Universidad Nacional de Cajamarca.
Análisis matemático III
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA SEDE JAÉN FACULTA D E INGENIERIA. ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL.
TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACI ÓN DE COORDENADAS Y SECCIONES CÓNICAS. Alumno: AREVALO CORDOVA CORDOVA Romel Adonis. Adonis.
Asignatura: Análisis matemático matemático III.
Docente: Lic. Heladio Sánchez Sánchez Culqui.
Año académico: er
2 año
Ciclo: IV Ciclo
Jaén-Perú 2014
Transformación de coordenadas y secciones conicas.
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A. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.
I.
Fórmulas de transformación transformación de coordenadas. En este capítulo consideraremos transformaciones de coordenadas en lo que respecta a la traslación y a la rotación de los ejes coordenados originales , para lo cuál el plano permanecerá fijo. Es decir, los puntos, rectas y gráficas en general no se moverán mediante una translación o rotación de los ejes coordenados. Lo que cambiará serán sus representaciones representaciones (como las de los pares ordenados, ecuaciones) con respecto a los nuevos es coordenados. Tomemos como ejemplo dos sistemas de ejes coordenados y , como en la siguiente figura, y consideremos un punto fijo . Supongamos que este punto referido a los ejes tiene las coordenadas.
̅ ̅
Consideremos que los ejes originales han sido rotados mediante el vector unitario de rotación y trasladados al nuevo origen denominado vector de traslación, obteniéndose los nuevos ejes coordenados , entonces el mismo punto , tendrá las coordenadas:
Es decir, unidades een eel eje Además, se tiene que:
,y
unidades en el eje
.
Generalizamos este procedimiento mediante la siguiente figura.
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En esta última figura el vector unitario es originado por la rotación del EJE X en el ángulo . El nuevo origen representa al VECTOR TRASLACIÓN, mientras que el vector representa la ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS. Así (ver la figura) obtenemos obtenemos la siguiente FÓRMULA DE TRANSFORMACIÓN: TRANSFORMACIÓN:
‖‖ OBSERVACIONES. a) Si la transformación consiste de ROTACIÓN PURA (solamente rotación), entonces , y la fórmula correspondiente se convierte en :
……………………….ROTACIÓN
b) Si la transformación consiste de TRANSLACIÓN PURA (sin rotación), entonces y , lo que indica que el EJE X no ha sido rotado, y por lo tanto que si
̅ ̅ ̅ {
Es decir,
Las fórmulas de transformación inversa que expresan las coordenadas en términos de las coordenadas coor denadas originales , see pueden despejar de , multiplicando escalarmente: primero po , y luego por : (fórmulas inversas).
[ ]
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[ ]
Problema: Encuentre Problema: Encuentre las nuevas coordenadas del punto si es que los ejes coordenados han sido rotados en y luego trasladados al nuevo origen . Solución:
√ [ ] [ ] √ [ ] [ ] √ √
Entonces:
Problema: Halle Problema: Halle la ecuación en el Nuevo sistema de una recta recta cuya ecuación en las coordenadas originales es L: y = x + 3 X, Y, han sido rotados en 45° (anti horario).
√
cuando los ejes
Solución: Este problema es muy muy ilustrativo pues la recta recta L dada, según los datos hace un ángulo ángulo de 45° con con el el eje eje X, de modo modo que que en el sistema sistema X’, Y’ esta recta será horizontal. Así, L tendrá la ecuación: ecuación:
Y vemos que este es un problema de rotación pura con
√ √ √ √ √ √ √
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y
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Y que al reemplazar en la ecuación L:
√ √ √
√
2y’=6
se obtiene
y’=3
sistema XY . si el origen de las Problema: Sea la recta L: 4X+3Y =12 en el sistema
coordenadas se desplaza desplaza hasta el punto (5,4) en cuentre la rotacion de manera de obtener nuevos ejes coordenados X’ Y’ en los que la recta l sea vertical. Halle la nueva ecuacion L: SOLUCION:
Hallaremos una de ellas como en la figura que indica que, siendo
Ello implica que:
Remplazando en Obtenemos que viene a ser una recta vertical en el sistema sistema Se invita al lector a encontrar la otra solución posible po sible para este problema.
Problema: Halle la ecuación transformadora de la curva coordenados son rotados en 45°
, si los ejes
Solución:
√ √ ,
,
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, de donde
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√ √ √ √
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Y al reemplazar en x y = 4
Una particularidad de este problema es que la ecuación original de la curva contenía el TERMINO MIXTO x y y que al anotar los ejes se consigue una ecuación transformada que que ya no contiene el TERMINO MIXTO xý ´ II.
FORMULAS CLÁSICAS DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. C OORDENADAS.
En geometría Analítica Clásica, cuando los ejes cartesianos XY son rotados en un ángulo θ y trasladadas a un nuevo origen ), generando un nuevo sistema de coordenadas X¨Y. las formulas DIRECTAS de TRANSFORMACION TRANSFORMACION DE COORDENADAS son:
X=
Y=
…(*)
Y en caso de existir solamente la rotación de los ejes en un ángulo θ, es decir = (0. 0) entonces
X=
Y=
…(**)
Sin embargo, ambas fórmulas (*) y (**) vienen a ser las mismas FORMULAS VECTORIALES DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [Pág. 327], donde el vector unitario de rotación está dado por ū = (Cosθ , Sen θ ). Las que al ser expresadas en forma cartesiana, desde la forma vectorial, resultan: (x , y) = )+ + (x , y) = + , +
Y en caso solamente ROTACION (x , y) = ,
)= (0. 0) Y )
Asimismo las FORMULAS INVERSAS (CLASICAS) de Transformación de coordenadas están dadas por [Pág. 328]:
X´= Y´=
)
)
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…(*)´
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Donde θ es el ángulo de rotación de los ejes XY , y origen. Y en caso de existir solamente la ROTACION entonces entonces X´= Y´=
) es el nuevo
…(**)´
Ejercicio: Ejercicio: Halle todas las rotaciones de coordenadas que transformen la Ecuación en
Solución:
⃗ ,
donde
Reemplazando en
La expresión se ha obtenido de la expresión previa multiplicándola por 2 pues debemos identificar sus coeficientes con los de la ecuación.
√ √ √ √ Y como el coeficiente del termino mixto IGUAL A CERO en ( ) entonces 6
DEBE SER
………. (1)
Identificando los otros coeficientes de ( ) resulta también que: ………(2)
De (1) y (2):
Y también
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√ √ √
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√
Por lo tanto de los ejes XY deben ser rotados ya sea en sentido anti horario) para obtener la ecuación
o en
Ejercicio: Halle Ejercicio: Halle la ecuación transformada de la ecuación los ejes coordenados coordenados son rotados un Angulo
(en
si
Solución:
√ ⃗
,
√
√ √ √ √ Reemplazando
estas
componentes
en
la
√ √ √
ecuación
Que representa una recta horizontal en el nuevo sistema de ejes coordenados. Transformación de coordenadas y secciones conicas.
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Por rotación de
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de los ejes coordenados cierta ecuación se transformo halle la ecuación original original en el sistema sistema
√ √ √ ⃗ √ √ ( ) Y remplazamos remplaza mos estas expresiones en
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B. SECCIONES CÓNICAS. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. I. TIPOS: 1. LA PARABOLA. ECUACION DE LA PARABOLA.
Dada una recta fija L y un punto punto fijo F no pertenece a L , se define LA PARABOLA P como el conjunto de todos todos aquellos puntos puntos P(x, y) cuya distancia al punto fijo fijo F es igual a su distancia distancia a la recta fija fija L llamada recta directriz: es decir , tales tales que
[ ] [ ] Al punto fijo F se le llama el foco foco de la parábola.
De la definición previa se tiene que la excentricidad excentricidad e de cualquier cualquier parábola que es precisamente el valor valor del cociente de estas estas dos distancias, es igual a 1. Transformación de coordenadas y secciones conicas.
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En toda parábola, en general se tiene los siguientes puntos y segmentos característicos:
L: Recta directriz (con ecuación x’= -p);
F: Foco
V: Vértice (nuevo origen de las coordenadas X’ Y’)
P: Parámetro de la parábola
Le la definición se deduce que si hacemos P= V, entonces se tiene que
[ ] [ ] ||
Es decir, “la distancia distancia del vértice V al foco F es es igual a la distancia del del vértice V a la recta directriz L” NOTA: El eje x’ sigue la dirección del vector unitario y se le llama eje o eje focal de la parábola.
de rotación de coordenadas coordenadas
1.1. Ecuación de la parábola: Hallaremos la ecuación ecuación estándar de una parábola parábola en el sistema sistema de ejes x’ y’ , que luego podría ser transformada a las coordenadas originales de acuerdo a lo que convenga mediante las fórmulas fórmulas de cambio cambio de coordenadas siguientes:
[ ] [ [ ]
Donde el vértice V corresponde a la traslación (orig en del nuevo sistema (X’ Y’), y al vector unitario de rotación de coordenadas. De la figura 3 da ecuación vectorial de la recta directriz tiene la forma: L: Y de
Remplazando en la relación:
[ ] [ ]
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o también en
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De esta manera, un punto P esta sobre la la parábola P si y solo si P satisface satisface
‖‖ Que
1.2.
es
llamada
una
ecuación
vectorial
de
……………(*) la parábola, donde
Ecuación de la parábola con eje focal paralelo paralelo al eje X.
̅
̅
Corresponde al caso (no hay rotación de ejes), es el vértice vértice que corresponde a la traslación, traslación, entonces entonces remplazando remplazando en (*):
̅
Que es la ecuación de una parábola con eje focal paralelo paralelo al eje X, con
Vemos que para la misma ecuación: si la parábola se abre hacia la derecha, si P< 0 entonces la parábola se abre hacia la izquierda.
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1.3.
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Ecuación de la parábola con eje focal paralelo paralelo al eje Y.
̅
̅
Corresponde al caso (rotación de 90°), es el vértice que corresponde a la traslación traslación de ejes, entonces: entonces:
Remplazamos estos valores en la ecuación (*) : ecuación
y obtenemos la
Que es la ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje Y. En tal caso,
̅
Vemos que para la misma ecuación Si p>0 , la parábola se abre hacia arriba, y Si p<0, la parábola se abre hacia abajo.
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1.4. Aplicaciones. Hallar la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y 24 metros de base, situado a una distancia de 8 metros del centro del arco. Solución: Tomemos el eje x en la base del arco y el origen en el punto medio. La ecuación de la forma: O bien:
La curva pasa por el punto (12,0), sustituyendo estas coordenadas en la ecuación se obtiene, a= - 2, por consiguiente:
Para hallar la altura del arco a 8 metros del centro se sustituye x=8 en la ecuación y se despeja el valor de y. Por tanto, de donde y es igual a 10 metros. EL arco simple más resistente es de la forma parabólica. Por lo tanto la altura es 10.
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2. LA ELIPSE. ECUACION DE LA ELIPSE.
Dados dos puntos fijos F1 Y F2 llamados focos, (F1 F2) separados por una distancia 2c , y dada una constante a>c>0 , se se define la elipse como el conjunto de todos aquellos puntos P tales que la suma de las distancias de P a los focos F1 y F2 es constante y siempre igual a 2a
Es decir, tales que:
[ ] [ ] ‖ ‖ ‖ ‖
O en forma equivalente, tales que
2.1.
Representación de una elipse:
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Puntos y segmentos característicos: C= (h, k): k): centro de la elipse. elipse. , : Vértices. : Eje mayor. : Eje menor. : Eje focal
: Focos.
2.2. Rectas directrices. Dos rectas L1 L1 Y L2 se llaman rectas directrices directrices de la elipse elipse ε , correspondientes correspondientes a los focos F1 y F2 respectivamente, respectivamente, si es que son perpendiculares perpendiculares al eje focal focal de ε y no cortan al segmento , y si es que existe una constante e (llamada ecentricidad de la elipse) elipse) tal que para todo todo punto punto P E ε se tiene que: que:
[ ] [ ] [ ] [ ]
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2.3. Ecuación general general de la elipse. A) Primer método: Dado
Reemplazando (α) en (β) en la definición: , es decir
‖ ‖ ‖ ‖ [ ]
Luego , un punto P= (x,y) (x,y) pertenece ala elipse ε si es que para el vector unitario de rotacion rotacion de ejes ejes coordenados coordenados , se tiene tiene que
‖‖ [ ] [ [ ] [ Donde:
….. (*)
Con Que es llamada la ecuación vectorial de la elipse, donde
De la figura previa vemos que q ue si C= (h, k) es el centro de ε y si P=(x, y), entonces ….. Vertices ….. Extremos del eje menor …… focos
L:
…… directrices.
Y donde: x’= (P-C). (P -C). , P= (x, y).
2.4.
Aplicaciones:
Hallar la ecuación de la elipse cuya directriz es la recta x= -1, uno de los focos el punto (4, -3) y excentricidad excentricidad 2/3.
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Solución De la ecuación general de la sección cónica, si PF/PM= e y e< 1la curva es una elipse. Por consiguiente,
Elevando al cuadrado y simplificando, tenemos: Completando cuadrados:
Es decir: O bien,
+
Por lo tanto la ecuación es:
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+
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3. HIPÉRBOLA.
Es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos F(c, 0) es constante constante igual a 2a
Sea P(x, y) un punto genérico cualquiera de la curva.
Por definición, F´P – F´P –PF=2a, PF=2a, o bien Transponiendo un radical:
-
=2a
= 2a -
Elevando al cuadrado y reduciendo términos: cxElevando al cuadrado y simplificando: Dividiendo por Como a>c, en la forma:
se obtiene la ecuación ecuación
es positivo. Haciendo
=
-
, resulta la ecuación de la elipse
- Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, c) y (0, -c), el eje mayor estaría sobre el eje y, con la ecuación resulta de la forma: Transformación de coordenadas y secciones conicas.
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-
La expresión general de la hipérbola de centro en el origen y cuyos focos esté sobre los ejes de coordenadas es A X2 +By2= ± 1, correspondiendo al signo más cuando los focos pertenezcan al eje x. Como esta ecuación solo contiene potencias pares de x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y, y con respecto al origen. El eje real o transversal de la hipérbola es A´A de longitud igual a 2a. El eje imaginario es B´B de longitud 2b.
√
La excentricidad e = c/a = /a, Como vemos que e>1, lo cual coincide con la definición general de sección cónica. Las ecuaciones de las directrices, DD y D’D, son
cuando los focos están sobre el eje x; e y =
cuando esté sobre el eje y.
Los vértices reales de la hipérbola son los puntos en los que la curva corta al eje real. Los otros dos vértices son imaginarios.
La longitud es
Las ecuaciones de las asíntotas son: Y= Y=
cuando el eje real o transversal es el eje x cuando el eje real o transversal es el eje y
Si el centro de la elipse es (h; k) y el eje mayor tiene la dirección en el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:
- O bien,
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- Si el eje mayor fuera paralelo al eje y, en cualquier caso la formula general de la elipse es:
Siempre que Ay B sean del mismo signo.
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