Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones
Resistencia de Materiales Tema 7 Estados de Esfuerzos y Deformaciones
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Índice de contenido
Índice de contenido •Sección 1 - Estado general de esfuerzos •Sección 2 - Transformación de esfuerzos planos •Sección 3 - Esfuerzos Principales •Sección 4 - Estado plano de deformación •Sección 5 - Transformación de deformaciones planas •Sección 6 - Deformaciones principales •Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana •Sección 8 - Círculo de Mohr _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Índice de contenido
Índice de contenido •Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación •Sección 10 – Rosetas de Deformación •Sección 11 – Resumen de Ecuaciones •Sección 12 - Ejercicios
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos
Estado general de esfuerzos En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una sección transversal de un miembro cuando se somete a carga axial, fuerza cortante, momento flector y/o momento torsor. Si consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que éste tiene seis caras, y que en cada una de ellas puede existir un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes. En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras c aras visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la misma magnitud y sentido contrario para que el elemento esté est é equilibrado.
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos
En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como se muestra en en la figura. figura. Note que en el elemento elemento diferencial diferencial tridimensional tridimensional sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al caso anterior.
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Transformación Transforma ción de esfuerzos planos Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él, deben aparecer aparecer en el el plano de corte un un esfuerzo normal ( σ θ ) y uno cortante (τ xy ) para que el elemento se mantenga en en equilibrio. equilibrio. El ángulo θ indica la dirección normal al plano de corte.
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos establezcamos las fuerzas fuerzas que ejercen σ x , σ y y τ xy sobre el elemento:
P x=−σ x⋅dy − τ xy⋅dy⋅tan θ
P y =−σ y⋅dy⋅tan θ −τ xy⋅dy
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos obtener el valor del esfuerzo σ θ :
∑
dy F θ =P x⋅cos θ+P y⋅sin θ+σ θ ⋅ =0 cos θ
Luego, al desarrollar la expresión nos queda: 2
2
σ θ =σ x⋅cos θ+σ y⋅sin θ+ 2⋅τ xy⋅sin θ ⋅cos θ Si utilizamos la identidades trigonométricas: 2
cos θ=
1 + cos2θ 2
;
2
sin θ=
1−cos2θ 2
;
2⋅sin θ ⋅cos θ=sen 2θ
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Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Podemos plantear finalmente:
σ θ =
σ x +σ y 2
+
σ x −σ y 2
⋅cos2θ +τ xy⋅sin2θ
Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación θ respecto a la dirección x .
’=θ +90º +90º , nos Si planteamos la misma expresión para un ángulo θ ’= queda:
σ θ' =
σ x +σ y 2
+
σ x− σ y 2
⋅cos ( 2θ + 180 ) +τ xy⋅sin ( 2θ +180 )
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos ( α )+ cos ( α+ 180 )= 0 sin ( α )+ sin ( α+ 180 )=0 Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se cumple:
σ x +σ y =σ θ +σ θ' =ctte Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el esfuerzo cortante sobre el plano θ . Si proyectamos proyectamos ahora las fuerzas fuerzas P x y P y sobre la dirección θ ’ (perpendicular a θ ), tenemos:
∑
dy F θ' =P x⋅sin θ − P y⋅cos θ+τ θθ' ⋅ =0 cos θ
Desarrollando la expresión nos queda: 2
2
τ θθ' =−( σ x −σ y )⋅cos θ ⋅ senθ − τ xy⋅sin θ+τ xy⋅cos θ Recordando las identidades trigonométricas: 2
cos θ=
1 + cos2θ 2
2
;
sin θ=
1−cos2θ 2
;
2⋅sin θ ⋅cos θ=sen 2θ
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Podemos plantear finalmente:
τ θθ' =−
σ x −σ y 2
⋅sin2θ +τ xy⋅cos2θ
Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación θ respecto a la dirección x .
’=θ +90º +90º , nos Si planteamos la misma expresión para un ángulo θ ’= queda:
τ θ'θ =−
σ x −σ y 2
⋅sin ( 2θ +180) +τ xy⋅cos( 2θ +180 )
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos
Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos ( α )+ cos ( α+ 180 )= 0 sin ( α )+ sin ( α+ 180 )=0 Si sumamos los esfuerzos cortantes para θ y θ ‘ veremos que se cumple:
τ θθ' +τ θ'θ =0
;
τ θθ' =−τ θ'θ
Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el el esfuerzo cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro plano ocurre al revés. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Esfuerzos Principales En el diseño y análisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere determinar los esfuerzos máximos en un elemento para garantizar la seguridad del miembro cargado. La ecuación que muestra la variación del esfuerzo en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable θ . Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de los esfuerzos máximos:
dσ θ
d σ x +σ y = 2 dθ dθ
d σ x−σ y + ⋅cos2θ 2 dθ
d + τ xy⋅sin2θ dθ
(
)
De lo que resulta:
dσ θ dθ
=
σ x − σ y 2
⋅2⋅sin2θ +τ xy⋅2⋅cos2θ
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máximos y minimos, queda:
−2⋅τ xy tan2θ p = σ x− σ y Donde θp es la orientación del plano plano principal. principal. Recordando que la la función tanθ se repite cada 180º, la función tan2 θ θ se repetiría cada 90º, por lo que habrían dos soluciones. soluciones. La ecuación ecuación anterior anterior podemos podemos visualizarla también de la forma:
−2⋅τ xy = cos2θ p σ x −σ y sin2θ p
Donde el término -2 τ τ xy representaría el cateto opuesto de un triángulo rectángulo con ángulo interno 2 θ θ p , y el término σ x -σ y representaría el cateto adyacente. __________________________________________________ _______________________________________________ ______________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Podemos entonces hacer una representación de ese triángulo y hallar las expresiones para sin2 θ θ y cos2 θ θ. De la figura puede definirse la hipotenusa de triángulo:
H=
√
σ x −σ y
2
2
+τ xy 2
Finalmente, se puede plantear para θ p1:
sin2θ p1=
τ xy H
;
cos2θ p1 =
σ x +σ y 2⋅ H
Para θ p2 las expresiones serían las mismas, pero con signo _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ contrario. Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Al introducir estas expresiones expresiones en la ecuación de σ θ , obtenemos:
σ 1,2 =
σ x +σ y 2
)
±
σ x −σ y 2
)
σ x +σ y
⋅
τ xy
2
± τ xy⋅
H
H
Finalmente queda:
σ 1,2 =
σ x +σ y 2
±
√(
σ x −σ y 2
2
+τ xy2
Donde σp1,2 son los esfuerzos de mayor magnitud que pueden darse en el elemento diferencial y se denominan esfuerzos principales. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Si sustituimos sin(2 θ θ p1,2 ) y cos(2 θ θ p1,2 ) en la expresión referente a τθθ’, obtenemos:
τ θp θp 1
2
( )( )
=∓
σ x −σ y
τ xy
2
H
σ x −σ y
±τ xy
2
H
=0
Esto quiere decir que en los planos principales, sólo existen esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo.
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
También podemos obtener expresiones para determinar los esfuerzos cortantes máximos máximos en el elemento. elemento. Si derivamos la expresión del esfuerzo cortante que depende del ángulo θ :
dτ θθ' dθ
( σ x −σ y ) = ⋅2⋅cos2θ +τ xy⋅(− 2⋅ sen 2θ )= 0 2
Finalmente queda:
tan2θ p =
sin2θ p cos2θ p
=
σ x− σ y 2⋅τ xy
De forma análoga al caso de esfuerzos normales principales, existen dos ángulos solución solución para esta ecuación. Podemos establecer establecer las expresiones para sin2 θ θ p y para cos2 θ θ p . _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Se cumple que:
H=
√
σ x −σ y 2
2
+τ xy 2
Por lo tanto:
cos2θ =
τ xy
sin2θ =
H
σ x +σ y 2⋅ H
Al sustituir esta expresión en la expresión expresión de τθθ’, nos queda:
τ max=
√(
σ x− σ y 2
2
+τ xy 2
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Si sustituimos sin(2 θ θ ) y cos(2 θ θ ) en la expresión referente a σθ, obtenemos:
σ θ =σ θ' =
σ x +σ y 2
=σ prom
Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es máximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal promedio (σ prom).
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales
Si sustituimos sin(2 θ θ ) y cos(2 θ θ ) en la expresión referente a σθ, obtenemos:
σ θ =σ θ' =
σ x +σ y 2
=σ prom
Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es máximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal promedio (σ prom).
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 4 - Estado plano de deformaciones
Estado plano de deformaciones Si consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo deformaciones normales unitarias ( ε ). ). El esfuerzo cortante distorsionará el elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres (γ ). deformaciones, como se muestra en la figura.
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Transformación de deformaciones planas Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier dirección en un elemento diferencial deformado.
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección θ , como se muestra muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los alargamientos totales en las direcciones x e y , despreciando los términos que resulten muy pequeños:
δ x =ε x⋅dx+
γ xy 2
⋅dx⋅tan θ
δ y =ε y⋅dx⋅tan θ+
γ xy 2
⋅dx
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
El alargamiento en la dirección x’ viene dado por la proyección de x y δ y y sobre dicha dirección. Y la deformación unitaria las deformaciones δ normal, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. deformado. Podemos entonces establecer que:
ε θ =
δ x' dx'
δx cos θ+δy⋅sin θ = ⋅ dx cos θ
Al desarrollar esta expresión, expresión, nos queda: 2
ε θ =ε x⋅cos θ+
γ xy 2
2
⋅sin⋅cos θ+ε y⋅sin θ+
γ xy 2
⋅sin θ ⋅cos θ
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Utilizando las identidades trigonométricas: 2
cos θ=
1 + cos2θ 2
2
sin θ=
;
1−cos2θ 2
;
2⋅sin θ ⋅cos θ=sen 2θ
Obtenemos finalmente:
ε θ =
ε x +ε y 2
+
ε x − ε y 2
⋅cos2θ +
γ xy 2
⋅sin2θ
De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos normales, para esta expresión también se cumple que:
ε x +ε y =εθ +ε θ' _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
x y δ y y sobre una Ahora, proyectaremos las deformaciones δ dirección perpendicular a x’. Y la deformación unitaria tangencial, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial diferencial antes de ser deformado. deformado. Podemos entonces establecer que:
γ θθ' =
δ y' dx'
=
δx⋅cos ( θ+ 90 ) +δy⋅sin ( θ+ 90 ) dx cos θ
Al desarrollar esta expresión, expresión, nos queda:
γ θθ' =− ε x⋅cos θ ⋅sin θ −
γ xy 2
2
⋅sin θ+ε y⋅sin θ ⋅cos θ+
γ xy 2
⋅cos 2 θ
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Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas
Utilizando las identidades trigonométricas: 2
cos θ=
1 + cos2θ 2
2
;
sin θ=
1−cos2θ ;
2
2⋅sin θ ⋅cos θ=sen 2θ
Obtenemos finalmente:
γ θθ' =
ε x − ε y 2
⋅sin2θ +
γ xy 2
⋅cos2θ
De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos cortantes, para esta expresión también se cumple que:
γ θθ' =− γ θ'θ Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos perpendiculares,, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos. perpendiculares _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales
Deformaciones Principales La ecuación que muestra la variación de las deformaciones en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable θ . Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de las deformaciones máximas:
dε θ
d ε x +ε y = 2 dθ dθ
d ε x− ε y + ⋅cos2θ 2 dθ
d γ xy + ⋅sin2θ dθ 2
De lo que resulta:
dε θ dθ
=
ε x− ε y 2
⋅2⋅sin2θ +
γ xy 2
⋅2⋅cos2θ
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales
Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máximos y minimos, queda:
−γ xy tan2θ p = ε x− ε y Donde θp es la orientación del plano plano principal. principal. Observemos que que la solución de esta ecuación es igual que aquella de la ecuación relativa a los esfuerzos principales, si consideramos las siguiente s iguiente sustituciones:
σ x → ε x
σ y → ε y
;
τ xy →
;
γ xy 2
Entonces, podemos establecer la expresión para deformaciones principales:
ε 1,2 =
ε x +ε y 2
±
√
ε x− ε y 2
2
+
γ xy 2
2
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Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales
Análogamente, la ecuación para determinar las deformaciones tangenciales máximas sería:
γ max 2
=
√
ε x − ε y 2
2
+
γ xy
2
2
De igual forma que en el caso de esfuerzos principales, en los planos donde ocurre la deformación unitaria normal máxima, la deformación unitaria tangencial tangencial es nula. Y en los los planos donde la deformación unitaria unitaria tangencial es máxima, la deformación unitaria normal es ε prom.
ε prom =
ε x +ε y 2
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
Relación entre Esfuerzo y Deformación plana Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de tracción, sufre una deformación normal positiva (ó estiramiento) en la dirección en que se produce dicho esfuerzo, y una contracción en la dirección perpendicular a la que ocurre el mismo. Si por el contrario, el esfuerzo normal es de compresión, el elemento se acortará en la dirección del mismo y se estirará en la dirección perpendicular. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
El alargamiento ó acortamiento que experimenta un elemento diferencial en la dirección perpendicular al esfuerzo, se puede hallar utilizando el módulo de Poisson (ν ). ). En caso de de que el esfuerzo se produzca en la dirección x , la deformación que sufriría el elemento en la dirección perpendicular (ε y/ σ σ x ) se puede determinar mediante la relación:
σ x
ε yσx =−ν⋅ε x=−ν⋅
E
El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la dirección y, se podría determinar análogamente la deformación en la dirección x :
σ x
ε xσy =−ν⋅ε yσy=−ν⋅ E _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
Entonces, la deformación unitario normal resultante en una dirección depende no sólo del esfuerzo normal en la misma dirección, sino también del esfuerzo normal que actúa perpendicularmente al anterior. Podemos entonces plantear una expresión para la deformación resultante en la dirección x , dado un elemento diferencial sometido a esfuerzos normales en las direcciones x e y :
ε x =ε xσx +ε xσy Al desarrollar esto, nos queda: queda:
ε x =
1
E
( σ x− ν⋅σ y )
Análogamente, podemos podemos establecer una expresión expresión para ε y :
ε y=
1
E
( σ y− ν⋅σ x )
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana
Las expresiones anteriores nos permiten determinar las deformaciones unitarias en las direcciones x e y , conocidos los esfuerzos normales en estas direcciones. También podemos expresar estas ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en función de las deformaciones. deformaciones. Para el esfuerzo esfuerzo normal en la dirección dirección x, tendríamos:
σ x =
E 2
( 1− ν )
( ε x +ν⋅ε y )
Y para el esfuerzo normal en la dirección y :
σ x =
E 2
( 1− ν )
( ε y +ν⋅ε x )
Note que el esfuerzo normal también depende de deformaciones que ocurren en su dirección paralela y perpendicular.
las
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Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Círculo de Mohr Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo Plano Observemos las ecuaciones que describen cómo varían los esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el que actúen:
σ θ −
σ x +σ y 2
=+
τ θθ' =−
σ x −σ y 2
σ x −σ y 2
⋅cos2θ +τ xy⋅sin2θ
⋅sin2θ +τ xy⋅cos2θ
Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos, queda:
[ ( )] σ θ −
σ x +σ y 2
2
(
+τ θθ' 2=
σ x −σ y 2
)
2
+τ xy 2
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de términos constantes, podemos escribirla de la forma:
R2 =
σ x −σ y 2
2
+τ xy2
De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma: 2
2 − σ σ +τ =R 2 [ θ prom ] θθ'
Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se conoce como el Círculo de Mohr . Cada uno uno de los puntos puntos que que conforman conforman esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Método para graficar el círculo de Mohr A continuación describiremos un procedimiento para graficar el círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de esfuerzos. Su tomarán la siguiente convenciones: - Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos cortantes en la ordenada. - Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte derecha de la abscisa. - Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de acción hacen girar al elemento en sentido contrario c ontrario a las agujas del reloj. - Los esfuerzos cortantes cortantes positivos se ubicarán ubicarán en la parte superior superior de las ordenadas. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Los pasos a seguir son: 1. Graficar los puntos (σx,τxy) y (σy,τyx), que indican los esfuerzos que actúan sobre los planos x e y respectivamente. Note que en este caso, τxy hace girar al elemento en sentido antihorario y τyx lo hace girar en sentido contrario, por lo cual el primero se ubica en el sector positivo de las ordenadas, siguiendo la convención establecida. También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos esfuerzos normales (σx y σy) son de tracción.
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
2. Trazar una una línea que una una los puntos (σx,τxy) y (σy,τyx) y definir la dirección x , como se muestra. Observe que la línea trazada trazada corta el el eje de las abscisas en el valor σprom. 3. Con centro en el punto (σprom,0), trazar una circunferencia que pase por los puntos ( σx,τxy) y (σy,τyx).
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los parámetros σx, σy y τxy, pero a partir de él pueden determinarse de forma rápida precisa: - El esfuerzo esfuerzo normal normal y cortante para cualquier plano del elemento diferencial. - Los esfuerzos principales (σ1 y σ2). - Las orientaciones orientaciones de los planos planos donde ocurren los esfuerzos principales principales (θp1 y θp2). - El esfuerzo esfuerzo cortante cortante máximos máximos (τmax) - Las orientaciones orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ máximo. Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con dirección θ, se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un ángulo igual a 2θ respecto al eje x . Las coordenadas coordenadas del punto punto de corte son los valores de los esfuerzos σθ y τθθ’ en el plano en cuestión. Es importante acotar que se considerarán positivos los ángulos medidos en sentido antihorario. Note que para el caso mostrado, el esfuerzo σθ es de tracción (+) y el esfuerzo cortante τθθ’ trata de hacer girar el elemento en sentido antihorario, según las convenciones establecidas. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje de las abscisas (σ). Las orientaciones orientaciones de los planos principales se miden desde el eje x hasta el eje horizontal. Note que en los planos donde ocurren los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es nulo. Observe también que para cualquier círculo de Mohr, el ángulo entre los planos principales 1 y 2 siempre es 2θ=180º, es decir, θ=90º. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio perpendicular al eje de las abscisas. Puede observarse que es posible determinar la orientación del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al eje x .
Note que para cualquier círculo de Mohr, entre los planos donde ocurren los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos existe siempre un ángulo 2θ=90º, es decir, θ=45º. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
Círculo de Mohr para Deformación plana Observemos las ecuaciones que describen cómo varían las deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección del plano en el que actúen:
ε θ −
ε x +ε y
=+
2
γ θθ' 2
=−
ε x− ε y 2
ε x −ε y 2
γ xy
⋅cos2θ +
⋅sin2θ +
2
⋅sin2θ
γ xy 2
⋅cos2θ
Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones:
σ x → ε x
;
σ y → ε y
;
τ xy →
γ xy
2 ______ _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr
De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta ecuación puede rescribirse de la siguiente manera:
[ ε θ −ε prom]
2
[ ]
+
γ θθ' 2
2
=R
2
Donde:
R
2
=
ε x −ε y 2
2
[ ]
+
γ xy
2
2
Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referirá a la variable ε en vez de σ , y el eje de las ordenadas /2 en vez de τ , y se siguen las mismas convenciones se referirá a γ establecidas anteriormente. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Recipientes de pared delgada Designaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación:
r ≥10 t Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del mismo. Ahora centraremos nuestra atención en determinar los esfuerzos que ocurren en estos elementos. _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados de los extremos. extremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección dirección tangencial (σT), y el otro tiene dirección longitudinal ( σL). En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos esfuerzos normales son tangenciales ( σT).
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Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico, observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse: 2
P ⋅π ⋅r =σ L⋅2π⋅t ⋅r Donde P es la presión presión interna interna del del recipiente. recipiente. plantearse:
σ L =P ⋅
Finalmente puede
r
2t
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
Al hacer un corte longitudinal en el recipiente cilíndrico, observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:
P ⋅r ⋅ L=σ T ⋅t ⋅ L Finalmente :
r σ T =P ⋅ t
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Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse: 2
P ⋅π ⋅r =σ T ⋅2π⋅t ⋅r
Entonces, puede plantearse:
σ T =P ⋅
r
2t
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación
Barras sometidas a esfuerzos combinados …
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Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 10 - Rosetas de deformación
Rosetas de deformación En algunos casos, es muy difícil determinar analíticamente los esfuerzos a los que está sometido un elemento. elemento. Cuando esto ocurre, ocurre, se determinan experimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando medidores de deformación por por resistencia eléctrica. eléctrica. Al disponer estos estos en un patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de deformación plana del elemento utilizando las relaciones: 2
2
2
2
2
2
ε θ a =ε x cos θ a +ε y sin θ a +γ xy sin θ a cos θ a ε θ b =ε x cos θ b +ε y sin θ b +γ xy sin θ b cos θ b
ε θ c =ε x cos θ c +ε y sin θ c +γ xy sin θ c cos θ c _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones
Resumen de ecuaciones Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:
ΔV dV = =− q ( x ) Δx dx ΔM Δx
dM =
dx
=V
V: Fuerza Cortante en una sección transversal M: Momento Flector en una sección transversal x: Distancia desde un extremo de la viga _______________________________________________ ______________________ __________________________________________________ _______________________________ ______ Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria
Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones
Esfuerzo normal debido a momento flector:
M ⋅ y σ= I σ: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal
M: Momento flector sobre la sección transversal y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversal I: Momento de inercia de la sección transversal
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