Trigonometría ANUAL ADE 2015

Boletín Virtual: Trigonometría

1

2

3

4

5

6

7

8

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I A)

NIVEL BÁSICO D) 1.

En un triángulo rectángulo un cateto es la tercera parte de la hipotenusa. Calcule la tangente del mayor ángulo agudo. A) 5 D) 2 2

2.

B)

5.

2 5 3

C)

3

E)

2

α

3.

5 5 2

β

1

5 =

13

Halle sec A+tan A. A) 3 D) 4

3 5

Según el gráfico, halle tan(a+b) – tana.

En un triángulo ABC recto recto en B, se sabe que sen C

5

3 5

C) 2 5 E) 3

2

B)

4

B) 1

C) 5 E) 2

A) 3 D) 1/4

B) 1/3

C) 1/2 E) 4

Si en el gráfico 3( BH )=2( )=2( AC ), ), halle tana+tanb.

NIVEL INTERMEDIO B

α β

6.

Si en el gráfico BD=DC BD=DC , halle

13 sen β + 2 tan α .

B A

A) 2/3 D) 3

H

C

B) 1/3

3

E

C) 3/2 E) 1/2

D

α

2

β

A 4.

C

13

Según el gráfico, determine secq+cscq. A) 3 D) 5

2

3

θ

1

7.

B) 1

C) 2 E) 4

En un triángulo ABC recto recto en B, se cumple que tan A+tanC =3. =3. Halle (tan A – tanC )2. A) 3 D) 4

B) 1

2

C) 5 E) 2

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I A)

NIVEL BÁSICO D) 1.

En un triángulo rectángulo un cateto es la tercera parte de la hipotenusa. Calcule la tangente del mayor ángulo agudo. A) 5 D) 2 2

2.

B)

5.

2 5 3

C)

3

E)

2

α

3.

5 5 2

β

1

5 =

13

Halle sec A+tan A. A) 3 D) 4

3 5

Según el gráfico, halle tan(a+b) – tana.

En un triángulo ABC recto recto en B, se sabe que sen C

5

3 5

C) 2 5 E) 3

2

B)

4

B) 1

C) 5 E) 2

A) 3 D) 1/4

B) 1/3

C) 1/2 E) 4

Si en el gráfico 3( BH )=2( )=2( AC ), ), halle tana+tanb.

NIVEL INTERMEDIO B

α β

6.

Si en el gráfico BD=DC BD=DC , halle

13 sen β + 2 tan α .

B A

A) 2/3 D) 3

H

C

B) 1/3

3

E

C) 3/2 E) 1/2

D

α

2

β

A 4.

C

13

Según el gráfico, determine secq+cscq. A) 3 D) 5

2

3

θ

1

7.

B) 1

C) 2 E) 4

En un triángulo ABC recto recto en B, se cumple que tan A+tanC =3. =3. Halle (tan A – tanC )2. A) 3 D) 4

B) 1

2

C) 5 E) 2

Trigonometría 8.

Si en el gráfico 6( AD)=5( BC ), ), halle cot θ + cot α csc β

A) 3/2 B) 10/3 C) 5/6 D) 9/5 E) 4

B 10.

θ

α A

β D

Según el gráfico, se tiene una semicircunferencia con centro en O y tangente a BD en C , donde 3( BC )= )=CD. Halle tanq.

C B

A) 2/5 D) 6/5

B) 5/3

C) 3/5 E) 5/6

C

NIVEL AVANZADO θ

A 9.

O

Según el gráfico, calcule BC si AE =9, =9, BD=5 y AB=6. A)

C

2

B) 2

2

D

B

C) D) E

A

E)

3

2 2 3 2 2 2 4

D

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

A) 1/6 D) 1/5

B) 1/2

C) 1/4 E) 1/3

NIVEL BÁSICO 15. 11.

Marque la igualdad correcta. A) sen 45º B) tan 30º C) cos 53º

Si q es un ángulo agudo, además cosq=sen30ºsen45º. Halle

2

tan θ − 3 .

1 =

A) 5 D) 3

2 3

=

B) 1

C) 4 E) 2

5 =

3

NIVEL INTERMEDIO

D) sec60º=2 E) 12.

Si f ( x )

csc 37º

=

5 =

De acuerdo al gráfico, BM es mediana, halle tanq.

sec (3 x ) + tan (2 x + 5º ) , tan (3 x − 7º )

B

halle f (20º). A) 4/3 D) 2/3

13.

16.

4

B) 9/4

C) 6/5 E) 4/5 53º

Si en el gráfico AD=DC , halle tanq. B

A

M

A) 1/2 D) 1/4 17.

θ

37º

A

45º

θ

C

B) 8

C) 2 E) 4

Según el gráfico, AM=MC . Calcule cosq.

C

D

B

A) 1/4 D) 3/4 14.

B) 2/3

C) 3/2 E) 4/3

θ

Según el cuadrado ABCD, halle cotb. B

C

53º

45º

β

A

A)

A

D

D)

M

3 10

B)

10

10

10 10

C

C)

E)

5

4

2 10 11

5 10

Trigonometría 18.

De acuerdo al gráfico, halle tanq.

A) 5/17 B) 2/7 C) 9/13 D) 6/17 E) 4/17

120º 10

2

θ

A) 5 D)

20.

B)

3

5 3

C)

3

Según el gráfico, Halle cscq.

=

3 ( ED )

y BC=CD.

3

B

5 3

E)

7

5 3 2

θ

NIVEL AVANZADO

45º A

19.

2 ( AB)

A)

5

B

B) 2 C)

M θ

3

5 2

D)

3

E)

2 5

37º

A

C

5

30º C

Si AM=BC , halle cotq.

D

E

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo III NIVEL BÁSICO 1.

6.

III. cos30ºsec30º=1

D) C) VFV E) VVV

3

B)

5

2

C)

2

3

E)

2

cos 70º

3 tan 35º +

cot 55º

A) 3 D) – 1

halle

8.

5

sec ( 2β ) csc (7β)

B) 1/2

D)

6

B)

5 3

+1

2

8 5

6 5 3

B)

2

3

C) 2 E) 1

2

Si tan(a+b – 30º)cot(60º – q)=1, halle

(α + β ) θ

+

csc sec

(α )

(θ + β )

A) 2 D) 1/2

9.

.

C) 1/3 E) 3

C) E) 1

B) 3

C) 1 E) 1/3

NIVEL AVANZADO

Si x es un ángulo agudo, además tan(3 x)=cot(72º – 2 x), halle cos(2 x+1º)+sen(3 x – 1º). A)

E)

5

4

C) 2 E) – 2

A) 1 D) 2

5

3

cos

Si b es un ángulo agudo, además sen(35º – 2b)csc(4b – 25º)=1, cot (4β )

C)

2

sen

4.

+

5

4

csc 30 º

B) 1

tan (5β )

B)

Si sen( x – 5º)csc( y+55º)=1 tan(2 x – y)=cot(2 y – x) halle 2cos( x – y)+tan( x – 2 y)

D)

2

2 sec 60º −

3

A) 3

1

Halle el valor de la expresión sen 20º

7.

Si se sabe que q es agudo y tan(4q)cot(q+60º)=1, halle cos3q.

D)

5.

halle senq. A)

B) FFF

2 3

θ θ II. tan   cot   = 1  2   2 

A)

3.

Si q es un ángulo agudo, además sen θ tan θ csc θ cot θ cos θ =

Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. sen( x+ y)csc( x+ y)=1

A) FVV D) FVF 2.

NIVEL INTERMEDIO

A) 3 D) 2 10.

2

Si x e y son ángulos complementarios, además sen(90º – x)+sec(90º – y)=3 halle sen2 y+sec2 x. B) 4

C) 7 E) 5

Si x e y son ángulos agudos complementarios; además (tan x)cot y=sen45º halle sen2 x+cos2 y. A) 5 D) 4/5

B) 2/5

6

C) 2 E) 5/2

Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos I

A) msenq B) msenqcosq

NIVEL BÁSICO

C) mcos2q D) msen2q

1.

Del gráfico, determine AC en términos de a, b, m y n.

E) msen2q

B 4.

m

α β

n

D

A

C

3

A) mse nb+ nse na B) mse na+ nse nb C) mcosb+ ncosa D) mcosa+ ncosb E) ( m+ n)se n(a+b) 2.

Del gráfico, halle DE en términos de q.

θ

37º

C

F

E

A) senq

Según el gráfico, determine ED en términos de a y q.

B) 2senq C) 3senq

C

D) 4senq

θ

E) 5senq D 5.

Si ABCD es un cuadrado, halle BE en términos de q y m.

B

E

A a A

θ B) a sen    2 

A) asenq D) 3.

a cos

θ   2

B

C) acosq E) asenqcosq

E

Del gráfico, determine CD en términos de q y m. B

m

m D

D

θ

A) m(senq – cosq) B) msenq C) m(cosq – senq) D) mcosq

θ

A

C

7

E) m(cosq+senq)

C

Trigonometría NIVEL INTERMEDIO 6.

C)

En el gráfico, halle x en términos de q y n.

D) E)

sen θ + 2 cos θ 2 sen θ − cos θ 2 sen θ + cos θ sen θ − 2 cos θ sen θ

− cos θ

sen θ

+ cos θ

x

θ

NIVEL AVANZADO

θ n

A) nse nq nq D) ncos2q 7.

B) ncosq

C) nse n2q E) nse nq nqcosq

9.

Según el gráfico, AN =2( =2( NC ). ). Halle tanb en términos de q. A

Según el gráfico, BD 2 3 . Determine el perímetro del triángulo equilátero ABC en en términos de q. =

β

B

A) 12sen q B) 5senq C) 4senq D) 3senq E) 6senq

θ B

A)

N

cos θ

B)

2 + cos θ

cos θ 1 + sen θ

C)

C

sen θ 1 + cos θ

θ

A 8.

C

D

D)

Si en el gráfico BC =2( =2( AB), halle tanb en términos de q. 10.

C

sen θ

E)

2 + sen θ

2 + cos θ

Si en el gráfico AC =4, =4, determine DH en en términos de q. B

β

A

sen θ

θ

H

D θ

B

θ

A

A) B)

C

sen θ − 2 cos θ 2 sen θ + cos θ 2 sen θ − cos θ

A) 2cos 3q

sen θ + 2 cos θ

D) 2sen3q

B) 4cos3q

C) 4sen3q E) sen3q

8

Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos II

A) 3(4+3cotq) B) 4(1+4cotq)

NIVEL BÁSICO

C) 3(3+4cot q) D) 4(4+3cot q)

1.

E) 4(3+4cotq)

Determine AC en en términos de a, b y a. B

4.

Del gráfico, determine AB en términos de a y a. D

a B

θ

β

A

C

a

A) a(cotq+cotb) B) a(tanq+tanb) C) a(tanq+cotb) D) a(cotq+tanb) E) acotqtanb 2.

α α

A

C

A) atanacsc2a

Según el gráfico, halle AB en términos de m y q.

B) acotasen2a C) acotasec2a

B

D) acotacos2a 30º

E) asecacsc2a C

θ

Calcule BD en términos de q, b y .

D

A

A) 2 mtanq

5.

m

B) mtanq

B

C) msecq

D) 2 msecq

E)

m

D

tan θ

2

θ 3.

β

Determine el área de la región ABCD. A B

C

A) senqtanb 5

B) cosqcotb C) senbtanq

53º

D) cosbcotq

θ

A

D

9

E) tanbcotq



C

Trigonometría NIVEL INTERMEDIO 6.

A) D)

Si en el gráfico AD=BC , halle sena+seca – cosa.

α

3

B)

csc β

3 3

sec β

3 sec sec β

C)

3 csc csc β

E) 3secb

NIVEL AVANZADO

B

45º

3

9.

En el gráfico, determine AB en términos de a, b y m. B

A

D

A) 2 D) 1/3

B) 1

m

C

C) 1/2 E) 0

β α

C

A 7.

Halle AB en términos de q, b y k. A) msenacscb B) mcscacscb C) mcosbcsca D) mcosacosb E) mcosacscb

C

θ

k

10.

B

En el gráfico, determine la longitud del lado del cuadrado ABCD en términos de q.

β A

D

A) ktanbsecq D) kcosqtanb 8.

B) ksenbtanq C) ksecbtanq E) ksenqtanb

θ

A

En el gráfico, halle DC/BE en en términos de b. A)

B

B) C) 30º

A

C

B

E

D

β

C

D) E)

D 5

5 1 + sen θ + cos θ 5 1 + tan θ + sec θ 5 1 + sec θ + csc θ 5 1 + tan θ + cot θ 5 1 + cot θ + csc θ

10

Trigonometría Ángulos verticales

19 2

A)

16

NIVEL BÁSICO 1.

Un estudiante de 3 m de altura, observa la parte superior de su casa con un ángulo de elevación de 60º. Si el estudiante está a 6 m de su casa, halle la altura de su casa. A) D)

2.

B)

6 3

8 3

7 3

C) 5 E) 6

3

D)

m

27 2

3.

6.

A) 1,2 m D) 1 m 4.

B) 1,6 m

C)

E)

16

21 2

m

16

25 2

m

16

Un avión viaja en línea recta y horizontalmente. B, los observa con ángulos de depresión a y b.

Cuando pasa sobre A es visto desde B con un ángulo de elevación q. Si cota=2 y cotb=5, halle tanq. B) 1/4

D) 1/3 7.

C) 1/2 E) 1/5

Desde lo alto de un edificio se observa un punto en tierra con un ángulo de depresión q y otro punto ubicado en la mitad de la distancia que separa al primer punto y el edificio, con un ángulo de depresión 90º – q. Halle cotq.

C) 2 m E) 1,4 m

Desde la parte alta de un edificio se observa dos puntos en la superficie del suelo, que están en línea recta con el edificio, con ángulos de depresión de 60º y 30. Halle la distancia entre estos puntos si la altura del edificio es 25 3 m .

m

Antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y

C) 200 m E) 300 m

Si la observación de la parte alta y baja de un asta ubicada en la parte superior de una casa, se realiza con ángulos de elevación de 45º y 37º, respectivamente. Halle la longitud del asta si la casa tiene una altura de 4,8 m.

16

m

A) 1 B) 160 m

23 2

NIVEL INTERMEDIO

Desde un avión que vuela horizontalmente en línea recta a una altura de 120 m, se observa una isla con un ángulo de depresión de 37º. Halle la distancia que existe entre el avión y la isla en el momento de la observación. A) 120 m D) 240 m

B)

A) 2 2

D)

8.

B)

2 4

2 2

C)

3 2

E)

2

Al subir por una colina cuya inclinación con respecto a la horizontal es de 15º, se observa lo alto de una torre que se encuentra en la parte más alta de esta, con un ángulo de elevación

A) 25 3 D) 25 m 5.

m

B) 50 m

C) 100 m E) 50 3 m

Un niño de 2 m de estatura observa los ojos de su padre con un ángulo de elevación de 37º y sus pies con un ángulo de depresión de 53º. Halle la estatura del padre.

de 45º. Halle la altura de la torre si en ese instante de la observación la persona se encuentra a 12 m de la base de la torre. A)

6 2

D)

8 2

B) 6

2

C)

12 2

E)

6 3

Trigonometría 10.

NIVEL AVANZADO

Dos puntos están ubicados al ras del suelo. Desde uno de ellos se observa la parte alta de una torre con un ángulo de elevación q y desde

9.

Una persona se desplaza por un camino que

el otro punto se observa el punto medio de la

hace un ángulo q con la horizontal, observa la parte superior de una torre con un ángulo de

torre con un ángulo de elevación f. Si la suma de las distancias del pie de la torre a cada

elevación igual a 3 q /2. Luego al subir d m hacia

punto es d m, calcule la altura de la torre.

la torre por el camino, el nuevo ángulo de elevación mide 2q. Halle la altura de la torre.

A) d (2cotq+cotf) B) d (tanq+2tanf)

A) d senqsecq

C)

B) d sentanq C) d sen2q

D)

D) d cosqcscq E) d senq

2 d 2 cot φ

+ cot φ

2 d 2 tan θ + tan φ

E) d (tanq+2cotf)

3

Trigonometría Introducción a la geometría analítica

4.

Halle tanq, si AM = BM . Y

NIVEL BÁSICO 1.

θ

Según el gráfico, halle las coordenadas del punto B.

A(6; X M

Y A(a; 3 )

B(0;

A) 3/2 D) 1/4

X

60º O

– 4)

B) 2/3

C) 1/6 E) 1/3

B

A) (5/2; 0) D) (4; 0) 2.

0)

B) (6; 0)

C) (3; 0) E) (5; 0)

5.

Del gráfico, halle a si AB=5

2.

Y

Según el gráfico, halle n.

X

Y B(– 2 n; n)

B(1 – 2a; A(2a;

θ

O

D) 3.

2 5 5

B)

A(4;

4 5

C)

5

3 5

A) 2 D) – 3/2

0)

B) 3/2

C) – 2 E) – 3

6 5

E)

5

2a – 1)

X

θ

A)

2a)

5

5 5

NIVEL INTERMEDIO 6.

Si ABCO es un cuadrado, halle las coordenadas del punto B.

Si AB= BC , halle a+ b+c. Y C ( b; c)

Y

B

B(0;

A(12; n)

3)

C

53º A(a;

A) 3 D) – 6

B) – 3

0)

C) 6 E) 9

O

X

X

A) (– 1; 7) D) (– 4; 23) 4

B) (– 2; 14)

C) (– 3; 17) E) (– 3; 21)

Trigonometría 7.

Halle las coordenadas de un punto P ubicado en el eje de ordenadas que equidiste de los puntos A(– 8; 1) y B(3; – 4)

NIVEL AVANZADO 9.

Del gráfico, halle la coordenada del punto A.

A) (0; 2) B) (0; 3) C) (0; 4) D) (0; – 2) E) (0; – 4) 8.

Y

O

X B(7;

– 3)

Si AM = MB, halle la abscisa de punto M . 45º

Y

A M A

B

A) (3; – 7) D) (3; – 10)

5µ

10.

O

A) – 1 D) – 1/2

B) – 2

X

C) – 3 E) – 3/2

5

B) (4; – 10)

C) (2; – 7) E) (9; – 10)

Dados los puntos A(4; – 9), B(– 2; – 3), C (2; 1) y M punto medio de AC . Halle la distancia de M al segmento AB. A) 4 D) 2 2

B) 2

C) 4 E) 3

2

2

Trigonometría Ángulos en posición normal I

4.

Según el gráfico, halle

NIVEL BÁSICO 1.

n sen θ

.

−

m cos θ

Y

(–

m ;

n

( θ

Si OP=13, halle senq+cosq.

X

Y

O

θ

A) m D) m − n

X

(– 5; n) P

A) 7/13

5.

B) – 7/13

2.

Y A

5.

O

A) 1 D) 2

O

B) 2

C) 3

5

B) – 1

C) 0 E) – 2

X

5

NIVEL INTERMEDIO

E) 5 5

5

6. 3.

X

θ

Y

θ

A) 5

B

37º

P(– 2 n; n)

D) 4

M

E) –17/13

Halle cscq si OP=2

C) m+ n E) m + n

Si AM = MB, halle 3tanq+2.

C) 10/13

D) 17/3

B) n

Si ABCD es un cuadrado, halle 1 −

3 tan θ.

Si AM = MD y ABCD es un cuadrado, halle tana+tanb. Y

Y B

B

C

C

30º

α

X

M –6

β

O A

A) − 3 D) 3

θ

B) 1

A

X

C) – 1 E) 0

A) 2/3

M

B) 4/3

D) – 1

–2

D

C) 1 E) 0

6

Trigonometría 7.

Del gráfico, halle tanqcotb.

NIVEL AVANZADO

Y

9.

Según el gráfico, halle tan q.

θ

2

Y X

β

3

45º (2; 3)

A) 2/3 D) – 3/2

B) 3/2

C) – 2/3 E) 1

X

θ

8.

Si AM = MB y BO=OC , halle cotq. A) – 3

Y M A(–

B) – 2

C) – 5

D) – 1/2

E) – 1/3

B

10; 3) 10.

Se sabe que q es un ángulo en posición normal en cuyo lado final se ubican los puntos

θ

P(– 15; a) y Q( b; – 24). Halle la distancia entre

37º O

C

A) – 10/9 D) – 3/10

B) – 9/10

C) – 10/3 E) – 3/4

7

X

dichos puntos si cos θ = A) 10 D) 25

B) 12

−5

13

C) 8 E) 13

Trigonometría Ángulos en posición normal II

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL BÁSICO 5. 1.

Si q ∈ IIIC, halle el signo de las siguientes expresiones. I. senq+cosq II. tanq+cotq III. secq+cscq

A) − D) − 6.

A) –; +; – B) +; +; – C) –; –; + D) +; –; + E) –; +; + 2.

3.

4.

7.

13

8.

2

C) −

13

4

E) −

13

Si se cumple que 3 halle cscq.

cot θ+1

B) −

26

=

27;

24

13

5 13 7 13

θ ∈ IIIC

C) − E) −

39 19

Si k > 0 y P(–2 k; k) es un punto del lado final del ángulo en posición normal q, entonces halle secqcscq.

D)

B) − 2

5

1

C) − E) −

2

Si se cumple que 9sen2q+3senq – 2=0, además, q ∈IIC. Halle 3 cos θ + A) 2 D) – 3

B) − 2

5 2 5 2

2

C) 3 E) 0

NIVEL AVANZADO 9.

Si |cosq|=– cosq y |senq|=– senq, halle el signo de tanq+secq. A) + o – B) + y – C) + D) – E) no tiene signo

Si tanq < 0 y secq=4, halle el cuadrante al que pertenece q. A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IIC ∨ IVC

B) −

A) − 5

Si cscq < 0 y tanq > 0, halle el cuadrante de q. A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IIIC ∨ IVC

3

A) − D) −

Si q ∈ IIC, halle el signo de las siguientes expresiones. I. senq – cosq II. cscq – tanq III. tanqsenq+secq A) –; +; – B) +; +; + C) +; +; – D) –; –; – E) +; –; +

Si tanq=–2,4 y q ∈IVC, halle sen q+cosq.

10.

Si |tanq|=tanq y senq=–3/5, halle sec q+tanq. A) 2 D) – 1/2

B) 1/2

8

C) – 2 E) – 1/5

Trigonometría Ángulos en posición normal III

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL BÁSICO 6. 1.

Si q ∈〈0; 360º] y se cumple que

 θ  + sen  θ     2  4

cos2q – 3cosq+2=0, halle tan 

Halle el valor de la expresión 4 cos 0º + sen 270º + tan 180º

A) – 1 D) – 2

sec 360º

A) 4

B) – 4

D) – 3 2.

7.

Si f ( x)= x

π

2

− π

, halle

Si f ( x)=tan x+sen2 x+cos4 x, halle f (45º).

sen[ f (3)]+cos[ f (2)]+sec[ f (4)]

A) 1

A) 1 D) 2

B) – 1

C) 0 E) – 2 8.

Simplifique la expresión 2

2

a sen 90º + b cos180 º

a cos 360º + b sen 270 º

A) a – b

2

C)

Siendo a y b ángulos cuadrantales positivos y menores que una vuelta, que cumplen la condición (sena+1)2=tan180º – (cosb+1)2. Halle

A) 2 D) – 1

2

B) – 2

C) 0 E) 1

a+ b a

+

NIVEL AVANZADO

2

b

a− b 9.

2

E)

C) 0 E) – 2

β  2 

a +b

2

D)

B) – 1

csc(a – b)+ sen  

B) a+ b

a

sen(sen180º)+cos(tan360º) B) – 1

A) 0 ∨ 1 D) 0 ∨ 2 C) 1 E) 2

Si q es un ángulo cuadrantal positivo y menor que una vuelta, halle q. sen θ =

B) 180º

10.

B) – 1 ∨ 0

C) – 2 ∨ 0 E) – 2 ∨ 2

Si a y b son ángulos cuadrantales positivos y menores que una vuelta, que cumplen las siguientes condiciones 2sena=1 |2senq+4|=3 –|senq+2|

(I) (II)

 α + θ .  2 

tan 360º + cos180º

halle cos(q – a)+cos 

sen 90º

A) 90º D) 360º

sen α − 1

calcule csca+senq.

Halle el valor de la expresión

A) 0 D) – 2

Si q y a ∈〈0, 2p〉; además, cos θ =

b

4.

5.

C) 2 E) 1

C) 3 E) 2

D) 2 3.

B) 0

C) 270º E) 90º y 270º 9

A) 2 D) – 1

B) – 2

C) 1 E) 0

Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales I NIVEL BÁSICO 1.

7.

Reduzca la siguiente expresión. tan2q · cosq · cscq. A) sen q D) cotq

2.

D) ( x+1)( y –1)=2 E) xy=1

B) cosq

C) tan q E) secq

Elimine la variable angular de las siguientes expresiones. tanq+2cotq=a tanq – 2cotq= b

2

A) a – b =1

Simplifique. D)

csc θ ⋅ cos θ

a

2

3.

B) cosq

C) tan q E) 2cos q

Si senq · cotq+cos3qsec2q=1, halle q siendo un ángulo agudo. A) 30º D) 37º

5.

C) tan 2q E) 1

B) 60º

−

b

2 =

2

1

C)

2 =

E)

1

2   halle  1 + sen θ − 2 csc θ   senθ 

A) 10 D) 16

B) 12

a

2

−

b

2 =

4

a

2 −

16

b

1

2 =

1

2

.

C) 14 E) 18

NIVEL AVANZADO 9.

Si tan x − cot x cos θ = , tan x + cot x

C) 45º E) 53º

halle tan2 x. A) B)

B) 1

2

Si senq+cscq=4,

Sabiendo que tan2q+cot2q=2 calcule tan4q+cot4q. A) 0 D) 2

b

B)

a

8.

Simplifique la siguiente expresión. senq(1+cot q)+cosq(1 – tanq) A) sen q D) 2sen q

4.

B) cos2q

−

8

sec θ ⋅ senθ

A) sen 2q D) cot2q

2

C) 3 E) 5 C)

NIVEL INTERMEDIO D)

1 1 + cos θ 1 1 − cos θ 1 − cos θ 1 + cos θ 1 + cos θ 1 − cos θ

6.

Elimine la variable angular de las siguientes expresiones. cosa+1= x seca – 1= y A) ( x – 1)( y+1)=1 B) ( x+1)( y – 1)=1 C) ( x – 1)( y+1)=2

E) 10.

cos θ 1 + cos θ

Si tanq+tan2q+tan3q=1, halle tan3q+cotq. A) 2 D) – 1

B) – 2

C) 1 E) 0

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 2

Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales II NIVEL BÁSICO 1.

NIVEL INTERMEDIO 6.

Halle la expresión equivalente de csc θ

− senθ

sec θ

− cos θ

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

.

B) cot2q

A) cot q D) tanq

C) cot3q E) tan2q 7.

2.

Reduzca la siguiente expresión. 1  sec θ − cos θ csc θ − senθ  +   csc θ  senθ cos θ  A) senq D) cscq

B) cosq

C) secq E) 1

Reduzca la siguiente expresión. 1 sec x + tan x

+

Simplifique la siguiente expresión. 3

3

sen θ − cos θ

tan x

+ cos θ

1 + senθ cos θ

A) senq B) cosq C) tanq D) cotq E) cscq

A) 0 B) 1 C) sen x D) cos x E) sec x 4.

Si cos +cos2 x=1, halle csc4 x – tan2 x. A) 1 B) – 1 C) 0 D) 2 E) – 2

8. 3.

Si cscq – cotq=0,25, halle 17sen q – 6.

Simplifique la siguiente expresión. csc4q – csc2q – cot2q

NIVEL AVANZADO 9.

Si asenq+ bcosq= b, halle acosq – bsenq.

2

A) csc q B) csc4q C) 1 D) cot2q E) cot4q 5.

A) a D) – b 10.


4

2

− sec θ + sec θ

csc θ − 1

A) sec 4q D) tan2q

B) sec2q

C) tan4q E) – tan2q

A) 1 B) 0 C) – 1 D) 2 E) – 2


C) – a E) a+ b

Si sen2qcos x+cos2qsen x+cos2qcos x=0 halle sec2q+tan x.

2

sec θ − 1

B) b

Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales III

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL BÁSICO 6.

Simplifique la siguiente expresión. 2 tan x ( tan x + cot x )

1.

Si 3tan x – 5sec x=4, halle tan x. A)

2

sec θ

A) 1

B)

C) 2

2

2

(sen

3

B) 2cos q

A) D)

x + cos x ) −

6

3

D) − E) −

C) 2sec q E) 2tanq

7.


4

E) 3

A) 2sen q D) 2cscq 3.

4

C) −

Simplifique la siguiente expresión. (tanq+cotq)senq+(sec2q+csc 2q)sen2qcosq

2.

6

1

1

(sen

4

B)

12

4

x + cos x )+ 4

1 6

1

C) E)

5

1

sen

2

2

3 4 4 3

3 5

Si f ( x)=sen xq+cos xq, halle [ f (4) – f (6)] f (2) · f (– 2). A) 1 D) – 2

2

x cos x

1

8.

8

B) – 1

Simplifique la siguiente expresión. (sen2 x – cos2 x)(1 – 2sen2 xcos2 x)+cos8 x A) cos 8 x D) sen4 x

1 3

C) 2 E) 3

B) sen8 x

C) cos4 x E) cos2 x

Si 5sen x+12cos x=13, halle sec x · csc x. A) B) C) D) E)

5.

1

3

D)

4.

B)

3

NIVEL AVANZADO

169 30

9.

13

Si la expresión 2

2

30

sen θ

160

cos θ ( senθ − cos θ )

13

169 60

169 a

2

, 10.

calcule sen4 x+cos4 x+2sen2 x. A) 1+a D) a

cos θ senθ ( cos θ − senθ )

es idéntica a m+ ntanq+ pcotq, halle m+ n+ p. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

160

Si sen x = 4

+

B) 1 – a

C) a – 1 E) – a

Si cosq – secq=2, halle tan2q+2secq. B) 2

A) 1 D)

5

C) 3 E) 0


Trigonometría Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL BÁSICO 1.

6.

A) 3 + 2 D) 4 + 3

Halle el valor de sen 35º cos 25º + cos 35º sen25 º cos 65º cos 20 º +sen65 º sen20 º

A)

D) 2.

D)

2

3 2

2 2

C)

D)

B) 3

3 3

C) E)

4

2 3 3

B) 3

3 3

C) 3 + 2 E) 5 + 3

Si sen(2 x+q)=2sen xcos( x+q), halle tan( x+q)cot x. A) 0 D) 2

2

8.

1

B) 1

C) – 1 E) – 2

4 3 1 4

C) −

Si tanqcotb= m, halle

(θ − β) . sen ( θ + β ) sen

A) m B)

1 m

C)

m − 1 m + 1

D) m + 1 m − 1 E) 2

2 m

m − 1

3

3

NIVEL AVANZADO

E) − 3 9.

Simplifique la siguiente expresión. 5sen ( x − 37º ) + 3 cos x sen x B) tan x

tan x tan z

A)

1 2

D) – 2

C) 4 E) 3

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2


B) −

1 2

C) 2 E) 1

Si x+ y+ z=90º, además, cos x+sen ycos z=0, halle 2tan y+tan z.

cos

B) – 2

.

tan y

10.

( x + y) sen ( x + y ) − sen ( x − y )

Si sen( x – y)cos( z – 45º)=sen( x+ y)cos( z+45º), halle

C) 4sen x E) 4

Si tan y=5 y cot x=– 3, halle

A) 2 D) – 4

3

E) 1

A) cot x D) 5 5.

B) 2

1

Simplifique la siguiente expresión. 2sen ( x − 45º ) + cos x 2sen ( x − 30º ) + cos x A)

4.

B)

7.

Si 3cos( x+ y)=sen xsen y, halle cot xcot y. A)

3.

6

Si x – y=30º, halle (sen x+sen y)2+(cos x+cosy)2.

Trigonometría Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II

A)

NIVEL BÁSICO 1.

Si tan(q+53º)=4, halle tanq. A) D)

2.

D)

16

B)

13

8 13

4

B) −

32

4

C)

23

1

E)

12

1 41 12 41

NIVEL INTERMEDIO C) E)

7

9

13 8

6.

A partir del gráfico, halle tan x si BE = EC .

8 B

19

E

C

Halle el valor de tan 80º − tan 20º

x

1 + tan 80º tan 20º

A)

1

B)

2

2 2

D) 3 3.

3

C)

2

45º A

3 3

E)

A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5

Simplifique la siguiente expresión. tan ( 45º +θ ) −

2 tan θ 1 − tan θ

A) 0

B) 1

D) tanq+1

C) tan q E) tanq – 1 7.

4.

Si tan( x – y)=5 y tan( x+ y)=6, calcule el valor

Si tan(53º+ x)=4 y tan(37º – y)=3, halle tan( x+ y+16º).

de 13 – 29tan2 x. A) A) 19

B) 21

D) 24 5.

C) 23 E) 25

D)

A partir del gráfico se cumple que AM = MB. Calcule tan x. B

M

53º A

D

x C

8.

4

B)

3 4

3 4

C) E)

13

1 13 3 13

Simplifique la siguiente expresión.  tan 2 3θ − tan 2 2θ    cot 5θ  1 − tan 2 3θ tan 2 2θ  A) tan q B) tan5q C) cotq D) cot5q E) cot2q


Trigonometría 10.

NIVEL AVANZADO

De la siguiente igualdad, calcule el valor de K . 2

tan ( x + 60º ) tan ( x − 60º ) = 9.

Determine el equivalente de 1 tan 4θ − tan θ

−

1

A) 1

cot 4θ − cot θ

B) 2 C) 3

A) cot q D) tan3q

B) cot2q

C) cot4q

D) 4

E) cot3q

E) 5


1 − K cos x 2

1 − Ksen x

NIVELES

P RÁCTICA POR

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III NIVEL BÁSICO

NIVEL INTERMEDIO 6.

1.

Halle aproximadamente el valor de cos241º – sen24º. A) D)

2.

2

B)

4

2

C)

3

2

A) sen20º D) sen30º

5

7.

cos A cos B

+

sen( B − C ) cos B cos C

+

Reduzca la siguiente expresión. tan 40 º + tan10 º

A)

sen( C − A)

3.

B) tan B

C) tanC E) 0

8.

csc( A − B)

+

sen 2 B

sen

x

−

sen

2

y

sen( x − y) cos x cos y

A) tan x D) – 1 5.

3

3

sec 50º

2

C)

3

csc 50 º

2

E) 1

cos 50º

2

Simplifique la siguiente expresión.

A) sen( x+y) B) cos( x+y) C) 1 D) – 1 E) sen x


2

B)

2

A) – 1 B) 0 C) 1 D) sen2 A E) sen2 B 4.

sen 50º

 sen 2 x − sen 2 y  2   + cos ( x + y)  sen( x − y) 

Simplifique la siguiente expresión. sen( A + B)

3

cos C cos A

D) A) tan A D) 1

C) sen10º E) sen60º

tan 50 º + tan10 º

2 2

Simplifique la siguiente expresión. sen( A − B)

B) sen70º

2 2

E)

5

Calcule el valor de (sen220º – sen210º)+(cos270º – sen210º).

−

NIVEL AVANZADO

tan y

B) tan y

9.

C) 1 E) 0

Si sen3q – 4cos2qcosq=0, halle tan3q – tanqtan2qtan3q. A) 4 D) 2

Reduzca la siguiente expresión.

B) 0

C) – 4 E) – 2

tan 1º + tan 2º + tan1º tan 2 º tan 3 º 10.

tan 2º + tan 3º + tan 2º tan 3 º tan 5 º

Simplifique la siguiente expresión. tan 1º

A) D)

tan 1º tan 2º

tan 3º tan 5º

B)

tan 2º tan 3º

C) E)

tan 3º

tan 2º +

cos 2º

tan 4º +

cos 4 º

+

tan 1º

cos 8º

tan 4º

tan 2º tan 5º

A) tan1º D) 7

B) tan2º

2

C) tan4º E) 1/7

NIVELES

PRÁCTICA POR Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV 7.

NIVEL BÁSICO 1.

Simplifique la expresión 3sen7º+4cos7º. A)

5 2

B)

2

5 2 7

E)

7

5 3

8.

D) 3.

4.

C) 3 3

3

E)

4

B) – 5

tan B

1

C) – 12 E) – 7

9.

M

cot 22º ⋅ cot 23º

B) 3

C)

2 2

θ

30º

2

cot 22º + cot 23º +1

1 2

E) 1

A 10.

Reduzca la siguiente expresión 3 sen 80º − cos 80º

A) B)

D) E)

cos 40º

3

C

2

Si ABCD es un cuadrado y NC =2( AM ), halle cotq.

C)

NIVEL INTERMEDIO 6.

B

1

Simplifique la siguiente expresión

D)

N

C) 0 E)

A) 2

1

En el gráfico, halle el máximo valor de MN . A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 2 3

Halle sen A.

5.

θ

NIVEL AVANZADO

3

B) 1

2

2

tan C

2

2 2 D) – 1

3

3

=

A)

13

Según el gráfico, halle tanq.

E) 4/7

En un triángulo ABC , se cumple que =

31

D) 7/4

4

Halle el mínimo valor de 12sen x+5cos x.

tan A

51

C) 1 2 B) 2

A) – 13 D) – 11

C) E)

41

B) 1/3

sen 8º − cos 8º

2

B)

21

A) 1/2

sen 8º + cos 8º

A)

C) 1 E) 0

2


1

B) 2

Halle el máximo valor de 5 sen( x + 37º ) + 2 sen( x + 45º ) A) D)

2 2

C)

2

D) 2.

A) – 1 D) – 2

23

M

A

15

B 37º

15 23

N

15 13

θ

13 15 1 5

D

C

P RÁCTICA POR

NIVELES

Reducción al primer cuadrante I

5.

A) 1 – m2 D) – m2

NIVEL BÁSICO 1.

Si tan(190º)= m, halle sec2(350º).

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

B) 1+ m2

C) m2 E) m2 – 1

NIVEL INTERMEDIO

I. sen(180º+q)=– senq II. tan(360º – q)=tanq

III. cos (150º )

3 = −

A) VVF D) FVF 2.

6.

2

B) FFV

º 0 4 1 n e s

C) VFV E) VVV

A) sen20º B) cos20º C) sen40º D) cos40º E) 1

cot( π + θ)

A) senq B) – senq C) cosq D) – cosq E) 1

7.

Reduzca la siguiente expresión M =

sen(180º + x ) + sen( 360º − x )

En un triángulo ABC , se cumple que sen( A+B)=cos A Indique el tipo de triángulo que representa. A) escaleno B) equilátero C) isósceles D) rectángulo E) obtusángulo

cos(180º − x )

A) tan x B) cot x C) 2cot x D) 1 E) 2tan x 4.

c o s 3 2 0 º

Reduzca la siguiente expresión. sen( π − θ) cot( 2π − θ)

3.

En el triángulo rectángulo mostrado, halle la longitud de la hipotenusa.

8.

En el gráfico, halle senq.

Halle el valor de M . M

3

2

θ

sen 170º 4 sen 350 º −

=

A) 3 B) 4 C) 5 D) – 3 E) 2

45º

cos 80º

A)

2 3

D) −

B)

1

2 −

3

C) E)

3

4

1 3

−

1 2

10.

NIVEL AVANZADO

Según el gráfico, halle tanq, si AB=BC . Y

9.

A=(0;

3)

Si en un triángulo ABC , se cumple que tan C =

cos( 2 A + B + C ) sen( A + 2 B + 2C )

B=(3;

, halle B.

X

θ

A) 30º B) 60º C) 45º D) 53º E) 90º

1)

C

A) – 3 D) 2

5

B) – 2

C) – 1 E) 3

P RÁCTICA POR

NIVELES

Reducción al primer cuadrante II

3

A)

NIVEL BÁSICO

+1

2 3

D)

B)

3 2

−1

C) 1 E)

3 −

2

2 1.

Marque la proposición correcta.

NIVEL INTERMEDIO

A) sen(90º+ x)= – cos x B) cos120º

1 = −

2

C) tan(270º – x)=– cot x

6.

Si f ( x)=sen x+cos x,

halle f π

D) cot(270º+ x)= tan x

 + f  3π  .  + x   − x   2   2 

E) sec(300º)= – 2 A) 2sen x 2.

De acuerdo con la siguiente condición, sen(270º – q) – cos(90º+q)=3senq halle tanq.

B) – 2sen x

A) 1/2 D) – 1/2

E) 0

B) 2

C) 2cos x D) – 2cos x

C) 1 E) – 2 7.

3.

 π   3π + θ  = a , Si csc  + θ  + cot    2   2  b

halle tan2q+cot2q.

halle sec(2p – q)+tan(p+q). A)

a b

D) − 4.

B)

−

a b

b

A) 3 C) E)

a

−

2 2

B)

D) − 2

2 2

B) 5

b

C) 7

a

D) 9

a+ b

E) 11

a− b

Reduzca la siguiente expresión cos 91º − cos 271º sen 46 º − cos 46º A)

Si sec(270º – q) · csc(90º+q)=3,

8.

En la figura, halle senq. Y

C) 2

X

E) 1

θ

(5; – 12) 5.

Si f ( x )

=

 π + x  − sen 2  3π − x      2   2  , 2 sen( x + 45º )

cos 2 

halle f  π  .    3 

A)

12 −

D) −

13

B) −

5

5 12

C)

E)

13

6

12 13

5 12

10.

NIVEL AVANZADO 9.

Del gráfico, halle tanq+cscb.

θ

 4 A + 3 B + 3C   2 A + B + C   csc   2 2      A + B + C  tan   4  

sen 

c

β

A) A) – 1 D) 2

b

a

Si A+B+C =180º, halle

B) 1

C) 0 E) – 2

7

D)

b + c a a− b c

B)

c−b a

C) E)

a+ b c b − c a

P RÁCTICA POR

NIVELES

Reducción al primer cuadrante III

A) 0 B) 2 C) – 2 D) – sen x E) sen x

NIVEL BÁSICO 1.

Reduzca la siguiente expresión. sen(720º + x) − cos( 90º + x) 7.

sen(1800º + x )

A) 1 D) 2 2.

B) – 1

Reduzca la siguiente expresión. sen( 5π + θ)csc( 3π + θ) + tan 2 ( 2π + θ)

C) 0 E) – 2

tan(7π + θ)csc( 4π + θ)


A) sen q

B) – senq

D) – cosq

sen 1110 º + csc 750 º

C) cosq E) secq

tan 1485 º

A)

3

B)

2

5 2

D) 2 3.

8.

C) 1

Si sen(– q)+2cos(– q)=2senq y, además, q es agudo, halle sec(– q)+csc(– q).

E) 3 3

A)


2

sen( 6π + θ) + tan( 24π + θ) 1 + cos(10π + θ)

A) senq D) cotq 4.

B) cosq

 17π  tan  15π       3   4 

A) 1 D) 3

B) – 2

E)

6

13 6 11 6

NIVEL AVANZADO 9.

cos( 540º + α)

A) 2 D) tana

+

C) 2 E) − 3

 37π  + sec  175π       4   4 

A) 1 −

2

B) 1 +

2

C)

sen(720º + α) sen( −α)

B) 0

Calcule el valor de tan

Simplifique la siguiente expresión. cos( −α)

2

−1

D) −1 − C) – 2 E) 2tana

NIVEL INTERMEDIO 6.

2

C)

Calcule el valor de la expresión tan

5.

3

13

D) − C) tanq E) 1

B) −

2

E) – 2 10.

Halle la suma de valores positivos y menores que una vuelta que toma q, si  π  sen θ = − cos    5 

Simplifique la siguiente expresión. cos ( x

π  − π ) − sen   x −   2  tan ( 2π + x )

A) p D)

B) 2p

π

C) 3p E)

2 8

3π 2

Trigonometría Identidades trigonométricas del ángulo doble I NIVEL BÁSICO

1.

NIVEL INTERMEDIO

 15º  cos  15º  cos15º  2    2  

Calcule el valor de 8 sen  A)

1

B) 2

2

6.

C) 1

D) –1

Calcule sen2 x si

A)

E) 0 D)

2.

Si sen x

A)

D) 3.

−

cos x

1

2 =

B)

2

3

sen ( x − 45º )

B) −

5

3

1 =

2

C) −

5

3

E)

5

4 5

1 2

, calcule sen2 x. 7. 3

C)

2

1

E)

3

Si asen x= bcos x; calcule cos2 x.

3

A)

5 2

2 a

2 b 2a2

2 b D) 2 a

3

+

B)

2 a

2 b 2 b2 +

2 a 2 + b

−

C)

E)

2 a

2 b 2a2

2 a 2 a

−

− +

2 b 2 b

Si cos4 x – sen4 x=2sen2 x y x ∈ 〈0,45º〉, calcule x. 8.

A)

45º

B)

2

37º

C)

2

D) 30º 4.

4

sen ( x + 45º )

Calcule le el valor alo de csc 10º −

3 sec 10º

53º

A) 3 D) 4

2

B) 1

C) 2 E) 3

E) 15º NIVEL AVANZADO

Simplifique la expresión sen 2 x + 1 + cos 2 x sen 2 x + 1 − cos 2 x

A) cot x D) cos x 5.

9.

B) tan x

Si la siguiente igualdad cos4θ= A+ Bcos2θ+C cos4θ es una identidad, calcule A+ B – C .

C) sen x E) sec x

A) 1

Calcule el valor de θ.

D) 2

2

cos 35º – sen 35º θ

2sen10ºcos10º

A) 10º D) 45º

B) 20º

C) 35º E) 70º

10.

B)

5

1 8

C)

3 4

E) 2

4

Si cos2θ=tan25º, calcule tan2θ. A) tan5º B) tan10º C) tan15º D) tan20º E) tan25º


Trigonometría Identidades trigonométricas del ángulo doble II NIVEL BÁSICO

1.

NIVEL INTERMEDIO

Si tan3 x= n, calcule (1 – n2)tan6 x. A) n

B) 2 n

C) 3 n

D) 1+ n2 2.

D)

2

Si tan x+3tan x=tan45º, calcule tan2 x. B)

1

C)

3

D) 1

E)

Si tan4 x

4 n =

2

n

−

4

3

7.

2 2

D)

, halle el valor de tan2 x. 8.

A)

D)

4.

2 n

B)

4

C)

n

1

E)

2

n

1 n

1

B) −

3

5

1 5

1

B) 1

4 1

n

C) E)

2

1 3

2 3

1 8 2 3

Calcule tan2 n2 x si tan x+2sec2 x=4 B) 2

D) 3

2

C) − E)

A) 1

2

1

Si la siguiente sucesión 1,2tan x; tan2 x, ... está en progresión aritmética, calcule sen2 x. A)

3

2 sen (2 x + 45º ).

Si tan x=3, calcule A)

E) n2

A) 3

3.

6.

C) 4 E)

1 2

NIVEL AVANZADO

Simplifique la siguiente expresión. e 1 − tan 2 x cot x 1 + tan 2 x tan x

A) ta n x

9.

B) cot x

B

C) –1

D) sen x 5.

A partir del gráfico, calcular cos2 x si HC =3( AH ).

E) cos x

A partir de la figura, calcule el valor de θ. 2 x

A 2

1 – tan θ

A)

2θ

D)

2tanθ

A) 45º

B)

10.

45º

1 2

x H

C

B)

1 3

3

C) E)

4

1 4

1 5

Si tan x=tan3 y, calcule tan( x+ y)cot2 y.

C) 15º

2

D) 30º

E) 60º

A) 0,2 D) 0,5


B) 0,3

C) 0,4 E) 0,6

Trigonometría Identidades trigonométricas del ángulo doble III NIVEL BÁSICO

1.

7.


csc4θ+2cot8θ+tan4θ A) cot4θ

Reduzca la siguiente expresión. 2 csc 2 x − tan x

B) tan4θ

C) tan2θ

D) cotθ

E) cot2θ

tan x + 2 cot 2 x 8.

A) tan x D) –1 2.

B) cot x

B) 4cscθ

C) 4csc2θ E) 4cot2θ

Si la siguiente igualdad sen4θ+cos4θ+sen6θ+cos6θ= A+ Bcos4θ es una identidad, calcular A+ B. A)

1

B)

4

8+a

B)

a2

D)

8−a

a2 a2

2

NIVEL AVANZADO

9.

Si MNPQ es un cuadrado, calcule csc2 c2θ. B

P θ

E) 4

Simplifique la siguiente expresión. A

A) 0 D) 3 Si A) D)

B) 1

sen θ + cos θ 6

6

sen θ + cos θ 1 2

C) 2 E) 4

= 2,

B) −

1

A) B)

calcule cos4θ.

1 2

C)

C) 1

D)

E) –1

4

E)

NIVEL INTERMEDIO

Simplifique la siguiente expresión. sec2θ · cot2θ – 2cotθ · cot2θ A) 0 D) 3

M a

sec 2 x

6.

E)

2

C) 1

2

C)

2

2

tan 2 x tan x + 1

5.

8+a

8−a

N

1

D) 2 4.

A)

2

2

2

Simplifique la siguiente expresión. (cot2θ – tan2θ)tan2θ A) csc2θ D) cscθ

3.

C) 1 E) – tan x

Si cot(45º+θ)+tan(45º+θ)=a, calcule cos4θ.

B) 1

C) 2 E) 4

10.

Q

C

b

c

a+ b+ c

2 a+ b+ c

2a a+ b+ c b a+ b+ c

2 b a+ b+ c

2c

Reduzca la siguiente expresión. tanθ+2tan2θ+4tan4θ+8cot8θ A) tan8θ D) cotθ

B) cot16θ

C) tan16θ E) 0


Trigonometría Identidades trigonométricas del ángulo triple NIVEL BÁSICO

1.

Hallar el valor de 3sen15º – 4sen315º A) D)

2.

NIVEL INTERMEDIO

3

3

B)

2

+1

2

1

6.

2 2

C)

Si tan3θ=4, calcule

A)

3

4 3

D) 5

3

C) E)

1 3 3 4

Simplifique la siguiente expresión. 7.

3

Si la siguiente igualdad sen 3θ

3

4 cos 25º − 3 cos 25º

A)

3

B)

4

= a cos θ + b

sen 2θ − sen θ

4

C)

3

D) 2

es una identidad, calcule a+ b.

1 2

A) 1 D) 4

E) 1


8.

B) 2

3

3

sen 10º + cos 20º se

3 sen θ − sen 3θ

sen en 10º + cos 20º

B) cot3θ

C) tan2θ E) cot otθ

A) 3 D)

Reduzca la siguiente expresión. si .

C) 3 E) 5

Simplifique ifiq la siguiente s expresión.

3 cos θ + cos 3θ

A) tan 3θ D) cot2θ 4.

B)

3

sen θ + 4 cos θ

E) 1

2

3 sen 5º − 4 sen 5º

3.

2

sen θ + 4 cos θ

B)

3 4

3

C) 4 E)

2

1 3

3

sen 3 x + sen x 3

NIVEL AVANZADO

cos x − cos 3 x

A) sen x D) cot x 5.

Si

A)

sen 3θ 3 1

=

sen 2θ 2

1 4

C) tan x E) 1

9.

, calcule cosθ.

B) −

2

D) −

B) cos x

1 2

A) 1 D) 4

C) –1 E)

Calcule el valor de a. 4cos18º – 3sec18º=atan18º

1 4

10.

C) 3 E) 5

Calcule el valor de 12cos240º – 8sen310º A) 3 D) 9


B) 2

B) 5

C) 7 E) 1

Trigonometría Transformaciones trigonométricas I 7.

NIVEL BÁSICO

Si x+ y=15º, calcule sen (2 x + 30º ) + sen (2 y + 30 º ) cos (2 x + 45º ) + cos (2 y + 45º )

1.

Simplifique la siguiente expresión. sen 4 x

+

sen 2 x

cos 4 x

+

cos 2 x

A) tan2 x D) tan x

A) 1 B) tan3 x

Reduzca la siguiente expresión. sen 3 x

+

sen 2 x

2 cos x

A) sen2 x D) cot2 x 3.

+

2

B)

Calcule el valor de cos 72º

C) tan2 x E) 1

sen 10º

C)

2

D) 1

A) 2 D)

B)

1

C) 1

2

1

E) 4

4

sen 5º

NIVEL VEL AVANZADO AVAN

2

E) 0 9.

4.

2 2

E)

+1

B) cos2 x

sen 20º

C) 2

2

(sen 24º + sen 6º ) (sen 24º − sen 6º )

sen x

Halle el valor de sen20º+cos50º – cos10º A)

1

D) 2

C) tan4 x E) 1 8.

2.

B)

Si

Calcule el equivalente de la siguiente te e expresión. sió

cos 4 x cos 2 x

b =

a

calcule cot3 xcot x.

sen 6θ + sen 4θ + sen 2θ cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ

A) tanθ D) tan4θ 5.

Si x =

45º 2

B) tan2θ

, calcule

A)

C) tan3θ E) cot2θ

sen (2 x

+

y ) + sen ( 2 x

−

y)

cos (2 x

+

y ) + cos ( 2 x

−

y)

D) 10.

A) 1 D) –1

B)

2

+1

C) 2 − 1 E) 0

a− b

B)

a+ b

6.

Calcule el valor de A) 2 D) – 4

a+ b

a+ b

C)

E)

a− b

a+ b b − a a +1 b + 1

Calcule θ para que la siguiente igualdad sea una identidad. sen 3 x + sen x

=

sen 2 x + sen 4 x

NIVEL INTERMEDIO

b − a

cos x cos 2 x + cos θ

Dato: θ ∈ 〈0,90º〉 sen 300º + sen 200º

B) – 2

cos 20º sen 40º

C) 4 E) 6

A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º


Trigonometría N IVELES Transformaciones trigonométricas II

P RÁCTICA POR NIVEL BÁSICO

1.

NIVEL INTERMEDIO


6.

2 sen 40º cos10 º − sen 50 º

Calcule el valor de la siguiente expresión. cos20º+cos100º+cos140º

2 cos 50º cos10 º − cos 40 º

3 3 D) 2

A)

2.

B) 3

A) 1/2 D) – 1/2

C) 1 E) 1/2

7.


B) 1

C) – 1 E) 0

Calcule el valor de la siguiente expresión. 2 sen 25º + cos 70 º 2

cos 5 x cos 2 x − cos 4 x cos 3 x

2

cos 10º − sen 10 º

sen 2 x sen x

A) 3 D) – 2

A) 1 B) –1 C) 2 D) – 2 E) – 1/2

8.

B) 2

C) 1 E) – 1

Si tanqtan2qtan3q= n; calcule 2 sen 3θ cos θ − sen 6θ

= n

1 + cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ 3.

Calcule el valor de la siguiente expresión. cos220º – sen50ºsen10º

A) 1/4

B) 3/2

B) – n

C) 2 n E) n

C) 2

D) 3/4 4.

A) n /2 D) – n /2

E)

3 2

NIVEL AVANZADO

Simplifique la siguiente expresión. 2 sen ( x + 15º ) cos ( x − 15º ) −

1 9.

2

 5θ  sen  θ  = 0 ;  2    2  

Si 10 cos 2θ + 2 sen 

sen x cos x

calcule secq+sec3q. A) 2 D) 1/2 5.

B) 3

C) 4 E) 3/2

De la identidad sen11 xcos3 x – sen9 xcos5 x= Asen( Bx)cos(Cx); calcule A+B+C . A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

A) 11 D) 2/11 10.

B) 12

C) 1/12 E) 1/11

Determine el equivalente de la siguiente expresión. 3 csc 20º −2

A) 4

B) 3

D) 4sen50º

C) 2 E) 4cos50º


6

P RÁCTICA POR

Trigonometría N IVELES Circunferencia trigonométrica I A) 1/2 B) 1/4 C) 1/5 D) 3/5 E) 1/3

NIVEL BÁSICO

1.

Del gráfico, calcule a. Y

4.

3 ;a 5

P

En el gráfico, calcule PH si AH =3( BH ). Y C. T .

X C. T .

B

H

A X

A) 4/5 D) – 4/5 2.

B) 3/5

C) 1 E) – 3/5

P

A partir del gráfico, calcule PQ. A) 1/2

Y

D)

60º

P 5.

X

B) 1/3

C)

3

3 2

E) 1/4

4

Si BM=MO, calcule el área de la región sombreada. Y

Q

B

C. T .

M

A) 3

B)

3 2

D) 1

C) 3/2

O

E) 1/2 C. T .

3.

De la figura, calcule PQ. Y

A)

3 u

2

143º

B) 2

P

C) O

X

D) C. T .

E)

3 u 3

2

u

2

u

2

2 3 4 1

u

2

2


10

X

Trigonometría Anual San Marcos

Trigonometría

A)

NIVEL INTERMEDIO

6.

Y

B) 1/6

E)

tan α tan β 2 cot α cot β 2

C. T .

9.

Del gráfico, calcule AB.

D) 3/5

Y

X

E) 1/2

B

1 P – ; a 8

Q

P

7.

C)

NIVEL AVANZADO

37º 2

C) 4/5

4

B) tanatanb

D) cotacotb

A partir del gráfico, calcule PQ.

A) 1/3

tan α tan β

Si AM=MB, calcule el área de la región sombreada.

X A

Y

C. T .

B M

A

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1 E) 1/6

X

C. T .

10.

A)

1

u

2

2

B)

1

u

C) 1 u2

2

4

D) 2 u2 8.

En el gráfico calcule el área de la región som breada.

E)

1

u

Y

2

8

2π 3

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada.

X Y

C. T .

α

β

X

A)

C. T .

D)

1 2

3 +

2

2

3 4

u

1 +

4

u

2

B)

1 4

3 +

2

u

2

C)

E)

1 2

3 +

3 2

u

2

4

+1 u

2


4

Trigonometría PRÁCTICA POR NIVELES Circunferencia trigonométrica II A) (1+senq)2 B) 1+sen2q C) – cos2q D) – 1 – sen2q E) cos2q

NIVEL BÁSICO

1.

En la circunferencia trigonométrica, calcule QC . Y 4.

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada si OM=MA. Y C. T .

X C. T .

Q

θ

O

C

M

A X

A) – senq D) 1+senq 2.

B) 1 – senq

C) – 1 – senq E) senq θ

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada. A) – senq Y θ

B) − C) − D) −

X

1

sen θ

2 3

sen θ

2 3

sen θ

4

C. T .

E) – 2senq

A)

sen θ 2

5.

B) 2senq

D) 1/2 3.

Calcule el área de la región sombreada.

C) senq Y

E) 1/4

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule (1+senq) PB. Y θ

X B

θ

C. T .

P

X C. T .

A) senq D) – 2senq


5

B) – senq

C) 2senq E)

sen θ 2

Trigonometría

o

Academia ADUNI

Material Didáctico N. 6

NIVEL INTERMEDIO

6.

A)

B) senq

2

D) 2senq

En la figura mostrada, calcule QH si PQ=PR. Y R

sen θ

C) E)

sen θ 4 sen θ 8

NIVEL AVANZADO C. T .

9.

H

Si el área de la región sombreada es igual a 1 8

X θ

P

u

2

, calcule q. Y

Q

θ

A) 2senq D) 1 – senq 7.

B) senq

C) 1+senq E) 2 – senq

X

Si AM=MO, calcule sec2q.

C. T .

Y

A) 15º D) 60º

C. T .

10.

A

M

O

B) 30º

C) 45º E) 53º


X Y θ θ

A) 2 D) 4 8.

B) 1

C) 3 E) 5

X

Determine el área de la región sombreada. Y θ

A) senq C. T .

B) C)

X

D) E)

sen θ 2 sen θ 4 sen θ 6 sen θ 8


16

P RÁCTICA POR

Trigonometría N IVELES

Circunferencia trigonométrica III NIVEL BÁSICO

1.

A) B)


C)

(1 + sen θ) cos θ 2

(1 − sen θ) cos θ 2

(1 + cos θ) sen θ 2

Y

D)

(1 − cos θ) sen θ 2

θ

E)

sen θ cos θ 2

X

4.

En la figura, calcule PQ en términos de q.

C. T .

Y C. T .

A) – cosq D) −

B) −

cos θ 4

cos θ

C) – 2cosq E)

2

−

cos θ 3

X 2.

De la figura, calcule PB.

P

Q

θ

Y θ C. T .

B

P

A) 1+cosq D) 1 – cosq

X

5.

A) 1 – cosq D) 3.

B) 1+cosq

cos θ

B) cosq – 1

C) 2cosq E) 2 – cosq

En la circunferencia trigonométrica mostrada, determine el perímetro de la región sombreada. Y

C) 2 – cosq E) 2+cosq

2

Determine el área sombreada en términos de q. X Y θ θ

X C. T .

A) 4(senq – cosq) B) 4(cosq+senq) C) 4(cosq – senq) D) 4(cosq – 2senq) E) 4(2senq – cosq)


20


Trigonometría

8.

NIVEL INTERMEDIO

A partir del gráfico, calcule tana+cotq. Y

6.

En la figura mostrada, calcule PB en términos de q. Y

θ α

B

X C. T .

θ

X P

A) csc q

B) tanq

D) secq

C. T .

C) cotq E) cosq

NIVEL AVANZADO

A) 2cos q B) 2senq C) – 2cosq

9.

De la figura, calcule

OM .

D) – 2senqcosq E) senq – cosq 7.

Y

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada. M

Y

O X

C. T .

θ X

A)

θ

A) B) C) D) E)

sen θ (cos θ − 1)

B)

2 sen θ cos θ

C)

2 sen θ (1 − cos θ) 2

D)

cos θ (1 − sen θ)

sen θ 1 − cos θ cos θ sen θ − 1 sen θ cos θ − 1 cos θ 1 − sen θ

2 cos θ (sen θ − 1)

E)

2

sen θ − 1 cos θ


8

Trigonometría Academia ADUNI

10.

o


Calcule el área de la región sombreada en términos de q. Y

A) B)

−

D)

2 (1 + cos θ)

sen θ cos θ 2 (1 + cos θ)

C) − X

sen θ cos θ

sen θ cos θ 2 (1 + sen θ)

sen θ cos θ 2 (1 + sen θ)

C. T .

θ

E)

−

2sen θ sen θ + cos θ


22

Trigonometría N IVELES Circunferencia trigonométrica IV


1.

NIVEL INTERMEDIO

Determine el número de valores enteros que toma 3senq – 2.

6.

Si θ ∈

π

;

5π 

12 12 

, calcule la variación de

2sen2q+1. A) 3 D) 6 2.

B) 4

C) 5 E) 7

Calcule la variación de senq si q ∈ 〈37º; 120º 〉. A) B)

C)

D)

3 5 3 5 3 5 3 5

3

;

2

 

7.

; 1

;

3



;1

8.

Si q ∈ 〈30º; 150º〉, calcule la variación de 8senq – 2. A) 〈2; 5] D) 〈3; 5]

4.

Si sen θ =

B) 〈2; 6]

m +

10

Si q ∈ III C, determine sen2q+2senq+3. A) [2; 3] D) 〈0; 3]

2 

E) 〈– 1; 1〉 3.

A) [1; 2] B) [2; 3] C) [1; 3] D) [0; 1] E) [2; 4]

4

C) 〈2; 7] E) 〈3; 6]

y q ∈ [30º; 53º], calcule la suma

la

B) [2; 3〉

variación

de

C) 〈2; 3] E) 〈2; 3〉

Determine el número de valores enteros que asume la expresión. 2sen(q – 50º); q ∈ [80º; 150º] A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

NIVEL AVANZADO

9.

Si q ∈ 〈30º; 150º〉, calcule la variación de 4sen2q+8senq.

del máximo y mínimo valor que asume m. A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 5.

10.

B) 〈5; 10〉

Si

calcule

q ∈ II C,

2 sen

Calcule la variación de la expresión. 2senq+3; q ∈ II C A) 〈1; 3〉 D) 〈1; 4〉

A) 〈5; 10] D) 〈5; 12]

B) 〈3; 5〉

C) 〈2; 4〉 E) 〈2; 5〉

C) 〈5; 12〉 E) [5; 12〉 la

variación

de

 θ + π  + 1.   4 

A) 〈–1; 1〉 B) 〈0; 2〉 C) 〈0; 1〉 D) [0; 2〉 E) [–1; 1]


6

P RÁCTICA POR

Trigonometría NIVELES

Circunferencia trigonométrica V NIVEL BÁSICO 1.

NIVEL INTERMEDIO

Determine la variación de la expresión. 3 cos θ + 5

6.

si θ ∈

2

A) [3; 5] D) [1; 4] 2.

B) [1; 5]

C) [1; 3] E) [0; 3]

Si θ ∈ 〈30º; 120º], determine la variación de cosq. 1

3

2

2 

A) − ;

B) −

C) −

Calcule la variación de la expresión 4cos2q+1

3 2

3

;

2π 3

A) [0; 1〉 D) 〈2; 3] 7.

B) [1; 2〉

cos θ + 3

A)

3 5 ; 2 2

D)

2 3 ; 3 4

1



2

1 ; −  2 2 3

8.

B)

3.

3 2

;

 π 3π  , θ ∈ ;  8 8  2 cos( 2θ).

Si

B) [0; 1]

C) [– 1; 2] E) [2; 3]

B) 2

C) 3 E) 5

9.

Si θ ∈

A) [0; 1] D) 〈0; 1〉 10.

2

variación

de

2 

E) [–1; 1]

calcule la variación de

B) [0; 2]

C) [0; 3] E) 〈0; 2〉

Calcule la variación de la siguiente expresión.

 π sen x     3

A) 〈0; 1〉 D) 〈0; 2〉

1  D)  ; 1 2 

 1 1 B)  − ;   2 2

 1 C) 0;   2  1 E)  − ;  2


la

5

sec22q – 1.

A) [–1; 1]

C) 〈1; 2〉 E) 〈2; 3〉

4 3 ; 3 2

 2 2 ; B)  −  C) 0;  2 2 

5π 2π  , ; 12 3 

Calcule la variación de la expresión. cosq+2; q ∈ III C B) 〈– 1; 0〉

C)

NIVEL AVANZADO

cos 5.

calcule

D)  − 2; 0

2

π π Si θ ∈  ; , determine el número de valores 4 2 enteros que toma 2 2 cos θ + 1. A) 1 D) 4

2 

1

Si q ∈ 〈– 10º; 60º], calcule la variación de 2cosq+1. A) 〈2; 3〉 D) 〈– 1; 3〉

4.

−

1 5 ; 2 2

E) 0;

A)  − 2; −

C) [2; 3〉 E) 〈1; 2]

cos θ + 4

 1 3 D)  − ;  2 2 E)

.

Si q ∈ III C, calcule la variación de la expresión.



;

π

10

 

0

Trigonometría N IVELES Ecuaciones trigonométricas I


1.

NIVEL INTERMEDIO

Calcule la mayor solución positiva de sen(2 x)=1. A) p /2

B) p /4

D) 3p /4 2.

6.

C) 3p /2 E) p

A) p /2 D) 2p

Calcule la suma de soluciones de la ecuación. cos2 x=sen2 x; x 〈0; p〉

7.

A) p /3

B) p /2

D) p /4 3.

Calcule la menor solución positiva de la ecuación. cos2 x – 2cos x=3 B) p

C) 3p /2 E) p /4

Calcule la suma de soluciones de la ecuación. sen2 xcos x=cos2 xsen x, x ∈ [0; 2p]

C) 3p /4 E) p

A) p D) 5p /2

B) 2p

C) 3p E) 3p /2

Calcule la solución general de la ecuación. 8.

sen x=cos x, n ∈ Z

{ B) { C) {

A)

nπ −

} } 4} π

4

2 nπ +

nπ +

{ E) {

A) { np}

π

{

π

4

π

4

}

9.

}

}

2 π

4

} }

sen2 xcos x – 3cos x=0, k ∈ Z A) { kp} D) ( 2 k + 1)

Señale cuántos valores de x ∈ [0; 2p] satisfacen la ecuación sen xcos x – sen x+cos x – 1=0. A) 1 D) 4

B) {2 kp} π

2

}

10.

C) {(2 k+1)p}

{2} kπ

E) 3p /2

E) { np}

(sen x+cos x)2=1, x ∈ 〈0; 2p〉

B) ( 4 n + 1) ( 2 n + 1)

(4 n − 1)

B) 2p

C) 3 E) 5

A) {2 np}

C) 3p

Calcule la suma de soluciones de la ecuación.

B) 2

Calcule la solución general de la ecuación sen(cos x)=0, n ∈ Z.

{ C) { D) {

E)

5.

D) p /2

2

( 4 n + 1)

π

NIVEL AVANZADO

Calcule la solución general de la ecuación.

A) p

π

{ E) {

C) ( 2 n + 1)

π

4.

{

B) {2 np}

D) ( 4 n + 1)

4

D) ( 2 n + 1) −

nπ ±

Calcule la solución general de la ecuación. (sen x+cos x)2+sen2 x=3, n ∈ Z

} } }

π

2 π

2 π

2


14

Trigonometría NIVELES

P RÁCTICA POR

Ecuaciones trigonométricas II NIVEL BÁSICO 1.

NIVEL INTERMEDIO

Calcule la menor solución positiva de la ecuación. 3 – 5cos x=0 A) 37º D) 53º

B) 30º

6.

A) p /4 D) p /6

C) 45º E) 60º 7.

2.

Resuelva la ecuación. 2 cos x 1 0, x ∈ 〈0; 2p〉 −

=

{ } B) { } C) { } D) { } E) { } π

A)

4

π

4

π

4

π

;

;

;

;

3π

4

8.

5π 4

−

B) 2

C) 3 E) 5

−

A) p /2 D) 3 p /4

B) p /4

C) p E) 2p

D)

{

6

5π 6

}

5 π 7π ; 6 6

B)

}

π

3 π

6 π

6 π

6

;

π

2 π

2

; ;

; π;

;

;

π

2 π

2

;

;

} } } } }

5π 3

5π 6 7π 6

5π 6

5π 2

{

π

3

;

2π 3

}

C)

{

E)

{

π

6 π

3

Calcule la suma de soluciones de la ecuación. 4cos2 xcos x=2cos3 x+1, x ∈ 〈0; 2p〉

;

;

7π 6

5π 3

B) 3p /2

} }

A) 1 D) 4

B) 2


C) 4p /3 E) 2p

Calcule el número de soluciones de la ecuación. sen x + 3 cos x = 3 , x ∈ [0; 2p]

10.

;

6

;

A) p D) 5p /3

Resuelva la ecuación 2cos4 x – 2sen4 x=1, x ∈ 〈0; p〉 π

π

=

9.

{

C) – p /4 E) – p

NIVEL AVANZADO

Calcula la suma de soluciones de la ecuación. 4 sen x cos x 2 0, x ∈ 〈0; p〉

A)

B) – p /3

Resuelva la ecuación. sen2 x – cos x=0, x ∈ 〈0; p〉

{ B) { C) { D) { E) {

Calcule el número de soluciones de la ecuación. 2 4 sen x 2 2 , x ∈ 〈0; p〉 A) 1 D) 4

Calcule la mayor solución negativa de la ecuación. 2cos2 x+5cos x – 7=0

A)

π

=

5.

C) p /3 E) p /12

7π

3 π 5π ; 4 3

4.

B) p /8

A) – p /6 D) – p /2

4

8 4

3.

Calcule la menor solución positiva de la ecuación. (sen x – cos x)2=sen2 x

18

C) 3 E) 5

Trigonometría P RÁCTICA POR NIVELES Ecuación trigonométricas III 4.

NIVEL BÁSICO

Determine la solución general de la siguiente ecuación. tan x

1.

Resuelva la ecuación 2 sen x

3

−

=

0;

n ∈

1 Z

{ B) {

nπ +

{ D) {

A)

( −1) n

C)

D)

{

nπ

3

{

nπ +

3

5.

( −1)

n

π

6

2

x

2.

{2

nπ

( 1) n

+ −

2

6

{ D) {

A) 2 nπ ± nπ

±

2

=

nπ +

nπ

} }

π

4

π

8

2 B)

{

nπ

±

π

8

}

C)

{

nπ

{

±

π

4

E) 2 nπ ±

}

2}

Resuelva la ecuación tan x – 1=0; indique la solución general. A)

{

{ C) { B)

π

nπ +

π

nπ −

nπ

D)

{

E)

{

4 4

−

2

nπ

π −

±

4 π

4

nπ +

−

e

nπ +

nπ −

}

}

} { {

π

3

}

π

nπ +

12

}

n

n

π

} 8}

π +

π

4

π

+

π

−

nπ +

4

nπ

2

} }

±

−

nπ +

{ B) { C) { D) { E) {

}

12

nπ +

n

n

π

} } 4 π

−

π

8

π

−

Determine la solución general de la siguiente ecuación. 2sen2 x+3=7sen x; n ∈ Z A)

π +

n ∈ Z

2

C)

NIVEL INTERMEDIO

π

6. 3.

π +

6

nπ

}

{

nπ

E)

{ ( 1) 4 ( 1) B) { 2 8 C) { 4} D) { ( 1) 8 ( 1) E) { 4

Determine la solución general de la ecuación.

2 cos( 2 x )

B)

Determine la solución general de la siguiente ecuación. sen x+cos x=1; n ∈ Z A)

}

π

6} } π

+

+

E)

6

π

nπ +

nπ

}

π

±

} 3 π

}

π

nπ +

tan

e indique la solución

general.

A)

−

3 =

π

6

}

( −1) n π

6

π

6

}

}

nπ −

( −1) n

nπ +

( −1) n

} } 3

π

6

π


2

Trigonometría

o

Academia ADUNI

7.


Resuelva la ecuación 2

sec x − 4

tan x

NIVEL AVANZADO

3

e indique una de sus soluciones generales ( n ∈ Z).

{ D) {

A)

} } 3

π

nπ +

+

B)

6

{

π

nπ −

6

}

π

nπ +

8.

=

{ E) { C)

nπ ±

nπ +

A)

{

2

+

D)

{

E)

{

3

n π

nπ + ( −1)

nπ

3 cos x ; n

n π

nπ + ( −1)

{ C) { 3 B)

=

+

( −1) n

3 π

4

n π

nπ + ( −1)

4

n π

nπ + ( −1)

4

}

π +

4 π

−

4

∈Z

} } 4

6

{

D) 2 nπ ± 10.

nπ +

nπ +

} 3

nπ +

} 3

π

π

6 π

3

3 3 cos x ; n

}

{

B) 2 nπ −

}

nπ −

π

6

} {

C) 2 nπ ±

{

E) 2 nπ +

} 3} } 4} 4} π

6

π

π

12 π

π


∈ Z.

Resuelva la ecuación sen x+cos x=tan xsec x e indique la solución general ( n ∈ Z).

nπ +

π

+

{

π

{ B) { C) { D) { E) {

}

=

A) 2 nπ +

A)

} −

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica. cos 2 x + 4

π

Determine la solución general de la siguiente ecuación. sen x

9.

6

π

6 π

3

} }

Trigonometría P RÁCTICA POR NIVELES Resolución de triángulos oblicuángulos I 5.

NIVEL BÁSICO 1.

Si en un triángulo

ABC

de lados a, b y c,

respectivamente, se cumple sen C

En la figura, calcule x.

cos A =

c

, calcule A.

a

A) 90º x+1

x

B) 60º C) 45º

30º

37º

D) 135º E) 120º

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

NIVEL INTERMEDIO 2.

Si senq=3sena, calcule AB. B

6.

Según el gráfico, calcule DE . B

4

4 5

θ

α

A

E

C

3 60º

A) 8 D) 9 3.

B) 6

C) 10 E) 12

A

De la figura, calcule x. A) A) 2 B) 1/2 C) 4 D) 1 E) 3

x

senθ

D)

30º

D

1

15 6

B)

4 14

En la figura, calcule BC .

14

6

6

12

C)

E)

15

6

5

5 6 6

En un triángulo ABC de lados a, b y c, respectivamente, se cumple que abc = 4 y sen A sen B sen C

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

C

θ

7. 4.

45º

B

1 =

2

. Calcule el circunradio

de dicho triángulo. A) 2 B) 1/2

O C

D) 1/4

53º A

C) 4

10

E) 1


10


8.

Trigonometría

En un triángulo ABC de lados a, b y c, respecti vamente, simplifique

10.

Calcule

α . sen β

sen

b cos B + c cos C

B

cos( B − C ) A) a D) 2a

B) b

α

C) c E) a /2

β 5

4

NIVEL AVANZADO

9.

Si en un triángulo

ABC

de lados a, b y c,

respectivamente, se cumple A

a cos B

b =

, calcule C .

≠ B

A) 45º D) 120º

B) 60º

C) 75º E) 90º

cos A

y

A

3

A) 5/3 B) 3/5 C) 12/5 D) 15/16 E) 3/20

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11 5

D

4

C

Trigonometría P RÁCTICA POR NIVELES Resolución de triángulos oblicuángulos II 5.

NIVEL BÁSICO

Del gráfico, calcule BD. B

1.

En la figura mostrada, calcule BC . 60º

B

3

A) 7 B) 11 C) 13

4

60º

7

D) 14

A

C

D

2

E) 21 60º

A

2.

6

C

7

A)

21

D)

33

B)

19

C)

39

E)

26

En la figura, calcule m BAC . NIVEL INTERMEDIO

B

A) 16º B) 15º

6.

C) 30º

7

5

D) 60º

En un triángulo ABC de lados a, b y c, respectivamente, se cumple que a2= b2+c2 – bc. calcule m BAC .

E) 53º 8

A

A) 30º

C

B) 60º

D) 120º 3.

E) 150º

Calcule cosq. 7.

5

3

B) 14

D) 18

7

A) 11/13

Si el coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y conse cutivos, es igual a 1/5, calcule el perímetro de dicho triángulo. A) 12

θ

B) 9/14

8.

C) 9/13

D) 9/11 4.

C) 90º

C) 16 E) 20

Según el gráfico, calcule q.

E) 13/14

B

Según el gráfico, calcule m  ABC . A) 30º B) 60º C) 120º D) 127º E) 150º

A

cos20º

cos10º

B

8

θ

7

13

A

C

C

sen10º

A) 10º D) 50º

B) 20º

C) 40º E) 70º


6

Trigonometría

o

Academia ADUNI


10.

NIVEL AVANZADO

A partir del gráfico, calcule AC . B

9.

A partir del gráfico, calcule CD; AD=8. B

3

7

5

2

2θ

θ

A

C

120º A

A) 3 D) 7

C

B) 4

D

C) 5 E) 6

A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 5/2 E) 3


16

Trigonometría

SEMANA

Anual San Marcos

Trigonometría

37

Práctica integral 5.

NIVEL BÁSICO

Al simplificar la expresión sen 17º + cos 17º sen 31º cos 31º

1.

En un triángulo rectángulo PQR recto en Q. Si se cumple que csc Pcsc R=2, calcule el valor de K

=

cot R + 2 .

A) 2 − 2 D)

A)

B)

5

B)

2

D) 4 2

C) 1 + 2

3

2 2

, se obtiene

C) 2 2

E)

E) 2 + 2

2 4 UNMSM 2007 - I

UNMSM 2003

NIVEL INTERMEDIO 2.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a 5/2 del producto de sus catetos. Calcule la cotangente del ángulo mayor.

6.

Si sen x+cos x=a, halle M =cos22 x – sen2 x – 1. A) a2(1 – a2) B) a2(1+a2) C) a4 – 1

A) 1 B) 1/2 C) – 1/2 D) 2 E) – 1

D) a2(a2 – 1) E) a – 2(a4 – 1) UNMSM 2005 - II

UNMSM 2005 - I

3.

Si tan2 x+cot2 x=2 y x pertenece al segundo cuadrante, halle el valor de la siguiente expresión. 81 81 E =

tan

cot

A) – 4 D) – 2

21

x + cot 7

x + tan x

x

7.

2 lo. Si tan( 2C ) = , determine el valor de 3 cos 4 A + cos 4 B

+4

+ cot

6

B) 4

Sea A, B y C los vértices de un triángu -

.

sen 4 A + sen 4 B

x

A) – 6,5 D) – 1,5

C) 2 E) – 6

B) 1,5

C) 2,5  E) 0, 6 UNMSM 2005 - I

UNMSM 2004 - II

4.

8.

2

Si tana y tanb son raíces de 2 x + x – 1=0, halle tan(a+b). A) – 1 B) – 1/3 C) – 1/4 D) – 1/6 E) – 2/3

Determine la suma de todos los valores de q ∈ [0; 2p] que satisfacen la ecuación senq+cosq=– 1.

A)

7π

B)

2

9π 4

C)

5π

D)

3π 2 7π

E)

2

UNMSM 2005 - II

4 UNMSM 2009 - I


8

Trigonometría

o

Academia ADUNI


10.

NIVEL AVANZADO

En un triángulo ABC , halle AC : A

9.

En el gráfico, AC =8 u, BE = BD=2 y halle x.

CE =10

u, 1 6 –

B

α

60º

B

E D

1

x

A)

A

3

3u

+1

2

C

B)

C

6 + 2

2α

A) 3 u D) 2 u

2

3 2

B)

2

C)

3

−1

2

3

C) 2 u E) 1 u

D)

E) 3 2

2

UNMSM 2004 - I

UNMSM 2004 - I


18

Anual SM

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN

ÁNGULO AGUDO I


ÁNGULO AGUDO II


ÁNGULO AGUDO III

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS I

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS II

Anual SM

ÁNGULOS

VERTICALES

INTRODUCCIÓN A LA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

ÁNGULOS

EN POSICIÓN NORMAL I

ÁNGULOS

EN POSICIÓN NORMAL II

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL III

Anual SM

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES II

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES III

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS II

Anual SM

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS COMPUESTOS III

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS COMPUESTOS IV

REDUCCIÓN AL

PRIMER CUADRANTE I

REDUCCIÓN AL

PRIMER CUADRANTE II

REDUCCIÓN AL

PRIMER CUADRANTE III

Anual San Marcos IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL

ÁNGULO DOBLE I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE II

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL

ÁNGULO DOBLE III

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL

ÁNGULO TRIPLE

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS I

Anual San Marcos

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS II

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA III

Anual San Marcos

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA IV

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA V

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS I

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS II

Trigonometría ANUAL ADE 2015

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