CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 5. Si S, C y R son los números
TRIGONOMETRÍA
que indican la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente; y se verifica C + S + C − S = R( 19 + 1) , halle que la medida de dicho ángulo en radianes.
1. Si se sabe que 25 grados de un nuevo sistema P equivalen a 30º, determine una fórmula de conversión entre el sistema P y el sistema radial. P R = 180 25π P R = C) 30 π P 2R = E) 180 π
P R = 150 π P 2R = D) 150 π
A)
2.
B)
Si A representa la 300ava parte de un grado centesimal y B la 100ava parte
341π 360 381π D) 360 4.
si π C) 150
345π 3600 381π E) 3600
B)
C)
CEPRE-UNI
C)
18 π
halle la radianes.
C2 − 3CS + 2S2
R ; 19π
ángulo
en
C + 3CS + 2S
medida
π 7 4π D) 7
=−
2
del
2π 7 5π E) 7
B)
C)
2
3π 7
En la figura mostrada se cumple que: a + b + c = 950 + 2,5π ; siendo a, b y c las medidas del ángulo XOY. Halle el valor de a – b.
7.
X
361π 3600
aº
O
Si S, C y R son los números que representan las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Además se cumple: 3 S + 30 C = 33 . Halle la medida de dicho ángulo en radianes π 3π A) B) 20 20 π π D) E) 2 4
cumple:
A)
Si S, C y R son los números que expresan la medida de un mismo ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes respectivamente. Además se SK + S = CK − C = K, K > 1. cumple: Halle la medida de dicho ángulo en radianes. A)
16 π 20 E) π
B)
Si S, C y R son los números que representan las medidas de un ángulo en los tres sistemas convencionales y
6.
A de un radian. Halle . B π 5π A) B) 100 600 π π D) E) 600 800 3.
15 π 19 D) π
A)
π C) 10
bg
crad
Y
A) – 100 D) – 80 8.
B) – 40 E) – 20
C) – 50
¿Para qué valor de x se verifica la º g ( x − 3) º ( 4x − 18 ) º igualdad: = ? g g 5 15
A) 12 D) 20
B) 17 E)10
C) 24
TRIGONOMETRÍA
1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 π 9. Si S, C y R representan la medida de A) un mismo ángulo en los 3 sistemas de 10 medición angular. Y se cumple que : π D) 3Cº – 2Sg = π rad. Calcule la medida 40
π 20 2π E) 25
B)
de dicho ángulo en radianes. 15π 46 8π D) 9
15π 23 17 π E) 18
A)
B)
C)
7π 9
º
del ángulo en radianes que verifica la igualdad: 1 1 1 1 = + 2 + 3 + ...? S C C C π π A) B) 10 15 π π D) E) 25 30
calcule el valor
π 20
14. Sabiendo que: α = 2º + 4º + 6º + 8º +…. +20º g
angular en el cual la unidad ∗ fundamental se denota por 1 ; y resulta de sumar las unidades fundamentales del sistema sexagesimal y centesimal. Calcule cuántas unidades del nuevo sistema equivalen a 627 radianes ( π = B) 18900 E) 18000
g
g
de α – β
Halle la medida sistema radial. A) – D)
π 9
π 9
5π 9 5π E) 9
B) –
C)
en el
π 3
15. En la figura mostrada, si la medida del
ángulo y (en radianes) está dada por: y = θ 2 + θ + 1, halle el máximo valor de la medida del ángulo x (en radianes).
22 ). 7
C) 15300
B
x
12. La suma del número de minutos
centesimales y el número de segundos sexagesimales de la medida de un ángulo es 33400. Halle la medida de dicho ángulo en radianes.
g
10 20 30 200 β = + + + ..... + . 9 9 9 9
11. Se tiene un nuevo sistema de medida
y C
A
A)
1 2
D) π −
CEPRE-UNI
C)
g
b 22 aproximado de W = 11 − π , ( π ≅ ). a 7 1 1 1 A) B) C) 5 6 7 1 1 D) E) 8 9
A) 21700 D) 12900
π 30
13. ¿Cuál es la medida
10. Si S y C son números que representan la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal, que cumple: 3C 2S a+b = a−b
C)
B) 3 4
3 4
E) π −
C) π −
1 2
1 4
TRIGONOMETRÍA
2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 16. De la figura mostrada AOF, BOE
y COD son sectores circulares, además; BC = DE = a, AB = EF = 2a, L»
CD
= x, L » = y, L » = z BE
AF
21. En la figura mostrada,si m∠ AOB=90º,
DAC, EBC y AOB son sectores circulares y AO = OB = R. Calcule el área máxima de la región sombreada. A
Calcule: M = (2x + z) y–1 A
B
C
C D
0 D E
O F
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
17. Se tiene
el sector circular AOC, donde OA = OC = r y m∠ AOC = θ . Si; r crece 10% y el ángulo central crece 20% ¿En qué porcentaje crece el área del sector circular? A) 15% B) 20% C) 30% D) 40% E) 45.2%
18. Las áreas de un sector circular y la
región encerrada por un cuadrado son iguales y además de igual perímetro; determine el número de radianes del ángulo central de dicho sector. A) 0,5 B) 0,75 C) 1 D) 1,5 E) 2 2
19. Halle el área máxima
(en cm ) de un trapecio circular de 20 cm de perímetro. A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20
B
E
2 πR A) 1 − 4 2 π 2 C) 1 − R 4
π R2 B) 2 − 4 2 π 2 D) 2 − R 4
π R2
E) 1 − 4 4
22. De la figura mostrada, la rueda de
radio r, gira sin resbalar sobre la superficie circular de radio 5r. ¿Cuántos grados sexagesimales experimenta el giro de la rueda hasta que el punto B esté en contacto con la superficie curva? 01
r
r
B
01 B
20. Un arreglo de flores debe tener la
forma de un sector circular de radio r y un central θ . Si el área es (Am2) y además es constante y el perímetro es mínimo. Halle r (en m) y θ (en rad.) A) A ; 2
B)
A ;2
D)
E)
A; 1/ 2
A;1 CEPRE-UNI
C)
A;
3 2
5r 0
A) 18º
B) 80º
C) 84º
TRIGONOMETRÍA
3
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 D) 90º E) 108º 1 A) 23. Si en el sistema mostrado, el disco A 2
gira 90º. ¿Cuánto gira el disco C? 5
3
B) 54º E) 27º
A) 5 D) 2 26
2
6
29. De
figura mostrada si BC = 3AB = a 3 , AE = 2u, DC = 1u, además; m∠ ABE = 45º, m∠ DBC = 30º. Calcule L = 3sen(α ) + 2sen(β)
C
E)
26
m∠ CAB = 15º, m∠ ABC = 135º y BC= 6 − 2 unidades. Calcule la longitud (en u) del segmento AC. A) 6 + 2 B) 6 − 2 C) 6 D) 2 E) 2 2
A
D) 18π
C)
28. Se tiene un triángulo ABC, donde
B
B) 36π
B) 23 E) 10
C) 18º
recorrida la por la rueda C es:
A) 3,6π
3
α 4
24. En el sistema mostrado, si la rueda A 3 da de vuelta, entonces la longitud 4
8
3 2
calcule: cot( ) − 5
B
A) 36º D) 90º
E)
2
C)
27. Si 13 sen(α ) = 5, x ∈ 〈0;90º〉 ,
1 C
A
D)
B) 1
la
C) 1,8π
9π 4
B
25. Si sen(x+20º).sec(2x+40º) =1, x ∈ 〈0; 25º〉 , calcule sen(6x).cos(3x).tan(5x) cot(4x).sec(7x).sen(2x) 1 3 1 A) B) C) 2 2 4 3 1 D) E) 4 3 M=
26. Si sec(2x–18º)sen(28º) = 1, x ∈ 〈9º ; 54º〉 , halle el valor de F = sen(x – 10º) + cos(x + 20º)
CEPRE-UNI
α
A
β
E
A)
3 6 a 4
D) 2 6a
C
D
6 a 4 6 E) a 6
B)
C)
TRIGONOMETRÍA
6a
4
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 30. De la figura adjunta, si AB = m,
BC = n, DC = x, AE = y, BE = BD. Determine β .
y en función de m, n, α y x
32. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD de lado 2 l unidades,
donde M y N son puntos medios de los lados AB y BC del cuadrado, respectivamente. Halle el área en u2 de la región triangular MND.
B
α
B
N
C
β M
A A
C
D
E
D
3l 2 2 9l 2 D) 4
A) m sen(α ) n sen(β) m sen(β) C) n sen( α ) mcos(α ) E) n sen(β)
mcsc(α ) ncos(β ) mcsc(β) D) nsen(α )
A)
B)
31. En la figura mostrada, ABCD es un
cuadrado, calcule
C)
5l 2 2
E) 3l 2
33. En la figura mostrada ABCE es un
rectángulo, además: m∠ ACB = θ , m∠ CED = α , m∠ ADB = β . Determine tan(θ ) en función de α y β . A
k = 10 sec(θ) + tan(θ)
B) 2l 2
E
B
A θ
B
C
D
37º C
D
A) 8 D) 5 CEPRE-UNI
B) 7 E) 4
C) 6
1
A) tan(β ) – tan(α ) B) tan(β) − tan α ( ) TRIGONOMETRÍA
5
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 1 C) cot(β ) – tan(α ) D) cot(β) − tan α A ( )
E) cot(β ) – cot(α ) 34. En la figura mostrada AB = AD = BC, m∠ ABC = 90º, m∠ BAD = 32º, m∠ BCD = θ . Calcule cot(θ ). B
41 12 17 D) 6
7 15 35 E) 9
A)
B)
C
23 11
37. De la figura mostrada si M es punto
medio de AC, calcule
C
F = cos2 ( θ ) − sen2 ( θ )
D
B
A
A) 0,75 D) 3,45
B) 1,25 E) 4,35
C) 2,95
3 5 1 D) 2
C)
4 5
región triangular CDE es igual a la mitad del área de la región triangular ACD y ésta a su vez es igual a la tercera parte del área de la región triangular ABC, calcule tan(α ).
β M α C
E
A) 2cot(α ) – tan(α ) B) cot(α ) C) tan(α ) + cot(α ) D) cot(α ) E) 2cot(α ) + tan(α )
E
2tan(α )+
D
α
2tan(α )– C
36. En la figura mostrada m∠ ABC =m∠ AFE = 90º, m∠ AEF = α , m∠ ACB = 37º, BD = DC, calcule B tan(α ).
CEPRE-UNI
3 2 1 E) 4
B)
38. En la figura mostrada, si el área de la
D
E
C
M
A)
m∠ BCA = α , m∠ BMD = β , determine tan(β ) en términos de α . B
θ
53º
A
35. En la figura mostrada BD = DC,
A
C
F
D
α
A
3 3 2 D) 3
A)
B 3 6 C) 2 3 6 E) 2 TRIGONOMETRÍA
B)
6
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 39. En la figura adjunta AOB es un sector » = CB » circular, tal que: AC y OD = DB,
si m∠ ECD = θ , calcule cot(θ ).
A) tan(θ ) B) 2 tan(θ ) C) cotθ D) 2cot(θ ) E) 4tan(θ ) 42. En el triángulo rectángulo ABC, m∠ BAC = 60º, se traza la altura BH, relativa a la hipotenusa, y luego la ceviana BN (N entre H y C) tal que NH = 2NC. Si m∠ HBN = α y m∠ NBC = θ , calcule P = cot(α ) cot(θ ). A) 2,5 B) 3,5 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,5
A C
O
D
A) 2 − 1 D) 2 + 2
B
E
B) 2 – 2 E) 3 + 2
C) 1 +
2
43. Una hormiga observa la parte superior
40. En la figura mostrada, O es el centro
de la semicircunferencia, además AQ = 2QP, ∠ MOB = 90º y m∠ MQP = α , calcule sen(α ). M P Q
A
0 3 2 3 D) 3
A)
B) E)
B 1 2
C)
2 2
2 4
41. En la figura mostrada, O es el centro
de la circunferencia, m∠ BAC = 2φ , m∠ DGF = θ , determine B E = 1 + cot(45º – φ ) en función de θ . E
D
G O
CEPRE-UNI A
F
C
de un árbol con un ángulo de elevación de medida α . Si la hormiga se acerca hacia el árbol una distancia igual a L metros, el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es ahora de medida β ; entonces la altura del árbol en términos de L, α y β es: A) L [tan(α ) – tan(β )] B) L [cot(α ) – cot(β )] C) L [tan(α ) – –1 tan(β )] D) L [cot(α ) – –1 cot(β )] E) L tan(α ) . tanβ 44. Un niño observa la parte mas alta de
un muro con un ángulo de elevación θ , luego avanza hacia el muro una distancia igual a la diferencia de las alturas entre el muro y el niño y el ángulo de elevación es ahora el complemento del anterior, calcule tan(θ ) + cot(θ ) TRIGONOMETRÍA
7
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 A) 2 B) 2 2 C) 4 5 −1 A) B) 5 − 1 C) 5 D) 4 2 E) 6 2 5 +1 D) 5 + 1 E) 1 8 2 49. Los puntos M ; 4 y P ; 5 son 3 3 45. Una antena está ubicada en la parte los puntos de trisección del segmento
más alta de un edificio. Desde un punto del suelo se observa los extremos de la antena con ángulos de elevación de 45º y 53º. Si la antena mide 6 metros; entonces la altura (en m) del edificio es: A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
46. Un avión vuela horizontalmente a una
altura constante y antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y B los observa con ángulos de depresión de 45º y 37º respectivamente. Cuando está sobre B es visto desde A con un ángulo de elevación α . Calcule tan(α ). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 47. Desde la parte superior e inferior del
segundo piso de un edificio de 4 pisos iguales se observa una piedra en el suelo, a una distancia de 9 m y con ángulos de depresión α y θ respectivamente. Desde la parte más alta del edificio la depresión angular para la piedra es β , si tan(β) − tan ( α ) − tan ( θ ) =
1 . 4
Calcule la
medida del ángulo de depresión con que se ve a la piedra desde la parte superior del tercer piso. A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º E) 60º 48. Dados los puntos A = (–2; – 3), B = (2; 1), C = (4; – 9) y M punto medio de BC . La distancia de M al segmento AC es: CEPRE-UNI
AB. Halle la longitud del segmento AB. A) 6 B) 7 C) 8 D) 57 E) 58 50. Dado los vértices A(–2; 4) y B(6; –2) de un triángulo ABC y el punto H(1;3) de intersección de sus alturas. Determine el vértice C. A) (– 4; 10) B) (2; 13) C) (13;19) D) (–10; 20) E) (7; 13) 51. Dados los puntos A(3; 4) y B(–5; 2).
Determine la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los puntos A y B. A) y = 4x – 1 B) y = 4x + 1 C) y = – 4x – 1 D) 4 = 4x + 3 E) y = 4x –3 52. Determine el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, que equidistan de los puntos A(–3; 5) y B(8; 2), dar como respuesta su ecuación. A) 11x +3y – 8 = 0 B) 11x – 3y – 1 = 0 C) 5x – 3y – 1 = 0 D) 11x – 3y – 17 = 0 E) 11x + 3y + 17 = 0 53. Determine la ecuación de la recta que
pasa por el punto (– 2; 2) y sea paralela a la recta L: x – y – 3 = 0. A) y = x + 4 B) y = – x + y C) y = 2x + 1 D) y = 2x – 1 E) y = – x + 1
TRIGONOMETRÍA
8
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 54. Determine la ecuación de una recta determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (3;3) y sea paralela a AB y que pasa por el
perpendicular a la recta L: x + y + 2 = 0 A) y = x B) y = 2x C) y = 3y D) y = 4x E) y = x + 1
55. Dada
la ecuación de la recta L: 2x – y – 2 = 0, determine la ecuación de la recta L1 que pasa por (8; 4) y es perpendicular a L A) x + 2y – 16 = 0 B) 2x – 5y – 16 = 0 C) x – 2y + 8 = 0 D) 2x + 4y + 16 = 0 E) x + 2y + 16 = 0
56. Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta L: 4x + y – 1 = 0
y que pasa por el punto de intersección de las rectas L1: 2x – 5y + 3 = 0 y L2: x –3y – 7 = 0 A) 4x – y + 42 = 0 B) x + 2y – 12 = 0 C) 3x – 2y + 35 = 0 D) 2x + y – 21 = 0 E) x – 4y – 24 = 0 57. Si los puntos A(2, 3), B(4, 6) y C (6; 1)
forman un triángulo ABC. Determine la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AC . A) y = 3x + 1 B) y = 2x – 2 C) y = x – 4 D) y = 2x + 1 E) y = 2x – 3 58. Sean las rectas L1: 3x – 4y + 12 = 0 y
L2: 3x + 4y – 12 = 0, determine la ecuación de la recta L que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas L1 y L2. A) y = – 3 B) y = 0 C) x = 0 D) x = 3 E) 4x + 3y – 12 = 0 59. Si los vértices de una región triangular
son A (– 3; – 6), B(6; 9) y (3; 12); CEPRE-UNI
baricentro de la región triangular mencionada. A) 5x + 3y + 5 = 0 B) 5x – 3y – 5 = 0 C) 5x – 3y + 5 = 0 D) 5x + 3y – 5 = 0 E) 5x + 3y + 15 = 0
60. Un segmento de recta, forma con
los semiejes positivo de la abscisa y ordenada un triángulo rectángulo cuya área es de 3m2, si la mediatriz de la hipotenusa pasa por el origen de coordenadas, determine la ecuación de la recta que contiene al segmento de recta. A) x + y – 6 = 0 B) x – y + 6 = 0 C) x + y + 6 = 0 D) 6 x + y – 1 = 0 E) x + 6 y – 1 = 0 61. Sean la recta L: 3x – 4y + 7 = 0 y el punto P = (–1; – 1). Determine la ecuación de dos rectas paralelas a L y que equidisten del punto P, 2u. A) L1: 4x – 3y – 9 = 0 L2: 4x – 3y + 11 = 0 B) L1: 4x – 3y + 9 = 0 L2: 4x – 3y – 11 = 0 C) L1: 2x + y + 5 = 0 L2: 3x + 4y – 11 = 0 D) L1: 3x – 4y + 9 = 0 L2: 3x – 4y – 11 = 0 E) L1: 3x – 4y – 9 = 0 L2: 3x – 4 – 11 = 0 62. Un rayo de luz que parte de (5;5)
incide en un espejo plano que está sobre el eje Y. Si el rayo reflejado forma con los ejes coordenados en el TRIGONOMETRÍA
9
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 5 A) 4 – 2 2 primer cuadrante un triángulo de C) – 1 8 2
u ,de área, determine la ecuación del rayo reflejado.
C) D) E)
E)
–3 66. Sean las rectas L1: y = 0 y
4 5 4 y = − x −1 5 5 y = − x −1 4 4 y = − x−2 5 5 y = − x +1 4
A) y = − x + 1 B)
B) 4 – 3 2 D) – 2
L2: x + y – 1 = 0. Determine la ecuación de la recta bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas L1 y L2. A) 2x − 2 + 1 y = 2 − 1
(
)
( 2 + 1) y = 2 + 1 C) ( 2 + 1) x = − 2y = 2 − 1 D) ( 2 + 1) x − 2y = 2 + 1 E) ( 2 + 1) x − y = 2 + 1 2x −
B)
63. Determine la ecuación de la recta
(de pendiente negativa) bisectriz del ángulo que forman las rectas L1 : 3x − 4y + 1 = 0
L2 : 4x − 3y + 40 = 0
x + y = 39 x – y = – 39 7x – 7y = – 41 x=y+2 E) 2x + 3y + 41 = 0 A) B) C) D)
L2: x + 2y – 7 = 0 y L3: 2x + y –11= 0 se intersectan dos a dos y los tres puntos de intersección forman un triángulo. Halle la tangente del menor ángulo interior. 1 4
D) 1
1 2 4 E) 3
B)
punto (5, 12) además los interceptos de L1 con el eje X y L2 con el eje Y están contenidos en una recta cuya ecuación es y – 27x – 27 = 0. Calcule el menor ángulo formado con las rectas L1 y L2. A) 15º B) 30º C) 37º D) 45º E) 60º 68. Se trazan las rectas L, L1 y L2
64. Las rectas L1: x – y + 2 = 0,
A)
67. Dos rectas L1 y L2 se intersectan en el
C)
(como en la figura), tal que; L: x – 3y – 3 = 0; L2 : y = 2; L ⊥ L1 y AB = 2 BC. Determine la abscisa del punto P. Y
L1 L
3 4
P
0
65. La recta L1 es paralela a la recta
L2 : 3y – x – 100 = 0 Si el área de la región triangular limitada por el eje y la recta y = 4, por la recta L1, es 27 u3, halle la ordenada de la intersección de L1 con el eje y CEPRE-UNI
L2 X
C B
A
A)
8 9
B) 1
C)
TRIGONOMETRÍA
10 9 10
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 11 4 m.cos4 (x) D) E) cot(x) = 9 3 sen(x) − sen3 (x) 69. Halle el punto Q del gráfico para
que la suma de las distancias d(A, Q) + d(Q, B) sea la mínima Y A(0; 9)
3 2 2 3 2 D) − 4
A) −
B)
3 2 4
C)
3 2 2
E) 3 2
B(5; 6) 74. Si
Q(x; 0)
X
0 5
7
B) ,0 C) ,0 2 2 D) (3,0) E) (4, 0) 70. Si sen(θ ) + 1 – sen(θ ) – 1 = – 1, θ ∈ IIIC, calcule A) (2, 0)
V = 3 tan ( θ ) − sec(θ + 30º )
A) – 2 D) 2
B) – 1 E) 3
el punto P de coordenadas (a, – 2a) pertenece al lado final de un ángulo α en posición normal y además a < 0. Halle el valor de: ) tan(α) W = – 5sen( α+ A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
75. En la figura mostrada si: A = (5; – 3),
OA = AB, calcule tan(α ) Y
C) 0 0
X
α
1 71. Si sen(θ ) = , tan(θ ) = tan(θ ) y 3
A
sec(θ ) = – sec(θ ), halle el valor de k = 2 cot( θ) + csc( θ)
A) – 2 D) 1
B) – 1 E) 2
C) 0
1 72. Sabiendo que senθ = , tan(θ ) < 4
0
sen(θ ) < 0, halle el valor de θ (+ ) cscθ − ( ) 4 F = 15 sec .
B
A) – 5 D) – 2
B) – 4 E) – 1
C) – 3
y
A) – 8 15 D) – 15
B) – 4 15 E) 4 15
C) – 2 15
73. Si csc(x) = – 3, x ∈ IVC. Halle el valor
de m en la siguiente igualdad:
CEPRE-UNI
76. De la figura mostrada si: P = (5; – 4), tan(θ) − 41cos( θ) . calcule M = 4 Y
θ
X
TRIGONOMETRÍA P
11
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01
θ
0
A
M
A) – 9 D) 8
B) – 8 E) 9
X
C) 7 P
77. En la figura mostrada, C es el centro
de la circunferencia de coordenadas (–1; 3), además P y Q son puntos de tangencia, calcule F = tan(α) – tan(θ )
45 82 45 D) 82
85 42 6 E) – 7
A)
B) –
m∠ QOT = 90º, PQ = 2 QR. Halle el valor de R = 8tan(θ ) – 3cot(θ )
Q
Y
P
R θ
Q X
α 15 A) – 4 15 D) 4
9 B) – 4 13 E) 3
9 C) 4
78. En la figura mostrada se cumple
Q
que: PM = MQ, m∠ QPA = 90º; m∠ OAP = 18.5º y las coordenadas del punto P son (– 3, – 6), calcule E = tan(θ ) + cot(θ ). Y
CEPRE-UNI
85 42
79. En la figura mostrada, m∠ RPO = 53º,
Y
C
C)
0
P
X
θ T
A) – 5 D) 3
B) – 3 E) 5
C) 0
80. Halle las medidas de 2 ángulos coterminales negativos que son proporcionales a los números 7 y 5. Además la diferencia de las medidas de dichos ángulos está comprendida entre 540º y 900º A) –1800º, –2520º B) –900º, –1260º C) –1700º, –2520º D) –3600º,–5040º E) –4500º, –6300º TRIGONOMETRÍA
12
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 1 D) 81. Sean α y β la medida de dos 3
ángulos coterminales (α > β ) tal que el doble del menor es a la suma de ellos como 13 es a 23. Calcule la medida del mayor de ellos si está comprendido entre 1100º y 1300º A) 988º B) 1088º C) 1188º D) 1288º E) 1328º
82. Si α
y β
85. Dada la recta L que pasa por el origen
de coordenadas y dados los puntos P y Q que pertenecen a la recta L, halle E = sen ( θ ) + cos ( θ ) + Y
D) –
12 B) – 13 5 E) 12
5 13
0
5 C) 13
L
(–1, a) y (b, – 9) pertenecen al lado final de un ángulo en posición normal y sen(θ) =
4 a) 3
X θ
P(a, –2)
83. Si los puntos P y Q con coordenadas
de medida θ
13
5 5 y sen ( β ) = − , 12 13
halle E = cos(α ) tan(β ). 12 A) 13
tan(θ)
Q(6.-
son ángulos coterminales
tal que tan ( α ) = −
1 3
E) –
−3 10
13 3
A) – D)
3 13
B) – E)
3 13 13 3
C) 13
, halle la
distancia entre los puntos P y Q. A) 10 B) 2 10 C) 3 10 D) 4 10 E) 5 10 84. En la figura mostrada las coordenadas
del punto M y B son (3; – 8) y (6; – 10) respectivamente, además AB = 4MB; calcule M = 3 cot(θ ) Y
86. En un triángulo ABC se conocen los
vértices A(2; 1) ; B(5; 3) y el punto G(3 y 4) que es la intersección de las medianas. Si el lado final de un ángulo normal θ pasa por el vértice C, calcule tan(θ ). A) 1 D) 4
B) 2 E) 6
C) 3
87. La
recta L corta a los ejes coordenados en x = 4, y = – 2. Sea B un punto perteneciente a la recta L, y sea la recta L1 perpendicular a la recta L, de tal manera que L1 pasa por el punto B y el punto (0,1). Si OB es el lado final de un ángulo θ en posición normal, halle tan(θ ). (O es el origen de coordenadas)
θ X
A M
A) 0 CEPRE-UNI
B)
1
B
C) – 1 TRIGONOMETRÍA
13
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 7 91. En la figura mostrada, la ecuación de A) – 2 B) – C) –1 la recta es L: y = 3x. Halle el valor de 6 6 1 F = 10sen ( α ) − tan ( θ ) D) – E) – Y 7 2 L 88. Si P es un punto del lado terminal del
ángulo θ , en posición normal y además es el punto de intersección de las gráficas de las rectas. L1 : y = 2, L2: y = – 2x + 4. Calcule F = 5sen(θ) + tan(θ) . A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
89. De la figura mostrada NT = TM,
además L: y = 2x + 3, halle 17sen(θ ). Y M
α
X
θ
A) – 3 D) 6
B) 0 E) 9
C) 3
92. De
la figura mostrada, si PQ = QR = RS, Q = (4;3).Halle cot(α ).
L
Y S
T
R Q
θ
N 0
X α
A) 2 17 D) 5 17
B) 3 17 E) 6 17
C) 4 17
90. La recta x – 2y + 4 = 0 intersecta al eje
de abscisas en el punto A, y al eje de ordenadas en el punto B. Si M es punto medio del segmento AB, y a la vez M es un punto del lado final del ángulo en posición normal β , calcule cot(β ). A) –2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3 CEPRE-UNI
9 4 3 D) 4
A)
0 7 4 1 E) 4
B)
X P
C)
5 4
93. En la circunferencia trigonométrica si: π < x1 < x 2 < π , indique la veracidad (V) 2
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. sen(x1) > sen(x2) II. cos(x2) > cos(x1) III. tan(x1) < tan(x2) A) FFF B) FFV C) FVF TRIGONOMETRÍA
14
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01
D) FVV
E) VVV
94. En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, donde ¼ = θ . Halle la variación del área mABP
circunferencia trigonométrica adjunta, ¼ si la medida del arco ABM es θ . Y
S
π de la región triangular BPQ si < θ < π Y 2
.
2 ( SQ ) en la
97. Determine el valor de
B
Q
B P A O
X M
Q
A) 0;
1 2
B) 0;
3 4
D) 0;
3 2
E) 〈0; 2〉
C) 〈0;1〉
95. En la circunferencia trigonométrica de
la figura mostrada: OM = AM, calcule E = tan(θ ) – sec(θ ). Y
A) B) C) D) E)
B’
1 + sen(θ ) + cos(θ ) 1 – sen(θ ) + cos(θ ) 1 + sen(θ ) – cos(θ ) sen(θ ) + cos(θ ) – 1 1 – sen(θ ) – cos(θ )
98. En la circunferencia trigonométrica
mostrada; si tan(θ ) = 1, calcule el área de la región triangular OMA. Y
B
M
M
A’ θ
A
B) – 2 E) 0
A
0 X
C) 1
96. Halle el valor máximo de a si: 5π π a− 2 sen + x = , x ∈ 2π; 2 2 6 A) 2 B) 2 + 1 C) 2 2 D) 2 + 2 E) 2 + 4
1 2 1+ 2 D) 2
2 2 2 −1 E) 2
B)
C) 1
99. La circunferencia es trigonométrica,
halle el área de la región triangular ¼ = θ. ABC si m PQS Y Q
C
B CEPRE-UNI
X
θ
A)
B’
A) 2 D) – 1
X
A
A’’
S
P
TRIGONOMETRÍA
X 15
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 01 A
A) tan(θ ) B) – 0,5 tan(θ ) C) 0,5 tan(θ ) D) 0,5 E) – 0,5 +0,5 tan(θ ) 100. En la figura se tiene la circunferencia trigonométrica, halle el área de la Y
región sombreada.
Y B θ A’
0
A
X
B’
A) 0,5 [ 1 − sen(θ)] C) 0,5 [ sen(θ)] E) 0,5
CEPRE-UNI
B) 0,5 [ 1 − cos(θ)] D) 0,5 [ cos(θ)]
TRIGONOMETRÍA
16
