Práctica 4 Ingeniería Técnica Industrial Matematicas II
Tra ectorias orto onales
Desarrollo de la práctica Trayectorias ortogonales Dos familias uniparamétricas de curvas G1 ( x, x, y, c1 ) = 0, G2 ( x, x, y, c2 ) = 0, se dicen que son trayectorias ortogonales cada una de la otra, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia. x, El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica G ( x, y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia y' = x, y) = f ( x,
y, a continua continuación ción,, plantear plantear y resolve resolverr la ecuación ecuación asociada asociada a la familia familia ortogonal ortogonal que vendrá vendrá dada por y' = x, y) = -1 / f ( x,
Nota: Es normal, en este tipo de ejercicios, ejercicios, el que una o ambas familias de curvas vengan dadas en su forma implícita. Para la representación gráfica de una curva dada en su forma implícita necesita mos cargar, previamente, la librería
<
ImplicitPlot[ expresión , { x, xmin, xmax} ] en la que expresión corresponde a la ecuación de la función que deseamos representar para el x comprendido en el intervalo [ xmin xmin, xmax ]. rango de valores de la variable x comprendido
<<
Graphics`ImplicitPlot`
2
P04 ED Trayectorias ortogonales.nb
Ejemplo Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de todas las circunferencias que pasan por los puntos (-1, 0) y (1, 0). Q., M., S. Pág 60, 2.17 Se comprueba facilmente que las ecuaciones de estas circunferencias vienen dadas por x2 + H y
-
cL2 = c2 + 1
1º Representación gráfica de la familia de circunferencias x2 + H y
-
cL2 = c2 + 1
Clear@"Global` ∗"D; familia1
=
x ^ 2 + H y − cL ^ 2
grafica1
=
ImplicitPlot @Table@familia1, 8c,
c ^ 2
+
1; −
3 , 3 , 1
−
5, 5
2º Obtención de la ecuación diferencial de ambas familias familia1
=
derivada1
familia1 ê . y =
→
y @xD
D @familia1, x D
Solve@derivada1, c D êê Simplify
ecuacion1
=
familia1 ê . c
→
y @xD +
x
y′ @xD
êê Simplify
que es la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por los puntos (-1, 0) y (1, 0). La familia de trayectorias ortogonales verifica y' ecuacion2
=
familia2
DSolve@ecuacion2, y @xD, xD
=
ecuacion1 ê . y '@xD
−> −
-1 / y'
Ø
1 ê y '@xD
Elevando al cuadrado una de las expresiones anteriores se tiene x2 + y2 = c x - 1, que podemos escribir, finalêê mente, como H x - êê c L2 + y2 = c 2 - 1, que se trata de una familia de circunferencias ortogonales a la familia original.
3º Representación gráfica de la familia de circunferencias H x
-
êê
c L2 + y2 = êê c2 - 1
3
P04 ED Trayectorias ortogonales.nb
familia2
= H
grafica2
=
x − k L ^ 2
+
y^2
k ^ 2
−
1
ImplicitPlot @Evaluate @Table@familia2, 8k, 8x, − 5, 5<, PlotRange −> 8 − 4, 4
−
3, 3, 1
4º Representación conjunta de ambas familias Mediante el comando Show representamos de manera simultánea varias funciones, cuyas gráficas se han dibujado previamente mediante un comando Plot Show @8grafica1, grafica2 <, PlotRange
−> 8 −
6, 6
Ejercicios Ejercicio propuesto 1 Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de todas las circunferencias con centro en el origen. Solución: y = k x
Ejercicio propuesto 2 Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de hiperbolas rectangulares y = c / x. Solución: x2 - y2 = k
Ejercicio propuesto 3 Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de y = c x / (1+ x). Solución: 2 x3 + 3 ( x2 + y2 ) = k
Ejercicio propuesto 4 Las curvas equipotenciales de un determinado campo electrostático se puede aproximar por las elipses x2 - 2 c x + 2 y2 = 0. Encuentre las líneas de fuerza. Solución: y = k H 3 x2 + y2 L2 Nota: la ecuación diferencial resultante (homogénea) es conveniente resolverla a mano.
Ejercicios Resueltos