Tema 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE 1.- INTRODUCCIÓN Uno de los métodos de cálculo más útiles para resolver ecuaciones diferenciales lineales es el empleo de las l as transformadas integrales. Una transformada Una transformada integral es una expresión del tipo:
F(s) =
β
∫ k(s, x) ⋅ f (x) ⋅ dx α
La función F(s) es la transformada integral de de f(x) y a la función k(s,x) se le llama núcleo llama núcleo de de la transformación. Algunos ejemplos de transformadas integrales importantes que se utilizan habitualmente son: ∞
∫
Transformada de Fourier del seno:
F(s) =
Transformada de Fourier del coseno:
F(s) =
Transformada de Fourier:
F(s) =
Transformada de Hankel:
F(s) =
Transformada generalizada de Stieltjes:
F(s) = sν ⋅
Transformada de Mellin:
F(s) =
0
∫
∞
0
f (x ( x ) ⋅ cos(s ⋅ x ) ⋅ dx
∫
∞
∫
∞
−∞
0
∫
∞
0
f (x ) ⋅ sen(s ⋅ x) ⋅ dx
f ( x ) ⋅ e −isx ⋅ dx
J x (s ⋅ x ) ⋅ (s ⋅ x )1 2 ⋅ f ( x ) ⋅ dx
∫
∞
0
f(x) (1 + s ⋅ x )ν
⋅ dx
x s−1 ⋅ f ( x ) ⋅ dx
La idea general es utilizar este tipo de transformadas integrales para resolver un problema determinado, por ejemplo de tipo físico, en el que interviene una función f(x). Aplicando a tal problema alguna transformada integral, se obtendrá otro, en general más simple, para F(s). Se hallará la solución F(s) de este nuevo problema, y finalmente, la función f(x) deseada será la inversa de la transformada integral F(s). El empleo de un tipo de transformada u otro dependerá de la naturaleza del problema a resolver. En este capítulo nos centraremos en la transformada de Laplace, y los problemas a resolver serán, fundamentalmente, problemas de valor inicial para ecuaciones y sistemas de
IV Transformada de Laplace
66
ecuaciones diferenciales lineales. Al tomar transformadas de Laplace en la ecuación inicial, se pasará a una ecuación algebraica, en la que la incógnita será la transformada de Laplace de f(x). Una vez conocida conocida dicha transformada será preciso encontrar encontrar su transformada inversa. Estas ideas pueden representarse a través del siguiente esquema:
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA 0 EN DERIVADAS PARCIALES
problema físico
(modelo matemático del problema físico)
TRANSFORMADA INTEGRAL DE LA ECUACIÓN PROBLEMA ALGEBRAICO inversión
DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN INCÓGNITA
2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición: Dada una función f(x) definida para valores de x ≥ 0, se define la transformada de Laplace de Laplace de dicha función f(x), que se denotará por
L
{f (x)} = F(s) ,
como: L
{
} = F(s) = ∫
f (x)
∞
0
e−s⋅x ⋅ f (x) ⋅ dx
A
= Ali→∞ m ∫ 0
e−s⋅x ⋅ f (x) ⋅ dx
(1)
donde la variable independiente s puede ser real o compleja. La transformada de Laplace se define como una integral impropia, por lo que pueden existir valores de s para los que tal integral no converja. Para poder garantizar que la transformada de Laplace Laplace de f(x) exista, al menos en en algún intervalo, es preciso imponer las siguientes condiciones sobre f(x):
1) f(x) debe ser ser continua a trozos. Una función g(x) es es continua a trozos en algún intervalo de la forma [ x 0 , x n ] si éste puede ser particionado por un número finito de puntos x 0 < x 1 < x 2 <... .. . < x n de modo que: a) g es continua en cada subintervalo abierto ( x i , x i +1 )
IV Transformada de Laplace
67
b) g tiende a un límite finito en los extremos de cada subintervalo. Es decir, una función continua a trozos en un intervalo es a lo sumo discontinua en un número finito de puntos en él, pero en ellos sus límites laterales toman valores finitos. El gráfico típico de una función continua a trozos aparece en la figura 1.
x Fig. 1 Si f(x) es continua a trozos sobre el intervalo [0, A], entonces la integral existe, pero esto no asegura aún que exista la integral impropia
∫
∞
0
∫
A
0
f (x) ⋅ dx
f (x) ⋅ dx .
2) La función f(x) debe ser de orden exponencial, esto es, deben existir constantes reales k, a y M, tales que |f(x)| ≤ k ⋅ e a⋅x Estas dos condiciones
∀ x≥M, siendo k y M positivas.
son condiciones suficientes sobre f para que exista su
transformada de Laplace. Para establecer el teorema que demuestra esto, es preciso emplear el siguiente lema que se admite sin demostración:
Lema: Sea
una
función
f(x)
continua
a
trozos
∀
x≥0,
verificando
f (x) ≤ g(x) ∀ x ≥ M , siendo M una constante positiva y g(x) una función tal que la integral
∫
∞
M
g(x) ⋅ dx es convergente. Entonces, la integral impropia
también converge. En cambio, si f(x) ≥g(x)≥0
∫
∞
M
g(x) ⋅ dx diverge, entonces
∫
∞
0
f (x) ⋅ dx
∀x≥M, siendo g(x) tal que la integral
z f (x ) ⋅ dx es también divergente. ∞
0
Teorema 1: Sea f(x) una función continua a trozos en el intervalo 0 ≤ x ≤ A , para cualquier A ≥ 0 y además de orden exponencial, es decir |f(x)| ≤ k ⋅ e a ⋅x ∀ x ≥M, donde k, a y M son constantes reales y k y M positivas, entonces la transformada de Laplace
IV Transformada de Laplace
L
de f(x)
68
∞
{f (x)} = ∫ 0
e− ⋅
sx
⋅ f (x) ⋅ dx = F(s) existe ∀ s > a, si s es real,
o bien ∀ s /
Re(s) > a , si s es complejo.
Demostración: La demostración se va a efectuar únicamente para el caso en que s sea real. Se trata de demostrar que la integral impropia que aparece en la definición de la transformada de Laplace es convergente. Para ello, la descomponemos en dos partes:
∫
∞
0
∫
e−s⋅x ⋅ f (x) ⋅ dx =
M
0
e− s⋅x ⋅ f (x) ⋅ dx +
∫
∞
M
e− s⋅ x ⋅ f (x) ⋅ dx
(2)
La primera integral existe por ser la función f(x) continua a trozos en el i ntervalo 0 ≤ x ≤ A , para cualquier A, y en particular cuando A = M. Para estudiar la
convergencia de la segunda integral, tenemos en cuenta, que por ser f(x) de orden exponencial: e− s⋅x ⋅ f (x) ≤ k ⋅ e(a − s)⋅x ∀ x ≥ M
Por el lema anterior dicha segunda integral convergerá si lo hace
∫
∞
M
k⋅e
(a −s)•x
dx .
Pero:
∫
∞
M
Luego,
k ⋅e
L
(a −s)⋅x
dx = k ⋅
{f (x)} = F(s)
∞
1 a −s
⋅e
(a −s) ⋅x
= k⋅ M
1 s−a
⋅ e(a −s)⋅M < ∞ ⇔ s > a
existe en este caso ∀ s > a.
Es interesante observar que, si f(x) verifica las condiciones 1 y 2, que implican la existencia de su transformada de Laplace, entonces ésta tiende a cero cuando |s| tiende a infinito. Es decir,
L
{f (x)} = F(s) →∞→ 0 . s
En efecto, teniendo en cuenta
la descomposición (2) efectuada al demostrar el teorema:
z
∞
0
e − s·x · f ( x ) · dx =
z
M
0
e − s·x · f ( x ) · dx +
z e ∞
M
− s· x
· f ( x ) · dx
Por ser f(x) continua a trozos en [0,M], está acotada ⇒ ∃ una constante B / f ( x ) ≤ B ∀ x ∈ 0, M , y por ser además de orden exponencial, e
∀ x ≥ M ; por consiguiente L
{f (x)} ≤
−B s
M
⋅ e−s⋅x + 0
− s·x
· f ( x) ≤ k · e(a −s)·x
∀ s>a la expresión (2) puede acotarse por: k a −s
∞
⋅ e(a−s)⋅x
= M
B s
⋅ (1 − e−s⋅M ) +
k s −a
0 ⋅ e(a−s)⋅M → s →∞
Según hemos señalado anteriormente, las condiciones establecidas en este teorema son condiciones suficientes, sin embargo no son necesarias, en el sentido de
IV Transformada de Laplace
69
que pueden existir funciones que no las verifican pero para las que sí existe la transformada de Laplace. Una propiedad de la transformada de Laplace de gran utilidad, y que es consecuencia inmediata de la linealidad de la integral es :
Proposición: Sean f y g funciones cuyas transformadas de Laplace existen ∀ s > a y ∀ s > b, respectivamente, entonces ∀ s > max{a,b} se cumple L
{α ⋅ f (x) + β ⋅ g(x)} = α ⋅ L {f (x)} + β ⋅ L {g(x)}
∀ α, β constantes arbitrarias Esta proposición pone de manifiesto que
L
es un operador lineal.
3.- TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 1) Sea f(x) = 1 L
{f (x)} = ∫
∞ 0
2) Sea f(x) = x n (n ∈ L
e−sx ⋅ f (x) ⋅ dx
= ∫ 0
e −sx ⋅ 1 ⋅ dx
e−sx ∞ 1 = = ∀s/ Re(s) > 0 −s 0 s
)
∞
} = ∫
{
∞
f (x )
0
−sx
e
⋅ x n ⋅ dx =
n! s
∀s/ Re(s) > 0
n +1
En efecto, integrando por partes de modo repetido
∫
∞
0
=
3) Sea f(x) =
∞
e
− sx
n ∞ 1 ⋅ x ⋅ dx = − ⋅ e −sx ⋅ x n + ⋅ ∫ e− sx ⋅ x n −1 ⋅ dx = s 0 s 0 n
n ⋅ (n − 1) s2
∞
⋅ ∫ e−sx ⋅ x n−2 ⋅ dx = ... = 0
n! sn +1
siempre que Re(s) > 0.
eax L
{
e ax
}= ∫
∞ 0
e−sx ⋅ e ax ⋅ dx
∞
= ∫ 0
e−( s−a )⋅ x ⋅ dx
=
1 s−a
∀s/ Re(s) > a
4) Sea f(x) = sen(a·x) L
{sen(a ⋅ x)} = s +a a 2
2
∀s/ Re(s) > 0
En efecto: L
∞
{sen(a ⋅ x)} = ∫ 0
−sx
e
1 ∞ −sx ⋅ sen(a ⋅ x) ⋅ dx = − ⋅ cos(a ⋅ x) ⋅ e + 0 a
IV Transformada de Laplace
+
−s a
∞
∫ 0
70
−sx
cos(a ⋅ x) ⋅ e
1
s2
a
a
⋅ dx = −
⋅ L {sen(a ⋅ x)} 2
⇒
L
{sen(a ⋅ x)} = s +a a 2
2
∀s / Re(s) > 0
5) Sea f(x) = cos( a ⋅ x ) L
{cos(a ⋅ x)} = s +s a 2
∀s/ Re(s)> 0
2
En efecto: ∞
{cos(a ⋅ x)} = ∫
L
0
+
s a
∞
∫ 0
sen(a ⋅ x) ⋅ e−sx ⋅ dx
6) Sea f(x) =
∞ 1 e−sx ⋅ cos(a ⋅ x ) ⋅ dx = ⋅ sen(a ⋅ x) ⋅ e−sx + a 0
s
= ⋅ L {sen(a ⋅ x)} = a
s s2
+ a2
siempre que Re(s) > 0
senh (a ⋅ x )
eax − e−ax 1 1 a 1 1 = ⋅ − ⋅ = 2 2 L {senh(a ⋅ x)} = L 2 2 s − a 2 s + a s − a ∀s / Re( s) > a
7) Sea f(x) = cosh ( a · x )
eax + e−ax 1 1 s 1 1 = ⋅ + ⋅ = 2 2 L {cosh(a ⋅ x)} = L 2 2 s − a 2 s + a s − a ∀s / Re( s) > a A continuación vamos a establecer algunas propiedades de la transformada de Laplace que resultan útiles para simplificar su cálculo y para resolver ecuaciones diferenciales.
4.- PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 2: Sea
f(x) una función tal que su transformada de Laplace
L {f(x)} =
F(s)
existe ∀s>a, entonces dada cualquier constante c se cumple:
{e
L
cx
⋅ f (x)} = F(s − c)
∀s>a+c
(3)
Este teorema se conoce con el nombre de teorema de traslación o del salto (shift's theorem).
Demostración:
{
L
}= ∫
ecx ⋅ f (x)
∞
0
e−sx ⋅ ecx ⋅ f (x) ⋅ dx =
∞
∫ 0
e−(s−c)x ⋅ f (x) ⋅ dx = F(s − c)
IV Transformada de Laplace
71
El teorema indica que el efecto de multiplicar a f(x) por ecx equivale a una traslación de distancia c en la transformada de Laplace. Veamos algún ejemplo de utilización de este resultado Ejemplo 1: Calculemos la transformada de Laplace de f(x) = x n ⋅ e − ax Teniendo en cuenta que L
{x } = sn+! n
n 1
⇒
L
{x
n
⋅ e−ax } =
n!
∀s > -a
(s + a )n +1
Ejemplo 2 Sea f(x) = e − bx ⋅ sen(a ⋅ x) , teniendo en cuenta que L
{sen(a ⋅ x)} = s +a a 2
2
⇒
L
{e−
bx
a
⋅ sen(a ⋅ x)} =
(s + b)2 + a 2
∀s > -b
Teorema 3:
{
} = F(s) , entonces
Si L f (x)
L
{x
n
⋅ f (x)} = (−1) ⋅ n
d n F(s)
n=1,2,...
dsn
(4)
Demostración: Para n = 1, veamos que
L {x ⋅ f (x)}
L { x ⋅ f (x)}
pero como F(s) =
∫
∞
0
dF(s) ds
=−
=
∫
∞
0
dF(s) ds
:
e − sx ⋅ x ⋅ f (x) ⋅ dx
e −sx ⋅ f (x) ⋅ dx , derivando respecto de s:
=−
∫
∞
0
x ⋅ f (x) ⋅ e−sx ⋅ dx = − L { x ⋅ f (x)}
Para n = 2, 2 d dF(s) 2 d F(s) − = (− 1) ⋅ L { x ⋅ f (x)} = L { x ⋅ x ⋅ f (x)} = − L { x ⋅ f (x)} = − ds ds ds ds 2
d
2
Para n = 3, L
{x
3
⋅ f (x)} = L { x ⋅ x ⋅ f (x)} = − 2
d ds
{x
L
2
⋅ f (x)} = −
d
2
dF2 (s)
3
d 3 F(s)
(− 1) ⋅ ds 2 = (− 1) ⋅ ds3
ds
y en general, se verificará el resultado buscado. Según este resultado, la transformada de Laplace de una función f(x), en caso de que exista, tiene derivadas de todos los órdenes, siendo:
IV Transformada de Laplace
72
d n F(s) ds
n
= ( −1) n ⋅ L {x n ⋅ f (x)} donde
L {f (x)
= F(s)
Ejemplo: Obtengamos la transformada de Laplace de la función f(x) = x · cos( a · x ) : L {cos(a ⋅ x)}
Puesto que
=
s s2 + a 2
, se tiene que
d s s2 − a 2 L {x ⋅ cos(a ⋅ x)} = − = ds s 2 + a 2 ( s 2 + a 2 ) 2
Teorema 4: Sea f(x) una función continua ∀x ≥ 0 y de orden exponencial y cuya transformada de Laplace F(s) existe ∀s > a. Si su derivada f ′ ( x ) existe y es continua a trozos ∀x ≥ 0, entonces existe L {f ′(x)} ∀s > a , verificándose que: L {f ′(x)}
= s ⋅ F(s) − f (0)
(5)
Demostración: L {f ′(x)}
∞ ∞ df (x) − sx df (x) ⋅ dx = c f ( x ) · e − sx h + s · = ∫0 e ⋅ 0 dx dx
= L
∞
z e
− sx
0
f ( x) · dx
Ahora bien, por ser f(x) de orden exponencial
f ( x ) ≤ k · e ax y como k · e
( a − s) x
∀x ≥ M ⇒ e − sx · f ( x) = e −sx ⋅ f ( x) ≤ e − sx · k · eax = k · e( a −s) x
→ 0 x →∞
∀s > a , resulta que lim f ( x ) · e − sx = 0 . x →∞
Por lo tanto: L {f ′(x)} = s ⋅ F(s) − f (0)
∀s > a
A este teorema se le conoce con el nombre de teorema de derivación .Una consecuencia inmediata de este teorema, que se podría demostrar sencillamente por inducción, es el resultado siguiente:
Corolario 1:
Si f, f', ..., f n −1) son funciones continuas ∀x ≥ 0 y existen constantes k,a y ax
ax
M tales que f ( x) ≤ k · e , f ′ ( x) ≤ k · e ,..., f
n −1)
( x) ≤ k · eax
∀x ≥ M
. Entonces, si
existe f n) y es continua a trozos ∀x ≥ 0 , se tiene que existe L {f (x)} n)
∀s > a,
verificándose:
{f
L
n)
− (x) = sn ⋅ F(s) − sn 1 ⋅ f (0) − sn − 2 · f ′( 0) −... − s · f n − 2) ( 0) − f n −1) ( 0)
siendo L {f (x) = F(s) Puede verse que para n=2,
(6)
IV Transformada de Laplace
73
' (x)} = L {(f '( x)) '} = s ⋅ L {f '(x)} − f '(0) = s 2 ⋅ F(s) − s ⋅ f (0) − f '(0)
L {f
y para n=3 L {f
'''(x)} = L {(f ''(x)) '} = s ⋅ L {f ''(x)} − f ''(0) = s 3 ⋅ F(s) − s 2 ⋅ f (0) − s ⋅ f '(0) − f ''(0)
Corolario 2:
∫
x
Sea
G(x) =
f(x)
∀s > a, se tiene que
0
f (t) ⋅ dt
entonces, si existe la transformada de Laplace de la función
L {G(x)} =
1 s
⋅ L {f (x)}
∀s > a
(7)
Demostración: Como G(x) =
∫
x
0
f (t) ⋅ dt ⇒
dG dx
= f(x) y además G(0) = 0. Por tanto, teniendo en
cuenta el teorema de derivación: 1 dG(x) = s ⋅ L {G(x)} − F(0) = s ⋅ L {G(x)} ⇒ L {G(x)} = ⋅ L {f (x)} s dx
L
Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la resolución de
ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con
condiciones iniciales. Por ejemplo, para resolver el problema de valor inicial a ⋅ y ′′ + b ⋅ y ′ + c ⋅ y = f ( x )
y (0) = y 0 , y ′ (0) = y ′0
(8)
podemos utilizar como método el siguiente: Siendo F(s) la transformada de Laplace de la función f(x) y Y(s) la de la función y(x), tomando transformadas de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial: L {a ⋅ y ′′ +
b ⋅ y′ + c ⋅ y} = L {f (x)} ⇒ (por la linealidad de la transformada de Laplace)
⇒ a ⋅ L { y′′} + b ⋅ L { y′} + c ⋅ L { y} = F(s) teniendo en cuenta los resultados (5) y (6), se tiene que L { y′} = L { y′′}
s ⋅ Y(s) − y(0)
= s2 ⋅ Y(s) − s ⋅ y(0) − y′(0) = s2 ⋅ Y(s) − s ⋅ y 0 − y′0
por lo que sustituyéndolos en la expresión anterior y reordenando, se obtiene: L { y}
= Y(s) =
F(s) a ⋅ s2 + b ⋅ s + c
+
(a ⋅ s + b) ⋅ y 0 a ⋅ s2 + b ⋅ s + c
+
a ⋅ y0′ a ⋅ s2 + b ⋅ s + c
(9)
Llegados a este punto, es obvio que para obtener la solución al problema de valor inicial (8), bastará con determinar la función continua y(x)
que tenga a Y(s) como
IV Transformada de Laplace
74
transformada de Laplace. Este problema conocido como inversión de la transformada
de Laplace es objeto de estudio en el apartado siguiente.
5.- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Definición: Se −1
denota L
denomina transformada inversa de Laplace de una función F(s), y se
{F(s)} , a la única función f(x) continua ∀x ≥ 0 verificando: L {f (x)}
= F(s)
En el caso de que todas las funciones f(x) que verifican L {f (x) = F(s) sean −1
discontinuas en [0,∞), se tomaría como L
{F(s)} a aquella función f(x) continua por
trozos verificando la expresión anterior. Observemos que debido a que la transformada de Laplace es una función integral, dos funciones que se diferencien en un conjunto aislado de puntos, como por ejemplo: f1 (x) = e
2x
∀x ≥ 0
,
tienen la misma transformada de Laplace
e 2x f 2 (x) = 1 1 s−2
x≥0yx≠ 2 x=2
. Ahora bien, se puede demostrar que si
dos funciones diferentes tienen la misma transformada de Laplace, solamente una de ellas puede ser continua. Es evidente que estas serán las que nos interesen para la resolución de problemas del tipo (8). Por otra parte, cabe destacar que no toda función F(s) es la transformada de Laplace de alguna función continua por trozos y de orden exponencial f(x). Así, si F(s) = s2 , puesto que F(s) no tiende a cero cuando s → ∞, F(s) no puede ser la transformada de Laplace de ninguna función. Nos proponemos a continuación pasar a estudiar métodos de obtención de la transformada inversa de Laplace para aquellos casos en los que la simple inspección no nos permita el determinarla. Con tal fin, presentaremos un primer resultado de interés cuya demostración es inmediata:
Proposición:
Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(x) y g(x)
respectivamente. Entonces, para constantes arbitrarias a y b, se verifica que:
IV Transformada de Laplace
−1
L
75
{a ⋅ F(s) + b ⋅ G(s)} = a ⋅ L−1 {F(s)} + b ⋅ L −1 {G(s)}
Este resultado es particularmente útil para cuando queremos determinar la transformada inversa de Laplace de una función F(s) dada mediante el cociente de dos polinomios :
F(s) =
P(s) Q(s)
En este caso, descompondremos F(s) en suma de fracciones simples. La proposición 2 nos permite reducir este problema al cálculo de las transformadas inversas de cada una de las fracciones simples. Para obtener éstas se hará uso de las transformadas de las funciones elementales, y de los teoremas 2 y 3. Ilustraremos esto a través de algunos ejemplos: Ejemplo 1: Determinemos
−1
L
1 (s + a) ⋅ (s + b)
Descomponiendo en fracciones simples se obtiene: 1 (s + a) ⋅ (s + b)
=
A s+a
+
B s+b
1
⇒A=
, B=
b−a
1 a-b
Tomando transformadas inversas, teniendo en cuenta la linealidad y las transformadas de las funciones exponenciales: −1
L
1 1 1 1 1 −1 b − a −1 a−b = + = ⋅ e − ax + ⋅ e − bx L L + ⋅ + a−b s+a s+ b b−a (s a) (s b)
Ejemplo 2: −1
L
Hallemos ahora
1 2 2 2 2 (s + a ) ⋅ (s + b )
Descomponiendo en fracciones simples 1 2
2
2
2
(s + a ) ⋅ (s + b )
=
A ⋅s + B 2
s +a
2
+
C⋅s + D 2
s +b
2
=
1 1 − 2 2 2 b −a s +a s + b2 1
2
2
⋅
Por consiguiente, −1
L
1 1 1 1 sen(a x) = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ sen(b ⋅ x) (s 2 + a 2 ) ⋅ (s 2 + b 2 ) b 2 − a 2 a b
Ejemplo 3: Calculemos
−1
L
1 2 2 (s + a) + b
IV Transformada de Laplace
En
este
F(s) =
caso 1
2
s +b
2
la
76
función
1 b
a
invertir
es
de
la
forma
F(s+a)
donde
= L −1 ⋅ sen(b ⋅ x) . Entonces, teniendo en cuenta el teorema del salto, la
transformada inversa buscada es: −1
L
− ax 1 1 (s + a)2 + b 2 = e ⋅ b ⋅ sen(b ⋅ x )
Ejemplo 4: Determinemos:
−1
L
s 2 2 2 (s + a )
Teniendo en cuenta que F(s) = L {sen(a ⋅ x)} =
a s2 + a 2
⇒
dF ds
=−
2⋅a ⋅s 2 2 2 (s + a )
; y por el
teorema 3, se concluye que: −1
L
s 1 (s 2 + a 2 )2 = 2 ⋅ a ⋅ x ⋅ sen(a ⋅ x)
Existe una fórmula explícita que determina la transformada inversa de ciertas funciones F(s), pero que hace uso de la teoría de funciones de variable compleja, por lo que no la expondremos aquí, ya que sobrepasa los conceptos de este curso.
6.-TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES ESPECIALES 6.1.- Función escalón o Función de Heaviside En muchas aplicaciones de la Física y la Ingeniería aparecen ecuaciones diferenciales de la forma a ⋅ y ′′ + b ⋅ y ′ + c ⋅ y = f ( x )
en las que el término independiente
f(x) es una función presentando discontinuidades o saltos en uno o más puntos. Por ejemplo, una partícula puede estar moviéndose bajo la influencia de una cierta fuerza F(t), y de repente, en un instante t', otra fuerza adicional F'(t) es aplicada a la partícula. Tales ecuaciones, se resuelven más fácilmente utilizando la transformada de Laplace, que empleando otras técnicas. Por este motivo, vamos a comenzar computando la transformada de Laplace de algunas funciones discontinuas. El ejemplo más sencillo de función presentando un único salto o discontinuidad es la llamada función de Heaviside o función escalón, que se define como:
IV Transformada de Laplace
77
0 H a (x) = H(x − a) = 1
si x
siendo a > 0
si x ≥ a
El gráfico de esta función está dado en la figura 3:
1 x a Fig. 3 La transformada de Laplace de esta función es: L {H a (x)} =
∫
∞
0
e
− sx
⋅ Ha (x) ⋅ dx =
∫
∞
a
e
− sx
⋅ dx =
e − as
∀s>0
s
Sea ahora f(x) una función definida en el intervalo 0 ≤ x < ∞, y sea g(x) la función obtenida a partir de f trasladando su gráfica "a" unidades a la derecha, como se muestra en la figura 4. Más precisamente, sea g(x) definida por
0
0 ≤ x
g(x)=
f(x-a)
x≥a
= H a (x) ⋅ f(x-a)
f(x)
g(x)
x
x
a
Fig. 4 El siguiente resultado relaciona las transformadas de Laplace de estas dos funciones:
Teorema: Si la transformada de Laplace de la función f(x) existe ∀ s > s 0, siendo a una constante positiva, entonces: L {H a (x) ⋅ f (x
− a)} = e− as ⋅ L {f (x)} ∀s>s0
(10)
Demostración: L {H a (x) ⋅ f (x
− a)} =
z
∞
0
e −sx · f ( x − a ) · H a ( x ) · dx =
∞
z f ( x a
− a) · e
− sx
· dx
IV Transformada de Laplace
78
Haciendo el cambio de variable z = x - a ⇒ dz = dx, los límites de integración quedan 0, ∞, con lo que la expresión anterior se transforma en: L {H a (x) ⋅ f (x
− a)} =
∫
∞
0
e−s(z + a ) ⋅ f (z) ⋅ dz = e −sa ⋅
∫
∞
0
e−sz ⋅ f (z) ⋅ dz = e−sa ⋅ L {f (x)} ∀s>s0
Este resultado sugiere que el efecto de multiplicar la transformada de Laplace de un función f(x) por una exponencial del tipo e -as, se corresponde con una traslación “a” unidades a la derecha de la función f(x). De la expresión (10) se concluye que si F(s) = −1
L
{e−
as
L {f(x)} ,
y a >0:
⋅ F(s)} = Ha (x) ⋅ f (x − a)
(11)
Ejemplo: Teniendo en cuenta (11):
1
L
-
e −as = H a (x) ⋅ sen(x − a) 2 1 + s
6.2.- Función Delta de Dirac En algunas aplicaciones de la Física y de la Ingeniería aparecen fenómenos de naturaleza impulsiva, como pueden ser fuerzas o voltajes de gran magnitud que actúan durante intervalos muy cortos de tiempo. Tales fenómenos conducen normalmente a ecuaciones diferenciales de la forma a ⋅ y ′′ + b ⋅ y ′ + c ⋅ y = f ( x ) , donde f(x)
es
idénticamente nula, salvo en un intervalo pequeño de la forma (x 0 - τ , x0 + τ). Funciones que pueden servir para modelizar matemáticamente estos fenómenos son las de la forma:
1 dτ (x) = 2 ⋅τ 0
si
-τ < x<τ
si x ≤ −τ
o
(12)
x ≥ τ
siendo τ una constante positiva suficientemente pequeña. Los gráficos de algunas de estas funciones aparecen representados en la figura 5.
IV Transformada de Laplace
79
x Fig. 5 En estos gráficos puede observarse que para valores de τ tendiendo a cero, el intervalo en el que la función correspondiente dτ(x) es no nula se va haciendo cada vez más pequeño. Al mismo tiempo el valor de d τ(x) en este intervalo va siendo cada vez mayor. Además, para cada una de estas funciones se verifica que: I(τ) =
∫
∞
−∞
dτ (x) ⋅ dx =
τ
1
−τ
2 ⋅τ
∫
⋅ dx = 1
∀ τ ≠ 0
Esta integral representa el impulso total de la fuerza actuando sobre el intervalo (-τ, τ). Tomando límites cuando τ → 0, estas funciones dτ(x) verificarían que: lim d τ (x) = 0 ∀ x ≠ 0 τ→ 0
,
limI ( τ ) = 1 τ→0
y además lim d τ (0) = ∞ . τ→ 0
Teniendo en cuenta estos resultados, se puede definir una función genérica como límite de las funciones dτ(x) para τ → 0 y que llamaremos función Delta de Dirac. Así:
Definición:
Llamaremos función Delta de Dirac y la denotaremos por δ(x), a la
caracterizada por las dos propiedades siguientes:
δ( x) = 0
∀x ≠ 0
∞
z δ(x) ⋅ dx = 1 −∞
(13) (14)
Esta función δ(x) no es una función ordinaria, sino que se obtiene como límite de una familia de funciones. Este tipo de funciones entran dentro de las denominadas
funciones generalizadas o distribuciones. De manera análoga a como se ha definido esta función δ(x) representando un impulso unitario en x = 0, puede definirse la función δ(x-x0) , representando un impulso unitario en x = x0 > 0 , de la forma:
IV Transformada de Laplace
80
δ ( x − x 0 ) = 0 ∀x ≠ x 0 ∞
z
δ ( x − x 0 ) · dx = 1
−∞
Una de las propiedades más importantes de la función Delta, y que se acepta sin demostración, es la siguiente:
Proposición: Dada cualquier función f(x)
∫
b
a
δ (x − x 0 ) ⋅ f (x) ⋅ dx
continua, se cumple:
f (x 0 )
a ≤ x0 ≤ b
0
en otro caso
=
(15)
Teniendo en cuenta esta propiedad, se puede calcular la transformada de Laplace de la función Delta de Dirac: L {δ(x
− x 0 )} = e− x0s
(16)
En efecto: L {δ(x −
x 0 )} =
∫
∞
0
e−sx ⋅ δ (x − x 0 ) ⋅ dx = e
− x 0s
donde se ha tenido en cuenta que e −sx es una función continua y que x0 > 0. De este resultado se deduce que L {δ(x)} = 1 , lo cual corrobora el hecho de que la función Delta de Dirac no es una función ordinaria que verifique las condiciones del Teorema 1, puesto que según vimos para tales funciones se debía cumplir que la transformada de Laplace tendía a cero cuando s → ∞.
7.- APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. La transformada de Laplace es especialmente útil para resolver problemas de valor inicial en los que las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones diferenciales sean lineales y de coeficientes constantes. A continuación ilustraremos estas ideas con unos ejemplos: Ejemplo 1 Resolvamos la ecuación: y ′′ + 4 · y ′ + 4 · y = x 3
con las condiciones iniciales
y (0) = 0, y'(0) = 1. Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación, y denotando por L {y} = Y(s) ,
IV Transformada de Laplace
L { y′} =
81
L { y′′}
s ⋅ Y(s) − y(0) ,
6
{x } = s
= s 2 ⋅ Y(s) − s ⋅ y(0) − y′(0) ,
3
L
4
sustituyendo en la ecuación y teniendo en cuenta las condiciones iniciales: 6
(s 2 + 4 ⋅ s + 4) ⋅ Y(s) − 1 =
Y=
6 + s4 4
2
s ⋅ (s + 4 ⋅ s + 4)
=−
3 4
=
L {1} +
=
3 4
e
6 + s4
−2x
4
s ⋅ (s + 2)
9 8 +
L { x} −
11 8
xe
=−
2
3
L
4
−2x
+
3 4⋅s
+
⇒
s4
9 8⋅s
2
1
−
3 2⋅s
3
+
3
3 2⋅s
4
+
3 1 4 s+2
+
11
11
1
8 (s + 2) 2
=
{ x } + 4 L {x } + 4 L {e− } + 8 L { x ⋅ e− } = 2
x3
−
4
3 4
3
2 x +
9 8
x−
2x
2x
3 4
Ejemplo 2: Se trata de encontrar la solución del problema de valor inicial:
x 0 ≤ x<π /2 con y(0)=0 y′(0)=0 siendo f(x)= π x ≥ π /2 2
y′′ + 4 ⋅ y = f (x)
Haciendo uso de la función de Heaviside, la función f(x) se puede escribir como L {f (x)} = L { x} − e
f (x) = x − Hπ /2 (x) ⋅ (x − π / 2)
− ( π / 2)s
⋅ L { x} =
1 s2
− ( π /2)s
−e
⋅
1 s2
donde se ha tenido en cuenta el resultado visto en el teorema 7. Tomando transformadas de Laplace en la ecuación, considerando las condiciones iniciales y operando adecuadamente se obtiene: L { y(x)} =
Y(s) =
1 s 2 ⋅ (s 2 + 4)
−
e− ( π/ 2)s s2 ⋅ (s2 + 4)
Tomando transformadas inversas:
−
1 −1 − (π /2)s − ⋅ L e 2 2 s 2 ⋅ (s 2 s ⋅ (s + 4)
y(x) = L 1
1
Queda por lo tanto calcular
h(x) =
−1
L
= h(x) − H π /2 (x) ⋅ h(x − π / 2) + 4)
1 2 2 s ⋅ (s
. Descomponiendo en fracciones + 4)
simples, y teniendo en cuenta la linealidad de la transformada inversa: h(x) =
1 4
−1
⋅L
1 1 1 −1 1 1 2 − ⋅ L 2 = ⋅ x − ⋅ sen(2x) 8 s 4 s + 4 4
con lo que la solución buscada quedará:
IV Transformada de Laplace
82
π 1 1 ⋅ − ⋅ ≤ x sen(2x) 0 x< 4 8 2 y(x) = 1 ⋅ x − 1 ⋅ sen(2x) − 1 ⋅ x − π + 1 ⋅ sen(2x − π ) = π − 1 ⋅ sen(2x) x ≥ π 4 8 4 2 8 8 4 2
Ejemplo 3: Resolvamos a continuación el sistema lineal de primer orden siguiente:
1 −1 X′ = ⋅X 1 3
1 −2
con X(0) =
Para ello, escribimos este sistema en la forma:
x1′ = x1 − x 2 ⇒ (tomando transformadas de Laplace en cada ecuación y considerando ′ x x 3x = + 1 2 2
(1 − s) ⋅ L {x } − L {x } = −1 1 2 las condiciones iniciales x 1(0) = 1, x 2(0) = -2) ⇒ . L {x1 } + (3 − s) ⋅ L {x 2 } = 2 Resolviendo este sistema algebraico: L
{x } = s −1 1 + (s − 22)s −⋅ (3s − 1) 1
,
2
L
2s {x } = (3s −− 2) 2
2
Descomponiendo en fracciones simples: L
{x } = s −1 2 + (s −1 2) 1
2
,
L
1 {x } = (s − − 2) 2
2
y tomando finalmente inversas: x1 = e
2x
+ x ⋅e
2x
,
x2 = −x ⋅ e
2x
− 2e
2x
−
2 s−2
IV Transformada de Laplace
83
EJERCICIOS 1.- Encontrar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: a) f (t) = e a t cosh(bt)
Solución:
b) f (t) = ea tsenh(bt)
Solución:
c) f (t) = ea t ⋅ t
Solución:
d)
Solución:
⋅
⋅
⋅
e) f)
f (t) = t ⋅ sen(at)
f (t) = t ⋅ cosh(at)
f (t) = ea ⋅t ⋅ t n
g)
2
f (t) = x ⋅ sen(2x)
Solución: Solución: Solución:
s−a
∀s > a + b
(s − a) 2 − b 2 b
∀s > a + b
(s − a) 2 − b 2 1
∀s > a
(s − a) 2 2⋅a ⋅s
(a
2
+s
∀s > 0
2 2
)
a 2 + s2
(s
2
−a
∀s > a
2 2
)
n!
∀s > a
(s − a) n +1
4(3s 2 − 4)
∀s > 0
(s 2 + 4)3
2.- Encontrar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: a)
F(s) =
b)
F(s) =
c)
F(s) =
d)
F(s) =
e)
F(s) =
f)
F(s) =
g)
F(s) =
h) F(s) =
3
Solución: f (t) = 3 2 sen(2t)
2
s +4 4 (s − 1)
3
2 2
s + 3s − 4 3s 2
s −s−6 2s+2 2
s + 2s + 5 2s − 3 2
s −4 2s+1 2
s − 2s + 2
8s 2 − 4s +12 s(s 2 + 4)
Solución:
f (t)=2 ⋅ e t ⋅ t 2
Solución:
f (t)= −
Solución:
f (t)=
Solución:
f ( t)= 2e-t cos ( 2t )
Solución:
f (t)=
Solución:
f (t)=2 ⋅ et ⋅ cos(t)+3⋅ et ⋅ sen(t)
Solución:
f(t)=3+5cos(2t)-2sen(2t)
9 5
2 5
e−4t +
e3t +
6 5
2 5
et
e-2t
1
7 e2t + e-2t 4 4
IV Transformada de Laplace
i)
F(s)=
j)
F(s)=
k)
84
1 − 2s 2
s +4s+5 2s − 3 2
s +2s+10
F(s)=
s 2
2
(s + 1) (s + 1)
Solución:
f(t) = −2e−2t cos(t) + 5e−2t sen(t)
Solución:
f(t) = 2e− t cos(3t) −
Solución:
f(t) =
1 2
sen(x) −
1 2
5 3
e− t sen(3t)
⋅ x ⋅ e− x
3.- Encontrar la transformada de Laplace de cada una de las funciones siguientes: t<2 0 a) f(t)= 2 (t-2) t ≥ 2
0 b) f (t)= t-π 0
Solución:
F(s) =
t< π π ≤ t<2 π
f(t) = H1 (t) + 2H3 (t) − 6H4 (t)
Solución: F(s)=
Solución:
1
d)
f(t) = (t − 3)H2 (t) − (t − 2)H3 (t)
F(s)=
Solución: F(s) =
( s > 0)
s3
e
t ≥ 2π
c)
2 ⋅ e−2s
−π s
s
2
(e s
−e
−s
−2π s
1 2 s
⋅
+
π
s
+2 ⋅ e−3s − 6 ⋅ e−4s )
( s > 0)
( s > 0)
1
e −2s (1 − s) − e−3s (1+ s) ( s > 0) s 2
4.- Encontrar la transformación inversa de Laplace de las siguientes funciones: a) F(s) =
2(s − 1)e −2s
Solución:
2
s − 2s + 2 2e −
f(t) = 2H 2 (t)et − 2 cos(t − 2)
2s
b) F(s) =
Solución: f(t) = H 2 (t) senh(2(t − 2))
s2 − 4 e−
2s
c) F(s) = d) F(s) =
1
Solución: f(t) = H 2 (t)(e t
2
s +s−2
3
s 2s 3s 4s e− + e− − e− − e−
s
−2
−e
−2(t − 2)
)
Solución: f (t)=H1 (t)+H 2 (t) − H 3 (t) − H 4 (t)
5.- Resolver los siguientes problemas de valor inicial usando la transformada de Laplace:
a) y’’+ 2y’+ 5y = 0
y(0) = 2 , y’(0) = -1
b) yiv)- 4y = 0
y(0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = -2 , y’’’(0) = 0
c) y’’- 2y’+ 2y = cos(t) y(0) = 1 , y’(0) = 0 d) y’’- 2y’+ 2y = e-t
y(0) = 0 , y’(0) = 1
IV Transformada de Laplace
85
1
b) y(t) = cos ( 2 t )
Solución: a) y(t) = 2 e t cos(2t) + e t sen(2t) −
−
2
1
2
4
2
5
5
5
5
c) y(t) = cos(t) − sen(t) + e t cos(t) − e t sen(t) d) y(t) =
1
(e 5
−t
t
t
− e cos(t) + 7 ⋅ e sen(t)
)
6.- Resolver los siguientes problemas de valor inicial, utilizando la transformada de Laplace:
−2 1 ⋅ xɶ − 5 4
a) x ' = ɶ
con
1 1 2 b) x ' = 0 2 2 ⋅ x ɶ ɶ −1 1 3
1
x(0) = ɶ 3
2 con x(0) = 0 ɶ 1 1 1
1 1
Solución: a) x = e3t + e ɶ 2 5 2 1
−t
2 0 b) x = 2 / 3 e2t + −2 / 3 e t ɶ 1 0
7.- Encontrar la solución particular de los siguientes problemas de valor inicial usando la transformada de Laplace:
a) y” + 4y = sen(t) - H2π(t)sen(t-2 π) b) y” + y = g(t)
y(0) = 0 , y’(0) = 1
y(0) = 0 , y’(0) = 0
t g (t ) = 1
con
c) y” + y’ + (5/4) y = g(t) y(0) = 0, y’(0)=0
con
0 ≤ t<1 t ≥1
sen(t)
0 ≤ t < π
0
t ≥ π
g(t) =
1
1
Solución: a) y(t) = sen(t) (1 − H 2 (t) ) + sen(2t) (H 2 (t) −1 ) 3
π
6
π
b) y(t) = t − H1(t) ( (t − 1) − sen(t − 1) ) y(t) = f (t) + H π (t) ⋅ f (t − π ) siendo 1 1 c) 16 4 16 − 2 t 4 − 2t f (t) = − cos(t) + sen(t) + e cos(t) + e sen(t) 17 17 17 17
8.- Hallar la solución del problema de valor inicial y"+ 3y '+ 2y = δ ( t − a ) , con
y ( 0) = y ' ( 0) = 0
IV Transformada de Laplace
86
0
Solución: y(t) = H a (t) e − ( t −a ) − e −2( t −a ) =
e
− ( t −a )
0≤ t
−2( t −a )
t >a
9.- Hallar la solución de los siguientes problemas de valor inicial usando la transformada de Laplace:
a) y” + 2y’ + y = δ(t) + H2π(t)
y(0) = 0 , y’(0) = 1
b) y” + y = δ(t-π)cos t
y(0) = 0 , y’(0) = 1
c) y” + 4y = δ(t-π) - δ(t-2π)
y(0) = 0 , y’(0) = 0
Solución: a) y(t) = 2 ⋅ t ⋅ e− t + H 2
π
(t) 1 − e−( t −2π ) − (t − 2π ) e−(t −2π )
b) y(t) = sen(t) [1 − H (t)] π
1
1
c) y(t) = H (t) sen(2t) − H 2 (t) sen(2t) π
2
π
2
10.- Resolver los siguiente problemas de valor inicial (problemas de datos desplazados): a) y” + 2y’ + y = 0 b)
y"+ y = 2t
y(1) = 0 ,
y’(1) = 1
π π π y = ; ' =2− 2 . 4 2 4
y
Solución: a) y(x) = (x −1) e− (x −1)
b) y(t) = cos(t) − sen(t) + 2t
11.- Resolver la siguiente ecuación no homogénea: y"− 2y '+ y = et + t,
y ( 0 ) = 1,
y ' ( 0) = 0 1
Solución: y(t) = −e t + t 2 ⋅ e t + t + 2 2
