Ávila Rafael Camargo Saúl De la hoz Daniel Márquez nilson Corporación universitaria de la costa
Trayectorias ortogonales
Trayectoria: lugar geométrico formado por las sucesivas posiciones que va adoptando un punto material en su recorrido. Ortogonal : viene del griego orthos (recto) gonia (Angulo),Angulo recto 90º.
Trayectorias ortogonales
Son aquel conjunto de curvas dadas EJ: f (x; y; c)= 0 que conforman una familia, las cuales cortan perpendicularmente a todas las curvas de otra familia existente g(x; y; c) = 0; A la familia g se le llama la familia de trayectorias ortogonales de f g(x; y; c) = 0 ; es solución de la y E.D,esto se ve mucho en algunos modelos físicos que llevan a buscar una familia de curvas.
Trayectorias ortogonales
Se busca una relación entre una serie de rectas tangentes que pertenezcan a una familia de funciones y sus correspondientes rectas normales que a su vez dependan de otra familia de curvas. Se debe recordar que para las trayectorias ortogonales las tangentes son reciprocas y de signo contrario. El factor de las pendientes es igual a -1
Trayectorias ortogonales
Procedimiento para determinar Debe quedar claro que básicamente se Trayectorias busca una relación entre una serie de rectas tangentes que pertenezcan a una ortogonales familia de funciones y sus
correspondientes rectas normales que a su vez dependan de otra familia de curvas. A cual de las rectas llamaremos tangente o normal, realmente carece de relevancia, lo importante es saber, como ya se ha mencionado, que ambas rectas deben ser tangentes a sus respectivas familias de
. Lo anterior implica que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de alguna de las curvas de la primera familia tiene un valor que podemos denominar m1=dy/dx, y la pendiente de la recta tangente en cualquier punto sobre cualquier curva de la segunda familia tiene un valor de pendiente, digamos m2=dy/dx,
.De que m2=-1/m1 o bien dy/dx=-1/dy/dx. La secuencia de pasos que implica el procedimiento para determinar la expresión analítica para trayectorias ortogonales se describe a continuación: PASOS
Paso 1. la función que describe la primera familia de curvas se identificara como F(x,y*)= 0 o y`=f(x).
. En el caso de que dy/dx contengan en su expresión constantes arbitrarias, estas se deberán sustituir con la base en la expresión original de y`. Paso3. En este paso separamos variables. Paso4. Integramos Paso5. Obtenemos la ecuación
Ejemplo trayectorias ortogonales
Determine la trayectoria ortogonal de la familia de curvas xy=a, donde a≠0 (es una constante arbitraria. Solución: Las curvas xy = a Forman una familia de hipérbolas con asíntotas y = ±x.
.
Primero encontramos las pendientes de cada curva en esta familia, o sus valores dy/dx . Derivando xy=a de manera implícita, se obtiene: X dy/dx + y= 0 o dy/dx=-y/x Así, la pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una de las Hipérbolas xy=a es: Y`= -y/x.
. En una trayectoria ortogonal la pendiente de la recta tangente en este mismo punto debe ser el reciproco negativo, o x/y. por lo tanto, las trayectorias ortogonales deben satisfacer la ecuación diferencial: dy/dx=y/x Ydy = xdx
.
∫ ydy = ∫ xdx 1/2y^2 = 1/2x^2 + c Y^2 – x^2 =b En donde b = 2 (es una constante arbitraria. Las trayectorias ortogonales conforman la familia de hipérbolas dada por la ecuación: y^2 – x^2 = b