TRANSFORMASI-Z Tr Transformsi-Z ansformsi-Z Langsung L angsung
Transformasi-Z Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi
TRANSFORMASI-Z LANGSUNG Definisi :
X( z)
x (n ) z n
n
Conto toh h Soa oall 1 Tentukan transformasi Z dari dar i beberapa sinyal diskrit diskr it di bawah ini
a ). x1 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 b). x 2 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 c). x 3 (n ) 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d). x 4 (n ) 2, 5, 7, 0, 1
TRANSFORMASI-Z LANGSUNG Definisi :
X( z)
x (n ) z n
n
Conto toh h Soa oall 1 Tentukan transformasi Z dari dar i beberapa sinyal diskrit diskr it di bawah ini
a ). x1 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 b). x 2 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 c). x 3 (n ) 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d). x 4 (n ) 2, 5, 7, 0, 1
Jawab:
a ). x1 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 X1 (z) 1 2z 1 5z 2 7z 3 z 5 b). x 2 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 2 (z) z 2 2z1 5 7 z 1 z 3 c). x3 (n) 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 3 ( z ) z
1
2 z 2 5 z 3 7 z 4 z 6
d ). x 4 (n ) 2, 5, 7, 0, 1 1 1 3 X 4 ( z ) 2z 5 7 z z
Contoh Soal 2 Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal impuls di bawah ini
a ). x1 (n ) (n ) b). x 2 (n ) (n k ), k 0 c). x 3 (n ) (n k ), k 0
Jawab: a ). X1 (z)
(n)z
n
1
n
b). X 2 (z)
n k ( n k ) z z
n
c). X 3 (z)
n k ( n k ) z z
n
n
1 x (n ) u (n ) 2
Contoh Soal 3 Tentukan transformasi Z dari sinyal Jawab:
n
n
1 n 1 1 n X(z) z z A n 0 n 0 2 n 0 2
1 A A A 2
1 2
z 1 1
z
x (n ) n u (n ) x ( n ) u (n )
1
3
1 2
A 1
1 A
1 1
X(z)
1 z 1 2
X(z) X(z)
1 1 z
1
1 1 z 1
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z Linieritas x1 (n ) X1 (z)
x 2 ( n ) X 2 (z )
x (n ) a 1x1 (n ) a 2 x 2 (n )
X(z) a1X1 (z) a 2 X 2 (z)
Contoh Soal 4 Tentukan transformasi Z dari sinyal
x (n ) 3(2) n 4(3) n u (n )
Jawab: x1 (n ) (2) n u (n )
x 2 (n ) (3) n u (n )
X(z) 3X1 (z) 4X 2 (z)
3 1 2z 1
4 1 3z 1
Contoh Soal 5 Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :
a ). x (n ) cos(o n ) u (n ) b). x (n ) sin(o n ) u ( n )
Jawab: a ). x (n ) cos(o n ) u (n ) X( z)
X( z)
1
1 jo
21 e
1 (1 e
jo
jo
2 (1 e
z 1
) (1 e
1
z )(1 e
x (n ) cos o n
1
jo n
2 1
e
jo
)
1
z )
2
e
jo n
u (n )
1
21 e
jo
1
u (n )
X( z)
jo
z 1
1 (1 e
jo
z 1 e
jo
z 1 e
2 (1 e
jo
z 1 1)
jo
z 2 )
1 z 1 cos o 1 2 1 2z cos o z
b). x (n ) sin(o n ) u (n ) X( z) X( z)
1
1
2 j 1 e o z j
1
(1 e
jo
jo
2 j (1 e 1
(e
2 j
jo n
e
1
u (n )
1 2 j
e
jo n
u (n )
1
2 j 1 e o z 1 j
jo
) (1 e
z 1 )(1 e
jo
z 1 e
jo
z 1 e
2 j (1 e
x (n ) sin o n
1
1
jo
jo
z 1)
z 1 )
jo
X( z)
)
z 2 ) 1
z sin o 1 2z 1 cos o z 2
Scaling in the Z-domain z a x 1 ( n ) X (a z ) X a
x ( n ) X( z)
1
n
Contoh Soal 6 Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini : n
n
a ). x1 (n) a cos(ωo n)
b). x2 (n) a sin(ωo n)
Jawab: x (n ) cos o n
X( z)
x1 (n ) a cos o n n
X1 ( z )
1 z cos o 1
1 2 1 2z cos o z
X1 (z)
1 az 1 cos o 1 2az
1
cos o a z 2
2
1
1
1 (a z) cos o 1 2(a 1z) 1 cos o (a 1z) 2 X 2 ( z)
az 1 sin o 1 2az 1 cos o a 2 z 2
Time Reversal x ( n ) X( z)
X(z 1 )
x ( n )
Contoh Soal 7
x (n ) u ( n )
Tentukan transformasi Z dari sinyal Jawab:
x (n ) u ( n ) x (n ) u ( n ) x (n ) u ( n )
1
X(z)
1 z 1
X(z)
X (z)
1 1 (z )
1 1 z
1
1
1 1 z
Diferensiasi dalam domain z x ( n ) X( z)
nx (n )
z
dX(z) dz
Contoh Soal 8
x (n ) na n u (n )
Tentukan transformasi Z dari sinyal Jawab: x1 (n ) a n u (n )
X1 (z)
x (n ) na n u (n ) X(z) z
n
na u (n )
1 az 1
X ( z) z
dX1 (z) dz
1
dX1 (z) dz
az 2 d 1 z (z) dz 1 az 1 1 az 1
az 1
1 az
1 2
nu (n )
2
z 1
1 z
1 2
Konvolusi antara dua sinyal x1 (n ) X1 (z) x 2 ( n ) X 2 ( z) x (n ) x1 (n ) * x 2 (n ) X(z) X1 (z)X 2 (z) Contoh Soal 9 Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan : x1 (n ) 1, 2, 1
1, 0 n 5 x 2 (n ) 0, lainnya
Jawab: X1 ( z ) 1 2 z 1 z 2
X 2 (z) 1 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5
X(z) X1 (z) X 2 (z) (1 2z 1 z 2 )(1 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 ) X(z) X1 (z) X 2 (z) 1 z 1 z 6 z 7
x ( n ) x1 (n ) * x 2 (n ) 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1,1
TRANSFORMASI Z RASIONAL Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) = Zero : harga-harga z = z i yang menyebabkan X(z) = 0
Fungsi Rasional M
X(z)
N( z) D( z )
1
b o b1z b M z
M
1 N a o a 1z a N z
b z
k
k
k 0 N
a k z
k
k 0
a o 0 bo 0
X( z)
N(z ) D( z )
bo z M a ozN
b b z M 1 z M 1 M b o b o a a Z N 1 z N 1 N a o a o
a o 0 bo 0
X(z)
N(z) D( z )
b o z M a ozN
b b z M 1 z M 1 M b o b o a a Z N 1 z N 1 N a o a o
N(z) dan D(z) polinom X ( z )
N ( z ) D ( z )
bo ao
z
N M
( z z1 )( z z 2 ) ( z z M ) ( z p1 )( z p 2 ) ( z p N )
M
X( z) G z N M
(z z
k
)
k
)
k 1 N
(z p k 1
Contoh Soal 10 Tentukan pole dan zero dari
X( z)
2 1,5z 1 1 1,5z 1 0,5z 2
Jawab: X (z)
2 z 1
z 0,75
1 z 2 z 2 1,5z 0,5
2z 2 1
z 0,75 (z 1)(z 0,5)
Zero : z1 0
z 2 0,75
Pole : p1 1
p 2 0,5
2z(z 0,75) (z 1)(z 0,5)
Contoh Soal 11 Tentukan pole dan zero dari
Jawab: X (z)
X( z)
1 z 1 1 z 1 0,5z 2
z(z 1) z 2 z 0,5 z(z 1) [z (0,5 j0,5)][z (0,5 j0,5)]
Zero : z1 0
z2 1
Pole : p1 0,5 j0,5
p 2 0,5 j0,5
p1 p 2
*
Fungsi Sistem dari Sistem LTI
y( n ) h ( n ) * x ( n ) Y (z ) H (z ) X (z ) H( z )
Respon impuls h (n ) H(z)
Fungsi sistem
Persamaan beda dari sistem LTI :
y( n )
Y( z)
N
a
k
y(n k )
M
b x(n k ) k
k 1
k 0
N
M
k 1
a k Y(z)z k
k 0
b k X(z)z k
Y ( z) X ( z)
Y (z )
N
a k Y(z)z
k
k 1
Y(z)[1
N
a k z k ] X(z)
X(z)
b k z k
b k z k
H(z) Fungsi sistem rasional
k 0
1
M
k 0
M
b k X(z)z k k 0
k 1
Y(z)
M
N
k 1
a k z k
M
Y(z) X(z)
b k z k
H(z)
k 0
1
N
pole-zero system
a k z k
k 1
Hal khusus I : ak = 0, H( z)
M
b k z
k
k 0
1 zM
1≤k≤N M
b k z M k All-zero system
k 0
Hal khusus II : bk = 0, bo
H(z) 1
N
k 1
a k z k
1≤k≤M bo N
k 0
a k z k
ao 1
All-pole system
Contoh Soal 12 Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :
y( n )
1 2
y( n 1) 2x ( n )
Jawab:
Y( z)
1 2
Y ( z)(1
z 1Y (z ) 2X (z ) 1 2
H( z) 1
z 1 ) 2X ( z)
2 1 2
n
z
1
1 h (n ) 2 u (n ) 2
TRANSFORMASI -Z BALIK
Definisi transformasi balik X( z)
x (n )z
n
1
x (n )
2 j
n
X(z)z n 1dz
Teorema residu Cauchy :
1 d k 1f (z) , bila z o di dalam C 1 f (z) k 1 dz (k 1)! dz zz k C 2 j (z z o ) bila z o di luar C 0, o
Ekspansi deret dalam z dan z-1 X( z)
cn z n
n
Contoh Soal 13 Tentukan transformasi-z balik dari 3 1 7 2 15 3 31 4 X ( z ) 1 z z z z 2 4 8 16
Jawab:
3 7 15 31 4 X ( z ) 1 z 1 z 2 z 3 z 2 4 8 16
X(z )
x ( n )z
n
n
3 7 15 31 x (n ) 1, , , , , 2 4 8 16
Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z X(z) 1X1 (z) 2 X 2 (z) K X K (z) x ( n ) 1 x 1 ( n ) 2 x 2 ( n ) K x K ( n )
Contoh Soal 14
X( z)
Tentukan transformasi-z balik dari
1 1 1,5z 1 0,5z 2
Jawab: X(z )
X(z ) z
z2 z 1,5z 0,5 2
z z 2 1,5z 0,5
z2 (z 1)(z 0,5) A1 (z 1)
A2 (z 0,5)
X( z) z
z z 2 1,5z 0,5 z
z 2 1,5z 0,5 z z 2 1,5z 0,5 A1 A2 1
A1 (z 1) A1 (z 1)
X( z)
1
(1 z )
(z 1)
A2 (z 0,5)
A2 (z 0,5) A2 (z 0,5)
0,5A1 A2 0
A1 0,5A1 0,5A1 1 2
A1
1 1
(1 0,5z )
2
(z 1)
1 (z 0,5)
A1 (z 0,5) A2 (z 1)
(A1 A2 )z (0,5A1 A2 )
(z 1)(z 0,5)
A1 2
z 2 1,5z 0,5 A2 0,5A1
A2 1
x (n ) [2 (0,5) 2 ]u (n )
Contoh Soal 15 Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n ) 3y(n 1) y(n 2) 4,5x (n ) 9,5x (n 1) Jawab:
Y(z) 3z 1Y(z) 2z 2 Y(z) 4,5X(z) 9,5z 1X(z)
Y ( z)(1 3z 1 2z 2 ) X( z)(4,5 9,5z 1 ) H(z)
Y(z) X(z)
4,5 9,5z 1 1 3z 1 2z 2
H(z) H(z) z
H(z)
4,5 9,5z
H( z)
1 3z 1 2z 2
z
1
A1 z 1
A2 z2
5 1 ( 1)z
1
5 z 1
0,5
z2
0,5 1 (2)z
1
h (n ) [5(1) n 0,5( 2) n ]u ( n )
4,5z 9,5 z 2 3z 2
Contoh Soal 16 Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n ) 3y(n 1) y(n 2) 4,5x (n ) 9,5x (n 1) y(1) 0
y(2) 0
dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n)
y(n ) y zs (n )
Jawab: Y (z) 3z 1Y(z) 2z 2 Y (z) 4,5X(z) 9,5z 1X(z) 1 2 1 Y(z)(1 3z 2z ) X (z)(4,5 9,5z )
Y(z )(1 3z 1 2z 2 ) (4,5 9,5z 1 ) X(z) x (n ) (3) u (n ) n
X (z)
1 1 (3)z
Y( z)(1 3z 1 2z 2 ) (4,5 9,5z 1 ) Y( z) Y (z) z Y( z) z
1
1 1 3z
1 1 3z
1
(4,5 9,5z 1 ) (1 3z 1 2z 2 )(1 3z 1 ) z 2 (4,5 9,5z 1 ) z 3 (1 3z 1 2z 2 )(1 3z 1 ) (4,5z 2 9,5z) (z 3z 2)(z 3) 2
(4,5z 2 9,5z) (z 1)(z 2)(z 3)
1
Y(z) z
(4,5z 9,5z)
( z 3z 2)(z 3)
(z 1)(z 2)(z 3)
z
2
2
(4,5z 2 9,5z)
Y( z)
( 4,5z 9,5z )
2
A1 ( z 1)
(z 1)(z 2)(z 3)
A2 (z 2)
A3 (z 3)
A1 (z 2 5z 6) A2 ( z 2 4z 3) A3 (z 2 3z 2)
A1 A2 A3 4,5 5A1 4A2 3A3 9,5 6A1 3A2 2A3 0
( z 1)(z 2)(z 3) 1
1
1
D 5
4
3 2
6
3
2
A1
4,5
1
1
1
4,5
1
9,5
4
3
5
9,5
3
6
0
2
0
3 D
2
5 2
2,5 1 A3 4,5
2,5
A2
A3 6
2,5 1 6 z ( z 1) (z 2) ( z 3) 2,5 1 6 Y(z) 1 1 1 (1 z ) (1 2z ) (1 3z ) Y(z)
y zs (n ) [ 2,5( 1) n (2) 2 6( 3) n ]u ( n )
D
2 2
1
Pole-pole berbeda semua
X( z) z
A1 z p1
(z p k ) X(z) z
Ak z p k
( z p k )A1 z p1
z pN
Ak
(z p k )X (z) z
AN
Ak z p k
(z p k ) AN z pN
Contoh Soal 17 Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n ) 6 y(n 1) 8 y( n 2) 5x ( n ) 28x (n 1) 8x ( n 2)
Jawab: Y(z) 6z Y (z) 8z Y(z ) 5X(z) 28z X( z) 8z X(z) 1
X( z) Y (z) z
1 1 z 1
2
1
Y(z)
(5z 2 28z 8) (z 6z 8)(z 1) 2
2
(5 28z 1 8z 2 )
1
1 6z 1 8z 2
1 z 1
A1 z2
A2 z4
A3 z 1
Y( z) z A1
A2
A3
Y (z ) z
(5z 2 28z 8) (z 2)(z 4)(z 1)
( z 2) Y ( z ) z
( z 4) Y(z ) z (z 1)Y ( z) z
A1
z2
5z 2 28z 8 ( z 4)(z 1)
(z 2)(z 1) 5z 2 28z 8
20 14 1 z 2 z 4 z 1
z 1
z4
A3 z 1
( 2)(3)
z 4
A2
20 56 8
z 2
5z 2 28z 8
(z 2)(z 4)
80 112 8 ( 2)(5)
5 28 8 (3)(5)
84
6
200
15 15
14
10
20
1
14 1 20 Y(z) 1 2z 1 1 4z 1 1 z 1
y zs ( n ) [14(2) n 20(4) n 1]u (n )
Ada
dua pole yang semua
X(z) z
A1 z p1
A1k
A2 k
A1k (z p k )
2
A2 k z p k
( z p k ) 2 X (z) z
z p k
d (z p k ) 2 X (z)
dz
z
zp
k
AN z pN
Contoh Soal 18 Tentukan transformasi-Z balik dari :
X(z)
1 (1 z 1 )(1 z 1 ) 2
Jawab:
X(z) z
A1
z2 (z 1)(z 1)
(z 1) X(z) z
2
A1 z 1
z2 (z 1)
A2 (z 1)
2 z 1
1 4
2
A3 (z 1)
A2
A3
( z 1) 2 X(z ) z
z2 ( z 1)
d (z 1) 2 X(z)
dz
(2z)(z 1) (1)(z 2 )
1
z 1
2
1
d
3
z2
z 2 2z (z 1)
x ( n ) [ ( 1) n ]u (n ) 4 2 4 n
2
dz (z 1)
z (z 1)
1
2 z 1
3 4
Pole kompleks A1 A2 X(z) 1 p1z 1 1 p 2 z 1
p1 p
A 1 pz
1
p2 p *
A* 1 p*z
1
A1 A
1 (p p*)z
A2 A *
A Ap * z 1 A * A * pz 1 1 pz 1 p * z 1 pp * z 2
(A A*) (Ap * A * p)z 1 1
pp * z
2
b o b1z 1 1 a 1 z 1 a 2 z 2
A A* Re(A) j Im(A) Re(A) j Im(A) 2 Re(A) b o A A* 2 Re(A) p p* Re(p) j Im(p) Re(p) j Im(p) 2 Re(p) a1 (p p*) 2 Re(p) pp* [Re(p) j Im(p)][Re(p) j Im(p)]
Re 2 (p) Im 2 (p) p
2
a 2 pp* p
2
Ap * A * p [Re(A) j Im(A)][Re(p) j Im(p)]
[Re(A) j Im(A)][Re(p) j Im(p)] 2 Re(A) Re(p) 2 Im(A) Im(p) Ap* [Re(A) j Im(A)][Re(p) j Im(p)]
[Re(A) Re(p) Im(A) Im(p)] j [Re(p) Im(A) Re(A) Im(p] b1 (Ap * A * p) 2 Re(Ap*)
Contoh Soal 19 Tentukan transformasi-Z balik dari :
X( z)
1 z 1 1 z 1 0,5z 2
Jawab: X( z)
1 z 1 1 z
1
0,5z
2
b o 2 Re(A) 1
b o b1z 1 1 a 1z 1 a 2 z 2
Re(A) 0,5
a 1 2 Re(p) 1
Re(p) 0,5
b1 2 Re(Ap*) 1
Re(Ap*) 0,5
a2 p
2
0,5
Re 2 ( p) Im 2 (p) 0,5
Re(p) 0,5
Re(A) 0,5
Re 2 (p) Im 2 (p) 0,25 Im 2 (p) 0,5 Im 2 (p) 0,25 Im(p) 0,5 p 0,5 j 0,5 Ap* [0,5 j Im(A)](0,5 j0,5) Re(Ap*) 0,25 0,5 Im(A) 0,5 Im(A) 0,25 X(z)
A 1 pz 1
A 0,5 j 0,25 A*
1 p * z 1
0,5 j 0,25 1 (0,5 j 0,5)z
1
0,5 j 0,25 1 (0,5 j 0,5)z 1
X(z)
0,5 j 0,25 1 (0,5 j 0,5)z 1
0,5 j 0,5 0,707e j45
0,5 j 0,25 1 (0,5 j 0,5)z 1
0,5 j 0,5 0,707e j45
x ( n ) (0,5 j 0,25)(0,707e j45 ) n (0,5 j 0,25)(0,707e j45 ) n
(0,5)(0,707) n (cos 45n j sin 45n ) j(0,25)(0,707 n )(cos 45n j sin 45n ) (0,5)(0,707) n (cos 45n j sin 45n ) j(0,25)(0,707 n )(cos 45n j sin 45n ) (0,707) n cos 45n 0,5(0,707) n sin 45n
TRANSFORMASI-Z SATU SISI Definisi :
X (z)
x (n )z
n
n 0
Contoh Soal 20 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini
a ). x1 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 b). x 2 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 c). x 3 (n ) 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d). x 4 (n ) 2, 5, 7, 0, 1
Jawab:
a ). x1 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 X1 (z) 1 2z 1 5z 2 7z 3 z 5 b). x 2 (n ) 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 2 (z) 5 7z 1 z 3 c). x 3 (n ) 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 3 (z) z 1 2z 2 5z 3 7z 4 z 7 d). x 4 (n ) 2, 5, 7, 0, 1 X 4 (z) 5 7z 1 z 3
Contoh Soal 21 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini
a ). x 5 (n ) (n ) b). x 6 (n ) (n k ), k 0 c). x 7 (n ) (n k ), k 0 Jawab:
a ). X 5 (z)
(n)z
n
1
n 0
b). X 6 (z)
n k ( n k ) z z n 0
c). X 7 (z)
n 0 ( n k ) z n 0
Time Delay k k x ( n k ) z [ X ( z) x ( n )z n ] n 1
Contoh Soal 22
Tentukan transformasi Z satu sisi dari x 1(n) = x(n-2) dimana x(n) = anu(n )
Jawab:
x (n ) a n u ( n )
X (z)
1 1 az 1
2 n X1 (z ) z X x ( n )z n 1 z 2 X x (1)z x (2)z 2
2
z2 1 az 1
a 1z 1 a 2
Time advance x ( n k ) z k [ X ( z)
k 1
x ( n )z
n
]
n 0
Contoh Soal 23
Tentukan transformasi Z satu sisi dari x 2(n) = x(n+2) dimana x(n) = anu(n )
Jawab:
x (n ) a n u ( n )
X (z )
1 n X 2 z X (z ) x ( n )z n 0 z 2 X x (0) x (1)z 1
2
z2 1 az 1
z 2 az
1 1 az 1
Contoh Soal 24 Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n ) 3y(n 1) y(n 2) 4,5x (n ) 9,5x (n 1) y(1) 8,5
y( 2) 7,5
dengan input x(n) = 0
y(n ) y zi ( n )
Jawab:
Y ( z) 3z 1[ Y (z ) y( 1) z ]
2z 2 [Y (z) y(1)z y(2)z 2 ] 0
Y ( z ) 3z 1[ Y (z ) y( 1) z ]
2z 2 [Y (z) y(1)z y(2)z 2 ] 0 Y ( z )[1 3z 1 2z 2 ] 3y( 1) 2 y( 1) z 1 2 y( 2)
3(8,5) 2(8,5)z 1 2(7,5) Y (z) 1 3z 1 2z 2 17 z 1 10,5 1 3z 1 2z 2
Y (z) z
10,5z 17 z 3z 2 2
10,5z 17 (z 1)(z 2)
Y (z) z
A1 A2
10,5z 17 z 2 3z 2
(z 1)Y (z)
z ( z 2) Y ( z )
Y (z)
z 6,5z z 1
10,5z 17
(z 1)(z 2)
10,5z 17 z2
z2
z 1
z 2
6,5 1 z
y zi (n ) 6,5(1) n 4(2) n
A1 z 1
6,5 1
z 1
10,5z 17
4z
1
A2 z2
6,5
4 4 1 4
1 2 z 1
Contoh Soal 25 Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n ) 6 y(n 1) 8 y( n 2) 5x ( n ) 28x (n 1) 8x ( n 2) y(1) 4
y(2) 3
Jawab: Y ( z) 6z 1[Y ( z) y( 1) z]
8z 2 [Y (z) y(1)z y(2)z 2 ] 5X (z) 28z 1[X (z) x (1)z] 8z 2 [X (z) x (1)z x (2)z 2 ] Y ( z)[1 6z 1 8z 2 ] 24 32z 1 24
X (z)[5 28z 1 8z 2 ]
Y (z)[1 6z 1 8z 2 ] 24 32z 1 24
X (z)[5 28z 1 8z 2 ] Y (z)[1 6z 1 8z 2 ] 32z 1 Y (z)
Y ( z) Y (z) z
5 28z 1 8z 2 1 z
32z 1 32z 2 5 28z 1 8z 2 (1 6z 1 8z 2 )(1 z 1 ) 5 4z 1 24z 2 (1 6z 1 8z 2 )(1 z 1 ) 5z 2 4z 24 ( z 2 6z 8)(z 1)
1
Y (z) z
5z 2 4z 24 ( z 6z 8)(z 1)
5z 2 4z 24 (z 2)(z 4)(z 1) A1
A2 A3
2
5z 2 4z 24 (z 2)(z 4)
z 1
z 2
5z 2 4z 24 (z 2)(z 1)
z 1
5z 2 4z 24 (z 4)(z 1)
A1
z 4
5z 2 4z 24 ( z 2)(z 4)(z 1) A2 z2
5 4 24 (3)(5)
20 8 24 (2)(3) 80 16 24 (2)(5)
A3 z4
15 15
1
12 2 6
40 10
4
