Laura Villarroel
UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZÓATEGUI ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE MECÁNICA TRANSFERENCIA TRANSFEREN CIA DE CALOR
TEMA 1 CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES (Tercer Parcial)
REALIZADO POR: LAURA VILLARROEL
Tr ans ansferencia ferencia de Calor Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
I. CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES PLANAS GRANDES, CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. En el tema anterior de sistemas concentrados, se tomó en consideración que la temperatura no variaba con con la posición, solo variaba con respecto al tiempo, es decir los cuerpos permanecían casi isotérmicos durante un proceso. Los cuerpos relativamente pequeños de materiales intensamente conductores se aproximan a este comportamiento. Sin embargo, en general, la temperatura dentro de un cuerpo cambia de punto a punto así como de tiempo en tiempo. En este tema se considera la variación de la temperatura con respecto respecto al tiempo y la posición en problemas unidimensionales, como los asociados con una pared plana grande, un cilindro largo y una esfera. Considere una pared plan de espesor 2L, un cilindro largo de radio r o y una esfera de radio r o, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, como se muestra en la fig. 1.1. En el instante t=0, cada configuración geométrica se coloca en un medio grande que está a una temperatura constante T∞ y se mantiene en ese medio para t > 0. La La transferencia de calor se lleva lleva a efecto entre estos estos cuerpos y sus medios ambientes por convección, con un coeficiente de transferencia de calor h uniforme y constante. Note que los tres casos poseen simetría térmica: la pared plana es simétrica con respecto a su punto central(x = 0), el cilindro es simétrico con respecto a su punto central (r = 0) y la esfera es simétrica con respecto a su punto central (r = 0). Se desprecia la transferencia transferencia de calor por radiación radiación entre estos cuerpos y sus superficies circundantes, o bien, se incorpora el efecto de la radiación radiación en el coeficiente de transferencia de calor por convección.
Figura. 1.1. Esquema de las configuraciones geométricas simples en las que la transferencia de calor es unidimensional. ( Fuente: Cengel 3era ed).
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. En la figura 1.2 se ilustra la variación del perfil de temperatura con el tiempo para la pared plana grande.
Figura 1.2. Variación del perfil de temperatura para una pared grande. (Fuente: Cengel 3era ed).
Difusividad térmica ( α ).
= .
La temperatura del cuerpo cambia de la temperatura inicial Ti a la de los alrededores T∞ al final del proceso transitorio de conducción de calor. Por lo tanto, la cantidad máxima de calor que un cuerpo puede ganar (o perder si Ti> T ∞) es sencillamente el cambio en el contenido de la energía del cuerpo. Es decir:
= ..∞ = ...∞ = ..∞
Ec.1.1
Donde m es la masa, V es el volumen, ρ es la densidad, C p es el calor especifico del cuerpo, K es la conductividad del material, y α es la Difusividad térmica. Así Qmax representa la cantidad de transferencia de calor para t→∞.
1.2.SOLUCIÓN APROXIMADA, ANALÍTICAS Y GRÁFICAS PARA UNA PARED PLANA GRANDE.
El número de Bi para una pared viene dado por:
= ℎ.
Donde: h: Es el coeficiente convectivo de transferencia de calor. L: El espesor de la pared. 3
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. K: Conductividad térmica de la pared. El número de Fourier ( τ ) para una pared viene dado por:
= .
Donde: α: Difusividad térmica. L: El espesor de la pared. t: Tiempo trascurrido.
Solución analítica.
A continuación se presenta en la Ec.1.2 la solución aproximada analítica en función de la posición.
, = , ∞∞ = − cos(), > 0,2
Ec.1.2
Donde el valor de A1 y λ 1 son constantes que dependen del número de Bi. En la tabla 1.1 se muestran algunos valores. En caso de no encontrar el valor de A1 y λ 1 correspondiente al número de Bi calculado se puede proceder a la interpolación para hallar las constantes.
Tabla 1.1 coeficientes usados en solución aproximada, para una pared plana.
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. Cuando se desea buscar la temperatura en el centro de la pared x=0 la Ec. 1.2 se reduce a:
, = , ∞∞ = −
Ec.1.3
Si se compara los dos conjuntos de ecuaciones anteriores, se observa que en cualquier parte de una pared plana, las temperaturas adimensionales están relacionadas con la temperatura en el centro por:
, = cos 1 ,,
Ec.1.4
La fracción de transferencia de calor para una pared plana grande, viene dada por:
) = 1,. sin 1 ( 1
Solución gráfica.
Figura. 1.3 Temperatura del plano medio, para una pared. ( Fuente: Cengel 3era ed).
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Ec. 1.5
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
Figura. 1.4 diagrama de temperatura transitoria y de tr ansferencia de calor para una pared plana de espesor 2L, inicialmente a una temperatura uniforme T i, sujeta a convección desde ambos lados. ( Fuente: Cengel 3era ed).
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
1.2.1. Caso especial pared aislada en una frontera, sujeta a convección en el extremo libre. Al presentarse que en uno de los lados de la pared se encuentra aislado, y el otro sujeto a convección, el sistema estudiado deja de ser simétrico térmicamente, es decir que la temperatura máxima o mínima no se encontrara en el centro de la pared, entonces se debe que trasladar el sistema de referencia donde se encuentre la temperatura máxima o mínima dependiendo del caso. Como se sabe que en la parte aislada la transferencia de calor es 0, esto implica que en ese punto la temperatura máxima o mínima dependiendo del caso, por lo tanto se traslada el eje de referencia a la parte aislada y se trabaja con una pared de espesor L, como se muestra en la figura 1.5.
Figura 1.5 caso especial pared aislada en una frontera, sujeta a convección en el extremo libre.
1.3.SOLUCIÓN APROXIMADA, ANALÍTICAS Y GRÁFICAS PARA UN CILINDRO LARGO.
El número de Bi para un cilindro largo viene dado por:
= ℎ.
Donde: h: Es el coeficiente convectivo de transferencia de calor. r o: Es el radio del cilindro. K: Conductividad térmica del material. El número de Fourier ( τ ) para un cilindro largo viene dado por:
= .
Donde: α: Difusividad térmica. r o: Es el radio del cilindro. t: Tiempo trascurrido.
Solución analítica.
A continuación se presenta en la Ec.1.6 la solución aproximada analítica en función de la posición para un cilindro largo. 7
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
, = , ∞∞ = −. (), > 0,2
Ec.1.6
Donde el valor de A1 y λ 1 son constantes que dependen del número de Bi. En la tabla 1.2 se muestran algunos valores. En caso de no encontrar el valor de A1 y λ 1 correspondiente al número de Bi calculado, se puede proceder a la interpolación para hallar las constantes. La función
se determina mediante la tabla 1.3 donde el factor n =
determina J1.
también se
Tabla 1.2 coeficientes usados en solución aproximada, para un cilindro largo.
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
Tabla 1.3 Función de Bessel de primera especie y de cero y primer orden.
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. Cuando se desea buscar la temperatura en el centro del cilindro r o=0 la Ec. 1.6 se reduce a:
, = , ∞∞ = −
Ec.1.7
Si se compara los dos conjuntos de ecuaciones anteriores, se observa que en cualquier parte de un cilindro largo, las temperaturas adimensionales están relacionadas con la temperatura en el centro por:
, = 1 ,,
Ec.1.8
La fracción de transferencia de calor para un cilindro largo, viene dada por:
) = 1 2,. 1 ( 1
Ec. 1.9
Solución gráfica.
Figura. 1.6 Temperatura de la línea central para un cilindro largo. ( Fuente: Cengel 3era ed). 10
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
Figura. 1.7 diagrama de temperatura transitoria y de transferencia de calor para un cilindro largo de radio r o, inicialmente a una temperatura uniforme T i, sujeta a convección desde ambos lados. ( Fuente: Cengel 3era ed).
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
1.4.SOLUCIÓN APROXIMADA, ANALÍTICAS Y GRÁFICAS PARA UNA ESFERA.
El número de Bi para una esfera viene dado por:
= ℎ.
Donde: h: Es el coeficiente convectivo de transferencia de calor. r o: Es el radio de la esfera. K: Conductividad térmica del material.
El número de Fourier ( τ ) para una esfera viene dado por:
= .
Donde: α: Difusividad térmica. r o: Es el radio de la esfera. t: Tiempo trascurrido.
Solución analítica.
A continuación se presenta en la Ec.1.10 la solución aproximada analítica en función de la posición para una esfera.
sin , ∞ − , = ∞ = . ⁄ , > 0,2
Ec.1.10
Donde el valor de A1 y λ 1 son constantes que dependen del número de Bi. En la tabla 1.4 se muestran algunos valores para una esfera. En caso de no encontrar el valor de A1 y λ 1 correspondiente al número de Bi calculado, se puede proceder a la interpolación para hallar las constantes.
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
Tabla 1.4 coeficientes usados en solución aproximada, para una esfera.
Cuando se desea buscar la temperatura en el centro de la esfera r o=0 la Ec. 1.10 se reduce a:
, = , ∞∞ = − 13
Ec.1.11
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. Si se compara los dos conjuntos de ecuaciones anteriores, se observa que en cualquier parte de una esfera, las temperaturas adimensionales están relacionadas con la temperatura en el centro por:
, = sin (1 ) ,, 1⁄
Ec.1.12
La fracción de transferencia de calor para una esfera, viene dada por:
) = 13,. sin 1 1 sin1 ( 1
Solución gráfica.
Figura. 1.8 Temperatura de la línea central para una esfera. ( Fuente: Cengel 3era ed). 14
Ec. 1.13
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
Figura. 1.9 diagrama de temperatura transitoria y de transferencia de calor para una esfera de radio r o, inicialmente a una temperatura uniforme T i, sujeta a convección desde ambos lados. ( Fuente: Cengel 3era ed).
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES.
II.
PROBLEMAS.
1) La superficie superior de una placa caliente de bro nce se está enfriando bajo un flujo a presión de aire a 15°C y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 220 W/m2. °C. La placa de bronce de 10 cm de espesor (ρ=8530Kg/m3, C p= 380 J/ kg, k= 110W/m. °C y α= 33.9 x 10-6m2/s). Tiene una temperatura uniforme inicial de 650°C y su superficie interior está aislada. Determine la temperatura en el centro del plano de la placa de bronce, tras 3 minutos de enfriamiento. Respu esta: 585° C
Figura. 2.1 placa de bronce. 2) Una lámina de un cierto material de propiedades térmicas, k = 2 W/m.ºC, α = 0,0002 m2/s, tiene un espesor de 3 cm, y se encuentra a una temperatura de 24ºC. En estas condiciones se introduce en un horno a 400ºC. El coeficiente de convección es h∞ = 60 W/m2ºC. Determinar a) El tiempo que tardará el centro geométrico en alcanzar la temperatura de 300ºC y la temperatura que se alcanza en ese instante en un plano situado a 1 cm del plano central b) Si el calentamiento continúa, el tiempo necesario para que en el plano situado a 1 cm del plano central se alcancen 350ºC c) Si existiese un aislamiento perfecto en una de las caras de la lámina, el tiempo que deberá transcurrir para que en el plano central se alcancen 200ºC. Respuestas: a) t=4 seg, T = 308° C. b) t= 5,7 seg; c) t = 3,735 seg. ( x= 1cm; t)
3) Una plancha metálica de espesor 3 cm se encuentra a una temperatura de 20ºC y en estas condiciones se introduce en un horno a 1000ºC. Si la plancha se considera de grandes proporciones, determinar: a) El tiempo que debe transcurrir para que el centro alcance 500ºC b) La temperatura que en ese instante adquiere el plano situado a 1 cm del plano central c) El calor absorbido en ese intervalo de tiempo d) El tiempo que debe transcurrir para que el plano situado a 1 cm del plano central alcance la temperatura de 750ºC e) Si se considera que una de las caras de la placa tiene un aislamiento térmico perfecto, ¿qué tiempo deberá transcurrir para que en el plano central se alcancen 500ºC? ¿cuál sería en ese instante la temperatura en la cara no aislada? Datos: k = 8 W/m. ºC; α =5x10-3 m2/hora; h∞ = 93 W/m2. ºC Respuesta: a) t=13 mi n; b) T =520° C; c) Q= 24,93 k W/m 2 ; d) 23,45 min e) t= (x=1cm, t) 0,378 hor as, T = 562,5° C. (0, t) 16
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. 4) El autor y su hijo de entonces 6 años de edad han conducido el experimento siguiente para determinar la conductividad térmica de una salchicha. En primer lugar, hirvieron agua en una cacerola grande y midieron la temperatura del agua hirviendo que resulto ser de 94°C, lo cual no es sorprendente, ya que viven a una eleva ción de más o menos 1650 m en remo, nevada. Entonces tomaron una salchicha que tiene 2.2 cm de diámetro e insertaron un termopar en el punto medio de ella y otro precisamente debajo de la piel. Esperaron has que la lectura de lo s dos termopares fue de 20°C, que es la temperatura ambiente. Después, dejaron caer la salchicha en el agua hirviendo y observaron los cambios en las dos temperaturas. Exactamente 2 min despu és de que la salchicha se dejó caer en el agua hirviendo, registraron que las temperaturas en el centro y en la superficie eran de 59°C y 88°C, respectivamente. La densidad de la salchicha se puede tomar como 980 Kg/m3, que es ligeramente menor que la del agua, ya que se observó que estaba flotando al mismo tiempo que casi por completo sumergida. El calor especifico de una salchicha se puede tomar como 3900 J/Kg. °C, que es ligeramente menor que el del agua, puesto que una salchicha es agua en su mayor parte. Usando los diagramas de temperatura transitoria, determine: a) la Difusividad térmica de la salchicha, b) la conductividad térmica de la misma y c) el coeficiente de transferencia de calor por convección. -7 2 2 Respuestas: a) 2,02 x 10 m /s; b) 0,771 w/m. ° C; c) 467W/m .° C
Figura 2.2. Salchicha en agua hirviendo . 5) Largos alambres de aluminio (ρ=2702Kg/m3, C p= 0,896 kJ/ kg, k= 236 W/m. °C y α= 9,75 x 10-5m2/s) se extruyen a una temperatura de 350°C y se exponen al aire atmosférico a 30 °C, con un coeficiente de transferencia de calor de 35 W/m2. °C. a) determine cuanto tiempo transcurrirá para que la temperatura del alambre caiga hasta 50°C. b) si el alambre se extruye a una velocidad de 10 m/min, determine que distancia ha recorrido después de la extrusión para el momento en que su temperatura cae hasta 50°C. ¿qué cambio en el proceso de enfriamiento propondría para acortar
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. esta distancia? c) si el alambre de aluminio sale del cuarto de extrusión a 50 °C, determine la razón de la transferencia de calor del alambre hacia ese cuarto. Respuesta: a) 144seg, b) 24m; c) 856 W.
Figura 2.3: alambre de aluminio. 6) Una barra cilíndrica de acero inoxidable 18-8, de 20 cm de diámetro, se calienta a 1000°C y a continuación se enfría en un baño de ac eite a 50°C, en el que el coeficiente de película es h∞= 500 Kcal/hm2°C. Determinar: a) El tiempo que transcurrirá hasta que el eje del cilindro alcance una temperatura de 250°C.b) La temperatura que se alcanzará en r = 0,05 m al cabo de ese tiempo. Datos del acero: ρ= 7.817 kg/m3; cp= 0,11 Kcal/kg. °C; k= 22,5 Kcal/m.h.ºC; α = 0,01598 m2/hora. Respuesta: a) t= 22 mi n 30 seg b) T
7)
(0,05 ; t) =
220° C.
En el libro de cocina de Betty crocker, se afirma que una costilla de 3,2 Kg inicialmente a 4,5°C tarda 2h y 45 min para asarse hasta un término de casi cruda, en un horno mantenido a 163°C. se recomienda usar un termómetro para carne con el fin de controlar la cocción y se considera que la costilla está en un término de casi cruda cuando el termómetro insertado en el centro de la parte más gruesa la carne registra 60°C. la costilla se puede considerar como un objeto esférico homogéneo con las propiedades (ρ=1200 Kg/m3, C p= 4,1 kJ/ kg, k= 0,45 W/m. °C y α= 0,91 x 107 2 m /s). determine a) el coeficiente de transferencia de calor por convección en las superficies de la costillas, b) la temperatura de la superficie de la costilla cuando esta cocida y c) la cantidad de calor transferido a ella. d) con los valores obtenidos, prediga cuanto tiempo pasara para asar esta costilla hasta un término “medio”, lo cual ocurre cuando la temperatura en las partes más internas de ella llega a 71°C, compare su resultado con el valor dado de 3h 20 min. Si las costillas asadas van a estar sobre el mostrador durante mas o menos 15 min antes de rebanarla, se recomienda que se saque del horno cuando el termómetro registre alrededor de 4°C por debajo del valor indicado, porque la costilla seguirá
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Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. cociéndose incluso después de haberse sacado. ¿Está usted de acuerdo con esta recomendación? 2 Respuesta: a) 156,9 W/m ° C; b) 159,5° C; c) 1629KJ; d) 3 h .
Figura 2.4 costilla. 8) Pavos con un coeficiente de agua de 64% que esta inicialmente a 1°C y que tiene una masa de más o menos 7 kg se van a congelar sumergiéndolos en salmuera a -29°C. usando la figura 2.5 determine cuanto tiempo se requiere para reducir la temperatura de la pechuga de pavo a una profundidad de 3.8 cm hasta -18 °C. si la temperatura a una profundidad de 3.8 cm en la pechuga representa la temperatura promedio del pavo, determine la cantidad de transferencia de calor por pavo suponiendo que a) se congela todo el contenido de agua del pavo y b) solo se congela 90% del contenido de agua de este a -18 °C. tome los calores específicos de pavo como 2,98 y 1,65kJ/ kg. °C arriba y abajo del punto de congelación a -2,8°C, respectivamente, y el calor latente de fusión del mismo como 214kJ/kg. Respuestas: a) 1753 kJ; b) 1617kJ.
Figura 2.5. Pavo sumergido en salmuera. 19
Tr ansferencia de Calor
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES GRANDES CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES. 9) Considere una placa cuyo espesor es de 1 in, un cilindro largo de 1 in de diámetro y una esfera de 1 in de diámetros todas a una temperatura inicial de 400 °F y hechas de bronce (k=15 Btu/h.ft.°F y α=0,333 ft2/h). Ahora estas tres configuraciones geométricas se exponen a aire frio a 75°C sobre todas sus superficies, con un coeficiente de transferencia de calor de 7 Btu/h.ft2.°F. Determine la temperatura en el centro de cada configuración después de 5, 10, 30 min. Explique por qué la temperatura del centro de la esfera siempre es la más baja. Respuesta: a) T opared = 315° F ; T ocil = 252° F ; T oesf = 205° F b) T opared = 251° F ; T ocil = 170° F ; T oesf =126° F c) T opared = 127° F ; T ocil = 83° F ; T oesf = 76° F
Figura 2.6: configuraciones geométricas.
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