Bab 3a Transformasi Fourier Waktu-Diskrit Kuliah PSD 01 (MFS4617)
[email protected]
Latar Belakang • Sist Siste em LTI LTI dinyatakan dalam tanggapan terhadap masukan cuplikan satuan (tanggap cuplikan satuan – unit impulse response h(n)): h(n) ):
• Bent Bentuk ukny nya a Konvolusi: sembarang sinyal bisa dinyatakan dengan kombinasi linear cuplikan satuan yang terskala dan yang tertunda ; • Sembara Sembarang ng sinya sinyall diskrit diskrit kombiasi sinyal dasar tiap sinyal dasar penyajian sinyal baru punya kelebihan dan kelemahan; • Ada satu cara cara penyajia penyajian n yang sangat sangat berman bermanfaat faat berbasis sinyal eksponensial kompleks e j n DTFT;
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
2
DTFT • DTFT = Discrete-time Fourier Transform Transformasi Fourier dalam Waktudiskrit; • Rumu Rumus s DTFT DTFT::
• Rumu Rumus s IDT IDTFT FT::
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
3
1
Contoh 3.1 & Solusinya • Tent Tentuka ukan n DTFT DTFT dari dari x(n) = 0.5 n u(n)!
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
4
Contoh 3.2 & Solusinya
• Karena X(e j n ) merupakan sebuah fungsi nilai-kompleks nilai-kompleks perlu digambarkan bagian besaran dan sudut-nya (bagian nyata dan imajiner-nya) terhadap w secara terpisah untuk mendeskripsikan X(e j n ) secara visual; • Menggu Menggunak nakan an nilai nilai antara 0 hingga ;
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
5
2 (dua) (dua) Sifat Sifat Penting Penting •
Periodisitas: Periodisitas : DTFT DTFT X(e X(e j n ) bersifat periodik dalam ranah- ; dengan periode 2; hanya dibutuhkan satu periode saja (;[0,2>] atau atau [->,>]) untuk analisa:
•
Simetris: Simetris : untuk untuk nilai-nyata nilai-nyata x(n) , X(e j n ) bersifat simetrik konjugat:
•
Atau Atau ditu dituli liska skan: n:
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
6
2
Contoh 3.1 & Solusinya • Tent Tentuka ukan n DTFT DTFT dari dari x(n) = 0.5 n u(n)!
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
4
Contoh 3.2 & Solusinya
• Karena X(e j n ) merupakan sebuah fungsi nilai-kompleks nilai-kompleks perlu digambarkan bagian besaran dan sudut-nya (bagian nyata dan imajiner-nya) terhadap w secara terpisah untuk mendeskripsikan X(e j n ) secara visual; • Menggu Menggunak nakan an nilai nilai antara 0 hingga ;
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
5
2 (dua) (dua) Sifat Sifat Penting Penting •
Periodisitas: Periodisitas : DTFT DTFT X(e X(e j n ) bersifat periodik dalam ranah- ; dengan periode 2; hanya dibutuhkan satu periode saja (;[0,2>] atau atau [->,>]) untuk analisa:
•
Simetris: Simetris : untuk untuk nilai-nyata nilai-nyata x(n) , X(e j n ) bersifat simetrik konjugat:
•
Atau Atau ditu dituli liska skan: n:
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
6
2
2 (dua) (dua) Sifat Sifat Penting Penting • Implikasi Simetrik untuk menggambar X(e j n ) hanya perlu diperhatikan setengah periode-nya saja secara umum periode ini adalah [0, ] • Contoh Contoh 3.3: 3.3: untuk untuk persam persamaan aan x(n) = 0.5 n u(n)!
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
7
Solusi Contoh 3.3 w = [0:1:500]*pi/500; [0:1:500]*pi/500; % [0, [0, pi] axis divided into 501 points. points. X = exp(j*w) exp(j*w) ./ (exp(j*w) (exp(j*w) - 0.5*ones( 0.5*ones(1,501 1,501)); )); magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); % -subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part'); ylabel('Magnitude ylabel('Magnitude') ') % -subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part'); ylabel('Radians') % -subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Real Part'); ylabel('Real') % -subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary Part'); ylabel('Imaginary ylabel('Imaginary') ')
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
8
Solusi Contoh 3.3 Magnitude Part
Real Part
2
2
1.5
e d u t i n g a M
1.5 l a e R
1
0.5
1
0
0.2
0.4 0.6 0.8 frequency in pi units
1
0.5 0
0.2
Angle Part 0
-0.2
-0.2
s n a i d -0.4 a R
y r a n i g -0.4 a m I
-0.6
-0.6
[email protected]
1
Imaginary Part
0
-0.8
0.4 0.6 0. 8 frequency in pi units
0
0.2
0.4 0.6 0.8 frequency in pi units
1
-0.8
0
0.2
0.4 0.6 0. 8 frequency in pi units
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
1
9
3
Komputasi Numerik DTFT • Misalkan Misalkan x(n) x(n) memiliki memiliki N cuplikan cuplikan (data) (data) antara antara n1 n1 n2 (tidak perlu dalam jangkauan [0,N-1]) dan akan dievaluasi X(e j n ) pada:
E
nE
• yang panjangnya panjangnya (M+1) (M+1) antara antara [0,] sehing sehingga ga persamaan (3.1) dituliskan:
• Jika { x(n ) dan { X(e dalam vektor kolom X(e j n )} disusun dalam l } dan masing-masing x dan X, maka:
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
10
Komputasi Numerik DTFT •
Dengan W adalah matriks (M+1) x N:
•
Jika Jika kit kita a sus susun un {k } dan dan {nl } masing-masing sebagai vektor baris k dan n, maka maka::
•
Di MATLAB, MATLAB, disajikan disajikan sebagai sebagai vetkor baris, baris, sehingga sehingga persam persamaan aan (3.3) menjadi:
•
Bentuk nTk merupakan matriks N x (M+1). (M+1). Sekarang persamaan persamaan (3.4) dapat dituliskan dalam MATLAB:
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
11
Contoh 3.4 & Solusinya • •
Hitunglah DTFT dari deret di contoh 3.2 secara numerik dengan MATLAB! S ol us usi ny ny a:
n = -1:3; x = 1:5; % sequence sequence x(n) k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 points. X = x * (exp(-j*p (exp(-j*pi/50 i/500)) 0)) .^ (n'*k) (n'*k); ; % DTFT using matrix-vec matrix-vector tor product product magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part'); ylabel('Magnitude ylabel('Magnitude') ') subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part'); ylabel('Radians') subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Real Part'); ylabel('Real') subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); grid xlabel('frequency xlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary Part'); ylabel('Imaginary')
[email protected]
II I.I.A. Transfo rm rm asi Four ier W ak aktu Diskrit
12
4
Contoh 3.4 & Solusinya Magnitude Part
Real Part
15
15
10 e d u t i n g a
10
M
l a e
R
5
5 0
0
0
0.2
0.4 0.6 0.8 frequency in pi units
-5
1
0
0.2
Angle Part
0.4 0.6 0.8 frequency in pi units
1
Imaginary Part
4
5
2 y r a n i g a
s n a i d 0 a R
0
m I
-5
-2
-4
[email protected]
0
0.2
0.4 0.6 0.8 frequency in pi units
1
-10 0
0.2
0.4 0.6 0.8 frequency in pi units
1
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
13
Contoh 3.5 & Solusinya • Diketahui persamaan x(n)=(0.9 e(j /3) )n. n j untuk 0n10. Tentukan X(e ) dan periksalah periodisitas-nya! • Solusi:
– Karena merupakan deret bilangan kompleks hanya memenuhi sifat periodisitas; – Hanya untuk satu periode saja (hingga 2>); – Akan digambarkan sebanyak 401 titik antara dua periode [- 2>, 2>] untuk melihat periodisitas-nya;
[email protected]
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
14
Contoh 3.5 & Solusinya subplot(1,1,1) n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);grid axis([-2,2,0,8]) xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('|X|') title('Magnitude Part') subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);grid axis([-2,2,-1,1]); xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('radians/pi'); title('Angle Part');
[email protected]
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
15
5
Contoh 3.5 & Solusinya Magnitude Part 8
6 | X4 |
2
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0 0.5 frequency in units of pi
1
1.5
2
1
1.5
2
Angle Part 1
0.5 i p / s n a i d a r
0
-0.5
-1 -2
[email protected]
-1.5
-1
-0.5
0 0.5 frequency in units of pi
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
16
Contoh 3.6 & Solusinya • Diketahui persamaan x(n)=(-0.9)n untuk -5EnE5. Periksalah sifat simetrik konjugat pada DTFT-nya! • Solusi: – Terlihat bahwa persamaan merupakan bilangan nyata (real ) sehingga ada sifat simetrik konjugat-nya
[email protected]
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
17
Contoh 3.6 & Solusinya subplot(1,1,1) n = -5:5; x = (-0.9).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);grid axis([-2,2,0,15]) xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('|X|') title('Magnitude Part') subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX)/pi;grid axis([-2,2,-1,1]) xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('radians/pi') title('Angle Part')
[email protected]
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
18
6
Contoh 3.6 & Solusinya Magnitude Part 15
10 | X |
5
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0 0.5 frequency in units of pi
1
1.5
2
1
1.5
2
Angle Part 3 2 i p / s n a i d a r
1 0 -1 -2 -3 -2
-1.5
-1
[email protected]
-0.5
0 0.5 frequency in units of pi
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
19
Bersambung • Berikutnya... – 3B: Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)!
[email protected]
II I.A. Transfo rm asi Four ier W aktu Diskrit
20
7
3B – Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) Kuliah PSD 01 (MFS4617)
[email protected]
Linearitas 1. Linearity (Linearitas): Transformasi Fourier waktu-diskrit merupakan suatu bentuk transformasi yang linear, hal ini dicirikan melalui persamaan berikut:
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
2
Penggeseran waktu dan frekuensi 2.
Time Shifting (Pergeseran Waktu): suatu perpindahan dalam ranah waktu ditujukan untuk perpindahan fase, hal ini dinyatakan dengan persamaan berikut:
3.
Frequency shifting (Pergeseran Frekuensi): Perkalian dengan sebuah eksponensial kompleks merupakan suatu penggeseran dalam ranah frekuensi:
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
3
1
Konjugasi dan Pelipatan 4.
Conjugation (konjugasi): Konjugasi dalam ranah waktu merupakan lipatan dan konjugasi dalam ranah frekuensi:
5.
Folding (pelipatan): Lipatan dalam ranah waktu merupakan lipatan dalam ranah frekuensi
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
4
Simetri dalam deret nyata 6.
Simetri dalam deret nyata:
Implikasi: Jika urutan x(n) adalah real dan genap, hanya satu plot [0, ] yang dapat digunakan untuk penyajian lengkap.
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
5
Konvolusi vs. Perkalian 7.
Convolution (Konvolusi) : ini merupakan salah satu dari sifatsifat yang sangat berguna dalam analisis sistem yang sesuai dalam ranah frekuensi
8.
Multiplication (Perkalian) : ini merupakan suatu sifat konvolusi rangkap dua
Convolution (konvolusi) seperti operasi diatas disebut dengan konvolusi periodik ( periodic convolution).
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
6
2
Energi sinyal 9. Energy (energi): Energi dari sinyal x(n) dituliskan dengan persamaan berikut:
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
7
Catatan Sifat-sifat TFWD Hal ini juga dikenal sebagai Teorema Parseval. Dari (3.13) spektrum densitas energi dari x(n) didefinisikan sebagai berikut
Selanjutnya energi dari x(n) dalam pita atau jangkauan [1,2] dinyatakan dengan
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
8
Contoh soal 3.7 • Dalam contoh ini akan dibuktikan sifat linearitas menggunakan sinyal/deret real durasi-terbatas x 1(n) dan x 2(n), yang merupakan dua deret acak yang didistribusikan antara [0,1] untuk jangkauan 0 n 10. • Selanjutnya kita dapat menggunakan prosedur TFWD sebagai berikut… (Matlab):
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
9
3
Contoh soal 3.7 – Solusi Matlab x1 = rand(1,11); x2 = rand(1,11); n = 0:10; alpha = 2; beta = 3; k = 0:500; w = (pi/500)*k; X1 = x1 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT of x1 X2 = x2 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT of x2 x = alpha*x1 + beta*x2; % Linear combination of x1 & x2 X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT of x % verification X_check = alpha*X1 + beta*X2; % Linear Combination of X1 & X2 error = max(abs(X-X_check)) % Difference error = 7.9441e-015
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
10
Contoh soal 3.8 • x(n) merupakan deret acak yang didistribusikan antara [0,1] untuk jangkauan 0 n 10 dan y(n) = x(n – 2). • Selanjutnya kita dapat membuktikan contoh sifat penggeseran sebagai berikut…
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
11
Contoh soal 3.8 – Solusi Matlab x = rand(1,11); n = 0:10; k = 0:500; w = (pi/500)*k; X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % signal shifted by two samples y = x; m = n+2 ; Y = y * (exp(-j*pi/500)).^(m'*k); % verification Y_check = (exp(-j*2).^w).*X; error = max(abs(Y-Y_check))
% DTFT of x
% DTFT of y % multiplication by exp(-j2w) % Difference
error = 8.4843e-015
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
12
4
Contoh soal 3.9 • Untuk membuktikan sifat penggeseran frekuensi kita akan menggunakan pendekatan grafik (visualisasi)…
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
13
Contoh soal 3.9 – Solusi Matlab n = 0:100; x = cos(pi*n/2); k = -100:100; w = (pi/100)*k; % frequency between -pi and +pi X = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of x % y = exp(j*pi*n/4).*x; % signal multiplied by exp(j*pi*n/4) Y = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of y % Graphical verification subplot(1,1,1) subplot(2,2,1); plot(w/pi,abs(X)); grid; axis([-1,1,0,60]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|X|') title('Magnitude of X') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angle(X)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('radiands/pi') title('Angle of X') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(Y)); grid; axis([-1,1,0,60]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|Y|') title('Magnitude of Y') subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(Y)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('radians/pi') title('Angle of Y')
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
Magnitude of X
14
Angle of X
60
1
50 0.5 40
i p / s d n a i d a r
| X30 |
20
0
-0.5 10 0 -1
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
-1 -1
1
Magnitude of Y
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
1
Angle of Y
60
1
50 0.5 40
i p / s n a i d a r
| Y30 |
20
0
-0.5 10 0 -1
[email protected]
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
1
-1 -1
III.B. Sifat2 TFWD
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
1
15
5
Contoh soal 3.10 • Membuktikan sifat konjugasi diketahui sinyal x(n) merupakan sinyal acak bilangan kompleks untuk –5 n 10 yang secara umum didistribusikan antara [0,1].
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
16
Contoh soal 3.10 – Solusi Matlab n = -5:10; x = rand(1,length(n)) + j*rand(1,length(n)); k = -100:100; w = (pi/100)*k; % frequency between -pi and +pi X = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of x % conjugation property y = conj(x); % signal conjugation Y = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of y % verification Y_check = conj(fliplr(X)); % conj(X(-w)) error = max(abs(Y-Y_check)) % Difference error = 1.1382e-013
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
17
Contoh soal 3.11 • Untuk membuktikan sifat pelipatan, diketahui sinyal x(n) merupakan sinyal acak untuk –5 n 10 yang secara umum didistribusikan antara [0,1].
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
18
6
Contoh soal 3.11 – Solusi Matlab n = -5:10; x = rand(1,length(n)); k = -100:100; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % folding property y = fliplr(x); m = -fliplr(n); Y = y * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k); % verification Y_check = fliplr(X); error = max(abs(Y-Y_check))
% frequency between -pi and +pi % DTFT of x % signal folding % DTFT of y % X(-w) % Difference
error = 1.6012e-015
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
19
Contoh soal 3.12 • Dalam masalah ini akan dibuktikan sifat simetri dari sinyal real
kemudian menggunakan fungsi evenodd.m (pada Bab 2), dapat dihitung bagian genap dan ganjil-nya, kemudian dievaluasi TFWD-nya…
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
20
Contoh soal 3.12 – Solusi Matlab n = -5:10; x = sin(pi*n/2); k = -100:100; w = (pi/100)*k; % frequency between -pi and +pi X = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT of x % signal decomposition [xe,xo,m] = evenodd(x,n); % even and odd parts XE = xe * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k); % DTFT of xe XO = xo * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k); % DTFT of xo % verification XR = real(X); % real part of X error1 = max(abs(XE-XR)) % Difference XI = imag(X); % imag part of X error2 = max(abs(XO-j*XI)) % Difference
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
21
7
Contoh soal 3.12 – Solusi Matlab % graphical verification subplot(1,1,1) subplot(2,2,1); plot(w/pi,XR); grid; axis([-1,1,-2,2]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Re(X)'); title('Real part of X') subplot(2,2,2); plot(w/pi,XI); grid; axis([-1,1,-10,10]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Im(X)'); title('Imaginary part of X') subplot(2,2,3); plot(w/pi,real(XE)); grid; axis([-1,1,-2,2]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('XE'); title('Transform of even part') subplot(2,2,4); plot(w/pi,imag(XO)); grid; axis([-1,1,-10,10]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('XO'); title('Transform of odd part')
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
Real part of X
Imaginary part of X
2
10
1
5
) X ( e 0 R
) X (
m I
-1
-2 -1
0
-5
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
1
-10 -1
Transform of even part
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
1
Transform of odd part
2
10
1
5
E 0 X
O X
-1
-2 -1
22
0
-5
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
[email protected]
1
-10 -1
-0.5 0 0.5 frequency in pi units
III.B. Sifat2 TFWD
1
23
Bersambung… • Berikutnya... – 3C: Penyajian sistem LTI dalam RanahFrekuensi!
[email protected]
III.B. Sifat2 TFWD
24
8
3C – Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi Kuliah PSD 01 (MFS4617)
[email protected]
Tanggap Eksponensial Kompleks • x(n)=e j on merupakan suatu masukan terhadap sistem LTI yang dinyatakan dengan tanggap impuls h(n)…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
2
Definisi-1: Tanggap Frekuensi • TFWD dari suatu tanggap impuls disebut tanggap frekuensi (Fungsi Alih) dari suatu sistem LTI dan dinyatakan dengan persamaan…
H (e ) h(n)e • Dengan demikian persamaan (3.15) dapat dituliskan sebagai… j n
[email protected]
j n
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
3
1
Definisi-1: Tanggap Frekuensi • Hasil selanjutnya dapat diperluas dengan kombinasi linear antar eksponensial kompleks menggunakan linearitas sistem LTI…
• Pada umumnya tanggap frekuensi H(e j ) adalah suatu fungsi kompleks dari . Magnitude | H(e j )| dari H(e j ) disebut sebagai fungsi tanggap magnitude (atau gain) dan sudut H(e j ) disebut fungsi tanggap fase.
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
4
Tanggap thd Deret Sinusoidal • x(n)=A.cos( 0n+ 0 ) sebagai masukan ke sistem LTI h(n). Maka dari persamaan (3.17) dapat ditunjukkan bahwa tanggap y(n) merupakan sinusoid lain dari frekuensi ;0 yang sama, dengan amplitudo yang dikuatkan |H(e j )| sebesar dan fase yang digeser sebesar H(e j ), sehingga…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
5
Tanggap thd Deret Sinusoidal • Tanggap ini (persamaan 3.18) disebut dengan Tanggap Kondisi-Tetap (Steady State) dan dinyatakan dengan y ss(n). Persamaan tersebut dapat diperluas menjadi sebuah kombinasi linear deret sinusoidal:
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
6
2
Tanggap thd Sembarang Deret • Persamaan 3.17 dapat digeneralisasi ke bentuk deret yang dapat secara abs olut-dijumlahkan (absolute summable).Jika X(e j n )=F[x(n)] dan Y(e j n )=F[y(n)] , maka dengan menggunakan Sifat konvolusi diperoleh… • Dengan demikian, sebuah sistem LTI dapat dinyatakan dalam ranah frekuensi sebagai…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
7
Contoh Soal 3.13 • Tentukan tanggap frekuensi H(e j ) dari suatu sistem yang dicirikan dengan h(n)=(0.9)nu(n). Gambarkan besaran dan tanggap fase-nya…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
8
Contoh Soal 3.13 - Solusi
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
9
3
Contoh Soal 3.13 - Solusi • Untuk menggambarkan tanggap ini, dapat diimplementasikan fungsi | H(e j )| dan H(e j ) atau tanggap frekuensi H(e j ), kemudian melakukan proses perhitungan besaran dan fase-nya, berikut Matlabnya…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
10
Contoh Soal 3.13 - Solusi w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501pts. X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.9*ones(1,501)); magX = abs(X); angX = angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX); grid; axis([0,1,0,10]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|H|'); title('Magnitude Response'); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi); grid xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Phase in pi Radians'); title('Phase Response');
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
11
Contoh Soal 3.13 – Visualisasi Matlab Magnitude Response 10 8 6 | H |
4 2 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 frequency in pi units
0.7
0.8
0.9
1
0.7
0.8
0.9
1
Phase Response 0
s n -0.1 a i d a R i p -0.2 n i e s a h -0.3 P
-0.4
[email protected]
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 frequency in pi units
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
12
4
Contoh Soal 3.14 • Misalkan masukan ke sistem pada contoh 3.13 adalah 0.1u(n), tentukan tanggap kondisi-tetap (steady-state) y ss(n)…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
13
Contoh Soal 3.14 - Solusi • Masukan bukan deret yang secara absolut-dapatdijumlahkan TFWD tidak t erlalu bermanfaat! • Tapi bisa dipakai untuk menghitung tanggap kondisitetap (steady-state response)! • Dalam kondisi tetap, untuk n U, masukan merupakan konstanta (atau sebuah sinusoidal dengan ;0 = V0 = 0), dengan demikian keluarannya adalah… y ss(n) = 0.1 x H(e j0 ) = 0.1 x 10 = 1 • Dengan penguatan sistem pada ;=0 (penguatan DC) adalah H(e j )=10 (dari gambar contoh sebelumnya).
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
14
Fungsi Tanggap Frekuensi dari Persamaan Beda • Jika sebuah Sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda … • maka untuk mengevaluasi tanggap frekuensi dari pers 3.16, dibutuhkan tanggap impuls h(n). Namun dengan pers 3.17 dapat dengan mudah diperoleh H(e j ) • Jika x(n)=ej n, maka y(n) harus , substitusikan ke pers 3.20 diperoleh…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
15
5
Fungsi Tanggap Frekuensi dari Persamaan Beda
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
16
Contoh Soal 3.15 •
Sebuah sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda berikut… y(n) = 0.8y(n-1) + x(n)
1. Tentukan H(e j ) 2. Hitung dan gambarkan tanggap kondisitetap y ss(n) untuk x(n)=cos(0.05 n)u(n)
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
17
Contoh Soal 3.15 - Solusi •
Tuliskan kembali persamaan beda menjadi… y(n) – 0.8y(n-1) = x(n) 1. Menggunakan pers 3.21 diperoleh…
2. Untuk kondisi-tetap, masukannya adalah x(n)=cos(0.05 n) dengan frekuensi 0=0.05 dan 0=0° . Tanggap sistemnya adalah
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
18
6
Contoh Soal 3.15 – Solusi Matlab subplot(1,1,1) b = 1; a = [1,-0.8]; n=[0:100];x = cos(0.05*pi*n); y = filter(b,a,x); subplot(2,1,1); stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('Input sequence') subplot(2,1,2); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('Output sequence')
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
19
Contoh Soal 3.15 – Visualisasi Matlab Input sequence 1
0.5 ) n ( x
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50 n
60
70
80
90
100
3.42
Output sequence 5
4.092 ) n ( y
0
-5
[email protected]
0
10
20
30
40
50 n
60
70
80
90
100
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
20
Asumsi vs. Kenyataan • Contoh 3.15 persamaan beda orde pertama (1st order) dengan mudah dapat diimplementasikan dengan 3.22 menggunakan Matlab; • Kenyataannya orde persamaan lebih tinggi perlu prosedur yang efektif atau singkat untuk implementasi 3.21; • Gunakan perkalian vektor matriks sederhana Jika kita evaluasi H(e j ) pada frekuensi k=0,1,…,K yang sama jaraknya dari [0, ], maka…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
21
7
Asumsi vs. Kenyataan
• Jika {bm }, {a } } l (dengan a0=1) , {m=0,..,M}, {l=0,..,N} dan { k merupakan larik (atau vektor baris), maka pembilang dan penyebut pada 3.23 menjadi…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
22
Asumsi vs. Kenyataan • Dengan demikian, larik H(e j ) pada 3.23 dapat dihitung menggunakan operasi ./ di dalam Matlab…
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
23
Contoh Soal 3.15 • Penapis lolos-rendah orde-3 dituliskan sebagai berikut…
• Gambarkan tanggap besaran dan fase dari penapis ini dan verifikasi-lah bahwa persamaan beda tersebut merupakan penapis lolos-rendah!
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
24
8
Contoh Soal 3.15 - Solusi b = [0.0181, 0.0543, 0.0543, 0.0181]; a = [1.0000, -1.7600, 1.1829, -0.2781]; m = 0:length(b)-1; l = 0:length(a)-1; K = 500; k = 1:1:K; w = pi*k/K; % [0, pi] axis divided into 501 points. num = b * exp(-j*m'*w); % Numerator calculations den = a * exp(-j*l'*w); % Denominator calculations H = nu m ./ den; magH = abs(H); angH = angle(H);
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
25
Contoh Soal 3.15 - Solusi subplot(1,1,1); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magH); grid; axis([0,1,0,1]) xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|H|'); title('Magnitude Response'); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angH/pi); grid xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Phase in pi Radians'); title('Phase Response');
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
26
Contoh Soal 3.15 – Visualisasi Matlab Magnitude Response
Ciri-ciripenapis lolos-rendah!
1 0.8 0.6 | H |
0.4 0.2 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 frequency in pi units
0.7
0.8
0.9
1
0.7
0.8
0.9
1
Phase Response 1
s n 0.5 a i d a R i 0 p n i e s a h -0.5 P
-1
[email protected]
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 frequency in pi units
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
27
9
Bersambung • Berikutnya… – 3C: Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog!
[email protected]
III.C. Penyaj ian Sistem L TI dalam RanahFrekuensi
28
10
[email protected]
3D – Pencuplikan & Rekonstruksi Sinyal Analog Kuliah PSD 01 (MFS4617)
[email protected]
Pendahuluan • Dalam berbagai aplikasi – misalnya dunia komunikasi digital – sinyal analog dikonversi ke sinyal diskrit menggunakan pencuplikan dan operasi kuantisasi (Konversi Analog ke Digital atau ADC). • Sinyal diskrit ini diolah oleh Prosesor Sinyal Digital dan sinyal yang diproses dikonversi kembali ke sinyal analog menggunakan operasi rekonstruksi (Konversi Digital ke Analog atau DAC). • Menggunakan Analisa Fourier, kita dapat menjelaskan operasi pencuplikan dari sudut pandang ranah-frekuensi, analisa efek dan melakukan operasi r ekonstruksi yang tepat.
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
2
Pencuplikan • x a(t) merupakan sinyal analog. Transformasi Fourier Waktu-Kontinyu diberikan oleh persamaan sebagai berikut:
• Dimana adalah frekuensi analog dalam radian/detik. Kebalikan dari Tranformasi Fourier Waktu Kontinyu diberikan dengan persamaan berikut:
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
3
1
[email protected]
Pencuplikan • Sekarang kita cuplik x a(t) pada pencuplikan tersendiri Interval T s detik untuk memperoleh sinyal waktu diskrit x(n):
• Transformasi Fourier Waktu Diskrit X(e j n )dari x(n) merupakan jumlah yang dapat dihitung dari s kalaamplitudo, skala-frekuensi dan versi terjemahan dari Transformasi Fourier X a(j )
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
4
Pencuplikan • Persamaan 3.26 tersebut dikenal dengan Persamaan Aliasing. Frekuensi analog dan digital dihubungkan lewat T s.
• Frekuensi Pencuplikan diberikan oleh persamaan berikut:
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
5
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
6
[email protected]
2
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
7
Definisi 2: Sinyal Pita-Terbatas • Suatu sinyal memiliki Pita-Terbatas jika terdapat frekuensi Radian terbatas sedemikian hingga X a(j ) adalah 0 untuk | | > 0. Frekuensi F 0= 0 /2 disebut lebarpita sinyal dalam Hz. • Merujuk gambar 3.10 maka jika > Ts atau F s /2 > F 0 maka bentuk persamaannya adalah sebagai berikut: 0
0
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
8
Teorema-3: Prinsip Pencuplikan • Suatu sinyal pita-terbatas xa(t) dengan lebar pita F dapat direkonstruksi dari nilai cuplikannya x(n) = x (nT s ), jika pencuplikan frekuensi F s = 1 /T s lebih besar daripada dua kali lebar pita F 0 dari xa(t). 0
a
Fs > 2Fo
• Sebaliknya aliasing akan menghasilkan x(n). Laju pencuplikan 2F 0 untuk suatu sinyal analog pita-terbatas disebut Laju Nyquist
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
9
3
[email protected]
Implementasi MATLAB: Pencuplikan • Tidak mungkin menganalisa sinyal analog dengan MATLAB kecuali menggunakan Toolbox Symbolic proses lama; • Jika kita mencuplik xa(t) dengan grid yang baik yang memiliki kenaikan waktu yang cukup kecil sedemikian hingga menghasilkan plot yang halus dan waktu maksimum yg cukup besar untuk bisa menampilkan semua data, maka dapat dilakukan analisa pendekatan. • Misalkan t sebagai interval grid sedemikian hingga t << T s. Maka…
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
10
Implementasi MATLAB: Pencuplikan • Persamaan 3.30 dapat digunakan sebagai suatu larik untuk mensimulasikan sinyal analog. • Interval pencuplikan T s jangan disamakan dengan $t , yang digunakan untuk menyatakan sinyal analog! • Persamaan Transformasi Fourier 3.24 dapat didekati dengan persamaan 3.30, sehingga:
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
11
Contoh 3.17 & Solusi • Tentukan dan Gambarkan Transformasi Fourier dari xa(t) = e-1000|t|. • Solusi, dari persamaan 3.24…
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
12
4
[email protected]
Contoh 3.17 – Solusi (lanjt…) • Yang merupakan suatu fungsi nilai-nyata karena xa(t) merupakan sinyal nyata dan genap. • Untuk mengevaluasi X a(j ) secara numerik maka xa(t) harus didekati dengan deretan grid durasi-terbatas xG(m). • Menggunakan pendekatan e-5 % 0, maka sinyal xa(t) dapat didekati dengan sinyal berdurasi-terbatas antara -0.005 t 0.005 (atau [-5,5] mdetik) • Persamaan 3.32, X a(j& ) % 0 untuk & ' 2 (2000), sehingga dipilih…
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
13
Contoh 3.17 – Solusi Matlab % Analog Signal Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = exp(-1000*abs(t)); % % Continuous-time Fourier Transform Wmax = 2*pi*2000; K = 500; k = 0:1:K; W = k*Wmax/K; Xa = xa * exp(-j*t'*W) * Dt; Xa = real(Xa); W = [-fliplr(W), W(2:501)]; % Omega from -Wmax to Wmax Xa = [fliplr(Xa), Xa(2:501)];
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
14
Contoh 3.17 – Solusi Matlab subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Analog Signal') subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000); xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000') title('Continuous-time Fourier Transform')
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
15
5
[email protected]
Contoh 3.17 – Visualisasi Matlab AnalogSignal 1
x a(t)
0.8 0.6
) t ( a x
0.4 0.2 0 -5
-4
-3
-2
-1
0 t i n m s e c.
1
2
3
4
5
Continuous-timeFo urier Transform 2
- 4000
X a(j 2 )
1.5
0 0 0 1 * ) 1 W j ( a X
4000
0.5
0 -2
[email protected]
-1.5
-1
-0. 5
0 Frequency in KHz
0.5
1
1. 5
2
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
16
Contoh 3.18 •
Untuk mempelajari efek pencuplikan pada kuantitas ranah frekuensi, kita akan mencuplik xa(t) pada contoh 3.17 dengan frekuensi pencuplikan yang berbeda: a. Cuplik xa(t) pada Fs 5000 cuplik/detik untuk menghasilkan x1(n). Tentukan dan gambarkan X 1(e j )! b. Cuplik xa(t) pada Fs 1000 cuplik/detik untuk menghasilkan x2(n). Tentukan dan gambarkan X 2(e j )!
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
17
Contoh 3.18 – Solusi (a) • Karena lebar-pita dari xa(t) adalah 2 kHz maka laju Nyquist-nya adalah 4000 cuplikan/detik, kurang dari Fs yang diinginkan aliasing (hampir) bisa dihindari…
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
18
6
[email protected]
Contoh 3.18 – Solusi Matlab (a) % Analog Signal Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = exp(-1000*abs(t)); % Discrete-time Signal Ts = 0.0002; n = -25:1:25; x = exp(-1000*abs(n*Ts)); % Discrete-time Fourier transform K = 500; k = 0:1:K; w = pi*k/K; X = x * exp( -j *n' *w) ; X = real(X); w = [-fliplr(w), w(2:K+1)]; X = [fliplr(X), X(2:K+1)];
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
19
Contoh 3.18 – Solusi Matlab (a) subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('x1(n)') title('Discrete Signal'); hold on stem(n*Ts*1000,x); gtext('Ts=0.2 msec'); hold off subplot(2,1,2);plot(w/pi,X); xlabel('Frequency in pi units'); ylabel('X1(w)') title('Discrete-time Fourier Transform')
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
20
Contoh 3.18 – Visualisasi Matlab (a) Discrete Signal 1 0.8
) n ( 1 x
Ts=0.2 msec
0.6 0.4 0.2 0 -5
-4
-3
-2
-1
0 t i n m s ec .
1
2
3
4
5
Discrete-time Fourier Transform 10
Bentuk mirip!
8 6
) w ( 1 X 4
2 0 -1
[email protected]
[email protected]
-0.8
-0. 6
-0.4
-0.2 0 0.2 Frequency inpi units
0.4
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
0.6
0.8
1
21
7
[email protected]
Contoh 3.18 – Solusi (b) • Karena Fs = 1000 < 4000 akan terjadi efek aliasing… • Perhatikan MATLAB dan hasilnya…
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
22
Contoh 3.18 – Solusi Matlab (b) % Analog Signal Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = exp(-1000*abs(t)); % Discrete-time Signal Ts = 0.001; n = -5:1:5; x = exp(-1000*abs(n*Ts)); % Discrete-time Fourier transform K = 500; k = 0:1:K; w = pi*k/K; X = x * exp( -j *n' *w) ; X = real(X); w = [-fliplr(w), w(2:K+1)]; X = [fliplr(X), X(2:K+1)];
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
23
Contoh 3.18 – Solusi Matlab (b) subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('x2(n)') title('Discrete Signal'); hold on stem(n*Ts*1000,x); gtext('Ts=1 msec'); hold off subplot(2,1,2);plot(w/pi,X); xlabel('Frequency in pi units'); ylabel('X2(w)') title('Discrete-time Fourier Transform')
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
24
8
[email protected]
Contoh 3.18 – Visualisasi Matlab (b) Discrete Signal 1 0.8
Ts=1 msec
0.6
) n ( 2 x 0.4 0.2 0 -5
-4
-3
-2
-1
0 t i n m s e c.
1
2
3
4
5
Discrete-timeFourier Transform 2.5
Bentuk tidak sama!
2
) 1.5 w ( 2 X 1 0.5 0 -1
[email protected]
-0. 8
-0.6
-0.4
-0.2 0 0.2 Frequency inpi units
0.4
0.6
0.8
1
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
25
Rekonstruksi •
•
Dari Teorema Pencuplikan dan contoh-contoh sebelumnya sangat jelas bahwa jika kita mencuplik xa(t) pita-terbatas diatas laju Nyquist, maka kita dapat merekonstruksi xa(t) dari cuplikan x(n). Rekonstruksi ini dapat dilakukan dengan proses dua langkah: –
Pertama: Cuplikan dikonversi menjadi deretan impuls berbobot:
–
Kedua: Deretan impuls berbobot tsb di-tapis melalui sebuah penapis lolos-bawah ideal dibatasi pada pita [-Fs/2,Fs/2].
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
26
Rekonstruksi • Dua langkah ini dapat dinyatakan secara matematis… • Perhatikan gambar berikut…
[email protected]
[email protected]
Fungsi Interpolasi
sinc(x)
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
sin( x ) =
x
27
9
[email protected]
Rekonstruksi – Gambar 3.14
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
28
Rekonstruksi – Gambar 3.14
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
29
Konverter D/A praktis • Perlu dipikirkan implementasi praktis (selain menggunakan persamaan 3.33). • Tetap menggunakan dua langkah, penapis lolos-bawah ideal penapis lolos-bawah analog yang praktis! • Persamaan 3.33 suatu interpolasi orde tak-berhingga interpolasi orde berhingga, beberapa pendekatan…
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
30
10
[email protected]
Konverter D/A praktis: Interpolasi • Interpolasi Zero-Order-Hold (ZOH ): pada interpolasi ini, nilai cuplikan saat ini d itahan hingga cuplikan berikutnya diterima: • Yang dapat diperoleh dengan cara menapis sederetan impuls melalui penapis interpolasi:
• Yang merupakan pulsa kotak hasilnya berupa gelombang undah (staircase)…
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
31
Konverter D/A praktis: Interpolasi • Interpolasi First-Order-Hold (FOH ): Dalam kasus ini cuplikan yang berdampingan digabungkan dengan garis lurus. • Yang dapat diperoleh dengan cara menapis sederetan impuls melalui penapis interpolasi (masih membutuhkan post-filter ):
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
32
Konverter D/A praktis: Interpolasi • • •
•
Interpolasi Kubik Spline (Cubic Spline): Pendekatan ini menggunakan interpolan spline untuk penghalusan, tetapi tidak terlalu akurat, memperkirakan sinyal analog antar cuplikan. Tidak lagi membutuhkan post-filter analog. Rekonstruksi yang halus diperoleh menggunakan sekumpulan potongan-potongan kontinyu polinomial orde-ketiga cubic spline:
dengan merupakan koefisien polinomial, yang ditentukan menggunakan analisa least-square pada tiap-tiap cuplikan.
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
33
11
[email protected]
Implementasi MATLAB: Rekonstruksi • Untuk Interpolasi antara cuplikan MATLAB menyediakan beberapa pendekatan… • Fungsi sinc(x), yang menghasilkan Fungsi (sin x)/ x, dapat digunakan untuk implementasi persamaan 3.33. • Jika diketahui {x(n), n1 n n2} dan jika kita ingin untuk menginterpolasi xa(t) pada suatu grid yang sangat baik dengan interval grid t , maka dengan persamaan 3.33 diperoleh…
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
34
Implementasi MATLAB: Rekonstruksi • Dengan MATLAB dituliskan… n = n1:n2; t = t1:t2; Fs = 1/Ts; nTs = n*Ts; % Ts is the sampling interval xa = x * sinc(Fs*(ones(length(n),1)*t-nTs’*ones(1, length(t)));
• Perhatikan contoh-contoh soal dan penyelesaian-nya berikut…
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
35
Contoh 3.19 • Dari cuplikan-cuplikan x1(n) dalam contoh 3.18a, rekonstruksi-kan xa(t) dan berikan komentar pada hasilnya!
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
36
12
[email protected]
Contoh 3.19 - Solusi • Catatan: x1(n) diperoleh dengan mencuplik xa(t) pada Ts = 1/Fs = 0.0002 detik. • Kita akan menggunakan spasi grid 0.00005 detik pada jangakuan -0.005 t 0.005, yang akan menghasilkan x(n) pada jangkauan 25 n 25.
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
37
Contoh 3.19 – Solusi Matlab % Discrete-time Signal x1(n) Ts = 0.0002; Fs = 1/Ts; n = -25:1:25; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Analog Signal reconstruction Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = x * sinc(Fs*(ones(length(nTs),1)*tnTs'*ones(1,length(t)))); % check error = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t)))) error = 0.0363
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
38
Contoh 3.19 – Solusi Matlab % P lo ts plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Reconstructed Signal from x1(n) using sinc function'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
39
13
[email protected]
Contoh 3.19 – Visualisasi Matlab ReconstructedS ignalfrom x1(n) using sinc function 1
0.9
0.8
0.7
0.6
) t ( a0.5 x 0.4
0.3
0.2
0.1
0 -5
[email protected]
-4
-3
-2
-1
0 t i n m s e c.
1
2
3
4
5
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
40
Contoh 3.20 & Solusi • Dari cuplikan-cuplikan x2(n) dalam contoh 3.18b, rekonstruksi-kan xa(t) dan berikan komentar pada hasilnya! • Dalam kasus ini x2(n) diperoleh dengan pencuplikan xa(t) pada Ts = 1/Fs = 0.001 detik. • Kita akan menggunakan lagi spasi grid dari 0.00005 detik pada jangkauan -0.005 t 0.005, yang menghasilkan x(n) pada jangkauan -5 n 5.
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
41
Contoh 3.20 – Solusi Matlab % Discrete-time Signal x1(n) Ts = 0.001; Fs = 1/Ts; n = -5:1:5; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Analog Signal reconstruction Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = x * sinc(Fs*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); % c he ck error = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t)))) error = 0.1852
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
42
14
[email protected]
Contoh 3.20 – Solusi Matlab plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Reconstructed Signal from x2(n) using sinc function'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
43
Contoh 3.20 – Visualisasi Matlab ReconstructedS ignalfrom x2(n) using sinc function 1.2
1
0.8
0.6
) t ( a x 0.4
0.2
0
-0.2 -5
[email protected]
-4
-3
-2
-1
0 t i n m s e c.
1
2
3
4
5
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
44
Rekonstruksi – Pendekatan lain (MATLAB) • Pendekatan MATLAB yang kedua adalah pendekatan plot/gambar; • Fungsi stairs digunakan untuk menggambarkan ZOH sinyal analog, sedangkan fungsi plot digunakan untuk FOH…
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
45
15
[email protected]
Contoh 3.21 & Solusi • Gambarkan rekonstruksi sinyal dari cuplikan-cuplikan x1(n) dalam contoh 3.18 menggunakan interpolasi ZOH dan POH. Berikan Komentar pada hasilnya! • Sebagai catatan bahwa dalam rekonstruksi ini kita tidak menghitung xa(t) tetapi hanya menggunakan cuplikancuplikan-nya.
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
46
Contoh 3.21 – Solusi Matlab figure(1); clf % Discrete-time Signal x1(n) : Ts = 0.0002 Ts = 0.0002; n = -25:1:25; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Analog Signal reconstruction using stairs subplot(2,1,1); stairs(nTs*1000,x); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Reconstructed Signal from x1(n) using zero-order-hold'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off % Analog Signal reconstruction using plot subplot(2,1,2); plot(nTs*1000,x); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Reconstructed Signal from x1(n) using first-order-hold'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
47
Contoh 3.21 – Visualisasi Matlab Reconstructed Signalfrom x1(n) using zero-order-hold 1 0.8 0.6
) t ( a x
0.4 0.2 0 -5
-4
-3
-2
-1
0 t in msec.
1
2
3
4
5
3
4
5
Reconstructed Signalfrom x1(n) using first-order-hold 1 0.8 0.6
) t ( a x
0.4 0.2 0 -5
[email protected]
[email protected]
-4
-3
-2
-1
0 t in msec.
1
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
2
48
16
[email protected]
Contoh 3.22 & Solusi • Dari cuplikan x1(n) dan x2(n) dalam contoh 3.18, tentukan rekonstruksi xa(t) menggunakan fungsi spline. Berikan komentar pada hasilnya! • Contoh ini hampir sama dengan contoh 3.19 dan 3.20. Oleh sebab itu parameter pencuplikan sama dengan sebelumnya.
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
49
Contoh 3.22 – Solusi Matlab % a) Discrete-time Signal x1(n): Ts = 0.0002 Ts = 0.0002; n = -25:1:25; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Analog Signal reconstruction Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = spline(nTs,x,t); % ch eck error = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t)))) error = 0.0317
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
50
Contoh 3.22 – Solusi Matlab figure(1); clf subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Reconstructed Signal from x1(n) using cubic spline function'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off
[email protected]
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
51
17
[email protected]
Contoh 3.22 – Solusi Matlab % b) Discrete-time Signal x2(n): Ts = 0.001 Ts = 0.001; n = -5:1:5; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Analog Signal reconstruction Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = spline(nTs,x,t); % ch eck error = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t)))) error = 0.1679
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
52
Contoh 3.22 – Solusi Matlab % Plots subplot(2,1,2);plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Reconstructed Signal from x2(n) using cubic spline function'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off
[email protected]
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
53
Contoh 3.22 – Visualisasi Matlab Reconstructed Signal from x1(n) using cubic spline function 1 0.8 0.6
) t ( a x
0.4 0.2 0 -5
-4
-3
-2
-1
0 t i n m s ec .
1
2
3
4
5
4
5
Reconstructed Signal from x2(n) using cubic spline function 1 0.8 0.6
) t ( a x
0.4 0.2 0 -5
[email protected]
[email protected]
-4
-3
-2
-1
0 t i n m s ec .
1
III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog
2
3
54
18