto,
l´ım S n = l´ım 1
n→+∞
n→+∞
− 21
n
= 1.
Es decir que la serie es convergente y converge a 1. ∞
Ejemplo 1.7. Consideremos la serie armónica
n=1
demostremos que S n crece sin limite.
1 2 1 = 1+ 2 1 > 1 + 2 1 = 1+ 2
S n = 1 +
1 1 + + 3 4 1 1 + + 3 4 2 4 + + + 4 8 1 1 + + + 2 2 +
1 + 5
1 y veamos que diverge. Para esto n
· ·· + n1 ,
1 1 1 1 + + + + 5 6 7 8 1 + , n 1 + . n
+
··· + n1 ,
··· ···
Si n es lo suficientemente grande, podemos obtener en la última expresión tantas mitades como queramos. Por tanto, S n diverge; y por consiguiente la serie armónica también diverge.
11
Los dos ejemplos anteriores funcionan tanto en el caso real como en el caso complejo, es decir, la serie Una serie
1 es convergente en C y la serie armónica es divergente en C. 2n
un , cuyos términos no son necesariamente positivos, se dice que es abso-
lutamente convergente si la serie
un es convergente.
|
|
Teorema 1.4. (Criterio de comparación) Supóngamos que 0 1. Si 2. Si
bn converge entonces an diverge entonces
Demostración. Supongamos
≤ a ≤ b para n ≥ N . n
n
an también es convergente.
bn también es divergente.
que N = 1, el caso N > 1 se prueba de forma similar.
Para demostrar la primera parte, sea S n = a 1 + a2 + ··· + an y notese que {S n } es una sucesión no decresciente. Como
S n
≤ b + b + · ·· + b
y
1
2
n
bn es convergente entonces la sucesión S n converge, por tanto
{ }
La segunda parte es consecuencia de la primera parte pues si an debería ser convergente.
an converge.
bn converge entonces
Teorema 1.5. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Demostración.
Sea vn = un + |un | entonces 0 ≤ vn ≤ 2|un|, de donde por el criterio
de comparación se sigue que concluye que
un =
(vn
vn converge. Ahora, de la propiedad de linealidad se
− |u |) converge. n
Teorema 1.6. (Criterio de la razón) Sea gamos que
l´ım
n→∞
un una serie de términos no nulos y supon-
|u | = ρ. |u | n+1 n
1. Si ρ < 1 , la serie es absolutamente convergente. 2. Si ρ > 1 , la serie diverge.
12 3. Si ρ = 1 , no hay conclusión.
La demostración de este teorema no la presentamos porque se puede encontrar en cualquier libro de cálculo y no es de nuestro interés aquí. ∞
Ejemplo 1.8. Consideremos la serie
−
( 1)
n+1
n=1
absoluta.
ρ = l´ım
n→∞
3n y veamos que tiene convergencia n!
|u | , |u | n+1 n
3n+1 (n+1)! l´ım 3n , n→∞ n!
=
3 , n→∞ n + 1
= l´ım = 0.
Como ρ = 0 < 1 concluimos, por el criterio de la razón, que la serie es absolutamente convergente.
Para el caso que nos interesa en esta monografía, es decir la transformada z , debemos trabajar con la serie geométrica, por tal razón en adelante solo hablaremos de ella. La Serie Geométrica se genera por adiciones sucesivas de los términos de una progresión geométrica y tiene la forma
xn , donde el término enésimo x n es la potencia
enésima de un número real fijo x. Es conveniente comenzar esta serie con n = 0, entendiendo que el término inicial es x0 = 1. ∞
Teorema 1.7. Si x es un número complejo, con x < 1 , la serie geométrica
| |
converge y tiene suma
1 + x + x2 + x3
xn
n=0
1
− x es decir, 1 + x + ·· · + x + ··· = , 1−x
1
4
n
si
|x| < 1
(1.2)
13 Demostración.
Sea S n la enésima suma parcial de esta serie, de modo que S n = 1 + x + x2 + x3 + x4 +
·· · + x
n−1
.
Si x = 1 cada término del primer miembro es igual a 1 y entonces S n = n . En este caso la serie diverge puesto que S n → ∞, cuando n → ∞. Si x = 1 entonces n−1
(1
− x)S
n
= (1 = (1
− x)
xk
k=0
− x)(1 + x + x
2
+ x3 + x4 +
= (1 + x + x2 + x3 + x4 n−1
=
(xk
k=0
=1
−x
k+1
n−1
·· · + x ) + ··· + x ) − (x + x n−1
2
+ x3 + x4 +
n
··· + x )
)
n
−x .
Ahora, como x = 1, dividiendo por 1 − x obtenemos 1 xn 1 S n = = 1 x 1 x
− −
xn
− − 1 − x .
Con esto se muestra que el comportamiento de S n para n grande depende exclusivamente del comportamiento de xn. Si |x| < 1, xn
→
|x| ≥ 1, el término x
0 cuando n n
→ ∞ y la serie converge hacia la suma 1 −1 x . Si
no tiene límite y la serie diverge con lo cual queda demostrado el
teorema.
Usbando este resultado podemos deducir las siguientes fórmulas que son muy útiles para nuestros propositos. Si |x| < 1 entonces reemplazando x por x2 en (1.2) obtenemos 1 + x2 + x4 + x6 +
·· · + x
2n
+
··· = 1 −1 x
2
(1.3)
14
Si multiplicamos por x en la ecuación (1.3) se obtiene x + x3 + x5 + x7 +
··· + x
2n+1
+
· ·· = 1 −x x ,
si
2
|x| < 1.
(1.4)
Ahora, si sustituimos x por −x en la ecuación (1.2) tenemos 1 x+x2
−
1 , − x +x +x + ··· +(−1) x + ·· · = 1 + x 3
4
6
si
n n
|x| < 1. (1.5)
Si sustituimos x por x2 en la ecuación (1.5) se tiene 1
2
−x
+ x4
6
n 2n
− x + ··· + (−1) x
+
1 , ··· = 1 + x 2
si
|x| < 1. (1.6)
si
|x| < 1. (1.7)
Ahora, multiplicando por x la ecuación (1.6) se obtiene x
−x
3
+ x5
7
n 2n+1
− x + ··· + (−1) x
+
x ··· = 1 + x
2
Sustituyendo x por 2x en la ecuación (1.2) resulta x + 4x2 + 16x4 +
n 2n
· ·· + 4 x
+
··· = 1 −14x , 2
que es valido si
|x| < 21 .
(1.8)
Cambiando x por x−1 en la ecuación (1.2) se obtiene 1 + x−1 + x−2 +
··· + x
−n
+
·· · = 1 −1x
−n
.
(1.9)
∞
Las series anteriores tienen la forma particular
an xn que se conoce como series de
n=0
potencias. Los números a 0, a1 , a2 , . . . , se denominan coeficientes de la serie de potencias.
1.4.
Señales y sistemas
Las señales y sistemas se representan matemáticamente como funciones de una o más variables independientes. Por ejemplo, la señal de voz se representa de forma matemática por la presión acústica como una función del tiempo.
15
Hay dos tipos de señales; de tiempo continuo y de tiempo discreto. Las señales de tipo continuo se define sobre un intervalo continuo de tiempo. La amplitud puede tener un
intervalo continuo de valores o solamente un número finito de valores distintos. Por ejemplo, una señal de voz como una función del tiempo. Ejemplo 1.9. Una señal básica de tiempo continuo es la función escalón unitario,
u(t) =
1
si
t > 0,
0
si
t < 0,
cuya gráfica se muestra en la Figura 1.2.
u(t) 1
t
0
Figura 1.2: Función escalón unitario. Las señales de tiempo discreto son señales definidas solo en valores discretos de tiempo (la variable independiente t está cuantificada). Estas aparecen por ejemplo en los estudios demográficos de población en los cuales varios atributos tales como, ingreso promedio, índice de criminalidad, se tabulan contra variables discretas como años de escolaridad y población total, respectivamente. Ejemplo 1.10. La contraparte de la función escalón en tiempo continuo es la función escalón unitario en tiempo discreto, denotada por u[n] y definida por
u[n] =
1,
si
n
0,
si
n < 0.
≥ 0,
La secuencia escalón unitario se muestra en la Figura 1.3.
16
u[n]
n
0
Figura 1.3: Función escalón unitario en tiempo discreto. Ejemplo 1.11. La función impulso unitario en tiempo discreto se define como
δ [n] =
1,
si
n = 0,
0,
si
n = 0,
y su gráfica se muestra en la Figura 1.4.
δ [n] 1
0
n
Figura 1.4: Función impulso unitario en tiempo discreto.
Un sistema se puede ver como cualquier proceso que produce una transformación de señales. Entonces un sistema tiene una señal de entrada y una señal de salida la cual esta relacionada a través de la transformación del sistema. Por ejemplo, un sistema de sonido de alta fidelidad toma una señal de audio grabada y genera una reproducción de esa señal.
17
Un sistema de tiempo continuo es aquel en que las señales de entrada de tiempo continuo son transformadas en señales de salida de tiempo continuo. Estos sistemas se representan de forma gráfica como se muestra en la figura 1.5 en donde la entrada es x(t) y la salida es y(t). Representaremos la relación entrada–salida de un sistema de tiempo continuo mediante la notación x(t)
x(t)
y(t).
Sistemas de tiempo continuo
y(t)
Figura 1.5: Sistema de tiempo continuo Un sistema de tiempo discreto es aquel en que las señales de entrada en tiempo discreto son transformadas en señales de salida de tiempo discreto. Estos sistemas se representan de forma gráfica como se muestra en la figura 1.6. Representaremos la relación entrada– salida de un sistema de tiempo discreto mediante la notación x[n]
x[n]
Sistema de tiempo discreto
y[n].
y[n]
Figura 1.6: Sistema de tiempo discreto Una interconexión en serie o cascada de dos sistemas se ilustra en la Figura 1.7. A este tipo de diagramas, nos referimos como diagramas de bloque. En este caso la salida del sistema 1 es la entrada del sistema 2 y el sistema completo transforma la entrada, procesándola primero en el sistema 1 y después en el sistema 2. De modo similar, se define una interconexión en serie de tres o más sistemas. Una interconexión en paralelo de dos sistemas se ilustra en la figura 1.8. Aquí la señal de entrada se aplica al sistema 1 y al sistema 2. El símbolo “⊕” en la figura denota
adición, de modo que la salida de la interconexión en paralelo es la suma de las salidas
18
Entrada
Sistema 1
Sistema 2
Salida
Figura 1.7: Interconexión en serie de los sistemas 1 y 2 . También se pueden definir interconexiones en paralelo de dos o más sistemas, además también se pueden combinar ambas interconexiones, en cascada y en paralelo para obtener interconexiones más complejas. Sistema 1
⊕
Entrada
Salida
Sistema 2 Figura 1.8: Interconexión en serie propiedad de corrimiento: La señal x(t
da en el tiempo.
− t ) representa una versión de x(t) desplaza0
Las señales que estan relacionadas en esta forma se presentan en aplicaciones tales como el sonar, en el procesamiento de señales sísmicas, y en radar, en las cuales varios receptores situados en diferentes localizaciones detectan una señal que está siendo tranamitida a través de un medio (agua, roca, aire, etc.). En este caso, la diferencia de tiempo de propagación desde el punto de origen de la señal transmitida o cualquiera de dos receptores resulta en un corrimiento de tiempo entre las señales medidas por los dos receptores.
Un sistema es invariante en el tiempo si undesplazamiento en el tiempo de la señal de entrada causa undesplazamiento en el tiempo en la señal de salida.
19 Ejemplo 1.12. Consideremos el sistema de tiempo continuo definido por
y(t) = sin[x(t)] Verificar si el sistema es invariante en el tiempo. Sea x1 (t) cualquier entrada a este sistema entonces
y1 (t) = sin[x1 (t)] es la salida correspondiente. Ahora, consideremos una segunda entrada obtenida por el desplazamiento de x1 , esto es
x2 (t) = x 1 (t
− t ). 0
La salida correspondiente a esta entrada entonces es
y2 (t) = sin[x2 (t)] = sin[x1 (t
− t )]. 0
Comparando las dos últimas ecuaciones, observamos que y2 (t) = y1 (t
− t ) y por 0
consiguiente es un sistema invariante en el tiempo.
Ejemplo 1.13. Consideremos el sistema de tiempo discreto definido por
y[n] = nx[n] y considere las respuestas a dos entradas x1 [n] y x2 [n] , donde x2 [n] = x 1 [n
y1 [n] = nx 1 [n], y2 [n] = nx 2[n] = nx 1[n
− n ]. 0
Sin embargo, desplazando la salida y 1 [n] , obtenemos
y1 [n
− n ] = (n − n )x [n − n ] = y [n], 0
0
1
0
2
y por lo tanto concluimos que este sistema no es invariante en el tiempo.
− n ] , 0
20
x(t) y(t)
Figura 1.9: Sistema inestable Un sistema lineal , en el tiempo continuo o discreto, es aquel que posee la importante propiedad de superposición: si una entrada consiste de la suma ponderada de varias señales entonces la salida es solo la superposición, es decir, la suma ponderada de las respuestas del sistema a cada una de estas señales. Matemáticamente, sean y1 (t) y y2 (t) las respuestas del sistema de tiempo continuo a las señales x1 (t) y x2 (t), respectivamente. Entonces el sistema es lineal si se cumple Propiedad de aditividad de un sistema lineal: La respuesta a x 1 (t) + x2 (t) es
y1 (t) + y2(t) Propiedad de homogeneidad: La respuesta a αx1 (t) es αy1 (t), en donde α es
cualquier constante compleja. La estabilidad es una propiedad importante de los sistemas. Intuitivamente, un sistema estable es aquel cuya salida no diverge. Ejemplo 1.14. Consideremos la situación ilustrada en la Figura 1.9, esa superficie es una colina con una pelota en la cresta. Si imaginamos un sistema cuya entrada es una aceleración horizontal aplicada a la pelota, entonces el sistema dibujado en la Figura 1.9 es inestable, ya que una pequeña perturbación en la posición horizontal de la pelota provocará que ruede hacia abajo de la colina.
Ejemplo 1.15. Consideremos la situación ilustrada en la Figura 1.10, la superficie es un valle con una pelota en la base. Si imaginamos un sistema cuya entrada es una aceleración horizontal aplicada a la pelota, entonces el sistema de la Figura 1.10 es estable,
21 ya que pequeñas aceleraciones horizontales conducen a pequeñas perturbaciones en la posición vertical.
y(t)
x(t)
Figura 1.10: Sistema estable Un sistema es causal si su salida en cualquier instante de tiempo depende solo de los valores de entrada en el tiempo presente y en el pasado. Tal sistema es con frecuencia llamado no anticipativo ya que la salida del sistema no anticipa valores futuros de la entrada. Ejemplo 1.16. El movimiento de un automóvil es causal ya que no anticipa acciones futuras del conductor.
1.5.
Ecuaciones de diferencias
Una ecuación de diferencias lineal de orden n con coeficientes constantes tiene la forma an+1yk+n + an yk+n−1 +
·· · + a y
2 k+1 + a1 yk
= g(k),
donde los yi denota los valores de la variable dependiente discreta y en el i–ésimo instante, para i = k, k + 1, . . . , k + n. Sea yx = f (x), donde x ∈ Z, entonces La primera diferencia de yx es el cambio de y cuando x cambia de x a x + 1 y se escribe ∆yx = y x+1
−y . x
22
La segunda diferencia de yx es ∆2 yx = ∆(∆yx ) = ∆(yx+1
−y − 2y
− y ), ) − (y − y ),
= (yx+2
x+1
= y x+2
x+1
x
x+1
x
+ yx .
La tercera diferencia de yx es ∆3 yx = ∆(∆2 yx ) = ∆yx+2
−y − 3y
− 2∆y −y ) − 2(y − 3y + y .
= (yx+3
x+2
= y x+3
x+2
x+1
x+2
x+1
+ ∆yx ,
x+1
) + (yx+1
− y ), x
x
La n–ésima diferencia de yx es k k
∆ yx = ∆(∆
k−1
yx ) =
i=0
k! ( 1)i yx+k−i . (k 1)!i!
Ejemplo 1.17. Consideremos la función y = 4x2
∆2 yx = ∆yx+1
− − − 5 , la segunda diferencia es
− ∆y = (y − y ) − (y − y ) = [4(x + 2) − 5] − [4(x + 1) − 5] − [4(x + 1) − 5] − [4x − 5] = 4(x + 2) − 5 − 4(x + 1) + 5 − 4(x + 1) + 5 + 4x − 5 = 4(x + 2) − 8(x + 1) + 4x = 4(x + 4x + 4) − 8(x + 2x + 1) + 4x = 4x + 16x + 16 − 8x + 16x + 8 + 4x x
x+2
x+1
x+1
x
2
2
2 2
2
2
= 8.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
23
1.5.1.
Ecuaciones de diferencias lineales de primer orden con coeficientes constantes
La ecuación general de diferencias lineal de primer orden con coeficientes constantes tiene la forma yx+1 = Ay x + B,
con A y B constantes. Hay tres casos especiales para la solución de esta ecuación. 1. La diferencia de primer orden es una constante: y x+1 − yx = B (Para A = 1), la solución es yx = y0 + Bx.
2. La diferencia de primer orden es proporcional a la variable yx+1: yx+1 − yx = αyx+1 (Para A =
1 1−α
y B = 0), la solución es yx = ( 1−1 α )x y0 .
3. La diferencia de primer orden es una función lineal de la variable yx+1 : y x+1 − yx = αyx+1 + B (Para A = B = ( 1−1 α )x
1 1−α
), la solución es y x = ( 1−1 α )x y0 + Bα [yx =
− 1].
Ejemplo 1.18. Consideremos la ecuación 8yx+1 + 4yx
1 y0 = , veamos la solución del problema. 2 8yx+1 + 4yx
− 3 = 0 con condición inicial
− 3 = 0, 8y = −4y + 3, 1 3 y = − y + . 2 8 x+1 x+1
De donde,
x
x
24
yx = yx = yx = yx = Ahora, si y 0 =
1 x 2 1 2 1 x ) 2
− − − −− − − − − − − − − 1 2
x
1 2 1 2
x
y0
1 1
3 y0 + 8
3 1 ( 3 8 2 x 3 2 3 2 y0 + 83 83 x 1 1 1 + . 4 2 4 y0 +
1 entonces la solución particular es 2 1 1 1 yx = 2 4 2 x 1 1 1 yx = + . 4 2 4
− − − −
Ejemplo 1.19. Consideremos la ecuación 5yx+1
x
1 2
,
, x
,
1 + , 4
− 5y + 4 = 0 con condición inicial x
y0 = 3 , entonces veamos la solución del problema. 5yx+1
− 5y + 4 = 0, x
5yx+1 = 5yx yx+1 = y x yx = y 0
− 4, − 54 , − 54 x.
Ahora, si y 0 = 3 entonces la solución particular es
yx = 3
− 45 x.
Ejemplo 1.20. Consideremos la ecuación 12yx+1 + 3yx = 0 con condición inicial
y0 = 2 , veamos la solución del problema. 12yx+1 + 3yx = 0, 12yx+1 = yx+1
−3y , −1 y , = 4 − 1 = y. x
x
x
yx
4
0
25 Ahora, si y 0 = 2 entonces la solución particular es,
yx = 2
1.5.2.
− 1 4
x
.
Ecuaciones de diferencias lineales de segundo orden con coeficientes constantes
La ecuación general en diferencias de segundo orden con coeficientes constantes se escribe en la forma yx+2 + Ayx+1 + By x = g(x).
1. Consideremos primero el caso en que g(x) = 0, esto es, yx+2 + Ayx+1 + By x = 0.
Para obtener la solución de esta ecuación tomamos la ecuación auxiliar m2 + Am + B = 0
y encontramos sus raices usando la fórmula de la ecuación cuadrática
√ − A + A − 4B = , 2 √ A − A − 4B − = . 2
m1
2
m2
2
Hay tres tipos de soluciones a) m1 y m2 son reales y distintas, entonces la solución es: yx = C 1 mx1 + C 2 mx2 . b) m1 y m2 son reales e iguales, entonces la solución es: y x = C 1 mx + C 2 mx . c) m1 y m 2 son complejas, m 1 = a + bi y m 2 = a
es: yx
− bi, entonces la solución √ = r (C cos θx + C sin θx), donde r = a + b y θ es el ángulo tal x
1
a b
que tan θ = .
2
2
2
26 Ejemplo 1.21. Consideremos la ecuación de diferencias yx+2 + 3yx+1 + 2yx = 0, con condiciones iniciales y0 = 2 , y y1 = 5. La ecuación auxiliar es m2 +3m+2 =
0 , cuyas raices son
√ 3+ 3 −4·2 − = = −1, 2 √ 3− 3 −4·2 − = = −2. 2
m1
2
m2
2
Luego, la solución general es
yx = C 1 ( 1)x + C 2 ( 2)x .
−
−
Ahora, si y 0 = 2 , y y 1 = 5 entonces
2 = C 1 + C 2 , 5=
−1C − 2C . 1
2
Luego, C 1 = 1 = C 2 , por tanto la solución particular es
yx = ( 1)x + ( 2)x .
−
−
= 0 entonces la ecuación de diferencias no es homogénea y tiene 2. Ahora si g(x)
solución general yx + y ∗ , donde y ∗ es cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La forma de y ∗ depende de g(x). Supongamos que g(x) = K es una constante, es decir, yx+2 + Ayx+1 + Byx = K
y supongamos que yx = z x es la solución de la ecuación homogénea yx+2 + Ayx+1 + By x = 0. Ahora determinamos la solución de la ecuación no homogénea
en la forma yx = z x + L,
donde L es una constante. Luego, (z x+2 + L) + A(z x+1 + L) + B(z x + L) = K, z x+2 + Az x+1 + Bz x + (1 + A + B)L = K.
27
Pero z x+2 +Az x+1 +Bz x = 0,yaque z x es una solución de la ecuación homogénea y L =
K . 1 + A + B
Entonces, la solución de la ecuación no homogénea es yx = z x +
K , 1 + A + B
donde z x es la solución de la ecuación homogénea correspondiente.
Capítulo 2 La Transformada z En este capítulo hablaremos de la transformada z y presentaremos algunas de sus propiedades más importantes. Definición 2.1.
Sea x(t) una función del tiempo definida para t ≥ 0. Sea la sucesión
x(k) ó x(kT ), con k = 0, 1, 2, . . ., donde T es el período.
Se define la transformada z unilateral como ∞
X (z ) = z[x(t)] = z [x(kT )] =
x(kT )z −k ,
k=0
con z ∈ C .
(2.1)
Cuando T = 1 se tiene ∞
X (z ) = z[x(k)] =
x(k)z −k ,
k=0
con z ∈ C .
(2.2)
Se define la transformada z bilateral como ∞
X (z ) = z[x(t)] = z[x(kT )] =
x(kT )z −k ,
k=−∞
con z ∈ C . (2.3)
Cuando T = 1 se tiene que: ∞
X (z ) = z[x(k)] =
x(k)z −k ,
k=−∞
28
con z ∈ C .
(2.4)
29
2.1.
Transformada z de funciones elementales
1. Función escalón unitario:
x(t) =
1,
si
t
0,
si
t < 0.
≥ 0,
x(t) 1
t
Figura 2.1: Función escalón unitario. La transformada z de x(t) es Definición de la función
X (z ) = z[x(t)] = z[1] ∞
=
∞ −k
1z
k=0
=
z −k
Definición de la transformada z
k=0
= 1 + z −1 + z −2 + z −3 + 1 1 z −1 z = z 1 =
Definición de sumatoria
···
Aplicación de la serie geométrica
− −
Multiplicando por
Luego, la transformada z de la función escalón unitario es, X (z ) =
z
z
− 1.
t,
si
t
0,
si
t < 0.
2. Función rampa: x(t) =
≥ 0,
z z
30
x(t)
t
Figura 2.2: Función rampa. La transformada z de x(t) es Definición de la función
X (z ) = z[x(t)] = z[t] ∞
=
kT z −k
Definición de la transformada z
k=0
∞
= T
kz −k
Propiedad de sumatoria
k=0
= T (z −1 + 2z −2 + 3z −3 + z −1 = T (1 z −1)2 T z = (z 1)2
Definición de sumatoria
··· )
Aplicación de la serie geométrica
−
z 2 Multiplicando por 2 z
−
Luego, la transformada z de la función rampa es X (z ) =
T z . (z 1)2
−
3. Función polinomial: x(t) =
ak ,
si
k = 0, 1, 2, . . .
0,
si
k < 0
31
La transformada z de x(t) es Definición de la función
X (z ) = z[x(t)] = z[ak ] ∞
=
∞ −k
x(k)z
k=0
=
ak z −k
k=0
= 1 + az −1 + a2 z −2 + a3 z −3 + =
1
Definición de la transformada z
1 az −1
Definición de sumatoria
···
Aplicación de la serie geométrica
− z = z − a
Multiplicando por
Luego, la transformada z de la función polinomial es X (z ) =
z
z
− a.
4. Función exponencial: x(t) =
e−at ,
si
t
0,
si
t < 0.
≥ 0,
x(t)
1 t
Figura 2.3: Función exponencial
z z
32
La transformada z de x(t) es X (z ) = z[e−at ]
Definición de la función
∞
=
e−akT z −k
Definición de la transformada z
k=0
= 1 + e−aT z −1 + e−2aT z −2 + e−3aT z −3 + =
Definición de sumatoria
···
1
Aplicación de la serie geométrica
−aT z −1
−e z = z − e 1
Multiplicando por
−aT
Luego, la transformada z de la función exponencial es X (z ) =
z . z e−aT
−
5. Función senosoidal: x(t) =
sin(wt),
si
t
0,
si
t < 0.
≥ 0,
Observemos que la transformada z de la función exponencial es −at ] z[e
=
1 1
−e
−aT z − 1
y que la función sin(wt) se puede escribir como sin(wt) =
1 iwt (e 2i
−iwt
−e
).
Entonces, la Transformada z de x(t) es
X (z ) = z[sin(wt)],
1 = 2i
1 = 2i
1
1
− −
1 eiwt z −1
− 1 − e
1 −iwt z −1
(eiwt e−iwt )z −1 (eiwt e−iwt )z −1 + z −2
− −
,
,
z z
33
=
1
=
−
z 2
z −1 sin(wT ) , 2z −1 cos(wT ) + z −2
−
z sin(wT ) . 2z cos(wT ) + 1
Luego, la transformada z de la función sin(wt) es X (z ) =
6. Función coseno: x(t) =
z 2
−
z sin(wT ) . 2z cos(wT ) + 1
cos(wt),
si
t
0,
si
t < 0.
≥ 0,
Recordemos que cos(wt) = 21 (eiwt + e −iwt ). Si procedemos de forma similar a la usada para encontrar la transformada z de la función sin(wt), tenemos que la transformada z de x(t) es X (z ) = z[cos(wt)] =
1 iwt + e−iwt ], z[e 2
1 = 2
1
1 = 2
2 (eiwt + e−iwt )z −1 1 (eiwt + e−iwt )z −1 + z −2
=
=
1
−
−
1 −iwt z −1
−e
−
1 z −1 cos(wT ) , 2z −1 cos(wT ) + z −2
z 2 z 2
−
1 + eiwt z −1 1
−
− z cos(wT )
− 2z cos(wT ) + 1 .
Luego, la transformada z de la función cos(wt) es X (z ) =
z 2 z 2
− z cos(wT )
− 2z cos(wT ) + 1 .
,
,
34
2.2.
Propiedades y teoremas importantes de la transformada z
En esta sección presentaremos algunas propiedades y teoremas importantes de la transformada z . Teorema 2.1. (Multiplicación por una constante) Si X (z ) es la transformada z de
x(t) , entonces z[ax(t)]
= a z[x(t)] = aX (z ),
(2.5)
donde a es una constante. Demostración. ∞
z[ax(t)]
=
ax(t)z −k
Definición de la transformada z
k=0
∞
= a
x(t)z −k
Propiedad de sumatorias
k=0
Definición de la transformada z
= a z[x(t)]
= aX (z )
Definición
Teorema 2.2. (Propiedad de linealidad) Sean x(t) y y(t) funciones que poseen trans formada z y sean α y β constantes, entonces z[αx(k) + βy(k)]
= α z[x(k)] + β z[y(k)].
(2.6)
35 Demostración. ∞
z[αx(k) + βy(tk)]
=
[αx(k) + βy(k)]z −k
Definición de la transformada z
k=0
∞
=
∞
αx(k)z −k +
k=0
= α
Propiedad de linealidad
k=0
∞
βy(k)z −k
en las sumatorias ∞
−k
x(k)z
+ β
k=0
y(k)z −k
Propiedad en sumatorias
k=0
= α z[x(k)] + β z[y(k)]
Ejemplo 2.1. La transformada z de x(k + 1) está dada por ∞
z[x(k +
1)] =
x(k + 1)z −k ,
k=0
∞
=
x(k)z −k+1 ,
k=1
∞
x(k)z −k
x(k)z −k
− x(0)],
= zx(0) + z
k=1
∞
= z [
k=0
= z [X (z )
− zx(0),
− x(0)].
Ejemplo 2.2. La transformada z de x(k + 2) está dada por,
Definición
36
∞
z[x(k +
2)] =
x(k + 2)z −k ,
k=0
∞
=
x(k)z −k z 2 ,
k=2
∞
2
2
−1
= z x(0) + z x(1)z
+
x(k)z −k z 2
k=2
∞
= z 2
x(k)z −k
k=2
= z 2 X (z )
−1
− x(0) − x(1)z
2
−1
− z x(1)z
,
,
2
− z x(0) − zx(1).
Similarmente, se puede ver que z[x(k + n)]
= z n X (z )
n−1
n
− z x(0) − z
x(1)
n−2
− z
x(2)
− · · · − zx(n − 1). (2.7)
Teorema 2.3. (Multiplicación por ak ) Si x(k) tiene transformada z , entonces z[a
k
x(k)] = x(a−1 z ).
(2.8)
Demostración. ∞ k
z[a
x(k)] =
ak x(k)z −k
Definición
k=0
∞
=
x(k)(a−1 z −k )
Propiedad conmutativa en C
k=0
= X (a−1 z )
Definición
Teorema 2.4. (Teorema de corrimiento ó de traslación real) Si x(t) tiene transformada
z entonces
i. z[x(t − nT )] = z −n z[x(t)], para n = 0, 1, 2, . . .. n−1
ii. z[x(t + nT )] = z [ z[x(t)] n
− k=0
x(kT )z −k ], para
n = 0, 1, 2, . . ..
37 Demostración.
i. ∞
z[x(t
− nT ] =
− nT )z
k=0
= z −n
−k
x(kT ∞
−k +n
x(kT
− nT )z
k=0
∞
−n
= z
−(k−n)
x(kT
− nT ))z
k=0
∞
−n
= z
x(mT )z −m
m=−n
∞
−n
= z
x(mT )z −m
m=0
= z −n z[x(t)]
ii. ∞
z[x(t + nT )]
=
x(kT + nT )z −k
k=0
∞
n
= z
x(kT + nT )z −(k+n)
k=0
∞
n
= z [
n−1
−(k+n)
x(kT + nT ))z
k=0
= z [
n−1
n−1
−k
x(kT )z
k=0
= z n [ z[x(t)]
−
x(kT )z −k ]
k=0
n−1
−
x(kT )z −k ]
k=0
Ejemplo 2.3. Sea
u(t) =
t
− 2T,
0,
−k
x(kT ))z
k=0
∞
n
+
si
t
si
t < 0.
≥ 0,
− k=0
x(kT ))z −k ]
38 Para encontrar la transformada z de u(t) utilizaremos el teorema de traslación real. z[u(t
−2 z[u(t)],
− 2T )] = z
1 , 1 z −1 z −2 = . 1 z −1 = z −2
Luego, z [u(t
z −2 1−z −1
− 2T )] =
−
−
.
Teorema 2.5. (Teorema de traslación compleja) Si x(t) tiene transformada z entonces −(at) x(t)] z[e
= X (ze aT ).
(2.9)
Demostración. ∞ −(at)
z[e
x(t)] =
x(kT )e−akT z −k ,
k=0
∞
=
x(kT )(ze −aT )−k ,
k=0
= X (ze aT ).
Ejemplo 2.4. Sea x(t) = te −at , notemos que
T z −1 = X (z ). z[t] = (1 z −1 )2
−
Además, utilizando el teorema de traslación compleja tenemos −at
z[te
T e−at z −1 ] = X (ze ) = (1 e−at z −1 )2 at
−
Ejemplo 2.5. Sea x(t) = e −at cos(wt) , para encontrar su transformada z notemos que z[cos(wT )]
=
z 2 z 2
− z cos(wT )
− 2z cos(wT ) + 1 .
Además, utilizando el teorema de traslación compleja sustituimos zeat por z , entonces −at
z[e
z 2e2at ze at cos(wT ) cos(wt)] = 2 2at . z e 2ze at cos(wT ) + 1
−
−
39 Teorema 2.6. (Teorema del valor inicial) Si X (z ) = z[x(t)] y el l´ım X (z ) existe, entonces el valor inicial de x(0) de x(t) ó x(k) z →∞
está dado por
x(0) = l´ım X (Z ). z →∞
(2.10)
Demostración. Para demostrar este teorema notemos que ∞
z[x(t)]
=
x(k)z −k
k=0
= x(0) + x(1)z −1 + x(2)z −2 +
Haciendo que z →
···
∞ en la última ecuación, obtenemos la ecuación (2.9). El com-
portamiento del signo en la región de t = 0 ó k = 0 puede estar determinada por el comportamiento de X (z ) cuando z = ∞. Ejemplo 2.6. Determinemos x(0) sabiendo que la transformada z de x(t) es
X (z ) =
1
−aT −1
− (1 − aT )e (1 − e z
z
.
−aT −1 )2
Usamos el teorema del valor inicial y obtenemos
x(0) = l´ım
1
z →∞
−aT −1
− (1 − aT )e (1 − e z
z
= 1.
−aT −1 )2
Luego, el valor inicial de x(t) es x(0) = 1.
Teorema 2.7. (Teorema de Convolución Real) Sean las funciones x1 (t) y x2 (t) , donde
x1 (t) = 0, para t < 0, x2 (t) = 0, para t < 0. Supongamos que x1 (t) y x2 (t) tienen transformada z igual a X 1 (z ) y X 2 (z ) respectivamente. Entonces, ∞
X 1 (z )X 2 (z ) = z
k=0
x1 (hT )x2(kT
− hT )
.
(2.11)
40 Demostración.
∞
k
z
x1(hT )x2 (kT
− hT )
h=0
k
=
x1 (hT )x2 (kT
−k
,
x1 (hT )x2 (kT
−k
,
− hT )z
k=0 h=0
∞
∞
=
− hT )z
k=0 h=0
donde sabemos que x2 (kT − hT ) = 0 para h > k. Ahora definimos m = k − h, entonces
∞
z
x1 (hT )x2(kT
− hT )
h=0
∞
k
−h
x1(hT )z
=
h=0
x2 (mT )z −m .
m=−h
Además, x2 (mT ) = 0 para m < 0 y de esta última ecuación obtenemos
∞
k
z
x1 (hT )x2 (kT
− hT )
h=0
=
∞ −h
x1 (hT )z
h=0
x2 (mT )z −m
m=0
= X 1 (z )X 2 (z ).
El siguiente teorema se utiliza para obtener la transformada z de dos secuencias. Teorema 2.8. (Teorema de Convolución Compleja) Supongamos que x1 (t) y x2 (t) son dos secuencias con k < 0 y
X 1 (z ) = z[x1(t)], para z > R1 , X 2 (z ) = z[x2(t)],
|| para |z | > R , 2
donde R 1 y R 2 son dos radios de convergencia absoluta para x 1 (k) y x 2 (k) , respectivamente. Entonces,el producto de dos transformadas x1 (k) y x2 (k) está dado por
1 z[x1 (k)x2 (k)] = 2πj
ξ −1 X 2 (ξ )X 1 (ξ −1 z )dξ,
(2.12)
c
donde R2 < ξ < z /R1 .
|| ||
Demostración. Para demostrar este teorema tomamos la transformada z de x1 (k)x2 (k) ∞
z[x1 (k)x2 (k)]
=
k=0
x1 (k)x2 (k)z −k .
(2.13)
41
Las series en la parte derecha de la ecuación (2.13) convergen para |z | > R, donde R es el radio de convergencia absoluta para x1 (k)x2 (k) y de la ecuación −1 z [X (z )]
= x(kT ) = x(k), 1 = 2πj
X (z )z k−1 dz,
C
en donde C es un círculo con centro en el origen del plano z tenemos 1 x2 (k) = 2πj 1 = 2πj
X 2 (z )z k−1 dz,
C
X 2 (ξ )ξ k−1 dξ.
C
Luego, sustituimos la ecuación anterior por la ecuación (2.13) y se tiene 1 z[x1 (k)x2 (k)] = 2πj
Como
∞ −1
ξ X 2 (ξ )
C
x1 (k)(ξ −1 z ) kdξ.
−
k=0
∞
x1 (k)(ξ −1 z )−k = X 1 (ξ −1 z ),
k=0
entonces,
1 z[x1 (k)x2 (k)] = 2πj
ξ −1 X 2 (ξ )X 1 (ξ −1 z )dξ,
c
donde C es un círculo con centro en el origen y ξ está en la región dada por |ξ | > R2 y
|ξ z | > R o equivalentemente R −1
1
2
< ξ <
||
|z | R1
.
Teorema 2.9. Sean x1 (k) y x2 (k) dos secuencias que tienen por transformada z las funciones X 1 (z ) y X 2 (z ) respectivamente, tales que
X 1 (z ) = z [x1 (k)], X 2 (z ) = z [x2 (k)], Entonces,
∞
k=0
1 x (k) = 2πj 2
|z | > R , |z | > R . 1 2
z −1 X (z )X (z −1z )dz.
c
(2.14)
42 Demostración. Por hipótesis sabemos que las secuencias x1 (k) y x2 (k) tienen transfor-
mada z y además que X 1 (z ) = z[x1 (k)],
|z | > R |z | > R
1
X 2 (z ) = z[x2 (k)],
y la inecuación R2 < |ξ | <
|z | R1
2
se satisface para |z | = 1, es decir R2 < |ξ | <
1 R1
.
Entonces, sustituimos |z | = 1 en la ecuación 1 z[x1 (k)x2 (k)] = 2πj
ξ −1X 2 (ξ )X 1(ξ −1 z )dξ
c
y obtenemos la siguiente ecuación ∞
z[x1 (k)x2 (k)]|z |=1
=
x1 (k)x2 (k),
k=0
1 = 2πj
ξ −1 X 2(ξ )X 1 (ξ −1 z )dξ.
c
Si colocamos x1 (k) = x 2 (k) = x(k) en esta ecuación, se obtiene ∞
k=0
1 x (k) = 2πj 2
=
1 2πj
ξ −1 X (ξ )X (ξ −1 z )dξ,
c
z −1 X (z )X (z −1z )dz.
c
Esta ecuación es el teorema de Parseval. Este teorema es usado para obtener la suma de x2 (k).
43
No
x(t)
x(kT ) o x (k )
X (z )
1.
1(t)
1(k )
1 1−z −1
2.
e−at
e−akT
1 1−e−aT z −1
3.
t
kT
T z −1 (1−z −1 )2
4.
t2
(kT )2
T 2 z −1 (1+z −1 ) (1−z −1 )3
5.
t3
(kT )3
T 3 z −1 (1+4z −1 +z −2 ) (1−z −1 )4
− e− − e−
(1−e−aT )z −1 (1−z −1 )(1−e−aT z −1 ) (e−aT −e−bt )z −1 (1−e−aT z −1 )(1−e−bT z −1 )
6. 7.
− e− e− − e− at
10.
1
bt
(1
akT
e−akT
te−at
8. 9.
at
1
bkT
T e−aT z −1 (1−e−aT z −1 )2
kT e−akT
− at)e−
at
t2 e−at
11. at − 1 + e−at
(1
− akT )e−
akT
(kT )2 e−akT
− 1 + e−
akT
akT
1−(1+aT )e−aT z −1 (1−e−aT z −1 )2 2 −aT T e (1+e−aT z −1 )z −1 (1−e−aT z −1 )3 [(aT −1+e−aT )+(1−e−aT −aT e−aT )z −1 ]z −1 (1−z −1 )2 (1−e−aT z −1 )
12.
sin wt
sin wkT
z −1 sin wT 1−2z −1 cos wT +z −2
13.
cos wt
cos wkT
1−z −1 cos wT 1−2z −1 cos wT +z −2
14.
e−at sin wt
e−akT sin wkT
e−aT z −1 sin wT 1−2e−aT z −1 cos wT +e−aT z −2
15.
e−at cos wt
e−akT cos wkT
1−e−aT z −1 cos wT − 1−2e aT z −1 cos wT +e−aT z −2
16.
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
ak
1 1−az −1
ak−1 , con k = 1, 2, 3, . . .
z −1 1−az −1
17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
··· ···
ka k−1
z −1
k 4 ak
(1−az −1 )2 − z 1 (1+az −1 ) (1−az −1 )3 1 z − (1+4az −1 +a2 z −2 ) (1−az −1 )4 − 1 z (1+11az −1 +11a2 z −2 +a3 z −3 ) (1−az −1 )5
ak cos k Π
1 1−az −1
k 2 ak k 3 ak
1,
k = 0
0,
k =0
1,
n = k
0,
n = k
1
Cuadro 2.1: Tabla de la transformada z
z −k
Capítulo 3 Transformada z Inversa La Transformada z inversa de X (z ) da como resultado la correspondiente secuencia de tiempo x(k). A partir de la transformada z inversa solo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo. Así, la transformada inversa de X (z ) da como resultado una única x(k), pero no da una única x(t) para t = 0, T, 2T , . . . Cuando X (z ), la transformada z de x(kT ) o x(k), es dada la operación que determina la x(kT ) o x(k) correspondiente se denomina Transformada z inversa. Para calcular la transformada z inversa estudiaremos dos métodos i. Método de la división directa. ii. Método de descomposición en fracciones parciales.
3.1.
Método de la división directa
La transformada z inversa se obtiene mediante la expansión de X (z ) en una serie infinita de potencias de z −1 . ∞
X (z ) =
x(kT )z −k
k=0
= x(0) + x(T )z −1 + x(2T )z −2 +
44
−k
·· · + x(kT )z
+
·· ·
45
∞
X (z ) =
x(k)z −k
k=0
= x(0) + x(1)z −1 + x(2)z −2 +
−k
·· · + x(k)z
+
···
entonces x(kT ) o x(k) es el coeficiente del término z −k . Por consiguiente los valores de x(kT ) o x(k), para k = 0, 1, 2, . . ., se pueden determinar por inspección. Aunque el presente método da los valores de x(0), x(T ), x(2T ), . . . de forma secuencial, es difícil de obtener una expresión para el término general de ciertos valores. Las siguientes fórmulas a veces son útiles si se reconoce la expresión para una serie finita o infinita de z −1 . −1 3
− az ) (1 − az ) (1 − az ) (1 − az ) (1 − az ) (1 − az ) (1
−1 4
=1
−1
+ 3a2 z −2
−1
+ 6a2 z −2
− 3az = 1 − 4az
−1 −1
3 −3
− a z − 4a z
3 −3
+ a4 z −4
= 1 + az −1 + a2 z −2 + a3 z −3 + a4z −4 +
|z | > 1 |z | > 1 |z | > 1 |z | > 1
··· + ·· ·
−1 −2
= 1+2az −1 +3a2 z −2 +4a3 z −3 +5a4z −4
−1 −3
= 1 + 3az −1 + 6a2z −2 + 10a3z −3 + 15a4 z −4 +
−1 −4
= 1+4az −1 + 10a2 z −2 + 20a3 z −3 + 35a4 z −4
· ·· + · ··
Ejemplo 3.1. Sea
X (z ) =
1 . (z 1)2 z 2
−
Para encontrar x(k) cuando k = 0, 1, 2, 3, 4 , primero expresamos X (z ) en la forma
z −4 = X (z ) = (1 z −1 )2 1
−
−
z −4 , 2z −1 + z 2
ahora dividiendo el numerador entre el denominador se obtiene X (z ) escrito como un polinomio en z −1
X (z ) = z −4 + 2z −5 + 3z −6 + 4z −7 + 5z −8 +
·· ·
46 ∞
Comparando la serie de expansión infinita de X (z ) con X (z ) =
x(k)z −k , se obtie-
k=0
ne
x(0) = 0 x(1) = 0 x(2) = 0 x(3) = 0 x(4) = 1 x(5) = 2 x(6) = 3 x(7) = 4 x(8) = 5
Es decir, que la transformada inversa de X (z ) =
x(k) =
3.2.
la forma
si k = 0, 1, 2, 3
0, k
1 tiene (z −1)2 z 2
−3
si k
≥ 4
Método de descomposición en fracciones parciales
La linealidad de la transformada z nos permite utilizar este método para obtener la transformada z inversa de X (z ). Para encontrar la transformada z inversa, se emplea la siguiente técnica: 1. Escriba X (z ) como una suma de fracciones parciales con coeficientes constantes. 2. Exprese cada fracción parcial de X (z ) como potencias de z −1 . 3. Obtenga la inversa de cada término con la ayuda de las tablas.
47
4. Obtenga x(k) sumando los términos hallados. Ejemplo 3.2. Sea
X (z ) =
1 (z 1)2z 2
Para encontrar x(k) cuando k = 0, 1, 2, 3, 4.
−
Se expande X (z ) en fracciones parciales, y se obtiene
1 , (z 1)2 z 2 1 2 1 2 = + + , (z 1)2 (z 1) z 2 z 2 z −2 2z −1 = + z −2 + 2z −1 . −1 2 −1 (1 z ) 1 z
X (z ) =
−
− − − − − −
Ahora, calculando la transformada z inversa de cada fracción se tiene:
z
−1
z −2 z −1 −1 −1 =z z = (1 z −1 )2 (1 z −1 )2
k
z −1 1 −1 −1 = z = z 1 z −1 1 z −1
1,
si k = 1, 2, 3, . . .
0,
si k
−
−1 z
−
−
z
z
−1
−1
−
[z −2 ] =
[z −1 ] =
− 1, 0,
1,
si k = 2
0
si k = 2
1,
si k = 1
0
si k = 1
si k = 1, 2, 3, . . . si k
≤ 0
≤ 0
Luego, la transformada z inversa de X (z ) es
x(k) =
0
− 0 + 0 + 0 = 0, 0 − 2 + 0 + 2 = 0, 1 − 2 + 1 + 0 = 0, k − 1 − 2 + 0 + 0 = k − 3,
k = 0 k = 1 k = 2 k = 3, 4, 5, . . .
48 Por lo tanto,
x(k) =
0,
k = 0, 1, 2, 3
k
k = 4, 5, 6, . . .
− 3,
Capítulo 4 Aplicaciones de la Transformada z 4.1.
Solución de ecuaciones de diferencias
Recordemos que una ecuación de diferencias lineal de orden n con coeficientes constantes tiene la forma an+1yk+n + an yk+n−1 +
·· · + a y
2 k+1 + a1 yk
= g(k).
Una ecuación de diferencias puede interpretarse como la ecuación que rige un sistema de datos muestreados donde los y(i) , con i = k, k + 1,...,k + n son los valores de las señales de salida del sistema correspondientes a intervalos de tiempo T , las a i con i = 0, 1, 2, 3, . . . , n son constantes y g(k) es una señal de entrada del sistema.
La transformada z es usada para solucionar ecuaciones de diferencias lineales. Ejemplo 4.1. Considere la ecuación de diferencias de segundo orden,
x(k + 2) + 0,5x(k + 1) + 0,2x(k) = u(k) donde
u(k) = u s (k) = 1
paraf =
0, 1, 2, 3, . . .
Las condiciones iniciales de x(k) son x(0) = 0 y x(1) = 0. Aplicamos la transformada
49
50
z en ambos lados de la ecuación, y obtenemos, [z 2 X (z )
2
− z x(0) − zx(1)] + 0,5[zX (z ) − zx(0)] + 0,2X (z ) = U (z )
La transformada z de u(k) =
z z −1
. Sustituimos las condiciones iniciales de x(k) y U (z )
en la ecuacioón anterior y solucionamos para X (z ) , y se obtiene,
X (z ) =
(z
−
z 1)(z 2 + 0,5z + 0,2)
Aplicando el método de expansión en fracciones parciales se tiene,
X (z ) 0,588 = z z 1
− −
1,036 j 1,283 z + 0,25 + j0,37
−
1,036 j 1,283 z + 0,25 j0,37
−
Donde los exponentes en los coeficientes del numerador estan en radianes. Aplicando la transformada z inversa de X (z ) , resulta,
x(k) = 0,588
k
− j 2,165k−1,283
j 2,165k−1,283
+ − 1,036(0,447) [ = 0,588 − 2,072(0,447) cos(2,165k − 1,283) k
4.2.
con
] k
≥ 0
Análisis y caracterización de los sistemas LTI usando la Transformada z
La transformada z es importante en el análisis y representación de los sistemas LTI de tiempo discreto. Partiendo del teorema de convolución, donde X (z ), Y (z ) son las transformadas de la entrada, salida y respuesta al impulso del sistema, respectivamente. H (z ) es una función de transferencia o la función del sistema.
Para los sistemas caracterizados por ecuaciones lineales de diferencias con coeficientes constantes, las propiedades de la transformada z proveen un procedimiento muy conveniente para obtener la función de transferencia, la respuesta en la frecuencia o la respuesta en el dominio del tiempo del sistema.
51 Ejemplo 4.2. Consideremos el sistema LTI en el cual la entrada x[n] y la salida y[n] satisfacen la ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes
y[n]
− 21 y[n − 1] = x[n] + 13 x[n − 1].
Aplicando la transformada z en ambos lados de la ecuación, y usando la propiedad de linealidad y la propiedad de desplazamiento en el tiempo, obtenemos
Y (z )
− 21 z 1Y [z ] = X [z ] + 31 z 1X [z ] −
o
−
1 + 31 z −1 Y (z ) = X [z ][ ] 1 21 z −1
y por la propiedad de convolución tenemos,
−
1 + 31 z − 1 Y (z ) H (z ) = = X (z ) 1 21 z −1
−
Esta proporciona la expresión algebraica de H (z ) pero no la región de convergencia. De hecho hay dos respuestas al impulso distintas que son consistentes con la ecuación de diferencias inicial, una derecha y otra izquierda. De modo que , hay dos posibles selecciones difrentes de la región de convergencia asociada con la expresión algebraica final. Una , z > 21 está asociada con la suposición de que h[n] es una señal derecha
| | y la otra | z |< está asociada con la suposición de que h[n] es una señal izquierda. 1 2
Para el caso más general de una ecuación de diferencias de orden N , se procede de igual forma que en el ejemplo anterior, aplicando la transformada z en ambos lados de la ecuación y usamos las propiedades de linealidad y desplazamiento en el tiempo. Por consiguiente, consideramos un sistema LTI para el cual la entrada y la salida satisfacen una ecuación lineal en diferencias con coeficientes constantes de la forma N
N
− k] =
ak z Y [z ] =
ak y[n
k=0
luego,
N
k=0
k=0
bk x[n
− k]
N
−k
k=0
bk z −k X [z ]
52
o
N
Y [z ]
N
−k
ak z
= X [z ]
k=0
de modo que
Y (z ) H [z ] = = X (z )
bk z −k
k=0
N k=0 N k=0
bk z −k ak z −k
Observemos en particular que la función de transferencia de un sistema que satisface una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes siempre es racional. Mirando el ejemplo anterior la ecuación por si misma no nos brinda información acerca de la región de convergencia asociada con la expresión algebraica H (z ). Sin embargo, una restricción adicional como la causalidad o la estabilidad del sistema, sirve para especificar la región de convergencia. La transformada z de tiempo discreto permite reemplazar las operaciones en el dominio del tiempo tales como la convolución y el desplazamiento en el tiempo, con operaciones algebraicas. El empleo de la transformada z para convertir descripciones de sistemas a ecuaciones de dieferencias algebraicas también es útil en el análisis de las conexiones de sistemas LTI, como conexiones en serie, paralelo y retroalimentadas. Por ejemplo consideremos una conexión retroalimentada de dos sistemas como se muestra en la figura 4.1. Es difícil determinar en el dominio del tiempo la ecuación en diferencias o la respuesta al impulso del sistema total. Sin embargo con los sistemas y las secuencias expresadas en términos de su transformada z , el análisis involucra sólo ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones específicas de las conexiones de la figura 4.1 son exactamente iguales a las ecuaciones, con el resultado final de que la función de transferencia total del sistema retroalimentado de la figura 4.1 es Y (z ) H 1 (z ) = H (z ) = . X (z ) 1 + H 1 (z )H 2(z )
Un sistema LTI representado por una ecuación lineal en diferencias finitas se transforma por medio de la transformada z en Y (z ) = X (z )H (z )
53
⊕
x[n]
H 1 [n]
x1 [n]
y1 [n]
y[n]
h1 [n]
H 2 [n]
y2 [n]
h2 [n]
Figura 4.1: Conexión retroalimentada de dos sistemas que es la ley de Ohm generalizada. A la relación entre la salida y la entrada del sistema se le llama transferencia H (z ). H (z ) =
Y (z ) X (z )
La solución general del sistema es la convolución: y[n]
x[n]
X [n]
Y [n]
H [n]
Figura 4.2: Sistemade transferencia H (z )
y[n] = x[n] h[n]
∗
Ejemplo 4.3. Resolver el circuito de la figura con x[n] = u[n]. La ecuación del circuito es:
y[n] = x[n] + ay[n
− 1]
x[n] = u[n]
54
x[n]
⊕
x[n]
y[n]
D y[n
− 1]
a
Figura 4.3: Circuito Despejamos x[n]
y[n]
− ay[n − 1] = x[n]
Ahora aplicamos la transformada z en ambos lados de la ecuación y obtenemos, −1
Y (z )
− az Y (z ) = X (z ) 1 Y (z )[1 − az ] = 1− −1
1
z
Y (z ) = Y (z ) =
1
1
1
1
− 1− z
(z
−
z 2 1)(z
a z
− a)
Aplicando el teorema de convolución, para a = 1
Y (z ) =
1 1
1 1
− 1− z
a z
+∞
y[n] = y[n] =
ak u[k]u[n
k=−∞ n k
a u[k]u[n
k=0
− k]
− k] = 1 + a + a
2
+ a3 + a4 +
· ·· + a
n−1
+ an .
