MATEMATICA
I.E””
2.3.
1.
Hay dos clases de ángulos: * Ángulos Interiores , son los que se encuentran dentro del triángulo. - Un ángulo interior del triángulo ABC es: “” * Ángulos Exteriores, son los que se encuentran en el exterior del triángulo. - Un ángulo exterior del triángulo ABC es: °
DEFINICIÓN
Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. B
Región
2.4. Región
2.
C
ELEMENTOS
2.5.
Sea el triángulo ABC, sus elementos son:
Observación :
a
P Punto interior del triángulo ABC. QPunto exterior del triángulo ABC.
P
A
b
3.
C
LADOS TRIÁNGULO
DE
CLASIFICACIÓN
Veamos dos formas de clasificar a los triángulos:
UN
3.1. Son cada uno de los segmentos que forman un triángulo. Los lados del
VÉRTICES TRIÁNGULO
DE
a).- Triángulo Equilátero.-Cuando sus tres lados son de igual medida.
UN
B
Son cada uno de los puntos puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras mayúsculas . Los vértices del triángulo ABC son: A, B, C. PAGINA: AYUDA MATE 21
POR LA RELACIÓN ENTRE SUS LADOS Pueden ser:
triángulo ABC son: AB , BC, AC,
2.2.
UN
2P = AB + BC + CA
c
2.1.
DE
Q
PERÍMETRO TRIÁNGULO
Es la suma de las longitudes de sus tres lados.
B
LONGITUD DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO,
Son las medidas de cada lado. Una longitud del lado del triángulo es: “a”
interior A
ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO,
GRUPO: AYUDAMATE21
a
a
= 60° 1
A
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c).- Triángulo Obtusángulo.- Cuando b).- Triángulo Isósceles.- Cuando dos
uno de sus ángulos internos es obtuso.
de sus lados son de igual medida.
B
B
> 90° a
a
A
C
A
C
c).- Triángulo Escaleno.-Es aquel que
4.
TEOREMAS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS
tiene sus tres lados de diferente medida. B
4.1) La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°.
c
a
B
A
3.2.
b
C
POR LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS
+ + =180°
Pueden ser:
a).- Triángulo Rectángulo.-Cuando uno de sus ángulos internos mide 90°.
C
4.2) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.
B c
A
a
A
C b
cada uno de sus tres ángulos internos son agudos. B
4.3) La suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice) es 360°. B
< 90° °
PAGINA: AYUDA MATE 21
y
< 90°
A
x
b).- Triángulo Acutángulo.- Cuando
x = +
x + y + z = 360°
x 4.4) Dado un triángulo isósceles: a lados C de igual medida se oponen ángulos de A z igual medida.
C
GRUPO: AYUDAMATE21
2
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5.3) Se cumple que: B
Si: AB BC
a°
a
a
A
=
e°
b°
C
d°
4.5) En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos, pero mayor que su diferencia.
c°
a + b + c + d + e = 180°
B c A
a
b
b +c > a> b- c
PROBLEMAS PROPUESTOS
a +c > b> a- c
1).-Las medidas de los ángulos externos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Calcula la medida de uno de los ángulos internos de dicho triángulo.
C
4.6) En todo triángulo se cumple que: Si : > > Entonces: Propiedad de a>b>c Correspondencia:
5.
a) 30° d) 50°
PROPIEDADES
5.1) Conocida también “Propiedad de la mariposa”.
a°
b) 60° e) 27°
c) 40°
2).- Calcula “x”. como
la B
120°
x° a+b=x+y
b°
D
y°
3° 2°
A
5.2) Un cuadrilátero de 3 ángulos agudos y un cóncavo, se cumple que: la suma de los tres ángulos agudos interiores es igual al ángulo convexo exterior.
a) 15° d) 60°
x°
2° °
b) 30° e) 70°
C
c) 45°
3).-En la figura, calcula “x” A A
C
x = + +
x° 4x°
x
a) 12° PAGINA: AYUDA MATE 21
GRUPO: AYUDAMATE21
3
B
E
D b) 16°
c) 15°
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d) 20° e) 18° 4).- Del gráfico, calcula “x”.
8).-En el gráfico, calcula “x”.
B a) 150° b) 140° c) 155° d) 120° e) 118°
°+ D
x° A
4
x° A
105°
B
a) 25° b) 35° c) 38° d) 45° e) 32°
C
D
9).-En la figura : AB = BD = DE = EC. Calcula “x”
C
5).-Calcula “x”.
B
40
112°
E
3x+y+1
2x+y
a) 20° d) 40°
b) 30° e) 32°
x°
c) 18°
A
a) 22° d) 28°
6).- En la figura se cumple que: AB=BC= 9, calcula “BD”.
B
40
C
Q
c) 4,5
O
7).- Los lados de un triángulo miden 3; x + 9; 2x - 6.Calcula el mayor valor entero que puede tomar “x” para que el triángulo exista. b) 18 e) 15
PAGINA: AYUDA MATE 21
80° P
a) 17 d) 16
4x+10°
11).-Halla el suplemento del ángulo AOB.
D b) 9 e) 5
c) 26°
x+50
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
70 a) 12 d) 18
b) 24° e) 30°
10).-Halla “x”.
60
A
C
D
A
a) 130° d) 120°
b) 60° e) 70°
B
c) 140°
c) 19
GRUPO: AYUDAMATE21
4
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12).-Si: AB = BC = CD = DE = EF. Calcula el valor de “x”.
16).-Calcula el valor de “ ”.
B
2
D 150 x
A
C
a) 12° d) 18°
E b) 14° e) 20°
140°
F
a) 70° d) 40°
c) 16°
b) 80° e) 95°
c) 50°
17).-En la figura : AB = BC y CE = CD. Calcula el valor de “x”.
13).- Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 3; 4 y 5 ; respectivamente. Calcula la medida del mayor ángulo. a) 75° d) 90°
b) 60° e) 80°
E
x A
c) 85°
C 100°
14).-Calcula “x”.
60° 30°
x
B
a) 60° d) 90°
b) 65° e) 80°
c) 70°
18).-Calcula “x” , si AB = AM = MN = NC.
B x x
a) 10° d) 40°
b) 20° e) 50°
N
c) 30°
M
15).-El triángulo ENI es equilátero. Calcula el perímetro del triángulo.
a) 10° d) 25°
N
E a) 9 d) 15
I b) 12 e) 21
b) 20° e) 30°
c) 15°
a) 41 d) 42
c) 18
b) 39 e) 43
c) 40
20).-Si: AB = BC y CD = CE. Calcula el valor de “ ”. PAGINA: AYUDA MATE 21
C
19).-Dos de los lados de un triángulo miden 9u y 40u. Calcula el mínimo valor entero del tercer lado, si su ángulo interior opuesto es obtuso.
3x-2
2x+1
x
°
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5
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B
D
100°
60°
02.- En el gráfico, si m BAC = 2m BCA, calcular “x” si BI es bisectriz del ABC.
A
E
C
a) 30° d) 25°
a) b) c) d) e)
b) 80° e) 40°
c) 15°
21).-Si: AB = BC = CD , calcula el valor de “x”.
03.- En un triángulo equilátero ABC se traza el segmento BD (D en AC). Si mCBD = 40º, calcular m ADB.
D
C
65º 55º 75º 80º NA
40° 75°
a) 80º d) 25º
b) 75º e) NA
c) 100º
x A
04.- En un triángulo se sabe que mBAC = 3x ; m CBA = 5x-30º y mBCA = 2x+70. Calcular “x”
B
a) 60° d) 85°
b) 20° e) 80°
c) 75°
a) 20º d) 14º
22).-Calcula “x”, para que sea el mínimo valor entero.
a) b) c) d) e)
3x a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 17º
05.- Según el gráfico, si AB = BD = DE = EC, calcular “x”
16
4
b) 15º e) NA
c) 3
25º 30º 35º 40º NA
06.- Hallar “x” 23.- En un triángulo, la suma de dos ángulos es 100º y su diferencia es 40º. Calcular el mayor ángulo del triángulo mencionado. a) 45º d) 70º
b) 60º e) NA
PAGINA: AYUDA MATE 21
a) b) c) d) e)
c) 80º
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6
25º 30º 50º 45º NA
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07.- En la figura, PB = BC y AP = PC Calcular “x” a) b) c) d)
12.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
20º 22º 23º 25º
15º 14º 18º 16º NA
08.- Hallar “x” 13.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
15º 20º 25º 18º NA
a) b) c) d) e)
09.Según el gráfico, AB=BD=DE=EF=FC, calcular “x” a) b) c) d) e)
15º 11º 12º 30º NA
si
2º 4º 8º 16º 32º
14.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
25º 30º 24º 18º NA
15.- En la figura, calcular xº: 10.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
15º 17º 18º 20º NA
20º 60º 80º 90º 100º
16.- En el gráfico, calcular “x” 11.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
13º 12º 18º 20º NA
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7
20º 30º 40º 50º 60º
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17.- Si en el gráfico AB = BC y el triángulo MNP es equilátero, calcular “x”. a) b) c) d) e)
21.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
10º 20º 30º 40º 50º
2º 3º 4º 5º NA
22.- Hallar “x” en la figura a) b) c) d) e)
40° 50° 70° 80° 90°
18.- Hallar “x”
23.- Si: AE=AD ; DC=CF. Hallar “x”
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
34º 45º 37º 53º NA
19.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
30° 60° 45° 55° 65°
24.Calcular mCBD=54°
145º 120º 135º 147º NA
a) b) c) d) e)
“x”,
si:
AB=BD,
76° 78° 54° 64° 74°
25.- Hallar “x” de la figura mostrada 20.- Hallar “x” a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
45º 37º 22º30’ 53º NA
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8
20° 40° 25° 45° 30°
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26.- Calcular “” a) 15° b) 18º c) 22°30’ d) 30°
e) 25°
27.- Hallar “x” a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
28.- Hallar “x” a) 10° b) 15° c) 18° d) 20° e) 25°
29.- Calcular “x” de la figura: a) 15° b) 20° c) 30° d) 45° e) 40°
30.- Hallar “x” de la figura:
a) b) c) d) e)
15° 25° 35° 45° 55°
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