Dionsaja.blogspot.com
TRIGONOMETRI A. Konsep segitiga siku – siku C r
A
α
x
2. Diketahui segitiga ABC siku di B dengan cos A = 12/13 ( besarnya sudut A lancip ) dan BC = 10 cm, maka Tentukan : a. panjang AC dan AB b. sin A, tan A, sin C, tan C
y
Jawab : a.
C
B
α = besarnya sudut antara garis AB dan AC x = Panjang ruas garis AB Y = panjang ruas garis BC r = panjang ruas garis AC
A
AB 12 = , sehingga AB = 12p dan AC 13
Cos A =
AC = 13p. Menurut pitagoras BC = 5p Karena BC = 10, maka 5p = 10 P =2 Jadi : AB = 12.(2) = 24 cm AC = 13.(2) = 26 cm
Pada segitiga siku – siku diatas berlaku teorema phytagoras : ¾ AC2 = AB2 + BC2 r2 = x2 + y2 ¾ Definisi perbandingan trigonometri :
BC 10 5 = = AC 26 13 BC 10 5 Tan A = = = AB 24 12 AB 24 12 Sin C = = = AC 26 13 AB 24 12 Tan C = = = BC 10 5
b. Sin A =
r 1 y ; cos ecα = = y sin α r 1 x r cos α = ; secα = = r x cos α y x 1 tan α = ; cot anα = = x y tan α
sin α =
Contoh : 1. Diketahui sin A = 3/5 ( A lancip). tentukan cos A, tan A, cosec A, sec A dan Cotan A Jawab : Sin A = 3/5 , misalkan y = 3 r=5 pitagoras : r2 = x2 + y2 x2 = r2-y2 = 25 – 9 = 16 x=4 sehingga : cos A = x/r = 4/5 ; sec A = 5/4 tan A = y/x = ¾ ; cotan A = 4/3 cosec A = r/y = 5/3
B
Pengertian arah sudut
Kuadran,satuan
Kuadran 2 (90º - 180º)
Kuadran 3 (180º - 270º) •
sudut
dan
Kuadran 1 (0º - 90º)
Kuadran 4 (270º - 360º)
Satu putaran penuh sudutnya adalah 360º.
Dionsaja.blogspot.com
•
• •
Jika arah sudut berlawanan arah putar jarum jam, maka sudutnya positif Jika arah sudutnya searah dengan arah putar jarum jam, maka sudutnya negative Cara mengukur besarnya sudut selalu dimulai dari sumbu x positif Untuk menentukan kuadran suatu sudut, dimana sudutnya di atas 360 º atau dibawah 360 º caranya adalah sbb : Untuk sudut di atas 360 º : sudutnya dibagi 360 º kemudian dilihat sisanya terletak dikuadran berapa.
13.
π 12
= 15 º
14. 45 º =
π 4
Pengembangan definisi trigonometri Jika dikembangkan lebih jauh definisi trigonometri ini yang diterapkan pada sebuah titik A(x,y), maka didapat :
● A(x,y)
Untuksudut di bawah -360 º : sudutnya dibagi -360 º, kemudian dilihat sisanya terletak di kuadran berapa. •
Satuan dari sudut ada 2 macam : 1. radian 2. derajat hubungan radian dan derajat adalah :
π rad = 180° Contoh : 1. 45º terletak di kuadran 1 2. 132 º terletak dikuadran 2 3. 187 º terletak dikuadran 3 4. 350 º terletak dikuadran 4 5. -120 º terletak di kuadran 3 6. -210 º terletak dikuadran 2 7. -60 º terletak di kuadran 4 8. - 310 º terletak dikuadran 1 9. 365 º dikuadran 1 sebab 365 º kalau dibagi 360 º bersisa 5 º, sedangkan 5 º terletak dikuadran 1 jadi 365 º terletak dikuadran 1 10. 2300 º dikuadran 2 sebab 2300 º kalau dibagi 360 bersisa 140 º, sedangkan 140 º terletak di kuadran 2, jadi 2300 º terletak di kuadran 2 11. -930 º dikuadran 2 sebab -930 º kalau dibagi 360 º bersisa -210 º, sedangkan -210 º terletak di kuadran 2. jadi -930 º terletak di kuadran 2 12.
π
6
= 30°
r
α
Keterangan : α adalah besarnya sudut yang di bentuk garis OA dengan sumbu x positif. r adalah panjang OA Definisi
0rdinat = OA absis x = cos α = OA r ordinat y = tan α = absis x OA = cosec α = ordinat OA r = sec α = absis x absis cotan α = = ordinat
Sin
α =
y r
r y
x y
Dionsaja.blogspot.com
Analisa nilai trigonometri disetiap kuadran:
C. Sudut – sudut Berelasi 1.
1. Di kuadran 1 Karena x,y,dan r positif, maka :
Sin α ,cos α , tan α , cosec α ,sec α cotan α bernilai positif
dan
2. Dikuadran 2 Karena x negatif, y positif dan r positif, maka:
sin α , cosec α bernilai positif sedangkan cos α ,tan α ,sec α dan cotan α bernilai negatif
3. Dikuadran 3 Karena x, y negatif dan r positif, maka : tan α , cotan α bernilai positif sedangkan sin α ,cos α ,sec α dan cosec α bernilai negatif
Kaidah tetap
sin ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ cos ⎜ 180° ± α ⎟ ⎟ tan ⎜ ⎜ ⎟= cos ec ⎜ ⎟ ⎜ sec ⎜ 360° ± α ⎟⎟ ⎟ cot an ⎜⎝ ⎠
⎡...⎤ sin ⎛ ⎞ ⎢...⎥ cos ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢...⎥ tan ⎜ α ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ec cos ... ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢...⎥ sec ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣⎢...⎦⎥ cot an ⎝ ⎠
…… di isi tanda + / - sesuai kuadran 2. Kaidah berubah
sin ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ cos ⎜ 90° ± α ⎟ ⎟ tan ⎜ ⎜ ⎟= cos ec ⎜ ⎟ ⎜ sec ⎜ 270° ± α ⎟⎟ ⎟ cot an ⎜⎝ ⎠
⎡...⎤ cos ⎛ ⎞ ⎢...⎥ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢...⎥ cot an ⎜ α ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ sec ... ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢...⎥ cos ec ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢⎣...⎥⎦ tan ⎜⎝ ⎟⎠
…… di isi tanda +/- sesuai kuadran
4. Dikuadran 4 Karena x positif,y negatif dan r positif maka : cos α ,sec α bernilai positif sedangkan sin α ,tan α ,cosec α ,cotan α bernilai negatif
Kesimpulan :
Contoh : 1. sin(90º- x) = cos x 2. tan(270º + x) = - cotan x 3. cos(180º – x) = - cos x 4. sec ( 360º- x) = sec x Sudut – sudut negatif :
Kuadran 1 : semua positif Kuadran 2 : hanya sin α dan cosec α Kuadran 3 : hanya tan α dan cotan α Kuadran 4 : hanya cos α dan sec α
B. Sudut istimewa dikuadran 1 0º
30 º
sin
0
½
cos
1
tan
0
½
3
1 3 3
45 º ½
2
½
2
1
60 º ½
3 ½
3
90 º 1 0 -
Sin(-A) = - sin A Cos(-A) = cos A Tan(-A) = - tan A Sec(-A) = sec A Cosec(-A) = - cosec A Cotan (-A) = - cotan A Contoh : 1. sin(-30 º) = -sin30 º= - ½ 2. cos(-45 º) = cos45 º = ½
2
3. tan(-60º) = -tan60º = - 3
Dionsaja.blogspot.com
Nilai trigonometri selain di kuadran 1 Contoh :
1 3 2 1 2. cos 210º = cos(180º + 30º) = -cos30º=3 2 3. tan 315º=tan(360º - 45º)= -tan45º= -1 4. sec (-210 º) = sec210º = sec(180 º + 30 º) = - sec 30 º
1.
sin 120º = sin(180º - 60º) = sin60º =
1 cos 30° 1 2 2 = − =− =− 3 3 3 3 2
E. Koordinat kutub ¾ ¾
Koordinat kartesius berbentuk (x,y) Koordinat kutub berbentuk (r, α )
Lihat ilustrasi berikut : y ● A(x,y) r
α
=-
5. cosec (-330 º)= - cosec 330 º = - cosec(360 º - 30 º) = - . - . cosec30 º = cosec30 º =
1 1 = =2 sin 30° 12
D. Rumus – rumus identitas 1. sin2A + cos2A = 1 2. tan2A + 1 = sec2A , (cosA ≠ 0) 3. cotan2A +1 = cosec2A, (sin A ≠ 0) sin A , (cos A ≠ 0) 4. tan A = cos A
Buktikan
x
x
Hubungan koordinat kartesius dan kutub Untuk menyatakan koordinat kartesius A(x,y) ke dalam bentuk kutub A(r, α ) caranya sbb: Pada segitiga siku di atas berlaku : ¾ r2 = x2 + y2 ¾
tan α =
y ( ingat bahwa α disesuaikan x
dengan kuadran dari letak titiknya)
untuk menyatakan koordinat kutub A(r, α ) ke dalam bentuk kartesius A(x,y) caranya sbb: ¾ x = r cos α dan y = r sin α contoh :
contoh : 1.
y
1 − cos 2 A = sin A sin A
Bukti : Lihat ruas kiri :
1 − cos 2 A sin 2 A = = sin A sin A sin A
(terbukti) 2. Hitunglah nilai dari : Sin225 º+cos225 º Jawab : Sin225 º+cos225 º = 1
1.
Nyatakan koordinat kartesius A(1,- 3 ) Jawab : r2 = 12+(- 3 )2 = 1+3 =4 r=2 tan α = − 3 = − 3 ( α pasti di kuadran 4, 1 karena x positif dan y negatif ) sehingga α = 300º Jadi A(2,300º)
Dionsaja.blogspot.com
⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛ 2π ⎞ f ⎜ ⎟ = tan 4⎜ ⎟ = tan ⎜ ⎟=− 3 ⎝6⎠ ⎝6⎠ ⎝ 3 ⎠
2. Nyatakan koordinat kutub A(4,150º) Jawab : r = 4 dan α = 150º x = r cos α = 4.cos150˚ = 4.( − 1 3 ) = -2 3
G. Nilai maksimum trigonometri
2
y = r sin α = 4. sin150˚ = 4.( ½ ) = 2 Jadi koordinat kartesiusnya : A(-2 3 , 2)
F. Nilai fungsi Trigonometri sederhana ¾ Fungsi berbentuk acosx + bsinx
Fungsi acosx + bsinx dapat disederhanakan menjadi k cos(x-A) dengan k = tanA =
a 2 + b 2 dan
b a
Nilai fungsi trigonometri yang akan dicari adalah berbentuk sederhana. contoh : 2. Tentukan nilai fungsi f(x) = sin x untuk x = Jawab :
π
6
⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 1 f ⎜ ⎟ = sin ⎜ ⎟ = ⎝6⎠ ⎝6⎠ 2
3. Tentukan nilai fungsi f(x) = cos2x untuk x = π 5 6 Jawab :
⎛ π⎞ 1 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ f ⎜ 5 ⎟ = cos 2⎜ 5 ⎟ = cos⎜ 5 ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 3⎠ 2
4. Tentukan nilai fungsi f(x) = sin22x + cos 23x untuk x= 3 Jawab :
π
4
⎛ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ f ⎜ 3 ⎟ = sin 2 2⎜ ⎟ + cos 2 3⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3π ⎞ 2 ⎛ 9π ⎞ = sin 2 ⎛⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 1 = (-1)2 + ( 2)2 2 = 1 + ½ = 3/2
5. Tentukan nilai fungsi f(x) = tan4x untuk x = π 6 Jawab :
dan
minimum
fungsii
Tips : Ingat ……..: -1 ≤ sin ≤ 1 -1 ≤ cos ≤ 1 0 ≤ sinp ≤ 1 , untuk p asli genap -1 ≤ sinp ≤ 1, untuk p asli ganjil 0 ≤ cosp ≤ 1 , untuk p asli genap -1 ≤ cosp ≤ 1, untuk p asli ganjil Contoh : 1. Diketahui f(x) = cos5x +4. tentukan nilai maksimum dan minimum Jawab : • f(x) mencapai maksimum jika cos5x mencapai maksimum yaitu cos5x = 1 maksimum f(x) = 1 + 4 = 5 • f(x) mencapai minimum jika cos5x mencapai minimum yaitu cos5x = -1. Minimum f(x) = -1 + 4 = 3 2. Diketahui g(x) = sin2(4x) -6. tentukan nilai maksimum dan minimum Jawab : • Maksimum g(x) = (1)2 – 6 = -5 • Minimum g(x) = (0)2 – 6 = -6 3. Diketahui f(x) = cos2(4x) - 3sin2(4x)+7. tentukan nilai maksimum dan minimum Jawab : f(x) = cos24x + sin24x - 4sin24x + 7 = 1 -4sin24x + 7 = 8 - 4sin24x • Maksimum f(x) = 8 – 4.(0) = 8 • Minimum f(x) = 8 – 4(1)2 = 4 4. Diketahui g(x) = -cos7(3x-1)+8 . tentukan nilai maksimum dan minimum Jawab : • Maksimum g(x) = -(-1) + 8 = 1 + 8 =9 • Minimum g(x) = -1 + 8 = 7
Dionsaja.blogspot.com
K=2, maka x = 81˚ K=3, maka x = 117˚ Jadi HP ={9˚,45˚,81˚,117˚} 3. 2 3 cos 2 x − 3 = 0 untuk 0˚ < x < 180˚ Jawab :
H. Persamaan Trigonometri sederhana sin x = sin α ,maka x = α + k.360˚ atau x = 180˚ - α + k.360˚ 2. cos x = cos α x = α + k.360˚ atau x = - α + k.360˚ 3. tan x = tan α x = α + k. 180˚ 4. acosx + bsinx = c, dapat diselesaikan bila : a2 +b2 ≥ c2 dan penyelesainya adalah : acosx + bsinx diubah dulu menjadi : 1.
kcos(x-A) dengan k =
a 2 + b 2 dan tanA=
2 3 cos 2 x − 3 = 0
2 3 cos 2 x = 3 2 3 cos 2 x = 3. 3
2 cos2x = 3 Cos2x = 1 3 2
b a
contoh : 1. tentukan himpunan penyelesaian persamaan ; 2sin3x =1, untuk 0˚ < x < 180˚ Jawab : 2sin3x =1 Sin3x = ½ Sin3x = sin 30˚ 3x = 30˚ + k.360˚ x = 10˚ + k. 120˚ k=0, maka x=10˚ k=1, maka x = 130˚ atau 3x = 150˚ + k.360˚ x = 50˚ + k.120˚ k=o, maka x = 50˚ k=1, maka x = 170˚ HP = {10˚,50˚,130˚,170˚} 2. tentukan himpunan penyelesaian persamaan: 4tan 5x + 1 =5 untuk 0˚ < x < 120˚ Jawab : 4tan 5x + 1 =5 4tan5x = 4 tan5x=1 tan5x = tan45˚ 5x = 45˚ + k.180˚ x = 9˚+ k.36˚ K=0, maka x = 9˚ K=1, maka x = 45˚
Cos2x = cos 30˚ 2x = 30˚ + k.360˚ x = 15˚ + k.180˚ K=0, maka x=15˚ atau 2x=-30˚ + k.360˚ x=-15˚ + k.180˚ k=1, maka x = 165˚ Jadi HP={15˚,165˚}
I. Grafik Trigonometri sederhana Periode fungsi adalah rentang sudut dimana grafik membentuk satu gelombang Satu gelombang adalah terdiri dari satu puncak dan satu lembah Contoh :
210˚ 30˚ Maka periode grafik di atas adalah : 210˚ – 30˚ = 180˚ Periode juga dapat dibaca dari persamaan trigonometrinya Contoh ; f(x) = sinax, maka periodenya = 2π a Cara menggambar grafik fungsi trigonometri sederhana : 1. tentukan titik potong sumbu x 2. tentukan titik potong sumbu y 3. tentukan titik maksimum dan minimumnya
Dionsaja.blogspot.com
4. tentukan titik bantu jika perlu (diambil untuk sudut istimewa) 5. hubungkan titik – titk yang didapat sehingga terbentuk kurva/grafik trigonometri contoh ; Gambarlah grafik fungsi f(x) = sin2x untuk interval 0 ≤ x ≤ 360˚ Jawab : 1. titik potong sumbu x ( jika y = 0 ) sin2x = 0 sin2x = sin 0 2x = 0˚ + k.360˚ x = 0˚ + k.180˚ (k bil bulat) utk k = 0 didapat x = 0˚ tipot (0˚, 0) utk k=1 didapat x = 180˚ tipot (180˚, 0) utk k=2 didapat x = 360˚ tipot (360˚,0) atau 2x = 180˚ – 0 + k.360˚ x = 90˚ + k.180˚(k bil bulat ) utk k = 0 didapat x = 90˚ tipot (90˚, 0) utk k=1 didapat x = 270˚ tipot (270˚,0) 2. titik potong sumbu y (jika x = 0) sin2.0 = sin 0 = 0 tipot (0˚,0) 3. titik maksimum dan minimum maksimum = 1; sin2x=1 x = 45˚ dan x = 225˚ titik maksimum (45˚,1) dan (225˚,1) minimum = -1; sin2x=-1 x = 135˚ dan x =315˚ titk minimum (135˚,-1), (315˚,-1) 4. titik bantu tidak perlu 5. 1
π
0 -1
J. Aturan sinus dan kosinus 1. aturan sinus B
c R
•
A
b
a C
2π
Keterangan : a = panjang sisi BC b = panjang sisi AC c = panjang sisi AB
; R = jari - jari
a b c = = = 2R sin A sin B sin C Tips :
Secara umum aturan sinus dapat dipakai jika ada sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui. Contoh : 1. Diketahui segitiga ABC dengan AB=4 cm. dan ∠C = 30° ∠A = 60° .tentukan panjang BC. Jawab : c=4
a c = sin A sin C a 4 = sin 60° sin 30° a 4 , = 1 1 3 2 2
a = 4 3 cm jadi panjang BC = 4
3 cm
2. Diketahui segitiga PQR dengan panjang PQ = 6 cm dan tan R = 0,75 . Jika panjang QR = 5 cm, tentukan cosP Jawab : tan R = 3 , sin R = 3 5 4
p r = sin P sin R 5 6 = 3 sin P 5 6sinP = 3 sinP = 3/6 = ½ cosP = 1 3 2
Dionsaja.blogspot.com
2. Diketahui ketiga sisinya
2. aturan kosinus Pada segitiga ABC dengan AB = c, BC = a dan AC = b, maka : a2 = b2+c2 – 2bc.cosA b2=a2+c2-2ac.cosB c2=a2+b2-2ab.cosC contoh : 1. Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB=8 cm, BC = 7cm dan AC = 6cm. tentukan nilai dari cos A Jawab : a2 = b2+c2 – 2bc.cosA
L=
s = ½ (a + b + c )
b
K. Luas segitiga 1.
Diketahui alas dan tinggi
t
3. Diketahui dua sisi mengapit sudut
c c
α b
L = ½ .b.c.sin α Contoh : 1. Diketahui segitiga ABC, AB=4cm, BC = 6cm dan ∠B = 60° , hitunglah luas segitiga ABC Jawab : L = ½ a.c.sinB = ½ 6.4.sin60˚ = 3.4. ½
Luas = ½ . a.t
3
= 6 3 cm2 2. Diketahui segitga ABC, dengan AB=9 cm , BC=10cm dan AC=11cm. Hitunglah luas segitiga ABC Jawab : S = ½ keliling segitiga ABC = ½ (9+10+11) = 15 L=
a
a c
b2 + c2 − a2 cosA = 2bc 2 + 6 8 2 − 7 2 = 36 + 64 − 49 51 17 cos A = = = 2.6.8 96 96 32 2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 7 cm , AC = 12 cm , sudut BAC = 60˚. Tentukan panjang BC Jawab : a2 = b2+c2 – 2bc.cosA = 122 + 72 – 2.12.7.cos60˚ = 144 + 49 – 2.12.7.( ½ ) = 193 - 84 = 109 a = 109 cm
s ( s − a )( s − b)( s − c)
= =
s ( s − a )( s − b)( s − c)
15.(15 − 9)(15 − 10)(15 − 11)
15.6.5.4 = 5.3.3.2.5.4 = 3.5.2 2 = 30 2 cm2
