Transferencia de Calor, Naval UNEFADescripción completa
funcionamiento del sistemaDescripción completa
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HeatDescripción completa
Transferencia de Masa Interfacial
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Universidad de Talca Facultad de Ingeniería Ingeniería Departamento de Tecnologías Industriales
Apuntes Transferencia de Calor
Dr.-Ing. Dr.-Ing. (c) Gonzalo E. Salinas Salas Ingeniero Civil Mecnico
!""#
Transferencia Transferencia de Calor Industrial
1.
Introducción El presente texto tiene por objeto presentar los principales tópicos de transferencia de calor aplicables a la asignatura de Termodinámica Termodinámica Aplicada y Transferencia de Calor Industrial. El fenó fenóme meno no de tran transf sfer erenc encia ia de calo calorr corr corres espo pond nde e al tras traspas paso o de ener energí gía a trm trmic ica! a! representada a tra"s de la propiedad temperatura! entre dos cuerpos o dos posiciones de un mismo cuerpo. #enricamente los mecanismos de transferencia de calor pura son dos! a saber$ Conducción %adiación &in embargo! la energía trmica puede intercambiarse junto a cambio de energía mecánica asociada a la cantidad de mo"imiento o impulso 'ue se presenta cuando un fluido escurre por una superficie sólida! a este fenómeno se le considera tambin como un mecanismo de intercambio de calor y se le denomina$ Con"ección • •
•
(.
)ode )odela laci ción ón fís físic ico* o*ma mate temá mátitica ca de de los los meca mecani nism smos os de de tran transf sfer eren enci cia a de calo calor r A continuación se presentan los fenómenos físicos 'ue constituyen los mecanismos de transferencia de calor y la modelación matemática de stos a tra"s de las llamadas leyes de transferencia de calor! las 'ue a su "e+ deben cumplir las cuatro leyes de la termodinámica y en particular en lo referente a 'ue todo flujo de energía trmica fluye desde una fuente de alta temperatura ,acia un sumidero de baja temperatura.
(.1.Conducción de calor$ El mecanismo de traspaso de energía trmica entre dos cuerpos sólidos en contacto o dos posiciones espaciales de un mismo cuerpo 'ue se encuentran a un distinto ni"el de energía trmica! ni"eles 'ue son representados por dos distintas temperaturas! se reali+a desde el mayor ni"el trmico -mayor temperatura ,acia el cuerpo o la +ona de menor ni"el trmico -menor temperatura! mediante la difusión de electrones libres presentes en la estructura molecular de la materia y el incremento de los ni"eles de "ibración de las redes moleculares. El modelo matemático 'ue representa a este fenómeno se le denomina /ey de 0ourier y se plantea para una pared sólida con un área trans"ersal al flujo de calor -A y un espesor -e! en 'ue una de sus caras se encuentra a una temperatura -T 1 mayor 'ue la existente en la otra -T(! el flujo flujo de calor calor -' result resulta a in"ers in"ersame amente nte propor proporcion cional al al gradien gradiente te de temper temperatu atura ra respecto de la posición y directamente proporcional al área de intercambio de calor y a una constante característica o propiedad de la sustancia 'ue conforma la pared. T-x
A /ey de 0ourier
T1
q
' T( e
x
= −k ⋅ A ⋅
dT dx
Transferencia Transferencia de Calor Industrial
1.
Introducción El presente texto tiene por objeto presentar los principales tópicos de transferencia de calor aplicables a la asignatura de Termodinámica Termodinámica Aplicada y Transferencia de Calor Industrial. El fenó fenóme meno no de tran transf sfer erenc encia ia de calo calorr corr corres espo pond nde e al tras traspas paso o de ener energí gía a trm trmic ica! a! representada a tra"s de la propiedad temperatura! entre dos cuerpos o dos posiciones de un mismo cuerpo. #enricamente los mecanismos de transferencia de calor pura son dos! a saber$ Conducción %adiación &in embargo! la energía trmica puede intercambiarse junto a cambio de energía mecánica asociada a la cantidad de mo"imiento o impulso 'ue se presenta cuando un fluido escurre por una superficie sólida! a este fenómeno se le considera tambin como un mecanismo de intercambio de calor y se le denomina$ Con"ección • •
•
(.
)ode )odela laci ción ón fís físic ico* o*ma mate temá mátitica ca de de los los meca mecani nism smos os de de tran transf sfer eren enci cia a de calo calor r A continuación se presentan los fenómenos físicos 'ue constituyen los mecanismos de transferencia de calor y la modelación matemática de stos a tra"s de las llamadas leyes de transferencia de calor! las 'ue a su "e+ deben cumplir las cuatro leyes de la termodinámica y en particular en lo referente a 'ue todo flujo de energía trmica fluye desde una fuente de alta temperatura ,acia un sumidero de baja temperatura.
(.1.Conducción de calor$ El mecanismo de traspaso de energía trmica entre dos cuerpos sólidos en contacto o dos posiciones espaciales de un mismo cuerpo 'ue se encuentran a un distinto ni"el de energía trmica! ni"eles 'ue son representados por dos distintas temperaturas! se reali+a desde el mayor ni"el trmico -mayor temperatura ,acia el cuerpo o la +ona de menor ni"el trmico -menor temperatura! mediante la difusión de electrones libres presentes en la estructura molecular de la materia y el incremento de los ni"eles de "ibración de las redes moleculares. El modelo matemático 'ue representa a este fenómeno se le denomina /ey de 0ourier y se plantea para una pared sólida con un área trans"ersal al flujo de calor -A y un espesor -e! en 'ue una de sus caras se encuentra a una temperatura -T 1 mayor 'ue la existente en la otra -T(! el flujo flujo de calor calor -' result resulta a in"ers in"ersame amente nte propor proporcion cional al al gradien gradiente te de temper temperatu atura ra respecto de la posición y directamente proporcional al área de intercambio de calor y a una constante característica o propiedad de la sustancia 'ue conforma la pared. T-x
A /ey de 0ourier
T1
q
' T( e
x
= −k ⋅ A ⋅
dT dx
(.(.%adiación de calor$ El mecanismo de traspaso de energía trmica entre dos cuerpos con un distinto ni"el de energía trmica y por ende de temperatura! situados a una cierta distancia entre sí! pudiendo existir o no un medio físico entre ellos -un sólido! fluido o incluso el "acío total! se reali+a medi median ante te el tran transp spor orte te de ener energí gía a a tra" tra"s s de la emis emisió ión n y abso absorc rció ión n de onda ondass electromagnticas! lo 'ue ob"iamente se traduce en el color del cuerpo. 2or las características del transporte de la energía trmica mediante ondas! produce 'ue este mecanismo ad'uiera importancia sólo cuando la diferencia de temperaturas entre el cuerpo emisor y el cuerpo receptor sea muy alta! de modo 'ue el cuerpo emisor irradie calor y por ende lu+ en diferentes espectros de onda. El modelo matemático 'ue representa a este fenómeno se le denomina /ey de &tefan* 3olt+mann y se plantea para dos cuerpos separados a una distancia dada! donde uno de ellos! el emisor! posee una temperatura superficial -T 1! la 'ue le permite irradiar ondas lumínicas y 'ue es considerablemente superior a la temperatura del cuerpo receptor -T (. El flujo de calor -' absorbido por el cuerpo de baja temperatura es directamente proporcional al área irradiada! a un factor de emisi"idad! un factor de forma y una constante general! denominada constante de &tefan*3olt+mann y a la diferencia de l as temperaturas ele"adas a la cuarta potencia. El "alor de la constante de &tefan*3olt+mann es$ W σ = 5,67 ⋅ 10 −8 2 m ⋅ K 4 T1 T( A
/ey de &tefan*3olt+mann q = σ ⋅ A ⋅ F ε ⋅ F T ⋅ (T 14 − T 24
(.4.Con"ección de calor$ El mecanismo de traspaso de energía entre un fluido y un cuerpo sólido! se presenta presenta en dos formas principales! las 'ue son el intercambio i ntercambio de energía trmica y el cambio de la cantidad de mo"imiento o impulso del fluido debido a los efectos "iscosos 'ue se presentan al entrar en contacto con el cuerpo sólido. 5e modo 'ue! la energía intercambiada entre el fluido y el cuerpo sólido en la práctica es la suma de estas dos formas energticas! no diferenciándose entre los dos tipos! considerándose así al "alor total de la energía intercambiada como el flujo de calor 'ue fluye desde el medio a mayor temperatura -sólido o fluido ,acia el medio de más baja temperatura. El modelo matemático 'ue representa a este fenómeno se le denomina /ey de enfriamiento de 6e7ton y plantea 'ue para un fluido "iscoso a cierta temperatura -T 'ue escurre por sobre un cuerpo sólido a una diferente temperatura superficial -T 7! el flujo de calor -' intercambiado es directamente proporcional a la superficie de contacto! al "alor absoluto de la diferencia de las temperaturas y a un factor denominado coeficiente pelicular con"ecti"o medio - ! el 'ue depende depende del tipo de escurrimien escurrimiento! to! del tipo de fluido! fluido! las fuer+as 'ue impulsan el mo"imiento mo"imiento entre otras.
T-x T
"
4.
/ey de 6e7ton "
T
q
T7
= ∞ ⋅ A ⋅ T ∞ − T w
x
)todo an análogo el electro*trmico El mtodo análogo*trmico es la máxima simplificación 'ue puede reali+arse en los fenómenos de transferencia de calor y solo puede a plicarse cuando se cumplen las siguientes condiciones$ 0lujo de calor constante e independiente del tiempo 2ropiedades de la materia constantes Condiciones de temperatura constantes Es posible plantear una analogía físico*matemática entre los mecanismos de conducción de calor y la conducción de energía elctrica! la 'ue se modela a tra"s de la /ey de 8,m! ya 'ue ambas poseen como mecanismo de transporte de la energía! el flujo de electrones a tra"s de la sección trans"ersal del sólido conductor. /a analogía puede plantearse considerando 'ue el flujo de calor es e'ui"alente a la intensidad de la corriente elctrica! la diferencia de temperaturas es análogo a la diferencia de tensiones o potencial o "oltaje y por ende puede plantearse una resistencia trmica 'ue sería e'ui"alente a la resistencia elctrica. Esta analogía permite resol"er una considerable cantidad de problemas industriales de transferencia de calor al asimilarlos como problemas de circuitos elctricos y aplicar así las distintas tcnicas de solución 'ue para estos existen. /a forma general de aplicación del mtodo análogo es la siguiente$
• • •
' T1
T(
q
=
T 1 − T 2 Rt
%t
T1 9 T(
4.1. Conducción de calor$ a Aplicación para cuerpos de geometría cartesiana -paralelepípedos T-x
q
'
T 1
− T 2 e
: Rt =
k ⋅ A
A e
=
x
b Aplicación para cuerpos de geometría cilíndrica -tubos
e k ⋅ A
Ti 9 Te
A Te
di
Ti
q= de
i
e
T 1 − T 2
d ln e d e ln R = d i d i t 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ 2 ⋅ π ⋅ k ⋅
/ 4.(. %adiación de calor$ T1 99 T(
q=
T1
( T 1 − T 2 ) (T 14 − T 24 ) 4 4 σ ⋅ A ⋅ F ⋅ F T ⋅ (T 1 − T 2 ) ε
T(
Rt
(T − T ) = σ ⋅ A ⋅ F ⋅ F ⋅ (T − T ) 4 1
ε
4 2
4 1
T
4 2
A 4.4. Con"ección de calor$
T-x T
"
T
q
=
T ∞
− T w 1
∞
"
T7
⋅ A
:
Rt
=
1 ∞
⋅ A
x
4.;. Aplicaciones del mtodo análogo /as aplicaciones del mtodo análogo corresponden a las 'ue se presentan en los circuitos en serie y en paralelo! los 'ue se indican a continuación$ a Circuito en serie$ &ituación física Circuito análogo*trmico
T-x
T 1 9 T( 9 T4 '
T1
A
'
T1
T(
T(
T4
e1
e2
k 1 ⋅ A
k 2 ⋅ A
T4 1
(
e1
e(
x
Análisis como circuito análogo*trmico$ n
Req
= ∑ Ri
Req
=
i =1
q=
T 3
− T 1
Req
=
e1 k 1 ⋅ A
+
A ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅ ( T 3 e1 ⋅ k 2
1 e ⋅ k + e ⋅ k = ⋅ 1 2 2 1 k 2 ⋅ A A k 1 ⋅ k 2
e2
− T 1 )
+ e2 ⋅ k 1
=
T 2
− T 1 ( T 2 − T 1 ) T 3 − T 2 ( T 2 − T 2 ) = = = e1
R1
e2
R2
k 1 ⋅ A b Circuito en paralelo$ &ituación física
k 2 ⋅ A
Circuito análogo*trmico T1 9 T( e
T-x
k 1 ⋅ A1
T( A(
'1
(
T1
' T1 T(
'
1
T( '( e
A1
k 2 ⋅ A2
e
x
Análisis como circuito análogo*trmico$ 1
Req
n
1
i =1
Ri
=∑
1
Req
=
1
e k 1 ⋅ A1
+
e k 2 ⋅ A2
=
1
e ⋅ ( k 1 ⋅ A1 + k 2 ⋅ A2 ) k 1 ⋅ A1 ⋅ k 2 ⋅ A2
Req
= e⋅
( k 1 ⋅ A1 + k 2 ⋅ A2 ) k 1 ⋅ A1 ⋅ k 2 ⋅ A2
Tras reducir el circuito en paralelo a uno en serie! el circuito e'ui"alente toma la forma siguiente$ ' T1
T( e⋅
;.
( k 1 ⋅ A1 + k 2 ⋅ A2 ) k 1 ⋅ A1 ⋅ k 2 ⋅ A2
Coeficiente global de transferencia de calor El coeficiente global de transferencia de calor permite representar en la forma de un "alor
= U ⋅ A ⋅ ∆T
Esta definición se relaciona con la resistencia análogo*trmica de la manera siguiente! considerando! además! las unidades del coeficiente global de transferencia de calor en el sistema de unidades internaciones -&I 1 W U = 2 Rt ⋅ A m ⋅ °! ;.1. Aplicaciones En general las aplicaciones a considerar serán al combinarse los mecanismos de conducción y con"ección en serie! lo 'ue da lugar a aplicaciones como las siguientes$ a Cuerpos de forma prismática -paralelepípedos En este caso se considera la existencia de una pared plana de conducti"idad trmica constante y espesor conocido! 'ue se encuentra expuesta en su lado derec,o e i+'uierdo! con relación al flujo de calor! a medios con"ecti"os! los 'ue están representados por temperaturas y coeficientes peliculares con"ecti"os medios constantes. 0inalmente se debe destacar 'ue el área de intercambio de calor! 'ue es el área trans"ersal al flujo de calor! es constante e igual para los tres mecanismos in"olucrados! esto es$ con"ección! conducción y con"ección. En otras palabras el flujo de calor 'ue se intercambia entre el medio con"ecti"o ubicado a la i+'uierda de la pared y la superficie exterior de la pared es igual al 'ue se intercambia entre las dos superficies exteriores de la pared! o sea el flujo de calor 'ue atra"iesa por conducción a la pared y este es idntico al intercambiado por la superficie exterior de la pared derec,a con el medio con"ecti"o 'ue existe a la derec,a de la pared. /a situación física es la siguiente$
T1
A
T71
1
T7( T(
e (
El flujo de calor es$
= ∞1 ⋅ A ⋅ ( T ∞1 − T w1 ) =
q
k ⋅ A e
⋅ ( T w1 − T w2 ) = ∞ 2 ⋅ A ⋅ (T ∞ 2 − T w2 )
5onde el coeficiente global de transferencia de calor de calor es para el caso de paredes$ U =
1 1 ∞1
e
1
k
∞2
+ +
b Cuerpos de forma cilíndrica -tubos Ti 9 Te A Ti
di
i
Ti
Te
T7i T 7e Te
de
i
e
e
/ El flujo de calor es$ q
= U i ⋅ Ai ⋅ ∆T = U e ⋅ Ae ⋅ ∆T
Considerando a cada mecanismo de transferencia de calor por separado se cumple la siguiente relación$
q = ∞i ⋅ π ⋅ d i ⋅ ⋅ ( T ∞e − T wi ) =
( T wi − T we ) = ∞e ⋅ π ⋅ d e ⋅ ⋅ ( T we − T ∞e ) d ln e d i 2 ⋅ π ⋅ k ⋅
5ado el cambio de área de transferencia de calor 'ue impone una geometría circular! donde el área del manto del cilindro se incrementa en función del diámetro! esto obliga a considerar la existencia de dos coeficientes globales de transferencia de calor! los 'ue se plantean en función de los diámetros asociados a las áreas del manto del cilindro. 5e esta manera se reconocen dos coeficientes globales de transferencia de calor! uno planteado para el diámetro interior y por ende área interior del manto! denominado como coeficiente
global de transferencia de calor interior! mientras 'ue existe tambin un coeficiente global de transferencia de calor exterior! asociado al diámetro exterior y al área exterior. &us respecti"as expresiones matemáticas son las siguientes. Coeficiente global de transferencia de calor interior$ 1 U i = d e d i ⋅ ln 1 d i d i
+
+
d e ⋅ ∞e 2 ⋅ k Coeficiente global de transferencia de calor exterior : 1 U e = d e d e ⋅ ln d e d i 1 ∞i
+
+
2 ⋅ k d i ⋅ ∞i ⋅ ∞e /a relación 'ue existe entre estas dos expresiones del coeficiente global de transferencia de calor es la siguiente$ U i ⋅ Ai
= U e ⋅ Ae
5onde las expresiones del área de intercambio de calor son$ Ai = π ⋅ d i ⋅ : Ae = π ⋅ d e ⋅ 0inalmente$ U i
=
d e d i
⋅ U e
;.(. E"aluación de espesor de aislación trmica =no de los problemas clásicos y más prácticos de transferencia de calor esta asociado a la determinación del espesor óptimo de aislación para un cuerpo de sección circular! como lo son tubos y alambres. Este problema es singular ya 'ue es necesario obtener una solución de compromiso entre dos situaciones físicas distintas! ya 'ue mientras mayor sea el espesor de un material aislante 'ue se utilice en la periferia del manto de un cilind ro! implica 'ue se reduce el flujo de calor ya 'ue la resistencia trmica conducti"a se incrementa! esto conlle"a! a su "e+! a 'ue el área exterior del cilindro! se incremente con lo 'ue aumenta el flujo de calor. 5e ,ec,o es imposible aislar completamente un cilindro o cual'uier cuerpo de acuerdo a la &egunda /ey de la termodinámica. Esta situación conduce! entonces! a la existencia de un espesor de aislante donde el flujo de calor 'ue lo atra"iese sea máximo! lo 'ue en algunos casos es en extremo con"eniente! por ejemplo en conductores elctricos! intercambiadores de calor! pero en otros casos es en extremo incon"eniente por el costo de generación de energía trmica! sea sta de alta o baja temperatura! 'ue lle"a asociada el flujo de calor cedido al medio externo! llamada com
a
et dit
t Ti
e
da
Tet Tia
det
Tea
i
ea / El circuito análogo*trmico aplicado al aislante! teniendo como límites el diámetro exterior del tubo 'ue se asume idntico al diámetro interior del aislante y por lo tanto su temperatura es igual y el medio con"ecti"o exterior al cilindro! es el siguiente$ Tet > Tia
Tea
d ea d et 2 ⋅ π ⋅ k a ⋅
Tea
ln
1 ∞e
⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ea ⋅
/uego el flujo de calor 'ue se intercambia con el medio externo es$
q=
2 ⋅ π ⋅ ⋅ ( T ia − T ∞e )
d ln ea
d et + k a
=
2 ⋅ π ⋅ ⋅ ( T ia − T ∞e )
r intercambiado 0lujo de calor por un tubo en función del espesor ea ln 1 1 aislante r et de r ea ⋅(?? ∞e
k a
+
r ea ⋅ ∞e
El espesor de aislante en el cual este flujo de calor o prdida trmica es máxima! se puede determinar a partir de determinar el punto de inflexión de la función flujo de calor! deri"ando la expresión anterior respecto del radio exterior del aislante e igualar esta función a cero! para 1? luego despejar el "alor del radio exterior del aislante! el pasa a denominarse como$ radio crítico o d de aislación. a i b dq( r ea ) m =0 a 1(? c dr r ea
e
t 5espejando! se tiene n'ue el radio crítico de aislante es$ i r k a l o a r crítico = r c = ∞e c @? e
En este radio crítico d el flujo de calor intercambiado entre la superficie exterior del cili ndro y el o j u medio con"ecti"o es lmáximo y por ende la prdida o ganancia de calor es máxima. 0 #ráficamente el comportamiento del flujo de calor respecto del espesor de a islante utili+ado es$ ;?
? ?
?!?B
?!1
?!1B
Espesor de aislación
?!(
?!(B
El "alor máximo del flujo de calor intercambiado corresponde al "alor del espesor crítico de aislación y ob"iamente al radio crítico de aislación. Como se aprecia la función de calor intercambiado tiene un comportamiento asintótico respecto del espesor de aislante! de a,í 'ue en cálculos de ingeniería es necesario reali+ar un análisis económico para determinar el espesor práctico de la aislación trmica a utili+arse en una aplicación específica. Este análisis considera los siguientes de costos$ Comportamiento los costos para la e"aluación del a /os costos de generaciónespesor de energía asociados a la prdida a tra"s de la aislación para económico de aislación el periodo de "ida
1B?
? ?
?!?B
?!1
?!1B
?!(
Espesor de aislación Costo de generación de energía Costo de la aislación Costo total
?!(B
B.
Conducción de calor El modelo matemático general 'ue representa el mecanismo de transferencia de calor por conducción se extrae a partir del balance trmico de un elemento diferencial de un material sólido sujeto sólo a un flujo de calor en una de sus direcciones! seg
'x
'xdx
+ ∆ " + ∆U + q x + dx = 0
Considerando los signos! se tiene$ q x
+ ∆ " = ∆U + q x + dx
dx x Anali+ando cada trmino del balance trmico por separado! se tiene$ a El flujo de calor 'ue ingresa al elemento es$ q x
= −k ⋅ A ⋅
∂T ∂ x
b /a generación interna de energía y por ende calor es$ ∆ " = q ⋅ A ⋅ dx
∂T ∂t ∂T ∂ ∂T = − k ⋅ A ⋅ + ⋅ k ⋅ A ⋅ dx ∂ x ∂ x ∂ x
c El cambio de energía interna es$ ∆U = ρ ⋅ ! v ⋅ A ⋅ dx ⋅ d El flujo de calor 'ue egresa al elemento es$ q x+ dx
%eempla+ando estos trminos en la ecuación del balance trmico y anulando los trminos pertinentes! se tiene 'ue para el caso de conducción unidimensional! se tiene la siguiente ecuación diferencial 'ue modela el mecanismo d e conducción de calor$
∂ ∂T ∂T ⋅ k ⋅ + q = ρ ⋅ ! ⋅ ∂ x ∂ x ∂t
&i se expande la ecuación anterior a un flujo de calor tridimensional en un sistema de coordenadas cartesianas! la ecuación de conducción de calor o ecuación de 0ourier toma la forma siguiente$
∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ⋅ k x ⋅ + ⋅ k $ ⋅ + ⋅ k # ⋅ + q = ρ ⋅ ! ⋅ ∂ x ∂ x ∂ $ ∂ $ ∂ # ∂ # ∂t
&i se asume 'ue la propiedad conducti"idad trmica del sólido permanece constante y es independiente de cual'uiera de las direcciones 'ue puede tomar el flujo de calor! es posible reescribir la ecuación de 0ourier para coordenadas cartesianas de la manera siguiente$
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q 1 ∂T + + + = ⋅ ∂ x 2 ∂ $ 2 ∂ # 2 k α ∂t En notación simplificada la ecuación anterior 'ueda como sigue$
∇ 2T +
q k
=
1
α
⋅
∂T ∂t
Esta ecuación planteada para los demás sistemas de coordenadas y considerando 'ue la conducti"idad trmica del sólido es constante! se tiene para coordenadas cilíndricas$
∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T q 1 ∂T + ⋅ + ⋅ + + = ⋅ ∂r 2 r ∂ $ r 2 ∂φ 2 ∂ # 2 k α ∂t )ientras 'ue para coordenadas esfricas se tiene$
∂T ∂ senθ ⋅ ∂ 2T q 1 ∂T 1 ∂ T 1 1 ∂ θ ⋅ + ⋅ + 2 ⋅ + = ⋅ ∂θ r ∂r 2 r 2 ⋅ senθ r ⋅ sen 2θ ∂φ 2 k α ∂t 2
Como se aprecia! en el proceso de deducción de las ecuaciones anteriores se introdujo ya el concepto de restricción! "ale decir de una simplificación 'ue depende de la situación física y 'ue una "e+ aplicada a la ecuación de 0ourier! permite reducir considerablemente el manejo matemático 'ue se re'uiere para obtener una solución para la situación física anali+ada. El aplicar una o más restricciones implica necesariamente una reducción en la precisión de los resultados alcan+ados! producto de la simplificación 'ue de la situación física ,ace la restricción. En trminos generales existen cuatro tipos de restricciones! las 'ue pueden aplicarse tanto por separado como en conjunto. Estas se indican en el siguiente listado$ a Conducti"idad trmica constante e independiente de la posición y el tiempo b 5imensionalidad espacial del flujo de calor -unidimensional! bidimensional o tridimensional c Existencia o inexistencia de generación interna de calor d Temporalidad o estacionaridad del flujo de calor A continuación se expone a modo de ejemplo la metodología de aplicación de las restricciones a la forma general de la ecuación de conducción o 0ourier! a fin de aplicarla a un problema específico de conducción de calor! con flujo de calor constante a tra"s de una pared de conducti"idad trmica constante y sin generación interna de calor. Considerando la forma general de la ecuación de 0ourier! se tiene$
∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ⋅ k x ⋅ + ⋅ k $ ⋅ + ⋅ k # ⋅ + q = ρ ⋅ ! ⋅ ∂ x ∂ x ∂ $ ∂ $ ∂ # ∂ # ∂t
Aplicando la restricción de conducti"idad trmica constante! se tiene$ k = k x
= k $ = k #
%eempla+ando y simplificando se tiene$
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q 1 ∂T + + + = ⋅ ∂ x 2 ∂ $ 2 ∂ # 2 k α ∂t Aplicando la restricción de unidimensionalidad del flujo de calor! se tiene 'ue$
∂ 2T ∂ 2T = =0 ∂ $ 2 ∂ # 2 %eempla+ando se tiene$
∂ 2T q 1 ∂T + = ⋅ ∂ x 2 k α ∂t
Aplicando la restricción de inexistencia de generación interna de calor! se tiene 'ue$ q
=0
%eempla+ando se tiene$ ∂ 2T 1 ∂T = ⋅ ∂ x 2 α ∂t Aplicando la restricción de estacionaridad del flujo de calor! se tiene 'ue$
∂T =0 ∂t
%eempla+ando se tiene$ ∂ 2T 0 = ∂ x 2 A esta
T-x
A
e x 2ara obtener una solución matemática de la ecuación de 2oisson! es con"eniente reali+ar la siguiente aproximación$
∂ 2T d 2T ≈ =0 ∂ x 2 dx 2
Aplicando las tcnicas de integración para esta aproximación! se tiene$
2
d T
=0
dx 2 Tras la primera integración! se tiene$ dT dx
= c1
Tras la segunda integración! se obtiene la función temperatura$ T ( x ) = c1 ⋅ x + c 2 Como se aprecia! sta es una solución de carácter general! 'ue solo indica 'ue el comportamiento de la temperatura es lineal con respecto de la posición! por lo 'ue debe ser particulari+ada a fin de 'ue entregue una solución adecuada a cada caso anali+ado. El procedimiento de particulari+ación de la solución se reali+a de acuerdo a las denominadas condiciones de borde o contorno! las 'ue dan cuenta de la situación física 'ue existe en los límites del cuerpo sólido. En ste corresponden a las condiciones existentes en las posiciones ? y e del cuerpo seg
=
x
x = x0
0
x0
⇒
=
dx
=0
2or lo tanto$ x
= x0 ⇒ q = 0
c Condición de 3orde Tipo 6D4 o de %obbins Esta condición de borde planteada para fines de transferencia de calor significa físicamente 'ue el flujo de calor 'ue se intercambia entre una pared sólida y un medio con"ecti"o o "ice"ersa! en una posición de frontera conocida se reali+a sin cedencias de calor a un tercer medio! "ale decir todo el calor del sólido se traspasa al medio con"ecti"o o "ice"ersa. )atemáticamente esta condición 'ueda expresada de la manera siguiente$ dT ( x ) dT ( x ) ∞ = ∞ ⋅ T ∞ − T ( x 0 ) x = x0 ⇒ = ⋅ T ∞ − T ( x) dx
k
x = x 0
dx
k
d Condición de 3orde Tipo 6D; y situación de resistencia de contacto Esta condición de borde planteada para fines de transferencia de calor significa físicamente 'ue el flujo de calor 'ue se intercambia entre una pared sólida de una determinada conducti"idad trmica con otra pared sólida con una conducti"idad trmica de distinto "alor! 'ue se encuentran en contacto! en una posición de frontera conocida se reali+a sin cedencias de calor a un tercer medio! "ale decir todo el calor del primer sólido se traspasa al segundo sólido! dependiendo de la diferencia de temperatura. )atemáticamente esta condición 'ueda expresada de la manera siguiente$ dT ( x ) dT ( x ) dT ( x ) dT ( x ) k 1
⋅
dx
=
x = x 0
k 2
⋅
dx
x = x 0
x = x0
⇒ k 1 ⋅
dx
= k 2 ⋅
dx
/a literatura anglosajona! en general! no menciona esta condición de borde y se concentra en el problema de la resistencia de contacto! ya 'ue parte de la premisa 'ue dos sólidos
distintos no pueden físicamente alcan+ar un contacto absoluto entre sus superficies debido a su rugosidad natural! luego asumen 'ue siempre existirá o una delgadísima película de aire o "acío entre las superficies en contacto! generándose así una resistencia trmica adicional producto del aire atrapado o del "acío 'ue existe entre los poros superficiales de los sólidos! ya 'ue la conducti"idad trmica es muy pe'uea en el caso del aire y nula en el caso del "acío. #ráficamente considerando 'ue los sólidos y el aire se comporta siguiendo la ecuación de 2oisson! la situación física adopta la forma siguiente$
T-x
A contacto 1 (
x Considerando el problema planteado a partir de la solución general de la ecuación de 2oisson y aplicándole para fines de su particulari+ación condiciones de 3orde del Tipo 6D1 o de 5iriclet! se tiene 'ue el problema adopta la forma siguiente$ T-x
T 1 9 T( /as condiciones de borde del Tipo 6D1 son$
T1
x>?
T > T1
x>e
T > T(
A T(
e
x
Aplicando las condiciones de borde a la solución general! se tiene$ T ( x ) = c1 ⋅ x + c 2 Aplicando para el "alor de la posición cero! x > ?! se tiene → c 2 = T 1 T ( 0 ) = T 1 = c1 ⋅ 0 + c 2 = c2 Aplicando para el "alor de la posición cero! x > e! se tiene
T ( e )
= T 2 = c1 ⋅ e + c2 = c1 ⋅ e + T 1
→ c1 =
T 2
− T 1 e
%eempla+ando en la forma general! se obtiene la denominada función temperatura para el caso de conducción de calor a tra"s de una pared de conducti"idad trmica constante! unidimensional! sin generación interna de calor y estacionario! con condiciones de borde del tipo 6D1! lo 'ue implica conocer dos temperaturas en posiciones dadas. /o anterior permite obtener la siguiente función$ T ( x )
=
T 2
− T 1 ⋅ x + T 1 e
El flujo de calor se determina a partir de la función temperatura aplicando la /ey de 0ourier. q
= −k ⋅ A ⋅
dT dx
Aplicando la /ey de 0ourier para el caso de al ecuación de 2oisson! se tiene$ d T 2 − T 1 ⋅ + q = −k ⋅ A ⋅ x T 1 dx e %eempla+ando y sustituyendo
T 2 − T 1 = T 1 − T 2 e e k ⋅ A
q = −k ⋅ A ⋅
Adicionalmente! la ecuación anterior se puede reescribir de la manera siguiente$ q
=
− T 2 T 1 − T 2 = e Rt k ⋅ A T 1
Como se aprecia a partir de la expresión del flujo de calor obtenida para este caso particular! permite inferir 'ue el mtodo análogo*trmico corresponde a la particulari+ación de la ecuación de 2oisson con condiciones de borde del tipo 6D1! de modo 'ue este mtodo es sólo la máxima simplificación 'ue se puede reali+ar a la ecuación de 0ourier. En cuanto a los mtodos matemáticos 'ue se utili+an para la solución de problemas más complejos! los 'ue incorporan casos tales como$ materiales con conducti"idades trmicas "ariables -dependientes de la temperatura! multidimensionalidad en el flujo de calor! generación interna de calor -por metabolismo! por efecto del paso de corriente elctrica! reacciones 'uímicas yFo procesos transientes! generan una amplia gama de posibilidades! las 'ue generalmente se "en limitadas por la capacidad de resol"er ecuaciones diferenciales complejas! lo 'ue a lle"ado al desarrollo de di"ersas tcnicas para obtener de soluciones aproximadas! en particular para los problemas multidimensionales y transientes! tales como$ el mtodo de análisis gráfico! el mtodo de factor de forma para conducción de calor! el mtodo de capacitancia trmica! mtodo del sólido semi*infinito! mtodo de las cur"as de Geisler! entre otros. En los
&in embargo! el mtodo de las diferencias finitas es tradicionalmente el más popular en la literatura! por lo 'ue a continuación se planearán las bases de la metodología basado en la solución explícita del sistema de ecuaciones 'ue se genera con la aplicación de mtodo. El mtodo se basa en aproximar los elementos diferenciales a una forma discreta! construyendo una malla o red de puntos donde en ellos se concentran las propiedades de la materia! de modo 'ue los trminos diferenciales toman la f orma siguiente$ dT ( x )
=
dx
d 2T ( x ) dx 2 dT ( x ) dt
− T i , p % ,k T i p, % ,k − T i −p1, % ,k = ∆ x ∆ x
T i p +1, % , k
=
=
T i p+1, % , k
+1 T i p , % , k
− 2 ⋅ T i p, % ,k + T i −p1, % ,k ∆ x 2
− T i ,p % ,k ∆t
Considerando a$ i! j! como coordenadas espaciales y a$ p como coordenada temporal! con lo 'ue la ecuación de 0ourier aplicando las restricciones$ conducti"idad trmica constante! conducción unidimensional de calor y sin generación interna de calor! 'ueda de la forma siguiente$ ∂ 2T 1 ∂T = ⋅ ∂ x 2 α ∂t /a 'ue expresada en trminos de diferencias finitas toma l a forma siguiente$ p +1 p T i p+1, % ,k − 2 ⋅ T i p, % ,k + T i p−1, % ,k 1 T i , % ,k − T i , % , k
∆ x 2
=
α 5e donde se despeja el "alor de$ T i p, %+,k 1
⋅
∆t
= Fo ⋅ [T i p+1, % ,k + T i − p1, % ,k ] + T i , %p ,k ⋅ [1 − 2 ⋅ Fo]
5onde el n
∆ x 2
Este n9 0o ?!B?? 2roblema bidimensional >9 0o ?!(B? 2roblema tridimensional >9 0o ?!1H &i se considera el "alor límite del n
∞
⋅ ∆ x k
/as relaciones entre los n
5entro de las tcnicas de programación y mtodos de solución destacan los mtodos de #auss*&iedel! las formulaciones$ explicita! implícita! de Cran*6icolson! etc.
.
Teoría de aletas /as aletas o superficies extendidas es el medio 'ue com
T
e T7 b / x #eomtricamente se obtienen las siguientes relaciones para el perímetro y el área o sección trans"ersal de la aleta$ ( = 2 ⋅ ( e + ' ) A = ' ⋅ e 2ara la aleta es posible plantear el siguiente balance de energía para un elemento de sólido d e espesor diferencial ubicado en una posición dada! el 'ue indica 'ue el flujo de calor conducti"o 'ue ingresa al elemento es igual al flujo de calor cedido al medio con"ecti"o más el flujo de calor conducti"o 'ue egresa del elemento! 'ue en trminos matemáticos toman la forma siguiente$ q x
= q x+dx + qconvectivo
%eempla+ando en esta ecuación las expresiones de las leyes de 0ourier y 6e7ton! y tomando en cuenta las características geomtricas de la aleta! se obtiene la siguiente ecuación$
− k ⋅ A ⋅
∂T ∂T ∂ ∂T = −k ⋅ A ⋅ − ⋅ k ⋅ A ⋅ dx + ∞ ⋅ ( ⋅ ( T ( x ) − T ∞ ) ⋅ dx ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x
Eliminando trminos y ordenando se obtiene la siguiente ecuación$ d 2T ( x ) ∞ ⋅ ( − ⋅ ( T ( x ) − T ∞ ) = 0 k ⋅ A dx 2 5ado 'ue la ecuación anterior 'ueda en función de una diferencia de temperaturas entre la temperatura de la aleta en la posición dada y la temperatura basal de la aleta! con"iene sustituir la función temperatura por la función diferencia de temperaturas! la 'ue cumple con las siguientes condiciones$ d θ ( x ) dT ( x ) d 2θ ( x ) d 2T ( x ) θ ( x ) = T ( x ) − T ∞ = = 2 2 dx dx dx dx %eempla+ando se tiene la denominada ecuación de la aleta! la 'ue es$
d θ ( x ) 2
−
∞
⋅ (
⋅θ ( x ) = 0 k ⋅ A dx &i se considera el siguiente reempla+o a fin de obtener una forma general de la ecuación diferencial y a partir de sta la solución para la ecuación$ ⋅ ( m2 = ∞ k ⋅ A /a ecuación de la aleta toma la forma siguiente$ d 2θ ( x ) − m 2 ⋅ θ ( x ) = 0 2 dx &iendo su solución general! la siguiente$ − mx θ ( x ) = c1 ⋅ e + c2 ⋅ e + mx 5onde la particulari+ación de la solución general de la ecuación de aleta se reali+a al aplicar a sta las condiciones de borde 'ue restringen el problema 'ue en particular se anali ce. En general la condición de borde para la base de cual'uier aleta o superficie extendida es misma para todos lo casos y corresponde a una condición del Tipo 6D1 y 'ueda planteada de la forma siguiente$ → x = 0 ⇒ T ( x ) = T w θ ( 0 ) = T w − T ∞ = θ 0 2ara el extremo de la aleta o superficie extendida pueden presentarse tres posibles casos! los 'ue ob"iamente están asociados a los tres tipos condiciones de borde 'ue son aplicables! esto es! las condiciones tipo 6D1! 6D( y 6D4. &eg
θ ( )
→ x = ⇒ T ( x ) = T ∞
=0
b Aleta corta: en este caso se asume 'ue al extremo de la aleta se le puede aplicar una condición de borde del tipo 6D(! lo 'ue significa 'ue el extremo de la aleta se encuentra totalmente aislado trmicamente y por lo tanto el flujo de calor sólo puede intercambiarse con el medio con"ecti"o por las superficies laterales de la aleta. )atemáticamente corresponde a lo siguiente$ dT ( x ) d θ dx
→ x = ⇒
=0
x =
dx
=0
x =
c Aleta media: este tipo de aleta corresponde al caso en 'ue al extremo de la aleta se le puede aplicar una condición de borde del tipo 6D4! esto implica 'ue existe intercambio de calor en el extremo de la aleta. )atemáticamente corresponde a lo siguiente$ ( ) dT ( x ) → x = ⇒ − k ⋅ A ⋅ = ∞ ⋅ A ⋅ ( T w − T ∞ ) − k ⋅ A ⋅ d θ x = ∞ ⋅ A ⋅ θ 0 dx
x =
dx
x =
A fin de ejemplari+ar el manejo de las condiciones de borde y la e"aluación del flujo de calor 'ue puede mediante el uso de aletas reali+arse! se anali+ará en detalle el caso de aleta larga. Considerando la solución general de la ecuación de aleta 'ue es$ − mx + c2 ⋅ e + mx θ ( x ) = c1 ⋅ e Aplicando la condición de borde del tipo 6D1 a la base de la aleta! se tiene$ θ ( 0) = θ 0 = c1 ⋅ e − m 0 + c2 ⋅ e + m 0 = c1 → c1 = θ 0 Aplicando la condición de borde del tipo 6D1 al extremo de la aleta y asumiendo 'ue en esta posición su temperatura es idntica a la del medio con"ecti"o y 'ue el largo de la aleta es en trminos matemáticos infinito! se tiene$ − m → c 2 = 0 θ ( ) = 0 = c1 ⋅ e + c2 ⋅ e + m %eempla+ando estas constantes en la forma general de solución! se tiene 'ue la función diferencia de temperaturas respecto de la posición para una al eta recta larga es$
( ) = θ 0 ⋅ e
θ x
− mx
= θ 0 ⋅ e
⋅
∞ (
−
k ⋅ A
⋅x
5onde se puede obtener la función de la temperatura de la aleta respecto de l a posición! la 'ue es$ −
− mx
⋅
∞ (
⋅ x
+ T ∞ = ( T w − T ∞ ) ⋅ e + T ∞ T ( x ) = ( T w − T ∞ ) ⋅ e #ráficamente la función temperatura respecto de la posición es$ k ⋅ A
Comportamiento de la temperatura respecto de la longitud para el caso de una aleta larga 1(? 1?? a t e l a a l e d a r u t a r e p m e T
@? ? ;? (? ? ?
?!?;
?!?@
?!1(
?!1
?!(
/argo de la aleta
0inalmente! aplicando la ley de 0ourier! es posible obtener el flujo de calor intercambiado entre la aleta y el medio con"ecti"o! 'ue es$ d θ ( x ) q
= −k ⋅ A ⋅
dx
=
∞
⋅ ( ⋅ k ⋅ A ⋅θ 0
x = 0
Como es posible deducir de la expresión anterior! el flujo de calor 'ue intercambia una aleta con el medio con"ecti"o es sólo una fracción del flujo de calor 'ue intercambiaría la aleta si esta mantu"iera en toda sus superficies la temperatura basal. Esta situación conduce a la aparición del concepto de eficiencia de aleta! el 'ue se define de la manera siguiente$ ea
/a eficiencia de una aleta! para fines industriales! puede ser graficado en función de su tamao! geometría!1?? conducti"idad trmica del material de 'ue esta construida y el coeficiente pelicular con"ecti"o medio del fluido en el cual la aleta se encuentra sumergido. @? a t e l a e d a i c n e i c i f E
rectangular triangular
? ;? (? ? ?!?
?!B
1!?
1!B
(!?
(!B
⋅
H.
2⋅∞
k ⋅ e
E"aluación de cargas trmicas =no de los problemas prácticos más rele"antes en la temática de transferencia de calor es la e"aluación de las cargas trmicas 'ue se presentan en un determinado caso! como por ejemplo en el caso de ,ornos! edificios! cámaras de refrigeración! etc. Esta e"aluación permite determinar los re'uerimientos trmicos 'ue permitan reali+ar la selección del e'uipo o dispositi"o trmico 'ue permita mantener las condiciones de trmicas o sea de temperatura 'ue se re'uieren para una aplicación en particular. Esta e"aluación corresponde a un balance trmico! donde se e"al
= m v ⋅ ! p ⋅ ( T ∞i − T atm ) ( atm
⋅ + ⋅ (1 − eocup ) ⋅ nv ⋅ ! p ⋅ ( T ∞i − T atm ) Ra ⋅ T atm J $ Jolumen del recinto eocup $ %endimiento de ocupación del recinto n" $ 6
=
qi
= m i ⋅ ! p ⋅ ( T ∞i − T atm )
qi
=
( atm R a ⋅ T atm
⋅ + ⋅ (1 − eocup ) ⋅ ni ⋅ ! p ⋅ ( T ∞i − T atm )
n"
$ Cantidad de cambios de aire naturales por infiltraciones del recinto por unidad de tiempo c #eneraciones internas de calor$ c*1 #anancia por iluminación n
q l
= ∑ (1 − el ) ⋅ , l % =1
el
$ Eficiencia del sistema de iluminación - B?K para luces fluorescentes y 1?K para luces incandescentes 6l $ 2otencia de iluminación c*( #anancia metabólica n
q me
= ∑ # ⋅ , me % =1
+ $ 6
= ∑ (1 − ee ) ⋅ , e
qe
% =1
el $ Eficiencia trmica del e'uipo 6l $ 2otencia consumida o generada por el e'uipo d #anancia solar q s
= A , + AT +
A " + A2
⋅ i s
A $ Lrea expuesta Is $ Irradiación por unidad de área e #anancia por muros n
q mu
= ∑U mu ⋅ Amu ⋅ ( T ∞i − T atm ) % =1
=mu $ Coeficiente global de transferencia de calor del muro Amu $ Lrea del muro f #anancia por tec,o n
qte
= ∑U te ⋅ Ate ⋅ ( T ∞i − T atm ) % =1
=mu $ Coeficiente global de transferencia de calor del tec,o Amu $ Lrea del tec,o g #anancia por piso n
q pi
= ∑U pi ⋅ A pi ⋅ ( T ∞i − T sum ) % =1
=mu $ Coeficiente global de transferencia de calor del piso Amu $ Lrea del piso Tsum $ Temperatura del sumidero terrestre =na "e+ e"aluadas por separado cada carga se procede a sumarlas con sus respecti"os signo 'ue identifican la dirección del flujo de calor! asignando el "alor positi"o al 'ue ingresa al sistema y negati"o al 'ue egresa de ste. n
qtotal
= ∑ q % % =1
qtotal
= qv + qi + ql + q me + qe + q s + q mu + qte + q pi
5ado 'ue el sistema se e"aluó en condiciones de e'uilibrio! entonces la energía intercambiada con el medio externo es e'ui"alente con signo contrario a la energía 'ue debe aportar el e'uipo trmico. q total
+ , termica = 0
0inalmente! se despeja el "alor de la potencia re'uerida y de acuerdo a lo 'ue existe en el mercado se selecciona al e'uipo o e'uipos 'ue cumplirán la tarea de sostener el sistema en su ni"el trmico de funcionamiento representada por su temperatura de funcionamiento. , termica
= −q total
@.
Con"ección /os procesos de con"ección son modelados en trminos generales! por la ley de enfriamiento de 6e7ton! la 'ue establece 'ue en los procesos con"ecti"os! el flujo de calor es proporcional a un coeficiente numrico 'ue es denominado como$ Coeficiente 2elicular Con"ecti"o )edio o simplemente$ coeficiente pelicular. El "alor 'ue toma este coeficiente pelicular depende de la situación física de 'ue se trate y por lo tanto de las "ariables 'ue gobiernan el tipo de escurrimiento del fluido por sobre la pared donde se produce el proceso con"ecti"o. 5e estas "ariables! la más rele"ante en una primera instancia! es la referida al origen de las fuer+as 'ue engendran el mo"imiento del fluido! lo 'ue permite catalogar el tipo de escurrimiento en dos categorías! las 'ue son$ Con"ección for+ada Con"ección natural o libre /a primera categoría o con"ección for+ada se presenta cuando las fuer+as 'ue originan el mo"imiento del fluido son externas al fluido y por ende no tiene como origen el proceso de transferencia de calor en sí mismo. 2or su lado! la segunda categoría o con"ección natural o libre ocurre cuando las fuer+as 'ue originan el mo"imiento del fluido son propias a los cambios 'ue en sus propiedades tiene el fluido cuando como producto del proceso de transferencia de calor cambian! generándose un cambio de densidad y por ende aparecen fuer+as de flotación las 'ue engendran una circulación o flujo. &i bien el origen del mo"imiento puede ser diferente! la situación física es la misma y corresponde a la situación ilustrada$ • •
T-x "
T
"-x!y dA
T7
x
Como se puede desprender de la figura! por los efectos "iscosos del fluido! el "alor de la "elocidad de escurrimiento del fluido! el espesor de la capa límite de "elocidades! etc! generan 'ue el "alor del coeficiente pelicular con"ecti"o sea un "alor del tipo local! por lo 'ue se cumple$ dq dA
= . x ⋅ ( T ∞ − T w )
5ado 'ue en la práctica de ingeniería resulta muy complejo trabajar con "alores locales! resulta en extremo con"eniente y ,asta necesario el determinar un "alor medio para el coeficiente pelicular con"ecti"o! lo 'ue es posible establecerlo de la manera siguiente$
=
1
A
⋅ ∫ .x ⋅ dA
2or su lado! los efectos "iscosos generan una película de fluido 'ue pro"oca una modificación significati"a de las propiedades del escurrimiento en las proximidades de la pared! 'ue es donde se reali+a el intercambio de calor! lo 'ue ,ace 'ue el "alor de estas propiedades sea especialmente rele"ante! esto conduce a la necesidad de e"aluar las propiedades del fluido existente en la película a partir de una temperatura 'ue permita e"aluar adecuadamente estas propiedades. Esta temperatura se le denomina Temperatura de 2elícula y se e"al
)atemáticamente corresponde a$ T + T w T = ∞ 2
