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Trabajo final. Evaluación.
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UNIVERSI UNIVERSID DAD NACION NACIONAL AL DE TRUJIL TRUJILLO LO FACULT ACULTAD DE INGENIER INGENI ER´ IA ´ E.A.P. INGENIER INGENIER´ IA MECATR MECATRONICA
CONTROL CONTROL I Laboratorio Laboratorio 02: Transforma Transformada da de Laplace Laplace
ASIGNATURA
Control I DOCENTE
Ing. Ing . Luis Lui s Vargas arg as D´ıaz
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Jara Alfaro Enrique
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Trabajo final. Evaluación.
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´ Indice General 1. Resumen 2. Introducci´ on 3. Objetivos 4. Instrumentos y materiales 5. Procedimiento
5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
Hallar la transformada de la siguiente funci´ on f (t): . . . Hallar la transformada de Laplace de las funciones f (t): . Polos y ceros de una funci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . Graficar la ubicaci´ o n de polos y ceros de las funciones: .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
6. Cuestionario 7. Conclusiones 8. Bibliograf´ıa
´ Indice de figuras 1. 2.
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Declaraci´ on de variables simb´ olicas, funci´on y obtenci´ on de la transformad Free Trial que Matlab va guardando Lista de todos los tiposDownload variablesWith y funciones medida que vamos trabajando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Diferencia de comandos: simplify y pretty. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Declaraci´ on de variables simb´ olicas y obtenci´on de la transformada. . . . . 5. Usando los comandos simplify y pretty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Declaraci´ on de variables simb´ olicas y obtenci´on de la transformada. . . . . 7. semester Usando los comandos y pretty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Master your with simplify Scribd Read Free For 30this Days Sign tola vote on title 8. Declaraci´ on de variables simb´ olicas y obtenci´ onup de transformada. . . . . & The New9. York Times Usando los comandos simplify y pretty. . .. Useful . . Cancel . . anytime. . . Not . . useful . . . . . . . . Special offer for students: Only $4.99/month. 10. Declaraci´ on de variables simb´ olicas y obtenci´on de la transformada. . . . .
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Trabajo final. Evaluación.
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22. Funcionamiento del comando simplify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Funcionamiento del comando pretty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Trabajo final. Evaluación.
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Resumen
El presente informe tiene como tema a tratar el estudio del manejo de funciones r a la transformada de Laplace mediante el software de Matlab. Este software nos sir poder realizar modelos de situaciones que se producen en la vida real sobre todo con continuas en el tiempo como es caracter´ıstica de la transformada de Laplace. Para esta pr´ actica, se realizan diferentes procedimientos, como la declaraci´ on de v simb´ olicas. Se usa el software para facilitar la obtenci´on de polos y ceros de un fun transferencia. Al final de esta pr´ actica, se desarroll´ o un cuestionario en donde se desc uso de ciertos comandos como el de syms, laplace, simplify, pretty que son de Matlab.
2.
Introducci´ on
La transformada de Laplace de una se˜ nal x(t) es: +∞
X ( s) =
−st
x (t) e
dt
−∞
Es una generalizaci´ o n de la transformada continua de Fourier, la cual es u´til estudio de se˜ nales y sistemas continuos en el tiempo. Cuando s = jw, es decir es puramente imaginaria, la transformada de Laplace se a la transformada de Fourier continua en el tiempo. Reading a Preview Muchas se˜ nales que no tienenYou're transformada de Fourier tienen transformada de L access with a free La transformada de Laplace esUnlock unafull herramienta u´tiltrial. para an´ alisis de sistemas LTI ( e invariantes en el tiempo). Download With Freede Trial Para una gran clase de se˜ nales la transformada Laplace se puede representar relaci´on de polinomios en s: N ( s) X (s) = D (s) Donde N(s) y D(s) son llamados los polinomios numerador y denominador. Las transformadas pueden representarse por una relaci´ on de polinomios llamada formadas racionales, las cuales son determinadas completamente por las ra´ıces de Master your semester with como Scribd nomios N(s) y D(s), conocidos ceros y polos respectivamente. Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title Debido a la importancia de las ra´ıces en el estudio de sistemas LTI, es con & The New York Times Useful Not useful Cancel anytime. desplegarlas pict´ oricamente en un diagrama de polos y ceros. Special offer for students: Only $4.99/month.
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Trabajo final. Evaluación.
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Instrumentos y materiales • Computador con software Matlab.
5.
Procedimiento
Antes de empezar, debemos tener en cuenta que las variables que trabajamos uso de transformada de Laplace, en Matlab es conveniente usar variables simb´ olic permite usar la variables como s, t, w, a. Por eso el uso del comando syms es crucial. Ademas, sea una funci´ on con dominio en t, sea f (t), y se desea hallar su transfo de Laplace con dominio en s, sea F (s), pues se usa el comando laplace(function
5.1.
Hallar la transformada de la siguiente funci´ on f (t): f (t) = − 1,25 + 3,5te
2t
−
+ 1,25e
2t
−
Utilizando el Command Window en Matlab :
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Figura 1: Declaraci´on de variables simb´ olicas, funci´on y obtenci´on de la transform
Como se puede mostrar en la Figura 1, lo primero que se hace es la declara variables simb´olicas, t y s , esto se va agregando al espacio de trabajo y se puede ve Matlab va guardando las variables, funciones y resultados con los que se van trab your with2:Scribd como sesemester muestra en la Figura
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Trabajo final. Evaluación.
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Se va a usar ahora el comando simplify para como bien dice simplicar la fun transferencia obtenidam luego se usara el comando pretty, y veremos la diferenci ambos comandos:
Figura 3: Diferencia de comandos: simplify y pretty.
La Figura 3 muestra que con el uso del comando pretty, la forma de la funci´ mejor representada y se puede entender mejor, ya que a parte de simplificar y fac la funci´on, lo que hace es colocar una linea de fracci´ on para identificar el numera You're Readingpara a Preview denominador, esto nos sera u ´til mas adelante hallar los polos y ceros de una fu Por lo tanto, se obtiene que la transformada Laplace de la Ecuacion 3 es: Unlock full access with de a free trial. s − 5 F (s) = Download With( Free Trial s s + 2) 2
5.2.
Hallar la transformada de Laplace de las funciones f (
• f (t) = t 4 • f (t) = e
−at
sin(wt)
Master your semester with Scribd • f (t) = − 4e cos(t) + 2 e sin(t) + 4 & The New York Times 2t
−
4
2
t +8t +5t
) = $4.99/month. • f (tOnly Special offer for students: 2 t +9
2t
−
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Utilizando los comandos simplify y pretty :
Figura 5: Usando los comandos simplify y pretty. Por lo tanto: 4
L {t
2. f (t) = e
−at
} =
24 s5
sin(wt), utilizando el Command Window en Matlab : You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
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Figura 6: Declaraci´on de variables simb´ olicas y obtenci´on de la transformada Utilizando los comandos simplify y pretty :
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−at
3. f (t) = − 4e
2t
−
2t
cos(t) + 2 e
−
Trabajo final. Evaluación.
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Por lo tanto: L {e
PLAN 1
sin(wt)} =
w (a + s)2 + w 2
sin(t) + 4 Utilizando el Command Window en Ma
Figura 8: Declaraci´on de variables simb´ olicas y obtenci´on de la transformada Utilizando los comandos simplify y pretty :
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
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Figura 9: Usando los comandos simplify y pretty. lo tanto: Master yourPorsemester with Scribd & The New York TimesL {−4e cos(t) + 2e 2t
−
Special offer for students: Only $4.99/month. 4
2
t +8t +5t
2t
−
Read Free For 30sthis Days Sign up to vote on title 10( + 2)
sin(t ) +Useful 4 } = 2 Not useful (s + 4s + 5) Cancelsanytime.
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Utilizando los comandos simplify y pretty :
Figura 11: Usando los comandos simplify y pretty. Por lo tanto:
−(2s2 + 10s3 cosint(3s) cos(3s) − 6s3 cosint(3s)sin(3s t4 + 8 t2 + 5t } = L { 2s3 t2 + 9 −(6s3 sinint(3s) cos(3s) + 10s3 sinint(3s)sin(3s) − 3πs 3 cos(3s) − 5s3 sin(3 + ... 2s3 You're Reading a Preview
5.3.
Polos y ceros de una n a free trial. Unlock funci´ full accessowith
Los polos y ceros de la funci´ on de un With sistema racional se pueden calcular en Download Free Trial mediante el uso de la funci´ on roots. Por ejemplo para un sistema LTI con fun transferencia: s − 1 H (s) = 2 s + 3s + 2 Los polos y ceros se pueden encontrar ejecutando: >> b = [1 − 1]; Master your semester with Scribd >> a = [1 3 2]; = rootsTimes (b) >> zsYork & The New
(a) ps =Only roots Special offer for>> students: $4.99/month.
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Figura 12: Gr´afica de polos y ceros de una funci´ on.
5.4.
Graficar la ubicaci´ on de polos y ceros de las funciones:
1. F (s) =
24 s5
You're Reading a Preview , definimos los vectores tanto del numerador N (s) y del denominado Unlock full access with a free trial.
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Figura 14: Gr´afica de polos y ceros de la funci´ on 1.
You're Reading a Preview w 2. F (s) = , definimos los vectores tanto del numerador N (s) y del d (a+s)2 +w2 Unlock full access with a free trial. nador D (s): Download With Free Trial
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10(s+2) , definimos los vectores tanto del numerador N (s) y del d s(s2 +4s+5) nador D (s):
3. F (s) =
Figura 16: Polos y ceros de la funci´on 3. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
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−(2s2 + 10s3 cosint(3s) cos(3s) − 6s3cosint(3s)sin(3s)) + . . . 2s3 −(6s3 sinint(3s) cos(3s) + 10s3 sinint(3s)sin(3s) − 3πs 3 cos(3s) − 5s3 sin(3 . . .+ 2s3 F (s) =
El numerador de la funci´on F (t) no es posible formarlo como un polinomio para el vector de sus coeficientes, es por eso que pasamos a analizar el denominador sea los polos de la funci´on:
Figura 18: Polos y ceros de la funci´on 4. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
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Cuestionario Describa las funciones syms, laplace, simplify y pretty
un Matlab, comando para la creaci´ on de variables y funciones sim • syms: Seg´
Esto quiere decir que es posible trabajar con variables que no tienen un valor d (s , t , w , a , . . .) y que pueden formar parte de una funci´on, a la que llamarem ci´ on simb´ olica. Estas funciones pueden ser evaluadas en varios puntos que conveniente, ya que se tiene variables simb´ olicas . Ejemplo:
Figura 20: Ejemplo de la creaci´ de una funci´ on simb´olica. You're Reading aonPreview Unlock full access with a free trial.
Como se puede observar en la Figura 20, lo primero que se hace es crear una simb´olica f (x, y ) que contiene las variables simb´ olicas x e y , luego se define la Download With Free Trial como f (x, y ) = x + 2 y . Finalmente se desea evaluar dicha funci´ on en x = 1 sea se desea saber el valor de f (1, 2) a lo que la respuesta es 5, como se puede a al final de la imagen.
un Matlab, comando para la obtenci´ on de la transformada de Lap • laplace: Seg´ una funci´ on f respecto a la variable de transformaci´ on trans var en el punto eva . V´ease el ejemplo que se muestra a continuaci´ on:
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Trabajo final. Evaluación.
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on de modelos para un Matlab, Realiza t´ecnicas de reducci´ • simplify: Seg´ eliminar copias redundantes de elementos inciertos. Despu´ es de la reducci´ on, cu elemento incierto que no afecte realmente al resultado se elimina de la represen
. V´ease el ejemplo que se muestra a continuaci´ on:
Figura 22: Funcionamiento del comando simplify .
Como podemos apreciar primero tenemos la funci´ on F 2 y luego al aplicar el co on queda reducida a la funci´ on s 2 que nos da una mejor apre simplify la ecuaci´ de la funci´on.
un Matlab, Imprime la salida simb´ olica de una funci´ on en un form • pretty: Seg´ You're Reading a Preview se asemeja a la matem´ atica tipogr´ afica.. V´ ease el ejemplo que se muestra a contin Unlock full access with a free trial.
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Trabajo final. Evaluación.
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Conclusiones
• Gracias al uso de los comandos apropiados de Matlab podimos obtener la transf
de Laplace de algunas funciones b´ asicas.
• Ademas se pudo encontrar los polos y ceros de algunas funciones de transfe
tambi´en se pudo ver la gr´ afica de estos ceros y polos dentro de un plano comple su mayor entendimiento. o los comandos simplify y pretty para poder acomodar las funciones • Se us´ un mejor entendimiento de lo que obtenemos de las transformadas de Laplace
8.
Bibliograf´ıa
1. Documentaci´ on de clase. 2. Ayuda interna de Matlab.
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