Triangulos-lineas Notables-triangulos Notables-puntos Notables Del Triangulo

2. EXCENTRO

PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO

Es

e l p un un to to

1. INCENTRO Es

el

punt punto o

de dos "# bise bisect ctri ri$$

d e c on onc ur ur re re nc nc ia ia

bise bisect ctri rice cess ete eteri rior ores es ! i%terior  del  del tercer ángulo.

E



de

conc concur urre renc ncia ia

de

las las

 à Baricentro del triángulo UI

bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo.

PROPIEDADES: Para determinar el baricentro de un triángulo bastara con trazar dos medianas.

B b b

C

I

E à E"centro del triángulo UI relati*o a I. I

a a

 A

q q

C

I à Incentro del triángulo ABCD

PROPIEDADES: Para determinar el e"centro de un triángulo bastará con trazar una bisectriz interior + una bisectriz e"terior de dos ángulos dierentes o trazar dos bisectrices e"teriores.

PROPIEDADES:

E

B

Para determinar el incentro de un triángulo, bastará bastará con trazar trazar dos de sus bisectrices bisectrices interiores.

'edi#tices de un triángulo. 

 A

" b

U

a a

b

 Además !



3 a "

El incentro e(uidista de los lados de todo triángulo. )i! I à Incentro del triángulo ABC

B r 

/q I

E à E"centro relati*o a  NI . r à E"radio relati*o a  NI .  Además !

B

I

b

a#b#r

+

" # $%& - q

c C

 A a # b # c # r 

donde r à Inradio del triángulo ABC

CARACTERÍSTICAS: El circun circuncen centro tro es un punto punto interi interior or si el triángulo es acutángulo. El circuncentro circuncentro se encuentra en el punto medio de la 6ipotenusa 6ipotenusa si el triángulo triángulo es rectángulo. El circuncentro circuncentro es un punto e"terior si el triángulo es obtusángulo.

E b

U

I

4 à Circuncentro del triángulo UI.

(. ORTOCENTRO

"#q



4 U

B # /0  A # /1 C # /P

I

I’ à Incentro del Triángulo UI r à Inradio  Además! " # $%& ' q

a

C

0

 à Baricentro del triángulo ABC

Es el punto punto de concurren concurrencia cia de las tres #"t)r#s de un triángulo.

E à E"centro relati*o a BC .

r 

I’

C



1

P

 q q  A

*. CIRCUNCENTRO Es el punto de concur concurren rencia cia de las tres

B

"

/q

"#q +#b z#5

&. BARICENTRO Es el punto punto de concur concurren cia de las tres  rencia 'edi#%#s de un triángulo.

U

I

El ortocent ortocentro ro es un punto interio interiorr si el + triángulo es acutangulo. El ortoce ortocentr ntro o es un punto punto del triángul triángulo o ubicado en el *2rtice del ángulo recto de un triángulo rectángulo. El ortocent ortocentro ro es un punto punto e"terior e"terior si el triángulo es obtusángulo. PROPIEDADES: Para determinar el ortocentro de un triángulo B bastará con trazar dos de sus alturas. z q )i! 3à 4rtocentro del triángulo ABC. 3

 A

C 4 1

4 à Circuncentro del triángulo ABC 1 à Circunradio PROPIEDADES: Para Para determ determina inarr el circun circuncen centro tro de un triá triáng ngul ulo o bast bastar ará á traz trazar ar dos dos de sus sus mediatrices. )i!  l del triángulo UI 4 à Circuncentro q

a

B ;& 4

"

 A

a#b#c#1

C

.- )i @3’ es el ortocentro del triángulo ABC. Calcula ".

Donde ! 1 à Circunradio  Además

" # /q

B

Ù

a9 :%& d9 ;%&

b9 %& e9 $%&

a9 %& d9 %&

4

"

 A

B

 A

C

a

C

a9 /& d9 /<&

b9 8;<& e9 ;&

- En un triángulo issceles ABC, 8/%&. )i! AC #  : m. 3alla la distancia del

H

circuncentro al e"centro relati*o a

O

BC

a9 :%& d9 %&

9.- )i @3’ es el 4rtocentro del triángulo ABC. Calcula >"?. B

.

<&

PRÁCTICA

C

3

89.- )i @3’ es el ortocentro del triángulo ABC. Calcula ". B

PROBLE+AS

"

89.- En un triángulo ABC, sobre BC + AC se ubican los puntos P + 0. )i el ángulo PA0 mide :%& + mРABP # m ÐP0C # ;<&= entonces el ángulo AB0 mide! /.- )i E es el e"centro relati*o al lado del triángulo ABC, calcula >"?.

,

B E

B ;%&

8;& C

a9 :& d9 8/<&

b9 $%& e9 8:/&

c9 8<&

"&

C

:.- Calcula " si @4’ es el circuncentro del triángulo ABC.

"&

 A

a9 %& d9 %&

%&

 A

C

E  A

 AB

 A

a9 <& b9 $%& c9 8<& d9 8/<& e9 8:/& 9.- )i E es el e"centro relati*o al lado  AB , del triángulo ABC, calcula >"?.

3

b9 ;%& e9 <%&

c9 ;&

8%&

/9.- En la igura calcula >"?. "

q

;9.- )i @4’ es circuncentro, calcula "&.

C

b9 & e9 <%&

c9 %&

<9.-Cuánto mide un ángulo determinado por  una bisectriz e"terior + la prolongacin de una bisectriz interior, en un triángulo e(uiláteroF a9 & d9 :%&

"

"#q

q

a

c9 :<&

q

A

"

3 "

x

c9 <%&

8%%& &

;&

<&

b9 ;%& e9 %&

9.- En la igura. Calcula >"?.

:9.- Calcula >"? si @4’ es el incentro del triángulo ABC. B

+ # /l

)i! 7 4 à Circuncentro del triángulo ABC 7 3 à 4rtocentro del triángulo ABC

c9 &

b9 8& e9 /&

c9 :&

$9.-En un triángulo, la medida del ángulo determinado por dos bisectrices e"teriores es el doble de la medida del tercer ángulo. Cuánto mide dic6o ánguloF a9 :& b9 :;& c9 :<& d9 /& e9 :& 8%9.-Cuánto mide el ángulo ormado por las bisectrices interiores de dos ángulos de un triángulo e(uiláteroF. a9 ;%& d9 8/%&

b9 <%& e9 8%&

c9 8%%&

889.- Calcula " si @4’ es el circuncentro del triángulo ABC. B

"& ;&

a9 8/& d9 /<&

b9 8;<& e9 ;&

c9 :<&

8/9.- )i el ángulo >A? mide %&, Cuál serGa el *alor del ángulo (ue orman las bisectrices de los ángulos e"teriores B + C del triángulo  ABCF a9 8%& d9 %&

b9 %& e9 %&

c9 <%&

8:9.- Calcula ", si @3’ es 4rtocentro del triángulo ABC. B

a9 ;% d9 

b9 < e9 8%

c9 8:

a9 8 %% & d9 %&

8;9.- En el triángulo ABC, E es el e"centro. B 3alla >"?. a9 8%8& b9 8%/& c9 8%:& d9 8%& e9 8%&

%& H

c 9 8 %&

/%9.- Calcula q, si @4’ es 4rtocentro del triángulo ABC. B

E

/&

/q&  A

4

C

 A

89.- )i E es el e"centro relati*o al lado  AC  del triángulo ABC, calcula "&.

"&

b 9 $ %& e9 <%&

q

a9 %& d9 %&

C

b9 %& e9 $%&

c9 ;%&

B

3

/89.- Calcula " si @4’ es el circuncentro del triángulo ABC.

40°

8:/&  A

C

a9 <& d9 :/&

b9 ;/& e9 ;&

c9 ;:&

/% A x

89.- )i I es el incentro del triángulo ABC, calcula ". B

E

a9 %& d9 <%&

a9 8%& d9 %&

b9 ;%& e9 <&

c9 %&

%& "

8<9.- )i @3’ es el 4rtocentro del triángulo ABC calcula "&.

8%%& I

 A

a9 /& b9 ;<& c9 :<& d9 /%& e9 :%&

C

B

"

C

b9 /%& e9 %&

c9 :%& "& 3  A

89.- Calcula >P? = si >P?, >0? + >1? son puntos medios de los lados del triángulos + C # 8. B P

1 

& &

a9 & b9 <& d9 ::& e9 :& 8$9.- En la igura. Calcula >"?. "

C

c9 $&

8%& &

CLA,ES DE RESPUESTAS 89 a

/9 d

:9 a

9 e

9 b

;9 a

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$9 b 8%9 d

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8/9 b

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