TRANSFORMADA Z APLICADA A LA INGENIERIA ELECTRONICA.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR MAYOR DE SAN SAN MARCOS (UniversidaddelPerú,DecanadeAmérica)

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA, ELÉCTRICA Y TELECOMUNIC T ELECOMUNICACIONES ACIONES

PROFESOR

: CASTRO VIDAL RAUL PEDRO.

CURSO

: FUNCIONES ANALÍTICAS.

ALUMNOS

: CCOYLLO QUISPE PAUL

FECHA

15190075

FERNÁNDEZ HUARCAYA, JESUS.

151902

MAXIMILIANO CHAVEZ, ALEXIS.

15190081

SANCHEZ BUENDIA, ALONZO.

15190171

SUCAPUCA ESPICHAN, CALEB.

15190154

: 3 de noviembre del 2016

TRANSFORMADA Z APLICADA A LA INGENIERIA ELECTRONICA

3-11-2016

INDICE 1

Transformada Z

2

1.1

Funciones en tiempo discreto

2

1.1.1 Conversión analógica / digital

2

1.1.2 Representaciones de funciones de variable discreta

4

1.1.3 Señales elementales de variable discreta

6

1.2

Transformada Z bilateral

9

1.2.1 Transformada Z bilateral directa

10

1.2.2 Propiedades de la transformada Z bilateral

12

1.2.3 Transformada Z inversa

21

1.3

25

Sistemas en tiempo discreto

1.3.1 Descripción entrada-salida de sistemas

25

1.3.2 Tipos de sistemas en tiempo discreto

25

1.3.3 Análisis de sistemas LTI en tiempo discreto

27

1.4

34

Transformada Z unilateral

1.4.1 Definición y propiedades

34

1.4.2 Respuestas natural y forzada

37

1.5

40

Interconexión de sistemas

1.5.1 Diagrama de bloques

2

Anexo

3

Bibliografía

41

GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

1


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1. TRANSFORMADA Z La transformada z es a los sistemas en tiempo discreto lo que la transformada de Laplace es a los sistemas en tiempo continuo. Ambas representan herramientas para el análisis de ciertas propiedades de las señales, que en el dominio del tiempo solo pueden ser evaluadas con mayor dificultad: la convolución es transformada otra vez en un producto, y las ecuaciones de diferencias, que son el equivalente discreto de las ecuaciones diferenciales, pueden ser solucionadas de forma más sencilla en el dominio de la frecuencia compleja que en el dominio del tiempo discreto. Antes de presentar la transformada z propiamente, es necesario introducir algunos conceptos básicos sobre señales discretas. 1.1 Funciones en tiempo discreto En la actualidad muchas aplicaciones de la electrónica involucran el análisis digital de datos. Los reproductores de video y sonido utilizan desde hace varias décadas tecnologías digitales de almacenamiento y reproducción, como por ejemplo en discos compactos y discos versátiles digitales (CD y DVD); la próxima generación de televisión (HDTV) codifica las señales de audio y video por métodos digitales; la telefonía celular es posible gracias graci as a los complejos algoritmos de compresión implementados también con técnicas de procesamiento digital. El aumento continuo del uso de computadoras digitales en prácticamente todos los ámbitos del quehacer humano ha sido en parte soportado por la gran variedad de \tipos de datos" que pueden ser manipulados por medios digitales. Se define una señal digital como aquella existente únicamente en ciertos instantes en el tiempo, y que además solo puede adquirir valores dentro de un conjunto finito de valores. Puesto que el ser humano se desenvuelve en un ambiente eminentemente analógico, debe plantearse entonces la pregunta ¿qué tan factible o tan exacto es utilizar representaciones digitales para fenómenos eminentemente analógicos? El lector podrá inferir de los ejemplos mencionados, que su uso práctico es factible y ventajoso, considerando por ejemplo el incremento notable en la calidad de videos y bandas sonoras de uso doméstico. 1.1.1 Conversión analógica / digital Conceptualmente en la conversión de una señal analógica a una representación digital intervienen tres pasos (Figura 5.1): es la conversión de una señal de variable continua a otra de variable discreta que es el resultado de tomar \muestras" de la señal de variable continua en ciertos instantes. Si xa(t) es la entrada al bloque de muestreo, entonces la salida puede ser tomada en instantes equidistantes xa(nT), donde a T se le denomina el intervalo de muestreo.

1. Mues treo


2


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Cuantificación es la conversión de la señal de variable discreta y valores continuos a otra señal de variable discreta pero con valores discretos. El valor de cada muestra es aproximado entonces con un valor de un conjunto _nito de posibles valores. A la diferencia entre el valor continuo y su aproximación se le denomina error de cuantificación.

2.

Codificación consiste en la asignación de una representación usualmente binaria para los valores cuantificados. 3.

Estos pasos en la práctica se realizan en un solo bloque operacional. Desde un punto de vista de análisis matemático, usualmente se ignora el efecto del segundo paso, asumiendo que el número de valores posible es suficientemente elevado, de tal modo que el efecto de la cuantificación solo introduce un leve nivel de ruido, que puede ser manejado con otras herramientas estadísticas. El último paso es solo de relevancia para los algoritmos de procesamiento propiamente dichos. En otras palabras, el análisis matemático de señales digitales se simplifica en la práctica realizando solamente un análisis de señales en tiempo discreto, para el cual solo el primer paso de la digitalización es relevante. Existen muchas posibilidades de seleccionar las muestras de una señal en tiempo discreto a partir de una señal analógica. Aquí se utilizara el llamado muestreo periódico o uniforme por las facilidades que este brinda al análisis matemático. En él, la relación entre la señal analógica xa(t) y la señal de variable discreta x[n] está dada por:

Donde la secuencia x[n] contiene entonces muestras de la señal analógica xa(t) separadas por un intervalo T (Figura 5.2).


3


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Las variables t y n de las señales de variable continua y discreta respectivamente están relacionadas a través del intervalo de muestreo T

Donde a Fs se le denomina tasa de muestreo. Otros tipos de muestreo más complejos utilizan tasas variables, que se ajustan de acuerdo a la velocidad de cambio de las señales. Estos son utilizados por ejemplo en algoritmos de compresión de señales. 1.1.2 Representaciones de funciones de variable discreta Se ha visto que x[n] es una función definida para n entero. La Figura 5.3 presenta un ejemplo de representación gráfica de una señal de este tipo.

Se debe insistir en que x[n] está definida únicamente para valores enteros n. No se debe cometer el error de asignar cero o cualquier otro valor a x(t) para números t reales no enteros (t ϵR/Z), puesto que la señal x[n] (que es diferente a xa(t)) está definida exclusivamente para valores enteros. A n se le denomina número de muestra y a x[n] la n-ésima muestra de la señal.


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En capítulos previos ya se trabajó con una función de variable discreta: el espectro de una señal periódica obtenido por medio de los coeficientes ck de la serie de Fourier, que fueron interpretados en su ocasión como una función de variable discreta c[k]. Además de la representación gráfica para las señales discretas, hay otras tres representaciones usuales: 1. Funcional:

Esta es la representación más usual en el análisis matemático de funciones discretas. 2. Tabular

En programas computacionales para manipulación y modelado digital de sistemas, como por ejemplo el MATLABTM[13] o el Octave [4], las funciones se representan usualmente de esta manera: por un lado con los números de muestra n, y por otro con los valores de las muestras x[n]. 3. Como sucesión.

Una secuencia de duración infinita con el origen en n = 0 (indicado con \"") se representa como:

Si la secuencia es 0 para n < 0 se puede representar como

Y si es finita

Donde la flecha “↑” se omite si la primera muestra en la secuencia corresponde a la muestra

en 0.


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1.1.3 Señales elementales de variable discreta Ciertas señales aparecen frecuentemente en el análisis de sistemas y señales discretas.

Impulso unitario. El impulso unitario δ[n] está definido como (Figura 5.4a):

Escalón unitario El escalón unitario u[n] se define como (Figura 5.4b):

Nótese que

Rampa unitaria. La rampa unitaria se obtiene de

Lo que resulta en (Figura 5.4c)


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Señal exponencial. La señal exponencial se define como

Y su comportamiento depende de la constante a. Para valores reales y complejos de a, el comportamiento es estable si |a| < 1 o inestable si |a| > 1 (Figura 5.5).


7


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Si a es complejo entonces puede expresarse como

Es decir, un fasor de magnitud r n con fase n (Figura 5.6).

Utilizando la identidad de Euler se obtiene

Cuyas partes real e imaginaria se muestran en la Figura 5.7 .


8


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Nótese que si r = 1 la señal es amplitud constante. Otra representación de una señal exponencial compleja se presenta en la Figura 5.8, donde el valor de cada muestra se grafica sobre un plano complejo perpendicular al eje n, generándose así un patrón fasorial en el tiempo discreto, en el que se aprecian tanto las componentes real e imaginaria, como la magnitud y fase de cada muestra .


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2. TRANSFORMADA Z BILATERAL

2.1. TRANSFORMADA Z BILATERAL DIRECTA En primer lugar, definimos la transformada de Fourier de una secuencia

 () =− −    =− −

La transformada Z de una secuencia

2.1



:

se define así:

2.2

Esta ecuación es, en general, una suma infinita o una suma de potencias infinita, siendo z una variable compleja. Algunas veces es útil considerar la ecuación (2.2) como un operador que transforma una secuencia en una función, y que se denominará operador transformada Z, , definido así:



 −   =−  



 . 

2.3

Con esta interpretación se puede ver que el operador transformada Z transforma una secuencia en una función , siendo z una variable compleja continua. La correspondencia entre una secuencia y su transformada Z se indicará mediante la notación

  ↔

2.4

 −     =

2.5

La transformada Z, tal como se ha definido en la ecuación (2.2), se denomina constante transformada Z bilateral, en contraste con la transformada Z unilateral, que se define así:

0

Puede verse claramente que las transformadas Z bilateral y unilateral coinciden si .

 0

para

Comparando las ecuaciones (2.1) y (2.2) resulta evidente que existe una estrecha relación entre la transformada de Fourier y la transformada Z. En particular si sustituimos la variable compleja z de la ecuación (2.2) por la variable , la transformada Z se reduce a la transformada de Fourier. Éste es uno de los motivos para utilizar la notación en la transformada de Fourier. Cuando ésta existe, es simplemente con . Esto corresponde a restringir a la variable z para que tenga módulo unidad. Es decir, para la transformada Z equivale a la transformada de Fourier. De forma más general, podemos expresar la variable compleja z en forma polar



)  (  ||1 


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Si z se representa de esta forma, la ecuación (2.2) se convierte en

O

 () =− ()−  () =− −−  −

2.6

La ecuación 2.6 se puede interpretar como la transformada de Fourier del producto de la secuencia original por la secuencia exponencial . Obviamente para r=1, la ecuación (2.6) se reduce a la transformada de Fourier de .



||

Como la transformada Z es una función de variable compleja, es conveniente describirla e interpretarla utilizando el plano complejo z. En el plano z, el contorno correspondiente a es una circunferencia de radio unidad, como se muestra en la figura (2.1). Esta circunferencia se denomina circunferencia unidad. La transformada Z evaluada en la circunferencia unidad es la transformada de Fourier. Nótese que es el ángulo que forma un vector al punto z de la circunferencia unidad con el eje real del plano complejo z. Si evaluamos en puntos de la circunferencia unidad comenzando en , pasando por , hasta , obtenemos la transformada de Fourier

1

   1   ,  0    0≤≤ ,    1 ,  0  2  0 para . Continuar alrededor de la circunferencia unidad correspondería a examinar la transformada de Fourier desde hasta o, de forma equivalente desde hasta .

Figura 2.1. La circunferencia unidad en el plano complejo z


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A continuación se mostrará la tabla de pares de Transformada Z comunes Secuencia

   1     1   1     0,, 0≤≤1   

Transformada

Región de convergencia

1

Todo



1 ||1 11 − | |1  1−−  0 0 ∞ 0 1 |||| 11 − | || |   − 1 −  |||| 1−− |||| −− 1   1     ||1 −−−  1 2        ||1 112−− − | |  −  −  1 2     −    | |  −  −  1 2     − 1 ||0 1− Todo excepto o

TABLA 2.1. ALGUNOS PARES DE TRANSFORMADA Z COMUNES

2.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z BILATERAL Muchas de las propiedades de la transformada Z son particularmente útiles en el estudio de las señales y los sistemas en tiempo discreto. Por ejemplo, estas propiedades se utilizan a menudo en conjunción con las técnicas de cálculo de la transformada Z inversa, para obtener la transformada inversa de expresiones más complicadas. En la presentación que sigue, indica la transformada Z de , y la región de convergencia de se indica como , es decir,

   ↔ , ó      ||

 

Como ya hemos visto, representa el conjunto de valores de z tal que . Para el caso de propiedades que involucren dos secuencias y sus transformadas Z asociadas, las parejas de transformadas se indicarán así: GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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 ↔  ó     ↔ ó    2.2.1. Linealidad La propiedad de linealidad dice que:

 .  ó      ∩  ↔             0 ∞ 3243 2 ∧3  3 4   11 − :||||  121 − :||2  131 − :||3   123 −  134 − :||3 Y se deduce directamente de la definición de transformada Z de la ecuación (2.2). Como se indica, la región de convergencia contiene al menos a la intersección de las dos regiones de convergencia. En el caso de secuencias con transformadas Z racionales, si los polos suman todos los polos de y (es decir, no hay cancelaciones cero-polo), la región de convergencia será exactamente igual a la intersección de las dos regiones de convergencia. Si la combinación lineal es tal que aparecen algunos ceros que cancelan polos, la región de convergencia puede ser mayor. Un ejemplo simple de este caso aparece cuando y son de duración infinita, pero la combinación lineal es de duración finita. En este caso la región de convergencia de la combinación lineal es el plano z completo, con las posibles excepciones de o . Ejemplo: Determine la transformada Z de

Si

Entonces

Además sabemos que:

Con lo que se obtiene:

Y la transformada de

es:

2.2.2. Desplazamiento en el tiempo La propiedad de desplazamiento en el tiempo indica que: GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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  ↔ −  ó       ó  ó  0  ∞    − 0 ∞      =−   −    −− −  −  =−   =−  − 

Donde es un número entero. Si es positivo, la secuencia original se desplaza a la izquierda. Como en el caso de la propiedad de linealidad, la región de convergencia puede cambiar, ya que el factor puede alterar el número de polos en o . Esta propiedad se deduce directamente de la expresión de la transformada Z de la ecuación (2.2). Concretamente, si , la correspondiente transformada Z es:

Realizando el cambio de variable

,

La propiedad de desplazamiento en el tiempo se utiliza muy frecuentemente, junto con otras propiedades y procedimientos, para obtener la transformada Z inversa. Ejemplo: Secuencia exponencial desplazada

Consideremos la transformada Z

 1 14, || 14  −  114 − , || 14

Observando la región de convergencia podemos ver que la secuencia está limitada por la izquierda. Escribimos la transformada de la forma

La transformada Z es de la forma de la ecuación

Con

Es:

1

 − ∏  1    =   ∏=1−

, y su desarrollo en la forma que indica la ecuación

− −    =  = 1−

4 1 414 −


14


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  1  4 44       − 1 114 −, || 14 −   − 1  4  1

Aplicando esta última ecuación,

se puede expresar así:

Se puede obtener de forma más directa una expresión para si aplicamos la propiedad de desplazamiento en el tiempo. En primer lugar, se puede escribir así:

Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo, vemos que el factor

de la ecuación

anterior se puede asociar a un desplazamiento a la derecha de la secuencia

. Es decir:



Se puede verificar fácilmente que las ecuaciones obtenidas son las mismas para todos los valores de . Es decir, representan a la misma secuencia.

2.2.3. Multiplicación por una secuencia exponencial La propiedad de multiplicación por una secuencia exponencial se expresa matemáticamente como:

   ó   ||  ↔  | |      || ||||  || ||

Donde la región de convergencia es multiplicada por un factor de escala de valor otras palabras, si es el conjunto de valores de z tal que , entonces conjunto de valores de z tal que .



. En es el

Esta propiedad se puede demostrar de una forma muy sencilla, sustituyendo simplemente en la ecuación (2.2). Como consecuencia de la propiedad de multiplicación por una exponencial, todas las posiciones de los polos y de los ceros quedan afectadas por un factor de escala de , ya que si tiene un polo en , tendrá un polo en . Si es un número real positivo, el factor de escala se puede interpretar como una compresión o expansión del plano , ya que las posiciones de los polos y los ceros cambian siguiendo líneas radiales del plano . Si es un número complejo de módulo unidad, es decir, , el escalado que corresponde a una rotación de ángulo en el plano , ya que las localizaciones de los polos y los ceros cambian su posición siguiendo circunferencias centradas en el origen. Esto se puede interpretar también como un desplazamiento o traslación de frecuencia, asociada a la modulación en el dominio del tiempo con la secuencia exponencial . Es decir, si existe la transformada de Fourier, esta propiedad toma la forma de



  

 −  

ℱ −  ↔

   




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   12   12 −   −  ±   12 11 −  1−1 − 1 2 1 1−−−1 1−−−  12 12−−−(−−) −, (− )2 − 1  12−  − ; :|| 1    121−−  − , || ||

Ejemplo: Determine la transformada Z de la señal

Con la identidad de Euler obtenemos primero:

Además, con

se obtiene con

y la linealidad de la

transformación:

Por lo que:

   ó     n ↔ 

2.2.4. Diferenciación de

La propiedad de diferenciación indica que:

Esta propiedad se puede verificar diferenciando la expresión de la transformada Z de la ecuación (2.2):

 −  =−       =−−−  =−   −   

Ejemplo: Determine la transformada Z de

Con:

:

  GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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Entonces:

   11 − , :|||| − −          ↔   1− 1− , :|||| 1 −    ↔ 1− , :||1

Y puesto que:

Se obtiene:

Con

se obtiene la transformación de la rampa unidad:

2.2.5. Conjugación de una secuencia compleja La propiedad de conjugación se expresa como:

∗ ↔ ∗∗       ∗  =− ∗−  ∗ − ∗  =−     ∗ − ∗  =−    ∗∗ ∗ ∗         ∗   ∗∗   | |  

Esta propiedad se deduce de manera directa de la definición de transformada Z.

 

De lo anterior se deduce que si es real, entonces , lo que implica que si tiene un polo o cero en , también lo tendrá en . En otras palabras, los polos y ceros aparecen como pares complejos conjugados en la transformada Z de secuencias reales . Obsérvese que la relación para funciones reales indica que si hace un corte paralelo al eje de la superficie correspondiente a , entonces la función en ese corte presenta simetría par. Por otro lado, la fase tiene un comportamiento impar en los cortes paralelos al eje .

2.2.6. Reflexión temporal La propiedad de reflexión temporal indica que: GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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∗ ↔ ∗1/∗     1/  1/  |   |    1/ 1/| |1/1/∗   ∗    ↔1/     1/    11 − , :||1   11 , :||1

Donde la notación de la región de convergencia indica que la región de convergencia está invertida: es decir, si representa al conjunto de valores tales que , la región de convergencia es el conjunto de valores tales que . Por tanto, si está en la región de convergencia de la transformada Z de , entonces estará en la región de convergencia de la transformada Z de . Si la secuencia es real o no se conjuga la secuencia compleja, el resultado es:

Como en el caso de la propiedad de conjugación la propiedad de reflexión temporal se deduce fácilmente a partir de la definición de transformada Z. Ejemplo: Determine la transformada z de

Puesto que:

Entonces:

.

2.2.7 Convolución de secuencias De acuerdo con la propiedad de convolución:

 ∗ ↔    ó      ∩   =−  

Para obtener formalmente esta propiedad, consideremos:

De modo que

 −    =−   =− =−  −    =−  =−   −

Si intercambiamos el orden de la suma,

 

Cambiando el índice de la suma de a

, obtenemos:


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  − −  =−  =−   

 

Por tanto, para valores de z que pertenezcan a la región de convergencia de podemos escribir:

 

 

,

En donde la región de convergencia incluye a la intersección de las regiones de convergencia de y . Si un polo en la frontera de la región de convergencia de una de las transformadas Z, se cancela con un cero de la otra transformada, la región de convergencia de puede ser mayor. La propiedad de convolución tiene un papel fundamental en el análisis de sistemas LTI. Concretamente como consecuencia de esta propiedad, la transformada Z de la salida de un sistema LTI es el producto de la transformada Z de la entrada y l a transformada Z de la respuesta al impulso. La transformada Z de la respuesta al impulso de un sistema LTI se denomina generalmente función de transferencia.



Ejemplo: Realización de la convolución mediante la transformada Z .

     −  11 − , ||||  =  − 1 | |1    ,  − 1 = ||1     , ||1  1−11−  1

Sea

Si

y

. Las correspondientes transformadas Z son:

, la transformada Z de la convolución de

con

es:

Figura 2.2. Diagrama polo-cero de la transformada Z de la convolución de las secuencias





  y

Los polos y los ceros de se muestran en la figura 2.2, donde se puede ver que la región de convergencia es la intersección. La secuencia se pude obtener determinando la GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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

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transformada Z inversa. Si realizamos la descomposición en fracciones simples de la expresión de que se indica en la ecuación anterior, obtenemos:

 11 11 −  11 −, ||1   11  +

Por tanto:

2.2.8. Teorema del valor inicial Si



es cero para

0

(es decir,

   0 lim→ 

es casual). Entonces:

Este teorema se puede demostrar considerando el límite de cada término de la serie definida en la ecuación (2.2). Puesto que

Si

→∞



es casual:

 − − ⋯        0 1  = −, −, 0 lim→ 

todos los términos

. Tienden a cero y por tanto

2.3. LA TRANSFORMADA Z INVERSA Una de las aplicaciones importantes de las transformada Z es el análisis de sistemas lineales en tiempo discreto. Muchas veces, al realizar este análisis, es necesario calcular la transformada Z de secuencias y después de realizar diversas modificaciones en las expresiones algebraicas, obtener la transformada Z inversa. Dada una determinada expresión algebraica y una región de convergencia asociada, existen varios métodos formales o informales para obtener la transformada z inversa. Existe una expresión formal de la transformada Z inversa que se basa en el teorema de la integral de Cauchy. Sin embargo, para las típicas clases de secuencias y de transformadas Z que encontraremos en el análisis de sistemas en tiempo discreto lineales e invariantes con el tiempo, son suficientes y preferibles procedimientos menos formales. El procedimiento de encontrar la señal en el dominio del tiempo correspondiente a la expresión algebraica en el dominio z para una determinada región de convergencia se denomina transformada z inversa. Utilizando el teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy, se demuestra que se cumple: GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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12 ∮ −− 10  ≠

Para un contorno de integración C que rodea al origen.

A partir de la definición de la transformada z de una señal de variable discreta

 −  =−  −  ∮ − ∮ =− −+−  − ∮   =− ∮ −+−



:

Se obtiene multiplicando ambos lados por , e integrando en un contorno cerrado que contiene al origen, y que está dentro de la ROC:

Como la serie converge dentro de C, la integral y la sumatoria pueden ser cambiadas:

  21 ∮ −

Con este resultado solo es diferente de cero para

, es decir:

2.3.1. Método de inspección. El método de inspección consiste simplemente en estar familiarizado con, o reconocer “por simple inspección” ciertas parejas de transformadas. Por ejemplo tenemos la transformada z de

  ↔ 11 − |||| 1 112 − || 12 

secuencias de la forma , siendo a un número real o complejo. Las secuencias de esta forma surgen muy frecuentemente, y por tanto, resulta particularmente útil hacer uso directo de la pareja de transformadas:

Si necesitamos obtener la transformada Z inversa de:

2.7 2.8

Y observamos la pareja de transformadas Z de la ecuación (2.7), reconoceremos “por inspección” que la secuencia asociada es

. Si la región de convergencia asociada


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a

  1

||   12 1

en la ecuación (2.8) hubiera sido

transformadas

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, hubiéramos utilizado la pareja de

para obtener, por simple inspección que

2.3.2. Descomposición en fracciones simples. Como se ha comentado anteriormente, las transformadas Z inversas se pueden obtener por inspección si la expresión de la transformada Z se reconoce o se puede encontrar en una tabla, pero puede ser posible obtener una expresión alternativa de como suma de términos más simples, cada uno de los cuales aparece en la tabla. Éste es el caso de las funciones racionales, ya que es posible realizar la descomposición en fracciones simples e identificar fácilmente las secuencias correspondientes a cada término.



Para ver cómo se realiza una descomposición en fracciones simples, supongamos que expresa como un cociente de polinomio en , es decir:

−   − ∑    =  ∑= −   − ∑     =   ∑= −



se

2.9

Este tipo de transformada Z surge frecuentemente en el estudio de sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Una expresión equivalente es:

2.10    0 

La ecuación (2.10) indica explícitamente que para estas funciones, habrá ceros y polos en posiciones del plano complejo distintas del cero. Además habrá polos en si o ceros en si . En otras palabras, la transformada Z de la forma indicada en la ecuación (2.9) tienen siempre el mismo número de polos y ceros en el plano x finito, y no hay polos ni ceros en .

 

0  ∞    − 1− 2.11   ∏∏==1        = 1− 2.12

Para realizar la descomposición en fracciones simples de , expresado según la ecuación (2.9), es más conveniente advertir que se puede expresar también de la forma:

  

Siendo los ceros distintos de cero de y los polos distintos de cero de y los polos son todos de primer orden, entonces se puede expresar así:

. Si


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1−

Obviamente el denominador común de las fracciones de la ecuación (2.12) es el mismo que de la ecuación (2.11). Multiplicando los dos miembros de la ecuación (2.12) por y particularizando para se pueden obtener los coeficientes , es decir:

 −   1  |  2.13 1 −  ≥ ≥ − −       1−

Claramente, el denominador que resulta de sumar los términos de la ecuación (2.12) será como máximo de grado en la variable . Si , se debe sumar un polinomio al lado derecho de la ecuación (2.12), cuyo orden será . Por tanto, si , la descomposición en fracciones simples completa tendrá la forma:

=

=

Ejemplo: Encuentre la descomposición en fracciones parciales de la componente propia y halle la transformada inversa, de la siguiente función:

11 1 − − − 13     6 3  1 56 −  16 −

− −

Para hacer esto, debemos hacer la división de tal forma que los términos y sean eliminados, y para esto debemos ordenar los divisores de la misma manera para determinar la expansión en serie de potencias de señales anticasuales.

Multiplicando por

       ++ ×   ++  ++ +  +    →     →  obtendremos:

=

Multiplicamos ambos lados por

y haciendo que

Por otro lado multiplicamos ambos lados por

  .

, obtendremos que

y haciendo que

  

.

, obtendremos que


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Se cumple entonces:

 131  12 1   131−−  12 1−−  3  2 1 3   1 2   − −   1 1 1 1 1 1  3  3  1 2  2  1 3  2  1 12−  2 1   1 1 2 1 3  2  1

Donde hemos aplicado la propiedad de linealidad y desplazamiento en el tiempo. Solo nos falta transformar los términos que en tiempo discreto corresponden a y . Así se cumple:

2.3.3. Desarrollo en serie de potencias

 −  −  =−  ⋯2 1 0 1− 2− ⋯ 2.14 − ≥   − 

La expresión de la definición de la transformada Z es una serie de Laurent en la que los valores de la secuencia son los coeficientes de . Por tanto, si la transformada Z se expresa como una serie de potencias de la forma:

Podemos determinar cualquier valor de la secuencia sin más que obtener el coeficiente de la potencia apropiada de . Ya se ha usado esta idea para calcular la transformada inversa de la parte polinómica de la descomposición en fracciones simples cuando . Esta idea es también muy útil en secuencias de longitud finita, en las que puede no tener una expresión simple en forma de polinomios en . Ejemplo:

Consideremos la transformada Z

log1−, |||| | |1 l o g1   1+− =    + , ≥1  1  0, ≤0

Utilizando el desarrollo de serie de potencias de

Por lo tanto:

, con

, obtenemos


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3. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO 3.1. Descripción entrada-salida de sistemas

Un sistema en tiempo discreto se define matemáticamente como una transformación u operador que transforma una secuencia de entrada x[n] en una secuencia de salida y[n]. Esto se puede expresar así



 {}



Donde T representa al operador de transformación elaborado por el sistema para que una produzca , que en diagrama de bloques se puede representar de la siguiente forma

Esto representa una regla o fórmula para calcular los valores de la secuencia de salida a partir de los valores de la secuencia de entrada. Es importante tener en cuenta que el valor de la secuencia de salida para cada valor del índice n puede depender de x[n] para todos los valores de n, es decir, y en cada instante n puede depender de todo o parte de la secuencia x. Los siguientes ejemplos ilustran algunos sistemas simples de utilidad. y[ n ] y[n]

x[n ]





x[n



, llamado sistema dentidad

2] , llamado sistema retardador de segundo orden

3.2. Tipos de sistemas en tiempo discreto 3.2.1. Sistemas sin memoria

Se dice que un sistema es sin memoria si la salida y[n] para cualquier valor de n depende sólo de la entrada x[n] en el mismo valor de n. Ejemplo

 ²  

, para cada valor de n.

3.2.2. Sistemas Lineales

 

Un sistema es lineal si satisface el teorema de superposición, es decir, para las constantes . y para las señales y se cumple

Es decir, todo sistema lineal tiene la propiedad multiplicativa o de escalado GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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Con su respectiva propiedad aditiva

El principio de superposición con M entradas puede generalizarse como

 ≠0

De la propiedad de escalado se deduce además que en un sistema lineal en reposo con entrada cero ( , entonces la salida debe ser cero. Si para un sistema la propiedad de superposición no se cumple, entonces el sistema se dice que no es lineal A continuación se expondrán algunos ejemplos con su respectiva solución

   ²  ²        ₁   ₂  ₁ ₂  ₁ ₂       ²  ₁₁² ₂₂²  ₁₁² ₂₂²      ²  ₁₁ ₂₂ ²²₁²₁   ²₂²₂                   2₁₂₁₂  ₁²₁ ₂²₂ a)

b) c)

d) e)

Solución

1. Para el primer sistema, su respuesta a una entrada igual a la suma ponderada de dos señales y , es decir para una entrada total y se obtiene . Ahora, la suma ponderada de la salida del sistema para y por separado es y y su suma ponderada resulta como es igual a la expresión anterior se puede afirmar que el sistema es lineal. 2. Para las salidas son idénticas y por lo tanto el sistema es lineal. 3. Para

la salida y la salida sistema no es lineal.

y

+ son diferentes y por lo tanto el


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    ₁₁ ₂₂                        ₁₁ ₂₂ ₁₁ ₂₂₁₂   ₁₁₂₂ ₁₁ ₂₂       ₁₁ ₂₂ 4. Para

la salida

y la salida difieren y por lo

tanto el sistema no es lineal. 5. Para

la salida y la salida son diferentes y por lo tanto el sistema tampoco es lineal.

3.2.3. Sistemas variantes e invariantes en el tiempo

Un sistema en reposo T es invariante en el tiempo o invariante al desplazamiento si y solo si

Ejemplo Determine si los siguientes sistemas son invariantes en el tiempo

3.3. Análisis de sistemas LTI en tiempo discreto

Hay dos métodos para el análisis del comportamiento de un sistema a) Descomposición de la señal de entrada en señales elementales para las que se conoce su respuesta. 2. Solución de la ecuación de diferencias. El análisis de sistemas, independientemente del método seleccionado, se simplifica enormemente si estos son lineales e invariantes en el tiempo (LTI: Linear and Time Invariant) Descomposición en señales elementales

{}

El concepto fundamental del análisis por descomposición es el siguiente: supóngase que la entrada puede expresarse como una suma ponderada de funciones elementales



  ∑     []

donde son los coeficientes de ponderación de la descomposición de la señal la respuesta del sistema en reposo a es , es decir



. Si

Por la propiedad de linealidad se obtiene


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 []   

En otras palabras, si el sistema es lineal, la respuesta del sistema a una entrada es igual a la suma ponderada de las respuestas del sistema a cada una de las componentes en que se puede descomponer la entrada, donde se cumple además que los coeficientes de ponderación de la salida corresponden a los coeficientes de ponderación de la entrada.

      =−  δ 

Utilizando como funciones elementales a impulsos unitarios desplazados posible expresar cualquier función de variable discreta como

δ 

es

Para ayudarnos, se expondrá un ejemplo Descomponga la señal en sus impulsos

  0,1,2,1,1/2,1 ℎ′, δ  ℎ′, [δ ] ∑  ∑ ℎ′,     ℎ  [δ  ] ℎ′, ℎ    ∑=−  h   ∗ℎ       ℎ ℎ  

Si se utiliza para denotar la respuesta de un sistema lineal a un impulso desplazado k unidades

entonces la salida del sistema puede calcularse con las respuestas elementales a los impulsos desplazados:

Si el sistema es además invariante en el tiempo, entonces con que y por lo tanto

se tiene

Que se denomina suma de convolución, Se dice que la respuesta del sistema entrada es igual a la convolución de con la respuesta al impulso .

a la

Esto quiere decir que en un sistema LTI en reposo su respuesta a cualquier entrada puede determinarse con solo conocer dicha entrada y la respuesta al impulso , lo cual es similar a lo analizado en el estudio sobre sistemas en tiempo continuo. El cálculo de la suma de convolución involucra cuatro pasos equivalentes a los estudiados para el caso de la integral de convolución a) Reflexión de

ℎ  

con respecto a k=0 para producir

b) Desplazamiento de

ℎ

ℎ

hacia el punto n que se desea calcular. GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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      ℎ    h      1,2,1,1 ℎ  1,1,2,1   1,4,8,8,3,2,1 c) Multiplicación de

y

d) Suma de todos los valores de

para obtener una secuencia producto

 

para obtener

Por ejemplo determine la respuesta de la señal de entrada

Siguiendo el procedimiento, primero se calcula la reflexión de la respuesta al impulso Con lo que la señal de salida será

Sistemas LTI Causales Propiedad de causalidad: La salida de un sistema causal depende solo de los valores presentes y pasados de la entrada al mismo. Usando la suma e integral de convolución relacionamos esta propiedad con una propiedad correspondiente de la respuesta al impulso de un sistema LTI. En concreto, para que un sistema LTI discreto sea causal, y[n] no debe depender de x[k], para k > n. De la ecuación

tenemos que para que lo a nterior sea cierto, los coeficientes h[n − k] que multiplican a x[k] para k>n deben ser cero, por tanto h[n] = 0 para n < 0. (Esto significa que la respuesta al impulso de un sistema LTI causal deber ser 0 antes de que ocurra el impulso). De manera más general, la causalidad para un sistema lineal es equivalente a la condición de ”reposo inicial”, es decir, si la entrada a un sistema causal es 0 hasta


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algún punto en el tiempo, entonces la salida también debe de ser 0 hasta ese tiempo. Nota.- La equivalencia causalidad ≡ reposo inicial se aplica solo a sistemas lineales. Ejemplo y[n] = 2x[n]+3 no es lineal, pero es causal y sin memoria.

⇒

Sin embargo, si x[n] = 0 y[n] = 3 ≠ 0 luego no satisface la condición de reposo inicial. Para un sistema LTI discreto causal, como h[n] = 0, n < 0 entonces

que es igual Sistemas en tiempo discreto y ecuaciones de diferencias El cálculo de la convolución

Solo es aplicable en sistemas LTI que tienen una respuesta al impulso de longitud finita (llamados también sistemas FIR por Finite Impulse Response), puesto que de otro modo se requeriría de una memoria infinita para almacenar , y aun número infinito de multiplicaciones y adiciones.

ℎ  

Las llamadas ecuaciones de diferencias permiten trabajar con sistemas con una respuesta al impulso de longitud infinita (o sistemas IIR por Infinite Impulse Response), y son el equivalente en el dominio discreto de las ecuaciones diferenciales. Un sistema causal es recursivo si su salida en el instante n depende no solo de los valores presentes y pasados a la entrada, sino también de valores anteriores de la salida

∗

Donde denota una función cualquiera con argumentos iguales a las entradas y salidas presentes y pasadas. El sistema se denomina no recursivo si depende únicamente de las entradas presentes y pasadas:

Nótese que los sistemas LTI causales con una respuesta finita al impulso de longitud M son no recursivos, puesto que pueden expresarse de la forma

que depende de la entrada actual



y las M-1 entradas anteriores GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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En general, los sistemas recursivos tienen respuestas al impulso nfinitas, pero que pueden calcularse en un número finito de pasos considerando las salidas anteriores. Esto tiene la inconveniencia de que la salida de un sistema recursivo debe calcularse en orden estrictamente secuencial, por requerirse los cálculos de dichas salidas anteriores. En un sistema no recursivo las salidas anteriores no son consideradas y se puede calcular un valor para cualquier n directamente Ejemplo: El sistema de media acumulativa

Es recursivo pues

Los sistemas descritos por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes son una subclase de los sistemas recursivos y no recursivos.

Para la media acumulativa, los coeficientes sistema es variante en el tiempo.

+  +

son dependientes del tiempo y el


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1

Evalúese ahora la respuesta de este sistema ante una entrada condición inicial

  

causal y con una

El término depende de las condiciones iniciales y se obtendría si la entrada fuese cero (zero input), como resultado del estado inicial del sistema y de sus características propias. A se le denomina respuesta natural o libre del sistema, o también, respuesta a entrada nula. El término se obtiene cuando el estado del sistema es cero ( zero state ), es decir, con una entrada cuando el sistema está en reposo, y se le denomina respuesta en estado nulo o respuesta forzada. Nótese que en el ejemplo, como la convolución de

puede interpretarse

con la respuesta del impulso

Donde los índices son finitos debido a la causalidad de ambas señales y . Este ejemplo corresponde a una ecuación de diferencias de primer orden, y es un caso particular de la ecuación de diferencias:

O con ao=1


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Donde el entero N recibe el nombre d orden de la ecuación de diferencias u orden del sistema. Las condiciones iniciales resumen toda la historia pasada del sistema, y son necesarias para efectuar el cálculo de las salidas presentes y futuras. La respuesta al impulso en sistemas recursivos se define como la respuesta del sistema cuando la entrada es igual al impulso , y el sistema está inicialmente en reposo. Cualquier sistema recursivo descrito por una ecuación de diferencias lineal con coeficientes constantes es un sistema de respuesta infinita al impulso, pero no todo sistema de respuesta infinita LTI puede ser descrito con estas ecuaciones. Usamos la propiedad de desplazamiento

Lo que quiere decir que cualquier sistema en tiempo discreto por una ecuación de diferencias con coeficientes constantes tiene una función de transferencia racional. Puesto que la descomposición en fracciones parciales de H(z) contendrá una suma de términos con un único polo de orden n, los cuales corresponden en el dominio n con una secuencia de longitud infinita, se deriva que todo el sistema descrito por una ecuación de diferencias con coeficientes constantes tiene una respuesta al impulso de longitud infinita


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4. TRANSFORMADA Z UNILATERAL Al igual que en el caso de sistemas de tiempo continuo, la mayoría de aplicaciones en ingeniería involucra sistemas y señales causales, por lo que tiene sentido definir la transformada z unilateral. 4.1 DEFINICION La transformada z unilateral se define como:

Y la relación se denota como

 −   =  ↔  .

La transformada z unilateral y la bilateral se diferencian en el límite inferior de la sumatoria, y presenta por lo tanto las siguientes características:





1. No contiene información sobre a señal para los valores negativos de . 2. Es únicamente solo para señales causales, puesto que estas son la únicas señales que son cero para 3. 4. Puesto que es causal, la ROC de su transformada es siempre exterior al círculo. Por lo tanto, cuando se trate con transformada z unilateral, no es necesario referirse a su región de convergencia.

0.    .



Ejemplo 5.1 Determine la transformada z unilateral de: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

  1,↑ 2,5,7,0,1.    1,2,5↑,7,0,1.   2,4,5↑,7,0,1.    . , 0.     , 0. − 5− 7− 1− 12 − − 57 − − 57 1− 0

Solución: 1. 2. 3. 4. 5. 6.


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 ≠ .

  

Nótese que la transformada z unilateral no es única para señales con componentes anticausales diferentes (por ejemplo , aun cuando Para señales anticausales, siempre será cero.



Las propiedades de esta transformada son similares a las de la transformada z bilateral, pero el desplazamiento merece especial atención. 4.2 Retraso temporal Si

 ↔ ,

para

entonces

      ↔ −      = 0     −        = −  =− −+  =− −−  −  −  − =− − − =− −    =   −      = . Si

es causal entonces

.

Demostración:

Nótese que si se desplaza deben considerarse.



hacia la derecha entonces aparecen k nuevas muestras que

4.3 Adelanto temporal Si

 ↔ ,

para

entonces

−   −    ↔      =

0    −      = −  =−−     = − −  − −   −       = = = .

Demostración:

Nótese que si la señal se desplaza a la izquierda, entonces k muestras de la transformada X(z) deben desaparecer. Ejemplo 4.2 Calcule la transformada z unilateral de: GRUPO 9- FUNCIONES ANALITICAS

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1. 2. 3.

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 . 2.  2

.

Solución:

   11 −     2 −      = −      [   1 ]    2  −  1− −− −  −   2      = 1  1 − 1−  1−  

1. Se cumple:

2.

3.

La propiedad de desplazamiento de la transformada z unilateral de utiliza en la solución de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes y condiciones i niciales no nulas. 4.4 Teorema del valor final Se tiene que:

Y además:

 −  lim→ =   1 0 lim→ = 1−  1  0    1  0   − −    l →im   1  = =

Con lo que se tiene:


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 − −    1−−    l →im   1  = =− − − − − −−         lim→  1    1   0   1  = = − − −−  1−  0    lim→  1  = − −−1  1−  0   lim →  1  =

Con lo que se deduce:

− −−1  1−10   1 lim→   1  =

Y aplicando el límite cuando z tiende a 1 a ambos lados se obtiene:

1 

lim  lim→1  →

||1      . , ||1,   ℎ   →∞.  ℎ ∗ ↔ 11 − 11 −  ||1  −−   1 ∞lim→1 1  1 ⏟

Lo que se conoce como teorema de valor final. En la demostración se ha asumido que la ROC de incluye a . Este teorema se utiliza para calcular el valor asintótico de la señal infinito, si se conoce pero no Ejemplo 4.3

cuando tiende a

Determine la respuesta del sistema con respuesta impulsional escalón unitario, cuando

ante un

Solución: La salida del sistema ante la entrada dada se calcula en el dominio z como:

, ROC:

4.5 Respuesta natural y forzada

:||><

Las propiedades de desplazamiento en el tiempo de la transformada z unilateral permiten evaluar el comportamiento de un sistema cuando las condiciones iniciales no son nulas. En general, si se asume que el sistema esta e reposo, es decir, si se asume que todas las condiciones iniciales del sistema son nulas, entonces la respuesta del sistema ante la entrada causal se conoce como respuesta forzada del sistema. Si por otro lado la entrada es nula,








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  

pero el sistema tiene condiciones iniciales no nulas, entonces a la reacción del sistema a partir de la muestra cero se le conocen como respuesta natural del sistema. La respuesta total del sistema es entonces aquella conformada por las respuestas natural y forzada. El siguiente ejemplo ilustra estos conceptos. Ejemplo 4.4 Un sistema LTI en tiempo discreto esta descrito por la ecuación de diferencias:

  45  1  14  2   2   10   2 4

Encuentre la respuesta natural del sistema ante las condiciones iniciales

y

y la respuesta forzada del sistema ante un escalón unitario. Solución:

  45  − 1    − 1− 2 − 1− 2  1 45 −  14 −1− 45 1  14 2  14 −1 4 1 1 − −   1   2  1 4 4  1 45 −  14 −  5 1 45 −  14 − 1 ̆ ̆

Aplicando la transformada z unilateral, sus propiedades de retraso en el tiempo, y considerando que la entrada es causal, se cumple:

Obsérvese que ambas componentes, la natural y la forzada, comparten los mismos polos, y determinan así la forma de señales en cuanto a atenuación/amplificación exponenciales y la frecuencia de las componentes oscilatorias. Los ceros serán responsables de la fase y amplitud de las señales resultantes.

0 4 1 1 −         1    2     1 5 4 4  1 45 −  14 − 1 2 3 −  1 45 −1  14 −  125  103 −1 5  10 

La respuesta natural del sistema se obtiene haciendo

:

Y con las condiciones iniciales dadas


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1 2 1 2    1252 1033 −  1252 1033 −   1 3 4 1 2 . 4 3 2 . 34 − 1  1 45 −  14 − 11 −

Y por lo tanto

La respuesta forzada ante un escalón unitario estará dado por la transformada z inversa de

El cero en 1 se cancela con el polo en el mismo sitio. Además por descomposición en fracciones parciales se puede demostrar que la expresión se puede reescribir como:

− − 1 1  1 45 −  14 −  125  103 −125  103 − 1 7 1 7    1252 1033 −  1252 1033 −   1 3 14 1  2 . 4  3 2 . 34

Que corresponde a la señal:


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5.INTERCONEXIÓN DE SISTEMAS

Los siguientes conceptos se aplican tanto a sistemas discretos como continuos. Puesto que en los dominios de la frecuencia jw, s y z la convolución del tiempo se transforma en un producto algebraico, además de que las transformaciones son lineales, esto permite generalizar los conceptos a los tres dominios por igual. Se tratara aquí el caso especial de los sistemas discretos, pero los principios son válidos si se sustituye la variable discreta n por la variable continua t, y si se reemplaza el dominio z y la transformada z, por el dominio s y la transformada de Laplace.

Hay dos maneras fundamentales de interconectar sistemas: interconexión en cascada (serie) e interconexión paralela (figura 5.16). La interconexión en cascada se describe con sistemas de la forma:

 

En general, para la conexión en cascada el orden de los bloques no es relevante. Si los sistemas son lineales e invariantes en el tiempo entonces Tc es invariante en el tiempo, y .

La interconexión en paralelo se describe por

Figura 5.16: Interconexión de sistemas discretos. (a) Cascada. (b) Paralelo


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 ∗



Nótese que si el sistema es LTI, entonces se cumple dominio esta relacion se puede representar por cumple se concluye que

y por tanto en el Puesto que también se

 En otras palabras la función de transferencia de la cascada de sistemas es igual al producto de las mismas. Para la conexión en paralelo se puede hacer uso de la linealidad y as obtener

 

DIAGRAMAS DE BLOQUES Sumador El sumador es un bloque que realiza la adición entre dos señales, sumando las muestras en un instante dado y se representa como lo indica la figura 5.17.

Figura 5.17: Diagrama de un sumador.

Multiplicador por constante

El multiplicador por constante es un bloque que escala la amplitud y cambia la fase de una señal, y se representa como lo indica la figura 5.18.

Figura 5.18: Diagrama de un multiplicador por constante


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Multiplicador de señal

El multiplicador de señal es un bloque que multiplica en cada instante de tiempo sus diversas entradas. Este es representado como lo indica la figura 5.19.

Figura 5.19: Diagrama de un multiplicador de señales.

Retardador de un elemento

El retardador es un bloque que retrasa la señal de entrada en una unidad de tiempo. Este es utilizado principalmente en el análisis y modelado de sistemas discretos. Se representa como lo indica la figura 5.20.

Figura 5.20: Diagrama de elemento retardador.

Adelantador de un elemento

El adelantador es un elemento que adelanta una señal una unidad de tiempo en el futuro. No es realizable físicamente y solo existe en sistemas discretos que operan “fuera de la línea". Se

representa como lo indica la figura 5.21.

Figura 5.21: Diagrama de elemento adelantador.


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Ejemplo 5.33 Realice el diagrama de bloques para

Solución Nótese primero que esta expresión puede reescribirse de la siguiente forma:

Con lo que se deriva fácilmente el diagrama mostrado en la figura 5.22.

Figura 5.22: Diagrama de bloques de la ecuación 5.22. Ejemplo 5.34 Encuentre la función de transferencia del sistema mostrado en la siguiente figura 5.23. Figura 5.23: Diagrama de bloques de la ecuación 5.23.


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Solución: Las funciones en los bloques denotan sus respuestas al impulso. Así se tiene que el bloque y señales tienen las siguientes transformadas:

 

 

La señal se obtiene con la substracción de la entrada y la salida del bloque con funcion de transferencia , y se cumple entonces en el dominio que .

Aplicando las propiedades de linealidad y de convolucion se tiene que

,



Esta estructura será utilizada ampliamente en control automático. Nótese que si son funciones racionales, entonces también lo será.




, y

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TRANSFORMADA Z APLICADA A LA INGENIERIA ELECTRONICA.docx

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