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203057_10 CALCULO MULTIVARIADO

T R A B A J O C O L A B O R A T IV IV O 1 Fase 1

Presentado por: Oscar Andrés Soto Ocampo Julián David Mora Girlesa Molina Brayhan Black Puentes Martin Eduardo Tapias

Fase 1 203057_10

Tutor Adriana Granados Comba

Universidad nacional abierta y a distancia (UNAD) Calculo Multivariado 2016

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Tabla de contenido

Objetivos ........................................................................................... ..................... 3 Objetivo general .............................................................................................. ....... 3 Objetivos Específicos ...................................................................................... ....... 3 Listado De Temas Necesarios Para Resolver El Problema. ................................... 4 Ecuaciones paramétricas de la parábola: ........................................................... 4 Funciones vectoriales: ........................................................................................ 5 Vectores: ............................................................................................................ 5 Funciones vectoriales: ........................................................................................ 5 Funciones de varias variables ................................................................... ......... 6 Funciones Vectoriales ........................................................................................ 7 Función de dos variables .................................................................................... 9 Funciones de varias variables ................................................................... ......... 9 SOLUCION DEL PROBLEMA .............................................................................. 11 Problema a resolver: ................................................... ..................................... 11 Caso A ............................................................................................ ................... 12 Caso B ............................................................................................ ................... 13 Caso C ............................................................................................ ................... 15 Conclusiones ....................................................................................................... 17 Referencias Bibliográficas .................................................................................... 18

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Objetivos Objetivo general Desarrollar de forma evidencia el problema planteado utilizando las diferentes herramientas necesarias para dar solución al problema.

Objetivos Específicos Identificar las distintas operaciones o funciones para el desarrollo del problema. Aplicar los conceptos de manera teórica para hallar la solución. Dar a conocer las temáticas en las cuales podemos encontrar la solución al problema planteado por la guía de actividades.

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Listado De Temas Necesarios Para Resolver El Problema. Ecuaciones paramétricas de la parábola: De la ecuación ordinaria de la parábola con eje focal paralelo al eje x: ( − )2 = 4 ( − ℎ) Observamos que p y x - h deben tener el mismo signo, ya que el lado izquierdo siempre es positivo; podemos hacer:

 − ℎ = 2 Que al sustituir en la ecuación ordinaria nos da ( − )2 = 4 (2) ( − )2 = 422

 −  = 2  =  + 2 Por tanto, la representación paramétrica de la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x está dada por:

 = ℎ + 2   =  + 2 Si p > 0 la parábola se extiende a la derecha y si p < 0 se extiende a la izquierda. De manera semejante, la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje y ( − ℎ)2 = 4 ( − ) Se representa paramétricamente por las ecuaciones:

 = ℎ + 2   =  + 2 Si p > 0 la parábola se extiende hacia arriba y si p < 0 se extiende hacia abajo.

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Funciones vectoriales: Una circunferencia con centro en ( h , k ) y radio r la podemos expresar como ( − ℎ)2 + ( − )2 = 2 O bien, mediante ecuaciones paramétricas como x = r cos t , y = r sen t , ahora vamos a representar estas ecuaciones por medio de una función vectorial real t → n r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )),

Donde I es un intervalo de R, la función vectorial r ( t ) es una función vectorial de variable real con dominio I . Las funciones x ( t ) y y ( t ) son las funciones coordenadas de la función. Si solo se tiene una variable independiente, se dice que es una función vectorial de variable real. Si hay más de una variable independiente (dos o más), se dice que es una función vectorial de variable vectorial.

Vectores: Comenzaremos el estudio de los vectores en forma geométrica, que es un segmento orientado. A los puntos A y B que definen el vector se les llama origen y extremo del vector, respectivamente. Un vector es una cantidad caracterizada por las siguientes propiedades: Magnitud: Que representa el tamaño del vector, la longitud del segmento. Dirección: Que indica la línea de acción del vector. Sentido: En cada dirección hay dos posibles sentidos.

Funciones vectoriales: Hemos visto en la unidad anterior que una circunferencia con centro en ( h , k ) y radio r la podemos expresar como ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2 5


o bien, mediante ecuaciones paramétricas como x = r cos t , y = r sen t , ahora vamos a representar estas ecuaciones por medio de una función vectorial real r ( t ): I → R 2 t → r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )),

Donde I es un intervalo de R , la función vectorial r ( t ) es una función vectorial de variable real con do minio I . Las funciones x ( t ) y y ( t ) son las funciones coordenadas de la función. Si solo se tiene una variable independiente, se dice que es una función vectorial de variable real. Si hay más de una variable independiente (dos o más), se dice que es una función vectorial de variable vectorial.

Funciones de varias variables Una función F de dos variables x y y con dominio D ⊂ R 2 es una regla que asigna un número específico f ( x , y ) a cada punto ( x , y ) ∈ D . Una función de varias variables es la función de producción de Cobb-Douglas: Q ( T , K ) = AT a K b Donde: Q = producción total (el valor monetario de todos los bienes producidos durante un año) T = trabajo insumo, K = capital insumo, A = factor total de productividad; α y β = elasticidades producto del trabajo y el capital, respectivamente.

Otra función de varias variables es la presión como función de la temperatura y del volumen en un gas ideal. P ( T , V )= nRT/V

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Donde: P es la presión del gas ideal n es el número de moles R es la constante de los gases ideales T es la temperatura y V el volumen del gas ideal Una función de n variables x 1 , x2 , … xn con dominio D ⊂ R n es una regla que asigna un numero e specifico f ( x 1 , … x n ) a cada n -vector ( x 1 , … x n ) ∈ D . Un campo escalar es una función de n variables que va de R n → R . Esto quiere decir que asocia cada punto de un espacio vectorial con un número o escalar f ( x 1 , x 2 , … x n ). Un campo vectorial es una función vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio. Por ejemplo el campo gravitacional, g = Gmt / r 2

Funciones Vectoriales Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:

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Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t. Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de: Es el intervalo (0, 1] En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes. R (t) = < f (t), g (t)> =f (t) i + g (t) j Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b 8


Una función vectorial se expresa como: R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Función de dos variables Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra dominio. Una función de dos variables se denota usualmente con la notación z = f (x, y) Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

Funciones de varias variables El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad V del móvil en ese punto y en ese instante: F(x; y; z; t) = v

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Una función de valor real, f, de x, y, z,... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f(x, y, z,...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z,...). La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).

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SOLUCION DEL PROBLEMA Problema a resolver: El problema es realizar la demostración en forma general del Principio de Arquímedes para cuerpos de forma arbitraria. Para llegar a la solución de este problema es necesario resolver antes otros tres subproblemas, cada uno de estos subproblemas son propuestos para desarrollar en cada unidad, sin embargo no olvidar que están relacionados y que se tienen que resolver todos para entender la solución del problema general o el problema principal. Cabe destacar, que lo importante en este caso no es el problema físico en sí, sino la forma cómo podemos aplicar los conceptos y la teoría del curso de Calculo Multivariado. De todas formas, se indicará un breve resumen o contexto sobre las expresiones que surgen de la física, pero subrayamos lo más importante es la aplicación del cálculo multivariado. El subproblema para esta primera Unidad que se llama Introducción a las funciones de varias variables se plantea de la siguiente forma: Las aplicaciones del cálculo multivariado para la física, la ingeniería y la propia vida se encuentran por doquier, una de estas es en el estudio de los fluidos. El problema que se propone es de la Hidrostática. El concepto más importante en esta área es el tema de la presión en un fluido y la presión es una función que cambia de un punto a otro es decir cambia con la posición, por lo tanto es una función que depende de varias variables. El origen del concepto de la presión surge de la definición de otra variable pero esta si ya es vectorial que se llama Esfuerzo, el cual es una magnitud que se aplica tanto a sólidos como a los fluidos, la expresión respecto a la cual va estar alrededor todo el curso es sobre la relación entre esfuerzo, fuerza, área elemental y presión. La definición del esfuerzo es:

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 , es la fuerza que Donde es el vector esfuerzo valorado en la posición ⃗,  actúa en un área elemental muy pequeña dS La definición de fluido cuando no se mueve, nos indica que el esfuerzo siempre es perpendicular a la superficie respecto a la cual se valora la fuerza, es decir:

Donde P es la presión y  es un vector unitario perpendicular a la superficie. Las superficies isobáricas son aquellas superficies donde la presión vale lo mismo y son las mismas superficies que llamamos superficies de nivel. Estas superficies se pueden hallar partiendo de una ecuación que se estudiará en la segunda unidad, pero por el momento supongamos que ya para algunos casos concretos nos dan la expresión de la presión, por lo tanto se les solicita que resuelvan los siguientes casos:

Caso A a) Cuando un fluido esta sin movimiento acelerado en la superficie de la tierra la presión se calcula de la forma , donde A y C son constantes y z es la coordenada hacia abajo. El plano xy es horizontal.

R /:

() =  + ,   = 3,  = 1  ( ) = 3  + 1   = 0. (0) = 3(0) + 1 = 1   = 1. (1) = 3(1) + 1 = 4   = 2. (2) = 3(2) + 1 = 7 12


  = 3. (3) = 3(3) + 1 = 1 0

Grafica simulada en software :

Caso B b) Cuando un fluido esta acelerado con una aceleración constante, la presión se calcula de la forma

donde A, B, C y D son 13


constantes y son las coordenadas de la posición : plano xy es horizontal y z hacia abajo.

R /:

(,,) =   +   +   +    = 1,  = 1,  = 1,  = 1  ,  + ´ +  + 1 = 0      (, ),  = 0 (,,0) =  +  + 1 = 0,  +  = 1 (2,3, −1) = (2) + (3) − 1 + 1 = 5 (3,4, −2) = (3) + (4) − 2 + 1 = 6 (4,5, −3) = (4) + (5) − 3 + 1 = 7

Grafica:

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. El


Caso C

c) Cuando el fluido está girando con una velocidad angular constante, la presión se calcula de la forma: constantes y

, donde A, B y C son .

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R /:

(,,) = (  +   ) +   +    = 1, = 1,  = 1,   (,,) = (  +  ) +  + 1 (2,2,2) = ((2) + (2)) + (2) + 1 = 1 1 (3,4,5) = ((3) + (4)) + (5) + 1 = 3 1 (0,0,1) = ((0) + (0) ) + 1 + 1 = 2

Grafica:

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Conclusiones Se involucraron los diferentes temas para el desarrollo de esta actividad, de igual manera se obtuvo ayuda del programa presentado en el entorno practico. Se dio a conocer la solución de los ejercicios sugeridos por la guía de actividades. Conocimos toda la temática sobre la unidad 1 en la cual encontramos las formulas y la teoría para poder obtener la solución del problema. Se dio a conocer la importancia de las funciones vectoriales y su respectiva formulas.

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Referencias Bibliográficas

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Ecuaciones paramétricas de la parábola: García Hernández, Ana Elizabeth. Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria, 2014. ProQuest ebrary. Web. 1 March 2016. Funciones vectoriales: García Hernández, Ana Elizabeth. Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria, 2014. ProQuest ebrary. Web. 1 March 2016. Zill, D.G. (2011). Matemátocas3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. 2-28. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2063/onlinepdfjs/view.aspx . Web. 1 March 2016. García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse Grupo Editorial Patria. 2-9 Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID= 11013675. Web. 1 March 2016. Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGraw-Hill España. 7-14 Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID =10491306. Web. 1 March 2016.

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