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TRANSFORMACION BILINEAL
Transformación Bilineal D. Vega Rubio
Abstract- The bilinear transformation allows the criteria used in continuous systems are valid for discrete systems. We use the bilinear transform to apply ciriterios as the Routh-Hurwitz in determining the stability of the system to establish stability while using the frequency response we use the transform W, which corresponds to a bilinear transformation but with an added term:T/2. Index Terms- plano S, plano W, transformación bilineal. Resumen- La transformación bilineal permite que los criterios usados en sistemas continuos sean validos para los sistemas discretos . Usamos la transformada bilineal para poder aplicar criterios como el de routh -hurwitz en la determinación de estabilidad del sistema mientras que para establecer estabilidad usando la respuesta en frecuencia usamos la transformada W , que equivale a una transformación bilineal pero con un termino agregado: T/2 Palabras claves- plano S, plano W, transformación bilineal.
I. INTRODUCCIÓN
L
as técnicas usadas para el análisis de sistemas de tiempo continuo no pueden ser aplicadas de forma directa para los sistemas de tiempo discreto . Para poder usar estas técnicas debemos hacer uso de la transformación bilineal.
Fig1.Regiones de estabilidad e inestabilidad en el plano z
Recordemos que en el plano Z la región de estabilidad es el interior del circulo unitario cuyo centro es el origen. En cambio,para los sistemas continuos, la región de estabilidad es el semiplano izquierdo del plano S. Es por esto que las herramientas usadas para calcular la estabilidad en sistemas continuos no pueden ser usadas directamente en sistemas discretos no sin antes realizar una transformación bilineal. La transformación bilineal , matemáticamente se define como:
Z=
Informe recibido el 30 de julio,2012(treinta de julio de dos mil doce) como parte del segundo parcial de la asignatura de controles II, Universidad Autónoma del Caribe. D. Vega , Estudiante de ingeniería electrónica y telecomunicaciones, Universidad Autónoma del Caribe,
[email protected].
II. TRANSFORMACION BILINEAL La transformación bilineal es una técnica usada en sistemas discretos para que que estos se “parezcan “a los sistemas continuos y así poder utilizar los criterios de estabilidad (routh -hurwitz, margenes de estabilidad usando respuesta en frecuencia) aplicados en sistemas de tiempo continuo.
w+1 w−1
(1)
Se llama transformación bilineal porque al despejar w nos resulta una expresión similar:
w=
z+1 z−1
(2)
Al realizar una transformación bilineal , el interior del circulo unitario ( ∣z∣<1 ) en el plano Z corresponde al semiplano izquierdo del plano W. El circulo unitario(circunferencia mas o interior) corresponde al eje imaginario en el plano w , y la parte externa del del circulo unitario en el plano z corresponde al semiplano derecho del plano w.
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TRANSFORMACION BILINEAL
V.REFERENCIAS III.EJEMPLO DE UNA TRANSFORMACIÓN BILINEAL Supongamos tener una función de transferencia con la siguiente ecuación característica:
P (z )=z 3−1.3z2 −0.08z+0.24=0
(3)
Utilizamos la transformación bilineal para determinar la estabilidad del sistema usando el criterio de routh -hurwitz. Para ello reemplazamos z por
3
P ( z)=(
w+1 . w−1
2
w+1 w+1 w+1 ) −1.3( ) −0.08( )+0.24=0 w−1 w−1 w−1
(4)
Al simplificar la ecuación multiplicando ambos términos por (w−1)3 obtenemos:
−0.14w 3+1.06w 2+5.10w+1.98=0
(5)
Si dividimos ambos miembros de la ecuación entre -0.14,obtenemos :
w 3−7.571w 2 −36.43w −14.14=0
(6)
Ya con esta ecuación podemos aplicar el criterio de routh para establecer la estabilidad del sistema. Para el análisis e sistemas de tiempo discreto en el dominio de la frecuencia se utiliza la llamada transformada w, que nos es mas que una transformación bilineal definida por:
Z=
1+( Τ/2)W 1−( Τ/2)W
(7)
Donde T es el sistema de control de nuestro sistema. Observe que la ecuación (7) se convierte en la ecuación (1) si T=2. IV.CONCLUSIONES La transformación bilineal es una técnica muy importante ya que nos permite analizar y determinar la estabilidad de los sistemas discretos usando las mismas técnicas aplicadas en sistemas continuos.
[1] Sistemas de control en tiempo discreto,2nd ed.,K.Ogata, prentice hall hispanoamericana, pp. 228-231,191-194. [2] sistemas de control automático,7th de..,B. Kuo,person prentice hall,pp 345-347. [3]análisis de sistemas dinámicos ,Dr. Oscar duarte , Universidad Nacional de Colombia, disponible en: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecc iones/realimenta/node4.html#SECTION005310000000000000 00
